Учебник Математика 6 класс Мирзаахмедов Рахимкариев

На сайте Учебник-Школа.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Математика 6 класс Мирзаахмедов Рахимкариев - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
a:x=b:c 1%--0,01 я =3,14159265358979325... У о М. А. МИРЗАХМЕДОВ, А. А. РАХИМКАРИЕВ б Учебник для общеобразовательных школ Утвержден Министерством народного образования Республики Узбекистан Издание третье, переработанное и дополненное Б 1> ИЗДАТЕЛЬСКО-ПОЛИГРАФИЧЕСКИЙ ТВОРЧЕСКИЙ ДОМ ,,0‘QITUVCHI ‘ ТАШКЕНТ-2009 ББК 22.1 я 72 Дорогой ученик! Ученые, поэты, государственные деятели, художники нашей Родины — Узбекистана внесли большой вклад в развитие мировой науки, образования и культуры. Вы должны продолжить их дело. И на страницах этой книги нашли отражение достижения наших великих ученых. Они говорят с вами как живые, гордитесь ими! Молодость — время приобретения знаний! Как говорится в пословице: «Знания, приобретенные в юности, подобны надписям, высеченным на камне». Изучение математики требует от вас инициативности, пытливости, решения задач и упражнений. Если вы хорошо изучите меня, я стану вам другом! Успехов вам в этом нелегком труде. Учебник математики Условные обозначения: о Тёст1^^ — тема; — вопросы и задания; — более трудные задачи; — упражнения для выполнения дома; — исторические сведения; — проверьте себя. Издано за счет средств Республиканского целевого книжного фонда для выдачи в аренду. 32765 экз. 43006020500 - 46 М ---------------- тем. план — 2009 * * 353(04) - 2009 ISBN 978-9943-02-092-4 ИПТД „O'qituvchi”, перевоз с узбекского, 2005 М. А. Мирзахмедов, А. А. Рахпмкариев. Все права защищены. Т., 2005 ИПТД „O'qituvchi", с изменениями и дополнениями, 2009 ".гтщ Повторение материала 5-го класса в 5-м классе вы познакомились с четырыт арифметическими действиями над натурсыьными и дробными числами. Предлагаем упражнения для повторения полученных знаний. 1. Запишите числа, представленные в виде суммы разрядных единиц: 1) 2 - 10' +3 - 10^ + 7- 102 + 8- 10 + 3; 2) 3 • 105 + 7 • 10' + 4 • 102 + 2 • 102 + 1 • 10 + 9; 3) 8 • 10' + 3 • 102 + 5; 4) 9 • 105 + 6 • + 7. 2. Вычислите удобным способом: 1) (38 • 54 + 38 • 42): 24; 2) 2 416 -67 + 23-2 416; 3) 736 - 983 - 736 - 883; 3. Выполните действия: 1) 614- 905 + 2 736:76; 2) 675 - 803 + 12 544 : 49; 4) (88 - 89 - 88 - 69): 440 + 60; 5) 37-436 + 218 -72 + 108- 109; 6) 628-29 + 314-31 - 157-78. 3) 812 - 35 - 2 436: (3 732 - 48 - 27); 4) 751 031 - 920 - (15 810 : 93 + 133). 4. Поезд, пройдя 364 км за 7 часов, увеличил скорость на 4 км/час и преодолел оставшееся расстояние за 7 часов. Найдите весь путь, пройденный поездом. 5. Фермерское хозяйство по плану должно было продать 875 т картофеля. В сентябре хозяйство продало 684 т, а в октябре — 317 т. На сколько тонн картофеля было продано больше, чем запланировано? 6. Периметр прямоугольника а мм. Какое из следуюших чисел может равняться числу а, если а — натуральное число: 798, 564, 357, 241, 690, 800, 429, 555? 7. Поставьте вместо звездочек такие цифры, чтобы числа 1) 31*4*; 2) 45*6* делились на 9; 3) 1*2*1; 4) *4*3* делились на 3 без остатка. 3 8. Не выполняя вычислений, определите, корень какого уравнения делится на 9; 1) д::37 = 270; 3) д:+280 = 720; 5)лг- 135 = 68; 2) х +450 = 830; 4) х - 360 = 540; 6) л:: 135 = 107. 9. Остатки от деления двух натуральных чисел на 9 равны. Делится ли на 9 разность этих чисел? Почему? 10. Число а не делится на 10. Определите, какие из следующих чисел делятся на 10: \) а - 100; 2) 8 • 5 • а; 3) 40 + а; 4) 90 • а. Найдите значения этих выражений при а = 1 042. 11. Вычислите: 1) НОД (48, 72, 528); 3) НОД (164, 541, 1271); 2) НОК (24, 25, 1200); 4) НОК (120, 360, 420). о ^ . 4 9 10 33 30 12. Значения каких из следующих дробей: , —, —, —, ---, 14 Ь Зэ 55 э4 21 45 26 1 ч 2 т, 2 5 „ D 35’ 81’ П 7’ 5’ 9'^ Выпищите их по отдельности. 13. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали автомащины марки «Нексия» и «Тико». Скорость «Нексии» 80 км/ч, а скорость «Тико» составляет ^ от нее. Найдите расстояние АВ, если мащины встретились через 4 часа. 14. Из пункта А одновременно в противоположных направлениях выехали две мащины. Скорость первой мащины составляет j скорости второй. Найдите расстояние между мащинами через 2 ч, если скорость первой мащины 60 км/ч. 15. Длина прямоугольника 22 см, а щирина на 4 см меньще. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру этого прямоугольника. 4 16. Приведите к общему знаменателю дроби: п 17 л. 12 ’ 18 ^ 90’ ^ 10 ^ 13’ 26 ^ 39’ .. 14 29 31 15’ 30 ^ 45' 17. Сравните дроби: 14 15 16. 7 14. ^ 17 ^ 17’ ^ 12 ^ ’ 18. Выполните действия: 24^ -74 12 13. .. 59 49 13 14’ 60 ^ 50 ■ 7 1 / — , э 1 ^ — 5 + 5— ■oi^. ш 3) 1-- 2^4^: 1 ~-5-:2 3 4 19 19 ’ 19 15 9 18 3 7- •2- -5—: :2l^; 4) 7^- 3\ + 3^:\ 4 17 . 34 3 4 19 19 ’ 5 3 7 7 21 ■ 63 ■ 19. Решите уравнение: 1) 3i{x-|]=lf; 2)2i.(x4]=5; 3) 4f(2f-,v) = 9i. 20. Один продавец увеличил цену товара вначале на а затем новую цену снизил на Второй продавец сразу же снизил цену того же товара на ^. У кого выгоднее купить товар? 21. Один продавец увеличил цену товара вначале на —, а затем новую цену увеличил на -j^. Второй продавец сразу же снизил 111,, ,, цену того же товара на — + — = ^. У кого выгоднее к>шить товар/ 10 15 6 22. Измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) выражаются простыми числами. Найдите объем и полную поверхность этого параллелепипеда, если сумма длин всех его ребер равна 40 см. 5 Глава 1 ДЕСЯТР1ЧНЫЕ ДРОБИ § 1. Первоначальные сведения о десятичных дробях Запись и чтение десятичных дробей Дроби со знаменателями 10, 100, 1000, ... 17 3 . 7 71 119 343 т 117 10’ 10’ 10’ 100’ 100' 1000’ 1000 можно записывать без дробной черты. Для этого нужно: записать целую часть дроби, поставить запятую и выписывать последовательно число десятых долей, число сотых долей и т. д. ^ = 2-j^ = 2.3 {читается: две целых три десятых); щ = 0,71 {читается: ноль целых семьдесят одна сотая). Обратите внимание на то, что знаменатели этих дробей — степени числа 10: 10 = 10'; 100 = 10^; 1000 = 10^; ... . Дроби, знаменателями которых являются степени числа 10, называются десятичными дробями. 6 Таким образом, и 1,7; щ и 0,71 — различные записи равных между собою чисел. Обращение обыкновенной дроби, знаменатель которой является степенью 10, в десятичную подчиняется следующим правилам: Правило 1. Если число цифр числителя данной правильной дроби равно числу нулей ее знаменателя, то пишем 0 целых, ставим справа от него запятую, а затем справа от запятой записываем числитель этой дроби: = = ш = Правило 2. Если нулей в знаменателе больше, чем цифр в числителе, то пишем о целых, находим разность между числом нулей знаменателя и числом цифр числителя и выписываем столько же нулей сразу после запятой, и числитель дроби: — = — = 0,07; ^ = 0,003. 100 100 ’ ’ 1000 1000 ’ Правило 3. Пишем целую часть смешанного числа, ставим запятую и пользуемся 1-м или 2-м правилами: ”7 8 _ 7 О. 3^ = 3^ = 3 05100 100 ’ ’ 7 007 = = 1,007. 1000 1000 Правило 4 Обрашаем неправильную дробь в смешанное число и пользуемся 3-м правилом: = 1А = 1 8- = 1 il- = 1 19- 10 10 ’ ’ 100 100 ’ ’ =2^ = 2^ = 2,004. 1000 1000 1000 с помощью этих же правил обращаем десятичные дроби в обыкновенные дроби и смещанные числа: 1) 0,7 = ^; 3) 0,07 = ^ = jL; 5) 7,8 = 7^ = 71; 2) 012 = -А-^ ’ 100 ’ 4) 1,007 = 1 1000’ 1 8-1 8 _ 9 Число цифр после запятой в записи десятичной дроби равно числу нулей знаменателя обыкновенной дроби. 7 г ✓ \ • (1)1-1) Какая дробь называется десятичной? 2) Как записываются десятичные дроби? Как они читаются? 3) Объясните на примерах, как обратить десятичную дробь в обыкновенную. V 2. Запишите в виде десятичных дробей и прочитайте: 3 . 10’ 5 . 10' 2А- 10’ 3) 91 . 1000’ 6 1000’ 75 . 1000’ 8 -1000 ’ 29 . 7 . iA_- 100’ 4) 2009 . 7 211 . 919 . 713 100’ 100’ 10000’ 10000 ’ 10000 ’ 10000 3. Прочитайте десятичные дроби и запишите их в виде обыкновенных дробей: 1) 0,7; 0,5; 0,01; 0,95; 2) 2,4; 1,08; 19,01; 991,2008. 4. Сократите дроби и запишите их в виде десятичных дробей: 16 п А* ' on ’ 1 on ’ T/in ’ 2» —■ —■ спп ’ ’ 80’ 180’ 340’ 7500’ ' 500 ’ 900 ’ 1200 ’ 40000 ' Запишите в виде десятичных дробей (5—10): 1)3:10 1 3 17. 1) 3434 */100’ ; 5:10 9 126:100; 2) 12: 10; 108: :10; 31: 1000. 3 3 . т 49. 125. 118 122. 3 7 21 96 16’ 40’ ^ 50’ 200’ 250’ 500’ 5’ 25 ’ 25’ ' 125' ец: А 3 _ 3 • 5^ 3 -125 375 = 0, ,375 8 2^ 2^-5^ 8 • 125 1000 . 96 . 288 416 9'» 27 72. 117 . •21. 77 ’ 3000’ 14400’ 160’ 135 9 90’ Ш ’ Т54 ---; 10 147 3 ; 2) 12 :lA. . 1 • 9 14 251 100’ ЮОС )’ ■ 1000’ 100 100 ’ 1000 1000 1000 4 . 27. 9 . 3 . 9' 17. 9 . 51 . 63. . П2 333 20 ’ 50’ 125’ 200’ 4/ 5 ’ 4 ’ 8 ’ 50 = ’ 125’ 250’ о* 8 Запишите в виде обыкновенной дроби: 1) 0,9; 1,7; 0,09; 10,03; 2) 0,038; 6,045; 2,0001; 1,0206. (Tl^ Сократите дроби и запишите их в виде десятичных дробей: 28 36 38 96 1) ттт; 77^; 143 40’ 60’ 190’ 1200’ 11000’ Ш, 78 . 975 . 1515 -7ЛГ\ ? 720’ 3000’ 5000’ 15000’ I2j) Сократите дроби и запишите их в виде десятичных дробей: Первая цифра после запятой показывает число десятичных долей. Например, 3,7 составлено из 3 единиц и 7 десятых долей. Если у десятичной дроби есть вторая и следуюшие цифры после запятой, то вторая цифра после запятой показывает число сотых долей, третья цифра — число тысячных долей и т. д. Пример 1. Запись числа 3,7454 показывает, что 3 единицы находятся в разряде единиц, 7 единиц — в разряде десятых долей, 4 единицы — в разряде сотых долей, 5 — в разряде тысячных долей, 4 — в разряде десятитысячных долей: 3,745 = 3 745 1000 = 3 + 700 + 40 + 5 1000 = 3 + 700 + 40 + 1000 1000 1000 Т 7 4 5 — 3 “Н — "Ь-------h -----. 10 100 1000 9 Разрядные единицы десятичных дробей можно выразить в виде таблицы следующим образом: Обыкно- венная (смешан- ная) дробь Десятичая дробь целая часть 9 дробная часть(доли) ... сотни десят- ки едини- цы деся- тые сотые тысяч- ные ... 7 10 0 7 12-^ 100 1 2 » 2 8 103 1000 1 0 3 5 3 6 7 Любую десятичную дробь можно представить в виде суммы ее разрядных единиц. тт т т 71 т 70 + 1 т 70 1 ^ 1 1 Пример2.2,71 = 2 + —= 2 + —= 2 + —+ —= 2 + - + —. Такая запись называется представлением десятичной дроби в виде суммы разрядных единиц. Напомним, что единица каждого разряда в 10 раз больше единицы непосредственно следующего за ней разряда. ^^13. 1) После единиц какого разряда ставится запятая в записи'' ’ десятичной дроби? 2) Как называют разрядные единицы справа от запятой? 14. Какой разряд занимает цифра 5 в каждом из следующих чисел: 6,1; 0,45; 3,25; 7,625; 0,3575; 4,6601; 7,0707; 654,2554? 15. Сдвиньте запяггую на один разряд влево (вправо) в числах: 24,135; 21,658; 11,83; 61,275; 413,609; 801,0678; 5,607. 16. Выпишите все дроби, целая часть которых равна 8, а знаменатель — 10. 17. Запишите в виде десятичной дроби: 10 100 1000 ’ Ч г 3 8 '' 10 1000 ’ ^ 3,5 ^ ’’’Too "^Тооо 10 118. Представьте в виде суммы разрядных единиц: 1)0,83; 2)1,45; 3)4,05; 4) 8,254; 5) 7,1238. |l9. Длина прямоугольника равна 3,7 м, ширина 2,8 м. Запишите эти дроби в виде смешанных чисел и найдите: 1) периметр прямоугольника; 2) результат обратите в десязичную дробь. (,20^ Запишите: 1) в виде суммы разрядных единиц; 2) составьте таблицу: 3,64; 1,01; 1,995; 10,567; 5,2439; 70,042; 0,2008; 2,009. Вместо звездочек впишите такие цифры, чтобы равенства были верными: 1) ^ = о,*; 2) — = **9- 3)—= 21- 4) ** = о 073 100 ’ ’ ' 1000 ’ ' Сравнение десятичных дробей 1,2 1,6 1,14 1,17 1 2 1,2 < 1,6, так как 2 < 6 1,10 1,2 1,17 > 1,14, так как 7 > 4 Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше. Пример 1. Сравните десятичные дроби 5,7 и 4,9. Решение. 5>4, следовательно, 5,7 > 4,9. Из двух десятичных дробей с равными целыми частями больше та, у которой больше цифра в разряде десятых долей. Из двух десятичных дробей с равными целыми частями и равными десятичными долями больше та, у которой больше цифра в разряде сотых долей. 11 Пример 2. 1) Сравните десятичные дроби: 3,8 и 3,7. Решение: Так как 3 = 3 и 8 > 7, то 3,S > 3,2- 2) Сравните десятичные числа: 4,23 и 4,25. Решение: Так как 4 = 4, 2 = 2 и 3 < 5, то 4,22 < 4,22. Если к десятичной дроби приписать справа один или несколько I нулей, получится дробь, равная первоначальной. { Пример 3. 0,8 = 0,80 = 0,800 =..., так как 0,8 = ^ = ^ = 10 100 1000 Если десятичная дробь оканчивается одним или несколькими нулями, то их можно отбросить. Пример 4. 4,7300 = 4,73, так как 4,7300 = 4 _ 4^ = 4,73. 10000 100 Любое натуральное число можно записать в виде десятичной дроби. Пример 5. 9 = 9,0 = 9,00 = 9,000=..., так как 9 = = ^22. 1) Как сравниваются десятичные дроби? 2) Изменится ли значение десятичной дроби, если приписать к ней справа один или несколько нулей? 3) Изменится ли значение десятичной дроби, если отбросить один или несколько нулей, которыми оканчивается десятичная дробь? 23. Укажите, какая из двух дробей больше, и запишите в виде неравенства: 1) 0,8 и 0,79; 3) 8,432 и 8,431; 5) 2,1212 и 2,1213; 2) 1,5 и 1,7; 4) 2,259 и 2,26; 6) 7,0678 и 7,0677. 24. Впишите вместо звездочек такие цифры, чтобы неравенства были верными: 1) 0,6^ > 0,64; 3) 1,2^= 5 > 1,261; 5) 0,0071 < 0,007* ; 2) 3,* 7 < 3,49; 4) 6,0909 < 6,* 9; 6) * ,048 > 4,129? 25. Уравняйте число цифр после запятой: 3,04; 3,1415; 2,71828; 1,1825; 0,01; 1,8; 3,2; 4,85. 12 26. Отбросив «лишние» нули, запишите дробь, равную данной: 5,40; 5,04010; 0,0100; 4,01600; 3,01010; 4,12100. 27. Найдите три значения jc, удовлетворяющие неравенству: 1) 3<х<4; 3)4,5<х<4,6; 5) 0,0171 <х <0,0172; 2) 2,7<х<2,8; 4) 4,51 <х< 4,52; 6) 0,3141 <х< 03143. 28. Выпишите все дроби вида Х^аЬс, где а, Ь, с принимают значения: 1) 2, 3, 4; 2) 0, 1, 6 без повторений. Запишите их в порядке: а) возрастания; б) убывания. Запишите четыре десятичные дроби большие 6, но меньшие 7. •3^'Между какими последовательными натуральными числами заключены следующие дроби? Оформите ответы в виде двойных неравенств: 3,8; 4,1; 4,01; 10,99; 6,9; 7,05; 14,15; 1,85. V 31^ Запишите все натуральные числа, заключенные между: 1) 0,8 и 3,4; 3) 4,5 и 7,81; 5) 3,097 и 8,77; 2) 2,2 и 5,9; 4) 10,1 и 14,07; 6) 5,103 и 9,05. v32^ Впишите вместо звездочек такие цифры, чтобы неравенства были верными: 1) 1,* 7 > 1,69; 3) 0,4* 8 > 0,439; 5) * ,905 > 6,99; 2) 4,08 < 4,08*; 4) 0,* 23 < 0,123; 6) 9,004 < 9,0*3? (3^ Соедините числа знаками «>» или «<». Обоснуйте ответ:. 1) 0,7** и 0,8; 3) ** ,9 и * ,9; 5) ** ,* и *,** ; 2) 95,* и *4,9; 4) * ,05 и ** ,*; 6) * ,* и 1*,** . Выражение единиц измерения величин с помощью десятичных дробей В 4-м и 5-м классах вы познакомились с единицами длины, массы, площади и объема и соотношениями между ними. Их удобно записывать в виде десятичных дробей. 13 Действительно, © Единиш.1 длины 1 км = 1 000 м; 1 м = км = 0,001 км; 1 м = 10 дм; 1 дм = м = 0,1 м; 1 дм = 10 см; 1 см = дм = 0,1 дм. Пример 1. Выразите 3 км 625 м в километрах. 67S Решение. 3 км 625 м - 3 км+625 м-3км+ км-= км = 3,625 км. Ответ: 3 км 625 м = 3,625 км. © Единицы массы 1 т = 1000 кг, 1 кг= т = 0,001 т; ’ 1000 ’ 1 ц = 100 кг, 1 кг = щ ц = 0,01 ц. Пример 2. Выразите 4 т 7 ц 68 кг в тоннах. 7 68 Решение. 4т7ц68кг = 4т + 7ц + 68кг = 4т + — т + —— т = 10 I000 . 700 + 68 . 768 . 768 . =^лш-^ ^ ш ^ =''ш ^ = 1 га =10 000 м2; 1 М2 = 1 10000 га = 0,0001 га; 1 сотка =1 ар = 100 м^; 1 м^= 0,01 сотки =0,01 ар; 1 м2 = 100 дм2; 1 дм2 = — м2 = 0,01 м2. Пр и м е р 3. Выразите 4 га 57 ар 89 м2 в гектарах. 57 Решение. 4 га 57 ар 89 м2 = 4 га + 57 ар + 89 м2 = 4 га + щ га + 89 . 5700 + 89 . 5789 . „оп га = 4 га + ___ га = 4 —— га = 4,5789 га. 10000 10000 10000 14 Пример 4. Выразите 3 27 дм^ в кубических метрах (м^). Решение.Ъ 21 дм^ = 3 + 27 дм^ = 3 м^ + 27 • 1 дм^ = = 3 + 27 • i М-^ = 3 м' + tS;, м' = 3^ = 3,027 м\ 1000 1000 1000 Пример 5. Выразите 4 часа 48 минут в часах: Решение. Так как 1 ч = 60 мин; 1 мин = -^ ч, то 4 ч 48 мин = 4 ч + 48 мин =4 ч + 48 • 1 мин =4 ч + •‘=44+^4=44.1, = 41 4=4.8 ч. 2) Выразите 40 мин в часах. Решение. 40 мин =40-1 мин =40-^ ч = ^ ч = ^ ч. 60 60 3 2 2 Однако знаменатель дроби j не является степенью 10, т. е. дробь - нельзя обратить в конечную десятичную дробь. Жидкости и емкости сосудов для них обычно измеряют в литрах. 1 л = 1 дм^, 1 декалитр = 10 л = 10 дм^ 1 гектолитр = 10 декалитр =100 дм^. 1 л = 1 дм^ = 1000 см^, 1 см^ = 1 1000 л = 0,001 л. Пример 7. Объем чайника 750 см^. Сколько литров воды вмещается в него? Решение. 750 см^ = 750• 1 см^ = 750• 1 1000 = 0,75 л. 15 т^- Какие соотношения имеются между единицами: 1) а) длины; б) массы? Какие соотношения имеются между единицами. 2) а) плошади; б) объема? Объясните на примерах. 35. Какую часть составляют: 1) 45 м; 100 м; 1 дм; 1 см от 1 километра; 2) 1 г; 1000 г; 75 кг; 1 ц от 1 тонны? 36. Какую часть составляют: 1) 100 М-; 900 М-; 10 ар; 25 ар от 1 гектара; 2) 10 дм^; 57 дм^; 100 л от 1 м^? 37. Выразите в метрах: 1) 50 см; 2) 10 дм; 3) 3 дм 8 см; 38. Выразите в квадратных метрах: 1) 4 га; 2) 5 дм’; 3) 1 мМ дм^; 39. Выразите в тоннах: 1) 4 т 320 кг; 3) 6 ц 225 кг; 5) 75 ц; 2) 10 т 7 ц 75 кг; 4) 8 ц 75 кг; 6) 78 кг. 40. Выполните действия и запишите результат в виде десятичной дроби: 3) _6 м 8 дм 9 см ______________ 3 м 7 дм 6 см 2) 4) 6 дм 45 см 8 мм. 4) 2 га 50 ар. 1) ^ 3 м 2 дм 5 см 4 м 5 дм 3 см + 2 т 3 ц 85 кг 4 т 6 ц 15 кг 4) _5 т 7 ц 90 кг 2 т 8 ц 96 кг 41. Сколько литров воды вмешает сосуд объемом 1 м^? |42. Выразите в литрах: 1) 4 дм^ 400 см^; 2) 1 м^ 2 дм^; 3) 150 см^; 4) 4 м\ '43.^ Вычислите и запишите результат в виде десятичной дроби: 1) ^Зт8ц60кг 5 т 1 ц 40 кг 2) _ 5 кг 750 г 3 кг 250 г 3) ^ 4 м 6 дм 9 см 2 м 3 дм 4 см 4) _ 6 м 3 дм 8 см 2 м 4 дм 9 см 5) ^ 3 м- 8 дм- 4 м’ 12 дм^ 6) _ 6 м^ 42 дм- 3 м- 50 дм’. 16 ( 3^ Запишите в виде десятичной дроби и сравните: 1) 5 кг 685 г и 5 кг 590 г; 3) 3 м- 48 дм" и 348 дм"; 2) 3 м 50 см и 3 м 65 см; 4) 2 м ' 480 дм' и 2480 дм^. (3^ Уравняйте число цифр после запятой: I) 3,8; 3,41; 13,1415; 2,167; 2) 0,5; 2,81; 1,418; 2,1757. (4^ Между какими натуральными числами заключена дробь: 1) 3,1; 2)4,01; 3)5,96; 4)6,71; 5)99,9; 6)7,01? (4^ 1) Выразите в метрах и дециметрах: 3,58 м; 2,07 м; 5,67 м; 1,2 м; 7,57 м; 6,75 м; 2) Выразите в метрах и дециметрах: 4.8 м; 3,2 м; 5,67 м; 2,98 м; 10,09 м; 7,07 м; 3) Выразите в тоннах и килограммах: 6.008 т; 5,067 т; 6,045 т; 4,35 т; 7,8 т; 3,2 т. щ Исторические сведения Десятичные дроби использовались наряду с шестидесятеричными в практике научной школы Мухаммада Тарагая Улугбека (1394—1449). Один из видных представителей этой школы Гийас ад-Дин Джамшид аль-Каши (1385—1430) написал в 1427 г. сочинение «Ключ арифметики». Этой книгой и ее переводами на латынь пользовались студенты высших школ Востока и Запада. В этом сочинении последовательно применяются десятичные дроби, которые Джамшид аль-Каши ввел впервые в истории науки и разъяснил их свойства. Мирза Ул>тбек (1394- 1449) о« 2 — Математика, 6 класс 17 Тест f 1 Проверьте себя! 1. Запишите числа а =2,304, /) = 2,034, с =2,340, й?= 2,043 в порядке возрастания: A) b = 4,821, с = 4,218, t/= 4,182 в порядке убывания: A) Ь > а> о d C)d>c>b>a B) Ь > а> d> с D) Ь > d> о а. 3. Найдите сумму всех натуральных чисел, удовлетворяюших неравенству 0,9 < х < 9,5: А) 40 В) 45 С) 54 D) 50. 4. Найдите все цифры, которые можно вписать вместо звездочки (*), чтобы неравенство 2,9*4 < 2,938 было верным: А) 1; 2; 3; 4 В) 0; 1; 2; 3 С) 2; 3 D) 1; 2; 3. 5. Выразите 3 ц 87 кг в тоннах: А) 3,087 т В) 0,3 т С) 0,387 т D) 3,8 т. 6. Длина земельного участка прямоугольной формы 500 м, а ширина 400 м. Какой урожай был собран с этого участка, если с 1 га земли собирали по 45 ц хлопка? А) 9 т В) 450 ц С) 900 т D) 90 т. 7. Выразите 325 дм- в квадратных метрах: А) 3 м2 В) 0,325 м2 С) 32,5 м2 D) 3,25 м2. 8. Нужно заполнить водой бассейн в форме прямоугольного параллелепипеда с размерами 15 м, 10 м и 2 м. За сколько времени наполнится бассейн, если за 2 мин из трубы в бассейн поступает 1 м^ воды? A) за 10 ч С) за 12 ч B) за 5 ч D) правильный ответ не приведен. 18 § 2. Сложение и вычитание десятичных дробей Сложение десятичных дробей_______________ Пр им ер 1. Найдите сумму десятичных дробей 2,65 и 6,32 D тт 65 32 ^ 65 + 32 ^ 97 о р,-? /><■ ш е н » е. 2,65 + 6,32 = 2 — + 6 — = 8 — = 8 — = 8,97. Объяснение. 1) 5 сотых + 2 сотых = 7 сотых. В сумме в разряде сотых единиц записываем цифру 7. 2) 6 десятых + 3 десятых = 9 десятых. В сумме в разряде десятых записываем цифру 9. После того как закончили сложение дробных частей, ставим запятую, которая находится как раз под верхними запятыми. Теперь переходим к сложению целых частей. 3) 2 единицы + 6 единиц = 8 единиц. В разряде единиц записываем цифру 8 и получаем ответ: 8,97. Пример 2. Найдите сумму десятичных дробей 25,12 и 47,238. Решение. Уравняем число дробных разрядов: 25,12 = 25,120. Затем вычислим сумму как в первом примере. 1 2 6 5 3 2 Я 9 7 1 2511 2 0 172 3 8 \7\2\Я 5 8 Итак, сложение десятичных дробей «столбиком» выполняется так же, как сложение «столбиком» натуральных чисел. Пример 3. Найдите сумму: 20,08 + 25. Решение. 20,08 + 25 = 20 + 0,08 + 25 = (20 + 25) + 0,08 = 45 + 0,08 = = 45,08. Ответ: 45,08. Чтобы сложить дес5ггачную дробь и натуральное число, нужно прибавить его к целой части дроби, не меняя дробную часть. '@48. 1) Объясните на примерах правило сложения десятичных дробей. 2) Как сложить десятргтную дробь с натуральным числом? 19 49. (Устно.) Вычислите сумму: 1)6,5+ 4,5; 3) 4,54+ 5,46; 2) 3,6 + 6,4; 50. Вычислите: 1) 1,18 + 5,32; 2) 4,85 + 3,25; 4)6,68 + 3,32; 3) 12,345 + 13,655; 4) 30,008 + 60,092; 5) 2,508 + 8; 6) 8,065 + 92. 5) 0,1234+ 1,4321; 6) 4,0101 + 3,7384. 51. Выполните действия: 1) 23,845 2) 21,068 + 9,057 + 241,932 3) 24,82 ■ 35,758 + 4) + 57,238 104,72 52. {Старинная задача.) Глубина реки 5,78 м. Столб для строительства моста забит в дно реки на глубину 2,1 м. Он возвышается над поверхностью воды на 5,41 м. Какова высота столба? 53. Пешеход в первый день прошел 12,8 км, во второй день 20.7 км пути, а в третий день на 3,7 км больше, чем в первый день. Какой путь прошел пешеход за 3 дня? 54. Из села А в село В проводят газопровод. За первую неделю построили 8,4 км газопровода, за вторую неделю на 2,5 км больше. После этого осталось построить 11,1 км газопроюда. Найдите расстояние между селами А и В. 55. Назира собрала в саду 15,5 кг винограда, Мухаммад — 20.8 кг. Умид собрал на 3,8 кг больше, чем Назира, а Отабек собрал на 3,7 кг больше, чем Мухаммад. Сколько всего винограда собрали дети? |56. Фермерское хозяйство засеяло зерном 50,8 га своего участка, а бахчевыми на 40,7 га больше. Оставшиеся 9,5 га отведены под сад. Сколько гектаров земли имеет хозяйстю? (57J) Вычислите: 1) 38,12 + 61,88; 3) 0,705 + 0,295; 5) 13,707 + 6,193; 2) 41,32 + 20,71; 4) 4,672 + 8,328; 6) 22,506 + 33,494. (58^ Нигора собрала 54,6 кг яблок, а Мамура на 6,9 кг больше. Сколько килограммов яблок собрали девочки? 20 Площадь первой комнаты 20,8 м% площадь второй — на 3,6 больще. Какова площадь двух комнат вместе? (60.)Вычислите: 1) +14,467 4,233 2) 84,057 32,978 3)+20,0784 31,2096 4)+ 0,7896 9,2113 (^^Рост Дилорам 1,38 м. А Мухаббат на 0,25 м выще Дилорам. Каков рост Мухаббат? Выразите результат в метрах, дециметрах и сантиметрах. Законы сложения 1. Переместительный закон сложения. Сложение десятичных дробей подчиняется переместительному закону сложения: а + Ь = Ь + а. 2. Сочетательный закон сложения. Сложение десятичных дробей подчиняется сочетательному закону сложения: {а + Ь) + с = а + {Ь + с). Пр и м е р 1. Вьиислите сумму: 4,46 + 2,7 + 5,54. Решение. 1-й способ. 4,46 + 2,7 + 5,54 = (4,46 + 5,54) + 2,7 = 10+2,7= 12,7; 2- й способ. 4,46 + 2,7 + 5,54 = (4,46 + 2,7) + 5,54 = 7,16 + 5,54 = 12,7; 3- й способ. 4,46 + 2,7 + 5,54 = 4,46 + (2,7 + 5,54) = 4,46 + 8,24 = 12,7. 21 Следовательно, (4,46 + 5,54) + 2,7 = (4,46 + 2,7) + 5,54 = 4,46 + + (2,7 + 5,54)= 12,7. Сочетательный закон сложения для любых десятичных дробей а, bvi с записывается в виде {а + Ь) + с = а +{Ь+ с)-{а+ с) + Ь При вьиислении суммы нескольких слагаемых сочетательный и переместительный законы сложения дают возможность менять местами слагаемые, группировать их и расставлять скобки произвольным образом. 1) Какие законы сложения десятичных дробей вы знаете? 2) Сформулируйте переместительный и сочетательный законы сложения. Объясните на примерах. 63. Вьиислите сумму наиболее простым способом; 1) 31,06 + 13,75 + 2,25; 3) 24,08 + 6,65 + 2,25 + 15,92; 2) 40,375 + 21,38 + 74,62; 4) 68,972 + 10,905 + 23,028. 64. Одна сторона треугольника равна 3 дм 8 см, а вторая длиннее первой на 1 дм 6 см, третья сторона длиннее второй на 0,8 дм. Найдите периметр треугольника. |б5. Динара на вступительных экзаменах в Университет мировой экономики и дипломатии набрала следующие баллы: по узбекскому языку и литературе 39,6 баллов, по английскому языку на 28,6 больше, а по математике на 1,1 балла больше, чем по узбекскому языку и литературе и английскому языку вместе. Сколько всего баллов набрала Динара? (j56^ Вычислите сумму наиболее простым способом: 1) 21,4 + 8,93 + 71,6; 3) 0,8543 + 3,7689 + 1,1457; 2) 84,36 + 11,64 + 46,75; 4) 24,1245 + 5,3755 + 2,045. (6^ Вычислите значение выражения х + 6,93 при х=0,07; 1,1; 3,07; 0,007; 0,02. При каких значениях х это выражение принимает: 1) наибольшее; 2) наименьшее значения? 22 ©62 (6^ Турист прошел 18,5 км пешком, а на автобусе проехал на 75,8 км больше. После этого ему осталось преодолеть еше 42,7 км пути. Сколько всего километров пути составляет весь маршрут? 1 ^4 7 в Jj Щ2 L Вычитание десятичных дробей Пр им ер 1. Найдите разность: 12,47-2,26. —■12.47 - 2,26=12^^-2“ =l0iy^ = 10^= 10,21. Вычитание десятичных дробей можно выполнять в «столбик», аналогично вычитанию натуральных чисел. Объяснение: 1) 7 сотых - 6 сотых = 1 сотая; цифру 1 пишем в разряде сотых разности; 2) 4 десятых - 2 десятых = 2 десятых; пишем цифру 2 в разряде десятых разности. Закончено вычитание дробных частей; 3) запятую в разности ставим перед разрядом десятых, под запятыми в уменьшаемом и вычитаемом; 4) вычитаем целые части дробей: 2 единицы - 2 единицы = 0 единиц, в разряде единиц разности пишем 0. 5) 1 десяток - о десятков = 1 десяток, в разряде десятков разности записываем 1. Разность равна 10,21. Пример 2. Вьиислите разность 18,74-7,875. Решение. Уравняем число цифр после запятой: 18,74 = 18,740. Выполняем вычитание в «столбик», аналогично вычитанию натуральных чисел. Ответ: 10,865. Пример 3. Вычислите разность 38-17,456. Решение. а 1 в 7 4 0 7 в 7 5 1 а R а 5l 3 0 0 0 1 7 4 5 в а А 4. 4 23 70. (Устно.) Вычислите: 1) 3,5 - 2,5; 3) 0,75 - 0,5; 5) 6,74 - 3,54; 2) 8,7 - 3; 4) 1,83 - 0,03; 6) 7,45 - 4. 71. Найдите разность и проверьте результат двумя способами: 1) 9,1-4,3; 3) 14,28 - 5,39; 5) 180 - 71,48; 2) 17,6 - 11,8; 4) 23,5 - 12,473; 6) 0,038 - 0,015. 72. Найдите числовое значение выражения: 1) 23,95 - а, если а = 2,7; 3,42; 1,86; 0,75; 2) Z»-8,27, если Z? = 20,375; 15,7409; 10,001. 73. Решите уравнение: 1) 43,7 + л: = 43,9; 3) 14 + х = 12,81 + 22,3; 2) X- 56,01 = 43,99; 4) 58 - х = 17,3 + 26,95. 74. Рост Назимы 1,69 м. Она выше Наимы на 0,09 м. А Наима выше Мохиры на 0,07 м. На сколько сантиметров Назима выше Мохиры? 75. На складе было 86 т муки. 28,5 т и 23,7 т муки отправили в магазины. После этого на склад привезли еше 39,5 т муки. Сколько тонн муки имеется на складе? 24 ОФ 76. Площадь Ташкентского вилоята 15,6 тыс. км^ Это на 10,6 тыс. км- больше площади Сырдарьинского вилоята и на 4,9 тыс. км- меньше площади Джизакского вилоята. Какова обшая площадь всех трех вилоятов? 177. Одна из сторон треугольника меньше другой на 8,29 дм и больше третьей на 16,2 дм. Найдите периметр треугольника, если длина самой большой стороны 32,54 дм. (Т^ Найдите разность: 1) 21,94 - 8,72; 3)18,54-9; 5)29-3,14; 2) 94,59 -91,57; 4) 34,76 - 9,567; 6) 15,61- 4,957. (Т^Вычислите и проверьте результат сложением и вычитанием: 1) 82,67 - 41,37; 3) 35,27 - 13,702; 5) 84,7 - 51,12; 2) 48,29-26,19; 4) 23,275 - 21,792; 6) 100-57,45. )j) Решите уравнение: 1) 41,8-л: = 12,76; 3) л: + 12,54 = 48,3; 2) X- (7,32 + 2,99) = 20,5; 4) л: + (12,7 - 5,97) = 8,439. (8^ Найдите, к какому из двух последовательных натуральных чисел ближе каждая из дробей и на сколько ближе: 2,01; 3,48; 4,59; 6,75; 8,09; 10,58; 10,95; 10,01. На склад доставили вначале 83,7 т, а затем еще 112,5 т картофеля. После этого на складе оказалось 300 т картофеля. Сколько картофеля было на складе первоначально? Упражнения на сложение и вычитание Из пройденного материала вы знаете, что сложение и вычитание десятичных дробей производится аналогично операциям над натуральными числами. Это естественно и удобно. 32 -Ь 18 = 5 736 - 336 = 4 3 -Ь 108 = 408 63 - 27 = 603 42 -Ь 17 = 212 57 - 4 = 17 Куда бы мне поставить запятые? 25 83. Выполните действия: 1) 8,32 - (1,8 + 5,35); 2) 11,89-(6,6 + 4,29); 3) 32,5 - (9,3 - 6,27); 4) 27,3 - (15,1 - 4,82). 84. Выполните действия: а) записав десятичные дроби в виде обыкновенных; б) обратив обыкновенные дроби в десятичные: 1) 8| + 21-9,25; 2) 91-3^+4,25; 3) 6,8+ 2,2- 2^; 4) 5,17-1,7-li. Вычислите наиболее простым способом (85—86): 85. 1) 9,52 + 3,19 + 4,48 + 5,81; 2) 37,54 + 15,44 - 27,04 - 4,94. 86. 1) 7,485 - (3,385 - 0,9); 3) (14,73 - 1,73) + 12,55; 2) 8,435 - (1,111 + 6,324); 4) (29,14 + 15,39) - 28,14. Вычислите, переведя в большие единицы измерения (87—88): 87. 1) 2,3 см + 1,7 дм; 3) 8 дм - 8 см + 18 см; 2) 3,7 м - 275 см; 4) 25 см + 2,5 см - 1,5 дм. 88. 1) 3 кг + 4 ц - 2,3 ц; 3) 3,5 т - 4,5 ц + 150 кг; 2) 4,3 ц - 2,7 ц + 85,4 кг; 4) 8,7 ц + 2,3 т - 540 кг. 89. Заполните таблицу: а 25,05 16,72 18,69 42,45 25 Ь 12,85 10,41 2,83 3,75 10,36 а + Ь 30,65 20,62 18 а-Ь 5,39 6,29 20 90. 1) Одному покупателю продали 18,5 кг сахара, а второму — на 4,8 кг больше. Третий покупатель купил на 8,4 кг меньше второго, после этого в мешке осталось 3,3 кг сахара. Сколько сахара было первоначально? 26 2) Мохира собрала 21,8 кг малины, а Атабек на 2,5 кг меньше, чем она. Хадича собрала на 3,2 кг меньше, чем Атабек. Сколько всего малины собрали дети? 91. Я задумал число, прибавил к нему 1,5, вычел из суммы 4,8 и к результату прибавил 9,5. Вычтя из суммы 4,8, я получил в результате 7,2. Скажите, какое число я задумал. 92. Какие числа нужно поставить вместо знака вопроса? 93. Решите уравнение: 1) (3,543 + 7,357) - (jc- 5,1) = 75,83 - (29,81 + 42,02); 2) (35,401 - 17,399) - (7,002 -х) = 68,72 - (44,31 - 22,29). 94. В каждой строке запишите по 3 предшествующих и 3 последующих числа: П • • • 5 44- 5 94- 6 44- • * • 2) ... ; ... ; ... ; 7,01; 7,0101; 7,0102; ... ; ... ; ... . 95. Каким из данных чисел 17,4; 20,1; 18; 18,7; 18,8 следует заменить звездочку (*), чтобы неравенства остались верными: 1) 18,3 < * + 4,9 < 23,8; 2) 7,09 < * - 10,9 < 7,9? 96. От бревна длиной 10,8 м отпилили 4 меньщих бревна. Длина первого 0,8 м, а длина каждого следующего на 25 см больще, чем предыдущего. Найдите длину остатка. 97. В банк положили 14 млн 735,8 тыс. сумов. Затем забрали 11 млн 873,5 тыс. сумов. После этого положили еще 28 млн 382,4 тыс. сумов. В результате в банке оказалось 42 млн 578,9 тыс. сумов. Сколько денег было в банке первоначально? 27 98. Длина прямоугольника 15,4 см. Ширина на 6,1 см меньше. Два таких прямоугольника приложили друг к другу (рис. 1 а). Еще два таких же прямоугольника совместили большими сторонами (рис. 1 б). Найдите: 1) периметры полученных прямоугольников; 2) разность между ними выразите в сантиметрах. _ 15,4 15,4 15,4 а) б) Рис. 1. 99. Длина первого звена ломаной 2,4 дм. Каждое следующее звено больше предыдущего на 1,6 дм. Сколько звеньев у ломаной, если ее длина 28 дм? |Ю0. Решите уравнение: 1) (35,752 -х) + 4,65 = 42,854 - 21,604; 2) 49,658 - 2,9965 - (35,632 - х) = 69,658. |Ю1. Одна сторона треугольника 8,9 см, вторая на 3,2 см меньше. Какой может быть длина третьей стороны, если она выражается натуральным числом? |Ю2. Найдите значения выражений и сравните их: 1) (5,031+9,36)+ 4,8 ... 5,031+(4,86 + 9,36); 2) 12,37+ (19,08+1,9) ... (12,37+19,09)+1,9. (103)В ыполните действия: 1) 6,2-(3,4-2,8); 3) 17-(6,8+ 3,3); 5) (8,9-1,3)+7,4; 2) 8,7-(3,8+1,3); 4) 29-(8,7-5,2); 6) (6,7+ 3,8)-9. Вычислите наиболее простым способом (104—105): (Ш)1) 7,48 + 2,39 + 3,52 + 8,61; 3) 24,75-1,35-3,4+ 8,936; 2)3,85 + 4,43 + 2,15 + 7,57; 4) 67,201-17,201+8,05- 17,05. 28 (Ш)1) 24,94 + 8,674-4,94 + 3,326; 2) 26,419 + 22,695-12,419-8,095. (Ж)1) Периметр прямоугольника равен 45 см. Длина на 2,5 см больше его ширины. Найдите длину сторон этого прямоугольника. 2) Периметр прямоугольника равен 56 см. Ширина на 3 см короче его длины. Найдите длину сторон этого прямоугольника. (10^ Найдите числовое значение выражений а + Ь н а - Ь, если а = 3,84; 2,0103; 3,812; 4,9057; 7,0048; Ь = 2,01; 1,0209; 1,98; 1,7984; 0,983. (10^ Скорость катера в стоячей воде 18,5 км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения реки, если скорость течения реки 2,8 км/ч. |^Плошадь Бухарского вилоята 39,4 тыс. км^ Плошадь Самаркандского вилоята на 23 тыс. км^ меньше, а плошадь Навоийского вилоята на 71,4 тыс. км^ больше плошали Бухарского вилоята. Какова обшая плошадь всех трех ви-лоятов? Исторические сведения Десятичные дроби, четыре арифметических действия над ними (сложение, вычитание, умножение и деление) и свойства этих действий, обрашение десятичных дробей в обыкновенные и обратно и использование их в вычислительной практике приведены в сочинении Гийас ад-Дина Джамшида аль-Каши «Ключ арифметики». Целую и дробную части десятичной дроби аль-Каши записывал чернилами разных цветов, используя вместо десятичной запятой (,) вертикальную черточку (I). 