Учебник Физика 11 класс Касьянов Базовый уровень

в. А. Касьянов Физика УЧЕБНИК ДЛЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ класс ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 8-е издание, доработанное Москва ^орофа 2011 УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я72 К28 Касьянов, В. А. К28 Физика. 11 кл. Профильный уровень : учеб, для общеобразоват. учреждений / В. А. Касьянов. — 8-е изд., дораб. — М. : Дрофа, 2011. — 448 с. : ил., 7 л. цв. вкл. ISBN 978-5-358-09554-0 Учебник предназначен учащимся 11 классов, в которых физика изучается на профильном уровне, и является продолжением учебника «Физика. 10 класс. Профильный уровень» того же автора. Учебник В. А. Касьянова «Физика. 11 класс» переработан и дополнен в соответствии с федеральным компонентом государственного стандарта общего образования. Книга создана с учетом современных научных представлений, включает следующие разделы: «Электродинамика», «Электромагнитное излучение», «Физика высоких энергий», «Эволюция Вселенной». Достоинством учебника является тщательно разработанный методический аппарат, включающий вопросы и задачи различной степени сложности. Книга хорошо иллюстрирована. К учебнику издана тетрадь для лабораторных работ. УДК 373.167.1:53 ____________________________________________________________________ББК 22.3я72 Учебное издание Касьянов Валерий Алексеевич ФИЗИКА 11 класс Профильный уровень Учебник для общеобразовательных учреждений Ответственный редактор Е. Н. Тихонова. Оформление Л. П. Копачева Художник Л. Я. Александрова. Художественный редактор Л. П. Копачева Технический редактор Н. И. Герасимова. Компьютерная верстка Г. М. Татаринова Компьютерная графика С. Л. Ма.ме^ова. Корректоры Г. И. Мосякина, Е. Е. Никулина Цветоделение А. Е. Косых, О. А. Мо.гочков Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.60.953.Д.010360.06.10 от 29.06.2010. Подписано к печати 24.12.10. Формат 70 X 90 '/lo- Бумага о(1)сетная. Гарнитура «Школьная*. Печать офсетная. Уел. меч. л. 32,76 + 1,02 уел. печ. л. ц». вкл. Тираж 10 000 экз. Заказ № 1 2Ъ. ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Пред.тожения и замечания по содержанию н оформлению книги просим направлять в редакцию общего образования нздате.1ьства «Дрофа»: 127018, Москва, а/я 79. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: [email protected] По вопросам приобретения продукции издате.льства «Дрофа* обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52. Торговый дом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А. Тел.: (495) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76. Сеть магазинов «Переплетные птицы*. Тел.: (495) 912-45-76. Интернет-магазин: https://www.drofa.ru Отпечатано и полном соответствии с качеством и|м;.'(оставле11МЫХ излнт0-летив ССС1'«. 170010, г. Тверь, п|>оспект 50 лет Октнбря, Ю. ISBN 978-5-358-09554-0 ©ООО «Дрофа», 2001 © ООО «Дрофа», 2011, с изменениями ЭЛЕКТРОДИНАМИКА "пр-— ■ШИИвш Постоянный электрический ток § 1. Электрический ток Электрические заряды в движении. Гравитационное притяжение испытывают все тела и частицы. Структура Вселенной формируется гравитационным притяжением тел огромных масс. Неограниченное гравитационное сжатие предотвращает движение этих тел. Существование тел конечных размеров оказывается возможным потому, что между частицами вещества действуют более мощные, чем гравитационные, силы электромагнитной природы: притяжения и отталкивания, которые могут уравновесить друг друга. Как мы выяснили ранее (см. Ф-10, § 78), система неподвижных (статических) электрических зарядов не может быть устойчивой. Устойчивой может быть лишь система движущихся зарядов. Поэтому в этой главе мы рассмотрим электромагнитное поле движущихся электрических зарядов. Электрический заряд является источником электромагнитного поля, которое распространяется в пространстве со скоростью света. Энергия электромагнитного поля, переносимая в пространстве от одного заряда к другому, убывает при увеличении расстояния между зарядами. Изменить энергию электромагнитного взаимодействия зарядов можно, например, приближая один заряд к другому или удаляя их друг от друга. Движение зарядов в проводнике. Направленное движение зарядов в проводнике приводит к переносу энергии электромагнитного поля в пространстве. Для существования электрического тока необходимы свободные заряды — носители заряда, например заряженные частицы: положительные и отрицательные ионы, электроны. Электродинамика Электрический ток заряженных частиц. упорядоченное (направленное) движение В проводнике концентрация свободных зарядов, которые могут перемещаться по всему объёму проводника, не покидая его пределов, наибольшая. Поэтому для передачи энергии электромагнитного поля из одной точки пространства в другую используют металлические проводники подобно тому, как для транспортировки воды применяют трубы. Направленное движение свободных зарядов в проводнике возможно под действием внешнего электрического поля. В отсутствие внешнего электрического поля (его напряжённость £ = 0) движение зарядов в проводнике является хаотическим (серая линия на рис. 1). Так движутся, например, положительные и отрицательные ионы в электролитах, электроны в металлических проводниках. После нескольких столкновений с другими частицами заряженные частицы могут вернуться практически к первоначальному положению. В том случае, когда к проводнику приложено внешнее электрическое поле {Е Ф 0), на заряды действует дополнительно кулоновская сила. В результате этого положительный заряд, притягиваясь к отрицательному полюсу и отталкиваясь от положительного, приобретает составляющую скорости вдоль напряжённости электрического поля. За промежуток времени t положительный заряд «дрейфует» на расстояние в направлении напряженности электрического поля (чёрная линия на рис. 1). Отрицательный заряд смещается на расстояние 1_ = v_t {v_ — скорость дрейфа в направлении, противоположном напряжённости электрического поля). В проводнике, помещённом в электрическое поле, происходит наложение упорядоченного движения зарядов на хаотическое тепловое. !► Движение носителей зарядов в проводнике. Наложение упорядоченного движения зарядов на хаотическое тепловое движение в электрическом поле: а) положительных-, б) отрицательных £= о ЁФО /_= vj Постоянный электрический ток За направление тока принимают направление упорядоченного движения положительно заряженных частиц. Направление тока совпадает с направлением напряжённости электрического поля, вызывающего этот ток. В металлах, где носителями тока являются свободные, отрицательно заряженные электроны, направление тока считается противоположным направлению скорости их упорядоченного движения (рис. 2). v_ -Э -==>“0 ВОПРОСЫ 1. 2. 3. 5. Направление тока в металлическом проводнике противоположно „ „ направлению движения электронов Дайте определение электрического то- ка. При каких условиях возникает электрический ток? Почему движение заряженных частиц в проводнике в отсутствие внешнего электрического поля является хаотическим? Чем отличается движение заряженных частиц в проводнике в отсутствие и при наличии внешнего электрического поля? Как выбирается направление электрического тока? В каком направлении движутся электроны в металлическом проводнике, по которому протекает электрический ток? § 2. Сила тока Определение силы тока. Интенсивность направленного движения заряженных частиц в проводнике характеризует величина электрического заряда, проходящего через поперечное сечение проводника за 1 с, или сила тока. Эта величина может меняться с течением времени. Сила тока в данный момент времени — скалярная физическая величина, равная пределу отношения величины электрического заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, к промежутку времени его прохождения: / = lim йх-*о at (1) Электродинамика Формула (1) в математике представляет собой производную. Поэтому dt (2) Сила тока — производная по времени от заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника за промежуток времени t. Единица силы тока (основная единица СИ) — ампер (1 А): 1А=1Кл/с. Точное определение ампера будет дано в § 25. Связь силы тока с направленной скоростью. Для того чтобы рассчитать силу тока, найдём заряд А^, протекаюш;ий через поперечное сечение проводника за промежуток времени (рис. 3). За это время через сечение проводника пройдут только заряды, движуш;иеся со скоростью и сонаправленно с напряжённостью внешнего электрического поля, которые находятся внутри цилиндра сечением S с образующей Ы, = vAt. Зная концентрацию п заряженных частиц, можно найти число заряженных частиц в этом объёме N = nSvAt и определить их заряд: ‘ Яо^ ^ где Qq — заряд одной частицы. Из формулы (1), следует, что сила тока / = qQnSv. (3) Если скорость движения зарядов не зависит от времени, т. е. о = const, то сила тока I = const. Постоянный электрический ток — ток, сила тока и направление которого не изменяются с течением времени. Постоянный ток широко используется в электрических схемах автомобилей, а также в микроэлектронике и т. д. 3^ ^ AZ = vAt Движение положительных зарядов в проводнике {электролите) Единица объёма Постоянный электрический ток ВОПРОСЫ 1. Какая величина характеризует интенсивность направленного движения заряженных частиц? 2. Дайте определение силы тока. 3. Как сила тока связана с зарядом, прошедшим за время t через поперечное сечение проводника? 4. В каких единицах измеряется сила тока? 5. Какой электрический ток называют постоянным? Как сила тока зависит от концентрации заряженных частиц? ЗАДАЧИ 1. Какой заряд пройдёт через поперечное сечение проводника за 1 мин, если сила тока в проводнике 2 А? [120 Кл] 2. Сколько электронов проходит через спираль лампы накаливания за 1 с при силе тока в лампе 1,6 А? [10’®] 3. По проводнику в течение года протекает ток силой 1 А. Найдите массу электронов, прошедших за этот промежуток времени сквозь поперечное сечение проводника. Отношение заряда электрона к его массе (?/т^ = 1,76 • 10"’^Кл/кг. [0,18 г] 4. В проводнике, площадь поперечного сечения которого 1 мм^, сила тока 1,6 А. Кон- центрация электронов в проводнике 102®м~з при температуре 20 °С. Найдите среднюю скорость направленного движения электронов и сравните её с тепловой скоростью электронов. [1 мм/с; 115 км/с] 5. За 4 с сила тока в проводнике линейно возросла с 1 до 5 А. Постройте график зави- симости силы тока от времени. Какой заряд прошёл через поперечное сечение проводника за это время? [12 Кл] § 3. Источник тока Условие существования постоянного тока в проводнике. Рассмотрим условия существования постоянного тока в проводнике. При помещении проводника во внешнее постоянное электрическое поле в нём происходит перераспределение свободных зарядов, называемое электростатической индукцией (см. Ф-10, § 86). Электрическое поле индуцированных (наведённых) зарядов достаточно быстро компенсирует внешнее поле. Напряжённость поля внутри проводника становится равной нулю, заряды перестают двигаться направленно, ток прекращается. Для того чтобы ток существовал непрерывно, необходимо создание и поддержание в проводниках электрического поля. Напряжённость внешнего поля должна быть больше напряжённости поля индуцированных зарядов. Это возможно, если скорость нарастания внешнего электрического поля превосходит скорость разделения индуцирован- Электродинамика ных зарядов. Добиться увеличения напряжённости внешнего электрического поля можно, подводя дополнительные заряды к проводнику извне. Эти заряды генерирует и подводит к проводнику источник тока. Источник тока — устройство, разделяющее положительные и отрицательные заряды. Гальванический элемент. Разделение зарядов возможно в результате преобразования механической, тепловой, химической, световой энергий в электрическую. Так, в гальваническом элементе заряды на электродах оказываются разноимёнными за счёт энергии химической реакции между электродами и электролитом. В элементе Вольта в раствор серной кислоты (HgSO^) погружены медный (Си) и цинковый (Zn) электроды. Отрицательные ионы SOI", находящиеся в растворе вблизи электронейтральных медного и цинкового электродов, притягивают ионы Си^"^ и Zn^*, располагающиеся в узлах кристаллической решётки (рис. 4, а). Энергия притяжения разноимённых ионов превосходит энергию связи ионов Си^'^ и Zn^^ в кристаллической решётке металлических электродов, поэтому эти ионы переходят в раствор. Кинетическая энергия ионов переходящих в раствор, оказывается меньше кинетической энергии (-E^^)zn=2- ионов Zn^"*", так как энергия связи ионов меди в кристаллической решётке превышает энергию связи ионов Zn^"^ (рис. 5): ^ ^±~ ^Си’ ^±~ ^Zn’ где Е^ — энергия ионов в растворе. Чем больше положительных ионов переходит в раствор, тем большим становится по модулю отрицательный заряд электрода (рис. 4, б), что пре- а H2SO4 А 4 Перераспределение зарядов в гальваническом элементе Вольта Постоянный электрический ток Е i к ■^Zn ~ О Аф.В -но,34 0 В -0,76 ◄ 5 Электродвижущая сила гальванического элемента Вольта пятствует выходу из него других ионов. Растворение электродов прекращается, если кинетическая энергия положительных ионов оказывается недостаточной для преодоления разности потенциалов двойного электрического слоя. Этот слой образован положительными зарядами ионов в растворе и отрицательными избыточными зарядами электродов: Таблица 1 Нормальные электродные потенциалы ^оФси’ ^оФгп’ где и ф2„ — потенциалы медного и цинкового электродов относительно раствора. Обычно за нуль отсчёта энергии связи принимают энергию Ещ, необходимую для ионизации газообразного молекулярного водорода. Соответственно, в качестве нуля отсчёта потенциала электродов принят потенциал на так называемом водородном электроде (см. ось ф на рис. 5). Водородный электрод образуется газообразным водородом, находящимся вблизи химически нейтральной платины. Нормальные электродные потенциалы — потенциалы на электродах, отсчитываемые относительно водородного электрода. Нормальные электродные потенциалы для некоторых металлов приведены в таблице 1. ЭДС гальванического элемента. Между медным и цинковым электродами возникает постоянное напряжение, равное разности нормальных потенциалов (см. рис. 5): ^ = Фси - Фгп = - (-0,76) = 1,1 (В), называемое электродвижущей силой гальванического элемента Вольта или ЭДС. Медный электрод, имеющий больший потенциал, оказывается положительным полюсом источника — анодом^ а цинковый — отрицатель- Металл ф, В Литий -3,0 Калий -2,9 Натрий -2,7 Алюминий -1.7 Цинк -0,76 Железо -0,44 Олово -0,14 Свинец -0,13 Медь +0,34 Ртуть +0,80 Серебро +0,80 Платина +1,2 Золото +1,3 10 Электродинамика Изоляция Электролит а) Zn Оксид ртути / Хлорид \ / аммония Угольный Цинковая электрод оболочка б) 6 Источники тока: а) миниатюрная батарейка', б) батарейка для карманного фонаря ным — катодом. Используя данные таблицы 1, можно аналогично рассчитать ЭДС элемента с парой электродов из других металлов. Наиболее распространённые элементы — источники тока — изображены на рисунке 6. Ртутная батарейка^ (рис. 6, а), используемая в часах, калькуляторах и слуховых аппаратах, даёт ЭДС около 1,4 В. Традиционная батарейка для карманных фонарей (рис. 6, б) имеет ЭДС 1,5 В. ВОПРОСЫ 2. 3. 4. 5. Почему электростатическая индукция препятствует существованию постоянного тока в проводнике? Что такое источник тока? Какова его роль в электрической цепи? Что такое гальванический элемент? Почему происходит разделение зарядов в гальваническом элементе Вольта? Когда прекращается растворение электродов в растворе электролита? Что такое нормальный электродный потенциал? Чему равна разность потенциалов на зажимах гальванического элемента? § 4. Источник тока в электрической цепи Сторонние силы. При соединении проводником электродов (полюсов) источника тока по проводнику под действием постоянной разности потенциалов протекает электрический ток. Движущиеся от катода к аноду по проводнику электроны уменьшают разность потенциалов между электродами, унося отрицательный заряд с катода и нейтрализуя положительный на аноде. Для поддержания постоянной разности потенциалов заряды должны накапливаться на полюсах источника: положительные заряды в электролите должны двигаться к аноду, а отрицательные к катоду. Такое движение в направлении, противоположном действию кулоновских сил отталкивания между одноимёнными ^ Сегодня ртутные батарейки стараются заменить серебряно-цинковыми, чтобы ограничить применение вредных веществ. Постоянный электрический ток 11 зарядами, может происходить лишь под действием непотенциальных сил, называемых сторонними силами. Анод Катод Сторонние силы — силы неэлектрического происхождения, вызывающие разделение зарядов в источнике тока. Происхождение сторонних сил может быть различным. В гальваническом элементе, например, сторонние силы возникают за счёт химической реакции между электродами и электролитом (рис. 7). Движение заряженных частиц в источнике тока. Выясним особенности движения заряженных частиц в источнике тока. В качестве примера рассмотрим гальванический элемент, поддерживающий постоянный электрический ток в проводнике, присоединённом к его полюсам (рис. 8, а). Положительно заряженная частица (ион) движется в электролите гальванического элемента от 1^атода к аноду под действием сторонней силы Кроме того, на эти частицы действуют в направлении, противоположном скорости её движения, сила Кулона со стороны электродов и сила сопротивления F^. Сила сопротивления характеризует противодействие движению заряженной частицы со стороны ионов, с которыми она сталкивается в процессе движения в электролите. Достигая электродов, заряженные частицы увеличивают их заряд. Благодаря этому между электродами поддерживается постоянная разность потенциалов U. Роль источника тока в электрической цепи подобна роли насоса для перекачивания жидкости (рис. 8, б). Течение жидкости, движущейся из верхнего резервуара по наклонной трубе под действием силы тяжести, сопровождается потерями энергии на трение. Поэтому для циркуляции жидкости в системе необходим насос, сообщающий жидкости дополнительную скорость, необ- Возникновение сторонних сил в гальваническом элементе А 8 б) Аналогия между действием источника тока и водяного насоса: а) силы, действующие на заряженную частицу в гальваническом элементе: б) водяной насос 12 Электродинамика ходимую для её возвращения в резервуар. Сторонней силой в этом случае является сила давления на воду вращающейся крыльчатки насоса. ЭДС источника тока. Изменение потенциальной энергии заряда при его перемещении между электродами источника тока равно суммарной работе сторонней силы и силы сопротивления (см. Ф-10, формула (90)). = + (4) Чем больший заряд перемещается в источнике тока, тем большая работа совершается сторонними силами. Отношение работы сторонних сил к переносимому заряду является постоянной величиной для данного источника тока, называемой электродвижущей силой {ЭДС). ЭДС — скалярная физическая величина, равная отношению работы сторонних сил по перемещению положительного заряда от отрицательного полюса источника к положительному к величине этого заряда: (5) ЭДС численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда между полюсами источника тока. Единица электродвижущей силы — вольт (1 В): 1 В = 1 Дж/Кл. Так как изменение потенциальной энергии заряда связано с разностью потенциалов U между электродами: Д1У = qU, то формулу (4) можно представить в виде С/ = ^_ Ы q (6) При получении этого выражения мы учли, что работа силы сопротивления отрицательна, так как эта сила направлена противоположно перемещению заряда. Из формулы (6) видно, что разность потенциалов между полюсами источника тока {напряжение), приложенная к подключённому к полюсам проводнику, меньше ЭДС. Напряжение на участке, содержащем источник тока, равно сумме ЭДС источника и разности потенциалов на этом участке. Если полюсы источника разомкнуты, ток через источник не протекает, а работа силы сопротивления равна нулю. Следовательно, ^=и. ЭДС равна напряжению между полюсами разомкнутого источника тока. Постоянный электрический ток 13 ВОПРОСЫ 1. Какие силы называют сторонними? Почему накопление зарядов на полюсах источника может происходить лишь под действием сторонних сил? 2. Опишите особенности движения заряженной частицы в электролите источника тока. 3. Дайте определение ЭДС. В каких единицах она измеряется? 4. Почему разность потенциалов между полюсами источника тока, замкнутого проводником, меньше ЭДС? 5. Может ли напряжение источника равняться его ЭДС? При каком условии? § 5. Закон Ома для однородного проводника (участка цепи) Зависимость силы тока в проводнике от приложенного к нему напряжения. Для существования тока в проводнике необходимо создать разность потенциалов на его концах. Напряжение — разность потенциалов между концами однородного проводника. Однородным является проводник, в котором не действуют сторонние силы. Для каждого проводника — твёрдого, жидкого, газообразного, плазменного — существует определённая зависимость силы тока от приложенной к нему разности потенциалов (или приложенного напряжения). Получим зависимость силы тока от приложенного напряжения для металлического проводника. Предположим, что к металлическому проводнику длиной I и площадью поперечного сечения S приложено напряжение и (рис. 9, а). Под действием электрического поля напряжённостью Е = и/1 электроны, являющиеся носителями электрического тока, приобретают постоянное ускорение в направлении, противоположном напряженности: а = eU тЛ Из-за столкновений с неоднородностями кристаллической решётки (возникающими, например, при образовании кристалла) или атомами примесей другого элемента в металле электроны движутся по сложной траектории. Она напоминает траекторию движения шарика, скатывающе- 14 Электродинамика гося с наклонной плоскости под действием силы тяжести и сталкивающегося с выступающими цилиндрическими штырями (рис. 9, б). За промежуток времени между столкновениями электрон, движущийся равноускоренно, приобретает среднюю направленную скорость ат. V = eU (7) 2 2т^1 Сила тока в проводнике, как следует из формулы (3), при q^ = е I = enSv. (8) Подставляя в это уравнение выражение для направленной скорости, получаем О (9) 2т„ I Сила тока в однородном проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению. Сопротивление проводника. Коэффициент пропорциональности между силой тока и напряжением обозначают 1 /R\ 2т^ ] (10) R = S ’ где R — электрическое сопротивление проводника. Единица сопротивления — ом{1 Ом): 1 Ом = 1 В/А. Впервые зависимость силы тока от напряжения была экспериментально получена в 1826 г. немецким учёным Георгом Омом (1787— 1854). б) и 9 Движение электрона в проводнике: а) траектория движения электрона в проводнике^ б) моделирование движения электрона в проводнике Постоянный электрический ток 15 Закон, Ома для однородного проводника Сила тока в однородном проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника: (11) Зависимость силы тока в проводнике от приложенного к нему напряжения называют вольт-амперной характеристикой проводника. На рисунке 10 приведены вольт-амперные характеристики проводников с различным электрическим сопротивлением. ВОПРОСЫ Кл < Ко < Ко 3. А 10 Вольт-амперные характеристики проводников Какой проводник называют однородным? Почему направленное движение электрических зарядов в однородном проводнике является равноускоренным? Приведите механическую аналогию движения заряженных частиц в проводнике. Дайте определение напряжения. Во сколько раз изменится сила тока в проводнике при увеличении приложенного к нему напряжения вдвое? Сформулируйте закон Ома для однородного проводника. Что такое вольт-амперная характеристика проводника? Почему вольт-амперная характеристика для проводника с ббльшим сопротивлением возрастает более полого, чем для проводника с меньшим сопротивлением? ЗАДАЧИ Электрический обогреватель, имеющий сопротивление 44 Ом, включён в сеть с напряжением 220 В. Найдите силу тока, протекающего через обогреватель. [5 А] Найдите сопротивление резистора, если при напряжении 6 В сила тока в резисторе 2 мкА. [3 МОм] Определите разность потенциалов на концах проводника сопротивлением 5 Ом, если за минуту через его поперечное сечение пройдёт заряд 2,88 кКл. [240 В] К проводнику сопротивлением К приложена разность потенциалов U. За какой промежуток времени через поперечное сечение проводника пройдёт N электронов? [eNR/Щ 16 Электродинамика Постройте вольт-амперные характеристики для проводников сопротивлением 2 Ом и 3 Ом. Найдите графически напряжения и C/j чэ проводниках при силе тока 1 А, а также силу тока в проводниках и I2, если к ним приложено одинаковое напряжение 12 В. § 6. Сопротивление проводника Труба 1 Гидродинамическая аналогия сопротивления проводника. Сопротивление — основная электрическая характеристика проводника. Чем больше электрическое сопротивление при заданном напряжении, тем меньше сила тока в проводнике. Сопротивление характеризует степень противодействия проводника направленному движению зарядов. Согласно формуле (10) электрическое сопротивление зависит от геометрических размеров {I, S) и материала (п, т^,) проводника. Зависимость сопротивления от длины и площади поперечного сечения проводника легко понять с помощью гидродинамической аналогии. Величиной, аналогичной электрическому заряду в гидродинамике, является масса жидкости (см. Ф-10, § 88). Сила тока эквивалентна массе жидкости, перекачиваемой насосом в единицу времени. Сопротивление движению, которое испытывает вода, текущая по трубе, возрастает при увеличении длины трубы и уменьшении её сечения (рис. 11). Соответственно, масса жидкости, перекачиваемая насосом в единицу времени по трубе 2, будет меньше, чем по трубе 1. Сопротивление проводника прямо пропорционально его длине и обратно пропорционально площади его поперечного сечения. Удельное сопротивление. Представим формулу (10) для электрического сопротивления проводника в виде: Ап Гидродинамическая аналогия электрического сопротивления Д = Р|, (12) где Р = Постоянный электрический ток 17 Удельное сопротивление — скалярная физическая величина, численно равная сопротивлению однородного цилиндрического проводника единичной длины и единичной площади. Чем больше удельное сопротивление материала проводника, тем больше его электрическое сопротивление. Единица удельного сопротивления — ом-метр (1 Ом • м). В таблице 2 приведены значения удельного сопротивления различных материалов при температуре = 20 °С. Качественное деление всех веществ по степени подвижности заряженных частиц на проводники, полупроводники и диэлектрики (см. Ф-10, § 84) определяется значением удельного сопротивления вещества. К проводникам относят вещества, имеющие удельное сопротивление р < 10"^ Ом • м. У полупроводников 10"^ Ом • м < р < 10^ Ом • м. Диэлектрики имеют р > 10“ Ом • м. Изменение сопротивления проводника в соответствии с формулой (12) возможно либо при изменении его длины (как в реостате) (рис. 12, а), либо при различном составе и объёме наполнителя (как в резисторе) (рис. 12, б). Проводник с определённым постоянным сопротивлением называют резистором (от лат. resisto — сопротивляюсь). Резисторы широко используются в электрических приборах и микроэлектронике. Таблица 2 Удельное сопротивление веществ при 20 °С Вещество р, Ом • м Вещество р, Ом • м Серебро 1,6-10-8 1 Углерод 3,5-10-6 ] S Й Медь 1,7-10-8 Поваренная соль S Золото 2,4-10-8 (насыщ. р-р) 0,044 Алюминий 2,8-10-8 Германий 0,5 > СО Вольфрам 5,5 - 1Q-8 Кровь 1,5 Q* Платина 10-7 S Жир 25 >> Сталь 2 - 10-7 г о ва Кремний 2300 J о Манганин (84% Си, с 12% Мп, 4% Ni) 4,4 - 10-7 о а Полиэтилен 108^10» 2 Константан С Дерево 108^10“ о, о (60% Си, 40% Ni) 4,9-10-7 Стекло 1018-1014 г 0? Ртуть 9,6-10-7 Янтарь 5-1014 ч о Нихром (58% Ni, Кварц 7,5-1017 п S 25% Си, 16% Сг) 10-6 J 18 Электродинамика а) Подвижный контакт Проволочная катушка 1. 3. б) Угольный наполнитель Керамическая оболочка ВОПРОСЫ От чего зависит электрическое сопротивление проводника? Объясните гидродинамическую аналогию сопротивления. Какая физическая величина характеризует электрические свойства материала проводника? Дайте определение этой величины и укажите, в каких единицах она измеряется. При каких значениях удельного сопротивления вещество можно считать проводником, полупроводником, диэлектриком? Что такое резистор? ЗАДАЧИ 1 Соединительный провод А 12 Переменное и постоян ное сопротивления 2. 3. 5. Найдите сопротивление медной проволоки длиной 240 м и сечением 0,4 мм2. [10,2 0м] Сколько килограммов меди требуется на изготовление электропровода длиной 1 км, чтобы его сопротивление составляло 10 Ом? Плотность меди 8,9 • Ю^кг/м^. [15,1 кг] Сопротивление цилиндрического алюминиевого провода диаметром 1 мм равно 4 Ом. Найдите его длину. [110м] Масса алюминиевого провода 270 г, а его сопротивление 2,8 Ом. Найдите его длину и площадь поперечного сечения. Плотность алюминия 2,7 • 10^ кг/м^. [100 м; 1 мм2] Длина цилиндрического медного провода в 10 раз больше, чем длина алюминиевого, а их массы одинаковы. Найдите отношение сопротивлений этих проводников. [200] § 7. Зависимость удельного сопротивления проводников и полупроводников от температуры Проводники. Удельное сопротивление проводника обратно пропорционально времени между столкновениями электронов с неоднородностями кристаллической решётки (см. формулу (10)). За 1 с электрон сталкивается с ними 1/Tj, раз. Поэтому удельное сопротивление проводника пропорционально частоте (числу) столкновений электронов. В свою очередь, частота столкновений тем больше, чем больше поперечное сечение атомов и ионов, с которыми сталкивается электрон. Постоянный электрический ток 19 На характер движения электронов в проводнике влияет температура проводника. При малой температуре амплитуда тепловых колебаний атомов и ионов около положения равновесия невелика, и электроны почти беспрепятственно движутся в кристаллической решётке металлического проводника под действием электрического поля (рис. 13, а). С увеличением температуры (Tg > Т^) и амплитуда колебаний возрастает (рис. 13, б). Движение электронов в кристаллической решётке затрудняется: сопротивление их упорядоченному движению возрастает. Удельное сопротивление металлического проводника линейно возрастает с температурой: = Ро(1-I-аАГ), (13) где Ро — удельное сопротивление при tQ = 20 °С (Тц = 293 К); ДТ = Т - Tq; а — температурный коэфсрициент сопротивления. Единица температурного коэффициента сопротивления — кельвин в минус первой степени (1 К~^). Линейную зависимость удельного сопротивления металлического проводника от температуры качественно можно пояснить следующим образом. Удельное сопротивление пропорционально частоте столкновений Тг>Тг ,У 13 б) Траектория электронов в металлическом проводнике под действием электрического поля'. а) при малой температуре', б) при увеличении температуры 20 Электродинамика электронов. Она складывается из частоты столкновений с неоднородностями кристаллической решётки, не зависящей от температуры, и частоты столкновений с атомами и ионами, упорядоченно расположенными в кристаллической решётке. Последняя линейно зависит от температуры. Линейная зависимость (13) удельного сопротивления от температуры справедлива в сравнительно небольшом интервале температур АТ. Для большинства чистых металлов температурный коэффициент сопротивления а ~ 1/273 К~^. По изменению сопротивления проволоки можно определить температуру, что используется при измерении температуры в диапазоне, недоступном жидкостным термометрам. Полупроводники. Зависимость удельного сопротивления полупроводников от температуры принципиально другая, чем у проводников. Удельное сопротивление полупроводников уменьшается при увеличении температуры. С увеличением температуры возрастает число свободных зарядов, создающих электрический ток, и соответственно (см. формулу (12)) уменьшается сопротивление полупроводника. В качестве примера рассмотрим кристалл кремния, атомы которого имеют на внешней оболочке по четыре валентных электрона (рис. 14), связанные между собой химическими ковалентными связями. В образовании этой связи от каждого атома участвует по одному валентному электрону. Эти электроны большую часть времени проводят в пространстве между соседними атомами. Их отрицательный заряд удерживает положительные ионы кремния друг возле друга в решётке. При низких температурах электроны прочно связаны в атомах, свободных электронов нет, кремний не проводит электрический ток, т. е. ведёт себя как диэлектрик. При нагревании кристалла возникает разрыв связей некоторых электронов с ионами кристаллической решётки. Электронейтргшьный атом, потерявший электрон, становится заряженным положительно. В электронной оболочке образуется вакансия, или дырка. г - I I - '—4 “ А 14 Возникновение носителей электрического тока в полупроводнике Постоянный электрический ток 21 Дырка — вакантное электронное состояние в кристаллической решётке, имеюш;ее избыточный положительный зар5хд. Дырку в электронной оболочке атома может заполнить валентный электрон соседнего атома. При увеличении температуры электроны, становясь свободными, начинают перемещаться по кристаллу. При этом число носителей заряда резко возрастает, что приводит к уменьшению сопротивления полупроводника. При нагревании от 300 до 700 К число свободных носителей заряда может увеличиться от 10^”^ до 10^“* на 1 м^. Рассмотренный нами процесс электропроводности характерен для собственной проводимости полупроводников. Зависимость удельного сопротивления проводника и полупроводника от температуры показана на рисунке 15. А 15 Зависимость удельного сопротивления металла и полупроводника от температуры ВОПРОСЫ 4. 5. Почему при увеличении температуры увеличивается число столкновений электронов с атомами кристаллической решётки проводника? Как зависит удельное сопротивление проводника от его температуры? В каких единицах измеряется температурный коэффициент сопротивления? Чем можно объяснить линейную зависимость удельного сопротивления проводника от температуры? Почему удельное сопротивление полупроводников уменьшается при увеличении температуры? Опишите процесс собственной проводимости в полупроводниках. ЗАДАЧ И 1. Сопротивление медного провода при 0 °С равно 4 Ом. Найдите его сопротивление при 50 °С, если температурный коэффициент сопротивления меди а = 4,3 • 10“^ К"Ч [4,9 0м] 2. Сопротивление проводника при 20 °С равно 25 Ом, а при 35 °С — 25,17 Ом. Найдите температурный коэффициент сопротивления. [4,5 • 10“'* К"''] 3. Сопротивление стального проводника при температуре t, = 10 °С Д, = 10 Ом. Найди- те, при какой температуре его сопротивление увеличится на 1%. Температурный коэффициент сопротивления стали 6 • 10'^ К”Т [11,7 °С] 22 Электродинамика Сопротивление вольфрамовой нити лампы накаливания при 20 °С равно 20 Ом. Температурный коэффициент сопротивления вольфрама 4,6 • 10"^К~Т Найдите температуру нити накала лампы при включении её в сеть с напряжением 220 В, когда сила тока в ней 1 А. [2467 К] При нагревании проводника сечением S его сопротивление возрастает на Л В. Зная плотность вещества d, удельное сопротивление р проводника и удельную теплоёмкость Су, найдите изменение внутренней энергии AW проводника. - CydS^AR 1 ра J AW = § 8. Сверхпроводимость Критическая температура. При охлаждении проводника его удельное сопротивление уменьшается достаточно плавно по линейному закону. Однако при снижении температуры ниже некоторой критической величины близкой к абсолютному нулю, удельное сопротивление некоторых веш;еств скачкообразно падает практически до нуля. Это явление, наблюдавшееся впервые при охлаждении ртути в 1911 г. голландским учёным Гейне Каммерлинг-Оннесом, назвали сверхпроводимостью. Сверхпроводимость — физическое явление, заключающееся в скачкообразном падении до нуля сопротивления вещества при критической температуре. Критическая температура — температура скачкообразного перехода вещества из нормального состояния (Т > в сверхпроводящее {Т < Максимальной критической температурой среди чистых металлов обладает технеций (табл. 3). Сверхпроводник — вещество, которое может переходить в сверхпроводящее состояние. Ток в сверхпроводнике может протекать неограниченно долгое время из-за отсутствия сопротивления. Свойством сверхпроводимости обладают около половины металлов и свыше тысячи сплавов и соединений металлов. Интересно, что такие металлы, как серебро, медь, золото, платина, являющиеся хорошими проводниками при Tq = 293 К, не переходят в сверхпроводящее состояние. На рисунке 16 приведены зависимости удельного сопротивления от температуры для проводника и сверхпроводника. При комнатной температуре сопротивление сверхпроводника больше сопротивления проводника. Постоянный электрический ток 23 Таблица 3 Критическая температура для сверхпроводников сверхпроводник Вещество 7-кр.К Вещество 7-<р.к Вольфрам 0,015 Свинец 7,2 Титан 0,4 Ниобий 9,2 Кадмий 0,5 Технеций 11,2 Уран 0,8 Сплав Цинк 0,9 (Ва—La—Си—О) 35 Алюминий 1,2 Сплав Индий 3,4 (Ва—Yt—Си—О) 98 Олово 3,7 Сплав Ртуть 4,2 (Т1—Са—Ва—Си—О) 125 Т, К 16 Зависимость удельного сопротивления проводника и сверхпроводника от температуры Отличие движения заряженных частиц в проводнике и сверхпроводнике. В чём же принципиальное отличие движения заряженных частиц в сверхпроводнике от их движения в обычном проводнике? Электрическое сопротивление обычного проводника определяется взаимодействием электронов с хаотически колеблющимися ионами, находящимися в узлах кристаллической решётки. В таком проводнике электроны движутся под действием внешнего электрического поля независимо друг от друга. Каждый электрон, столкнувшийся с ионом, изменяет направление скорости и выбывает из общего направленного движения электрических зарядов (носителей тока). С уменьшением температуры частота столкновений электронов с ионами убывает. Резкий спад сопротивления сверхпроводника при критической температуре означает, что электроны не выбывают из общего направленного движения, т. е. столкновения с ионами внезапно прекращаются. Ключом к объяснению этого факта послужило открытие в 1950 г. изотопического эффекта. Изотопический эффект — зависимость критической температуры от массы ионов в кристаллической решётке. Для разных изотопов с массой т^ одного и того же химического элемента критическая температура их перехода в сверхпроводящее состояние оказалась различной: Т------— Jnii 24 Электродинамика Это означало, что на резкое изменение характера движения электрона при критической температуре оказывает влияние структура кристаллической решётки. Практическое исчезновение удельного электрического сопротивления связано с возникновением при температуре меньше критической сил притяжения между парами электронов, расположенных друг от друга на расстоянии, в тысячи раз превышаюпдем расстояние между узлами решётки. Эти силы значительно превосходят силы кулоновского отталкивания электронов на этом расстоянии и обусловлены согласованными колебаниями ионов кристаллической решётки. Куперовские пары. Рассмотрим подробнее механизм возникновения электронных пар, связанных силами притяжения, которые чаще называют куперовскими парами (по имени одного из создателей теории сверх-проводимости)^. При движении электрона в сверхпроводнике при Т < положительные ионы, находящиеся в узлах кристаллической решётки (пересечения пунктирных линий на рисунке 17), притягиваются к электрону, смещаясь от положения равновесия в его сторону. Последующее кулоновское отталкивание положительных ионов приводит к распространению по решётке упругой волны. Второй электрон, находящийся достаточно далеко от первого, притягивается в его сторону смещающимся навстречу положительным ионом решётки. Подобное притяжение между парой электронов может возникать, даже если они находятся друг от друга на расстоянии, в тысячи раз превышающем период решётки (расстояние между соседними узлами). Движение электронов в паре перестаёт быть независимым. Благодаря притяжению между электронами в паре оно становится согласованным. f = О t = X -(1 1 е. в- 0- 7 ^2 S- F, в2 -Ф ◄ 17 Образование куперовских пар 1 Теория сверхпроводимости была предложена в 1957 г. Дж. Бардином, Л. Купером, Дж. Шриффером (Нобелевская премия 1972 г.). Постоянный электрический ток 25 Притяжение между электронами препятствует столкновению каждого из них в отдельности с ионами решётки. Электроны в сверхпроводнике (в отличие от обычного проводника) являются «единым коллективом» куперовских пар. Электрический ток в сверхпроводнике обусловлен согласованным движением куперовских пар электронов. Л ft А 18 Моделирование движения куперовских пар в сверхпроводнике Механической аналогией движения зарядов в сверхпроводнике является скатывание по наклонной плоскости с выступающими цилиндрическими штырями пары шариков, связанных пружиной (рис. 18). Если один из шариков ударяется о штырь, он не отскакивает назад, так как второй шарик, связанный с ним пружиной, продолжает движение и подтягивает первый. В результате пара продолжает скатываться с наклонной плоскости. Подобным же образом взявшиеся за руки в парах учащиеся младших классов организованно гуляют. При этом роль колебаний кристаллической решётки, укрепляющей их связи (рукопожатия), периодически играет властный голос учительницы. Чем сильнее взаимодействие электронов с решёткой, тем сильнее их притяжение друг к другу, тем легче образуются куперовские пары. Для хороших проводников (Ag, Си, Аи) это взаимодействие мало, поэтому такие проводники не переходят в сверхпроводящее состояние. При Т > хаотическое движение ионов доминирует над упорядоченным: куперовские пары разрушаются, и электроны движутся по кристаллу независимо, как в обычном проводнике. Основным препятствием для широкого применения металлических сверхпроводников является необходимость их эксплуатации при очень низкой температуре. Использование для их охлаждения жидкого гелия при Т = 4 К создаёт значительные технические трудности и не всегда оправдано экономически. Поиск сверхпроводников с большой критической температурой привёл к получению в 1988—1989 гг. высокотемпературных металлокерамических сплавов (Ва—Yt—Си—О) и (Т1—Са—Ва—Си—О) с большой критической температурой (см. табл. 3). Получение сверхпроводящих состояний для этих сплавов возможно с помощью недорогого и безопасного в эксплуатации жидкого азота, имеющего температуру кипения 77 К. 26 Электродинамика В настоящее время усилия физиков направлены на получение сверхпроводников с критической температурой, близкой к комнатной. Эти сверхпроводники должны удовлетворять высоким требованиям к механической прочности и химической стабильности. Техническое использование таких сверхпроводников позволяет уменьшить потери энергии в линиях электропередачи, совершенствует электронику, увеличивает быстродействие компьютеров, существенно удешевляет электроэнергию. ВОПРОСЫ 1. Какое физическое явление называют сверхпроводимостью? Дайте определение сверхпроводника. 2. Какую температуру называют критической? 3. Какой эффект называют изотопическим? Почему изотопический эффект является ключом к объяснению сверхпроводимости? 4. Чем отличается характер движения электронов в сверхпроводнике от их движения в проводнике? Как механически можно промоделировать движение куперовских пар в сверхпроводнике? 5. Почему сверхпроводимость исчезает при температуре выше критической? Чем объясняется перспективность разработок высокотемпературных сверхпроводников? § 9. Соединения проводников Последовательное соединение. В реальной электрической цепи к зажимам источника тока может быть подключено несколько соединительных проводников, а также лампы, нагревательные и измерительные приборы, обладающие определённым сопротивлением. Основными типами соединений элементов электрической цепи являются последовательное и параллельное соединения. Последовательное соединение проводников — соединение, при котором конец предыдущего проводника соединяется с началом только одного — последующего. На рисунке 19, а резистор Шу подключённый между точками а и с, соединён последовательно с резистором R2, включённым между точками и = Uy+Uo ◄ 19 U) Последовательное соединение проводников: а) схема соединения', б) эквивалентная схема Постоянный электрический ток 27 с и Ь. Найдём результирующее сопротивление R между точками а и Ъ (рис. 19, б). При последовательном соединении проводников сила тока, протекающего через оба резистора, остаётся постоянной: (14) Это следует из закона сохранения заряда. Если бы заряд, протекающий в единицу времени через второй резистор, оказался бы меньше соответствующего заряда, протекающего через первый резистор, то это означало бы, что заряд куда-то пропал. Соответственно, если бы сила тока через второй резистор превосходила бы силу тока через первый, то где-то между сопротивлениями должна была бы происходить генерация зарядов, чего нет на самом деле. Гидродинамическим аналогом силы тока, протекающего через последовательно соединённые резисторы, является масса жидкости, протекающей в единицу времени по последовательно соединённым трубам (рис. 20). Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении единичного положительного заряда из точки а в точку Ь, т. е. напряжение U, складывается из напряжения C/j на участке а—с и напряжения C/g на участке с—Ь: Насос 20 и = и^ + и 2. (15) Гидродинамическая аналогия последовательного соединения проводников При последовательном соединении проводников общее напряжение цепи равно сумме напряжений на каждом проводнике. Выразим напряжение из закона Ома с учётом условия (14): IR = IR-^ -1- IR2' При последовательном соединении резисторов общее сопротивление цепи равно сумме их сопротивлений'. R — Ч" jRg. (15) Если электрическая цепь содержит п последовательно соединённых проводников с сопротивлениями R^, •••» то R = -f jRg -Ь ... -Ь -R„. (17) Сопротивление последовательного соединения проводников больше сопротивления любого из этих проводников. 28 Электродинамика я) и = и,= и^ /, Ш ^Zh а и Ь R2 б) I-h+h I а , -С R Ь I » -'-I и А 21 Параллельное соединение проводников'. а) схема соединения', б) эквивалентная схема А 22 Гидродинамическая аналогия параллельного соединения проводников тогда Следовательно, Параллельное соединение. Параллельное соединение проводников — соединение, при котором проводники подключены между одной и той же парой точек {узлами). Точку разветвления цепи, в которой соединяются не менее трёх проводников называют узлом электрической цепи. Найдём результирующее сопротивление цепи R, образованной двумя резисторами с сопротивлениями Щ и (рис. 21), параллельно соединёнными между узлами а и 6. В соответствии с законом сохранения электрического заряда заряд, поступающий в единицу времени в точку разветвления а, равен сумме зарядов, уходящих из этой точки за это же время, поэтому: / = /i + /2. (18) Суммарная сила тока, втекающего в узел, равна сумме сил токов, вытекающих из узла. Подобным образом вода растекается по трубам (рис. 22). Если за 1 с из 10 кг воды, поступающей в точку а, 2кг воды попадает в трубу i, то в трубу 2 за это же время пройдёт 8 кг воды. Так как работа электрических потенциальных сил не зависит от формы пути единичного положительного заряда между двумя точками, напряжение на каждом из параллельно соединённых проводников одно и то же: и = и, = и^. (19) Выразим силу тока для каждого проводника в формуле (18) из закона Ома с учётом равенства (19): и . и_ R Д, Rr R Ri i?2 R = R\R2 Rl -b i?2 (20) (21) Постоянный электрический ток 29 Сопротивление параллельного соединения проводников меньше сопротивления любого из этих проводников. Величина G = 1/R называется электрической проводимостью проводника. Единица проводимости — сименс (1 См): -1 1 См = 1 Ом При параллельном соединении резисторов проводимость цепи равна сумме их проводимостей'. G-G^ + G2 + I (22) где Как следует из равенства (19), -^2 (23) Сила тока в каждом из двух проводников, соединённых параллельно, обратно пропорциональна сопротивлению соответствуюш;его проводника. Параллельное соединение труб (см. рис. 22) подобно параллельному соединению сопротивлений. Короткая труба с большим сечением имитирует малое сопротивление, а длинная узкая труба — большое сопротивление. Масса жидкости, протекаюш;ей через короткую трубу за 1 с, больше, чем через длинную. Смешанное соединение проводников — соединение, сводяш;ееся к последовательному и параллельному соединениям проводников. ВОПРОСЫ 1. 2. 3. 4. 5. Какое соединение проводников называют последовательным? Какие физические величины сохраняются при последовательном соединении проводников? Чему равно общее сопротивление при последовательном соединении проводников? Какое соединение проводников называют параллельным? Какие физические величины сохраняются при параллельном соединении проводников? Чему равна проводимость цепи при параллельном соединении проводников? Какую гидродинамическую аналогию можно использовать для моделирования последовательного и параллельного соединений проводников? 30 Электродинамика Rl R2 Г 1 R3 X- т 23 24 3 Ом 6 Ом 8 Ом _ ь 3 Ом d 2 Ом А 25 ЗАДАЧ и 1. Найдите сопротивление если = 12 0м, /?2 ~ = 20 Ом, Яд = 30 Ом (рис. 23). [24 Ом] 2. Найдите R^^, если = 12 Ом, i?2 = 18 Ом, Яд = 5 Ом, = 10 Ом (рис. 24). [10 0м] 3. Найдите (рис. 25). [10 Ом] 4. Найдите (рис. 26). [Д] 5. Сила тока, протекающего по сопротивлениям 3 Ом, в схеме к задаче 4, равна 3 А. Найдите разность потенциалов и силу тока, протекающего через сопротивления 6 Ом и 8 Ом. [12 В; 2 А; 8 В; 1 А] 26 §10. Расчёт сопротивления электрических цепей Смешанное соединение проводников. Расчёт сопротивления смешанного соединения проводников проводится следуюш,им образом. В электрической цепи сначала находят резисторы, соединённые друг с другом либо параллельно, либо последовательно. При замене их эквивалентным резистором получается более простая эквивалентная схема. Этот процесс упрощения схемы продолжается до тех пор, пока общее сопротивление цепи не сводится к одному эквивалентному сопротивлению. Рассмотрим, например, расчёт смешанного сопротивления проводников. 1. Три резистора, сопротивления которых R^ = 8 Ом, R2 = S Ом, i?g = = 12 Ом, соединены по схеме, приведённой на рисунке 27, а. Найдём сопротивление цепи между точками аи Ь. Постоянный электрический ток 31 • Как видно из рисунка, резисторы R2 и R3 соединены параллельно, поэтому сопротивление Rcb = R2 ' ^3/(^2 -^3)' В эквивалентной схеме, приведённой на рисунке 27, б, два резистора с сопротивлениями R^ и R^b соединены последовательно. Следовательно, общее сопротивление цепи (рис. 27, в) R.) • Re а) R1 К R2 R3 б) R1 Дг' Дз До+Дч ^аЬ ■*" + Re — 10 Ом. Д1 + а Дг' Дз Дг"^ Д3 1_2 г Лд 2. Три резистора с одинаковым сопротивлением i? = 60 Ом соединены по схеме, показанной на рисунке 28, а. Найдём сопротивление R^^. * Характерной особенностью представленной схемы является наличие перемычек, обладающих пренебрежимо малым сопротивлением, т. е. Rac ^ ^ означает, что (согласно закону Ома) = Ubd = 0. Следовательно, ср„ = %; % = Потенциалы точек, соединённых перемычками, одинаковы. Точку а на схеме можно совместить с точкой с, а точку Ь с точкой d. Тогда эквивалентная схема (рис. 28, б) представляет собой параллельное соединение трёх резисторов, а сопротивление R^^ определяется формулой (22): ^ad Следовательно, в) А 27 Смешанное соединение проводников = 1+1 + 1=3 R R R R =20Ом. Точки с равными потенциалами в электрических схемах. Расчёт сопротивления электрических схем существенно упрощается, если в схеме можно найти точки с равными потенциалами. Между такими точками, согласно закону Ома, ток не протекает. Поэтому в эквивалентной схеме сопротивления проводников, соединяющих эти точки, можно либо не учитывать, либо заменить перемычкой. 28 ► R R Электрическая схема с перемычками: а) соединение резисторов', б) эквивалентная схема R R д R б) 32 Электродинамика /j R1 /»/« R3 R R2 b ^ R5 Г-Т I. R4 a R R 3R 3R 3R R SR 4R гЧ hn 4R lb R 3R h a 2 r 2 . b a 2Л w . a) 6) A 29 Мостик Уитстона Рассчитаем сопротивление схемы, содержащей точки с одинаковым потенциалом. Пусть резисторы Rl^ R2, R3, R4, R5 соединены по схеме, изображённой на рисунке 29, а, называемой мостиком Уитстона. Выясним, при каком соотношении сопротивлений ток через резистор R5 не протекает, а также найдём сопротивление между точками а и Ь в этом случае. Предположим, что ток через резистор R5 не протекает, тогда через резистор R3 протекает такой же ток как и через резистор R1. Соответственно, ток /g будет протекать как через резистор R2, так и через R4. Отсутствие тока между точками cvid означает, что их потенциалы равны Фс = Ф^' Следовательно, будут равны друг другу и разности потенциалов и„=и. ad^ ^ch "" (24) так как Фа - Фс = Фа - Ф^» Фс - Фй = Фй - ФЬ- С учётом закона Ома для однородного участка цепи из формулы (24) следует, что I-\R-\ — lyRn. /.яз=/л: (25) Разделим почленно первое равенство в системе (25) на второе: Z?i/ R^ — -Rg/Z^45 или RiR^ = Z?g/?3. (26) Постоянный электрический ток 33 Ток через резистор R5 не протекает, если произведения сопротивлений противоположных плечей мостика равны друг другу. Мостиковую схему используют для измерения одного из неизвестных сопротивлений, входяш;их в плечи мостика, например R1. Оно находится из формулы (26). Найдём сопротивление между точками а и 6, когда ^1 = jRg = i? и i?2 = ^4 = ЗЛ, т. е. условие (26) выполняется. Равенство потенциалов точек с тл d позволяет использовать любую из эквивалентных схем, представленных на рисунке 29, б. В первой схеме резистор R5 не используется: цепь между точками cud разомкнута. Во второй схеме точки cud соединены перемычкой. В первой схеме резисторы R и 3JR соединены последовательно. Это приводит к параллельному соединению двух резисторов, сопротивления которых по 4Д, и результирующему сопротивлению 2R между точками а и Ъ. Во второй схеме резисторы, сопротивление которых R, соединены между собой параллельно. Также соединены и два резистора 3JF?. Первая пара резисторов, сопротивление которых R/2, соединена со второй, имеющей сопротивление 3R/2, последовательно. Естественно, что результирующее сопротивление между точками а и Ь оказывается равным 2R, как и при использовании первой схемы. Результат расчёта не должен зависеть от способа его получения. ВОПРОСЫ 1. Какова последовательность расчёта сопротивления смешанного соединения проводников? 2. В чём характерная особенность электрических схем с перемычками? 3. Почему наличие точек с равным потенциалом облегчает расчёт электрических схем? 4. При каком условии возникает баланс плеч в мостике Уитстона? 5. Чему равно сопротивление мостика Уитстона между точками а и 6? ЗАДАЧИ 1. Найдите сопротивление схемы, изображённой на рисунке 30. [5Д/11 ] 2. Сопротивление стороны проволочного квадрата (рис. 31) равно R. Найдите сопротивления R^a, R^^. [R^, = Rj2/(j2 -^^y,R^a = R{3j2 -^-2)/4{Л = 3. Найдите сопротивление R^^, считая, что все звенья проволочной звезды имеют сопротивление R (рис. 32). [7Д/6] 4. Сопротивление любого ребра проволочного каркаса куба равно R. Найдите сопротивление между наиболее удалёнными друг от друга вершинами куба (рис. 33). [5Д/6] 2 Фичика. 11 кл. П|хк11ИЛМ1ыГ| уровень 34 Электродинамика А 30 31 А 32 33 34 R R R 5. Найдите сопротивление R^f, участка цепи, содержащего бесконечное число резисторов сопротивлением R (рис. 34). При решении следует учесть, что присоединение ещё одной ячейки к бесконечному числу ячеек не изменяет полного сопротивления бесконечной цепи. [Д(1 + V3 )] §11. Закон Ома для замкнутой цепи Замкнутая цепь с источником тока. Рассмотрим простейшую замкнутую (полную) цепь, состоящую из источника тока (например, гальванического элемента) с ЭДС ^ и лампы сопротивлением R (рис. 35, а). Найдём направление тока и силу тока в этой цепи. В рассматриваемой цепи (рис. 35, б) лампа вместе с подводящими проводами (аа' и ЬЬ') образует внешнюю цепь — участок цепи (аа'Ь'Ь) вне источника тока. При подключении внешней цепи к источнику тока электрическое поле распространяется со скоростью света вдоль проводников, и свободные заряды в них почти одновременно приходят в упорядоченное движение. В цепи появляется ток. При этом скорость направленного движения зарядов оказывается значительно меньше скорости света. Примерно так же водители автомобилей, стоящих в пробке у светофора, ви- Постоянный электрический ток 35 R Ь' а + г. ^ : ь А 35 Простейшая замкнутая цепь: а) лампа, подключённая к гальваническому элементу, б) эквивалентная схема дят разрешающий зелёный сигнал практически одновременно. Однако возможная скорость движения автомобилей в потоке невелика. Так как направление тока определяется направлением движения положительных зарядов, то положительные заряды во внешней цепи отталкиваются от положительного полюса источника и притягиваются к отрицательному. Следовательно, направление тока во внешней цепи — от плюса к минусу источника тока. Согласно формуле (6) разность потенциалов между полюсами источника зависит от его ЭДС и работы силы сопротивления по перемещению единичного положительного заряда внутри источника между его полюсами: (27) Напомним, что сила сопротивления характеризует противодействие движению заряженной частицы (иона) со стороны молекул и ионов, с которыми она сталкивается в процессе движения в электролите. Пренебрегая сопротивлением подводящих проводов, можно сказать, что поэтому Фа' = Фа’ %' = Фб’ Uab = U,.,. = IR, (28) 36 Электродинамика где I — сила тока, протекающего через лампу, или, как говорят, во внешней цепи. Полное сопротивление проводников, подключённых к источнику тока, называют сопротивлением внешней цепи или внешним сопротивлением {R — внешнее сопротивление). По определению (см. Ф-10, § 83) работа силы электрического поля по перемещению единичного положительного заряда внутри источника равна разности потенциалов на внутреннем участке цепи: - /г, Я (29) где г — внутреннее сопротивление источника тока. Подставляя выражение (29) в уравнение (27), получаем напряжение на зажимах источника тока: и. аЬ = ^-1г. (30) или, с учётом (28), IR = f,-Ir. Закон Ома для замкнутой цепи ___________ Сила тока в замкнутой цепи прямо пропорциональна ЭДС источника и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи: /=-^ r + R' (31) Внешнее и внутреннее сопротивления цепи соединены последовательно, поэтому полное сопротивление цепи равно их сумме. Обычно внешнее сопротивление значительно превосходит внутреннее (jR ^ г), так что (32) При коротком замыкании, когда /2-^0, сила тока увеличивается до (33) I к. 3 ^ ’ возрастая по сравнению с обычным значением (32) в R/r раз. Например, если лампочка фары автомобиля имеет сопротивление R = = 10 Ом, а внутреннее сопротивление аккумулятора г = 0,01 Ом, то сила тока может возрасти в 1000 раз. Такое возрастание силы тока может привести к выделению большого количества теплоты и стать причиной пожара. Чтобы избежать этого, в цепь последовательно включают предо- Постоянный электрический ток 37 хранители, которые плавятся при увеличении силы тока сверх нормы и размыкают электрическую цепь. * Замкнутая цепь с несколькими источниками тока. Рассмотрим замкнутую цепь, содержащую три последовательно соединённых источника тока с ЭДС ^1, ^2’ ^3’ имеющих внутренние сопротивления г^, Г2, Гд и внешнее сопротивление R (рис. 36, а). Найдём направление и силу тока, протекающего в этой цепи. Если ток в цепи создаётся только одним источником тока с ЭДС то он протекает по часовой стрелке (от плюса к минусу источника (рис. 36, б)) и равен, согласно закону Ома для замкнутой цепи. / (34) = + Г2 + г^ + R — полное сопротивление цепи. В случае, когда работает только источник с ЭДС ток в цепи протекает против часовой стрелки (от плюса к минусу источника) и равен / 2 R • (35) Знак «минус» в формуле (35) учитывает противоположное направление тока по сравнению с предыдущим случаем. Говорят, что второй источник тока включён встречно первому. 36^ Замкнутая цепь с несколькими источниками тока: а) ток I создаётся источниками ^з» б) токи / j, /g, /3 созда- ются независимо источниками ^3 соответственно а) I + та I ^ г -tiz^ ^-т ^ т_ •^2+ I гз R J R R гз ]— R Гз J 38 Электродинамика Наконец, если ток в цепи вызван только третьим источником с ЭДС ^3, то он будет направлен по часовой стрелке (так же как и ток / j) и равен •^п Третий источник тока включён согласованно с первым. Естественно, что при одновременном включении всех источников создаваемые ими токи суммируются. Результирующая сила тока в цепи - ^2 + ^3 7 = /l -Ь/2 + -^з“ (37) Направление тока в цепи с несколькими источниками зависит от знака алгебраической суммы ЭДС. Если > О, ток протекает по часовой стрелке. Если ^ ЭДС второго источника боль- ше, чем первого и третьего, и ток будет протекать против часовой стрелки. Закон Ома для цепи с несколькими источниками тока Сила тока в замкнутой цепи с последовательно соединёнными источниками тока прямо пропорциональна алгебраической сумме их ЭДС и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи: -f- (38) Ток в цепи может отсутствовать, если алгебраическая сумма ЭДС равна нулю. Это может быть использовано для измерения неизвестной ЭДС. ВОПРОСЫ 1. От чего зависит разность потенциалов между полюсами источника тока? 2. Сформулируйте и запишите закон Ома для замкнутой цепи. 3. В чём различие встречного и согласованного включения последовательно соединённых источников тока? 4. Сформулируйте закон Ома для замкнутой цепи с несколькими последовательно соединёнными источниками тока. Приведите формулу этого закона. 5. Как определить направление тока в замкнутой цепи с несколькими последовательно соединёнными источниками тока? ЗАДАЧИ 1. В замкнутой цепи, содержащей источник тока с ЭДС ^ = 12 В, сила тока / = 2 А. Напряжение на зажимах источника U = 10 В. Найдите внутреннее сопротивление источника и сопротивление нагрузки. [г = 1 Ом; Д = 5 Ом] Постоянный электрический ток 39 2. При замыкании источника тока на резистор сопротивлением = 10 Ом сила тока в цепи /^ = 1 А, а при замыкании на резистор сопротивлением ~ ^ 0^^ сила тока /2 = 2 А. Найдите ЭДС источника и его внутреннее сопротивление. [12 В; 2 Ом] 3. В цепи, содержащей источник с ЭДС ^ = 6 В, замкнутый на внешнее сопротивление i?= 9 Ом, сила тока I = 0,6 А. Найдите внутреннее сопротивление источника тока и силу тока короткого замыкания. [1 Ом; 6 А] 4. Два последовательно соединённых источника тока с = 4,5 В и ^2 ~ ® ^ внутрен- ним сопротивлением r■^ = 0,3 Ом и Г2 = 0,2 Ом включены согласованно. При каком сопротивлении нагрузки разность потенциалов на клеммах одного из источников будет равна нулю? [0,2 0м] 5. Источник тока с ЭДС ^ и внутренним сопротивлением г замкнут на реостат с переменным сопротивлением R. Постройте графики зависимости I{R) и U{R). § 12. Расчёт силы тока и напряжения в электрических цепях 1. к аккумулятору с ЭДС ^ = 6 В и внутренним сопротивлением г = 0,2 Ом присоединены параллельно друг другу лампочка и резистор с сопротивлениями = 4 Ом и i?2 = 1 Ом соответственно (рис. 37, а). Найдём: а) напряжение на зажимах аккумулятора; б) силу тока, протекающего через лампочку. • Ток во внешней цепи протекает от плюса к минусу источника и растекается по элементам цепи как вода по трубам. Покажем на рисунке 37, а ток I, протекающий через аккумулятор, и токи, протекающие через лампу и резистор 12- Si) Напряжение на зажимах источника можно найти по формуле (30): Uab-e-Ir. Силу тока / определим по закону Ома для замкнутой цепи (31); 1 = + Л’ а) б) а < + h h + ^-1 г 5 1 L ^ ^-т г Г R = Д1Д2 ■437 Замена одной электрической схемы другой: а) данная схема; б) эквивалентная схема 40 Электродинамика где R = R-, R R-I + Re сопротивление лампочки и резистора, соединенных параллельно, между точками end (рис. 37, б). Окончательно г + R^R^ (7?1 + R2) - R^R^ rRi + + R1R2 = 4,8 В. б) Силу тока можно найти по закону Ома (11) для однородного проводника (участка цепи): г д, • Пренебрегая сопротивлением подводящих проводов между точками ас и bd, можно считать, что поэтому и i?2 + ri?2 + = 1,2 A. 2. Два последовательно соединённых источника тока с ЭДС = 12 В и ^2 = 5 В, имеющие внутреннее сопротивление = 0,2 Ом, Г2 = 0,3 Ом, включены встречно. Внешнюю цепь источника образуют параллельно соединённые конденсатор и резистор (рис. 38). Электроёмкость конденсатора С = 500 пФ, сопротивление резистора R = 2,5 Ом. Найдём: а) силу тока, проходящего через резистор; б) заряд на конденсаторе. • Непроводящее пространство между обкладками конденсатора является разрывом цепи, поэтому постоянный ток через конденсатор не протекает. Подобным образом пробка в трубе не пропускает по ней воду. 1) Через резистор ток протекает от точки а к точке Ь, так как ЭДС первого источника > ^2* Согласно закону Ома, сила тока, проходящего через резистор, равна А 38 Электрическая схема с конденсатором 1 = gl-^2 Г, -Н Го -ь jR = 2 А. 2) Заряд на конденсаторе связан с разностью потенциалов (см. Ф-10, формула (217)): Постоянный электрический ток 41 я = си,,. Uab = IR- Поэтому заряд на конденсаторе находится по формуле: - ^2) Гл + Го + R = 2,5 мкКл. ЗАДАЧ И 1. Найдите разность потенциалов на резисторах, сопротивление которых 2 Ом и 4 Ом, в схеме, изображённой на рисунке 39. [2 В, 8 В] 2. В вашем распоряжении три резистора: 3 Ом, 5 Ом и 6 Ом. Какие возможные сопротивления можно получить, комбинируя или используя отдельно эти резисторы? Нарисуйте соответствующие схемы соединений. [0,7 Ом; 1,9 Ом; 2,0 Ом; 2,4 Ом; 2,7 Ом; 3 Ом; 3,2 Ом; 3,4 Ом; 5 Ом; 5,7 Ом; 6 Ом; 7 Ом; 7,9 Ом; 8 Ом; 9 Ом; 11 Ом; 14 Ом] 3. Три резистора 40 Ом, 60 Ом и 120 Ом соединены параллельно в группу, которая включена последовательно резисторам сопротивлениями 15 0м и 25 0м. ЭДС источника 240 В. Найдите: 1)силу тока, протекающего через сопротивление 25 0м; 2) разность потенциалов на параллельной группе; 3) напряжение на сопротивлении 15 Ом; 4) силу тока через сопротивление 60 Ом; 5) силу тока через сопротивление 40 Ом. [1) 4 А; 2) 80 В; 3) 60 В; 4) 1,34 А; 5) 2 А] 4. Найдите заряд на конденсаторе, включённом в электрическую схему, изображённую на рисунке 40. Все величины, указанные на схеме известны. Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь. [q = 3CJ7/4] 5. Рассчитайте разность потенциалов в электрической схеме, показанной на рисунке 41, Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь. [0,0517] 27 В и 39 40 41 42 Электродинамика § 13. Измерение силы тока и напряжения Амперметр. Электрические приборы для измерения силы тока и напряжения бывают цифровые и аналоговые. В качестве цифровых проборов используют электронные устройства, усиливающие электрический сигнал, количественно оценивающие его (оцифровывающие) и выводящие информацию на дисплей. В наиболее часто встречающихся в школе аналоговых приборах используется поворот катушки в магнитном поле при протекании по ней электрического тока. Количественное измерение силы тока оказывается возможным, так как угол поворота рамки пропорционален силе тока, протекающего через неё (см. § 21). А 42 Включение в цепь амперметра а ■'max /ТЛ ▲ 43 Подключение шунта к амперметру Амперметр — прибор для измерения силы электрического тока. Амперметр включается в цепь последовательно. Включение амперметра увеличивает сопротивление цепи (рис. 42), которое становится равным: jRjj = г -ь i? -ь Следовательно амперметр покажет силу тока, меньшую, чем та, которая была до его включения. Для того чтобы включение амперметра не влияло на работу цепи, сопротивление амперметра должно быть малым по сравнению с сопротивлением цепи: Дд (г + Л). Предельный угол поворота рамки в конструкции прибора ограничивает максимальную силу тока /, измеряемую с помощью данного амперметра. Для измерения большей силы тока параллельно амперметру присоединяют проводник, через который проходит часть измеряемого тока (рис. 43), или шунт (от англ, shunt — запасной путь). Шунт — проводник, присоединяемый параллельно амперметру для увеличения предела его измерений. Постоянный электрический ток 43 Рассчитаем сопротивление шунта, необходимое для увеличения предела измерений амперметра в п раз. Это означает, что сила тока, измеряемого в цепи, может превышать в п раз максимальную силу тока протекающего через амперметр. В этом случае через шунт пройдёт ток (/г - 1)1 Напряжение на амперметре равно напряжению на шунте, так как они соединены параллельно: ^тах^А ( ^ ^ )'^тах'^ш * Следовательно, R. п — 1 (39) Например, амперметром, рассчитанным на максимальный ток 1 мА, можно измерять силу тока 100 мА (п = 100), если сопротивление шунта в 99 раз меньше сопротивления амперметра. При этом цена каждого деления амперметра увеличивается в 100 раз. Вольтметр. Измерение разности потенциалов оказывается возможным, так как угол поворота катушки в магнитном поле пропорционален приложенному к ней напряжению. Вольтметр — прибор для измерения электрического напряжения. Принцип действия вольтметра такой же, как и амперметра. При силе тока I через вольтметр он показывает напряжение U = IRy Вольтметр включается параллельно тому участку цепи, напряжение на котором измеряется (рис. 44). Включение вольтметра уменьшает сопротивление участка цепи, которое становится равным Р -Ь R R 1 + R/Ry Следовательно, вольтметр покажет напряжение U^f,, меньше того, что было до его включения. Для того чтобы включение вольтметра не искажало напряжение в цепи, сопротивление вольтметра должно значительно превосходить сопротивление цепи: Ry ^ i?. В этом случае ^аЬ ~ А 44 Включение в цепь вольтметра 44 Электродинамика nU„ А 45 Подключение дополни тельного сопротивления к вольтметру Обычно сопротивление вольтметра Щ > 1 МОм. Чтобы увеличить предел измерения вольтметра, последовательно ему подключают добавочное сопротивление (рис. 45). Добавочное сопротивление — проводник, присоединяемый последовательно с вольтметром для увеличения предела его измерений. Рассчитываем, какое дополнительное сопротивление необходимо для увеличения предела измерений вольтметра в п раз. Это означает, что напряжение измеряемое в цепи, может составить В этом случае напряжение на дополнительном сопротивлении окажется равным (п - 1)17^^^. Через дополнительное сопротивление и вольтметр, соединённые последовательно, протекает одинаковый ток J _ ^тах Лу Следовательно, = jRv(^ - 1). (40) Пример включения амперметра и вольтметра в электрическую цепь показан на рисунке 46. Наличие нескольких шунтов и добавочных сопротивлений внутри измерительных приборов позволяет варьировать их пределы измерений. А 46 Амперметр и вольтметр в электрической цепи к л \ ^5 loV \ ® @ 9 Ф ® Постоянный электрический ток 45 ВОПРОСЫ 1. в чём отличие цифровых и аналоговых электрических приборов? 2. Для измерения какой физической величины используется амперметр? Почему сопротивление амперметра должно быть малым? 3. Объясните необходимость использования шунта к амперметру. Чему равно сопротивление шунта? 4. Для измерения какой физической величины используется вольтметр? Почему сопротивление вольтметра должно быть большим? 5. Объясните необходимость использования добавочного сопротивления к вольтметру. Как выбирается величина добавочного сопротивления? ЗАДАЧИ 1. Миллиамперметр может измерить максимальный ток ЮмА, его сопротивле- ние 9,9 Ом. Какой шунт следует подключить к миллиамперметру для увеличения предела измерения тока до 1 А? Во сколько раз увеличится при этом цена деления прибора? [0,1 Ом; в 100 раз] 2. Для увеличения предела измерения амперметра с 2 до 50 А к нему был подключён шунт сопротивлением 0,05 Ом. Найдите сопротивление амперметра. [1,2 Ом] 3. Подключение к амперметру шунта сопротивлением 10 Ом позволило увеличить пре- дел измерения от 2 до 10 А. Какое добавочное сопротивление необходимо присоединить к амперметру, чтобы им можно было измерить напряжение 200 В? Найдите сопротивление амперметра. [40 Ом; 60 Ом] 4. Вольтметр может измерить максимальное напряжение 6 В; его сопротивление 2 кОм. Какое добавочное сопротивление следует подключить к вольтметру, чтобы повысить предел измеряемого напряжения до 240 В? Во сколько раз при этом уменьшится чувствительность вольтметра? [78 Ом; в 40 раз] 5. К вольтметру, внутреннее сопротивление которого 1 кОм и предел измерения 12 В, подключают добавочное сопротивление, изготовленное из стальной проволоки сечением 0,1 мм2. Длина проволоки 4500 м. Какое максимальное напряжение сможет измерить вольтметр после подключения добавочного сопротивления? [120 В] § 14. Тепловое действие электрического тока. Закон Джоуля—Ленца Работа электрического тока. Под действием электрического поля источника тока электроны в проводнике ускоряются в промежутках между столкновениями с ионами кристаллической решётки (рис. 47, а). Приобретаемая электронами под действием электрического поля энергия направленного движения тратится на нагревание кристаллической решётки проводника. 46 Электродинамика РО = 47 и Механизм нагревания кристаллической решётки при протекании электрического тока: а) движение электронов в проводнике', б) взаимодействие электрона и иона; в) закон сохранения импульса При приближении к положительному иону электрон притягивается к нему, изменяя направление движения (рис. 47, б). Импульс электрона при этом изменяется с на р. Соответственно ион притягивается к электрону, приобретая импульс p^ (рис. 47, в). Из закона сохранения импульса Pi=Po-P' Однако ион, получив дополнительный импульс от электрона, из-за взаимодействия с ближайшими ионами в кристаллической решётке совершает колебательное дви^кение около положения равновесия. После-дуюгцие столкновения иона с другими электронами увеличивают амплитуду колебания ионов, среднюю энергию решётки и соответственно температуру проводника. Количество теплоты, получаемое кристаллической решёткой, т. е. выделяющееся в проводнике, равно работе электрического тока: Q = A. (41) Работу по перемещению единичного положительного заряда характеризует разность потенциалов. Для заряда q A = qU = qlR. При постоянной силе тока / заряд, протекающий через поперечное сечение проводника за промежуток времени t, равен: q = It. Постоянный электрический ток 47 Закон (41) в 1831 —1842 гг. был получен экспериментально английским учёным Дж. Джоулем и российским учёным Э. X. Ленцем. Закон Джоуля—Ленца Количество теплоты, выделяемое в проводнике с током, равно произведению квадрата силы тока, сопротивления проводника и времени прохождения по нему тока: Q = I^Rt. (42) Выделение энергии в проводниках зависит от их соединения. Так как сила тока в последовательно соединённых лампах одинакова, то количество теплоты, выделяемое в единицу времени, больше в лампе с большим сопротивлением (рис. 48, а). Для сравнения количества теплоты, выделяемого в параллельно соединённых проводниках, закон Джоуля—Ленца удобно представить в виде: Q = ^ R ’ (43) так как напряжение U на проводниках одинаково. Из формулы (43) следует, что при параллельном соединении ламп (рис. 48, б) количество теплоты, выделяемое в каждой лампе в единицу времени, обратно пропорционально её сопротивлению. Электрический чайник, кофеварка, тостер, калорифер, сварочный аппарат, лампа накаливания, электрическая пробка (предохранитель) — вот лишь небольшой перечень приборов, в которых используется тепловое действие тока. 48 ► Зависимость выделения тепла в проводниках от типа соединения: а) последовательное соединение', б) параллельное соединение и а) б) 48 Электродинамика Мощность электрического тока. Важной характеристикой любого электроприбора является энергия, потребляемая им в единицу времени, или мощность тока. Мощность электрического тока — работа, совершаемая в единицу времени электрическим полем при упорядоченном движении заряженных частиц в проводнике. По определению (см. Ф-10, § 34) средняя мощность тока равна: Р = А = 9. t t ' С учётом формул (42, 43) получаем P = PR=^ IU. R (44) При последовательном соединении проводников (/ = const) мощность, выделяемая в проводниках, пропорциональна их сопротивлению. При параллельном соединении проводников {U = const) мощность, выделяемая в проводниках, обратно пропорциональна их сопротивлению. ВОПРОСЫ 1. На что расходуется энергия направленного движения заряженных частиц в проводнике? 2. Чему равно количество теплоты, получаемое кристаллической решёткой проводника от направленно движущихся заряженных частиц? 3. Сформулируйте закон Джоуля—Ленца. Запишите его математическое выражение. 4. Дайте определение мощности электрического тока. Приведите формулу для расчёта этой мощности. 5. Как зависит мощность, выделяемая в проводниках с током, от типа их соединения? ЗАДАЧ И 1. Найдите работу, совершённую силами электрического поля при прохождении зарядом 3 мкКл разности потенциалов 220 В. [0,66 мДж] 2. В проводнике сопротивлением 20 Ом сила тока 15 А. Найдите количество теплоты, выделяемое в проводнике за минуту. [270 кДж] 3. Найдите сопротивление Д двух одинаковых резисторов, если известно, что при подключении их к источнику тока с внутренним сопротивлением г мощность, выделяемая при их последовательном и параллельном соединении, одинакова. [Д = г] Постоянный электрический ток 49 4. Электрический чайник имеет две обмотки. При включении одной из них вода в чайнике закипает за 10 мин, при включении другой — за 15 мин. За какой промежуток времени закипит вода, если включить обмотки последовательно; параллельно? [25 мин; 6 мин] 5. Электрические лампы, мощность которых Р, = 60 Вт и Рз = 40 Вт (при номинальном напряжении 110 В), включены последовательно в сеть с напряжением 220 В. Найдите мощность каждой лампы при таком включении. [Р[ = 38,4 Вт; = 57,6 Вт] § 15. Передача мощности электрического тока от источника к потребителю Максимальная мощность, передаваемая потребителю. При передаче электроэнергии от источника тока к потребителю часть энергии идёт на нагревание подводящих проводов. Выясним, какая мощность передаётся потребителю, и найдём мощность, теряемую в проводах. Схему электропередачи можно представить в виде простейшей замкнутой цепи, включающей источник тока с ЭДС ^ и внутренним сопротивлением Гр, сопротивления нагрузки R и сопротивления подводящих проводов г (рис. 49, а). Такова, например, часть схемы электропитания автомобиля (рис. 49, б). Обычно внутренним сопротивлением источника тока можно пренебречь, так как г; rQ<^ R. Сила тока R + г Тогда e = IR + Ir, ЭДС равна сумме напряжений на сопротивлениях замкнутой цепи. Умножим последнее равенство на силу тока: I^ = PR + I^r. (45) Каждое слагаемое в формуле (45) имеет определённый физический смысл. 1^ = Р — мощность сторонних сил, разделяющих разноимённые заряды в источнике тока. /2д = — мощность, передаваемая потребителю (нагрузке сопротив- лением jR), или полезная мощность. I^r = — мощность, теряемая в проводниках (идущая на их нагрева- ние), или потери мощности. 50 Электродинамика а< + ' — Го 6' 49 Передача электроэнергии от источника к потребителю'. а) принципиальная схема электропередачи', б) схема электропитания автомобиля Мощность источника тока частично передаётся в нагрузку и частично теряется в проводах. При передаче электрической энергии важно доставить потребителю максимальную мощность и снизить потери мощности в подводящих проводах. Выясним сначала, при каком сопротивлении нагрузки потребителю передаётся максимальная полезная мощность от источника тока. Зависимость полезной мощности от сопротивления нагрузки имеет вид: РЛК) = PR = . {R + г)2 функция PJ.R) имеет максимум, если её производная по R равна нулю, т. е. W = О. Вычислим эту производную как производную от отношения двух функций 0^R и (i? + г)^: = {pRYiR + г)^ - ^^R\{R + Г)П ^ p{R+r)^-^^R'2{R+r) ^ {R + г)4 {R + г)4 Постоянный электрический ток 51 Приравнивая к нулю числитель дроби, получаем: 6’2(Д + г)(Я + г-2Д) = 0. Так как ^ о и (i? + г) ;900 а) б) Магнетизм 63 Тем самым он показал, что в пространстве существует магнитное взаимодействие (поле). Линии, образуемые магнитными стрелками или железными опилками в магнитном поле, стали называть силовыми линиями магнитного поля (рис. 56, б). На протяжении более четырёх тысячелетий единственным практически используемым источником магнетизма был магнитный железняк. Вплоть до начала XIX в. электричество и магнетизм считались физическими взаимодействиями, не связанными друг с другом. ВОПРОСЫ 1. Сформулируйте основные результаты опытов Перегрина. 2. Приведите пример опыта, подтверждающего взаимодействие магнитов. 3. Какие опытные факты подтверждают существование магнитного поля Земли? 4. Почему железные опилки упорядоченно располагаются вблизи постоянного магнита? 5. Какие линии называют силовыми линиями магнитного поля? § 18. Магнитное поле электрического тока Опыт Эрстеда. Впервые взаимосвязь электричества и магнетизма зафиксирована в 1735 г. в одном из научных лондонских журналов. В статье отмечалось, что в результате удара молнии в комнате были разбросаны в разные стороны и сильно намагничены ножи и вилки. Это сообщение свидетельствовало о магнитном воздействии электрического разряда или тока на металлические предметы. Однако разгадка взаимосвязи электричества и магнетизма пришла лишь после того, как исследователи научились получать электрический ток. В 1820 г. было сделано одно из важнейших открытий в истории физики, когда Ханс Эрстеду профессор Копенгагенского университета, демонстрировал на лекции студентам нагревание проводника электрическим током. Эрстед обратил внимание на то, что стрелка компаса, случайно оказавшегося на столе под проводником, располагается в отсутствие тока параллельно проводнику (рис. 57, а), а при включении тока отклоняется почти перпендикулярно проводнику (рис. 57, б). Изменение направления тока сопровождалось аналогичным отклонением, но только в противоположную сторону (рис. 57, в). Таким образом, было показано, что электрический ток воздействует на магнитную стрелку. Опыт Эрстеда явился прямым доказательством взаимосвязи электричества и магнетизма: электрический ток оказывает магнитное действие. Покоящиеся заряды на магнитную стрелку не действуют. Следовательно, магнитное поле порождается движущимися зарядами. 64 Электродинамика а) б) «) А 57 Опыт Эрстеда В плоскости, перпендикулярной проводнику с током, железные опилки и магнитные стрелки располагаются по касательным к концентрическим окружностям (рис. 58, а). Пространственная ориентация опилок и стрелок изменяется на противоположную (на 180°) при изменении направления тока в проводнике (рис. 58, б). Следовательно, в пространстве, окружающем проводник с электрическим током, возникает поле, называемое магнитным. Вектор магнитной индукции. В магнитном поле тока магнитная стрелка устанавливается в определенном направлении. Это свидетельствует о том, что величина, характеризующая магнитное поле, должна быть векторной и связанной с ориентацией магнитной стрелки. а) S х> I 1 ^ ^ ^ б) А 58 Магнитное действие проводника с током в перпендикулярной плоскости: а) на железные опилки', б) на магнитные стрелки Магнетизм 65 Индукция магнитного поля В — векторная физическая величина, характеризующая магнитное поле. Модуль вектора В будет определён нами в § 20. Направление вектора магнитной индукции совпадает с направле наем северного полюса свободной магнитной стрелки в данной точке. Анализ многочисленных экспериментов показал, что направление вектора магнитной индукции можно найти, не используя магнитную стрелку, Для определения направления вектора магнитной индукции поля, созданного вокруг проводника с током, следует использовать любое из приводимых ниже правил. • Правило буравчика (правого винта, штопора) для прямого тока Если ввинчивать буравчик по направлению тока в проводнике, то на правление скорости движения конца его рукоятки в данной точке совпа дает с направлением вектора магнитной индукции В в этой точке. а) На рисунке 59, а с помощью правила буравчика определяется направление вектора индукции магнитного поля, созданного прямым током в точке А. • Правило правой руки для прямого тока Если охватить проводник правой рукой, направив отогнутый больиюй палец по направлению тока, то кончики остальных пальцев в данной точке покажут направление вектора индукции в этой точке. На рисунке 59, б с помощью правила правой руки определяется направление вектора индукции магнитного поля, созданного прямым током в точке А (сравните с рис. 59, а). Воспользовавшись правилом буравчика, определим направление вектора магнитной индукции вблизи кольцевого тока. Сначала найдём направление вектора магнитной индукции в центре кольцевого тока, находящегося в плоскости чертежа и протекающе- ^ го по часовой стрелке (рис. 60, а). Правило буравчика, как и правило правой руки, позволяет находить направление вектора индукции магнитного поля, созданного только прямым током. Однако мысленно разделив криволинейный проводник на прямолинейные уча- Физика. 11 кл. I |роф|1лы1ый уровень А 59 Определение направления вектора индукции: а) по правилу буравчика’, б) по правилу правой руки 66 Электродинамика f3 l] 0(8) ^2 \ Bo / u i 6) 'B, 60 Магнитное поле, кольцевого тока: а) в точке О; б) в точке С; в) на оси кольцевого тока; г) в точке D стки, можно найти направление вектора магнитной индукции от каждого участка, а затем сложить эти векторы. Для магнитного поля, как и для электрического, выполняется принцип суперпозиции. Принцип суперпозиции__________________________ Результирующий вектор индукции магнитного поля в данной точке складывается из векторов индукции магнитного поля, созданного различными токами в этой точке: В = Bj -I- Bg -Ь ... + в^. По правилу буравчика все прямолинейные участки (i, 2, 3, 4) кольцевого тока создают в его центре магнитное поле, индукция которого направлена от нас (перпендикулярно плоскости кольца). Этому направлению соответствует обозначение <8 — вид стрелы со стороны её оперения. Так будет направлен вектор результирующей магнитной индукции в центре кольца. Найдём теперь направление вектора магнитной индукции в произвольной точке С на оси кольцевого тока. Будем считать, что кольцевой ток находится в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа (рис. 60, б). Воспользуемся принципом суперпозиции. Элементарные прямые токи в диаметрально противоположных точках i и 2 кольца направлены соот- Магнетизм 67 ветственно к нам © и от нас ©. По правилу буравчика эти токи создают индукцию магнитного поля Bj и Bg. Суммарный вектор индукции, созданный этой парой токов, направлен по оси кольца. Разбив кольцевой ток на такие пары, можно утверждать, что результирующая индукция в точке С направлена по оси кольца. Направление вектора магнитной индукции на оси кольцевого тока (витка с током) можно найти по правилу буравчика (рис. 60, в). Правило буравчика для витка с током (контурного тока) Если вращать рукоятку буравчика по направлению тока в витке, то поступательное перемещение буравчика совпадает с направлением вектора индукции магнитного поля, созданного током в витке на своей оси. Определим направление вектора индукции магнитного поля, созданного кольцевым током в точке D (рис. 60, г). Вектор магнитной индукции от элемента тока 1, протекающего к нам, будет направлен вверх, а от элемента тока 2, протекающего от нас, вниз. Учитывая, что индукция магнитного поля убывает с увеличением расстояния от проводника, элемент 2 создаёт большую индукцию, чем элемент тока 1. Поэтому результирующий вектор магнитной индукции снаружи от кольцевого тока направлен противоположно вектору магнитной индукции внутри кольцевого тока. ВОПРОСЫ 1. В чём состоит и что доказывает опыт Эрстеда? 2. Какая векторная физическая величина характеризует магнитное поле? 3. Сформулируйте правило буравчика и правило правой руки, определяющее направление вектора индукции магнитного поля, созданного прямым током. 4. Сформулируйте принцип суперпозиции для магнитного и электрического полей. 5. Как определить направление вектора магнитной индукции на оси витка с током? Как направлен вектор магнитной индукции снаружи от кольцевого тока? §19. Магнитное поле Линии магнитной индукции. Подобно линиям напряжённости электрического поля, вводятся линии магнитной индукции, дающие наглядную картину магнитного поля. Линии магнитной индукции — линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора магнитной индукции в этой точке. 68 Электродинамика а) \^С Линии индукции магнитного поля для прямого проводника с током являются концентрическими окружностями с центром на оси проводника, лежащими в плоскостях, перпендикулярных проводнику (сравните рис. 61, а и 58, 59). Для поля, созданного витком с током, линии магнитной индукции изображены на рисунке 61, б. На этом же рисунке показаны векторы индукции в точках О, С и D. Уже на примере этих двух простейших конфигураций тока видна общая особенность линий индукции магнитного поля. Линии магнитной индукции всегда замкнуты: они не имеют начала и конца, т. е. магнитное поле является вихревым. Это означает, что магнитных зарядов (подобных электрическим) не существует. Зная, как выглядят линии индукции магнитных полей для основных конфигураций тока, можно составить представление о магнитном поле более сложных конфигураций тока с помощью принципа суперпозиции для вектора магнитной индукции. Для двух одинаковых витков, находящихся в параллельных плоскостях (один под другим), по которым ток протекает в одном направлении, линии индукции магнитного поля приведены на рисунке 62. Для усиления магнитного поля используют не один виток, а катушку, содержащую несколько витков с током, соединённых последовательно и расположенных параллельно друг другу. Линии магнитной индукции поля, создаваемого катушкой с током (рис. 63, а), имеют практически ту же конфигурацию, что и линии индукции магнитного поля полосового постоянного магнита (рис. 63, б). Северный полюс магнита — полюс, из которого выходят линии магнитной индукции. Южный полюс магнита — полюс, в который входят линии магнитной индукции. Земной магнетизм. Большой вклад в изучение природы магнетизма внёс французский учёный Андре Ампер. Ампер выдвинул гипотезу. А 61 Линии магнитной индукции для основ ных конфигураций тока: а) прямой ток: б) виток с током Магнетизм 69 Vi.'. I + 1 ’fit ^ I V Л i. i 62 63 Линии индукции маг- Линии индукции магнитного поля". нитного поля для двух а) катушки с током; витков б) постоянного полосового магнита Ось вращения Земли S, \ N У * ' ' 1Ь5Ч ЧТО магнитные свойства тела определяются замкнутыми электрическими токами внутри него. Подобие линий индукции постоянного полосового магнита и катушки с током (см. рис. 63) наглядно подтверждает эту гипотезу. Магнетизм Земли, согласно гипотезе Ампера, вызывается токами, обтекающими Землю с запада на восток. В то же время линии индукции магнитного поля Земли подобны линиям индукции полосового магнита (рис. 64). Правда, северный полюс этого магнита N близок к Южному полюсу Земли, а южный S — к ее Северному полюсу. Магнитные полюса Земли отстоят от ближайших геофизических полюсов примерно на 800 км, а ось магнита составляет с земной осью угол 11,5°. Северный полюс магнитной стрелки ориентируется по линии индукции магнитного поля Земли и поэтому показывает направление на южный магнитный полюс (или почти на Северный географический полюс). Реально природа земного магнетизма существенно сложнее, чем предполагал Ампер. Есть достаточно убедительные аргументы в пользу того, что за последние 170 млн лет 300 раз происходил обмен местами полюсов Земли. Последний раз такой обмен произошёл около 30 000 лет назад. ось Зс.У и А 64 Магнитное поле Земли 70 Электродинамика ВОПРОСЫ 4. 5. Дайте определение понятия линий магнитной индукции. В чём состоит характерная особенность линий магнитной индукции? Почему линии индукции магнитного поля, создаваемого катушкой с током, имеют практически такую же конфигурацию, как и линии индукции полосового постоянного магнита? Какой полюс магнита называют северным; южным? Чем, согласно гипотезе Ампера, вызван земной магнетизм? § 20. Действие магнитного поля на проводник с током Закон Ампера. Согласно гипотезе Ампера внутри молекул вещества циркулируют элементарные электрические токи. В намагниченном состоянии эти токи ориентированы согласованно, так, что их действия складываются. Действуя на магнитную стрелку, магнитное поле действует на токи, циркулирующие в ней. Поэтому для дальнейшего изучения свойств магнитного поля целесообразно изучить его действие на проводник с током. Магнитное поле действует на все участки проводника с током. Зная направление и величину силы, действующей на каждый малый отрезок проводника (элемент тока), можно найти силу, действующую на весь проводник. В 1820 г. Ампер экспериментально установил, от каких физических величин зависит сила, действующая на элемент тока, и куда она направлена. Рассмотрим действие подковообразного магнита на отрезок проводника длиной I, который свободно подвешен в горизонтальной плоскости (рис. 65). Вектор магнитной индукции в области, где находится отрезок проводника, направлен горизонтально от северного полюса магнита к южному. Опыт показывает, что если тока в проводнике нет (/ = 0), то сила Ампера на проводник не действует. Она также отсутствует, если направление тока совпадает с вектором В (рис. 65, а) или противоположно ему. Если направление тока в проводнике составляет угол а с вектором магнитной индукции В (рис. 65, б), то сила Ампера, действующая на элемент тока длиной Д/, определяется законом Ампера. Магнетизм 71 Закон Ампера Сила, с которой магнитное поле действует на помещённый в него отрезок проводника с током, равна произведению силы тока, модуля вектора магнитной индукции, длины отрезка проводника и синуса угла между направлениями тока и магнитной индукции: F ^ = /BAisin а. (57) / I/ F = Направление силы Ампера определяется правилом левой руки. Если кисть левой руки расположить так, что четыре вытянутых пальца указывают направление тока в проводнике, а составляющая вектора магнитной индукции, перпендикулярная проводнику, входит в ладонь, то отогнутый (в плоскости ладони) на 90° большой палец покажет направление силы, действующей на отрезок проводника (рис. 65, б). Таким образом, сила Ампера перпендикулярна как направлению тока, так и вектору магнитной индукции. Модуль вектора магнитной индукции. Максимальная сила действует на отрезок проводника, расположенный перпендикулярно вектору магнитной индукции, так как при а = 90°, sin а = 1 (рис. 65, в) ^Атах IBAL. (58) Из этой формулы можно найти модуль вектора магнитной индукции. Модуль вектора магнитной индукции равен отношению максимальной силы, действующей со стороны магнитного поля на отрезок проводника с током, к произведению силы тока на длину отрезка проводника: В = IM (59) N' ▲ 65 Сила Ампера, действующая на проводник с током в магнитном поле: а) а = 0; б) произвольный угол а; в) а = 90° 72 Электродинамика Модуль вектора магнитной индукции численно равен максимальной силе, действующей на отрезок проводника длиной 1 м при силе тока в нём 1 А. Единица магнитной индукции — тесла (1 Тл): 1 Тл = 1 Н/(А • м). Магнитная индукция однородного поля равна 1 Тл, если на отрезок проводника длиной 1 м при силе тока в нём 1 А действует со стороны поля максимальная сила 1 Н. В таблице 4 приводятся значения магнитной индукции полей, созданных различными источниками. Табл и L Индукция магнитного поля Источник Индукция, Тл Источник Индукция, Тл Межзвёздное пространство 10-ю Керамический магнит 2 • 10-2 Тело человека 3-10-10 Предельное магнитное поле Холодильник (50 Гц) 10-6 при длительном воздействии Солнечный свет 3 • 10-6 на человека 0,2 Тостер (50 Гц) 3 • 10-6 Солнечное пятно 0,3 Линия электропередачи, Электромагнит поле Земли 5 • 10-6 (лабораторный) 5 Телевизор (50 Гц) lO-'i Щадящее магнитное воздей- Миксер 3 • 10-4 ствие на бактерии и мышей 14 Юпитер (у полюсов) 8 • 10-4 Сверхпроводник 40 Фен (50 Гц) 10-3 Нейтронная звезда Солнце (на поверхности) 10-2 (на поверхности) 10» Полосовой магнит Атомное ядро (вблизи полюсов) 10-2 (на поверхности) 1012 ВОПРОСЫ 1. Почему магнитное поле действует на магнитную стрелку? 2. Сформулируйте закон Ампера. Запишите его математическое выражение. 3. Как ориентирована сила Ампера относительно направления тока и вектора магнитной индукции? 4. Как определяется направление силы Ампера? Сформулируйте правило левой руки. 5. Чему равен модуль вектора магнитной индукции? В каких единицах измеряется магнитная индукция? Магнетизм 73 ЗАДАЧИ 1. Прямой проводник длиной 15 см помещён в однородное магнитное поле с индукцией 0,4 Тл, направленной перпендикулярно направлению тока. Сила тока, протекающего по проводнику, равна 6 А. Найдите силу Ампера, действующую на проводник. [0,36 Н] 2. Проводник длиной / = 20 см расположен горизонтально (рис. 66). Сила тока в про- воднике / = 1 А. С какой силой и в каком направлении действует на проводник однородное магнитное поле с индукцией Б = 0,1 Тл, направленной под углом 30° к горизонту? [0,01 Н] 3. Прямой проводник, длина которого I = 10 см, масса m = 10 г, подвешен горизонталь- но на двух лёгких проводящих нитях в однородном магнитном поле (рис. 67). Линии индукции магнитного поля направлены горизонтально и перпендикулярно проводнику. Сила тока, протекающего по проводнику, I = 4,2 А, индукция магнитного поля В = 0,1 Тл. Найдите силу натяжения нитей. [0,07 Н] 4. Прямой проводник, длина которого / = 10 см, масса m = 10 г, подвешен горизонталь- но на двух лёгких проводящих нитях в однородном магнитном поле, линии индукции которого направлены вертикально. На какой угол отклоняются нити от вертикали при пропускании по проводнику тока? Индукция магнитного поля В = 0,1 Тл, силато-ка в проводнике/ = 9,8 А. [45°] 5. Найдите силу, действующую на каждый отрезок проводника с током (рис. 68), находящегося в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл, если I = 0,5 А, 1^2 ~ = 20 см; ^23 = 15 см; /34= 12 см; = 15 см. [F.,2 = F45 = 0; ¥23 = 7,5 мН; F34 = 4,2 мН] §21 . Рамка с током в однородном магнитном поле Силы, действующие на стороны рамки. Сила Ампера определяет действие магнитного поля на отрезок проводника с током. Силу, действующую на замкнутый проводник в целом, можно найти, суммируя силы, действующие на каждый мешый отрезок проводника. Выясним, как действует магнитное поле на прямоугольную проволочную рамку, по которой протекает ток I. Магнитное поле в пределах рамки будем считать однородным. I В 30' 66 67^ X' Х| I X X X вх X X X X X X X X X X в - 3 - Г45° 68 74 Электродинамика Однородное магнитное поле — поле, во всех точках которого вектор магнитной индукции имеет одно и то же значение. Линии индукции однородного магнитного поля так же, как и линии напряжённости однородного электростатического поля, — параллельные прямые. Число линий магнитной индукции, проходящих через перпендикулярную к ним единичную площадку, пропорционально модулю вектора магнитной индукции. Выбрав декартову систему координат X, Y, Z, предположим, что индукция внешнего магнитного поля, действующего на рамку, направлена по оси Z (рис. 69). Ось X проходит через середины сторон 2 и 3 рамки (длина сторон а) параллельно сторонам 3 и 4 (длины Ь). В результате поворота рамки вокруг оси X плоскость рамки составляет с плоскостью XY некоторый угол а. Собственная индукция — индукция магнитного поля, созданного током, протекающим по рамке. Магнетизм 75 Согласно правилу буравчика для контурного тока собственная индукция Bq в центре рамки (в точке О) перпендикулярна плоскости рамки и составляет с индукцией внешнего магнитного поля угол а. Найдём направления и величины сил, действуюш;их на каждую из сторон рамки. Согласно правилу левой руки сила F^, действуюш;ая на сторону 1 рамки, направлена в положительном направлении оси X. Сила Fg действует на сторону 3 в противоположном направлении. Силы Fg и направлены противоположно оси У и вдоль неё соответственно. Величина этих сил определяется с помощью закона Ампера. Как видно из рисунка 69, вектор В образует с направлением тока, протекающего по сторонам рамки, следующие углы: сторона 1 — Z 90° + а; сторона 3 — Z 90° - а; стороны 2,4 — Z 90°. С помощью закона Ампера получаем: Fj = /Basin (90° -Ь а) = IBacos а, Fg = /Basin (90° - а) == IBacos а, Fg = F4 = IBbsin 90° - IBb. Силы Fj и Fg лишь растягивают рамку, не вызывая движения рамки. Пара сил Fg и F^ стремится повернуть рамку вокруг оси X в направлении, показанном голубой стрелкой. Вращаюхций момент. Найдём момент сил, действующих на рамку. По определению момент силы равен произведению силы на её плечо. Плечо силы — длина перпендикуляра, опущенного из точки на оси вращения на направление действия силы. Плечи сил Fg и F^ равны друг другу ^ОК = ОМ = | sin а j, поэтому равны и моменты этих сил относительно точки О: M^ = F^‘OK; M.=F,-OM; Mg = М4 = /6В^ sin а. Силы Fg и F4 поворачивают рамку в одном направлении вокруг оси X, значит, их моменты складываются. Момент сил, действующих на рамку с током, помещённую в однородное магнитное поле, равен: М = /BBsina, (60) где S — площадь рамки (В = аЬ). 76 Электродинамика G2 2 Br В 1 О № б) F. 1 о В Как следует из формулы (60), вращающий момент сил, действующих на рамку, равен нулю (М = = 0) в двух случаях: когда угол между собственной и внешней индукцией а = 0 и когда а = 180°. Покажем эти два положения рамки, наблюдаемые с положительного направления оси X (рис. 70). При таком рассмотрении рамки сторона 2 вырождается в точку с током, направленным к нам. Сторона 4 также видна как точка с током, протекающим от нас. Чтобы выяснить, какое из двух положений рамки является устойчивым, а какое неустойчивым, выведем рамку из положения равновесия. Если при освобождении рамка вернётся в начальное положение, её равновесие устойчиво, а если не вернется, то неустойчиво. При небольшом повороте рамки относительно оси X по часовой стрелке на стороны рамки действует сила Ампера. В первом случае (рис. 70, а) эти силы стремятся вернуть рамку в первоначальное положение, когда а = 0. Во втором случае (рис. 70,6) силы выводят рамку из положения равновесия, переводя её в новое положение. Таким образом, положение рамки с током в магнитном поле является устойчивым, когда направление собственной индукции совпадает с направлением индукции внешнего магнитного поля. В однородном магнитном поле замкнутый контур стремится установиться так, чтобы направление его собственной магнитной индукции совпало с направлением индукции внешнего магнитного поля. Витком тока является орбита электрона в атоме. Вращению электрона вокруг ядра со скоростью соответствует ток I, протекающий в противоположную сторону (рис. 71, а). В области ядра орбитальный ток создаёт собственную индукцию Bq, перпендикулярную плоскости орбиты. В отсутствие внешнего магнитного поля ориентация плоскости орбиты электрона в атоме произвольна. При включении внешнего магнитного поля плоскость орбиты электрона в атоме выстраивается в среднем по времени перпендикулярно направлению магнитной индукции внешнего поля. При этом направления собственной и внешней индукции совпадают (рис. 71,6). Вг ▲ 70 Устойчивое и неустойчивое положения рамки с током в магнитном поле: а) а = о — устойчивое равновесие', б) а = 180° — неустойчивое равновесие Магнетизм 77 Принципиальное устройство электроизмерительного прибора и электродвигателя. Поворот рамки с током в магнитном поле используют в электроизмерительных приборах (амперметрах, вольтметрах) магнитоэлектрргческой системы. В магнитном поле постоянного магнита располагается катушка, намотанная на цилиндр из мягкого железа, способная враш;аться вокруг горизонтальной оси (рис. 72). При такой конструкции угол а между собственной и внешней индукцией равен 90°, так что врапдательный момент сил, действуюпдих на катушку, максимален. Вращательный момент пропорционален силе тока I (см. формулу (60)) и числу витков N. Катушка поворачивается до тех пор, пока момент сил Ампера, действующих на неё со стороны магнитного поля, не уравновесится моментом сил упругости пружины, возвращающих катушку в положение равновесия. Можно считать, что момент сил упругости пружины пропорционален углу поворота а катушки: Му„р = Са, где С — постоянный коэффициент пропорциональности. Равенство моментов Са = NISB позволяет найти измеряемую силу тока: 1 = NSB а. Измеряемая сила тока прямо пропорциональна углу отклонения стрелки. Вращение рамки с током в магнитном поле используется в электродвигателях постоянного тока, преобразующих электрическую энергию в механическую. Схематически устройство электродвигателя приведено на рисунке 73. Рамка с током, находящаяся в положении неустойчивого равновесия, поворачивается на 180° вокруг горизонтальной оси. В момент, когда рамка проходит положение устойчивого равновесия, коллектор изменяет направление тока в рамке на противопо- А 71 Плоскость орбиты электрона в атоме в отсутствие и при наличии внешнего магнитного поля: а) В = 0; б) В^0 Пружина Железный цилиндр А 72 Принципиальное устройство электроизмерительного прибора магнитоэлектрической системы 78 Электродинамика ложное. В результате рамка вновь оказывается в положении неустойчивого равновесия и, пройдя по инерции это положение, продолжает вращение в прежнем направлении. Коллектор — устройство для изменения направления тока, состоящее из двух полуколец, к которым прижимаются скользящие по ним контакты {щётки) для подведения тока к рамке. ВОПРОСЫ А 73 Принципиальная схема электродвигателя постоянного тока 1. 2. 3. Какое магнитное поле называют однородным? Дайте определение собственной индукции. Чему равен вращающий момент сил, действующих на рамку с током, помещенную в однородное магнитное поле? Как ориентируется виток с током в однородном магнитном поле? 4. Как используется воздействие магнитного поля на рамку с током в электроизмерительных приборах? 5. Объясните принцип работы электродвигателя постоянного тока. ЗАДАЧ И 1. Круговой виток с током, протекающим против часовой стрелки в плоскости чертежа, помещают в магнитное поле, индукция которого направлена перпендикулярно плоскости чертежа (от нас). Отметьте направление собственной индукции витка. Будет ли действовать на виток вращающий момент? В каком положении виток будет находиться в состоянии устойчивого равновесия? 2. Квадратная рамка со стороной 10 см находится в магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. Плоскость рамки параллельна вектору магнитной индукции. Сила тока в рамке равна 5 А. Чему равен вращающий момент сил, действующих на рамку? [5 мН • м] 3. В однородном магнитном поле с индукцией 0,2 Тл находится прямоугольная рам- ка со сторонами 4 и 5 см. Сила тока, протекающего в рамке, равна 5 А. Вектор магнитной индукции перпендикулярен одной из сторон рамки (длиной 5 см) и составляет с нормалью к плоскости рамки угол 60°. Найдите модули и направление сил, действующих на каждую сторону рамки, а также момент сил, вращающий рамку. [0,02 Н; 0,05 Н; 1,73 мН • м] 4. Проволочная рамка в виде равнобедренного треугольника со сторонами а = 5 см и основанием & = 6 см находится в плоскости чертежа. Основание треугольника расположено горизонтально, параллельно вектору магнитной индукции (рис. 74). Какая сила тока I начинает протекать по рамке, если при индукции В = 0,2 Тл на рамку дей- Магнетизм 79 ствует вращающий момент М = 0,24 мН • м? Относительно какой оси будет вращаться рамка? [1 А] 5. Определите модуль магнитной индукции, если максимальный вращающий момент 5 • 10~^H • м действует на проволочную катушку, площадь поперечного сечения которой 10 см2, |-,p^„ силе тока в рамке 2 А. Число витков в катушке 1000. [25 мТл] 74 § 22. Действие магнитного поля на движущиеся заряженные частицы Сила Лоренца. Как известно, магнитное поле оказывает силовое воздействие на проводник с током. Так как электрический ток — это направленное движение заряженных частиц, то магнитное поле действует на движущиеся заряженные частицы внутри проводника, например медного. Найдём силу, действующую со стороны магнитного поля на одну движущуюся заряженную частицу. На все направленно движущиеся частицы проводника, в котором сила тока I, а длина А1, в однородном магнитном поле действует сила Ампера (рис. 75, а): = lAlBsin а, где В — модуль вектора индукции магнитного поля, а — угол между направлением тока и вектором магнитной индукции. В объёме проводника площадью поперечного сечения S находится число частиц N = nSAl, где п — концентрация заряженных частиц (число зарядов в единице объёма). 75 ► Силы, действующие в магнитном поле на ток и заряд'. а) сила Ампера F^; б) сила Лоренца Fji 80 Электродинамика Сила Лоренца — сила, действующая на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля: F.= N ' Хендрик Лоренц (1853—1928) — голландский физик, основатель электронной теории строения вещества. При получении выражения для силы Лоренца учтём, что сила тока в проводнике связана с зарядом q одной частицы формулой: Тогда / = qnvS. Fji = ^oBsin а, (61) где а — угол между скоростью заряженной частицы и вектором магнитной индукции. Сила Лоренца перпендикулярна векторам v и В. Направление силы Лоренца определяют по правилу левой руки. Правило левой руки Если кисть левой руки расположить так, что четыре вытянутых пальца указывают направление скорости положительного заряда {или противоположное скорости отрицательного заряда), а составляющая вектора магнитной индукции, перпендикулярная скорости частицы, входит в ладонь, то отогнутый (в плоскости ладони) на 90° большой палец покажет направление силы, действующей на данный заряд (рис. 75, б). Плоские траектории движения заряженных частиц в однородном магнитном поле. Траектория движения заряженной частицы в однородном магнитном поле зависит от угла а между скоростью заряженной частицы и вектором магнитной индукции. Рассмотрим сначала два важных частных случая. 1. Заряженная частица влетает в магнитное поле параллельно линиям магнитной индукции: {Зц ТТ В. В этом случае а = О, sin а = О, Fjj = 0. В отсутствие силы Лоренца частица (согласно принципу инерции (Ф-10, § 19)) будет продолжать двигаться равномерно и прямолинейно с начальной скоростью вдоль линий магнитной индукции (рис. 76, а). Магнетизм 81 V ПБ б) vlB iq>0) в) V 1В {q< 0) А 76 Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле Заряженная частица, влетающая в однородное магнитное поле параллельно линиям магнитной индукции, движется равномерно вдоль этих линий. 2. Заряженная частица влетает в магнитное поле со скоростью д ^ перпендикулярно линиям магнитной индукции. В этом случае а = 90°; sin а = 1; Fд = qv_B. Сила Лоренца перпендикулярна скорости, поэтому модуль скорости частицы не изменяется, но изменяется её направление. Сообщая частице постоянное центростремительное ускорение, сила Лоренца заставляет частицу массой т, имеющую скорость и^, двигаться по окружности (рис. 76, б). Найдём радиус этой окружности. Из второго закона Ньютона та^ = Fjj, или т-^ = qv^B, следует, что R = muj^ Тв (62) Заряженная, частица, влетающая в однородное магнитное поле в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции, движется в этой плоскости по окружности. Период обращения частицы по окружности в однородном магнитном поле не зависит от её скорости'. 2nR 2кт Т = дВ * (63) 82 Электродинамика В соответствии с правилом левой руки для определения направления силы Лоренца вращение отрицательного заряда по окружности происходит в направлении, противоположном вращению положительного заряда (рис. 76, в). ВОПРОСЫ 1. 2. 3. 4. 5. Каким образом, зная силу Ампера, можно найти силу Лоренца? Дайте определение силы Лоренца. Чему равен её модуль? Как определяется направление силы Лоренца с помощью правила левой руки? Почему заряженная частица, влетающая в однородное магнитное поле в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции, движется по окружности? В каком случае частица движется в магнитном поле прямолинейно? Докажите, что период обращения по окружности заряженной частицы в поперечном магнитном поле не зависит от её скорости. ЗАДАЧИ 1. Индукция однородного магнитного поля В = 0,3 Тл направлена вдоль оси X. Найдите модуль и направление силы Лоренца, действующей на протон, движущийся в направлении оси Yсо скоростью U = 5 • 10® м/с (заряд протона <7 = 1,6 • 10"^® Кл). [2,4- 10-13Н] 2. Используя данные задачи 1, найдите радиус окружности, по которой движется протон, а также его период обращения по этой окружности (масса протона = = 1,67 • 10“^^кг). [17 см; 0,22 мкс] 3. Покоящаяся сначала а-частица (т^ = 6,68 • Ю-^^кг, q = +2е), пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ, влетает в однородное магнитное поле. Диаметр окружности, по которой начинает вращаться а-частица, равен D = 6,4 см. Найдите модуль индукции магнитного поля. [0,2 Тл] 4. Два электрона влетают в однородное магнитное поле со скоростью v = 5 • 10® м/с. Один из электронов влетает в поле в начале координат в положительном направлении оси X, двигаясь затем по окружности, пересекающей положительное направление оси Z на расстоянии D = 8 см. Второй электрон летит прямолинейно в положительном направлении оси Y. Найдите модуль и направление вектора магнитной индукции (т^ = 9,1 • 10”^’ кг, е = 1,6 • 10“^^ Кл). [0,71 мТл] 5. Электрон влетает в область однородного магнитного поля шириной d перпендикулярно его границе и вектору магнитной индукции В (рис. 77). Нарисуйте возможные траектории электрона для различных значе-rjrj ний его скорости. Рассчитайте основные параметры этих траекторий. Хд X X X X X X X X X X X X X X X d Магнетизм 83 §23. Масс-спектрограф и циклотрон Масс-спектрограф. Вращение заряженных частиц в магнитном поле широко используется в физическом эксперименте. Масс-спектрограф — прибор для измерения масс заряженных частиц. Принцип измерения масс заряженных частиц основан на том, что радиус окружности, по которой движется заряженная частица в однородном магнитном поле, пропорционален массе частицы (формула (62)). Зная радиус окружности, можно найти массу частицы: т = 2^ R. Если известны заряд частицы и магнитная индукция, должна быть задана скорость с которой частица влетает в магнитное поле. Источник заряженных частиц испускает частицы с различными скоростями (рис. 78). Диафрагмы и Д2 направляют частицы в фильтр скоростей, который выделяет частицы с определённой скоростью В фильтре скоростей заряженная частица попадает во взаимно перпендикулярные электрическое (с напряженностью Eq) и магнитное (с индукцией Bq) поля. На ион, движущийся между пластинами конденсатора, действуют в противоположных направлениях две силы: электрическая = qEg и магнитная (сила Лоренца) Fjj = qv Bq. Через диафрагму Дд пройдут только те ионы, для которых эти силы уравновешены, т. е. qEQ = qv^BQ, т. е. ионы, обладающие скоро- Источник частиц а Фильтр скоростей стью = — . Ионы, движущиеся с другими ско-И(\ Фото- • \ * ростями, через фильтр не пройдут. По местоположению следа, который оставляют ионы на фотопластинке, находят радиус R полуокружности, описываемой ионом под действием поперечного магнитного поля с индукцией В. Масса иона оп-...........^ ределяется по формуле + '+ 1 1 ^ ■¥ * 1 * * • +. 1 L Д1 Д2 •г* Да m=^4^R. А 78 Принципиальная схема масс-спектрографа 84 Электродинамика С помощью подобных масс-спектрографов была определена масса всех химических элементов, обнаружены многие изотопы. Циклотрон. Для сообщения высоких энергий заряженным частицам используют ускорители. Циклотрон — циклический ускоритель заряженных частиц, в котором заряженные частицы движутся под действием электрического и магнитного полей по раскручивающейся спирали. В циклотроне ускоряемые частицы движутся внутри пустотелых полуцилиндров (дуантов), помещённых между полюсами сильного электромагнита (рис. 79, а). К зазору между дуантами подводится переменное электрическое поле. Процесс ускорения заряженных частиц до энергий, необходимых для бомбардировки частиц-мишеней, происходит следующим образом. От источника заряженная частица попадает со скоростью Uj в дуант 1, двигаясь по полуокружности под действием силы Лоренца в течение промежутка времени Т/2 (рис. 79, б). В момент времени t = Т/2 электрическое поле ускоряет положительный заряд, влетающий в дуант 2 со скоростью V2> v^. Поэтому радиус полуокружности, описываемой частицей в дуанте 2, оказывается большим, чем в дуанте 1. В момент времени t = T изменившаяся полярность электрического поля вновь ускоряет заряженную частицу, влетающую в дуант 1 со скоростью Од > и движущуюся по полуокружности ещё большего радиуса. Далее процесс ускорения частиц продолжается. Период переменного напряжения равен периоду обращения частицы. Ускорение частиц в циклотроне производит электрическое поле в зазоре между дуантами. Закручивая частицы в циклотроне, магнитное поле позволяет сделать ускоритель более ком- ^ Мишень частиц А 79 Ускорение заряженных частиц в циклотроне: а) принципиальная схема циклотрона-, б) процесс ускорения частиц Магнетизм 85 пактным. На последнем витке плоской раскручивающейся спирали пучок быстрых заряженных частиц выводится наружу, бомбардируя частицы мишени. ВОПРОСЫ 1. Зачем требуется фильтр скоростей в масс-спектрографе? Как производится фильтрация частиц? 2. В чём состоит принцип измерения масс в масс-спектрографе? 3. Для каких целей предназначен циклотрон? Опишите его принципиальное устройство. 4. Каким образом и где в циклотроне происходит ускорение заряженных частиц? 5. Для чего в циклотроне используется магнитное поле? Г-/ V. 80 § 24. Пространственные траектории заряженных частиц в магнитном поле Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле. Наиболее общий вариант, когда заряженная частица влетает в однородное магнитное поле под произвольным углом к линиям индукции, является комбинацией рассмотренных выше частных случаев. Действительно, скорость частицы можно разложить на две составляющие — параллельную линиям индукции D|| и перпендикулярную им (рис. 80). Параллельная компонента скорости вызывает снос частицы в направлении линий магнитной индукции, а перпендикулярная определяет вращение частицы вокруг этих линий в перпендикулярной им плоскости. Результирующая траектория движения заряженной частицы — винтовая линия. Особенности движения заряженных частиц в неоднородном магнитном поле. В неоднородном магнитном поле индукция магнитного поля изменяется в пространстве как по величине, так и по направлению. В качестве примера неоднородного магнитного поля рассмотрим магнитное поле, созданное двумя витками с токами, протекающими в одном направлении (рис. 81). Сгущение линий индукции в какой-либо пространственной области (как и для линий напряжённости электрического поля) означает большее Траектория движения заряженной частицы в однородном магнитном поле 86 Электродинамика ◄ 81 Движение заряженных частиц в магнитной ловушке значение индукции магнитного поля в этой области. Индукция магнитного поля вблизи витков с током (см. рис. 81) больше, чем в пространстве между ними. Изменение радиусов винтовой линии объясняется различием индукции в разных точках пространства. Согласно формуле (62) радиус винтовой линии обратно пропорционален индукции магнитного поля. Поэтому между витками, где индукция меньше, больше радиус винтовой линии. Вблизи витков радиус уменьшается из-за увеличения индукции в этой области. Заряженная частица движется вправо по винтовой линии с из-меняюЕцимся радиусом (см. рис. 81). После того как частица пройдёт среднюю точку, сила, действуюпдая на частицу, имеет компоненту ^ц, тормозящую её движение вправо. В определённый момент эта сила останавливает движение частицы в этом направлении и начинает отталкивать её влево к витку 1. При приближении заряженной частицы к витку 1 она также тормозится и начинает циркулировать между витками, оказавшись в магнитной ловушке, или между «магнитными зеркалами». Магнитные ловушки используются для удержания в определённой области пространства высокотемпературной плазмы (Т ~ 10® К) при управляемом термоядерном синтезе. Радиационные пояса Земли. В околоземном пространстве подобным образом движутся заряженные частицы космических лучей, летящие с большой скоростью в сторону Земли из космического пространства (главным образом от Солнца). Магнитное поле Земли как защитный пояс предохраняет поверхность Земли от попадания на неё частиц высокой энергии, изменяя их траектории. Магнитное поле рассеивает наиболее быстрые частицы. Частицы с меньшей энергией попадают в магнитные ловушки, образуемые линиями индукции магнитного поля Земли, перемещаясь по винтовой линии между полюсами Земли за время порядка 1 с. В результате торможения заря- Магнетизм 87 женных частиц вблизи полюсов, а также их столкновений с молекулами атмосферного воздуха возникает электромагнитное излучение (радиация), наблюдаемое, в частности, в виде полярных сияний. Фотография полярного сияния, наблюдавшегося в 2000 г. на Аляске, представлена на обложке учебника. Спектральный состав излучения зависит от энергий заряженных частиц. Радиационные пояса — области в атмосфере Земли с повышенной концентрацией заряженных частиц. Различают внутренний радиационный пояс (рис. 82), располагающийся на высоте от 2400 до 6000 км, и внешний, находящийся на высоте от 12 000 до 20 000 км. Во внешнем радиационном поясе Земли большинство заряженных частиц составляют электроны. Протоны, обладающие массой в 1836 раз большей, чем электроны, задерживаются лишь более сильным магнитным полем во внутреннем радиационном поясе. ВОПРОСЫ Протоны ^ В Электроны А 82 Радиационные пояса Земли 1. При каких условиях заряженная частица в однородном магнитном поле движется по винтовой линии? 2. Почему в неоднородном магнитном поле изменяется радиус винтовой линии, по которой движется заряженная частица? 3. Почему заряженная частица тормозится в области сильного магнитного поля? 4. Каким образом магнитное поле Земли предохраняет её поверхность от действия заряженных частиц высоких энергий? 5. Что такое радиационные пояса Земли? Почему электронный пояс Земли является внешним, а протонный — внутренним? § 25. Взаимодействие электрических токов Опыт Ампера с параллельными проводниками. Как показал Эрстед, электрический ток действует на магнитную стрелку, т. е. создаёт магнитное поле. Ампер доказал, что магнитное поле воздействует на проводник с током. Он предположил также, что магнитные свойства тела определи- 88 Электродинамика F,o Fo О о h о о А 83 Взаимодействие параллельных и антипарал-лелъных токов А 84 Физика магнитного взаимодействия токов ются замкнутыми электрическими токами внутри него. Поэтому магнитное взаимодействие тел — результат взаимодействия электрических токов, протекающих в этих телах. Считая, что «магнитные явления вызываются исключительно электричеством». Ампер продемонстрировал экспериментально, что проводники, по которым протекают токи в одном направлении, притягиваются, а проводники с противоположно направленными токами отталкиваются (рис. 83). Взаимодействие проводников с током является как бы вторичным эффектом. Первичный эффект состоит в том, что ток, протекающий в одном из проводников, создаёт магнитное поле, которое с силой Ампера действует на ток в другом проводнике. Найдём сначала силу jPgi» действующую на второй проводник с током со стороны первого в случае параллельных токов. Первый ток во втором проводнике (по правилу ^равчика) создаёт магнитное поле индукцией в горизонтальной плоскости, перпендикулярной второму току, направленной от нас (рис. 84). Поэтому на отрезок Д/ второго проводника в магнитном поле с индукцией действует сила Ампера: ^21 = /gA/BjSin 90° = /gA/Bj. По правилу левой руки она направлена в горизонтальной плоскости влево (в сторону тока Jj). Ток I2 создаёт в первом проводнике магнитное поле индукцией Bg в горизонтальной плоскости, перпендикулярной току /^, направленной к нам. Сила Ампера Bjg, действующая на участок проводника с током 1^ длиной А/, в магнитном поле с индукцией Bg равна: = /iA^B2sin 90° = 7jA/B2. По правилу левой руки сила В^2 направлена в горизонтальной плоскости вправо (в сторону тока /2). Таким образом, мы доказали, что парал- Магнетизм 89 лельно расположенные проводники, по которым протекают токи в одном направлении, притягиваются. Аналогично можно показать, что параллельно расположенные проводники, по которым протекают токи в противоположных направлениях, отталкиваются. Для такого взаимного расположения проводников ■^21 -^12’ или (64) Последнее равенство означает, что индукция магнитного поля, созданного первым током, пропорциональна силе тока /j, т. е. ~ /j. Аналогично В2 ~ /2* означает, что сила взаимодействия проводников = = F21 ~ I\l2^ т. е. пропорциональна произведению сил тока в проводниках. Опыты Ампера показали, что магнитные поля, создаваемые токами /j, /g, протекающими по бесконечно длинным параллельным проводникам, находящимся на расстоянии г друг от друга, приводят к возникновению на каждом отрезке проводников длиной А/ силы взаимодействия: ^12 ^21 /1/2 М. (65) Коэффициент пропорциональности А:^ = 2-10-7Н/А2. Единица силы тока. Формула (65) позволяет определить единицу силы тока — ампер (1 А). Наряду с килограммом, метром, секундой ампер относится к основным величинам СИ, через которые выражаются другие физические величины. 1 А — сила постоянного тока, который, протекая по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенных в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызывает на каждом отрезке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2 • 10~^Н. Сравнение формул (64) и (65) показывает, что магнитная индукция, создаваемая током, протекающим по проводнику бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, на расстоянии г от него определяется выражением (66) Таким образом, индукция магнитного поля убывает при увеличении расстояния от проводника с током. 90 Электродинамика ВОПРОСЫ 1. В каком смысле взаимодействие проводников является вторичным эффектом? 2. Как взаимодействуют друг с другом параллельные и антипараллельные токи? Объясните, как теоретически определяются направления сил их взаимодействия. 3. Как сила взаимодействия параллельных токов зависит от расстояния между ними? 4. В каких единицах измеряется сила тока? Дайте определение ампера. 5. Какова величина вектора магнитной индукции на расстоянии г от бесконечного проводника, если сила тока в проводнике /? §26. Магнитный поток Поток жидкости. Вектор магнитной индукции характеризует магнитное поле в каждой точке пространства. Другая физическая величина — магнитный поток — является характеристикой магнитного поля в определённой области пространства. Название этой величины и её определение возникли из гидродинамической аналогии. Поток жидкости — объём жидкости, протекающей сквозь поперечное сечение трубы за единицу времени. Найдём поток несжимаемой жидкости, движущейся со скоростью V вдоль цилиндрической трубы сечением AS (рис. 85, а). Косое сечение трубы образует угол а с сечением ASперпендикулярным оси цилиндра. За промежуток времени М сквозь поперечное сечение трубы AS пройдут частицы жидкости, находящиеся от него на расстоянии, меньшем vM. Эти частицы находятся в цилиндре объёмом AF = AS ; l>A^; AS , = AScos a. a) AS //Jv о A 85 Поток вектора: а) скорости жидкости; б) магнитной индукции Следовательно, поток несжимаемой жидкости (или поток вектора скорости) Ф,- = uAScos а. (67) Часто вводится вектор площади контура AS, равный по модулю площади AS и направленный перпендикулярно площади. Направление вектора площади определяется по правилу буравчика для контурных токов. Необходимо лишь выбрать направление обхода контура, ограничивающе- Магнетизм 91 А 86 А 87 X X X ^х 1 I I X X • в !х X 1 f = 0 1 X X = 2с 1х X X X X X ГО площадь. Тогда поток вектора скорости определяется как скалярное произведение векторов и и AS^: Ф^^ = (6А8). Поток магнитной индукции. По аналогии с потоком жидкости вводится магнитный поток (или поток магнитной индукции). Магнитный поток (поток магнитной индукции) через поверхность площадью AS — физическая величина, равная скалярному произведению вектора магнитной индукции на вектор площади: Ф = (BAiS) = BAScos а. (68) Магнитный поток равен произведению модуля вектора магнитной инг дукции В на площадь AS и косинус угла между векторами В и AS (рис. 85, б). Единица магнитного потока — вебер (1 Вб). 1 Вб — магнитный поток, созданный однородным магнитным полем индукцией 1 Тл через поверхность площадью 1 м^, расположенную перпендикулярно вектору магнитной индукции (cos а = 1). ВОПРОСЫ 1. Как определяется поток жидкости? Чему он равен? 2. Дайте определение магнитного потока. 3. Как определяется направление вектора площади контура? 4. В каких единицах измеряется магнитный поток? 5. В каком случае магнитный поток равен 1 Вб? ’ Скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними. 92 Электродинамика ЗАДАЧ И 1. Индукция однородного магнитного поля Б = 0,1 Тл направлена по оси У. Найдите маг- нитный поток сквозь четверть круга радиусом R = 10 см, расположенную в плоскости XZ (рис. 86, а): под углом 60° к плоскости XZ (рис. 86, б). [0,785 мВб; 0,39 мВб] 2. Квадратная рамка со стороной а = 10 см вдвигается со скоростью у = 3 см/с в одно- родное магнитное поле с индукцией В = 10“^Tл, направленной перпендикулярно плоскости рамки (рис. 87). Найдите магнитный поток сквозь рамку в момент времени 2с. [60 мкВб] 3. Проволочное кольцо радиусом R, находящееся в плоскости чертежа, поворачивает- ся на 180° относительно вертикальной оси (рис. 88). Индукция магнитного поля В перпендикулярна плоскости чертежа. Найдите изменение магнитного потока сквозь кольцо в результате его поворота. [ЗпБЯ^] 4. Найдите магнитный поток Ф в произвольный момент времени t, пронизывающий прямоугольную рамку со сторонами а и 6, вращающуюся с угловой скоростью со (рис. 89). Индукция однородного магнитного поля В перпендикулярна плоскости чертежа. Постройте грас|эик зависимости Ф(0. [Babcos coi] 5. Найдите магнитный поток, создаваемый однородным магнитным полем с индук- цией В и проходящий сквозь полус(1)еру радиусом R (рис. 90). 'coLl [71ВД2] XXX 1 |Х^Х ! ^ X I ! V X ь / / / / ■К I в [ X X С'^ - ч в А 88 А 89 § 27. Энергия магнитного поля тока 90 Работа силы Ампера при перемещении проводника с током в магнитном поле. Электрический ток, протекающий по проводнику, создаёт в окружающем его пространстве магнитное поле, обладающее определённой энергией. В том, что магнитное поле, например витка с током, обладает энергией, легко убедиться экспериментально. При пропускании тока через гибкий свободный проводник, согнутый в виде кругового витка, проводник распрямляется (рис. 91). Это происходит в результате действия магнитных сил отталкивания между диаметрально противоположными отрезками проводника, по ко- Магнетизм 93 X X X X X X X X д. X X X X X X X А 91 Распрямление витка с током в результате действия магнитных сил торым токи протекают в противоположных направлениях. Самопроизвольный переход проводника из начального состояния 1 в конечное 3 (через промежуточное 2) означает, что энергия такого проводника с током в начальном состоянии больше, чем в конечном (см. Ф-10, §31). Чтобы оценить энергию магнитного поля проводника с током, надо рассчитать работу, совершаемую силами магнитного поля (силами Ампера) при переходе проводника из начального состояния в конечное. На отрезок проводника длиной Д/, сила тока в котором I, в магнитном поле с индукцией В (направленной перпендикулярно плоскости чертежа — от нас) действует сила Ампера (рис. 92). По правилу левой руки сила Ампера направлена вправо. Под действием силы Ампера покоящийся вначале проводник смещается вправо на расстояние X. При таком перемещении работа, совершаемая силой Ампера, равна 5А = Fpjx = IBAlXy а отрезок проводника пересекает площадь AS = Alx, пронизываемую линиями индукции магнитного поля. Тогда ЬА = /ДФ. (69) (ДФ = BAS — магнитный поток через площадь AS). Индуктивность контура с током. Магнитный поток, пронизывающий виток с током, пропорционален магнитной индукции Ф - В. В то же время значение собственной индукции поля, создаваемого током, пропорционально силе тока, т. е. Б ~ I. Следовательно, Ф - или X X X А1 X X В,Х Сила Ампера, действующая на движущийся проводник с током Ф = Б/, (70) где L — индуктивность витка. 94 Электродинамика Индуктивность контура (или коэффициент самоиндукции) — физическая величина, равная коэффициенту пропорциональности между магнитным потоком через площадь, ограниченную контуром проводника, и силой тока в контуре. Индуктивность подобно электроёмкости зависит от размеров проводника, его формы, но не зависит от силы тока в проводнике. Индуктивность зависит также от магнитных свойств среды, в которой находится проводник. Единица индуктивности — генри (1 Гн). Индуктивность контура равна 1 Гн, если при силе тока 1 А его пронизывает магнитный поток 1 Вб. Энергия магнитного поля. Формула (71) получена для изменения энергии контура при его движении во внешнем магнитном поле в результате изменения магнитного потока. Подобное изменение происходит и в неподвижном контуре в результате изменения силы тока в нём. Если форма контура остаётся неизменной, то поток изменяется только за счёт изменения силы тока А/. Тогда АФ = ЬМ. (71) Выражение для элементарной работы при таком изменении силы тока согласно формуле (69) имеет вид: ЪА = ЫМ. (72) Графически элементарная работа определяется площадью трапеции со средней линией и высотой А/ (рис. 93). При изменении силы тока в проводнике от нуля до I суммарная работа определяется площадью прямоугольного треугольника под прямой Ф = L7 со сторонами Ы и I: Ы1 2 ‘ А 93 Геометрическая интерпретация энергии магнитного поля контура с током. А = Такая же энергия магнитного поля накапливается в катушке с индуктивностью L при силе тока в ней I: = L/2 (73) Магнетизм 95 ВОПРОСЫ 1. Почему энергия прямого проводника с током меньше, чем согнутого в виток? 2. Почему собственный магнитный поток, пронизывающий виток с током, пропорционален силе тока в витке? 3. Дайте определение индуктивности контура. В каких единицах она измеряется? 4. Как определить графически работу сил магнитного поля? 5. Какая энергия накапливается в катушке индуктивностью L при силе тока в ней /? 