Учебник Геометрия 10 класс Нелин Лазарев

На сайте Учебник-Школа.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Геометрия 10 класс Нелин Лазарев - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
Е.П. Нелин, В.А. Лазарев ГЕОМЕТРИЯ МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ 10 класс Е.П. Нелин, В.А. Лазарев МАТЕМАТИКА: алгебра и начала математического анализа, геометрия ГЕОМЕТРИЯ 10 класс Базовый и углубленный уровни Москва ИЛЕКСА 2015 УДК 373.167.1:514 ББК22.151я72 Н49 Нелин Е.П., Лазарев В.А. Н49 Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10 класс: учеб, пособие для общеобразоват. учреждений / Е.П. Нелин, В.А. Лазарев. — М.: Илекса, 2015.— 304 с. : ил. ISBN 978-5-89237-409-5 Содержание книги соответствует требованиям нового федерального Государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования и включает в себя материал как базового, так и углубленного (профильного) уровня. По ней можно работать независимо от того, по каким учебникам учились школьники в предыдущие годы. Ориентировано на подготовку учащихся к успешной сдаче Единого государственного экзамена, включая решение самых сложных задач группы С, и вступительных экзаменов в ВУЗы. УДК 373.167.1:514 ББК 22.151я72 ISBN 978-5-89237-409-5 Нелин Е.П., Лазарев В.А., 2015 ИЛЕКСА, 2015 Предисловие Предисловие для учащихся Дорогие друзья! Цель данного учебника — помочь вам освоить раздел геометрии, который называют стереометрией. В предыдущих классах вы изучали в основном свойства плоских фигур, теперь приступаете к изучению пространственных объектов. В процессе усвоения стереометрии вы будете совершенствовать свои навыки логического мышления, развивать пространственные представления, умения мысленно моделировать новые геометрические фигуры и строить их графические изображения. При изучении стереометрии вы ознакомитесь с новыми геометрическими понятиями и закономерностями, многие из которых на протяжении столетий люди применяют в производственной деятельности, используют в архитектуре и живописи. Полученные знания помогут вам понять, почему геометрические свойства вызывают неизменный интерес творцов прекрасного. Например, теоретик искусства Раннего Возрождения итальянский ученый Леон Баттиста Альберти (1404-1472) подчеркивал значение геометрии в живописи, а гениальный французский архитектор XX ст. Ле Корбюзье (1887-1965) отмечал, что окружающий мир является миром геометрии и своими художественными впечатлениями человек обязан именно ей. Произведения художников эпохи Высокого Возрождения Леонардо да Винчи (1452-1519) и Альбрехта Дюрера (1471-1528), величественные сооружения архитекторов древности и современности убедительно свидетельствуют о том, что геометрия была и остается законодательницей моды в вопросах гармонии и красоты. Желаем, чтобы изучение этого предмета принесло вам удовлетворение и убедило в правоте выдающегося французского математика и философа Блеза Паскаля (1623-1662), который утверждал, что «того, кто владеет геометрией, эта наука продвигает настолько далеко, что он оказывается вооруженным абсолютно новой силой». Несколько замечаний о том, как пользоваться учебником. Учебный материал каждой темы структурирован согласно двум уровням. Основной материал приведен в параграфах, номера которых в содержании напечатаны на белом фоне. Дополнительный материал (номера параграфов в содержании напечатаны на синем фоне, а в тексте учебника номера таких параграфов и пунктов помещены в овальную синюю рамку) предназначен для овладения темой на более глубоком уровне (например, для выполнения более сложных заданий по геометрии единого государственного экзамена по математике). Он может быть освоен учеником самостоятельно или под руководством учителя при изучении геометрии на базовом уровне, а также может использоваться для систематического изучения геометрии на углубленном уровне. Предисловие В начале многих параграфов приведены справочные таблицы, в которых содержатся основные определения, признаки и свойства рассматриваемых понятий темы. Для ознакомления с основными идеями решения задач приведены примеры, содержащие решение и комментарий, с помощью которого можно составить план решения аналогичного задания. С целью закрепления, контроля и самоконтроля усвоения учебного материала после каждого параграфа предложены вопросы, упражнения и задачи. Ответы на вопросы и примеры решения аналогичных упражнений и задач можно найти в тексте параграфа. Упражнения и задачи к основному материалу дифференцированы по уровням сложности. Задачи среднего уровня отмечены символом «°», несколько более сложные задачи даны без отметок, а задачи высокого уровня сложности обозначены символом «*». В тексте параграфов предложены специальные ориентиры, которые позволят овладеть методами решения многих задач углубленного уровня. Ответы и указания к большинству упражнений даны в соответствующем разделе. О некоторых интересных фактах, связанных с историей развития геометрии, вы узнаете, прочитав «Сведения из истории». В приложении, помещенном в конце учебника, приведен справочный материал из школьного курса планиметрии. Предисловие Предисловие для учителя Предлагаемый учебник направлен на реализацию основных положений концепции профильного обучения в старшей школе, на организацию личностно ориентированного обучения математике. Учебник подготовлен в соответствии с требованиями нового федерального Государственного образовательного стандарта среднего (полного) обш;его образования. Как известно, при обучении учебник выполняет две основные функции: 1) является источником учебной информации, которая раскрывает предусмотренное образовательными стандартами содержание в доступной для учащихся форме; 2) является средством обучения, с помощью которого осуществляется организация учебного процесса, в том числе и самообразование учащихся. Отметим основные отличия предлагаемого учебника по реализации этих функций от других учебников геометрии. Это двухуровневый учебник, поскольку в каждом разделе наряду с параграфами, которые предназначены для овладения учениками стандартом математического образования на базовом уровне, содержится систематический материал для организации индивидуальной или коллективной работы с учащимися, которые интересуются математикой. Предложенный дополнительный материал может использоваться и для организации изучения геометрии на углубленном уровне. Основной материал, который должны усвоить учащиеся, структурирован в форме справочных таблиц, приведенных в начале параграфа. В первую очередь ученики должны усвоить материал, который содержится в таблицах, поэтому во время объяснения нового материала целесообразно использовать работу с учебником по соответствующим таблицам и рисункам. Все нужные объяснения и обоснования тоже приведены в учебнике, но каждый ученик может выбирать собственный уровень ознакомления с этими обоснованиями. Подчеркнем, что любой учебник по геометрии должен обеспечить не только ознакомление учащихся с основными геометрическими понятиями и их свойствами (то есть дать возможность формировать у учеников знания по геометрии), но и формирование способов действий с этими понятиями (то есть дать возможность выработать у учеников соответствующие умения). Систему условий, на которую реально опирается ученик, выполняя действия, психологи называют ориентировочной основой действия. Если ученикам предлагают достаточно общие ориентировочные основы по решению соответствующих заданий в виде специальных правил и алгоритмов, то говорят, что им предлагаются ориентировочные основы второго и третьего типов. Обычно в учебниках по геометрии для 10-го класса ученикам предлагают только образцы решения заданий. Учащиеся приступают к самостоятельной деятельности, ориентируясь на эти образцы (то есть им предлагают ориентировочные основы первого типа). Такое обучение предус- Предисловие матривает, что ученик самостоятельно выполнит систематизацию и обобщение способов действий, ориентируясь на предложенные образцы, и выделит для себя ориентировочную основу решения рассмотренных заданий. Как правило, в таком случае ориентировочная основа, создаваемая у ученика, является неполной и, кроме того, часто им не осознанной: ученик не может объяснить, почему, решая задание, он выполнял именно такие дополнительные построения или вычисления, а не другие. По этой причине одним из принципов построения нашего учебника стало выделение для учащихся ориентировочных основ соответствующей деятельности по решению геометрических заданий непосредственно в учебнике. Поэтому важной составляющей работы с предлагаемым учебником является обсуждение выбора ориентиров и планов решения заданий. Объяснение методов решения проводят по такой схеме: Решение Как можно записать решение задачи Комментарий Как можно рассуждать при решении задачи При таком изложении учебного материала комментарий, в котором объясняется решение, не мешает восприятию основной идеи и плана решения заданий определенного типа. Это позволяет ученику, уже усвоившему способ решения, с помощью приведенного примера вспомнить, как решать задание, а ученику, которому требуется помощь при решении, — получить детальную консультацию, которая содержится в комментарии. За счет выделения в этом курсе определенных ориентиров работы с практическими заданиями удалось часть «нестандартных» (с точки зрения традиционных учебников) заданий перевести в разряд «стандартных» (например, задачи на нахождение расстояний между скрещивающимися прямыми). Это позволяет, в частности, ознакомить учащихся с методами решения геометрических заданий, которые предлагаются в группе с ЕГЭ по математике, и с оформлением их решения. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ сл 0)-^j *** *NI -= 00 -= (O -= i ОБОБЩЕНИЕ^ Ьактови методов ПЛАНИМЕТРИИ § 1. Логическое построение школьного курса планиметрии. Методы решения геометрических задач § 2. Примеры применения координат и векторов для решения геометрических задач го I Усвоив предложенный материал, вы: ознакомитесь с логическим построением школьного курса планиметрии; сможете систематизировать и обобщить методы решения планиметрических задач; вспомните основные понятия и аксиомы планиметрии. Раздел 1. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ ФАКТОВ И МЕТОДОВ ПЛАНИМЕТРИИ §1 ЛОГИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 1.1. Логическое построение школьного курса планиметрии Таблица 1 1. АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ I. Аксиомы принадлежности И. Аксиомы взаимного расположения точек на прямой и плоскости В В а А е а, В ^ а Точка В лежит между точками А и С. D Через точки С и D проходит единственная прямая Ь. Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости а и р. Точки А и В лежат в разных полуплоскостях; точки С и D (или М и N) лежат в одной полуплоскости. III. Аксиомы измерения и откладывания отрезков и углов А А В В АВ = а > О АС = АВ + ВС О т Отрезок ОА = т единственный. Z АВС = л° > О' D Z COD = 180° О Z САВ = л° — единственный (0° < л < 180°). § 1. Логическое построение школьного курса планиметрии Окончание табл.1 Z АОВ = Z АОС + Z СОВ IV. Аксиома существования треугольника, равного данному А = А АВС V. Аксиома о параллельных прямых В ^ а. Через точку В можно провести на плоскости не больше чем одну прямую, параллельную данной. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИЗНАКИ И СВОЙСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР И ОТНОШЕНИИ 10 Раздел 1. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ ФАКТОВ И МЕТОДОВ ПЛАНИМЕТРИИ ■■ Объяснение и обоснование 1. Логическое построение школьного курса планиметрии. Аксиомы планиметрии. Школьный курс геометрии дает представление о логическом (дедуктивном) методе построения научной теории. Логически строгий курс геометрии строится следующим образом: перечисляются основные геометрические понятия, которые вводятся без определений, но их свойства выражаются в аксиомах; с помощью основных понятий и аксиом даются определения новых понятий, формулируются и доказываются теоремы и таким образом рассматриваются свойства геометрических фигур. Основные определения и свойства фигур на плоскости, которые вы изучгши в курсе геометрии 7-9-х классов (в так называемом курсе планиметрии), даны в таблицах 1-16 приложения. В школьных учебниках в начале курса вводят, как правило без определения, три основных понятия планиметрии: «точка», «прямая», «расстояние». При дальнейшем изучении планиметрии большинству рассматриваемых понятий («окружность», «круг», «отрезок», «луч» и т. п.) даются определения. Однако часто в учебниках приводятся не все аксиомы, необходимые для построения планиметрии, — для упрощения изложения некоторые аксиомы не формулируются, хотя авторы их и используют. Приведем одну из возможных систем аксиом планиметрии, предложенную для школьного курса геометрии академиком А. В. Погореловым. Предложенные аксиомы^ можно разбить на пять групп (см. также пункт 1 табл. 1). I. Аксиомы принадлежности 1^. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей (рис. 1.1). Ij. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну (рис. 1.2). II. Аксиомы взаимного расположения точек на прямой и плоскости (аксиомы порядка) IIИз трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими (рис. 1.3). в D В Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3 * Приведенные аксиомы не предназначены для запоминания. Учащимся достаточно понимать их смысл. Более полная система аксиом приведена на с. 60. § 1. Логическое построение школьного курса планиметрии 11 Выражение «Точка В лежит между точками А и С» означает то же, что и выражение «Точки А и С лежат по разные стороны от точки В» или «Точки В и С лежат по одну сторону от точки А». С помощью предлога «между» для точек прямой вводятся понятия «отрезок прямой» и «полупрямая (луч)». Напомним, что отрезком АВ называют часть прямой, лежащей между точками А и В (которые называют концами отрезка). Полупрямой, или лучом, называют часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Эту точку называют начальной точкой полупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой с общей начальной точкой называпот дополнительными. II2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение имеет следующие свойства. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую — границу полуплоскостей. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям (и не принадлежат прямой — границе полуплоскостей, входящей и в одну полуплоскость, и в другую), то отрезок пересекает прямую (рис. 1.4). Алексей Васильевич Погорелов — выдающийся математик, ученый с мировым именем, академик Российской академии наук, академик Национальной академии наук Украины. А, В. Погорелов родился в поселке Короча Белгородской области. Окончил Харьковский государственный университет в 1941 г. и Военно-воздушную академию им. Н. Е. Жуковского (Москва) в 1945 г., учился в аспирантуре при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, работал в крупнейших научных центрах Советского Союза. Редкостное сочетание математического и инженерного талантов определило круг научных интересов А. В. Погорелова. Его труды относятся к геометрии «в целом», основаниям геометрии, теории дифферен-цибшьных уравнений в частных производных, теории стойкости упругих оболочек, вопросам криогенного машиностроения. Погорелов — автор учебников по всем основным разделам геометрии для высших учебных заведений. Много и успешно он работал над усовершенствованием школьного математического образования. Соз- Алексей Васильевич данный им учебник геометрии направлен на развитие Погорелов логического мышления и способностей учащихся. (1919—2002) 12 Раздел 1. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ ФАКТОВ И МЕТОДОВ ПЛАНИМЕТРИИ III. Аксиомы измерения и откладывания отрезков и углов IIIj. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля (рис. 1.5, а). Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его внутренней точкой (рис. 1.5, б). а В В АВ = а > О а АС = АВ + ВС б Рис. 1.5 III2. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и притом только один (рис. 1.6). О т 180' D О Z COD = 180° б Рис. 1.6 Рис. 1.7 III3. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля (рис. 1.7, а). Развернутый угол равен 180° (рис. 1.7, б). Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проведенным между его сторонами (рис. 1.8). 111^. От любой прямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один (рис. 1.9). Аксиомы IIIj и Illg позволяют ввести понятие координаты точки на прямой, то есть каждой точке прямой поставить в соответствие действительное число так, что если — координаты точек А и Б, то длина отрезка АВ равна \ х^~ Xj^ \ (рис. 1.10). В ZCAB = п° — единственный (0 < л < 180) АВ = \х^-Хл Рис. 1.8 Рис. 1.9 Рис. 1.10 § 1. Логическое построение школьного курса планиметрии 13 IV. Аксиома существования треугольника, равного данному IVj. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треуг в заданном расположении относительно данной полупрямой (рис. 1.11). Д AjBjCj = А АВС Рис. 1.11 V. Аксиома параллельных прямых Vj. Через точку, не лежаы^ую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной (рис. 1.12). Отметим, что для построения геометрии можно использовать различные системы аксиом. Например, вместо аксиомы о параллельных прямых можно взять в качестве аксиомы утверждение «Сумма углов треугольника равна 180°». Тогда утверждение «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной» можно доказать как теорему. Во многих учебниках планиметрии при доказательстве первых признаков равенства треугольников используется не аксиома существования треугольника, равного данному, а наложение одного заданного треугольника на другой. Иначе говоря, как одно из основных понятий используется понятие «наложение» и фигуры считаются равными, если их можно совместить наложением. Чтобы такое доказательство было корректным, нужно зафиксировать в специальных аксиомах свойства наложения. Это можно сделать, если, например, понимать наложение фигур как определенное соответствие^ между точками двух фигур. При этом не только точкам заданной фигуры, но и любой точке плоскости ставится в соответствие определенная точка этой плоскости, удовлетворяющая следующим аксиомам: 1. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки. 2. Произвольный угол со сторонами а и Ь можно наложить на равный ему угол со сторонами а^ и двумя способами: 1) так, что луч а совпадет с лучом а^, а луч Ъ — с лучом Ъ^, 2) так, что луч а совпадет с лзгчом bj, а луч Ъ — с лучом а^ 3. Любая фигура равна самой себе. ^ Напоминаем, что соответствие между двумя фигурами устанавливается, если каждой точке одной фигуры соответствует единственная точка другой фигуры. 14 Раздел 1. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ ФАКТОВ И МЕТОДОВ ПЛАНИМЕТРИИ 4. Если фигура F равна фигуре то фигура F^ равна фигуре F. 5. Если фигура F^ равна фигуре F^, а фигура F^ равна фигуре то фигура Ej равна фигуре F^. Как видим, эти аксиомы отвечают нашим наглядным представлениям о наложении и равенстве фигур. Напомним, что после того как было введено понятие движения как преобразование одной фигуры в другую, при котором сохраняются расстояния между соответствующими точками, дается общее определение равенства фигур, используемое в последующем курсе планиметрии (см. табл. 5 приложения). Две фигуры называют равными, если они переводятся движением одна в другую. Другими словами, две фигуры называют равными, если существует соответствие между их точками, при котором расстояния между парами соответствующих точек фигур равны. 2. Определение, признаки и свойства геометрических фигур и отношений. В пункте 2 табл. 1 приведены связи между понятиями «определение», «признак», «свойство» в виде схемы (стрелками показаны возможные направления использования соответствующих утверждений). Рассмотрим, например, определение, признак и свойство параллелограмма (см. табл. 7 приложения). Определение Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны Признак Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм Свойство У параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам Учитывая содержание понятий «определение», «признак» и «свойство» и связи между ними, получаем следующее. Если нам известно, например, что данный четырехугольник — параллелограмм, мы имеем право воспользоваться его свойствами, зафиксированными в определении (противолежащие стороны параллельны) или в специальных теоремах (диагонали в точке пересечения делятся пополам) и др. Если же требуется доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом, то пользоваться его свойствами мы не имеем права. В этом случае мы должны обратиться или к определению (доказать, что у рассматриваемого четырехугольника противолежащие стороны попарно параллельны), или к признаку (например. § 1. Логическое построение школьного курса планиметрии 15 доказать, что у данного четырехугольника диагонали в точке пересечения делятся пополам). 3. Теоремы и их виды. Как уже отмечалось ранее, после введения основных понятий планиметрии и фиксирующих их свойства аксиом свойства других фигур устанавливались доказательством соответствующих теорем. Доказательства проводились строго логическим путем на основании аксиом и ранее доказанных теорем. Таким образом была получена геометрическая система утверждений, связанных рядом логических зависимостей. Основные из этих сведений, необходимые для решения задач, приведены в приложении «Система опорных фактов курса планиметрии». Практически каждую теорему курса планиметрии можно сформулировать в виде условного утверждения «Если А, то В», где буквой А обозначено условие теоремы, а В — ее заключение. Например, если в прямоугольном треугольнике обозначить длину гипотенузы через с, а длины катетов — через а и Ь, то теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом: «Если треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С, то + &^». Условие А этой теоремы — «треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С», заключение В — «с^ = -Ь Ь^» (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов). Если поменять местами условие и заключение теоремы, то есть рассмотреть утверждение «Если В, то А», и это утверждение будет верным, то получим так называемую обратную теорему. Например, для теоремы Пифагора обратное утверждение «Если в треугольнике АВС со сторонами а, Ь, с то этот треугольник прямоугольный с прямым углом С» также верно. Поэтому последнее утверждение является формулировкой теоремы, обратной теореме Пифагора. Напоминаем, что не каждая теорема имеет обратную. Например, для теоремы о смежных углах: *Если два угла смежные, то их сумма равна 180°» (условие А — «два угла смежные», заключение В — «их сумма равна 180°») сформулируем обратное утверждение («Если В, то А»): «Вели сумма двух углов равна 180°, то эти углы смежные^. Это утверждение неверно, потому что, например, сумма двух вертикальных прямых углов равна 180°, но эти углы не смежные. Следовательно, для теоремы о смежных углах не существует обратной теоремы. 4. Необходимое и достаточное условия^ Некоторые математические утверждения иногда формулируются с использованием понятий «необходимое условие» и «достаточное условие». Поясним эти термины. В случае, когда условное утверждение «Если А, то В» верно, условие А называют достаточным для условия В, а условие В — необходимым для условия А (см. схему на с. 16). уровне. ^ Этот материал обязателен только для классов, обучающихся на углубленном 16 Раздел 1. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ ФАКТОВ И МЕТОДОВ ПЛАНИМЕТРИИ Например, свойство смежных углов можно сформулировать так: «Для того чтобы углы были смежными {утверждение А), необходимо, чтобы их сумма равнялась 180° {утверждение 5)» — или так: «Для того чтобы сумма двух углов равнялась 180° {утверждение В), достаточно, чтобы эти углы были смежными {утверждение А)*. Когда верно и прямое утверждение «Если А, то В*, и обратное «Если В, то А», каждое из условий А и В называют необходимым и достаточным для другого. Например, прямую теорему Пифагора и обратную ей можно сформулировать в виде одного утверждения: «Для того чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы квадрат одной стороны равнялся сумме квадратов двух других сторон». Иногда вместо термина «необходимо и достаточно» используется также термин «тогда и только тогда». В этом случае последнее утверждение будет сформулировано следующим образом: «Треугольник будет прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон». Следовательно, наличие в формулировке теоремы (или задачи) словосочетания «тогда и только тогда» требует доказательства как прямой, так и обратной теорем. § 1. Логическое построение школьного курса планиметрии 17 1.2. Методы решения планиметрических задач Таблица 2 2. Введение неизвестных при решении геометрических задач на вычисление Ориентир Если в условии геометрической задачи на вычисление вообще не заданы отрезки или заданные отрезки и углы невозможно объединить в удобный для решения треугольник, то обычно вводится неизвестный отрезок (или неизвестный угол, или несколько неизвестных). 18 Раздел 1. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ ФАКТОВ И МЕТОДОВ ПЛАНИМЕТРИИ Продолжение табл. 2 Пример В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, равна 25 см. Вычислите площадь этого треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 10 см. План Решение и комментарий 1. Обозначаем какой-нибудь буквой, например X, неизвестный отрезок или угол (или вводим несколько неизвестных). Пусть в равнобедренном треугольнике АВС (АС = СВ) медиана СМ = 25 см (она же биссектриса и высота) и радиус вписанной окружности ОМ = 10 см. Эти отрезки не являются сторонами одного треугольника, поэтому для решения задачи выбираем какой-нибудь отрезок как неизвестный. Необходимо, чтобы выбранный отрезок вместе с данными образовывал удобные для решения треугольники. Пусть AM = X, где л: > 0. Этот отрезок можно объединить в прямоугольные треугольники и с медианой СМ, и с радиусом ОМ. 2. Составляем уравнение (или систему уравнений) с введенным неизвестным. ИзААМС: AC = Vam4CM" =л/д:Ч25" =л/л:Чб25. Чтобы составить уравнение, воспользуемся тем, что центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис: АО — биссектриса угла ВАС. Тогда АО — биссектриса также и А АМС. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника (пункт 3 10‘ - „ч АС СО табл. 2) ~Т77-'о^^ AM i i‘‘+625 3. Решаем полученное уравнение (или систему уравнений) либо преобразуем его (ее) так, чтобы получить ответ на вопрос задачи. Из полученных решений выбираем те, которые удовлетворяют условию геометрической задачи. Возводя обе части последнего равенства в квадрат и решая уравнение, получаем: х^ = 500. Отсюда х = у[5^ = 10^. (Поскольку X > о, то второй корень полученного уравнения i: = -V500 =-10 V5 не удовлетворяет условию задачи, и его в решение не записывают.) § 1. Логическое построение школьного курса планиметрии 19 Окончание табл. 2 4. Пользуясь найденной величиной, даем ответ на вопрос задачи. Тогда = = = (см^). Ответ. 250 л/б см^. 3. Применение метода площадей при решении геометрических задач Содержание некоторых вариантов метода площадей Разбить данный многоугольник на части, записать отдельно площадь всего многоугольника и отдельно сумму площадей его частей и приравнять полученные величины. Для того чтобы найти отношение отрезков, расположенных на одной прямой, иногда вместо него полезно найти отношение площадей треугольников с общей вершиной, основания которых — рассматриваемые отрезки. Пример Докажите, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, длины которых пропорциональны длинам прилегающих сторон треугольника. План Решение Пусть AD = — биссектриса тре- угольника АВС со сторонами АВ = с, Чтобы найти отношение отрезков BD и DC, находим отношение площадей треугольников ABD и ACD с общей вершиной А, основаниями которых являются данные отрезки (тогда и высота этих треугольников, проведенная из вершины А, будет общей). Приравнивая правые части выражений (1) и (2), получаем — = что и требовалось доказать. п о 20 Раздел 1. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ ФАКТОВ И МЕТОДОВ ПЛАНИМЕТРИИ В D Объяснение и обоснование В курсе планиметрии 7-9-х классов вы рассмотрели значительное количество геометрических задач и их решений разными методами. Попробуем дать краткий обзор рассмотренных типов задач и методов их решения. В зависимости от требований геометрических задач их можно разделить на следуюш;ие типы: на доказательство, на вычисление, на построение, на исследование. Задачи каждого из этих типов решаются разными методами, которые условно можно поделить на геометрические и аналитические (пункт 1 табл. 2). Напоминаем, что значительная часть теорем, рассмотренных в курсе планиметрии, касалась геометрии треугольника. Это не случайно, поскольку решение многих задач сводится к рассмотрению одного или нескольких треугольников. Поэтому, рассматривая геометрические методы решения планиметрических задач, можно условно выделить метод «ключевого» треугольника. По этому методу в данной фигуре нужно найти треугольник (или несколько треугольников), к исследованию которого (которых) сводится решение задачи. Иногда для этого следует сначала выполнить некоторое дополнительное построение, например в четырехугольнике провести диагональ. Некоторые из часто используемых дополнительных построений полезно запомнить. В частности, если в условии задачи фигурирует медиана треугольника, то удобно продолжить эту медиану за сторону на такое же расстояние и дополнить рисунок до параллелограмма. Например, в треугольнике АВС со сторонами ВС = а, АС = Ъ, АВ = с продолжим медиану AM за сторону ВС на такое же расстояние {MD = AM = m^) и соединим отрезками точку D с точками В и С (рис. 1.13). Тогда получим параллелограмм ABDC, так как его диагонали в точке пересечения делятся пополам (табл. 7 приложения). Но сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: AD4 ВС^ = 2 (АС^ + АВ^) или (2mf а^= 2 (Ь^+ с^). Отсюда т^ = ^у12Ь^ -ь2с^ -а^. Иногда дополнительные построения выполняют, используя определенные геометрические преобразования (табл. 5 приложения). Например, при решении задач, связанных с трапецией, удобно использовать параллельный перенос ее боковой стороны или диагонали (см. в табл. 8 приложения второе и третье дополнительные построения). Решая геометрические задачи на доказательство, следует помнить, что утверждения некоторых из них доказываются методом от противного. Напомним его содержание. Рис. 1.13 § 1. Логическое построение школьного курса планиметрии 21 Рис. 1.14 1. Предполагаем противоположное тому, что требуется доказать. 2. Опираясь на аксиомы и теоремы, получаем из предположения следствие, противоречащее условию или известному свойству. 3. Делаем вывод, что наше предположение неверно, а верно то утверждение, которое требовалось доказать. При использовании метода доказательства от противного, как правило, рисунок выполняется к геометрической ситуации, вытекающей из предположения. Например, решение задачи «Докажите, что на плоскости прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую прямую^ может быть следующим. • 1) Пусть прямые а и Ь параллельны. Допустим, что прямая с, пере- секающая прямую а в точке А, не пересекает прямую Ь (рис. 1.14). 2) Значит, прямая с параллельна прямой Ь. Но тогда через точку А проходят две прямые а и с, параллельные прямой Ь, что противоречит аксиоме о параллельных. 3) Следовательно, наше предположение неверно, и прямая с обязательно пересечет и прямую Ь. О Приступая к решению задачи, нужно учитывать, что почти каждая геометрическая задача требует индивидуального подхода к ее решению, изобретательности и интуиции. Тем не менее можно дать некоторые общие рекомендации, полезные при решении многих задач. Решение практически любой геометрической задачи начинается с рисунка. Он должен быть достаточно лаконичным. Следует изображать лишь «функционирующие» части геометрических фигур. Если, например, в задаче рассматривается радиус описанной окружности, то можно изобразить только ее центр и радиус. Но если в условии задачи говорится о точке окружности, то изображение окружности может быть полезно для решения задачи. Кроме того, необходимо избегать чрезмерного усложнения рисунка. Для этого можно, например, выполнить выносные рисунки, изображающие фрагменты заданной конфигурации. В то же время полезно непосредственно на рисунке указывать числовые или буквенные значения линейных или угловых величин. Надо учитывать, что есть задачи, в процессе решения которых приходится уточнять особенности рассматриваемой конфигурации и переделывать начгшьный рисунок, в результате он приобретает окончательный вид лишь одновременно с окончанием решения. При решении геометрической задачи не следует опираться только на рисунок. Он может «подсказать», что какие-то точки лежат на одной прямой или одной окружности. Однако в процессе решения эти особенности расположения точек должны быть обоснованы без ссылок на рисунок. Иногда рисунок может стать причиной неполного решения задачи, поскольку 22 Раздел 1. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ ФАКТОВ И МЕТОДОВ ПЛАНИМЕТРИИ соотношения, которые выполняются на нем и кажутся очевидными, в действительности требуют специального обоснования. Поэтому всегда пытайтесь изобразить все возможные конфигурации (см., например, задачу 3 на с. 24), а затем с помощью рассуждений отбросить лишние (если эти лишние действительно имеются). Напоминаем, что дополнительные построения на начальном рисунке, которые вводят новые отрезки и углы, иногда облегчают решение задачи. В задачах на вычисление имеет смысл сначала, не проводя вычислений, определить, какие вообще отрезки и углы можно найти, исходя из заданных величин. И как только в этот перечень попадет нужный отрезок или угол, можно легко составить цепочку последовательных вычислений, которая приведет к определению нужной величины. Иногда такой «прямой поиск» полезно дополнить поиском плана решения задачи «от искомого», то есть исходя из требования задачи (например, «чтобы найти площадь вписанного круга, достаточно найти его радиус»). Однако указанные способы не всегда удается применить. В таких случаях очень часто помогает алгебраический метод решения геометрических задач на вычисление, связанный с введением неизвестных и составлением уравнения или системы уравнений. В пункте 2 табл. 2 приведен ориентир, позволяющий распознавать ситуации, когда надо вводить неизвестные отрезки и углы, а также пример соответствующего решения. При использовании этого метода для составления уравнения к задаче наряду с выражением заданных элементов через неизвестные бывает удобно величину какого-нибудь элемента из рассматриваемой конфигурации выразить дважды через введенные неизвестные. Кроме того, не всегда целесообразно составленные уравнения или системы уравнений стремиться решить полностью. Из полученного уравнения или системы, в первую очередь, следует найти неизвестные (или их комбинацию), позволяющие дать ответ на вопрос задачи (см. решение задачи 2 на с. 23). Возможность применения метода площадей для решения планиметрических задач показана в табл. 2 (пункт 3), а координатного и векторного методов — в § 2. Примеры решения задач Задача 1. В равнобедренной трапеции высота равна 8 см, основания равны 21 см и 9 см. Найдите радиус описанной около трапеции окружности. Решение ► Пусть в трапеции ABCD (рис. 1.15) АВ = CD, AD = 21 см, ВС = 9 см, ВК = 8 см {ВК JL AD ). Если окружность проходит через четыре точки А, В, С, D, то она проходит через Комментарий Попробуем выделить «ключевой» треугольник для решения этой задачи. Для этого проведем диагональ BD трапеции и вспомним, что окружность, проходящая через вершины § 1. Логическое построение школьного курса планиметрии 23 любые три из этих точек и поэтому совпадает с окружностью, описанной около треугольника ABD. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника ABD. Если СМ — вторая высота данной равнобедренной трапеции, то, учитывая равенство прямоугольных треугольников АВК и DCM и то, что AD || ВС и ВСМК — прямоугольник, получаем: 21-9 АК = MD = Тогда из А АВК: = 6 (см). треугольника ABD, описана около этого треугольника. Вычислить ее радиус можно по нескольким формулам (табл. 11 приложения), в частности: R = —^ и Я = 2 sin А 45д Из этих формул выбираем ту, для которой легко находятся все величи- тэ лбе ны, входящие в ее запись: К = (Одна сторона треугольника ABD задана условием, а две другие легко находятся из соответствующих прямоугольных треугольников.) АВ = у1аК^ + ВК^ =10 (см). Из прямоугольного треугольника BKD: BD = у1вК^ + КВ^ = 17 (см). Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольника ABD (а значит, и около трапеции ABCD), равен R = AB^BD-AD AB>BD>AD = 10,625 (cm). 4-^AD-BK Ответ: 10,625 см. <\ Задача 2. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а его площадь равна 24 см^. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника. Решение ► Пусть в прямоугольном треугольнике АВС (рис. 1.16): Z С = 90°, Р = 24 см, S = 24 см^. Обозначим ВС = а, АС = б, АВ = с (а>0,б>0,с>0). Записывая данные периметр и площадь и теорему Пифагора, получаем систему а4-Ь + с = 24, |аЬ = 24, Комментарий Так как в условии этой геометрической задачи на вычисление не задан ни один отрезок, то для ее решения придется ввести неизвестный отрезок (или несколько неизвестных отрезков). Чтобы записать периметр треугольника, удобно иметь все его стороны, поэтому введем как неизвестные все стороны треугольника: а, Ь, с. Для составления уравнений используем теорему Пифагора и заданные периметр и площадь (записав 24 Раздел 1. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ ФАКТОВ И МЕТОДОВ ПЛАНИМЕТРИИ Из первого уравнения имеем: а + Ь = 24 - с. Тогда (а + bf = (24 - cf или л- 2аЬ = 24^ - 48с + с^. Подставляя в это равенство из второго уравнения аЬ = 48 и из третьего уравнения = с^, получаем с2 -Ь 96 = 576 - 48с -Р с2, откуда с = 10 (см). Поскольку радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то 72 = 5 см. Ответ: 5 см. их через неизвестные). Поскольку в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы (табл. 11 приложения), то для получения ответа достаточно найти из этой системы только гипотенузу с. Для этого надо из первого уравнения найти сумму а + Ь, возвести ее в квадрат и использовать второе и третье уравнения. Задача 3*. Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной 4, и углом 120°. Внутрь треугольника вписаны две равные окружности таким образом, что окружности касаются друг друга и каждая окружность касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей. Решение ► Пусть в равнобедренном треугольнике АВС стороны: АВ = ВС = 4, Z АВС =120° (рис. 1.17). Проведем высоту (медиану, биссектрису и ось симметрии) ВН. Тогда Z А = Z С = = 30°, Z АВН = 60°, ВН = 2, АН = = 2>/з. Обозначим радиус заданных равных окружностей через г. Условию задачи удовлетворяют два случая расположения этих окружностей: обе заданные окружности касаются либо основания АС (рис. 1.17, а), либо боковой стороны, например АВ (рис. 1.17, б). Комментарий Из условия следует, что обе окружности касаются одной из сторон равнобедренного треугольника — либо основания (рис. 1.17, а), либо боковой стороны (рис. 1.17, б). Поэтому для полного репхения задачи нужно рассмотреть оба случая. В каждом из этих случаев элементы заданного треугольника одинаковы, поэтому их удобно определить до того, как рассматривать отдельные случаи. Для первого случая радиус заданной окружности г определим как радиус окружности. § 1. Логическое построение школьного курса планиметрии 25 I случай. Из симметрии получившейся конфигурации относительно прямой ВН следует, что заданные окружности вписаны в прямоугольные треугольники АВН и СВН. Используя формулу для вычисления радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник АВН (с. 284), получаем АЯ + БЯ-АВ^2л/з+2-4 ^ ^ 2 2 II случай. Так как центры О, и окружностей, вписанных в угол А и в угол В, лежат на биссектрисах этих углов, а соответствующие радиусы OjjRT и Ogl/, проведенные в точки касания, перпендикулярны стороне АВ, то Z КАО^ = 15°, Z ЬВО^ = 60°, KLOfi^ — прямоугольник и KL = = OjOg= 2г. Из прямоугольных треугольников BLOg и AfiTOj имеем: BL = = rctg60° = АК = г ctgl5°. Учи- тывая, что ctgl5° = sin 30” АйГ = г(2 + ч/3) l + cos30-^2^^_ Тогда получаем АВ = АК + KL + LB, то есть 4 = г(2 + 73) + 2г + ^. Отсюда г = з+7з Ответ: л/З-1 или З-л/з 2 ’ З-л/з вписанной в прямоугольный треугольник АВН. Для второго случая введем неизвестный отрезок г, а для составления уравнения выразим известный отрезок АВ через г (используя, что АВ = АК + KL + LB и отрезки в правой части равенства легко выражаются через г). В Рис. 1.17 О Вопросы для контроля 1. Назовите основные понятия планиметрии. 2. Сколько прямых можно провести через две различные точки плоскости? Приведите соответствующую аксиому. 3. Всегда ли через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости прямую, параллельную данной? Сколько таких прямых можно провести? Приведите соответствующую аксиому. 26 Раздел 1. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ ФАКТОВ И МЕТОДОВ ПЛАНИМЕТРИИ 4. Объясните смысл понятия «обратная теорема» и приведите примеры прямой и обратной теорем. Приведите пример теоремы, не имеющей обратной, и объясните, почему ее нет. 5*. На примере утверждения «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм» объясните смысл понятий «необходимое условие» и «достаточное условие». Сформулируйте данное утверждение, употребляя термины: 1) «необходимо»; 2) «достаточно». Можно ли соединить условие и вывод приведенного утверждения термином «необходимо и достаточно»? Если можно, то объясните почему. 6. В каких случаях для решения геометрической задачи на вычисление удобно вводить неизвестные? Объясните это на примере. 7. Объясните, как можно использовать метод площадей для решения геометрической задачи. Приведите пример. ШШ Упражнения 1.1°. В таблице 4 приложения (с. 268) символично зафиксированы следствия из теоремы косинусов. Сформулируйте эти следствия словесно. 1.2°. Определите вид (по углам) треугольника со сторонами 6 см, 8 см и 11 см. 1.3°. Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведенные к основанию, лежат на одной прямой. 1.4. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 12, а угол, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите высоты треугольника. 1.5°. В равнобедренном треугольнике основание и высота, проведенная к основанию, равны 4 см. Найдите площадь круга, описанного около этого треугольника. 1.6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 9 и 16. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. 1.7. В треугольнике АБС со сторонами 4 и 6 и углом между ними 120° найдите длину медианы, проведенной из вершины тупого угла. 1.8. В треугольнике АВС со сторонами а и Ь медианы, проведенные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите длину третьей стороны треугольника. 1.9°. Одна из диагоналей ромба длиной 10 см равна его стороне. Найдите другую диагональ и углы ромба. 1.10. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, пересекающая сторону ВС в точке К. Найдите длину отрезка ВК, если DC = 10см. 1.11. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найдите катеты треугольника. 1.12. В трапеции параллельные стороны равны 25 см и 4 см, а боковые стороны — 20 см и 13 см. Найдите площадь трапеции. § 1. Логическое построение школьного курса планиметрии 27 1.13. Около круга описана равнобедренная трапеция, у которой боковая сторона делится точкой касания на отрезки 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции. 1.14. В равнобедренную трапецию с боковой стороной 17 см вписана окружность диаметра 15 см. Найдите основания тргшеции. 1.15*. В трапеции, основания которой равны а иЬ, через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, который отсекают боковые стороны трапеции. 1.16. Три окружности попарно касаются внешним образом. Найдите радиусы окружностей, если расстояния между центрами равны 5 см, 7 см и 8 см. 1.17. В треугольнике АВС со сторонами АС = 10 см, СВ = 20 см и углом АС В, равным 135°, проведена медиана CD. Найдите площадь треугольника ACD. 1.18. В трапеции ABCD (ВС Ц AD) диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников АВО и COD равны (то есть эти треугольники равновеликие). 1.19. Найдите площадь равнобедренной трапеции, высота которой равна 10 см, а диагонали взаимно перпендикулярны. 1.20*. Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой внутри правильного треугольника, до его сторон равна высоте этого треугольника. 1.21. В треугольнике АВС угол А прямой, угол В равен 30°. В треугольник вписана окружность, радиус которого равен Vs. Найдите расстояние от вершины С до точки N касания этой окружности с катетом АВ. 1.22. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите длину основания этой трапеции. 1.23. В равнобедренной трапеции основания равны 42 и 18, а высота — 16. Найдите длину описанной около трапеции окружности. 1.24. В трапеции ABCD с основами АВ и CD диагонали пересекаются в точке Е. Найдите площадь треугольника ВСЕ, если АВ = 30, ЛС = 24, AD = 3 и Z DAB = 60°. 1.25. В трапецию ABCD с основами AD и ВС вписана окружность с центром О. Найдите площадь трапеции, если Z DAB = 90°, ОС = 2 и OD = 4. 1.26. Одна из диагоналей параллелограмма разбивает его на два равносторонних треугольника со стороной а. Найдите длину второй диагонали. 1.27. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 3 и 5, а острый угол параллелограмма равен 60°. 1.28. Высота ромба равна 12, а одна из его диагоналей — 15. Найдите площадь ромба. 1.29. На плоскости размещен квадрат ABCD и точка О. Известно, что ОВ = 07) =13, ОС = 5л/2 и площадь квадрата больше, чем 225. Найдите сторону квадрата и выясните, где расположена точка О — внутри квадрата или вне его. 28 Раздел 1. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ ФАКТОВ И МЕТОДОВ ПЛАНИМЕТРИИ 1.30. Квадрат со стороной 3 см срезали по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Найдите сторону восьмиугольника. 1.31*. На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С, взята точка Е, удаленная от вершины А на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника ВСЕ, если ВС = 6, АС = 4. 1.32*. Окружности радиусов 3 и 5 с центрами и соответственно касаются в точке А. Прямая, проходящая через точку А, вторично пересекает меньшую окружность в точке В, а большую — в точке С. Найдите площадь треугольника ВСО^, если угол АВО^ = 15°. 1.33*. Окружности радиусов 1 и 4 с центрами Oj и соответственно касаются внешним образом в точке С. Радиусы этих окружностей АО^ и BOg — параллельны, причем угол AO^Og равен 60°. Найдите АВ. 1.34*. В окружности проведены хорды PQ и CD, причем PQ = PD = CD = 12, CQ = 4. Найдите СР. 1.35*. Радиусы окружностей с центрами и Og равны соответственно 2 и 9. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой OjOg, если O^Og = 21. 1.36*. Угол С треугольника АВС равен 30°, D — отличная от А точка пересечения окружностей, построенных на сторонах АВ и АС как на диаметрах. Известно, что BD : DC =1:6. Найдите синус угла А. 1.37*. Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM. 1.38*. В треугольнике АВС известны стороны АВ = 7, ВС = 8, АС = 9. Окружность, проходящая через точки А и С, пересекает прямые ВА и ВС соответственно в точках К и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник АВС. Найдите длину отрезка KL. 1.39*. Точка О — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 14>/з. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников АОВ, COD и EOF. 1.40*. Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника АВС пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке Е. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую АС в точке F, отличной от А. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если АС = 8, AF = 3, угол ВАС равен 45°. 1.41*. Через вершину В правильного шестиугольника ABCDEF проведена прямая, пересекающая диагональ CF в точке К. Известно, что эта прямая разбивает шестиугольник на части, площади которых относятся как 2:3. Найдите отношение СК : KF. § 2. Примеры применения координат и векторов для решения геометрических задач 29 §2 ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ КООРДИНАТ И ВЕКТОРОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Таблица 3 ПРИМЕНЕНИЕ КООРДИНАТ И ВЕКТОРОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 1. Применение координат при решении геометрических задач Пример 1. Докажите, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Решение Введем систему координат так, как она изображена на рисунке. Точка А имеет координаты (0; 0). Если координаты точки В обозначить {Ь; с), а координаты точки D — (а; 0), то координаты точки С будут {Ь + а; с) (объясните почему). Запишем в координатах сумму квадратов длин диагоналей и сумму квадратов длин всех сторон: ЛС2 + BD‘^ = (Ь + af + Ч- (6 - af + = 2Ь^ + 2а^ + 2с^\ 2АВ^ -Г 2AD2 = 2 (Ь2 + с2) -Ь 2а^ = 2Ь‘^ + 2с^ + 2а\ Как видим, АС^ + BD^ = 2АВ^ + 2AD^, что и требовалось доказать. С{Ь+а;с) Л(0;0) D(a;0) 2. Перевод геометрических фактов на векторный язык и векторных соотношений на геометрический язык № п/п Рисунок Утверждение на геометрическом языке Утверждение на векторном языке Прямые параллельны а II Ь (прямые а и & не совпадают) Векторы коллинеарны AB = XCD CD АВ = К С е АВ ^ = А АС Векторы коллинеарны АВ=ЛАС или ОС = рОА + (1-р) ■ ОВ 30 Раздел 1. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ ФАКТОВ И МЕТОДОВ ПЛАНИМЕТРИИ Продолжение табл. 3 § 2. Примеры применения координат и векторов для решения геометрических задач 31 Окончание табл. 3 3. Схема решения геометрических задач векторным методом 1. Перевести требование задачи на векторный язык (для этого можно воспользоваться соотношениями из пункта 2 этой таблицы). 2. Ввести прямоугольную систему координат или выбрать два неколлине-арных вектора на плоскости как основные (базисные). 3. Найти координаты векторов, выделенных в пункте 1, или выразить эти векторы через основные. 4. Доказать или найти выделенное в пункте 1 соотношение и перевести результат на геометрический язык (для перевода снова воспользуемся соотношениями пункта 2 этой таблицы). 4. Применение векторов (в координатной форме) при решении геометрических задач Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС (Z С = 90°) АС = а, ВС = а yf2. Докажите, что медианы, проведенные из вершин А и С, взаимно перпендикулярны. Решение 1. Если АТ и СМ — медианы данного прямоугольного треугольника, то для доказательства их перпендикулярности достаточно доказать, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю: Ат-ша=о. 2. Введем систему координат таким образом, как показано на рисунке. Тогда точки А, С, В, Т, М {Т — середина СВ, М — середина АВ) имеют координаты: А (а; 0), С (0; 0), В (О; a^/2), 0=#). ^ [ь ^ 3. Запишем координаты векторов, выделенных в пункте 1: 4. Найдем скалярное произведение этих векторов: ~Гт ТПГг п aV2 а-Уз АТ • СМ = -а • — -I- 2 2 2 ' 2 Это равенство и означает, что векторы АТ и СМ перпендикулярны, то есть медианы АТ и СМ взаимно перпендикулярны. 32 Раздел 1. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ ФАКТОВ И МЕТОДОВ ПЛАНИМЕТРИИ ■■ Объяснение и обоснование Введение координат и векторов при решении геометрических задач позволяет составить аналитическую модель заданной задачи и использовать мощ,-ный потенциал курса алгебры для исследования этой модели. Как правило, это позволяет избежать специфических дополнительных построений, часто применяемых при решении задач геометрическими методами. Для решения геометрической задачи координатным методом: 1) вводим прямоугольную систему координат; 2) записываем координаты заданных точек; 3) записываем в координатах заданные и искомые соотношения, связанные с условием и требованием задачи, и анализируем их с целью получения ответа на вопрос задачи. Пример применения координат для решения геометрической задачи приведен в пункте 1 табл. 3. Следует учитывать, что координатный или векторный методы удобно использовать тогда, когда после введения системы координат или основных векторов (так называемых базисных векторов, через которые выражаются все остальные векторы) легко записываются все геометрические соотношения, заданные условием и требованием задачи. Часть таких соотношений в координатной и векторной формах приведена в табл. 13 приложения, а часть — в пункте 2 табл. 3. В пункте 3 этой таблицы приведена схема решения геометрических задач векторным (или векторно-координатным) методом, а в пункте 4 — применение этой схемы. ■I Примеры решения задач Задача. В параллелограмме ABCZ) (рис. 2.1) АВ = 2ВС и М — середина стороны CD. Докажите, что отрезки AM и ВМ перпендикулярны. Решение ► Чтобы доказать, что отрезки AM и ВМ перпендикулярны, достаточно доказать, что скалярное произведение векторов AM и ВМ равно нулю. Выберем основные векторы: AD = а и ^ = Ь. Выразим векторы AM и ВМ через основные. Так как точка М — середи- - . 