29 Тест f 2 Проверьте себя! 1. Найдите сумму: 25,74+5,066. А) 30,806 В) 76,40 С) 30,7466 2. Вычислите: 3,05+4,078. А) 7,0578 В) 7,128 С) 43,83 3. Найдите разность: 2,03-1,203. А) 0,833 В) 1,233 С) 0,827 4. Найдите разность: 7-3,481. А) 4,519 В) 67,481 С) 4,481 5. Выполните действия: 7,5-3,2 +0,077. А) 4,377 В) 43,77 С) 0,507 6. Выполните действия: 11+2,96-0,296. А) 13,666 В) 13,664 С) 13,776 7. Вычислите: 18,72+1,31 + 2,77. А) 21,18 В) 20,149 С) 22,8 8. Вычислите: 6,28-(2,91+ 1,28). А) 3,91 В) 4,65 С) 7,3 9. Решите уравнение: 14-jc=3,81+7,12. А) 3,07 В) 4,93 С) 4,07 10. Решите уравнение: jc- 8=4,03 - 3,9. А) 11,64 В) 8,13 С) 5,64 11. Высота прямоугольника равна 3,7 см, а ширина меньше высоты на 1,4 см. Найдите периметр этого прямоугольника. А) 6 см В) 10,2 см С) 12 см D) 8,8 см. 30 D) 26,2466. D) 3,4578. D) 0,8. D) 3,519. D) 10,777. D) 11,96. D) 22,108. D) 2,09. D) 10,93. D) 9,93. § 3. Умножение и деление десятичных дробей [~9^ Умножение десятачных дробей на натуральные числа Задача. Сколько килограммов яблок было в трех ящиках, если в каждом ящике было по 12,7 кг яблок? Решение. 1-й способ. 12,7-3= 12^^• 3 = ^• 3 = ^ = 38^^ = = 38,1 (кг). Ответ: Ъ^,\ кг. 2-й способ. Чтобы умножить десятичную дробь 12,7 на 3, нужно повторить эту дробь слагаемым три раза, то есть: 12,7 ■ 3 = 12,7 + 12,7 + 12,7 = 38,1 (кг). Возможно, вы заметили, что умножение десятичной дроби на натуральное число аналогично умножению натуральных чисел. Действительно, произведения: 1) 127-3 = 381 и 12,7-3 = 38,1; 2) 4-826 = 3304 и 4-8,26 = 33,04 различаются только наличием запятой. В рассматриваемом случае произведение содержит столько же знаков после запятой, что и десятичная дробь. Г ^ ' Г |\ не обращая определить отделить в Чтобы \ внимания число зна- произведе- умножить \ на запятую. ков после НИИ столь- десятичную \ перемно- запятой в ко же зна- дробь на \ жить их как W записи W ков спра- натуральное / натураль- десятичной ва, сколь- число, / ные числа; дроби; ко их нужно: / отделяет " ' 1 i запятая в У Ч ✓ ^ дроби. 31 Пр имер 1. Найдите произведение: 3,712 • 13. шш а I 2 3 цифры после запятой 3 цифры после запятой Пр имер 2. Найдите произведение: 4,54-15. 1) В десятичной дроби (4,54) две цифры после запятой (десятая и сотая доли). 2) В произведении 454 • 15 = 6810 отсчитаем справа налево 2 цифры и ставим запятую перед цифрой 1: 68,10. 1. 54 1 5 1 2 2 7 0 4 ^ \ 6 8. L0 — 7 Но 68,10 = 68,1. Следовательно, 4,54 • 15 = 68,1. И в этом случае произведение имеет 2 цифры после запятой (68.10), но о в разряде сотых (так как это последняя цифра) можно опустить. @110. 1) Вспомните способ умножения натуральных чисел в «столбик». Объясните на примерах. 2) Как умножается десятичная дробь на натуральное число? 3) Как умножается натуральное число на десятичную дробь? Приведите примеры. V- ^ 111. (Устно.) Назовите результат: 1) 0,5-4; 2) 3,5-2; 3)4-0,15; 4)0,4-11; 5) 0,7-8. 112. Найдите произведение: 1)2,85-4; 2)3,012-15; 3) 104-2,75: 4) 3,14-101. 113. Вычислите, заменив сумму произведением: 1) 2.4+ 2,4+ 2,4+ 2,4+ 2,4; 2) 3,85 + 3,85 + 3,85 + 3,85. 114. Выполните действия: 1)4,68-5+16,4; 2)58,7-8-4,12; 3) 30,04-3,004-10. 32 115. Решите уравнение: 1) х: 12 = 2,5; 3)х: 12 = 2,81; 5)jc:5,5 = 24; 2) х: 8 = 4,5; 4)х: 15 = 3,14; 6) х: 1,25 = 32. 116. Основание прямоугольника 3,2 дм, а высота на 12 см меньше основания. Найдите периметр и плошадь этого прямоугольника. 117. Миралим купил 8,5 кг яблок, 6,5 кг груш и 4,8 кг винограда. Килограмм яблок стоил 120 сумов, килограмм груш 250 сумов, а килограмм винограда 340 сумов. Сколько денег потрачено на всю покупку? 118. Турист наметил пройти пешком 50 км. В первый день он прошел 0,4 пути, во второй день 0,4 оставшегося пути. Сколько километров осталось пройти туристу? Ц|119. Вычислите: 1) 1,8-3+ 0,9-6 + 0,45- 12+ 0,225-24+ 0,1125-48; 2) 3,2- 16- 6,4-8 + 12,8 -4- 25,6-2 + 51,2-24,2. ^2^ Найдите произведение: 1) 3,8 -5; 2)0,081-10; 3) 16 -3,025; 4)11,12 -11. (12^ Длина прямоугольника 25 дм, а ширина на 85 см меньше. Найдите периметр и плошадь этого прямоугольника. Вычислите: 1) 16 - 9,5 + 24 - 6,5; 3) 8,03 - 12 - 3 - 9,5 - 18,92; 2) 12,83 - 9 - 7,85 - 8; 4) 9,51 - 14 - 81,45 + 7 - 12,4. (123^ Какой путь пройдет поезд за: 0,25 часа; 0,3 часа; 0,6 часа; 1,5 часа; 2,25 часа, если скорость поезда 60 км/ч? Составьте таблицу и заполните ее. (124у Расстояние между Ташкентом и Бухарой 550 км. Из этих городов одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость одного из них 68 км/ч, скорость второго на 10 км/ч больше. Каким будет расстояние между автомобилями через 2,5 часа? от 3— Математика, 6 класс 33 Умножение и деление десятичных дробей на rifloQ 10, 100, 1000, ____________________ а • 10 = А : 0,1 а • 100 = а : 0,01 а • 1000 = а : 0,001 W Уловили закономерность?! а : 10 а : 100 а : 1000 А • 0,1 а • 0,01 а ■ 0,001 1. Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000, Пример 1. Найдите произведение: 3,14159-10. Решение. Согласно правилу умножения: 3,14159-10 = 31,41590 = 31,4159. Чтобы умножить десятичную дробь на некоторую степень числа 10, т. е. на число 10, 100, 1000, ..., нужно: 1 шаг: определить показатель степени числа 10; 2 шаг: перенести запятую у десятичной дроби вправо на столько знаков, каков показатель степени. Пр и м е р 2. Найдите произведение: 2,718 -10000. В этом примере в десятичной дроби после запятой имеется три цифры, во втором множителе имеется 4 нуля. Решение. Число цифр после запятой у дроби 2,718 меньше числа нулей у степени 10. Чтобы применить правило, уравняем число цифр после запятой с показателем степени числа 10: 2,718 10000 = 2,7180 - 10000 = 27180. I 3 цифры 4 нуля 4 цифры 4 нуля 4 — 3=1 нуль Из ЭТОГО примера можно придти к следующему выводу. Для того чтобы умножить десятичную дробь, у которой число цифр после запятой меньше числа нулей множителя 10, 100, 1000, ... , нужно: 34 1 шаг: найти разность между числом нулей множителя и числом цифр после запятой у десятичной дроби; 2 шаг: опустив запятую в записи десятичной дроби, приписать к ней справа столько нулей, какова эта разность. 2. Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000, ... . Пр и мер 1. Найдите частное: 141,42: 10. 14142 10 14142 1 1 100 Решение. 141,42: 10 = 14,142. Приходим к следующему выводу: 100 10 1000 14142 142 = 14- 1000 Чтобы разделить десятичную дробь на числа 10, 100, 1000, ..., нужно: 1 шаг: определить число нулей в делителе; 2 шаг: перенести запятую у десятичной дроби влево на столько знаков, сколько нулей в делители. Пример 2. Найдите частное: 141,42: 10 000. В этом примере число цифр в целой части делимого 3, а число нулей в делителе 4. Поэтому перед целой частью десятичного числа ставится 4-3=1 нуль, то есть мы сдвигаем запятую в десятичной дроби на 4 единицы влево, пишем недостающий 0 и 0 в целой части частного: 141,42 : 10000 = 0141,42 : 10000 = 0,014142; Т “Г “Г “Г I 3 цифры 4 нуля 4 цифры 4 нуля 4 — 3=1 нуль или: 141,42: 10 000 = 14142 1 014142 = 0,014142. 100 10000 1000000 Пр имер 3. Найдите произведение: 314,159 • 0,1. Решение. Так как 0,1 = , то 314,159 ■ 0,1 = 314,159 • = 314,159 : 10 = 31,4159. 35 Умножить десятичную дробь на 0,1, на 0,01, на 0,001, ... — это значит разделить ее на 10, 100, 1 000, ... . Пр и мер 4. Найдите частное: 31,4159:0,1. Решение. 31,4159:0,1 = 31,4159 :-1 = 31,4159 • 10 = 314,159. Разделить десятичную дробь на 0,1, на 0,01, на 0,001, ... — это значит умножить ее на 10, 100, 1 000, ... . Таким образом, правило умножения (деления) десятичной дроби на 0,1, на 0,01, на 0,001, ... совпадает с правилом деления (умножения) ее на 10, 100, 1 000, .... Поэтому 437,25-0,01 =437,25 : 100 = 4,3725; 89,461:0,01 = 89,461 ■ 100 = 8946,1. ^125. 1) Как умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000, ...?^ 2) Как разделить десятичную дробь на 10, 100, 1 000, ...? 3) Как умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000, ..., если число цифр ее дробной части меньше числа нулей множителя? ч____________________________________________________________ 126. Объясните на примерах правило умножения (деления) десятичной дроби на 0,1, на 0,01, на 0,001, ... . 127. (Устно.) Назовите результат: 1) 0,15-10; 3)63,41:10; 5) 9,45-100; 2) 15,1-0,1; 4)3,19:0,1; 6) 41,24:0,01. 128. Какое из данных пар чисел больше и во сколько раз? Объясните. На какое число надо умножить (разделить) первое число, чтобы получить второе? 1) 42,53 и 425,3; 2) 5,2143 и 52143; 3) 6824 и 68,24. 129. Выполните действия: 1) 34,15-0,1:0,1-100; 3) 0,001:0,01-100; 2) 48,32:0,1-0,1-100; 4) 3,003:0,01:100. 36 4) 215 дм^ 4) 6,004 м^. 130. Запишите по три предыдущих и последующих членов последовательности, определив правило ее составления: 1) 4785; 478,5; 47,85; ...; ...; ...; 2) ...; ...; ...; 5,0128; 50,128; 501,28; ...; ...; . 131. Вычислите: 1)10,8-90; 2) 11,24-20; 3) 1,023-200; 4) 4,0051-7 000. Образец: 18,23 - 40= 18,23 -10 - 4=(18,23 -10) - 4 = 182,3 - 4 = 729,2. 132. Основание прямоугольника равно 45 см. Высота составляет 0,4 основания. Найдите периметр и площадь прямоугольника. 133. а) Выразите в кубических метрах: 1) 6 500 дм'; 2) 8 125 дм^ 3) 10 000 см^; б) Выразите в кубических дециметрах: 1) 1,1 м^ 2) 0,05 м^ 3) 0,001 м^; |l34. Найдите числовое значение выражения: 1) 0-100, при а: 0,001; 1,3148; 1,0001; 8,215; 3,25; 2) о-0,01, при а: 100; 0,1; 105,4; 41,4; 380,5; 12,45. (13^ Вычислите: 1) 0,504-10; 4) 450,6:100; 2) 0,504-100; 5) 827,5-0,1; 3) 450,6:10; 6) 827,5-0,01; (13^ а) Выразите в квадратных километрах: 1)2 520 га; 2) 6 030 га; 3) 100 га; б) Выразите в гектарах: 1) 2 000 м^; 2) 12 354 м^; 3) 1 км^; (13^ Вычислите: 1) 0,084 - 1 000; 3) 1540,6 : 1 000; 5) 287,5 - 0,001; 2) 0,084 - 10 000; 4) 1540,6 : 10 000; 6) 287,5 - 0,0001. 37 7) 3,42:0,1; 8) 3,42:0,01. 4) 625 га; 4) 0,6 км^ Выполните действия: 1) 78,35-10 +7,835-0,1; 2) 94,26:10-94,26-0,1; 3) 45,63:10 -0,1 - 4,563:0,1; 4) 134,25-10-0,01+34,25:10. [ф Умножение деснгичной дроби на деснгичщю Рассмотрим задачу, приводящую к понятию умножения десятичной дроби на десятичную. Задача. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 8,3 см и 5,7 см. Решение. 1-й способ. Площадь прямоугольника со сторонами а и Ь вычисляется по формуле 5 = аЬ. Следовательно, для того чтобы рещить задачу, нужно найти произведение десятичных дробей 8,3 и 5,7. Для этого: — обратим десятичные дроби в обыкновенные: — по правилу умножения обыкновенных дробей имеем: — обратим обыкновенную дробь со знаменателем 100=10- в десятичную дробь: Следовательно, площадь данного прямоугольника равна: 5=8,3-5,7 = 47,31 (см^). Ответ: 47,31 см-. Или: & 3 5! 7 5 5 1 ё f 4 1 5 4 7 Я\1 1 цифра после запятой (в дробной части); 1 цифра после запятой (в дробной части); 2 цифры после запятой (в дробной части). (1 + 1=2) 38 2-й способ. Можно решить задачу по-другому. Так как 5,7 = 57: 10, то 8,3-5,7 = 8,3-(57: 10) = (8,3-57): 10 = 473,1 : 10 = 47,31 (см^). При этом, записав одну из десятичных дробей как частное 57:10, сведем умножение десятичных дробей к умножению десятичной дроби на натуральное число. Правило умножения десятичной дроби на десятичную: 1 шаг: не обращая внимания на запятую, перемножить их как натуральные числа; 2 шаг: отсчитать в полученном произведении, начиная справа, столько цифр, сколько их после запятой у обоих десятичных дробей вместе; 3 шаг: в произведении отделить запятой целую часть. Пр и мер. Найдите произведение: 2,08-0,027. Найдем произведение «столбиком». Q 8 '' 0. 0 2 7 1 f} f) 1 в 0 0 е/ в 11 6 2 цифры после запятой 3 цифры после запятой 5 цифр после запятой (2 + 3 = 5) добавляем один нуль Из этого можно сделать следующий вывод: если число цифр в произведении меньше числа цифр, которые следует отделить запятой, то в дробной части произведения нужно заменить недостаюпще цифры нулями; затем пишем запятую и перед ней нуль — целую часть произведения. 39 (^139. 1) Покажите на примерах два способа умножения десятичных дробей. 2) Как найти произведение, если число цифр в произведении меньше числа цифр, которые следует отделить ________запятой?_____________________________________________ 140. (Устно.) Назовите результат: 1) 0,2 ■ 0,5; 2) 2,5 • 0,4; 3) 0,3 • 0,6; 4) 0,5 • 0,5. 141. Найдите произведение: 1)2,25-1,4; 2) 0,03-0,07; 3)3,15-2,6; 4)0,72-0,09. 142. Вычислите, обратив десятичную дробь в обыкновенную: 1)41.2,05; 2)2,01.5^; 3)б1.2,5; 4)7,15.з1. 143. Найдите произведение, исходя из равенства 7,8 - 8,4 = 65,52: 1)7,8-84; 2)0,78-8,4; 3) 0,78-84; 4)78-84. 144. Решите уравнение: 2) X-8,3-2,5 = 7,6-3,5. 3) 7,005 - 10,4 - 8,04 - 3,05; 4) 62,25 -1,8 + 50,08 -0,05. 1) 7,05 - 12,4-х= 28,5; 145. Выполните действия: 1) 36,5 - 1,2-63,7 - 0,41; 2) 3,65- 12-6,37-4,1; 146. Длина сада прямоугольной формы 50,4 м, ширина — 0,75 ее длины. Ширина другого сада 40,5 м, а хшина в 1,3 раза больше. 1) Какой сад имеет большую плошадь? На сколько? 2) На ограждение какого сада пойдет меньше материала? 147. Найдите числовое значение выражения (заполните таблицу): А = 12,8 • а + 14,5 • Ь; В= 10,6 • а - 13,2 • Ь, где: а 4,5 6,3 9,2 10,7 18,4 20,5 24,3 Ь 2)6 4,5 5,4 7,5 10,3 13,4 16,8 А В 40 о» 1148. Велосипедист проехал 2,4 ч со скоростью 14,5 км/ч и 2,5 ч со скоростью 12,8 км/ч. Чему равна длина его пути? (149^ Найдите произведение: 1) 3,5 • 2,8; 3) 1,006 • 4,5; 5) 12,25 • 8,46; 7) 1,01-2,01; 2) 6,4 • 8,5; 4) 4,003 • 8,6; 6) 11,24 • 6,25; 8) 11,1-3,01. (|S^Длина прямоугольника 8,5 дм. Ширина составляет 0,7 его длины. Найдите периметр и площадь этого прямоугольника. (151у Выполните действия: 1) 57,4 - 2,5 + 60,5 - 2,2; 2) 40,8 - 3,5 - 20,2 - 4,5; (15^ Решите уравнение: 1) jc + 25,4 = 5,04 - 6,05; 2) х- 14,25 = 3,42-5,05; 3) 20,05 - 30,4 - 5,65 - 24,04; 4) 36,25 -2,8 + 40,02 -2,25. 3) 2,84-3,75-л:= 1,25- 1,24; 4) л:-4,75- 1,06 = 4,02 -6,45. [ф Законы умножения десятичных дробей Умножение десятичных дробей подчиняется тем же законам, что и умножение обыкновенных дробей. 1. Переместительный закон. При перемене мест сомножителей произведение не меняется. Например, 3,4 - 2,7 = ^ - ^ = ^ • ^ = 2,7 - 3,4. Следовательно, 3,4 ■ 2,7 = 2,7 - 3,4. Вообще, для любых десятичных дробей а и Ь имеет место равенство а - Ь = Ь - а Это равенство выражает переместительный закон умножения. 41 2. Сочетательный закон. Задача. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2,5 дм, 1,2 дм, 3,8 дм. Решение. Обозначим объем параллелепипеда буквой V. Вы знаете, что объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, Ь с вычисляется по формуле V=a - Ь - с. Тогда: 1 способ. 2,5-1,2-3,8 = (2,5-1,2)-3,8 = 3-3,8= 11,4 (дм^). 2 способ. Р^=2,5-1,2-3,8 = 2,5-(1,2-3,8) = 2,5-4,56= 11,4 (дм^). 3 способ. V= 2,5-1,2-3,8 = 1,2-(2,5-3,8) = 1,2-9,5 = 11,4 (дм^). Следовательно, (2,5 -1,2)-3,8 = 2,5-(1,2-3,8) = 1,2 (2,5-3,8). Ответ: 11,4 дм1 Приходим к следующему выводу: если произведение первой и второй десятичной дроби умножить на третью, получим число, равное результату умножения первой десятичной дроби на произведение второй и третьей. Вообще, для любых десятичных дробей а, Ь ia с имеет место равенство (а • Ь) • с- а ■ {Ь • с) = Ь ■ (а с) Это равенство выражает сочетательный закон умножения. 3. Распределительный закон. Задача. Площадку прямоугольной формы длиной 20,7 м, щириной 15,8 м окружили забором. Найдите длину забора. Решение. Длину забора вычислим по формуле Р= 2 - (о + г>) 1 способ. Р= 2 - (20,7 + 15,8) = 2 - 36,5 = 73 (м). 2 способ. Р=2-(20,7+15,8) = 2-20,7+2-15,8 = 41,4 + 31,6 = 73 (м). В обоих случаях получили один и тот же результат: 2 - 20,7 + 2 - 15,8 = 2 - (20,7 + 15,8). 42 Вообще, для любых десятичных дробей а, Ь п с имеет место равенство {а + Ь) ’ с= ас + Ьс (а- Ь) • с= ас- Ьс, при а> Ь или а= Ь (1) (2) Эти равенства выражают распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания. Поменяв местами правую и левую части равенств (1) и (2), их можно переписать в следующем виде: ас + Ьс= {а + Ь) ■ с ас- Ьс= {а- Ь)-с Говорят, что от произведения (а+ Ь) ■ с можно перейти к сумме ас + Ьс, раскрывая скобки. Говорят, что от суммы а -с+Ь -с можно перейти к произведению (а + Ь) ■ с, вынося общий множитель за скобки. Законы умножения десятичных дробей позволяют рещать примеры наиболее удобным способом. Пример 1. 1,25 • 1,3 - 0,8 = (1,25 - 0,8) • 1,3 = 1 • 1,3 = 1,3. Пример 2. 12,25-8 = (12 + 0,25) -8= 12-8 + 0,25-8 = 96 + 2 = 98. Пример 3. 63,29 • 3,12 - 13,29 - 3,12 = 3,12 - (63,29 - 13,29) = = 3,12 - 50 = (3,12 - 100): 2 = 312 : 2 = 156. - - - ..... - - ■ - ■ ©153. I) К^аким законам подчиняется умножение десятичных дробей? Можете ли вы записать их в буквенном виде? 2) Что вы понимаете под раскрытием скобок? под вынесением общего множителя за скобки? ч_________________________________________________________ 154. Вычислите удобным способом: 1) 8,9 - 2,5 - 4; 3) 8,5 - 3,2 - 2,5; 2) 3,8 • 0,4 - 0,25; 4) 2,5 - 0,8 • 16,5; 5) 0,25 - 8,25 - 4; 6) 8 • 28,32 • 12,5. 43 155. Вычислите, применяя распределительный закон: 1) 1,52 • 8,9+1,1 ■ 1,52; 3) 5,86 -9,7 + 0,3 -5,86; 2) 0,81 - 38,9 - 28,9 - 0,81; 4) 29,3 - 41,3 - 19,3 - 41,3. 156. Ширина прямоугольника 12,8 см. Длина в 1,25 раза больше. Найдите периметр и площадь прямоугольника. 157. Найдите числовое значение выражения: 1) 10,97л: - 1,27л:- 1,7л: при лг. 0,3; 1,2; 8,05; 21,8; 2) 6,02у + 7,44у- 3,46у при у. 0,4; 1,5; 4,46; 0,045. 158. Вычислите: 1) (8,9-2,7) - 5,6+ 3,8 - 5,6; 2) 7,5-10,2+4,8-5,1-1,8-5,1. 159. Основание прямоугольника увеличили в 1,7 раза, а высоту уменьшили в 0,3 раза. Как изменилась площадь прямоугольника? |l60. Задача аль-Каши: «Украшение, изготовленное из золота и жемчуга, весит 3 мискаля и стоит 24 динара. Сколько золота и жемчуга ушло на изготовление украшения, если 1 мискаль золота стоит 5 динаров, а 1 мискаль жемчуга 15 динаров?» (16^ Ребра прямоугольного параллелепипеда, исходящие из одной вершины (длина, ширина, высота), равны 14,8 см, 7,5 см и 12 см соответственно. Найдите: 1) сумму длин всех ребер; 2) плошадь поверхности; 3) объем параллелепипеда. (Тб^ Вычислите удобным способом: 1) 12,5 - 0,9 - 4; 3) 0,125 - 24 - 1,6; 5) 0,25 - 39,9 - 4; 2) 3,75 - 6,7 - 8; 4) 12,5 - 16 - 2,5; 6) 10 - 28,98 - 0,1. (16^ Вычислите, применяя распределительный закон: 1) 2,71 - 12,6 + 87,4 - 2,71; 3) 3,08 - 17,9 - 3,08 - 7,9; 2) (29,3-8,5) -17,9-20,8 -7,9; 4) 7,5-8,7+2,5-(11,4-2,7). (1М)Тело, весящее на Земле 1 кг, на Луне будет весить 0,16 кг. Найдите вес тела на Луне, если на Земле оно весит: 1) 1 т; 2) 1 ц; 3) 850 г; 4) 1250 кг. 44 Исторические сведения О Аль-Каши в своем трактате «Ключ арифметики» использует для умножения десятичных дробей метод «сетки». Вы уже познакомились с этим методом в 5-м классе. Приведем один пример из этого сочинения: «Найдите произведение 25,07 и 14,3». Аль-Каши выполняет умножение следующим образом (см. рисунок.): «Так как число нулей в знаменателях обеих дробей равно трем, то в произведении три цифры справа образуют дробную часть, оставшиеся цифры — целую часть». / 5 / /о X7 /К 2 / /о / /) 2 X Х^8 1/ / 5 /о 2 У ZL 1 Следовательно, 25,07 • 14,3 = 358,501. 8 5 о 358,501 1 (165^ Длина прямоугольника 20,25 дм. Ширина составляет 0,6 его длины. Найдите периметр и площадь прямоугольника. (166^ Найдите числовое значение выражения: 1) 4,25fl+ 5,75fl при а\ 0,5; 2,3; 36,2; 25,5; 2) \Ъ,1ЪЬ - Ъ,1ЪЬ при Ь\ 0,1; 0,8; 8,3; 70,1. 13 Деление десятичной дроби на натуральное число Задача. Велосипедист за 3 часа проехал 37,5 км. Сколько километров пути он проехал за 1 час? Решение. Для того чтобы найти, какой путь проехал велосипедист за 1 ч, т. е. его скорость, нужно пройденный им путь (37,5 км) разделить на время, затраченное на этот путь (3 ч). 45 7, 5 / 2 5 0 7 i 1 0 Выполним деление «уголком» как при делении натуральных чисел. Разделим целую часть (37) данного числа (37,5) на 3: в частном получим 12 и остаток 1. 12 — это целая часть частного. Этим заканчивается деление целой части десятичной дроби. Отделим ее запятой. Продолжим деление следующим образом. Раздробим 1 единицу промежуточного остатка на 10 частей. 1 единица содержит 10 десятых долей: 1 = 10 - 0,1. К ним прибавим 5 десятых делимого: 10 • 0,1 + 0,5 = 10 • 0,1 + 5 • 0,1 = 15 - 0,1. Получившиеся 15 десятых разделим на 3: 15 -0,1 : 3 = 5 ■ 0,1 =0,5. В частном получим 5 и остаток 0. Таким образом, деление завершено. Поэтому 37,5 : 3 = 12,5 (км/ч). Проверка: 12,5 • 3 = 37,5 (км). Ответ: 12,5 км/ч. Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натуральных чисел. Завершив деление целой части, отделяем запятой целую часть частного. Промежуточные остатки от деления раздробляем на десятые, сотые, ... доли и складываем с десятыми, сотыми, ... долями делимого. Затем продолжаем процесс деления. Пример 1. Выполните деление: 2,74 : 25. 2 7 4 0 0 2 а 2 л (1 / 0 й в 2 4 0 2 2 5 1 0 / } 6 Число 74, составленное из 2-х последних цифр дроби, не кратно 25. Для того чтобы оно было кратно 25, в конце его припишем 2 нуля: 2,74 = = 2,7400, при этом значение десятичной дроби не изменится. 46 Если целая часть десятичной дроби меньше делителя, то: 1) в частном пишем О целых; 2) после него ставим запятую; 3) затем продолжаем деление. Пример 2. Найдите произведение: 1)1,6-0,5; 2)3,2-0,25; 3) 4,8-0,125. Решение. 1) 1,6 • 0,5 = 1,6 - - = 1,6 : 2 = 0,8; 2) 3,2 • 0,25 3,2 ■ 1 = 3,2 : 4 = 0,8; 3) 4,8 - 0,125 = 4,8 • 1 = 4,8 : 8 = 0,6. 4 о Для того чтобы умножить число на 0,5; 0,25; 0,125, надо это число умножить на 2; 4; 8. @167. Ответьте на вопросы, пояснив ответ на примерах: 1) Как разделить десятичную дробь на натуральное число? 2) Как проверить правильность выполнения деления? 3) В каком случае целая часть частного равна 0? 4) Как умножить число на 0,5; 0,25; 0,125? 168. (Устно.) Назовите результат: 1) 2,4:2; 2) 12,6:6; 3) 80,4:4; 4)0,02:2. 169. Найдите частное и выполните проверку: 1) 36,24:3; 2) 80,24:16; 3) 11,726:11; 4) 0,075:5. 170. Решите уравнение: 1) 2х= 48,4; 3) 5х + 3,42=8,97; 5) 2х - 8,8=3,2-4,5; 2) 3у=15,9; 4) 51,3-2х=4,9; 6)7,8-6,3-Зл:= 1,2-8,4. 171. Пешеход за 2 часа прошел 10,6 км. Сколько километров пути он прошел за 1 ч? Какой путь он пройдет за 3,5 ч? 172. Площадь прямоугольника 10 дм^ высота 25 см. Найдите отношение высоты прямоугольника к его основанию. 47 (175)В с |173. 8 шагов дедушки составляют 4,8 м, а 9 шагов его внука — 3,6 м. Для того чтобы обойти сад прямоугольной формы, дедушка делает 60 шагов. Ширину этого сада внук проходит за 70 шагов. Найдите периметр и площадь сада. (174^ Найдите частное и проверьте результат двумя способами: 1) 4,8:2; 3) 21,3:3; 5) 0,081:27; 7) 46,92:46; 2) 9,6:3; 4) 81,9:9; 6) 0,625:25; 8) 36,18:18. кадник за 3 часа проехал 43,5 км. 1) Найдите его скорость. 2) Сколько километров пути проедет всадник за 4,6 ч, если он будет двигаться с той же скоростью? (17^ Решите уравнение: 1) 6х=63,6; 3) Зл:+6,12 = 9,63; 2) 9у=54,9; 4) 17,5 - 2х = 7,1; Выполните действия: 1) 2,7 2,5:5; 3) 14,7-2,8:7; 2) 4,8 3,6:6; 4) 1,46-6,4:16; ^Основание прямоугольника 18,6 см. Высота в 2 раза меньше его основания. Найдите периметр и площадь этого прямоугольника. 5) 4х-3,2 = 8,4-5,6; 6) 5х-5,2=7,5-4,3. 5) 0,25-1,16:4; 6) 0,033-1,3:11. 14 Деление десятичной дроби на десятичную Задача. В фермерском хозяйстве собрали 70,52 т хлопка с 20,5 га земли. Какой урожай получило хозяйство с 1 га земли? Решение. Для решения задачи нужно найти частное 70,52 : 20,5. Умножим делимое 70,52 и делитель 20,5 на 10, тогда делитель станет натуральным числом: 20,5 • 10 = 205, а частное, по основному свойству дробей, не изменится. Теперь найдем частное по правилу деления десятичной дроби на натуральное число. 7 V 5, 2 2 0 Я 1 й Я 4 4 д 0 2 8 2 0 2 0 2 0 0 48 Таким образом, 70,52 : 20,5 = (70,52 • 10): (20,5 ■ 10) = 705,2 : 205 = 3.44 (т). Ответ: 3,44 т = 34,4 ц. Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, нужно: 1 шаг: умножить делимое и делитель на такую степень 10, чтобы делитель стал натуральным числом; разделить десятичную дробь на натуральное число, увеличить делимое во столько же раз, сдвинув вправо запятую на столько же знаков; разделить десятичную дробь на натуральное число. 2 шаг: 3 шаг: 4 шаг: (^179. 1) Объясните на примерах, как разделить десятичную дробь' на десятичную. 2) Объясните, как проверить правильность выполненной операции деления двумя способами? -У 180. (Устно.) Назовите результат: 1) 2,4:1,2; 2)0,02:0,01; 3) 6,4:0,8; 4)7,8:0,6. 181. Выполните деление и проверьте результат двумя способами: 1) 12,8:1,6; 2) 7,25:2,5; 182. Решите уравнение: 1) X :5,4 = 6,5; 2) 8,7 :х= 2,9; 3) 2,56х = 10,24; 3) 8:0,025; 4) 9,632:0,32. 4) 0,001х = 2,4; 5) (7,8 :1,3)х= 9,1:1,3; 6) X :(6,3 :2,1) = 2,42:1,1. 183. Поезд за 3,5 ч прошел 212,8 км. Найдите его скорость. Какой путь пройдет поезд за 9,4 ч, двигаясь с той же скоростью? 184. Заполните таблицу: X 8,4 2,4 1,08 15.3 у 2.8 3.6 2.5 0,9 ху 32,4 8,4 12,96 30 х:у 2,1 4,5 7,5 1,4 о« 4 Ма1смат11ка. 6 класс 49 185. 1) Урюк при сушке теряет 0,35 своей массы. Сколько кураги получится из 300 кг урюка? 2) Сколько урюка нужно взять, чтобы получить 70 кг кураги? 186. Скорость ласточки 96 км/ч. Скорость скворца составляет 0,75 скорости ласточки, а скорость перепелки — 0,7 скорости ласточки. Сколько метров пролетит скворец за 1 мин? Сколько метров пролетит перепелка за I мин? 187. Вычислите: 1) (48 : 1,2) • (5,6 : 2,8) + (17,5 : 2,5) • (3,6 : 2,4); 2) (64: 1,6) ■ (13 : 5,2) - (10,8 : 3,6) ■ (39,52 : 15,2). 188. Масса 1 см^ золота 19,3 г, масса 1 см^ платины 21,5 г. Сравните массы золотого кубика с ребром 2,1 см и платинового кубика с ребром 2 см. Масса какого кубика больше? на сколько? |l89. Сумма трех чисел 13,875. Если в одном из них сдвинуть запятую вправо на один разряд, получим второе число, а если на два разряда — получим третье число. Найдите эти числа. |l90. Когда переднее колесо тележки делает 48 оборотов, его заднее колесо делает 32 оборота. Какой путь пройдет заднее колесо, если переднее проходит 2,2 м? (191.) Выполните деление и проверьте результат двумя способами: 1) 24,72:2,4; 2) 8:0,032; 3) 32,64:3,2; 4) 20,25:13,5. (192^Решите уравнение: 1) 15,6 :х-2,6; 3) 5,12х= 20,48; 5) 0,405 :х= 1,5; 2) 8,75 : X = 2,5; 4) 0,005х = 4,65; 6) 2,24 : х = 0,14. Машина прошла за 3,25 часа 228,8 км. Найдите ее скорость. Какой путь с такой скоростью она проделает за 4,5 часа? (ш) Вычислите: 1) (22,83 + 73,41): 4,8+ 24,48 : (65,41-63,01); 2) (24:1,2) • (65:1,3) - (7,5:2,5). (2.5; о, I). 50 (195^ Заполните таблицу: о (см) 3,8 4,8 8,5 4,5 h (см) 2,5 2,25 6,4 7,2 S= 0,5о ■ И (см^) 19,2 20,25 50,58 36,54 (1^1) Масса изюма, получаемого при сушке винограда, составляет 0,25 исходной массы винограда. Сколько изюма получится из 160 кг винограда? 2) Сколько килограммов винограда пойдет на получение 30 кг изюма? Среднее арифметическое значение Задача 1. Ахмад собрал в первый день 180 кг помидоров, а во второй — 200 кг. Сколько килограммов помидоров собирал Ахмад в среднем за один день? Решение Л-н вопрос. Сколько всего килограммов помидоров собрал Ахмад? 180 + 200 = 380 (кг). 2- й вопрос. Сколько дней он работал? 1 + 1 = 2 (дня). 3- й вопрос. Сколько килограммов помидоров собирал Ахмад в среднем за один день? 380:2 = 190 (кг). Ответ: 190 кг. Для решения задачи сумму 180 + 200 разделили на число слагаемых, т. е. на 2. В результате бьшо найдено, сколько в среднем было собрано помидоров за один день. Результат деления суммы слагаемых на число слагаемых называется средним арифметическим значением. Для нахождения среднего арифметического значения данных чисел нужно их сумму разделить на число слагаемых. 51 Вообще, если даны числа а, Ь, с, то их среднее арифметическое значение равно а + Ь + с 3 Число слагаемых может быть равно 4, 5,к {к — натуральное число). На практике используют равнозначные по смыслу выражения «среднее арифметическое значение», «среднее значение», «в среднем» и т. д. Задача 2. Автомобиль двигался 2,6 часа со скоростью 72 км/ч и 3,9 часа со скоростью 78 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля. Решение. 1- й вопрос. Какой путь проделал автомобиль со скоростью 72 км/ч? 72-2,6= 187,2 (км). 2- й вопрос. Какой путь проделал автомобиль со скоростью 78 км/ч? 78 -3,9 = 304,2 (км). 3- й вопрос. Какова общая длина пути? 187,2-г 304,2 = 491,4 (км). 4- й вопрос. Сколько времени ущло на весь путь? 2,6 -г 3,9 = 6,5 (ч). 5- й вопрос. Какова средняя скорость автомобиля? 491,4 : 6,5 = 75,6 (км/ч). Ответ: 75,6 км/ч. Для нахождения всего пути автомобиля было составлено числовое выражение 72 • 2,6 + 78 - 3,9, средняя скорость движения равна 72-2,6+78-3,9 2,6+3,9 • Мы пользовались известными вам формулами для пути и S скорости при равномерном движении: 5 = и/ и v = -. 52 Задача 3. Автомобиль двигался /, ч со скоростью и, км/ч и ч со скоростью ^2 км/ч. Найдите среднюю скорость движения. Решение. Задача аналогична предыдущей. Путь, пройденный автомобилем, равен s-v^ движения + v^- L. Тогда средняя скорость L’l ■ +1>2 • (км/ч). (2) /, +12 Выражения вида (1) и (2) называются средними взвешенными значениями. ф197. ) Что называется средним арифметическим значением данных чисел и как его находить? 2) Где на числовой оси расположено среднее арифметическое значение данных чисел? 3) Что понимается под средним взвешенным значением? Приведите примеры ко всем трем случаям. 198. (Устно.) Назовите среднее арифметическое значение: 1) 12 и 8; 3) 10; 20 и 30; 5) 0,45 и 0,55; 2) 30 и 20; 4) 40; 50 и 60; 6) 1,75 и 1,25. 199. Найдите среднее арифметическое значение: 1) 7,52 и 6,48; 3) 0,605; 1,738 и 0,969; 2) 41,58 и 39,22; 4) 3,075; 2,5044 и 4,722. 200. По результатам тестовых испытаний Наргиза получила 100 баллов по родному и 95,6 по иностранному языкам, 96,3 балла — по математике. Найдите ее средний балл. 201. Найдите х, если: 1) среднее арифметическое чисел 7,05 и х равно 8; 2) среднее арифметическое чисел 12 и х равно 13,6. 202. Хамидулла прошел за первый час 6 км, за второй — 5,1 км, за третий — 4,8 км пуги. Найдите его среднюю скорость. 203. Решите уравнение: 1) (12,8+х):2= 14,5; 3) (4,08+х+5,92): 3 = 4,5; 2) (х-8,3):2 = 4,1; 4) (6,15 + 7,85-х):3= 1,8. 53 204. 1) Найдите среднее арифметическое чисел 4,48; 7,52 и 8,04. 2) Как изменится среднее арифметическое этих чисел, если: а) к каждому числу прибавить 1,32; б) от каждого числа вычесть 2,18? 205. Скорость моторной лодки вниз по течению реки 15,6 км/ч, а против течения — 11,2 км/ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки. 206. Бабушка Манзура купила два вида конфет: карамель с начинкой 3,5 кг по 560 сумов за килограмм, леденцы 4,5 кг по 480 сумов за килограмм. Найдите среднюю цену килограмма конфет. |207. Среднее арифметическое четырех чисел равно 12,6. Каждое из чисел, кроме первого, больше предыдущего на 2,4. Найдите отношение наибольшего из чисел к наименьшему. |Ц208. Пешеход прогуливался со скоростью 6 км/ч, а возвращался домой со скоростью 4 км/ч. С какой средней скоростью прогуливался пешеход? (^09) Найдите среднее арифметическое следующих чисел: 1) 25 и 10; 3) 5,2 и 4,6; 5) 1,078 и 6,25; 2) 35 и 38; 4) 8,4 и 7,5; 6) 3,129 и 1,071. (21^ Найдите среднее арифметическое чисел: 1) 2,6; 3,7 и 3,3; 3) 3,75; 2,67 и 7,92; ^ 2) 9,4; 2,4 и 1,4; 4) 4,02; 3,54 и 6,99. (211) Среднее арифметическое четырех чисел равно 16,4. Найдите g суммы этих чисел. (212) Комбайн убрал в первый день пшеницу с площади 7,2 га, во второй — 6,9 га, а в третий день — 7,8 га. Сколько гектаров убирал комбайн в среднем за день? (^1^1) Одно число больше второго на 7,8. Их среднее арифметическое равно 8,9. Найдите эти числа. 54 2) Одно число меньше второго на 3,2. Их среднее арифметическое равно 5,4. Найдите эти числа. (11^ Поезд шел 2,4 ч со скоростью 75 км/ч и 3,6 ч со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда. (215) Самолет летел 1,6 ч со скоростью 800 км/ч и 2,4 ч со скоростью 750 км/ч. Найдите среднюю скорость самолета. 16 Упражнения на четыре арифметических действия над десятичными дробями Выполните действия (216—217): 216. 1) 1,5:6-8:5 + 5,3-3,8; 2) (9:4,5-2,2 + 4,6):0,9; 217. 1) 5,36+5,7:0,3-1,6-1,6:16; 2) (49,2:1,2+9)-0,9-1,85; 3) 1,5-7:0,3-5 + 0,2-25,2; 4) 0,8-0,48:0,8 + 9,52-2,09. 3) (7,2-4,5+7,6-1,23): 0,1; 4) (0,840,36):0,5-1,031. 218. Сумма двух чисел 4,18, а их разность равна 2,06. Найдите эти числа. 219. Сумма двух чисел равна 366,22. Если одно из них увеличить на 16,26, то получится число, равное второму. Найдите это число. 220. Среднее арифметическое десяти чисел равно 13,66. Какое число нужно добавить к этим числам, чтобы их среднее арифметическое стало равным 17,99? 221. Периметр прямоугольника равен 29,8 дм. Найдите его плошадь, если его длина на 3,1дм больше ширины. Решите уравнение (222—223): 222. 1) 24,95х -26,05 = 8,88; 2) 13,064х -11,449 =648,283; 223. 1) (2,14 - 0,3х) • 1,3 = 11,44 • 0,1; 2) (186,02-9,6х):0,01=4010; 3) 26,16х +24,08 =89,48; 4) 6х - 16,99= 29639-0,01. 3) 2,42х-0,605 = 4,235:1,4; 4) 18,318:0,2 = 7,1х+17,04. 55 224. Из двух пунктов, расстояние между которыми 34,3 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого пешехода 5,6 км/ч, скорость второго составляет 0,75 скорости первого. 1) Через сколько часов они встретятся? 2) Какое расстояние будет между ними через 1,5 ч? 225. Первое из трех чисел равно 36,8 и состашхяет 0,16 суммы этих чисел, а второе составляет 0,35 этой суммы. Найдите второе и третье числа. 