3. 4. 5. ЗАДАЧИ В плоскости чертежа, перпендикулярно линиям индукции, направленной от нас, расположен виток с током. Каким должно быть направление тока в кольце, чтобы работа внешних сил при повороте кольца вокруг его диаметра на 180° была положительной? Проводник, длина которого I = 0,5 м, перемещается поступательно на расстояние d = 20cM в плоскости чертежа (см. рис. 92). Найдите индукцию однородного магнитного поля В, если известно, что сила тока, протекающего по проводнику / = 6 А, а сила Ампера совершает работу А = 60 мДж. [0,1 Тл] При силе тока 2,5 А в катушке возникает магнитный поток 5 мВб. Найдите индуктивность катушки. [2 мГн] В катушке, индуктивность которой 0,5 Гн, сила тока 6 А. Найдите энергию магнитного поля, запасённую в катушке. [9 Дж] Конденсатор, емкость которого С = 0,2 мкФ, зарядили до напряжения C/q = 100 В и соединили с катушкой индуктивностью L = 1 мГн. В определённый момент времени t в результате разрядки конденсатора напряжение на нём стало равным 17 = 50 В, а в катушке сила тока стала / = 1 А. Найдите количество теплоты, выделившееся за промежуток времени t в катушке (обладающей некоторым сопротивлением). [0,25 мДж] § 28. Магнитное поле в веществе Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики. Согласно гипотезе Ампера в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением заряженных частиц. Эти микроскопические токи создают собственное магнитное поле В^, поэтому магнитная индукция В в среде отличается от индукции Bq внешнего магнитного поля в той же точке пространства в отсутствие среды, т. е. в вакууме. Магнитная индукция в среде складывается из индукции внешнего магнитного поля и собственной индукции вещества: В = 4 + Бс. (74) 96 Электродинамика Микроскопические токи под действием внешнего магнитного поля определённым образом ориентируются: чем больше индукция Бд, тем больше индукция собственного магнитного поля среды: = XBq, (75) где X — магнитная восприимчивость среды (х — греческая буква «хи»). Вектор собственной магнитной индукции среды может быть как сонаправлен с вектором магнитной индукции внешнего поля, так и противоположен ему. Разная магнитная восприимчивость вегцеств определяет различие их магнитных свойств. Суш,ествует три основных класса веш;еств с резко отличающимися магнитными свойствами: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Диамагнетик — вещество, у которого вектор индукции собственного магнитного поля, направленный противоположно вектору магнитной индукции внешнего (намагничивающего) поля, значительно меньше его по модулю: в, tie О’ В, «Во. Для диамагнетика X при этом |х1 1. Диамагнетиками являются многие газы (водород, гелий, азот, двуокись углерода), плазма, металлы (золото, серебро, медь, висмут), стекло, вода, соль, резина, алмаз, дерево, пластики и т. д. Парамагнетик — вещество, у которого вектор индукции собственного магнитного поля, сонаправленный с вектором магнитной индукции внешнего (намагничивающего) поля, меньше его по модулю: BAt Bq, в„<в, о* Для парамагнетика X > при этом |х1 ~ 1- Парамагнетиками являются кислород, алюминий, платина, уран, щелочные и щелочноземельные металлы. Для ферромагнетика X ^ при этом |х| ^ 1. Магнетизм 97 Ферромагнетик — вещество, у которого вектор индукции собственного магнитного поля, сонаправленный с вектором магнитной индукции внешнего (намагничивающего) поля, значительно превышает его по модулю: В.ПВо- Вс» «о- Ферромагнетиками являются железо, кобальт, никель, их сплавы, редкоземельные элементы. Подставляя выражение (75) для индукции собственного магнитного поля среды в формулу (74), получаем Б = (1 + х)Во, или в = цБо, где ц = 1 + X — магнитная проницаемость среды. (76) Магнитная проницаемость среды — физическая величина, показывающая, во сколько раз индукция магнитного поля в однородной среде отличается от магнитной индукции внешнего (намагничивающего) поля в вакууме: Ц = Во (77) Б диамагнетике внешнее магнитное поле незначительно ослабляется, так что ц < 1 (например, для золота ц = 0,999961). Б парамагнетике внешнее магнитное поле незначительно усиливается, так что \х> 1 (например, для платины р = 1,00025). В ферромагнетике внешнее магнитное поле значительно усиливается (например, для чистого железа р « 10^). Диамагнетизм. Выясним, какие физические процессы определяют диамагнитные свойства плазмы. Внешнее магнитное поле Бд, приложенное к плазме, действует на свободные положительные и отрицательные заряды (ионы и электроны). Заряды, имеющие компоненту скорости перпендикулярную направлению индукции Б^д, начинают двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной Bq. Если Bq направлена перпендикулярно плоскости чер- 4 Физика. 11 U1. П|Х1фильиый уровень 98 Электродинамика 94 ► Диамагнетизм плазмы Во X % X X -Вс 1 # в. ® 1 © X' X X h- W X тежа (от нас), ионы и электроны закручиваются в противоположном направлении (рис. 94). Так как за направление электрического тока принимается движение положительных зарядов, токи и 7_, соответствующие движению этих зарядов, протекают по окружности в одну сторону (против часовой стрелки). Собственная индукция создаваемая этими токами, будет направлена (по правилу буравчика для витка с током) к нам, противоположно В^: Ti Bq. Аналогично движутся и другие сво- бодные заряды в плазме. Этим объясняется диамагнетизм плазмы, т. е. ослабление в плазме внешнего магнитного поля. Парамагнетизм. В атомах парамагнетиков источником собственного магнитного поля является микроток, обусловленный (в классическом понимании) вращением валентного электрона вокруг собственной оси, или спином (от англ, spin — волчок). Учитывая, что электрон заряжен отрицательно, микроток Ig направлен противоположно направлению скорости вращения электрона вокруг собственной оси (рис. 95). Как и у витка с током, собственная индукция спина В^ направлена по правилу буравчика вдоль оси вращения. У соседнего атома ось вращения валентного электрона может быть ориентирована в пространстве иначе (рис. 96, а). В силу хаотичности расположения атомов результирующая собственная индукция в парамагнетике в отсутствие внешнего магнитного поля равна нулю. При помещении парамагнетика во внешнее магнитное поле элементарные витки с током (вращающиеся вокруг своей оси электроны) начинают выстраиваться так, чтобы направление их собственной индукции В 95 ► Парамагнетизм лития Магнетизм 99 в. ^•1 i S к i \- \ ' h - ■ i в Bs/ в. ЧЗ ~ ~ ! , ' ! Во 1 1В,= 0 а) О ◄ 96 Ориентация спинов в парамагнетике: а) в отсутствие внешнего магнитного поля (Во = 0); б) во внешнем магнитном поле (Bq ф 0) совпало с Bq (рис. 96, б). Расположение осей вращения валентных электронов атомов перестаёт быть хаотичным, поэтому результирующая собственная индукция в парамагнетике становится отличной от нуля и со-направленной с Bq (рис. 96): Магнитное поле в парамагнетике усиливается по сравнению с приложенным к нему внешним магнитным полем. Нагревание парамагнетика приводит к уменьшению собственного магнитного поля, а следовательно, к уменьшению его магнитной проницаемости р. ВОПРОСЫ 1. Какие вещества называют диа-, пара- и ферромагнетиками? 2. Какая физическая величина называется магнитной проницаемостью? Какие значения принимает магнитная проницаемость для диа-, пара- и ферромагнетиков? 3. Чем объясняется диамагнетизм плазмы? 4. Почему магнитное поле в парамагнетике усиливается по сравнению с приложенным к нему внешним магнитным полем? 5. Как и почему изменяется магнитная проницаемость парамагнетика с ростом температуры? § 29. Ферромагнетизм Доменная структура. В атомах ферромагнетиков собственная индукция создаётся не только валентными электронами, но и электронами внутренних электронных оболочек. Это заметно увеличивает результирующую собственную индукцию атома. В результате взаимодействия атомов 100 Электродинамика ферромагнетика энергетически выгодной оказывается параллельная ориентация спинов всех атомов в пределах некоторой области, называемой доменом (от франц. domaine — владение). Это означает, что домен с параллельной ориентацией спинов обладает минимальной энергией. В макроскопическом образце ферромагнетика находится много доменов размером порядка 0,5 мкм. То, что домен имеет конечные размеры, связано с магнитным взаимодействием между спинами. Магнитное взаимодействие спинов соседних атомов стремится ориентировать их антипараллельно друг другу (рис. 97, а). Магнитная индукция спина электрона 1 направлена в области электрона со спином 2 противоположно собственной индукции В2 спина электрона 2 и наоборот Bg Bj. Однако взаимодействие атомов, вызывающее параллельную ориентацию спинов, оказывается сильнее. В домене число атомов с параллельными спинами велико. Поэтому результирующей индукции, созданной N атомами домена, оказывается достаточно для переворота спинов атомов, начиная с N + 1 (рис. 97, б). Возникает деление доменов. Домен {1—2) (рис. 98, а) делится на два домена: 1 и 2 с антипараллельными спинами (рис. 98, б). Суммарное магнитное поле доменов 1 и 2 приводит к образованию доменов 3 и 4 (рис. 98, в). В поликристаллах ориентация спинов в различных доменах хаотична, так что результирующая собственная индукция в ферромагнетике в отсутствие внеиинего магнитного поля равна нулю (рис. 98, г). Ферромагнетик во внешнем магнитном поле. Примерная структура доменов в отсутствие внешнего магнитного поля показана на рисунке 99, а. При приложении к ферромагнеткжу внешнего магнитного поля сначала (при не очень большой индукции Bq) происходит обратимый поворот доменов в направлении Bq и их рост (рис. 99, б). Это означает, что при выклю- ▲ 97 Магнитное взаимодействие спинов: а) соседних: б) на значительных расстояниях Магнетизм 101 1 2 О' 1 4 2 а) в) г) ◄ 98 Деление доменов: а) один домен; б) два домена; в) четыре домена; г) в реальном ферромагнетике чении поля доменная структура ферромагнетика восстанавливается. В более сильном магнитном поле поворот и рост доменов становится необратимым (рис. 99, в): первоначальная доменная структура не восстанавливается при выключении магнитного поля. Подобным образом перетянутая пружина не принимает первоначальные размеры даже в отсутствие внешних сил. Начиная с некоторого значения индукции внешнего магнитного поля, возникает явление насыщения^ при котором все домены выстраиваются в направлении внешнего поля (рис. 99, г). Зависимость собственной индукции от индукции внешнего магнитного поля характеризуется кривой намагничивания (рис. 100). При увеличении индукции Bq внешнего поля в результате выстраивания доменов возрастает собственная индукция ферромагнетика. Точные измерения собственной индукции позволяют уловить поворот отдельных доменов в направлении индукции Bq внешнего магнитного поля. При каждом повороте домена В возрастает скачком. 1 t I t I t t I 1 \ \ i . 1 ( ■^02 1 1 1 t-^os Во=0 fBoi а) б) «) 1 г) ◄ 99 Изменение доменной структуры ферромагнетика под действием внешнего магнитного а) Bq = 0;6)Bq^^0; ®) -®02 ^ -®01 » ^03 ^ -®02 102 Электродинамика А 100 Кривая намагничивания для поликристал-лического железа: I — область обратимого поворота и роста доменов', II — область необратимого поворота и роста доменов', III — область насыщения При уменьшении индукции внешнего поля после достижения насыгцения вновь образуются домены, однако собственная магнитная индукция некоторых из них остаётся ориентированной по внешнему полю. Это происходит от того, что такие домены не могут развернуться в прежнее положение из-за взаимодействия с соседями. Даже при полном выключении внешнего магнитного поля ферромагнетик остаётся намагниченным (рис. 101). Остаточная намагниченность — собственная магнитная индукция в ферромагнетике в отсутствие внешнего магнитного поля. Магнитожёсткие ферромагнетики — ферромагнетики, у которых остаточная намагниченность велика (рис. 101, а, б). Особенно велика остаточная намагниченность у сплава альника (51% Fe, 24% Со, 14% Ni, 8% А1, 3% Си). Магнитомягкие ферромагнетики — ферромагнетики, у которых остаточная намагниченность мала (рис. 101, в). К магнитомягким ферромагнетикам относят чистое железо, некоторые сорта стали. Для полного размагничивания образца следует изменить направление вектора индукции внешнего магнитного поля на противоположное остаточной намагниченности. Коэрцитивная {задерживающая) сила — магнитная индукция внешнего поля, необходимая для размагничивания образца. Дальнейшее перемагничивание ферромагнетика происходит до насыщения в точке 1. При уменьшении магнитной индукции внешнего поля до нуля и последующем её увеличении в первоначальном направлении до состояния насыщения в точке 1 получается замкнутая кривая намагничивания, симметричная относительно начала отсчёта. Замкнутая кривая намагничивания и размагничивания ферромагнетика называется петлёй гистерезиса (от греч. hysteresis — отставание). Форма петли — важнейшая характеристика ферромагнитного материала. Чем шире петля, тем труднее размагнитить образец. Магнетизм 103 Магнитожёсткие ферромагнетики с широкой петлей гистерезиса (рис. 101, а) применяют для изготовления постоянных магнитов, так как у них велика остаточная намагниченность и коэрцитивная сила. Магнитожёсткие ферромагнетики с узкой петлей гистерезиса (рис. 101, б) применяют для изготовления элементов памяти компьютеров, магнитных лент видеомагнитофонов, кредитных карточек, так как обладают высокой остаточной намагниченностью и легко перемагни-чиваются из-за малости коэрцитивной силы. Магнитомягкие ферромагнетики с узкой петлей гистерезиса (рис. 101, в) используют в устройствах, где требуется постоянное быстрое пе-ремагничивание образца, которое облегчается из-за малой остаточной намагниченности и коэрцитивной силы (например, в трансформаторах, электродвигателях). Исчезновение ферромагнитных свойств вещества вследствие нарушения ориентации доменов может происходить при механическом воздействии на образец (например, при ударе). Температура Кюри. Ферромагнитные свойства могут также исчезать при сильном нагревании образца. Беспорядочное тепловое движение атомов становится столь значительным, что упорядоченная доменная структура ферромагнетика разрушается: материал становится парамагнетиком. Переход ферромагнетика в парамагнитное состояние происходит при определённой критической температуре, различной для разных материалов, называемой температурой Кюри. Впервые в 1894 г. известный французский учёный Пьер Кюри открыл это явление и измерил критическую температуру железа: = 768 °С. А 101 Петля гистерезиса для различных ферромагнитных материалов Температура Кюри — критическая температура, выше которой происходит переход вещества из ферромагнитного состояния в парамагнитное. Поэтому сильный нагрев постоянного магнита приводит к его размагничиванию. 104 Электродинамика ВОПРОСЫ 1. Какое движение заряженных частиц создаёт собственную индукцию в ферромагнетике? 2. Что такое домены в ферромагнетике? Как изменяется доменная структура под действием внешнего магнитного поля? 3. Что такое кривая намагниченности? Объясните её ход. 4. Чем отличаются магнито-жёсткие ферромагнетики от магнито-мягких? 5. В чём суть явления гистерезиса? Как зависит способность ферромагнетика к пере-магничиванию от ширины петли гистерезиса? ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Электрический ток оказывает магнитное действие. Таким образом, магнитное поле порождается движущимися зарядами. Вектор магнитной индукции — векторная физическая величина, направление которой в данной точке совпадает с направлением, указываемым в этой точке северным полюсом свободной магнитной стрелки. Модуль вектора магнитной индукции равен отношению максимальной силы, действующей со стороны магнитного поля на отрезок проводника с током, к произведению силы тока и длины отрезка проводника: В = _ Атах IM Единица магнитной индукции — тесла (1 Тл). Правило буравчика для прямого тока: если ввинчивать буравчик по направлению тока в проводнике, то направление скорости движения конца его рукоятки совпадает с на- правлением вектора магнитной индукции в этой точке. Правило правой руки для прямого тока: если охватить проводник правой рукой, направив отогнутый большой палец вдоль тока, то кончики остальных пальцев в данной точке покажут направление вектора индукции в этой точке. Принцип суперпозиции магнитных полей: результирующая магнитная индукция в данной точке складывается из векторов магнитной индукции, созданной различными токами в этой точке: В = В2 + ... + В^. Правило буравчика для витка с током (контурного тока): если вращать рукоятку буравчика по направлению тока в витке, то поступательное перемещение буравчика совпадает с направлением вектора магнитной индукции, созданной током в витке на своей оси. Линии магнитной индукции — линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора магнитной индук- Магнетизм 105 ции. Линии магнитной индукции всегда замкнуты: они не имеют начала и конца. Магнитное поле — вихревое поле, т. е. поле с замкнутыми линиями магнитной индукции. Магнитный поток (поток магнитной индукции) через поверхность определённой площади — физическая величина, равная скалярному произведению вектора магнитной индукции на вектор площади: Ф = {ВА8). Единица магнитного потока — ве-бер (1 Вб): 1 Вб = 1 Тл • м^. Закон Ампера: сила, с которой магнитное поле действует на помещённый в него отрезок проводника с током, равна произведению силы тока, магнитной индукции, длины отрезка проводника и синуса угла между направлениями тока и вектором магнитной индукции: = IBAlsin а. В однородном магнитном поле замкнутый контур стремится установиться так, чтобы направление его собственной индукции совпало с направлением внешней индукции. Сила Лоренца — сила, действующая на движущуюся со скоростью V заряженную частицу со стороны магнитного поля В: ~ QvBsin а, где q — заряд частицы, а — угол между скоростью частицы и индукцией магнитного поля. Направление силы Лоренца определяет правило левой руки: если кисть левой руки расположить так, чтобы четыре вытянутых пальца указывали направление скорости положительного заряда (или противоположное скорости отрицательного заряда), а вектор магнитной индукции входил в ладонь, то отогнутый (в плоскости ладони) на 90° большой палец покажет направление силы, действующей на данный заряд. Заряженная частица, влетающая в однородное магнитное поле параллельно линиям магнитной индукции, движется равномерно вдоль этих линий. Заряженная частица, влетающая в однородное магнитное поле в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции, движется в этой плоскости по окружности. Параллельно расположенные проводники, по которым протекают токи в одном направлении, притягиваются, а в противоположных — отталкиваются. Магнитные поля, создаваемые токами 1^, I2, протекающими по бесконечно длинным параллельным проводникам, находящимся на расстоянии г друг от друга, приводят к возникновению на каждом отрезке проводников длиной А1 силы взаимодействия: ^12 =^01 = k и. 21 AL, где — коэффициент пропорциональности, = 2 • 1Н/А2. Единица силы тока — ампер (1 А). Сила постоянного тока равна 1 А, если ток, протекая по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сече- 106 Электродинамика ния, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызывает на отрезке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2 • 10“^Н. Индукция магнитного поля убывает при увеличении расстояния до проводника с током. Взаимодействие проводников с током является следствием магнитного взаимодействия движущихся зарядов в проводниках. Под действием магнитной силы движущиеся параллельно в противоположных направлениях разноимённые заряды притягиваются, а одноимённые — отталкиваются. Индуктивность контура (или коэффициент самоиндукции) — физическая величина, равная коэффициенту пропорциональности между магнитным потоком через площадь, ограниченную контуром проводника, и силой тока в контуре. Единица индуктивности — генри (1 Гн). Энергия магнитного поля, созданного при протекании силы тока I по проводнику с индуктивностью L,равна: ТТ2 т 2 Магнитная проницаемость среды — физическая величина, показывающая, во сколько раз индукция магнитного поля в однородной среде отличается от магнитной индукции внешнего (намагничивающего) поля в вакууме: в Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики — основные классы веществ с резко отличающимися магнитными свойствами. Диамагнетик — вещество, в котором внешнее магнитное поле незначительно ослабляется (ц < 1). Парамагнетик — вещество, в котором внешнее магнитное поле незначительно усиливается (ц > 1). Ферромагнетик — вещество, в котором внешнее магнитное поле значительно усиливается (ц » 1). Кривая намагничивания — зависимость собственной магнитной индукции от индукции внешнего магнитного поля. Коэрцитивная сила — магнитная индукция внешнего поля, необходимая для размагничивания образца. Магнитожесткие ферромагнетики — ферромагнетики с большой остаточной намагниченностью. Магнитомягкие ферромагнетики — ферромагнетики с малой остаточной намагниченностью. Петля гистерезиса — замкнутая кривая намагничивания и размагничивания ферромагнетика. о Электромагнетизм § 30. ЭДС в проводнике, движущемся в магнитном поле Разделение разноимённых зарядов в проводнике, движущемся в магнитном поле. Электрическое и магнитное поля порождаются одними и теми же источниками — электрическими зарядами. Кулоновское взаимодействие неподвижных зарядов возникает как следствие существования вокруг каждого заряда электростатического поля, действующего на другие электрические заряды. Магнитное взаимодействие движущихся зарядов (электрических токов) — результат существования магнитного поля, созданного токами. В отличие от электрического поля, действующего как на неподвижные, так и на движущиеся электрические заряды, магнитное поле действует только на движущиеся заряды. Взаимосвязь электрических и магнитных явлений впервые была доказана Эрстедом. Электрическое поле, вызывающее электрический ток, порождает магнитное поле. В свою очередь, магнитное поле может вызывать перераспределение электрических зарядов в движущемся проводнике, приводя к возникновению электрического поля. При движении проводника со скоростью и вместе с ним направленно перемещаются положительные и отрицательные заряды, находящиеся в проводнике и взаимно компенсирующие электрическое поле друг друга. В магнитном поле, вектор магнитной индукции В, которого перпендикулярен движению проводника, сила Лоренца действует на положительные и отрицательные заряды в противоположные стороны (рис. 102, а). Это приводит к пространственному разделению положительных и отрицательных зарядов (рис. 102, б). В металлическом проводнике электроны под действием силы Лоренца смещаются вправо (рис. 102, б). При этом слева возникает область с положительным зарядом. Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки. Силой, противодействующей разделению зарядов, является кулоновская сила притяжения между ними. Напряжённость Е электрического поля в таком проводнике направлена от плюса к минусу. Дальнейшее разде- 108 Электродинамика Разделение зарядов в проводнике, движущемся в магнитном поле: а) положительные и отрицательные свободные заряды, б) равновесие перераспределённых зарядов ление зарядов заканчивается, когда сила Кулона становится равной силе Лоренца Fjj. Учитывая, что = qE, Fjj = qvB^, находим E = vB^. Этой напряжённости поля соответствует определённая разность потенциалов между концами проводника. ЭДС индукции. В проводнике, движущемся в магнитном поле, возникает разность потенциалов, или ЭДС индукции: W у.'' i Г X Т X ^. = и = Е1 = vBL (78) А 103 Возникновение ЭДС на концах проводника, движущегося в магнитном поле Проводящая перемычка, движущаяся по двум параллельным проводам, замкнутым на лампу и помещённым в магнитное поле, является простейшим генератором постоянного тока (рис. 103). Вольтметр фиксирует заметную разность потенциалов лишь при наличии сильного магнитного поля (см. формулу (78)). Сила тока, проходящего через лампу (согласно закону Ома для замкнутой цепи), равна: 1 = R vBJ R -t г (79) Электромагнетизм 109 ВОПРОСЫ 1. Какая сила вызывает перераспределение зарядов в проводнике, движущемся в магнитном поле? 2. Какая сила препятствует перераспределению зарядов в проводнике, движущемся в магнитном поле? 3. При каком условии заканчивается перераспределение зарядов в проводнике, движущемся в магнитном поле? 4. Чему равна ЭДС индукции на концах проводника длиной Z, движущегося со скоростью V перпендикулярно линиям индукции В однородного магнитного поля? 5. Объясните, почему силу тока, проходящего через лампу (рис. 103), можно рассчитать по формуле (79). ЗАДАЧ И 3. 4. X 5. Самолёт летит горизонтально со скоростью и = 1080 км/ч. Найдите разность потенциалов между концами его крыльев (размах крыльев I = 30 м), если модуль вертикальной составляющей индукции магнитного поля Земли В = 5 • 10“^Тл. [0,45 В] В одной плоскости с прямым длинным проводником стоком находится прямоугольная проволочная рамка, две стороны которой параллельны направлению тока в проводнике. Будет ли возникать индукционный ток в рамке и каким будет его направление, если рамка движется в собственной плоскости от провода; к проводу: вдоль провода? Проводящая медная перемычка длиной L = 0,2 м с поперечным сечением S = = 0,017 мм2 равномерно скользит со скоростью v = 3,2 м/с по проводам, замкнутым на резистор R = 0,3 Ом. Найдите силу тока, протекающего через резистор, если вектор индукции магнитного поля перпендикулярен плоскости движения перемычки, В = 0,1Тл. [0,2 В] Проводящая перемычка длиной I = 0,2 м может сколь- X X X X X X зить без трения по проводам, замкнутым на резистор Я = 2 Ом (рис. 104). Вектор магнитной индукции В = 0,2 Тл направлен перпендикулярно плоскости движения перемычки. Какую силу следует приложить к перемычке, чтобы она двигалась равномерно со скоростью V = 5 м/с? Сопротивлением перемычки можно пренебречь. [4 мН] Проводящая перемычка длиной I = 0,5 м равномерно скользит со скоростью и = 5 м/с по проводам, замкнутым на источник тока с ЭДС ^ = 1,5 В и внутренним сопротивлением г = 0,2 Ом (рис. 105). Система находит- X [т X ся в магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости движения перемычки и равна В = = 0,2Тл. Найдите силу тока, протекающего через перемычку, и его направление. Сопротивлением перемычки можно пренебречь. [5 А] 105 X X R X X X X I ХвХ XF X XD XXX X X X X X X X 104 X дг х±к -=е£ X X. X Х0 X X X X X X X X Б X 110 Электродинамика § 31. Электромагнитная индукция Электромагнитная индукция. В 1831 г. английский физик Майкл Фарадей установил, что электрический ток может возникать в контуре не только при движении проводника в магнитном поле, но и при любом изменении магнитного потока через контур. Им было открыто явление электромагнитной индукции. Электромагнитная индукция — физическое явление, заключающееся в возникновении электрического тока в замкнутом контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром. Электрический ток, возникающий при электромагнитной индукции, называется индукционным. Изменение магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, возможно (см. формулу (69)) при изменении с течением времени: 1) площади поверхности, ограниченной контуром; 2) модуля вектора магнитной индукции; 3) угла, образуемого вектором магнитной индукции с вектором площади этой поверхности. Рассмотрим особенности возникновения индукционного тока в каждом случае. Предположим, что прямоугольный контур в плоскости чертежа образован двумя параллельными проводниками, соединёнными подводящими проводами («шинами»), сопротивлением которых можно пренебречь (рис. 106). Линии индукции однородного магнитного поля В направлены перпендикулярно плоскости чертежа (от нас). Длина проводников I. Проводник сопротивлением R неподвижен. Проводник сопротивлением г, находящийся в начальный момент времени на расстоянии а от неподвижного проводника, может удаляться от него с постоянной скоростью V (рис. 106, а) или приближаться к нему (рис. 106, б). Найдём сначала изменение магнитного потока через контур при движении проводника вправо. Для этого нужно определить направление вектора площади контура. Если выбрать за положительное направление обхода контура направление по часовой стрелке, то по правилу буравчика для контурных токов вектор площади будет направлен от нас (перпендикулярно плоскости чертежа). В этом случае угол между векторами индукции В и площади контура AS будет равен нулю. В произвольный момент времени t магнитный поток через контур равен: Ф = B^AS, AS = 1{а -Ь vt). Электромагнетизм 111 Тогда магнитный поток изменяется с течением времени по закону: Ф = BJ,{a + vt). Изменение любой величины в единицу времени (или скорость изменения величины) характеризует её производная по времени. Найдём производную по времени от магнитного потока: Ф' = BJv. (80) При сравнении формул (80) и (78) видно, что по модулю производная от магнитного потока по времени равна ЭДС индукции, возникающей в контуре. Для определения знака индукционного тока в контуре его направление сравнивается с выбранным направлением обхода контура. Направление индукционного тока {так же как и величина ЭДС индукции) считается положительным, если оно совпадает с выбранным направлением обхода контура. Направление индукционного тока {так же как и величина ЭДС индукции) считается отрицательным, если оно противоположно выбранному направлению обхода контура. Закон Фарадея—Максвелла. На рисунке 106, а показано, что индукционный ток в контуре направлен против часовой стрелки, т. е. сила тока и ЭДС индукции отрицательны. Фарадей учёл это, введя знак «минус» в закон электромагнитной индукции: (81) Закон электромагнитной индукции, _ или закон Фарадея—Максвелла _ ЭДС электромагнитной индукции в замкнутом контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром. А 106 Возникновение индукционного тока при изменении площади контура: а) при увеличении площади: б) при уменьшении площади 112 Электродинамика Воспользуемся законом Фарадея—Максвелла для определения ЭДС индукции, когда проводник движется так, как показано на рисунке 106, б. Оставляя прежним направление обхода контура (по часовой стрелке), получаем Ф = - vt). Следовательно, = _ф' = jjBJ > 0. Положительное значение ЭДС индукции означает, что она вызывает индукционный ток в направлении обхода контура. Сила индукционного тока определяется формулой (79). ЭДС индукции равна работе по перемещению единичного заряда вдоль замкнутого контура, совершаемой силами вихревого электрического поля, порождаемого в пространстве изменением со временем магнитного потока через этот контур. При движении проводника возникающий индукционный ток создаёт собственное магнитное поле В,- и собственный магнитный поток Ф,. через контур. Так как В-~1.~^^ = -Ф', а Ф^ ~ Вр то Ф^ ~ (-Ф'). (82) Условие пропорциональности (82) является математической формулировкой правила определения направления индукционного тока, установленного российским физиком Э. X. Ленцем. .... - — ___ Правило Ленца _______________ Индукционный ток в контуре имеет такое направление, что созданный им магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром, препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот ток. Например, при увеличении магнитного потока через контур (рис. 106, а) Ф' > 0. Следовательно, согласно выражению (82) магнитный поток Ф^ индукционного тока будет отрицательным Ф^ < 0. Это означает, что магнитный поток Ф^ будет сдерживать резкое возрастание потока Ф. При уменьшении магнитного потока через контур (рис. 106, б)Ф' <0. В этом случае Ф^ > 0, т. е. магнитный поток Ф,- индукционного тока не позволит потоку Ф резко убывать, поддерживая его. ВОПРОСЫ 1. В чём состоит явление электромагнитной индукции? 2. Изменение каких физических величин может привести к изменению магнитного потока? Электромагнетизм 113 3. В каком случае направление индукционного тока считается положительным, а в каком — отрицательным? 4. Сформулируйте закон электромагнитной индукции. Запишите его математическое выражение. 5. Сформулируйте правило Ленца. Приведите примеры его применения. ЗАДАЧИ X ~х X X X X X X X X X X X X X X А . 107 1. Квадратная рамка со стороной а = 4 см и сопротивле- нием R=2 Ом находится в однородном магнитном поле (Б = 0,1 Тл), линии индукции которого перпендикулярны плоскости рамки (рис. 107). Какой силы ток пойдёт по рамке и в каком направлении, если её выдвигать из резко очерченной области поля со скоростью и = 5 м/с? [10 мА, по часовой стрелке] 2. Найдите значение ЭДС индукции в проволочной рамке при равномерном уменьшении магнитного потока на 6мВбза0,05с. [0,12 В] 3. При равномерном возрастании индукции магнитного поля, перпендикулярного поперечному сечению проволочной катушки площадью Б = 10 см2, от 0 до 0,2 Тл за 0,001 с на её концах возникло напряжение 100 В. Сколько витков N имеет катушка? [500] 4. В магнитном поле расположена квадратная проволочная рамка со стороной а = 0,1 м и сопротивлением Б = 0,2 Ом. Вектор индукции перпендикулярен плоскости рамки и направлен в её сторону, а его модуль изменяется по закону Б = Вд + где Бд = 0,02 Тл, у = 5 • 10“2Тл/с2. Найдите величину сил, действующих на стороны рамки, и их направление в момент времени t = 2c. [4 мкН] 5. Проволочное медное кольцо радиусом R и поперечным сечением S лежит на столе. Какой заряд q пройдёт по кольцу, если его перевернуть с одной стороны на другую? Вертикальная составляющая магнитного поля Земли равна Б, удельное сопротивление меди р. [БББ/р] §32. Способы получения индукционного тока Опыты Фарадея с катушками. Рассмотрим возникновение индукционного тока в катушке при изменении модуля индукции внешнего магнитного поля. В экспериментах по изучению магнитных явлений часто используются катушки, состояш;ие из большого числа витков N. Это связано с тем, что ЭДС индукции, возникаюш;ие в отдельных витках, суммируются, что облегчает обнаружение индукционного тока. Первоначально электромагнитная индукция была открыта Фарадеем в эксперименте с двумя вставленными друг в друга катушками (рис. 108, а). 114 Электродинамика Наружная катушка была присоединена к гальванометру. Внутренняя соединялась через ключ с батареей. Индукционный ток через гальванометр наблюдался только при замыкании или размыкании цепи, т. е. при изменении магнитного потока через наружную катушку. При непрерывном прохождении тока через внутреннюю катушку ток через гальванометр отсутствовал. Для объяснения этого эффекта найдём изменение магнитного потока и направление индукционного тока. При замыкании ключа ток начинает протекать по внутренней катушке в направлении, показанном на рисунке 108, а. Он создаёт поле, вектор магнитной индукции которого направлен вверх в области наружной катушки. Если выбрать направление обхода витка наружной катушки вправо по блия^айшей к нам стороне, то вектор его площади AS будет направлен вверх. Тогда изменение магнитного потока АФ > 0, а ЭДС индукции = -Ф' < 0. Это означает, что индукционный ток протекает против направления обхода контура (влево по ближайшей к нам стороне). Индукция его собственного магнитного поля направлена вниз и препятствует увеличению потока Ф, что согласуется с правилом Ленца (рис. 108, б). Индукционный ток возникает в наружной катушке, и в случае, если ток во внутренней катушке поддерживается постоянным, но она перемещается относительно наружной (рис. 109, а). Направление тока определяется следующим образом. Магнитное поле, созданное внутренней катушкой в области наружной, будем считать однородным. Его индукция направлена вниз (по правилу буравчика). Следовательно, магнитный поток через витки наружной катушки будет отрицательным. До выдвижения внутренней катушки (считая магнитное поле однородным) Ф^ = -S^S, после выдвижения Ф2 = -B2S. Так как индукция убывает с расстоянием, то Sg < -В^. Значит, АФ = Ф2 - Ф^ = (В^ - B2)S, т. е. АФ > о, = -Ф' < 0 (рис. 109, б). Это означает, что индукционный ток /,• протекает противоположно направлению обхода (влево по ближайшей к нам стороне). А 108 Возникновение индукционного тока в наружной катушке при включении тока во внутренней: а) опыт Фарадея; б) его объяснение Электромагнетизм 115 а) ■4 109 Возникновение индукционного тока в наружной катушке при выдвигании внутренней’. а) опыт Фарадея; б) его объяснение Опыт Фарадея с постоянным магнитом. Фарадей обнаружил, что ещё одним способом индуцирования тока в катушке является вдвигание в катушку постоянного магнита (рис. 110, а). При вдвигании в катушку северного полюса магнита индукция магнитного поля (рис. 110, б), пронизывающего витки катушки, направленная вниз, возрастает, т. е. Bg > ДФ = -BgS - (-BiS) = -(Bg - Bi)S < 0, поэтому = -Ф' > 0. Это означает, что индукционный ток протекает в направлении обхода контура витка катушки (вправо по ближайшей к нам стороне). Индукционный ток возникает и при выдвигании постоянного магнита из катушки. ВОПРОСЫ 1. Почему в опытах по изучению магнитных явлений используются катушки, состоящие из большого числа витков? б) |i Т 'N ◄ но Возникновение индукционного тока в катушке при вдвигании в неё постоянного магнита: а) опыт Фарадея; б) его объяснение 116 Электродинамика 2. Объясните причину возникновения индукционного тока в опыте Фарадея с двумя катушками. Как определяется направление тока? 3. Почему в наружной катушке возникает индукционный ток при выдвигании внутренней катушки, подключённой к источнику тока? Как определяется его направление? 4. Объясните, почему возникает индукционный ток в катушке при вдвигании в неё магнита. 5. С одинаковым ли ускорением падает маленький полосовой магнит через вертикально стоящую катушку при замкнутой и разомкнутой обмотке катушки? § 33. Опыты Генри Самоиндукция. В опытах Фарадея индукционный ток возникал вследствие изменения магнитного потока в катушке, вызванного изменением индукции внешнего магнитного поля. Американский учёный Джозеф Генри в 1832 г. впервые наблюдал возникновение индукционного тока в катушке, когда магнитный поток в ней увеличивался или уменьшался вследствие изменения тока, протекающего в самой катушке. Это явление получило название самоиндукции. Самоиндукция — возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нём силы тока или индуктивности контура. ЭДС индукции возникает при изменении магнитного потока. Если это изменение вызывается собственным током или связано с изменением индуктивности L, то говорят об ЭДС самоиндукции. так как Ф = Ы, где L — индуктивность катушки. Обычно в опытах с индукционными токами используют соленоиды — катушки с ферромагнитными сердечниками, имеющие большую индуктивность, так как ~ L. Индуктивность катушки из N витков пропорциональна N^. Это связано с тем, что, во-первых, суммируются индукции от каждого из N витков, а во-вторых, в N раз больше, чем площадь одного витка, оказывается площадь, пронизываемая результирующим магнитным полем. Соответственно собственный магнитный поток, пронизывающий катушку из N витков, оказывается в №■ раз больше потока через один виток. Ферромагнитный сердечник, увеличивая в |Д раз индукцию внутри катушки, во столько же раз увеличивает её индуктивность. Учитывая, что индуктивность соленоида постоянна (83) Электромагнетизм 117 MiliiMa N В т ^ / л ◄ 111 I = const = ^ Постоянный ток в L—R цепи Если через соленоид протекает постоянный ток (/ = const), ЭДС самоиндукции отсутствует = О (рис. 111). Так как катушка наряду с индуктивностью обладает электрическим сопротивлением то сила тока через неё 1 = R Токи замыкания и размыкания. Как следует из формулы (83), ЭДС самоиндукции оказывается тем больше, чем больше скорость изменения силы тока. Особенно быстро сила тока изменяется при замыкании-размыкании цепи. При замыкании ключа К (рис. 112, а) магнитный поток сквозь соленоид возрастает: АФ > 0. Согласно правилу Ленца, возникает индукцион- а) ДФ > о R Uab>^ Фа> % В ДФ < о R Uab<0 п А 112 индукционные токи: а) при замыкании ключа', б) при размыкании ключа 118 Электродинамика ный ток /р создающий магнитное поле индукцией В^, направленной против индукции внешнего поля В. При протекании индукционного тока положительные заряды оказываются в точке а, а отрицательные — в точке Ь. Полярность ЭДС самоиндукции препятствует нарастанию силы тока через катушку, так как эта ЭДС включена встречно ЭДС внешнего источника. Реально ЭДС самоиндукции тормозит движение электронов в проводнике, из которого сделана катушка. С течением времени, когда магнитный поток перестаёт изменяться (ЛФ = 0), ЭДС самоиндукции согласно формуле (83) становится равной нулю и устанавливается сила тока зна- чением / = . R При размыкании ключа К (рис. 112, б) ток самоиндукции протекает в ту же сторону, в которую протекал ток в цепи до размыкания. ЭДС самоиндукции поддерживает электрический ток без изменения. Реально ЭДС самоиндукции ускоряет движение электронов в проводнике, из которого сделана катушка. Поэтому в течение некоторого времени релаксации в разомкнутой цепи продолжает протекать ток самоиндукции. Согласно закону Ома для L—R цепи i = ёи =_Ы1 Р R ’ Изменение тока в единицу времени Величина (-/) в числителе формулы (84) характеризует полное изменение тока при размыкании. Следовательно, промежуток времени = = L/R в знаменателе формулы (84) определяет по порядку величины время протекания тока размыкания, или время релаксации L—R цепи. Время релаксации является характеристикой инерционных свойств любой электрической цепи. В случае L—R цепи оно определяет как время протекания тока размыкания, так и время нарастания тока замыкания. Геометрически производная V в формуле (84) характеризуется тангенсом угла наклона касательной к кривой i{t). При ^ = 0 касательная к графику i{t) (рис. 112, б) пересекает ось t в точке Xj^. Так можно оценить графически время релаксации. Если в цепь включён соленоид большой индуктивности, ЭДС самоиндукции может значительно превысить ЭДС источника тока. Появление значительной разности потенциалов в месте размыкания цепи часто приво- Электромагнетизм 119 дит к электрическому пробою воздуха, т. е. возникновению электрической искры. Электрическая лампа, соединённая последовательно с соленоидом, загорается с запаздыванием при включении тока и гаснет не мгновенно после его выключения. Правда, визуально заметить запаздывание погасания лампы не удаётся, так как энергия магнитного поля соленоида расходуется на образование искры (даже возникновение дуги). Процесс самоиндукции задерживает увеличение и уменьшение тока в электрических схемах и линиях передачи сигналов, тем самым приводя к искажению передаваемой информации. Явление самоиндукции подобно инертности в механике: тело нельзя ускорить или затормозить мгновенно, как бы ни велика была ускоряю-ш;ая или тормозящая сила, действующая на тело. ВОПРОСЫ 1. Какое физическое явление называется самоиндукцией? Чему равна ЭДС самоиндукции? 2. Как зависит индуктивность катушки от числа витков? Почему? 3. Почему при замыкании цепи сила тока в ней не нарастает мгновенно? 4. Почему возникает ток размыкания? В каком направлении он протекает? 5. Как время релаксации характеризует индукционные токи при замыкании и размыкании цепи? §34. Использование электромагнитной индукции Трансформатор. Явление электромагнитной индукции широко используется в многочисленных технических устройствах и приборах. Наиболее распространённым из них является трансформатор. Трансформатор — устройство, применяемое для повышения или понижения переменного напряжения. Принципиальное устройство трансформатора представлено на рисунке 113. В простейшем варианте трансформатор состоит из магнито-мягкого стального сердечника, на который надеты две катушки с проволочными обмотками. Первичная обмотка (число витков N^) подключается к источнику переменного напряжения. Вторичная обмотка (число витков Ng) подключается к нагрузке (сопротивлению R^). 120 Электродинамика 113^ Принципиальная схема трансформатора, подключённого к нагрузке ^ Обозначение трансформатора на схемах Явление электромагнитной индукции следующим образом используется при работе трансформатора. Переменный ток г^, протекающий в первичной обмотке, создаёт в сердечнике переменное магнитное поле B(t), концентрирующееся внутри сердечника. Поэтому магнитный поток во вторичной обмотке оказывается таким же, как и в первичной. В каждом витке этих обмоток возникает ЭДС индукции ё. = -Ф'. Результирующие ЭДС индукции в первичной и вторичной обмотках пропорциональны числу витков в них (так как ЭДС отдельных витков направлены согласованно и складываются): Отношение ЭДС индукции в обмотках ^2 N, (85) Если сопротивлением обмоток можно пренебречь, то ЭДС индукции в них равны напряжению на их зажимах: ~ ^2- Изменение напря- жения трансформатором характеризует коэффициент трансформации. Коэффициент трансформации — величина, равная отношению напряжений в первичной и вторичной обмотках трансформатора: ъ и. (86) Коэффициент трансформации определяется отношением числа витков в первичной и вторичной обмотках. Повышающий трансформатор — трансформатор, увеличивающий напряжение (t/g > U^). У повышающего трансформатора число витков iVg Электромагнетизм 121 во вторичной обмотке должно быть больше числа витков в первичной обмотке, т. е. k <1. Понижающий трансформатор — трансформатор, уменьшаюндий напряжение (C/g < и^). У понижаюпдего трансформатора число витков во вторичной обмотке должно быть меньше числа витков в первичной обмотке, т. е. ^ > 1. Переменный ток в обмотках вызывает индукционные токи в стальном сердечнике трансформатора. Для уменьшения потерь энергии, вызванных вихревыми индукционными токами в сердечнике трансформатора (токами Фуко), сердечник ламинируют, т. е. изготавливают из тонких, изолированных друг от друга пластин (рис. 114). Изолируюпдее покрытие пластин ограничивает индукционные токи в пределах каждого слоя, что заметно снижает ЭДС индукции и силу индукционных токов. В небольших трансформаторах в качестве материала сердечника иногда используются ферриты — ферромагнетики, имеющие большое сопротивление по сравнению с сопротивлением железа. Потери мощности в трансформаторах составляют 2—3% от мощности источника в первичной обмотке. Поэтому мощность тока во вторичной обмотке можно считать равной мощности тока в первичной обмотке: (87) Следовательно, л ■ При повышении напряжения с помощью трансформатора (C/g > С/^) во столько же раз уменьшается сила тока (/g < /j) и наоборот. Электромагнитная индукция в современной технике. Приведём характерные примеры использования электромагнитной индукции в современной технике. б) в) А 114 Токи Фуко: а) в сердечнике трансформатора; б) без ламинирования (в сечении —Ag); в) с ламинированием (в сечении А^—Ag) 122 Электродинамика Передающая катушка Катушка- приемник Гл в„ L J J ЦВ' h и щ 1 ■ и Индукционный ток А 115 Детектор металла Для обнаружения металлических предметов применяются специальные детекторы (рис. 115). Например, в аэропортах детектор металла фиксирует поля индукционных токов в металлических предметах. Магнитное поле Вд, создаваемое током Iq передающей катушки, индуцирует в металлических предметах токи, препятствующие (по правилу Ленца) изменению магнитного потока. В свою очередь, магнитное поле В' этих токов индуцирует в катушке-приёмнике ток Г, запускающий сигнал тревоги. В поезде на магнитной подушке сверхпроводящие катушки с током, размещённые на дне вагона, индуцируют ток в алюминиевых катушках на полотне дороги (рис. I на цветной вклейке, с. 256). Отталкивание сверхпроводящих катушек и катушек на полотне дороги приподнимает вагон над землёй. Движение поезда вызывается взаимодействием сверхпроводящих катушек, расположенных вдоль стенок вагонов, и катушек внутри ограничительных бортиков полотна дороги. В сверхпроводнике индукционный ток существует достаточно долго, поэтому в результате отталкивания токов в сверхпроводнике и в постоянном магните высокотемпературный проводник зависает над магнитом (рис. II на цветной вклейке, с. 256). Индукционные токи, возникающие в проводниках (токи Фуко), используются для их нагревания. На этом принципе основано устройство электропечей для плавки металлов. Тот же эффект используется в бытовых микроволновых СВЧ-печах. Явление электромагнитной индукции позволяет считывать видео- и аудиоинформацию с магнитных лент. Магнитная лента — тонкая пластмассовая лента, покрытая слоем ферромагнитного порошка. При записи информации на магнитную ленту сигнал подаётся на записывающую головку (ферромагнетик С-образной формы с зазором) (рис. 116, а). Магнитное поле, возникающее в зазоре, ориентирует беспорядочно расположенные домены на движущейся магнитной ленте. При воспроизведении записи остаточная индукция доменов, движущихся вместе с лентой, создаёт магнитное поле в зазоре головки воспроизведения (рис. 116, б). Это поле в результате электромагнитной индукции вызывает ЭДС индукции в выходной обмотке головки, подобную записанному сигналу. Электромагнетизм 123 Записываемый сигнал Выходной сигнал Обмотка головки воспроиз- ведения А 116 Запись и воспроизведение информации с помощью магнитной ленты: а) головка записи', б) головка воспроизведения ВОПРОСЫ 1. Какое электрическое устройство называют трансформатором? 2. Какая обмотка трансформатора является первичной и какая вторичной? 3. Дайте определение коэффициента трансформации. Какой трансформатор называется повышающим и какой понижающим? 4. Приведите примеры использования электромагнитной индукции в современной технике. 5. Как производится запись и воспроизведение информации с помощью магнитной ленты? § 35. Генерирование переменного электрического тока ЭДС в рамке, вращающейся в однородном магнитном поле. В проводнике, движущемся в постоянном магнитном поле, генерируется электрическое поле, возникает ЭДС индукции. Происходит преобразование механической энергии проводника в энергию электрического поля. С целью большей компактности генераторов электрического тока в электрическую энергию преобразуется механическая энергия вращательного дви- 124 Электродинамика А 117 Разделение зарядов в рамке, вращающейся в магнитном поле: а) а = 0; б) а = 90° женил, а не поступательного. Основным элементом генератора является рамка, вращающаяся в магнитном поле. Во вращение рамку может приводить паровая машина, двигатель внутреннего сгорания, гидротурбина и т. д. Найдём ЭДС, которая индуцируется в рамке со сторонами а и 6, вращающейся с угловой скоростью со в магнитном поле с индукцией В (рис. 117). В начальном положении угол а, образуемьга вектором индукции В с вектором площади AS, равен нулю (рис. 117, а). В этом положении рамки разделения зарядов не происходит. В правой половине рамки вектор скорости со-направлен вектору индукции, в левой — направлен противоположно ему, поэтому сила Лоренца, действующая на заряды в рамке, равна нулю. При повороте рамки на угол 90° в сторонах рамки под действием силы Лоренца происходит разделение зарядов (рис. 117, б). В сторонах i и 3 возникают одинаковые ЭДС индукции = ^/3 = Разделение зарядов в сторонах 2 и 4 незначительно, и поэтому ЭДС индукции, возникающими в них, можно пренебречь. С учётом того, что V = со^ , полная ЭДС, индуцируемая в рамке, равна = 2^,1 = (oBAS, (88) где AS = аЬ. ЭДС, индуцируемую в произвольном положении рамки в момент времени t, можно найти из закона Фарадея. Магнитный поток через площадь рамки изменяется с течением времени из-за изменения угла а = cot между линиями магнитной индукции и вектором площади: Ф = BAScos cot. (89) Тогда g, = -a>' = g,„„sin<»f, I (90) где — максимальная ЭДС, индуцируемая в рамке; ^ wBAS. Электромагнетизм 125 118^ ЭДС индукции в рамке как функция времени Гармоническая зависимость ^^{t) приведена на рисунке 118. Частота ЭДС индукции v = ^ . Генератор переменного тока. В генераторе переменного тока рамка вращается в магнитном поле, создаваемом постоянным магнитом. (В ряде конструкций рамка неподвижна, а вращается магнит.) Противоположные стороны рамки присоединены к кольцам, с которых с помощью гибких контактов (щёток) снимается индуцированный заряд. Принципиальное устройство генератора переменного тока показано на рисунке III на цветной вклейке (с. 257). Возникающий ток фиксируется осциллографом, а положения рамки показаны через каждую четверть периода её вращения. При f = О и i = Т/2 заряды не разделяются, так как линейные скорости сторон рамки параллельны вектору магнитной индукции В. Когда i = Т/4 и f = ЗТ/4, разделение зарядов на сторонах рамки оказывается одинаковым, однако полярность сигнала, подаваемого на клеммы осциллографа, будет противоположной. Для увеличения генерируемой ЭДС вместо рамки используют катушку с большим числом витков, называемую ротором. При подключении к щёткам нагрузки, потребляющей электроэнергию, через неё пойдёт переменный ток, изменяющийся по гармоническому закону. Закон изменения тока в нагрузке зависит от того, какой элемент электрической цепи используется в качестве нагрузки. ВОПРОСЫ 1. Почему основным элементом генератора является рамка, вращающаяся в магнитном поле? 2. Поясните механизм разделения зарядов в сторонах рамки при её вращении в магнитном поле. 3. Нарисуйте один под другим графики зависимости от времени магнитного потока через вращающуюся рамку и ЭДС индукции в ней. 126 Электродинамика 4. Объясните назначение гибких контактов (щёток) в генераторе переменного тока. 5. Почему в реальном генераторе вместо рамки используют катушку с большим числом витков? ЗАДАЧ И 1. 2. 5. Прямоугольная рамка со сторонами а = 5сми6 = 8см вращается вокруг вертикальной оси с периодом Т = 0,02 с в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл, направленной перпендикулярно оси вращения. Найдите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке, и зависимость ЭДС от времени. [0,63 В] Найдите частоту вращения катушки с числом витков N = 20 в однородном магнитном поле с индукцией В - 0,5 Тл, если максимальная ЭДС в катушке = 7,85 В, а площадь сечения одного витка S = 25 см^. [50 Гц] Ротор генератора переменного тока, представляющий из себя катущку, содержащую 77 = 10 витков, каждый площадью S = 1200 см^, вращается с постоянной частотой у = 50Гц в магнитном поле с индукцией В = 0,58 Тл. Найдите максимальную ЭДС, индуцируемую в обмотке ротора. [220 В] При полёте вертолета плоскость вращения его винта составляет с горизонтом угол а = 30°. Винт радиусом 7? = 5 м вращается с частотой v = 10 Гц. Найдите разность потенциалов между центром и краем винта. Вертикальная составляющая магнитного поля Земли Б = 5 • 10-'^Тл. [тсВуД^зш а = 0,2 В] Проводящая катущка с площадью поперечного сечения S = 100 см2 состоит из N = 200 витков и равномерно вращается с периодом Т = 20 мс в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл вокруг оси, перпендикулярной вектору магнитной индукции. Концы катущки замкнуты на резистор сопротивлением В = 100 Ом. Найдите, как изменяется сила тока через резистор со временем, определите частоту изменения силы тока и максимальное значение силы тока. 2nNBS TR = 1,26А § 36. Передача электроэнергии на расстояние Потери электроэнергии в линиях электропередачи. Электроэнергия производится вблизи источников топлива или гидроресурсов, в то время как её потребители находятся повсеместно. Поэтому возникает необходимость в передаче электроэнергии на большие расстояния. При большой длине линии электропередачи её электрическое сопротивление становится значительным. Это приводит к существенным потерям передаваемой Электромагнетизм 127 мощности в подводящих проводах, пропорциональной сопротивлению линии г. Согласно формуле (46) потери мощности в подводящих проводах составляют р2 ° [/2 где Р — мощность источника тока (генератора), U — передаваемое напряжение. Оценим мощность, теряемую в подводящих проводах. Крупный город потребляет электрическую мощность порядка 20 МВт. Из-за потерь мощности электростанция должна вырабатывать существенно большую мощность. Сопротивление 1 км двухпроводной линии из медного провода диаметром 1 см равно: = р-^ =1 Ом. Тогда при переда- О че электроэнергии при напряжении 200 В потери мощности на 1 км подводящих проводов составляют: ^ Вт/км = 10'^ кВт/км. 200“^ При передаче на расстояние 100 км потери мощности составят 10^кBт. Значительно уменьшить сопротивление линии практически невозможно. Поэтому уменьшение потерь мощности в линиях электропередачи (ЛЭП) достигается за счёт повышения передаваемого напряжения. Потери мощности обратно пропорциональны квадрату передаваемого напряжения. Например, электроэнергия от Самарской ГЭС в Москву передаётся при напряжении 400 кВ. При таком напряжении потери энергии и их стоимость уменьшаются по сравнению с предыдущим вариантом j =4млнраз. Поэтому передача электроэнергии на расстояние требует сначала повышения напряжения с 20 кВ до 400—500 кВ, а затем его снижения до 220 В, сравнительно безопасно используемых потребителем. Подобное изменение напряжения — технически затруднительная проблема при передаче постоянного тока, которая практически отсутствует в линиях электропередачи переменного тока. Это определяет повсеместное применение ЛЭП переменного тока, в которых изменение напряжения осуществляется с помощью трансформаторов. Схема передачи электроэнергии потребителю. Рассмотрим принципиальную схему передачи электроэнергии от генератора к потребителю 128 Электродинамика Промышленное предприятие Потребитель Генератор ЛЭП высокого электростанции напряжения А 119 Принципиальная схема передачи электроэнергии на расстояние и её распределения (рис. 119). Обычно генераторы переменного тока на электростанциях вырабатывают напряжение, не превышающее 20 кВ, так как при более высоких напряжениях резко возрастает возможность электрического пробоя изоляции в катушке (обмотке) и в других частях генератора. Для сохранения передаваемой мощности (снижения потерь мощности) напряжение в ЛЭП должно быть максимальным, поэтому на крупных электростанциях ставят повышающие трансформаторы. Однако напряжение в линии электропередачи ограничено: при слишком высоком напряжении между проводами возникают разряды, приводящие к потерям энергии. Для использования электроэнергии на промышленных предприятиях требуется значительное снижение напряжения, осуществляемое с помощью понижающих трансформаторов. Дальнейшее снижение напряжения до величин порядка 4 кВ необходимо для энергораспределения по местным сетям, т. е. по тем проводам, которые мы видим на окраинах городов. Менее мощные трансформаторы снижают напряжение до 220 В (напряжение, используемое большинством индивидуальных потребителей). В России и странах ЕС (Европейского сообщества) используется переменное напряжение с частотой 50 Гц. Такой эталон частоты выбран с учётом инерционности человеческого зрения, позволяющего различать сигналы длительностью не менее 0,05 с. HacTOTa'Mhfti;-достйьточйа' для того, чтобы человеческий глаз не замечал изменения интенсивности излучения ламп накаливания. Электромагнетизм 129 ВОПРОСЫ 1. Почему повышение напряжения, передаваемого в линии электропередачи, уменьшает потерю мощности в подводящих проводах? 2. Для чего в линиях электропередачи используют повышающие трансформаторы? 3. Чем ограничено повышение напряжения в линиях электропередачи? 4. Зачем при передаче электроэнергии на расстояние используют понижающие трансформаторы? 5. Почему в качестве частоты переменного напряжения используется частота 50 Гц? ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На концах проводника длиной I, движущегося со скоростью v в магнитном поле с индукцией Б^, перпендикулярной скорости движения, возникает разность потенциалов и = vBJ,. Электромагнитная индукция — физическое явление, заключающееся в возникновении электрического тока в замкнутом контуре при изменении потока магнитной индукции, через поверхность, ограниченную этим контуром. Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея): ЭДС электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром: в!=-Ф'. Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет такое направление, что созданный им магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром, препятству- ет изменению магнитного потока, вызвавшего этот ток. Самоиндукция — возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нём силы тока или индуктивности контура. ЭДС самоиндукции в катушке где L — индуктивность катушки. Трансформатор — устройство, применяемое для повышения или понижения переменного напряжения. Коэффициент трансформации k — величина, равная отношению напряжений в первичной и вторичной обмотках трансформатора: k=^ ^ иг- Повышающий трансформатор — трансформатор, увеличивающий напряжение (/е < 1). Понижающий трансформатор — трансформатор, уменьшающий напряжение (k> ^). 5 Фишка. 11 кл. 11|4)|}шл1.иым уровень / Цепи переменного тока § 37. Векторные диаграммы для описания переменных токов и напряжений Представление гармонического колебания на векторной диаграмме. Переменное напряжение, получаемое потребителем от электростанции через ЛЭП, изменяется с течением времени по гармоническому закону. Мгновенное значение напряжения — напряжение в данный момент времени t можно представить в виде: и = U^cos (cot + фо), (91) где С/^ — амплитуда (максимальное значение) напряжения, со — круговая частота колебаний, равная угловой скорости вращения ротора генератора электростанции. Аргумент косинуса ф = (of + определяет фазр колебаний в момент времени t. Фаза колебаний — аргумент функции, описывающей гармонические колебания. У* и = U^cosimt + Фо) Представление гармонического колебания в виде вектора При заданной амплитуде фаза определяет мгновенное значение колеблющейся величины. Начальная фаза колебаний фо — фаза колебаний в начальный момент времени, т. е. при f = 0. Для наглядного описания гармонических колебаний используется метод векторных диаграмм. В методе векторных диаграмм гармоническое колебание представляют в виде вектора. Модуль этого вектора равен амплитуде колебаний, а угол, образуемый вектором с осью X, равен начальной фазе колебаний (рис. 120). Воз- Цепи переменного тока 131 можность такого представления гармонического колебания следует из взаимосвязи гармонического колебательного движения с вращением по окружности (см. Ф-10, § 18). Рассмотрим подробнее эту взаимосвязь, чтобы обосновать метод векторных диаграмм. Предположим, что вектор с модулем 1^ в начальный момент {t = 0) направлен по оси X. Если определить начальную фазу фр как угол, образуемый вектором с осью X в начальный момент времени, то фо = 0. Пусть этот вектор вращается в плоскости XY с угловой скоростью со против часовой стрелки (рис. 121, а). Через время t вектор поворачивается на угол (Of. Проекция вектора на ось X изменяется по косинусоидальному закону /^cos cof. Поэтому косинусоидальное колебание удобно представить в виде вектора длиной направленного по оси X, т. е. имеющего начальную фазу, равную нулю. Любое синусоидальное колебание можно рассматривать как косинусоидальное с определённой начальной фазой. Так как /_sin (Of = I^cos (92) А 121 Векторная диаграмма для: а) косинусоидальных колебаний; б) синусоидальных колебаний то синусоидальное колебание можно представить в виде вектора длиной направленного противоположно оси Y. Этот вектор имеет начальную фазу (-ti/2) (рис. 121, б). Рассмотрим теперь вращение вокруг начала координат вектора с модулем и^, имеющего начальную фазу фд (рис. 122, а). При угловой скорости вращения (О его проекция на ось X изменяется по закону U^cos (cof -I- фд). Косинусоидальное колебание U^cos (of + фд) представляется в виде вектора длиной 17^, составляющего с осью X угол фд (рис. 122, б). Синусоидальное колебание можно выразить как косинусоидальное: U^sin ((Of -f фд) = U^cos (^(Of -Н фд - ^ (93) и поэтому представить вектором длиной U^, составляющим с осью X угол фд - п/2. Этот угол играет роль начальной фазы для этого вектора. При наличии двух гармонических колебаний 132 Электродинамика А 122 Колебания с начальной фазой на векторной диаграмме: а) косинусоидальные’, б) синусоидальные ▲ 123 Разность фаз двух гармонических колебаний {(Sit + cpi), ^2 = + Ф2) (94) их разностью фаз Дф = (pg - на векторной диаграмме является угол между ними (рис. 123). Говорят, что второе колебание опережает первое по фазе на Аф или что первое колебание отстает по фазе от второго на Аф. Такая терминология связана с тем, что векторы вращаются против часовой стрелки. Сложение двух колебаний. Сложение колебаний на векторной диаграмме происходит по правилу сложения векторов, т. е. по правилу параллелограмма или треугольника. Рассмотрим сложение двух колебаний с одинаковой амплитудой и и-^ = U^cos (Sit, U2 = U^sin (Sit. (95) Найдём сначала результат сложения этих колебаний аналитически: и 1 + U2 cos COf -f cos (Sit - ))= = 2C/^cos I cos H^j). (96) Следовательно, Ui -I- Ug = J7^V2 cos ~ 4 )‘ Tot же результат легко получается с помощью векторной диаграммы (рис. 124). Косинусоидальному колебанию соответствует вектор с модулем С/^, направленный по оси X, так как фо = 0. Второе колебание можно тоже записать через косинус с начальной фазой (-тг/2): Uo = L/^cos Этому колебанию соответствует вектор с модулем инаправленный противоположно оси У, так как фо = д/2. Цепи переменного тока 133 Сложение векторов даёт вектор с модулем И начальной фазой (-л/4). Такое колебание описывается зависимостью (97). ВОПРОСЫ 3. 4. 5. А 124 Сложение колебаний на векторной диаграмме 4. 