1 - 1 г на DC, то AM = а + — Ъ и ВМ = а — Ь. 2 2 Комментарий Чтобы решить эту задачу векторным методом (не вводя при этом систему координат), воспользуемся схемой решения, приведенной в пункте 3 табл. 3: 1) перевести требование задачи на векторный язык (для этого с учетом соотношения 5, приведенного в пункте 2 табл. 3, достаточно доказать, что АМ-ВМ = 0); § 2. Примеры применения координат и векторов для решения геометрических задач 33 Найдем скалярное произведение векторов AM и ВМ. -2 I - |2 Но а = \ а \ -2 I - |2 ь = ь . Учитывая, что по условию I Ь I = 21 а |, получаем: AM' ВМ = 0, следовательно, отрезки AM и ВМ перпендикулярны. <3 2) выбрать на плоскости два не-коллинеарных вектора как основные (чаще всего исходящие из одной точки); 3) выразить векторы, выделенные в пункте 1, через основные; 4) доказать или найти выделенное в пункте 1 соотношение и перевести результат на геометрический язык (для этого воспользуемся соотношениями пункта 2 табл. 3). Вопросы для контроля 1. Укажите основные этапы решения геометрической задачи координатным и векторным методами. 2. Приведите примеры решения геометрической задачи координатным и векторным методами. ■ Упражнения 2.1°. На рисунке 2.2 изображен прямоугольный треугольник с катетами а VI Ъ {а > Ъ). Выберите систему координат таким образом, чтобы начало координат находилось в вершине прямого угла, а две другие вершины — на осях координат. Запишите координаты всех вершин треугольника. Запишите координаты середин его сторон. D 2.2. На рисунке 2.3 изображен квадрат со стороной а. Выберите систему координат таким образом, чтобы: 1°) три вершины квадрата находились на осях координат; 2) все вершины квадрата находились на осях координат. Запишите координаты вершин квадрата и точки пересечения его диагоналей. 34 Раздел 1. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ И ОБОБЩЕНИЕ ФАКТОВ И МЕТОДОВ ПЛАНИМЕТРИИ 2.3. На рисунке 2.4 изображен равнобедренный треугольник с основанием 2а и высотой Ь. Выберите систему координат таким образом, чтобы все его вершины находились на осях координат. Запишите координаты вершин треугольника и середин его сторон. 2.4. На рисунке 2.5 изображен прямоугольник со сторонами а и Ь. Выберите систему координат таким образом, чтобы три его вершины находились на осях координат. Запишите координаты вершин прямоугольника и точки пересечения его диагоналей. 2.5. На рисунке 2.6 изображен ромб с диагоналями 2а и 2Ь. Выберите систему координат таким образом, чтобы начало координат находилось в точке пересечения диагоналей, а все вершины — на осях координат. Запишите координаты вершин ромба. D Рис. 2.6 2.6. С помош;ью координат докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин. 2.7. С помощ;ью координат докажите, что сумма квадратов расстояний от точки, взятой на диаметре окружности, до концов любой параллельной ему хорды постоянна. 2.8. В квадрат со стороной 2 вписана окружность. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до всех вершин квадрата есть величина постоянная. 2.9*. С помопдью координат докажите, что в трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение оснований (рис. 2.7). 2.10*. {Теорема Эйлера.) С помош;ью координат докажите, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов его диагоналей плюс учетверенный квадрат расстояния между серединами диагоналей. 2.11*. Обоснуйте справедливость соотношений, приведенных в пункте 2 табл. 3. § 2. Примеры применения координат и векторов для решения геометрических задач 35 2.12. 2.13*. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. С помощью векторов докажите теорему о средней линии треугольника. С помощью векторов докажите теорему о средней линии трапеции. С помощью векторов докажите, что диагонали ромба перпендикулярны. В прямоугольнике ABCD со сторонами AD = ВС = 4 и АВ = CD = 5 на сторонах AD и ВС выбраны точки К л М так, что АК = 1 и ВМ = 3. С помощью векторов докажите, что прямые ВК и MD параллельны. С помощью векторов найдите угол между гипотенузой прямоугольного треугольника и его медианой, проведенной к большему катету, если длины катетов равны 6 см и 4 см. С помощью векторов докажите, что середины оснований трапеции лежат на одной прямой с точкой пересечения продолжений боковых сторон. 2.18*. В квадрате ABCD на диагонали BD взяли такую точку М, что ВМ BD 2 3’ ВК 1 а на стороне ВС — такую точку К, что -^ = Докажите, что угол 5С о АМК равен 90°. 2.19*. В треугольнике со сторонами а, Ъ, с длины сторон связаны соотношением = 5с^. Докажите, что медианы, проведенные к сторонам а и Ь, перпендикулярны. основной МАТЕРИАЛ § 3. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия § 4. Простейшие задачи на построение сечений многогранников ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ § 5. Понятие об аксиоматическом методе в геометрии в основной части раздела вы: ознакомитесь с основными понятиями и аксиомами стереометрии и следствиями из них; научитесь, применяя их, решать простейшие задачи на построение сечений куба, прямоугольного параллелепипеда и пирамиды. В дополнительной части раздела вы сможете подробнее ознакомиться с применением в геометрии аксиоматического метода —.одного из методов построения научной теории. (1 § 3. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия 37 § 3 АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ Таблица 4 АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ Иллюстрация Формулировка М Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежапще этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. А е а; М ^ а. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Если >4 G а и В е а, то АВ а а. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на всех плоскостях, содержащих эти точки. Следствия из аксиом Через прямую и точку, не лежащую на ней, можно провести плоскость, и притом только одну. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. 38 Раздел 2. ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ Объяснение и обоснование 1. Понятие о стереометрии. Курс геометрии включает планиметрию и стереометрию. На уроках геометрии в 7-9-х классах вы изучали в основном планиметрию, то есть геометрию на плоскости. Все фигуры, которые рассматривают в планиметрии, например треугольник, параллелограмм, окружность, лежат в одной плоскости. Все точки каждой из этих фигур принадлежат плоскости, поэтому такие фигуры называют плоскими. В этом году мы будем изучать геометрию в пространстве — стереометрию (греческое слово «стерео» означает пространственный). Таким образом, стереометрией называют часть геометрии, которая изучает пространственные фигуры и их свойства. Пространственные фигуры могут быть неплоскими (например, куб или сфера) или плоскими. Всю совокупность точек, рассматриваемых в стереометрии, называют пространством. Фигурой (или фигурой в пространстве) будем называть произвольное множество точек, расположенных в пространстве. В частности, это все фигуры, расположенные в какой-либо плоскости, в том числе и сама эта плоскость. Следовательно, плоские фигуры — также пространственные фигуры. Поэтому основными свойствами плоских фигур, известными из курса планиметрии, мы будем пользоваться и в стереометрии. Однако в стереометрии важнейшими являются пространственные фигуры, не лежащие полностью ни в одной плоскости, — неплоские фигуры. С некоторыми простыми неплоскими фигурами вы уже знакомы из курса геометрии 9-го класса. К ним относятся (рис. 3.1): куб (а); прямоугольный параллелепипед (б); призма (в); пирамида (г-д); конус (е); цилиндр (лс); шар (з). § 3. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия 39 Некоторые фигуры в пространстве еще называют телами^. Наглядно геометрическое тело можно представить себе как часть пространства, занимаемого физическим телом и ограниченного некоторой поверхностью. Например, поверхность шара — сфера состоит из всех точек пространства, удаленных от одной точки — центра на расстояние, равное радиусу. Эта поверхность ограничивает шар, состоящий из всех точек пространства, удаленных от одной точки — центра на расстояние, не превышающее радиуса. Куб, параллелепипед, призма и пирамида — многогранники. Строгое определение многогранника будет дано в 11-м классе. Однако поскольку с некоторыми видами многогранников мы начинаем работать в 10-м классе, то напомним известные из курса геометрии 9-го класса определения, опирающиеся на наглядно-интуитивные представления. Многогранником будем называть тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Каждый из этих многоугольников называют гранью многогранника (рис. 3.2). Стороны граней называют ребрами многогранника. Вершинами многогранника называют вершины его граней. Отрезок, соединяющий вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называют диагональю многогранника. Напоминаем, что все грани куба — квадраты, а все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники. Многогранник, две грани которого — равные л-угольники, а остальные п граней — параллелограммы, называют п-угольной призмой. Ее равные л-угольники называют основаниями призмы, а параллелограммы — боковыми гранями. Куб и прямоугольный параллелепипед — частные случаи четырехугольной призмы. Пирамидой называют многогранник, одна из граней которого — плоский многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину (рис. 3.1, г-д). Треугольные грани называют боковыми гранями пирамиды, общую вершину боковых граней — вершиной пирамиды, а многоугольник — основанием пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами ее основания, называют боковыми ребрами пирамиды. Пирамиду называют п-угольной, если ее основание — л-угольник. Пирамиду называют правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а все боковые ребра равны. Например, если в пирамиде SABCDEF (рис. 3.1, ABCDEF — правильный шестиугольник и SA = SB = SC = SD = SE = SF, то это правильная шестиугольная пирамида. Треугольную пирамиду иногда называют тетраэдром (рис. 3.1, г). Тетраэдр, все грани которого — правильные треугольники, называют правильным. * Строгое определение тела и его поверхности будет дано в курсе геометрии 11-го класса. 40 Раздел 2. ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ 2. Основные понятия стереометрии. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Как и в курсе планиметрии, точки в пространстве будем обозначать прописными латинскими буквами А, В, С, D, ..., а прямые — строчными латинскими буквами — а, Ь, с, ... (или двумя точками, лежащими на прямой). Плоскости будем обозначать строчными греческими буквами а, р, у, ..., а изображать в виде па-'о. / N 0 f раллелограммов или произвольных замкну- тых областей (рис. 3.3). Такие способы Рис. 3.3 изображения отвечают наглядному представ- лению о плоскости как о гладкой поверхности стола, озера (рис. 3.4^) и т. п. При этом плоскость представляют неограниченной во все стороны, идеально ровной, не имеющей никакой толщины. Если А — точка плоскости а, то говорят, что точка А лежит в плоскости а, а плоскость а проходит через точку А. Это можно записывать так: А € а. Если точка М не принадлежит плоскости а, то это записывают так: Mia (рис. 3.5). Если каждая точка прямой а принадлежит плоскости а, то говорят, что прямая а лежит в плоскости а, а плоскость а проходит через прямую а (рис. 3.6). Это можно обозначать так: аса. Если прямая Ь не принадлежит плоскости а, то это можно обозначать так: Ъ 4 точек, каждые четыре из которых лежат в одной плоскости. Докажите, что все эти п точек лежат в одной плоскости. 5.9. Дано л > 3 прямых, каждые две из которых пересекаются. Докажите, что все п прямых лежат в одной плоскости или все проходят через одну точку. 5.10. Сколько разных плоскостей могут быть определены пятью точками? Дайте все возможные ответы. Приведите соответствующие рисунки. 5.11. Плоскости аир пересекаются по прямой а. Через точку А прямой а проведена плоскость, не содержащая прямую а. Докажите, что плоскость у пересекает плоскости а и р по двум разным прямым. ^ Под пересечением полупространств понимается фигура, состоящая из всех общих точек этих полупространств. 60 Раздел 2. ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ 5.12. Даны плоскость а и три прямые АВ, ВС и АС, пересекающие ее соответственно в точках А^, и С^. Докажите, что точки А^, В^ и Cj принадлежат одной прямой. 5.13*. Ребро правильного тетраэдра МАВС равно 18. Точки Р и К — середины ребер AM и ВМ, а точка Т делит ребро МС в отношении МТ : ТС = 4:1. Найдите расстояние от вершины С до прямой пересечения плоскостей ТРК и АВС. 5.14*. В кубе ABCDA^B^C^D длина ребра равна 4. Точка М принадлежит ребру AAj, AM = 3, точка Р принадлежит ребру СС^, РС^ = 1, точка К делит ребро в отношении 1:3, начиная от точки D. Найдите расстояние от вершины В до прямой пересечения плоскостей КМР viADC. Сведения из истории Идея дедуктивного метода построения геометрии была выдвинута еще древнегреческим философом Платоном (422-347 гг. до н. э.) — учеником Сократа (469-399 гг. до н. э.). Однако действительным родоначальником научной теории логического вывода считают ученика Платона, древнегреческого мыслителя Аристотеля (384-322 гг. до н. э.). Идеи Аристотеля относительно геометрии развил древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в трактате по геометрии «Начала». В течение 2000 лет этот труд Евклида оставался единственным руководством, по которому учили геометрии; из него вышли и все идеи последующего, более совершенного обоснования геометрии. Система сформулированных Евклидом аксиом (постулатов) нуждалась в усовершенствовании, поскольку была неполной, а потому доказательства нередко «грешили» обращением к наглядности. Кропотливый труд многих поколений ученых позволил создать научный аксиоматический метод построения геометрии. Большая роль в этом принадлежит известным немецким математикам Феликсу Клейну (1849-1925) и Давиду Гильберту (1862-1943). В 1899 г. появился трактат «Основания геометрии» Гильберта, в котором аксиоматика была построена таким образом, что логическая структура геометрии стала абсолютно прозрачной. Аксиоматика евклидовой геометрии. Современная система аксиом (аксиоматика) евклидовой геометрии состоит из пяти групп и опирается на шесть основных (неопределяемых) понятий. Это объекты трех видов: точки, прямые и плоскости — и три вида отношений между ними, которые выражаются словами «принадлежат», «лежит между», «движение». I. Аксиомы принадлежности Ij. Через каждые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Ig. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Ig. Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. § 5. Понятие об аксиоматическом методе в геометрии 61 1^. На каждой плоскости лежат по крайней мере три точки и существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Ig. Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости. Ig. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще одну общую точку (а следовательно, и общую прямую). II. Аксиомы порядка П^. Если точка В лежит между точками А и С, то все три точки лежат на одной прямой. IL. Для любых точек А и Б существует такая точка С, что В лежит между А и С. Пд. Из трех точек прямой только одна лежит между двумя другими. П^. {Аксиома Паша.) Если прямая I пересекает одну сторону треугольника (рис. 5.5), то она пересекает и другую его сторону или проходит через его вершину (отрезок АБ определяется как множество точек, лежащих между А и Б; соответственно определяются и стороны треугольника). Б Рис. 5.6 III. Аксиомы движения nij. Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым — прямые, плоскостям — плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям. Шд. Два последовательных движения дают снова движение, и для всякого движения есть обратное движение. Шд. Если даны точки А, Б и полуплоскости аир, ограниченные продленными полупрямыми а, Ь, исходящими из точек А, Б (рис. 5.6), то существует движение, и притом единственное, переводящее точку А, полупрямую а, полуплоскость а соответственно в точку Б, прямую Ь, полуплоскость р (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основании понятий принадлежности и порядка). 62 Раздел 2. ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ IV. Аксиомы непрерывности IVj. {Аксиома Архимеда.) Всякий отрезок АВ можно покрыть меньшим отрезком АА,, откладывая его на АВ достаточное число раз: AAj = AjAg = ... = A^A^^j (рис. 5.7); откладывание отрезка осуш;ествляет-ся движением. А В +-Н- п -^п+1 Aj Л.2 A3 •••••• А„ А Рис. 5.7 IVg. {Аксиома Кантора.) Для последовательности вложенных отрезков А^В^ (рис. 5.8), длины которых стремятся к нулю, существует, и притом единственная, точка С, принадлежащая всем отрезкам А В . А А ... А СВ ... В„ В, 12 п п 2 1 *г- Рис. 5.8 V. Аксиома параллельных Vj. Через данную точку вне данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную, то есть не более одной прямой, параллельной данной. В приведенной системе аксиом III группа содержит аксиомы движения, предложенные в начале XX в. немецким математиком Ф. Шуром. У Д. Гильберта вместо движения в число основных понятий входило понятие «конгруэнтность». Соответственно в системе аксиом Гильберта III группа содержит пять аксиом конгруэнтности, описывающих отношение « конгруэнтный ». С помощью основных определяются остальные понятия евклидовой геометрии. Все утверждения о свойствах геометрических фигур, не содержащиеся в аксиомах, должны быть доказаны чисто логическим выведением из этих аксиом. Приведенная система аксиом евклидовой геометрии обладает свойствами полноты и непротиворечивости. Если в аксиоматике евклидовой геометрии заменить аксиому параллельных {через точку вне данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную, то есть параллельной данной) на утверждение «через точку, не лежащую на данной прямой, проходят хотя бы две прямые, лежащие с данной в одной плоскости и не пересекающие ее», то получится другая система аксиом. Это система аксиом геометрии Лобачевского, также непротиворечивая. В ней аксиома параллельных не зависит от остальных аксиом евклидовой геометрии. § 5. Понятие об аксиоматическом методе в геометрии 63 Казалось бы, новая аксиома противоречит обычным представлениям. Однако при надлежащем понимании как аксиома, так и вся геометрия Лобачевского имеют реальный смысл. Сообщение об этой теории, созданной русским ученым Н. И. Лобачевским, впервые появилось в 1826 г. Несколько позже независимо от Н.И. Лобачевского аналогичная теория была разработана венгерским ученым Я. Бойяи, поэтому ее иногда называют геометрией Лобачевского—Бойяи. Эту геометрию называют также неевклидовой, хотя обычно термин «неевклидова геометрия» имеет более широкое понимание, включая и другие теории, возникшие вслед за геометрией Лобачевского и также основанные на изменении аксиом евклидовой геометрии. Геометрия Лобачевского представляет собой богатую по содержанию теорию, применяющуюся как в математике, так и в физике. Историческое значение ее заключается в том, что Лобачевский показал возможность существования геометрии, отличной от евклидовой. Это ознаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики в целом. Как уже отмечалось, в связи с аксиоматическим построением геометрии естественно возникают три вопроса: 1. Не противоречива ли принятая нами система аксиом, то есть не могут ли быть выведены из нее путем логических рассуждений два следствия, противоречащие друг другу? 2. Является ли система аксиом полной, то есть нельзя ли ее дополнить новыми аксиомами, которые не противоречили бы уже принятым и не вытекали из них? 3. Независимы ли принятые аксиомы, то есть не вытекают ли некоторые аксиомы из других? Решение этих вопросов тесно связано с построением реализаций системы аксиом. Реализация заключается в указании объектов трех видов произвольной природы, которые условно называют точками, прямыми и плоскостями. Отношения между ними описывают такими словами, как «принадлежат», «лежит между», «движение», для которых в силу их конкретного содержания выполняются аксиомы. Дело в том, что основные понятия геометрии не имеют определений, и все, что нам о них известно, выражается аксиомами. Поэтому наши выводы относятся к объектам произвольной природы, лишь бы для них и отношений между ними выполнялись аксиомы. Доказательство непротиворечивости системы аксиом сводится к доказательству существования хотя бы одной ее реализации. Доказательство независимости данной аксиомы сводится к указанию такой реализации, в которой выполняются все аксиомы, за исключением данной. Наконец, доказательство полноты системы аксиом сводится к доказательству того, что для всех реализаций можно установить такое взаимно однозначное соответствие между точками, прямыми и плоскостями, при котором соответствующие элементы находятся в одинаковых отношениях. 64 Раздел 2. ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ Например, для геометрии Лобачевского на плоскости может быть предложена следующая реализация внутри круга на обычной (евклидовой) плоскости. Внутреннюю часть какого-либо круга (за исключением ограничивающей его окружности) назовем плоскостью. Точкой плоскости будет точка внутри круга (рис. 5.9). Прямой назовем любую хорду с изъятыми концами (поскольку окружность круга изъята из плоскости); движением — любое преобразование круга в себя, переводящее хорды в хорды. Равными назовем фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Другими словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, только переформулированное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, поскольку через точку А, не лежащую на данной хорде а, проходит сколько угодно не пересекающих ее хорд (прямых). Аналогично реализацией геометрии Лобачевского в пространстве может быть геометрия внутри шара, выраженная в соответствующих терминах («прямые» — хорды, «плоскости» — плоские сечения внутренней части шара, «равные» фигуры — это фигуры, которые переводятся одна в другую преобразованиями, переводящими шар в себя и хорды в хорды). Таким образом, геометрия Лобачевского имеет абсолютно реальный смысл и так же непротиворечива, как и геометрия Евклида. Раздел 3 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ основной МАТЕРИАЛ §6. §7. §8. §9. Расположение двух прямых в пространстве: пересекающиеся прямые, параллельные прямые, скрещивающиеся прямые Параллельность прямой и плоскости Параллельность двух плоскостей Параллельное проектирование. Изображение плоских и пространственных фигур в стереометрии ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ § 10. Свойства изображений некоторых многоугольников в параллельной проекции § 11. Центральное проектирование. Изображение пространственных фигур в центральной проекции § 12. Методы построения сечений многогранников В основной части раздела вы: ознакомитесь с параллельностью прямых и плоскостей в пространстве, понятием и свойствами параллельного проектирования; научитесь применять свойства параллельности прямых и плоскостей;* для решения задач и строить изображения пространственных фигур^^]^ на плоскости с помощью параллельного проектирования. В дополнительной части раздела вы сможете ознгпсомиться с центральным проектированием и его свойствами, научитесь решать более сложные задачи на построение сечений призмы и пирамиды. 66 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ: § 6 ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ Таблица 6 РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ объяснение и обоснование 1. Скрещивающиеся прямые. Если две прямые лежат в одной плоскости, то, как известно из курса планиметрии, они пересекаются или параллельны (см. соответствующие рисунки в табл. 6). В стереометрии возможен еще один случай — прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис. 6.1). I Определение. Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Будем называть также два отрезка скрещивающимися, если они лежат на скрещивающихся прямых. Например, в кубе ABCDA^B^CJ)^ (рис. 6.2) ребра DD^ и скрещивающиеся. Следующую теорему называют признаком скрещивающихся прямых, поскольку она определяет достаточные условия для того, чтобы прямые были скрещивающимися. § 6. Расположение двух прямых в пространстве 67 I Теорема 6.1. Если одна прямая лежит в данной плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. • Доказательство. Пусть прямая Ь лежит в плоскости а, а прямая а пересекает плоскость а в точке А, не принадлежащей прямой Ь (рис. 6.1). Если предположить, что прямые а и Ъ лежат в одной плоскости, то в этой плоскости лежит и точка А (принадлежащая прямой а). Но через прямую Ь и точку А проходит единственная плоскость, поэтому рассмотренной плоскостью будет плоскость а. Тогда прямая а должна лежать в плоскости а, что противоречит условию. Следовательно, прямые а и Ь не лежат в одной плоскости, то есть они скрещивающиеся. О Cl В Например, в пирамиде ABCD (рис. 6.3) ребра AD и ВС скрещивающиеся, поскольку прямая ВС лежит в плоскости АВС, а прямая AD пересекает эту плоскость в точке А, не принадлежащей прямой ВС. 2. Параллельные прямые в пространстве. Напомним, что две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются. Для параллельности прямых в пространстве нужно, чтобы они не только не пересекались, но еще и лежали в одной плоскости. I Определение. Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Как и на плоскости, будем называть два отрезка параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Например, в кубе АВСВА^В^СД)^ ребра AD и А^Л^ параллельны (рис. 6.2). Как известно, на плоскости через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную этой прямой (аксиома параллельных). Аналогичное утверждение имеет место и в пространстве, только здесь его уже требуется доказывать. 