226. Велосипедист проехал 0.28 намеченного п>ти. Оставшийся путь на 8,8 км больше пройденного. Какой путь осталось проехать велосипедисту? 227. Турист прошел намеченный п>пь за 4,2 ч. В течение 2-х часов он шел со скоростью 5,23 км/ч, а оставшийся путь он прошел со скоростью 4,6 км/ч. Найдите среднюю скорость туриста. 228. Периметр прямоугольника 25,6 см, а его ширина на 2,4 см меньше длины. Найдите площадь этого прямоугольника. 229. Забиха задумала число. Сначала она уменьшила его на 13,14, затем увеличила результат в 24 раза, а к полученному произведению прибавила 3,28. В результате получилось 100. Найдите задуманное число. |230. Из Марджанбулака и Ташкента одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 1,6 ч. Первая машина двигалась со скоростью 65 км/ч, скорость второй была на 7,5 км/ч больше. Найдите расстояние между городами. Выполните действия (231—233): (2^1) 2,76:0,4+90-0,03-4,5; 2) 0,25-0,08:0,01-1,5; @)1) (7,2-4,5 + 7,6-3,123): 0,1; 2) 8:0,25+0,7-(15,43-11,43):0,2. 56 3) (4,9 + 51-0,1-2,2):0,5; 4) (4,9+5,1)-0,1-0,18:0,2. ОФ (233) 1) 91,16 - (13,20021 + 12,06279): 4,01; 2) (6,8: 17 + 17:6,8) ■ 8,7- 17,25 : 15. (23^ Решите уравнение: 1) (41,184 - 7,2л:): 0,01 = 86,4; 2) 56 : (30,08 - 6,4х) = 17,5. (235) Найдите значение выражения: 1) 3,5х :0,7, при х=0,01; 1,6; 4,8; 12,2; 20; 32; 2) 2,3у: 1,15, при у =0,1; 3,5; 4,12; 10; 15; 20,4. (23^ Сумма двух чисел равна 1,68. Одно из них в 3,2 больше второго. Найдите большее из этих чисел. (^37^ Расстояние между двумя пунктами 77,7 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста 18,5 км/ч, скорость мотоциклиста в 1,8 раза больше. Через какое время они встретятся? (|з^ На сколько увеличится произведение двух чисел, если первое из них увеличить в 1,5 раза, а второе в 2,2 раза? (23^ Скорость автомобиля, выехавшего из Ташкента в Карши, 50 км/ч, а скорость автомобиля, выехавшего на 2 часа раньше из Карши в Ташкент, в 1,35 раза больше. Найдите расстояние между городами, если автомобили встретились через 3,6 ч. 17 Округление десятичных дробей Из курса математики 5-го класса вы знаете, что значит округлить данное натуральное число. Округлить данное число — это значит заменить число его приближенным значением. На практике приходится округлять десятичные дроби. Например, если масса купленного в магазине растительного масла составляет 1,98 кг, то, округлив, можно сказать, что мы купили 2 кг масла. Если при округлении десятичной дроби сохраняют цифру некоторого разряда, отбрасывая следуюшие за ней, то говорят, что 57 полученное число является приближенным значением данной десятичной дроби. Запомните правила округления десятичных дробей: 1- е правило. Если отбрасываемая цифра меньше 5, то цифра, стоящая слева от нее, сохраняется без изменения. 2- е правило. Если отбрасываемая цифра больше или равна 5, то цифра, стоящая слева от нее, увеличивается на 1. Пример. Округлите число 36,8364: 1) до десятых; 2) до сотых. Решение. 1) Цифра О, отбрасываемая при округлении числа 36,5364 до десятых, меньше 5, следовательно, по первому правилу цифра 8, стоящая справа от нее, сохраняется без изменений. Таким образом, 36,8364 = 36,8. Можно ли записать это число, приписав к нему справа отброшенный нуль? Ведь 36,8364 = 36,8. Нет, нельзя, потому что в этом случае оказалось бы, что округление производится до сотых, а не до десятых. 2) При округлении дроби 36,8264 до сотых отбрасываемая цифра равна 6, поэтому, согласно второму правилу, цифра О, стоящая слева от нее, при округлении увеличивается на 1. Таким образом, 36,8264 = 36,84. @240. 1) Что значит округлить число? Знаете ли вы правила округления десятичных дробей? Объясните на примерах, в чем они заключаются. 2) Имеется ли разница между округлением десятичных дробей и натуральных чисел? 241. Округлите числа: 1) до единиц: 402,72; 82,95; 49,27; 99,62; 25,45; 2) до десятых: 1,081; 0,467; 9,827; 0,963; 5,309. 242. Округлите до километров: 1) 324,43 км; 3) 172,67 км; 5) 999,91 км; 2) 39,72 км; 4) 58,48 км; 6) 999,29 км. 58 243. Округлите до центнеров: 1) 3 т 5 ц 75 кг; 3) 7 ц 98 кг; 5) 4657 кг; 2) 1 т 8 ц 36 кг; 4) 5 ц 25 кг; 6) 5803 кг. |244. До какого разряда округлены числа: 1) 3,752 - 3,8; 2) 5,2824 -5,28; 3) 2,7639=2,764? (^45) Найдите приближенное значение массы в килограммах: 25781 г; 30925 г; 26340 г; 1938 г; 825 г; 959 г. (24^ Найдите приближенное значение расстояния в метрах: 665 см; 722 см; 959 см; 929 см; 95 см; 65 см; 225 см. (^4^ Округлите десятичные дроби: 1) до десятых: 4,75; 0,87; 2,32; 1,34; 0,95; 2) до сотых: 2,923; 0,874; 2,996; 6,746. ад> Обращение обыкновенных дробей в десятичные. Понятие о периодической дроби 1. Обращение обыкновенной дроби в десятичную. Пр им ер 1. Обратите 1^ в десятичную дробь. шу . 3 ,3 ■ 2 , 6 , ^ Решение. 1^ = 1:г-^ = 1-г = 1,6. 5 5-2 10 Пр и м е р 2. Обратите дробь — в десятичную. 1-й способ. 25 • 4 = 100 7 ^•■'=^=0,28. 25 25-4 100 Ответ: 0,28. 2-й способ. Разделим 7 на 25: 7 Z 5 7 0 0. 2 <9 5 0 2 0 0 2 0 0 й 59 Пример 3. Обратите дробь в десятичную. \'2 о 0 а 6 в. Н 2 0 1 2 Решение. На какое бы число ни у множать 3, произведение не удастся представить в виде степени числа 10. Попробуем разделить числитель 2 на знаменатель 3: размельчая остатки в сотые, тысячные,... доли, не удастся остановить процесс деления: в остатке все время будет повторяться 2, а в частном 6. Подчеркнем это, поставив многоточие (...). Итак, ответим на вопрос: «Как обратить обыкновенную дробь в десятичную?»: — сократим дробь на общий множитель, отличный от 1, если он существует; — разложим знаменатель в произведение простых множителей. Если эти простые множители исчерпываются делителями числа 10, т. е. двойками или пятерками, то обыкновенная дробь обращается в конечную десятичную дробь (примеры 1, 2). Если же среди простых множителей знаменателя имеются отличные от 2 или 5, то обратить обыкновенную дробь в конечную десятичную дробь не удастся (пример 3). Для того чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную: 1- й шаг: если знаменатель дроби разлагается только в произведение 2 или 5, то, умножая числитель и знаменатель дроби на соответствующие множители, получим в знаменателе некоторую степень числа 10; 2- й шаг: так как значение дроби при этом не меняется, то в результате обыкновенная дробь будет обращена в конечную десятичную дробь. 2. Понятие о периодической десятичной дроби. Частное от деления, полученное в примере 3, записанное в виде бесконечной десятичной дроби 0,666..., называется бесконечной периодической десятичной дробью. Ее записывают в виде 0, (6) и читают эту запись: ноль целых 6 в периоде. Число 6 называют периодом дроби. 60 Таким образом, ^ = 0,666 ... = о,Гб). (=0 Обыкновенная дробь ^ и бесконечная периодическая десятичная дробь 0,(6) — два различных предсташтения одного и того же числа. Равенство (=:■) — это представление числа - в виде периодической дроби 0,(6) и обратно. Пр и м е р 4. Представьте дроби в виде десятичных дробей 1) 99 ’ Решение. 7 9 7 0 0 Ю. 0 7 0 7. в 9 6 ч* 7 0 0 в 9 3 7 ^ = 0,0707... = 0.(07) — ноль целых (07) в периоде. Читается: 0 целых в периоде 07. 2) —. > 99 Решение. 5 0 9 1 5 0 0 а 0 .5 (7 ,5. 4 9 h 9 0 0 4 9 5 ,5 ^ = 0,505050... = 0,(50) — ноль целых (50) в периоде. Читается: 0 целых в периоде 50. Вывод из примеров 3 и 4 оставлен для учеников. Бесконечная десятичная дробь, составленная из одной или нескольких цифр, повторяющихся в определенном порядке, называется бесконечной периодической десятичной дробью. Повторяющаяся группа цифр называется ее периодом. 61 - ^ J J Пример 5. Обратите обыкновенную дробь в дес5пичную: 75’ Решение. 6-2 Ъ\ 15 = 3-5; 12 = 2-2-3. Так как в разложении знаменателей этих дробей на простые множители есть 3, то знаменатель нельзя представить в виде степени 10. В этом случае обыкновенная дробь обращается в периодическую. Например, - = 0,8333... = 0,8(3) — периодическая дробь 6 с периодом 3. В примерах 3 и 4 период начинается сразу после запятой, а в примере 5 — не сразу, обратите внимание, что между запятой и периодом есть другая цифра. Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такая дробь называется чистой периодической дробью'. Если между запятой и периодом есть одна или несколько цифр, то она называется смешанной периодической дробью. Из рассмотренных выше примеров приходим к следующему выводу: если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители не участвуют числа 2 и 5, то такая дробь обращается в чистую периодическую дробь; если же в разложении знаменателя вместе с другими простыми множителями участвуют 2 или 5, то такая дробь обращается в смешанную периодическую дробь. (^248. 1) В каких случаях обыкновенная дробь обращается в: а) конечную десятичную дробь? б) не обращается в такую дробь? Объясните на примерах. 2) Какая дробь называется периодической? Что называется периодом дроби? 3) Какая дробь называется чистой (смешанной) периодической дробью? 4) В каких случаях обыкновенную дробь можно обратить в: а) чистлто периодическую дробь; б) смешанную перио- ______дическую дробь? Объясните на примерах. 62 249. (Устно.) Какие из следующих дробей обращаются в конечные, какие— в бесконечные десятичные дроби: 1)|; 2)|; 3)^; 4)1; 5)|; 6)^; 7) И; g) {1? 250. Запищите периодические дроби, указав период в скобках: 1) 0,555...; 2)1,171717...; 3) 2,01777...; 4)7,11212.... 251. Запищите в виде бесконечной дроби: 1) 0,(7); 3) 1,1(2); 5) 2,01(31); 2) 0,(6); 4) 3,2(3); 6) 4,04(25); 252. Разделив столбиком числитель на знаменатель, представьте обыкновенные дроби в виде периодических дробей и определите, чему равен их период: 125 7) 0,15(61); 8) 0,32(04). *) 9’ 2) -• ^ 9’ 3) — • > 99’ 4' И. t 99’ 999’ W 999 • Сделайте вывод и запищите его в тетрадь. 253. Воспользовавшись примером 252, представьте обыкновенные дроби в виде периодических дробей и определите, чему равен их период: 1 1) 2) 3) 4) 83 5)^; ) 999 ’ . 163 6) 9’ “V 99, ■/ 99, Сделайте вывод и запишите его в тетрадь. 254. Укажите несколько конечных дробей, заключенных между данными числами: 1) 2i и 2|; 3 1 2) й и 3; ТЧ 15 1 7 3) IjHljj; >14 6 5 4) п и 9 255. На основании выводов, сделанных при решении примеров 252 и 253, обратите данные периодические дроби в обыкновенные и, если возможно, то сократите: 1) 0,(1); 2) 0,(3); 3) 0,(13); 4) 0,(08); 5)0,(101). Образец-. 1) 0,(7) = Z; 2) 0,(06) = ^ = ^; 3) 0,(40) = ^. 63 256. Запишите в ввде периодической дроби: 1) 8; 15; 42; 100; 150; 2) 0,25; 1,41; 3,48; 5,06; 6,75; 3) 4,251; 3,756; 8,125; 10,347; 3,128; 7,035. Образец-. I) 48 = 48,00... = 48,(0); 1000 = 1000,00... = 1000,(0); 2) 2,76 = 2,76000... = 2,76(0); 3) 7,325 = 7,32500... = 7,325(0). 257. Файзулла на 0,(2) всех денег к\шил мороженое, а на 0,(5) книгу. После этого у него осталось 200 сумов. Сколько денег было у него вначале? {Указание: воспользуйтесь равенствами 0,(2) = ^, 0,(5) = ^). 9 V |258. Вычислите удобны.м способом: 2.(7) + 4,(3) + 7Д6) 7,(3) + 4,(7) + 2,(6) ’ 9.(4) н- 7,(2) + 8,(5) 5,(2) + 13,(5) + 6,(4) ’ 3) 4) 7,(05) + 8,(21) + 1,(18) 9,(21) + 2,(05) + 5,(18) ’ 1.(14) + 8,(21) + 5.(07) 9,(21) + 2.(07) + 3,(14) (У/САЗон«с: воспользуйтесь представлением а.{Ь)= а + 0,(6), где а и Ь — ци(})ры; а, Ь ф 0: 9). |259. Сравните и запишите в виде равенства или неравенства: 1) 31 и 3,(34); 3) 4,8 и 4,(8); 2) и 0,8(2); 4) i и 0,(45); 5) ^ и 0,(076923); 6) 1-^ и 1.41(6). (1б^ Определите, какие из дробей являются конечными, а какие — бесконечными десятичными дробями, и распределите их в две группы: 1) 2) —• 3) 1-^- 4) —• 5) —• 6) 1-!- ^5’ ^ 75’ ^ 25’ ' 135’ М3’ ^ 75' (26^Запишите периодические дроби, заключив период в скобки: 1) 0,333...; 2) 5,1919...; 3) 1,10888...; 4) 6,2404040... . (^6^Запишите в вгще бесконечных дробей: I) 0,(8); 2) 0,(45); 3) 1,(18)- 4) 2,9(09); 5) 2,2(67). 64 (|ю5 Запишите в ввде периодических дробей: 1) 1; 9; 10; 169; 2) 0,41; 0,75; 2,83; 3) 1,234; 4,432; 7,067. Разделив уголком числитель на знаменатель, запишите в виде периодических дробей: ,,.11. -.35 350. 12. .X 25. ^х 27. ^х 28 О 9 , 99’ 999’ 13’ 18’ 52’ 33' Сколько денег было у Нафисы, если после покупки на 0,(6) своих денег тетрадки и на 0,(2) — карандаша у нее осталось 50 сумов? д) Вычислите удобным способом: 1) 7,(2) + 3,(4) + 6.(7) ^ 3,(7) + 7,(4) + 6,(2) ’ 2) 2, (01) + 3,(04) + 4,(07) 3, (07) + 1,(01) + 5,(04) 19 Треугольники, их периметры, виды 1. Треугольник. С треугольниками и их периметрами вы уже знакомы. Фиксируем на плоскости три точки А, В, С (рис. 2а, б). Соединим точки А, В, С отрезками АВ, АС, ВС (рис. 3). В А а) А В С • Этот случай не С рассматривается. б) Рис. 2. Рис. 3. Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков АВ, ВС, АС, попарно соединяющих эти точки. Он обозначается Ь.АВС. о« 5~ Математика, 6 класс 65 Точки А, В уу С называются вершинами треугольника, а отрезки АВ, ВС, АС — его сторонами (рис. 3). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон, но больше их разности. АС- ВС <АВ< АС + ВС. АВ- ВС < АС < АВ + ВС. АВ - АС < ВС < АВ + АС. 2. Вцлы треугольников. Сумма градусных мер углов произвольного треугольника равна 180” (см. рис. 3): Z/4 + ZB+ ZC= 180”. В зависимости от величин углов различают треугольники следующих трех видов: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные (таблица 1). Таблица 1 В зависимости от длин сторон треугольники подразделяются на: равносторонние {правильные), равнобедренные, разносторонние (таблица 2). 66 Таблица 2 Стороны треугольников Название треугольника Вил (рисунок) Все стороны равны: АВ=ВС=АС Равносторонний (правильный) А. Две стороны равны между собой: АВ= ВС Равнобедренный А\ л с Длины всех сторон различны; Разносторонний в АВ:^ВСфАС А С Если ААВС равнобедренный, например, АВ= ВС, то сторона АС называется его основанием, а АВ и ВС — боковыми сторонами. 3. Периметр треугольника. Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон. На рисунке 3 у ААВС периметр Р = АВ + ВС + АС. ©267. 1) Какая фигура называется треугольником? 2) Что называется периметром треугольника? 3) Как связаны между собой стороны треугольника? 4) Как различаются треугольники: а) в зависимости от величины углов; б) в зависимости от длин сторон? Начертите соответствующие чертежи. __^ 268. Найдите величины углов треугольника, если: 1) все углы равны между собой; 2) один угол 120°, а оставшиеся равны между собой. Какие это треугольники? 67 269. Существует ли треугольник со следующими сторонами? Обоснуйте свой ответ. 1) 1,3 дм; 2,7 дм; 45 см; 3) 20 см; 2 дм; 200 мм; 2) 0,8 дм; 10 см; 0,2 дм; 4) 4 см; 0,5 дм; 0,6 дм. 270. Один из углов треугольника равен 40°. Второй угол больще него в 2,5 раза. Найдите третий угол треугольника. Каким будет этот треугольник? 271. Заполните таблицу и определите ввд треугольника (fl, Ь, с — длины сторон треугольника): а Ь с Периметр Вид треугольника 2,5 см 3,2 см 8,7 см 1,4 дм 1,6 дм 5,2 дм 25 см 2,5 дм 75 см 1,7 дм 17 см 5,8 дм 272. 1) Длина одной стороны треугольника 6,5 см, длина второй а см, а третьей — Ь см. Составьте выражение для вычисления периметра треугольника. 2) Найдите периметр треугольника, если: а) а = 5,8 см; Ь = 4,6 см; б) а = 7,3 см; Ь = 8,2 см. 273. Существует ли треугольник, один из углов которого равен сумме двух других его углов? Назовите вид треугольника. 274. 1) Длина стороны правильного треугольника равна 5,8 см. Найдите его периметр. 2) Периметр правильного треугольника равен 73,5 см. Найдите длину его стороны. |275. Существует ли треугольник, два угла которого: 1) тупые; 2) прямые? Обоснуете свой ответ. Основание равнобедренного треугольника 21,3 см, а боковая сторона 26,2 см. Найдите его периметр. 68 (^77^Длина одной из сторон треугольника 8,9 см. Вторая сторона меньше нее на 1,8 см, а третья на 3,6 см больше. Найдите периметр этого треугольника. (2^^ Один из углов треугольника равен 72°, другой угол в 2 раза меньше него. Найдите углы этого треугольника и определите его вид. (27^ Существует ли треугольник, один угол которого прямой, а другой тупой? Обоснуйте свой ответ. (ф Упражнения на четыре действия над обыкновенными и десятичными дробями Выполните действия (280—281): 280. 1)[70^-69|]:9l:0,001; \ 6 15 7/‘ \ 8 ■ 18Г 25 ’ 3) 0,4 + 0,l:flj-i^ + 0,45j; 4) (26,4-41-42.5i):3i. 281. I) 2,25.[9ll-7,5]-8^:3i; 2) f4i.7,2-2,25:ill: 1,18; 282. Три тракториста вспахали 400 га земли. Один из них вспахал 0,355 его площади, а второй в раза меньше. Сколько гектаров земли вспахал третий тракторист? 283. Велосипедист за 6,5 ч преодолел путь от Джизака до Самарканда. В первые два часа он ехал со скоростью 13,5 км/ч, а в оставшееся время со скоростью 14 км/ч. Найдите расстояние между Джизаком и Самаркандом. 69 3) ф.|1-зМ:|]:||: 4>(i‘3r4i:2if-l,5^ Решите уравнение (284—285): 2) 4х-0,8 = 3^+ 0,2. 2) 4,44;c-0,84 = 8,4:2i 284. l)2x-2i = 3,6 + li; 285. 1) (^Зх-1^11,35 = 2,7; 286. 1) Ширина прямоугольника 10,2 см, а длина больше ширины в 1 ^ раза. Найдите периметр и плошадь этого прямоугольника. 2) Ширина прямоугольника 15,5 см, а длина составляет 0,8 его ширины. Найдите периметр и ширину этого прямоугольника. Выполните действия (287—288): 287. 1) Гз,55-2А1:5| + 2,55:1,7; 3) 3,3-1-^ + 2,4 : з|-2|-; 2) (5,5:ll-n.|^].4i-3.5- 4)1,15.4?-4,4 :1+.sf .. 1,95 • 0,48:6,25 Эч <3 (0,19 + 3,2): 22,6 LOO. I) (2 03-1 25) ■ о 4*2 4 ’ Т~' 6 289. Точка С делит отрезок АВ так, что длина АС равна 8,82 см, а длина СВ составляет ^ длины АС. Найдите длину отрезка АВ. Найдите значение выражения (290—291): 290. 1) + 14^: у, при х = 22,25; у = цА; 2) 7-1:л + 13^:/>, при о = 3,8;/> = 1^. 291. 1) Ъ— \ а-Ь'.ъ]-, при а=1,125; b = 16 7 7 2) 2—: fl + 3,375 : Z>, при а = 2,8; ^> = 5^. 3 lb 70 292. Решите уравнение: = 2)ф.2| = 101; Выполните действия (293—295): 293. 1) [^(^16|-13lj-5^j:(28-8,25)-2,5; 2) (11,875 - 2^): -0,75+ lg:2j. 294. 1) [l7,5-3f]:16.6 + (l,5 + li]:lfj; 2) l,92;0,4-6,4- f| lj-4|:6,4j. 3) l. + 7? = 10i. 2) |3i + 2,8l:5i- з1 1-Зт- 3 '51 + 21 ^ 9 6 ✓ 9_ 65 • 296. В перюм вагоне товарного поезда груза в 1- раза меньше, чем во втором. Если выгрузить из второго вагона 2,9 т, а в первый вагон загрузить 12,1 т груза, то оба вагона будут загружены одинаково. Сколько груза в каждом вагоне? 297. Разность двух чисел равна 52. Найдите эти числа, если 2 0,45 большего числа равно — меньшего. 2 298. Автобус прошел за первый час - своего пути, за второй час 0,4 своего пути, а за третий час — оставшиеся 44 км. Найдите длину маршрута автобуса. 71 299. В 6*'^" и классах 65 учащихся. В число девочек составляет 0,5 общего числа учащихся, а в 6‘®” — 0,8 этого числа. Сколько детей учится в каждом классе, если девочек в обоих классах поровну? |300. Ломаная линия состоит из трех звеньев. Длина первого звена 4,4 см и составляет — длины второго, длина гретьего равна — длины второго. Найдите длину ломаной линии. |301. Расстояние между Чирчиком и Тащкентом 32 км. Это расстояние велосипедист преодолел за 3 часа. В первый 2 час он проехал 0,4 всего пути, во второй час ос- тавщегося пути. Сколько километров он проехал за третий час? Выполните действия (302—303): (|^1) 0,33: 0,75 +(25-21,4)-ll; 2) (23,76:5,4 + 2 + А):5|; )1) |^l,836:l,02 + 1.35-3ll-li; 2) ^5.12:6,4 +1,8 :2iV 111; 3) 3:1^ + (з^-|Д 1:6,6; 8 9 45^ 4) ('•f3i]:^.3:3,75. 3) [58,5:7^-28,8:41)з1; 4) (з,5.4,2-1+Ц]:4|. (30^ Три столяра за выполненную ими работу получили 54 500 сумов. Первый заработал | того, что получил второй, а третий в 1,4 раза больще второго. Сколько денег заработал каждый столяр? 72 0« (S05^Найдите числовое значение выражений: 1) la+b -.l]^ при а =7,25, Ь = 16~; 2) х\2]^-у \ 2^ при х= 8,4, 3^= 5-^. (^0^ Периметр равнобедренного треугольника, ^ которого составляет основание, равен 32,4 см. Найдите стороны треугольника. (307) Легковая машина «Тико» проехала за первый час 0,4, за второй час у всего пути, а за третий час оставшиеся 64 км. Какой путь проделала машина за 3 часа? ($08) Велосипедист проехал 65 км за 5,2 ч. За какое время преодолеет велосипедист этот щдь, если он увеличит свою 2 скорость в 1,2 раза? Уменьшит ее в 1- раза? (30^ Длина прямоугольника 16,5 дм, ширина в 1у раза меньше нее. Найдите периметр и плошадь прямоугольника. (310) Разность двух чисел равна 14,6. 0,045 первого числа равны 2 второго. Найдите эти числа. 6 ($П^ Сумма 1рех чисел равна 30,2. Первое число больше второго в I7 раза, а третье больше второго в 2,2 раза. Найдите 6 ЭТИ числа. ($11^ Первое число равно 9 ^. Второе число меньше первого в 3,5 раза. Третье число составляет - от суммы первого и второго 6 чисел. Найдите сумму этих чисел. 73 проверьте себя! 1. Вычислите: 36,81:4,5-2,5. А) 11,45 В) 21,15 С) 23,15 D) 214,5 Е) 20,45. 2. Вычислите: 6,12 • 3,5 : 1,8. А) 11,9 В) 119 С) 1,19 D) 14,9 Е) 13,6. 3. Вычислите: (3,91 - 2,13) • 4,5. А) 8,01 В) 80,1 С) 79,11 D) 80,11 Е) 8,11. 4. Вычислите: 4,028 :0,19 + 2,4 • 1,5. А) 34,8 В) 24,8 С) 21,2 D) 36,1 Е) 24,08. 5. Длина прямоугольника 3,8 см, ширина меньше длины на 1,3 см. Найдите плошадь этого прямоугольника. А) 3,25 см- В) 4,84 см^ С) 9,5 см^ D) 8,5 см^ Е) 95 см-. 6. Вычислите: 32,8 - 0,7 • (37,08 : 3,6 + 2,05 • 1,4). А) 2,357 В) 31,981 С) 23,619 0) 23,581 Е) 33,571. 7. Вычислите: 40,3 • 17 - 40,3 • 15 + 20,4 - 17 - 20,4 ■ 15. А) 120,14 В) 80,7 С) 40,8 О) 80,6 Е) 121,4. 8. Вычислите: (8,4 + 2,1)-4,2-14,4:2,4. А) 50,1 В) 44,1 С) 37,11 0) 38,1 Е) 48,1. 9. Вычислите: (12,6 + 2,73):4,2-8,75-3,4. А) 32,11 В) 31,11 С) 23,5 0) 29,75 Е) 32,1. 10. Плошадь поля в форме прямоугольника равна 40,5 м-. Найдите длину поля, если его ширина равна 72 дм. А) 56,25 дм В) 5,625 дм С) 50,75 дм О) 54,25 дм. 11. Длина прямоугольника равна 8,3 см, периметр равен 31 см. Найдите его плошадь. А) 5,97 см2 В) 59,76 см^ С) 69,76 см^ О) 70,73 см^. 74 12. Площадь прямоугольника равна 30,25 см\ ширина равна 6,05 см. Найдите его периметр. А) 11,05 см В) 23,75 см С) 20,8 см D) 20,11 см Е) 22,1 см. 13. Расстояние между городами А w В 520 км. Из этих городов одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость первого 75 км/ч, скорость второго 80 км/ч. Каким будет расстояние между ними через 2,4 часа? А) 372 км В) 148 км С) 158 км D) 155 км Е) 248 км. 14. Водитель, проехав 0,65 пути, определил, что это расстояние на 30 км больше половины пути. Какое расстояние отделяет машину от пункта назначения? А) 19,5 км В) 60 км С) 130 км D) 200 км Е) 70 км. 15. Пешеход шел 2,5 ч со скоростью 4 км/ч и 1,5 ч со скоростью 6 км/ч. Найдите его среднюю скорость. А) 4,5 км/ч В) 4,75 км/ч С) 5 км/ч D) 9 км/ч Е)10 км/ч. 16. Среднее арифметическое трех чисел равно 12,5. Когда к ним добавили еще одно число, среднее арифметическое стало равным 13,2. Найдите добавленное число. А) 15,3 В) 14,6 С) 13,3 D) 12,85 Е) 37,5. 17. Вычислите: 34,92:3,6 + 49,32: 0,9- 141 • 0,14. А) 60,5 В) 59,75 С) 62,5 D) 59,5 Е) 61,15. 18. Вычислите: 23,94: 1,8- 18,72: 7,2. 5А • 0,38. А) 3,94 В) 4,15 С) 13,45 D) 12,7 Е) 10,7. 19. Вычислите: 3,2-f2i:3.2 -з].' 9,6. А) |1 В) li С) D) 21 Е) 75 Длина окружности и площадь круга 1. Длина окружности. С понятием окружности и круга вы познакомились в 5-м классе. Проделайте следующий опыт: вырежьте из картона два кружка с различными радиусами (например, 1 см и 2 см). Обозначьте на окружности кружка некоторую точку. Приставив этот кружок к точке О линейки, отметьте на ней точку А. Затем вращайте кружок вдоль линейки, повернув его на полный оборот. Точку на линейке, на которую придется отмеченная ранее точка окружности, обозначьте буквой В. Длина полученного отрезка АВ приближенно равна длине окружности. Выполните те же действия со вторым кружком (рис. 4). Теперь разделите полученную длину окружности на ее диаметр {d=2r). Если вы аккуратно произведете эти действия, для обеих окружностей это отнощение будет заключено между числами 3,1 и 3,2. Отнощение длины окружности к ее диаметру обозначается греческой буквой тг. Если обозначить длину окружности буквой С, ее радиус — /*, а диаметр — d, то С : d -п, т. е. С : (2г) = тг. Откуда С =п ■ d, или С = 2пг. Длина окружности равна произведению ее диаметра на число п. 76 Число 71 — постоянное число, не зависящее от радиуса окружности, я можно выразить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. В обсерватории Улугбека число я вычислили с 17 знаками после запятой: я = 3,14159265358979325.. Этот результат приведен в сочинении аль-Каши «Трактат об окружности». На практике полагают, что я = 3,14 точно (иногда считают, что я = 3,1416, или я = ^). Задача 1. Радиус окружности равен 3 см. Найдите ее длину. Решение. По формуле с = 2яг находим: С = 2 • 3,14 • 3 = = 18,84 (см). Ответ: с точностью до сотых С = 18,84 см. Задача 2. Длина окружности 12,56 см. Найдите ее радиус. Решение. Из формулы С = 2ягнаходим: г=С: (2я) = 12,56: (2 - 3,14) = 2 (см). Ответ: с точностью до сотых г = 2см. 2. Площадь окружности. Обозначим площадь круга буквой S. Площадь круга вычисляют по формуле S = пг^. Таким образом, площадь круга равна произведению площади квадрата со стороной г и числа я (рис. 5). Задача 1. Радиус круга равен 1 см. Найдите его площадь. Решение. По формуле S=nr~, S=n- V = п (см-). Ответ: S=ncu^. 77 Задача 2. Площадь круга равна 12,56 см-. Найдите его радиус. Решение. По формуле S=nr^ при S= 12,56,я = 3,14 находим из равенства 12,56 = 3,14 • г-, что г- = 4. Квадрат какого числа равен 4? Ясно, что г=2 (см). Ответ: г=2 см. ^313. 1) Что называется окружностью? кругом? Чем они различаются и в чем похожи? 2) Что вы понимаете под длиной окружности? По какой формуле вычисляется длина окружности? Приведите примеры. 3) Знаете ли вы формулу для плошали круга? Считайте для простоты, что п = 3,14. 314. Найдите длину окружности с диаметром 4 дм; 50 см; 0,01 м; 100 см; 200 мм. 315. Найдите длину окружности с радиусом 0,5 см; 5 дм; 20 см; 0,4 м; 40 мм. 316. Чему равен радиус окружности, длина которой равна 31,4 см; 56,52 дм; 0,628 м; 2,512 м? 317. Радиус окружности увеличили на 3 дм. На сколько увеличится длина этой окружности? 318. Сколько раз повернется вокруг своей оси на расстоянии 301,44 дм колесо, диаметр которого равен 2,4 дм? 319. Колесо повернулось вокруг оси 440 раз на расстоянии 2763,2 м. Найдите радиус этого колеса. 320. Найдите площадь круга, радиус которого равен: 1) 5,5 см; 2) 10,8 дм. Полученный результат округлите до сотых. 321. Найдите площадь круга, диаметр которого равен: 1) 3,6 дм; 2) 19,4 м. Результат округлите до единиц. 322. Пройдет ли через кольцо, изготовленное из проволоки длиной 81 см, баскетбольный мяч, диаметр которого 26 см? А если длина проволоки равна 85 см? 323. Как изменится площадь круга, если его радиус увеличить в 1,2 раза? 78 Ц324. Чему равна длина окружности круга с площадью: 1) Збп см^; 2) 16л дм^; 3) 81л дм^? |325. Сторона квадрата равна 4 см (рис. 6). Найдите площади закращенных частей и сравните их. Сделайте вывод. 326. Радиус больщего круга (рис. 7) 1,3 дм, пдощадь закращен-ной части 1,44 л дм^. Найдите радиус меньщего круга. D Найдите длину окружности, радиус которой равен: 1) 3,6 см; 2) 24 дм. Результат округлите до единиц, б) Найдите длину окружности, диаметр которой равен: 1) 5,8 дм; 2) 42 см. Результат округлите до единиц. Диаметр колеса равен 68 см. Какое расстояние пройдет колесо, повернувщись вокруг оси 100 раз? (52^ Чему равна длина окружности круга с площадью: 1) 25лдм^; 2) 314 см^? (530^ Площадь круга 314 см^. Найдите диаметр этого круга. (ЗМ7)Чему равна длина окружности круга с площадью 50,24 см^? Результат округлите до десятых. (332^ Радиус одной окружности равен 10 см, радиус второй составляет 0,8 радиуса первой. На сколько длина первой окружности больще длины второй? 79 Исторические сведения Вычисление числа п с возможно большей точностью всегда интересовало ученых. Приведем краткую таблицу приближенных значений числа п: Имя ученого Век Город или страна Десятичное приближение числа л Число точных знаков после запятой Архимед III в. до н. э Сиракузы 3,14285; 3,14084 2 Витрувий I в. до н. э Рим 3,12500 1 Птолемей II в. н. э Александрия 3,14166 3 Чжан Хен II в. Др. Китай 3,16214 1 Ариабхата V в. Др. Индия 3,14159 3 Цзу Чун-чжи V в.Др. Китай 3,14160 3 Брахмагупт; VII в. Др. Индия 3,14234; 3,1428 2 Мухаммед ибн Муса aib-Хорезми VIII в. Хорезм 3,14285; 3,14160 22 . 62832 7 ’ 20000 3 Абу Наср аль-Фараби IX в. Фараб 3,14285; 3,14084 2 Леонардо да Винчи XIII в. Италия 3,14183 3 Бхаскара XII в. Индия 3,14160 3 Гийас ад-Дин Джам-шцд аль-Каши XV в. Кашан 3,14159265358979325 17 Франсуа Виет XVI в. Франция 3,1415926535 10 Впервые в истории математики значение п с высокой точностью получил и записал в виде десятичной дроби наш соотечественник аль-Каши. 80 Тест Проверьте себя! 1. Периметр правильного треугольника 28,8 см. Найдите сторону треугольника. А) 9,6 см В) 9,16 см С) 8,6 см D) 9,06 см Е) 8,16 см. 2. Периметр равнобедренного треугольника 43,4 см, длина боковой стороны 15,5 см. Найдите основание этого треугольника. А) 40,1 см В) 12,4 см С) 13,4 см D) 13,3 см Е) 27,9 см. 3. Периметр треугольника 27,8 см. Одна его сторона больше второй на 3,5 см и больше третьей на 2,7 см. Найдите длину большей стороны треугольника. А) 18,8 см В) 11,7 см С) 15,3 см D) 12,5 см Е) 9 см. 4. Один из углов треугольника 40°, второй больше него в 1,5 раза. Найдите величину третьего угла треугольника. А) 85° В) 110° С) 90° D) 60° Е) 80°. 5. Один из углов треугольника больше второго в 2 раза и меньше третьего в 6 раз. Найдите величину наименьшего угла этого треугольника. А) 20° В) 30° С) 25° D) 40° Е) 35°. 6. Радиус окружности 3 см. Найдите длину этой окружности. А) 18,624 см В) 18,84 см С) 18,64 см D) 18,74 см Е) 19,84 см. 7. Длина окружности 25,12 см. Найдите радиус этой окружности. А) 6,28 см В) 3,5 см С) 4 см D) 3,14 см Е) 4,6 см. 8. Найдите плошадь круга радиуса 3 см (принять п = 3,14). А) 28,026 СМ-’ В) 27,126 см^ С) 27,26 см' D) 27,936 см' Е) 28,26 см'. ов 6— Математика, 6 класс 81 § 4. Отношение и пропорция 22 Понятие об отношении Вы знаете, что для того чтобы узнать, во сколько раз одно число больше (меньше) второго или какую часть первое число составляет от второго, нужно первое число разделить на второе. Например, равенство 36:9 = 4 показывает, что число 36 в 4 раза больше числа 9. Равенство 1 показывает, что число 15 60 4 составляет - часть числа 60. 4 36:9 называют отношением чисел 36 и 9 (15 и 60). Числа 36 и 9 (15 и 60) называются членами отношения. Например, ^ можно рассматривать как отношение чисел 12 и 1 О 1о 2 7 ^„27 18, а —:— — отношение дробей - и -. 3 6 3 6 Вообше, отношение двух чисел можно записать в вице к: п = д, или --д П В этой записи: к — предшествуюший, п — последуюший члены отношения. Отношение обладает следуюшими свойствами. 82 1. Отношение не изменится, если оба члена отношения умножить (разделить) на одно и то же, отличное от нуля, число р\ к : п = (к ■ р): (п ■ р), или - = \ I'/ \ fj fj, р 3 3-5 15 1 Пример 1. 3 : 6 = (3 • 5): (6 • 5), или ^ ^ ^ ^ 2' 2. Если ^ = Q, то предыдуший член отношения к = п - q. Пример 2. Из равенства ^ = ^ следует 6 = 18 • отсюда 1о 3 3 6 = 6. 3. Если — = а, то п ^ последуюшии член отношения п = к: д. Пример 3. Из равенства следует, что 16 = 8: т. е. 16 2 2 16= 16. (^9)333. 1) Что понимается под отношением двух чисел? ” 2) Назовите члены отношения. Приведите примеры. 3) Сформулируйте свойства отношений. Приведите примеры. 334. Найдите отношения: 1 1) 3 к 13 65 17 68- 2) 11 к 22; 335. Замените отношение дробей отношением целых чисел: 2) 0,12:0,36; 2,5:1,5; 0,7:3,5. п ^-1- 4 ■ 6’ 7 ‘ и’ 2 ■ 4 ’ Образец: 3^ : = ^-^ = 1 = 1 :2. ^ 4242 2>^>^i2 83 336. Запишите отношение в виде дроби и, если можно, сократите ее: 1) 18:72; 2) 14:28; 3)10:13; 4)10:15; 5) 13:26; 6)23:69. 337. Найдите неизвестный член отношения: 3) = b 1) х:3- = 4; ' 5 2) л::3- = 1 —; 4) 12,5 :х = 2,5; 7 20 5) л::0,8 = 2-; 6) 4,95 : л: = 2,25. 338. У Иззата из 30 бросков баскетбольного мяча в корзину 28 были успешными. А у Сунната из 36 бросков успешными были 34. Чей результат лучше? {339. Из 500 семян проросли 460. Определите всхожесть семян. Указание. Под всхожестью семян понимают отношение числа проросших семян. Например, если из 400 семян проросли 380 семян, то всхожесть составляет ^ = 0,95. 400 Всхожесть обьино выражают в процентах. 0,95 = 95%. Это значит, что в среднем из 100 семян прорастают 95. Запишите отношение в виде дроби и, если можно, сократите ее: 36 : 27; 128 : 192; 49 : 35; 119 : 63; 60 : 108; 25 : 65. Замените отношение дробей отношением целых чисел: 1) — • 1Z- lA • 2 — - 4- '2-- ^ 63’27’ 13' 13’ 3' 6’ 2) 0,24:0,72; 0,125:0,25. ) Найдите неизвестный член отношения: 2) 72 : л: = 9; 3) 8,4 : л: = 7. 1) x:- = 8-; ' 1 4 ’ (34^Длина одного прямоугольника 12 см и ширина 8 см, а другого 24 см и 16 см соответственно. Найдите отношение: 1) их периметров; 2) их площадей. 