5. Дайте определение мгновенного значения напряжения, фазы колебаний и начальной фазы колебаний. Как гармоническое колебание представляют на векторной диаграмме? Как изображаются на векторной диаграмме косинусоидальное и синусоидальное колебания? Как изображаются на векторной диаграмме два синхронных колебания? Как происходит сложение колебаний на векторной диаграмме? ЗАДАЧИ Напряжение меняется с течением времени по закону и = lOcos (2к/Т) (t + Т/6) В. Найдите амплитуду, круговую частоту, начальную фазу и мгновенное значение напряжения в момент времени t = Т/4. [ЮВ; 2тс/7; тс/З; -8,5 В] Изобразите на векторной диаграмме гармоническое колебание силы тока i = 4cos (10f + Зя/4) А. Изобразите на векторной диаграмме гармоническое колебание напряжения и = 6sin (5f - п/3) В. Какое из двух колебаний и, = 10cos (cof + п/4), Uj = lOsin (cof + тг/4) отстаёт по фазе? Чему равно это отставание? Покажите его на векторной диаграмме. [л/2] Сложите на векторной диаграмме колебания, описанные в задаче 4. Запишите закон результирующего колебания. [14,14 cos cof] § 38. Резистор в цепи переменного тока Сила тока в резисторе. Предположим, что в качестве нагрузки генератора переменного тока используется резистор с сопротивлением R (рис. 125, а). Напряжение, созданное генератором на концах резистора, изменяется по закону и = U^cos (Pt. (97) В соответствии с законом Ома сила тока в резисторе будет • и г г = - = /„jcos cof, (98) где = U„/R — амплитуда силы тока. 134 Электродинамика а) П и А 125 Резистор в цепи переменного тока: а) схема включения', б) изменение со временем напряжения и силы тока; в) векторная диаграмма Напряжение и сила тока в резисторе синхронно меняются с течением времени по косинусоидальному закону (рис. 125, б). Напряжение и сила тока в резисторе совпадают по фазе в любой момент времени. На векторной диаграмме (рис. 125, в) векторы U^ и имеющие нулевую начальную фазу, направлены по оси X. Действующее значение силы переменного тока. При включении в цепь переменного тока амперметра, рассчитанного на измерение постоянного тока, его стрелка будет колебаться с частотой 50 Гц. Однако её колебания, из-за инерции составляющие доли миллиметра, будут незаметны на глаз. Прибор не показывает изменение силы тока в пределах от -1^ до +/^. Напомним, что сила тока 1 А была введена как сила постоянного тока (см. § 25). Возникает вопрос: какой переменный ток эквивалентен по действию постоянному току 1 А? Среди известных действий электрического тока — химического, магнитного и теплового, только тепловое действие не зависит от изменения направления тока. Тепловая мощность, выделяемая в резисторе, пропорциональна квадрату силы тока (см. (44)): Р = HR. Сила переменного тока 1 А — сила тока, выделяющего в проводнике такое же количество теплоты, что и постоянный ток 1 А за тот же промежуток времени. Амперметр переменного тока измеряет действующее значение силы тока. Действующее значение силы переменного тока равно силе постоянного тока, при котором в проводнике вьщеляется такое же количество теплоты, что и при переменном токе за тот же промежуток времени. Цепи переменного тока 135 Если переменный ток изменяется по гармоническому закону, в качестве промежутка времени выбирается период изменения тока. Чтобы найти действующее значение силы тока, протекающего через резистор, воспользуемся выражением для мгновенной мощности тока, выделяемой в резисторе: P_ = i^R= IlRcos^(dt. Учитывая, что cos^co^ = | (1 -I- cos 2соО> получаем: iIr + iIr cos 2со^. (99) 2 2 Графиком зависимости мгновенной мощности тока от времени является косинусоида с амплитудой f^R/2, периодом Т/2 = д/со. Косинусоида сдвинута вверх по вертикальной оси на I‘^R!2 (рис. 126). Равенство количества теплоты, выделяемого за период переменным и постоянным током, означает равенство средних тепло^1х мощностей этих токов. Из рисунка 126 видно, что средняя мощность Р,, выделяемая за период переменным гармоническим током, равна Р =^. Такая же мощность Р_ выделяется в резисторе при протекании посто- янного тока 1 д' Действующее значение силы переменного тока получается, если приравнять эти мощности: 126^ Мгновенная тепловая мощность, выделяемая в резисторе за период изменения силы тока (100) Pi 136 Электродинамика Действующее {эффективное) значение силы переменного гармонического тока в л/2 раз меньше его амплитуды. Аналогично определяется действующее (эффективное) значение переменного гармонического напряжения: ^ 72 (101) в цепях переменного тока резистор часто называют активным сопротивлением. Активное сопротивление — сопротивление элемента электрической цепи, в котором электрическая энергия необратимо преобразуется во внутреннюю. Активным сопротивлением обладают электролампы, электродвигатели, трансформаторы и т. д. ВОПРОСЫ 1. Как связаны между собой напряжение и сила тока в резисторе? 2. Что означает выражение: «Сила переменного тока в 1 А»? Почему сравнивают именно тепловое действие переменного и постоянного токов? 3. Дайте определение действующего значения переменного тока. 4. Как связано действующее значение силы тока (или напряжения) с его амплитудным значением? 5. Какое сопротивление в цепи переменного тока называют активным? § 39. Конденсатор в цепи переменного тока Разрадка конденсатора. В цепи, содержащей конденсатор, постоянный ток протекать не может, так как цепь оказывается разомкнутой. Между обкладками конденсатора нет свободных носителей зарядов ни в воздухе, ни в диэлектрике, так что конденсатор является разрывом цепи для постоянного тока. Зазор между обкладками конденсатора аналогичен пробке в водопроводной системе, которая не позволяет воде постоянно циркулировать, т. е. работать в стационарном (не зависящем от времени) режиме. В то же время пробка не мешает жидкости заполнять систему, а также сливать жидкость, т. е. работать в нестационарном (зависящем от времени) режиме. Аналогичными режимами в электрической цепи является зарядка и разрядка конденсатора, при которых заряженные частицы перемещают- Цепи переменного тока 137 ся по проводникам, соединяющим обкладки конденсатора, но не перемещаются в зазоре между ними. Если заряженный до напряжения Uq конденсатор отключить от источника постоянного тока и соединить его обкладки с клеммами лампы накаливания, наблюдается кратковременная вспышка лампы (рис. 127, а). Ток /р, протекающий через лампу от положительной обкладки к отрицательной, приводит к разрядке конденсатора. Попадающие на отрицательную пластину положительные заряды быстро нейтрализуют её. Время релаксации R — С-цепи. Оценим время разрядки конденсатора ёмкостью С, заряженного до напряжения Uq, через сопротивление R. В отсутствие внешней ЭДС суммарная разность потенциалов в контуре на сопротивлении и конденсаторе равна нулю: С/д+С/с = 0, или IR+Uc = 0. Так как I = q' = Си^, то изменение напряжения на конденсаторе в единицу времени равно {-Uc) i-Uo) Uc = RC (102) Величина (-C/q) в числителе формулы (102) характеризует полное изменение напряжения на конденсаторе при его разрядке. Следовательно, величина Zq = RC в знаменателе формулы (102) определяет по порядку величины время разрядки конденсатора, или время релаксации R—С-цепи. Геометрически производная Uq в формуле (102) характеризуется тангенсом угла наклона касательной к кривой UQ{t). При t = 0 касательная к ◄ 127 U) Разрядка конденсатора: а) через лампу', б) зависимость напряжения на конденсаторе от времени 138 Электродинамика зависимости (рис. 127, б) пересекает ось t в точке = RC. Так можно найти графически время релаксации R—С-цепи. Зарядка конденсатора. Ток смещения. При подключении конденсатора к источнику постоянного напряжения Uq в цепи возникает кратковременный импульс тока /3, который заряжает конденсатор до напряжения источника (рис. 128, а). После зарядки конденсатора ток прекращается. Время релаксации = RC характеризует как время разрядки, так и время зарядки конденсатора (рис. 128, б). При подключении к конденсатору генератора прямоугольных импульсов длительностью Т с амплитудой напряжения Uq (рис. 129, а) зависимость от времени напряжения на конденсаторе повторяет кривые зарядки и разрядки при постоянном напряжении (рис. 129, б). В процессе зарядки ток, протекающий по подводящим проводам, или ток проводимости, создаёт вокруг себя переменное магнитное поле. Линиями индукции этого поля являются концентрические окружности (рис. 130). Так как подводящие проводники располагаются снаружи от конденсатора, то, казалось бы, только снаружи от него должно существовать и магнитное поле. Однако из замкнутости линий индукции магнитного поля следует постоянство его потока через любую поверхность. Поэтому, если существует магнитная индукция вне конденсатора, она должна существовать и внутри него, где ток проводимости отсутствует. Магнитное поле возникает при наличии тока. По определению 7= dt ’ Ггк к ) ■^128 Зарядка конденсатора от источника постоянного напряжения: а) схема зарядки; б) изменение со временем напряжения на конденсаторе Цепи переменного тока 139 •^129 б) Зарядка конденсатора импульсным напряжением’. а) схема зарядки’, б) зависимость напряжения на конденсаторе от времени т. е. сила тока равна изменению заряда в единицу времени. При зарядке плоского конденсатора изменение заряда на его пластинах приводит к изменению напряжённости электрического поля внутри конденсатора. Напряжённость электрического поля внутри плоского конденсатора (см. Ф-10, § 81) равна: Следовательно, сила тока внутри конденсатора связана с изменением напряжённости электрического поля со временем. Такой ток называется током смещения’. Ток смещения, порождающий магнитное поле внутри конденсатора, возникает при изменении с течением времени электрического поля в этой области. 130 Ток смещения при зарядке конденсатора от аккумулятора 140 Электродинамика Изменяющееся во времени электрическое поле (согласно гипотезе Д. Максвелла) является (наряду с движущимися свободными зарядами) источником магнитного поля. Магнитоэлектрическая индукция — явление возникновения магнитного поля в переменном по времени электрическом поле. Между электрическим и магнитным полями существует взаимосвязь и прослеживается симметрия: переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле (электромагнитная индукция), а переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное (магнитоэлектрическая индукция). Эти поля образуют единое электромагнитное поле. Ёмкостное сопротивление. Предположим, что в качестве нагрузки генератора переменного тока используется конденсатор электроёмкостью С (рис. 131, а). Переменное напряжение на обкладках конденсатора изменяется по закону: и = U^cos (Ot. Оно вызывает в конденсаторе переменный ток (ток проводимости в подводящих проводах и равный ему ток смещения между обкладками конденсатора). Установим связь между амплитудами переменного напряжения и тока в цепи. Электрический ток в цепи возникает в результате изменения заряда конденсатора: i = q'. Заряд на его обкладках изменяется по закону: q = Си = си^cos (i>t. (103) и 131 Конденсатор в цепи переменного тока: а) схема включения: б) переменное напряжение и сила тока в цепи конденсатора: в) векторная диаграмма Цепи переменного тока 141 Следовательно, сила тока = ^ =_1 i = ^ = -I^sin Ш, (104) где = соС17^ — амплитуда силы тока. Графиком зависимости силы тока от времени является отражённая от оси t синусоида (рис. 131, б). Для изображения силы тока на векторной диаграмме удобно представить выражение (104) в виде: i = I^cos {(Ot + п/2). (105) Начальная фаза колебаний напряжения равна нулю, а тока — п/2 (рис. 133, в). Колебания силы тока в цепи конденсатора опережают по фазе колебания напряжения на его обкладках на к/2. Мгновенная мощность переменного тока на конденсаторе определяется выражением р = ш =-0,5/^C/^sin 2cof. (106) Из графика зависимости мгновенной мощности на конденсаторе от времени (рис. 132) следует, что среднее значение мощности переменного тока на конденсаторе за период Т равно нулю. Принято говорить, что элементы цепи, для которых средняя мощность переменного тока равна нулю, обладают реактивным сопротивлением. Для этих элементов разность фаз колебаний силы тока и напряжения составляет п/2. Реактивное сопротивление конденсатора называется ёмкостным сопротивлением. Найдём сопротивление конденсатора переменному току, или ёмкостное сопротивление, с помощью закона Ома как отношение амплитуды переменного напряжения к амплитуде силы тока: и. = 1 ©С ’ (107) Ёмкостное сопротивление обратно пропорционально частоте переменного тока. Конденсатор оказывает значительное сопротивление току ма- 132 ► Зависимость мгновенной мощности на конденсаторе от времени 142 Электродинамика лой частоты. Постоянный ток можно рассматривать как предельный случай переменного тока, у которого частота со —> 0. В этом случае и ток через конденсатор не протекает. Для токов высоких частот ёмкостное сопротивление мало. ВОПРОСЫ 1. Почему постоянный ток не может протекать через конденсатор? 2. Что характеризует время релаксации Д—С-цепи? Чему оно равно? 3. Как, зная зависимость напряжения на конденсаторе от времени при разрядке через сопротивление R, можно графически найти время релаксации? 4. Какое физическое явление называют магнитоэлектрической индукцией? 5. Как соотносятся фазы силы тока, протекающего через конденсатор, и напряжения на его обкладках? Чему равно ёмкостное сопротивление конденсатора? 4. ЗАДАЧ И Заряд на обкладках плоского конденсатора с течением времени изменяется по закону q = at - p^^, где а = 10 мкКл/с, р = 0,25 мкКл/с2. Найдите силу тока смещения в момент времени < = 2 с. [9 мкА] Напряжение на конденсаторе электроёмкостью С = 0,5 мкФ изменяется по закону и = 10sin (10Onf) В. Найдите, как изменяется со временем сила тока через конденсатор. [i = 1,57cos (ЮОяО мА] По данным задачи 2 постройте график зависимости мгновенной мощности переменного тока на конденсаторе от времени. При какой частоте переменного тока ёмкостное сопротивление конденсатора электроёмкостью 1 мкФ равно 3,2 кОм? [50 Гц] Постройте график зависимости ёмкостного сопротивления конденсатора от частоты. Как изменится ёмкостное сопротивление при увеличении частоты в 2,5 раза? § 40. Катушка индуктивности в цепи переменного тока Индуктивное сопротивление. Предположим, что в качестве нагрузки генератора переменного тока включена катушка индуктивностью L (рис. 133, а). Переменное напряжение, созданное генератором на катушке, изменяется по закону: и = U^cos Odt. Найдём закон изменения силы тока в катушке. При изменении силы тока в катушке возникает ЭДС самоиндукции: Цепи переменного тока 143 0 U_cos (Ot а) 133 и X «) Катушка индуктивности в цепи переменного тока: а) схема включения', б) переменное напряжение и сила тока в катушке индуктивности; в) векторная диаграмма В любой момент времени ЭДС самоиндукции равна по модулю и противоположна по знаку напряжению на концах катушки, созданному внешним генератором: = t/„cos {pt. Будем искать решение уравнения (108) в виде: i = /;„sin (Pt. Подстановка решения (109) в уравнение (108) даёт: (oL/_cos (Pt = U^cos (Pt. (108) (109) Следовательно, амплитуда силы тока в катушке связана с амплитудой переменного напряжения законом Ома: 1^ = Хг (110) где = (pL — индуктивное сопротивление катушки. Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте переменного тока. При увеличении частоты тока вихревое электрическое поле заметно препятствует тем изменениям тока, которые его вызвали. Разность фаз между силой тока в катушке и напряжением на ней. Графиком зависимости (109) силы тока от времени является синусоида (рис. 133, б). Для изображения силы тока на векторной диаграмме удобно представить выражение (109) в виде: 144 Электродинамика i=I^cos (Ill) -n/2 Начальная фаза колебаний напряжения равна нулю, а тока (рис. 133, в). Колебания силы тока в катушке индуктивности отстают по фазе на п/2 от колебаний напряжения на ней. Мгновенная мощность переменного тока в катушке определяется выражением р = ш = 0,5/^C/^sin 2cot. (112) Из графика зависимости мгновенной мощности в катушке от времени (рис. 134) следует, что среднее значение мош,ности переменного тока в катушке индуктивности за период Т равно нулю. Индуктивное сопротивление является реактивным сопротивлением. ВОПРОСЫ 1. Почему при изменении силы тока в катушке в ней возникает ЭДС самоиндукции? 2. Чему равно индуктивное сопротивление катушки? 3. Как соотносятся фазы силы тока, протекающего через катушку индуктивности, и напряжения на ней? 4. Чему равно среднее значение мощности переменного тока в катушке за период? 5. Почему индуктивное сопротивление катушки называют реактивным сопротивлением? ЗАДАЧ И 1. Рассчитайте величину индуктивного сопротивления катушки индуктивностью L = = 20 мГн на частоте 50 Гц. [6,28 0м] 2. Постройте график зависимости индуктивного сопротивления катушки от частоты переменного тока. Как изменится индуктивное сопротивление при увеличении частоты в 3 раза? 3. Катушка индуктивностью L = 10 мГн обладает активным сопротивлением 10 Ом. При каком значении частоты переменного тока индуктивное сопротивление катушки будет в 10 раз больше её активного сопротивления? [ 1590 Гц] ◄ 134 ^ Зависимость мгновенной мощности в катушке от времени Цепи переменного тока 145 Катушка индуктивностью L = 0,35 Гн включена в сеть с действующим значением напряжения t/д = 220 В и частотой v = 50 Гц. Найдите действующее значение силы тока, протекающего через катущку. Изобразите напряжение и силу тока на векторной диаграмме. [2 А] К катушке приложено напряжение, изменяющееся с течением времени по закону м = 311cos (ЮОпО- Найдите индуктивность катушки, если действующее значение силы тока, протекающего через неё, равно 7 А. [0,1 Гн] § 41. Свободные гармонические электромагнитные колебания в колебательном контуре Энергообмен между электрическим и магнитным полями. Колебания силы тока в нагрузке генератора переменного тока являются вынужденными колебаниями, возникающими под действием приложенного переменного напряжения. Такими колебаниями являются, например, колебания силы тока в резисторе, конденсаторе, катушке индуктивности. Однако существует также замкнутая электрическая цепь — колебательный контур, в котором могут возникать свободные электромагнитные колебания. Колебательный контур — цепь, состоящая из последовательно включённых катушки индуктивностью L, конденсатора ёмкостью С и проводов сопротивлением R. Обычно активное сопротивление проводов и катушки пренебрежимо мало {R ~ 0). Электромагнитные колебания заряда и силы тока в колебательном контуре сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в L—С-контуре. Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды I^q. Тогда в начальный момент времени (t = 0) (рис. 135) между обкладками конденсатора возникает электрическое поле. Полная энергия в контуре определяется энергией электрического поля конденсатора: w = w-$,. Р 2С 146 Электродинамика q . i -U_ A 135 Энергообмен между электрическим и магнитным полями в колебательном контуре Цепи переменного тока 147 При замыкании ключа в контуре возникает возрастаюы];ий со временем ток. Этот ток нейтрализует заряд на пластинах конденсатора, приводя к его разрядке. В результате энергия электрического поля д^/(2С) уменьшается, а энергия магнитного поля катушки L/^/2 возрастает. Полная энергия в контуре сохраняется, так как на нагревание она не расходуется (R ~ 0). Энергия электромагнитного поля в любой момент времени остаётся равной электрической энергии конденсатора в начальный момент времени: 2С 2 2С * (113) В момент времени t = Т/4, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обрагцается в нуль, а энергия магнитного поля (а следовательно, и сила тока) достигает максимального значения: г2 W = W^ = ы: (114) Начиная с этого момента сила тока в контуре убывает; следовательно, уменьшается магнитный поток в катушке (Ф = Ы). Согласно правилу Ленца, изменению магнитного потока препятствует индукционный ток, протекающий в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начинает перезаряжаться, между его обкладками возникает электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который в момент времени ^ = Г/2 обращается в нуль. В этот момент времени заряд +Qq на обкладках достигнет первоначального значения, при этом знак заряда окажется противоположным первоначальному. Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении и через такой же промежуток времени Т/2, т. е. в момент времени t = Т, система вернётся в первоначальное состояние. После этого начнётся самопроизвольное повторение рассмотренного цикла. В отсутствие потерь на нагревание проводов (7? = 0) в контуре совершаются гармонические незатухающие колебания заряда на обкладках конденсатора и силы тока в катушке индуктивности. Частота и период собственных гармонических колебаний. Найдём уравнение этих колебаний с помощью закона Ома. ЭДС самоиндукции катушки равна разности потенциалов на пластинах конденсатора: -Ы' = Ur (115) Учитывая, что i = д\и^ = получаем (116) 148 Электродинамика Проверим подстановкой, что решением уравнения (116) является функция q = QqCOS (dQt, (117) для которой при t = О, q = qQ. При вычислении второй производной от q по времени отметим, что её первая производная равна силе тока: i = q' = -9o®oSin cOq^ = -/^sin cOq^; Im = (H^) q" = -q^is^cos (119) Подставим выражения для q из (117) и q" из (119) в уравнение (118): -L^qCoJcOS (Oq^ ^ cos COq^. Яо Перенося - — cos cOgf в левую часть уравнения с противоположным знаком и вынося ^qCos cOq^ за скобки, получаем выражение для круговой частоты собственных колебаний в контуре'. 1 Юп = Jlc' (120) Период собственных колебаний заряда на конденсаторе и силу тока в катушке индуктивности позволяет определить следуюш;ая формула, впервые полученная в 1853 г. гшглийским учёным Уильямом Томсоном’. О)о (121) X 0)о Q о Qo А 136 Сила тока и заряд в колебательном контуре На векторной диаграмме видно, что колебания силы тока, изменяющейся по закону i = 7^cos (cOgi + п/2) (сравните с формулой (118)), опережают колебания заряда на п/2 (рис. 136). В реальном колебательном контуре свободные электромагнитные колебания являются затухающими из-за вьщеления джоулева тепла в проводнике катушки (Д 0) (а также из-за излучения электромагнитных волн). Однако на протяжении небольших интервалов времени собственные электромагнитные колебания в контуре можно считать гармоническими, происходящими по законам (117), (118). ВОПРОСЫ 1. Какую электрическую цепь называют колебательным контуром? 2. Почему сохраняется полная энергия электромагнитного поля в колебательном контуре? Цепи переменного тока 149 3. Объясните, почему в контуре возникают гармонические незатухающие колебания заряда и силы тока. 4. По какому закону изменяют со временем заряд на конденсаторе и силу тока в катушке индуктивности? 5. Как зависит период собственных колебаний в колебательном контуре от величины электроёмкости конденсатора и индуктивности катушки? ЗАДАЧИ 1. Конденсатор электроёмкостью 1 мкФ, заряженный до напряжения 225 В, подключили к катушке с индуктивностью 10 мГн. Найдите максимальную силу тока в контуре. [2,25 А] 2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 4 мГн и плоского воздушного конденсатора. Площадь пластин конденсатора S = 10 см2, расстояние между ними d = 1 мм. Найдите период собственных колебаний в контуре. [1,18 мкс] 3. Найдите диапазон частот v^—Vg колебаний в контуре с катушкой, индуктивность ко- торой L = 1 мГн, и конденсатором, ёмкость которого может изменяться в пределах от Cl = 40 пФ до Cg = 90 пФ. [800—530 кГц] 4. Колебательный контур состоит из двух одинаковых конденсаторов, включённых по- следовательно, и катушки индуктивности. Период собственных колебаний контура Г = 50 МКС. Чему равен период колебаний контура, если конденсаторы включить параллельно? [100 мкс] 5. Напряжение на конденсаторе ёмкостью С = 1 мкФ, включённом в колебательный контур, изменяется по закону Uq = 200cos (lO^t). Найдите индуктивность контура и максимальную силу тока в нём. [1 Гн; 0,2 А] §42. Колебательный контур в цепи переменного тока Вынужденные электромагнитные колебания в колебательном контуре. Для получения электромагнитных колебаний в реальном колебательном контуре (в котором нельзя пренебречь джоулевыми потерями энергии, i? 7=: 0) надо компенсировать потери энергии на нагревание проводников. Такая компенсация возможна при подключении контура в цепь генератора переменного тока, осуществляющего постоянную «подпитку» контура энергией (рис. 137, а). Предположим, что сила переменного тока частотой V, протекающего через L—С—jR-контур, изменяется по гармоническому закону (рис. 137, б)\ i = I^QOS(£it. (122) Найдём полное сопротивление колебательного контура. Согласно закону Ома это сопротивление определяется отнощением амплитуды при- 150 0 R 137 a) i = I cos (at 6) Колебательный контур в цепи переменного тока: а) схема включения', б) график изменения силы тока; в) графики напряжений на элементах цепи Электродинамика ложенного к контуру напряжения к амплитуде силы тока, протекающего в нём: 1^ (123) В любой момент времени мгновенное значение приложенного напряжения равно сумме мгновенных значений напряжений на последовательно включённых элементах цепи: резисторе катушке индуктивности и конденсаторе и = +Uq. (124) Напряжение на резисторе совпадает по фазе с силой тока (см. § 39): 1/д = (7д^со8 со^, (125) ^Rm ^ Колебания напряжения на катушке индуктивности опережают по фазе колебания силы тока в ней на тс/2 (см. § 41): U]^ = Uj^^cos (со^ -I- тс/2), (126) ^Lm ~~ ^m^L ~ ^ Колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе от колебаний силы тока на тс/2 (см. § 40): ttQ = UQ^cos{(Pt-п/2), (127) Цепи переменного тока 151 ^Ст * Зависимости мгновенных напряжений на элементах контура от времени приведены на рисунке 137, в. Амплитуду напряжения, приложенного к контуру, особенно легко получить с помощью векторной диаграммы в результате сложения векторов и (рис. 138). Изобразим на диаграмме векторы, соответствующие колебаниям силы тока и напряжений ^Lm ^ ^Ст (рис. 138, о). Сложение противоположно направленных векторов и даёт вектор и направленный в сторону боль- шего по модулю вектора UАмплитуда напряжения иприложенного к колебательному контуру, находится из теоремы Пифагора (рис. 138, б): UcmY (128) Подставляя в выражение (130) значения амплитуд Ucm^ получаем: и^ = т (129) Yi и, Lm О и, Вт а) X б) А 138 Мгновенное значение напряжения, приложенного к контуру, изменяется по гармоническому закону: и = U^cos ((at + ф), где ф — сдвиг по фазе между напряжением и силой тока: coL - 1/(соС) Векторная диаграмма для колебательного контура: а) напряжение на элементах', б) напряжение, приложенное к контуру ф = arctg R (130) Полное сопротивление колебательного контура зависит от частоты тока: и Z = ^ = R^ + h-^J (131) 152 Электродинамика Резонанс в колебательном контуре. Если амплитуда переменного напряжения, приложенного к колебательному контуру, постоянна, то амплитуда вынужденных колебаний силы тока в контуре зависит от частоты: (132) г __ m ___ Z ~ Амплитуда силы тока будет максимальной при минимальном полном сопротивлении (знаменатель формулы (132)). Сопротивление В не зависит от частоты, а минимальное значение квадрата разности coL и 1/(соС) равно нулю. Поэтому максимальная амплитуда силы тока возникает, если: coL = -^. соС Это равенство справедливо, если частота вынужденных колебаний (D = Jlc = 0). (133) Полученная резонансная частота совпадает с частотой собственных колебаний в контуре. Резонанс в колебательном контуре — физическое явление резкого возрастания амплитуды колебаний тока в контуре при совпадении частоты вынужденных колебаний с частотой собственных колебаний в контуре. Резонансная кривая — график зависимости амплитуды вынужденных колебаний силы тока от частоты приложенного к контуру напряжения. Для построения резонансной кривой рассмотрим предельные случаи малых (со <5С cOq) частот и больших (со ^ cOq) частот, а также случай резонанса (со = (Oq)- 1. При малой частоте, когда со ^ О, наибольшей величиной в знаменателе равенства (132) является 1/(соС). Извлекая квадратный корень из знаменателя, получаем: 1т = т. е. - (0. 2. При высокой частоте, когда со ^ оо, доминируюш;ей величиной в знаменателе выражения (132) является coL. После извлечения квадратного корня из знаменателя, находим Цепи переменного тока 153 1 / те / ~- (oL ’ (0 ■ 3. При резонансе /^ = U^IRy поэтому график резонансной кривой имеет характерный максимум при со = (Oq (рис. 139). Чем больше активное сопротивление, тем менее резко выражен резонанс. Явление резонанса широко используется в радиотехнике: в схемах настройки радиоприёмников, усилителей, генераторов высокочастотных колебаний. Колебательный контур служит для выделения сигнала требуемой частоты в схеме настройки радиоприёмника на нужную станцию, ведуш;ую передачи на определённой частоте со. Катушка контура является вторичной обмоткой трансформатора, в котором наводится переменное напряжение от катушки антенны, яв-ляюпдейся его первичной обмоткой (рис. 140). Собственная частота колебательного контура изменяется при изменении ёмкости конденсатора (cOq = 1/JlC). При C0q= со принимаемый сигнал создаёт в контуре силу тока, заметно превышающую сигналы других частот. Дальнейшая обработка принимаемого входного сигнала облегчается, если амплитуда сигнала достаточно велика. А 139 Резонансная кривая для колебательного контура С А 140 Входная цепь простейшего радиоприёмника ВОПРОСЫ 1. Какова зависимость от времени напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе в колебательном контуре, если напряжение на резисторе изменяется с течением времени по закону Ид = [/д^соз coi? 2. Изобразите на векторной диаграмме векторы, соответствующие колебаниям силы тока и напряжений на элементах контура L, С, R. 3. Как полное сопротивление колебательного контура переменному току зависит от частоты тока и параметров контура L,C,R7 4. Охарактеризуйте явление резонанса в колебательном контуре. Как используется явление резонанса в радиотехнике? 5. Нарисуйте резонансную кривую при двух различных значениях активного сопротивления. 154 Электродинамика ЗАДАЧИ 1. Колебательный контур включён в сеть переменного напряжения. Действующее значение напряжения на конденсаторе = 100 В, на катушке индуктивности Uj^ = 60 В, на резисторе Ujj = 30 В. Найдите действующее значение напряжения сети. [50 В] 2. Колебательный контур состоит из конденсатора с ёмкостным сопротивлением = 2,5 кОм и катушки индуктивности, индуктивное сопротивление которой Xj^ = 2 кОм. Найдите полное сопротивление контура. [500 Ом] 3. Колебательный контур, подключённый к генератору, содержит резистор, сопротив- ление которого R = 5 Ом, катушку индуктивностью L = 5 Гн и конденсатор. Определите электроёмкость конденсатора, при которой в контуре при частоте 1 кГц возникает резонанс. Найдите показание амперметра (включённого в сеть) при резонансе, если действующее напряжение на генераторе 220 В. [5 нф; 44 А] 4. Электрическая цепь состоит из катушки индуктивностью L = 0,2 Гн, конденсатора ёмкостью С = 0,1 мкФ и резистора сопротивлением R= 367 Ом. Найдите индуктивное сопротивление х^^, ёмкостное сопротивление х^ и полное сопротивление контура Z при частоте тока v = 1 кГц. [л:^r = 1,26 кОм; = 1,6 кОм; Z = 500 Ом] 5. К генератору переменного тока с частотой v = 100 Гц подключены катушка индуктив- ностью L = 0,5 Гн, конденсатор ёмкостью С = 4 мкФ и резистор сопротивлением 7? = 54 Ом. Сила тока в цепи I = 0,5 А. Найдите полное сопротивление цепи и максимальное напряжение на генераторе. [100 Ом; 37,8 В] § 43. Примесный полупроводник — составная часть элементов схем Собственная проводимость полупроводников. Стремительный прогресс и миниатюризация электроники, повсеместно используемой в компьютерах, радио, телевидении, космической связи, системах автоматики и робототехники, стали возможными благодаря использованию интегральных схем. Эти схемы содержат огромное число элементов: диодов, транзисторов, конденсаторов. В наручных часах около 5000 транзисторов, в карманном калькуляторе около 20 000, а в компьютерном чипе их число может превысить миллион. Составной частью этих миниатюрных элементов схем являются полупроводники. Как известно (см. § 6), к полупроводникам относят вещества, удельное сопротивление которых является промежуточным между удельными сопротивлениями проводников, хорошо проводящих электрический ток, и диэлектриками, практически его не проводящими. Проводимость чистых полупроводников в отсутствие примесей называют собственной проводимостью, так как она определяется свойствами самого полупроводника. Цепи переменного тока 155 Существует два механизма собственной проводимости — электронная и дырочная. Электронная проводимость осуществляется направленным перемещением в межатомном пространстве свободных электронов, покинувших валентную оболочку атома в результате нагревания полупроводника или под действием внешних полей (рис. 141, а). Вакантное электронное состояние в атоме, образовавшееся при возникновении свободного электрона, обладает положительным зарядом и называется дыркой (рис. 141, б). Валентный электрон соседнего атома, притягиваясь к дырке, может перескочить в неё {рекомбинировать). При этом на его прежнем месте образуется новая дырка, которая затем может аналогично перемещаться по кристаллу. Дырочная проводимость осуществляется при направленном перемещении валентных электронов между электронными оболочками соседних атомов на вакантные места (дырки). Собственная проводимость полупроводников обычно невелика, так как мало число свободных зарядов. Донорные и акцепторные примеси. Примеси в полупроводнике — атомы посторонних химических элементов, содержащиеся в основном полупроводнике. б) 141 Собственная проводимость полупроводника: а) электронная проводимость {образование свободного электрона и дырки): б) дырочная проводимость {перемещение валентного электрона) Дозированное введение в чистый полупроводник примесей позволяет целенаправленно изменять его проводимость. Примесная проводимость — проводимость полупроводников, обусловленная внесением в их кристаллические решётки примесей. Изменяя концентрацию атомов примеси, можно значительно изменить число носителей заряда того или иного знака. Знак носителей заряда определяется валентностью атомов примеси. Различают донорные (от лат. donor — дарить) и акцепторные (от лат. 156 Электродинамика acceptor — принимать) примеси. Валентность атомов донорной примеси больше валентности основного полупроводника. Валентность атомов акцепторной примеси меньше валентности основного полупроводника. Типичным примером донорной примеси в четырёхвалентном германии Ge являются пятивалентные атомы мышьяка As. Четыре валентных электрона атома As связаны попарно сильными ковалентными связями с электронами соседних атомов Ge (рис. 142, а). Пятый валентный электрон слабее связан с атомом примеси. При внесении полупроводника с донорной примесью в электрическое поле этот электрон легко отрывается от атома, становясь свободным. При добавлении одной десятимиллионной доли атомов мышьяка в германии при комнатной температуре концентрация свободных электронов, поставляемых атомами примеси, в тысячу раз превышает концентрацию свободных электронов и дырок в чистом полупроводнике. Полупроводник с донорной примесью называют полупроводником п-типа (от лат. negativus — отрицательный), так как он обладает преимущественно электронной проводимостью. Примером акцепторной примеси в германии Ge являются трёхвалентные атомы галлия Ga (рис. 142, б). Для образования парноэлектронных связей с четырьмя ближайшими соседями у атома Ga не хватает одного электрона. Недостающая вакантная связь является дыркой. Её может заполнить валентный электрон соседнего атома. При этом электронейт- a^ 142 б) Фрагмент кристаллической решётки примесных полупроводников'. а) донорный полупроводник', б) акцепторный полупроводник Цепи переменного тока 157 ральный атом Ga, получивший дополнительный электрон, превраш;ается в отрицательный ион Ga", а дырка возникает у соседнего атома, потерявшего валентный электрон. Из-за этого число дырок возрастает, и полупроводник приобретает преимуш;ественно дырочную проводимость. Полупроводник с акцепторной примесью называют полупроводником р-типа (от лат. positivus — положительный), так как дырка имеет положительный заряд. ВОПРОСЫ 1. Какую проводимость полупроводников называют собственной? Какие известны механизмы собственной проводимости? 2. Как осуществляется электронная и дырочная проводимость? 3. Какую проводимость полупроводников называют примесной? Охарактеризуйте донорную и акцепторную примеси. 4. Приведите пример полупроводника с донорной примесью. Почему его называют полупроводником л-типа? 5. Приведите пример полупроводника с акцепторной примесью. Почему такой полупроводник называют полупроводником р-типа? § 44. Полупроводниковый диод р — /1-Переход. В месте контакта примесных полупроводников образуется особый слой. р—/1-Переход — контактный слой двух примесных полупроводников р- и /1-типа. Характерной особенностью р—/г-перехода является его односторонняя проводимость: он пропускает ток практически только в одном направлении (от полупроводника р-типа к полупроводнику /г-типа). Для получения р—п-перехода кристалл полупроводника (Ge, Si) с примесью р-типа (Ga, In) нагревается до температуры порядка 1000 К. При этой температуре пар примеси /г-типа (As, Р), направляемый на поверхность кристалла, диффундирует в неё. При этом на поверхности кристалла образуется область, представляюш;ая из себя полупроводник /г-типа. Снаружи этот полупроводник покрывается защитной окисной плёнкой. В едином монокристалле возникают два контактирующих друг с другом полупроводника р- и /г-типа. При образовании такого контакта свободные электроны из /г-области благодаря тепловому движению начинают диффундировать в р-область 158 Электродинамика (где их мало). Аналогично дырки из р-области (где их много) диффундируют в д-областьЧ При обмене частицами р-область приобретает отрицательный заряд, создаваемый нескомпенсированными отрицательными ионами акцептора (Ga"). Эти ионы образуются как в результате рекомбинации свободных электронов из тг-области с дырками, так и за счёт ухода дырок в /г-область (рис. 143, а). В то же время д-область приобретает положительный заряд, образованный нескомпенсированными отрицательными ионами донора. Эти ионы образуются как в результате ухода свободных электронов в р-область, так и в результате рекомбинации дырок из р-области с электронами. Таким образом, в р—я-переходе образуется двойной электрический слой. Напряжённость поля этого запирающего слоя направлена от п- к 143^ Образование двойного электрического слоя в р—п-переходе: а) физические процессы; б) полярность напряжения а) . |>3 Д Л О _ ^ i Дырки Свободные электроны б'. ^ Реально происходит перемещение валентных электронов между соседними атомами из л-области в р-область, но при этом дырки синхронно смещаются в противоположном направлении. Цепи переменного тока 159 /7-полупроводнику (от плюса к минусу), препятствуя дальнейшему разделению зарядов (рис. 143, б). Запирающий слой — двойной слой разноимённых электрических зарядов, создаюнщй электрическое поле на р—п-переходе, препятствующее свободному разделению зарядов. Разность потенциалов на запирающем слое у германия оказывается порядка С/д = 0,3 В. В некотором смысле запирающий слой аналогичен заряженному конденсатору. Приложение к р—/г-переходу напряжения противоположной полярности — прямое включение (плюс — к /7-полупроводнику и минус — к полупроводнику п-типа) — ослабляет запирающее поле. При этом на контакте вновь возникает движение зарядов электронов из п- в /7-область, а дырок — из р- в /г-область. При прямом включении р—я-перехода в цепь к источникам напряжения электрический ток протекает в прямом направлении: из р- в я-область. Чем больше приложенное напряжение, тем больше сила тока. Сила тока через р—я-переход резко возрастает, когда приложенная разность поте1щиалов превосходит напряжение на запирающем слое, т. е. при U > U^. Обратное включение р—я-перехода, когда плюс внешнего источника напряжения подсоединяется к я-полупроводнику, а минус — к р-полу-проводнику, увеличивает запирающее напряжение. Увеличение запирающего напряжения блокирует движение основных носителей тока (заряженных частиц, имеющих максимальную концентрацию) — электронов из я-области и дырок из р-области. Поэтому незначительный ток в р—я-переходе может протекать лишь вследствие движения неосновных носителей (заряженных частиц, концентрация которых значительно меньше концентрации основных носителей) — свободных электронов из р-области и дырок из я-области. Небольшая концентрация неосновных носителей приводит к тому, что при обратном включении ток через р—я-переход оказывается пренебрежимо малым. Зависимость силы тока через р—я-переход от напряжения, приложенного к нему, или вольт-амперная характеристика р—я-перехода приведена на рисунке 144. Полупроводниковый диод. Выпрямление переменного тока. Для преобразования переменного тока в постоянный в электронных схемах используется полупроводниковый диод. Полупроводниковый диод — элемент электрической системы, содержащий р—я-переход и два вывода для включения в электрическую цепь. 160 Электродинамика Обратное включение I, мА Прямое включение На электрических схемах полупроводниковый диод изображается символом —^|—, в котором направление стрелки соответствует направлению прямого тока через диод (от р- к л-полу-проводнику). Способность р—п-перехода пропускать ток практически только в одном направлении используется для преобразования (с помощью диода) переменного тока, изменяющего своё направление, в постоянный (точнее пульсирующий) ток одного направления. Постоянное напряжение используется в электродвигателях и электронных схемах. При подключении переменного импульсного напряжения к диоду в прямом направлении через диод протекает ток, а напряжение на сопротивлении нагрузки Лд изменяется со временем подобно напряжению на генераторе (рис. 145, а). Отрицательный импульс напряжения, соответствующий обратному включению, не проходит через диод, поэтому напряжение на равно нулю (рис. 145, б). При включении диода в цепь источника переменного напряжения ток через диод проходит только в течение половины периода, когда гармонически изменяющее напряжение приложено к диоду в прямом направлении - + А 144 Вольт-амперная характеристика р—п-перехода 145 ► Полупроводниковый диод как выпрямитель переменного тока: а) прямое включение', б) обратное включение; в) однополупериодное выпрямление О Л и) О ■'кА. О t в) Цепи переменного тока 161 “t Гц А 146 Мастиковая схема двухполупериодного выпрямления: а) положительный импульс, б) отрицательный импульс', в) переменное напряжение (рис. 145, в). Подобное выпрямление тока называют поэтому однополупе-риодным выпрямлением. Мостиковая- схема (рис. 146) обеспечивает прохождение тока через нагрузку на протяжении всего периода переменного напряжения генератора, или двухполупериодное выпрямление. При подключении мостика к импульсному источнику (рис. 146, а) ток протекает через диод Д1, резистор R (вниз) и диод ДЗ. При изменении полярности импульсного источника путь тока изменяется: через диод Д2, резистор R (вниз) и диод Д4 (рис. 146, б). При подключении мостика к источнику гармонического переменного напряжения ток через сопротивление нагрузки протекает при любой полярности этого напряжения (рис. 146, в). ВОПРОСЫ 1. Какой контактный слой называют /?—п-переходом? Как он получается технологически? 2. Какой слой называется запирающим в р—л-переходе? Как образуется запирающий слой в р—л-переходе? 3. Какое присоединение внешнего напряжения к р—л-переходу называют прямым (обратным) включением? Какие носители тока называют основными, а какие неосновными? 4. Объясните ход вольт-амперной характеристики р—л-перехода. 5. Приведите электрические схемы и объясните различие одно- и двухполупериодного выпрямления. 6 <1>измка. М кл. 11{Х1фи;|1«11ыП уроисиь 162 Электродинамика § 45. Транзистор п—р — п- и р — п—/7-транзисторы. Если необходимо преобразовать или усилить переменный ток, в электронных схемах используют транзистор^. Транзистор — полупроводниковый прибор с двумя р—п-перехо-дами и тремя выводами для включения в электрическую цепь. а) Подложка Коллектор Контакт коллектора База {р-типа) Эмиттер {п-типа) Контакты А 147 п—р—п-Транзистор: а) принципиальное устройство', б) обозначение-, в) движение зарядов п—р—тг-Транзистор образует три тонких слоя примесных полупроводников (рис. 147, а): эмиттер, базу и коллектор. Эмиттер, являющийся в п—р—д-транзисторе источником свободных электронов, изготавливается из полупроводника д-типа с высокой концентрацией примеси. База, регулирующая силу тока в транзисторе, представляет из себя особенно тонкий слой (толщиной порядка 10 мкм) полупроводника р-типа с небольшой концентрацией примеси. Коллектор, перехватывающий поток носителей заряда, идущих от эмиттера через базу, имеет с этой целью наибольшую площадь контакта. Коллектор изготавливается из полупроводника д-типа с небольшой концентрацией примеси. В д—р—д-транзисторе основными носителями заряда являются свободные электроны, движущиеся от эмиттера к коллектору. Соответственно ток, за направление которого принимается направленное движение положительных зарядов, протекает от коллектора к эмиттеру (рис. 147, в). Поэтому на условном обозначении д—р—д-транзистора стрелка направлена от базы к эмиттеру (рис. 147, б). Аналогично устройство и р—д—р-транзистора, в котором основными носителями заряда являются дырки, движущиеся от эмиттера к коллектору. В этом же направлении протекает ток через эмиттер. Это учитывает- ^ Слово «транзистор» образовано от английских слов transfer — «переносить» и resistor — «сопротивление». Цепи переменного тока 163 а) Запирающий слой ^ (база—коллектор) Запирающий слой (эмиттер—база) Электроны А 148 Электрические заряды и направление токов в п—р—п-транзисторе: а) не включённом в электрическую цепы, б) включённом в электрическую цепь ся в условном обозначении на схемах р—п—р-транзистора, где стрелка направлена от эмиттера к базе (см. рис. 149, а). Если п—р—я-транзистор не включён в электрическую цепь, то на р—д-переходах образуется запирающий слой (рис. 148, о). При подключении транзистора в электрическую цепь по схеме, приведённой на рисунке 148, б, на п—р-переход эмиттер—база подаётся небольшое прямое напряжение C/g, а на р—я-переход база—коллектор обратное напряжение C/g.. При прямом включении напряжения свободные электроны из эмиттера диффундируют в базу и благодаря её малой толщине почти все достигают коллекторного перехода (/g /3). Под действием положитель- ного потенциала источника электроны притягиваются к коллектору, так что через сопротивление протекает сила тока « /3. Сила тока 1^, протекающего через коллектор (и соответственно через сопротивление нагрузки), значительно превышает силу тока /g через базу. Небольшая сила тока через базу вызывает значительную силу тока в нагрузке, поэтому транзистор может быть использован для усиления электрических сигналов. Напряжение на сопротивлении нагрузки значительно превышает напряжение, приложенное между базой и эмиттером: и, = 1Л»^ь- 164 Электродинамика Запирающий слой (база—коллектор) ^ Б Электроны Запирающий слой (эмиттер—база) Дырки б) К с)лек троны " II i® Ток А 149 Электрические заряды и направление токов в р—п—р-транзисторе: а) не включённом в электрическую цепь-, б) включённом в электрическую цепь Распределение зарядов и направление токов в р—п—р-транзисторе, не включённом в аналогичную электрическую цепь, показаны на рисунке 149, а. Противоположная полярность источников тока в схеме на рисунке 149, б по сравнению с предыдущей схемой объясняется тем, что в р—п—р-транзисторе основными носителями зарядов являются дырки из эмиттера. Усилитель на транзисторе. Одной из наиболее распространённых схем усиления слабых электрических сигналов, использующих транзистор, является схема с общим эмиттером. Такое название схемы связано с тем, что эмиттер включён как в цепь базы, так и в цепь коллектора (рис. 150). ◄ 150 Усилитель на транзисторе (схема с общим эмиттером) Цепи переменного тока 165 По сравнению со схемой включения транзистора, изображённой на рисунке 148, б, в схеме с общим эмиттером есть лишь одно изменение: в цепь база—эмиттер включён источник слабого переменного гармонического сигнала: = ^cosin (0^. Разность потенциалов между базой и эмиттером ^БЭ ~ ~ ^Б всегда положительна, так как < U^. Это означает, что к р—/г-переходу база—эмиттер напряжение t/gg в любой момент времени прикладывается в прямом направлении, поэтому через переход всё время протекает ток. Как отмечалось выше, небольшое изменение входного напряжения цепи база—эмиттер = Al/gg вызывает значительное изменение напряжения на сопротивление нагрузки, или выходного напряжения = AC/„). Коэффициент усиления — отношение изменения выходного напряжения к изменению входного: k = Для подобной схемы коэффициент усиления может быть порядка 1000. Генератор на транзисторе. Частота 50 Гц электрического тока, вырабатываемого генераторами электростанций, определяется числом оборотов вокруг своей оси ротора генератора. Однако механическое вращение с частотой 1—1000 мГц, необходимой для радио-и телекоммуникации, невозможно. Поэтому электрические колебания высокой частоты получают с помощью генератора на транзисторе. Основными элементами генератора на транзисторе являются транзистор, колебательный контур и источник постоянного тока, включённые в цепь эмиттер—коллектор, катушка индуктивности в цепи база—эмиттер, индуктивно свя- занная с катушкой индуктивности L контура (рис. 151). Генератор должен вырабатывать незатухающие колебания. Собственные электромагнитные колебания в контуре являются затухающими. А 151 Генератор на транзисторе 166 Электродинамика 152 ► Транзистор как электронный ключ: а) цепь замкнута', б) цепь разомкнута б) К С/. так как энергия колебаний теряется на активном сопротивлении провода, из которого изготовлена катушка индуктивности. Если эти потери энергии компенсируются поступлением энергии в контур от источника внутри системы, возможна генерация незатухаюш;их колебаний, или автоколебаний. В схеме генератора на транзисторе, приведённой на рисунке 151, поступление энергии в контур (подзарядка конденсатора) происходит в тот момент, когда на его нижней пластине скапливается максимальный положительный заряд. Для этого через эмиттер должен протекать ток к контуру. Ток через эмиттер протекает лишь в том случае, когда между базой и эмиттером приложено напряжение в прямом направлении: плюс — к базе, минус — к эмиттеру. Такая полярность напряжения t/g3 возможна при согласованной индуктивной связи катушки индуктивности L контура с катушкой индуктивности в цепи база— эмиттер. Подобная связь называется обратной связью. Обратная связь позволяет корректировать сигнал на выходе системы изменением сигнала на входе. Через полупериод колебаний, когда конденсатор перезаряжается, заряд на нижней пластине становится отрицательным. Это приводит к изменению знака напряжения между базой и эмиттером. Обратное напряжение между базой и эмиттером прерывает ток через транзистор: поступление энергии в контур прекращается. В этом смысле транзистор подобен ключу, присоединяющему источник тока к колебательному контуру в требуемый момент времени, для зарядки конденсатора (рис. 152, а). При изменении полярности зарядов на конденсаторе ключ размыкается (рис. 152, б). Пунктиром на рисунке обведена часть схемы, изображённая на рисунке 151, действие которой аналогично электронному ключу. ВОПРОСЫ 1. Какой полупроводниковый прибор называют транзистором? Объясните назначение эмиттера, базы и коллектора в п—д—л-транзисторе. Цепи переменного тока 167 2. Объясните распределение электрических зарядов и направления токов в п—р—п-тран-зисторе (в отсутствие внешнего напряжения и при его наличии). 3. Объясните распределение электрических зарядов и направления токов в р—п—р-тран-зисторе (в отсутствие внешнего напряжения и при его наличии), 4. Нарисуйте электрическую схему и объясните принцип работы усилителя на транзисторе. Как определяется коэффициент усиления? 5. Нарисуйте электрическую схему и объясните принцип работы генератора на транзисторе. Объясните назначение обратной связи в генераторе. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Мгновенное значение напряжения — напряжение в данный момент времени. Фаза колебаний — аргумент функции, описывающей гармонические колебания. Напряжение и сила тока в резисторе совпадают по фазе в любой момент времени. Действующее значение силы переменного тока равно силе постоянного тока, выделяющего в проводнике такое же количество теплоты, что и переменный ток за один и тот же промежуток времени. Если переменный ток изменяется по гармоническому закону, в качестве промежутка времени выбирается период изменения тока. Действующее (эффективное) значение силы переменного тока в л/2 раз меньше его амплитуды: I ^ Л Активное сопротивление — сопротивление элемента электрической цепи, в котором электричес- кая энергия необратимо преобразуется во внутреннюю (тепловую). Изменяющееся со временем электрическое поле является источником магнитного поля. Магнитоэлектрическая индукция — явление возникновения магнитного поля в переменном электрическом поле. Колебания силы тока в цепи конденсатора опережают по фазе колебания напряжения на его обкладках на 71/2. Реактивное сопротивление — элемент цепи, для которого средняя мощность переменного тока равна нулю. Ёмкостное сопротивление — реактивное сопротивление конденсатора. Индуктивное сопротивление — реактивное сопротивление конденсатора. Колебания силы тока в катушке индуктивности отстают по фазе на к/2 от колебаний напряжения на ней. Формула Томсона: T=2tzJlC. 168 Электродинамика Полное сопротивление колебательного контура переменному току зависит от частоты тока: Z= Д2 + • Резонанс в колебательном контуре — физическое явление резкого возрастания амплитуды колебаний силы тока в контуре при совпадении частоты вынужденных колебаний с частотой собственных колебаний в контуре. Резонансная кривая — график зависимости амплитуды вынужденных колебаний силы тока от частоты приложенного к контуру напряжения. В полупроводниках существует два механизма собственной проводимости: электронная \л дырочная. Электронная проводимость — результат направленного перемещения в межатомном пространстве свободных электронов, покинувших валентную оболочку атома в результате нагревания полупроводника или под действием внешних полей. Дырочная проводимость — результат направленного перемещения валентных электронов между электронными оболочками соседних атомов на вакантные места — дырки. Примеси в полупроводнике — атомы посторонних химических элементов, содержащихся в основном полупроводнике. Различа- ют донорные и акцепторные примеси. Атомы донорной примеси имеют валентность, ббльщую валентности основного полупроводника. Атомы акцепторной примеси имеют валентность, меньшую валентности основного полупроводника. Полупроводник л.-типа — полупроводник с донорной примесью. Полупроводник р-типа — полупроводник с акцепторной примесью. р—л,-Переход — контактный слой двух примесных полупроводников р- и л-типа. Запирающий слой — двойной слой разноимённых электрических зарядов, создающий электрическое поле на р—п-переходе, препятствующее свободному разделению зарядов. Полупроводниковый диод — элемент электрической схемы, содержащий р—л-переход и два вывода для включения в электрическую цепь. Транзистор — полупроводниковый прибор с двумя р—л-переходами и тремя выводами для включения в электрическую цепь. Транзистор используется для усиления и генерации электрических сигналов. Коэффициент усиления — отношение изменения выходного напряжения к изменению входного. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Излучение и приём электромагнитных волн радио- и СВЧ-диапазона § 46. Электромагнитные волны Опыт Герца. Ранее мы описывали электростатическое поле (созданное неподвижными электрическими зарядами) и магнитное поле (возникающее при протекании постоянного тока, т. е. при движении электрических зарядов с постоянной скоростью) независимо. В то же время между изменяющимися во времени электрическим и магнитным полем существует взаимосвязь. Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое {электромагнитная индукция), а переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное {магнитоэлектрическая индукция). В результате возникает единое электромагнитное поле. При наличии источника электромагнитного возмущения, изменяющегося во времени, это возмущение может распространяться в пространстве от одной области к другой даже в отсутствие вещества между ними. Это означает, что возникает волновой процесс — процесс переноса энергии электромагнитного поля без переноса вещества. Электромагнитная волна — возмущение электромагнитного поля, распространяющееся в пространстве. Английский учёный Джеймс Максвелл в 1864 г. теоретически предсказал существование электромагнитных волн. Согласно теории Максвелла, скорость распространения в вакууме электромагнитных волн совпадает со скоростью света с = S • 10® м/с. Экспериментально электромагнитные волны были обнаружены в 1887 г. в Берлинском университете Генрихом Герцем. Источником электромагнитного поля в опыте Герца являлись электромагнитные колебания, возникающие в вибраторе. Вибратор Герца представляет собой прямолинейный проводник с воздушным промежутком посередине — колебательный контур. Электро- 170 Электромагнитное излучение ёмкость и индуктивность такого «открытого» колебательного контура очень малы, поэтому собственная частота колебаний в таком контуре cOq = = 1/Jlc — достаточно велика (порядка 100—1000 МГц). В принципе любой проводяидий стержень может рассматриваться как открытый колебательный контур. Высокое напряжение, подаваемое к воздушному промежутку, вызывало разряд в нём вследствие электрического пробоя воздуха (рис. 153, а). Спустя мгновение разряд возникал в воздушном промежутке аналогичного вибратора {резонатора), замкнутого накоротко проволокой и расположенного на расстоянии I (порядка нескольких метров) от вибратора. Разряд в резонаторе возникает через промежуток времени т = 1/с после разряда в вибраторе. Наиболее интенсивная искра возникает в резонаторе, расположенном параллельно вибратору. Объяснение результатов опыта Герца оказывается возможным с помощью теории Максвелла. Предположим, что в начальный момент времени переменный ток i(^) возрастает по величине и протекает через воздушный промежуток вверх (рис. 153, б). Такое направление тока (от плюса к минусу) означает, что аналогичное направление имеет напряжённость электрического поля, вызывающего этот ток в разрядном промежутке. Ток i{t) создаёт вокруг себя магнитное поле с возрастающей индукцией B^{t), направленной по правилу буравчика по касательной к окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа. Возрастание магнитного потока в области точки 1 приводит к возникновению вихревого электрического поля, препятствующего росту магнитного потока (согласно правилу Ленца). Индукция магнитного поля, создаваемого вихревым А 153 Электромагнитные волны. а) опыт Герца-, б) механизм распространения Излучение и приём электромагнитных волн 171 |^ектрическим полем, в области точки 1 должна быть направлена против B^(t) — к нам. Вихревое электрическое поле напряженностью E^{t) вызывает в точке 2 ток смещения, направленный вверх. Этот ток создаёт в точке 3 магнитное поле_с индукцией В разрядном промежутке резо- натора напряжённость E^{t) вихревого электрического поля будет направлена вверх. Если значение E^(t) оказывается достаточным для электрического пробоя воздуха в этом промежутке, в нём возникает искра, фиксируемая экспериментаторами, и через резонатор протекает ток Возникающая и распространяющаяся в пространстве электромагнитная волна является поперечной: направления векторов напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны. Излучение электромагнитной волны. Источником электромагнитной волны является переменный ток. При постоянном токе явления электромагнитной и магнитоэлектрической индукции не возникают. Так как сила тока пропорциональна скорости движения заряженных частиц (см. формулу (3)), то электромагнитная волна возникает, если скорость движения заряженных частиц меняется со временем. Излучение электромагнитных волн возникает при ускоренном движении электрических зарядов. В результате излучения электромагнитных волн частица теряет энергию, а следовательно, не может двигаться с неизменной скоростью. Выясним, как энергия излучения частицы зависит от её ускорения. Ускорение а заряженной частицы, движущейся под действием электрического поля напряжённости Е, определяется из второго закона Ньютона: т т (134) где q — заряд частицы, т — ее масса. Электрическое поле ускоряет частицу. Её ускорение а ~ Е. Рассматривая этот процесс в обратном по времени направлении, можно утверждать, что напряжённость электрического поля в излучаемой электромагнитной волне пропорциональна ускорению излучающей заряженной частицы: Е~а. (135) Объёмная плотность энергии электромагнитного поля в электромагнитной волне складывается из объёмной плотности энергии электрического и магнитного полей, в среднем по времени равных друг другу: ^эм = (136) 172 Электромагнитное излучение Используя формулу W = 680^^2/2 (см. Ф-10, § 90), получаем плотность энергии электромагнитного поля в вакууме (е = 1): (137) С учётом зависимости (135) (138) Энергия излучаемой электромагнитной волны пропорциональна квадрату ускорения излучающей заряженной частицы. ВОПРОСЫ 1. Какую волну называют электромагнитной? С какой скоростью она распространяется? 2. Опишите опыт Герца по обнаружению электромагнитных волн. 3. Объясните результаты опыта Г ерца с помощью теории Максвелла. Почему электромагнитная волна является поперечной? 4. Почему излучение электромагнитных волн возникает при ускоренном движении электрических зарядов? Как напряжённость электрического поля в излучаемой электромагнитной волне зависит от ускорения излучающей заряженной частицы? 5. Как зависит плотность энергии электромагнитного поля от напряжённости электрического поля? § 47. Распространение электромагнитных волн Бегущая гармоническая электромагнитная волна. Для выяснения механизма распространения электромагнитной волны мы рассмотрели её возникновение при кратковременном импульсе напряжённости электрического поля в вибраторе. Реально при пробое воздуха в вибраторе возникают колебания с собственной частотой (О (периодом Т). Напряжённость электрического поля и индукция магнитного поля в вибраторе изменяются по гармоническому закону (рис. 154, а): E = EQsinwt, (139) В = BQsiruot. (140) Для определённости рассмотрим, как распространяется в пространстве (вдоль оси X) электрическое поле. Будем считать, что скорость распространения возмущения равна и. Возможно, что р < с. Начальное возмущение 1 (t = 0; Е = 0) через время т распространяется со скоростью V на расстояние их. Возмущение 2 (t = Т/4, Е = Eq) оказывается ближе к вибратору на расстояние vT/4 (рис. 154, б). Излучение и приём электромагнитных волн 173 Е * А 154 Распространение в пространстве гармонического возмущения электромагнитного поля: а) напряжённость в вибраторе как функция времени; б) пространственное распределение напряжённости электрического поля в моменты времени xux + t Более поздние возмущения 3 (i = Т/2, Е = 0), 4 {t ^ ЗТ'/4, Е = -Eq) и 5 {t = T,E = 0) находятся в момент т на следующих расстояниях: v{x - Т/2)\ о(т - ЗТ/4); и(х - Т) соответственно. Расстояние в пространстве между точками i и 5, колеблющимися в одинаковой фазе, оказывается равным vT и характеризует длину электромагнитной волны. Длина волны — кратчайшее расстояние между двумя возмущениями, колеблющимися в одинаковой фазе. На это расстояние распространяется волна за период колебаний её источника. При постоянной скорости распространения волны за период она проходит расстояние Я, = иТ, I (141) или (142) В произвольной точке с координатой х напряжённость электрического поля в момент времени t та же, что в точке х = О в более ранний момент времени {t - x/v). (Время x/v требуется для распространения волны на расстояние х.) Поэтому для получения напряженности электрического 174 Электромагнитное излучение поля для бегущей волны в выражении (134), справедливом в точке х = О, следует заменить i на (^ - x/v). Уравнение для напряжённости электрического поля для бегущей гармонической волны, распространяющегося в положительном направлении оси X со скоростью и, имеет вид: Е = EfySin ю ^ (143) Индукция магнитного поля в электромагнитной волне изменяется во времени и в пространстве синхронно с напряжённостью электрического поля. Согласно формуле (140) индукция магнитного поля для бегущей гармонической волны, распространяющегося в положительном направлении оси X со скоростью и, будет изменяться по закону: В = BqsIii со ^ j. (144) Излучение электромагнитных волн гармонического вибратора током в момент времени 7Т/4 представлено на рисунке 155, а. Линии напряжённости электрического поля располагаются в плоскости чертежа (плоскость XY), линии индукции — в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа, окружая переменный ток. На графике зависимости напряжённости электрического поля от координаты х в момент времени 7Т/4 показана длина волны излучения. Поляризация во^лны. Фронт волны. Как показано на рисунке 155, б, колебания вектора Е упорядочены: они происходят в плоскости XY. В поляризованной электромагнитной волне колебания вектора напряжённости электрического поля упорядочены. В рассматриваемом случае плоскостью поляризации является плоскость ХУ. Основные характеристики электромагнитной волны — напряжённость электрического поля и индукция магнитного поля. Они принимают определённые значения в момент времени t в тех точках с координатой х, для которых фаза ф синуса в выражениях (143) и (144) постоянна, т. е. Ф = ~ у ) ^ const. (145) Например, если ф = л/6, то Е = Е^/2, В = В^/2 в момент времени t в точках с координатой х = v(t - тс/бсо), как следует из формулы (145). Излучение и приём электромагнитных волн 175 155^ Yi Напряжённость элект рического поля и индукция магнитного поля излучающего гармонического вибратора: а) в плоскости вибратора-, б) в пространстве {вблизи оси X) Плоскополяризованная (или линейно-поляризованная) электромагнитная волна — волна, в которой вектор Е (и, следовательно, В) колеблется только в одном направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Плоскость поляризации электромагнитной волны — плоскость, проходящая через направление колебаний вектора напряженности электрического поля и направление распространения волны. Геометрическим местом точек, имеющих определённую координату X, является плоскость, проходящая через эту точку параллельно плоскости YZ (рис. 156). В этой плоскости, называемой фронтом волны, напряжённость электрического поля и индукция магнитного поля принимают определённое значение, т. е. имеют одинаковую фазу. 176 Электромагнитное излучение 156 Плоская электромагнитная волна Фронт электромагнитной волны — поверхность постоянной фазы напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля. Если фронтом волны является плоскость, то волна — плоская. Электромагнитная волна является поперечной. На рисунке 156 изображены фронты электромагнитных плоских гармонических волн, на которых Е и В имеют амплитудные значения: Е = ± В = ± Bq. Им соответствуют фазы ф = ±тс/2. Направление распространения фронта волны характеризует луч. Луч — линия, вектор касательной к которой в каждый момент времени направлен перпендикулярно фронту волны, в сторону её распространения. На большом расстоянии от источника излучения электромагнитных волн фронт произвольной волны становится практически плоским. ВОПРОСЫ 1. Объясните, как распространяется в пространстве гармоническое возмущение электромагнитного поля. 2. Какое расстояние называется длиной волны? Как длина волны зависит от скорости распространения волны? 3. Напишите уравнение бегущей гармонической волны напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля. Объясните содержание рисунка 155. 4. Какое физическое явление называют поляризацией? Что такое плоскость поляризации и плоскополяризованная волна? 