68 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ■ Теорема 6.2. Через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и к тому же только одну. • Доказательство. Пусть точка В не принадлежит прямой а. Проведем через эту прямую и точку В плоскость а (рис. 6.4). Эта плоскость — единственная. В плоскости а через точку В проходит единственная прямая, назовем ее Ь, параллельная прямой а. Она и будет единственной искомой прямой, параллельной данной.О Рис. 6.4 Из определения параллельности прямых в пространстве и теоремы 6.2 следует, что через две различные параллельные прямые в пространстве можно провести плоскость, и к тому же только одну. Следовательно, к известным из § 1 способам задания плоскости можно отнести еще один: плоскость можно задать двумя параллельными прямыми. Как и на плоскости, имеет место так называемое свойство транзитивности^ параллельности прямых, выражающее также признак параллельности прямых. I Теорема 6.3. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. • Доказательство. Пусть прямые Ь и с параллельны прямой а. Докажем, что прямые Ь и с параллельны. Случай, когда прямые а, Ь, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планиметрии. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости а, а параллельные прямые а и Ь — в плоскости р. Плоскости а и Р различны (рис. 6.5). Возьмем на прямой Ь произвольную точку В и проведем плоскость у через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость р по некоторой прямой Ь^. Прямая не пересекает плоскость а (а значит, и прямую с). Действительно, если предположить, что прямая пересекает плоскость а. ^ Транзитивность (от лат. transitivus — переходный) — одно из свойств логического отношения величин. Для параллельности прямых транзитивность означает: «Если прямая а параллельна прямой Ь, а прямая Ь параллельна прямой с, то прямая а параллельна прямой с». § 6. Расположение двух прямых в пространстве 69 ТО точка пересечения должна принадлежать прямой а, поскольку прямая лежит в плоскости р. В то же время она должна лежать на прямой с, так как прямая лежит в плоскости у. Но прямые а и с параллельны и не пересекаются. Тогда прямая лежит в плоскости р и не пересекает прямую а, поэтому она параллельна прямой а, а значит, совпадает с прямой Ь по аксиоме параллельных. Таким образом, прямая Ь, совпадающая с прямой 6^, лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости у) и не пересекает ее. Следовательно, прямые Ь и с параллельны. О Например, в кубе ABCDA^B^C^D^ (рис. 6.6) ребра АВ и параллельны, поскольку каждое из них параллельно ребру DC. Cl Н Примеры решения задач Задача 1. Прямые а и Ь пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой а и пересекающие прямую Ь, лежат в одной плоскости. Решение ► Поскольку прямые а тл. Ь пересекаются, через них можно провести единственную плоскость а. Пусть некоторая прямая с параллельна прямой а и пересекает прямую Ъ в точке В (рис. 6.7). Проведем в плоскости а через точку В прямую с' || а. Но по теореме 6.2 через точку В проходит единственная прямая, параллельная прямой а. Следовательно, прямая с совпадает с прямой с', то есть прямая с лежит в плоскости а. <\ Замечание. Полученный результат можно кратко сформулировать следующим образом: все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости. Комментарий Сначала, пользуясь свойством, что через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и к тому же только одну, построим плоскость, проходящую через данные прямые. Затем докажем, что любая прямая, пересекающая одну прямую и параллельная другой, лежит в этой плоскости. 70 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Задача 2. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены паргш-лельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках Aj, и Mj соответственно. Найдите длину отрезка ММ^, если отрезок АВ не пересекает плоскость, АА^ = 8 см, ВВ^ = 6 см. Решение ► Поскольку параллельные прямые AAj, BBj, MMj, пересекающие прямую АВ, лежат в одной плоскости, то точки Aj, Mj и Bj лежат на одной прямой (рис. 6.8, б). Мы получили плоский четырехугольник АВВ^А^, являющийся трапецией (AAj || ВВ^). По условию точка М — середина отрезка АВ и MMj II AAj. Тогда согласно теореме Фалеса точка — середина отрезка А^В^. Следовательно, ММ^ — средняя линия трапеции и ММ^ = Ответ A4.J + BBj 8 + 6 2 “ 2 : 7 см. <] = 7 (см). Комментарий Для построения рисунка нужно использовать результат задачи 1. Поскольку прямая A4.J пересекает прямую АВ, а прямые ММ^ и ВВ^ параллельны прямой A4.J, то все они лежат в одной плоскости Р (рис. 6.8, а). Тогда плоскость р пересекает данную плоскость а по прямой А^В^, на которой лежат все общие точки этих плоскостей, в частности точка Mj. Следовательно, на рисунке точки А^, М, и Bj должны лежать на одной прямой (рис. 6.8, б). Фактически после построения правильного рисунка получаем планиметрическую задачу в плоскости р. В Рис. 6.9 Задача 3*. Докажите, что отрезки, соединяющие середины скрещивающихся сторон пространственного четырехугольника, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости). Решение ► Пусть ABCD — данный пространственный четырехугольник, а точки Aj, В^, Cj, — середины его сторон (рис. 6.9). Тогда AjB^ — средняя линия треугольника АВС, следова- Комментарий Для того чтобы составить план решения, достаточно вспомнить, что когда два отрезка пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то их концы являются вершинами § 6. Расположение двух прямых в пространстве 71 тельно, AjBj АС и AB.=^AC. ^ ^ 2 параллелограмма (для которого эти отрезки — диагонали). Поэтому для доказательства утверждения задачи достаточно доказать, что концы данного отрезка — вершины параллелограмма (диагонали которого всегда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам). Аналогично C^Bj — средняя линия треугольника ACD, следовательно, II АС и CjBj =-|аС. Тогда по теореме 6.3 А^В^ II CjBj (и поэтому AjB^ и CjBj лежат в одной плоскости), кроме того, A^Bj^ = C^D^. Таким образом, четырехугольник AjBjC^B^ лежит в одной плоскости и две его противолежаш;ие стороны параллельны и равны. Следовательно, это параллелограмм, а значит, его диагонали AjC^ и BjBj пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. <] Вопросы для контроля 1. Какие прямые в пространстве называют параллельными? 2. Какие прямые называют скреп];ивающимися? 3. Объясните, какие две прямые в пространстве будут непараллельными. 4. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых. 5*. Докажите признак скрещивающихся прямых. 6. Докажите, что через точку вне данной прямой в пространстве можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну. 7*. Докажите признак параллельности прямых. ■1 Упражнения 6.1°. Запишите пары скрещивгпощихся ребер: 1) в прямоугольном параллелепипеде ABCBAjBjCjBj; 2) в призме ABCAjB^C^; 3) в пирамиде SABCD. 6.2°. Даны две пересекающиеся плоскости. В каждой из них лежит прямая, пересекающая линию пересечения плоскостей. Как могут быть расположены эти прямые относительно друг друга? 6.3°. Верно ли, что две прямые, лежащие в разных плоскостях, всегда скрещивающиеся? 6.4. Прямая а — скрещивающаяся с прямой Ь, а прямая Ь — с прямой с. Следует ли отсюда, что прямые а и с всегда скрещивающиеся? 6.5. Точка А не принадлежит прямой а. Проведите через точку А прямую Ь так, чтобы прямые а и Ь были скрещивающимися. 6.6. Докажите, что если прямые АС и BD — скрещивающиеся, то прямые АВ и CD также скрещивающиеся. 6.7. Докажите, что плоскость, проходящая через одну из двух скрещивающихся прямых и точку на другой прямой, пересекает вторую прямую. 72 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 6.8. Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух данных скрещивающихся прямых. Всегда ли это возможно? 6.9. Сколько пар скрещивающихся прямых определяется разными парами из: 1) четырех точек; 2) пяти точек; 3*) п точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости? 6.10^. Запишите пары параллельных ребер: 1) в прямоугольном параллелепипеде ABCZMjBjCjDj; 2) в призме ABCAjBjCj; 3) в правильной пирамиде SABCD. 6.11. Докажите, что через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. 6.12. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости. 6.13. Известно, что в плоскости прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую. Верно ли это утверждение и для пространства? 6.14. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую. 6.15°. Прямые а и Ь ке лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямой а и прямой Ь? 6.16. Параллелограммы ABCD и ABC^D^ лежат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник CDD^C^ — также параллелограмм. 6.17. Через концы отрезка CD и его середину N проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках С^, и соответственно. Найдите длину отрезка если отрезок CD не пересекает плоскость и: 1) СС^ = 3 м, DD^ = 5 м; 2) СС^ = 2,5 дм, DD^ = 3,5 дм; 3) СС^ = а, DD^ = Ь. 6.18*. Решите задачу 6.17 при условии, что отрезок CD пересекает плоскость. 6.19. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость а. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках и С^. Найдите длину отрезка ВВ^, если АС = 6 см, ВС = 4 см, CCj = 3 см. 6.20. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости). 6.21. Дан куб ABCDA^B^C^D^, точка О — центр грани ABCD, а точка — центр грани A^B^C^D^. Докажите, что прямая 00^ параллельна прямой AAj. 6.22*. Даны параллелограмм ABCD и плоскость, не пересекающая его, О — точка пересечения диагоналей этого параллелограмма. Через вершины параллелограмма и точку О проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках В^, С^, О^. Докажите, что АА^ + ВВ^ + CCj + DD = 400^. 6.23*. Три плоскости попарно пересекаются. Докажите, что линии их пересечения пересекаются в одной точке или параллельны. § 7. Параллельность прямой и плоскости 73 § 7 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Таблица 7 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют ни одной общей точки. а а Признак Свойство Если Ь \\ а {а лежит в плоскости а), то Ъ II а. Если а II а, Р проходит через а, Р пересекает а по Ъ, то а II Ъ. а 'а ¥ Р /о. 17 74 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 3 I Объяснение и обоснование Вспомним, как могут располагаться прямая и плоскость относительно друг друга. Прямая может лежать в плоскости, то есть все точки прямой принадлежат плоскости. Прямая может пересекать плоскость, то есть иметь с плоскостью только одну общую точку. Наконец, прямая может не пересекать плоскость, то есть не иметь с плоскостью ни одной общей точки (см. схему в табл. 7). Определение, Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют ни одной общей точки. Будем полагать также, что отрезок параллелен плоскости, если он лежит на прямой, параллельной плоскости. Следующая теорема связывает понятие параллельности прямой и плоскости с понятием параллельности двух прямых и определяет достаточное условие параллельности прямой и плоскости. Теорема 7.1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. • Доказательство. Пусть прямая Ъ не лежит в плоскости а и параллельна прямой а, лежащей в этой плоскости (рис. 7.1). Докажем, что прямая Ь параллельна плоскости а. Допустим противоположное: прямая Ь пересекает плоскость а в некоторой точке М. Рассмотрим плоскость р, проходящую через параллельные прямые а и Ь (а \\ Ь по условию). Точка М лежит как в плоскости а, так и в плоскости р, поэтому принадлежит линии их пересечения — прямой а, то есть прямые а п Ь пересекаются, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно и прямая Ь параллельна плоскости а. О Cl Рис. 7.1 Например, в прямоугольном параллелепипеде АВСВА^В^СД)^ каждое боковое ребро параллельно плоскостям боковых граней, не проходящим через это ребро (рис. 7.2). Действительно, боковыми гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники. Поэтому, например, боковое ребро АА^ параллельно прямой DD^ боковой грани DD^C^C, а значит. § 7. Параллельность прямой и плоскости 75 ПО признаку параллельности прямой и плоскости ребро АА^ параллельно плоскости DD^C^C. Аналогично ребро АА^ параллельно плоскости ВВ^С^С. Замечание. Ребро многогранника параллельно его грани, если оно лежит на прямой, параллельной плоскости этой грани. Следующая теорема дает еще один признак параллельности двух прямых в пространстве. Теорема 7.2 (признак параллельности двух прямых). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая их пересечения параллельна данной прямой. • Доказательство. Пусть плоскость р проходит через прямую Ъ, параллельную плоскости а, и прямая а — линия пересечения этих плоскостей (рис. 7.3). Докажем, что прямые а и Ь параллельны. Действительно, они лежат в одной плоскости р. Кроме того, прямая а лежит в плоскости а, а прямая Ь не пересекается с этой плоскостью. Следовательно, прямая Ь не может пересекаться с прямой а. Таким образом, прямые а и Ь лежат в одной плоскости и не пересекаются. Значит, они параллельны. О Отметим, что из доказательства теоремы 7.2 следует также свойство: если прямая Ь параллельна плоскости а, то в плоскости всегда найдется прямая а, параллельная этой прямой Ь. ШШ Примеры решения задач Задача 1. Верно ли утверждение: «Прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости»? Рис. 7.3 Решение ► Утверждение неверно, поскольку, например, в кубе АВСВА^В^СД)^ (рис. 7.4) прямая DC параллельна плоскости АА^В^В, но не параллельна прямой AAj, лежащей в этой плоскости (прямые DC и AAj — скрещивающиеся). О Задача 2. Комментарий Если какое-либо утверждение не выполняется, то для того, чтобы его опровергнуть, достаточно привести хотя бы один пример, когда условие утверждения выполняется, а вывод — нет (так называемый «контрпример»). Для такого примера можно использовать известные геометрические фигуры, в частности многогранники. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке а сторону ВС — в точке Bj. Найдите длину отрезкаА^В^, если АВ = 10 см, АА^ : AjC = 2:3. 76 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Cl Решение ► Обозначим данную плоскость через а (рис. 7.5). Поскольку АВ || а и плоскость АВС пересекает а по то А^В^ II АВ. Тогда А А^В^С сл А АВС. Следовательно, АВ АС А^В^ ^ 3 10 5‘ Таким образом, А^В^ = 6 (см). Ответ: 6 см. <3 то есть Комментарий Чтобы составить план решения, сначала следует учесть утверждение теоремы 7.2: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая их пересечения параллельна данной прямой, и обосновать, что прямая AjBj параллельна прямой АВ. Далее можно использовать известный из планиметрии опорный факт: прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный данному. Задача 3. Даны две скреш;ивающиеся прямые (рис. 7.6). Проведите через одну из них плоскость, параллельную другой. Решение ► Пусть даны две скреш;ивающиеся прямые а и Ь. 1. Выберем на прямой Ь произвольную точку В (рис. 7.7) и проведем через нее прямую а', параллельную прямой а (это всегда можно сделать по теореме 6.2). Комментарий Предложенная задача является задачей на воображаемое построение, и потому главное при ее решении — доказать существование фигуры, удовлетворяющей данным условиям (см. с. 49). Доказательство должно опираться на соответствующие свойства стереометрических фигур. В частности, для того чтобы получить плоскость, параллельную данной прямой, достаточно использовать признак параллельности прямой и плоскости и обеспечить наличие в построенной плоскости прямой, параллельной данной. § 7. Параллельность прямой и плоскости 77 2. Через пересекающиеся прямые а' и Ь проведем плоскость а. Это и есть искомая плоскость. Действительно, поскольку по построению а II а\ где прямая а' лежит в плоскости а, то по признаку параллельности прямой и плоскости а II а (и плоскость а проведена через прямую Ь). <] Это позволяет составить план построения: провести через произвольную точку одной из прямых прямую, параллельную другой, а затем через две пересекающиеся прямые — плоскость. Также следует доказать, что в результате построения действительно получили искомую фигуру. Вопросы для контроля 1. Укажите все случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. 2. Дайте определение параллельности прямой и плоскости. 3. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости. 4*. Докажите признак параллельности прямой и плоскости. 5. Сформулируйте свойство параллельных прямой и плоскости (признак параллельности прямых в пространстве). 6*. Докажите признак параллельности прямых в пространстве. ■ Упражнения 7.1°. Определите, каким граням в кубе ABCDA^B^CJ)^ параллельно указанное ребро: 1) АВ; 2) 3) СС^. Обоснуйте правильность ответа. 7.2. Основание АВ трапеции ABCD лежит в плоскости а, не совпадающей с плоскостью трапеции. Как расположены остальные стороны трапеции относительно плоскости а? Ответ объясните. 7.3. Дан параллелограмм АВС£>. Через сторону AD проведена плоскость а, не совпадающая с плоскостью параллелограмма. Докажите, что ВС II а. 7.4. Верно ли утверждение, что две прямые, параллельные одной и той же плоскости, параллельны? 7.5. Одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости. Верно ли утверждение, что и другая прямая параллельна этой плоскости? 7.6. Плоскость проходит через середины двух сторон треугольника и не совпадает с плоскостью этого треугольника. Докажите, что данная плоскость параллельна третьей стороне треугольника. 7.7. Дана прямая, параллельная некоторой плоскости. Докажите, что в этой плоскости через любую ее точку проходит прямая, параллельная данной прямой. 78 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 7.8. Докажите, что через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит прямая, параллельная этой плоскости. Сколько таких прямых можно провести? 7.9. Докажите, что если две прямые параллельны, то через одну из них проходит плоскость, параллельная другой. Сколько существует таких плоскостей? 7.10. Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой. 7.11. Докажите, что ребра одного основания призмы параллельны другому основанию этой призмы. 7.12. Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух данных пересекающихся плоскостей. 7.13. Дан треугольник BCD. Плоскость, параллельная прямой ВС, пересекает сторону BD этого треугольника в точке Bj, а сторону CD — в точке Cj. Найдите длину отрезка B^Cj, если: 1) ВС = 20 см, BBj : ВВ = 2 : 5; 2) ВС = 14 см, СС, : С,В = 5 : 2; 3) B^D = 6 см, ВС : ВВ = 2 : 3. 7.14. Докажите, что сечение треугольной пирамиды АВСВ плоскостью, параллельной двум скрещивающимся ребрам АС и ВВ, — всегда параллелограмм (рис. 7.8). 7.15*. Докажите, что прямая, параллельная каждой из двух пересекающихся плоскостей, параллельна и прямой их пересечения. 7.16*. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость а по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости а. 7.17. Дан куб ABCDA^B^C^D^. Докажите, что прямая ВВ параллельна плоскости ABJ)^ 7.18. Дан куб ABCBAjB^CjB^; О — центр грани ABCD. Докажите, что прямая ОС^ параллель- 7.19. на плоскости ABjBj. -КЛ--:>^В Плоскости а, р и у попарно пересекаются, но не имеют общих точек для трех плоскостей. Существуют ли в пространстве прямые, параллельные всем трем плоскостям? 7.20*. Дан куб ABCDA^B^C^D^; точки Р п Q — середины ребер АВ и ВС соответственно. Постройте сечение этого куба плоскостью, проходящей через точки Р и Q параллельно диагонали ВВ^ куба. 7.21*. Дан куб ABCDA^BfiJ)^-, точка Р — середина ребра АА^. Постройте сечение этого куба плоскостью, проходящей через точки Р и В^ и параллельной диагонали АС грани ABCD куба. § 8. Параллельность двух плоскостей 79 § 8 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ Таблица 8 РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ Определение Признак Две плоскости называют параллельными, если они не пересекаются. Если а II а^, Ь II (а и ft лежат в а и пересекаются, и ftj лежат в Р), то а II р. Свойства параллельных плоскостей Если Р II а и Y II а, то р II Y- Если а II Р и Y пересекает а по л, Y пересекает Р по ft, то а II ft. Если АВ II CD и а II Р (А G а, С е а, Б G р, G Р), то АВ = CD. 80 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ I I ■■ Объяснение и обоснование Рассмотрим вопрос о взаимном расположении двух плоскостей. Как известно, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что две плоскости или пересекаются по прямой, или не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки (см. схему в табл. 8). ■ Определение. Две плоскости называют параллельными, если они не пересекаются. Следующая теорема связывает понятие параллельности двух плоскостей с понятием параллельности прямых и определяет достаточное условие параллельности плоскостей. Теорема 8.1 (признак параллельности двух плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. • Доказательство. Пусть прямые и плоскости а соответственно параллельны прямым и плоскости р. Докажем, что плоскости аир параллельны. Предположим противоположное: плоскости аир пересекаются, и с — прямая их пересечения (рис. 8.1). По признаку параллельности прямой и плоскости прямая параллельна плоскости р, а по свойству параллельности прямой и плоскости она параллельна прямой с. Аналогично прямая также параллельна прямой с. Таким образом, в плоскости а мы имеем две различные прямые, параллельные одной прямой с, что невозможно. Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно, следовательно, плоскости а и р не пересекаются, они параллельны. О Будем называть две грани многогранника параллельными, если они лежат в параллельных плоскостях. Например, основания призмы параллельны. Действительно, боковые грани призмы — параллелограммы. Поэтому два смежных ребра одного основания призмы соответственно параллельны двум смежным ребрам другого ее основания. Следовательно, основания призмы параллельны. На рисунке 8.2 изображена пятиугольная призма АВСВЕА^В^СД)^Е^, у которой основания ABODE и А^В^СД)^Е^ параллельны. El Ai Bi Di E D В Рис. 8.2 § 8. Параллельность двух плоскостей 81 Следующая теорема связывает понятие параллельности двух плоскостей с понятием параллельности двух прямых. ■ Теорема 8.2. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые пересечения параллельны. • Доказательство. Пусть плоскость у пересекает параллельные плоскости а и р по прямым а 1лЬ соответственно (рис. 8.3). Докажем, что прямые а и Ь параллельны. Действительно, они лежат в одной плоскости — плоскости у. Кроме того, они лежат в непересекающихся плоскостях аир, следовательно, прямые а и Ь не пересекаются. Значит, они параллельны. О Рассматривая определение и признак параллельности плоскостей и свойство параллельных плоскостей, мы предполагали существование таких плоскостей. Докажем это. ■ Теорема 8.3. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и к тому же только одну. • Доказательство. Проведем в данной плоскости а какие-либо две пересекающиеся прямые а w. Ь (рис. 8.4). Через данную точку А проведем параллельные им прямые и Ь^. Плоскость р, проходящая через а^ и Ь^, по признаку параллельности плоскостей параллельна плоскости а. Докажем, что такая плоскость единственная. Допустим, что через точку А проходит другая плоскость Pj, также параллельная плоскости а (рис. 8.5). Проведем плоскость у через прямую а плоскости а и данную точку А, не лежащую на этой прямой. Плоскость у пересечет плоскость а по прямой а. а плоскости Р и Pj соответственно по прямым а^ и а^. Поскольку плоскости Р и р^ параллельны плоскости а, то по теореме 8.2 || а и а^ || а. Но в плоскости у через точку А можно провести только одну прямую, параллельную прямой а. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и плоскость р — единственная. О Рис. 8.6 Рассмотрим еще одно свойство параллельных плоскостей, связанное с параллельными прямыми. 82 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 1 I IT еорема 8.4. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. • Доказательство, Пусть аир — параллельные плоскости, АВ и CD — пересекающие их параллельные прямые. А, С, В, D — точки пересечения прямых с плоскостями аир соответственно (см. рис. 8.6). Докажем, что отрезки АВ и CD равны. Проведем через данные параллельные прямые плоскость, пересекающую плоскости а и Р по параллельным прямым АС и BD. Тогда четырехугольник ACDB — параллелограмм, поскольку у него противолежащие стороны параллельны. У параллелограмма противолежащие стороны равны. Следовательно, АВ = CD. О Теорема 8.5. Если две различные плоскости параллельны третьей, то они параллельны друг другу. • Доказательство. Пусть плоскости аир параллельны плоскости у (см. рисунок в пункте «Свойства» табл. 8). Плоскости а и р не могут пересекаться. Если бы плоскости аир имели общую точку, то через эту точку проходили бы две плоскости (а и Р), параллельные плоскости у. Это противоречит теореме 8.3. Следовательно, плоскости а и р не имеют общих точек, то есть они параллельны. О Примеры решения задач Задача 1. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде противолежащие грани попарно параллельны. Решение Комментарий ► Пусть дан прямоугольный параллелепипед ABCDA^B^CJ)^ (рис. 8.7). Докажем, например, параллельность граней АВВ^А^ и DCCJ)^. Поскольку все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, то ABCD и ADD^A^ — прямоугольники. Тогда АВ II DC,AA^ || DD^ и по признаку параллельности плоскости АВВ^А^ и DCC^D^ параллельны. Аналогично обосновывается параллельность и других противолежащих граней. <3 Для доказательства параллельности граней достаточно доказать параллельность плоскостей, в которых лежат эти грани. А для доказательства параллельности плоскостей достаточно использовать признак их параллельности и доказать соответствующую параллельность двух пересекающихся прямых одной плоскости двум прямым другой плоскости. Напомним, что все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники (а в прямоугольнике противолежащие стороны попарно параллельны). § 8. Параллельность двух плоскостей 83 Задача 2. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA^B^CJ)^ плоскостью, проходящей через точки К, М, N, где М 6 АА^, N е ВВ^ и точка К лежит на грани DCCJ)^ (рис. 8.8, а). Решение ► 1. Точки М и N лежат и в секу- щей плоскости, и на грани АВВ^А^, поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку MN (рис. 8.8, б). 2. Поскольку DCC^D^ II АВВ^А^^ то секущая плоскость пересекает грань DCCjDj по прямой, проходящей через точку К и параллельной прямой MN, Проводим через точку К отрезок ТЕ II MN (Т G DD^, Е 6 СС^). 