84 23 г/ Пропорции. Основное свойство пропорции По основному свойству дроби отношение ^ можно записать в 4 8 , 4 12 4 16. о следующем виде: т = тт: (или - = —; т = Здесь записано равенство двух отношений. Это равенство читается так: «отношение 4 к 5 равно отношению 8 к 10» или «4 относится к 5 как 8 относится к 10». Равенство двух отношений называется пропорцией. Равенство ^ ^ ^сть пропорция. Ее можно также записать в виде 4 : 5 = 8 : 10. Отсюда следует 4 • 10 = 5 • 8, т. е. 40 = 40. Числа 5 и 8 называют средними членами пропорции, числа 4 и 10 — крайними членами пропорции. Вообще, для пропорции а: Ь = с: d (или - = -) имеет место о а равенство а ■ d - Ь - с. Обратно, если а, Ь, с и d неравные 0 числа, для которых имеет место равенство а ■ d = Ь ■ с, то числа а, Ь, си d образуют пропорцию d 85 средние члены Г~1 а:Ь = c:d 0=J> в - d = Ь -с 0=J> t_______\ Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции. крайние члены Пример 1. В пропорции 3:5 = 9:15 числа 3 и 15 — крайние члены пропорции, числа 5 и 9 — средние. Произведение крайних членов равно 3 ■ 15 = 45; произведение средних членов равно 5-9 = 45; 45 = 45, т. е. произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Пр имер 2. Образуют ли пропорцию числа 8, 7, 14, 16? Решение. Из данных чисел можно составить пропорцию 7 , так как 7 • 16 = 8 • 14. О 16 Ответ: да, образуют. Пример 3. Образуют ли пропорцию числа 1, 2, 3, 4? Решение. Из данных чисел нельзя составить пропорцию, так как 1 • 3 ^ 2 • 4, 1 • 4 2 • 3, \-2^Ъ-А. Ответ: из чисел 1, 2, 3, 4 пропорцию составить нельзя. Пр имер 4. Найдите неизвестный член пропорции: -7- = 7 • 6 3 Решение. Из основного свойства пропорции Зх = 6 • 2, Зх = 12, х = 4. Ответ: х- 4. Нахождение неизьестного члена пропорции обычно называют решением пропорции. 344. 1) Что называется пропорцией? Приведите примеры. Укажите в примерах средние li крайние члены пропорции. 2) Сформулир\Ч1те основное свойство пропорции и объясните его на примерах. 3) Что понимается под решение.м пропорции? 86 345. С помощью основного свойства пропорции проверьте, являются ли следующие равенства пропорциями: 5 • — = - 8 ^ 4 20’ 3 М = 0,1 0,02 ’ 4^ М = 1^ '4 5 ■ 346. Можно ли из двух отнощений составить пропорцию: 10 „ 40. -V 8 13 1,3 5 2)з”Т’ .. 87 174 „ 347. Составьте 4 пропорции, если их отнощения равны 1) 3; 2) 0,5; 3) I; 4) Образец. Например, отнощения пропорций 45:9 = 50:10; 55:11 = 75:15; 0,5 : 0,1 = 3,5 : 0,7; 8,5: 1,7 = 2,5:0,5 и т. д. равно 5. Можно составить бесчисленное множество таких пропорций, пользуясь основным свойством дроби. 348. Пешеход прошел 14 км за 3,5 часа. За какое время пешеход пройдет 8 км, если будет двшаться с той же скоростью? 349. Крайние члены пропорции равны 28 и 10. Один из средних членов пропорции рывен 35. Найдите неизвестный член пропорции. 350. Найдите неизвестный член пропорции: 1) х: 18 = 68: 17; 3)28:х=7:9; 5) 60: 15 = х: 2; 2) 18:5 = 72:х; 4) х: 9 = 35: 15; 6)55:х=5:3. 351. Составьте все юзможные пропорции, используя равенства: 1) 7-18 = 21-6; 3) 3,5 -6= 1,4 -15; 2) 11-20 = 5 -44; 4) 6 - 21 = 14 - 9. 352. Решите уравнение: . ч Зх 9 I I____= _____ • А 9 2) А = ^ 7х 35 ’ ^ч 18 2х ^^52 = 13’ 4)^ = i^ ^ 44 4х 4 20 353. Площади оснований двух прямоугольных параллелепипедов равны. Высота одного из них 6 см, а объем 72 см^. Найдите объем второго параллелепипеда, если его высота равна 7,2 см. 87 354. Найдите неизвестный член пропорции: т\ 1 2 5 ,3 2) 1_:__х:1у. 355. Составьте две пропорции, произведение крайних членов которых равно 36. Сколько таких пропорций можно составить? Объясните ответ и сделайте вывод. 356. Составьте две пропорции, произведение средних членов которых равно 42. Сколько таких пропорций можно составить? Объясните ответ и сделайте вывод. Решите уравнение: (357—358): х-3 2. .... 3 2 .,,5 х-4 5 ’ 357. 1) 15 3 ’ 7 7 И-')й = згзт; 2) 2) X + 1 3 2х - 1 3) - = -— ^ 3 12 4)^ 28 1 4’ '1\ 9 _ X + 3 ^ 2 4) Зх + 4 5 + X _ 7 3 2 |359. Какое число нужно добавить к числам 4, 12 и 20, чтобы из них можно было составить пропорцию? Сколько решений имеет задача? I Можно ли составить пропорцию из следуюших отношений: 1) 9 : 24 и 3 : 8; 3) I : 9 и 4 : 36; 2) 12:22 и 11 :6; 4) 18:21 и 6: 7? ) Пешеход прошел 10,5 км за 3 часа. Сколько километров пройдет пешеход за 4,5 часа, двигаясь с той же скоростью? (j62) Средние члены пропорции равны 63 и 54, а один из крайних равен 35. Найдите второй крайний член пропорции. (36^ Найдите неизвестный член пропорции: 1) x:36 = 7:35; 3)9: л: =27:4; 5) 18 : 4 = л:: 12; 2) 36 : 27 = 3,75 : х; 4) 38 : 4 = 57 : х; 6) 19 : х = 23 : 76. (364^ Можно ли составить пропорцию из следуюших отношений: 1) 26, 39, 6, 9; 3) 8, 16, 19, 36; 5) 8, 14, 4, 7; 2) 12, 24, 4, 8; 4) 14, 27, 7, 9; 6) 4, 6, 14, 21 ? 88 ОФ (5б^ Составьте пропорцию, пользуясь равенством: 1) 6-32= 2-96; 2)4-30=10-12; 3)1,25-16 = 2-10. (^6^ Решите уравнение: п If = ^- 1\ 11- ]-■ ' 8 “ 4 ’ 7^ “ 35 ’ 8 _ 4х. .4 6 _ 5 . 16 _ 4 5“Т5’ 3“^’ 5^"25- 24 Прямо пропорциональные величины Простейшими отношениями величин являются прямая и обратная пропорциональные зависимости. Объясним на примерах понятие прямой пропорциональной зависимости. Задача 1. За 1 час автомобиль проходит 70 км. Сколько километров пройдет автомобиль за 1,5; 2; 3; 4; 4,5; 6; 7,5; 8 часов, двигаясь с той же скоростью? Запишем решение задачи в виде следующей таблицы: Время (ч) 1 1,5 2 3 4 4,5 6 7,5 8 Скорость (км/ч) 70 70 70 70 70 70 70 70 70 Пройденный путь Ош) 70 105 140 210 280 315 420 525 560 Проанализировав таблицу, приходим к следуюшим выводам: 1-й вывод: путь, пройденный с данной скоростью, увеличивается во столько же раз, во сколько увеличивается время. За 1,5 часа автомобиль прошел 105 км. Увеличим время движения в два раза: 1,5 - 2 = 3 (ч). Тогда путь также увеличится в два раза: 210: 105 = 2. 2-й вывод: скорость (отношение пройденного пути к затраченному времени) остается неизменной. 70 _ 105 _ 140 1 “ 1,5 ““Г .. = ^ = 70. 89 Если при увеличении (уменьшении) некоторой величины в к раз вторая величина также увеличивается (уменьшается) в к раз, то такие величины назьшаются прямо пропорциональными. Если л: и у прямо пропорциональные величины, то соотношение между ними задается формулой ^ ^^ или У = к-х, к называется коэффициентом пропорциональности, к — натуральное число или дробь. Напоминание. Обычно одинаково направленные (J^J,) величины связаны прямой пропорционапьностью. Задача 2. ЗаЗм ткани заплатили 2 700 сумов. Сколько стоит 8 м этой ткани? Решение. Решим задачу, составив пропорцию. 3 м 8 м - - 2 700 сумов X CVMOB Составим пропорцию: — = 8 X (3 м соответствуют 2 700 сумам) (8 м соответствуют х су\!ам) :i7(in (ипи 3:8 = 2 700 : л:). По основному свойству пропорции имеем: Зл: = 2 700 • 8, от1':^’да х=2 700 -8:3 = 900 -8 = 7 200 (с\тмам). Ответ: 8 м ткани стоят 7 200 сумов. Задача 3. Представьте 48 в виде суммы чисел, прямо пропорциональных числам 5 и 11. (Иначе говоря, следует разделить 48 на части в отношении 5:11.) Решение. Обозначим одно из чисел через х, тогда второе б>дет 48 - X . По условию задачи имеем пропорцию х: (48 - х) = = 5 : 11. Тогда по основному свойству пропорции: 11х= 5 • (48 - х), т. е. 11х = 240 - 5х, 16х= 240, х= 15. Тогда второе число равно 48 - 15 = 33. Ответ: 15 и 33. И Задача 4. Представьте число а в виде суммы чисел, прямо пропорциональных числам А: и л (разделите а в отношении к: п). 90 Решение. Задача решается по следующей схеме: 1) сложим числа к w п : к + п\ а 2) разделим число а hsl к+ п: А + «’ 3) полученное частное вначале умножим на к, а затем на п: ----------- ктп к+п ак ап Отношение чисел т--и т—~ равно отношению к: п к+п к+п ^ ак . ап к+п'к+п - к : п Задача о разбиении числа а на 3, 4 части, пропорциональные данным 3, 4, ... , решается аналогично. Задача 5. Разделите число 72 на три части, прямо пропорциональные числам 3, 7, 8. Можно сказагь и так: разделите число 72 в отношении 3:7:8. Решение. I) 3 + 7 + 8 = 18; 2) 72 : 18 = 4; 3) 4 • 3 = 12; 4 • 7 = = 28; 4 • 8 = 32, следовательно, 12 = 12 + 28 + 32. Ответ: 12,28; 32. При этом 12 : 28 : 32 = 3 : 7 : 8. @367. 1) Что называется прямо пропорциональными величинами? Приведите примеры. 2) Какие зависимости ме;кду величинами вы знаете? 3) Существует ли зависимость мехсду вашим возрастом и: а) вашим ростом; б) вашим весом? Будет ли она прямо пропорциональной? 368. Автомобиль «Тико» расходует на 100 км пути 5,8 л горючего. На какое расстояние хватит 11,6 л горючего? 91 369. Скорость машины 60 км/ч. Какой путь она пройдет за 2,5 ч, за 3,2 ч, за 4 ч, за 4,3 ч? 370. Найдите площадь квадрата со стороной: 1) 5 см; 2) 8 см; 3) 15 см. Являются ли сторона квадрата и его площадь прямо пропорциональными величинами? Почему? 371. 2 кг винограда сорта хусайни продали за 600 сумов. Сколько будут стоить 3 кг; 4,5 кг; 6 кг винограда этого сорта? 372. В какой из следующих таблиц величины аиЬ связаны прямой пропорциональной зависимостью: 1) а 1 2 3 4 5 Ь 4 8 12 16 20 2) а 30 15 6 3 0,3 Ь 10 5 2 1 1 373. Для изготовления детали используют сплав золота и серебра в отношении 5 : 8. Найдите массу сплава, если масса золота 20 г. 374. Масса 15 см^ меди 133,5 г. Сколько будет весить 22 см^ меди? 375. Автомобиль «Матиз» движется со скоростью 80 км/ч. Заполните таблицу, где t — время, s — пройденный за это время путь. t(4) 0,2 1,2 2,4 3 3,5 4 V (км/ч) 80 80 80 80 80 80 S (км) 376. В 1 кг морской воды содержится 40 г соли. Сколько соли содержится в 2,5 и'; 3 кг; 0,5 кг морской воды? 377. От медной проволоки длиной 35 м и массой 840 отрезали кусок длиной 24,5 м. Чему равна масса оставшегося куска? 378. Разбейте число 84 в отношении: 1) 5:16; 2) 8 : 13; 3) 11 : 10; 4) 2: 19; 5) 17:4; 6) 1:6. 92 379. Чтобы не опоздать на поезд, пешеход должен пройти 7 км пути до станции за 1,5 часа. Первые 2,1км он прошел за 27 мин. Успеет ли он на поезд, двигаясь с той же скоростью? 380. Веревку разрезали на части в отношении 5:7: 13. Длина самой длиной части веревки больше самой короткой на 2 м 88 см. Найдите длины всех частей веревки. 381. Турист прошел расстояние из города А в город В, составляющее 105 км, за 3 дня. Пути, пройденные им за каждый из трех дней, пропорциональны числам 7; 6; 8. Сколько километров он прошел за каждый день? 382. Разделите число 120 в отношении 1) 4 : 5 : 3; 2) 15 : 16 : 9. И 383. Разделите число 798 на три части, прямо пропорциональные 2 3 4 числам 3» 4 и -. |384. На изготовление 27 водопроводных кранов требуется 7,56 кг меди. Сколько кранов можно изготовить из 19,6 кг меди? Н385. В 6-А” классе число девочек относится к числу мальчиков как 5 к 7. Какое из данных чисел 35, 36 и 28 соответствует истинному числу учашихся 6‘"^“ класса? (386) Мастер сделал | частей работы за 3^ часа. За сколько времени мастер выполнит у части работы? (Ж) Из 6 кг сахарной свеклы получают 0,6 кг сахара. Сколько сахара можно получить из 1,5 т сахарной свеклы? (ЗЙ)В какой из следуюших таблиц величины avib связаны прямой пропорциональной зависимостью: 1) а 2 4 6 8 10 Ь 8 16 24 32 40 2) а 60 30 15 12 10 Ь 10 5 2,5 2 0,1 (389)Веревка разрезана на части в отношении 2:4: 10. Длина самой маленькой из частей меньше самой большой на 2 м 40 см. Найдите длину каждой части веревки. 93 (390^ На поле площадью в 1 га требуется 190 щ посевных семян пшеницы. На сколько больше тонн семян потребуется на посевную площадь в 320 га по сравнению с количеством семян, необходимых для посевной площади 225 га? • 391.)Длины сторон треугольника пропорциональны числам 6; 8; 11, а его периметр равен 220 см. Найдите длины сторон треугольника. (59^ Стороны прямоугольника относятся как 3 :4. Длина большей стороны равна 16 см. Найдите периметр и площадь прямоугол ьника. (393^ Нигора прошла за | часа 3 км пути. За какое время она пройдет — км? Обратно пропорциональные величины Существует еще одна зависимость между величинами — обратно пропорциональная зависимость. Познакомимся с нею. Задача 1. Расстояние между двумя городами 540 км. С какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы преодолеть это расстояние за 4,5 ч; 5 ч; 6 ч; 8 ч; 9 ч; 10 ч; 12 ч? Решение задачи приведем в виде таблицы: Расстояние (км) 540 540 540 540 540 540 540 Время (ч) 4,5 5 6 8 9 10 12 Скорость (км/ч) 120 108 90 67,5 60 54 45 Изучив таблицу, приходим к следующим выводам: 1) во сколько раз увеличится время, во столько раз уменьиштся скорость; Для того чтобы пройти 540 км за 4,5 часа, скорость автомобиля должна составлять 120 км/ч. Увеличим время прохождения пути в 2 раза: 4,5 • 2 = 9. 94 Если теперь автомобиль пройдет путь 540 км за 9 ч, то его скорость должна составлять 540 : 9 = 60 (км/ч), т. е. скорость должна уменьшиться также в 2 раза; 2) произведение времени на скорость остается неизменным и равным 540 км. Действительно: 4,5 - 120 = 5 • 108 = 6 - 90 = 8 • 67,5 = ... = 12 • 45 = 540 (км). Если при увеличении (уменьшении) одной величины в к раз {к > 0) связанная с ней вторая величина уменьшится (увеличится) в к раз, то эти величины связаны обратной пропорциональной зависимостью. 1?;-Л Если л: и у обратно пропорциональные величины, то связь между ними определяется с помощью формулы х ■ у = к, здесь к — коэффициент обратной пропорциональности, к — натуральное или дробное число. Задача 2. Для перевозки некоторого груза требуется 10 3-тонных грузовиков. Сколько для этой цели потребуется 5-тонных грузовиков? Решение. Решим задачу составлением пропорции: lot (10 3-тонных машин) X I {х 5-тонных машин). Количество автомашин и их грузоподъемность — обратно пропорциональные величины. Составим пропорцию: I = ^ (или 3 : 5 = л:: 10). Тогда 5л: = 3 ■ 10, л: = 3 • 10:5 = 6 (машин). Ответ: потребуется шесть 5-тонных машин. Напоминание. Обычно обратная пропорциональная зависимость между величинами обозначается значком (it). I Задача 3. Представьте число а в виде суммы чисел, обратно пропорциональных числам кип. 95 Решение. Разделить число а обратно пропорционально числам к ид — это значит разделить число а прямо пропорционально числам 11 11, - и т. е. в отношении - : -= п : к. к п к п Правило для этого следующее: 1) вычисляют к + гг, 2) делят а \\2i к+п\ к + п' т. а ап ак 3) умножают 7— вначале на п, затем на к. Числа т~: и к-\-п обратно пропорциональны числам кип: ак к л-п А + я ап _ к+п ’ к + п = п: к. Ответ. ап ак к+п' к+п' Задача представления числа а в виде суммы чисел, обратно пропорциональных 3-м, 4-м, ... числам, решается аналогично. Задача 4. Представьте число 36 в виде суммы чисел, обратно пропорциональных числам 2, 3, 7. Решение. \)2 + Ъ + 1 =\2', 2)36:12 = 3; 3)3-7 = 21; 3 • 3 = 9; 3 ■ 2 = 6. Следовательно, 36 = 21 +9 + 6. При этом числа 21, 9, 6 обратно пропорциональны числам 7, 3, 2; 21:9:6 = 7:3:2. Ответ: 21; 9; 6. (^394. 1) Какие величины называются обратно пропорциональными? 2) Как разделить число на части, обратно пропорциональ-, ные двум числам? Объясните на примерах. 395. Поезд, двигаясь со средней скоростью 60 км/ч, прошел путь между двумя городами за 8 ч. С какой средней скоростью должен двигаться поезд, чтобы пройти этот путь за 10 ч? 396. Путник шел 3,2 ч со скоростью 4,5 км/ч. С какой скоростью нужно идти путнику, чтобы пройти тот же п>ть за 2,4 ч? 96 397. X и у — обратно пропорциональные величины. Найдите коэффициент пропорциональности и заполните таблицу. X 10 25 8 2,5 20 0,5 у 40 ,3 5 8 25 32 398. 399. 400. 401. 402. 403. 404. 405. 406. от 10 рабочих закончили отделку квартиры за 18 дней. За сколько дней выполнили ту же работу 15 рабочих, работающих с той же производительностью? Разделите числа 1) 63; 2) 72 на две части, обратно пропорциональные числам 1) 5 и 4; 2) 3 и 5 соответственно. Расстояние между Ташкентом и Самаркандом 354 км. С какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы пройти этот путь за 6 ч, 7,5 ч, 8 ч? Разделите числа 1) 77; 2) 56 на четыре числа, обратно пропорциональные числам 1) 1, 2, 3 и 5; 2) 1, 4, 5 и 6 соответственно. Автомобиль, двигавшийся со скоростью 56 км/ч, прошел путь между Ташкентом и Бухарой за 11 ч. Сколько времени понадобится автомобилю на тот же путь, если он увеличит скорость на 21 км/ч? Разделите число 540 на части: 1) прямо пропорциональные; 2) обратно пропорциональные числам 4; 5 и 9. Решите уравнение: 1) 3,6:2,4 - 9:х; 4) 2,7 :х = 1,2 : 0,8; 2) 2,8: 0,7 = х: 8; 5) х: 8,4 = 3,5 : 2,1; 3) 6,3 : X = 2,1 : 1,5; 6) 6,4 : 1,6 = 4,8 : х. Три числа относятся как 2:3:8, а их сумма равна 67,6. Найдите разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Расстояние между Ташкентом и Гулистаном 118 км. С какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы пройти этот путь за 1) 2 ч; 2) 2,5 ч? 7— Математика, 6 класс 97 407. Велосипедист ехал 5 ч со скоростью 12 км/ч. С какой скоростью должен ехать велосипедист, чтобы преодолеть тот же путь за: 1)4 ч; 2) 3 ч? |408. 12 рабочих выполнили некоторую работу за 8 ч. Сколько рабочих нужно для того, чтобы выполнить эту работу за 6 ч? |409. 8 рабочих выполнили работу за 6 дней. За сколько дней выполнят эту работу 12 рабочих, работая с той же производительностью? @) Пешеход, двигаясь со скоростью 3,6 км/ч, прошел весь путь за 2,5 ч. Сколько времени он потрагит на дорогу, двигаясь со скоростью 5 км/ч? (^П^1) Разделите число 22,4 на две части, обратно пропорциональные числам 4 и 10; 2) разделите число 36,8 на две части, обратно пропорциональные числам 3 и 5. (412^Для перевозки груза машине грузоподъемностью 7,5 т потребовалось 12 рейсов. Сколько рейсов потребуется машине грузоподъемностью 9 т для перевозки того же груза? (413) Расстояние между Ташкентом и Наманганом 432 км. С какой ' скоростью должна двигаться машина, чтобы пройти этот путь за: 1) 6 ч; 2) 8 ч; 3) 9 ч? Выход волокна при переработке Ют хлопка составляет 2,4 т. Сколько хлопка нужно переработать, чтобы получить 6 т юлокна? Масштаб На карте расстояние АВ равно 95 см. А на местности? Расстояние между Ташкентом и Термезом 700 км. Каким будет это расстояние на карте? I .' Масштаб 1: 1000000 в I см 10 км 98 Вы знакомы с понятием масштаба из курса географии. Познакомимся с ним подробнее. Масштабы используются не только в географии, но и при составлении чертежей деталей и планов строительных работ. Длина произвольного отрезка на чертеже и соответствующая ему действительная длина — прямо пропорциональные величины. Масштаб — это число, показывающее, во сколько раз единица измерения на чертеже больще (меньше) единицы измерения в реальности. Масштаб на чертежах и картах записывают в виде М 1 : 100, М 1 : 1 000, .... Запись М 1: 1 000 означает, что расстояние на чертеже в 1 000 раз меньше действительного расстояния. Для того чтобы крупным планом изобразить мелкие предметы, используются масштабы 10 : I; 100: 1;.... Такой масштаб показывает, что размеры изображения на чертеже в 10 раз, 100 раз, ... больше размеров самих предметов. Задача 1. Масштаб чертежа 1:400. На чертеже размеры игровой плошадки 50 см на 40 см. Каковы ее истинные размеры? Решение. Пусть истинная длина плошадки х см. Составим пропорцию: 50 : X = 1 :400, откуда л: = 50 ■ 400 = 20 000 (см) = 200 (м). Пусть истинная ширина площадки у см. Тогда 40: у = 1 :400, т. е. у = 40 • 400 = 16 000 (см) = 160 (м). Ответ: длина плошадки 200 м, ширина 160 м. Задачу можно решить более коротким путем. Из определения масштаба следует, что для определения истинньгх размеров надо размеры на плане увеличить в 400 раз: 50 • 400 = 20 000 (см) = 200 (м); 40 • 400 = 16 000 (см) = 160 (м). Задача 2. На чертеже виноградник, длина которого 360 м, а ширина 240 м, изображен в форме прямоугольника с масштабом 1: 1 200. Каковы измерения виноградника на чертеже? 99 Решение. Истинные размеры виноградника в 1200 раз больше, чем на чертеже. 360м _ Зм _ 1200 “ Поэтому длина виноградника на чертеже 300 см 240м 2 м 200 см " —= Ответ. Измерения виноградника на чертеже 30 см на 20см. Задачу можно было решить и составлением пропорции. Обозначим на чертеже длину основания прямоугольника через хсм. Составим пропорцию согласно условию задачи, при этом следует принять во внимание, что 360 м = 36 000 см, так как на чертеже расстояния измерены в сантиметрах: X: 36 000 = 1: 1200, откуда 1200х = 36 000, т. е. х = 30 (см). Если обозначить длину высоты прямоугольника через у, то у: 24 000 = 1: 1200, откуда 1200у = 24 000, у = 20 (см). Задача 3. Величина насекомого на рисунке 5 см. Истинная величина составляет ^ см. Во сколько раз увеличено изображение насекомого по сравнению с реальностью? Решение. 5:^ = 5-20 = 100 (раз). Следовательно, масштаб рисунка 100: 1. Таким образом, для того чтобы найти истинный размер насекомого, соответствующий размер на чертеже надо разделить на 100. Ответ: увеличено в 100 раз. (2)415. 1) Что вы понимаете под масштабом? Приведите примеры. 2) Какие вы знаете задачи, связанные с масштабом? Вы поняли, как решались 4 задачи, данные в тексте? 3) В чем разница между масштабами 1:1,1: 100, 1 : 1000, ... и масштабами 10 : 1, 100 : 1, 1000 :!,...? 100 416. Расстояние между пунктами /1 и 5 на местности 30 км. Каким будет расстояние АВ на карте с масштабом 1 : 500 000? 417. С какой скоростью двигался мотоциклист, преодолевший за 2 ч 40 мин расстояние, которое на карте с масштабом 1 : 1 500 000 изображается отрезком длины 12,8 см? 418. Скорость поезда 60 км/ч. За какое время поезд покроет расстояние, которое на карте с масштабом 1:2 500 000 изображается отрезком длины 16 см? 419. Расстояние между двумя пунктами на карте равно 6,5 см, в действительности же 13 км. Найдите масштаб карты. 420. На рисунке 8 изображены земельные участки прямоугольной формы. Выполнив необходимые измерения, найдите периметр и площадь земельных участков. а) б) Рис. 8. 421. Каким будет истинное расстояние между городами А и В, если с масштабом 1 : 3 000 000 отрезок АВ имеет длину 3,4 см? 422. Каким будет расстояние между двумя городами на карте с масштабом 1 : 1 000 000, если истинное расстояние между ними равно 400 км? 423. На чертеже с масштабом 1 : 3 длина прямоугольника 6 см, ширина — 4,8 см. Какими будут измерения того же прямоугольника на чертеже с масштабами 1: 12; 1 : 18? 424. Расстояние между двумя городами 400 км. Каким будет это расстояние на карте с масштабом 1: 2 000 000? 101 425. Расстоянию 2,7 см на карте соответствуют 54 км на местности. Найдите расстояние между двумя городами, если на карте расстояние между ними 12,6 см. 426. На плане стороны комнаты прямоугольной формы 5 см и 3 см. Найдите измерения комнаты, если масштаб плана 1 : 300. 427. Пользуясь картой Узбекистана, найдите расстояние между центром вашего вилоята и различными его пунктами. 428. Насекомое на рисунке имеет размер 6 см. Его действительный размер 0,1 см. Каков масштаб рисунка? 429. Длина и ширина хлопкового поля прямоугольной формы на плане с масштабом 1 : 20 000 4,5 см и 3,2 см соответственно. Какой урожай планируют получить с этого поля, если плановая урожайность 45 ц хлопка с 1 га? |430. Два корабля, плывуших навстречу друг другу, разделяет расстояние 33 км. Когда встретятся корабли, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости второго и их скорости относятся как 5 : 6? V 431.)Длина реки Сырдарьи 2137 км. Округлите ее до сотен. Какой ^ будет приближенная длина реки на карте с масштабом 1 : 2 500 000? ^32^Расстояние по карте между пунктами А w В 1,2 см, в действительности же 360 км. Найдите масштаб карты. '433^Расстояние между Ташкентом и Термезом 708 км. Найдите, каким оно будет на карте с масштабом 1: 2 000 000? (43^Расстояние по карте между пунктами А vi В равно 5 см. Найдите масштаб карты, если истинное расстояние между ними: 1) 25 км; 2) 30 км; 3) 40 км; 4) 45 км; 5) 50 км. (435^Начертите треугольники со сторонами: 1) 5 м, 4 м и 4,5 м; 2) 2,8 м, 2,8 м и 3 м в масштабе 1:200. 102 (43(^) Стороны прямоугольного поля с площадью 50 га изображены на плане отрезками 25 см и 20 см. В каком масштабе выполнен план поля? Тест Проверьте себя! 1. Какие отношения составляют пропорцию? 1) 26 : 5,2 и 39 : 7,8; 3) 10,5 : 3 и 31,5 : 9; 2) 7,5 : 2,5 и 2,5 : 1,5; 4) 1 : 2 и 1,6 : 3,5. А) 1; 3 В) 1; 2 С) 3; 4 D) 2; 4 Е) 1; 4. 2. Найдите неизвестный член пропорции: 22,5 : д: = 45 : 6. А) 2,5 В) 6 С) 3 D) 4,5 Е) 4. 3. Пешеход идет со скоростью 4 км/ч. Сколько километров пройдет пешеход за 2,5 ч, двигаясь с той же скоростью? А) 9,4 км В) 8,6 км C) 10 км D) 11 км Е) 8,25 км. 4. Автомобиль двигался 3 ч 20 мин со скоростью 72 км. С какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы пройти тот же путь за 2 ч 40 мин? А) 96 км/ч В) 82 км/ч С) 100 км/ч D) 85 км/ч Е) 90 км/ч. 5. Сена на сеноваде хватит четырем баранам на 12 дней. На сколько дней хватит этого корма трем баранам? А) 9 дней В) 20 дней С) 10 дней D) 18 дней Е) 15 дней. 6. Расстояние между двумя городами 480 км. Масштаб карты 1: 1 000 000. Каким будет расстояние между городами на карте? А) 4,8 см В) 24 см С) 96 см D) 48 см Е) 50 см. 7. Измерения сада прямоугольной формы на плане с масштабом 1:200 составляют 50 см и 60 см. Найдите площадь сада. А) 5 га В) 0,6 га С) 6 га D) 1 га Е) 1,2 га. 103 т Исторические сведения ■ «соразмерность» Абу Райхан Беруни (973-1048) Пропорция от лат. proportio имеет тот же смысл. Великий древнегреческий ученый Евклид в своих «Началах» посвятил пропорции достаточно много страниц текста. Евклид выводит из пропорции а : Ь= с: d такназьшаемые производные пропорции: Ь : d:c; а :с = Ь: d;{a + Ь): Ь = {с + d) : d; (а — b) : b = {с — d): d; а : {а — b) = с : {с — d). Правило нахождения неизвестного члена пропорции а : Ь = с : X носит название «правила трех величин». Это правило приведено в одном из сочинений великого ученого Абу Райхана Беруни (973—1048). Беруни распространяет это правило на 5,7 и даже 15,17 величин. Он известен сюими работами в области математики, геодезии и других наук. Приведем одну из задач Беруни. Задача Беруни. Сколько прибыли принесут 8 дирхемов за 3 месяца, если 10 дирхемов приносят за 2 месяца 5 дирхемов прибыли? Решение. Обозначим искомую прибыль через х. По «правилу пяти величин» можно написать: в левом столбце приведены данные задачи. В правом столбце собраны искомая величина х и связанные с ней величины. Из 6 данных величин известны 5 (отсюда и название «правило пяти величин»). Составим отношение изданных ю второй „ . 10 2 „ и третьей строке и найдем их произведение: - По О 3 10 8 2 3 5 JC данным третьего столбца составим отношение — . Приравняем их: ^ . Отсюда х = 6 (дирхемов). о J .V Ответ: 6 дирхемов прибыли. 104 от § 5. Проценты 1. Понятие о процентах. 1 процент — это одна сотая часть любой величины. Для того чтобы найти один процент данной величины, надо разделить ее на 100. «Процент» имеет смысл одной сотой доли (от лат. pro centum — на сто). Вместо слова «процент» используют значок «%». Например, 12% — читают: «двенадцать процентов». Можно по-другому записать определение процента: 1% = ^=о,01. Пример. 1) Найдите 1 % от = 1,2. 2) Найдите 1 % от 10м: =0,1м=1 дм. При вычислениях удобно использовать проценты в виде десятичных дробей. 105 Для того чтобы записать процент в виде десятичной дроби, нужно число, стоящее перед знаком процента, разделить на 100 (или умножить на 0,01). Например: 1)5% = 5: 100 = 5- 0,01 = 0,05; 2) 50% = 50 : 100 = 50 • 0,01 = 0,5; 3) 100% = 100 : 100 = 100 ■ 0,01 = 1. Для того чтобы записать число в виде процента, нужно умножить это число на 100 (или разделить на 0,01) и приписать рядом знак %. Например: 1) 0,1 =0,1 • 100% = 10%;2) 1 = 1- 100% = 100%. Следующей таблицей удобно пользоваться при решении задач на проценты: Обыкновен- Десятичная Соответствую- Обыкновен- Десятичная Соответствую- ная дробь дробь ший процент ная дробь дробь ший процент 1 100 0,01 1% 2 5 0,4 40% 1 20 0,05 5% 1 2 0,5 50% 1 10 0,1 10% 3 4 0,75 75% 1 5 0,2 20% 4 5 0,8 80% 1 4 0,25 25% 9 10 0,9 90% 1 8 0,125 12,5% 19 20 0,95 95% 3 10 0,3 30% т<-> 1,0 (= 1) 100% 106 Понятием процента пользуются в хозяйственных, финансовых, экономических и статистических расчетах. 2. Понятие промилле. 1 промилле — это одна тысячная часть любой величины. Для того чтобы найти промилле данной величины, надо разделить эту величину на 1000. Промилле обозначается знаком %о. Таким образом. 1%0 = 1 1000 = 0,001. Значит, 1% = 0,01 = 10 • 0,001 = 10 • 1%о = 10%о. Промилле имеет смысл одной тысячной доли (от лат. pro mitte — на тысячу). Понятием промилле пользуются при расчетах составов смесей, растворов и т. д., приготовлении лекарств. (2) 437. 1) Что называется процентом? 2) Как записывается число в виде процента? 3) Как записывается процент в виде десятичной дроби? 4) Что называется промилле? Чему равно 1 %о ? 438. (Устно.) Найдите 1 % от 150; 300; 45; 6; 3,4; 25,5; 1050. 439. Найдите 1 % от 24,7; 93,9; 6,7; 0,85; 40,1; 354,4; 450,2. 2 440. Чему равен 1 % от суммы чисел 13,7; 24 j и 42,8? 441. При перевозке кирпича ломается 1 %. Сколько останется целых кирпичей при перевозке 15 000 штук? 442. Найдите 1 % от произведения чисел 1) 3,8 и 8,5; 2) 6,4 и 7,5. Вычислите с помощью таблицы на странице 106 (443— 446, 451-454): 443. 1) 52 от 25%; 3) 60 от 30%; 2) 140 от 10%; 4) 280 от 10%. 107 444. С молока снимают 10 % сливок. Сколько сливок снимут с 30 кг молока? с 45 кг молока? 445. Сколько миллилитров от 2,3 л; 4 л; 0,5 л воды составляют: 1) 1%о; 2) 10%,,? 446. Файзулла-ака получил премию 72 000 сумов. На 40 % этой суммы он купил детям подарки. Сколько денег от премии у него осталось? 447. Масса лекарства 50 г. Оно составлено из 4 компонентов, массы которых относятся как 1: 2 : 3 :4. Сколько граммов и сколько процентов массы лекарства приходится на каждый компонент? |448. 1 % от пройденного автомобилем пути составляет 6 км. Какой путь проделал автомобиль? .44^) Найдите 1% от 50 м; 250 дм; 200 мм; 30 кг; 76 ц; 5 т; 50 мм. 45(^ Найдите 1% от суммы, разности, произведения и частного чисел 25,6 и 10,5. ч451у У Абдулхай-ота было 40 000 сумов. 20 % этих денег он потратил на подарки внукам, а 10% от остальных — на лекарства. Сколько денег у него осталось? ^45^ У Бахром-ака было 85 000 сумов. На 10% этих денег он купил сыну тетради, а на оставшиеся деньги — одежду. Сколько стоила одежда? ' 4^^ В школе 1 200 учащихся. Из них 25% учатся только на отлично. Сколько таких учащихся в школе? Найдите 20% от среднего значения чисел 4,5; 5,9; 26,8; 7,4. Нахождение процента от данного числа Задача 1. В банк положили 36 000 сумов. Банк платит по вкладу 24 % годовых. Какую прибыль получит вкладчик через год? Решение. 1-й способ. Решим задачу составлением пропорции. 108 Так как 36 000 сумов — вклад, принимаемый за 100 %, х — процент по вкладу, равный 24 %, то для нахождения его денежного выражения составим пропорцию. Имеем 36 000 --- 100% I (вложенная сумма 100%) 1 24% (из нее 24 % х) Откуда, вследствие прямой пропорциональной зависимости между вкладом и процентом по вкладу: 36 000 : х= 100 : 24, т. е. 36 000 _ основному свойству пропорции, ЮОх = 36 000-24, X = 8640 (сумов). 2-й способ. Выразим 24 % в виде десятичной дроби: 24% = 0,24. Тогда часть вклада, составляющая 0,24 от 36 000: 36 000 • 0,24 = 360 • 24 = 8 640. Ответ'. 8 640 сумов. Задача нахождения процента от данного числа — это задача нахождения части от числа. Задача 1 сводится, таким образом, к нахождению 0,24 от 36 000. Задача 2. Найдите р % числа а. Решение. р% соответствует десятичная дробь Тогда частей числа а равны Для того чтобы найти процент данного числа, надо это число умножить на десятичную дробь, соответствующую этому проценту. 455. 1) Как находить процент от даного числа? Объясните на примерах. 2) Чему равны 100 % от данного числа? ч_ 109 456. Выход волокна из хлопка-сырца — 30%. Сколько волокна можно получить при переработке 100 т хлопка-сырца? 457. (Устно.) Найдите числа: 1) 300 от 40%; 4) 500 от 30%; 2) 280 от 25 %; 5) 420 от 10 %; 3) 250 от 20 %; 6) 1 000 от 60 %. 458. За два дня заасфальтировали 8 км дороги. За первый день — 40 %. Сколько километров заасфальтировали за второй день? 459. Площадь территории Республики Узбекистан 448,9 тыс. км-. Горы и предгорья составляют 20% этой площади. Сколько квадратных километров приходится на горы и предгорья? 460. Длина стороны AD прямоугольника ABCD равна 10,8 дм. Длина стороны АВ составляет 75 % от длины стороны AD. Найдите периметр и площадь этого прямоугольника. 461. Масса крови взрослого человека составляет в среднем 7,5 % его массы. Какова масса крови взрослого человека с весом 70 кг? С весом 90 кг? 462. Во всех щестых классах щколы 180 учащихся. В I четверти число отличников составило 20 % от этого числа. Во II четверти число отличников увеличилось на 4 человека. Сколько учащихся закончило первое полугодие на отлично? 463. Из Тащкента и Намангана, расстояние между которыми равно 432 км, одновременно навстречу друг другу выехали две автомащины. Скорость первой автомащины 60 км/ч, скорость второй составляет 80 % скорости первой. Через какое время автомащины встретятся? |464. Среднее арифметическое двух чисел равно 25,6. Первое число составляет 60 % второго. Найдите эти числа. |465. От рулона ткани отрезали 30 %, а затем еще 40 % от оставщейся ткани. Сколько процентов ткани осталось от всего рулона? 110 Щ466. У Фархада бьыо 2400 сумов. 25 % этих денег он потратил на мороженое, а на 75 % оставшихся денег купил тетрадь. Сколько денег осталось у Фархада? ^467^Вычислите: 1) 32% от 96; 3) 16% от 4,5; 2) 45% от 840; 4) 55% от 69,6. '^468^За три отреза ткани заплатили 24 000 сумов. За первый отрез заплатили 30% всех денег. Второй отрез дороже третьего на 5120 сумов. Сколько стоил каждый отрез ткани? (469^ При сушке чайного листа получают 4,2 % чая. Сколько чая получится в результате сушки 1) 350 кг; 2) 460 кг; 3) 500 кг; 4) 750 кг чайного листа? (47ф В школе 1 200 учашихся, 49 % из них — мальчики. Сколько мальчиков учится в школе? (471) Среднее арифметическое двух чисел равно 15,6. Найдите эти числа, если первое число составляет 30 % от второго. (372) Длина стороны AD прямоугольника ABCD равна 30 см. Длина стороны АВ составляет 60 % от длины стороны AD. Найдите периметр и плошадь этого прямоугольника. 1^73^Площадь территории Бухарского вилоята 40,3 тыс. км^. 90 % этой плошали приходится на пустыню Кызылкум. Найдите плошадь пустыни. 