5. Какую поверхность называют фронтом волны? Что такое луч, что он характеризует? ЗАДАЧИ 1. Радиостанция работает на частоте v = 100 МГц. Считая, что скорость распростране- ния электромагнитных волн в атмосфере равна скорости света в вакууме, найдите соответствующую длину волны. [3 м] 2. Колебательный контур радиоприёмника настроен на длину волны X = 300 м. Катушка индуктивности в контуре обладает индуктивностью L = 100 мкГн. Найдите электроёмкость конденсатора в контуре. [250 мкФ] Излучение и приём электромагнитных волн 177 3. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L = 1 мкГн и конденсатора, электроёмкость которого может изменяться в пределах от 10"®Ф до 4 • 10‘®Ф. На какой диапазон длин волн может быть настроен этот контур? [188 — 377 м] 4. Напишите в СИ уравнение бегущей гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси X в вакууме. Напряжённость электрического поля Eq = 1 кВ/см, частота V = 600 ТГц (зелёный свет). [Е = 10^sin (3,77.10^5 f - 1,26 ■ 10^х) В/м] 5. Уравнение напряжённости электрического поля бегущей гармонической волны имеет вид £ = lOOsin к (6 • + 2 • 10®х). Найдите: 1) амплитуду; 2) частоту; 3) период; 4) длину волны; 5) скорость и направление распространения волны. [1) 100 В/м;2)3*101'‘Гц;3)3,3-10 ’5с;4) 1 мкм; 5) 3 • 10® м/с — противоположно направлению оси X] § 48. Энергия, переносимая электромагнитными волнами Интенсивность волны. Электромагнитные волны переносят энергию электромагнитного поля. Скорость переноса энергии сквозь площадь S в момент времени t характеризует поток энергии электромагнитной волны. Поток энергии электромЕагнитной волны — энергия электромагнитного излучения, проходящего в единицу времени (мощность Р ) сквозь поверхность площадью S: “ ^эм ~ М Плотность потока энергии электромагнитной волны — мощность электромагнитного излучения, проходящего сквозь единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны: _ ^эм _ 1 ДУ^ S S S At ’ (146) Выразим плотность потока энергии через плотность электромагнитной энергии и скорость её распространения с. За промежуток времени At сквозь плоскую поверхность площадью S пройдёт электромагнитное излучение, находящееся в параллелепипеде с основанием S и высотой cAt (рис. 157). 178 Электромагнитное излучение AV 1м2^ ' cAt ' А 157 Интенсивность электромагнитной волны Объём параллелепипеда IAV = ScAt. Энергия электромагнитного поля внутри параллелепипеда равна произведению плотности энергии на объём: AW = ‘ cAtS. ЭМ Тогда плотность потока излучения р = с. (147) Используя выраженние (137) для получаем (148) Учитывая, что напряжённость электрического поля в электромагнитной волне зависит от времени (например, по гармоническому закону (145)), перенос мощности характеризует величина, усреднённая по времени, — интенсивность волны. Интенсивность электромагнитной волны — среднее значение плотности потока энергии электромагнитной волны: Р. / = ЭМ (149) Единица интенсивности волны — ватт на квадратный метр (1 Вт/м^). Для гармонических электромагнитных колебаний с амхмитудой так же как и для действующего значения переменного тока, = Е\12\ I = 0,5сеоЕ2. (150) Следовательно, интенсивность гармонической электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды напряжённости электрического поля: I-EI. (151) Зависимость интенсивности электромагнитной волны от расстояния до источника излучения и его частоты. Найдём зависимость интенсивности излучения точечного источника от расстояния до него. Точечными источниками можно, например, считать звёзды, расстояния до которых во много раз превышают их радиусы. При этом мы предположим, что такой источник излучает электромагнитные волны по всем направле- Излучение и приём электромагнитных волн 179 ниям с одинаковой интенсивностью. В вакууме мощность электромагнитной волны, излучаемая точечным источником, не поглощается. С течением времени волна проходит через всё большие концентрические сферические поверхности (рис. 158). Поэтому средняя энергия, переносимая в перпендикулярном направлении сквозь единицу площади в единицу времени, т. е. интенсивность электромагнитной волны, уменьшается по мере удаления от источника. Средняя мощность электромагнитного излучения со сферической поверхности источника радиусом равна: Р =1 где — интенсивность излучения с поверхности источника площадью Sq = 4тгг^. В результате распространения излучения источника в пространстве сквозь сферическую поверхность радиусом г проходит та же средняя мощность электромагнитной волны: Р -- Мкг^ где I — интенсивность излучения источника на расстоянии г от источника. Приравнивая эти мощности, получаем: f2 / = / — ▲ 158 Уменьшение интенсивности излучения с расстоянием от точечного источника {радиус источника г^) или /-Л. (152) Интенсивностъ излучения точечного источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до источника. Согласно формуле (151), интенсивность гармонической электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды напряжённости электрического поля: I - Е^. С учётом зависимости (152) это означает, что (153) В отличие от напряжённости электростатического поля точечного заряда, резко убывающей с расстоянием от него по закону обратных квадратов, напряжённость электрического поля в электромагнитной волне, созданной 180 Электромагнитное излучение точечным источником, убывает с расстоянием более медленно (обратно пропорционально лишь первой степени расстояния от источника). Благодаря этому электромагнитные волны передаются в вакууме на большие расстояния, обеспечивая возможность радио-, теле- и космической связи. Выясним, как интенсивность гармонической электромагнитной волны зависит от её частоты. Излучение электромагнитных волн возникает при ускоренном движении электрических зарядов. Средняя энергия излучаемой электромагнитной волны (и соответственно её интенсивность) прямо пропорциональна среднему квадрату ускорения излучающей заряженной частицы: а2. (154) Гармоническая электромагнитная волна частотой v возникает при гармонических колебаниях заряженной частицы с этой частотой. При таких колебаниях координата заряженной частицы по оси У изменяется по гармоническому закону: у = Асов (2tcv^). По гармоническому закону изменяется со временем и ускорение частицы: а = у" = -A(2Trv)2cos (27cvO. Соответственно ~ v"*. Следовательно (см. (154)), /~v^. (155) Интенсивность гармонической электромагнитной волны с постоянной амплитудой А прямо пропорциональна четвёртой степени её частоты. Резкая зависимость интенсивности излучения от частоты означает, что для получения интенсивных электромагнитных волн частота электромагнитных колебаний в их источнике (например, в вибраторе) должна быть достаточно высокой. При изменении частоты излучения от = 100 кГц (ей соответствует длина волны \ = Cj/Vj = 3000 м) до Vg = 100 МГц (Xg = 3 м) интенсивность излучаемых источником электромагнитных волн возрастает в 10^2 раз: Ь = 1012 Если интенсивность излучения при частоте Vj оказывается достаточной для потребителя, то мощность передатчика при изменении часто- Излучение и приём электромагнитных волн 181 ты с на V2 можно уменьшить в Ю^^раз. При этом мош;ность, принимаемая потребителем, останется прежней. Поэтому излучение электромагнитных волн больших частот требует меньшей мопдности передатчика. ВОПРОСЫ 1. 2. 3. 5. Дайте определение потока и плотности потока энергии электромагнитной волны. Какая физическая величина характеризует перенос средней мощности электромагнитной волной? Как интенсивность гармонической электромагнитной волны зависит от амплитуды напряжённости электрического поля в волне? Как интенсивность электромагнитной волны зависит от расстояния до источника? Что можно сказать о зависимости напряжённости электрического поля от этого расстояния? Как интенсивность электромагнитной волны зависит от её частоты? Объясните, почему энергетически выгодно излучение электромагнитных волн больших частот. § 49. Давление и импульс электромагнитных волн Давление электромагнитной волны. Электромагнитная волна переносит не только энергию электромагнитного поля, но и импульс. Этим объясняется давление, которое она оказывает на объекты, встречающиеся на пути её распространения. Давление является результатом совместного действия на заряженные частицы вещества электрического и магнитного полей электромагнитной волны. Предположим, что плоская электромагнитная волна падает на образец и отражается от него. При падении плоской электромагнитной волны на поверхность вещества площадью S электрическое поле волны вызывает в веществе направленное движение свободных зарядов. Направление движения этих зарядов со^ направлено с напряжённостью поля Е (рис. 159). Магнитное поле с индукцией В волны действует на возникающий ток с силой Ампера Её направление определяется с помощью правила левой руки. На образец действует сила Ед, направленная в сторону распространения волны. Давление электромагнитной волны на поверхность образца равно: А 159 ^эм g (156) Давление электромагнитной, волны на вещество 182 Электромагнитное излучение При расчёте давления идеального газа мы показали (Ф-10, формула (163)), что давление равно: 2 Р=3«>, где W — объёмная плотность внутренней энергии газа. Этот результат был получен в предположении, что частицы могут равновероятно двигаться по трём координатным осям, поэтому в направлении одной из осей двигается лишь одна треть частиц (отсюда появился множитель 1/3), Поскольку взаимодействие электромагнитной волны и идеального газа с веш;еством является упругим, можно найти давление электромагнитной волны так же, как давление идеального газа. При этом нужно учесть, что волна распространяется в одном направлении, и потому необходимость введения множителя 1/3 отсутствует при определении давления электромагнитной волны: Рэм = (157) С помощью формулы (149) можно найти связь давления электромагнитной волны с её интенсивностью: = 21. (158) Интенсивность излучения Солнца, попадающего в атмосферу Земли, оказывается около 1,4 кВт/м^. Среднее давление на отражающую поверхность _ 2-1,4- 1Q3 _ 3- 1Q8 Рэм = 9,3 мкПа. Такое радиационное давление составляет лишь 10”^® от атмосферного вблизи поверхности Земли. Тем не менее длительное действие радиационного давления на большую площадь солнечных батарей искусственных спутников Земли (рис. IV, а на цветной вклейке, с. 288) приводит к их преждевременному сходу с орбиты и падению на Землю. Радиационное давление электромагнитных волн, идущих от Солнца, отталкивает хвосты комет от Солнца (рис. IV, б на цветной вклейке, с. 288). Импульс электромагнитной волны. Давление электромагнитной волны является следствием наличия у неё импульса. При абсолютно упругом отражении электромагнитной волны модуль изменения её импульса за промежуток времени Д^: |Др| = 2р, гдер — импульс падающей волны. Излучение и приём электромагнитных волн 183 Согласно второму закону Ньютона, тр _ |Ар| _ 2р - м- Подставляя выражения (158) и (159) в формулу (156), получаем: ISAt (159) (160) где ISAt — энергия электромагнитного поля, распространяющегося сквозь поверхность площадью S за промежуток времени At. Взаимосвязь импульса электромагнитной волны с переносимой ею энергией W Р^Т (161) ВОПРОСЫ 2. 3. 4. 5. Каков механизм давления электромагнитной волны на объекты, встречающиеся на пути её распространения? Как давление электромагнитной волны связано с её интенсивностью? Проведите оценку радиационного давления солнечного излучения на Землю. Почему давление электромагнитной волны означает наличие у неё импульса? Как импульс электромагнитной волны связан с энергией, переносимой волной? § 50. Спектр электромагнитных волн Диапазон частот. Диапазон частот электромагнитных волн огромен. Он определяется всеми возможными частотами колебаний заряженных частиц. Такие колебания возникают при переменном токе в линиях электропередачи, антеннах радио- и телевизионных станций, СВЧ-печах, мобильных телефонах, радарах, лазерах, лампах накаливания и люминесцентных лампах, радиоактивных элементах, рентгеновских аппаратах. Диапазон частот электромагнитных волн, фиксируемых в настоящее время, простирается от 0 до 3 • Ю^^Гц. Этот диапазон соответствует спектру (от лат. spectrum — видение, образ) электромагнитных волн с длиной волны Х(к = c/v), изменяющейся от 10“^‘*м до бесконечности. По длине волны (или частоте) спектр электромагнитных волн условно делят на восемь диапазонов (рис. VII на цветной вклейке, с. 289). Отличие частот (длин волн), излучаемых в различных диапазонах, связано с различием микроскопических источников излучения. Частота излучения электромагнитной волны определяется частотой колебаний заряженной час- 184 Электромагнитное излучение тицы, которую можно представить как пружинный маятник. Частота колебаний пружинного маятника зависит от массы т частицы и жёсткости k пружины (см. Ф-10, формула (117)): v=i /А. 2к /\1 т Жёсткость пружины характеризует потенциальную энергию частицы. Переход от одного диапазона частот излучаемых волн к другому (в сторону увеличения частоты электромагнитной волны) может происходит либо при уменьшении массы колеблющейся заряженной частицы, либо при увеличении энергии связи заряженной частицы. Энергия связи (взаимодействие) заряженных частиц возрастает при уменьшении расстояния между заряженными частицами, т. е. при уменьшении пространственного масштаба излучающей системы. Кроме того, электромагнитное излучение волн высокой частоты возникает при резком ускорении отдельных элементарных частиц. Охарактеризуем кратко границы диапазонов длин волн (частот) в спектре электромагнитных волн в порядке возрастания частоты излучения, а также укажем основные источники излучения в соответствующем диапазоне. • Электромагнитные волны звуковых частот возникают в диапазоне частот от О до 2 • 10^ Гц (?i = 1,5 • 10^ со м). Источником волн звуковых частот является переменный ток соответствующей частоты. Учитывая, что интенсивность излучения электромагнитных волн пропорциональна четвёртой степени частоты, излучением таких, сравнительно малых, частот можно пренебречь. Именно по этой причине часто можно пренебречь излучением линии передачи переменного тока с частотой 50 Гц. Радиоволны занимают диапазон частот 2-10'^—10®Гц (А. = = 0,3—1,5* Ю^м). Радиволны впервые были открыты Герцем в 1886 г. (см. § 47). Источником радиоволн, так же как и волн звуковых частот, является переменный ток. Однако большая частота радиоволн по сравнению с волнами звуковых частот приводит к заметному излучению радиоволн в окружающее пространство. Это позволяет использовать их для передачи информации на значительное расстояние (радиовещание, телевидение, радиолокация). • Сверхвысокочастотное {СВЧ) излучение, или микроволновое излучение, возникает в диапазоне частот 10^—3-10^^Гц (А. = 1мм — 0,3 м). Источник СВЧ-излучения — валентные электроны атома, изменяющие направления спина или изменяющие скорости своего вращения молекулы вещества. Учитывая прозрачность атмосферы в этом диапазоне, СВЧ-излучение используют для космической связи. Кроме того, это излучение используют в бытовых микроволновых СВЧ-печах. Излучение и приём электромагнитных волн 185 • Инфракрасное (ИК) излучение занимает частотный диапазон 3 • 10^^—3,85 • 10^“^ Гц (?1 = 780 нм — 1 мм). ИК-излучение было открыто в 1800 г. английским астрономом Уильямом Гершелем. Изучая повышение температуры термометра, нагреваемого видимым светом, Гершель обнаружил наибольшее нагревание термометра вне области видимого света (за красной областью). Невидимое излучение, учитывая его место в спектре, было названо инфракрасным. Источником инфракрасного излучения являются колебания и вращение молекул веществНу поэтому ИК электромагнитные волны излучают нагретые тела, молекулы которых движутся особенно интенсивно. Часто ИК излучение называют тепловым. Около 50% энергии Солнца излучается в инфракрасном диапазоне. Максимальная интенсивность излучения человеческого тела приходится на длину волны 10 мкм. Отметим, что волны этого диапазона воспринимаются приёмником теплового излучения змеи, охотящейся по ночам. Зависимость интенсивности ИК-излучения от температуры позволяет измерять температуру различных объектов, что используется в биноклях ночного видения, фотокамерах искусственных спутников, прогнозирующих урожай, а также в медицине при обнаружении инородных образований. Дистанционное управление телевизором и видеомагнитофоном осуществляется с помощью ИК-излучения. • Видимый свет — электромагнитные волны, воспринимаемые человеческим глазом. Световые волны занимают достаточно узкий диапазон: 380—780 нм (V = 3,85 • 10^4_7 g9 • Гц). Источником видимого света являются валентные электроны в атомах и молекулах, изменяющие своё положение в пространстве, а также свободные заряды, движущиеся ускоренно. Эта часть спектра даёт человеку максимальную информацию об окружающем мире, являясь лишь малой частью спектра электромагнитных волн. Максимум чувствительности человеческого глаза приходится на длину волны X = 560 нм. На эту длину волны приходится также максимум интенсивности излучения Солнца и одновременно максимум прозрачности атмосферы Земли. В процессе длительной биологической эволюции подобное удивительное совпадение существенно помогало человеку получать информацию об окружающем мире, что способствовало его выживанию. Излучение, имеющее разные длины волн (частоты) в диапазоне видимого света, оказывает различное физиологическое воздействие на сетчатку человеческого глаза, вызывая ощущение цвета. Цвет — не свойство электромагнитной световой волны самой по себе, а проявление электрохимического действия физиологической системы человека: глаз, нервов, мозга. Например, электромагнитное излучение в диапазоне длин 186 Электромагнитное излучение волн X = 620—780 нм вызывает у человека ощущение красного цвета. Достаточно приближённо можно назвать семь основных цветов, различаемых человеческим глазом в видимом диапазоне (в порядке возрастания частоты излучения): красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый. Диапазон длин волн электромагнитного излучения, соответствующий каждому цвету, приведён в таблице 5. Запоминание последовательности основных цветов спектра облегчает фраза, каждое слово которой начинается с первой буквы названия основного цвета: «Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидит Фазан». Возможно, кому-нибудь больше придётся по душе поэтическая форма, известная многим поколениям физиков: «Как Однажды Жак-Звонарь Головой Сломал Фонарь». Видимый свет может влиять на протекание химических реакций в растениях (фотосинтез) и организмах животных и человека. Например, голубой свет может вызывать диссоциацию (деление) молекул билирубина. Этот процесс увеличивает число таких молекул в крови, препятствуя развитию желтухи у новорожденных. Видимый свет испускают отдельные насекомые (светлячки) и некоторые глубоководные рыбы за счёт химических реакций в организме. Поглощение растениями углекислого газа в результате процесса фотосинтеза и выделение кислорода способствует поддержанию биологической жизни на Земле. Оно оказывается возможным благодаря энергии, излучаемой естественным источником видимого света — Солнцем. Ежегодно 200 млрд т углерода, образующегося в процессе фотосинтеза из атмосферного углекислого газа, идёт на образование сложных органических молекул, обогащающих природу нашей планеты. Свет — источник жизни на Земле и одновременно источник наших представлений об окружающем мире. Ультрафиолетовое {УФ) излучение занимает диапазон частот 8 • 10^"^—3 • 10^® Гц (А, = 10—380 нм). УФ-излучение было открыто в 1801 г. немецким учёным Иоганном, Риттером. Изучая почернение хлористого серебра под действием видимого света, Риттер обнаружил, что серебро чернеет ещё более эффективно в области. ■Таблица 5 Диапазон длин волн, соответствующий определённому основному цвету Красный Оранже- вый Жёлтый — Зелёный Голубой Синий Фиолето- вый X, нм 780—620 620—590 590—560 560—500 500—480 480—450 450—380 v.iru 385—484 484—508 508—536 536—600 600—625 625—667 667—789 Излучение и приём электромагнитных волн 187 находящейся за фиолетовым краем спектра, где видимое излучение отсутствует. Невидимое излучение, вызвавшее это почернение, было названо ультрафиолетовым. Источник ультрафиолетового излучения — валентные электроны атомов и молекул, а также ускоренно движущиеся свободные заряды. В малых дозах УФ-излучение оказывает благотворное оздоровительное влияние на человека, активизируя синтез витамина D в организме, а также вызывая загар. Большая доза УФ-облучения может вызвать ожог кожи и раковые новообразования (в 80% случаев излечимые). Кроме того, чрезмерное УФ-облучение ослабляет иммунную систему организма, способствуя развитию некоторых заболеваний. Ультрафиолетовое излучение с длиной волны X < 300 нм деполимери-зует нуклеиновые кислоты и разрушает протеины, нарушая жизненные процессы в организме. Поэтому в малых дозах такое излучение обладает бактерицидным действием, уничтожая микроорганизмы. Озоновый слой атмосферы Земли сильно поглощает УФ-излучение с длиной волны X < 320 нм, а кислород воздуха — коротковолновое УФ-излучение (?1 < 185 нм). Практически не пропускает УФ-излучение оконное стекло, так как его поглощает оксид железа, входящий в состав стекла. По этой причине даже в жаркий солнечный день нельзя загореть в комнате при закрытом окне. Человеческий глаз не видит УФ-излучение, так как роговая оболочка глаза и глазная линза поглощают ультрафиолет. Однако люди, у которых удалена глазная линза при снятии катаракты, могут видеть УФ-излучение в диапазоне длин волн 300—350 нм. Ультрафиолетовое излучение видят некоторые животные. Например, голубь ориентируется по Солнцу даже в пасмурную погоду. • Рентгеновское излучение возникает в диапазоне частот 3 • 10^®— 3 • 10^0 Гц (А. = 10“^^—10*® м). Рентгеновское излучение было открыто в 1895 г. немецким физиком Вильгельмом Рентгеном. Изучая ускоренное движение заряженных частиц в закрытой чёрным картоном разрядной трубке. Рентген обнаружил свечение экрана, покрытого солью бария, находящегося на некотором расстоянии от трубки. Излучение высокой проникающей способности, испускаемое заряженными частицами в трубке, проходящее, в отличие от ИК- и УФ-излучения, через картон. Рентген назвал Х-лучами (подобно тому, как в математике называется неизвестная величина). Источники рентгеновского излучения — изменяющие свои состояния электроны внутренних оболочек атомов или молекул, а также ускоренно движущиеся свободные электроны. Подобно видимому свету, оставляющему тень за непрозрачными предметами, рентгеновское излучение (как его стали называть впоследствии) тоже оставляло такие тени. Однако проникающая способность 188 Электромагнитное излучение этого излучения была столь велика, что на экране можно было рассматривать внутреннее строение тел. Х-лучи могут проникать через толстую книгу, деревянную доску толщиной несколько сантиметров, металлическую пластину толщиной порядка сантиметра. Благодаря высокой проникающей способности рентгеновское излучение применяется в рентгеноструктурном анализе (исследовании структуры кристаллической решётки), при изучении структуры молекул, обнаружении дефектов в образцах, в медицине (рентгеновские снимки, флюорография, лечение раковых заболеваний), криминалистике. Большая доза рентгеновского облучения приводит к ожогам и изменению структуры крови человека. Создание приёмников рентгеновского излучения и размещение их на космических станциях позволило обнаружить рентгеновское излучение сотен звёзд, а также оболочек сверхновых звёзд и целых галактик. • у-Излучение — самое коротковолновое электромагнитное излучение, занимающее весь диапазон частот v > 3 • 10^*^Гц, что соответствует длинам волн X < 10"^^ м. у-Излучение было открыто французским учёным Полем Вилларом в 1900 г. Изучая излучение радия в сильном магнитном поле, Виллар обнаружил коротковолновое электромагнитное излучение, не отклоняющееся, как и свет, магнитным полем. Оно было названо у-излучением. Источник у-излучения — атомные ядра, изменяющие энергетическое состояние, а также ускоренно движущиеся заряженные частицы. у-Излучение обладает ещё большей проникающей способностью, чем рентгеновское излучение. Оно проходит сквозь метровый слой бетона и слой свинца толщиной несколько сантиметров. Почти всё у-излучение, приходящее на Землю из космоса, поглощается атмосферой Земли. Это обеспечивает возможность существования органической жизни на Земле. у-Излучение возникает при взрыве ядерного оружия вследствие радиоактивного распада ядер. Солнце излучает в окружающее пространство ежесекундно во всём диапазоне электромагнитных волн энергию Eq ~ 10^® Дж. Излучение такой энергии эквивалентно ежесекундной потере массы = Е^/с^ = = 1,1 • 10^кг =1,1 млн т. Это означает, что за счёт электромагнитного излучения Солнце за каждую секунду становится легче на 1,1 млн т. Отметим, что масса Солнца /tIq = 2 • 10^® кг. Поэтому такое уменьшение массы может происходить в течение времени t=^ = 2 т. 10^^ с ~ 6 • 10^^ лет. Излучение и приём электромагнитных волн 189 Ранее всю информацию о Вселенной астрономия получала в видимом диапазоне. В XX в. появилась возможность анализировать данные, поступающие в радиодиапазоне. В настоящее время информация о галактиках исследуется также в ИК, УФ, рентгеновском диапазонах. Приёмники, установленные на искусственных спутниках Земли, фиксируют у-излу-чение, идущее из космоса. Анализ информации во всём спектре электромагнитных волн позволяет составить более полную картину структуры объектов во Вселенной. На рисунке VIII на цветной вклейке приведены снимки туманности Андромеды в радио-, ИК-диапазонах, в видимом свете и рентгеновском диапазоне. ВОПРОСЫ 1. В каких устройствах возникают колебания заряженных частиц? 2. Перечислите восемь основных диапазонов длин волн (частот) в спектре электромагнитных волн в порядке возрастания частоты излучения и укажите границы этих диапазонов. 3. Назовите основные источники излучения волн звуковой частоты, радиоволн, СВЧ-излучения и ИК-излучения. 4. Охарактеризуйте источники видимого света, диапазоны длин волн, соответствующие определённому цвету, а также роль видимого света для жизни на Земле. 5. Назовите основные источники ультрафиолетового, рентгеновского и у-излучения. Охарактеризуйте основные особенности электромагнитного излучения в этих диапазонах электромагнитного спектра. § 51. Радио- и СВЧ-волны в средствах связи Принципы радиосвязи. Передача информации на расстояние с помощью электромагнитных сигналов часто осуществляется по проводам (радиотрансляционная, телеграфная, телефонная связь). Это оказывается энергетически выгодным, кроме того, такой способ связи обеспечивает высокое качество передачи информации. Однако значительные затраты на прокладку линий связи (особенно под водой или в условиях сложного рельефа местности) заставляют отдавать предпочтение беспроводной связи. Такая связь оказывается единственно возможной при информационном обмене между космическими и военными объектами, самолётами, кораблями, альпинистами, спасателями и т. д. Для передачи и приёма информации с помощью электромагнитных волн, распространяющихся в пространстве, используют радиоволны. 190 Электромагнитное излучение Радиосвязь — передача и приём информации с помощью радиоволн, распространяющихся в пространстве без проводов. Гармонический сигнал радиочастоты, излучаемый в окружающее пространство, не содержит полезной информации (кроме факта существования радиоизлучателя). Поэтому передаваемая информация кодируется в радиосигнале. Для радиосвязи требуется радиопередатчик, излучающий радиоволны, переносящие необходимую кодированную информацию, и радиоприёмник, улавливающий и декодирующий (расшифровывающий) излучаемый передатчиком сигнал (рис. 160). В случае, если мощность передатчика невелика (сотовые и спутниковые телефоны) или если его излучение распространяется в пределах прямой видимости (УКВ-излучение, телевещание), дополнительно используют ретрансляторы (стационарные и спутниковые). Ретрансляторы принимают сигнал передатчика и переизлучают его с большей мощностью, обеспечивая передачу сигнала на большие расстояния. Виды радиосвязи. Различают четыре вида радиосвязи: радиотелеграфная, радиотелефонная и радиовещание, телевидение, радиолокация. Они отличаются формой передаваемого сигнала, или модуляцией (табл. 6). Ретрансляц ионный спутник Земли ^ '-V ^ \ v\ Радиопередатчик А 160 Основные элементы радиосвязи Ретранслятор Радиоприёмник Излучение и приём электромагнитных волн 191 Средняя частота передаваемого радиосигнала называется несущей частотой. В таблице 6 приведён ориентировочный диапазон несущих частот и соответственно длин волн для различных видов радиосвязи. Таблица 6 Виды радиосвязи 192 Электромагнитное излучение Радиотелеграфная связь осуществляется путём передачи сочетания точек и тире, кодирующего букву алфавита в азбуке Морзе. Впервые радиотелеграфная связь на расстоянии 250 м была продемонстрирована в 1895 г. в Санкт-Петербурге российским учёным А. С. Поповым. В 1901 г. итальянский инженер Г. Маркони впервые осуществил радиосвязь через Атлантический океан. Радиолокация — обнаружение объектов и определение их координат с помощью отражения радиоволн. Излученный радиолокатором и отражённый от объекта импульсы улавливаются антенной (рис. 161, а) и фиксируются на экране электронно-лучевой трубки (рис. 161, б). Промежуток времени X между этими импульсами равен времени распространения электромагнитного импульса от радиолокатора к объекту и обратно, т. е. времени прохождения импульсом, распространяющимся со скоростью света, двойного расстояния 21 х= —, с где I — расстояние от объекта до радиолокатора. Тогда расстояние от объекта до радиолокатора '=f- Радиолокаторы используют для обнаружения самолётов, кораблей, скопления облаков, локации планет, в космических исследованиях. С помощью радиолокации определяют скорости орбитального движения планет, а также скорости их вращения вокруг оси. Радиолокация Меркурия показала, что он не обращён к Солнцу всё время одной стороной, а совершает три оборота вокруг своей оси за два меркурианских года. Детальная карта рельефа Венеры была получена с помощью радиолокатора межпланетной станции «Магеллан». ВОПРОСЫ А 161 Радиолокация: а) поиск объекта', б) изображение объекта на электронно-лучевой трубке 1. Какой вид передачи информации называют радиосвязью? Охарактеризуйте основные элементы радиосвязи. 2. Какие существуют виды радиосвязи? Что их отличает друг от друга? Излучение и приём электромагнитных волн 193 3. Охарактеризуйте форму передаваемого сигнала при различных видах радиосвязи, а также частотный диапазон каждого вида радиосвязи. 4. Охарактеризуйте особенности радиотелеграфной связи. 5. Какой вид радиосвязи называют радиолокацией? На каком физическом явлении основана радиолокация и для каких целей она применяется? § 52. Радиотелефонная связь, радиовещание Радиопередача. Модуляция сигнала. В настоящее время значительная доля информации передаётся в радиодиапазоне. Радиовещание — передача в эфир речи, музыки, звуковых эффектов с помощью электромагнитных волн. Радиотелефонная связь предполагает передачу подобной информации только для приёма конкретным абонентом. Рассмотрим подробнее, как реализуется такой вид радиосвязи. Колебания давления воздуха в звуковой волне сначала превращаются с помощью микрофона в электрические колебания той же формы. Однако, как отмечалось ранее, колебания звуковой частоты излучаться практически не будут. Поэтому для передачи звука используется излучение высокочастотных колебаний, один из параметров которых изменяется {модулируется) по закону изменения звуковых колебаний. Модуляция передаваемого сигнала — кодированное изменение одного из его параметров. Простейшим видом модуляции высокочастотного сигнала является амплитудная модуляция. Амплитудная модуляция — изменение амплитуды высокочастотных колебаний по закону изменения передаваемого звукового сигнала. Для амплитудной модуляции высокочастотного сигнала в цепь эмиттера генератора на транзисторе (см. рис. 151) последовательно с колебательным контуром включается вторичная обмотка 2 трансформатора модулирующего устройства. Кроме того, дополнительным элементом в передатчике (по сравнению с генератором на транзисторе) является антенна, индуктивно связанная с катушкой индуктивности L колебательного контура (рис. 162). 7 Ф|имк<1. I I кл. ПрофильиыГ| уровень 194 Электромагнитное излучение Если звуковой сигнал микрофона отсутствует, сила тока в колебательном контуре изменяется по гармоническому закону с несущей часто- той со, о* i = IqCos cOgt. А 162 Принципиальная схема передатчика ампли-ту дно-мод у лированных колебаний При появлении в цепи микрофона звукового сигнала частотой Q (П x 202 Электромагнитное излучение а) В В r = uAti ^ А t t + М б) А 167 Фронт волны как огибающая вторичных волн: а) сферическая волна; б) плоская волна Передний фронт волны — совокупность наиболее отдалённых от источника точек, до которых одновременно дошёл процесс распространения волны. Фронт механической волны — совокупность точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В 1678 г. голландский учёный Христиан Гюйгенс сформулировал этот результат следующим образом. Принцип Гюйгенса Каждая точка фронта волны является источником вторичных волн, распространяющихся во все стороны со скоростью распространения волны в среде. Огибающая вторичных волн определяет положение фронта волны в последующий момент времени. Фронтом волны точечного источника в однородном пространстве является сфера. Зная положение фронта волны АВ в момент времени t, с помощью принципа Гюйгенса можно найти фронт волны А'В' через промежуток времени At (рис. 167, а). Вторичные волны, распространяющиеся от каждой точки волнового фронта АВ, через время удаляются от него на расстояние vAt. Сферическая поверхность радиуса v(t + ДО. огибающая все вторичные волны в момент времени t + At, определяет положение фронта волны в этот момент времени. Амплитуда возмущения во всех точках сферического фронта волны, распространяющейся от точечного источника, одинакова. Принцип Гюйгенса удобен для описания распространения как механических, так и электромагнитных волн. Направление распространения фронта волны. Вторичные механические волны — ре- Геометрическая оптика 203 зулыпат передачи возмущения соседним частицам среды. Вторичные электромагнитные волны — результат электромагнитной и магнитоэлектрической индукции. Стрелки на рисунке 167, а показывают направление распространения фронта волны в каждой точке. Их направления (лучи) перпендикулярны фронту. Луч — вектор, перпендикулярный фронту волны, показывающий направление переноса энергии волны в данной точке. Положение фронта сферической волны в определённый момент времени однозначно определяется двумя лучами, выходящими из точечного источника. На значительном расстоянии от точечного источника сферический фронт можно считать плоским. Амплитуда возмущения во всех точках плоского фронта волны одинакова. Положение фронта плоской волны в определённый момент времени определяется одним лучом, перпендикулярным плоскости фронта (рис. 167, б). В однородной среде направление распространения волны не изменяется. В однородной среде волна распространяется во всех направлениях прямолинейно. Для описания распространения электромагнитных волн в неограниченных средах геометрическая (лучевая) оптика рассматривает ход независимых световых лучей, подчиняющихся законам отражения и преломления. ВОПРОСЫ 1. Объясните механизм распространения передового фронта волны на воде. 2. Дайте определение фронта механической волны. 3. Сформулируйте принцип Гюйгенса. Какие волны называют вторичными? 4. Поясните механизм образования сферического и плоского фронта волны. Что можно сказать об амплитуде возмущения на фронте этих волн? 5. Как можно определить положение фронта плоской и сферической волны? § 54. Отражение волн Закон отражения волн. Изменение направления распространения волны может происходить при отражении её от границы раздела двух сред. Найти количественно это изменение позволяет принцип Гюйгенса. 204 Электромагнитное излучение Рассмотрим процесс возникновения отражённой волны при падении плоской волны на плоскую границу раздела двух сред. Пусть фронт волны ограничен лучами, перпендикулярными фронту, направленными в точки А и В' границы раздела (рис. 168, а), и плоскость волны образует с поверхностью раздела угол а. Угол между лучом и перпендикуляром О2В' к границе раздела также равен а (углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Угол падения волны — угол между падающим лучом и перпендикуляром к границе раздела двух сред в точке падения. Падающая под углом волна достигает точек А и В' границы раздела в разные моменты времени. В тот момент, когда фронт волны достигает точки А, эта точка становится источником вторичных волн. По мере того как волна попадает в точки 1,2,3, В' (рис. 168, б—д), все они становятся источником вторичных волн. Фронт отражённой волны является плоской поверхностью, касательной к сферическим фронтам вторичных волн. •4 168 Возникновение отражённой волны: а) в точке А; б) в точке 1; в) в точке 2: г) в точке 3; д) в точке В' Геометрическая оптика 205 Когда в момент времени т (рис. 168, д) фронт волны достигает точки В', вторичное излучение от точки А распространяется на расстояние АА' = VX. Положение фронта отражённой волны в этот момент времени определяется плоскостью, проходящей через точки А' и В\ Из равенства прямоугольных треугольников АА'В' (рис. 168, д)иАВ'В (рис. 168, а) (равные катеты АА' и ВВ' и общая гипотенуза АВ') следует, что Z АВ'А' = Z ВАВ', или а = у. Отражённые лучи из точек А и В' составляют с перпендикулярами к границе раздела О^А и OgB' угол а. Угол отражения волны — угол между отражённым лучом и перпендикуляром к отражающей поверхности. Сформулируем закон отражения волн, полученный с помощью принципа Гюйгенса. Закон отражения волн ~ Угол отражения равен углу падения. Падающий луч, отражённый луч и перпендикуляр, восставленный в точке падения к отражающей поверхности, лежат в одной плоскости. Важным свойством лучей, в частности лучей света, является их обратимость. Если пустить падающий луч в направлении отражённого, то он отразится в направлении падающего (рис. 169). Закон зеркального отражения справедлив для идеальной плоской поверхности. При зеркальном отражении изменяется направление распространения плоского фронта волны, но не изменяется его форма. В случае неровной поверхности возникает диффузное отражение, при котором параллельный пучок падающих лучей не преобразуется в параллельный пучок отражённых лучей (рис. 170). При этом в каждой точке поверхности выполняется закон отражения волн. Изображение предмета в плоском зеркале. Построение изображения в плоском зеркале основано на использовании закона отражения волн. Рассмотрим точечный источник видимого Падающий луч Отражённый луч Отражённый Падающий А 169 Обратимость световых лучей 206 Электромагнитное излучение а) А 170 Отражение света: а) зеркальное; б) диффузное А 171 Отражение сферического волнового фронта от плоской поверхности: а) в точке О; б) в точках В и А' света S, освещающий плоское зеркало. Волновым фронтом точечного источника является сфера (рис. 171). Положение волнового фронта в произвольный момент времени характеризуют два луча SO и SA. В момент времени t = х волновой фронт достигает точки О (рис. 171, а). Ещё через время At фронт волны (рис. 171, б) касается точки А' (АА' = vAt). За этот промежуток времени отражения волна из точки О достигает точки О' (ОО' = vAt). Огибающей поверхностью сферических вторичных волн является сфера. Фронт отражённой от плоского зеркала волны является сферическим, так же как и фронт падающей волны. Центр отражённой сферической волны лежит за зеркалом, образуя пучок расходящихся лучей. Человеческому глазу, находящемуся в пространстве над зеркалом, кажется, что лучи S'O и SA' выходят из одной точки, расположенной за зеркалом. Эта точка S' воспринимается глазом как мнимое изображение источника S. Мнимое изображение — изображение предмета, возникающее при пересечении продолжений расходящегося пучка лучей. Для построения изображения точечного источника, создающего сферический фронт волны, достаточно использовать два луча (рис. 172). Угол падения луча 1, направленного перпендикулярно зеркалу, равен нулю, поэтому равен нулю и угол отражения. Луч 2, падающий в точке А' под углом а, отражается под тем же углом. Продолжения расходящихся лучей Г и 2' пересекаются в точке S', являющейся мнимым изображением точки S. Найдём расстояние S'O. Как видно из построения, Z OSA' = а как накрест лежащие углы при параллельных прямых, а ZOS'A' = а как соответственные. Следовательно, AOS'A' = AOS А' (по катету ОА' и острому углу). Это означает, что OS' = OS. Геометрическая оптика 207 * S' 172 Построение изображения в плоском зеркале АО = ОА' ВО^ = Оф' В о: о, В' а) А 173 Изображение предмета: а) конечных размеров; б) в небольшом зеркале Мнимое изображение точечного источника в плоском зеркале находится в зеркально симметричной точке. Изображение источника конечных размеров строится как совокупность изображений всех его точек. Однако для построения изображения прямой светящейся стрелки АВ достаточно построить изображения крайних точек, которые затем соединяются отрезком прямой Л'В' (рис. 173, а). Изображение источника находится в симметричной точке даже в том случае, если зеркало имеет конечные размеры и не находится между предметом и его изображением (рис, 173, б). В этом случае изображение предмета можно наблюдать лишь из ограниченной области. Для определения границ этой области вначале находят мнимое изображение предмета S в симметричной точке S', а затем из этой точки проводят лучи через крайние точки зеркала L и М. Из области между этими, отражёнными от зеркала, лучами и можно наблюдать мнимое изображение S' предмета S. Если точечный источник S — Солнце, то в этой области видны солнечные зайчики. ВОПРОСЫ 1. Дайте определение угла падения волны и угла её отражения. 2. Сформулируйте закон отражения света и докажите его с помощью принципа Гюйгенса. 3. В чём состоит принцип обратимости лучей? 208 Электромагнитное излучение 4. Объясните с помощью принципа Гюйгенса отражение сферического волнового фронта от плоской поверхности. 5. Какое изображение называют мнимым? Объясните, как строится изображение точечного источника и предмета конечных размеров в зеркале, а также точечного источника в небольшом зеркале. ЗАДАЧИ 1. Пучок параллельных лучей распространяется в горизонтальном направлении (впра- во) в плоскости чертежа. Как необходимо расположить плоское зеркало, чтобы после отражения от него пучок шёл вертикально вверх? [45°] 2. Луч света падает под углом а на зеркало, плоскость которого расположена перпен- дикулярно плоскости чертежа. На какой угол повернётся отражённый луч при повороте зеркала относительно горизонтальной оси на угол р? [2р] 3. Какой наименьшей высоты должно быть зеркало и каким образом оно должно быть расположено на вертикальной стене, чтобы человек ростом Я видел себя в зеркале во весь рост? [0,5 Я] 4. Человек ростом Я = 1,8 м, стоя на берегу озера, видит в воде отражение Луны, на- ходящейся под углом а = 30° к горизонту. На каком расстоянии от берега человек видит в воде отражение Луны? [3,1 м] 5. Точечный источник света расположен между двумя плоскими зеркалами, располо- женными под углом 45° друг к другу. Постройте все изображения источника в зеркалах. Сколько их будет? [7] § 55. Преломление волн Закон преломления. В дальнейшем, говоря о распространении волн в пространстве, мы будем рассматривать для определённости световые волны видимого диапазона. На границе раздела двух сред свет, падающий из первой среды, отражается в неё обратно. Если вторая среда прозрачна, то свет частично может пройти через границу раздела сред. При этом, как правило, он меняет направление распространения, или испытывает преломление. Преломление — изменение направления распространения волны при прохождении из одной среды в другую. Выведем закон преломления с помощью принципа Гюйгенса. Обозначим скорость волны в первой среде через а во второй через Ug. Рассмотрим процесс возникновения преломленной волны (волны, прошедшей во вторую среду) при падении плоской волны на плоскую границу двух сред. Геометрическая оптика 209 Как и при отражении, предположим, что фронт АВ падающей волны ограничен лучами, направленными в точки А и В' границы раздела (рис. 174, а). Фронт падающей волны образует с поверхностью раздела угол а. Таков же угол падения волны. В момент времени т точка В фронта волны попадает в точку В' (ВВ' = у^т). Вторичная волна от точки А за это же время распространяется на расстояние АА' = Ugt. На рисунке 174, а показаны фронты вторичных волн, распространяющихся из точек А^ 1, 2, 3. Огибающей этих волн является плоский фронт А'В' преломлённой волны. Проведём преломлённые лучи в точках А и В' перпендикулярно фронту А'В', составляющие с перпендикулярами к границе раздела угол (3. Угол преломления — угол между преломлённым лучом и перпендикуляром к границе раздела, восставленным в точке падения. Рассмотрим прямоугольные треугольники АА'В' и АВВ'. Углы ZAB'A' и р равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Приравнивая выражения для гипотенузы АВ', общей для ААА'В' и ААВВ', получаем: v^x sin а У2'^ sin Р 174 а) Преломление плоской волны: а) возникновение преломлённой волны; б) изменение направления пути колонны 210 Электромагнитное излучение Тогда закон преломления можно сформулировать следующим образом. Закон преломления волн Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных двух сред, равная отношению скоростей света в этих средах: = —. (162) S1I1 р 1^2 Падающий луч, преломлённый луч и перпендикуляр к границе раздела двух сред в точке падения лежат в одной плоскости. Преломление волн при переходе из одной среды в другую вызвано тем, что скорости распространения волн в этих средах различны. Можно наблюдать изменение направления распространения фронта колонны ABCD, идущей по асфальтовому шоссе, если, начиная с границы АС', она попадёт в грязь (рис. 174, б). Это происходит потому, что скорость 1^2 каждого участника движения по грязи заметно меньше скорости Uj его движения по асфальту. На рисунке 174, б показаны расположения колонны в моменты времени: ^ = О, когда первый участник А колонны попадает в грязь, и f = т, когда в неё попадает последний участник С {ВС' = АА' = V2X). Абсолютный показатель преломления среды. Максимальной скоростью распространения взаимодействия является скорость света в вакууме. В любой среде свет распространяется с меньшей скоростью. Физической величиной, характеризующей уменьшение скорости распространения света в среде по сравнению со скоростью света в вакууме, является абсолютный показатель преломления среды. Абсолютный показатель преломления среды — физическая величина, равная отношению скорости света в вакууме к скорости света в данной среде: п = ^. (163) Абсолютный показатель преломления среды показывает, во сколько раз скорость распространения света в данной среде меньше, чем скорость света в вакууме: с V = -п (164) Геометрическая оптика 211 Чем больше абсолютный показатель преломления среды, тем меньше скорость распространения света в ней. При сравнении абсолютных показателей преломления двух сред используют понятие оптической плотности среды. Оптически более плотная среда — среда с большим показателем преломления. Оптически менее плотная среда — среда с меньшим показателем преломления. Используя выражение (164) для двух сред с показателями преломления п^ и П2, можно представить закон преломления в следуюпдем виде. Закон преломления Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению абсолютных показателей преломления второй среды к первой: sin а _ ^ sin р Пх' (165) Если луч света переходит из оптически менее плотной среды в оптически более плотную (я^ < Wg)» то угол преломления оказывается меньше угла падения ((3 < ос). Преломлённый луч ближе прижимается к перпендикуляру к границе раздела, чем падающий (рис. 175, а). Для рассмотрения противоположного случая можно воспользоваться принципом обратимости лучей. Если луч света идёт из оптически более плотной среды в оптически менее плотную (ng > я^), то угол преломления оказывается больше угла падения а > р. Преломлённый луч больше отклоняется от перпендикуляра к границе раздела, чем падающий (рис. 175, б). sm а sin Р «2 sin Р sin а П.2 ◄ 175 а) Преломление светового луча: а) при падении из оптики менее плотной среды в оптически более плотную', б) при падении из оптически более плотной среды в оптически менее плотную среду 212 Электромагнитное излучение i а б л и ца 8 Абсолютный показатель преломления Вещество п Воздух 1,0003 Лёд 1,31 Вода 1,333 Этиловый спирт 1,36 Бензин 1,5 Стекло 1,52 Кварц 1,54 Алмаз 2,42 При переходе луча света из вакуума (Hj = 1) в среду с показателем преломления /ig = д закон преломления можно записать следующим образом: sin а sin (3 = п. (166) Измеряя угол падения а и угол преломления р, с помощью формулы (166) можно найти абсолютный показатель преломления среды. Значения абсолютного показателя преломления некоторых сред приведены в таблице 8. Полное внутреннее отражение. Если пучок света переходит из оптически менее плотной среды в оптически более плотную (д^ < /ig), то при любом угле падения существует как отражённый, так и преломлённый пучки света (рис. 176). Рассмотрим подробнее случай, когда свет распространяется от точечного источника S из оптически более плотной среды в оптически менее плотную (вакуум). Если угол падения небольшой, то свет как преломляется, так и отражается (лучи i и 2 на рис. 177). С ростом угла падения а возрастает угол преломления (3 (Р > а), а также интенсивность отражённого луча. При некотором угле падения ао угол преломления достигает своего максимального значения Р = 90° (луч 3). Падающий Отражённый свет свет Преломлённый свет 176 Одновременное отражение и преломление света 177 Полное внутреннее отражение Геометрическая оптика 213 В соответствии с законом преломления света (165): sin «о 1 ; ttn = arcsin sin 90° л ’ ® Если угол падения а > tto (луч 4), преломление света во вторую среду прекращается, свет полностью отражается от границы раздела, как от зеркала — возникает явление полного внутреннего отражения. Полное внутреннее отражение — явление отражения света от оптически менее плотной среды, при котором преломление отсутствует, а интенсивность отражённого света практически равна интенсивности падающего. Угол полного внутреннего отражения ао — минимальный угол падения света, начиная с которого возникает явление полного внутреннего отражения. Для границы раздела стекло—воздух угол полного внутреннего отражения равен: 1 ао = arcsin = 42<= Испытывая полное внутреннее отражение, световой сигнал может распространяться внутри гибкого стекловолокна (световода). Свет может покидать волокно лишь при больших начальных углах падения и при значительном изгибе волокна (рис. 178). Использование пучка, состоящего из тысяч гибких стекловолокон (с диаметром каждого волокна от 0,002—0,01 мм), позволяет передавать оптические изображения. Волоконная оптика — система передачи оптических изображений с помощью стекловолокон {световодов). Волоконно-оптические устройства используются в медицине в качестве эндоскопов — зондов, вводимых в различные внутренние органы (бронхиальные трубы, кровеносные сосуды и т. д.) для непосредственного визуального наблюдения. В настоящее время волоконная оптика вытесняет металлические проводники в системах передачи информации. А 178 Распространение света в световоде 214 Электромагнитное излучение Мы отмечали ранее (см. § 51), что увеличение несущей частоты передаваемого сигнала увеличивает объём передаваемой информации. Частота видимого света на 5—6 порядков превосходит несущую частоту радиоволн. Соответственно с помощью светового сигнала можно передавать в миллион раз больше информации, чем с помощью радиосигнгила. Необходимая информация по волоконному кабелю передаётся в виде модулированного лазерного излучения. Волоконная оптика необходима для быстрой и качественной передачи компьютерного сигнала, содержащего большой объём передаваемой информации. Полное внутреннее отражение используется в призматических биноклях, перископах, зеркальных фотоаппаратах, а также в светоотражате-лях (катафотах), обеспечивающих безопасную стоянку и движение автомобилей. ВОПРОСЫ 3. 5. Какое физическое явление называют преломлением света? Какой угол называют углом преломления? Сформулируйте закон преломления света и докажите его с помощью принципа Гюй-генса. Какую физическую величину называют абсолютным показателем преломления? Что она характеризует? Запишите закон преломления света при переходе границы сред с абсолютными показателями преломления и ng. Чем отличается ход луча при его преломлении в оптически более плотную среду от преломления в оптически менее плотную? Какое физическое явление называют полным внутренним отражением? Как вычислить угол полного внутреннего отражения? Как используется полное внутреннее отражение в волоконной оптике? ЗАДАЧИ 1. Найдите скорость распространения света в алмазе. [1,24 • 10® м/с] 2. Длина волны зелёного света в воздухе X = 540 нм. Какой будет длина волны этого излучения в воде? [405 нм] 3. Луч света падает из воздуха в воду под углом 60°. Найдите угол между отражённым и преломлённым лучами. [79°] 4. При каком угле падения а луча из воды в стекло отражённый луч перпендикулярен преломлённому? [48,4°] 5. На дне пруда глубиной 40 см сидит лягушка, прячущаяся под круглым листом, который плавает на поверхности воды. Каким должен быть минимальный радиус листа, чтобы лягушку не увидели преследователи, находящиеся над поверхностью воды? [45 см] Геометрическая оптика 215 § 56. Дисперсия света Призма Ньютона. В вакууме электромагнитные волны различных частот (длин волн) распространяются с одной и той же скоростью с = 3 • 10® м/с. Однако в среде скорости распространения монохроматических волн разных частот отличаются друг от друга. Монохроматическая волна — электромагнитная волна определённой постоянной частоты. Монохроматические волны разных частот распространяются в одной среде с различными скоростями. Дисперсия света ТОТЫ волны. зависимость скорости света в веществе от час- Различным скоростям распространения волн соответствуют разные абсолютные показатели преломления среды {п = с/и). Поэтому можно утверждать, что дисперсия света — зависимость абсолютного показателя преломления от частоты световой волны. Подобная зависимость была наглядно подтверждена в 1666 г. Исааком Ньютоном, направившим тонкий пучок солнечного света на стеклянную призму. Белый свет не является монохроматическим, а содержит электромагнитные волны различных частот. За призмой наблюдалось разложение белого света в цветной спектр: семь основных цветов — красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий и фиолетовый плавно переходили друг в друга (рис. V, а на цветной вклейке, с. 288). Наименьшее отклонение от первоначального направления падения испытывают красные лучи, а наибольшее — фиолетовые аф. Это означает, что абсолютный показатель преломления Цф для волн, соответствующих фиолетовому цвету, больше, чем для волн, соответствующих красному Цвет, видимый и воспринимаемый глазом, определяется частотой световой волны. Частота Уф фиолетового света больше частоты красного. Таким образом, из опыта Ньютона следует, что абсолютный показатель преломления возрастает с увеличением частоты света. Учитывая, что длина волны света обратно пропорциональна частоте (А. = c/v), можно утверждать, что абсолютный показатель преломления уменьшается с увеличением длины световой волны. На рисунке V, б на цветной вклейке (с. 288) приведена зависимость абсолютного показателя преломления стекла (флинтгласа) от длины волны света. Объяснение явления дисперсии. Выясним, почему скорость распространения света в веществе и, следовательно, абсолютный показатель преломления зависит от частоты света. Рассмотрим распространение све- 216 Электромагнитное излучение (0„ Ео Тф>Хк 179 а) Зависимость времени запаздывания световой волны от амплитуды вторичной волны iJg’ а) малая амплитуда Е2', б) большая амплитуда Е2 та в прозрачной среде. Под действием напряжённости электрического поля световой волны валентные электроны атомов среды начинают совершать вынужденные гармонические колебания с частотой, равной частоте колебаний вектора Колеблющиеся электроны начинают с определённым временем запаз^|;ывания излучать вторичные волны той же частоты и напряжённости Е2 ^рис. 179). Результирующая волна (сумма первичной и вторичной Е2 волн) также запаздывает по сравнению с первичной волной. Чем больше амплитуда вторичной волны, тем больше время запаздывания, тем меньше скорость распространения и больше абсолютный показатель преломления среды. Амплитуда вторичной волны является амплитудой вынужденных колебаний валентного электрона атома и, согласно формуле (131) (см. Ф-10), зависит от частоты со следующим образом: Е. |"о - СО' где cOq — частота собственных колебаний, или (по порядку величины) угловая скорость вращения электрона вокруг ядра. С ростом частоты (со < сОд) знаменатель дроби уменьшается, а амплитуда вторичной волны возрастает. При этом увеличивается время запаздывания, уменьшается скорость распространения волны и возрастает абсолютный показатель преломления среды. Такую дисперсию называют нормальной. При нормальной дисперсии абсолютный показатель преломления среды возрастает с ростом частоты света (и соответственно убывает с ростом длины волны). Геометрическая оптика 217 ВОПРОСЫ 1. Какую волну называют монохроматической? 2. Какое физическое явление называют дисперсией? 3. Какая зависимость абсолютного показателя преломления стекла от частоты следует из опыта Ньютона? 4. Как время запаздывания световой волны зависит от амплитуды вторичной волны? Как амплитуда вторичной волны зависит от частоты света? 5. Какая дисперсия называется нормальной? § 57. Построение изображений и хода лучей при преломлении света Изображение точечного источника. Построение изображений при преломлении света основано на использовании закона преломления волн. Рассмотрим сначала точечный источник света aS^ (рис. 180, а), находящийся в воздухе = 1) на расстоянии SjA = Л от границы оптически более плотной среды rig ^ Сферический фронт волны, распространяющейся из точки Sj, определяется лучами SjA и S^B. Углы падения этих лучей равны 0 и а, а углы преломления 0 и Р соответственно. Продолжения лучей (определяющих положение сферического фронта преломленной волны) расходящегося пучка пересекаются в точке S(, являющейся мнимым изображением точки Sj. Найдём расстояние S^A от мнимого изображения до границы раздела: S,'A = ^. 1 tg Р ◄ 180 О) Изображение точечного источника: а) находящегося в оптически менее плотной среде; б) находящегося в оптически более плотной среде 218 Электромагнитное излучение Так как АВ = htg а, то S^A = . tg |3 При малых углах а и (3 можно считать, что tg а ~ sin а и tg р ~ sin р. Тогда S{A = h^^ =nh. ^ sin Р При наблюдении точечного источника из более плотной среды наблюдателю будет казаться, что источник расположен от границы раздела в п раз дальше, чем он находится на самом деле. Рассмотрим теперь точечный источник света Sg, находящийся в жидкости с показателем преломления = п па. глубине h (рис. 180, б). Найдём изображение источника при наблюдении его из менее плотной среды (например, из воздуха (/ig !))♦ Сферический фронт волны, распространяющейся из точки Sg, определяется лучами SgA и SgB. Углы падения этих лучей равны 0 и а, а углы преломления 0 и Р соответственно. Продолжения лучей (определяющих положение сферического фронта преломлённой волны) расходящегося пучка пересекаются в точке Sg, являющейся мнимым изображением точки Sg. Расстояние, на котором находится мнимое изображение от поверх- ности жидкости, = -—- . tg р Учитывая, что АВ = hig а, получаем 5^4. = • Р Согласно закону преломления sin а sin р Тогда при малых а и Р tg а = sin а, а tg р = sin р. Следовательно, 8!Л = - . ^ п При наблюдении точечного источника из менее плотной среды наблюдателю будет казаться, что источник расположен в п раз ближе к границе раздела, чем он находится на самом деле. Вследствие этого эффекта предметы, находящиеся в воде, кажутся расположенными на меньшей глубине, чем в действительности (рис. 181). В целом при преломлении света на плоской границе раздела двух сред сферический фронт падающей волны преобразуется в сферический фронт преломлённой волны. Прохождение света через плоскопараллельную пластинку. До сих пор мы рассматривали преломление света на одной поверхности раздела неограниченных сред. Изучим теперь особенности последовательного пре- Геометрическая оптика 219 ◄ 181 Преломление света в жидкости: а) кажущаяся форма предмета: б) мнимое изображение рыбы ломления света на нескольких границах раздела прозрачных ограниченных сред. Предположим, что луч света падает из воздуха = 1) под углом а на прозрачную плоскопараллельную пластину (^2 = толщиной d (рис. 182). Найдём, под каким углом ф луч выйдет в воздух после преломления в пластинке. Воспользуемся законом преломления (см. формулу (166)) на верхней границе пластинки: sin а sin (3 = п. Угол падения луча в точке О2 на нижней границе пластинки равен углу преломления Р на её верхней границе как накрест лежащие углы при параллельных прямых (перпендикулярах к границам раздела в точках и Og). Поэтому закон преломления на нижней границе имеет вид: sin Р ^ 1 sin ф п ’ Перемножая левые и правые части законов преломления на обеих границах, получаем sin а sin ф = 1, т. е. ф = а. Луч, прошедший плоскопараллельную пластину, выходит из неё параллельно направлению падения. Боковое смещение луча h пропорционально толщине пластинки d. То, что угол выхода луча равен углу падения на пластину, можно было доказать и по принципу обратимости лучей. Если луч падает из пер- А 182 Прохождение света через плоскопараллельную пластинку 220 л К а' .'К' L _ ^ л - L' К''' М Воздух п Д Воздух \ R Л., А. Электромагнитное излучение вой среды под углом а и преломляется во второй под углом р, то, падая из второй среды под углом р, луч будет преломляться в первой под углом а. Преломление света призмой. Рассмотрим преломление света треугольной призмой, на которую падает из воздуха перпендикулярно одной из её граней луч света. Абсолютный показатель преломления материала призмы п, её преломляющий угол а (рис. 183). Преломляющий угол призмы — угол между гранями призмы, на которых происходит преломление света. А 183 Преломление света призмой с малым ______ __________________ преломляющим углом (ос < ос ) ^ ^ Предположим сначала, что преломляющий ® угол призмы меньше угла полного внутреннего отражения: а < Oq. Найдём угол отклонения 5 луча от первоначального направления падения после преломления луча призмой. При нормальном падении на грань АВ призмы луч не преломляется, падая на вторую преломляющую грань АС под углом а (Z LOK = Z ВАС = а как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Угол преломления Р = Z КОМ на грани АС найдём из закона преломления: sin а sin Р При малом преломляющем угле призмы а можно считать, что sin а = а, sin р « Р, поэтому р = па. Как показано на рисунке 183, треугольная призма отклоняет луч, падающий на неё из воздуха к основанию. Угол отклонения луча 6 = Р - а. Тогда 5 = а(п — 1). (167) Чем больше преломляющий угол призмы и абсолютный показатель преломления вещества, из которого она сделана, тем больше она отклоняет луч от первоначального направления. Рассмотрим теперь преломление света треугольной призмой с преломляющим углом, большим угла полного внутреннего отражения а > ttg. Геометрическая оптика 221 46'’ В п ^ N> У> ! 45°}4 ,45' J М 45°/ , А 45° 45°к]^ 45° .45' 45^ о. 45° <.я ◄ 184 Призма полного внутреннего отражения: а) поворот луча на 90°; б) отражение луча {поворот на 180°) Пусть для определённости призма стеклянная (ttQ = 42'’), а а = 45'’ (рис. 184, а). Луч, нормально падающий на грань АВ, не преломляется на ней. Его угол падения на грань АС равен 45'’ > ttp, поэтому в точке О он испытывает полное внутреннее отражение. На грань ВС отражённый луч падает перпендикулярно и не преломляется, выходя из призмы под углом 90° к направлению падения. Такую призму называют поворотной, так как она поворачивает луч на угол 90°. При падении луча на грань поворотной призмы, проектирующуюся в сечении в гипотенузу АС, падающий луч в результате двух отражений от граней АВ и ВС изменяет направление на противоположное (рис. 184, б). Возникает обращение светового луча. ВОПРОСЫ 1. Где находится изображение точечного источника, наблюдаемого из оптически более плотной среды? 2. Где находится изображение точечного источника, наблюдаемого из оптически менее плотной среды? 3. В чём особенность преломления света плоскопараллельной пластинкой? 4. Какой угол призмы называют преломляющим? Как угол отклонения луча, падающего на призму, зависит от её преломляющего угла и коэффициента преломления? 5. Как используется призма полного внутреннего отражения для поворота и обращения луча? ЗАДАЧ И 1. Толщина стекла зеркала (л = 1,5) d = 1 см. Задняя часть зеркала посеребрена. На каком расстоянии от наружной части зеркала будет находиться изображение предмета, удалённого от неё на 50 см. [51,3 см] 222 Электромагнитное излучение 2. В сосуд вначале наливают воду (л, = 1,33) до высоты Л, = 4 см, а поверх неё доверху — бензин («2 = 1.5) с высотой столба ^2 = 6 см. Чему равна кажущаяся глубина сосуда? [7 см] 3. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку (л = 1,5) толщиной d= 10 см под углом а = 60°. Найдите боковое смещение луча на выходе из пластинки. [dsin а(1 - соза/7л2 - sin2a ) = 5,1 см] 4. Луч света выходит из стеклянной призмы (л = 1,5) под тем же углом, под которым падает на неё. Преломляющий угол призмы 60°. Найдите угол падения луча на призму. [48,6°] 5. На одну из граней стеклянной призмы, сечением которой является правильный тре- угольник, параллельно основанию падает луч света определённой частоты. На какой угол относительно первоначального направления падения он отклоняется после преломления призмой? [47°] § 58. Линзы Геометрические характеристики. Преломление света на плоских границах пространственно ограниченных прозрачных сред (плоскопараллельная пластинка, призма) приводит к смещению изображений относительно самих предметов. При этом размер изображения остаётся равным размеру предмета. Отличие размера изображения Н от размера предмета h наблюдается лишь при преломлении света на криволинейных прозрачных поверхностях и характеризуется линейным увеличением оптической системы. Линейное увеличение оптической системы — отношение линейного размера изображения к соответствующему линейному размеру предмета: Г ^0 h * (168) Для увеличенного изображения {Н > /г) Fq > 1, при уменьшенном изображении {Н < /г) Го < 1. В случае совпадения размера изображения с размером предмета {Н = Л) Fq = 1. Важнейшим элементом многочисленных оптических приборов и систем, начиная от очков и кончая гигантскими телескопами, является линза. Дадим определение геометрических характеристик линзы. Главная оптическая ось — прямая, на которой лежат центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу (рис. 185). Главная оптическая ось O^Og является осью симметрии линзы. Геометрическая оптика 223 М' R Oi Ri> О Rz> О О Oi м> 1 i?i< 0 1 i?2< 0 ; Г1 ;о h ФГ'' N^ N и) А 185 Геометрические характеристики линзы, а) двояковыпуклая линзам б) двояковогнутая линза б) Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Главная плоскость линзы — плоскость, проходящая через оптический центр линзы {точку О) перпендикулярно главной оптической оси. Типы линз. На рисунке 185, а главная плоскость MN проходит через линию пересечения сферических поверхностей с радиусами Щ и называемыми радиусами кривизны. Будем считать, что для сферической поверхности, выпуклой относительно главной плоскости, радиус кривизны положителен. Для сферической поверхности, вогнутой относительно главной плоскости, радиус кривизны отрицателен (рис. 185, б). Одна из ограничивающих поверхностей линзы может быть плоской. Плоскую поверхность можно рассматривать как частный случай сферической, радиус кривизны которой стремится к бесконечности. По форме ограничивающих поверхностей различают шесть типов линз (рис. 186): • двояковыпуклая; • двояковогнутая; • плоско-выпуклая; • плоско-вогнутая; • вогнуто-выпуклая; выпукло-вогнутая. Выпуклые линзы являются собирающими (мы покажем это далее). Собирающие линзы — линзы, преобразующие параллельный пучок световых лучей в сходящийся. 224 Собирающие линзы А т Электромагнитное излучение Рассеивающие линзы 1 f 9 / A 1 A 0 Ri> 0 i?i < 0 ^i< 0 ->■ oo R^> 0 i?2> 0 J?2 oo R2> 0 R2< 0 Rz< 0 Rz< 0 1 /?! 1 > i?2 Ri> \R2 1 2 3 4 5 6 ▲ 186 Типы линз: 1 — двояковыпуклая: 2 — плоско-выпуклая: 3 — вогнуто-выпуклая: 4 — двояковогнутая: 5 — плоско-вогнутая: 6 — выпукло-вогнутая Вогнутые линзы являются рассеивающими. Рассеивающие линзы — линзы, преобразующие параллельный пучок световых лучей в расходящийся. В дальнейшем для простоты мы будем рассматривать преломление световых лучей тонкими линзами. Тонкая линза — линза, толщина которой пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны её поверхности (1 ^ R^. ВОПРОСЫ 1. Дайте определение линейного увеличения оптической системы. Что оно характеризует? 2. Дайте определение главной оптической оси и главной плоскости линзы. 3. Охарактеризуйте шесть типов линз, отличающихся формой ограничивающих поверхностей. Как определяется знак радиуса кривизны этих поверхностей? 4. В чём отличие собирающих и рассеивающих линз? 5. Какая линза называется тонкой? Геометрическая оптика 225 § 59. Собирающие линзы Фокусное расстояние, оптическая сила. Рассмотрим, как преломляется пучок лучей, параллельных главной оптической оси (рис. 187, а), при падении на плоско-выпуклую тонкую линзу (с показателем преломления п и радиусом кривизны К). Условно линзу можно представить как совокупность призм с различными углами преломления, поэтому будет различным и преломление луча, попадающего на каждую из призм. Луч 1, направленный вдоль главной оси, не преломляется, так как падает практически на плоскопараллельную пластинку. Преломляющий угол призмы 2 равен р, поэтому после прохождения призмы луч 2 отклоняется от первоначального направления на угол = Р(д - 1) (см. формулу (169)). Преломлённый луч 2 пересекает главную оптическую ось в точке F. Луч 3 падает на призму 3, имеющую преломляющий угол а. После её прохождения преломлённый луч 3 отклоняется от горизонтали на угол 6 = а(/г - 1). При этом 6 > 5д. Можно показать, что и луч 3 пересекает главную оптическую ось в точке jP, называемой главным фокусом линзы. Главный фокус собирающей линзы — точка на главной оптической оси, в которой собираются лучи, падающие параллельно главной оптической оси, после преломления их в линзе. Фокусное расстояние (обозначаемое как и главный фокус F) — расстояние от главного фокуса до центра линзы. ?|3 А 187 О) Преломление собирающей линзой лучей, параллельных главной оптической оси'. а) главный фокус линзы, б) связь фокусного расстояния с радиусом кривизны линзы к Физика. 11 кл. Профильмый уровень 226 Электромагнитное излучение Покажем, что фокусное расстояние линзы связано с её радиусом кривизны (рис. 187, б). Для этого рассмотрим преломление луча 3 на части линзы — призме с преломляющим углом а. Луч падает в точке А под углом а и отклоняется от горизонтали (первоначального направления его падения) на угол 5, равный ZAFO, как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Радиус кривизны линзы О^А = R в точке А совпадает по направлению с перпендикуляром к преломляющей грани призмы и составляет с оптической осью OjO угол а. Угол 5 можно найти из AAOF: tg 5 = h/F, а угол а из ААО^О: sin а = h/R. Для тонкой линзы углы преломления а (и соответственно 5) столь малы, что можно считать sin а ~ а = h/R, а tg 6 ~ 5 = h/F. Тогда, учитывая связь 5 и а, находим Сокращая на h, получаем h t ...h ^=(П-1)д 1 / ivl (169) Фокусное расстояние плоско-выпуклой линзы в вакууме определяется радиусом кривизны её поверхности и абсолютным показателем преломления материала линзы. Любую выпуклую линзу можно рассматривать как совокупность двух плоско-выпуклых линз. Для двояковыпуклой линзы полный преломляющий угол а складывается из преломляющих углов и ttg двух плоско-выпуклых линз (рис. 188, а). Для вогнуто-выпуклой линзы прелом- М Oi |0 / а) 188 о. Но Собирающие линзы как совокупность двух плоско-выпуклых линз: а) двояковыпуклая линза; б) вогнуто-выпуклая линза Геометрическая оптика 227 ляющий угол определяется разностью преломляющих углов - ttg двух плоско-выпуклых линз (рис. 188, б). Для двояковыпуклой тонкой линзы луч, параллельный главной оптической оси, вблизи точки М отклоняется от оси на угол Ь = {п-1)(а^ + а2), (170) а для вогнуто-выпуклой тонкой линзы 6 = (л - IKtti - ttg). (171) Считая так же, как и для одной плоско-выпуклой линзы, 5 = h/F, = hlR^y tt2 = находим: для двояковыпуклой тонкой линзы ДЛЯ выгнуто-выпуклой тонкой линзы F Rz (172) (173) Наличие в формулах (169), (172), (173) величины 1/F привело к введению оптической силы линзы. Оптическая сила — величина, обратная фокусному расстоянию линзы: (174) Чем сильнее линза преломляет параллельные лучи, т. е. чем меньше её фокусное расстояние, тем больше оптическая сила линзы. Единица оптической силы — диоптрия (дптр). Диоптрия — оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м. Оптическая сила для любой собирающей линзы может быть представлена формулой: Формула (175) является обобщением выражений (169), (172), (173). Действительно, для плоско-выпуклой линзы i?2 0-/R\ = 0)> а для вог- нуто-выпуклой линзы можно считать, что радиус кривизны вогнутой поверхности отрицателен, т. е. i?2 < 0 ^ Щу поэтому ^ ^ Для собирающих линз оптическая сила положительна: £) > 0. 228 Электромагнитное излучение Основные лучи для собирающей линзы. Рассмотрение преломления световых лучей собирающей тонкой линзой позволяет выделить важнейшие характерные лучи у достаточные для построения хода любого луча, падающего на линзу, а также для получения изображения предмета в линзе. • Луч, параллельный главной оптической оси, преломляясь в линзе, проходит через её главный фокус. Луч, проходящий через главный фокус (по принципу обратимости лучей), после преломления в линзе идёт параллельно главной оптической оси. ♦ Луч, идущий через оптический центр тонкой линзы, проходит через нее, не преломляясь. Это объясняется тем, что такой луч падает практически на плоскопараллельную пластинку. Ввиду того что линза тонкая, незначительным параллельным отклонением преломлённого луча можно пренебречь. На рисунке 189, а приведён ход характерных лучей для собирающей линзы и использовано её условное обозначение. Как мы установили ранее, лучи, параллельные главной оптической оси, падающие на линзу, преломляясь, пересекаются в главном фокусе. Если пучок параллельных лучей падает на собирающую линзу под небольшим углом у к главной оптической оси, то преломлённые лучи пересекаются в одной точке F' фокальной плоскости линзы, называемой побочным фокусом (рис. 189, б). (Доказательство этого утверждения, подобное выводу формулы (169), мы для краткости не приводим.) Фокальная плоскость линзы — плоскость, проходящая через главный фокус линзы перпендикулярно главной оптической оси. А 189 Основные лучи для собирающей линзы: а) характерные лучи', б) параллельные лучи Геометрическая оптика 229 d) б) о F О F ◄ 190 Построение хода лучей в собирающей линзе: а) построение преломлённого луча-, б) построение падающего луча Положение побочного фокуса определяется пересечением луча 2, проходящего через оптический центр О линзы с фокальной плоскостью, находящейся за линзой. Известные свойства характерных и параллельных лучей позволяют построить ход произвольного луча 1, падающего на собирающую линзу с фокусным расстоянием F (рис. 190, а). Для определения направления преломлённого луча воспользуемся лучом 2, проходящим через оптический центр О параллельно падающему лучу 1. Луч 2 проходит линзу, не преломляясь, пересекая фокальную плоскость в побочном фокусе F'. Согласно свойству параллельных лучей после преломления луч 1 также пройдёт через этот побочный фокус. Найдем теперь направление падающего луча, если известен ход преломлённого луча 2 (рис. 190, б). По принципу обратимости лучей данную задачу можно свести к предыдущей, считая, что известно направление падающего на линзу луча. Тогда, повторяя предыдущее построение с помощью луча 3, проходящего через оптический центр О линзы параллельно лучу 2, получим побочный фокус F', через который проходит искомый падающий луч 2. ВОПРОСЫ Объясните, как преломляются лучи, параллельные главной оптической оси, плоско-выпуклой линзой. Дайте определение главного фокуса и фокусного расстояния линзы. Как связано фокусное расстояние плоско-выпуклой линзы с радиусом кривизны её поверхности и абсолютным коэффициентом преломления материала линзы? 230 Электромагнитное излучение 3. 4. 5. 1. 2. 3. Какая величина называется оптической силой? В каких единицах она измеряется? Как зависит оптическая сила линзы от её абсолютного коэффициента преломления и радиусов кривизны ограничивающих её поверхностей? Перечислите и нарисуйте основные характерные лучи в собирающей линзе. Сформулируйте свойство параллельных лучей, падающих на собирающую линзу под углом к главной оптической оси. ЗАДАЧ И Плоско-выпуклая линза из пластика (п = 1,58) имеет радиус кривизны поверхности 11,6 см. Найдите фокусное расстояние линзы и её оптическую силу. [20 см; 5 дптр] Найдите оптическую силу стеклянной (п = 1,5) плоско-выпуклой линзы диаметром d = 4 см, имеющей в центральной части толщину Я = 2 мм. [4,95 дптр] Плоско-выпуклая линза имеет ограничивающую сферическую поверхность радиусом 12 см. Фокусное расстояние линзы 24 см. Найдите абсолютный показатель преломления материала, из которого сделана линза. [1,5] 4. Двояковыпуклая линза сделана из стекла {п^ = 1,5) с радиусами кривизны i?, = = 0.1 м. Найдите её оп- тическую силу в воздухе и в воде (пз = 1,33). [10 дптр; 2,56 дптр] 5. Известен ход падающего и преломлённого собирающей линзой лучей (рис. 191). Найдите построением главный фокус линзы слева и справа от неё. 191 § 60. Изображение предмета в собирающей линзе Типы изображений. Изображение протяжённого предмета складывается из изображений отдельных точек этого предмета. Поэтому рассмотрим сначала изображение светящейся точки А, находящейся на расстоянии h от главной оптической оси и на расстоянии d {d> F) от линзы (рис. 192, а). Точка А излучает расходящуюся сферическую световую волну. Положение сферического фронта световой волны, излучаемой точкой А, определяется двумя лучами, выходящими из этой точки. Удобно выбрать характерные лучи: луч 1, падающий параллельно главной оптической оси, и луч 2, проходящий через оптический центр линзы. Пересечение этих лучей, преломлённых линзой, происходит в точке А', являющейся действительным изображением точки А, находящейся на расстоянии / от линзы. Действительное изображение точки А — точка А", в которой сходится после преломления в линзе пучок лучей, испускаемых точкой А. А 192 Формирование изображений в собирающей линзе'. а) действительное изображение {d > i^); б) мнимое изображение {d < F); в) преобразование пучка лучей {d = F) На экране, помещённом в точке А', видна светящаяся точка. Собирающая линза преобразует расходящийся сферический волновой фронт от точечного источника в сходящийся в точке за линзой волновой фронт, если источник света находится за фокусным расстоянием. Найдём изображение светящейся точки А, расположенной между главным фокусом и линзой d < F (рис. 192, б). Для этого используем те же характерные лучи, что и в предыдущем случае. Преломляясь, они образуют расходящийся пучок лучей, выходящий из точки А\ являющейся мнимым изображением точки А. Мнимое изображение точки А — точка А', в которой пересекаются после преломления в линзе продолжения расходящегося пучка лучей, как бы (мнимо) испускаемых точкой А. На экране, помещённом в точке А', реальной светящейся точки нет. В результате преломления света собирающая линза преобразует расходящийся сферический волновой фронт от точечного источника А в расходящийся сферический фронт, распространяющийся как бы от мнимого изображения А', если источник света находится между линзой и главным фокусом. Если светящаяся точка А находится в фокальной плоскости {d = F), то характерные лучи после преломления в линзе идут параллельно друг другу. Это означает, что преломлённые лучи не пересекаются или, как говорят, пересекаются на бесконечности (рис. 192, в). Если источник света находится в фокальной плоскости, собирающая линза в результате преломления преобразует расходящуюся сфе- 232 Электромагнитное излучение рическую волну, излучаемую источником, в плоскую преломлённую волну. Поперечное увеличение линзы. Построим изображение линейного предмета, находящегося на расстоянии d от собирающей линзы с фокусным расстоянием F. Рассмотрим последовательно случаи, когда: • d> 2F; • F 2F — действительное, уменьшенное, перевёрнутое', б) F h. При F 1). Если предмет находится между главным фокусом и линзой (рис. 193, в), то у^ = h, у^ = Н, Н > h. При d 0) w увеличенным (|Г| > 1). Таким образом, знак и модуль поперечного увеличения определяет взаимную ориентацию и относительный размер предмета и его изображения в линзе. При прямом изображении предмета в линзе поперечное увеличение положительно (Г > 0), а при перевёрнутом — отрицательно (Г < 0). При увеличенном изображении предмета в линзе модуль поперечного увеличения больше единицы (|Г[ > 1), а при уменьшенном — меньше единицы (|Г| < 1). Построение изображений в собирающей линзе. Рассмотрим наиболее характерные примеры построения изображений предметов в линзе, а также графического определения фокусного расстояния и расположения линзы. Точечный источник света, находяицийся на главной оптической оси (например, при d > 2F) (рис. 194, а). Для построения изображения точечного источника S необходимо найти ход двух лучей, идущих от источника после преломления их линзой. Точка их пересечения S' определяет положение изображения предмета. В качестве одного из этих лучей можно 234 Электромагнитное излучение а) 194 Построение изображений: а) точечного источника; б) линейного предмета взять луч 1 (SO), падающий на линзу вдоль главной оптической оси и не испытывающий преломления. Это означает, что изображение S' точки S лежит на главной оптической оси. В качестве второго луча возьмём произвольный луч 2 {SK). Для построения преломлённого луча KS' воспользуемся свойством параллельных лучей (см. рис. 189, а). Луч 3, параллельный лучу SK, проходящий через центр О линзы, не преломляясь, пересекает её фокальную плоскость в точке F'. Через эту же точку должен пройти луч 2, пересекающийся с лучом 1 в точке S', являющейся изображением точки S. Линейный предмет, расположенный параллельно главной оптической оси. При построении изображения линейного предмета можно отдельно построить изображения его крайних точек, соединив их затем прямой линией. Однако более рациональным является другой способ построения (рис. 194, б). В качестве падающего луча, общего для точек А и В, удобно выбрать луч 1, проходящий через стрелку АБ. Луч 1 после преломления в линзе проходит через фокус. Именно на этом преломлённом луче находится изображение точек А и Б, и соответственно изображение А'В' всего предмета. Для построения крайних точек А' и В' изображения воспользуемся лучами 2 и 3, выходящими из точек А и Б и проходящими через центр О линзы без преломления. Пересечения этих лучей с преломленным лучом 1 определяют размер изображения А'В' предмета. Графическое определение положения оптического центра и главного фокуса линзы. Если известны положение и размер предмета и изображения, можно найти построением расположение линзы и её фокусное расстояние. Предположим, что предмет h и его изображение Н в собирающей линзе располагаются относительно главной оптической оси линзы Геометрическая оптика 235 так, как это показано на рисунке 195, а. В этом случае изображение предмета является увеличенным и прямым. Такое изображение возникает в собирающей линзе, если предмет располагается между линзой и её главным фокусом (см. рис. 193, в). Сравнение рисунков 195, а и 193, в показывает, что линза должна находиться слева от предмета. Для удобства построим изображение такого предмета в линзе с известным фокусным расстоянием F (рис. 195, б) с помощью характерных лучей 1 и 2. По аналогии с рисунком 195, б выполним построение хода лучей (рис. 195, в). Пересечение продолжения прямой А'А с главной оптической осью даёт положение оптического центра О и главной плоскости линзы MN. Проведём из точки А линию АК, параллельную OjOg, до пересечения с плоскостью MN. Пересечение продолжения прямой А'К с главной оптической осью будет главным фокусом линзы. Подобным образом можно находить положение и фокусное расстояние линзы при любых типах изображения предмета. ВОПРОСЫ 1. Какие типы изображений возможны в собирающей линзе? Какие преобразования фронта волн, идущего от точечного источника, возможны в такой линзе? 2. Дайте определение поперечного увеличения линзы. Как величина поперечного увеличения собирающей линзы зависит от расстояния предмета до линзы? 3. Где находится изображение точечного источника, помещённого на главной оптической оси собирающей линзы? 4. Где находится изображение предмета, расположенного параллельно главной оптической оси собирающей линзы между фокусом и линзой? 5. Зная предмет и его действительное изображение в собирающей линзе (рис. 195, а), найдите построением оптический центр и главный фокус линзы. .-.'-TiA' А / Я "Я. н Ог 02 о, У > О F О о) 195 б) Ог F К о '--Л ж н о. Графическое определение фокусного расстояния: а) предмет h и его изображение Н', б) построение изображения предмета-, в) определение фокусного расстояния 236 Электромагнитное излучение ВОПРОСЫ 2F F <>' F 2F А 196 О 197 2F F о F 2F А 198 1. Постройте изображение предмета, находящегося на главной оптической оси линзы (рис. 196). 2. Постройте изображение предмета, находящегося между фокусом и оптическим центром линзы (рис. 197). 3. Постройте изображение предмета, расположенного над главной оптической осью над фокусом (рис. 198). 4. Найдите графически оптический центр и главный фокус собирающей линзы, если известно, что АВ — предмет, А'В' — его изображение, O^Oj— главная оптическая ось собирающей линзы (рис. 199). 5. АВ — предмет, А'В' — его изображение в собирающей линзе (рис. 200). Найдите построением оптический центр линзы, положение её главной оптической оси и главный фокус линзы. в о. I: о. л В' \^А' 199 200 § 61. Формула тонкой собирающей линзы Предмет за фокусом линзы {d > F). Введя основные характеристики изображения предмета в линзе, рассчитаем теперь, где оно находится. Расстояние f от изображения до линзы, как мы видели из рисунка 193, зависит от расстояния d предмета до линзы и её фокусного расстояния F. Найдём взаимосвязь между d, F и f, называемую формулой тонкой линзы. Для этого запишем дважды модуль поперечного увеличения линзы из подобия треугольников на рисунке 193, а. АЛОВ АА'ОВ', поэтому а ACFO ^ AA'FB\ тогда |Г|=^ = / h d' ' ' h F (177) (178) Геометрическая оптика 237 Приравнивая правые части равенств (177) и (178), получаем L = Lil. d F ' Разделив на f обе части последнего равенства, получаем 1=1-1 d F f' Формула тонкой линзы имеет вид: F d f (179) Формула тонкой линзы получена нами для случая d > 2F. Однако она может быть выведена аналогично и при F F). 2. Выведите формулу линзы для случая, когда предмет находится между фокусом и линзой (d < F). А 201 Характеристики изображении в собирающей линзе: а) расстояние от изображения до линзы; б) поперечное увеличение Геометрическая оптика 239 Таблица 9 Характеристики изображений в собирающих линзах в зависимости от расстояния d от предмета до линзы Предмет Изображение Расстояние от линзы d Расстояние от линзы f Тип Ориентация Относительный размер d>2F F2F Действительное Перевёрнутое (Г<0) Увеличенное (|Г| > 1) d = F f — ioo d0) Увеличенное (|Г| > 1) 3. При каком условии можно использовать формулу линзы, пригодную для любых расстояний от предмета до линзы? 4. Нарисуйте график зависимости f(d) для собирающей линзы и охарактеризуйте возможные типы изображений. 5. Нарисуйте график зависимости поперечного увеличения собирающей линзы и охарактеризуйте возможные типы изображений. ЗАДАЧИ 1. Собирающая линза, находящаяся на расстоянии d= ^ м от лампы накаливания, даёт изображение её спирали на экране на расстоянии / = 0,25 м от линзы. Найдите фокусное расстояние линзы. [20 см] 2. Свеча находится на расстоянии d = 15 см от собирающей линзы с оптической силой D = 10 дптр. На каком расстоянии от линзы следует расположить экран для получения четкого изображения свечи? [30 см] 3. Какой должна быть оптическая сила проектора слайдов для их 100-кратного увеличения на экране, находящегося на расстоянии 10 м от проектора? [10,1 дптр] 240 Электромагнитное излучение 4. Найдите минимально возможное расстояние между предметом и изображением, если d>F. [4F] 5. Расстояние между двумя точечными источниками света I = 40 см. На каком расстоянии от одного из источников следует разместить между ними собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 10 см, чтобы изображения источников в ней совпали? [20 см] §62. Рассеивающие линзы Фокусное расстояние, оптическая сила. Рассмотрим, как преломляется плоская световая волна, или пучок параллельных лучей, при нормальном падении на плоско-вогнутую линзу (с показателем преломления п и радиусом кривизны К). Это означает, что лучи падают параллельно главной оптической оси (рис. 202). Условно линзу можно представить как совокупность призм с различными углами преломления, поэтому будет различным и преломление луча, попадающего на каждую из линз. Луч 1 не преломляется, так как падает практически на плоскопараллельную пластинку. Луч 2 падает на призму с меньшим преломляющим углом р, чем луч 3, падающий на призму с преломляющим углом а > р. Поэтому луч 2 меньше отклоняется от горизонтали, чем луч 3 (5^ < 5). В отличие от собирающей линзы, приближающей параллельные лучи к главной оптической оси, рассеивающая линза отклоняет их в сторону от неё. Можно показать, что продолжения преломлённых лучей пересекаются на главной оптической оси в точке F, называемой мнимым главным фокусом рассеивающей линзы. 2' 3' ■“ЗГ 202 Преломление рассеивающей линзой лучей, параллельных главной оптической оси: а) главный фокус линзы: б) связь фокусного расстояния с радиусом кривизны Геометрическая оптика 241 Главный фокус рассеивающей линзы — точка на главной оптической оси, через которую проходят продолжения расходящегося пучка лучей, возникшего после преломления в линзе лучей, параллельных главной оптической оси. Этот фокус является мнимым: расходящийся пучок лучей выходит как бы из него. Главный фокус рассеивающей линзы лежит по другую сторону от линзы, чем фокус собирающей (сравните рис. 202 и 187), поэтому фокусное расстояние рассеивающей линзы считается отрицательным F < 0. Сравнение рисунков 202, б и 187, б показывает, что фокусное расстояние рассеивающей линзы связано с её радиусом кривизны формулой (169) (см. §58): 1 = т Любую вогнутую линзу можно рассматривать как совокупность плоско-вогнутых линз. Можно показать, что для рассеивающей линзы с показателем преломления п и радиусами кривизны сферических поверхностей jRj и справедлива формула (172), записанная в виде: (185) Для вогнутой поверхности радиус кривизны сферической поверхности считается отрицательным, для выпуклой — положительным. Соответственно отрицательным для рассеивающей линзы оказывается и фокусное расстояние, и оптическая сила. Для рассеивающих линз оптическая сила отрицательна: D <0. Основные лучи для рассеивающей линзы. Рассмотрение преломления световых лучей рассеивающей линзой позволяет выделить важнейшие характерные лучи, достаточные для построения хода любого луча, падающего на линзу, а также для получения изображения предмета в линзе. Луч, параллельный главной оптической оси, преломляясь в линзе, выходит как бы из мнимого главного фокуса. Луч, падающий в направлении мнимого главного фокуса, находящегося за линзой (по принципу обратимости лучей), после преломления в линзе идёт параллельно главной оптической оси. Луч, идущий через оптический центр тонкой линзы, проходит через неё без преломления. 242 Электромагнитное излучение А 203 Основные лучи для рассеивающей линзы: а) характерные лучи; б) ход параллельных лучей На рисунке 203, а показан ход характерных лучей для рассеивающей линзы и использовано её условное обозначение. Так же, как и для собирающей линзы, существует особенность преломления пучка параллельных лучей рассеивающей линзой. Если пучок параллельных лучей падает на тонкую рассеивающую линзу под небольшим углом у к главной оптической оси, то продолжения преломлённых лучей пересекаются в одной точке F' фокальной плоскости линзы (иногда называемой побочным фокусом) (рис. 203, б). В отличие от собирающей линзы побочный фокус F' располагается в фокальной плоскости, находящейся перед линзой. Положение побочного фокуса определяется пересечением луча 2, проходящего через оптический центр О линзы, с этой фокальной плоскостью. Известные свойства характерных и параллельных лучей позволяют построить ход произвольного луча 1, падающего на рассеивающую линзу с фокусным расстоянием F (рис. 204, а). Для определения направления преломлённого луча воспользуемся лучом 2, проходящим через оптический центр О параллельно падающему лучу 1. Луч 2 проходит линзу, не преломляясь, пересекая фокальную плоскость в побочном фокусе F'. Согласно свойству параллельных лучей после преломления луч 1 также пройдёт через этот побочный фокус. Найдём теперь направление падающего луча, если известен ход преломлённого луча (рис. 204, б). По принципу обратимости лучей будем считать, что дано направление луча, падающего на линзу. Повторяя предыдущее построение с помощью луча 3, проходящего через оптический центр О линзы параллельно лучу 2, получим побочный фокус F', через который проходит продолжение падающего луча 2. Геометрическая оптика 243 204 ► Построение хода лучей в рассеивающей линзе: а) падающий луч — построение преломлённого луча\ б) преломлённый луч — построение падающего луча б) О ВОПРОСЫ 1. Объясните, как преломляются лучи, параллельные главной оптической оси, плоско-вогнутой линзой. Какую точку называют главным фокусом рассеивающей линзы? 2. Как связано фокусное расстояние плоско-вогнутой линзы с радиусом кривизны её поверхности и коэффициентом преломления материала линзы? 3. Перечислите и нарисуйте основные характерные лучи в рассеивающей линзе. 4. В чём особенности преломления параллельных лучей в рассеивающей линзе? 5. Как построить ход преломлённого луча, если известно направление луча, падающего на рассеивающую линзу? ЗАДАЧИ 1. Плоско-вогнутая стеклянная линза (л = 1,5) имеет радиус кривизны R=20 см. Найдите фокусное расстояние линзы и её оптическую силу. [-40 см; -2,5 дптр] 2. Найдите оптическую силу стеклянной плоско-вогнутой линзы диаметром d = 4 см, имеющей максимальную толщину Я = 4 мм и минимальную Л = 2 мм. [-4,95 дптр] 3. Плоско-вогнутая линза имеет сферическую ограничивающую поверхность ради- усом 10 см. Фокусное расстояние линзы F = -20 см. Найдите абсолютный показатель преломления материала, из которого сделана линза. [1,5] 4. Выпукло-вогнутая линза сделана из стекла (л, = 1,5) с радиусом кривизны ограничивающих сферических поверхностей = 20 см и = -Ч0 см. Найдите её оптическую силу в воздухе и в сероуглероде (Лз = 1,62). [-2,5 дптр; +0,37 дптр] 5. Известен ход падающего и преломлённого рассе- ивающей линзой лучей (рис. 205). Найдите построением главные фокусы линзы. 205 244 Электромагнитное излучение h' АуК О ! ^ ix F ■ 1 ' d ► 1 2\ о) § 63. Изображение предмета в рассеивающей линзе Изображение точечного источника. Изображение протяжённого предмета складывается из изображений отдельных точек этого предмета. Поэтому построим сначала изображение светящейся точки А, находящейся на расстоянии h от главной оптической оси и на расстоянии d от линзы (рис. 206, а). Положение сферического фронта световой волны, излучаемой точкой А, определяется двумя лучами, выходящими из этой точки. В качестве таких лучей удобно выбрать характерные лучи: луч 1, падающий параллельно главной оптической оси, и луч 2, проходящий через оптический центр О линзы. Продолжения преломлённых лучей 1 и 2 пересекаются в точке А', являющейся мнимым изображением точки А, находящимся на расстоянии / от линзы. Рассеивающая линза всегда создаёт только мнимое изображение (независимо от расстояния между предметом и линзой). В результате преломления света рассеивающая линза преобразует друг в друга расходящиеся {сходящиеся) сферические волновые фронты. Рассеивающая линза может также преобразовывать плоскую волну в расходящуюся сферическую (а по принципу обратимости лучей и схо-дящукюя сферическую волну — в плоскую), как показано на рисунке 206, б. Поперечное увеличение линзы. Построим изображение линейного предмета, находящегося на расстоянии d от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F. Такое изображение находится путём построения изображений крайних точек предмета АВ (рис. 207). Для построения изображения точки А предмета воспользуемся двумя характерными лучами: лучом 1, параллельным главной оптической оси, и лучом 2, проходящим через оптический центр О линзы. Построив мнимое изображение А\ опускаем перпендикуляр на главную оптическую ось и на- F 2 206 Формирование изображения в рассеивающей линзе: а) преобразование сферической падающей волны в сферическую преломлённую’, б) преобразование плоской падающей волны в расходящуюся сферическую Геометрическая оптика 245 ходим точку В', являющуюся мнимым изображением точки В. Мнимое изображение предмета в линзе находится по ту же сторону от линзы, что и предмет. Поперечное увеличение рассеивающей линзы (см. формулу (176)) определяется отношением координаты изображения к координате предмета Г = ^ ^ >0. yd h 207 Изображение линейного предмета в рассеивающей линзе Из рисунка 207 видно, что 77 < Л, т. е. |Г| < 1. Изображение предмета в рассеивающей линзе — мнимое, прямое (Г > 0), уменьшенное (|Г| < 1). Принципы построения изображений предметов в рассеивающей линзе остаются теми же, что и для собирающей линзы (см. § 59). Формула тонкой рассеивающей линзы. Подобно тому как мы это делали для собирающей линзы, найдём взаимосвязь между расстоянием d от предмета до линзы с фокусным расстоянием F и расстоянием f от изображения предмета до линзы. Для этого запишем поперечное увеличение линзы из подобия тре- Н 1/1 угольников на рисунке 207: АЛОВ АА'ОВ', поэтому Г = -г- = (мы п а учли, что f < 0). ACFO ^ AA'FB', тогда Г = ^ = (для рассеиваю- п \г\ щей линзы F < 0). Приравняем правые части полученных выражений: 1Л _ \F\ - 1Я d |F| • Разделив обе части последнего равенства на |/1, получаем 1 = 1 _ J- d |Л \F\' Формула тонкой рассеиващей линзы имеет вид: ■|Р| 1^* (186) Часто формулу (179) используют как для собирающей, так и для рассеивающей линзы. При этом действительное фокусное расстояние счита- 246 Электромагнитное излучение ется положительным F = |F|, мнимое — отрицательным F = —|i^|, расстояние от линзы до действительного изображения определяется как положительное {f = |/|), до мнимого как отрицательное (/ = -\f\). Выясним с помощью формулы линзы (186), на каком расстоянии \f\ от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F находится изображение предмета, расположенного на расстоянии d от линзы. Из формулы (186) находим а) ri ▲ 208 Характеристики изображения в рассеивающей линзе: а) расстояние от изображения до линзы: б) поперечное увеличение d + \F\ (187) Для построения графика |/i( 0), уменьшенным (|Г| < 1) и располагается между линзой и главным фокусом с той же стороны от линзы, что и предмет. ВОПРОСЫ 1. Какое преобразование фронта падающей волны может происходить в результате её преломления рассеивающей линзой? 2. Какое изображение предмета получается в рассеивающей линзе? Геометрическая оптика 247 3. Выведите формулу тонкой рассеивающей линзы. 4. Начертите график зависимости f{d) для рассеивающей линзы и объясните его. 5. Начертите график зависимости поперечного увеличения рассеивающей линзы Г(^). ЗАДАЧ И 5. Постройте изображение предмета в рассеивающей линзе (рис. 209). Найдите графически оптический центр и главный фокус рассеивающей линзы, если известно, что АВ — предмет, А'В' — его изображение, O^Og — главная оптическая ось рассеивающей линзы (рис. 210). Точечный источник света находится в главном фокусе рассеивающей линзы (F = 10 см). На каком расстоянии от линзы будет находиться его изображение? [-5 см] На каком расстоянии от тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F = 20 см следует поместить предмет, чтобы получить изображение, уменьшенное в 3 раза? [40 см] Сходящийся пучок лучей, проходя круглое отверстие в непрозрачном экране, сходится на главной оптической оси в точке А, находящейся на расстоянии а = 4 см от отверстия. Если в отверстие вставить рассеивающую линзу, пучок сойдётся в точке В на расстоянии 6 = 6 см от отверстия. Найдите фокусное расстояние линзы. [12 см] F О А 209 t в о, А 210 о. § 64. Фокусное расстояние и оптическая сила системы из двух линз Собирающие линзы. Найдём построением фокусное расстояние и оптическую силу системы из двух собирающих линз с фокусными расстояниями и Fg, имеющих общую главную оптическую ось OjOg. Расстояние между линзами равно I (рис. 211). Луч 1, параллельный главной оптической оси OjOg, после преломления в точке В первой линзы направляется в фокус F^, отклоняясь от главной оптической оси на угол 5^. Однако наличие второй линзы приводит к его повторному преломлению в точке К. Главный фокус оптической системы — точка на главной оптической оси, в которой собираются лучи, падающие параллельно главной оптической оси, после преломления их в оптической системе. 248 Электромагнитное излучение <4 211 Определение фокусного расстояния системы из двух собирающих линз Луч, проходящий через оптический центр Og второй линзы параллельно лучу ВК, пересекает фокальную плоскость MN второй линзы в точке Fg* По свойству параллельных лучей через эту же точку проходит луч 1, преломлённый в точке К. При этом он отклоняется от направления ВК на угол 6g, пересекая главную оптическую ось в точке F, являющейся главным фокусом оптической системы. Результирующий угол отклонения 6 луча 1 оптической системой складывается из углов отклонения и 5g каждой линзой в отдельности: 6 = -Ь 6g. Из AKO2F найдём tg 5 = O2K/F = L/F, из AiiCOgFi определим tg 6j = = L/(Fj - О» а из AKF2D получим tg 6g = L/Fg. Для тонких линз углы отклонения 5, 6g малы, поэтому можно считать, что tg6 « 6; tgS^ = 6^; tg 6g « 6g. Тогда L _ L F F,-l^ F’ После сокращения на L окончательно получаем 1 1 F^-l^ F,' (190) Изменение расстояния I между линзами позволяет изменять фокусное расстояние F оптической системы. Оптические системы с переменным фокусным расстоянием широко используются в фото- и видеосъё-мочной аппаратуре. Они позволяют плавно приближать и удалять изображения предметов на плёнке и на экране. Если линзы располагаются вплотную друг к другу (Z = 0), 1 1,1 Геометрическая оптика 249 Оптическую силу D 1/F системы из двух линз можно представить в виде Z) = Z)i + i)2- (191) Оптическая сила системы близко расположенных линз равна сумме оптических сил линз этой системы. Такая оптическая система обладает меньшим фокусным расстоянием, чем каждая из линз в отдельности. Рассеиваюш,ая и собираюхцая линзы. Фокусное расстояние и оптическую силу системы из рассеивающей и собирающей линз с фокусными расстояниями {F^ < 0) и Fg (-F2 ^ 9), которые имеют общую главную оптическую ось 0^02, можно найти построением хода лучей, как и в предыдущем случае. Мы воспользуемся другим способом — рассчитаем величину фокусного расстояния, используя формулу тонкой линзы. Для этого построим ход пучка лучей, параллельных главной оптической оси (рис. 212). Мнимое изображение, создаваемое лучами 1 и 2 в рассеивающей линзе, находится в её главном мнимом фокусе F^. Это изображение находится на расстоянии <^2 = + / от собирающей линзы (Z — расстояние между линзами) и является как бы предметом. Изображение этого предмета будет находиться в фокусе оптической системы: /2 = Используем формулу (179) для тонкой собирающей линзы: +1 F2 ^2 ИЛИ 1^ + i ,|+( F Учитывая, что для рассеивающей линзы < О, окончательно получаем формулу, совпадающую с выражением (190): 1 F f( F2 ◄ 212 Расчёт фокусного расстояния системы из рассеивающей и собирающей линз 250 Электромагнитное излучение Для близко расположенных линз (I = О, или I |Fj|) оптическая сила равна сумме оптических сил линз системы: D =-IDJ + Dg. (192) Для рассеивающей линзы оптическая сила отрицательна^ т. е. = = -|Di|. Оптическая сила такой системы меньше, чем оптическая сила собираюш;ей линзы, а фокусное расстояние больше: F > Fg. ВОПРОСЫ 1. Какую точку называют главным фокусом оптической системы? 2. Найдите построением главный фокус оптической системы, состоящей из двух собирающих линз. 3. Как найти оптическую силу двух близко расположенных линз? 4. Найдите построением главный фокус оптической системы, состоящей из собирающей и рассеивающей линз. 5. Докажите, что для близко расположенных собирающей и рассеивающей линз оптическая сила системы складывается из оптических сил этих линз. ЗАДАЧ И 1. На каком расстоянии друг от друга следует расположить две одинаковые собирающие линзы с фокусным расстоянием F, чтобы пучок параллельных лучей, пройдя через них, остался параллельным первоначальному направлению? 2. Найдите фокусное расстояние оптической системы из двух собирающих линз (F, = 20 см; Fg = 15 см), расположенных на расстоянии / = 30 см друг от друга. [-30 см] 3. Оптическая сила системы, состоящей из двух собирающих линз (D, = Dg = 2 дптр), 0=12 дптр. Найдите расстояние между линзами. [40 см] 4. Две собирающие линзы с оптическими силами О, = 5 дптр и Оз = 6 дптр расположе- ны на расстоянии / = 60 см друг от друга. Найдите, где находится изображение предмета, расположенного на расстоянии d = 40 см от первой линзы, и поперечное увеличение системы. [1 м;2,5] 5. Театральный бинокль содержит собирающую (F, = 3,6 см) и рассеивающую (Fg = -1,2 см) линзы. При каком расстоянии между линзами зритель видит отдалённый объект на расстоянии / = 25 см от глаза? [2,34 см] § 65. Человеческий глаз как оптическая система Строение глаза. Человеческий глаз представляет собой достаточно сложную оптическую систему, сформировавшуюся из органических материалов в процессе длительной биологической эволюции. Геометрическая оптика 251 Глаз почти сферичен (24 мм вдоль главной оптической оси и 22 мм в поперечном направлении). Желеподобное содержание глаза окружено плотной гибкой оболочкой 1 {склерой) (рис. 213). За исключением её прозрачной наружной части 2 {роговица) склера белого цвета и непрозрачна. Роговица обладает наибольшей оптической силой среди других оптических элементов глаза. Коэффициент преломления роговицы = = 1,376. Пройдя роговицу, свет попадает в полость, заполненную водянистой влагой 3 с коэффициентом преломления /ig ^ 1,336. В водянистую влагу погружена радужная оболочка 4 с отверстием 5 {зрачком). Радужная оболочка представляет собой подвижную мышечную кольцевую диафрагму. Сжимаясь и растягиваясь, радужная оболочка изменяет размер зрачка и тем самым световой поток, попадаюпдий в глаз. Через зрачок свет попадает на хрусталик 6 — эластичную двояковыпуклую линзу диаметром около 9 мм и толщиной около 4 мм. Внутренняя структура хрусталика, состоящего из 22 000 тонких слоёв, напоминает структуру луковицы. Коэффициент преломления хрусталика меняется от наружной области к внутренней от 1,386 до 1,406. Циллиарная мышца 7, управляющая хрусталиком с помощью поддерживающей связки 8, может изменять его кривизну и соответственно оптическую силу глаза. В полости глаза за хрусталиком находится прозрачное стекловидное тело 9 (Пд = 1,337). Роговица, водянистая влага, хрусталик и стекловидное тело образуют оптическую систему, аналогичную собирающей линзе. Оптический центр О такой линзы находится на расстоянии f = 17,1 мм от сетчатки 10 — тонкого прозрачного слоя светочувствительных клеток. Толщина сетчатки, покрывающей 65% внутренней поверхности глаза, изменяется от 0,1 до 0,5 мм. Светочувствительные клетки находятся на задней поверхности сетчатки, лежащей на сосудистой оболочке 11. Сетчатка преобразует падающее на неё видимое излучение в электрические импульсы, передаваемые по зрительному нерву 12 в головной мозг. •4213 Строение человеческого глаза 252 Электромагнитное излучение В месте выхода из сетчатки зрительного нерва светочувствительные клетки отсутствуют, поэтому там возникает слепое пятно 13, не чувствительное к свету. На сетчатке возникает перевёрнутое изображение всех предметов. Однако мозг, перерабатывая полученную зрительную информацию, воспринимает изображение как прямое. Две точки изображения воспринимаются раздельно, если их изображения попадают на две различные светочувствительные клетки сетчатки. Расстояние между соседними светочувствительными клетками (//min = 5 мкм) определяет разрешающую способность глаза или остроту зрения. Разрешающая способность глаза характеризуется минимальным углом зрения, под которым две точки Аи В (см. рис. 213) видны раздель-но. Так как « f, то = 1'. С уменьшением освещённости острота зрения падает: ухудшается разрешающая способность глаза. Аккомодация. Расстояние f от изображения предмета на сетчатке до оптического центра О оптической системы фиксировано. Поэтому единственный способ чётко видеть предметы, находящиеся от глаза на различных расстояниях d, — изменение оптической силы линзы (или её фокусного расстояния). Аккомодация — способность глаза к изменению его оптической силы. Механизм аккомодации сводится к следующему. Резкое изображение предмета, находящегося на расстоянии от глаза, на сетчатке возникает при определённой оптической силе линзы: п =-1 -bi ^ F, d, f (193) При переводе взгляда на другой предмет, например расположенный на расстоянии dg ^ от глаза, нарушается резкость изображения на сетчатке. При оптической силе I)j изображение не попадает на сетчатку, так как /2 ^ А Сигнал об этом поступает в мозг. Как результат, обратный корректирующий сигнал поступает из мозга к циллиарной мышце. Её сокращение сжимает хрусталик, увеличивая его оптическую силу (Dg > D^), пока вновь не получится чёткое изображение предмета на сетчатке. Оно возникает при условии ^ Fo do f (194) Геометрическая оптика 253 Если dg > rfj, то в результате расслабления циллиарной мышцы хрусталик растягивается, уменьшая оптическую силу глаза (Dg < -Dj). Оптическая сила глаза минимальна при полностью расслабленной циллиарной мышце. При этом согласно формуле (193) чёткое наблюдение предмета возможно в дальней точке. Дальняя точка — наиболее удалённая от глаза точка расположения объекта, чётко видимая глазом. Для нормального глаза дальняя точка лежит бесконечно далеко, т. е. dj ^ оо (рис. 214, а). Это означает, что минимальная оптическая сила нормального глаза равна: Dmin = 58,5 дптр D . =- =---------- f 17,1-10-3 = 58,5 дптр. Оптическая сила глаза максимгьльна при максимальном напряжении циллиарной мышцы. При этом, согласно формуле (194), чёткое наблюдение предмета возможно в ближней точке. Ближняя точка — наименее удалённая от глаза точка расположения объекта, чётко видимая глазом. Положение ближней точки и соответственно максимальная оптическая сила для нормального глаза изменяются с возрастом (табл. 10). При известной ближней точке dg максимальная оптическая сила -Пщах находится по формуле (194) (рис. 214, б). Таблица 10 Изменение с возрастом положения ближней точки и максимальной оптической силы для нормального глаза А 214 Аккомодация нормального глаза: а) дальняя точка на °о; б) ближняя точка {возраст 20 лет); в) расстояние наилучшего зрения Возраст, лет 10 20 30 40 50 60 70 Ближняя точка, см 7 10 14 22 40 200 400 ^тах 72,8 68,5 65,6 63 61 59 58,8 Удаление от глаза с возрастом ближней точки объясняется постепенным снижением сокращательной способности циллиарной мышцы и уменьшением эластичности хрусталика. Если предмет находится около ближней точки, угол зрения (рис. 214, б) оказывается максимальным: предмет виден лучше всего. Однако при та- 254 Электромагнитное излучение ком наблюдении значительно усиливается напряжение циллиарной мышцы и глаз устаёт. Поэтому обычно предметы располагают от глаза на расстоянии наилучшего зрения. Расстояние наилучшего зрения — расстояние от объекта до глаза, при котором угол зрения оказывается максимальным, а глаз не утомляется при длительном наблюдении. Для нормального глаза расстояние наилучшего зрения принимают равным (ijj = 25 см (рис. 214, в). Согласно формуле (194), для получения чёткого изображения предмета, находяш;егося на этом расстоянии, требуется оптическая сила 62,5 дптр. Дефекты зрения и их коррекция. Ослабление зрения с возрастом. Возрастная коррекция зрения оказывается необходимой, когда расстояние, на которое удалена от глаза ближняя точка, превысит расстояние наилучшего зрения. Для коррекции этого дефекта зрения применяют очки с собираюпдими (вогнуто-выпуклыми) линзами. С их помопдью ближняя точка перемещается на расстояние наилучшего зрения (табл. 11). В возрасте 50 лет ближняя точка находится в среднем на расстоянии 40 см от глаза, что соответствует максимальной оптической силе = = 61 дптр. Так как оптическая сила близко расположенных линз равна сумме оптических сил очков и глаза D = -D^ax оптическая сила линзы очков должна составлять D^ = 1,5 дптр. Дальнозоркость и близорукость — дефекты зрения, связанные с отличием от нормы либо длины глаза, либо радиуса кривизны роговицы. Астигматизм — дефект зрения, связанный с несферичностью роговицы, т. е. её различной кривизной в разных плоскостях. В результате этого изображения предмета в горизонтальном и вертикальном направлениях возникают в различных плоскостях, так что человек не может одновременно чётко видеть вертикгипьные и горизонтальные переплёты окна. Астигматизм корректируется с помощью цилиндрических линз. ВОПРОСЫ 1. Опишите строение человеческого глаза и назначение отдельных его элементов. 2. Чем характеризуется разрешающая способность глаза? 3. Что называют аккомодацией? Каким образом она реализуется? 4. Дайте определение дальней и ближней точек. Какое расстояние называют расстоянием наилучшего зрения? 5. Перечислите основные дефекты зрения и укажите способы их коррекции. ЗАДАЧИ 1. Оцените максимальный размер предмета, детали которого не сможет различать человек с нормальным зрением на расстоянии 100 м. [2,92 см] Геометрическая оптика 255 Таблица 11 Коррекция дефектов зрения Возрастная коррекция зрения = 61 дптр Астигматизм и его коррекция Изображение предмета в астигматическом глазе D “ 61 дптр Смещение с помощью очков Коррекция астигматизма с помощью цилиндрической линзы Коррекция дальнозоркости Дальнозоркий глаз D() > О Собирающая (вогнуто-выпуклая) линза очков для коррекции дальнозоркости Коррекция близорукости Близорукий глаз Dn> О Рассеивающая (выпукло-вогнутая) линза очков для коррекции близорукости 256 Электромагнитное излучение 2. 4. 5. После чтения книги, находящейся на расстоянии 25 см от глаза, человек переводит взгляд на небо. Как изменится при этом оптическая сила глаза? [-4 дптр] Школьник обычно читает книгу, держа её на расстоянии d = 20 см от глаз. Очки какой оптической силы следует ему носить для чтения книги на расстоянии наилучшего зрения d„? [-1 дптр] Ближняя точка находится на расстоянии 2 м от глаза дальнозоркого человека. Очки какой оптической силы следует ему носить для наблюдения предметов на расстоянии наилучшего зрения? [3,5 дптр] Человек носит очки с оптической силой D = -2,25 дптр. Найдите для него расстояние наилучшего зрения. [16 см] §66. Оптические приборы, увеличивающие угол зрения Лупа. Чем больше светочувствительных клеток сетчатки участвует в создании изображения одного и того же предмета, т. е. чем крупнее изображение предмета на сетчатке, тем больше зрительная информация, получаемая глазом о предмете. Размер изображения предмета АБ на сетчатке можно характеризовать углом зрения при наблюдении предмета на расстоянии наилучшего зрения = 25 см (рис. 215, а). Если размер предмета h много меньше то (так как tg == a^j) h Для увеличения угла зрения используют лупу. А 215 Угловое увеличение лупы, а) предмет на расстоянии наилучшего зрения', б) увеличение угла зрения с помои^ъю лупы Сверхпроводящие магниты ^ Полотно дороги Катушки, поддерживающие вагон снизу Катушки, вызывающие движение. ▲ I Поезд на магнитной подушке ► II «Левитация» высокотемпературного сверхпроводника (над постоянным магнитом) j^ = 0 [t = T = ^i = 0 ~^l max ^i~0 Принцип действия генератора переменного тока Геометрическая оптика 257 Лупа — короткофокусная собирающая линза. Помещая лупу перед глазом, рассматриваемый предмет располагают между лупой и её фокусом (в непосредственной близости от фокуса). При этом увеличенное, прямое, мнимое изображение предмета в лупе будет находиться на бесконечном удалении от глаза. Такое расположение изображения облегчает его наблюдение, так как в этом случае напряжение глаза — минимально. Угол зрения a^j при использовании лупы (рис. 215, б) можно приближённо оценить как а. А Для того чтобы характеризовать изменение угла зрения, вводят понятие углового увеличения. Угловое увеличение — отношение угла зрения, полученного с помощью оптического прибора, к углу зрения невооружённого глаза на расстоянии наилучшего зрения. Для лупы с оптической силой D=\ /F^: Г = ^ = А F„ ’ или Г =d D. а н (195) (196) Чем меньше фокусное расстояние лупы Fjj, тем большее угловое увеличение она даёт. Угловое увеличение лупы пропорционально её оптической силе. При уменьшении фокусного расстояния лупы возникает серьёзное искажение качества изображения, поэтому в качестве нижнего предела фокусного расстояния используют F^ = 2 см. Это означает, что, согласно формуле (195), угловое увеличение лупы находится в пределах порядка Г < 10. Большее угловое увеличение требует такой оптической силы (см. формулу (196)), которая не может быть достигнута с помощью одной короткофокусной линзы. Оптический микроскоп. Для получения большего углового увеличения используют оптические системы, состоящие из нескольких линз. К таким системам относится оптический микроскоп, который состоит из двух короткофокусных линз — объектива и окуляра (рис. 216, а). у Фтика. I I кл. 11р<'ф|1льныП уронснь 258 Электромагнитное излучение 216^ Оптический микроскоп: а) принципиальное устройство; б) ход лучей Окуляр Изображение предмета Объектив Предмет Окуляр Объектив — линза микроскопа, ближайшая к предмету. Окуляр — линза микроскопа, ближайшая к глазу наблюдателя. Угловое увеличение в микроскопе происходит дважды. Сначала объектив создаёт увеличенное изображение предмета перед окуляром, а затем окуляр дополнительно увеличивает это изображение. Для этого предмет располагают между фокусом объектива и его двойным фокусом: F-^ < d < 2Fj, но ближе к фокусу — для получения максимального поперечного увеличения Г. Размер полученного действительного увеличенного изображения, согласно формуле (180), равен: H = h Л-Л где /“j — расстояние от изображения до объектива. Для получения максимального увеличения микроскопа объектив должен быть короткофокусным. Для того чтобы окуляр давал дополнительное увеличение, изображение предмета А'В' в объективе должно располагаться между окуляром и его фокусом F2 (как и в случае лупы вблизи фокуса) (рис. 216, б). В окуляре получается мнимое, прямое, увеличенное изображение AgBg. Найдём угловое увеличение микроскопа. Геометрическая оптика 259 Угол зрения глаза с использованием окуляра можно найти так же, как и для лупы: - Н Jx-Fx Fo ^ F,F. • 2 Как видно из рисунка 216, б, fx-L + F„ где L — минимальное расстояние между главными фокусами объектива и окуляра (L определяет размеры микроскопа). Тогда -^1-^2 Так как угол зрения глаза на расстоянии наилучшего зрения = h/d^, то угловое увеличение микроскопа определяется отношением и а„: ал р = = « а„ FxF^ (197) Наибольшее угловое увеличение достигается при использовании короткофокусных линз для объектива и окуляра. Угловое увеличение микроскопа прямо пропорционально оптическим силам линз объектива и окуляра Dg* 1'а ~ F)^D2dJL. (198) Угловое увеличение оптических микроскопов, как можно оценить с помощью формулы (198), обычно изменяется в пределах от 15 до 1200. Оптический телескоп-рефрактор. Наблюдение значительно удалённых от Земли астрономических объектов проводят с помощью телескопов. Оптический телескоп-рефрактор — линзовая система, дающая существенное угловое увеличение удалённых объектов в видимом спектре. Подобно микроскопу простейший рефрактор имеет объектив и окуляр (рис. 217, а). В отличие от микроскопа, где объект находится в непосредственной близости от объектива, астрономические объекты удалены от телескопа на значительные расстояния. Это приводит к тому, что, во-первых, угол расхождения а пучка лучей от объекта, попадающих в объектив, очень мал, во-вторых, действительное, перевёрнутое, уменьшенное 260 Электромагнитное излучение Fo ' Fo ' 217 Простейший оптический телескоп-рефрактор: а) принципиальное устройство: б) ход лучей изображение объекта А'В' находится в фокальной плоскости объектива. Как и в микроскопе, окуляр выполняет роль лупы, обеспечивая угловое увеличение изображения А'В' (рис. 217, б). Для получения максимального углового увеличения изображение А'В' должно находиться практически в фокусе i^2 окуляра. Это означает, что фокусы объектива Bj и окуляра Bg практически совпадают. Тогда мнимое, прямое, увеличенное изображение в окуляре будет находиться на бесконечном расстоянии. Такое расположение изображения позволяет комфортно, без зрительного напряжения наблюдать его. Найдём угловое увеличение телескопа-рефрактора. Угол зрения невооружённым глазом определяется углом а, т. е. углом расхождения пучка лучей от объекта (планеты, звезды). Как следует из AB'OjA', а = H/F^, где Н — размер изображения А'В'. Угол зрения окуляра, считая, что глаз помещён в фокусе Bg окуляра, можно найти из AF2O2A2' = H/Bg. Тогда угловое увеличение телескопа-рефрактора определяется отношением этих углов: ^ а (199) Следовательно, для получения максимального углового увеличения (Г„ ^ 1) должно выполняться неравенство В^ ^ Bg. Максимальное угловое увеличение телескопа-рефрактора достигается при соединении длиннофокусного объектива с короткофокусным окуляром. Применение длиннофокусных объективов объясняет большую длину оптической трубы телескопа. Геометрическая оптика 261 Даже при угловых увеличениях объектов в десятки раз угол зрения для очень отдалённых звёзд оказывается меньше 1' (меньше минимального угла зрения глаза). Тем не менее глаз различает такую звезду из-за большой концентрации светового потока на зрачке. Чем больше диаметр объектива телескопа, тем большая энергия попадает на зрачок глаза. Ос-вепцённость зрачка глаза, наблюдающего звезду в телескоп, во столько раз больше его освещённости от прямого излучения звезды, во сколько раз площадь объектива телескопа больше площади самого зрачка. Самый крупный в мире телескоп-рефрактор (Йеркская обсерватория близ Чикаго) имеет диаметр объектива около 1 м. Дальнейшее увеличение диаметра объектива считается нецелесообразным из-за возможных механических деформаций тяжёлых линз и значительного поглощения света, что заметно влияет на качество изображения. Поэтому объективы диаметром более 0,5 м делаются зеркальными, а телескопы, использующие такие объективы, называют телескопами-рефлекторами. Например, диаметр объектива космического телескопа-рефлектора Хаббла составляет 3,4 м. ВОПРОСЫ 1. Какую линзу называют лупой? Дайте определение углового увеличения. Как угловое увеличение лупы зависит от её оптической силы? 2. Из каких оптических элементов состоит микроскоп? Объясните назначение объектива и окуляра. 3. Объясните ход лучей в микроскопе. Напишите выражение для углового увеличения микроскопа. В каких пределах оно может изменяться? 4. Из каких оптических элементов состоит телескоп-рефрактор? Объясните назначение объектива и окуляра. 5. Объясните ход лучей в телескопе-рефракторе. Напишите выражение для углового увеличения телескопа-рефрактора. Чем ограничено применение таких телескопов? ЗАДАЧ И 1. Найдите угловое увеличение лупы с фокусным расстоянием 5 см. [5] 2. Найдите оптическую силу лупы, дающей восьмикратное увеличение. [32 дптр] 3. Фокусное расстояние объектива микроскопа 1 см, а окуляра— 2 см. Расстояние между объективом и окуляром 19 см. Найдите угловое увеличение микроскопа. [200] 4. Предмет находится на расстоянии 27 мм от объектива оптического микроскопа. Оптические силы объектива и окуляра одинаковы 0^=02 = 40 дптр. Каким должно быть расстояние между объективом и окуляром? Каким при этом будет коэффициент увеличения микроскопа? [17,2 см; 49] 5. Под каким углом зрения можно наблюдать Луну в телескопе-рефракторе, если опти- ческая сила объектива = 0,5 дптр, а окуляра — D2 = 60 дптр? Расстояние до Луны 385 000 км, её диаметр 3480 км. [б2°] 262 Электромагнитное излучение ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Фронт механической волны — совокупность точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Принцип Гюйгенса; каждая точка фронта волны является источником вторичных волн, распространяющихся во все стороны со скоростью распространения волны в среде. Огибающая вторичных волн определяет положение фронта волны в последующие моменты времени. Луч — вектор, перпендикулярный фронту волны, показывающий направление переноса энергии волны в данной точке. Угол падения волны — угол между падающим лучом и перпендикуляром к границе раздела двух сред в точке падения. Угол отражения — угол между отражённым лучом и перпендикуляром к отражающей поверхности. Закон отражения волн: угол отражения равен углу падения. Падающий луч, отражённый луч и перпендикуляр, восставленный в точке падения, лежат в одной плоскости. Преломление — изменение направления распространения волны при прохождении из одной среды в другую. Угол преломления — угол между преломлённым лучом и перпендикуляром к границе раздела в точке падения. Абсолютный показатель преломления среды — физическая величина, равная отношению скорости света в вакууме к скорости света в данной среде: п = с/и. Закон преломления: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению показателей преломления второй среды к первой: sin а _ ^ sin р rtj ‘ Полное внутреннее отражение — явление отражения света от оптически менее плотной среды, при котором преломление отсутствует, а интенсивность отражённого света практически равна интенсивности падающего. Угол полного внутреннего отражения — минимальный угол падения света, начиная с которого возникает явление полного внутреннего отражения: а = arcsin - . п Волоконная оптика — система передачи оптических изображений с помощью стекловолокон (световодов). Луч, прошедший плоскопараллельную пластинку, выходит из неё параллельно направлению падения на неё. Преломляющий угол призмы — угол между гранями призмы, на которых происходит преломление света. Угол отклонения луча призмой 5 = а{п - 1). Линейное увеличение оптической системы — отношение линейного размера изображения к соответствующему линейному размеру предмета: Г =а 'о л • Геометрическая оптика 263 Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Главная оптическая ось — прямая, на которой лежат центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу. Главная плоскость линзы — плоскость, проходящая через центр линзы перпендикулярно главной оптической оси. Собирающие линзы — линзы, преобразующие параллельный пучок световых лучей в сходящийся. Собирающими линзами являются выпуклые линзы. Рассеивающие линзы — линзы, преобразующие параллельный пучок световых лучей в расходящийся. Рассеивающими линзами являются вогнутые линзы. Тонкая линза — линза, толщина которой пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны её поверхностей. Главный фокус собирающей линзы — точка на главной оптической оси, в которой собираются лучи, падающие параллельно главной оптической оси, после преломления их в линзе. Фокусное расстояние линзы — расстояние от главного фокуса до центра линзы. Фокусное расстояние линзы в вакууме определяется радиусом кривизны сферических поверхностей, ограничивающих линзу, и абсолютным показателем преломления материала линзы: Для выпуклой поверхности радиус кривизны больше нуля, для вогну- той меньше нуля, для плоской стремится к бесконечности. Фокальная плоскость линзы — плоскость, проходящая через главный фокус линзы перпендикулярно главной оптической оси. Характерные лучи для собирающей линзы; 1)луч, параллельный главной оптической оси; 2) луч, проходящий через главный фокус; 3)луч, идущий через оптический центр линзы. Пучок параллельных лучей, падающий на собирающую линзу, сходится после преломления в одной точке фокальной плоскости. Действительное изображение точки А — точка А', в которой сходится после преломления в линзе пучок лучей, испускаемых точкой Л. Поперечное увеличение линзы — отношение координаты изображения к координате предмета, отсчитываемых перпендикулярно главной оптической оси (в поперечном направлении): р = ^ Уа ■ Формула тонкой линзы 1=1 + 1, F d / ’ где d — расстояние вдоль главной оптической оси от предмета до центра линзы, f — расстояние вдоль главной оптической оси от изображения до центра. Оптическая сила — величина, обратная фокусному расстоянию: Единица оптической силы — диоптрия (дптр). Для собирающей линзы D > 0; для рассеивающей D < 0. 264 Электромагнитное излучение При d> 2F изображение предмета в собирающей линзе действительное, перевёрнутое, уменьшенное, при F < d < 2F — действительное, перевёрнутое, увеличенное; при d < . На рисунке 218, б изображены также положения фронтов этих волн в моменты времени Xg -Ь Xj и Xg -I- 2Xj. В этом случае максимальное увеличение амплитуды волны возникает в точках пересечения волновых фронтов на линии PAQ. Приведённый пример показывает, что следствием взаимодействия волн является зависимость результирующей амплитуды фронта волны от положения точки на фронте. Кроме того, эта зависимость определяется временем запаздывания одной волны относительно другой, или, что то же самое, разностью фаз этих волн. Когерентность. В рассмотренном примере возмущения среды в точках i и 2 являлись однократными. Поэтому усиление колебаний среды в точках пересечений волновых фронтов можно было наблюдать лишь на первом фронте результирующей волны. Если возмущения среды в точках 2 и 2 происходят непрерывно, например изменяются по гармоническому закону, взаимодействие (наложение друг на друга волн, распространяющихся из этих точек) будет происходить во всех точках пространства. При определённых условиях человеческим глазом может наблюдаться интерференционная картина — неизменная во времени картина усиления или ослабления волн в пространстве. Интерференция (от лат. inter — взаимно и ferio — ударяю) — явление наложения волн, вследствие которого наблюдается устойчивое во времени усиление или ослабление результирующих колебаний в различных точках пространства. Волновая оптика 267 Устойчивая во времени интерференционная картина может наблюдаться только при сложении коррелированных (взаимосвязанных) колебаний, называемых когерентными волнами (от лат. cohaerens — находящийся в связи). Когерентные волны — волны с одинаковой частотой, поляризацией и постоянной разностью фаз. На рисунке 219, а показан результат интерференции волн, излучаемых двумя радиоантеннами одной радиостанции, настроенной на длину волны X. Расстояние между антеннами I = 2Х,, излучение происходит синхронно: относительное время запаздывания излучателей равно нулю. Мгновенное положение фронтов волн показано через каждый период Т излучения. Наложение волн происходит во всех точках, до которых дошли волновые возмущения. Например, в точке А в произвольный момент времени складываются волны, излученные из точки 1 в момент времени {t - АТ) и из точки 2 в момент {t - ЬТ). Так как эти моменты времени разделяет период, волны, складываясь в точке А, усиливают друг друга. Аналогично можно показать, что устойчивое во времени взаимное усиление волн будет наблюдаться вдоль выделенных голубым цветом прямых линий, составляющих с горизонтальной осью X углы а = 0, ±30°; ±90°; ±150°; 180°. Ек б) А 219 Интерференция волн двух когерентных источников: а) I = 2Х‘, б) амплитуда световой волны, излучаемой отдельным атомом вещества 268 Электромагнитное излучение Для выделения монохроматических световых волн можно воспользоваться светофильтром, дающим определённую частоту (длину волны). Поляризатор выделяет свет определённой поляризации. Наиболее сложно добиться постоянства разности фаз от двух независимых источников света. Атомы источников излучают свет прерывисто в виде «цуга» гармонических колебаний — импульса длительностью порядка 10~®с. Фаза каждого последующего «цуга» хаотически изменяется по сравнению с предыдущим. Средняя длительность «цуга» гармонического излучения характеризует время когерентности ~ 10“®с. За это время свет распространяется на расстояние = сх^ (рис. 219, б), называемое длиной когерентности. Длина когерентности — расстояние, на котором происходит устойчивое гармоническое колебание световой волны: ~ 1 м. Волны от различных источников имеют постоянную разность фаз лишь в течение времени когерентности. Затем разность фаз между ними хаотически изменяется. Соответственно изменяется и интерференционная картина. Человеческий глаз, вследствие его инерционности (позволяющей различать картины, отличающиеся по длительности на 0,1 с), не в состоянии различить эти изменения. Устойчивой интерференционной картины от таких независимых источников света не наблюдается. ВОПРОСЫ 1. В чём состоит принцип независимости световых пучков в геометрической оптике? 