3. Соединяя отрезками точки пересечения секущей плоскости с ребрами призмы, получаем четырехугольник MNET — искомое сечение. <] Комментарий Для того чтобы составить план построения, достаточно вспомнить, что в прямоугольном параллелепипеде противолежащие грани попарно параллельны, следовательно, АВВ^А^ II DCC^D^. Секущая плоскость, заданная тремя точками К, М, N, пересекает плоскость АВВ^А^ по прямой MN. Поэтому параллельную ей плоскость она будет пересекать по прямой, параллельной прямой MN и проходящей через точку К. Чтобы выполнить построение, следует также учесть, что прямая MN параллельна плоскости DCC^D^ и в этой плоскости через точку К проходит прямая, параллельная данной прямой. Рис. 8.8 Замечание. Из параллельности противолежащих граней параллелепипеда получаем, что в построенном сечении противолежащие стороны попарно параллельны, следовательно, MNET — параллелограмм. Этот факт иногда приходится применять при решении задач, связанных с аналогичным сечением прямоугольного параллелепипеда. 84 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Задача 3. В пирамиде ABCD через данную точку М на ребре AD (рис. 8.9, а) проведите плоскость, параллельную плоскости грани DBC. Решение ► 1. Анализ. Допустим, что задача решена и соответствующее сечение МКТ (рис. 8.9, б) построено. Поскольку пл. МКТ || пл. ВВС, то грани АВС и АВВ пересекают параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, МК II ВВ и МТ II ВС. Это позволяет выполнить построение. 2. Построение. Проведем через точку М в плоскости АВС прямую МТ II ВС (Т Е АС), а в плоскости АВВ прямую МК II ВВ (К е АВ) и соединим отрезками точки Т и К. Тогда МКТ — искомое сечение. 3. Доказательство. По построению МТ II ВС и МК II ВВ, тогда пл. МКТ II пл. ВВС (по признаку параллельности плоскостей). 4. Исследование. Задача всегда имеет единственное решение (поскольку каждый шаг решения можно выполнить однозначно). <. Комментарий В задачах на построение в стереометрии иногда удобно использовать схему решения задач на построение, известную из курса планиметрии: 1) анализ', 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование. Как и в планиметрии, на этапе анализа предполагаем, что задача уже решена, выполняем соответствующий рисунок и, опираясь на известные свойства прямых и плоскостей, составляем план построения. На этапе построения по плану описываем построение, детализируя его до элементарных построений в изображенных плоскостях. На этапе доказательства обосновываем, что в результате построения действительно получили фигуру с заданными свойствами. На этапе исследования рассматриваем каждый шаг построения и отвечаем на два вопроса: 1) всегда ли можно выполнить этот шаг; 2) сколько фигур получим в результате? В В В В Рис. 8.9 § 8. Параллельность двух плоскостей 85 Задача 4*. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей. Решение ► Пусть даны две скрещивающиеся прямые а и Ь. Выберем на прямых а и Ъ произвольные точки А и В соответственно (рис. 8.10) и проведем через точку В прямую а^, параллельную прямой а, а через точку А — прямую bj, параллельную прямой Ь. Через пересекающиеся прямые а и bj проведем плоскость а, а через пересекающиеся прямые и Ь — плоскость р. По признаку параллельности плоскостей а II р. Допустим, что через прямые а и Ь проходит еще одна пара паргшлель-ных плоскостей а' и р' (рис. 8.11). Проведем через прямую а и не лежащую на ней точку В (В е Ь) плоскость у. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости а и Р по параллельным прямым а и а^, а параллельные плоскости а' и Р' — по параллельным прямым а ж аПолучаем, что через точку В в плоскости у проведены две различные прямые и а^, параллельные прямой а, что невозможно. Следовательно, пара параллельных плоскостей, проходящих через данные скрещивающиеся прямые, — единственная. <3 Комментарий Для доказательства существования фигур достаточно построить эти фигуры, поэтому проведем через данные прямые параллельные плоскости. Для этого достаточно по признаку параллельности плоскостей получить соответствующую параллельность двух пересекающихся прямых одной плоскости двум прямым другой плоскости (напоминаем, что две пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость). Единственность построенных плоскостей докажем методом от противного. Чтобы получить противоречие, построим дополнительную плоскость, пересекающую построенные параллельные плоскости (по теореме 8.2 эта плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым). 86 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Вопросы ДЛЯ контроля 1. Назовите возможные случаи взаимного расположения двух плоскостей. 2. Дайте определение параллельности плоскостей. 3. Сформулируйте признак параллельности плоскостей. 4*. Докажите признак параллельности плоскостей. 5*. Докажите, что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и к тому же только одну. 6. Сформулируйте свойства прямых и плоскостей, связанные с параллельными плоскостями. 7*. Докажите, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. 8*. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. 9*. Докажите, что если две различные плоскости параллельны третьей, то они параллельны друг другу. Упражнения 8.1°. Укажите параллельные грани: 1) параллелепипеда ABCDA^B^C^D^^; 2) призмы АВСА^В^С^. 8.2°. Имеет ли параллельные грани (если имеет, то сколько пар): 1) тетраэдр; 2) куб? 8.3°. Верно ли утверждение: «Если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны » ? 8.4°. Верно ли утверждение: «Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны»? 8.5°. Могут ли быть параллельными две плоскости, проходящие через непараллельные прямые? 8.6°. Могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и той же прямой? 8.7°. Можно ли через любую прямую провести плоскость, параллельную данной плоскости? При каком взаимном расположении данных прямой и плоскости это можно сделать? 8.8°. Через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость. Верно ли утверждение, что эти плоскости параллельны? 8.9. Докажите, что плоскость, проведенная через вершины А, D и А^ куба ABCDA^B^C^D^y параллельна плоскости, проведенной через вершины С, В^ и Cj. 8.10. Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно? § 8. Параллельность двух плоскостей 87 8.11. Докажите, что прямая, лежапдая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости. 8.12. Для того чтобы проверить горизонтальность установки лимба угломерных инструментов, пользуются двумя уровнями, расположенными в одной плоскости (рис. 8.12). Почему уровни располагают на диаметрах? 8.13. 8.14. 8.15. 8.16. 8.17. 8.18. 8.19. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую. Какие возможны случаи взаимного расположения трех плоскостей в пространстве, если две из них параллельны? Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую. Какие возможны случаи взаимного расположения трех плоскостей в пространстве, если они попарно пересекаются? Две плоскости аир пересекаются. Докажите, что любая третья плоскость у пересекает хотя бы одну из плоскостей а или р. Перерисуйте изображение пирамиды, приведенное на рисунке 8.13, в тетрадь и постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М и параллельной грани АВС. 88 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 8.20*. Перерисуйте изображение куба, приведенное на рисунке 8.14, в тетрадь и постройте сечение куба: 1) плоскостью, проходящей через точки М, В, С; 2) плоскостью, проходящей через точки М, В^, С. 8.21*. Перерисуйте изображение треугольной призмы, приведенное на рисунке 8.15, в тетрадь (точка К лежит на грани АВВ^А^ и постройте сечение призмы: 1) плоскостью, проходящей через точку К параллельно основанию AjB^Cj; 2) плоскостью, проходящей через точку К параллельно грани ВСС^В^. 8.22. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие другую плоскость в точках и В^. Чему равен отрезок А^В^, если АВ = а? 8.23. Через вершины треугольника АВС, лежащие в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие другую плоскость в точках А^, В^, С^. Докажите, что треугольники АВС и AjB^Cj равны. 8.24*. Три прямые, проходящие через точку S, s пересекают данную плоскость а в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость р — в точках Aj, Bj, С^ (рис. 8.16). Докажите, что треугольники АВС и А^В^С^ подобны. 8.25. Дан куб ABCBAjBjC^B^. Докажите, что плоскость BDC^ параллельна плоскости AB^D^. 8.26*. В кубе ABCDA^B^C^D^ проведены плоскости BBCj и ABjBj. Докажите, что они делят диагональ AjC на равные части. 8.27*. Прямые а и Ь пересекают три данные параллельные плоскости в точ- В , В„ соответственно (точка А„ лежит между ках А., А„ Аз и В,, 8.28*. точками Aj и Ад, а точка В^ — между точками В^ и Вд). Известно, что AjAg = 12 см, BgBg = 27 см и AgAg = BjBg. Найдите длины отрезков А^Ад и BjBg. Три параллельные плоскости пересекают две скрещивающиеся пря- мые в точках А., А„ Ад и Bj, В , В соответственно (точка А„ ле- 8.29. жит между точками А^ и Ад, а точка Вд — между точками В^ и Вд). Известно, чтоАдАд = 8 см, В^Вд = 18 см и AjAg + BgBg = 24 см. Найдите длины отрезков AjAg и В^Вд. На рисунках 8.17-8.31 показаны точки М, Р и R, лежащие на ребрах или на гранях куба. Используя свойства параллельных прямых и плоскостей, постройте сечение куба плоскостью MRP для каждого из данных расположений точек. § 8. Параллельность двух плоскостей 89 R М Рис. 8.20 Рис. 8.21 Рис. 8.25 R М Рис. 8.22 Рис. 8.23 Рис. 8.24 М 6 пл. BBiC\ М € пл. AiBiCi М е пл. AiBiCi Рис. 8.26 Рис. 8.27 Рис. 8.28 Cl м Cl Р е пл. AAiBi R € пл. AiBiCi М е пл. DDiCi Рис. 8.29 Рис. 8.30 Рис. 8.31 90 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ §9 ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР В СТЕРЕОМЕТРИИ Таблица 9 ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ Для изображения пространственных фигур на плоскости, как правило, используют параллельное проектирование. Возьмем произвольную прямую а, пересекающую плоскость а. Через произвольную точку А данной фигуры проводим прямую АА^, пересекающую плоскость а в точке А^. Точка А проектируется в точку А^ на плоскости а: А ^ А^ Аналогично В В^, АВ (ВВ^ II II а). . Отрезок проектируется в отрезок, прямая проектируется в прямую (или в точку). . Если АВ II CD (АВ AjB^, CD -> C^D^), то AjBj II C^D^ (или совпадают). AM _ А^М^ Следствие. Если точка М — середина АВ, АВ ^ А^В^, М то точка — середина A^Bj. 4. Если плоская фигура F лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования, то ее проекция F' на эту плоскость равна фигуре F. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ ФИГУР^ Проекция треугольника — треугольник любой формы. □ с □ с п м ' и □ п , п Проекция параллелограмма — параллелограмм любой формы. сг Проекция трапеции — трапеция любой формы. 0-0 Проекция окружности эллипс. ^ Плоскость фигуры не параллельна направлению проектирования. § 9. Параллельное проектирование. Изображение плоских и пространственных фигур в стереометрии 91 ■■ Объяснение и обоснование 1. Понятие и свойства параллельного проектирования. Для изображения пространственных фигур на плоскости, как правило, используют параллельное проектирование. Рассмотрим этот способ изображения фигур. Пусть дана плоскость а и пересекающая ее прямая а. Возьмем в пространстве произвольную точку А. В том случае, когда точка А не лежит на прямой а, через точку А проводим прямую а' || а (рис. 9.1). Прямая а' пересекает плоскость а в некоторой точке А'. Эту точку называют проекцией^ точки А (на плоскость^ а) при проектировании параллельно прямой а, или параллельной проекцией точки А на плоскость а. Если же точка А лежит на прямой а, то ее параллельной проекцией А' называют точку, в которой прямая а пересекает плоскость а. О прямой а говорят, что она задает направление проектирования. Если прямую а заменить любой другой прямой Z, параллельной прямой а, то результат проектирования останется тем же, независимо от того, как проводят прямые — параллельно прямой а или прямой I. Если таким образом построить проекцию каждой точки фигуры, то получится проекция самой фигуры. Параллельная проекция реальной фигуры — ее тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллельными (рис. 9.2). Так, глядя на тень, отбрасываемую вашим телом на поверхность Земли, вы видите свою параллельную проекцию. Рассмотрим некоторые свойства параллельного проектирования, вытекающие из описанного способа построения проекций. Свойство 1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой а, то ее проекция в направлении этой прямой — точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой а, то ее проекцией является прямая. Рис. 9.1 Рис. 9.2 * Иногда тот факт, что точка А — проекция точки А (то есть точка А проектируется в точку А'), удобно записывать так: А —> А' (знак «->)> в приведенной записи означает: «проектируется в»; см., например, записи в табл. 9). ^ Плоскость а часто называют плоскостью проекции. 92 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ • Доказательство. Пусть прямая Ь не параллельна и не совпадает с прямой а (рис. 9.3). Тогда все прямые, которые проектируют точки прямой Ь на плоскость а, лежат в одной плоскости р, пересекающей плоскость а по прямой Ь'. Произвольная точка В прямой Ь изображается точкой В' прямой Ь'. Следовательно, прямая Ь' — проекция прямой Ь на плоскость а. О Свойство 2. Проекцией отрезка при параллельном проектировании является точка или отрезок в зависимости от того, на какой прямой он лежит — на параллельной прямой а (или совпадающей с ней) или нет. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, сохраняется при параллельном проектировании. В частности, середина отрезка при параллельном проектировании переходит в середину соответствующего отрезка. • Доказательство. Рассмотрим отрезок АС, не параллельный направлению проектирования (не параллельный прямой а и не лежащий на ней), и точку В, принадлежащую отрезку АС (рис. 9.4). Пусть прямая А'С' — проекция прямой АС на плоскость а, а точки А', Б', С — соответственно проекции точек А, Б, С. Поскольку АА' || ББ' || СС', то прямые АА', ББ' и СС' лежат в одной плоскости Р и по обобщенной теореме Фалеса из планиметрии получаем: АБ : ВС = А'Б' : В'С'. В частности, если точка Б — середина отрезка АС, то точка Б' — середина отрезка А'С'. О Заметим, что при параллельном проектировании сохраняется не только отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, но и отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых (обоснуйте самостоятельно). С Рис. 9.4 Рис. 9.5 Свойство 3. Если две прямые параллельны и не параллельны прямой а, то их проекции в направлении а также будут параллельными прямыми (или одной прямой). • Доказательство. Пусть прямые АС и BD параллельны (и не параллельны направлению проектирования). Аналогично доказательству свойства 1 рассмотрим проекции А'С' и B'D' данных прямых как прямые пересечения плоскости а с плоскостями Р и у соответственно (рис. 9.5). Если плоскости р и у совпадают, то проекции прямых АС и BD также совпадают. Если же эти плоскости различны, то они параллельны по признаку § 9. Параллельное проектирование. Изображение плоских и пространственных фигур в стереометрии 93 параллельности двух плоскостей (прямая АС параллельна прямой BD, прямая АА параллельна прямой ВВ'). Тогда по свойству параллельных плоскостей линии пересечения этих плоскостей с плоскостью а параллельны. Следовательно, АС || B'U. О Свойство 4. Если плоская фигура F лежит в плоскости, параллельной плоскости проекции, то ее проекция F’ на эту плоскость равна фигуре F. • Доказательство. Зададим соответствие между фигурой F и фигурой F'. Для этого поставим в соответствие каждой точке фигуры F ее проекцию. Тогда если А и В — точки фигуры F, а точки А и В' — их проекции, то ABBA — параллелограмм (рис. 9.6). Следовательно, АВ' = АВ. Таким образом, это соответствие сохраняет расстояние между точками, а значит, фигуры F и F' равны. О Заметим, что из приведенного доказательства свойства 4 следует еще одно свойство параллельного проектирования: если прямая параллельна плоскости проекции, то она проектируется в прямую, параллельную данной (АВ || а, АВ' — проекция АВ, тогда АВ' II АВ). 2. Параллельные проекции некоторых плоских фигурЧ Если фигура F лежит в плоскости, не параллельной плоскости проектирования а, то ее проекция F, вообще говоря, не равна фигуре F. Из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией многоугольника является многоугольник с тем же числом сторон или отрезок (если плоскость многоугольника параллельна направлению проектирования). Причем если в многоугольнике какие-либо две стороны параллельны, то их проекции также будут параллельны (если они не лежат на одной прямой). Но поскольку при параллельном проектировании длины отрезков и углы, как правило, не сохраняются, то проекцией, например, равностороннего или прямоугольного треугольника может быть треугольник любой формы. Аналогично, хотя проекция параллелограмма — параллелограмм, проекцией прямоугольника может быть не прямоугольник, проекцией ромба — не обязательно ромб, а проекцией правильного многоугольника — неправильный многоугольник. Самый простой многоугольник — треугольник. Как следует из свойств параллельного проектирования, параллельной проекцией треугольника является треугольник или отрезок. При этом, если плоскость треугольника параллельна плоскости проекции, то, как мы выяснили, его проекцией будет треугольник, равный данному. Покажем, что в общем случае треугольник любой формы может служить параллельной проекцией равностороннего треугольника. ^ Подробнее параллельные проекции плоских фигур и связанные с ними задачи рассмотрены в § 10. 94 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ • Действительно, пусть дан произвольный треугольник АВС в плоскости а (рис. 9.7). Построим на одной из его сторон, например на стороне АС, равносторонний треугольник ABjC так, чтобы точка не принадлежала плоскости а. Обозначим через а прямую, проходяптую через точки В^ и В. Тогда треугольник АВС — параллельная проекция треугольника АВ^С на плоскость а в направлении прямой а. О Выясним, какая фигура является параллельной проекцией окружности. Пусть фигура F — окружность в пространстве, фигура F' — ее проекция на плоскость а в направлении прямой а. Если прямая а параллельна плоскости окружности или лежит в ней, то проекция окружности — отрезок, равный ее диаметру. Рассмотрим случай, когда прямая а пересекает плоскость окружности. Пусть АВ — диаметр окружности, параллельный плоскости а, и А'В' — его проекция на эту плоскость (рис, 9.8). Тогда АВ = А'В'. Возьмем какой-нибудь другой диаметр CD, и пусть CD' будет его проекцией. Обозначим отношение CD' : CD через k. Поскольку при параллельном проектировании сохраняются параллельность и отношение длин параллельных отрезков, то для произвольной хорды параллельной диаметру CD, ее проекция C[D[ будет параллельна CD' и отношение C[D[: будет равно k (если CD : C^D^ = CD' : то : C^D^ = CD' : CD = k). Таким образом, проекция окружности получается сжатием или растягиванием ее в направлении какого-либо диаметра в одно и то же число раз. Такую фигуру на плоскости называют эллипсом. \В Рис. 9.9 Например, на рисунке 9.9 изображен эллипс, полученный сжатием окружности в направлении диаметра CD в два раза. 3. Изображение некоторых пространственных фигур на плоскости. Как мы уже отмечали, для изображения пространственных фигур обычно используют параллельное проектирование. Все рисунки пространственных фигур, рассмотренные нами раньше, были выполнены в параллельной проекции. Плоскость, на которую проектируется фигура, называют плоскостью изображений, а проекцию фигуры — изображением. Изображением § 9. Параллельное проектирование. Изображение плоских и пространственных фигур в стереометрии 95 данной фигуры называют также любую фигуру, подобную проекции данной фигуры. Рассмотрим примеры изображений пространственных фигур — многогранников. Изображение многогранника состоит из изображения его ребер, полученных с помощью параллельного проектирования. При этом все ребра делятся на два типа: видимые и невидимые. (Представьте, что параллельно направлению проектирования идут лучи света. В результате поверхность многогранника разбивается на две части: освещенную и неосвещенную. Ребра, расположенные на освещенной части поверхности, будут видимыми.) Видимые ребра изображают сплошными линиями, а невидимые — штриховыми. При изображении куба обычно выбирают плоскость изображений, параллельную одной из его граней. В этом случае две грани куба (передняя и задняя), параллельные плоскости проекций, изображаются равными квадратами, остальные грани — параллелограммами (рис. 9.10). Аналогичным способом изображают прямоугольный параллелепипед (рис. 9.11). Если не придерживаться правила, что плоскость изображений должна быть параллельна одной из граней, то в полученном изображении будут сохраняться только параллельность и равенство противолежащих сторон квадрата или прямоугольника, то есть все грани будут параллелограммами. Тогда изображение куба или прямоугольного параллелепипеда может иметь вид, приведенный на рисунке 9.12. Однако такое изображение куба или прямоугольного параллелепипеда недостаточно наглядно и может затруднить решение задач, связанных с этими телами. Поэтому мы не будем использовать подобные изображения (но еще раз подчеркнем, что такие изображения правильны). Рис. 9.10 Рис. 9.11 Рис. 9.13 Для построения изображения призмы достаточно построить многоугольник, изображающий его основание. Потом следует провести из вершин многоугольника прямые, параллельные некоторой фиксированной прямой, и отложить на них равные отрезки. Соединив концы этих отрезков, получим многоугольник — изображение другого основания призмы (рис. 9.13). Чтобы построить изображение пирамиды, достаточно построить многоугольник, изображающий его основание. Затем надо выбрать какую-нибудь 96 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ точку, которая будет изображать вершину пирамиды, и соединить ее отрезками с вершинами многоугольника (рис. 9.14). Полученные отрезки будут изображать боковые ребра пирамиды. Заметим, что, например, рисунок 9.14 является изображением пирамиды только в том случае, когда из текста, сопровождающего рисунок, мы знаем, что рассматривается пирамида. Если же такого текста нет, то можно предположить также, что на рисунке 9.14 изображена плоская фигура — четырехугольник SABC с диагональю SB, внутри которого взята точка D, соединенная штриховыми линиями с точками S, А и С. Обращаем внимание на тот факт, что плоское изображение, подчиняясь определенным законам, способно передать представление о трехмерном предмете. Однако при этом могут возникать иллюзии. Например, на рисунке 9.15 изображена фигура, которую невозможно составить из деревянных прямолинейных карандашей (объясните почему). Рис. 9.14 Рис. 9.15 В живописи существует направление, называемое «импосибилизм» (от английского слова impossibility — невозможность) — изображение невозможных фигур, парадоксов. Известный голландский художник М. Эшер на гравюрах «Бельведер» (рис. 9.16), «Поднимаясь и опускаясь» (рис. 9.17), «Водопад» (рис. 9.18) и других изобразил невозможные объекты. Рис. 9.16 Рис. 9.17 Рис. 9.18 § 9. Параллельное проектирование. Изображение плоских и пространственных фигур в стереометрии 97 Современный шведский архитектор О. Рутерсвард посвятил невозможным объектам серию своих художественных работ. Некоторые из них приведены на рисунках 9.19-9.21. Рис. 9.21 ■■ Примеры решения задач Задача 1. Может ли параллельной лограмм? Решение ► Не может. Поскольку в трапеции прямые, на которых лежат боковые стороны, пересекаются, то точка пересечения этих прямых должна проектироваться в точку пересечения их проекций, то есть в точку пересечения прямых, на которых лежат противолежащие стороны параллелограмма-проекции. Но это невозможно, поскольку противолежащие стороны параллелограмма j принадлежат непересекающимся параллельным прямым. <1 1 Задача 2*. На изображении (рис. 9.22, а) равнобедренного прямо- угольного треугольника АВС (Z С = 90°) постройте изображение квадрата, лежащего в плоскости треугольника, если стороной квадрата служит гипотенуза треугольника (вершина прямого угла находится внутри квадрата). проекцией трапеции быть паралле-Комментарий Для опровержения данного утверждения используем метод доказательства от противного. Допустим, что параллельная проекция трапеции — параллелограмм, и, опираясь на свойства параллельного проектирования, свойства трапеции и параллелограмма, получим противоречие с каким-нибудь из этих свойств. Решение ► Пусть на гипотенузе АВ равнобедренного прямоугольного треугольника АВС построен квадрат ABDE так, что вершина С находится внутри Комментарий На этапе анализа задачи рассматриваем фигуры-оригиналы и те их свойства, которые сохраняются при параллельном проектировании 98 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ квадрата (рис. 9.22, б). Тогда С — точка пересечения его диагоналей (поскольку диагонали квадрата, а также катеты АС и ВС равнобедренного прямоугольного треугольника АВС образуют углы по 45° со стороной АВ). Следовательно, точка С — середина диагоналей BE и AD. Однако при проектировании середина отрезка проектируется в середину отрезка проекции. Поэтому продолжим стороны AjCj и EjCj за точку Cj и отложим Cji)j = А^С^ и С^Е^ = С^В^. Последовательно соединяя точки Aj, jDj, отрезками, получаем A^BJ)^E^ (рис. 9.22, в) — искомое изображение данного квадрата ABDE. <1 (параллельность прямых и отношения отрезков одной или параллельных прямых). Исходя из этого составляем план решения. В частности, после того как выяснили, что в квадрате АВВВ (рис. 9.22, б) точка С — середина отрезков BE и AjD, составляем план построения: продолжить стороны AjCj и BjCj за точку Cj и отложить отрезки, равные соответствующим сторонам данного треугольника (чтобы точка была серединой диагоналей AjDj и BjBj построенного четырехугольника A^Bj^D^E^). D б Рис. 9.22 Вг 1. 2. 3*. 4. 5. Вопросы для контроля Объясните, что называют параллельной проекцией точки и фигуры на данную плоскость. Сформулируйте свойства параллельного проектирования. Докажите свойства параллельного проектирования. Какой фигурой может быть параллельная проекция треугольника, параллелограмма, трапеции, окружности, если плоскость фигуры не парЕшлельна направлению проектирования? На примере изображения прямоугольного параллелепипеда объясните, как выполняют изображение многогранника. § 9. Параллельное проектирование. Изображение плоских и пространственных фигур в стереометрии 99 Упражнения 9.1°. Какие фигуры могут служить параллельными проекциями треугольника? 