29 Нахождение числа по данному проценту Задача 1. Динара купила за 150 сумов мороженое. Это составило 30 % ее денег. Сколько денег было у Динары? Решение. Надо найти число, 30% которого составляют 150 сумов. 1-й способ. 1. Найдем 1 % денег Динары: ^ = 5 (сумов). 111 2. Тогда общая сумма денег у Динары составляет 100 %: 5 • 100 = 500 (сумов). Ответ: 500 сумов. Действия, выполненные в этапах 1 и 2, можно записать следующим числовым выражением: 150:30- 100. Его числовое значение равно 500. 2-й способ. Задачу можно рещить составлением пропорции. Примем общую сумму денег за х. Тогда 1 150 X 30% 100%. 1 Так как рассматриваются прямо пропорциональные величины, 150 30 можно записать, что — = . X 100 По основному свойству пропорции: 30х= 150 ■ 100, х= 150 • 100 : 30 = 500 (сумов). Задача 2. Найдите число, q% которого равны Ь. Решение. 1) Найдем 1% числа />: т; 2) Теперь для нахождения числа умножим - на 100: */ f.ioo. Для того чтобы найти число по данному его проценту, надо разделить это число на десятичную дробь, равную этому проценту. Р474. 1) Как найти число по его проценту? ^_______2) Чему равно число, 1% которого составляет: 1; 0,01? 475. (Устно.) Найдите число в соответствии с данным его процентом: 1) 3% которого равны 75; 3) 130% которого равны 520; 2) 45% которого равны 135; 4) 150% которого равны 900. 476. Найдите число, 7% которого равны 14; 1,4; 0,21; 210; 0,35; 7; 28; 42; 6,3; 0,56. 112 477. Угилой купила ткани на 9 000 сумов, что составило 45 % ее денег. Сколько денег было у Угилой? 478. Какое число больше и насколько: 1) Число, 20 % которого равны 48, или число, 18 % которого равны 36? 2) Число, 16 % которого равны 3,2, или число, 22 % которого равны 8,8? 479. 55 % учащихся 6"'" класса — девочки. Мальчиков на 4 меньше. Сколько учеников в классе? 480. 70 % длины прямоугольника составляют 28 см. Ширина составляет 80 % его длины. Найдите периметр и площадь этого прямоугольника. 481. Велосипедист проехал 54 км, что составляет 45 % всего пути. Сколько километров осталось ему проехать? 482. Длина отрезка АВ 14 см, что составляет 35 % отрезка CD. Чему равна длина суммы этих отрезков? 483. Длина автомобильной дороги из Джизака до центра Пахтаабадского района 27 км. Это составляет 15 % расстояния между Джизаком и Ташкентом. Найдите расстояние между этими городами. 484. 12 учащихся шестого класса приняли участие в школьных соревнованиях по шахматам. Это число составляет 15 % общего числа учеников этого класса. Сколько учеников учится в 6 классе? 485. Если из числа а вычесть 80 % от этого числа, останется 80. Найдите это число. 486. Сумма чисел ^ ^ ^ 2 ^ составляет 59 % неизвестного числа. Найдите это число. 487. Турист проплыл на лодке 8 км пути. Путь, пройденный туристом пешком, составляет 80 % пути, который он проплыл на лодке. Сколько километров прошел турист пешком? 113 о« 8— Математика, 6 класс 488. В фермерском хозяйстве скосили пшеницу за 2 дня, причем во второй день убрали урожай с плошали на 8 га большей, чем в первый день. Найдите плошадь поля, если в первый день убрали урожай с 40 % площади. 489. В фермерском хозяйстве в первый день посеяли хлопок на 45 %, а во второй день на 35 % посевной площади. После этого осталось 80 га площади под посев хлопка. Какую плошадь отвели в хозяйстве под посев хлопка? 490. Найдите число, 1) 12% которого равны 24 % от 70; 2) 38 % которого равны 12 % от 30. |491. Цена изделия была повышена на 20 %. Через некоторое время новую цену снизили на 15 %. На сколько процентов последняя цена больше первоначальной? Сколько хлопка понадобится для получения 180 т волокна, если выход волокна из хлопка-сырца равен 30 %? А для получения 270 т волокна? (J493^ После снижения цены на 15 % метр ткани стоит 4080 су-мов. Какова первоначальная цена одного метра ткани? После двукратного повышения цен на 10 % цена изделия составила 2904 сума. Какой была первоначальная цена изделия? (^9^55 % учащихся школы — девочки. Девочек больше, чем мальчиков на 180 человек. Сколько всего учащихся в школе? (^9^ Продав изделие по 372 сума, фирма понесла 7 % убытка. По какой цене предполагалось продавать изделие? (^97^Турист прошел 32 % всего пути, после чего до середины пути ему осталось пройти 7,2 км. Найдите длину всего пути. (59^ Сумма чисел 15,6 и 11,2 составляет 33,5% неизвестного числа. Найдите это неизвестное число. 114 Процентное отношение двух чисел Задача 1. Из 35 учащихся класса 21 ученик посещает различные кружки. Какой процент учащихся занят в кружках? Решение. Примем общее число учащихся в классе за 100 %. Пусть х% учащихся заняты в кружках. Тогда, исходя из прямой пропорциональной зависимости 35 21 - 100% х%, ' 35 100 приходим к пропорции: — = По основному свойству пропорции: 35х = 21 • 100, JC = 21 - 100 : 35 = 60 (%). Ответ: 60 %. Приходим к следующему выводу: Процентным отношением двух чисел называется отношение этих чисел, выраженное в процентах. Процентное отношение двух чисел показывает, какую часть в процентах одно число составляет от другого. Для того чтобы найти процентное отношение двух чисел, нужно: 1 шаг: первое число разделить на второе; 2 шаг: умножить частное на 100 и поставить рядом знак %. Задача 2. Найдите процентное отношение числа к от числа п. Решение. Если обозначить процентное отношение этих чисел через X, то, согласно правилу, х = -.100%. п 115 499. 1) Что называется процентным отношением двух чисел? 2) Что показывает процентное отношение двух чисел? 3) Как найти процентное отношение двух чисел? 500. 501. 502. 503. 504. 505. 506. 507. 508. 509. 510. @) Найдите процентное отношение чисел: 1) 36 к 75; 3) 1,2 к 4,8; 2) 4,5 к 9; 4) 5 к 1,25. Плошадь сада 40 га. 16 га отведено под яблони. Найдите, какую часть сада в процентах отвели под яблони. Плошадь дома 104 м% а плошадь гостиной — 13 м-. Сколько процентов составляет гостиная от плошади дома? Из доставленных в магазин 200 лампочек 196 оказались исправными, а оставшиеся — негодными. Сколько процентов составляют негодные лампочки от обшего числа? Из 900 семян не взошли 36. Найдите процент всхожести семян. На сколько процентов 1) 128 больше 64? 2) 168 больше 84? 3) 105 больше 35? 4) 4,5 больше 1,5? После снижения цены ткань, продававшаяся по 1600 су-мов, стала стоить 1440 сумов. На сколько процентов снижена цена 1 м ткани? Из 20 т неочишенного риса выходит 15 т шлифованного риса. Найдите процент выхода риса. В 6"^” классе 16 мальчиков, а девочек на 8 больше. Какую часть в процентах от всех учашихся составляют девочки? На сколько процентов мальчиков меньше, чем девочек? Мухаббат прочла 240 страниц из книги объемом 320 страниц. Какую часть книги в процентах прочла Мухаббат? 3 Продали - количества сахара, привезенного в магазин. Сколько процентов сахара осталось? Из 32 кг сливы остается после сушки 12,8 кг чернослива. Какой процент чернослива получается после сушки сливы? 116 (^1^Из посаженных 650 саженцев яблони принялись 624, а остальные высохли. Сколько процентов приходится на высохшие саженцы от принявшихся? ■51^20 % первого числа равно 1,5, 26 % второго — 7,8. Сколько процентов составляет второе число от первого? (514^1) На сколько процентов число 25 меньше числа 50? На сколько процентов число 50 больше числа 25? 2) На сколько процентов число ^ меньше числа 7? На б 4 (51^В школьной библиотеке 56 000 книг. Из них 35 000 — учебники, остальные относятся к художественной литературе. Какую часть книг библиотеки в процентах составляют учебники? На сколько процентов учебников больше, чем остальньгх книг? (,516^ Предприятие изготовило за день 750 изделий вместо запланированных 600. На сколько процентов повысилась производительность труда? (517^ Из 600 кг зерна на мельнице получили 480 кг муки. Сколько процентов муки получают из зерна? (51^ Фермер засеял 360 га посевной плошади хлопком, а 120 га засеял рисом. Сколько процентов составляет шюшадь, засеянная рисом, от плошади, засеянной хлопком? А от всей плошади? (51^ Продано 0,375 привезенной со склада муки. Выразите в процентах, сколько муки было продано и на сколько процентов муки осталось больше, чем было продано. сколько процентов число - больше числа -? 4 8 Диаграммы Для получения наглядных представлений о числах, сведениях, полученных в результате измерений разных величин, таблиц, составленных из них, в практической работе используются диаграммы. Диаграммы бывают трех видов: круговая, линейная, столбчатая. 117 1. Круговые диаграммы. Рассмотрим задачу 1. Результаты письменной работы по математике в 6 классе представлены в следующей таблице: Оценки «5» «4» «3» «2» Число учеников 6 11 17 2 Представим эти сведения в виде круговой диаграммы. Решение. В классе всего 6 + 11 + 17 + 2 = 36 учеников. Так как полный угол равен 360°, то одному учащемуся сответствует центральный угол 360°: 36 = 10°. В этом случае на 6 учеников приходится 60°, на 11 учеников — 110°, на 17 учеников — 170° и на 2 ученика —20°. Начертив круг некоторого радиуса, строим 4 части (сектора) с соответствующими центральными углами 60°, 110°, 170° и 20° (рис. 9). Обычно секторы раскраишвают в разные цвета или по-разному защтриховывают. Представление сведений в подобном виде называется круговой диаграммой. Рис. 9 Сведения, представленные в виде процентов, также можно представить в виде круговой диаграммы. Задача 2. 40 % учеников 6 класса — мальчики, 60 % — девочки. Изобразите эти сведения на круговой диаграмме. Решение. 360°: 100 ■ 40 = 144°, 360°: 100 • 60 = 216°. Таким образом, сектор с центральным углом 144° соответствует числу мальчиков, а сектор с центральным углом 216° — числу девочек этого класса (рис. 10). 118 2. Линейная диаграмма. Сведения, относящиеся к задаче 1, можно представить и в виде линейной диаграммы. Сопоставим числу учеников, получивших оценки «5», «4», «3», «2», отрезки, состоящие из 6, 11, 17, 2 клеток (рис. 11). Получим искомую линейную диаграмму. Оценка «5» «4» «3» «2» К 1 Г| 1 1 \ i 1 1 1 1 ч 1 1 ¥ L Одна клетка соответствует одному ученику Число учеников Рис. 11 3. Столбчатая диаграмма. Задачу 1 можно проиллюстрировать и с помощью столбчатой диаграммы. Начертим прямоугольники с основанием 1 и высотами 6, 11, 17, 2 единиц, площадь каждого прямоугольника соответствует числу учащихся, получивших данную оценку (рис. 12). Полученная диаграмма называется столбчатой диаграммой. Число учеников «5» «4» «3» «2» Оценки Рис. 12 119 (^520. Поясните на примерах: 1) Какие виды диаграмм вы знаете? 2) Что такое круговая диаграмма? 3) Что такое линейная диаграмма? 4) Что такое столбчатая диаграмма? При решении задач постройте круговую, линейную и столбчатую диаграммы (521—523): 521. Земная атмосфера состоит из 78 % азота, 21 % кислорода, на долю других газов приходится 1 %. 522. В составе дюралюминия («авиационного» материала) 95 % алюминия, 4 % меди, 0,5 % марганца и 0,5 % магния. 523. В составе зубных коронок на золото приходится 58 %, на серебро 14 %, на медь 28 %. 524. Доходы продуктового магазина представлены на столбчатой диаграмме (рис. 13). 1) Какой день принес наибольший доход? 2) Какой день принес наименьший доход? 3) Каков недельный доход магазина? Сум. 70000 60000 50000 40000 30000 20000- 10000- ■ ■ Пн. Вт. Ср. Чт. Пт Сб. В. Дни недели Рис. 13 120 ОФ 525. В спортивных секциях занимаются 72 ученика. Из них 15 учеников увлекаются шахматами; 20 —курашем; 10 — боксом; 8 — настольным теннисом, а остальные футболом. Постройте соответствующую круговую диаграмму. 526. Ученики 6“'^*, 6‘^” и 6"®* классов посадили в школьном саду перед праздником Навруз 26 яблонь, 16 урючин и 12 персиковых деревьев. Постройте соответствующую столбчатую диаграмму в масштабе «1 саженец — 5 мм». 527. На территории Ферганской долины расположены вилояты: Андижанский с площадью 4,2 тыс. км^ Ферганский — 6,7 тыс. км^, Наманганский — 7,4 тыс. км^. Постройте соответствующую столбчатую диаграмму в масштабе 1 тыс. км^ — 1 см. Основания столбцов — I см. 528. На 1фуговой диаграмме приведены сведения о посещаемости кружков учениками 6-го класса (рис. 14). Используя диаграмму, найдите, сколько процентов учеников занимаются в других кружках. Спортивные игры Научные кружки Рис. 14 Другие кружки Музыкальный кружок |529. Учебный год, состоящий из 34 недель, делится по четвертям следующим образом: I четверть — 9 недель, II четверть — 7 недель, III четверть — 10 недель, ГУ четверть — 8 недель. Постройте соответствующую столбчатую диаграмму в масштабе «1 неделя — 0,5 см». Основания столбцов — 1 см. 121 (530у В таблице отражена ежедневная деловая активность ученика: Вид активности Школа Отдых Подготовка уроков Пита- ние Другие активности Сон Потраченное время 7 1 ■-I 1 4 8 Представьте ее в виде круговой и столбчатой диаграмм. у 53Составьте круговую и столбчатую диаграммы, соответствующие числу мальчиков и девочек вашего класса. (^32^ Футбатьная команда «Пахтакор» в играх чемпионата по футболу забила 36 голов. Сколько процентов от этого числа составляют 9 голов, забитых ведущим игроком этой команды? ■ 533^ Круговая диаграмма (рис. 15) составлена в соответствии с ответами на вопрос: «Какое из следующих занятий нравится тебе больше всего: чтение книг, просмотр телепередач, занятия спортом или прогулки?» При этом каждый ученик выбирал только один ответ. Занятие физической культурой Просмотр телепередач Чтение книг Прогулка Рис. 15 1) Какому занятию соответствует наибольший сектор диаграммы? наименьший сектор? 2) Сколько процентов учеников предпочитают занятия спортом? 3) Сколько процентов учеников выбирают прогулки? 122 Тест Проверьте себя! 1. Найдите 15 % от 420. А) 63 В) 36 С) 65 D) 144 Е) 52. 2. Найдите число, 21 % которого равен 840. А) 210 В) 4 000 С) 3 760 D) 1621 Е) 2600. 3. Сложите 12 % от 360 и число, 10 % которого равны 14. А) 57,2 В) 572 С) 183,2 D) 18,32 Е) 193,2. 4. Найдите разность 60 % числа 480 и числа, 40 % которого равны 76. А) 15,2 В) 108 С) 96 D) 98 Е) 198. 5. Цену товара повысили на 15 %. Через некоторое время новую цену понизили на 15 %. Сколько стоит теперь товар, который стоил первоначально 3600 сумов? А) 4 100 сумов В) 4 635 сумов С) 3 600 сумов D) 4 715 сумов Е) 3 485 сумов. 6. Найдите произведение 20 % числа 180 и числа, 12 % которого равны 24. А) 720 В) 7200 С) 3888 D) 3600 Е) 2160. 7. Цену товара понизили на 20 %. Через некоторое время новую цену повысили на 20 %. Сколько стоит теперь товар, который первоначально стоил 4000 сумов? А) 3 840 сумов В) 3 200 сумов С) 4800 сумов D) 4 000 сумов Е) правильный ответ не приведен. 8. Турист, пройдя 36 % намеченного пути, обнаружил, что от середины пути его отделяет 7 км. Какой путь наметил пройти турист? А) 350 км В) 70 км С) 175 км D) 87,5 км Е) 185 км. 9. Найдите процентное отношение чисел 16 и 80. А) 25% В) 5% С) 16% D) 80% Е) 20%. 123 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА § 6. Положительные и отрицательные числа. Целые числа Понятие о положительных и отрицательных числах Мы изучали до этого времени натуральные числа, обыкновенные и десятичные дроби. На числовой (координатной) полуоси эти числа были расположены справа от начала отсчета. Начало отсчета — точка О соответствует числу нуль (0). Вы знаете, что из двух чисел больше то, которое расположено правее. Таким образом, натуральные числа, обыкновенные и десятичные дроби — это числа, большие нуля. положительные числа Рис. 16. Числа, большие нуля, называются положительными (рис. 16). Все положительные числа на числовом луче располагаются справа от нуля. Однако при решении многих практических задач ощущается необходимость обобщения понятия числа. Задача 1. Когда телеведущая, объявляющая прогноз погоды, сообщает, что «температура воздуха будет меняться в пределах от 2 градусов мороза до 3 градусов тепла», то на телеэкране появляется надпись от -2° до +3° (« ° » — символ градуса). Вы видели и знаете, как устроен прибор для измерения температур — термометр (рис. 17). Выше числа 0 расположены числа 1, 2, 3, ... , а ниже числа -1, -2, -3, ... . Запись -1 читается «минус 1». 124 Если верхний край окрашенной жидкости остановится на отметке «-2», то это будет означать температуру 2 градуса мороза. Пример 2. На картах: а) перед числом, показывающим, на сколько ниже уровня моря находится точка, ставится знак «—»; б) перед числом, показывающим, на сколько выше уровня моря находится точка, ставится знак «+». Например, самая глубокая точка Каспийского моря находится ниже уровня моря —1 025 м, самая высокая точка перевала Камчик находится выше уровня моря +2 262 м. ■5 4 -о --5 --5 О и - 5 - о --2 Рис. 17. Если поставить знак минус (-) перед положительным числом, то получится отрицательное число. Числа -1, -2, -3, ... и числа - 0,3; -Зу; -1,8 — это отрицательные числа. Число о не является ни положительным, ни отрицательным. Отрицательные числа можно использовать не только для обозначения глубины моря, океана, но также и для указания величины долга, степени убытка и т. д. @ 534. 1)Какие числа называются: а) положительными; б) отрицательными? 2) Может ли быть отрицательным количество вещей? 535. Уровень воды в канале меняется на а см/ч и в данный момент находится на отметке 0. Каким будет уровень воды через Ь ч, начиная с этого момента? Каким будет уровень воды в канале при 1) о = 4, Ь = 2\ 2) а = - 4, Ь = I ; 3) а = 5, Ь = -3; 4) а = -3, Ь = -2? 536. Чарвакское водохранилище находится на высоте 892 м над уровнем моря, перевал Камчик — на высоте 2 262 м 125 над уровнем моря. На сколько перевал Камчик выше Чарвакского водохранилища? 537. Замените многоточия знаками « +» или «—» Город Высота над уровнем моря Средняя температура января, °С Средняя температура в июне-июле, °С Маргилан 475 м = ... 3,5 °С холода = ... 25 °С—26 °С тепла = ... Наманган 450 М =: ... 2,3 °С холода = ... 26,3 °С тепла = ... Навои 347 м = ... 0,4 °С тепла = ... 28,3 °С тепла = ... Джизак 460 м = ... 1,5 °С холода = ... 28,5 °С тепла = ... Самарканд 695 м = ... 0,2 °С тепла = ... 25,9 °С тепла = ... 538. Температура воздуха днем +12 °С. Вечером температура опустилась до 7 °С, а утром поднялась на 4 °С. Какова была температура утром? 539. В таблицу вместо многоточия запишите слова, подходящие по смыслу: Предложение Слова, подходящие по смыслу Температура поднялась на -7 °С. Температура на 7 °С ... . После дождя уровень воды в реке изменился на—12 см. После дождя уровень воды в реке ... на 12 см. Хасан взял у Хусана 100 сумов. Хасан ... 100 сумов у Хусана. Товар продали с доходом 50 сумов. Товар продали с ... 50 сумов. Прибыль составила 0 сумов. При продаже не было .... Ц|540. Убайдулле сейчас а лет. Через сколько лет ему будет 21 год? Запишите буквенное значение, необходимое для решения задачи, и объясните смысл ответа при: 1) А = 5; 2) а = 12; Ъ) а = 5,5; 4) о = 15. 126 ^41^ Самая высокая точка Узбекистана (4 688 м) — одна из вершин Гиссарского хребта в Сурхандарьинском вилояте, самая низкая точка находится ниже уровня моря на 12 м (Мингбулакская впадина). Найдите разность высот. (§42р Начертите термометр и отметьте на нем температуры: +12 “С, -3,5 °С, +ГС, -8 ■’С, +5,5 °С, +9 °С, +5 °С. (543)В автобус на одной остановке сели а пассажиров, а на другой остановке вышли Ь пассажиров. Запишите, как изменилось число пассажиров автобуса. 1) а - Ъ, Ь = Ъ\ 2) а = 10, Ь = \2; 3) а = 7, Ь = \; 4) а = 4, Ь = 9. Объясните смысл ответа. (544у У Дильмурода есть а сумов, и он должен Ь сумов. Сколько денег у него останется после уплаты долга? Вычислите при: 1)0= 5000, Ь = 3600; 2) о = 2500, Ь = 2500; 3) о = 4000, Ь = 6000. Объясните ответ. Изображение положительных и отрицательных чисел на числовой оси Начертив прямую линию, за положительное направление на ней примем направление слева направо. Положительное направление указывается стрелкой. Выберем на этой прямой некоторую точку О. Эта точка соответствует числу 0. Точку О будем назьшать началом отсчета. Выберем некоторый отрезок в качестве единичного. Таким образом, на прямой: 1-й шаг: выбирается начало отсчета; 2-й шаг: направление; 3-й шаг: единичный отрезок. Такая прямая линия называется координатной осью (числовой прямой). Начало отсчета — точка О разбивает прямую на два луча. Луч, направленный от нуля вправо, называется положительной координатной полуосью. Луч, направленный от нуля влево, — отрицательной координатной полуосью (рис. 18). 127 отрицательная координатная полуось О положительная координатная полуось + -1 О 1 Рис. 18. Положительные числа на координатной оси располагаются справа от начала отсчета — точки О, отрицательные числа — слева от начала отсчета О. На координатной оси точка О разделяет положительные и отрицательные числа. Так как точке О соответствует число О, говорят, что координата точки О равна О, и пишут О (0). На рисунке 19 точке А соответствует число 3, точке В — число - 4, т. е. точка Л имеет координату 3, точка В имеет координату - 4; это записывают так: А{3), В (-4). В О -I- А -> -2 -1 Рис. 19. На координатной оси координатой точки называют соответствующее этой точке число. Задача 1. Обозначьте на координатной оси точку, соответствующую числу 5. Иначе говоря, требуется найти точку, координата которой равна 5. Решение Лак как 5 — положительное число, от начала отсчета — [ОЧКИ О откладываем единичный отрезок вправо 5 раз (рис. 20). При этом точка, соответствующая правому концу последнего единичного отрезка, будет искомой точкой. О Ч----1----1----1---•----► ---•---1----1---1--► о ■ч— о 1 2 -3 -2 -1 о Рис. 20. Рис. 21. 128 Задача 2. Найдите на координатной оси точку с координатой -3. Так как число -3 отрицательное, от начала отсчета — точки О откладываем единичный отрезок влево 3 раза. При этом точка, соответствующая левому концу последнего единичного отрезка, будет искомой точкой (рис. 21). (?) 545. 1) Что вы понимаете под координатной осью? 2) Что нужно сделать для того, чтобы превратить прямую линию в координатную ось? 3) Где расположены на координатной оси положительные числа? Отрицательные числа? Покажите на чертеже. 4) Что вы понимаете под координатой точки? -- У 546. Найдите координаты точек А, В, С, D и Е, изображенных на рисунке 22. А В 1 ^ 1 С 1 ^ 0 1 D ^ 1 Е 9 -5 1 9 1 -4 -3 1 9 -2 -1 0 9 I 1 2 9 3 Рис. 22 547. Отметьте на координатной оси точку А (-6). Обозначьте; 1) точку В, расположенную справа от точки А на расстоянии 5 единиц; 2) точку С, расположенную слева от точки А на расстоянии 4 единиц. Найдите координаты точек В W С. 548. Найдите координаты точек, полученных переносом точки А (3): 1) на +2 единицы; 2) на -3 единицы; 3) на О единиц. 549. На числовой оси отметьте точки, соответствующие числам; 1) -4 и 4; 2) 2,5 и -2,5; 3) -2 и 2; 4) 3 и -3. Как расположены точки, соответствующие каждой паре чисел? 550. Отметьте следующие точки, лежащие от точки О; \) А — на 2 см 5 мм влево; 2) ^ — на 3 см 7 мм вправо; 3) С — на 4 см 3 мм влево; 4) D — на 5 см 5 мм вправо. ОФ 9 — Математика, 6 класс 129 ► 551. Точка а отмечена на координатной оси (рис. 23). Эта точка положительная или отрицательная; а) О ч— Ь) О а а Рис. 23. 552. Отметьте на координатной оси по три точки, лежащие: 1) справа от числа 3; 3) слева от числа -2; 2) справа от числа -0,5; 4) слева от числа 0. Найдите координаты точек А, В, С, D и Е на координат- ной оси. А В С OD -4 -3 -2 -1 0 1 £ Рис. 24. s554^ Точка А лежит справа на 4 единицы от начала отсчета О, а точка В лежит слева на 5 клеток. Где находятся точки Си/) относительно начала отсчета О (рис. 25)? ВС О А D -5 о Рис. 25. (55^1 Отметьте точки А (2), В (—3,5), ... на координатной оси, используя данные из таблицы: Точки А В С D £ £ Р Q Коорди- наты 2 -3,5 4 -2 -1 3 -5 5 55^ Положительным или отрицательным будет число />, изображенное на рис. 26? 1 0-1-0 -1 h ■ а) б) Рис. 26. 130 Множество целых чисел. Противоположные числа 1. Множество целых чисел. Мы уже познакомились с изображением чисел 0,1,2,... и -1,-2,-3, ... на координатной оси (рис. 27). О —•---•--•---•--•--•--•----► ... -3-2-10 1 2 3 ... Рис. 27. Числовой ряд -3, -2, -1, о, 1, 2, 3, ... называется множеством целых чисел. Числа 1, 2, 3,..., расположенные на числовой оси справа от точки о, называются натуральным^ или целыми положительными числами. Числа -1, -2, -3,..., расположенные на числовой оси слева от точки о, называются целыми отрицательными числами. Множество {... , -2, -1,0, 1,2, ...} называют множеством целых чисел и обозначают Z: Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }. Таким образом, множество целых чисел состоит из всех натуральных чисел, всех целых отрицательных чисел и нуля. 2. Прозквоположные числа. Рассмотрим на координатной оси два числа, расположенные на одинаковом расстоянии от начала отсчета (рис. 28). Пусть координата точки А равна 4, координата точки В равна -4: /1(4), 5 (-4). Точка А расположена от начала отсчета на 4 единицы справа, а точка 5 — на 4 единицы слева. Числа 4 и -4 отличаются друг от друга только знаком. fi(-4) -5 -3 О 1 1 ^____А(4) 3 4 единицы слева Рис. 28. 4 единицы справа 131 Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными. Таким образом, числа 4 и - 4 — противоположные. Аналогично, противоположными будут числа 3 и -3; 2 и -2; 1 и -1 и т. д. Для каждого числа на координатной оси существует единственное противоположное ему число. Чтобы получить число, противоположное данному, нужно поставить перед ним знак «-». Например, число -2 противоположно числу 2; число -(-7) = 7 противоположно числу -7. Вообще, число -к является противоположным числу к. Число О противоположно самому себе: О = -О = +0. (2) 557. 1) Что такое ряд целых чисел? Что такое множество целых чисел? 2) Какие числа называются противоположными? Как на координатной оси расположены противоположные числа? 3) Сколько существует чисел, противоположных данному? Какое число противоположно числ>' ноль? Ч_______________________________________________________X 558. Существует ли в множестве целых чисел: I) наибольщее число; 2) наименьщее число? Объясните почему. 559. На рисунке 29 числа -5 и а — противоположные числа. Чему равно число о? Нарисуйте в тетради числовую ось и отметьте на ней числа 0; 2; -2; 3; -3. О -ь 0 Рис. 29. а 132 560. Заполните таблицу: Заданное число Противоположное ему число Заданное число П ротивополож-ное ему число а -а -а -а -4,4 -И,4) = 4,4 +5,5 + 167 -(+167) = -167 -30,5 +1994 -2006 561. Противоположны ли числа 1) 7 и -7; 2) +5 и 5; 3) -8 и 8; 4) 6 и -6? Объясните ответ. 562. 1) Сколько целых чисел на числовой оси расположено между числами -12,6 и 12,6? 2) Сколько целых чисел на числовой оси расположено между числами - о и о? (о — натуральное число). 563. Найдите число: а) противоположное; б) обратное значению выражения: 1) 1,3 • 4,8 + 7,3 ■ 5,2; 3) 4,2 • 3,5 + 0,84 : 0,2; 2) 5,2 ■ 9,8 - 3,8 • 5,2; 4) 16,4 ■ 15,3 - 16,4 ■ 5,3. |564. Найдите целые решения неравенства, используя числовую ось: 1) 12,8 < л: < 19,1; 2) -5,2 < л: < 4,7; 3) -9 <х <-2. (56^ Из чисел: -43; -6,8; -17; -7^; 36,3; 0; -8,9; -4; 13,7; -50; 43; -123; 400 выпишите: 1) целые положительные; 2) целые отрицательные; 3) дробные положительные; 4) дробные отрицательные числа. (56^ Запишите координаты точек А, В, С, D, Е, F, Р и Q, изображенных на рисунке 30. А ВС DO Е F F . 9. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 * 2*3 4 5 6 Рис. 30. 133 (5^уКакое из равенств верное: 1) -(-7) = 7; 3) +9,8 = -(+9,8); 2) -(+9) = -9; 4) _(+11) = -Ц; 5) -8 = -(+8); 6) -(-32) = 32? а -4,5 -7,2 -4 0,28 67 -а 0,8 -24 24 25 -180 19 23 Какие числа нужно вписать вместо точек, чтобы равенство было верным: 1) -(...) = -76; 3) -(...) = 24; 5) -(...) = -91; 2) -(...) = 8,9; 4) -(...) = -0,3; 6) -(...) = 9,7 ? Модуль числа Модулем числа называется расстояние от точки, соответствующей этому числу на координатной оси, до начала отсчета. На рисунке 31 координата точки А равна 4, она расположена на 4 единицы справа от начала отсчета. Длина отрезка ОА, т. е. расстояние от начала отсчета О до точки А, соответствующей числу 4 на числовой оси, равно 4: ОА=А. Следовательно, по определению, модуль числа 4 равен 4. Координата точки В на том же рисунке равна -3, и она расположена на 3 единицы слева от начала отсчета. Длина отрезка ОВ, т. е. расстояние от начала отсчета до точки В, соответствующей числу -3 на числовой оси, равно 3: ОВ= 3. Л *31 О -----1---!------1--1-3 \ -2 -1 /д\ 1---2 +- Л(Я /4 3 единицы 4 единицы Рис. 31. 134 Следовательно, по определению модуль числа -3 равен 3. Модуль числа называется также абсолютной величиной числа. Модуль числа а обозначается а .Таким образом, |4| = 4, j-3j = 3. Модуль положительного числа равен самому этому числу. Например, |5| = 5; |7[ = 7; |100| = 100; |0,1| = 0,1; 2 4 ■ Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.__________________________________ Например, |-8| = 8; |-15| = 15; |-10| = 10; |-0,011 = 0,01. Модуль числа 0 равен 0: 101 = 0. Модули взаимно противоположных чисел равны. Например, |-6| = |+6| = 6; |-1| = |+1| = 1. Из рисунка 28: ОВ= OA=A,i. е. |-4| = |+4| = 4. ^570. 1) Что называется модулем числа? 2) Каким будет модуль положительного числа? отрицательного числа? Чему равен модуль числа 0? . ■ 571. Запишите в виде равенств модули следующих чисел и прочитайте полученный результат: 1) -6; 44; -150; 75; -78; 2) -5,2; 3,9; -Ц; -0,45. 572. Найдите расстояние от начала отсчета точки О до точки: 1) .4(4); 2) й(-7); 3) 4)д[-4|^. Решите уравнение (573—574): 573. 1) |х-81 = 0; 2)|-x| = 9; 3)|х|-4 = 0; 4)|х|=-1б. 574. 1) -х= 3,14; 3) -18,09 = -х; 2) -х = -3,14; 4) -18,09 = X. 135 575. Существуют ли числа, модули которых равны 4,6; -23; 47; 0; 2,8; -15; -3^ ? Если да, выпишите их. 576. Найдите -а и \а\, если: а = -3,05; 10,5; -0,73; 55. 577. Вычислите: 1) 1-15 1 + 1-201-1-3 1-1-51; 3) 1-19 1-1-211 + 4-1-5 I; 2) 1-321 + 1-321 :1-81-Ml; 4) |-241 + 7 -1-3 | - |-25 |. 1578. Допишите равенства, если известно, что а, Ь, с — положительные числа; х, у, z ~ отрицательные числа: |fl|= ...; \Ь\= ...; |с1= ...; |л:|= ...; \у\ = ...; Ul= ... -Найдите модули чисел, ответ запишите в више равенств: 1) -52; 43; -35; -100; -65; (^80^ Подсчитайте сумму: 1) 1-61 + Ц91; 3) 1-5,61 + 1-5,91; 5) | 32,11 - |-22,11; 2) 1-8,71-1-3,71; 4) |19|-|-81|; 6) |-0,7 | - |-0,7 |. Хасан задумал числа. Модули задуманных им чисел равны модулям следующих чисел: 1) -32,2; 2) 0,73; 3) 0; 4) -2009; 5) 0,5; 6) 1,05 Найдите задуманные числа. (582^Найдите значение выражения: |х|: 5, при х=-40,5; 9,5; 7,2. 2)-9,8; 5,7; -4+ Сравнение целых чисел Из двух целых чисел больше то, которое правее. Из двух чисел ряда целых чисел больше то, которое находится правее. Например, 2 > 1, 1 > 0, 0 > -1, -1 > -2, -3 > -6, так как в ряду целых чисел ... -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... число 2 находится правее числа 1, 1 правее 0, 0 правее -1, -1 правее -2, -3 правее -6 (рис. 30). 136 Вообще, если число к больше числа п, это записывается так: к > п или п < к. Из приведенных выше правил сравнения целых чисел следует: 1) любое положительное число больше: а) 0; б) больше любого отрицательного числа; 2) любое отрицательное число меньше 0. На числовой оси из двух отрицательных чисел левее находится то, модуль которого больше. Таким образом. из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Например, так как |- 3| < |- 5|, то -3 > -5. Высказывания а положительно и о > 0, а отрицательно и о < 0 равносильны. (2^583. 1) Как сравниваются целые числа? 2) Как символически записать, что число положительно или отрицательно? 3) Существует ли: а) наибольшее отрицательное число; б) наименьшее отрицательное число? 4) Существует ли наименьшее целое число? Наибольшее целое число? 5) Какие числа больше нуля? Какие числа меньше нуля? Ч_________________________________________________________> 584. Расположите следующие числа: 1) -8; 6; -9; 0; 7; -И; 2) -3; 8; 0; -22; 12; 5 а) в порядке возрастания; б) в порядке убывания. 585. Существуют ли целые числа: 1) большие 3 и меньшие 6; 2) меньшие 4 и большие -3; 3) большие 1 и большие 10; 4) меньшие 0 и меньшие -4? 586. Запишите четыре последовательных целых числа, большее из которых равно: 1) 8; 2) -5; 3) 0; 4) 3. 137 587. Между какими последовательными целыми числами нахо- дятся числа? Ответ запишите в виде двойного неравенства: 1) 0; 2) -32; 3) 1991; 4) -2008; 5) 2009; 6) -2017. 588. Сравните числа и соедините их знаком неравенства: 1) -12 и 0; 2) -6 и 1; 3) -3 и -5; 4) 500 и -500. 589. Какая из двух точек лежит на числовой оси левее: 1) Д-4) и ДО); 2) С(22) и Д11); 3) Д-6) и Д-1)? 590. Сравните значения выражений: 1)ИЗ| + М1и|43|-М|; 2)|-54| + |15|и|-54|-|-15|. |591. При каких значениях а верны равенства: ^ \)\а\ = а\2)\а\ = -а! »^92у Расположите следующие числа: 1) -4-, 10; -5; 3; -7; 9; -10; 2) -6; 6; 0; -11; 19; -14; 18 а) в порядке возрастания; б) в порядке убывания. ^59^ Запишите четыре последовательных целых числа, наи-_ меньшее из которых равно: 1) 5; 2) -2; 3) -4; 4) 2. (594j) Между какими последовательными целыми числами находятся числа: ^ 1) 1441; 2) -95; 3) 99; 4) -2007; 5) 203; 6) -189? ^9^ Запишите наименьшее целое: 1) двухзначное; 2) трехзначное; 3) четырехзначное; 4) пятизначное число. Сложение целых чисел 1. Сложение чисел с одинаковыми знаками. Пример 1. Найдите сумму (-3) + (-5). Решение. Ясно, -3 < 0, |-5| = 5. ..., -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, о, 1, 2, ... t______________I 1 5 чисел Отсчитаем в ряду целых чисел 5 чисел, лежащих левее -3. Отсчет закончится на -8, таким образом, (-3)+ (-5)= -8. 