2. Что является следствием взаимодействия волн? 3. Какое явление называют интерференцией? Что такое интерференционная картина? 4. Какие волны называют когерентными? 5. Дайте определение длины и времени когерентности. § 68. Взаимное усиление и ослабление волн в пространстве Условия минимумов и максимумов при интерференции волн. Выясним, как зависит результат сложения двух когерентных электромагнитных колебаний от их разности фаз или от времени запаздывания одного колебания по отношению к другому. Будем рассматривать интерференцию двух когерентных электромагнитных волн, пришедших одновременно в произвольную точку А пространства. Когерентные волны одинаково поляризованы и колеблются с одинаковой частотой со (а следовательно, имеют одинаковый период Т = 2л/со). Волновая оптика 269 Предположим сначала, что второе колебание с амплитудой Eg запаздывает по времени в точке А относительно первого на время At = Т, равное периоду колебаний (рис. 220, а). Результирующее колебание имеет максимально возможную амплитуду + Eg. Максимальной в точке А будет и интенсивность электромагнитной волны пропорциональ- ная квадрату амплитуды Е^^^. Согласно формуле (150), = 0.5ее„£^„ = 0,5cEo(£i + Е,)^. Раскрывая скобки, получаем максимальное значение интенсивности при интерференции волн с интенсивностями и /g (/j = 0,5c£oEf, 7g = = 0,5c£oE|): ^тах = Л+^2 + 2 777Г2. (200) Максимальная результирующая интенсивность при интерференции когерентных колебаний в определённой точке пространства получается при их запаздывании друг относительно друга на время, кратное периоду этих колебаний: At =тТ. (201) где m = о, ±1, ±2, ... . Рассмотрим теперь случай, когда второе колебание с амплитудой Eg запаздывает по времени в точке А относительно первого на время At = Т/2 220 ► Интерференция когерентных волн при разном времени запаздывания друг относительно друга: а) At = Т; б) At = Т/2; в) Т/2 < At < Т 270 Электромагнитное излучение (рис. 220, б). Суммарное колебание будет иметь минимально возможную амплитуду = Е^~ Е^. Минимальная интенсивность электромагнитной волны получается аналогично выражению (200): -^min 7^1 ^2 2 Jill2 • (202) Минимальная результирующая интенсивность при интерференции когерентных колебаний в определённой точке пространства получается при их запаздывании друг относительно друга на время, равное нечётному числу полупериодов этих колебаний: ^^min = (2m + 1)Т/2, (203) где m = о, ±1, ±2, ... . Если время запаздывания одного когерентного колебания относительно другого принимает любое промежуточное значение, результирующая интенсивность оказывается между её минимальным и максимальным значениями: <1 < 1^^^ (рис. 220, в). Геометрическая разность хода волн. Запаздывание одной волны по сравнению с другой при попадании в произвольную точку А пространства может объясняться разным расстоянием до этой точки от источников излучения, в то время как источники излучают энергию синхронно (в фазе). Если расстояние от первого источника до точки А равно г, то световая волна распространяется со скоростью света от источника до точки А за время = Tg/c. Таким образом, вторая волна запаздывает относительно первой на время Го - Г, At = tc С учётом полученного выражения для At условие интерференционных максимумов можно представить в виде: Tg - Tj = тсТ, где m = 0, ±1, ±2, .... Разность Tg - Tj обозначают А и называют геометрической разностью хода. Геометрическая разность хода интерферирующих волн — разность расстояний от источников волн до точки их интерференции. Волновая оптика 271 Учитывая, что длина волны X = сТ, условие интерференционного максимума имеет вид: А = тЯ,, где /п = О, ±1, ±2, (204) При одинаковом законе колебаний двух источников максимумы интенсивности наблюдаются в точках пространства, для которых геометрическая разность хода интерферирующих волн равна целому числу длин волн. На рисунке 221, а изображены пространственные локализации интерференционных максимумов, возникшие в результате синхронного излучения двух источников зя наблюдать интерференционную картину от независимых естественных источников света? 2. Опишите опыт Юнга. 3. Как с помощью опыта Юнга можно измерить длину волны света? 4. Как с помощью зеркала Ллойда и бипризмы Френеля получают когерентные источники света? 5. Что такое просветление оптики? Какой должна быть толщина просветляющего покрытия? § 70. Дифракция света Нарушение волнового фронта в среде. Наличие тени за освещённым объектом в течение длительного времени представлялось весомым доказательством прямолинейного распространения света и его корпускулярной природы. Согласно корпускулярной теории, свет — поток частиц (корпускул). Тем не менее, чем дальше находится от объекта его тень, тем более расплывчатыми становятся её очертания. С одной стороны, свет проникает в область геометрической тени, с другой — ослабление освещённости наблюдается в тех частях пространства, где тень, казалось бы, должна отсутствовать. Например, при освещении лезвия монохроматическим светом вне контуров тени наблюдается чередование светлых и тёмных полос (рис. 227). Светлое пятно может возникнуть даже в области геометрической тени за освещённым непрозрачным диском (рис. 228). Этот эффект не может быть объяснён в рамках геометрической оптики, базирующейся, в частности, на прямолинейном распространении света в вакууме. Результаты последнего эксперимента впервые были предсказаны в 1818 г. французским математиком Симоном-Дени Пуассоном на основе волновой теории света. Любопытно, что Пуассон хотел опровергнуть своими необычными предсказаниями эту теорию. Однако конт- четкои геометрической б) А 227 Лезвие при освеи^ении монохроматическим светом: а) реальная тень от лезвия: б) увеличенное изображение тени вблизи нижнего края лезвия 278 Электромагнитное излучение 228 Освещённость на экране за непрозрачным диском рольный опыт лишь блестяще её подтвердил. Описанные выше эксперименты имеют характерную общую особенность. Неоднородность среды (поверхности лезвия и диска) нарушает целостность фронта световой волны, распространяющейся от источника, вызывает отклонение распространения волн от законов геометрической оптики, или дифракцию. Дифракция — отклонение при распространении волн от законов геометрической оптики. Дифракция сопровождается нарушением целостности фронта волны, вызванным резкими неоднородностями среды. Это явление свойственно всем волновым процессам. Дифракция проявляется в нарушении прямолинейности распространения световых лучей, огибании волнами препятствий, например в проникновении света в область геометрической тени. Пространственное распределение интенсивности света за неоднородностью среды (например, в плоскости экрана) характеризует дифракционную картину. Внешне дифракционная картина напоминает интерференционную. И это не случайно. Дифракция света на щели. Простейшим примером неоднородности среды является непрозрачный экран с прямоугольным отверстием (щелью), имеющим ширину а, много меньшую её длины I {а I). В результате перпендикулярного падения на щель плоской монохроматической волны за щелью возникает дифракционная картина. Плоская волна, падающая на щель, формируется линзой Лр в фокусе которой находится точечный источник S (рис. 229). Объяснение такой картины Волновая оптика 279 А 229 Интенсивность света за щелью: а) теоретическая картина геометрической оптики; б) результат эксперимента с позиции геометрической оптики оказывается невозможным. На рисунке 229, а приведена картина распределения интенсивности за освещённой щелью, ожидаемая с позиций геометрической оптики, т. е. построено изображение щели, даваемое собирающей линзой JI2 на экране Э. Результат дифракционного эксперимента, приведённый на рисунке 229, б, принципиально отличается от этих предположений. Теория дифракции света была разработана в 1816 г. французским учёным Огюстеном Френелем, развившим идеи Гюйгенса. Согласно принципу Гюйгенса; • каждая точка фронта волны является источником вторичных волн, распространяющихся во все стороны со скоростью распространения волны в среде; • огибающая этих волн определяет положение фронта волны в следующий момент времени. Принцип Гюйгенса позволяет найти направление распространения фронта волны. Френель дополнил принцип Гюйгенса идеей об интерфе- а) I б) ◄ 230 интерференция вторичных волн за щелью: а) возникновение вторичных волн; б) образование нулевого дифракционного максимума (а = 0) 280 Электромагнитное излучение ренции вторичных волн. Сформулированный Френелем принцип Гюйгенса— Френеля звучит так: Возмущение в любой точке пространства является результатом интерференции когерентных вторичных волн, излучаемых каждой точкой фронта волны. Решить задачу дифракции — значит найти распределение интенсивности света на экране в зависимости от размеров и формы препятствий, вызывающих дифракцию. Воспользуемся принципом Гюйгенса—Френеля для объяснения дифракционной картины за щелью. Щель можно условно разделить на ряд узких параллельных полосок равной ширины, каждая из которых представляет источник вторичных волн с равной амплитудой. Эти волны когерентны, так как их фазы одинаковы: при нормальном падении волновой фронт совпадает с поверхностью щели. Вторичные волны излучаются во все стороны (рис. 230, а). Однако результат их интерференции зависит от разности хода между ними. В направлении, перпендикулярном плоскости щели, вторичные волны усиливают друг друга, так как разность хода между ними равна нулю. В этом направлении волны распространяются по законам геометрической оптики, собираясь в фокусе собирающей линзы Jig (точнее на прямой, проходящей через её фокус параллельно щели). Таким образом возникает центральный нулевой максимум дифракционной картины в направлении, составляющем угол а = 0° с первоначальным направлением падающей волны (рис. 230, б). Если вторичные волны при интерференции попарно гасят друг друга, то образуется дифракционный минимум. Первый такой минимум (после нулевого максимума) возникает, если разность хода между соответственными парами вторичных волн оказывается равна А,/2. Разделим щель на две равные части (зоны) вдоль её длины. От каждой из зон распространяются вторичные волны. Такое разделение щели позволяет свести задачу об интерференции вторичных волн, идущих от разных зон, к задаче об интерференции пар соответственных источников из этих зон. Соответственные источники — источники вторичных волн в разных зонах, для которых разность хода одинакова. Для вторичных волн, распространяющихся от щели под углом а^, такие источники находятся, например, в точках и Ag и Bg (AjBj = = AgBg = а/2) (рис. 231, а). Интерференция вторичных волн наблюдается в точке Pj, находящейся в фокальной плоскости линзы Jig. Минимум интенсивности при интерференции соответственных источников возникает. Волновая оптика 281 А 231 Возникновение дифракционных минимумов при дифракции света на щели: а) первый дифракционный минимум] б) второй дифракционный минимум если разность хода вторичных волн, распространяющихся от них, равна Х/2. Для определения разности хода лучей проведём из точки Aj перпендикуляр AjCj к направлению распространения вторичных волн. Тогда Z B^AjCj = а как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Разность хода соответственных источников Ai = BiCj = |sin ai = |. Следовательно, первый минимум интенсивности при дифракции света на щели наблюдается под минимальным углом при условии <2sin = ±Я.. Знак «минус» в этом условии возникает из соображений симметрии. Ясно, что такой же минимум интенсивности будет наблюдаться на экране и в точке Pj, симметричной Pj относительной фокуса Pg линзы Jig (PiPi = = P\F^). (Учитывая протяжённость щели в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, интенсивность света будет минимальной на прямых, проходящих вдоль этого направления через точки Pj и Р[.) При наблюдении излучения вторичных волн под углом, большим ttj, разность хода Л,/2, соответствующая интерференционному минимуму, будет наблюдаться для соответственных источников, расположенных ближе друг к другу, чем в предыдущем случае. Для получения условия второго интерференционного минимума разделим щель вдоль на четыре части, т. е. на две пары зон Френеля (рис. 231, б). 282 Электромагнитное излучение Зона Френеля — множество когерентных источников вторичных волн, максимальная разность хода между которыми (для определённого направления распространения) равна Х/2. Соседние пары зон Френеля гасят друг друга, так как разность хода соответственных источников из этих зон равна А,/2. В рассматриваемом случае соответственные источники (например, и Б^) находятся на расстоянии а/4 друг от друга, а их разность хода равна: JL _ CL • _ ^ ^2 = = 4 Sin «2 = 2 ‘ Второй минимум интенсивности при дифракции света на щели наблюдается при условии: asin «2 = Знак «минус» соответствует дифракционному минимуму в точке Р' (Р2^2=^2^2)- Разделив щель на чётное число 2т зон Френеля, получаем условие для т-го дифракционного минимума asin = /пЯ., где m = 0; ±1; ±2; ... . (207) Между дифракционными минимумами располагаются побочные максимумы интенсивности. Центральный максимум |а! < называют главным дифракционным максимумом. Распределение интенсивности света на экране за щелью приведено на рисунке 232. Если экран расположен на большом расстоянии от щели, вторичные волны, интерферирующие на экране, приходят к нему практически параллельно. Поэтому условия дифракционных минимумов и максимумов на экране оказываются практически такими же, как и при наличии линзы (см. рис. 231), сводящей параллельные лучи в одну точку. Интенсивность побочных максимумов более чем в 20 раз меньше интенсивности главного дифракционного максимума. Как видно из рисунка 232, отклонение света от прямолинейного направления становится существенным, когда i/i > а. При малом угле = tg ~ sin = Х/а. С другой стороны, tg = y-^/l (i/i ~ Zttj). Тогда i/j = tk/a. Следовательно, дифракция света на отверстии (или препятствии) размером а заметно проявляется на расстоянии (208) Волновая оптика 283 а) / э б) J/з ' т= +3 у.: m = -1-2 г т= +1 i а 1 т = 0 232^ - т= -1 Распределение интен- у-.: m = -2 сивности света за щелью: У-3^ \ т= -3 а) теоретический расчёт; б) эксперимент 1 Чем меньше длина волны и чем больше размер препятствия (например, диаметр линзы), тем на больших расстояниях от препятствия наблюдается дифракция, тем менее она суш;ественна. Противоположное неравенство характеризует приближение геометрической оптики, справедливое при условии Х,« у. (209) Методы геометрической оптики можно использовать для описания распространения достаточно коротких волн, распространяющихся вблизи неоднородностей среды {отверстий, препятствий) больших размеров. Геометрическая оптика — приближённый предельный случай волновой теории. ВОПРОСЫ 1. Какое физическое явление называют дифракцией? Каким волновым процессам оно свойственно? 2. Сформулируйте принцип Гюйгенса—Френеля. 3. Какие источники называют соответственными? Дайте определение зоны Френеля. 4. Запишите условие для т-го дифракционного максимума на щели и поясните его. 5. В каком смысле геометрическая оптика — приближённый предельный случай волновой теории? Запишите условие применимости этого приближения. 284 Электромагнитное излучение § 71. Дифракционная решётка Особенности дифракционной картины. Из-за слабой видимости дифракционной картины и значительной ширины дифракционных максимумов на одной ш;ели в физическом эксперименте используется другой спектральный прибор — дифракционная решётка. Дифракционная решётка представляет собой совокупность большого числа узких ш;елей шириной а, разделённых непрозрачными промежутками шириной Ъ. Число штрихов на 1 мм стеклянной пластины достигает тысячи, а обш;ее число штрихов = 100 000. Величина d = а + Ь называется периодом решётки. Характерная величина d ~ 0,002 мм. Дифракционная решётка служит для разложения света в спектр и измерения длины волны. Предположим, что на дифракционную решётку падает плоская монохроматическая волна длиной X. Каждая ш;ель является источником когерентных вторичных волн (рис. 233). Главные минимумы интенсивности оказываются такими же, как и для одной щели: те направления, по которым ни одна из щелей не посылает света, не получат его и при нескольких щелях. Найдём условия, при которых вторичные волны, идущие от различных щелей под углом а, усиливают друг друга. Расстояние между соответственными источниками и равно периоду решётки d, а разность хода между ними -В^С^ = А = dsin а. Если на этом отрезке укладывается целое число длин волн, то волны от всех щелей, складываясь, будут усиливать друг друга. Главные максимумы будут наблюдаться под углом а^, определяемым условием dsin а_ = nikj где m = 0; ±1; ±2, (210) Увеличение числа щелей приводит к увеличению яркости дифракционной картины. Если число щелей Ny а амплитуда напряжённости электрического поля, излучаемого одной щелью, Eq, то результирующая амплитуда в главном максимуме Е = NEq. Интенсивность света I в максимуме пропорциональна квадрату амплитуды I - Е^. Соответственно I = N^Io, где /q — интенсивность света, излучаемого одной щелью. Интенсивность света в главном дифракционном максимуме пропорциональна квадрату полного числа щелей дифракционной решётки. Побочные минимумы возникают в результате интерференции вторичных волн, распространяющихся от разных щелей. В случае двух щелей результирующий минимум интенсивности возникает, если разность фаз Волновая оптика 285 ФЛ kY Э а) О <= Ео О- 2к 2 в) А 233 А 234 Дифракция света на решётке Векторные диаграммы для дифрак- ционных минимумов: а) две щели {N = 2); б) три щели (N = 3); в) четыре щели {N = 4) колебаний между ними Аф = д = 2д/2 (разность хода Х/2) (рис. 234, а). N щелей (рис. 234, б, в) дают минимум интенсивности света при разности хода между ними: ^p = гдер = ±1; ±2, ...,p^kN, А; = 1, 2, 3, ... . Выражая разность хода через период решётки, получаем условие побочного минимумау наблюдаемого под углом а^,: dsina^,= — р, гдер = ±1,±2, ...,p^kN,k = 1, 2,... . (211) Объединим условия главных максимумов (212) и побочных минимумов (211): dsin а - о, 1,2^, 3^.(N - 1)| Д, (N + 1)|.2Х,... (Главные максимумы выделены.) Видно, что между двумя главными максимумами располагается {N - 1) побочных минимумов (разделённых побочными максимумами). Интенсивности этих максимумов много меньше интенсивности главных максимумов. Чем больше число щелей, тем 286 Электромагнитное излучение О / i в i ; 4 т=-1 т*=0 /п=+1 т=-1 т=0 /п=+1 6-4/о т=-1 т*=0 т=+1 р^-З V kVWWNJ о ллллллПл^ А 235 Интенсивность света за дифракционной решёткой: а) четыре щели; б) восемь щелей; в) шестнадцать щелей больше побочных максимумов и минимумов между главными максимумами. Увеличение числа щелей приводит к сужению главных и побочных максимумов (рис. 235). Как следует из формулы (211), полуширина главного максимума <^1 = X/{Nd) (sin = а^,, р = +1). Резкость главных максимумов тем больше, чем больше произведение Nd, т. е. чем больше полная ширина решётки. Разрешающая способность дифракционной решётки. С помощью дифракционной решётки с известным периодом можно производить измерения длины волны. Определение длины волны сводится к измерению угла а^, соответствующего направлению на главный максимум интенсивности (согласно формуле (210)). При освещении решётки немонохроматическим светом (например, солнечным), содержащим разные длины волн, решётка разлагает свет в спектр. Из формулы (210) следует, что положение главных максимумов зависит от длины волны X: чем больше X, тем дальше от центра располагается соответствующий максимум: sin = ^ , где m = 0; ±1; ±2, ... . Из-за того что длина волны красного цвета Х^ больше длины волны синего цвета Х2, дифракционный угол > ttg. Поэтому в спектре, даваемом дифракционной решёткой, красные линии расположены дальше синих от центра дифракционной картины (рис. IX, а на цветной вклейке, с. 352). Волновая оптика 287 Однако, чем меньше различие двух длин волн, тем ближе они располагаются на экране. При предельной близости длин волн Х-^ и Xg их главные максимумы накладываются друг на друга, так что различить их становится невозможно. Разрешающая способность спектрального прибора характеризует возможность раздельного наблюдения двух спектральных линий, имеющих близкие длины волн Х^ и Величина А = называется разрешающей способностью диф- 1^2 ~ ^l| ракционной решётки. Раздельное наблюдение главных максимумов т-го порядка близких длин волн и Х2 оказывается возможным, когда главный максимум, соответствующий Xg, приходится на первый побочный минимум, соответствующий Xi (рис. IX, б на цветной вклейке, с. 352). При этом где а^, — углы наблюдения т-х максимумов с длинами волн Х^ и X,g, tti = X^/(Nd) — полуширина m-го главного максимума. т X ^ ^ у.» • Шг- 1 . * т Из формулы (210) следует, что = -г- , а "'а а . Тогда последнее равенство можно привести к виду А = ^2 ^1 = Nm. Высокую разрешающую способность имеют дифракционные решётки с большим числом штрихов N при наблюдениях спектров высокого порядка m > 1. ВОПРОСЫ 1. Почему использование дифракционной решётки предпочтительнее в спектральных экспериментах, чем применение щели? 2. Запишите и обоснуйте условие главных максимумов при дифракции света на решётке. Как интенсивность света в главных максимумах зависит от полного числа щелей? 3. Запишите и объясните условие побочных минимумов при дифракции света на решётке. 4. Докажите, что резкость главных максимумов возрастает при увеличении ширины решётки. 5. Какую величину называют разрешающей способностью дифракционной решётки? Что она характеризует и от каких параметров решётки зависит? 288 Электромагнитное излучение ЗАДАЧИ 1. На плоскую щель шириной а = 10 мкм падает перпендикулярно щели монохромати- ческий жёлтый свет от натриевой лампы с длиной волны X = 589 нм. Найдите углы, под которыми на экране за собирающей линзой будут расположены нулевой максимум и максимум третьего порядка. [0°; 10® 10' ] 2. При дифракции монохроматического света на щели шириной а = 10 мкм на экране, расположенном за щелью на расстоянии Z = 1 м, возникает первый минимум на расстоянии 1/^ = 6 см от нулевого максимума. Рассчитайте длину волны падающего света, укажите его цвет. [600 нм; жёлтый] 3. На дифракционную решётку, содержащую 200 щелей (штрихов) на 1 мм падает свет с длиной волны 500 нм. Найдите, под каким углом виден первый дифракционный максимум. [5°44'] 4. Период дифракционной решётки d = 2,5 мкм. Сколько максимумов будет содержать спектр, образующийся при нормальном падении на решётку монохроматического жёлтого света с длиной волны X = 600 нм? [9] 5. Дифракционная решётка с периодом d = 10 мкм имеет 500 щелей (штрихов). Начиная с максимума какого порядка с её помощью можно разрешить (наблюдать раздельно) две линии спектра натрия с длинами волн л, = 589 нм и А.2 ~ 589,6 нм? [Со второго порядка] ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Когерентные волны — волны с одинаковой частотой, поляризацией и постоянной разностью фаз. Время когерентности — средняя длительность «цуга» гармонического излучения. Длина когерентности — расстояние, на котором происходит устойчивое гармоническое колебание световой волны. Интерференция — явление наложения когерентных волн, вследствие которого наблюдается устойчивое во времени усиление или ослабление результирующих колебаний в различных точках пространства. Максимальная результирующая интенсивность при интерференции когерентных колебаний в определённой точке пространства получается при их запаздывании друг относительно друга на время, кратное периоду этих колебаний: = тТ, где m = 0; ±1; ±2, Минимальная результирующая интенсивность при интерференции когерентных колебаний в определённой точке пространства получается при их запаздывании друг относительно друга на время, кратное нечётному числу полупе-риодов этих колебаний: Ш жшг б) Радиационное давление излучения Солнца: а) на панели солнечных батарей спутника Земли; б) на хвост кометы ▲ V Дисперсия света: а) призма Ньютона; б) зависимость показателя преломления от длины волны ► VI Интерференция света в тонких плёнках. Масляная плёнка на поверхности воды, освещённая солнечным светом V, Гц 10^ Волны звуковых частот Радиоволны (переменный ток) СВЧ- ХО^”- излучение (спин электрона) _ Инфракрасное излучение (колебания и вращение молекул) Ультрафиолетовое излучение 0^®- (электроны атома) 10^’- Рентгеновское 1л18_ излучение (электроны внутренних 10^® _ оболочек атома) 10^°- 1 _ у-Излучение (протоны атомного ядра) 1022_ Я,, м 10® 10^ 10® 10® 10 1 10“* 10“® -10"® -10-^ -10"® -10"® -10"“^ -10"® -10"® -10-10 -10"^' 10' -10" л-12 л-13 А VII Спектр электромагнитных волн и источники их излучения Волновая оптика 289 А^шах = (2/п + 1)Т/2, где m = 0; ±1; ±2. Геометрическая разность хода интерферирующих волн — разность расстояний от источников волн до точки их интерференции. Условие интерференционного максимума: Д = тХ, где m = 0; ±1; ±2. Условие интерференционного минимума: Д = (2т + 1)А./2, где т = 0; ±1; ±2;.... Когерентные источники света получаются при разделении светового потока от источника естественного света. Просветление оптики — уменьшение отражения света от поверхности линзы в результате нанесения на неё специальной плёнки. Дифракция — отклонение при распространении волн от законов геометрической оптики. Дифракция сопровождается нарушением целостности фронта волны, вызванным резкими неоднородностями среды; проявляется в нарушении прямолинейности распространения световых лучей, огибании волнами препятствий, например в проникновении света в область геометрической тени. Принцип Гюйгенса—Френеля: возмущение в любой точке пространства является результатом интерференции когерентных вторичных волн, излучаемых каждой точкой фронта волны. Зона Френеля — множество когерентных источников вторичных волн, максимальная разность хода между которыми (для определённого направления распространения) равна V2. Условие дифракционного минимума на щели (а — ширина щели): asin = тпк, где m = 0; ±1; ±2; ...; а^— угол наблюдения. Приближение геометрической оптики справедливо при условии где а — размер препятствия на пути волны, I— расстояние до препятствия. Условие главных максимумов при дифракции света на решётке с периодом d\ dsin CLj^ = тпк, где m = 0; ±1; ±2;.... Увеличение числа щелей приводит к увеличению интенсивности и уменьшению ширины главных максимумов. Возможность раздельного наблюдения главных максимумов т-го порядка близких длин волн к^ и А,2 характеризуется разрешающей способностью А дифракционной решётки: А =___^___ Чем больше число N щелей и выше порядок спектра т, тем выше разрешающая способность дифракционной решётки. Ш Физика. 11 кл. Профильный уровень и Квантовая теория электромагнитного излучения вещества § 72. Тепловое излучение Ультрафиолетовая катастрофа. Тела, нагретые до достаточно высокой температуры, приобретают способность светиться, излучая электромагнитные волны. Тепловое излучение — электромагнитное излучение, испускаемое нагретыми телами за счёт своей внутренней энергии. Тепловое излучение ведёт к уменьшению внутренней энергии и, следовательно, к снижению температуры тела, к его охлаждению. Увеличение внутренней энергии (а значит, повышение температуры тела) возможно лишь при поглощении телом энергии. Испуская электромагнитные волны, а также частично поглощая падающие на них волны, тела способны обмениваться энергией. Постоянная температура тела (или тепловое равновесие в термодинамически изолированной системе) устанавливается, когда уменьшение энергии тела в результате излучения компенсируется её увеличением при поглощении. При термодинамическом равновесии спектр излучаемой и поглощаемой энергий остаётся неизменным во времени. Примером равновесного излучения является излучение внутри замкнутой оболочки, окружённой снаружи теплоизоляцией. Энергия, излучаемая каждым элементом поверхности оболочки в единицу времени, равна энергии, передаваемой излучением этому элементу за то же время. Благодаря замкнутости оболочки такое тело, называемое абсолютно чёрным, поглощает всю падающую на него энергию. Для экспериментального наблюдения излучения абсолютно чёрного тела внутри оболочки делают небольшое отверстие (рис. 236). А 236 Модель абсолютно чёрного тела Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 291 Абсолютно чёрное тело — тело, поглощающее всю энергию падающего на него излучения любой частоты при произвольной температуре. Луч света 1, попадающий внутрь полости через отверстие, претерпевает многократные отражения от стенок полости. При каждом отражении происходит частичное поглощение энергии света стенками. Поэтому независимо от материала внутренней поверхности оболочки интенсивность света, выходящего из полости через отверстие, во много раз меньше интенсивности падающего извне излучения. Это означает, что практически всё излучение, попадающее в полость, поглощается. По той же причине открытые окна домов днём кажутся чёрными, хотя в комнатах достаточно светло из-за отражения дневного света от стен. Спектральной характеристикой теплового излучения тела является спектральная плотность энергетической светимости — энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени с единицы площади поверхности тела в единичном интервале частот. Единица спектральной плотности энергетической светимости — джоуль на квадратный метр (1 Дж/м^). Энергия теплового излучения абсолютно чёрного тела зависит от температуры и длины волны. Единственной комбинацией этих величин с размерностью Дж/м^ является kT (>. = c/v). Точный расчёт, проделанный Рэлеем и Джинсом в 1900 г., в рамках классической волновой теории дал следующий результат: Гу = 2к—^кТ, (212) где к — постоянная Больцмана. Как показал опыт, выражение (212) согласуется с экспериментальными данными лишь в области достаточно малых частот (рис. 237). Для больших частот особенно в ультрафиолетовой области спектра формула Рэлея—Джинса неверна: она резко расходится с экспериментом. Методы классической физики оказались недостаточными для объяснения характеристик излучения абсолютно чёрного тела. Поэтому расхождение результатов классической волновой теории с экспериментом в конце XIX в. получило название «ультрафиолетовой катастрофы». Квантовая гипотеза Планка. В 1900 г. правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно чёрного тела было получено немецким физиком Максом Планком. Остановимся на физическом механизме теплового излучения. В результате столкновений хаотически движущихся 292 Электромагнитное излучение частиц вещества возникает их ускоренное движение. Его следствием является тепловое излучение тела. Чем больше энергия, получаемая частицей в результате столкновения, тем больше энергия её теплового излучения. Однако число частиц, имеющих очень большую энергию при определённой температуре Т, невелико (см. Ф-10, рис. 178). Это означает, что излучение большой энергии маловероятно. С другой стороны, эксперимент показал (в отличие от формулы Рэлея—Джинса), что излучение высоких частот также маловероятно. Планк предположил, что энергия излучения и его частота связаны друг с другом. При этом излучение электромагнитных волн атомами и молекулами вещества происходит не непрерывно, а дискретно, т. е. отдельными порциями — квантами (от лат. quantum — количество). Энергия излучения кванта прямо пропорциональна частоте v излучения: Е = hv. (213) где h = 6,62 • 10“^^ Дж • с — постоянная Планка. Теория теплового излучения абсолютно чёрного тела, разработанная Планком с учётом квантовой гипотезы, прекрасно согласовывалась с экспериментом (рис. 237). Особенностью фундаментальных физических теорий является их преемственность. Более общая квантовая теория определяет границу применимости волновой теории света. Согласно классической волновой теории излучение электромагнитных волн происходит непрерывно, т. е. (на языке квантовой теории) энергия кванта излучения может быть бесконечно малой. Как видно из формулы (213), энергия кванта излучения при малых частотах действительно невелика по сравнению с тепловой энергией. Вот почему в этом диапазоне частот классическая теория удовлетворительно описывает эксперимент. При больших частотах энергия кванта излучения велика, поэтому классические представления о непрерывности излучения неприменимы. Этим и объясняется причина ультрафиолетовой катастрофы. Законы теплового излучения. Чем выше температура Т нагретого абсолютно чёрного тела, тем большее число частиц, входящих в его состав, обладает высокой энергией. Поэтому при увеличении температуры тела от до Tg возрастает энергия теплового излучения на всех часто- А 237 Тепловое излучение абсолютно чёрного тела: ультрафиолетовая катастрофа — расхождение классической теории теплового излучения с опытом Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 293 тах, а максимум излучательной способности (при частоте v^) смепдается в область больших частот (v^g ^ Закон смещения Вина: где — коэффициент пропорциональности. Частота, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно чёрного тела, прямо пропорциональна его абсолютной температуре (рис. X на цветной вклейке, с. 352). Учитывая связь частоты с длиной волны излучения, закон смещения Вина можно представить в виде = (214) где Ь ~ 3000 мкм • К — постоянная Вина. Произведение длины волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости чёрного тела, на его температуру есть величина постоянная. Спектр излучения звёзд близок к спектральному составу излучения абсолютно чёрного тела, потому что энергия, излучаемая звездой, составляет лишь небольшую часть её внутренней энергии. Например, максимум излучения Солнца приходится на « 0,5 мкм. Если рассматривать Солнце как чёрное тело, с помощью закона смещения Вина можно оценить температуру наружных слоёв Солнца: Т ~ 6000 К. На рисунке X на цветной вклейке для сравнения приведена спектральная плотность энергетической светимости вольфрамовой нити лампы накаливания (Tj = 3000 К). Для получения интегральной (полной) светимости Rj, абсолютно чёрного тела при температуре Т необходимо просуммировать (проинтегрировать) спектральные плотности по всем частотам. Интегральная светимость — мощность излучения с единицы поверхности тела: 00 Лу = j dy. Интегральные светимости Солнца и вольфрамовой нити лампы накаливания графически равны площадям под кривыми на рисунке X на цветной вклейке. 294 Электромагнитное излучение Закон Стефана—Больцмана Интегральная светимость абсолютно чёрного тела зависит только от его температуры: Rrp = (215) где а = 5,67 • 10"®Вт/(м2 • К^) — постоянная Стефана—Больцмана. Интегральная светимость абсолютно чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его термодинамической температуры. Фотон. Световые кванты можно рассматривать как реальные микрочастицы — фотоны^ из которых состоит электромагнитное излучение. Фотон — микрочастица, квант электромагнитного излучения. Фотон обладает следующими свойствами. • Энергия фотона пропорциональна частоте электромагнитного излучения: Е = hv. • Фотон — электрически нейтральная частица, т. е. q = 0. Скорость фотона во всех системах отсчёта равна скорости света в вакууме: и = с. • Фотон обладает импульсом: /IV Е ^ = 7 с h X ‘ (216) • Давление электромагнитного излучения, или фотонного газа, можно рассчитывать подобно давлению идеального газа (р = 2/Sw, где w — объёмная плотность энергии газа). Множитель 1/3 в этом выражении появился за счёт того, что частицы идеального газа могут с равной вероятностью двигаться по трём координатным осям. Фотоны, распространяясь лишь в одном направлении, подобно частицам идеального газа упруго отражаются от стенок, оказывая на них давление р = 2w =2—, "эм эм с где I — интенсивность электромагнитного излучения. ВОПРОСЫ 1. Какое излучение называют тепловым? Почему тепловое излучение снижает температуру тела? Какая величина является спектральной характеристикой теплового излучения? Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 295 2. Какое тело называют абсолютно чёрным? Приведите примеры абсолютно чёрных тел. 3. Что такое ультрафиолетовая катастрофа? Сформулируйте квантовую гипотезу Планка. 4. Какую микрочастицу называют фотоном? Перечислите основные физические характеристики фотона. 5. Сформулируйте законы излучения чёрного тела: законы Вина и Стефана—Больцмана. §73- Фотоэффект Опыты Столетова. Если электромагнитная волна состоит из отдельных квантов (фотонов), то поглощение света, как и его излучение, происходит прерывно: фотоны передают всю свою энергию атомам и молекулам вещества целиком. Ещё одним подтверждением правильности квантовой теории было объяснение Альбертом Эйнштейном в 1905 г. явления фотоэффекта. Фотоэффект — явление вырывания электронов из твёрдых и жидких веществ под действием света. Если вырванные электроны вылетают за пределы вещества, фотоэффект называют внешним. Фотоэффект был открыт в 1887 г. Генрихом Герцем, а затем исследовался экспериментально русским учёным А. Г. Столетовым, немецким физиком В. Галъваксом и итальянским учёным А. Риги. Принципиальная схема установки для исследования фотоэффекта приведена на рисунке 238, а. В вакуумной трубке помещены два электрода — катод из исследуемого металла и анод (в схеме Столетова применялась металлическая сетка), подключённые к источнику напряжения. Напряжение между электродами измеряется вольтметром V, а ток в цепи — гальванометром G. Без освещения катода тока в цепи нет, так как в вакуумном промежутке между катодом и анодом отсутствуют носители заряда. При освещении электроны, вырываемые светом из катода, под действием электрического поля притягиваются к положительно заряженному аноду. Возникающий в цепи электрический ток называют фототоком, а вырванные электроны фотоэлектронами. Фототок возникает даже в отсутствие разности потенциалов между анодом и катодом. 296 Электромагнитное излучение а) Падающее и.1лучение П А 238 Опыт Столетова: а) схема установки: б) вольт амперная характеристика при фотоэффекте При малых напряжениях не все фотоэлектроны достигают анода. С увеличением разности потенциалов между анодом и катодом сила тока нарастает. При некотором напряжении она достигает максимального значения, называемого фототоком насыщения (рис. 238, б). Если изменить полярность источника напряжения, то сила тока уменьшится и при некотором задерживающем напряжении она станет равной нулю. В этом случае электрическое поле тормозит фотоэлектроны до полной остановки, а затем возвращает их на катод. Вольт-ампер-ная характеристика при фотоэффекте (зависимость фототока от приложенного напряжения) приведена на рисунке 238, б. Законы и квантовая теория фотоэффекта. Опытным путём были установлены следующие законы. Законы фотоэффекта .. -____ 1. Фототок насыщения прямо пропорционален интенсивности света, падающего на катод. 2. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно зависит от частоты света и не зависит от его интенсивности. 3. Для каждого вещества существует минимальная частота света, называемая красной границей фотоэффекта, ниже которой фотоэффект невозможен. Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 297 Эти законы невозможно объяснить с помощью волновой теории света. Согласно этой теории под действием поля световой волны в металле возникают вынужденные колебания электронов. В результате кинетическая энергия электрона может оказаться достаточной для преодоления сил притяжения, удерживающих его внутри металла, т. е. для выхода из металла. При этом кинетическая энергия фотоэлектронов должна зависеть от интенсивности падающего света, так как с увеличением интенсивности электрону передавалась бы большая энергия. Однако этот вывод противоречит второму закону фотоэффекта. Кроме того, согласно волновой теории свет достаточной интенсивности должен вырывать электроны из металла независимо от частоты излучения; иными словами, красной границы фотоэффекта не должно быть, что противоречит третьему закону фотоэффекта. Явление фотоэффекта и его законы были объяснены на основе предложенной Альбертом Эйнштейном квантовой теории света. Согласно этой теории, распространение света следует рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток дискретных световых квантов-фотонов с энергией hv. Интенсивность света прямо пропорциональна числу фотонов Л^ф и энергии каждого из них hv. Каждый фотон поглощается целиком только одним электроном. Поэтому число вырванных светом фотоэлектронов, а стало быть, и фототок насыщения /д пропорциональны ЛГф, т. е. интенсивности света (первый закон фотоэффекта) (см. рис. 238, б). Объяснить второй и третий законы фотоэффекта Эйнштейну удалось с помощью закона сохранения энергии. Энергию связи электрона в металле характеризуют работой выхода Работа выхода — минимальная работа, которую нужно совершить для удаления электрона из металла. Значения работы выхода для некоторых металлов приведены в таблице 12. Энергия фотона идёт на совершение работы выхода и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии (217) Закон сохранения энергии (217) называют уравнением Эйнштейна для фотоэффекта. Таблица 12 Работа выхода для металлов Ме- талл Работа выхода, эВ, 1 эВ= 1,6-10-1® Дж Na 2,28 Со 3,9 А1 4,08 РЬ 4,14 Zn 4,31 Fe 4,5 Си 4,7 Ag 4,73 Pt 6,35 298 Электромагнитное излучение К ♦ V • = 239 Зависимость кинетической энергии фотоэлектронов от частоты Кинетическая энергия фотоэлектрона зависит от частоты света линейно (второй закон фотоэффекта): =л(у-^). (218) График зависимости Efjiv) приведён на рисунке 239. Кинетическая энергия всегда положительна. Это значит, что фотоэффект будет наблюдаться для частот V > h Предельная частота определяет красную границу фотоэффекта^ ниже которой фотоэффект невозможен (третий закон фотоэффекта): (219) 'ГПШ д Например, для натрия красной границе соответствует длина волны (см. табл. 12) с ch ^max --- = --— = 0,54 мкм. Излучение такой длины волны находится в красном диапазоне видимого спектра, чем и объясняется исторически сложившееся название — красная граница. Однако для других металлов, например для цинка, красной границе соответствует ультрафиолетовое излучение. По углу наклона зависимости E/^(v) возможно экспериментальное определение значения постоянной Планка /г. Совпадение значений постоянной Планка, введённой в теориях теплового излучения и фотоэффекта, подтверждает правильность предположения о квантовом характере излучения и поглош;ения света веш;еством. Фотоэффект нашёл широкое применение в технике. Вакуумные фотоэлементы используются в турникетах метро, системах заш;итной и аварийной сигнализации, фотоэкспонометрах, военной технике, системах связи, считывании светового сигнала, проходящего через звуковую дорожку киноплёнки, и т. д. ВОПРОСЫ 1. Какое физическое явление называют фотоэффектом? 2. Опишите принципиальную схему опыта Столетова. Что такое фототок и фотоэлектроны? Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 299 3. 4. 5. 1. 2. 4. 5. Сформулируйте три закона фотоэффекта и объясните вольт-амперную характеристику при фотоэффекте. Как она будет выглядеть при большей интенсивности света? Запишите и объясните уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Какую величину называют работой выхода? Объясните график зависимости кинетической энергии фотоэлектронов от частоты света. Как рассчитывается красная граница фотоэффекта? ЗАДАЧИ Найдите энергию фотона с длиной волны X = 400 нм. [3,1 эВ] Найдите кинетическую энергию электрона, вырываемого с поверхности Na фиолетовым светом с длиной волны X = 400 нм. [0,82 эВ] Используя данные таблицы 11, найдите красную границу фотоэффекта для натрия. [550 ТГц] Найдите задерживающую разность потенциалов для фотоэлектронов, вырываемых с поверхности натрия светом с длиной волны X = 400 нм. [0,82 В] Одна из пластин плоского конденсатора, изготовленная из материала с работой выхода А, освещается излучением с длиной волны X. Ежесекундно с каждого метра площади пластины вырывается N фотоэлектронов, которые собираются на второй пластине, находящейся на расстоянии d от первой. Через какой промежуток времени фототок прекратится? [т = eQ(hc/X - A^^^^)/e^Nd] § 74. Корпускулярно-волновой дуализм Корпускулярные и волновые свойства фотонов. Распространение света в виде потока фотонов и квантовый характер взаимодействия света с веществом подтверждены в многочисленных экспериментах. Казалось бы, это является убедительным подтверждением квантовых свойств света. Однако целый ряд оптических явлений (поляризация, интерференция, дифракция) неопровержимо свидетельствует о волновых свойствах света. Классическая физика всегда чётко разграничивала объекты, имеющие волновую природу (например, свет и звук), и объекты, имеющие дискретную корпускулярную структуру (например, системы материальных точек). Одно из наиболее значительных достижений современной физики — понимание в ошибочности противопоставления волновых и квантовых свойств света. Рассматривая свет как поток фотонов, а фотоны как кванты электромагнитного излучения, обладающие одновременно и волновыми и корпускулярными свойствами, современная физика смогла объединить, казалось бы, непримиримые теории — волновую и корпускулярную. В результате возникло представление о корпускулярно-волновом дуализме (от лат, dualis — двойственный), лежащее в основе всей современной физики. 300 Электромагнитное излучение Корпускулярно-волновой дуализм — проявление в поведении одного и того же объекта как корпускулярных, так и волновых свойств. Квант света — не волна, но и не корпускула в понимании Ньютона. Фотоны — особые микрочастицы, энергия и импульс которых (в отличие от обычных материальных точек) выражаются через волновые характеристики — частоту и длину волны: £ = ЙУ, р=|. Дифракция отдельных фотонов. Дифракция и интерференция света объясняются наличием волновых свойств у каждого отдельного фотона. Прямым подтверждением этого явились опыты 1909 г. Джофри Тэйлора по наблюдению дифракции поочередно летящих мимо иглы одиночных фотонов. В принципе подобная дифракция, например на щели, могла наблюдаться ещё в XVII в. Гримальди и Гюйгенсом или в начале XIX в. Френелем. Для этого интенсивность света, падающего на щель, следовало существенно понизить (например, как в экспериментах Тэйлора — с помощью светофильтров). Ослабление интенсивности означает уменьшение числа iVф падающих на щель фотонов. В результате можно настолько уменьшить Л^ф, что фотоны будут следовать друг за другом с интервалом времени, на несколько порядков превышающим время, за которое фотон попадёт на фотопластинку ФП, помещённую за щелью на расстоянии I (рис. 240). Благодаря этому фотоны не могут взаимодействовать (интерферировать) друг с другом, а налетают на щель поодиночке. Первый фотон, пройдя щель, попадает на фотопластинку в точку с координатой у-^. Затем на фотопластинку попадает второй фотон в точку с координатой у2 и т. д. На рисунке 240, а показаны возможные точки попадания фотонов на фотопластинку. Результат суммирования числа фотонов, попадающих в окрестность точки с определённой координатой г/, приведён на рисунке 240, б (после 1000 экспериментов). Например, в окрестность точки с координатой у^ попали 34 фотона. Чем больше фотонов попадают в данную область, тем больше интенсивность света в ней. Полученная зависимость интенсивности света от координаты полностью совпадает с картиной распределения интенсивности света за щелью, описываемой волновой теорией (см. рис. 232). Дифракционная картина на экране Э за щелью оказывается результатом статистического распределения отдельных фотонов на экране. Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 301 240^ Дифракция одиночных фотонов на щели: а) попадание на фотопластинку одиночного фотона; б) суммирование результатов отдельных измерений В область дифракционных максимумов попадает много фотонов, в области минимумов их мало. Анализ дифракции одиночных фотонов на щели показывает, что движение фотонов принципиально отличается от движения классических частиц. Траекторию движения классической частицы (материальной точки) в каждом отдельном случае можно однозначно предсказать, зная начальную координату частицы и её скорость. Однако заранее невозможно установить, в какую точку после дифракции на щели попадёт фотон. Можно говорить лишь о вероятности попадания фотона в окрестность определённой точки. Например, из 1000 фотонов, последовательно проходящих через щель, в окрестность точки с координатой г/^ попали 34. Это означает, что вероятность попадания фотона в окрестность этой точки в любом опыте равна 0,034. Дифракционная картина за щелью возникает потому, что вероятность попадания фотона в разные точки экрана неодинакова. При большой интенсивности света (число фотонов велико) свойства света хорошо объясняются волновой теорией. В случае малой интенсивности света, т. е. малого числа фотонов, свойства света описываются квантовой теорией. При падении на щель одиночных фотонов разной частоты Vj (рис. 241, а) и V2 > Vi (рис. 241, б) на экране возникают локальные засветки (вспышки А 241 Дифракция света на щели малой интенсивности: а) частоты v^; б) частоты Vg а) б) 302 Электромагнитное излучение разного цвета, соответствующего данной частоте), энергия которых пропорциональна частоте света. Коэффициентом пропорциональности между энергией и частотой является постоянная Планка h. Постановка подобного эксперимента, а заодно и открытие квантования света в принципе были возможны и в XVIII в., хотя обоснованное объяснение этого явления, вероятно, было бы затруднительно для учёных того времени. ВОПРОСЫ 1. Какие объекты, согласно представлениям классической физики, имеют волновую природу, а какие корпускулярную? 2. Что называют корпускулярно-волновым дуализмом? 3. Как экспериментально наблюдалась дифракция одиночных фотонов на щели? 4. Что показывает анализ опыта по дифракции одиночных фотонов на щели? Почему возникает дифракционная картина за щелью? 5. При каком условии свойства света хорошо описываются волновой теорией, а при каком — квантовой? § 75. Волновые свойства частиц Длина волны де Бройля. В 1923 г. французский физик Луи де Бройль высказал гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм является универсальным свойством любых материальных объектов, а не только света. Фотон — не единственная элементарная частица в микромире. Любая микрочастица обладает помимо корпускулярных ещё волновыми свойствами. Это значит, что частица массой /тг, движущаяся со скоростью V, характеризуется не только импульсом р и энергией Е, но и подобно фотону частотой v и длиной волны £ = Лу; Волновые свойства любой частицы, обладающей импульсом р, характерезует длина волны де Бройля: Х^=- (220) Волновые свойства макроскопических тел не наблюдались на опыте из-за необычайно малой величины длины волны де Бройля. Например, для пули массой 10 г, летящей со скоростью 660 м/с. Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 303 ^ ^ JL = 6,62 • lO-3-t Дж-С ^ mv 10~2 кг • 660 м/с 10 -34 М. Длина волны де Бройля для пули оказывается на 24 порядка меньше размера атома водорода, поэтому её невозможно обнаружить экспериментально. Однако для электрона, движущегося в атоме со скоростью 2 • 10® м/с, длина волны де Бройля оказывается соизмеримой с размером атома: h ^ 6,62 • 10-^^ Дж • с =36- 10-10 м m-gVg 9,1 • 10-^1 кг • 2 • 10®м/с Наличие волновых свойств у микрочастиц означает, что можно наблюдать их интерференцию и дифракцию. В 1927 г. волновые свойства электронов были обнаружены английским физиком Джозефом Томсоном в опытах по дифракции электронов при их прохождении сквозь золотую фольгу. Картина дифракции электронов на кристаллической решётке золота оказалась сходной с известной дифракционной картиной рентгеновского излучения с длиной волны X = Волновые свойства частиц не являются их коллективной характеристикой, а присущи каждой частице в отдельности. В 1949 г. российские физики в. А. Фабрикант, Л. М. Биберман, Н. Г. Сушкин выполнили опыт по дифракции электронного пучка предельно малой интенсивности. В этом эксперименте электроны следуют друг за другом с интервалом времени, на четыре порядка превышающим время, за которое электрон попадает на фотопластинку. Это означает, что каждый электрон дифрагирует независимо от других (подобно дифракции отдельных фотонов). Дифракция одиночных электронов на щели оказывается абсолютно идентичной дифракции одиночных фотонов с длиной волны X = Х-^. Так же, как и для фотона, можно говорить лишь о вероятности попадания электрона в окрестность определённой точки. Дифракционная картина возникает потому, что вероятность попадания электрона в разные точки экрана неодинакова. Соотношение неопределённостей Гейзенберга. В классической механике всякая частица движется по определённой траектории, так что в любой момент точно фиксированы её координаты и импульс. Зная начальную координату и скорость (импульс) частицы, можно с помощью законов динамики Ньютона найти её положение и скорость (импульс) в произвольный момент времени. Однако в микромире понятие определённой траектории теряет смысл. Зная начальное состояние электрона, невозможно однозначно предсказать его будущее движение. Корпускулярно-волновой дуализм частиц означает, что корпускулярные и волновые свойства неразделимы. Координата частицы характери- 304 Электромагнитное излучение зует её корпускулярные свойства, длина волны де Бройля и связанный с ней импульс характеризует волновые свойства частицы. Точное определение координаты означает предпочтение корпускулярных свойств волновым. Определённая величина импульса частицы свидетельствует о приоритете волновых свойств. Сам процесс измерения физических величин в микромире существенно отличается от подобного процесса в макромире, или в повседневном опыте. Для обычного измерения длины предмета его надо видеть, т. е. следует осветить. Однако, если внешнее облучение не изменяет состояние макроскопического тела, то при облучении микрочастицы внешнее воздействие может существенно изменить её координату и скорость. В процессе измерения изменяется состояние микрообъекта. Например, при измерении координаты микрочастицы необходимо её удержать в течение некоторого времени и в определённом месте, а это возможно лишь при внешнем воздействии на неё. При этом энергия частицы, её импульс изменятся по сравнению с первоначальными значениями. Рассмотрим подробнее процесс измерения координаты микрочастицы (электрона). Область локализации частицы можно ограничить узкой щелью шириной а, на которую по оси X падает поток электронов с импульсом р (рис. 242). При этом неточность измерения или неопределён-ность координаты у частицы Ау ~ а, так как точно неизвестно, через какую именно точку щели пролетает электрон. Волновые свойства электрона характеризуются длиной волны де Бройля = h/p. В результате дифракции на щели электрон изменяет направление своего движения и, соответственно, направление скорости и импульса. Возникает компонента импульса по оси У: h . Ру = psin ос = ^ sin а. Yk 242^ Измерение импульса частицы при её локализации Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 305 Для оценки Ру можно использовать угол а^, соответствующий первому дифракционному минимуму на щели (см. формулу (207)): Следовательно, asin Ру^а Реально возможно попадание электрона в область дифракционных максимумов более высоких порядков, поэтому неточность измерения импульса, или неопределённость импульса может даже превосходить величину Ру'. А ъ ^ ^p > - . ^ у а Соотношение неопределённостей Гейзенберга Произведение неопределённости координаты частицы на неопределённость её импульса не меньше постоянной Планка: АуАру > h. (221) Обсудим физический смысл соотношения неопределённостей. Предположим, что импульс р частицы известен точно, т. е. Ару = 0. Это значит, что известна и длина волны де Бройля = h/p. Из соотношения неопределённостей следует, что Ау> — . ^Ру Следовательно, Ау ^оо. Дело в том, что длина волны точно определена лишь для гармонической волны постоянной амплитуды и бесконечной протяжённости по оси Y. Это значит, что частицу можно обнаружить в любой точке пространства. Она не локализована и Ai/ —» оо. С другой стороны, чем точнее определяется координата частицы, тем менее точными становятся сведения о её импульсе. Если Ау 0, то Ар ^ ^ Ау Говорить об определённой длине волны де Бройля и соответственно об определённом импульсе частицы при её локализации бессмысленно. Как 306 Электромагнитное излучение отмечалось ранее, длина волны определена лишь для гармонической волны бесконечной протяжённости, когда Ау Соотношение неопределённостей Гейзенберга позволяет оценивать минимальные энергии, которыми обладают микрочастицы при их локализации в определённой области пространства. Таким образом можно, например, оценить по порядку величины энергию электрона в атоме. Размер атома лития около 4 • 10“^® м. Такого же порядка неопределён-ность координаты Ау электрона. Тогда неопределённость его импульса Ару > h/Ay, а минимальная кинетическая энергия электрона в атоме Li Е = * 2т^ 2т^(Ау)^ - 8 эВ (1 эВ = 1,6 • 10-19 Дж). Полученная величина близка к реальной энергии электрона в этом атоме. Соотношение неопределённостей существует и между другими парами физических величин, например между энергией частицы и временем её измерения. Кинетическая энергия частицы, движущейся по оси Y со скоростью Vy, равна: Е='^. 2 Соответственно неопределённость энергии: АЕ^ dE^ АЕ.. = Аи^ « Ли = mi; Ли,,, AVy У У У " у а неопределённость импульса {ру = mVy): Ару = mAVy. Неопределённость координаты {у = Vyt): Ау = VyAt. Подставляя Ар и в соотношение неопределённостей (221), полу- чаем: mVyAVyAt > h. Тогда соотношение неопределённостей для энергии частицы и времени её измерения имеет вид: AEyAt > h. (222) Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 307 Физический смысл соотношения неопределённостей (222) можно сформулировать так: чем меньшее время М частица пребывает в некотором состоянии, тем менее определённа её энергия: у At Наоборот, в стационарном состоянии, где время пребывания частицы стремится к бесконечности, её энергия вполне определённа, так как > 0. Принципиальный вывод, следуюш,ий из соотношений неопределённостей Гейзенберга, состоит в том, что нельзя независимо рассматривать корпускулярные и волновые характеристики микрочастиц: они взаимосвязаны. Одновременно точное определение положения и импульса частицы невозможно. Этот вывод не согласуется с привычными представлениями классической механики об определённой координате и скорости (импульсе) частицы, То же самое можно сказать и о невозможности одновременного точного измерения времени и энергии частицы. Однако здравый смысл основан на представлениях, почерпнутых из повседневного опыта. В то же время непосредственное наблюдение поведения микрочастиц невозможно. Поэтому, имея дело с явлениями, далёкими от наших повседневных наблюдений, учёным зачастую приходится делать выводы, противоречащие так называемому здравому смыслу. ВОПРОСЫ 1. В чём состоит гипотеза де Бройля? Чему равна длина волны де Бройля? 2. Какие эксперименты подтверждают наличие волновых свойств у микрочастиц? 3. Получите и сформулируйте соотношение неопределённостей Гейзенберга для координаты и импульса. 4. Получите и сформулируйте соотношение неопределённостей Гейзенберга для времени и энергии. 5. Какой принципиальный вывод следует из соотношений неопределённостей Гейзен-берга? §76. Строение атома Опыт Резерфорда. Наименьшей частью химического элемента, определяющей его основные свойства, является атом. Человеческий глаз не в состоянии его увидеть, а тем более различить его внутреннюю структуру. Судить о том, как масса и заряд распределены внутри отдельного атома, мож- 308 Электромагнитное излучение но, например, по отклонению заряженных частиц, пролетающих мимо атома. Подобным образом, наблюдая на просвет стекло, мы обнаруживаем в нём неоднородности и дефекты из-за разного преломления на них света. В первом эксперименте по изучению внутренней структуры атома, осуществлённом в 1910—1911гг. английским физиком Э. Резерфордом и его студентами Э. Марсденом и X. Гейгером^ золотая фольга облучалась а-частицами, пролетающими через щели в свинцовых экранах со скоростью 10”^ м/с (рис. 243, а). Альфа-частицы, испускаемые радиоактивным источником, представляют собой ядра атома гелия, состоящие из двух протонов и двух нейтронов. После взаимодействия с атомами фольги а-частицы попадали на экраны, покрытые слоем сернистого цинка ZnS. Ударяясь об экраны, а-частицы вызывали слабые вспышки света (сцинтилляции). По количеству вспышек определялось число частиц, рассеянных фольгой на определённый угол. Подсчёт показал, что большинство а-частиц проходит фольгу практически беспрепятственно, отклоняясь на углы менее 1°. Однако некоторые а-частицы (примерно одна из 20 000) резко отклонялись от первоначального направления, даже отражаясь назад (на угол 180°) (рис. 243, б). Столкновение а-частицы с электроном не может так существенно изменить её траекторию, так как масса электрона в 7300 раз меньше массы а-частицы. Резерфорд предположил, что отражение а-частиц обусловлено их отталкиванием положительно заряженными частицами, обладающими массой, соизмеримой с массой а-частицы. Малая доля частиц в общем потоке, испытывающих значительное рассеяние, означает, что по- Свинцовые экраны Золотая фольга г-- ^ "" Сцинтиляяционные экраны А 243 Опыт Резерфорда: а) принципиальная схема установки: б) рассеяние а-частиц атомными ядрами Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 309 ложительный заряд атома сосредоточен в объёме, очень малом по сравнению с объёмом атома, или в ядре атома. Планетарная модель атома. Опыты Резерфорда позволяют оценить максимальный размер R атомного ядра. При центральном столкновении а-частицы (с зарядом +2е) с ядром, имеющим заряд +Ze, она останавливается силами кулоновского отталкивания на расстоянии г от центра ядра (г > К). В точке остановки кинетическая энергия Ef^ а-частицы переходит в потенциальную: « Г где k = 9 • 10^ Н • м^/Кл^. Следовательно, размер атомного ядра R определится соотношением В опытах Резерфорда ~ 5 МэВ, заряд ядра золота Z = 79. Тогда размер ядра равен: „ . 2-9-10»-79-(1,6-10-19)2 ^ 5-100-21,6 10->^-----“• Линейный размер ядра по крайней мере в 10 000 раз меньше размера атома. Из опытов Резерфорда непосредственно следует планетарная модель атома. В центре атома расположено положительно заряженное атомное ядро, вокруг которого (подобно планетам, обращающимся вокруг Солнца) вращаются под действием кулоновских сил притяжения отрицательно заряженные электроны. Атом электронейтрален: заряд ядра равен суммарному заряду электронов. Размер атома определяется радиусом орбиты валентного электрона. Планетарная модель атома, обоснованная опытами Резерфорда, проста, но не позволяет объяснить устойчивость атомов. Электроны, вращающиеся вокруг ядра, обладают центростремительным ускорением, а ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитные волны (см. (154)). Теряя энергию на излучение, электроны должны упасть на ядро (рис. 244) (подобно тому, как искусственный спутник падает на Землю в результате трения о воздух в атмосфере), а атом прекратить существование. При этом частота излучаемого света должна увеличиваться. В действительности атомы устойчивы и в состоянии с минимальной энергией могут существовать неограниченно долго. А 244 Падение электрона на ядро 310 Электромагнитное излучение ВОПРОСЫ 1. Опишите принципиальную схему установки в опыте Резерфорда. 2. Сформулируйте основной результат опыта Резерфорда. 3. Оцените максимальный размер атомного ядра. 4. В чём состоит планетарная модель атома? 5. В чём логическая непоследовательность планетарной модели атома? § 77. Теория атома водорода Первый постулат Бора. Кризис в теории атома был преодолён в 1913 г, датским физиком Н. Бором. Разрабатывая теорию атома водорода. Бор использовал планетарную модель Резерфорда. Согласно этой модели на электрон, вращающийся вокруг ядра с зарядом +е по окружности радиусом г со скоростью L>, действует кулоновская сила = ke^/г^. Эта сила сообщает электрону центростремительное ускорение = v^‘/r. По второму закону Ньютона: I ег“ тп — = k— . (223) Первый постулат Бора —— В устойчивом атоме электрон может двигаться лишь по особым, стационарным орбитам, не излучая при этом электромагнитной энергии. Правило квантования орбит Бора На длине окружности каждой стационарной орбиты укладывается целое число п длин волн де Бройля A,g = —соответствующих m^v движению электрона (рис. 245): 2пг А-б = Пу (224) где п — главное квантовое число; п = 1,2,3, .... Аналогично определялось число мод собственных колебаний в струне, закреплённой на концах. На длине струны укладывалось целое число полуволн (см. Ф-10, (183)). Целое число волн, укладывающихся на стационарной орбите, необходимо из соображений симметрии для плавного замыкания гармонической кривой. Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 311 Условие (224) учитывает волновые свойства электрона, хотя было предложено Бором до появления гипотезы де Бройля в виде правила квантования орбит. На стационарной орбите момент импульса электрона квантуется (кратен постоянной Планка h): т vr = nh, (225) где h = Н/2к = 1,05'10"^^ Дж • с — постоянная Планка (аш перечеркнутое); п = 1,2, 3, ... . В классической механике величина L = тиг называется моментом импульса. Момент импульса — векторная физическая величина. При вращении по орбите радиуса г частицы массой т, движущейся со скоростью V, вектор L момента импульса направлен перпендикулярно плоскости орбиты по правилу буравчика. Если вращать рукоятку буравчика по направлению движения частицы по орбите, то поступательное движение буравчика совпадает с направлением орбитального момента импульса. Равенство (224) Бор определял как условие квантования орбитального момента импульса. Орбитальный момент импульса электрона кратен Я. Кроме движения вокруг ядра по орбите электрон вращается вокруг собственной оси. При этом его собственный, или спиновый, момент импульса равен Я/2. Говорят, что электрон обладает полуцелым спином (в единицах Ь). Являясь вращающейся вокруг своей оси заряженной частицей, электрон создаёт собственное магнитное поле (подобно току, протекающему по кольцевому проводнику). Из системы двух уравнений (222), (224) можно найти две неизвестные величины г и о. Возможные значения радиусов стационарных орбит даются выражением: г„ = Я2 Агт„е2 (226) где /г = 1, 2, 3, А 245 Целое число длин волн де Бройля на стационарных орбитах: а) п — 2; б) п = 3; в) п = 4 312 Электромагнитное излучение п= 5 246 Орбиты электрона в атоме водорода Первые пять боровских орбит изображены на рисунке 246. Радиусы стационарных орбит квантованы, т. е. имеют дискретные значения, пропорциональные квадрату главного квантового числа. Атом имеет минимальный размер, когда п = 1. Радиус первой орбиты электрона, ближайшей к ядру,равен: г, = ^2 ^ km^e^ = 0,53* 10-10м. Скорость движения электрона по п-й орбите можно найти, подставив выражение (226) в формулу (225): v^ = k^~ у где п = 1, 2, 3, п п (227) Скорость электрона максимальна на первой боровской орбите: = 2,2 • 10®м/с. Энергетический спектр атома водорода. Энергия электрона в атоме складывается из его кинетической энергии и потенциальной кулоновской энергии взаимодействия с ядром (см. Ф-10, (203)): m^v‘ Е=-^--— г Нуль потенциальной энергии электрона выбран на бесконечном расстоянии от ядра. Знак «минус» соответствует энергии притяжения отрицательного и положительного зарядов. Подставляя в последнее выражение значения радиуса стационарных орбит (226) и скорости движения по ним электрона (227), получаем возможную величину энергии электрона в атоме: k^rn^e^ 1 2ft2 (228) где п = 1, 2, 3, Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 313 Энергия электрона в атоме принимает не любые, а дискретные значения, т. е. квантуется. Энергетический уровень — энергия, которой обладает атомный электрон в определённом стационарном состоянии. Атом водорода имеет определённый спектр энергий. Состояние атома с п = 1 называют основным состоянием. Основное состояние атома (молекулы) — состояние с минимальной энергией. Энергия основного состояния электрона в атоме водорода: В основном состоянии электрон находится ближе всего к ядру и его энергия связи с ядром максимальна по модулю. Возбуждённые состояния атома — состояния с п > 1. Чем больше главное квантовое число п, тем дальше от ядра находится электрон, тем выше его энергетический уровень. Энергетические уровни атома принято изображать горизонтальными линиями, перпендикулярными оси энергий (рис. 247, а). При п ^ оо 247 ► Энергетический спектр атома водорода'. а) свободные и связанные состояния', б) переходы электрона при поглощении света к.