9.2°. Может ли параллельной проекцией правильного треугольника быть: 1) прямоугольный треугольник; 2) равнобедренный треугольник; 3) разносторонний треугольник? 9.3°. Какой фигурой может быть параллельная проекция: 1) прямоугольника; 2) параллелограмма; 3) трапеции? 9.4°. Может ли параллельной проекцией прямоугольника быть: 1) квадрат; 2) параллелограмм; 3) ромб; 4) трапеция? 9.5°. Верно ли, что проекцией ромба, если он не проектируется в отрезок, всегда будет ромб? Когда это утверждение выполняется? 9.6°. Верно ли, что при параллельном проектировании треугольника всегда: 1) медианы проектируются в медианы; 2) высоты проектируются в высоты; 3) биссектрисы проектируются в биссектрисы? 9.7°. Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника? 9.8°. Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции средних линий этого треугольника? 9.9. Может ли проекцией трапеции с основаниями 4 см и 8 см быть трапеция с основаниями 2 см и 6 см? Ответ объясните. 9.10. Может ли параллельной проекцией двух непараллельных прямых быть пара параллельных прямых? Если может, то приведите пример таких прямых. 9.11. Постройте произвольный параллелограмм и, приняв его за параллельную проекцию квадрата ABCD, постройте проекцию: 1) центра окружности, описанной около квадрата ABCD; 2) перпендикуляра ОМ, опущенного из центра О квадрата ABCD на сторону AD. 9.12. Постройте произвольный треугольник А^В^С^ и, приняв его за параллельную проекцию треугольника АВС со сторонами АВ = 2 см, ВС = 6 см, АС = 5 см, постройте изображение биссектрисы треугольника, проведенной из вершины В. 9.13. На изображении равнобедренного прямоугольного треугольника постройте изображение квадрата, лежащего в плоскости треугольника, если стороной квадрата служит катет данного треугольника. 9.14*. Нарисуйте эллипсы, полученные из данной окружности: 1) сжатием к диаметру в 3 раза; 2) растяжением от диаметра в 3 раза. 9.15*. Треугольник А^В^С^ — параллельная проекция треугольника АВС. Расстояния между соответствующими вершинами этих треугольников равны: 1) 4 см, 6 см, 8 см; 2) а, Ъ, с. Найдите расстояние между точками пересечения медиан этих треугольников. 9.16. Можно ли параллелограмм ABCD перегнуть по диагонали АС так, чтобы проекцией треугольника АВС на плоскость ADC был треугольник ADC? 100 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 9.17. Точки А, В и С лежат на одной прямой и проектируются на плоскость а в точки Aj, Bj, соответственно. Найдите AjBj, если АВ = 7, АС = 3, а В^С^ = 5. 9.18. Докажите, что параллельная проекция центрально-симметричной фигуры есть также центрально-симметричная фигура. 9.19. Даны скрещивающиеся прямые а и ft. Проведите плоскость а так, чтобы в случае произвольного выбора проектирующей прямой параллельные проекции прямых а и ft на плоскость а пересекались. 9.20. Даны скрещивающиеся прямые а и ft и плоскость проекции а. Проведите проектирующую прямую I так, чтобы параллельные проекции прямых а и ft на плоскость а были параллельны. Всегда ли имеет решение эта задача? свойства изображении некоторых МНОГОУГОЛЬНИКОВ в ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ Как отмечалось, для изображения пространственных фигур на плоскости часто используют параллельное проектирование. Изображением фигуры называют параллельную проекцию фигуры или любую фигуру, подобную проекции данной фигуры. В § 9 было показано, что из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией многоугольника является многоугольник с тем же самым числом сторон или отрезок. Причем если в многоугольнике какие-либо две стороны параллельны, то их проекции также будут параллельны (если они не лежат на одной прямой). Рассмотрим более подробно изображение треугольника, параллелограмма, трапеции и правильного шестиугольника. Если плоскость многоугольника параллельна плоскости проекции, то его проекцией будет многоугольник, равный данному. Поэтому рассмотрим случаи, когда плоскость многоугольника не параллельна плоскости проекции (и не параллельна направлению проектирования). 1. Треугольник. Поскольку при параллельном проектировании длины отрезков и углы, вообще говоря, не сохраняются, то параллельной проекцией, например, равностороннего треугольника может служить треугольник любой формы. Поэтому изображением данного треугольника может быть произвольный треугольник. • Пусть даны треугольник АВС (будем считать его оригиналом) и произвольный треугольник А^В^С^. Покажем, что треугольник А^В^С^ можно считать изображением треугольника АВС при некотором параллельном проектировании. Рассмотрим плоскость а, не совпадающую с плоскостью треугольника АВС и проходящую через его сторону 'АС (рис. 10.1). Построим § 10. Свойства изображений некоторых многоугольников в параллельной проекции 101 В плоскости а треугольник АВ^С, подобный треугольнику (с коэффи- АС ^ циентом подобия k =--- . Обозначим через а прямую, проходящую через точки в и вТогда треугольник АВ^С — параллельная проекция треугольника АВС на плоскость а в направлении прямой а, следовательно, подобный ему треугольник — изображение треугольника АВС. О Со Рис. 10.1 2. Параллелограмм. Изображением любого параллелограмма (в частности, прямоугольника, ромба, квадрата) может быть произвольный параллелограмм. • Действительно, пусть ABCD и A^B^C^D^ — два произвольных параллелограмма (рис. 10.2). Проведем в этих параллелограммах диагонали АС и AqCq соответственно. По предыдущему свойству треугольник A^BJO^ можно считать изображением треугольника АВС. Так как при параллельном проектировании параллельность прямых сохраняется, изображением параллелограмма ABCD (оригинала) будет параллелограмм A^B^C^D^, О 3. Трапеция. Изображением любой трапеции может быть произвольная трапеция, у которой отношение оснований равно отношению соответствующих оснований оригинала. Со D Рис. 10.3 • Действительно, пусть ABCD и A^B^C^D^ — две произвольные трапе-QD с D ции, у которых ° ° (рис. 10.3). Проведем в этих трапециях диаго- АВ AqBq нали АС и AqCq соответственно. Треугольник AJB^C^ можно считать 102 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ изображением треугольника АВС. Поскольку при параллельном проектировании параллельность прямых сохраняется, изображением прямой CD, параллельной прямой АВ, будет прямая C^D^, параллельная прямой А^В^. Кроме того, при параллельном проектировании сохраняется и отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых. Следовательно, изображением трапеции ABCD (оригинала) будет трапеция A^B^CJ)^. О 4. Правильный шестиугольник. Рассмотрим теперь параллельную проекцию правильного шестиугольника ABCDEF с центром в точке О (рис. 10.4, а). • Проведем через точку О диагонали. Выберем какой-нибудь треугольник, например АОВ. Его проекцией может быть произвольный треугольник AqOBq на плоскости проекции. Принимая во внимание, что при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину отрезка-проекции, отложим 0'П„ = А^О' и О'Е^ = BJD'. Учитывая, что при параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых, проведем через точки А^ и прямые, параллельные прямой В^О', а через точки и — прямые, параллельные прямой А^О'. Точки пересечения соответствующих прямых обозначим Е^ и С^. Шестиугольник AqBqCqDqE^Fq (рис. 10.4, б) и будет искомой проекцией правильного шестиугольника АВСПЕВ. О Рис. 10.4 ■■ Примеры решения задач Задача 1. Треугольник А^В^С^ (рис. 10.5, а) — изображение прямоугольного треугольника АВС, у которого отношение катетов ВС : АС = 3:4. Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник АВС. Решение ► Рассмотрим треугольник-оригинал АВС (рис. 10.5, б). По условию катеты треугольника пропорциональны числам 3 и 4. Если обозначить коэффициент пропорциональности Комментарий На этапе анализа условия задачи рассматриваем фигуру-оригинал и ее свойства, сохраняющиеся при параллельном проектировании (параллельность прямых и отношения § 10. Свойства изображений некоторых многоугольников в параллельной проекции 103 через k, то ВС = Sk, АС = 4k. Тогда по теореме Пифагора АВ = 5k. Центр О вписанной окружности — точка пересечения биссектрис СЕ и AD треугольника АВС. По свойству биссектрисы треугольника имеем: CD ^ АС ^4 АЕ АС 4’ BD АВ 5' При параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков одной прямой. Поэтому если Е^и — проекции точек Е и D соответствен-_ BE _3 С,Д, CD 4 А,Я, "А£‘4 “D.D, BD 5‘ Тогда строим точки и которые делят данные отрезки А^В^ и В^С^ в указанных отношениях (рис. 10.5, в). Соединив точки и Е^ отрезками, получаем изображение С^Е^ и A^D^ биссектрис треугольника АВС и точку Oj их пересечения — искомое изображение центра окружности, вписанной в треугольник АВС. <] отрезков одной прямой или параллельных прямых). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис, а биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам. Поэтому для построения биссектрис достаточно найти отношение соответствующих сторон данного прямоугольного треугольника. Исходя из этого составляем план решения: найти отношение катета и гипотенузы (кроме данного отношения катетов) и построить биссектрисы, учитывая, что отношение отрезков одной прямой при параллельном проектировании сохраняется. В В, Сг б Рис. 10.5 Задача 2. На изображении окружности (рис. 10.6, а) постройте изображение перпендикулярных диаметров этой окружности. Решение Комментарий ► Пусть в данной окружности (рис. 10.6, б) диаметры АВ и CD перпендикулярны (пересекаются На этапе анализа условия задачи рассматриваем фигуру-оригинал и те ее свойства, которые сохраняются 104 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ В центре О — середине каждого из них). Проведем две хорды КМ и ЕТ перпендикулярно диаметру АВ (тогда £ Г II КМ II CD). Учитывая, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, получаем, что точки L и N — середины хорд ЕТ и КМ соответственно. Поскольку при проектировании сохраняется параллельность прямых и проекция середины отрезка — точка, делящая отрезок проекции пополам, получаем следующее построение. 1. На изображении окружности проводим две произвольные параллельные хорды Е^Т^ и К^М^ (рис. 10.6, в). 2. Через середины Lj и iVj этих хорд проводим хорду AjBj — изображение диаметра АВ окружности. Через середину О проводим хорду и есть искомое изображение диаметра CD, перпендикулярного диаметру АВ. <3 хорды C^D^, которая при параллельном проектировании (параллельность прямых и отношения отрезков одной прямой или параллельных прямых). На этом основан план решения (для составления которого иногда приходится на оригинале выполнять дополнительные построения). Поскольку на рисунке 10.6, а нет даже изображения центра окружности, то для его получения достаточно построить изображение произвольного диаметра (серединой которого и будет изображение искомого центра). Рассматривая окружность-оригинал (рис. 10.6, б), припоминаем свойства диаметра, которые можно использовать при проектировании, в частности такое: диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее (а значит, и параллельную ей хорду) пополам. Составляем план построения: на изображении окружности провести произвольные параллельные хорды; через их середины провести изображение диаметра; через середину полученного отрезка провести хорду, параллельную первым двум хордам. § 10. Свойства изображений некоторых многоугольников в параллельной проекции 105 Вопросы для контроля 1. Какой фигурой может быть параллельная проекция треугольника, параллелограмма, трапеции, окружности, если плоскость фигуры не параллельна направлению проектирования? 2. Докажите, что изображением данного треугольника может быть произвольный треугольник. 3. Докажите, что изображением любого параллелограмма может быть произвольный параллелограмм. 4. Докажите, что изображением любой трапеции может быть произвольная трапеция, у которой отношение оснований равно отношению со-ответствуюш;их оснований оригинала. 5. Объясните, как можно построить проекцию правильного шестиугольника. Упражнения 10.1. Какие из свойств ромба останутся верными для изображения этого ромба? Какие могут не сохраниться? 10.2. Какие свойства прямоугольника остаются верными для его проекции? 10.3. Дано изображение равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность. Постройте изображение центра этой окружности. 10.4. Дано изображение равнобедренного треугольника в виде разностороннего треугольника. На этом изображении постройте: 1) изображение биссектрисы угла, противолежащего основанию; 2) изображение перпендикуляра к основанию, проведенного через середину боковой стороны. 10.5. Дан треугольник — изображение треугольника АВС, у кото- рого АВ : ВС = 2 : 3. Постройте изображение биссектрисы угла В. 10.6. Даны изображения треугольника и двух его высот. Постройте изображение центра окружности, описанной около треугольника-оригинала. 10.7. Треугольник А^В^С^ — изображение прямоугольного треугольника АВС, у которого отношение катета к гипотенузе ВС : АВ = 5 : 12. Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник АВС. 10.8. На изображении правильного шестиугольника постройте изображение: 1) биссектрисы одного из его внешних углов; 2) перпендикуляра, опущенного из центра на одну из меньших диагоналей. 10.9. Постройте на изображении ромба изображение его высоты, если острый угол ромба равен 45°. 10.10. Используя изображение окружности в параллельной проекции, постройте изображение вписанного в нее квадрата. 10.11. Постройте изображение прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, если задано изображение окружности. 106 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ и ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 10.12. Используя изображение окружности в параллельной проекции, постройте изображение касательной: 1) параллельной данной хорде; 2) проходящей через данную точку на изображении окружности. 10.13. Изобразите параллельную проекцию квадрата: 1) с вписанной в него окружностью; 2) с описанной около него окружностью. 10.14. Дано изображение окружности. Постройте изображение правильного треугольника: 1) вписанного в данную окружность; 2) описанного около окружности. 10.15. Дано изображение равнобедренной трапеции ABCD с осно- ваниями АВ и CD, углы при основании которой равны 45°. Постройте изображение центра окружности, описанной около трапеции. 10.16*. Зная, что в трапецию ABCD с основаниями АВ и CD можно вписать окружность, а углы при ее основании равны 90° и 60°, постройте изображение центра вписанной окружности на изображении данной трапеции. 10.17. Дано изображение ромба, у которого одна из диагоналей равна стороне. Изобразите проекции высот ромба, проходящих через точку пересечения диагоналей. 10.18*. Дано изображение равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность. Обозначьте точки касания этой окружности со сторонами трапеции. ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ Таблица 10 ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Проекция — фигура F' Свойство Если плоская фигура F расположена в плоскости (р, параллельной плоскости проекций а, то ее центральной проекцией будет фигура F', подобная фигуре F. § 11. Центральное проектирование. Изображение пространственных фигур 107 ■■ Объяснение и обоснование 1. Центральное проектирование. Вместе с параллельным проектированием, которое используют в геометрии для изображения пространственных фигур, большое значение имеет так называемое центральное проектирование, применяюш;ееся в живописи, фотографии и т. п. Восприятие человеком окружаюш;их предметов с помощью зрения осуществляется по законам центрального проектирования. Пусть а — некоторая плоскость, а не принадлежащая ей точка S — центр проектирования (рис. 11.1). Для точки А пространства проведем прямую а через точки S и А. Точку пересечения этой прямой с плоскостью а называют центральной проекцией точки А на плоскость а. Обозначим ее А'. Соответствие, при котором точкам А пространства ставятся в соответствие их центральные проекции А', называют центральным проектированием^. Отметим, что центральная проекция не определяется для точек, лежащих в плоскости, проходящей через центр проектирования и параллельной плоскости проектирования (поскольку в этом случае проектирующая прямая SA параллельна плоскости а). Если F — фигура в пространстве, то центральные проекции всех ее точек на плоскость а образуют фигуру F’, которую называют центральной проекцией фигуры F на плоскость а. На рисунке 11.2 показано центральное проектирование в случае, когда плоскость проектирования а расположена между фигурой F и центром проектирования S. Если центр проектирования представлять себе как глаз наблюдателя, то восприятие изображения будет таким же, как и от самой фигуры F. Поэтому центральное проектирование дает наиболее наглядное изображение пространственных фигур. Рис. 11.2 Рис. 11.3 На рисунке 11.3 показано центральное проектирование в случае, когда центр проектирования расположен между фигурой F и плоскостью ^ Центральное проектирование часто еще называют перспективой. 108 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ проекций а. Такое перевернутое изображение получается на пленке фотоаппарата, объектив которого помещен в центр проектирования (рис. 11.4). Плёнка Обг>ектив Рис. 11.4 На рисунке 11.5 показано центральное проектирование в случае, когда фигура расположена между плоскостью проектирования и центром проектирования. Примерами таких проекций служат тени предметов от близко расположенного точечного источника света. Они получаются на экране при демонстрации кинофильмов, диафильмов и т. п. ■ Теорема 11.1. Если плоская фигура F расположена в плоскости ср, параллельной плоскости проекций а, то ее центральной проекцией будет фигура F', подобная^ F (рис. 11.6). • Доказательство. Зададим соответствие между точками фигуры F и фигуры F'. Для этого поставим в соответствие каждой точке фигуры F ее центральную проекцию. Для точек А, В и О фигуры F на плоскости <р рассмотрим их центральные проекции А', В' и О'. Поскольку плоскости а и ф параллельны, то плоскости SAB и ЗАО пересекают их по параллельным прямым (АВ II А'В', АО II А'О'). Тогда треугольники ЗАВ и ЗАВ’ (а также ^ После того как введено понятие «расстояние от точки до плоскости», можно легко обосновать, что коэффициент подобия фигуры и ее проекции равен отношению расстояний от центра S до плоскостей а и ф. § 11. Центральное проектирование. Изображение пространственных фигур 109 SA' ЗАО и SA'O) подобны с общим коэффициентом подобия Таким об- разом, данное соответствие между точками фигур F и F' изменяет расстояние между ними в одно и то же число раз. Следовательно, фигуры F и F' ЗА' 30' подобны с коэффициентом /г = = О 2. Изображение пространственных фигур в центральной проекции. Выясним, в какую фигуру при центральном проектировании переходит прямая. Пусть прямая а пересекает плоскость проектирования а и центр проектирования 3 не принадлежит прямой а. Найдем проекцию этой прямой на плоскость а. Для этого через прямую а и центр проектирования 3 проведем плоскость р и прямую ее пересечения с плоскостью а обозначим а' (рис. 11.7). В плоскости р через точку 3 проведем прямую, параллельную прямой а, и точку ее пересечения с прямой а' обозначим 3'. Легко видеть, что прямая а' без точки 3' и есть искомая проекция прямой а на плоскость а. Как известно, при параллельном проектировании параллельные прямые проектируются в параллельные прямые, или в одну прямую, или в две точки, в зависимости от расположения этих прямых. При центральном проектировании параллельные прямые также могут проектироваться и в параллельные прямые, и в одну прямую (приведите примеры). Однако, в отличие от параллельного, при центральном проектировании параллельные прямые могут проектироваться и в пересекающиеся прямые. Покажем это. Рис. 11.7 • Пусть прямые а и Ь параллельны и пересекают плоскость а, а центр проектирования 3 не принадлежит плоскости этих прямых (рис. 11.8). Тогда, выполняя предыдущие построения для прямых а и Ь, получим, что их проекциями будут прямые а' и Ь' (пересекающиеся), за исключением их общей точки 3'. Впечатление, что параллельные прямые пересекаются, возникает, когда мы смотрим на дорогу, идущую вдаль, на железнодорожные рельсы и т. п. О Приведем примеры изображения куба в центральной проекции. 110 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ На рисунке 11.9 изображен куб в центральной проекции на плоскость, параллельную грани АВВ^А^. (Объясните, почему в этом случае изображения AD, ВС, BjC^, параллельных прямых пересекаются в одной точке.) Рис. 11.10 На рисунке 11.10 изображен куб в центральной проекции на плоскость, параллельную ребру ВВ^, но не параллельную его граням. Вопросы для контроля 1. Объясните, что называют центральной проекцией точки и фигуры на данную плоскость. 2. Сформулируйте свойства центрального проектирования. 3*. Докажите свойства центрального проектирования. 4. Какой фигурой может быть центральная проекция прямой? 5. Покажите, что при центральном проектировании параллельные прямые могут проектироваться в пересекающиеся прямые. 6. Приведите пример изображения куба в центральной проекции на плоскость, параллельную одной из граней куба, и объясните его построение. Н Упражнения 11.1. Для всех ли точек пространства существует центральная проекция? Если нет, то для каких точек она не существует? 11.2. Могут ли при центральном проектировании параллельные прямые перейти в пересекающиеся прямые? 11.3. В каком случае центральной проекцией двух прямых будут две параллельные прямые? 11.4. Какое изображение фигуры получается при центральном проектировании, если плоскость проектирования расположена между фигурой и центром проектирования? 11.5. Какое изображение фигуры получается при центральном проектировании, если центр проектирования расположен между фигурой и плоскостью проектирования? Где используется такое изображение? § 12. Методы построения сечений многогранников 111 11.6. Какое изображение фигуры получается при центральном проектировании, если фигура расположена между плоскостью проектирования и центром проектирования? Где используется такое изображение? 11.7. Что можно сказать о центральной проекции плоской фигуры, расположенной в плоскости, параллельной плоскости проектирования? 11.8. Сделайте рисунки, аналогичные рисункам 11.2, 11.3, 11.5, для центральных проекций фигуры, изображенной на рисунке 11.11. 11.9. Пусть прямая пересекает плоскость проектирования и не проходит через центр проектирования. Определите, куда при центральном проектировании переходит часть этой прямой, расположенная: а) выше плоскости Рис. 11.11 проектирования; б) ниже плоскости проектирования. 11.10*. Постройте центральную проекцию куба, аналогичную изображенной на рисунке 11.9, так, чтобы точка F лежала внутри изображения грани АВВ^А^. 11.11*. Постройте центральную проекцию правильной четырехугольной пирамиды на плоскость, не параллельную ее основанию. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ 1. Использование свойств параллельных прямых и плоскостей. Если данный многогранник содержит параллельные грани, которые пересекает секущая плоскость, то по теореме 6.2 прямые пересечения секущей плоскости с этими гранями будут параллельны. М С. Рис. 12.1 Построим сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA^B^CJ)^ (рис. 12.1, а) плоскостью, проходящей через точки К, L, М на его ребрах (К 6 AAj^, L G jBjBj, М е CCj). Соединяем отрезками пары точек, лежащих в одной грани: по отрезкам KL и LM (рис. 12.1, б) секущая плоскость пересекает грани АВВ^А^ и ВСС^В^ соответственно. Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны, например пл AA^D^D пл. ВСС,Б^. 112 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Следовательно, секущая плоскость пересекает грань по прямой KN, параллельной LM (проводим KN || LM, N € D^D и соединяем отрезками точки N и М). Четырехугольник KLMN — искомое сечение. Иногда использование свойств параллельных прямых и плоскостей сочетают с другими методами построения сечения многогранников. 2. Метод следов. Как отмечалось в § 4, для построения более сложных сечений многогранников часто удобно применять метод следов. При его использовании сначала строят прямую пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани (след секущей плоскости на этой грани), а затем уже находят точки пересечения секущей плоскости с соответствующими ребрами многогранника (или с их продолжениями). Иногда необходимо рассматривать вспомогательные плоскости, для которых также строится след секущей плоскости (или след этой вспомогательной плоскости на плоскости какой-либо грани). Напоминаем, что для получения следа (прямой Ь) плоскости р на плоскости а (рис. 12.2) достаточно найти точки пересечения двух прямых плоскости а с плоскостью р (поскольку две точки, например А и С, однозначно определяют прямую Ь). Точка пересечения любой прямой а плоскости р с плоскостью а всегда лежит на следе плоскости р на плоскости а (на прямой Ъ). После рассмотрения параллельного и центрального проектирования можно уточнить содержание метода следов, связанного с использованием соответствующих проекций. Если рассматривать след секущей плоскости на плоскости проекции, то вместе с каждой точкой можно рассматривать и ее проекцию на эту плоскость. Тогда для построения соответствующего следа секущей плоскости приходится дважды находить точки пересечения прямой и плоскости по двум заданным точкам этой прямой и их проекциям на плоскость. Пусть, например, прямая а проходит через точки А и В и известны параллельные (рис. 12.3, а) или центральные (рис. 12.3, б) проекции А', В' этих точек на плоскость а. Тогда точка М пересечения прямой а с ее проекцией — прямой а’ (проходящей через точки А' и В') и будет искомым пересечением прямой а с плоскостью а. Следовательно, чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью проекций, достаточно найти точку пересечения прямой с ее проекцией на эту плоскость. Таким образом, для построения сечений многогранников методом следов мы можем использовать параллельное проектирование (в задачах, связанных с призмами) или центральное проектирование (в задачах, связанных с пирамидой). Часто в качестве плоскости проекции выбирают плоскость основания многогранника (как центр проектирования — вершину пирамиды, противолежащую основанию). § 12. Методы построения сечений многогранников 113 Рис. 12.3 С помощью метода следов построим сечение куба ABCDA^B^C^D^ плоскостью, проходящей через три точки К, L, М, лежащие на попарно скрещивающихся ребрах куба (рис. 12.4). Рис. 12.4 Рассмотрим параллельное проектирование заданных точек на плоскость основания ABCD в направлении бокового ребра куба. Тогда проекциями точек К, М, L будут соответственно точки А, М, L^, где LL^ || DJ) (рис. 12.5). Найдем точку пересечения прямой LK, лежащей в секущей плоскости, с плоскостью основания куба. Пересечение прямой LK с ее проекцией LjA и есть искомая точка Р, принадлежащая секущей плоскости и плоскости основания куба. Следовательно, секущая плоскость пересекает основание куба по прямой МР (это и есть след секущей плоскости на плоскости основания куба). Точка Н пересечения этой прямой с ребром АВ дает еще одну точку сечения куба. Соединяем точки К и Н, Н п М отрезками. Далее используем параллельность противолежащих граней куба, которые секущая плоскость пересекает по параллельным прямым. Через точку L проведем прямую, параллельную КН, и точку ее пересечения с ребром СС^ куба обозначим Е. Соединим точки Е vl М отрезком. Через точку L также проведем прямую, параллельную НМ, и точку ее пересечения с ребром A^D^ куба обозначим F. Соединим точки L и F, К и F отрезками. Шестиугольник KHMELF и будет искомым сечением куба заданной плоскостью. 