138 Этот процесс можно показать на числовой оси (рис. 32). Обозначим на числовой оси точку с координатой -3. Отложим, начиная с этой точки, в направлении, противоположном направлению оси, 5 единичных отрезков. Придем к точке с координатой -8, значит, (-3) + (-5) = -8. влево от -3 откладываем 5 раз единичный отрезок I О ч-----h -+■ -4- -9 -8 -7 -6 Сделаем вывод: -5 -4 -3 Рис. 32. -1 о 1 2 Для того чтобы сложить два целых числа с разными знаками: 1- й шаг: складываем их модули; 2- й шаг: перед суммой ставим общий знак. Сумма положительных чисел — положительное число, сумма отрицательных чисел — отрицательное число. 2. Сложение чисел с разными знаками. Пр им ер 2. Найдите сумму (-4) + (+6). Решение. Очевидно, что +6 > О и |+6| = 6 . В числовом ряду отсчитаем от -4 вправо 6 чисел. Отсчет завершится на +2, таким образом, (-4) + (+6) = +2 = 2. ..., -5, -4, -3, -2, -1, О, I, 2, 3, 4, 5, 6, ... 1 I_______________1 6 чисел В этом примере модуль положительного слагаемого был больше, поэтому сумма оказалась положительной. Предоставляем вам самим разобраться с процессом сложения этих чисел на числовой оси на примере (-4) + (+6). При этом единичный отрезок нужно отложить от точки с координатой -4 в направлении оси 6 раз. 139 Пр и мер 3. Найдите сумму (+2) + (-5). Решение. Так как -5<0и |-5=5, отсчитаем от 2 влево 5 чисел. Отсчет закончится на (-3), значит, (+2) + (-5) = - 3. -6, -5, -4, —3, -2, -1, О, 1, 2, 3, 4, ... t____________I t 5 чисел В примере 3 модуль отрицательного числа был больше, поэтому и результат сложения оказался отрицательным. Сделаем вывод, опираясь на результаты примеров 2 и 3: для того чтобы сложить два числа с разными знаками, модули которых не равны: ]-й шаг: вычитаем из большего модуля меньший; 2-й шаг: ставим перед разностью знак числа с большим модулем. Пр и м е р 4. Найдите сумму (+5) + (-5). Решение: так как - 5<0и |-5| = 5, отсчитаем в ряду целых чисел ..., -5, -4, -3, -2, -1, О, 1, 2, 3, 4, 5, 7, ... 1. J t 5 чисел от числа 5 влево пять целых чисел. Отсчет закончится на числе 0. Таким образом, (+5) + (-5) = 0. Сделаем вывод: сумма взаимно противоположных чисел равна 0. Вообще, для любого целого числа п сумма п + (—я) = 0. При этом для любого целого числа я + 0 = я, 0 + я = я. 140 Сложение целых чисел подчиняется переместительному и сочетательному законам. В этом можно убедиться, рассмотрев числовую ось или ряд целых чисел. (7)596. 1) Сформулируйте правила сложения чисел с: а) одинаковыми; б) разными знаками. Объясните на числовой оси. 2) Чему равна сумма взаимно противоположных чисел? 3) Чему равна сумма целого числа и нуля? 597. Выполните сложение: 1) (+3) + (-3); 4) (-4) + (-6); 7) (+18) + (-17); 2) (-10) + (+10); 5) (-9) + (+9); 8) (+1) + (-6); 3) (+5) + (-3); 6) (+7) + (-11); 9) (-12) + (+5). 598. Когда сумма двух чисел (объясните на примерах): 1) будет всегда: а) положительной; б) отрицательной? 2) будет: а) положительной; б) отрицательной? 599. Запишите каждое из данных чисел, если это возможно, в виде суммы: а) двух отрицательных чисел; б) положительного и отрицательного числа: -2; -8; -15; -100; 150; 1991; 50; -789. Образец-. 1)-28 = (-8) + (-20) = (-21) + (-7) = ... . 2) -2 = (-3) + (+!) = (+43) + (-45) =... . 600. Заполните таблицу: Значение числового выражения Сумма положи- тельных Сумма отрица- тельных Числовое значение слагаемого 20 + (-13) + (-7) + 10 30 -20 10 25 + (-18) + 3 + (-15) -40+ 48 +(-15)+ 12 -17 +(-20)+ 10+ 14 -175 + 75 + (-100) + 50 141 601. Найдите сумму: 1) (-7) + (-8) + (+7) + (+7); 3) (-8) + (-6) + (-4) + (+28); 2) (-1) + (+2) + (+1) + (-2); 4) (+19)-(-20)-(+39) +(-5). Напоминание! Обычно знак плюс перед положительными числами опускается. Если первое слагаемое — отрицательное число, его заключать в скобки не обязательно. Например, вместо -8 + (+4) пишут -8 + 4 ; вместо (-31)+ (-9) пишут -31 + (-9). 602. Заполните таблицу: к 5 -1 -80 -17 81 40 -23 -31 -25 33 -46 п -5 0 -20 -23 -82 -50 22 -39 -24 -43 к + п 0 -1 1 j 1603. Найдите числовое значение выражения: 1) (-11) + (-9)и-(11+9); 3) -((-17) + 3) и 17-7; 2) (-7) + (-5) и -(7 + 5); 4) -((-32) + 12) и 32-12. Замените * знаками >,<, = : 1) -100 + 100 ^ 0; 3) 51 + (-54) ^ 0; 4) 27+ (-69)^0; 5) 7 + (-8) + (-7):*=0; 6) 12 + (-10) + (-l)=s=0. 3) (-23) + (-17); 4) (-4) + (-26); __ 2) -90 + 99 ^ 0; '^605^ Найдите сумму: 1) 23 + (-21); ^ 2) (-43) + 40; (б06у Найдите, следуя образцу: 1) -202 + (-198); 3) -38 + (-162); 2) -338 + (-62); 4) -75 + (-125); Образец: -875 + (-936) = -(875 + 936) = -1811. (60^ Сложите числа: 1) -23, -7, +28; 3) -71, 0, -29; 5) -30, -27, +50; 2) +18, -22, +13; 4) -83, -17, 100; 6) -65, +15, -40. 142 5) (-75) + 70; 6) 78 + (-70). 5) -279 + (-586); 6) -729+(-731). (ф Вычитание целых чисел Разностью двух чисел называется такое число, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Это определение, которое вам уже знакомо, остается в силе и для целых чисел. Разность двух чисел кип— это такое число т, которое в сумме с числом п равно числу /с. т + п = к. Пример: 12-(-4) = 16, так как 16 + (-4) = 12, с другой стороны, сумма чисел 12 + (+4) =16. Приходим к выводу: для того чтобы найти разность двух чисел, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: к — п = к + (— п). Действительно, [к + (-л)] + « = /:+ [(-л) + л] = А: + О = А:. Разность двух целых чисел — целое число. Примеры: 1) (-20) - (+3) = (-20) + (-3) = -23; 2) 19 - (-10) = 19 + (+10) = 29. Вьысним на примерах, как находить разность двух целых чисел на числовой оси. Пример 1. Найдите разность 5-8. Отметим на числовой оси точку, соответствующую числу 5. От этой точки отложим вправо 8 единичных отрезков. Левый конец последнего единичного отрезка совпадет с точкой, соответствующей числу —3. Итак, 5-S = -3. Ответ:-3. 143 откладываем единичный отрезок влево от точки 5 ^ ^ ^ О ^ ^ ^ ; I -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Рис. 33. Пр и м е р 2. Найдите разность -2 - (-3). Решение. Так как -(-3) = 3 , то -2 - (-3) = -2 + 3 = 1 (рис. 34). 3 единицы вправо 2 единицы влево 1-2-1 о 1 2 -2 - (-3) = -2 + 3=1 или Рис. 34. -10 123 -2 - (-3) = -2 + 3 = 3- 2=1 Ответ: 1. Пр и мер 3. Найдите расстояние между точками А {\) w В (6). Решение. Расстояние между двумя точками на числовой оси равно длине отрезка, соединяющего эти точки. Следовательно, в этой задаче требуется найти длину отрезка АВ. Предположим, что, отложив единичный отрезок п раз вправо от точки А (1), придем в точку В{<о). В этом случае 1 + д = 6, откуда д = 6- 1, п= 5. Таким образом, отложив единичный отрезок 5 раз вправо от точки А {\), придем в точку Д(6), т. t. АВ -5 (рис. 35). В нашем примере В правый конец отрезка АВ, т. е. точка В имеет координату 6, левый конец — точка А имеет координату 1. Тогда АВ= 6-1=5. Ответ: 5. А{\) В{6) о Г\ 5 единиц Рис. 35. Приходим к выводу: Расстояние между двумя точками на числовой оси равно модулю разности координат этих точек. 144 (^608. 1) Что называется разностью двух целых чисел? 2) По какому правилу находят разность? 3) Как найти длину отрезка на числовой оси? 609. Замените вычитание сложением и вычислите: 1)-84-16; 2) -16-14; З)-Зб-(-ЗО); 4) -80 - (-80). Образец : -17 - 8 = (-17) + (-8) = -(17 + 8) = -25. 610. Замените вычитание сложением и вычислите: 1) 30 - (-5); 2) -70 - (-60); 3) 90 - (-10); 4) -83 - (-23). 611. Замените * соответствующими числами: 1) 15-^ = 0; 2)16-* = -!; 3)-5-* = 0; 4)*-(-3) = 4. 612. Заполните таблицу: к 15 -20 8 12 0 1 -31 -17 -12 37 -40 п 20 -10 -3 15 -1 -2 0 -17 24 -3 -50 к - п -5 11 613. Выполните действия: 1) -9 + (-28) - (-27); 3) -16 - (-30) + (-30); 2) 20-(-9)-9; 4)-12 - 8 + (-10). 614. Найдите расстояние между двумя точками на числовой оси: 1) А{-2), i?(2); С(0), Д4); ДЗ), Д5); М{-Ъ), 0(0); 2) Д-4), Д-1); Д-1), (2(1); М(-5), Д-2); Д-5), Д-1). Начертите необходимый чертеж. 615. Замените вычитаемое противоположным ему числом и сложите: 1) 28 - (-1); 3) (-63) - (-42); 5) (-35) - (-85); 2) 30 - (-5); 4) (-19) - (-11); 6) (-34) - (-34). Образец: (-25) - (-35) = (-25) + (+35) = 10. 145 ОШ 10 — Математика, 6 класс 616. Вычислите; 1) -13 - (-7) + (-7); 3) 72 - (-12) - 104; 2) -3 + (-8) - (-13); 4) -15 - (-14) + (-24). 617. Вычислите, следуя образцу: 1) -374 - (-352); 3) -958 - (-838); 5) -120 - (-280); 2) -474 - (-364); 4) -381 - (-470); 6) -480 - (-370). Образец: -874 - (-461) =-874 + 461 =-(874 - 461) =-413. 618. Запишите сумму без скобок и вычислите: 1) (-45) + (-55); 3) 51 + (-11); 5) (-35)+(-45 + 10); 2) (-54) + (-16); 4) 72 + (-22); 6) -35 + (-25 + 75). Образец : (-16) + (-24) = -16 - 24 = -40. Щ 619. Решите уравнение: 1) л:+10 = 3; 3)-1-л: = -10; 5) -5 +л: = -30; 2) -1-л:=-1; 4)л:+17 = 0; 6) л:- 23 = -43. Образец: 48 -л: = -18; х= 48 - (-18); л:= 48 + 18; х= 66. (б20) Выполните вычитание: 1) 89 - 99; 3) 713 - 843; 5) 2009 - 2010; 2) 108 - 228; 4) 100 - 200; 6) 782 - 982. (^1) Замените вычитание сложением и вычислите: 1) -17-43; 2) -69-41; 3)-150-50; 4)-160-40. (@) Заполните таблицу: к л -15 -20 -5 25 38 52 -45 -47 80 п 7 -8 10 15 29 48 68 15 -33 95 к-п -4 (623?) Решите уравнение: 1) 30-л' = 42; 2) х-0 = -19; @) Вычислите: 1) (15 - 30) - (10- 20): 2) (40-70)-(15-45); 146 3) 62 -л: = -1; 4) 82-л: = -18; 5) -18 - л: = 0; 6) -10-д:= 10. 3) (1-19)-(31-41); 4) (-45 + 10) - (-8 - 0). 39 Умножение целых чисел 1. Для того чтобы перемножить два числа с одинаковыми знаками, нужно найти произведение их модулей и перед результатом поставить знак плюс. Пр и мер 1. Найдите произведение (-8) • (-6). Решение Лак как|-8{ = 8, |-6| = 6, то, согласно правилу, (-8) • (-6) =+(8 • 6) =+48 = 48. Ответ 48. 2. Для того чтобы перемножить два числа с разными знаками, нужно найти произведение их модулей и перед результатом поставить знак минус. Пр имер 2. Найдите произведение 12 • (-3). Решение. Так как| 121 = 12, |- 3| = 3, то, согласно правилу, 12 • (-3) = -(12 • 3) = -36. Ответ: -36 3. Произведение произвольного целого числа и числа О равно 0: п • о = 0; о • л = 0. Например, (+5) -0 = 0; 0 ■ (+5) = 0; (-3) 0 = 0; 0 • (-3) = 0. 4. Если умножить произвольное целое число л на -1, получится число, противоположное числу л: л •{-!) =-л; {-1)-л = -л. Например, (-1) • 8 = -8; (-6) • (-1) = + 6 = 6. Для целых чисел, так же как и для натуральных, можно ввести понятие степени. Пр имер 3. Найдите произведение (-2) • (-2) ■ ( 2). Решение. -2 = (-1) ■ 2; (-2) • (-2) • (-2) = = (-1)-2-(-1) .2 (-1)-2 = (-!)• (-1) (-1) Г =-8. Ответ: -8. 14/ Вообще, произведение к {к — натуральное число) множителей, каждый из которых равен п, называется к-й степенью числа п и обозначается 5. По определению, первая степень числа п равна самому т п' = п. Например, (-10)' = -10, (-2,5)' = -2,5, (+16)' = 16. (^625. 1) Как найти произведение двух чисел: а) одного знака; б) разных знаков? Объясните на примерах. 2) Чему равно произведение целого числа на нуль? 3) Что вы понимаете под четвертой степенью числа —3? 4) Что изменится в результате умножения числа на —1? 5) Чему равна первая степень числа? 626. Заполните таблицу: к 15 -4 -5 -4 18 27 -15 19 -13 -1 1 п 8 -3 8 12 -6 -3 -12 -8 7 -1 -1 к • п 120 12 627. Найдите неизвестный множитель: 1) -Зх = 60; 4) X • (-25) = -75; 2) -5х=25; 5) х • (-12) =-36; 3) Зх = -42; 6) X • (-2,5) =-10; 628. Заполните таблицу: 7) -Зх - 15 = -45; 8) -Зх+ 15 = 45; 9) 2х+ 18 = -22. к -1 -8 10 3 1 -7 10 -5 12 -9 25 т -2 3 -2 5 -10 2 5 -4 11 -5 -10 п -3 5 4 -1 -8 -3 -2 -8 -4 -10 -8 к ■ т ■ п -6 148 629. Найдите числовое значение выражения: 1) -7 • 8 - (-10) - (-2); 3) -7 ■ (-5) - (-16) ■ (-3); 2) 3 • (-9) - 4 • (-5); 4) -15 ■ 4 - 20 • 9 • (-1). 630. Заполните таблицу: X -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 631. Определите знак степени: 1) (-!)■«; 2)(-1)^ 3)(-3)«; 4) (-2)’; 5)(-1)^«>1 Сделайте вывод и запишите его в тетрадь. Цб32. Вычислите: 1) (-1)'^ - (-1)'5 + (-1)'^; 3) (-2)^ - {-ЗУ + {-ЗУ; 2) (-1)^ - (-!)« - (-1)^; 4) (-1)^ + {-\у + {-\у. (633) Найдите произведение: 1) (-8) • (-5); 2) (-11) • (-12); 3) 7 • (-28); 4) 10 • (-81). Вычислите (634—635): @) 1)4-7- (-2); 3) 27 ■ (-1) ■ (-3); 5) (-7) • (-10) • (-5); 2) -1 ■ (-2) ■ 8; 4) (-3) • 9 • (-10); 6) (-3) • (-1) • (-4). (6^ I) (-28) ■ (-5) -7-8; 3) -15 • (-22) - (-3) • (-24); 2) (-29) • 3 - (-10) • 12; 4) -31 ■ (-11) - (-14) • (-12). 149 (^36^ Заполните таблицу: к -4 3 п 3 -8 8 -8 8 -4 10 п -10 10 10 -10 -12 -12 12 12 -5 -7 0 к ■ п ^з5)н ашите неизвестное число: 1) (-1)х = -30; 3)-х+7 = -10; 2) (-1)х=30; 4)-х+7=10: 5) -1х + 24 = -20; 6) -2х - 24 = -20. [ф Законы умножения Умножение целых чисел подчиняется переместительному и coчeтaтeльнo^^y законам так же, как и умножение натуральных чисел. Вообще, для произва)1ьных ц^лых /пил верны равенства т - п = п - т и (к - т) • п = к - (т - п) Напрнмер,(-3) • (-6) = +(3 • 6) = +(6 ■ 3) = (-6) ■ (-3). ((+5) - (-2)) - (-8) = (-(5 ■ 2)) - (-8)) = +(5 • 2) • 8 = +(5 • (2 • 8)) = = (+5) • ((-2) • (-8)), т.е. ((+5) • (-2)) • (-8) = (+5) • ((-2) • (-8)). Для произвольных к, /п, л верно равенство (к + т)-п = к-п + т-п Это равенство выражает распределительный закон умножения относительно сложения. Например, ((-4) + (-3)) • (-6) = (- (4 + 3)) • (-6) = (4 + 3)-6 = 4- 6 + + 3 • 6 = (-4) • (-6) + (-3) ■ (-6). Распределительный закон справедлив и для нескольких слагаемых. Пример 1. Покажите, что (4 + (-7) + (-3)) ■ (-2) = 4 • (-2) + (-7) • (-2) + (-3) • (-2). 15Э Решение. Действительно, (4 + (-7) + (- 3)) • (-2) = (4 - 10) ■ (-2) = = (-6)(-2)=12. 4 • (-2) + (-7) • (-2) + (-3) ■ (-2) = -8 + 14 + 6 = 6 + 6 = 12. 12 = 12, таким образом, данное равенство верно. Ответ: равенство верно. Переход от произведения {к+т) - пк сумме кт + тп называется раскрытием скобок. Переход от суммы к ■ п + т ■ п к произведению (к + т) ■ п называется вынесением общего множителя за скобки. Пример 2. Найдите сумму (-79) • (-85) + (-79) • 75. Решение. Вынесем за скобки общий множитель (-79): (-79) • (-85) + (-79) • 75 = (-79) • (-85 + 75) = (-79) • (-10) = 790. Ответ: 790. (2)638.1) Знаете ли вы переместительный и сочетательный законы умножения? Что вы понимаете под распределительным законом умножения? Приведите примеры. 2) Что вы понимаете под раскрытием скобок, под вынесением общего множителя за скобки? Объясните на примерах. ■ ------------- . — . . ^ 639. Найдите произведение. Сделайте проверку, используя переместительный закон: 1) -15 • (-4); 2)-25 (-9); 3)-94 -2; 4)-100-6. 640. Найдите удобным способом, пользуясь сочетательным законом: 1) -25 ■ 28 • (-4); 3) 18 • (-25) • 5 • (-4); 5) -75 • (-9) • 4; 2) 125 • (-49) • 8; 4) -25 • (-23) • (-8); 6) 80 • (-7) • 5. 641. Вычислите, вынеся общий множитель за скобки: 1) 48 ■ (-7) + 24 ■ 14; 3) 48 ■ (-54) - 38 • (-54); 2) 12 (-9)-6 -8; 4) 125-(-3) +250-2. Цб42. Вынесите за скобки общий множитель: а) со знаком «+»; б) со знаком «-» и вычислите. I) -45 ■ 19 - 45 • 21; 2) -59 • 39 + 39 • 49. 151 (64^ Вычислите удобным способом: 1) -25 • (-18) • 4; 3)-2-3-9-5; 2) 8 • (-5) • 7 • 2; 4) -125 ■ 13 • 8; 5) -4- 11 • 75; 6) -13 • 5 • 80. Запишите произведение в виде суммы и вычислите: 1) 4 • (6 + (-14)); 3) -3 - (-15 - (-7)); 5) (38 - 49) • (-11); 2) 5 ■ (10 - 25); 4) 10 • (-17 - (-8)); 6) (27 - 39) • (-12). (645^ Вынесите общий множитель за скобки и вычислите: 1) 25 • 16 - 25 • 14; 3) -73 • 57 + (-72) ■ (-27); 2) 63 ■ 45 - 63 ■ 25; 4) -38 ■ 12 - 38 - (-22). Ql> Деление целых чисел Пусть кч п целые числа, отличные от нуля, и | А: | делится на I п I без остатка. 1. Деление целых чисел одного знака. Для того чтобы разделить одно целое число на другое целое с тем же знаком, делят друг на друга их модули. Пример 1. Найдите частное (-28): (-4) . Решение. Так как |- 28| = 28 и |-4| = 4,то, согласно правилу. (-28): (-4) = +(28 :4) = +7 = 7. Ответ: 7. 2. Деление целых чисел разных знаков. Для того чтобы разделить целые числа разных знаков, нужно разделить их модули и перед частным поставить знак минус. 152 О* пример 2. Найдите частное (-18): 3. Решение. Так как |-18| = 18, |3| = 3,то, согласно правилу, (-18): 3 = - (18 : 3) = -6. Ответ: -6. Результат деления О на любое целое число п, отличное от нуля, равен нулю: О: /I = 0. Например, 0 : (-8) = 0; 0 : 7 = 0. На нуль делить нельзя! аХ 0 Например, записи вида (-6): 0, 3:0 лишены смысла! 646. 1) Знаете ли вы правила деления целых чисел: а) одного знака; б) разных знаков? 2) Можно ли разделить 0 на любое целое число, отличное от о? 3) Можно ли делить произвольное целое число на 0? X 647. Выполните деление. Проверьте результат умножением. 1) 84:(-4); 2) -75 : 3; 3) -48 : (-6); 4)-36 : (-4). 648. Найдите неизвестное число: 1)25х = -100; 2)-х:3 = -5; 3) 5х + 70 = -40 : 8. 649. Вычислите: 1) (-8 + 10 - 7): (-5); 3) (-90 - 40 - 20): 15; 2) (-37 + 15 - 24): 2; 4) (-96 - 48 - 72): 12. 650. Найдите числовое значение выражения: 1) (-48) • (-9): (-8) • (-3); 3) (-49) • 8 : (-7) ■ 4; 2) (-42) • (-14): (-7) • 4; 4) (-125) • 15 : (-25) - (-3). 153 651. Заполните таблицу: к -1 1 -1 15 20 -28 -32 -45 -72 18 -24 п 1 -1 -1 -3 -4 -7 8 -15 4 -2 6 к + п 0 к- п -2 к ■ п -1 к : п -1 652. Разделите, пользуясь результатом 864:48 = 18: 1) -864 : 18; 2) -48 18; 3) 864 : (-48); 4) 864 : (-18). 653. Запишите следующие числа в виде частных (отношений): 1; 5; -10; -3; -7; -15; 18; 40; 0; -12; 5; -40. -^-16- . “У “ У “ •••’ -18 _ 18 _ -12 _ 3 “ -3 “ 2 “ ■ 654. Выполните действия: 1) (-85): (-17) + (-42) • (-3) - (-96): 24; 2) (-70): (-2) - (-84) : 4 + 63 : (-9). 655. Заполните таблицу: Образец: 1) 8 = 2)-6=. к 6 18 -12 -15 9 21 27 -45 48 -3 п -4 -16 -8 -20 14 36 30 22 -24 -2 к :(-3) + п :(-2) ||б56. Выполните деление: 1) -100:25; 3) -56 : (-8); 5) 99 : (-3); 7)-78 : (-6); __ 2) 75 : (-25); 4) 56 : (-8); 6) -93 : 3; 8) -78 : 6. (^57j) Вычислите: 1) -54 : (-3) - 52; 3) (89 - 69): 2; 5) -48 : (12 - 6); 2) 54 : (-3) + 52; 4) (9 - 39): (-2); 6) -48 : (6 - 9). 154 Заполните таблицу: -144 -720 -2160 -1080 648 792 2376 -1188 -3 -6 18 36 ^Вычислите, используя результат 420:28 = 15: 1) -420 : (-15); 3) -420 : (-28); 5) (-15) • (-28); 2) -420 : 15; 4) -420 : 28; 6) (-15) • 28. .) Решите уравнение: " 1) 3 • (-х) + 51 = 6 - 12; 3) 5 • (-х) + 10 = -75; 2) -Зх - 21 = 81 - 84; 4) -5х - 10 = 75. Раскрытие скобок и заключение в скобки Введение отрицательных чисел позволяет записывать выражения -8-3; 18 - 5; -3 + 8 - 9 в виде сумм. Действительно, -8 - 3 = (-8) + (-3); 18-5=18 + (-5); -3 + 8 - 9 = (-3) + 8 + (-9). Произведение любого числа /I на 1 равно самому этому числу tv. п ■ \ = \ ■ п = п. Так как +1 = 1, то выражение -3 + 8-9 можно записать так: -3 + 8 - 9 = (+1) • (-3) + (+1) • 8 + (+1) • (-9) = (+1) • (-3 + 8 - 9) = = +1 ■ (-3 + 8 - 9) = +(-3 + 8-9). Таким образом, +(-3 + 8 - 9) = -3 + 8 - 9. Слагаемые в левой части этого равенства заключены в скобки. В правой части равенства скобок нет, они опущены. В этом случае говорят о раскрытии скобок. Обратите внимание: знаки слагаемых оставлены без изменений. 155 Если сумма заключена в скобки и перед скобкой стоит знак плюс, то при раскрытии скобок знаки слагаемых не меняются. Например, +(-10 + 8 - 12) = -10 + 8-12. Если перед скобками, в которые заключена сумма, поставлен знак плюс, то все слагаемые в скобках сохраняют свои знаки. Например, -13 + 8 - 2 =+(-13 + 8 - 2). Распределительный закон и равенство -п = (-1) • п позволяют раскрывать скобки, перед которыми стоит знак минус. Примеры: 1) -(3 - 9) = (-1) ■ (3 - 9) = (-1) • 3+ (-1) • (-9) = -3 + 9; 2) -(18 - 5) = (-1) • (18 - 5) = (-1) ■ 18 + (-1) • (-5) = -18 + 5. Сделаем вывод: Если перед скобками, в которые заключена сумма, стоит знак минус, то при раскрытии скобок все слагаемые суммы меняют свои знаки на противоположные. Например, -(-7 + 8-14) = 7- 8 + 14. Если сумму заключают в скобки, поставив перед скобками знак минус, то все знаки всех слагаемых суммы следует поменять на противоположные. Например, 11 - 18 + 16 - 23 = -(-11 + 18 - 16 + 23). 661. 1) Что вы понимаете под раскрытием скобок? 2) Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс? 3) Как раскрьпъ скобки, перед которыми стоит знак минус? 4) Если сумму заключают в скобки, поставив перед скобками знак минус, следует ли изменить знаки перед слагаемыми? А если перед скобками посташтен знак плюс? 662. Вычислите: 1) -(83 + 51) + 51; 2) -(79- 19) - 19; 3) + (-23 - 510) + 23; 4) -(-31+40)+ 40. 156 Напоминание! Обычно перед скобками знак плюс не пишется, но при раскрытии скобок его учитывают. 663. Раскройте скобки и вычислите: 1) +(65 + 35 - 101); 3)-(8-9 + 3 ■ 7-68); 2) -(65 + 53 -38); 4)-(8 • 12-4 • 9-56). 664. Замените многоточия соответствующим выражением: 1) -86 + 75 = (...); 3) -76 + 26 = (...); 5) -18 + 43 = (...); 2) -86 + 75 = -(...); 4) -76 + 26 = -(...); 6) -18-43=4-)- Образец: -40 + 23 = -(40 - 23); -40 + 23 = (-40 + 23). 665. Заключите в скобки первые два слагаемых, поставив перед скобками: а) знак «+»; б) знак «-»: 1) 65 + 94 - 45 - 23; 3) 617 + 313 - 514 - 722; 2) -97+ 83-42+120; 4) -397 + 248 - 324 + 201. 666. Раскройте скобки и вычислите: 1) (219 + 511) - (-89 + 219); 3) (218 - 425) - (18 - 435); 2) (625 + 139) - (325 + 139); 4) -(29 + 109) - (378 - 78). 667. Вычислите, раскрывая, если удобно, скобки: 1) 283 - (283 + 7); 3) -96 + (86 + 207); 2) -159 - (-159 - 24); 4) 951 + (137 - 941). 668. Замените знак «?» соответствующим числом: 1) 'О ' 669. Вычислите, раскрыв скобки: 1) (20-(-6))-(15-(-12)); 3) -(-65)-(-55-39)-(-34); 2) -29-(18-74)-(74-19); 4)-48-(-22)-(-34-(-3)). |||б70. Вычислите удобным способом: 1) 18-52-18 ■ 37-18 • 13; 3) 21 • 74 + 21 • 11-85• 10; 2) 42 • 31-38-42+21-16; 4)-128-39+78-32 + 64-61. 157 и 671. Впишите в кружочки соответствующие числа: Составьте выражения, соответствующие выполненным действиям. Вычислите, раскрыв скобки (672—673): (@)1)+(84-208 + 25); 3) -(45-69-21); 2)-(403-270-123); 4) -(284-49-244). 1) (119 + 141) - (-59 + 119); 2) (325 + 229) - (125 + 129); )1) +(86 - 98)+ 42: 2) -(59 - 69) - 29; 3) (228 - 215) - (28 - 315); 4) -(82 + 98)-(186 - 86). 3) +(-38 - 410) + 38; 4) -(-101 + 53)+ 53. Замените знак «?» соответствующим числом: (^76^Вычислите удобным способом: 1) (_6+14)Н-28 + 3) (-2); 2) (38 - 58) • (-1) + (27 - 48) ■ (-3). 158 Упражнения на четыре действия над целыми числами________________ Выполните действия (677—680): 677. 1) (-36 + 4) • (-3) + (-2) • (-25 + 20); 2) (229 - 199) • (-7) + (-35 + 20) • (-2). 678. 1) (-288): (-24) + (-32) ■ (-7) - (-28) • 5; 2) -108 : 36 - 13 • (-4) + 27 ■ (-3). 679. 1) (68 - 98): (27 - 21) + (88 - 98) ■ (-2); 2) -(-41 - 79): (-24) + 108 : (-6) • 4. 680. Координаты точек А, В, С, D, Е, F числовой прямой указаны на рисунке 36. С F А -•-----1--- О ■ч----1— Е В D -6 -5 -4 -3 -2 - 1 о Рис. 36. Найдите длины следующих отрезков: 1) OD\ 2) FA-, 3) FE\ 4) BD‘, 5) СВ\ 6) АВ. 681. При каких значениях к: -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2 и 3 равенства: 1) к ■ {к+ \)~ \2\ 2) к ■ {к - \) = 2 будут верными? 682. Заполните таблицу: к 9 12 15 -21 36 -24 -48 -30 -9 -15 п -42 -9 18 -24 27 24 30 45 -3 21 -2 ■ к + (-«): 3 683. Вычислите удобным способом: 1) -15-37 + 14-37- 19-37 + 17 -37; 2) 26 - 45 - 45 - 27 + 31 - 45 - 30 - 45. 159 3 |б84. Вычислите: 1) 76 ■ (-45): 90 - (-92); 2) 84 ■ (-28): 49 - (-62); (^85^ Вычислите: 1) (-21 - 59) • (50 - 62); 2) (36-(-17)) (-59+ 39); 3) -91 - (-50 + 13); 4) 87 - (-27 - 54). 3) (-34-19) (-7-(-13)); 4) (-47 + 90) • (-15 - (-16)). Раскройте скобки и вычислите: 1) 246 - (46 + 48); 3) 350 + (47 - 340); 2) -95 - (33 - 75); 4) 327 - (127 - 99). ^Вычислите расстояние АВ между точками А vl В, координаты которых даны ниже. Сделайте чертеж. А -5 0 -8 -4 6 -7 -9 -3 -1 -1 В 3 4 -1 0 10 7 -6 -2 0 1 АВ 8 (^8^ Вычислите: 1) -625 : (-25) + (-25) ■ 6 - (-84): 7; 2) 785 : (-5) • 4 - (-68 + 32): (-6); 3) 144: (-4) • 3 - (-79 + 23): (-7). Перпендикулярные прямые. Параллельные прямые 1. Перпендикулярные прямые. Из курса математики 5-го класса вы знакомы с понятием угла, развернутого и прямого углов. На рисунке 37 прямые а и пересекаются под прямым углом. В этом случае прямые а и Ь называются взаимно перпендикулярными прямыми. Перпендикулярность прямых аиЬ обозначается alb (или Ы а). 160 Читается: прямые а и взаимно перпендикулярны. Рис. 37. Рис. 38. Отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых, называются перпендикулярными отрезками. Например, смежные стороны прямоугольника или квадрата — перпендикулярные отрезки. 2. Параллельные прямые. Две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются параллельными прямыми (рис. 38). Параллельность прямых а и обозначается а || Ь (или Ь || а). Читается: прямые аиЬ параллельны. Отрезки, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными отрезками. Противоположные стороны прямоугольника и квадрата — параллельные отрезки. ^ 689. 1) Какие прямые называются перпендикулярными? ' 2) Какие прямые называются параллельными? Покажите на рисунке. - - ✓ 690. Найдите в классе или дома примеры перпендикулярных или параллельных отрезков. 691. Начертите прямоугольник и квадрат. Обозначьте их. Назовите их: 1) взаимно перпендикулярные стороны; 2) параллельные стороны. Запищите в тетрадь. 692. Начертите некоторую прямую /. Отметьте на ней точки А и В. При помощи транспортира или чертежного угольника проведите через точки А 'ia В прямые, перпендикулярные прямой /. Что можно сказать об этих прямых? 161 от и— Математика, 6 класс 693. Объясните, как на рисунке 39 с помощью чертежного угольника проведен перпендикуляр через точку А прямой /. Рис. 39. Рис. 40. 694. Прямые а п Ь взаимно перпендикулярны (рис. 40). Они пересекаются в точке О. СО La. Измерьте отрезки АС, ОС, ВС, DC. Какой отрезок самый короткий? Какой отрезок самый длинный? Какой вывод можно сделать? 695. Начертите окружность с радиусом 3 см. Проведите два взаимно перпендикулярных диаметра. На сколько частей разобьется окружность? |б96. На рисунке 41 через точки А, В, С vl D проведите прямые, перпендик>^лярные прямым а и Ь. (697^ Начертите правильный треугольник. Из его вершин опустите перпендикулярные отрезки на его стороны и найдите их длины. Сделайте выводы. (^9^ Объясните, руководствуясь рисунком 42, как можно через точку А, не лежащую на прямой /, провести прямую, параллельную прямой /. В ь .л п О а .D Рис. 41. 162 Постройте окружность с радиусом 3 см. Проведите два взаимно перпендикулярных диаметра этой окружности. Из концов каждого диаметра проведите до пересечения отрезки, параллельные другому диаметру. Найдите периметр и площадь получившейся фигуры. Координатная плоскость. Графики 1. Координатная плоскость. Проведем через некоторую точку О гыоскости две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу. Примем точку О за начало отсчета на каждой оси, выбрав на каждой оси равные единичные отрезки. Положительное направление на оси Ох выбирается идущим слева направо, а на оси Оу идущим снизу вверх (рис. 43). Говорят, что в этом случае на плоскости определена прямоугольная система координат хОу. Она называется декартовой прямоугольной системой координат по имени французского математика Декарта, который впервые рассмотрел ее. Ось Ох называется осью абсцисс^ ось Оу — осью ординат. Плоскость, на которой введена декартова координатная система, называется координатной плоскостью. Пусть точка А — произвольная точка, лежащая на координатной плоскости. Опустим из точки А перпендикуляры на оси Ох и Оу. Они пересекают оси Ох Оу ъ точках Д и С (рис. 44). к г П 1 о 1 J Рис. 43. II четверть (-:+) 1 III -1 четверть о -1+ четверть (+; +) 1 IV четверть (+;-) Пусть длина отрезка ОВ равна л:, длина отрезка ОС равна у. Число л: называется абсциссой точки А, число у называется ординатой точки А. Пару чисел х и у называют координатами точки А и обозначают А (л:; у). При этом на первом месте пишут абсциссу, на втором — ординату. Рис. 45. На рисунке 44 абсцисса л: точки А равна 4: л: = 4, а ордината у = 3. В этом случае пишут А (4; 3). Таким образом, 1) в координатной плоскости каждой точке А сопоставляется пара чисел (х; у); 2) произвольной паре чисел (л:; у) сопоставляется точка А, имеюшая эти координаты; 3) если а: у, то точки, имеюшие координаты (л:; у) и (у; л:), являются различными точками плоскости. Начало координат — точка О имеет координаты (0,0): О (0; 0). Произвольная точка В оси Ох имеет координаты (л:; 0): В {х\ 0); произвольная точка С оси Оу имеет координаты (0; у): С(0; у). Оси Ох и делят плоскость на четыре угла, которые называются координатными четвертями (или координатными углами). Координатные четверти изображены на рисунке 45. Имеют место следуюшие зависимости: для координат (л:; у) точки I четверти л: > 0; у > 0; для координат (х; у) точки II четверти х < 0; у > 0; для координат (х; у) точки III четверти х< 0; у < 0; для координат (х; у) точки IV четверти х > 0; у < 0. Знаки координат в четвертях I — ГУ символически изображены на рисунке 45. 164 Для всех точек оси абсцисс Ох ординаты равны 0: = 0. Для всех точек оси ординат Оу абсциссы равны 0; х = 0. 2. Графики. График — это линия, выражающая зависимость между величинами. На графике зависимость между величинами видна более отчетливо. В следующей таблице дано изменение температуры каждые два часа в течение суток; Время (в часах), t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Температура (в градусах), Т -1 -3 -2 0 1 3 6 8 7 5 2 0 -3 Для того чтобы изобразить график зависимости между временем и температурой: 1) обозначим в системе координат ЮТ точки {t, Т)\ 2) соединим точки отрезками. В результате пол>^аем график зависимости между временем и температурой (рис. 46). Г, С i о и т / ~г / Ч / ч 4 f \ щ / .3 'У / Ч Ай 1 >1 ч 1 Ч^ 0 7 1 / 1 m i? ы 16 Nj 4 ‘ t -1 \ У 3 \ \ асы Рис. 46. 165 о 10 12 14 возраст Рис. 47. Графики могут быть и криволинейными. Например, график зависимости: 1) вашего веса; 2) роста от вашего возраста является криволинейным (рис. 47). Анализируя графики, можно сделать различные выводы. Например, анализируя известный вам из курса географии график, называемый «розой ветров», можно сделать вывод о направлении ветров в некоторой точке поверхности Земли и о продолжительности этих погодных условий. В географии также рассматриваются координатные системы. Вы познакомились с понятием масштаба, нулевого меридиана, параллелями и меридианами, географической широтой и долготой. Географическая широта и долгота некоторой точки на земной поверхности называются ее географическими координатами. И обратно, каждой паре соответствуюшим образом подобранных величин соогветствует единственная точка на поверхности Земли. В этой прямоугольной координатной системе широта и долгота играют роль абсциссы и ординаты точки. ^)700. Г) Как вводится на плоскости прямоугольная система^ “ координат? Начертите соответствуюший чертеж. 2) Что такое абсцисса и ордината точки? Что вы понимаете под координатами некоторой точки плоскости? 3) Как определяются координатные углы (четверти)? Как определяются знаки координат точки по четвертям? 4) Что такое график? Ч________________________________________________________✓ 701. 1) Где расположены точки с абсциссой, равной 0? 2) Где расположены точки с ординатой, равной 0? 702. В каких четвертях расположены точки с отрицательными абсциссами? С отрицательными ординатами? 703. Найдите координаты точки пересечения отрезков АВ и CD, если: 1) /4(-3; 4), В{2\ -1), С(-2; 0), D(4; 3); 2) Д-1; 1), В{\- 2), С(-3; 0), Д2; 1). 166 704. Запишите координаты точек, изображенных на рисунке 48. Назовите их абсциссы и ординаты. 1 I 1 4 1 1 i > - 'з , 1^ 1 ^ та** 1 - - { 1 — < t — - 4 3. 1 -2 -1 1 '.л - —!— 2 1 ; - 1 - —— щ ■ ■ -1 ► с f г - 2. Рис. 48. 705. Постройте четырехугольник с вершинами: 1) (1; 1), (-1; 1), (-1; -1), (1; -1); 2) (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; -1). Какой это четырехугольник? Почему? 706. Начертите окружность с центром в начале координат и радиусом 2 см. Выпишите координаты точек пересечения этой окружности с осями Ох, Оу. 707. Начертите прямую, проходящую через точки (-3; 4) и (2; -1). В каких четвертях расположена эта прямая? 708. 1) Начертите прямую, проходящую через две четверти. 2) Может ли прямая лежать только на одной четверти? 709. 1 кг винограда стоит 250 сумов. Ниже приведена таблица зависимости стоимости от массы купленного винограда. Постройте соответствующий график. Виноград, X (кг) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Стоимость, у {сум.) 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 Указание. По оси Ох отложите массы купленного винограда, а по оси Оу соответствующие им стоимости. Последовательно соедините отмеченные точки (лг, у) прямой линией. 167 (71^ Начертите по две прямые, расположенные в: 1) I, II и III четвертях; 3) II, III и ГУ четвертях; 2) I, II и ГУ четвертях; 4) I, III и ГУ четвертях. (ТИ^Отметьте на координатной плоскости точки А(-3; 0), 5(-3; 2), С(1; -1). 1) Лежат ли они на одной прямой? 2) Найдите координаты середины отрезка АВ. (тТ^ Начертите на координатной плоскости треугольник с вершинами А (2; 2), В (2; 0), 0(0; 0) и определите его вид. 713. В каких четвертях расположена прямая, проходящая через точки: 1) Л(1; I), В (2; 2); 2) С(-1; -1), О(-2; -2); 3) Д-3; 4), Д2; -1)? Начертите соответствующий чертеж. Вес ребенка от рождения до 13 лет меняется следующим образом: Возраст ребенка (лет] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Вес (кг) 3,4 9 12 13,5 14,5 16 17 18,5 20,5 22,5 24,5 27 30 34 Постройте график зависимости веса ребенка от его возраста, пользуясь таблицей. По оси Ох откладывайте возраст (0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 13), а по оси Оу — его вес. 715. Поезд вышел в путь в 1.00 и двигался в течение 3 ч со скоростью 60 км/ч. Затем стоял на станции 1 ч и продолжил движение в течение 4 ч со скоростью 70 км/ч. Начертите график зависимости расстояния от времени. Проверьте себя 1. Найдите сумму: (-51 + 40) + (-78 + 47). А) 42 В) -42 С) -11 D) -31 Е) 52. 