Свободные^ - cocmojtHUH^i Е, п = 1 _ ^ б) Е i Ег п= 1 314 Электромагнитное излучение электрон удаляется от ядра на бесконечно большое расстояние, а его энергия связи с ядром стремится к нулю. Это означает, что при Е = О электрон уже не связан с ядром, становясь свободной частицей. Свободные состояния электрона — энергетические состояния с положительной энергией электрона. На рисунке 247, а показано свободное состояние электрона с кинетической энергией т^и^/2. В свободном состоянии скорость электрона и его кинетическая энергия могут быть любыми. Энергетический спектр свободных состояний непрерывен. Двигаясь по орбите вокруг ядра, электрон связан с атомом, или, говорят, находится в связанном состоянии. Связанные состояния электрона — энергетические состояния с отрицательной энергией электрона. Согласно формуле (230), энергетический спектр связанных состояний дискретен. ВОПРОСЫ 1. Сформулируйте первый постулат Бора. 2. Сформулируйте правило квантования. 3. Как квантуются радиусы стационарных орбит в атоме водорода? 4. Как квантуется энергия электрона в атоме водорода? Чему равна энергия электрона в основном состоянии атома? 5. Какие энергетические состояния электрона в атоме называют связанными; свободными? Кратко охарактеризуйте их. § 78. Поглощение и излучение света атомом Второй постулат Бора. Для вырывания электрона из атома требуется дополнительная энергия, чтобы преодолеть кулоновское притяжение электрона к ядру. Энергия ионизации — минимальная энергия, которую нужно затратить для перевода электрона из основного состояния атома в свободное состояние: Д£„ = |£,|. Ионизация атома может происходить, например, под действием падающего на него фотона с энергией /iVj > При этом электрон погло- щает фотон, покидая атом. Если энергия фотона недостаточна для иони- Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 315 зации атома {hv < электрон, находящийся на первой боровской ор- бите (в основном состоянии с энергией Е^), под действием фотона может перескочить на другую орбиту (соответствующую возбуждённому состоянию с энергией Е^). Согласно закону сохранения энергии, этот переход электрона из основного состояния в возбуждённое возможен, если частота V поглощаемого фотона удовлетворяет соотношению: hv ml т 1 Переходы атомного электрона из основного состояния в возбуждённое при поглощении света разных частот показаны стрелками на рисунке 247, б. При наличии фотонов соответствующих частот возможно поглощение света, приводящее к переходам между возбуждёнными состояниями, а также к ионизации атома, находящегося в возбуждённом состоянии. Второй постулат Бора Излучение света атомом происходит при переходе атома из стационарного состояния с большей энергией в стационарное состояние с меньшей энергией Энергия излученного фотона равна разности энергий стационарных состояний: hv = Е — Е . т п (229) Подставляя значения энергии атома в начальном и конечном состояниях, получаем: v„_ = ( «2 ^2 (230) где я = 1, 2, 3, т> п. Все возможные частоты, определяемые этим выражением, дают спектр излучения атома водорода, хорошо согласующийся с экспериментальными данными. Спектр составляют ряд серий излучения, каждая из которых образуется при переходах атома в одно из фиксированных нижних энергетических состояний п из всех возможных верхних энергетических состояний т (т> п). Переходы в первое возбуждённое состояние (я = 2) с верхних уровней образуют серию Бальмера, наблюдаемую в видимом свете. На рисунке 248 показаны серии излучения атома водорода в разных диапазонах, а также 316 Электромагнитное излучение 248 а) О) Серии излучения атома водорода: а) переходы между орбитами стационарных состояний: б) переходы между энергетическими уровнями указаны фамилии учёных, наблюдавших эти серии впервые, и даты их открытия. На рисунке XI, а на цветной вклейке (с. 353) приведена серия Бальме-ра, состоящая из видимых спектральных линий, излучаемых при переходах электрона с энергетических уровней {т > 2) на уровень ^2. Спектр поглощения вещества определяется в результате сравнения спектра излучения, падающего на вещество, со спектром излучения, прошедшего через него. Атом вещества поглощает излучение той же частоты, которую излучает. Спектр поглощения водорода при освещении его солнечным светом показан на рисунке XI, б на цветной вклейке (с. 353). Виды излучений. Для того чтобы излучить фотон, атом должен обладать избыточной энергией по сравнению с энергией основного состояния, т. е. атомный электрон должен находиться в возбуждённом состоянии. Так как любая система стремится занять состояние с минимальной энергией, то в термодинамическом равновесии большинство атомов находится в основном состоянии. Переход атома в возбуждённое состояние возможен при сообщении ему энергии извне. Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 317 • Тепловое излучение возникает при тепловых столкновениях атомов. • Кроме теплового излучения возможен ещё один вид излучения — люминесценция (от дат. luminis — свет). Люминесцентные явления различаются механизмом возбуждения атомов. Катодолюминесценция возникает при бомбардировке атомов электронами, фотолюминесценция — при облучении вещества видимым светом, рентгеновским или гамма-излучением, хемилюминесценция — при химических реакциях. Флуоресценция — кратковременная люминесценция (заканчивающаяся через 10"® с после возбуждения атомов). Фосфоресценция — длительная люминесценция. На явлении люминесценции основана работа люминесцентных ламп, в несколько раз более экономичных, чем лампы накаливания. Внутренняя поверхность люминесцентных ламп покрыта люминофором — веществом, в котором происходит люминесценция (в лампах — фотолюминесценция, в электронных трубках — катодолюминесценция). Опыты по исследованию фотолюминесценции впервые в России были проведены в 50-х гг. XX в. С. И. Вавиловым. Спектральный анализ. Атомы каждого химического элемента излучают определённые длины волн и имеют линейчатый спектр, характерный именно для этого элемента (см. рис. XI, а на цветной вклейке, с. 353). Линейчатый спектр — спектр излучения, состоящий из отдельных узких спектральных линий различной интенсивности. Исследование линейчатого спектра позволяет определить, из каких именно химических элементов состоит излучающее вещество и в каком количестве в нём содержится каждый элемент. Спектральный анализ — метод определения химического состава и других характеристик вещества по его спектру. Высокая чувствительность этого метода позволяет обнаруживать в веществе примеси массой до 10'^® г, а также состав небесных тел, удалённых от Земли на миллиарды световых лет. Подобно дактилоскопическим отпечаткам, линейчатые спектры неповторимо индивидуальны. В настоящее время определены эталоны и составлены таблицы спектров всех атомов для сравнения с ними наблюдаемых спектров. Спектральный анализ проводится и по спектрам поглощения. Например, солнечная атмосфера избирательно поглощает свет, что приводит к появлению линий поглощения на фоне непрерывного спектра фотосферы. Земная атмосфера также избирательно поглощает излучение разных частот (длин волн). Ультрафиолетовое, рентгеновское, гамма-излучение погло- 318 Электромагнитное излучение щаются в верхних слоях атмосферы (рис. XII на цветной вклейке, с. 353). На высоте 15—150 км располагается озоновый слой, поглощающий коротковолновую часть ультрафиолетового излучения Солнца. Защищая флору и фауну Земли от губительного воздействия коротковолнового облучения, атмосфера одновременно лишает физиков и астрономов огромной информации о структуре Вселенной, содержащейся в спектрах этого диапазона. Поэтому наиболее содержательные и масштабные исследования Вселенной начались с 60-х гг. XX в. с момента вывода на орбиты вокруг Земли искусственных спутников. Исследование и анализ спектров позволяют определять помимо химического состава объектов их температуру, давление, скорость движения, напряжённость электрического поля и индукцию магнитного поля. ВОПРОСЫ 2. 3. 4. 5. Какие переходы электрона в атоме возможны при поглощении света? Какую энергию называют энергией ионизации? Сформулируйте второй постулат Бора. Запишите выражения для спектра электромагнитных волн, излучаемых и поглощаемых атомом водорода. Перечислите и кратко охарактеризуйте основные виды излучений. На каких физических принципах основан спектральный анализ? Приведите примеры избирательного поглощения электромагнитного излучения атмосферой Земли. ЗАДАЧ И 1. Найдите красную границу для ионизации излучением атома водорода в основном состоянии. [91,4 нм] 2. Какая длина волны в серии Бальмера соответствует переходу с уровня /г = 4 на уровень п = 2? Определите цвет излучения линии. [487 нм; зелёный] 3. Излучение какой длины волны поглощает электрон при переходе из основного состояния атома водорода в первое возбуждение? [121 нм] 4. Какая минимальная длина волны наблюдается при излучении серии Бальмера? [365 нм] 5. Ион имеет заряд ядра Z = Зе. Найдите энергию, необходимую для ионизации оставшегося около ядра электрона, находящегося в основном состоянии. Какая максимальная длина волны излучения требуется для такой ионизации? [122 эВ; 10 нм] § 79. Лазер Поглощение, спонтанное и вынужденное излучения. В традиционных источниках света, таких как лампа накаливания или натриевая лампа, атомы получают энергию от электронов, создающих электрический ток. Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 319 Перейдя в возбуждённое состояние, электрон атома без какого-либо внешнего воздействия (спонтанно) возвраидается в основное состояние, излучая фотон. Атомы возбуждаются электронами и излучают фотоны независимо друг от друга, поэтому излучаемые ими фотоны некогерентны друг с другом. Рассмотрим теперь возможные процессы взаимодействия атома с фотоном. Пусть энергия фотона hv = E2~E^, (231) где Е^, Е2 — энергии основного и возбуждённого состояний атома. 1. Поглощение света. Электрон атома, находяпдийся в основном состоянии с энергией Е^, может поглотить фотон, перейдя в возбуждённое состояние с энергией Е2 > Е^ (рис. 249, а). Интенсивность поглощённого излучения пропорциональна концентрации п-^ атомов, находящихся в основном состоянии. 2. Спонтанное излучение. В отсутствие внешних полей или столкновений с другими частицами электрон, находящийся в возбуждённом состоянии, через время порядка 10”^—10~^с самопроизвольно (спонтанно) возвращается в основное состояние (рис. 249, б). Спонтанное излучение — излучение, испускаемое при самопроизвольном переходе атома из возбуждённого состояния в основное. Спонтанное излучение различных атомов происходит некогерентно, так как каждый атом начинает и заканчивает излучать независимо от других. ^.Индуцированное излучение. В 1917 г. Эйнштейн предсказал, что возбуждённый атом может излучать под действием падающего на него света (рис. 249, в). Возбуждённое ^2 ^ hv Основное t,{ состояние Возбуждённое состояние Основное состояние Возбуждённое состояние II Hv ib/iv Основное состояние •^249 Процессы взаимодействия атома с фотоном: а) поглощение фотона-, б) спонтанное излучение-, в) вынужденное излучение 320 Электромагнитное излучение Индуцированное (вынужденное) излучение — излучение атома, возникающее при его переходе на более низкий энергетический уровень под действием внешнего электромагнитного излучения. Интенсивность индуцированного излучения пропорциональна концентрации /ig атомов, находящихся в возбуждённом состоянии. При этом у световой волны, возникшей при индуцированном излучении, частота, фаза, поляризация и направление распространения оказываются такими же, как и у волны, падающей на атом. Это означает, что к первичному фотону I, падающему на атом от внешнего источника, добавляется идентичный фотон II индуцированного излучения (рис. 255, в). Тем самым увеличивается интенсивность внешнего излучения — возникает оптическое усиление. Принцип действия лазера. В 1939 г. российский физик В. А. Фабрикант наблюдал экспериментально усиление электромагнитных волн (оптическое усиление) в результате процесса индуцированного излучения. Российские учёные Н. Г. Басов и Л. М. Прохоров и американский физик Ч. Таунс, создавшие в 1954 г. квантовый генератор излучения, работающий в сантиметровом диапазоне, были удостоены в 1964 г. Нобелевской премии по физике. Первый лазер, работающий на кристалле рубина в видимом диапазоне, был создан в 1960 г. американским физиком Т. Мейманом. Слово «лазер» образовано начальными буквами английских слов light amplification by stimulated emission of radiation («усиление света с помощью вынужденного излучения»). Лазер — источник излучения, усиливаемого в результате индуцированного излучения. Усиление излучения, падающего на среду, возникает тогда, когда интенсивность индуцированного излучения превысит интенсивность поглощённого излучения. Это произойдёт в случае инверсной населённости, если в возбуждённом состоянии находится больше частиц, чем в основном П2> п-^. (232) В состоянии термодинамического равновесия электрон с большей вероятностью будет находиться в состоянии с меньшей энергией Е^, т. е. /ij > ^2, усиления не происходит. Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 321 Инверсная населённость энергетических уровней — неравновесное состояние среды, при котором концентрация атомов в возбуждённом состоянии больше, чем концентрация атомов в основном состоянии. Спонтанные переходы являются фактором, препятствующим накоплению атомов в возбуждённом состоянии. Этим можно пренебречь, если возбуждённое состояние метастабильно. Метастабильное состояние — возбуждённое состояние электрона в атоме, в котором он может находиться достаточно долго (например, 10“^ с) по сравнению с обычным возбуждённым состоянием (10-8 с). = 560 нм 250 Оптические процессы в рубиновом лазере Рассмотрим принцип действия рубинового лазера. Рубин представляет собой кристалл оксида алюминия AlgOg, в котором часть атомов алюминия замещена ионами хрома С помощью мощного импульса лампы-вспышки («оптической накачки») ионы хрома переводятся из основного состояния в возбуждённое (рис. 250). Через IQ-^c ионы, передавая часть энергии кристаллической решётке, переходят на метастабильный энергетический уровень Е2< Е^, на котором они начинают накапливаться. Малая вероятность спонтанного перехода с этого уровня в основное состояние приводит к инверсной населённости: П2> n■^^. Случайный фотон с энергией hv = Е2 - E■^^ может вызвать лавину индуцированных когерентных фотонов (рис. 251, а). Индуцированное излучение, распространяющееся вдоль оси цилиндрического кристалла рубина, многократно отражается от его торцов и быстро усиливается (рис. 251, б). Один из торцов рубинового стержня делают зеркальным, а другой — частично прозрачным (рис. 251, в). Через него выходит мощный импульс когерентного монохроматического излучения красного цвета с длиной волны 694,3 нм. В настоящее время существует много различных типов и конструкций лазеров. Основные особенности лазерного излучения следующие: • лазерное излучение обладает исключительной монохроматичностью и когерентностью; 11 Фишка. 11 кл. М^юфилыпаи уровень 322 Электромагнитное излучение т) ♦ ^ Активная среда 1 ♦ Полупрозрачное зеркало fil А 251 Оптическое усиление: а) оптическая «накачка»: б) оптическое усиление: в) генерация лазерного излучения • пучок света лазера имеет очень малый угол расхождения (около 10-^ рад); • лазер — наиболее мощный искусственный источник света. Напряжённость электрического поля в электромагнитной волне, излучаемой лазером, превышает напряжённость поля внутри атома. Применение лазеров. Лазеры нашли применение в различных областях науки, техники и медицины. Очень перспективно применение лазерного излучения для космической связи, в светолокаторах, измеряющих большие расстояния с точностью до миллиметров, для передачи телевизионных и компьютерных сигналов по оптическому волокну. Лазеры используются при считывании информации с компакт-дисков, со штрихкодов товаров. С помощью луча лазеров малой интенсивности можно проводить хирургические операции, например «приваривать» отслоившуюся от глазного дна сетчатку, делать сосудистые операции. Излучение мощных лазеров сваривает и разрезает металлические листы. Перспективно использование мощного лазерного излучения для осуществления управляемой термоядерной реакции. Лазеры применяются также для топографической съёмки, потому что луч лазера задаёт идеальную прямую линию. Направление тоннеля под Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 323 проливом Ла-Манш задавалось лазерным лучом. С помош;ью лазерного излучения получаются голографические трёхмерные объёмные изображения. Создание лазеров — результат использования фундаментальных физических законов в прикладных исследованиях. Оно привело к гигантскому прогрессу в различных областях техники и технологии. ВОПРОСЫ 1. Какие возможны процессы взаимодействия атома с фотоном? 2. Какой источник излучения называют лазером? 3. Какую населённость энергетических уровней атома (молекулы) называют инверсной? Какое состояние электрона в атоме называют метастабильным? 4. Опишите принцип действия рубинового лазера. Охарактеризуйте основные особенности лазерного излучения. 5. Как используются лазеры в различных областях науки, техники и медицины? § 80. Электрический разряд в газах Несамостоятельный и самостоятельный разряды. Энергетический спектр отдельного атома газа в значительной степени определяет электрические свойства газа в целом. При комнатных температурах газы (включая воздух) состоят из нейтральных атомов (молекул). Число свободных зарядов в газе при таких условиях ничтожно. Так в 1 см^ воздуха на уровне моря в 1 с рождается около 10 пар первичных ионов и электронов. Практическое отсутствие свободных электронов приводит к тому, что газ, будучи диэлектриком, не проводит электрический ток. Это позволяет, в частности, строить воздушные линии электропередачи. Появление в газе значительного числа свободных электрических зарядов требует дополнительного внешнего воздействия, при котором возможен распад атомов (молекул) на электроны и положительные ионы, — ионизация газа. Начальная (первичная) ионизация газа может быть вызвана внешним ионизатором, например нагреванием газа, воздействием на него ультрафиолетового, рентгеновского, радиоактивного, космического излучений. При этом ионизованный газ (плазма) становится проводником электрического тока. Если газ поместить в электрическое поле, свободные электроны и ионы начинают двигаться направленно. В газе возникнет электрический ток (разряд). При прекрапдении действия внешнего ионизатора свободные заряды перестают образовываться, что приводит к прекрапдению тока и несамостоятельного разряда. 324 Электромагнитное излучение Несамостоятельный разряд — электрический разряд в газе, возникающий лишь при наличии внешнего ионизатора. А 252 Электрический разряд в газе Л Чем больше напряжение (7, приложенное к газу (рис. 252), тем больше заряженных частиц достигнет электродов. Поэтому при несамостоятельном разряде (при малых напряжениях) выполняется закон Ома (рис. 253, участок О—1). При последующем увеличении напряжения электродов достигают все имеющиеся заряды (рис. 253 — участок 2—3), так что сила тока I перестаёт расти. Через газ протекает ток насыщения!^. При дальнейшем увеличении напряжения, начиная с определённого его значения 17^ (зависящего от рода газа и давления в сосуде, расстояния между электродами, материала катода), сила тока I резко возрастает и появляется свечение газа. Происходит электрический пробой газа, когда без внешнего ионизатора зажигается самостоятельный разряд. Электрический пробой — процесс превращения непроводящего вещества в проводник в результате приложения к нему достаточно сильного электрического поля. Самостоятельный разряд — явление прохождения через газ электрического тока, нс зависящего от внешних ионизаторов. Электрический пробой газа при высоком давлении. Разность потенциалов между электродами ускоряет первичные («затравочные») электроны. При определённой напряжённости 17 и электрического поля ^ ^ кинетическая энергия первичного электрона еГ может превысить энергию ионизации атома (молекулы) газа и вызвать его ионизацию: cf -Ь А > А"' Cl е2 (233) (^2 — вторичный электрон, ставший свободным в результате ионизации атома). Реакция (233) начинается при условии Т О А 253 Волътамперная характеристика разряда в газе Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 325 eELi = АЕц, (234) где — длина свободного пробега электрона при ионизации — расстояние между двумя последовательными соударениями электрона с атомом. На длине пробега электрон приобретает энергию, достаточную для ионизации. Чем больше давление р газа, тем чагце сталкивается электрон с атомами, тем меньше длина свободного пробега, т. е. L.. - -. Р В результате реакции (233) ионизации атома электронным ударом появляются положительный ион и два медленных электрона: первичный, потерявший свою энергию, и вторичный, покинувший атом. Они снова ускоряются электрическим полем и также производят ионизацию. Возникает четыре свободных электрона и т. д. (рис. 254), а затем электронная лавина: число свободных электронов нарастает лавинообразно. Все электроны, достигшие анода, выбывают из игры. Для повторения процесса необходимы новые первичные электроны. Явление пробоя имеет резко выраженный пороговый характер. Это значит, что пробой происходит только при напряжениях, превышающих определённое (для каждых конкретных условий) значение, называемое напряжением зажигания U^. Согласно формуле (234) напряжение зажигания разряда прямо пропорционально давлению газа и линейному размеру сосуда: t/з ~ pd. (235) А А^ ^ - 1 А* 1 А А е~ ~ А А^ * А- 1 е~ _. 1 «Затравочный» _ А А- 0— А А+ \ электрон Электрон второго поколения Электрон ■ е ^ 1 Электрон''' | Катод третьего поколения четвертого Анод поколения А 254 Лавинная ионизация газа. Под действием электрического поля электроны движутся к аноду, а положительные ионы — к катоду 326 Электромагнитное излучение Формула (237) хорошо описывает эксперимент (рис. 255) при высоких давлениях газа (pd 10 Па • м). При таких давлениях концентрация атомов столь велика, что электрон, получивший достаточную для ионизации энергию, сразу ионизует атом. Электрический пробой разреженного газа. При малых давлениях газа, когда концентрация атомов мала, вторичный электрон может достигнуть стенки сосуда или анода, не встретив атом и не ионизуя его. При этом электронная лавина не развивается и пробой не возникает. Развитие электронной лавины при малых давлениях {pd <^10 Па • м) оказывается возможным, если вторичные электроны будут образовываться быстрее, чем, достигнув стенки (или анода), рекомбинировать с положительными ионами. Другими словами, время ионизации атома (молекулы) электроном, движуш;имся со средней скоростью и (т,- = LJv), должно быть меньше либо равно времени рекомбинации т : X- ^ т . I р С помош;ью формулы (234) можно получить, что т,= AEi^d ~7u7 (236) (237) При оценке времени движения электронов до стенки (или анода) следует учесть, что в отсутствие столкновений с атомами электрон попадёт на стенку за время d/v. Перемеш;аясь на расстояние d, электрон претерпевает d/L^ столкновений — длина свободного пробега электрона при упругих столкновениях с атомами, L^. ~ ^ j. Поэтому столкновения с атомами газа увеличивают время рекомбинации T^ = {d/v)‘(d/L^). (238) Подстановка значений и х^ в соотношение (238) позволяет получить обратно пропорциональную зависимость напряжения зажигания от давления газа и линейного размера сосуда U~llpd. (239) Гиперболическая зависимость порогового напряжения зажигания от произведения (pd) показана на рисунке 255. Анализ зависимости (pd) показывает, что для электрического пробоя как плотного, так и разреженного газа требуется высокое напряжение зажигания (порядка 1000 В). В плотном газе сильное электрическое поле требуется для того, чтобы на малой длине свободного пробега электрон успел набрать энергию, достаточную для ионизации атома и возникновения электронной лавины. В разре- Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 327 женном газе из-за редких столкновении с атомами электроны, возникающие при ионизации, почти беспрепятственно диффундируют на анод и стенки сосуда и там рекомбинируют с положительными ионами. Поэтому для ионизации газа, достаточной для пробоя, они должны образовываться в объёме быстрее, чем уходить на анод. Для этого необходимо сильное электрическое поле, стимулирующее ионизацию. Наименьшее значение напряжения зажигания (порядка 100 В) требуется при промежуточных давлениях pd — 10 Па ’ м. С целью экономии электроэнергии именно такие давления газа используются в люминесцентных лампах. Виды газового разряда. Время нарастания электронной лавины очень мало, порядка 10~^—10*^ с. При этом электрический ток возрастает на несколько порядков. Однако длительный самостоятельный разряд нельзя обеспечить лишь первичными «затравочными» электронами. Для поддержания разряда и электрического тока необходима эмиссия (испускание) электронов с катода. По способу эмиссии электронов с катода разряд разделяют на тлеющий и дуговой. А 255 Зависимость HanpsLHCCHUM зажигания разряда от давления газа и линейного размера сосуда Тлеющий разряд — самостоятельный разряд, в котором эмиссия электронов с холодного катода происходит под действием ударов положительных ионов и излучения, возникающего при развитии разряда. Для тлеющего разряда характерна небольшая сила тока 10~®—10'^ А и малое давление порядка 10~^ р^. При напряжении порядка пробойного в разрядной трубке светится столб газа: цвет свечения зависит от рода газа. Неон, например, светится красным цветом (рис. XIII, а на цветной вклейке, с. 384). Дуговой разряд — самостоятельный разряд, в котором эмиссия электронов происходит с поверхности горячего катода. Для дугового разряда (дуги) характерна значительная сила тока (больше 1 А) и высокое давление газа порядка атмосферного (рис. XIII, б на цветной вклейке, с. 384). Ослепительно светящийся канал между сварочным электродом и обрабатываемым металлом является дуговым раз- 328 Электромагнитное излучение рядом (дугой) в воздухе. Процесс испускания электронов при нагревании катода до высокой температуры называется термоэлектронной эмиссией. В ряде твёрдых веществ термоэлектронная эмиссия происходит при температурах, при которых испарение самого вещества катода ещё мало. Такие вещества и используют для изготовления катодов. В сильно неоднородных электрических полях (около заострённых электродов, громоотводов или линий электропередачи) возникает светящаяся область, по форме напоминающая корону, — коронный разряд (рис. XIII, в на цветной вклейке, с. 384). При более высоких напряжениях, давлениях порядка атмосферного и больших расстояниях между электродами может возникнуть искровой разряд. Грандиозной формой искрового разряда является молния (рис. XIII, г на цветной вклейке, с. 384), для которой электродами служат электрически заряженное облако и Земля. Газовый разряд в современной технике. Наряду с традиционным использованием газового разряда в источниках света, лазерах, в световых индикаторах электромагнитного поля, при нагреве, резке и сварке металлов важно отметить его применение в плазменных экранах телевизоров, когда достаточно крупные изображения оказывается невозможно получить с помощью электронно-лучевой трубки. Рассмотрим сначала принцип получения цветного изображения на плазменном экране. Любое цветное изображение на экране складывается из отдельных светящихся точек (пикселей). Многочисленные опыты показали, что любой цвет может быть представлен в виде комбинации трёх основных цветов: красного «к», зелёного «з» и синего «с» при определённой пропорции их интенсивностей. Подобный эффект связан со структурой сетчатки глаза, содержащей три типа нервных окончаний — «колбочек», наиболее чувствительных к красному, зелёному и синему свету соответственно. Если, например, в мозг идут сигналы только от колбочек, чувствительных к зелёному свету, цвет излучения будет казаться наблюдателю зелёным. Другой тип светочувствительных окончаний — «палочки» — реагирует на уровень интенсивности света. Свет воспринимается наблюдателем как белый (бесцветный), если содержит три основных цвета в определённой пропорции их интенсивностей (условно): к -Ь з -Ь с = 0. Поэтому для получения цветного изображения каждый пиксель состоит из трёх ячеек, испускающих излучение красного, зелёного и синего цвета соответственно (рис. XIV, а на цветной вклейке, с. 384). Каждая ячейка размером около 100 мкм заполнена смесью инертных газов неона и ксенона при давлении порядка атмосферного. К каждой ячейке подведены электроды, расположенные вдоль взаимно перпендикулярных осей, вблизи наружной и внутренней поверхностей экрана. Электроды покры- Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 329 ваются слоем диэлектрика. Когда к электродам подводится напряжение порядка 100—200 В, внутри ячейки возникает импульсный разряд длительностью около 20 нс (рис. XIV, б на цветной вклейке, с. 384). Напряжение зажигания удаётся уменьшить покрытием диэлектрика слоем оксида магния MgO, облегчающего вторичную эмиссию электронов при бомбардировке катода ионами Ne"^. Возникающий разряд сопровождается ультрафиолетовым излучением, интенсивность которого зависит от значения напряжения, приложенного к ячейке. Стенки ячеек пикселя покрыты люминофорами, которые преобразуют ультрафиолетовое излучение в излучение красного, зелёного или синего цвета соответственно. Подобная конструкция позволяет воспроизвести изображение пикселя произвольной интенсивности и любого цвета. Полная картина на экране получается как суперпозиция изображений отдельных точек. Электрический ток в вакууме. Электрический ток в разреженных газах (в которых длина свободного пробега молекул больше размеров сосуда) может протекать, если ввести в сосуд свободные заряды. Наиболее просто это можно осуществить с помощью термоэлектронной эмиссии с поверхности катода. В двухэлектродной электронной лампе — вакуумном диоде — внутри вакуумированного стеклянного баллона 1 находятся два электрода: катод 2 и анод 3. Катод представляет собой никелевую трубочку, покрытую слоем оксидов щелочноземельных металлов (ВаО, SrO, СаО), облегчающих термоэлектронную эмиссию (рис. 256, а). Подогрев катода обеспечивается спиралью 4, расположенной внутри катода. Цилиндрический анод окружает катод. Условное обозначение диода с подогреваемым катодом дано на рисунке 256, б. Электроны, покинувшие катод в результате термоэлектронной эмиссии, под действием электрического поля между катодом и анодом достигают анода. Обратное направление тока невозможно. Вакуумный диод (подобно полупроводниковому) обладает односторонней проводимостью и также может быть использован для выпрямления переменного тока. Для регулирования величины анодного тока используют трёхэлектродную электронную лампу — триод. Для этого в триоде между катодом и анодом помещается третий электрод 5 (в виде спирали) — сетка (рис. 257, а). Условное обозначение триода дано на рисунке 257, б. Положительная разность потенциалов между сеткой и катодом оттягивает в сторону анода электроны, вылетевшие из катода в результате термоэлектронной эмиссии (рис. 258, а), тем самым увеличивая анодный ток. Отрицательная разность потенциалов между сеткой и катодом препятствует движению электронов от катода и уменьшает анодный ток (рис. 258, б). Триод используется в электронных схемах подобно транзистору. Роль эмиттера играет катод, коллектора — анод, базы — сетка. 330 Электромагнитное излучение А 256 Вакуумный диод: а) конструкция; б) условное обозначение А 257 Триод: а) конструкция; б) условное обозначение А 258 Сетка как регулятор анодного тока в триоде: а) Фс - Фк > 0; Фс - фк < О Электрический ток в вакууме, созданный электронными пучками, широко используется в электронно-лучевых трубках, электронных микроскопах, а также при нагреве, резке и сварке металлов, стерилизации медицинских инструментов. ВОПРОСЫ 1. В чём отличие несамостоятельного и самостоятельного разрядов? 2. Сформулируйте условия пробоя газа высокого давления и разреженного газа. 3. В чём отличие тлеющего и дугового разрядов? 4. Поясните принцип действия плазменного экрана. 5. Опишите конструкцию вакуумного диода и триода. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Тепловое излучение — электромагнитное излучение, испускаемое нагретыми телами за счёт своей внутренней энергии. Абсолютно чёрное тело — тело, поглощающее всю энергию падающего на него излучения любой частоты при произвольной температуре. Квантовая теория электромагнитного излучения вещества 331 Спектральная плотность энергетической светимости — энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени с единицы площади поверхности тела в единичном интервале частот. Единица спектральной плотности энергетической светимости — Дж/м^. Энергия кванта излучения прямо пропорциональна частоте v излучения: Е = h\, где Л = 6,6 • • с — постоян- ная Планка. Фотон — микрочастица, квант электромагнитного излучения. Законы теплового излучения: Закон смещения Вина Кт = ь, где длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости чёрного тела, Т — температура чёрного тела, Ь ~ 3000 мкм • К — постоянная Вина. Закон Стефана—Больцмана: интегральная светимость абсолютно чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его абсолютной температуры: Rrp = где а = 5,67 • 1Вт/(м2 • К^) — постоянная Стефана—Больцмана. Фотоэффект — явление вырывания электронов из твёрдых и жидких веществ под действием света. Законы фотоэффекта. 1. Фототок насыщения прямо пропорционален интенсивности света, падающего на катод. 2. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов прямо пропорциональна частоте света и не зависит от его интенсивности. 2). Для каждого вещества существует минимальная частота света, называемая красной границей фотоэффекта, ниже которой фотоэффект невозможен. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: h\ = ^ . Энергия фотона идёт на совершение работы выхода и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии. Работа выхода — минимальная работа, которую нужно совершить для удаления электрона из металла. Красная граница фотоэффекта ^ min Корпускулярно-волновой дуализм — проявление в поведении одного и того же объекта как корпускулярных, так и волновых свойств. Корпускулярно-волновой дуализм — универсальное свойство любых материальных объектов. Волновая теория правильно описывает свойства света при больших интенсивностях, т. е. когда число фотонов велико. Квантовая теория используется при описании свойств света при малых интенсивностях, т. е. когда число фотонов мало. Волновые свойства любой частицы, обладающей импульсом р, характеризует длина волны де Бройля: 1 _ л Л-с 332 Электромагнитное излучение В процессе измерения меняется состояние микрообъекта. Одновременное точное определение координаты и импульса частицы невозможно. Соотношения неопределённос-тей Гейзенберга. 1. Произведение неопределённос-ти координаты частицы на неопре-делённость её импульса не меньше постоянной Планка: АуАРу > h. 2. Произведение неопределённос-ти энергии частицы на неопреде-лённость времени её измерения не меньше постоянной Планка: AEyAt > h. Постулаты Бора. 1. В устойчивом атоме электрон может двигаться лишь по особым, стационарным орбитам, не излучая при этом электромагнитной энергии. 2. Излучение света атомом происходит при переходе атома из стационарного состояния с большей энергией в стационарное состояние с меньшей энергией Энергия излученного фотона равна разности энергий стационарных состояний: Правило квантования орбит Бора: На длине окружности каждой стационарной орбиты укладывается целое число п длин волн де Бройля, соответствующих движению электрона: 2кг = п. Основное состояние атома — состояние с минимальной энергией. Люминесценция — неравновесное излучение вещества. Спектральный анализ — метод определения химического состава и других характеристик вещества по его спектру. Основные излучательные процессы атомов: поглощение света, спонтанное и вынужденное излучения. Поглощение света сопровождается переходом атома из основного состояния в возбуждённое. Спонтанное излучение — излучение, испускаемое при самопроизвольном переходе атома из одного состояния в другое. Индуцированное излучение — излучение атома, возникающее при его переходе на более низкий энергетический уровень под действием внешнего электромагнитного излучения. Лазер — источник излучения, усиливаемого в результате индуцированного излучения. Инверсная населённость энергетических уровней — неравновесное состояние среды, при котором концентрация атомов в возбуждённом состоянии больше, чем концентрация атомов в основном состоянии. Метастабильное состояние — возбуждённое состояние атома, в котором он может находиться значительно дольше, чем в других состояниях. ФИЗИКА ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ Физика атомного ядра § 81. Состав атомного ядра Протон и нейтрон. Опыты Резерфорда, проведённые в 1910 г. (см. § 77), показали, что атомное ядро, находящееся в центре атома, в 10 000 раз меньше размера самого атома и сосредоточивает 99,9% массы атома. Последующее изучение состава ядра проводилось экспериментально с помощью бомбардировки ядра а-частицами. При подобной бомбардировке из ядра вылетали частицы, входящие в его состав. Первой такой частицей, открытой Резерфордом в 1919 г. при бомбардировке ядер В, F, Na, А1, Р, Ne, Mg и других элементов, был протон (от греч. protos — первый, первичный), или ядро самого лёгкого изотопа атома водорода }Н. Протон р имеет положительный заряд, равный элементарному электрическому заряду, е = 1,6 • 10“^^Kл, масса протона Шр = 1,6726231 • 10“^'^кг = = 1,007276470 а. е. м. Протоны встречаются в земных условиях в свободном состоянии как ядра атома водорода. Однако считать, что атомное ядро любого атома (за исключением }Н) состоит только из протонов, было бы неправильно. Если, например, заряд ядра атома ^|С равен -Ьбе, то это означало бы, что ядро состоит из шести протонов с общей массой 6 а. е. м. Однако опыт показывает, что масса атома равна 12 а. е. м. Следовательно, кроме протонов в состав ядра входят и другие частицы общей массой 6 а. е. м. В 1932 г. английский физик Джеймс Чедвик установил, что при облучении ядер атома бериллия а-частицами из ядра вылетают нейтральные частицы массой, близкой к массе протона. Эта частица была названа нейтроном (от лат. neutron — ни тот ни другой, или нейтральный). Такое название подчёркивало отсутствие у нейтрона электрического -27 кг = заряда. Масса покоя свободного нейтрона т^ = 1,6749286*10 = 1,008664902 а. е. м. превосходит массу протона на 2,5 массы электрона, отличаясь от массы протона всего на 0,14%. Нейтроны в свободном виде в земных условиях практически не встречаются из-за их неустойчи- 334 Физика высоких энергий вости. Нейтрон достаточно быстро самопроизвольно распадается: среднее время жизни нейтрона близко к 15,3 мин. По современным представлениям протон и нейтрон являются двумя разными состояниями одной и той же частицы — нуклона (от лат. nucleus — ядро). Протон — нуклон в заряженном состоянии, нейтрон — в нейтральном. Для обозначения протона в ядерных реакциях используют символ \р, а нейтрона — qTI. Нижний индекс характеризует электрический заряд частицы, кратный заряду (-1-^) протона (или зарядовое число Z), верхний — число нуклонов, которое содержит частица (или массовое число А). Подобно электрону, протон и нейтрон имеют спиновой момент импульса, равный й/2, т. е. протон и нейтрон обладают полуцелым спином (в единицах Л). Протонно-нейтронная модель ядра. Согласно протонно-нейтронной модели ядра, предложенной в 1932 г. российским физиком Д. Д. Иваненко и В. Гейзенбергом, ядро атома любого химического элемента состоит из двух видов элементарных частиц: протонов и нейтронов. Вследствие электронейтральности атома число Z протонов в ядре {зарядовое число), имеющих заряд (-l-Ze), равно числу Z электронов с полным зарядом {-Ze), движущихся вокруг ядра. Например, один электрон атома водорода удерживается вблизи ядра одним протоном. При этом в ядре различных изотопов (от греч. isos — одинаковый, topos — место) атома водорода может находиться не только протон, но и разное число N нейтронов. Изотопы — атомы одного и того же химического элемента, имеющие одинаковое число протонов в ядре (зарядовое число Z) и разное число N нейтронов. Например, водород имеет три изотопа: |Н — протий (в ядре только один протон), |Н — дейтерий (в ядре — протон и нейтрон), |Н — тритий (в ядре — протон и два нейтрона). Сильное взаимодействие нуклонов. Протоны и нейтроны удерживаются в ядре в результате сильного взаимодействия, существующего между этими частицами. Наличие такого взаимодействия было подтверждено в 1919 г. опытами Резерфорда. В этих опытах бомбардировке а-час-тицами подвергались лёгкие ядра атомов (с малым Z) для уменьшения кулоновского отталкивания. При бомбардировке ядер атома водорода (протонов) а-частицы испытывали кулоновское отталкивание от прото- Физика атомного ядра 335 Область электромагнитного взаимодействия а ■^259 Электромагнитное и сильное взаимодействия а-частицы с протоном а Nv Область сильного взаимодействия на, находясь от него на расстоянии, превышающем 3 фм (1 фм = 10“^^ м). На меньших расстояниях пролёта от протона наблюдалось притяжение а-частиц к протону (рис. 259), обусловленное сильным взаимодействием нуклонов друг с другом. Нейтрон начинает притягиваться к протону, находясь от него на расстоянии, меньшем 2 фм. На расстоянии, меньшем 0,4 фм, действуют мощные силы отталкивания между ними. Притяжение между протоном и нейтроном объясняется их постоянным обменом друг с другом виртуальной (экспериментально ненаблюдаемой при таком взаимодействии) частицей — я'^-мезоном (рис. 260). Подобный обмен условно можно продемонстрировать на следующем примере. Один из двух людей, стоящих друг напротив друга, с очень тяжёлым шаром в руках, будучи не в состоянии удержать равновесие, наклоняется вперёд. В этот момент второй человек, до этого лишь придерживавший шар, его подхватывает, и ситуация вскоре зеркально повторяется. Предложенный пример является лишь наглядной иллюстрацией. Взаимодействие посредством обмена виртуальными частицами не имеет столь простого объяснения. Дело в том, что свободный протон (или нейтрон) не может согласно законам сохранения импульса и энергии испустить частицу без поступления энергии извне. Для такого испускания необходима энергия, не меньшая (/Пд — масса частицы). Однако соотношение неопределённостей Гейзенберга > й допускает наруше- ние закона сохранения энергии в течение малого промежутка времени At = й/(/ПоС^), необходимого для испускания частицы, называемой вир- 0 ■^260 Обменное взаимодействие протона и нейтрона 336 Физика высоких энергий туалъной. За это время виртуальная частица не может уйти дальше, чем на расстояние h R = c/S.t = тпС (240) Эту длину называют комптоновской длиной волны частицы (в честь американского физика А. Комптона). Комптоновская длина волны частицы — пространственный масштаб существования виртуальной частицы. Комптоновская длина волны определяет радиус действия того или иного вида взаимодействия. Электромагнитные взаимодействия заряженных частиц осуществляются обменом фотонов. Для фотона mQ = 0, поэтому радиус действия электромагнитных сил i? ^ оо, т. е. эти силы являются дальнодействую-щими. Зная радиус действия ядерных сил ~ 10"^^м, можно оценить массу виртуальной частицы — переносчика сильного взаимодействия: = = 1.05- 10-3^ о Rr 10-15-З-108 3 • 10“2®кг. Полученная в результате приближённой оценки масса оказывается очень близка к массе элементарной частицы тг'^'-мезона, открытой в 1947 г.: = 2,5-10-28кг. Сильное взаимодействие не зависит от заряда частиц: оно связывает между собой заряженные нуклоны (р—р-взаимодействие), нейтральные (п—п-взаимодействие), а также заряженные и нейтральные частицы (/г—р-взаи-модействие). Зарядовая симметрия сильного взаимодействия — независимость сил, взаимодействие между нуклонами от их электрических зарядов. Взаимодействие протонов происходит в результате обмена виртуальными нейтральными тс^-мезонами (пионами). Процесс обмена нуклонов виртуальными частицами изображают на диаграммах Фейнмана (Р. Фейнман — американский физик), на которых реальной частице сопоставляется прямая линия, а виртуальной — волнистая (рис. 261). Ядерные силы взаимодействия зависят от взаимной ориентации спинов нуклонов. При антипараллельных спинах энергия взаимодействия нуклонов оказывается меньше, чем при параллельных. Парное расположение нуклонов с антипараллельными спинами в одном энергетическом состоянии ядра энергетически более выгодно, чем возникновение пары таких нуклонов с параллельными спинами. Физика атомного ядра 337 Состав и размер ядра. Рассмотрим состав ядра некоторых химических элементов, чтобы выяснить основные закономерности его образования. В электронной оболочке гелия находятся два электрона, а в ядре соответственно два протона. Однако ядро, состоящее из двух протонов, неустойчиво из-за кулоновского отталкивания протонов (такое ядро существует менее 10“^® с). Два нейтрона, входящие в состав ядра ^Не, стабилизируют ядро. Силы их ядерного притяжения между собой и к протонам препятствуют кулоновскому отталкиванию протонов. В основном энергетическом состоянии ядра обладающего минимальной энергией, находятся две пары протонов и нейтронов с противоположными спинами (рис. 262). Подобное парное размещение нуклонов соответствует максимальному заполнению соответствующей энергетической оболочки. Энергия ядер, как и атомов, квантуется, т. е. ядра обладают дискретным спектром энергетических состояний. В случае нечётного числа протонов или нейтронов в ядре неспаренный нуклон может занять лишь следующий, более высокий энергетический уровень. Обладая большей энергией, ядра с нечётными числами Z и N {нечётно-нечётные ядра) оказываются менее стабильными. Существует всего четыре стабильных нечётно-нечётных ядра jH, |Li, ^^В и для которых Z = N, а нечётно-чётных стабильных ядер не существует вообще. Нечётно-чётные ядра — ядра, состоящие из нечетного (четного) числа протонов и чётного (нечётного) числа нейтронов. Наиболее стабильными являются чётно-чётные ядра, состоящие из чётного числа протонов и чётного числа нейтронов. Известно около 160 стабильных чётночётных ядер. Особой устойчивостью среди чётночётных ядер отличаются «магические» ядра — ядра, у которых число Z протонов или N нейтронов равно одному из чисел 2, 8, 20, 28, 50, 82, А 261 Нуклон-нуклонное взаимодействие в результате обмена пионами: а) протон-нейтронное взаимодействие', б) протон-протонное взаимодействие и) Не ‘J 262 Ядро атома гелия: а) нуклоны в ядре', б) нуклоны в основном энергетическом состоянии 338 Физика высоких энергий 126. Сами эти числа также называют магическими. Магические числа отражают периодичность заполнения нуклонами энергетических оболочек ядра, подобную периодичности заполнения электронами электронных оболочек атомов, отражённой в Периодической системе Менделеева. Устойчивые магические ядра напоминают атомы инертных газов, характеризующиеся сферической симметрией и химической пассивностью, связанной с наибольшей энергией связи валентных электронов. Тем не менее число электронов на электронных оболочках атомов инертных газов меняется в последовательности, отличной от магических чисел: 2, 10, 18, 36, 54,86. Максимальной устойчивостью и поэтому наибольшей распространённостью в природе обладают дважды магические ядра, у которых магическим является как число протонов, так и число нейтронов. Таких ядер всего пять: |Не; Особая прочность дважды магиче- ского ядра |Не проявляется, в частности, в том, что такие ядра (а-части-цы) испускаются при радиоактивном распаде ядер. У магических, и особенно дважды магических ядер с массовым числом А, энергия связи нуклона аномально велика по сравнению с его энергией связи в ядрах с соседними массовыми числами (А - 1) и (А -t-1). Предполагая, что нуклоны плотно упакованы в ядре с массовым числом А, можно оценить радиус R. Условно вводя радиус нуклона Tq, можно утверждать, что объём ядра складывается из объёма отдельных нуклонов 1,2 фм |лДЗ=(|жг^)а. Следовательно, радиус ядра равен: _____________R — I (241) Эксперименты показывают, что Tq = 1,2 фм. На рисунке 263 показаны относительные размеры ядер водорода, гелия, золота и урана. Зная радиус ядра, можно оценить плотность ядерного вещества, зная, что 1 а. е. м. = 1,66 х X 10~^^ кг. А 263 Относительные размеры ядер Р = т. 4/ЗлЛ-'^ 1,66-10-27 4/Зл(1,2 • 10-15)3 _ А • 1,66-10-27 ^ 4/ЗлДЗ . А = 2,3 - Физика атомного ядра 339 Для сравнения плотность воды 10^кг/м^. Один кубический сантиметр ядерного вещества имел бы массу 230 млн т. Из ядерного вещества состоят нейтронные звёзды — гигантские ядра, удерживаемые гравитационным притяжением. ВОПРОСЫ 1. Приведите основные характеристики протона и нейтрона. Охарактеризуйте протонно-нейтронную модель ядра. 2. Как осуществляется сильное обменное взаимодействие протона и нейтрона в ядре? 3. Почему парное расположение нуклонов на энергетическом уровне в ядре энергетически выгодно? 4. Какие ядра относят к магическим и дважды магическим? 5. Объясните зависимость радиуса ядра от массового числа. ЗАДАЧ И 1. 2. 3. 4. 5. ’fN? Сколько протонов и нейтронов содержит изотоп Сколько нейтронов в ядре ^Ю? Идентифицируйте следующие изотопы: ^з^Х, Рассчитайте радиус ядра атома серебра ^“уАд. [5,71 фм] Во сколько раз ядро атома урана ^9|U больше ядра атома кислорода ’gO? [2,46] § 82. Энергия связи нуклонов в ядре Удельная энергия связи. Чем больше протонов в ядре, т. е. чем больше заряд Ze ядра, тем сильнее кулоновское отталкивание между протонами. Для того чтобы они не разлетались под действием кулоновских сил, требуется большее число нейтронов для стабилизации ядра. При малых Z число нейтронов N ^ Z, а. при больших Z (в ядрах тяжёлых элементов) даже значительное число нейтронов в ядре {N ~ 1,6Z) уже не может препятствовать его распаду. Последним стабильным ядром, имеющим максимальное число протонов, является свинец {Z = 82). Поэтому стабильных ядер размером, например, с горошину не существует. Нейтронная звезда, состоящая из ядерного вещества, удерживается гравитационным притяжением, существенным лишь для больших масс. Энергию связи нуклона в ядре можно оценить с помощью соотношения неопределённостей Гейзенберга для координаты и импульса. При локализации нуклона в ядре неопределённость его координаты оказывается порядка диаметра ядра Ал: ~ 2R = 10~^‘*м. При этом возникает неопределённость импульса: 340 Физика высоких энергий h 2R. Соответственно минимальная энергия нуклона, локализованного в ядре, равна: Е^: = Л2 (6,62 • 10-2^)2 (Ар,)2 ^ 2т 2т_(2Я„)2 2 • 1,6 • 10-27 • (IQ-i^) = 13,7 • 10-13 Дж = 3^6 МэВ. Это простая оценка, по порядку величины подтверждённая экспериментами, показывает, что внутриядерная энергия оказывается в миллион раз больше внутриатомной, т. е. энергии электрона в атоме. Соответственно при ядерной реакции может выделиться энергия в 10® раз больше, чем при химической реакции. С помогцью соотношения неопределён-ности можно показать, что в ядре не может находиться электрон. Электрон в 1836 раз легче протона, поэтому при его локализации в ядре энергия электрона во столько же раз превосходила бы энергию связи нуклонов в ядре -Endin' ® таком случае электрон мгновенно покинул бы ядро. Энергия связи ядра равна минимальной работе, которую нужно совершить, чтобы разделить ядро на составные части — протоны и нейтроны. Такая энергия выделяется при образовании ядра из протонов и нейтронов и определяет уменьшение массы ядра по сравнению с массой протонов и нейтронов, входящих в его состав, или дефект массы. Удельная энергия связи — энергия связи, приходящаяся на один нуклон. Рассчитаем среднюю (удельную) энергию связи нуклона в атоме углерода 1|С. Для этого найдём сначала полную энергию связи всех нуклонов в ядре, определяемую через дефект массы: Известно, что т^=12а. е. м., = 1,008665 а. е. м., т = 0,000549 а. е. м. Масса ядра = 1,007276 а. е. м., гп„ = = (т^ - 6/пД = 11,996706 а. е. м. Масса нуклонов: Дефект массы: 6т + 6т^ = 12,095646 а. е. м. Ат = 6(7Пр + т^) - /71д = 0,09894 а. е. м. Энергия связи всех нуклонов в ядре: R = 0,09894 а. е. м. • 931,5 МэВ/а. е. м. = 92,16 МэВ. Физика атомного ядра 341 Удельная энергия связи нуклона: (EJi “ X “ МэВ/нуклон. Зависимость удельной энергии нуклона в ядре от массового числа приведена на рисунке 264. Для небольших ядер удельная энергия связи мала из-за малого числа нуклонов. Наибольшей энергией связи обладают стабильные ядра с массами, кратными целому числу а-частицы (iHe). МаксимЕ1льная энергия связи 8,795 МэВ у flNi, наиболее стабильного из всех ядер. Высокая энергия связи ядра железа объясняет широкую распространённость железа во Вселенной. У тяжёлых элементов при больших Z энергия связи нуклона уменьшается из-за кулоновского отталкивания протонов. Слабая зависимость энергии связи нуклона от полного числа А нуклонов в ядре подтверждает, что нуклоны связаны короткодействуюш;ими силами. Лишний нуклон взаимодействует лишь с ближайшими соседями. При даль-нодействующих силах (таких, как гравитационные) энергия связи зависит от размеров: камень в б раз труднее оторвать от поверхности Земли, чем от поверхности Луны. Ядерные силы напоминают быстро убываюпдие с расстоянием силы взаимодействия между молекулами жидкости. Энергия связи молекул не зависит от массы жидкости. Удельная теплота парообразования воды одинакова при испарении воды из чашки и из озера. 264^ Удельная энергия связи нуклона в ядре 342 Физика высоких энергий Подобно молекулам, находящимся на поверхности воды, нуклоны втягиваются внутрь ядра, испытывая поверхностное натяжение. Вот почему ядра имеют сферическую форму. Ядро является как бы каплей ядерного вещества. Синтез и деление ядер. При соединении двух лёгких ядер, например |Н и? Н, может образоваться тяжёлое ядро с большой энергией связи (вблизи максимума удельной энергии связи). При таком процессе ядерного синтеза выделяется значительная энергия, равная разности энергий связи тяжёлого ядра и двух лёгких ядер. При расщеплении очень тяжёлых ядер, например т. е. при ядер-ном делении, образуются ядра более лёгких элементов с большими энергиями связи (вблизи максимума удельной энергии связи). При таком ядерном расщеплении также выделяется энергия. Водород и уран обладают минимальной удельной энергией связи (соответственно для лёгких и тяжёлых элементов), поэтому при синтезе и расщеплении именно этих ядер выделяется максимальная энергия. ВОПРОСЫ 1. Почему у тяжёлых элементов доля нейтронов в ядре больше, чем у лёгких? 2. Проведите оценку энергии связи нуклона в ядре. 3. Какую энергию называют удельной энергией связи? Объясните зависимость удельной энергии связи от массового числа. 4. Почему при синтезе лёгких ядер выделяется значительная энергия? 5. Почему при делении тяжёлых ядер выделяется энергия? ЗАДАЧИ 1. 2. 3. 4. 5. Найдите энергию связи последнего нейтрона в ядре изотопа ’|0 [т^ = 15,994915 а. е. м.). Масса изотопа ^|0 m,2 = 15,003076 а. е. м. Рассчитайте энергию связи нуклонов в ядре атома азота (тПа = 14,003242 а. е. м.). Рассчитайте удельную энергию связи ядра атома лития gU {т^ = 7,017601 а. е. м.). Найдите энергию, выделяющуюся при реакции синтеза дНе: 2Н + ^Н^ ^Не+ In {тгц = 2,0141 а. е. м.; = 3,01605 а. е. м.; = 4,0026 а. е. м.). [17,6 МэВ] Рассчитайте энергию, выделяющуюся при реакции деления ядра [15,7 МэВ] [104,8 МэВ] [5,4 МэВ/нуклон] 235у + 1 92*-' о тх —^ Се+ ^^Zr + 6_0e + 2^n (“ 235,0439 а. е. м.; = 139,9054 а. е. м.; = 93,9036 а. е. м.). [208 МэВ] Физика атомного ядра § 83. Естественная радиоактивность 343 Радиоактивный распад. Примерно 90% из 2500 ядер изотопов, известных в настоящее время, нестабильны. Они распадаются на другие ядра и частицы. Подобный процесс распада называют радиоактивностью (от лат. radio — излучаю). Радиоактивность — явление самопроизвольного превращения одних ядер в другие с испусканием различных частиц. Устойчивыми, стабильными являются лишь атомные ядра с энергией связи нуклонов, большей суммарной энергии связи нуклонов в продуктах распада. Различают естественную и искусственную радиоактивность. • Естественная радиоактивность — радиоактивность, наблюдаемая у неустойчивых изотопов, существующих в природе. • Искусственная радиоактивность — радиоактивность изотопов, полученных искусственно при ядерных реакциях. Нестабильными, или радиоактивными, являются тяжёлые ядра с зарядовым числом Z > 83 или массовым числом А > 209, которые могут спонтанно распадаться. Радиоактивный распад — радиоактивное (самопроизвольное) превращение исходного (материнского) ящра в новые (дочерние) ядра. Причиной радиоактивного распада является нарушение баланса между количеством Z протонов и N нейтронов в ядре. Во всех стабильных ядрах (за исключением }Н) Z< N {Z/N < 1) поле ядерного притяжения нейтронов компенсирует кулоновское отталкивание протонов. При нарушении требуемого баланса ядро обладает избыточной энергией, избавиться от которой оно может в результате перехода в состояние с меньшей энергией. Ядра, содержащие избыточное число протонов, освобождаются от этого избытка в результате альфа-распада. Альфа-распад — спонтанное превращение радиоактивного ядра в новое ядро с испусканием а-частицы. Ядра, содержащие избыточное число нейтронов, уменьшают их число в результате бета-распада. 344 Физика высоких энергий Бета(минус)-распад — спонтанное превращение радиоактивного ядра в новое ядро с испусканием электрона и антинейтрино. Альфа-распад. При альфа-распаде радиоактивное (материнское) ядро X превращается в новое (дочернее) ядро Y, испуская при этом а-части-цу (ядро атома |Не — Z = 2; А = 4). С учётом законов сохранения электрического заряда и числа нуклонов запишем уравнение альфа-распада: ^X^izIY + jHe. В результате альфа-распада образуется химический элемент с порядковым номером в таблице Менделеева, уменьшенным на две единицы, и массовым числом на четыре единицы. Относительная доля протонов Z-2 ^ Z в ядре после распада уменьшается: ^ ^ < — . Широко применяемым источником а-частиц является радий — При распаде он превращается в радон (рис. 265, а): 226Ra 222Rn + 4Не. (242) Энергия распада — суммарная кинетическая энергия продуктов распада. Кинетическая энергия продуктов распада определяется разностью масс материнского ядра ^||Ra и продуктов распада реакции (244): Е/, = ('«Ra - '"ri. - а) Q 88 протонов + 138 нейтронов 136 нейтронов 86 протонов Не OL О 2 нейтрона 2 протона 0) и л >л 00 со со ! _ _ ООЙ I тН Д • л iRa 222т>_* 8бКП 222 86 Rn А 265 Альфа-распад радия: а) продукты распада: б) энергетический спектр Физика атомного ядра 345 Известно, что = 226,025406 а. е. м., = 222,017574 а. е. м., = 4,002603 а. е. м., а одной атомной единице массы соответствует энергия 931,494 МэВ. Тогда = 4,871 МэВ. Большую часть этой энергии уносит более легкая а-частица, и эта энергия постоянна. Она определяется соотношением масс дочернего ядра и а-частицы. Альфа-распад ^§8^^ может проходить в два этапа: сначала образуется дочернее ядро ^||Rn в возбуждённом состоянии, которое затем, испуская у-квант с энергией 0,186 МэВ, переходит в основное состояние (см. рис. 265, б). Гамма-излучение — электромагнитное излучение, возникающее при переходе ядра из возбуждённого в более низкие энергетические состояния. Бета-распад. При бета(минус)-распаде радиоактивное (материнское) ядро X превращается в новое (дочернее) ядро Y с испусканием электрона (сначала испускаемые электроны при таком распаде называли бета-лучами). В результате бета-распада образуется элемент с порядковым номером в таблице Менделеева, большим на единицу. + > + (?)■ Электрон не содержит нуклонов, поэтому его массовое число равно нулю. Появление вопросительного знака в уравнении реакции не случайно. В процессе бета-распада один из нейтронов превращается в протон. При этом вследствие закона сохранения электрического заряда образуется электрон. В результате процесса\п-^\р+ _^е выделяется энергия: = (т„ -тПр- т^)с^\ = 0,783 МэВ. Практически вся эта энергия должна передаваться более лёгкой частице — электрону. Поэтому все образующиеся при бета-распаде электроны должны обладать одной и той же энергией, равной 0,783 МэВ. Однако эксперименты, проведённые Чедвиком в 1914 г., показали, что энергия электронов может быть любой в пределах от 0 до 0,783 МэВ. На рисунке 266 приведено распределение электронов бета-распада по энергиям, или, другими словами, дан спектр энергий этих электронов. Из результатов опыта Чедвика следует, что не вся энергия распада пере- 346 Физика высоких энергий А 266 Спектр энергий электронов при ^-распаде Спины античастиц: а) нейтрино', б) антинейтрино даётся электрону. В 1931 г. австрийский физик Вольфганг Паули предположил, что при (3-рас-паде возникает ещё одна электрически нейтральная частица, которая приобретает импульс и уносит с собой часть энергии. Позднее эту частицу, появляющуюся всегда вместе с электроном, стали называть электронное антинейтрино Vp (волнистой линией сверху символа обозначают античастицы). Название нейтрино происходит от итальянского neutrino — нейтрончик. Отличается электронное антинейтрино от нейтрино Vp ориентацией спина (рис. 267). Спин s нейтрино направлен противоположно его импульсу р (направлению скорости движения), а спин антинейтрино сонаправлен с ним. На рисунке 267 условно показано направление вращения нейтрино относительно направления его импульса. Нейтрино и антинейтрино обладают полуцелым спином Й/2. Таким образом процесс превращения нейтрона в протон сопровождается вылетом не только электрона, но и электронного антинейтрино: \п -> \р + + V е* (243) Соответственно антинейтрино возникает и в процессе (3-распада: |X^2+1Y+.?e + v,. (244) Электрон и антинейтрино не входят в состав ядра атома, а рождаются в процессе (3-распада. Фотон также не является составной частью атома, а возникает лишь при переходе ядра атома из одного квантового состояния в другое. Появление новых элементарных частиц в ходе ядерных реакций отражает их фундаментальное свойство — взаимопревращаемость. Распределение энергии распада между электроном и антинейтрино носит случайный характер: энергия уносится и электроном, и антинейтрино. В редких случаях вся энергия передаётся электрону. Этот случай соответствует верхней границе = 0,783 МэВ электронного спектра (см. рис. 266). В этом случае энергия антинейтрино минимальна и определяется его массой покоя. Оценки массы нейтрино и антинейтрино показгши, что их массы составляют менее 1/20 000 от массы электрона. Пытаясь уточнить массы Физика атомного ядра 347 нейтрино, учёные сталкиваются с большими экспериментальными трудностями. Дело в том, что нейтрино и антинейтрино не участвуют в сильном и электромагнитном взаимодействии, и их гравитационная масса крайне мала. Если бы распад нейтрона или (З-распад ядер был обусловлен электромагнитным взаимодействием, то он происходил бы в десятки миллиардов раз быстрее. Чтобы составить представление о интенсивности слабых взаимодействий, в которых участвуют нейтрино и антинейтрино, достаточно сказать, что длина свободного пробега нейтрино с энергией 1 МэВ в воде равна примерно 10^^ м (1000 световых лет). Такое расстояние, которое проходит нейтрино между столкновениями, намного превышает линейные размеры звёзд (например, диаметр Солнца 1,4-Ю^м). Нейтрино свободно пронизывают Солнце, а тем более Землю. Уточнение массы нейтрино позволит правильнее оценить массу Вселенной. «Скрытая» масса невидимых нейтрино существенно определяет дальнейший процесс эволюции Вселенной. ВОПРОСЫ 1. Какое физическое явление называют радиоактивностью? Какие различают виды радиоактивности? 2. Что является причиной радиоактивного распада? 3. Какой радиоактивный распад называют а-распадом? Относительная доля каких нуклонов в ядре уменьшается в результате а-распада? 4. Какой радиоактивный распад называют (3-распадом? Относительная доля каких нуклонов в ядре уменьшается в результате (3-распада? 5. Как объясняется возникновение электронного антинейтрино при Р-распаде? § 84. Закон радиоактивного распада Период полураспада. Радиоактивный распад — статистический процесс. Нельзя сказать, какие именно атомы в радиоактивном образце, состоящем в начальный момент времени {t = 0) из атомов, распадутся за определённое время. Но можно практически с полной достоверностью предсказать, сколько атомов независимо друг от друга распадётся за этот промежуток времени. Например, половина атомов радона распадётся за 3,82 дня. Чем больше первоначальное число атомов Nq, тем точнее будет выполняться это вероятностное предсказание. Период полураспада — промежуток времени, за который распадётся половина первоначального числа атомов. 348 Физика высоких энергий а) <5) Ni А 268 Закон радиоактивного распада: а) число нераспавшихся атомов как функция времени: б) число нераспавшихся атомов в двух образцах с разным периодом полураспада Период полураспада �