2. Найдите сумму: (200 + (-206)) + (46 + (-51)). А) -9 В) -11 С) -20 D) 20 Е) И. 168 о« 3. Найдите сумму: 89 - (-61) + (-170). А) 70 В) -90 С) -111 D) -20 Е) 20. 4. Выполните действия: (-13 + 11) - (-4 + 7). А) 5 В) -2 С) -3 D) 3 Е) -5 5. Выполните действия: -29 - (88 - 98). А) 19 В) -19 С) -10 D) -39 Е) -67. 6. Выполните действия: -108 - (-41 - 53). А) -47 В) -35 С) -14 D) 14 Е) -54. 7. Выполните умножение: (-25) • 3 • 4. А) 75 В) 100 С) -100 D) -300 Е) 300. 8. Выполните умножение: 125 • (-5) • 8. А) -5000 В) 5000 С) -625 D) 1000 Е) -4000. 9. Выполните действия: (-8) • 5 + (-3) • 6 - (-28). А) 30 В) -30 С) -584 D) 86 Е) -86. 10. Выполните действия:(-69 + 44): (-5). А) -3 В) -5 С) 5 D) 3 Е) 10,6. 11. Выполните деление: (-128): (-4): (-8): 2. А) -4 В) -128 С) 2 D) -2 Е) 32. 12. Выполните действия: (-15) • 4 + (-48): (-3) - 150: (-6). А) -44 В) 44 С) 69 D) 19 Е) -19. 13. Выполните действия: (-12) • 5 + (-54): 3 - (-84): (-14). А) -84 В) -78 С) 90 D) -24 Е) 84. 14. Вычислите: (-3)^: (-3)^ + (-2)^:(-!)'- (-1)**: (-1)^ А) 10 В) -10 С) -11 D) 12 Е) -12. 15. Вычислите: -72 • 18 -h 36 • 16 + 36 • (-4). А) -720 В) 864 С) -864 D) -144 Е) -576. 16. Вычислите: (54 • (-25) + 44 • 25) : 50. А) 150 В) -3 С) 5 D) -5 Е) -150 17. Вычислите: (28 • (-12) - 28 • (-2)): 14. А) -40 В) 280 С) -280 D) 20 Е) -20. 169 *^/щ Исторические сведения Отрицательные числа использовались при расчетах с древнейших времен. Отрицательные числа назывались при расчетах «долгом», положительные — «вещью». «Если к долгу прибавится долг, то и в результате получится долг», — гшсал китайский ученый третьего века до Н.Э. Джан Сад. Для того чтобы рааличать на гшсьме положительные и отрицательные числа, их писали чернилами разных цветов. Действия над отрицателыгыми числами встречаются у древнегреческого ученого Диофанта, у индийского ученого Брахмагупты (598—660). В нашем отечестве поггятия «положительного числа» и «отргщательного числа» появились в трактате соратника Улугбека, известного ученого его научной школьг Али Куггрш. Он ггишет в своем сочгшешш: «Надо знать, что каждое число может быть или положительным, или отрицательны]^. Определив действия над числами, Али Кугггчи сформулировал следуюгггие правила: (+а) • (—А) = —аА; (—а) • (+А) = —аЬ; (~а) • (—А) = +ад. На числовой оси располагать отрицательные числа впервые стали А. Жерар (1595-1632) и Р. Декарт (1596-1650). § 7. Сложение и вычитание рациональных чисел ____________Рациональные числа____________ В 5-м и 6-м классах вы познакомились с четырьмя арифметическими действиями не только с натуральными и целыми числами, но и с обыкновенными и десятичными дробями. Бьгло введено понятие положительного и отрицательного числа и определены действия над ними. Сумма и произведение натуральных чисел — натуральное число. Но разность и частное натуральных чисел может не быть натуральньгм числом. Над целыми числами можно производить сложение, 170 вычитание и умножение, получая в результате снова целое число. Но отношение двух целых чисел не обязательно будет целым числом. Например, отношения ~, ~ не являются целыми числами. 4 —о 12 Тем не менее во многих задачах ощущается необходимость в действиях над подобными числами. Пусть кип — целые числа и пфО. тт 2 -6 3 -19 100 12 Например, ^, уу, ^~ ’ Л ~ рациональные числа. Так как произвольное целое число к можно записать в виде у = ^» то произвольное целое число является рациональным числом. Изученные в 5-м классе обыкновенные дроби и смещанные числа также являются рациональными числами. Мы знаем, что конечные и бесконечные периодические десятичные дроби также можно представить в виде Такие десятичные дроби также являются рациональными числами. Если перед положительной дробью поставить знак «-», получится отрицательная дробь. Например, ~ отрицательные дроби, о — рациональное число, так как его можно представить в виде 0 = -. п Вообще, 1) если к и « — целые числа одного знака, то положительное рациональное число; 2) если А: и « — целые числа разных знаков, то — — отрицательное рациональное число. п Так как рациональное число ^ является обьншовенной дробью, то оно обладает всеми свойствами дробей. 171 _ ir в частности, числитель и знаменатель рационального числа ^ можно: 1) умножить на любое целое число; 2) разделить на соответствующее целое число, отличное от нуля. Полученная в результате дробь равна исходной. ^ X 3 3 (-2) Примеры: 1) ^ ^ -6 -6:(-2) 3 5 = ^- -6 3|Q, при этом 3 -6 2) -18 -18:9 -2 -2 -2-9 -18 -2 -18 27 27:9 3 ’ 3 " 3 • 9 “ 27 ’ з 27 ’ Приходим К выводу: 1- е следствие: если числитель и знаменатель дроби умножить на некоторое число, отличное от нуля, то в результате получится дробь, равная исходной; 2- е следствие: если числитель и знаменатель дроби разделить на их общий делитель (т.е. сократить дробь), то в результате получится дробь, равная исходной. „ ,, 2 2-(-1) -2 -5 -5(-1) 5 Примеры: 1) 17 = . (_,) = у; 2) — " _7.(_ip 7- Мы видим, что дробь с отрицательным знаменателем всегда можно привести к виду дроби, знаменатель которой — натуральное число. Таким образом, любое рациональное число можно представить в виде дроби ^, где числитель к — целое число, а знаменатель п — натуральное число. Поэтому знак «-», стоящий перед дробью, обычно относят к числителю. Например, - у = ^. 172 ^^716. 1) В результате каких действий над натуральными числами получится снова натуральное число? Приведите примеры. 2) В результате каких действий над целыми числами получится снова целое число? Приведите примеры. 3) Обязательно ли в результате вычитания, деления натуральных чисел получится снова натуральное число? Всегда ли при делении целых чисел получится снова целое число? Приведите примеры. 4) Что такое рациональное число? Приведите примеры. у 717. Напишите к каждому из следующих рациональных чисел по 3 равных ему рациональных числа: 8 -3. .. 7 . .. -3. 17. 18. -11. -15 ^ 15’ 4 ’ _8’ '^) _10’ 8 ’ _7’ 3 ’ -5 ■ 718. Запишите следующие числа в виде обыкновенных дробей: 1)-3;-7;-9; 12;-1; 1; 2'1 3-- - 2-- - 5-- -1-- 10 — - 1- _10. -9. Ш -2’ -3’ -Г 719. Представьте знаменатели следующих чисел в виде натуральных чисел: zL- 1 • _L- J • А- А- -5’ -9’ -10’ -Г’ -4’ -8’ 720. Когда рациональное число -: 1) будет положительным? п 2) будет отрицательным? 3) будет равно нулю? Докажите на примерах. 721. Какие из следующих рациональных чисел равны между собой? Выпишите их: _8. ■ zl- А- А zl- А- А- А_ 9’ -ю’’ Т’ -2’ 3’ -1’ Т’ 30’ Л7‘ 722. Какие из следующих рациональных чисел положительные? Какие равны нулю? Какие отрицательные? Выпишите их по отдельности: J_. _0_. -7’ 8’ 3’ -9’ -3’ 5 ’ -2’ 6’ I llj’ I • J' 173 723. Напишите числа, противоположные данным числам: 5; 1^- ii- d- _з- _2- -3’ -15’ 5 ’ о; Е?; — • —• —• -11 12’ 9’ -1’ 724. Какие из рациональных чисел являются натуральными? Выпишите их по отдельности: 6. -6. 2 ’ 1 12 -81 -100 100. 4 ’ 4. 3’ -3^ -1 2 ’ -2' Г 3 ’ -27 ’ -4 I 725. При каких значениях х равенства будут верными: -1 1) d = 5 5 ’ 2) — = — > 6 12 ' 5 10’ 4) d = 9 -9 с ■ (72^ Сократите и запишите в виде дроби с положительным знаменателем: -8 . 4 . 7 . Jj_ -36. 48 ’ 63 . -45’ 54 . 49 . -72’ -35’ -84. -87 105 ’ -58■ -14’ -10’ -28’ -121’ Сравните числа и результаты запишите в виде неравенств: 1) 45 и 41; 2) -30 и -20; 3) -5 и 0; 4) -4 и -9. Сравнение рациональных чисел Вы знаете, как сравниваются две произвольные положительные дроби. Вам известно, что две дроби можно всегда представить в виде дробей с натуральными знаменателями, т.е. со знаменателями, являюшимися натуральными числами. Если равны числители двух дробей, знаменатели которых равны их общему знаменателю, то эти дроби равны. Например, дроби d и d равны, так как знаменатели этих 4 4 дробей — одно и то же натуральное число, а числители равны -3 -3 между собой: -3 = -3. Следовательно, Та из двух дробей с одинаковыми натуральными знаменателями больше, у которой больше числитель._______________________ 174 Например, тг > тг > так как их знаменатели равны и -5 > -7. 16 16 Сравнение двух дробей, знаменатели которых — одинаковые натуральные числа, сводится к сравнению целых чисел. Для сравнения дробей с разными знаменателями их приводят к дробям, знаменатели которых — одинаковые натуральные числа. Пример. Сравните дроби -5 И — 8 Решение: 7 7 - (-8) -9 (-9) (-8) -56 72 ’ 8 -5 ■ 9 _ ^5 8-9 “ 72 и так как -45 >-56, то у < -| (или -j> Ответ: ^<у- Выводы, сделанные в результате сравнения целых чисел, остаются верными и для рациональных чисел. Следовательно, 1) любое положительное рациональное число больше нуля; 2) любое отрицательное рациональное число меньше нуля; 3) положительное рациональное число больше любого отрицательного рационального числа. 728. 1) Как сравнить две дроби, знаменатели которых: а) равные натуральные числа; б) различные натуральные числа? 729. 1) Пусть число а больше 1,5. Обязательно ли а >0? 2) Пусть число Ь меньше 3. Обязательно ли Ь < 0? Обоснуйте ответ. 730. Запишите координаты точек Л, В, С, D и Е в порядке возрастания (рис. 49). Е D -I—•—I---•- О С н---1 • I В А I- -► -5 -4 -3 -2 -1 Рис. 49. 175 3 731. Какая из дробей больше (используйте знак >): -15 -16 . -23 13 „ 1) или , 2) 20 _20 • 732. Какая из дробей меньше (используйте знак <): -5 2 -,,1 8 „ 1) - или —; 2) - или ~з? 733. Сравните числа: 1) 3,7 и 3,69; 3) 0,3 и -5,6; 5) -3,3 и -3; 2) -2,1 и 1,2; 4) -0,8 и 1; 6) -5 и -5,23. 734. Расположите числа: а) в порядке возрастания; б) в порядке убывания: 9,7; -9,8; -8,3; 12,3; 0; -0,4; 13; -4. 735. Найдите наибольшее и наименьшее из следуюших чисел. Какое из этих чисел имеет наибольший модуль и какое имеет наименьший: -2,7; 9; -2р 0; Ц; -0,9; -2,9; ? 736. Расположите следуюшие числа в порядке: а) возрастания; б) убывания их модулей: -7; 3,01; -п|; -13; -4,7; зА; -^;-2,1. 737. Подставьте вместо многоточия одно из чисел, для которого верно двойное неравенство: 1) -2,9 <...<- 1,5; 2) -0,94 < ... < 2,01. 738. Выпишите целые числа, расположенные между числами: 1) -4,5 и -1,9; 2) -2,9 и 0,7; 3) -7,4 и -1,2. 739. Между какими последовательными целыми числами расположены числа:-1,7; 3,01; -7,07; 8^; 3,9; 0,9? Ответы запишите в виде двойных неравенств. 176 740. Сравните значения выражений и запишите результаты сравнения с помощью знаков >, <, = 1)|5,3|-|4|и |5,3|-|-4|; 2) 4-4 и -н 3) 4) -2 4 l|.2i И 4 _ 4 3 5 И -1| _ 2- 6 4 741. Не вписывая вместо звездочек цифры, сравните числа и поставьте соответствующий знак неравенства: 1) -1,6** и -1,4**; 3) -**,46 и -*,*8*; 2) —**,♦** и 0; 4) —*,*** и —**^9*. |742. Замените звездочки числами, сохранив смысл неравенств: 1) -7,23 > -7,*2; 3) -3,*54 > -3,721; 2) -1,053 > -1,0*1; 4) -2,741 < -2,7*2. (ТЙ)Для каждого из чисел найдите наибольшее из меньших и наименьшее из больших его целых чисел: 1) -6; 2)-|; 3)1,1; 4)-2i; 5)-3.7; 6)7,9. (7^1) Пусть число с больше -0,5. Обязательно ли с > 0? Ответ обосновать. 2) Пусть число d меньше -3. Обязательно ли с? < 0? Ответ обосновать. ^74^ На числовой оси, взяв за единичный отрезок 1 см, ' " отметьте числа и сравните их. Результаты сравнений запишите в виде неравенств: 1) -2,5 и 4; 2) -1 и 0,5; 3) -3,5 и -2,5; 4) -3,4 и -2. (74^ Сравните числа: 1) -2,41 и 0,82; 3) 4,33 и 4,31; 5) -6 и -6,03; 4) -I и -1; 6) -2,5 и -2^. 18 9 -19 “ -То- Запишите числа в порядке: 1) возрастания; 2) убывания: 5,9; -2,6; 0; -0,7; -6; -7,8; 11,4; -12; 9; -1,9. о» 12 — Математика, 6 класс 177 0*> Сложение рациональных чисел Вы уже знаете, что каждое рациональное число можно записать в виде дроби ^, знаменатель которой — натуральное число, а числитель — целое. В таком случае над рациональными числами удобно производить действия. 1. Сложение рациональных чисел. Пример 1. Найдите сумму ^ ■ Решение. Так как знаменатель у дробей общий, складываем числители по правилу сложения целых чисел: -А -7 _ -4 + (-7) 15 15 “ 15 II 11 15 =~Г5- М 15 Пр им ер 2. Найдите сумму о о Решение.Так как знаменатель у дробей общий, складываем числители по правилу сложения целых чисел: 1 -5 3 _ -5 + 3 8 8 “ 8 -2 1 ^ -- = Ответ 8 4 4 . 6-26-24 Аналогично: -=+— = —= —. 7 7 7 7 Пример 3. Найдите сумму й-Н} „ 5Г5^5-5 5 + (-5) О л Решение, уу '*’[”12 J ~ И И " —12— " 12 " сумма взаимно противоположных чисел равна 0. Вообще, сумма взаимно противоположных рациональных чисел равна 0: к. к. к к о л у\ — +—=----=—= 0. Ответ. 0. пн п п 178 2. Сложение дробей с разными знаменателями. Для того чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их надо привести к общему натуральному знаменателю. 3 9 Пример 4. Найдите сумму Решение. Приведем дроби к общему натуральному знаменателю: 3 _(-3) -14 -42 9 _ 9 (-5) -45 5 “ 5 ■ 14 " 70 ’ -14 -14 • (-5) “ 70 ‘ т. 3 9 ^2 ^5 ^2-45 87 , 17 ^ ,17 Тогда = = Ответ: -1-. Пример 5. Найдите сумму | j • Решение. — + ~ . Ответ: 4 10 20 20 20 Вообще, если ~ ^ — рациональные числа в стандартном виде, то их общий знаменатель — это, например, произведение nq к р _ к ■ q + п ■ р п q nq Таким образом, сложение рациональных чисел стандартного вида сводится к сложению целых чисел. Ясно, что это правило относится и к десятичным дробям, также являющимся рациональными числами. Например, -2,8 + (-1,75) = -(2,80 + 1,75) = -4,55. Действительно, можно, при желании, записать эти дроби в виде обыкновенных дробей, приведя их к общему знаменателю: -2,8 + (-1,75) = -2,80 + (-1,75) = ^ + ^ = = -4,55. 100 100 100 179 (2)748. 1) Как складываются дроби: а) с одинаковыми знаменателями; б) с разными знаменателями? Объясните. 2) Как складываются десятичные дроби одного знака (разных знаков)? 3) В чем сходство (различие) в сложении целых и дробных чисел? Объясните на примерах. Найдите сумму (749—751): 749. 1) ^ + 750. 1) ^ + 751. 1) 1 + ^; 2) +-• '' 20 5 ’ '' 9 -36 ’ ... -1 5 14 8 1. .. 27 7^ 52 13 J* 14 -3 -7. .X 10 ^ 5"V 10 "^30’ 63 [ 9J- 3) A + J_. ^ 25 -50 ’ 2 2 752. Найдите значение выражения о + — при: 1) 2) а = ^-. 3) >.4 23 4) а=--. 753. Вычислите: 1) -1,27 + (-5,73); 3) -12,78 + (-7,69); 5) -132,6 +(-7,9); 2) 45,3 + 47,85; 4) -0,58 + (-3,42); 6) 8,51 + (-478). 754. Замените многоточия соответствующими числами: 1) —8,3 + ... = — 9,8; 2) —4,6 + ... 0; 3) —10,6 + ... = —6,7. 755. Замените звездочки знаками «+» или «-» так, чтобы равенства были верными: 1) (=5=43) + (=5=76) = -33; 3) (=5=3,5) + (=5=7,3) = -3,8; 2) (=5=17) + (=5=9) = 8; 4) (*7,8) + (=5=4,2) = -12. 756. Сколько целых чисел заключено между числами -15,7 и 6,5? Выпишите их и найдите их сумму. 180 757. Решите уравнение: 1) -fl = 2,7 + 6,45; 3) -а = -8,9 + 13,2; 5) -5,7 + л: = 8,7; 2) 34,4+у=-29,2; 4) 15,9+у =-7,1; 6) 5,8-л:= 10,18. 758. Уровень воды в реке в понедельник определялся отметкой -3,3 см, во вторник — +3,5 см, в среду — (-1,5) см. Найдите изменения уровня воды за три дня. 759. Как изменится число, если прибавить к нему: 1) положительное число; 2) отрицательное число? 760. Вычислите: 1) -0,58 + (-3,42); 3) -7,88 + (-13,32); 5) -32,4 + (-67,5); 2) -8,43 + (-1,57); 4) -34,33 + 45,33; 6) ^7,75 + 25,05. 761. Какие из следующих неравенств верны, а какие неверны? ( Почему? Объясните причины.) 1) 23,7 + (-34,2) < 0; 3) -11,7 + (^,3) > 0; 2) -6,8 + (-34,2) > 0; 4) -5,54 + 65,4 > 0? 762. Первое число равно 52,8, второе число в 2,5 раза больше первого. Третье число составляет 40% разности первого и второго. Найдите среднее арифметическое этих чисел. I 763. В кассе имеется 50 000 сумов. Кассир следующим образом описал операции по вьщаче и сбору денег: -14000 сумов; -10000 сумов; +2500 сумов; +5000 сумов; -6300 сумов; -4000 сумов; +2000 сумов; -500сумов; +1200 сумов; -3000 сумов. Сколько денег осталось в кассе? Выполните сложение (764-765): (7^1) -11 -8. 19 19 ’ л. 13 3 ^ 20'*’-20' 9 27J’ 4) _ А + i. ^ 25 5 181 (766.) Замените звездочки знаками «+» или «-» так, чтобы равенства были верными: 1) (=:4,5) + (-^5,5) = -10; ^ 2) (=^=54) + (^32) = 22; (767.) Решите уравнение: ^ 1) -л: =-9,07 + 4,37; 2) -л:= 19,3+ (-4,9); 3) -л:=(-7,8) + 2,8; Выполните сложение (768-769): (7^)1) -7,5 + (-10,8); 3) -12,18 + 8,43; 2) -65,4 + (-34,6); 4) 3,7 + (-1,89); 1) -4,75 + (-7,65); 3) -80,4 + (-19,6); 2) -7,56 + (-5,67); 4) 43,7 + (^8,8); 3) (=^=3,6) + (=^7,3) = -3,7; 4) (^=5,8) + (=^2,4) = -3,4? 4) -у = -5,4+ 21,6; 5) -у = 2,2 + (-5,56); 6) -у =(-3,2)+ 4,09. 5) -3,7 + (-1,89); 6) -92,52 + 38,93. 5) -2,72 + 8,28; 6) 9,43 + (-5,63). 49 Законы сложения рациональных чисел Сложение рациональных чисел, как и сложение целых чисел, десятичных дробей, положительных обыкновенных дробей подчиняется 1) переместительному; 2) сочетательному законам. Пример 1. = 8 12 (8 I2J [12 8j 12 ( 8j -7^-1 „ -1 -7 -7 -1 = -р2^-т-Значит,- + -- = - + -. Вообще, для любых рациональных чисел ^ и ^ имеет место равенство к +1- к + - п Ч Я п Это равенство выражает переместительный закон сложения рациональных чисел. 182 Пример 2. Выполните сложение: Г 5W 14^ 7 fVs Vi4' Решение. 1) 5/53 , ^/7 _ -212+105 _ -107 . 30 8 120 1^’ 6 15 7 ^ 25+28 7 ^ 8 “ 30 8 “ НМ-8)*И-1|*(-5-¥Н-1) -112+105 120 ' '-1] zL = -. 6;"^ 120 Значит, Г 20/5 4l\ 100+7 + ■ 6 120 120 107 120 • ' 5] +f 14 К- = '_5^ ' 14' 7' + — 6 1 15 J 8 6 ( 15 8 * (5) 770. 1) Какие законы сложения целых чисел, десятичных I дробей и положительных обыкновенных дробей вы знаете? 2) Сформулируйте: а) переместительный; б) сочетательный законы сложения. Объясните на примерах. 771. Проверьте справедливость равенства а+ Ь = Ь +а при 1)0 = -27,3, Ь = - 12,5; 2) о = -54,8, Ь = 65,9. Вычислите удобным способом (772—773): 772. 1) 14,3 + 41,2 + 15,7 - 6,2; 2) A+J.+A-A-1- 2 23 10 13 23 13 ’ 773. 1) 4,4 + (-2,3) + 2,5 + (-1,7); 774. Заполните таблицу: 3) -25,9- 13,4-24,1 - 16,6; 4) -з|.[-2|]^з2^[-з|], 2) 0,4+ (-4,1)+ (-3,4)+ (-5,9). а 17,3 -4,7 -8,6 3,3 8,6 -9,6 0 Ь -18,3 -2,4 5,7 -4,5 -7,3 а + Ь 8,2 28,4 3,4 -4,5 183 775. Вычислите удобным способом: 1) 47 + (-50) + (-42) + 53 + (-8); 2) 54 + (-74) + (-26) + 46 + (-7,9); 3) -18,3 + 25,9 + (-11,7) + 24,1 + 17,2; 4) 42,5 + (-24,5) + (-32,3) + 23,3 + (-9). 776. Найдите сумму: 1) 1,1 + (- 2,3) + 3,9; 3) 4,1 + ( - 7,2) + ( - 6,8); 2) -2,6 + ( - 7,4) + 5,3; 4) (- 11,3) + 8,5 + ( - 3,2). Вычитание рациональньк чисел Вычитание рациональных чисел определяется так же, как вычитание целых чисел. Чтобы вычислить разность рацио- нальных чисел, нужно к уменьшаемому ^ прибавить вычитаемое р -, взятое с противоположным знаком, т. е. к р к (р] п q п ' Q • 1. Вьтаггание дробш с сщннаковыми натуральными знаменателями. Пример 1. Найдите разность . D -3 (-4) -34-3 + 41 ... , Решение. 77 "“ff = ГГ^ ГГ " " ТТ’ Ответ: Так как знаменатели дробей одинаковы, находим разность числителей по правилу вычитания целых чисел, а знаменатель оставляем прежним. 2. Выжигание дробей с разными знаменателями. Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, нужно, приведя их к общему знаменателю, воспользоваться предыдущим правилом. 184 0# Пример 2. Найдите разность Решение. zL__— 15 -5 Ч-1 -7 + 12 5 1 “ "l5“3 15 5 15 Ответ: Вообще, для любых рациональных чисел ^ и ^ к_Р^кд-пр п q пд Вычитание рациональных чисел выполняется как вычитание целых чисел после приведения их к общему натуральному знаменателю. 777. 1) Как найти разность целых чисел? 2) Как найти разность двух дробей: а) с одинаковыми знаменателями; б) с разными знаменателями? Объясните на примерах. Найдите разность (778—779): 17 19. 2) 1-^ 24 8 ’ 3) 11 10. 4) 3 13 23 23’ 19 19 ’ 7 14 7 15 13 . 18 ’ 2) -1-L- ' 8 3’ 3) 3 5. 8 6 ’ 4) 3 4 4 7 ■ 779. 1) Ю О J 780. Первое число равно 14^, второе число на 2 т меньше О О первого и на больше третьего. Найдите сумму этих трех чисел. Выполните вычитание (781—783): 781. 1) 36 - (-7,91); 3) -20 - (-2,5); 2) 7,8 - (-7,8); 4) -38 - 14,7; 5) 23 - 41,8; 6) -8,1 - (-8,1). 782. 1) 121-19J; 2) 35i-39j; 3)3^-9ii; 4)47|-49^. 783. 1) 18|-2li; 2)27l-30l; 3)1б|-ц1; 4)35|-38|. 185 784. 785. 786. 787. 788. 789. II790. Вьиислите удобным способом (784—785): » 2) (^51-71]-(-2.8). Решите уравнение (786—787): 1) 2,4 - х = 5,8; 3) 8,9 + у = 2,6; 5) х + 6,7 = -9; 2) у - 6,2 = -7,8; 4) 8,9 - у = 2,6; 6) х + 6,7 = 9. 1) 12,34 - (4,34 - X) = -5,2; 3) ^5,7 - (4,3 + х) = -56,6; 2) 6,8 - (у - 13,4) = 40,5; 4) 80,5 - (х - 19,5) = 44,6. Начертите прямоугольник ABCD с вершинами А (-4; -3), В (-4; 2), С (3; 2), D (3; -3). Найдите периметр и плошадь этого прямоугольника. Обозначьте на числовой прямой точки А (-9), В (-5) и С (7). Найдите длины отрезков АВ, ВС, АС. Заполните таблицу и сравните результаты. Сделайте вывод: а 3,7 10,9 -7,5 -8,3 -7,6 0 8,8 Ь 8,5 -5,2 4,7 -1,9 -7,2 -9,3 -5,4 а - Ь 4,3 -2,5 Ь-а Выполните вычитание (791-793): ;i) 3,8 - (-1,2); 3) -6,9 - (-3,7); 2) -4,89 - 5,11; 4) 8,4 - 5,9; 5) 4,75 - (-1,09); 6) 3,63 - (-6,37). М) И--?-' ^ ^ 30 10’ 2^ -J - 1-^ 12 12’ 2) 2-^ ■ 4 7 ’ ■^^18 9’ 3) -^-П-^ 16 12’ 4) i^-^. ^ 90 90 4) '' 10 3 186 (794^ Решите уравнение: 1) л:-15 =16; 3)8,4 + у = 6,4; 2) у- 9,4 = -59,4; 4) -6,7 + л: = 6,7; Вычислите (795—796): (^5 1)-5,2 - 52; 3)4,8-12; ^ 2) -7,7 - (-54); 4) 9,8 - (-2,9); q^l) 12,3 - (-2,8); 3) -76 - (-87,4); 2) 8,9 - 10,23; 4) -9,01 - (+2,2); 5) 17,1-л:= 15,9; 6) у-2,4 = -4,2. 5) 23 - 34,5; 6) 0,8 - (-14). 5) 69 - 80,8; 6) 7,2 - 8,34. Тест Проверьте себя! 1. Запишите числа в порядке убывания: а = --, Ь=-0,7, с = -^. А) а> Ь> с D) Ь> о а 2. Вычислите: - ^ + В) а> о Ь Е) о а> Ь. С) о Ь> а н: -9 -9 '27 60 С) 41 60 D) Ш Е) — ' 60' 3. Вычислите: + ■ С) -9 30 D> -Т1 TI- 4. Решите уравнение: 3 1 ’8‘ J В) i 5. Вычислите: ^ • У 1 о С) 4 16 D) ^ Е) 4 i -6 С) 1 27 Е) li 187 6. Вычислите: \ -^ + [ — 6 24 24 А) В) i С) гл\ — П1 54 Е) -11 24 § 8. Умножение и деление рациональных чисел Умножение рациональньк чисел Правило умножения рациональных чисел ^ и ^ аналогично правилу умножения положительных дробей и целых чисел. 2 5Л Пример 1. Найдите произведение - -- Ъ у 6^ Решение. Л = ^3l^6j 3 6 ЗЖ3ЗЗ9 Ответ: Сделаем вывод: Пр и м е р 2. Найдите произведение ~ у ' • 2 /о Ответ: D 5 14 Решение = 2 3 Вообще, для любых рациональных чисел ^ и ^ к р _ к ■ р п q п ■ q 188 Например, ^1 = 1.^ = ^; * -(-1) = (-1)- * =^.0 = 0-^ = 0. л п п п п п п п Каким будет знак произведения двух рациональных чисел, можно определить по правилу знаков: к п Р Я !l.p п q + + + - - + + - — - + - 0-©=0 ©■©=0 0-©=© ©•0=© (^797. 1) Каков знак произведения рациональных чисел: а) одного знака; б) разных знаков? Покажите на примерах. 2) Сможете ли вы написать таблицу знаков для произведения рациональных чисел? Выполните умножение (798—803): 798. 1) -| i; 799. 1) 800. 1) -у 5; 801. 1) -2|-4; О 802. 1) -2fl; 803. 1) -4j l|; 3) -i-f-l 2) гН) 25 [ 8/ 2) То{-4); 3) 2)ll.[-2^j; 3) -2А.[ 4) -2.5 '' 3 9' 3) 15 I 21 . 3) -^ (-4); 3) -6±-(-5); 4)-Н.А. '' 12 22 4)-5^-35. ■) / S'» 3) -2^-1-2^J. 189 804. Длина прямоугольника 0,7 дм, а ширина меньше длины на I. Найдите периметр и плошадь этого прямоугольника. 805. Заполните таблицу: JC -■1 З5 -2,4 4 -'к 0,8 -0,32 24 25 5 8^ Выполните действия (806-807): |806. I) 6l.(-2i)-4.(-3i]; 3) з'.(-1^).4.41; 2) -4,5.2|-6,9.Г-|1]; 4) 71.[2|-з2]. |807. 1) 21 < 2) 2,8.f-l^-2i-(-l,6); 3) ii.f-4ll-7i.r-AV *3 [ ^2j -3 1^ nj’ Вычислите (808—810): 4) 5> -2r(5|j-V’ (808'; 1) 2) ( 2 3)|-1з 4)|-2| 5) (-0,3)2 3 II. 4'5’ 2) -А .f-.LL |- ^ 20 18 >’ 3) -V( ;-v -h 'k- 3) 2~-3 ’ 4)3^[-2|]. (81^ Ширина прямоугольника равна б| см, длина в 1^ раза больше. Найдите периметр и плошадь прямоугольника. 190 (52> Законы умножения рациональных чисел Умножение рациональных чисел подчиняется тем же законам, что и умножение целых чисел, обыкновенных и десятичных дробей: переместительному, сочетательному и распределительному законам. 1. Переместительный закон умножения. (-4) ■ (-1) _ (-1) (-4) " 4 ' 5 5 ■ 4 Пример 1. |^--1 (-и,2Ь) == = (-0,25)таким образом, -^j (-0,25) = (-0,25)-|^-^1. Сделаем вывод: от перемены мест сомножителей произведение не меняется. Вообще, для любых рациональных чисел ^ и ^ р к р _ р к п q q п Это равенство выражает переместительный закон умножения. 2. Сочетательный закон умножения. 3 Г 5' 2 Пример 2. Убедитесь в том, что -Решение. Найдем произведение двумя способами. 1-й способ. (\ ( 5 .и 5 ’I ^3jJ’7 I 3/7 21 2-й способ. = Следовательно, j. 191 3. Распределительный закон умножения. Примерз. Вычислите: 3,2+^-l^j Решение. 1-й способ. 1) 3,2+^-l^j = 3,2 -1,2 = 2; 2) = Ответ: -у 2-йспосо6.|'з,2^Г-11]].(-?) = 3.2.(-|).(-11).(^] = _ 16 2 6 2 _ -32 12 _ -32+12 _ 20 “ 5 ‘ 3 5 ' 3 “ 15 15 “ 15 “ 15 4 З' + 1 Ответ: И^к.(з,2.(-1']).(-|) = 3.2.(-|].(-.'](-|]. Эти равенства выражают распределительные законы относительно сложения и вычитания. Раскрытие скобок и заключение в скобки производятся по тем же правилам, что и для целых чисел (см. тему 42). ^ 7 2 3^ Пример 4. Раскройте скобки: “ g 5 “ 4 Решение. Отсутствие знака перед скобкой означает, что перед скобкой стоит знак плюс, следовательно, знаки слагаемых _ { 1 2 Ъ\ 1 2 Ъ при раскрытии скобок сохраняются: Пример 5. Раскройте скобки: Решение. Знак минус перед скобками означает, что знаки слагаемых при раскрытии скобок изменяются на противоположные: -fi-1 И = -1 1-1 [з 5‘^2j“ 3‘^5 2' 192 ^ 812. 1) Какие законы умножения рациональных чисел вы знаете? 2) Объясните на примерах правила раскрытия скобок. Вычислите, используя сочетательный закон (813—814): 813. 1) 8 3) 814. |)^.3i.f-7ij; 2)4,-8).(-11); ^5 { 10^ 11 ^б{-тт) та; 6) -^ (-3)4■ ■И-з]= 4) -f 8{-li); 3) ^.(-|].21; 5) 4) 6) (-Sl).lfi. Вычислите, пользуясь распределительным законом (815-817): 815. 1) -0,9 ■ 4,6-4,1 ■ 0,9; 2) 7,6-6,9-7,6 (-3,1); |81*.l) 2) f-0,3-l|j.{-6); 817. 1) 1. (-4,7)+ 5. (-1,3); 2) f (-3,4)+(-1,6) 1; 3) -8,9 -43 + 57 (-8,9); 4) 6,2 ■ 8,4 - 8,4 - (-3,8). 3) -1.2-1. ' 9 4 4 IV 9j’ 4) -12.f-0,5-2lj. 3) - A. 16,32-A.(-3,32); 4) l-(-3,7)+(-5,3).l. Вычислите удобным способом (818—821): _4 '1 15 I 5J ( @)i) I (Ж)!) 2.6 О* 13 — Математика. 6 класс .|-33Vf-2l 7 ^ ^ Т N / С ^ Aii-'fJi-nJ -у|-(-1.4) з_' 13 2) -3,6.^. •(-2,2). 193 'r(-l]{-ro)= 2) -i4{-2i]; 3) 2) -7,2 • 39 + 39 • (-2,8); 4) -8,3 • 71 + 29 ■ (-8,3). ^2^ Раскройте скобки и найдите значение выражения: 1) -6,73 + (4,7 - 8,27); 2) -1,9 + (-9,1 + 2,3); 3) -5,58 - (-6,58 - 3,6); 4) -3,31 - (-5,31 + 3,2). 53 Деление рациональных чисел Напомним, как найти по данному произведению и одному из сомножителей другой сомножитель: Найти частное от деления некоторого числа а на отличное от нуля число Ь — это значит найти число дг, удовлетворяющее уравнению Ьх = а. Правило деления рациональных чисел аналогично правилу деления обыкновенных дробей и целых чисел. Для любых рациональных чисел ^ и ^ р к . Р _ к д п ' д п р Подчеркне.м, что на О делить нельзя! Пр им ер 1. Найдите частное „ -3 12 _ '^-25^ _ 5 ^ Решение, у • ^ ~ Ответ: 5 4 194 Пример 2. Найдите частное -1; Л ■|6j ^ 1 .[ 2П (-7) (-16) _ - _ 2 ^ 2 Ответ: j. Из примеров видно: 1) частное от деления двух чисел с разными знаками отрицательно; 2) частное от деления двух чисел с одинаковыми знаками положительно. Так же, как и для натуральных чисел, для целых т \\ I, I ф т : I = — . ■ ■ ■ //; „ ^ , т I т I т ■ \ Действительно, уу “ 7 т Таким образом, дробь (рациональное число) у можно рассматривать как отношение числителя т к знаменателю /. Например, -3:4 = -у; 5 : (-7) = -у. Какой знак следует приписать отношению дв>^ рациональных чисел можно, определить исходя из правила знаков. к п Р_ q к . р п ■ q + + + - - + + - - - + - © ©=® © ©=® © © ®=© Обратите внимание, что знак результата умножения и деления рациональных чисел один и тот же. Пример 3. Найдите число, обратное числу Решение. Напомним, что числа а ^ Ь, отличные от нуля, называются взаимно обратными, если а ■ Ь=\. 195 Предположим, что существует число jc, обратное - -. Тогда д: = 1. Умножим обе части этого равенства на -= 1откуда JC = Ответ: ( Уравнение- - -jc= 1 можно также решить следующим образом: -5jc =7, JC = 7 : (-5), jc = - ^. Обратите внимание, что число, обратное данному числу, получают, поменяв местами его числитель и знаменатель. Вообще, число, обратное рациональному числу, будет числом ^, так как - ■ j = 1, где kwn целые числа, причем к ф О, п фО. к ^ к 2 ( 3 ( 3 ^ Пр им ер 4. Выполните деление: -- : ^ I i 8j Решение. 1) • 3' 4 '.ч 9 9 8 _ -Ч-Ж' _ 3 [ 8 J 16 ■ (-3) 2 • (-3)■(-3) _ 9 . 16’ 4 • 4 Ответ: jj) 823. 1) По какому правилу делят рациональные числа? 2) Число какого знака получается в частном при делении чисел: а) одного знака; б) разных знаков? 3) На какое число делить нельзя? Выполните деление (824-827): 824. 1) -34,5 : (-5); 3) -6,3 : 7; 5) -22,5 : (-7,5); 2) -АН)- 825. I)(-4); 2)-з1:(-8); 3)18:^-^1 196 826. 827. 828. 829. 830. 831. 1) Вычислите (828—830): 2) -i2-3i- ' 32 8 ’ I / 3) 7l:^ »и-=;и-й|- Расстояние между Термезом и Ташкентом 708 км. Автобус, вышедший из Ташкента, преодолел это расстояние за 14- часа. 4 На обратном пути он двигался со скоростью 52 км/ч. Когда скорость автобуса была большей и на сколько? 832. Заполните таблицу: X -1,5 -0,8 0 -9 -8,7 0,45 -1 у 0,5 -1,6 -8,5 1,8 0,6 -0,9 10 X ■ у х:у Ц833. Решизе уравнение: I V 8 '7 ^ I) 'тк-=-4- 3) -5i.v = -l; 5) 2i^ = -4; /14 7 .2 4) 5:а- = -4-; @1 Выполните деление: 1) -1,5 : (-0,3); 3) -22,5 : 0,45; 2) 24,8 : (-0,8); 4) -7,28 : 0,08; 6) 1^х = -8:1^. 3 D 5) -12,24: (-1.8); 6) -25,25 : (-2,5). 197 (83^ Заполните таблицу: X -2,5 5 6 2 1,25 0,5 5 10 X:(-5) 10 :x @)1)-§:(-6); 2)з|: 4 Выполните деление (836-838): 3) - 38)1) 2) 4)-2l:l±. :S37)1) 14 Расстояние между городами Ташкент и Карши 558 км. Автобус выехал из Ташкента и преодолел это расстояние за 10^ часа. Когда скорость автобуса была больше и на сколько, если на пути из Карши в Ташкент автобус ехал со скоростью 62 км/ч? Ф Коэффициент. Приведение подобных членов Пример 1. Упростите выражение 5 • а • ^ ^ j ■ Ь -7. Решение. Говоря об упрошении выражения, имеют в виду, что надо выполнить все действия и записать полученное выражение по возможности более кратко. Для того чтобы упростить данное в примере 1 выражение: 1- й шаг: нужно сгруппировать все числовые сомножители и найти их произведение; 2- й шаг: нужно сгруппировать все буквенные множители (здесь а и 6); 3- й шаг: произведение чисел записать перед буквами. 198 Таким образом, 5 • а (а Ь) = -у а Ь. 28 и -.а-Ь. Ответ: Найденное выражение выглядит гораздо проще исходного. Числовой множитель, стоящий перед буквенным, называется коэффициентом. В выражении 28 , 28 — а О число - у коэффициент. В выражении а коэффициент равен 1, так как 1 * а = а. В выражении —а коэффициент равен —1, так как —1 ■ а =— а. Обычно для сокращения записи: 1) коэффициент 1 не пищут; 2) вместо коэффициента —1 пищут просто знак «-»; 3) в произведении не пищут знак умножения « • » между коэффициентом и буквой и между буквенными сомножителями. Например, вместо 1 ■ а - Ь - {-\) - dпищут -abd, то есть 1 ■ а - Ьх X (-1) • d - -abd. Пример 2. Упростите выражение -Ьа -Аа . Решение. Это выражение можно записать в виде суммы: 8fl - - 4fl = 8fl + (- ва) + (- 4a), называя его члены слагаемыми. В этом примере слагаемые 8^7, -ва, -4а отличаются друг от друга только коэффициентами. Такие слагаемые называются подобными членами. Согласно распределительному закону, общий множитель а можно вынести за скобки: %а - ва - 4а = (8 - 6 - 4)а = -2а. Ответ: - 2а. Таким образом, данное выражение ^а-ва- 4а удалось заменить равным ему простым выражением. Для этого: 199 1- й шаг: сложили коэффициенты при подобных членах; 2- й шаг: результат умножили на произведение букв. Подобное упрощение буквенного выражения называется приведением подобных членов. "(9)840. При ответах на вопросы приводите примеры. 1) Что вы имеете в виду, говоря об упрощении выражения? 2) Что называется коэффициентом? 3) Чем заменяются коэффициенты 1 или —1? 4) Ставится ли между буквами знак умножения (« • »)? 5) Что понимается под приведением свободных членов? ^ 3) -1,8 -X - (-у) ■ (-5); 4) Z^d+2^d-e,2d. 841. Упростите выражение: 1) -2,5 • аЬ ■ (-8); 2) 1,3х - 4,2х + 5,3; 842. Запищите выражение без скобок: 1) 6 ■ {-2а) - 5Ь\ 3) -9 ■ {-Ь) + 4 • (-с); 2) -8 ■ (-Х) - 3 ■ (-У); 4) -х ■ (-3,2) + у • (-7). 843. Найдите числовое значение выражения: а) -0,4й. при \) а = -0,08; 2) -1,5; 3) -4; 4) 0,05; б) 1,2Z), при 1)Z)= 1^; 2)-2l; 3)-ll; 4)-0,04. \1 S о 844. Скорость поезда 60 км/ч. Найдите расстояние, пройденное 2 ИМ за t часов. Какой путь пройдет поезд за t- 1,4; 3; 3,5; 6^; 7,2 часа? 6 845. Велосипедист ехал 3 часа со скоростью v км/ч. Какое расстояние он проехал за это время? Найдите его при V = 10,5; 12; 15. 846. Найдите чисдовое значение выражения: 1) \ - а + \\ - Ь, при flf= -5- и Ь = -Л\\ 8 Э 3 6 2 3 т 1 I I 2) при х = -Ъ- и у = -1-. 200 Решите уравнение (847—848): 1847. 1) 0,9 ■ (-4х) ■ (-0,5) = -6,3; 2) -0,24 ■ (- 0,5у) ■ (-10) =-1,2. 1848. 1) 8,4 ; X = 5,7 : 7,6; 3) у: (-3,5) = 4: 1,4; 2) -2,4 : 2,3 = X: 6,9; 4) 7,8 : 1,3 = -3,9 : у. (849) Найдите коэффициент выражения: -2,1а; 5,5Ь; -9с; -l,8d; ~^\х; . (85^ Упростите выражение, вьщелив его коэффициент: 1) -0,1о ■ (-10Z?); 3) -0,7с • 0,4d; 5) -1,6ху ■ (-0,5); 2) \,2а ■ i-b) ■ 0,5с; 4) 5а/ - (-0,2); 6) 0,18о ■ (-10/?). Раскройте скобки и приведите подобные члены (851—853): 3) (ЗЬ - 2) ■ (-5) + 4; 4) (2,4х- 1) - (-0,5) - 0,5х. 3) 0,4{Ь - 5) - \,4 + Ь; 4) -1,7у-6(9 + 0,7у). 3) -7,1у-2(2-3,55у); 4) -2,4у-3(4+ 1,2у). 1) -{-1а+ 5)-4,5а + 2,8; 2) -8(с - 3) + 9с; 1) 3(0 - 1) - 2(4 - 2d) - а; 2) -(1 - с) - 1,1с; (|^ 1) -(5 - 0,1х) + 1,9х- 1,3; 2) -bz - (3 + 2z); Решение уравнений Вы знакомы с понятиями уравнения, решения уравнения, корнем уравнения из курса 5-го класса. Рассмотрим пример составления уравнения. Задача 1. Одна из сторон треугольника меньше другой на 3 см и больше третьей на 2 см. Найдите длины сторон треугольника, если периметр треугольника равен 52 см. Решение. Обозначим длину стороны треугольника через х. Тогда длина вггорой стороны {х + 3), длина третьей — (х- 2). Согласно условию: X + (х + 3) + (х - 2) = 52. Упростив это выражение, приходим к уравнению Зх + 1 = 52, где X — неизвестное число. 201 Выражения Зх, 1, 52 называются членами уравнения. Члены уравнения 1 и 52, не содержащие х, называются свободными членами. Это уравнение решается так. 1) Прибавим к обеим частям уравнения Зл:+ 1 = 52 число -1: Зл:+ 1 + (-1) = 52 + (-1), откуда Зл:= 52-1. Приходим к уравнению Зх=51. 2) Разделим обе части уравнения Зх= 51 на 3: Зх: 3 = 51 ; 3, откуда х = 17 (см). Тогда стороны треугольника равны 17 см, 20 см, 15 см. Проверка: 20 - 3 = 17, 15 + 2 = 17, 17 + 20 + 15 = 52. Ответ: 17 см, 20 см, 15 см. Сделаем вывод: 1- е свойство. Любой член уравнения можно переносить из одной стороны уравнения в другую, изменив ее знак на противоположный. 2- е свойство. Обе части уравнения можно умножить на любое, отличное от 0, число. Эти свойства называются основными свойствами уравнения. Задача 2. Решите уравнение 5(- 2х + 3) = 10 - 4х. Этапы решения этого уравнения следующие: 1) раскроем скобки: -10х+ 15 = 10 - 4х; 2) члены, содержащие неизвестное число х, перенесем в правую сторону уравнения, свободные члены — в левую. Получим: -10х + 4х = 10 - 15; 3) приведем подобные члены: -6х = -5; 4) делим обе части равенства на 6: - 6х: (- 6) = - 5 : (- 6), откуда х = ^ • Проверка. 1) 5 ■ (-2 • - + з) =+ 15 = ^ (левая часть); V 6 / 3 3 2) 10 - ■ 4 ■— = 10 - — = — (правая часть). 63 3 3 Ответ: 7. 6 202 0854. 1) Что вы понимаете под решением уравнения? Что называется корнем уравнения? 2) Знаете ли вы основные свойства уравнений? Решите уравнение (855—857): 855. 1) 4л: + 3 = л: - 9; 3) 42 - л: = 2л: + 9; 5) 7л: + 3 = Зл: + 27; 2) 2л: - 19 = 8 - л:; 4) Зх - 7 = 2л: + 3; 6) 20 + Зх = 4 - х. 856. 1) 5(х + 4) = 9х+ 12; 3) 6-х = 3(х - 2); 2) 8 - 5(4 - Зх) = 18; 4) 17-х= 4(2-х). 857. 1) 0,25х+ 0,4х= 7 - 0,35х; 3) 0,3х - 0,8х + 5 = х - 4; 2) 4(2,5 - X) - 4,5 = 12,5 ; 4) 2,5х + 9,5 = 3 - х. 858. Какое из чисел 1; 2; -1; 3; 0,5 будет корнем уравнения 4(2х + 3) = 7(х + 2)? Решите задачи различными способами (составлением уравнения; арифметическим способом) (859—867); 859. Сумма двух последовательных натуральных чисел равна 821. Найдите эти числа. 860. Сумма двух последовательных нечетных натуральных чисел равна 452. Найдите эти числа. 861. Одно число больше второго на 30. 10 % первого числа составляют 15 % второго. Найдите эти числа. 862. Одно число меньше второго на 60. 20% первого числа на 4 меньше 10 % второго. Найдите эти числа. 863. Муяссар задумала число. Умножила его на 5, результат разделила на 4, вычла из частного 10. Частное от деления 30 % полученной разности на 3 равно 8. Найдите задуманное число. 864. В трех шкафах 253 книги. В первом шкафу на 11 книг больше, чем во втором и на 6 меньше, чем в третьем. Сколько книг в каждом из шкафов? 203 865. Сумма трех чисел равна 270. Эти числа относятся как 3:2:4. Найдите эти числа. 866. Сумма длин смежных сторон прямоугольника равна 52 см. Длина больше ширины в 1,6 раза. Найдите длину и ширину прямоугольника. |867. {Задача аль-Хорезми) Если вычесть из числа его треть и его четверть, получится 8. Найдите это число. Решите уравнение (868—870): 1) х + 2 = -х + 14; 3) 45 - 2х = Зх + 5; 5) 4х - 7 = 2х - 3; 2) 2х - 3 = X + 1; 4) 9х - 32 = 2 + 5х; 6) 8х - 3 = х + 11. 1) 7х+14 = 35; 3)^х:7 = 8; 2) 2х:9 = 4; 4) Зх- 16 = 20. 91) 5(х- 1) + 7 = 3(х+ 1)+ I; 3) 3(4-х)+ 1 = 2(3-х) + 6; 2)2(х+ 1) + 3 = 3(х- 1) + 6; 4) 7(5-х) + 2 = 5(6-х)+ 1. (lzD Какое из чисел -3; -2; 0; 1; 2 будет корнем следуюших уравнений: 1) 6х + 7 = Зх + 10; 3) 2х + 7 = 6х - 1; 5) 8х - 5 = Зх - 5; 2) 5х + 7 = X - 1; 4) 2х - 7 = 4х + 3; 6) 5х + 3 = 6х + 1? Одно число меньше второго на 10. 20 % первого числа на 2 больше 15 % второго. Найдите эти числа. 56 Упражнения ..а четыре арифметических действия над рациональными числами Выполните действия (873-875): 873. I) [l,25.|-l,25-2.4j:4,25; 3) 5,25 • Ц - (-li); 2) 0,l + 0,9-|i-2,5 + |j; 4) 2,75-^-l^j.3,5-^. 204 874. 1) fl2-3| + |lj:0,8 + 0,4; 2) fli-l,05-3j:2|-(-2,6); 875. I) + 2) 3) (-^-2i-0,3]:2|-2,5. 4) 0,2]:li + l,2. 4)|0,25-4^}0,4-ф1. 876. Муборак-опа купила на - часть своих денег рубашку сыну, на ^ оставшихся денег туфли, а на | остатка — школьные принадлежности. После этого у нее осталось 3 840 сумов. Сколько денег было у нее первоначально? 877. Сумма двух чисел равна 7,19, разность между большим и меньшим числами равна 5,31. Найдите эти числа. 878. Длина прямоугольника 5,6 дм. Ширина составляет 75% от длины. Найдите плошадь этого прямоугольника. Выполните действия (879—881): 879. 1) (93,5 • 0,14 - 1,83 : 6,1 - 14,21): 15 : (-0,5); 2) (-3,264 + 276,736 : (-9,2) ■ 4,2): (-14,4) - 0,4. 880. 1) (1,4409 :0,9 - 5): (0,14 - 4,2 ■ 1,2); 2) (29,1 - 44,1) • 7,2 - 14,14: 7. 881. 1) (-53 ■ 2,1 • 0,3 - 0,01 : 0,63 + 0,653): 0,2; 2) 8,51: (-3,7) + (-1,84): (-0,8): 5,3 + 0,7. 882. Первое из пяти чисел равно -2,5, каждое следуюшее больше предыдущего на 0,5. Найдите произведение этих чисел. 205 883. Среднее арифметическое двух чисел равно -2-. Первое число составляет ~ второго. Найдите эти числа. О 884. Среднее арифметическое трех чисел -6,5. Среднее арифметическое дв>^ других чисел равно 8. Найдите среднее арифметическое этих пяти чисел. 885. Среднее арифметическое трех чисел - 12,4. Найдите третье число, если два из них равны -17,5 и -9,3. 886. Одно число больше второго на 50. Среднее арифметическое этих чисел 10,4. Найдите большее из них. |887. В хозяйстве первоначально планировали посеять весь хлопок за 14 дней. Засевая ежедневно на 20 га больше запланированного, посев завершили за 10 дней. Сколько гектаров засевалось ежедневно? |888. В первом элеваторе было в 1,7 раза больше зерна, чем во втором. После того, как в первый элеватор доставили 134 т, а во второй —540 т пшеницы, количество пшеницы в обоих элеваторах стало одинаковым. Сколько пшеницы было в каждом элеваторе первоначально? 889. Среднее арифметическое четырех чисел -7,2. Первое число равно 6,9, второе в три раза меньше первого, третье число равно — 11,2. Найдите четвертое число. 890. Сумма двух чисел 36,4. Первое число больше второго на 42,3. Найдите эти числа. Решите уравнение (891—893): 891. 1) (4,059 - 10,881): 0,9 - 0,2; 2) (0,3 ■ 15,8 - 3,8 • 2,3): 0,2 - 24. 892. 1) (-8,6 ■ 0,8 - 4,3) ■ (-20) - 4,5; 2) -5,08 ■ 12,5 - 5,6 • (-3,5) + 15,8. 893. 1) 28,2 + (-6,3) ■ 5 - (-37,2): (-4,2); 2) -15,6 : (3,9 - 3,5) + (-7,2): 0,9. 206 Исторические сведения Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми Уравнение вида ах + Ь = Q называется линейным уравнением. Линейные уравнения и квадратные уравнения, которые вы будете изучать в дальнейшем, рассматривал наш соотечественник Мухаммад аль-Хорезми в своей книге «Краткие сзедения об алгебре и аль-мукабале». Это сочинение положило начато современной алгебре. Оно было переведено на латынь и в течение многих лет использовалось в качестве учебника в учебных заведениях Востока и Запада. Слово «алгебра» появилось в результате передачи латинскими буквами термина «аль-джебр». С XIV в. началось развитие алгебраической науки, основоположником которой стал аль-Хорезми. Утверждая важное значение математики в решении прикладных задач, аль-Хорезми пишет: «... я написал «Краткую книгу об алгебре и аль-мукабале», включающую в себя сведения о простых и сложных проблемах арифметики, потому что при разделе наследства, написании завещаний, разделе имущества и при решении правовых вопросов, в торговле и при заключении всевозможных сделок, а также при измерении земли, прокладывании каналов, в инженерном деле и других подобных делах эти знания необходимы людям». Термин «аль-джебр» переводится как восполнение. Смысл этой операции заключается в том, что если в уравнении имеются отрицательные числа, они переносятся в другую сторону уравнения с противоположным знаком, отчего она «восполняется». Смысл операции «аль-мукабала» (противопоставление) заключается в приведении подобных членов. 207 взаимном уничтожении равных членов уравнения, находящихся в обеих частях уравнения. Пр и м е р 1. Применим способ аль-Хорезми для решения уравнения 4х~ 15 = 6 — 2х. По правилу «аль-джебр», перенесем —2х из правой части в левую, а —15 из левой части в правую, поменяв знаки на противоположные: 4х + 2х = 6+ 15, приведя подобные члены, получим вх = 21. Тогда, х = 2\ : 6, х = 3,5. Ответ: 3,5. Пример 2. Решите уравнение 5(х — 1) — 10 = 4(х — 2) способом аль-Хорезми. Решение. Раскроем скобки: 5х — 5 — 10 = 4х — 8. Запишем уравнение так: x + 4x—5 — 2 — 8 = 4х — 8. По правилу «аль-мукабалы», члены 4х, — 8 в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются. Получаем уравнение х — 5 — 2 = 0. Откуда по правилу «аль-джебр» х= 5 + 2, х = 7. Ответ: х = 7. Проверьте себя! 1. Найдите произведение: 3,9 • (-0,5) • А) 0,65 В) -0,65 С) 0,6 D) -0,6 Е) 1,3. 2. Вычислите: 72,09 : (-9) + (-3,2) • 5. А) -240 В) -2,401 С) 2,401 D) 24,01 Е) -24,01. 3. Решите уравнение: 3(х+ 1) = 5(х+ 1) + 4. А) 2 В) -2 С) 1 D) -1 Е) 3. 4. Решите уравнение: -2х+ 3 = Зх+ 8. А) 1 В) -1 С) о D) 2 Е) -3. 208 5. Выполните действия: 9,6 • (-0,8) -90,72 : (-1,8) - (-7,2) • (-3) . А) 35,8 В) -2,58 С) 2,58 D) 21,12 Е) -25,8. 6. Приметр прямоугольника равен 74 см. Длина больше ширины на 4 см. Найдите длину и ширину прямоугольника. А) 20 см; 17,6 см В) 19 см; 20,4 см С) 27 см; 18,4 см D) 19,4 см; 18 см Е) 19,2 см; 17,8 см. 7. Сумма дв>^ чисел равна 140. 8 % первого составляют 6 % второго числа. Найдите эти числа. А) 60; 80 В) 75; 65 С) 50; 90 D) 70; 70 Е) 40; 100. 8. Сумма двух чисел равна 140, а их разность 60. Найдите эти числа. А) 70; 70 В) 110; 30 С) 90; 50 D) 70; 70 Е) 80; 60. 9. На одной полке книг в 3 раза больше, чем на другой. Сколько книг на каждой полке, если на обеих полках 108 книг? А) 60; 48 В) 75; 33 С) 28; 80 D) 72; 36 Е) 81; 27. 157 Решение текстовых задач в курсе математики 6-го класса 1. Решение задач алгебраическим методом. Вы уже знаете два способа решения задач: алгебраический способ и арифметический способ. Первый из них рассматривался в трудах классиков нашей науки уже в VIII в. нашей эры. Преимущество алгебраического метода заключается в том, что он позволяет решение разных по содержанию задач свести к решению однотипных уравнений. В таких уравнениях участвуют параметры (буквы), придавая которым определенные значения находим, в качестве частных случаев, решение многих задач. Продемонстрируем сказанное на примере решения задачи из сочинения «Ключ арифметики» Гийяс ад-Дина аль-Каши. 209 о* 14- Математика. 6 класс Задача. Вес изделия, изготовленного из золота и жемчуга, составляет 3 золотника, а стоимость — 24 динара. Сколько золотников золота и жемчуга содержится в изделии, если золотник золота стоит 5 динаров, а золотник жемчуга — 15 динаров? Решение. Аль-Каши пишет, что «для решения задачи способом «аль-джебр — аль-мукабала» вес, например, жемчуга в изделии называем «вешью» (на современном языке «неизвестной л>). Тогда вес золота в изделии будет «три минус вешь» (3 - л:)». Какова стоимость жемчуга в изделии? 15х Какова стоимость золота в изделии? 5 • (3 - х). Затем ученый для нахождения х составляет (в современных обозначениях) следуюшее уравнение: 15л: + 5 ■ (3 - л:) = 24. Это уравнение полностью отражает смысл задачи. Решим его: 15л: + 15 - 5л: = 24; Юл: = 24 - 15, Юл: = 9, л: = 9 : 10, л: = 0,9 (мискаль). Тогда 3 - л: = 3 - 0,9 = 2,1 (мискаль). Проверка. 1) 0,9 + 2,1 = 3 (мискаль) — вес изделия; 2) 0,9 ■ 15 = 13,5 (динара); 3) 2,1 • 5 = 10,5 (динара); 4) 13,5 + 10,5 = 24 (динара) — цена изделия. Ответ: ъ изделии 2,1 мискаля золота и 0,9 мискаля жемчуга. 2. Решение задачи арифметическим способом. Для решения задачи этим способом уравнение не составляется. При этом способе к каждой задаче подходят особо и связь между заданными в задаче величинами устанавливается при помоши рассуждений и направляюших вопросов. 210 Аль-Каши предлагает для решения приведенной выше задачи два арифметических способа. Приведем один из них. Решение. 1-й вопрос. Какова была бы стоимость изделия, если бы оно состояло только из жемчуга? 15 -3 = 45 (динаров). 2- й вопрос. Сколько динаров составляет разница между стоимостью изделия из золота и жемчуга и изделия, изготовленного только из золота? 45-24 = 21 (динар). 3- й вопрос. Какова разница между стоимостью одного золотника жемчуга и одного золотника золота? 15 - 5 = 10 (динаров). 4- й вопрос. Сколько золота в изделии? 21 : 10 = 2,1 (мискаля). 5- й вопрос. Сколько жемчуга в изделии? 3-2,1 =0,9 (мискаля). Ответ: в изделии 2,1 мискаля золота и 0,9 мискаля жемчуга. Следуюшие задачи решите двумя способами: алгебраическим и арифметическим (задавая вопросы, рассуждая и делая предположения). 894. В кассе имеется 142 000 сумов купюрами номиналом 200 сумов и 500 сумов, всего 350 купюр. Сколько купюр каждого номинала есть в кассе? (§9^ Несколько ребят решили в складчину купить футбольный мяч. Если каждый из них вложит по 500 сумов, то для покупки мяча не хватит 500 сумов. Если каждый вложит по 800 сумов, то 1000 сумов останется. Сколько бьию детей? 211 3. Еще об одном способе решения задачи. Есть еще один, достойный внимания, способ решения задачи. Этот способ известен с давних времен и приведен в «Ключе арифметики» аль-Каши. Этот способ можно назвать способом «обращения действий и их порядка». Решим задачу этим способом. Задача. Я задумал число, увеличил его в 5 раз и к произведению прибавил 15, результат разделил на 13. К 0,95 от частного прибавил 7, получилось 26. Найдите задуманное число. Решение решения задачи удобно воспользоваться чертежом. В первой строке (рис. 50) записаны условия задачи, во второй строке записаны действия, обратные тем, которые записаны в первой строке; при этом в кружочке записаны результаты действий. В кружочке, стоящем под первым кружком первой строки, записан ответ задачи. Задуманной у ;5 • 13 0,95/^ -- Рис. 50. 896. Абдулла задумал число, умножил его на 10, произведение разделил на 15, из результата вычел 19. К 60% полученного числа прибавил 2,2 и получил 10. Найдите задуманное число. 897. {Задача аль-Каши.) Удвоив задуманное число, прибавили к полученному числу 1. Сумму умножили на 3, прибавили 212 к произведению 2. Затем полученное число умножили на 4 и к произведению прибавили 3, получилось 95. Найдите задуманное число. (898) Ученик задумал число. Если его умножить на 12, прибавить к произведению 69 и разделить полученное число на 9, то в частном получится 41. Какое число задумат ученик? 4. Задачи, относящиеся к отношениям и пропорциям. 899. Масса лекарства 120 г. Оно состоит из 3 компонентов. Компоненты смешаны в отношении 5:4:3. Сколько граммов каждого компонента входит в состав лекарства? ($0^ Мастер работал с двумя учениками и заработал 400 000. Эта сумма должна быть поделена между учениками и мастером в отношении 2:3:5. Сколько денег получит каждый из них? 901. Для пяти овец на 7 дней необходимо 105 кг корма. Сколько корма потребуется для девяти овец на 8 дней? 5. Задачи на сохранение части. 902. В двух мешках 120 кг риса. 0,3 количества риса в первом мешке в 1,125 раза больше 0,4 количества риса во втором мешке. Сколько риса в каждом мешке? 903. Турист прошел 0,7 части пути. Сколько километров осталось ему пройти до места назначения, если он прошел на 30 км больше половины пути? 904. Сумма трех чисел равна 169,83. Если в одном из чисел сдвинуть запятую на 1 разряд влево, то получится меньшее из чисел. Если же сдвинуть запятую на 1 разряд вправо, то получится большее число. Найдите эти числа. ($05^ Разность двух чисел равна 2,5. Одно из них в 2,5 раза больше второго. Найдите эти числа. 213 б. Задачи на проценты. 906. Фермер взял кредит в банке сроком на 1 год. Через год он должен вернуть эти деньги банку, заплатив 10% годовых за кредит. Сколько сумов фермер должен вернуть банку через год? ^0^Длину основания прямоугольника уменьшили на 10 см, а высоту увеличили на 3%. В результате площадь прямоугольника увеличилась по сравнению с первоначальной на 5%. Найдите основание нового прямоугольника. 7. Задачи про среднее арифметическое. 908. Среднее арифметическое нескольких чисел равно 25. Если к этим числам добавить число 75, их среднее арифметическое будет равно 35. Сколько чисел было первоначально? 909. Среднее арифметическое четырех чисел равно 10,4. Если к этим четырем числам добавить еще одно число, то их среднее арифметическое будет равно 11. Найдите добавленное число. (^1о^)Дедушке Абдулхаку 90 лет, среднее арифметическое возрастов всех его внуков равно 24. Если возраст дедушки добавить к возрастам всех его внуков, то их среднее арифметическое будет равно 26. Сколько внуков у дедушки? 8. Задачи на движение. 911. Автомобиль выехал из Ташкента в Самарканд. Пройдя 0,4 пути с намеченной скоростью, водитель увеличил ее на 20% и прибыл в Самарканд на 20 мин раньше намеченного. За сколько времени прошел автомобиль все расстояние от Ташкента до Самарканда? 912. Из города А одновременно в противоположных направ-лени51х вышли два поезда. Скорость первого поезда 50 км/ч, скорость второго на 20% больше. Каким будет расстояние между поездами через 2,5 ч после начала движения? 214 (^Тз^Из двух кишлаков, расстояние между которыми 38 км, навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 13 км/ч, а второго — 12 км/ч. Через сколько часов расстояние между велосипедистами будет равно 13 км? 9. Задачи на работу. Задача. Запланированную работу 15 рабочих могут выполнить за 12 дней. Через 4 дня после начала работы на пятый день на помощь к ним пришли еще пять рабочих. За сколько дней была закончена оставшаяся часть работы? Решение. Указанную работу примем за 1. 1) Если 15 человек выполнят работу за 15 дней, то 1 человек выполнит ее за 12 • 15 = 180 дней; 2) 4 : \2 - - , т.е. за 4 дня выполняется ^ работы. 3) Останется невыполненной 1 ~ ^ ^ части всей работы. 4) Общее число рабочих на пятый день равно 15 + 5 = 20. 5) Если один человек выполнит работу за 180 дней, то 20 человек выполнят ее за 180 : 20 = 9 дней. 6) Если 20 человек выполнят задание за 9 дней, то оставшиеся ^ работы будут выполнены за = 6 дней. 3 /3 I Ответ: 6 дней. 914. 10 человек могут выполнить всю работу за 8 дней. На третий день к ним присоединились еще несколько рабочих, и остаток работы был выполнен за 4 дня. Сколько рабочих пришли на помощь? 915. Бассейн наполняется одной трубой за 5 часов, а второй трубой за 8 часов. Какую часть объема бассейна наполнят за 1 час две трубы, подавая воду одновременно? ($1^0дин тракторист вспашет поле за 10 дней, второй то же поле — за 12 дней, а третий — за 15 дней. За сколько дней выполнят работу 3 тракториста, работая вместе? 215 Повторение пройденного материала в 6 классе 917. 918. 919. 920. 921. 922. 923. 924. Вычислите (917—918): 1) 28,3-2,5 + 21,7-2,5; 2) 34,6 ■ 3,5 + 35,4 • 3,5; 1) 2,8-(2,3 + 1,2); 2) 4,5-(1,8 + 3,4); 3) (12,8 - 3,4)-3,5; 3) 25,7-71,3 + 25,7-28,7; 4) 70,4-21,6 + 70,4-28,4. 4) (21,2 - 3,8)-2,5; 5) (6,3 - 2,8) - 4,6; 6) (4,9 + 6,6)- 1,4. Поезд прошел 3 ч 20 мин со скоростью 72 км/ч и 2 ч 15 мин со скоростью 60 км/ч. Чему равен весь пройденный путь? Всадник проскакал 3 ч со скоростью 16,5 км/ч и 2 ч со скоростью 14,5 км/ч. Найдите его среднюю скорость. Найдите х, если среднее арифметическое чисел 18,6; 15,9 и л: равно 17,1. Найдите радиус окружности, если ее длина равна: 1) 25,12 см; 2) 50,24 см; 3) 9,42 см. Примите л = 3,14. Выполните действия: 1) (8,28 : 1,8 + 3,42 : 3,6): 2,5 - (2,88 : 0,4 - 14,4 : 3,6) - 0,25; 2) (97,2 - 9,27): 4,5 + (20,16 + 21,6): 3,6 - 81,9:7,2-0,5. Выполните действия: 1) 10,26:0,9 + 6,25*0,8 6:2|.; 2) 8,4.(2|-1]:2§.9,6.(|4]. 925. Периметр треугольника равен 25 см. Найдите длины сторон треугольника, если они относятся как 1:2:2. Определите вид треугольника. 216 0« 926. Выполните действия: 1) 38 • (-3 + (-7)) + (-12): 3 - (-8); 2) (-28 + 24): (-2) • 6 - (-48): (-16) + (-10). 927. Решите уравнение: 1) 2л: + Зл: + 17 = 3,5 • 2; 3) 5(2х + 3) = 3(3лг + 8); 2) 6л: - Зл: - 27 = 1,5 • 4; 4) 2(х - 6) = 3(1 - х). 928. У Динары 50 купюр достоинством по 100 и 200 сумов на общую сумму 8000 сумов. Сколько купюр по 100 сумов и сколько купюр по 200 сумов имеется у Динары? 929. Сумма двух чисел равна 61. Одно из них ул1ножили на 4, а второе на 5. Сумма новых чисел равна 280. Найдите эти числа. 930. Автомобиль марки «Матиз» проехал за первый час ^ на- меченного пути, за второй час — j пути, а в третий час— оставшиеся 48 км. Какой путь проделал «Матиз» за 3 часа? 931. Вычислите удобным способом: 1) 28,4 • 3,1 - 2,5 • 28,4 + 0,6 ■ 21,6; 2) 3,8 • 9,6 + 3,5 • 9,6 - 6,8 • 19,2; 3) 52,8-7,4 + 1,1-52,8 - 8,5- 12,8; 4) 9,8 - 40,8 - 20,2 - 4,9 - 4,7 - 20,2. 932. Первому покупателю продали 30% имеющейся в магазине ткани, 40% оставшейся ткани — второму покупателю, а 25% оставшейся после этого ткани — третьему. Сколько осталось процентов от первоначального запаса ткани? 933. Найдите число х, если среднее арифметическое четырех чисел 20,3; 18,7; 41,8 и х равно 26,5. 934. Когда у Муяссар спросили: «Сколько тебе лет?», она ответила: «Через четыре года мне будет вдвое больше лет, чем было 4 года тому назад». Сколько сейчас лет девочке? 217 ОТВЕТЫ 6. 1) 0,25; 0,75; 0,1875; 0,075. 7. 1) 1,01; 2) 0,125. 16. 8,1; 8,2;..., 8,9. 19. 13 м. 24. 1) 5. 6. 7. 8, 9; 3) 6. 7. 8. 9; 6) 5. 6, 7. 8, 9. 28. 1,234; 1,243; 1,324; 1,342; 1,423; 1,432. 31. 1) I, 2, 3; 5) 4, 5, 6, 7, 8. 32. 1) 7, 8, 9; 5) 7, 8, 9. 33. 1) 0,7*** < < 0,8; 3) **,9 > *,9; 5) **,* >*,**. 40. 4) 2,894 т. 41. 1000 л. 42. 1) 4,4 л. 52. 13,29 м. 55. 80,1 кг. 56. 151,8 га. 64. 15,4 дм. 65. 216,7 бал. 67. 1)х=3,07 при 10; 2) х= 0.007 при 6.937. 74. 16 см. 76. 41.1 тыс. кв. км. 77. 71,52 дм. 80. 2) 30.81; 4) 1,709. 88. 1) 1,73 ц; 3) 3,2 т. 90. 1) 60 кг; 2) 57,2 кг. 96. 6,1 м. 98. 1) 80,2 см, 68 см; 2) 12,2 см. 99. 5 звеньев. 100. 1) 19,152; 2) 58,6285. 101. х=4, 5. 6, 7. 8. 9, 10, 11, 12, 13, 14. 108. 21,3 км/час, 15,7 км/час. 118. 18 км. 119. 2) 27. 124. 185 км. 130. 1) Каждый член последовательности меньше предыдущего в 10 раз: 4785000; 478500; 47850; 4785; 478,5; 47,85; 4,785; 0,4785; 0,04785. 133. а) 2) 8,125 м^; 3) 0,01 м^ 4) 0,215 м\ 136. б) 1) 0,2 га; 4) 60 га. 138. 1) 861,35; 3) 0. 144. 1) 58,92. 145. 1) 17,683; 3) 48,33. 146. 1) Площадь второго сада больше на 27.205 м-; 2) На ограждение для первого сада материала нужно меньше. 148. 66,8 км. 151. 1) 276,6; 2) 51,9; 4) 191,545. 152. 2) 31,521; 3) 9,1. 159. Больше на 0,19 ah. 160. 2,1 мискаля золота, 0,9 мискаля жемчуга. 161. 3) 1387,5 см\ 164. 1) 160 кг; 3) 0,136 кг. 165. 64,8 дм, 246.0375 дм1 172. 5 : 8. 173. 128 м; 10,08 соток. 176. 4) 5,2; 6) 7,49. 178. 55,8 см. 172, 98 см^ 183. 60,8 км/час; 571,52 км. 188. Масса золотого куба больше на 6,7373 г. 189. 0,125; 1,25; 12,5. 190. 3,3 м. 193. 70,4 км/час; 116,8 км. 196. 1) 40 кг; 2) 120 кг. 200. 97,3 балла. 203. 3) 3,5. 207. 1,8. 208. 4,8 км/час. 213. 1) 12,8: 5. 215. 770 км/час. 218. 1.06 и 3.12. 221. 528.63 дм^. 222. 1) 1,4; 2)5,5. 223. 1)4,2; 2) 15,2; 3) 1,5: 4) 10,5. 226. 20 км. 227. 4,9 км/час. 228. 39,52 см^ 230. 220 км. 233.1) 84.86.234.1) 5.6:2) 4.2.237. Через 1,5 ч. 242. 3) 172.67 км, т.е. приближенно 173 км. 243. 6) Приближенно 58 ц. 252. 1) 0,(2); 3) 0,(08); 6) 0,(013). 254. 3) 1 ,(5) < Л' < 1,58(3); х = 1,56; 1,57; 1,571; 1,58;.... 258. 1. 259. 2) | > 0,8(2). 266. 1. 269. 1) Нет, т. к. 1,3 дм + 2,7 дм = 4 дм < 4.5 дм. 272. 2) б) 22 см. 273. Прямоугольный треугольник. 275. Нет. т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°. 280.4) 25,05.281.4) 70.282.156 га. 284.1) 3 287.3) . 293.1) 2,5; 2) 0,75. 295. 1) 9. 296. В 1-м вагоне 45 т, во 2- м вагоне 60 т. 297. 160; 108. 299. 36 и 32. 300. 21,5 см. 301. 6,4 км. 302. 1) 4,64; 4) 2,12. 303. 1) 7; 3) 6. 306.9 см, 9 см, 14.4см. 309. 54 дм; 173,25 дм^ 312. 22. 314. 2) 18.84дм. 322. Не пройдет. 323. Площадь круга возрастет в 1,44 раза. 324. Площадь окрашенной 218 поверхности равна 3,44 cм^ т.е. разности площадей квадрата и круга. 326. 0,5 дм. 328. 213,52 м. 335. 1) 9: 2; 4: 1; 2; 1. 337. 6) 2,2. 341. 1) 9:7; 1 : 2; 26 : 17. 348. За 2 часа. 353. 86,4 см\ 354. 1) 2,5. 356. Бесконечно много. 357. 1) 13; 4) 28. 361. 15,75 км. 364. 1) Да. возможно, т.к. 26 • 9 = 39 • 6. 373. 32 г. 383. 240; 270; 288. 384. 70 шт. 391. 48 см, 64 см, 88 см. 396. 6 км/час. 403. 1) 120; 150; 270. 404. 1) х = 6; 3) х =4,5. 408. 16 рабочих. 409. За 4 дня. 412. 10 рейсов. 421. 102 км. 430. Через 0,3 часа. 431. 84 см. 432.1 : 500 000.440.0,809.448.600 км. 454. 2,23. 464. 19,2; 32.465.42 %. 466.450 сум. 471. 24; 7,2.483. 180 км. 485.400. 486. 10. 491. На 2% . 497. 40 км. 501. 40%. 507. 75%. 511. На 40%. 516. На 25%. 539. 1) Температура понизилась на 7°. 540. а +х = 21. 544. Осталось {а - Ь) су.мов. 1) 1400 сум. 546. >1(-5), В{-Ъ,Ъ), С(-1), Д1), ДЗ). 552. г) а <0: б) а >0. 554. Точка С находится на 3 единицы слева, а точка Z) — на 5 единиц справа от начала отсчета. 556. а) /> < 0; б) Ь >0. 561. 2) +5 и 5 — не противоположные числа: 3)-8 и 8 противоположные числа. 562. 1) 25 целых чисел; 2) (2а- 1) целых чисел. 564. 1) 13; 14: 15; 16; 17; 18; 19. 569. 3) —24; 5) +91. 573. 4) Уравнение не имеет решений. 585. 2) Да; -2; -1; 0; 1; 2; 3. 586. 4) 0; 1; 2; 3. 596. 1) -99; 2) - 999. 601. 1) -1; 4) -5. 604. б) 12 + (-10) + (-1) > 0. т. к. 12 + (-10) + (-1) = 1 > 0. 609. 3) -6; 4) 0. 610. 2)-10. 613. 3) -16. 614. 1) /15= 4. 627. 6) х = 4. 629. 4) 120. 632. 2) -1. 640. 6) -2800. 641. 2) -156; 3) -540. 649. 1) 1. 659. 1) 28; 6) -420. 660. 2) х = -6. 669. 4) 5. 670. 4) 1408. 683. 1) -111; 2) 0.684. 2) 14; 4) 168. 695. На 4 части. 703. 1) (0; 1). 706. (2; 0); (-2; 0); (0; 2); (0; -2). 735. Число 9 имеет наибольший модуль, число 0 — наименьший. 741. 4) -*,*** > _**,9*^ т.к. модуль числа в левой части неравенства меньше модуля числа в правой части. 742. 4) 0; 1; 2; 3. 754. 1) -1,5; 3) 3,9. 755. 2) (+17) + (-9) = 8. 761. 1) Верно, т.к. 23,7 + (-34.2) =-10,5 < 0. 762. 72.16. 763. В конце дня осталось 22 900 сумов. 772. 3) -80. 775. 1) 0; 3) 37,2. 780. 38-. О 784. 1) 9 — . 785. 2) 14 —. 787. 1) -13,2; 3) 6,6. 804. 2 дм; 0,21 дм^. 807. 1) -3. 814. 32 2) -8. 816. 1) 2) 11,8. 819. 1) -0,6. 828. 1) 831. На обратном пути скорость автобуса была больше на 4 км/час. 833. 6) -3. 837. 1) 0,375. 846. 2) 2. 847. 2) >-= 1. 848. 4) у = -0,65. 850. 5) 0,8ху. 852. 3) 1,4^» - 3,4. 857. 3) X = 6. 863. 72. 864. В 1- м шкафу— 86, во 2- м — 75, 3- м — 92 книги. 876.21000 сум. 877. - 0,94 и -6,25. 881. 1) о'б 15. 888.98б т, 580 т. 895. 5.903.45 км. 904. 1,53; 15,3; 153. 910. 32.911. 4,5 час. 912. 275 км. 917. 1) 125. 928. 20 и 30. 929. 25; 36. 930. 210 км. 934. 15 лет. 219 ОГЛАВЛЕНИЕ Повторение материала 5-го класса........................3 ГЛАВА I. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ § 1. Первоначальные сведения о десятичных дробях Тема 1. Запись и чтение десятичных дробей............6 Тема 2. Разрядные единицы десятичных дробей..........9 Тема 3. Сравнение десятичных дробей................. 11 Тема 4. Выражение единиц измерения с помощью десятичных дробей........................... 13 Тест 1. Проверьте себя\............................ 18 § 2. Сложение и вычитание десятичных дробей Тема 5. Сложение десятичных дробей.................. 19 Тема 6. Законы сложения.............................21 Тема 7. Вычитание десятичных дробей.................23 Тема 8. Упражнения на сложение и вычитание десятичных дробей...........................25 Тест 2. Проверьте себя\.............................30 § 3. Умножение и деление десятичных дробей Тема 9. Умножение десятичных дробей на натуральные числа........................31 Тема 10. Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000.................... 34 Тема II. Умножение десятичной дроби на десятичную...............................38 Тема 12. Законы умножения десятичных дробей..........41 Тема 13. Деление десятичной дроби на натуральное число........................45 Тема 14. Деление десятичной дроби на десятичную..................................48 Тема 15. Среднее арифметическое значение.............51 220 Тема 16. Упражнения на четыре арифметических действия над десятичными дробями......................55 Тема 17. Округление десятичных дробей................57 Тема 18. Обращение обыкновенных дробей в десятичные. Понятие о периодической дроби................59 Тема 19. Треугольники, их периметры, виды............65 Тема 20. Упражнения на четыре действия над обыкновенными и десятичными дробями..........69 Тест 3. Проверьте себя ! ...........................74 Тема 21. Длина окружности и площадь круга............76 Тест 4. Проверьте себя !............................81 § 4. Отношение и пропорция Тема 22. Понятие об отнощении........................82 Тема 23. Пропорции. Основное свойство пропорции......85 Тема 24. Прямо пропорциональные величины.............89 Тема 25. Обратно пропорциональные величины...........94 Тема 26. Масщтаб.....................................98 Тест 5. Проверьте себя !.......................... 103 § 5. Проценты Тема 27. Понятие о процентах и промилле............ 105 Тема 28. Нахождение процента от данного числа...... 108 Тема 29. Нахождение числа по данному проценту...... 111 Тема 30. Процентное отнощение двух чисел........... 115 Тема 31. Диаграммы................................. 117 Тест 6. Проверьте себя\........................... 123 ГЛАВА II. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА § 6. Положительные и отрицательные числа. Целые числа Тема 32. Понятие о положительных и отрицательных числах....................... 124 Тема 33. Изображение положительных и отрицательных чисел на числовой оси......... 127 Тема 34. Множество целых чисел. Противоположные числа ..131 Тема 35. Модуль числа.............................. 134 Тема 36. Сравнение целых чисел..................... 136 Тема 37. Сложение целых чисел...................... 138 221 Тема 38. Вычитание целых чисел.........................143 Тема 39. Умножение целых чисел.........................147 Тема 40. Законы умножения..............................150 Тема 41. Деление целых чисел...........................152 Тема 42. Раскрытие скобок и заключение в скобки........155 Тема 43. Упражнения на четыре действия над целыми числами............................ 159 Тема 44. Перпендикулярные прямые. Параллельные прямые............................160 Тема 45. Координатная плоскость. Графики...............163 Тест 7. Проверьте себя !..............................168 § 7. Сложение и вычитание рациональных чисел Тема 46. Рациональные числа............................170 Тема 47. Сравнение рациональных чисел..................174 Тема 48. Сложение рациональных чисел...................178 Тема 49. Законы сложения рациональных чисел............182 Тема 50. Вычитание рациональных чисел..................184 Тест 8. Проверьте себя !................................187 § 8. Умножение и деление рациональных чисел Тема 51. Умножение рациональных чисел..................188 Тема 52. Законы умножения рациональных чисел........191 Тема 53. Деление рациональных чисел....................194 Тема 54. Коэффициент. Приведение подобных членов.......198 Тема 55. Решение уравнений.............................201 Тема 56. Упражнения на четыре арифметических действия над рациональными числами......................204 Тест 9. Проверьте себя !..............................208 Тема 57. Решение текстовых задач в курсе математики 6-го класса....................................210 Повторение пройденного материала в 6 классе.............216 Ответы ...............................................218 222 22.1 М54 Мирзахмедов М. А., Рахимкариев А. А. Математика: Учебник для 6 классов общеобразовательных школ / М. А. Мирзахмедов, А. А Рахимкариев.З-е переработ изд. — Т.: ИПТД «0‘qituvchi», 2009. — 224 с. I. Соавтор. ББК22.1я72 MIRFAZIL ABDULXAKOVUCH MIRZAXMEDOV, ABDUVAXOB ABDURAXMANOVICH RAXIMKARIYEV MATEMATIKA Umumta’Um maktablarining 6- sinfi uchun darslik (rus tilida) Издание третье, переработанное и дополненное Издательско-полиграфический творческий дом «0‘qituvchi» Ташкент — 2009 Перевод с узбекского Юсуповой Гульнары Эскендеровны Редактор Г. И. Александрова Худ. редактор Т. Каноатов Технический редактор Т. Грешникова Компьютерная верстка Ф. Хасанова Корректоры Л. Бабаева, О. Вульф Подписано в печать с оригинала-макета 2.06.2009. Формат 70x90'/, Кегль 12 н/шп. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Уел. п. л. 16,38. Изд. л. 12,0. Общий тираж 36394. Заказ №62. Издательско-полиграфический творческий дом «O'qituvchi» Узбекского агентства по печати и информации. Ташкент, 129, ул. Навои, 30. //Ташкент, массив Юнусабад, ул. Мурадова, дом 1. Договор № 14—61—09. Свободная продажа запрещенй;^ I РЦКФ ’ I 4 $\ V I \ » ' ИПТД ,,0‘qituvchi“ 1002U6. Т1ШКСИ7 \.1 M\p.J M>ua I Т«1 2?4 v)4-i: Е mlo'.n.iqfiiucliiju Vkob %1(о VVV444 i.ximivthi.ij.' \ t ISBN 978-9943-02-092-4 91789943 Ю20924