114 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Метод следов достаточно сложно применить на практике, если точка пересечения прямой, лежащей в секущей плоскости, и ее проекции находятся вне пределов листа бумаги, на котором выполняется построение сечения. В этом случае используют другой метод, позволяющий выполнять все необходимые построения в пределах изображения данного многогранника. 3. Метод внутреннего проектирования. Суть его заключается в следующем. Имея три точки, задающие секущую плоскость, находят их проекции на некоторую плоскость (чаще всего на плоскость основания многогранника). Также находят проекцию некоторой, еще не построенной, точки сечения. (Эту неизвестную точку, как правило, выбирают на боковом ребре многогранника таким образом, чтобы какие-нибудь два отрезка, соединяющие четыре точки-проекции, пересекались во внутренней точке этих отрезков.) По трем данным точкам и четырем проекциям находят четвертую точку, принадлежащую секущей плоскости. Если нужно, таким же образом получают пятую, шестую и последующие точки, принадлежащие секущей плоскости и ребрам многогранника, то есть получают сечение. Используя метод внутреннего проектирования, еще раз решим предыдущую задачу и построим сечение куба ABCDA^B^CJ)^ плоскостью, проходящей через три точки L, М, лежащие на попарно скрещивающихся ребрах куба (рис. 12.6). Рис. 12.6 Рассмотрим параллельное проектирование данных точек на плоскость основания ABCD в направлении бокового ребра куба. Тогда проекциями точек К, М, L будут соответственно точки А, М, Lj, где LL, || D^D (рис. 12.7). Найдем точку Е пересечения секущей плоскости с ребром CCj. Проекцией точки Е на плоскость основания является точка С. Соединяем четыре полученные точки-проекции двумя отрезками АС и пересекающимися в точке Ху Точка — проекция некоторой точки X секущей плоскости, в которой прямая LM пересекается с пока еще не полностью найденной прямой КЕ. Проведя через точку Х^ прямую, параллельную направлению § 12. Методы построения сечений многогранников 115 проектирования (Х^Х || L^L), получаем в пересечении ее с прямой LM точку X. Теперь проводим прямую КХ до пересечения ее с ребром СС^ в точке Е. Соединяя отрезками полученную точку Е с заданными точками L и М, получаем две стороны искомого сечения. Последующие построения, как и при первом способе решения, опираются на параллельность противолежащих граней куба, которые секущая плоскость пересекает по параллельным прямым. Через точку К проведем прямую, параллельную LE, и точку ее пересечения с ребром АВ обозначим Н. Соединяем отрезком точки Н и М. Затем через точку К проведем прямую, параллельную ME, точку ее пересечения с ребром обозначим F и соединим отрезком точки L и F. Шестиугольник KHMELF — искомое сечение куба заданной плоскостью. Вопросы для контроля 1. Приведите пример использования свойств параллельных прямых и плоскостей для построения сечения многогранника. 2. Объясните, как можно найти след прямой на плоскости, используя проекцию прямой на эту плоскость. 3. Объясните суть метода внутреннего проектирования для построения сечений многогранников. Н Упражнения 12.1. Можно ли в сечении куба плоскостью получить: 1) треугольник; 2) правильный треугольник; 3) равнобедренный треугольник; 4) прямоугольный треугольник; 5) тупоугольный треугольник? Если можно, проиллюстрируйте, как это сделать; если — нет, то обоснуйте почему. 12.2. Можно ли в сечении куба плоскостью получить: 1) квадрат; 2) ромб; 3) прямоугольник; 4) трапецию; 5) параллелограмм; 6) прямоугольную трапецию? 12.3. Можно ли в сечении куба плоскостью получить: 1) пятиугольник; 2) правильный пятиугольник? 12.4. Можно ли в сечении куба плоскостью получить: 1) шестиугольник; 2) правильный шестиугольник; в) многоугольник с числом сторон, большим шести? 12.5. Какой фигурой является сечение куба ABCDAJB^CJ)^ плоскостью, проходящей через вершины А^, С и точку К — середину ребра DDJ 12.6. Постройте сечение куба ABCDA^B^C^D^ плоскостью, проходящей через точки М, N, К — середины соответственно ребер A^D^, C^D^, АВ. Определите форму сечения. 12.7. Постройте сечение куба ABCDA^BfiJ)^ плоскостью, проходящей через точки К, L, М, расположенные так, как показано на рисунке 12.8. Определите форму сечения. 116 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 12.8. Постройте сечение куба ABCDA^B^CJ)^ плоскостью, проходящей через вершины В, D и точку М, взятую на ребре C^D^. Определите форму сечения. В К А, 7 1 1 D в'). 7 М С, D, Рис. 12.8 Рис. 12.9 Рис. 12.10 12.9. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через три точки, расположенные так, как показано на рисунке 12.9. 12.10. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки, указанные на рисунке 12.10. 12.11. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через середину бокового ребра параллельно боковой грани. 12.12. Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной пирамиды плоскостью? 12.13*. Можно ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получить квадрат? 12.14. Постройте сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки, изображенные на рисунке 12.11. 12.15. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^B^C^D^ постройте сечение плоскостью, проходящей через вершины С и и точку К отрезка В^С^. 12.16. В тетраэдре ABCD постройте сечение плоскостью, проходящей через середину ребра DC и вершину В и параллельной прямой АС. 12.17. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^B^CJ)^ постройте сечение плоскостью, проходящей через середину ребра и вершины D и С^. 12.18. В тетраэдре DABC постройте сечение плоскостью, проходящей через вершину А и точку М ребра DB и параллельной прямой ВС. § 12. Методы построения сечений многогранников 117 12.19. В тетраэдре DABC точки Е, Р, М принадлежат соответственно ребрам AD, DBy ВС, причем прямые ЕР и АВ не параллельны. Постройте сечение тетраэдра плоскостью ЕРМ, 12.20. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^B^CJ)^ точка Е принадлежит ребру CD. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эту точку и параллельной плоскости BC^D. 12.21. В тетраэдре DABC точки Е, К, Р принадлежат ребрам АВ, DB и DC соответственно, причем РК не параллельна ВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью ЕКР. 12.22. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^B^C^D^ точка Н принадлежит ребру CD. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эту точку и параллельной плоскости ACD^. 12.23. Дан куб ABCDA^B^CJ)^ с ребром а. Постройте сечение куба плоскостью и найдите площадь сечения, если плоскость сечения проходит через: 1) вершины А и и середину ребра ВВ^; 2) вершину А параллельно плоскости DBC^; 3) середины ребер ВВ^ и В^С^ и середину отрезка АВ^. СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ Центральное проектирование, или перспективу, как способ изображения пространственных тел использовали еще древние греки. Первые упоминания о перспективе встречаются в работах Эсхила (525-456 гг. до н. э.). Значительное место изображению пространственных фигур с использованием перспективы уделил в трактате «О геометрии» известный мыслитель и ученый Демокрит (ок. 460-370 гг. до н. э.). Следующее упоминание о перспективе находим в работах Евклида. Кроме своих знаменитых «Начал», он написал много других произведений. В частности, в работе «Оптика» Евклид с позиций геометрии дал подробное описание природы человеческого зрения, изложил, как получается изображение разных предметов на сетчатке глаза. Евклид писал, что мы ощущаем предметы, когда прямолинейные лучи, идущие от них, сходятся в нашем глазу. Поэтому всю систему лучей зрения можно представить себе в виде пирамиды, вершина которой находится в глазу, а основой ее служит рассматриваемый нами предмет. Евклид ввел также постулат о том, что видимые размеры предмета зависят от угла, под которым его рассматривают. Самыми выдающимися работами по перспективе времен античности считаются произведения римского архитектора и инженера Марка Витрувия Поллиона (точные даты его жизни не установлены, полагают, что он жил ок. 25 г. до н. э.). Способы построения изображений в перспективе ученый изложил в труде «Об архитектуре», состоящей из десяти книг. Следующим важным этапом в развитии теории перспективы стала эпоха Возрождения. Здесь теоретиком перспективы считают итальянского 118 Раздел 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ архитектора Филиппо Брунеллески (1377-1446). На практике теоретические достижения воплотили в своих полотнах великие художники Леонардо да Винчи (1452-1519), Альбрехт Дюрер (1471-1528) и многие другие. А. Дюрер предложил в своих книгах несколько устройств, позволяющих получать перспективу, некоторые из них он изобразил на гравюрах. Например, на одной из них (рис. 12.12) показано, что для получения перспективного изображения предмета между глазом наблюдателя и этим предметом помещается рамка, разделенная сеткой на небольшие квадраты. С помощью натянутой нити сначала копируют контуры модели, а затем полученное изображение переносят на бумагу. Леонардо да Винчи в своем произведении «Трактат о живописи» делит перспективу на три основных вида: 1) линейную перспективу, которая изучает законы построения уменьшения фигур по мере удаления их от наблюдателя; 2) воздушную и цветовую перспективу, трактующую изменение цвета предметов в зависимости от их расстояния до наблюдателя и влияние слоя воздуха на насыщенность и локальность цвета; 3) перспективу четкости контура предмета, определяющую степень выразительности границ фигур и контраста света и тени на них по мере удаления их в глубину пространства, изображаемого на картине. Два последних вида из-за своей сложности не получили последующего теоретического развития. Исследования линейной перспективы заложили основы инженерной науки — начертательной геометрии. Основателем этого раздела геометрии считают французского ученого, геометра, инженера и активного общественного деятеля Великой французской революции Гаспара Монжа (1746-1818). Его книга «Начертательная геометрия», изданная в 1795 г., была первым систематическим изложением методов изображения пространственных фигур на плоскости. Рис. 12.12 лж Раздел 4- - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОЩЕЙ в ПРОСТРАНСТВЕ ЛШ основной МАТЕРИАЛ § 13. §14. §15. § 16. §17. § 18. § 19. §20. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярные прямые Перпендикулярность прямой и плоскости Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах Угол между прямой и плоскостью Двугранный угол. Угол между плоскостями Перпендикулярность плоскостей Расстояния между точками, прямыми и плоскостями Ортогональное проектирование дополнительный материал § 21. Расстояния между фигурами. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми § 22. Геометрические места точек в пространстве В основной части раздела вы: ознакомитесь с основными понятиями и свойствами перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, углами в пространстве; научитесь применять эти понятия и свойства для решения геометрических задач на доказательство и вычисление расстояний и углов в пространстве. В дополнительной части раздела вы: ознакомитесь с обобш;ением понятий расстояния в геометрии и геометрического места точек; научитесь решать более сложные задачи, связанные с перпендикулярностью прямых и плоскостей в пространстве 120 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ §13 УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ в ПРОСТРАНСТВЕ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ Таблица 11 ^ Если при пересечении прямых все образованные углы оказались равными (по 90°), то за угол между прямыми принимают любой из них. § 13. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярные прямые 121 Объяснение и обоснование J I I Как уже отмечалось в разделе 2, две прямые в пространстве могут лежать в одной плоскости (когда они пересекаются или параллельны) или не лежать в одной плоскости (тогда они скрещивающиеся). Дадим определение угла между прямыми в пространстве в каждом из этих случаев. Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до 180°. Определение. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения. Как и на плоскости, две пересекающиеся прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Угол между двумя параллельными (или совпадающими) прямыми считают равным нулю. Также будем полагать, что два отрезка перпендикулярны, если они лежат на перпендикулярных прямых. Если обозначить угол между прямыми, лежащими в одной плоскости, через ф, то из определения следует, что 0° < ф < 90°. Например, в кубе АВСDA^B^C^D^ (рис. 13.1) пересекающиеся ребра перпендикулярны, диагональ А^В грани куба образует с ее ребрами углы по 45°. Используя свойства параллельного проектирования, докажем следующую теорему. Теорема 13.1. Угол между пересекающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными данным прямым. • Доказательство. Случай, когда прямые лежат в одной плоскости, рассматривался в планиметрии. Пусть прямые а и Ь пересекаются в точке О и лежат в плоскости а, а соответственно паргш-лельные им прямые а^ и {а^ || а и || Ь) пересекаются в точке и лежат в плоскости Р (рис. 13.2). По признаку параллельности плоскости аир параллельны. Рассмотрим параллельное проектирование в направлении прямой 00^ на плоскость р. Поскольку плоскость, проходящая через прямые а и OOj, пересекает плоскость р по прямой а^, а плоскость, проходящая через прямые Ъ и OOj, — по прямой то проекциями 122 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ прямых а и 6 на плоскость р являются прямые и соответственно. Из свойств параллельного проектирования следует, что если плоская фигура F (например, меньший из углов, образованных лучами прямых а и Ь, с вершиной в точке О) лежит в плоскости а, параллельной плоскости проектирования р, то ее проекция на плоскость р равна фигуре F. Следовательно, угол между прямыми а vl Ь равен углу между прямыми и Ь^. О Введем теперь понятие «угол между скрещивающимися прямыми». Пусть а иЬ — скрещивающиеся прямые (рис. 13.3). Рассмотрим какую-нибудь точку О в пространстве и проведем через нее прямые а' и Ъ\ параллельные прямым а VI Ъ соответственно. Угол между прямыми а' и Ъ' принимается за угол между прямыми а и Ь. Рис. 13.3 I Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым. D. Поскольку по теореме 13.1 углы, образованные прямыми с соответственно параллельными сторонами, равны, то это определение не зависит от выбора точки О. В частности, точка О может принадлежать также прямой а или Ъ. В этом случае за прямую а' или Ь' следует принять соответственно прямую а или Ъ. Если обозначить угол между скрещивающимися прямыми через ф, то из приведенного определения следует, что О® < ф < 90®. Две скрепщвающиеся прямые называют пер-пендикулярными, если угол между ними прямой. Например, в кубе ABCDA^B^C^D^ (рис. 13.4) скрещивающиеся ребра АА^ и ВС перпендикулярны, поскольку ВВ^ II AAj (АВВ^А^ — квадрат). Следовательно, Z (АА^; ВС) = Z (ВВ^; ВС) = = Z В^ВС = 90®, то есть АА^ ± ВС. ШЛ Примеры решения задач Задача 1. Из планиметрии известно, что две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Верно ли это утверждение для стереометрии? § 13. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярные прямые 123 Решение ► Это утверждение неверно, если все три прямые не лежат в одной плоскости. Например, в кубе ABCDA^B^C^D^ (рис. 13.4) прямые АА^ и ВС перпендикулярны прямой АВ, но не пара-лельны (они скрещивающиеся, так как не лежат в одной плоскости). Также, например, пересекающиеся прямые A4j и AD перпендикулярны прямой АВ, но не параллельны. О Комментарий На вопрос «Верно ли утверждение?» может быть ответ «Да», и тогда нужно доказать это утверждение для всех возможных случаев. Если ответ «Нет», то достаточно привести хотя бы один пример, когда утверждение не выполняется (так называемый контрпример). Этот пример можно сконструировать самому или найти его среди элементов известных фигур. Задача 2. В кубе ABCDA^B^C^D^ (рис. 13.5) найдите угол между прямыми и В^С. D, Решение ► Рассмотрим плоскость, проходящую через параллельные ребра куба A^Bj и DC и пересекающую параллельные грани куба AA^DJ) и ВВ^С^С по параллельным прямым AjD и BjC (A^D II BjC). Но тогда угол между скрещивающимися прямыми AjCj и BjC равен углу между прямыми А^С^ и АД). Соединяя точки D тл С^ отрезком, получаем равносторонний треугольник AjCjZ) (его стороны равны как диагонали равных квадратов). Отсюда Z CjAjD = 60°. Следовательно, Z (А^С^; ВД2) = 60°. Ответ: 60°. <1 Комментарий Прямые AjCj и BjC скрещивающиеся. Чтобы найти угол между ними, можно провести через произвольную точку пространства параллельные им прямые или через точку одной прямой — прямую, параллельную другой прямой. Можно построить соответствующую параллельную прямую в пространстве (объединив каким-либо образом с элементами куба) или получить как элемент данного многогранника. Для этого достаточно вспомнить, что произвольная плоскость пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым. 124 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Вопросы ДЛЯ контроля 1. Дайте определение углов между прямыми в пространстве (между пересекающимися прямыми; между параллельными прямыми; между скрещивающимися прямыми). 2. Сформулируйте свойство углов, образованных соответственно параллельными прямыми. 3*. Докажите свойство углов, образованных соответственно параллельными прямыми. 4. Какие прямые в пространстве называют перпендикулярными? Приведите примеры таких прямых, пользуясь моделью прямоугольного параллелепипеда. ■■ Упражнения 13.1°. Чему равен угол между пересекгпощимися ребрами: 1) куба; 2) правильного тетраэдра? 13.2°. Найдите угол между диагональю грани куба и пересекающим ее ребром. 13.3°. Найдите угол между пересекающимися диагоналями двух различных граней куба. 13.4°. Даны прямая в пространстве и точка на ней. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой? Ответ проиллюстрируйте на модели. 13.5°. Даны прямая и точка вне ее. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой? 13.6°. Даны плоскость и параллельная ей прямая. Сколько прямых, перпендикулярных этой прямой, можно провести в данной плоскости? 13.7. В кубе ABCDAjBjCjjDj докажите перпендикулярность прямых: 1) ВС и C^D^; 2) BD и А^С^; 3) BD и АА^. 13.8. В кубе ABCDA^B^C^D^ найдите углы, образованные прямыми: 1) АА^ и BjC,; 2) АА^ и СС^; 3) ВВ^ и CD. 13.9. В кубе ABCDA^B^CJ)^ найдите углы между скрещивающимися прямыми: 1) АВ и BJ)^; 2) ABj и ВС^. 13.10. В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания, равной боковому ребру, найдите угол между скрещивающимися стороной основания и боковым ребром. 13.11. А, В, С — точки на попарно перпендикулярных лучах QA, ОВ, ОС, не лежащие в одной плоскости. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что ОА = ОВ = ОС. § 13. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярные прямые 125 13.12. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны (рис. 13.6). Найдите отрезок СП, если: 1) АВ = 3 см, ВС = 7 см, АП =1,5 см; 2) BD = 9 см, ВС = 16 см, АП = 5 см; 3) АВ = Ь, ВС = а, AD = d. Рис. 13.6 13.13*. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, вдвое больше стороны основания. Найдите углы между диагоналями параллелепипеда. 13.14. Прямые а и Ь параллельны. Прямые а и с пересекаются под прямым углом. Укажите взаимное расположение прямых Ь и с и угол между ними. 13.15. Прямые аиЬ параллельны. Прямые а и с пересекаются под углом 30°. Укажите взаимное расположение прямых Ь и с и угол между ними. 13.16. Докажите, что если две пересекающиеся прямые паргшлельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они также перпендикулярны. 13.17*. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD. 13.18*. Все грани четырехугольной призмы — ромбы с углом 60°. Найдите угол между скрещивающимися меньшими диагоналями двух смежных граней призмы. 13.19. Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой. 13.20. Точки К иМ — середины ребер АВ и DC треугольной пирамиды DABC, каждое ребро которой равно а. Докажите, что КМ 1 АВ. Найдите длину отрезка КМ. 13.21*. Дан куб ABCDA^BjC^D^. Докажите, что прямая BD перпендикулярна прямой ВВ^. 13.22. Найдите длину диагонали АС^ куба ABCDA^B^C^D^, если его ребро равно а. 13.23*. Найдите угол между скрещивающимися диагональю грани куба и диагональю куба. 126 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ § 14 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Таблица 12 1. Перпендикулярность прямой и плоскости. В § 13 мы рассмотрели перпендикулярность прямых в пространстве. ■ Определение. Прямую называют перпендикулярной плоскости^ если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отрезок будем называть перпендикулярным плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости. Обозначают перпендикулярность прямой а и плоскости а таким образом: а _L а или а _L а. Следовательно, по определению, если а ± а и произвольная прямая X лежит в плоскости а, то а ± д: (рис. 14.1, а, б). Отметим, что прямая, перпендикулярная плоскости, обязательно пересекает эту плоскость. Действительно, если бы прямая лежала в плоскости § 14. Перпендикулярность прямой и плоскости 127 ИЛИ была ей параллельна, то в этой плоскости нашлась бы прямая, параллельная данной, а значит, данная прямая не перпендикулярна данной плоскости. ■ Теорема 14.1 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. • Доказательство. Пусть прямая а перпендикулярна прямым Ь и с плоскости а, пересекающимся в точке О (рис. 14.2). Рассмотрим произвольную прямую X плоскости а. Докажем, что прямая а перпендикулярна прямой X. Поскольку дальнейшие рассуждения связаны с дополнительными построениями и рассмотрением пяти пар равных треугольников, приведем дальнейшее доказательство вместе с его планом. План Пр одолжение доказательства Выполнить дополнительные построения, для того чтобы: 1) получить углы между данными прямыми, если они скрещивающиеся (как показано на рисунке); 2) объединить данные и полученные элементы в треугольники. Проведем через точку О прямые а' и х', параллельные соответственно прямым а w. х (рис. 14.3). Для доказательства перпендикулярности прямых атх достаточно доказать перпендикулярность прямых а' и х'. Для этого в плоскости а проведем прямую, не проходящую через точку О и пересекающую прямые Ь, х', с в точках В, X, С соответственно. Отложим на прямой а' от точки О равные отрезки ОА = OD и соединим точки А и D с точками В, X, С отрезками. II. Последовательно обосновать равенство треугольников: 1) Д АОС = Д DOC; 2) Д АОВ = Д DOB; 3) Д АВС = Д ВВС; Прямоугольные треугольники АОС и DOC равны (по двум катетам). Следовательно, АС = DC. Аналогично из равенства прямоугольных треугольников АОВ и DOB получаем АВ = BD. Тогда треугольники АВС и ВВС равны (по трем сторонам). Следовательно, Z АВС = Z ВВС. 128 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Окончание таблицы 4) Д АВХ = Д DBX\ 5) Д АОХ = Д DOX. Треугольники АВХ и DBX равны (по двум сторонам и углу между ними). Тогда получаем АХ=DX. Треугольники АОХ и DOX равны (по трем сторонам), следовательно, Z АОХ = Z DOX = 90°. Ш. Сделать вывод о перпендикулярности прямых а' и Z, а и Ху прямой а и плоскости а. Таким образом, прямые а' и х' перпендикулярны. Но тогда перпендикулярны и прямые аил:, а это значит, что прямая а перпендикулярна плоскости а. О D, Рис. 14.4 Например, в кубе ABCDA^B^C^D^ (рис. 14.4) боковое ребро АА^ перпендикулярно прямым АВ и AD плоскости основания ABCD. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости это боковое ребро перпендикулярно плоскости основания ABCD. 2. Зависимость между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей. ■ Теорема 14.2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. • Доказательство. Пусть прямые а и т параллельны {т || а) и прямая а перпендикулярна плоскости а (рис. 14.5). Докажем, что т 1 а. Выберем в плоскости а две произвольные пересекающиеся прямые Ь и с. Поскольку а J- а, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости а -L Ь и а -L с. Если т \\ а, то т 1. Ь и т J. с (так как по определению угла между скрещивающимися прямыми Z (а; Ь) = Z (т; Ь) и Z(a; с) = Z(m; с)). Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости m X а. О § 14. Перпендикулярность прямой и плоскости 129 ■ Теорема 14.3. Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. • Доказательство. Пусть прямые а vi Ъ перпендикулярны плоскости а (рис. 14.6). Докажем, что а Ц Ъ, методом от противного. Допустим, что прямые а и Ь не параллельны. Выберем на прямой Ь какую-либо точку М и проведем через нее прямую Ь^, параллельную а. Поскольку а ± а, то J. а по теореме 14.2. Если точки В и С — соответственно точки пересечения прямых Ь и bj с плоскостью а, то в треугольнике МВС получаем два прямых угла, что невозможно. Следовательно, наше предположение неверно и прямые а и Ь параллельны. О Рис. 14.5 Рис. 14.6 ■ Теорема 14.4. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости. • Доказательство. Пусть плоскости аир параллельны (а || Р) и прямая т перпендикулярна плоскости а (т 1 а) (рис. 14.7). Докажем, что лг 1 р. Проведем через прямую т две различные плоскости у и ф, пересекающие плоскость а по прямым а^ и а^, а плоскость р — по прямым и ^2 соответственно. Поскольку а || р, то а^ || и Ц Ъ^. По условию т 1 а, тогда т 1 а^и т ± а^. В каждой из плоскостей у и ф прямая т перпендикулярна одной из параллельных прямых, а следовательно, перпендикулярна и другой, то есть т ± Ь^и т ± Ь^. Но тогда /п 1 р. О ■ Теорема 14.5 (признак параллельности плоскостей). Две различные плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. • Доказательство. Пусть плоскости аир перпендикулярны прямой т (рис. 14.7). Докажем, что а || р. Проведем через прямую т две различные плоскости у и ф, пересекающие плоскость а по прямым и а^, а плоскость Р — по прямым и соответственно. Поскольку по условию m JL а, то m -L и т. 1 Og. Также по условию m .L р, тогда т 1. т L Ъ^. В каждой из плоскостей у и ф получаем по две прямые, перпендикулярные 130 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ОДНОЙ прямой /71. Следовательно, Ц и II то есть две пересекающиеся прямые плоскости а параллельны соответственно двум прямым плоскости р. Таким образом, а || р. О Примеры решения задач Задача 1. Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра перпендикулярны. Решение ► Пусть SABC — правильная пирамида (рис. 14.8). Возьмем точку М — середину ВС и соединим ее отрезками с точками S и А. Поскольку в правильной пирамиде боковые ребра равны: SA = SB = SC, то треугольник SBC — равнобедренный и медиана SM — его высота, то есть SM _L ВС. Аналогично AM 1 ВС, поскольку треугольник АВС — правильный. Тогда ВС _L пл. SAM (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Следовательно, ВС J. SA (по определению перпендикулярности прямой и плоскости). <1 Комментарий Для доказательства перпендикулярности двух скрещиваюпщхся прямых SA и ВС можно доказать перпендикулярность одной из прямых плоскости, в которой лежит другая прямая. Напомним, что пирамиду называют правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а все боковые ребра равны. S С Задача 2. Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость. Решение ► Пусть даны прямая а и точка А на ней (рис. 14.9). Проведем через прямую две плоскости, а в них через точку А — прямые Ь и с, перпендикулярные прямой а. Плоскость а, проходящая через прямые Ь и с, перпендикулярна прямой а по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 14.1). Докажем, что эта плоскость единственная. Допустим, что, кроме плос- Комментарий Чтобы провести плоскость, перпендикулярную данной прямой, можно использовать признак перпендикулярности прямой и плоскости и построить две пересекающиеся прямые, перпендикулярные данной прямой. Перпендикулярные прямые удобно строить в плоскости. Поэтому целесообразно сначала построить две различные плоскости, проходящие § 14. Перпендикулярность прямой и плоскости 131 КОСТИ а, существует другая плоскость а', проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а (рис. 14.10). Пусть В — точка плоскости а', не лежащая в плоскости а. Проведем через точку В и прямую а плоскость у. Она пересечет плоскости а и а' соответственно по прямым Ь и Ь\ перпендикулярным прямой а. Мы пришли к противоречию, поскольку в плоскости у через данную точку прямой проходит только одна перпендикулярная ей прямая. Следовательно, плоскость, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а, — единственная. <1 через данную прямую, а затем в каждой из них провести прямую, перпендикулярную данной прямой. Задача 3. Докажите, что через данную точку плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую. Решение ► Пусть а — данная плоскость и А — точка на ней (рис. 14.11). Проведем в плоскости а через точку А две прямые Ь и с, а через точку А — перпендикулярные им плоскости (у 1 Ь и р 1 с). Плоскости пересекутся по некоторой прямой а, перпендикулярной прямым Ь и с. Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости а по признаку Комментарий Для требуемого построения можно воспользоваться результатом задачи 2 и получить искомую прямую как пересечение двух плоскостей, каждая из которых перпендикулярна какой-либо прямой данной плоскости. Поэтому удобно сначала провести в плоскости две прямые, пересекающиеся в данной точке, а затем выполнить указанные построения. 132 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ перпендикулярности прямой и плоскости. Докажем, что эта прямая единственная. Допустим, что, кроме прямой а, существует другая прямая а', проходящая через точку А и перпендикулярная плоскости а (рис. 14.12). Проведем через прямые а и а' плоскость ф. Она пересечет плоскость а по некоторой прямой Ъ, перпендикулярной прямым а и а', а это невозможно. Следовательно, прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная этой плоскости, единственная. <] Для того чтобы обосновать перпендикулярность прямой (а) пересечения построенных плоскостей и проведенных прямых {Ъ и с), нужно использовать определение перпендикулярности прямой и плоскости {Ъ _L у, следовательно, Ь 1 а и с J. р, значит, с 1 а). Единственность полученной прямой доказывается методом от противного. Сначала предполагаем существование еще одной прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости, затем рассматриваем еще одну плоскость, для которой получаем противоречие с известным фактом планиметрии. Задача 4. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости а и пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 3 м, BD = 2 м, CD = 2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость а. Комментарий По изображению пространственной конфигурации (рис. 14.13) мы не можем определить, лежит ли четырехугольник ABDC в одной плоскости (а значит, не знаем, можно ли к его элементам применять известные Решение ► Поскольку две прямые, перпендикулярные плоскости а, параллельны, то АС II BD, следовательно, ABDC — трапеция (рис. 14.13, а). По условию АС ± а, тогда АС _L CD, то есть трапеция ABDC — прямоугольная. § 14. Перпендикулярность прямой и плоскости 133 Проведем в трапеции ABDC из точки В перпендикуляр В К к стороне АС (рис. 14.13, б). Получили BKCD — прямоугольник (поскольку у него все углы прямые), следовательно, CK = BD = 2 м и KB = CD = 2A м. Тогда АК = АС - СК = 3-2=1 (м). Из прямоугольного треугольника АйГБ: АВ = у!аК^ + ВК^ = Vl^ + 2,4^ = = л/б?^ = 2,6 (м). Ответ: 2,6 м. <3 из планиметрии соотношения). Поскольку параллельные прямые лежат в одной плоскости, то для того чтобы обосновать, что этот четырехугольник плоский, достаточно доказать параллельность двух его сторон. Следует учесть, что для решения многих стереометрических задач целесообразно выполнять выносные рисунки рассматриваемых плоских фигур (рис. 14.13, б), на которых удобно производить некоторые построения, вьшисления и обоснования. Q. D Рис. 14.13 Вопросы для контроля 1. Какую прямую называют перпендикулярной плоскости? 2. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Используя модель прямоугольного параллелепипеда, приведите пример ее использования. 3*. Докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости. 4. Сформулируйте свойства прямых и плоскостей, выражаюгцих зависимость между их параллельностью и перпендикулярностью. 5*. Докажите свойства прямых и плоскостей, выражающих зависимость между их параллельностью и перпендикулярностью. Упражнения 14.1°. Верно ли, что если прямая перпендикулярна каким-либо двум прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости? 14.2°. При каком взаимном расположении двух прямых через одну из них можно провести плоскость, перпендикулярную другой? 14.3°. Как расположена относительно плоскости треугольника прямая, перпендикулярная двум его сторонам? 14.4°. Верно ли, что прямая, пересекающая окружность в центре и перпендикулярная; 1) его диаметру; 2) двум его диаметрам — перпендикулярна и плоскости окружности? 134 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 14.5°. Прямая MN пересекает плоскость а. В плоскости а расположен треугольник АВС; MN перпендикулярна АВ и ВС, Каково взаимное расположение прямых MN и АС? 14.6°. Чтобы распил деревянного бруска (рис. 14.14) был перпендикулярен его ребру, через точку А ребра проводят перпендикулярно ребрам прямые АВ и АС. Потом пилят так, чтобы распил шел по этим прямым. Верно ли это? 14.7°. Прямая параллельна плоскости. Может ли она быть перпендикулярна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости? 14.8. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. 14.9. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде диагональ основания перпендикулярна каждому боковому ребру. 14.10. Докажите, что в кубе каждое ребро перпендикулярно двум его граням. 14.11. Два прямоугольных треугольника АВС и DBC, плоскости которых не совпадают, имеют общий катет, а через два других катета — АС и CD — проведена плоскость а. Докажите, что общий катет перпендикулярен любой прямой с в плоскости а. 14.12. На изображении правильного тетраэдра ABCD (рис. 14.15) проведите плоскость, перпендикулярную его ребру AD. 14.13. В кубе ABCDAjBjCjDj докажите перпендикулярность прямых BD^ и АС. 14.14*. Докажите, что через любую точку пространства можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости. 14.15*. Докажите, что через любую точку пространства можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной прямой. 14.16*. Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость а и прямая Ь. Докажите, что прямая Ь лежит в плоскости а. 14.17. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что: 1) прямая AD перпендикулярна плоскости прямых АВ и ВМ; 2) прямая CD перпендикулярна плоскости прямых ВС и ВМ. 14.18. Через точки М и N проведены прямые, перпендикулярные плоскости р, пересекающие ее в точках Т и Е соответственно. Найдите расстояние между точками М и N, если МТ = 2 м, NE = 5 м, ТЕ = 4 м и отрезок MN не пересекает плоскость р. 14.19. Верхние концы двух вертикальных столбов, находящиеся на расстоянии 6,8 м друг от друга, соединены перекладиной. Высота одного столба 11,6 м, а другого — 7,8 м. Найдите длину перекладины. § 14. Перпендикулярность прямой и плоскости 135 14.20. Телефонный провод длиной 15 м протянут от телефонного столба, на котором он закреплен на высоте 8 м от поверхности Земли, к дому, где его з£1крепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, считая, что провод не провисает. 14.21*. Из вершины квадрата проведен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до остальных вершин квадрата равны а и Ь (а < Ь). Найдите длину перпендикуляра и сторону квадрата (рис. 14.16). Рис. 14.17 14.22*. Из вершины прямоугольника проведен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до остальных вершин прямоугольника равны а, Ь, с (а < с, Ь < с). Найдите длину перпендикуляра и стороны прямоугольника (рис. 14.17). 14.23. Ребро куба равно а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей одной из граней до вершин противоположной грани. 14.24. Диагональ BD^ прямоугольного параллелепипеда АВСВА^Врравна а, диагональ ADj — Ь. Найдите АВ. 14.25. Прямая CD перпендикулярна плоскости правильного треугольника АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что АВ = 16>/3 см, ОК = 12 см, CD = 16 см. Найдите расстояние от точек D и К до вершин А и В треугольника. 14.26. ABCD — прямоугольник, О — точка пересечения его диагоналей, точка М одинаково удалена от всех вершин прямоугольника. Докажите, что прямая МО перпендикулярна плоскости прямоугольника. 14.27. Докажите, что суммы расстояний от противоположных вершин параллелограмма до непересекающей его плоскости равны. 14.28*. Расстояния вершин А, Б, С параллелограмма ABCD до некоторой плоскости равны 11 см, 29 см и 13 см соответственно. Найдите расстояние от этой плоскости до четвертой вершины. 136 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ §15 ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ. ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ Объяснение и обоснование Понятие перпендикуляра и наклонной в пространстве вводится аналогично соответствующим понятиям на плоскости (табл. 13). § 15. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах 137 Пусть дана плоскость а и точка А, не принадлежащая плоскости. Проведем прямую а, проходящую через эту точку и перпендикулярную плоскости а. Точку пересечения прямой а с плоскостью а обозначим через О (рис. 15.1). Отрезок АО называют перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость а, точку О — основанием перпендикуляра. ■ Определение. Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Наклонной к плоскости называют прямую, пересекающую плоскость и не перпендикулярную ей. Наклонной называют также отрезок, который соединяет точку, не принадлежащую плоскости, с точкой плоскости и не является перпендикуляром к плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называют основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки, называют проекцией^ наклонной. На рисунке 15.2 из точки А проведены к плоскости а перпендикуляр АО и наклонная АВ. Точка О — основание перпендикуляра, точка В — основание наклонной, ОВ — проекция наклонной АВ на плоскость а. Рис. 15.1 Свойства перпендикуляра и наклонной в пространстве аналогичны соответствующим свойствам на плоскости. Теорема 15.1. Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и несколько наклонных, то: 1) перпендикуляр короче любой наклонной, проведенной из этой точки к плоскости; 2) равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, равны; 3) большая (по длине) наклонная имеет большую проекцию, и наоборот, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. ^ Точнее этот отрезок называют ортогональной, или прямоугольной, проекцией наклонной (когда все проектирующие прямые перпендикулярны плоскости проекции). Далее, говоря о проекциях, мы будем иметь в виду ортогональные проекции. 138 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ • Доказательство. Пусть АО — перпендикуляр, опущенный на пло- скость а, АВ и АС — наклонные к этой плоскости, ОВ и ОС — соответственно их проекции на плоскость а (рис. 15.3). ^ 1) Поскольку АО ± а, то АО L ОВ. Тогда треугольник АОВ — прямоугольный, АВ — гипотенуза, АО — катет. Следовательно, АО < АВ. 2) Если выполняется равенство наклонных АВ = АС (или соответственно их проекций ОВ = ОС), то прямоугольные треугольники АОВ и АОС равны по катету и гипотенузе (или по двум катетам). Следовательно, получаем требуемое равенство проекций: ОВ = ОС (или самих наклонных: АВ = АС). 3) Поскольку по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников АОВ и АОС: АВ^ = АО^ + ОВ^ и АС^ = АО^ + ОС^, то неравенство АВ > АС выполняется тогда и только тогда, когда выполняется неравенство ОВ > ОС. Теорема 15.2 (о трех перпендикулярах). Если прямая на плоскости перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и наклонной, и наоборот: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. • Доказательство. Пусть прямая с плоскости а (рис. 15.4, а, б) перпендикулярна проекции ОВ наклонной АВ (или самой наклонной АВ). Поскольку АО ± а, то АО ± с. Тогда прямая с будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым — ОВ и АО (или АВ и АО). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая с перпендикулярна плоскости АОВ, а следовательно, она перпендикулярна и наклонной АВ (или ее проекции ОВ). О Н Примеры решения задач Задача 1. Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника. § 15. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах 139 Решение ► Пусть в треугольнике АВС через центр О описанной окружности проведена прямая а, перпендикулярная плоскости АВС (рис. 15.5). Рассмотрим произвольную точку М е а. Соединяем точку М с точками А, В, С отрезками. Наклонные МА, МВ тл МС имеют равные проекции (АО = ВО = СО как радиусы описанной окружности). Следовательно, эти наклонные равны: МА = МВ = МС, а значит, точка М равноудалена от вершин треугольника. <] Комментарий В данной конфигурации из точки М, выбранной на данной прямой, проведены к плоскости треугольника перпендикуляр и наклонные (рис. 15.5). Поэтому целесообразно использовать соответствующие свойства, связывающие длины наклонных, проведенных из одной точки к одной плоскости, и их проекций. Задача 2. Расстояние от данной точки до плоскости ромба равно 8 м, а до каждой из его сторон — 10 м. Найдите радиус окружности, вписанной в этот ромб. Решение ► Пусть даны ромб ABCD и точка S, находящаяся вне плоскости ромба. Проведем из точки S перпендикуляр SO на плоскость ABCD и перпендикуляры SK, SMy SN, SL на стороны ромба (рис. 15.6). Тогда по условию SO = Sm,SK = SM = SN = SL = Юм. Равные наклонные, проведенные из одной точки к одной плоскости. Комментарий Поскольку расстояние от точки до плоскости измеряют по перпендикуляру, то мы фактически имеем перпендикуляр и наклонные к плоскости, а значит, можем использовать соответствующие свойства, связывающие длины наклонных, проведенных из одной точки к одной плоскости, и их проекции. Чтобы обосновать, что полученные проекции наклонных являются радиусами вписанной в ромб окружности, следует применить теорему о трех перпендикулярах. Для обоснования того, что треугольник SOK прямоугольный, достаточно воспользоваться определением перпендикулярности прямой SO и плоскости ABCD (тогда прямая SO перпендикулярна любой прямой плоскости ABCD, в частности прямой О К). 140 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ имеют равные проекции, поэтому ОК = ОМ = ON = OL. Так как SK ± Z)C, то О К _L DC по теореме о трех перпендикулярах. Аналогично ОМ 1 AD, ON 1 АВ, OL ± ВС. Тогда точка О равноудалена от всех сторон ромба и является центром окружности, вписанной в ромбЧ а О К — радиус этой окружности. Из прямоугольного треугольника SOK (SO _L пл. ABCD, следовательно, SO 1 ОК): ОК = yJSK^ - SO" = л/ю^ - 8" = 6 (м). Ответ: 6 м. <1 Задача 3. Докажите, что диагональ куба перпендикулярна плоскости, проходящей через концы трех ребер куба, исходящих из той же вершины, что и диагональ. Решение ► Рассмотрим в кубе ABCDA^B^CJ)^ (рис. 15.7) диагональ BD^. Поскольку DJ) ± пл. ABCD, то BD — проекция наклонной BD^ на пл. ABCD. Но АС ± DB (как диагонали квадрата ABCD), следовательно, АС ± BD^. Аналогично Dfi^ ± пл. ВВ^С^С. Тогда ВС^ — проекция наклонной BD^ на пл. ВВ^С^С. Но В^С ± ВС^ (как диагонали квадрата ВВ^С^С), следовательно, В^С _L BDj. Таким образом, прямая BDj перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АВ^С. Следовательно, BDj _L пл. АВ^С по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. <3 Комментарий Для того чтобы доказать перпендикулярность прямой и плоскости, воспользуемся соответствующим признаком перпендикулярности: докажем, что прямая BD^ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АВ^С. Для обоснования этого применим теорему о трех перпендикулярах, последовательно проектируя диагональ BD^ на две различные грани куба. D. г Рис. 15.7 * О — точка пересечения диагоналей ромба, отрезки OL и ОМ лежат на одной прямой, LM — высота ромба (аналогично NK — также высота ромба). § 15. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах 141 Вопросы для контроля 1. Объясните, как вводят понятие перпендикуляра и наклонной к плоскости и проекции наклонной на плоскость. 2. Сформулируйте свойства перпендикуляра и наклонной к плоскости. 3*. Докажите свойства перпендикуляра и наклонной к плоскости. 4. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах. 5*. Докажите теорему о трех перпендикулярах. ■1 Упражнения 15.1°. В кубе ABCDAj^B^C^D^ (рис. 15.8) найдите проекции диагонали А^С на все грани куба. 15.2°. Основание пирамиды SABCD — квадрат ABCD. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Сравните попарно длины отрезков SA, SB, SC и SD. Обоснуйте результат. 15.3. Основание пирамиды SABCD — прямоугольник ABCD, АВ < ВС. Ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Из отрезков SA, SB, SC и SD укажите наименьший и наибольший. Обоснуйте свой выбор. 15.4°. Из точки А к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, основаниями которых являются соответственно точки В и С. Найдите длину проекции наклонной АС, если АС = 50 см, АВ = 30 см. 15.5. Из точки А к данной плоскости проведен перпендикуляр и наклонная, пересекаюш;ие плоскость соответственно в точках В и С. Найдите отрезок АС, если АВ = 8 см и Z ВАС = 60°. 15.6. Отрезки двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, равны 15 см и 20 см. Проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найдите проекцию другого отрезка. 15.7. Отрезок ВС длиной 12 см является проекцией отрезка АС на плоскость а. Точка D принадлежит отрезку АС и AD : DC = 2:3. Найдите отрезок AD и его проекцию на плоскость а, если известно, что АВ = 9 см. 15.8. Из точки S вне плоскости а проведены к ней три равные наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO. Докажите, что основание перпендикуляра О является центром окружности, описанной около треугольника АВС. 142 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 15.9. Точка А находится на расстоянии а от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника. 15.10*. В равнобедренном треугольнике основание и высота равны по 4 м. Данная точка расположена на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на одинаковом расстоянии от его вершин. Найдите расстояние от данной точки до вершин треугольника. 15.11. Расстояния от точки А до вершин квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна Ь. 15.12. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных составляет 9 см. Найдите проекции наклонных. 15.13. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если: 1) одна из них на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см; 2) наклонные относятся как 1:2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см. 15.14. Из точки к плоскости проведены две наклонные, которые равны 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3. 15.15*. На данном изображении куба. ABCDA^B^C^D^ проведите перпендикуляр из вершины Bj на плоскость ABD^. Укажите проекцию отрезка АВ^ на эту плоскость. 15.16*. Дан прямоугольный треугольник АВС, катеты которого АС и ВС равны соответственно 20 см и 15 см. Через вершину А проведена плоскость а, параллельная прямой ВС. Проекция одного из катетов на эту плоскость равна 12 см. Найдите проекцию гипотенузы на эту плоскость. 15.17*. Сторона ромба равна 10 см, острый угол — 60°. Через одну из сторон ромба проведена плоскость. Проекция второй стороны на плоскость равна 8 см. Найдите проекции диагоналей ромба на эту плоскость. 15.18. Останется ли справедливой теорема о трех перпендикулярах, если в ее формулировке слова «прямая на плоскости» заменить словами «прямая, параллельная плоскости»? Обоснуйте ответ. 15.19. Прямая а пересекает плоскость а и не перпендикулярна этой плоскости. Суш;ествуют ли в плоскости а прямые, перпендикулярные прямой а? Если существуют, то как их можно построить? 15.20*. В кубе ABCDA^B^C^D^ докажите перпендикулярность прямых АС^ и BD. § 15. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах 143 15.21*. На данном изображении куба ABCDA^B^CJ)^ проведите перпендикуляр из вершины на плоскость ACD^ Укажите основание этого перпендикуляра. 15.22. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК^ перпендикулярная его плоскости. Найдите отрезок АК, если ВК = 6 см, DK=7 см, СК = 9 см. 15.23. Докажите, что если через центр окружности, описанной около многоугольника, проведена прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин многоугольника. 15.24. Докажите, что если некоторая точка равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, опупценного из данной точки на плоскость многоугольника, совпадает с центром окружности, описанной около многоугольника. 15.25*. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°, а боковые стороны — по 10 см. Вне плоскости треугольника дана точка, удаленная от каждой из вершин на 26 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника. 15.26*. В треугольнике АВС Z А = 45°, ВС = 12 см. Точка S находится от его плоскости на расстоянии 6 см и на одинаковом расстоянии от каждой из вершин треугольника. Найдите расстояние от точки S до вершин треугольника. 15.27*. Трапеция вписана в окружность, причем меньшее основание, равное 16 см, стягивает дугу 60°. На расстоянии 12 см от плоскости трапеции находится точка, равноудаленная от каждой ее вершины. Найдите расстояние от этой точки до вершины трапеции. 15.28. В треугольнике АВС стороны АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС - 15 см. Из вершины А проведен к его плоскости перпендикуляр AD длиной 5 см. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС. 15.29*. К плоскости ромба ABCD, в котором Z А = 45°, АВ = 8 см, проведен перпендикуляр МС длиной 7 см. Найдите расстояние от точки М до прямых, содержаш;их стороны ромба. 15.30. Докажите, что если через центр окружности, вписанной в многоугольник, проведен перпендикуляр к плоскости многоугольника, то каждая точка перпендикуляра равноудалена от сторон многоугольника. 15.31*. Докажите, что если точка равноудалена от сторон многоугольника, а основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на его плоскость, лежит внутри многоугольника, то основание перпендикуляра — центр окружности, вписанной в многоугольник. 144 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ § 16 УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ и плоскостью Таблица 14 Дадим определение угла между прямой и плоскостью. Определение. Углом между наклонной^ и плоскостью называют угол между ЭТОЙ наклонной и ее проекцией на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между нею и плоскостью считают равным 90®, если прямая параллельна плоскости или лежит в плоскости — равным о®. Из приведенного определения следует: если ср — угол между прямой и плоскостью, то о® < ф < 90®, а если у — угол между наклонной и плоскостью, то о® < у < 90®. Например, в кубе ABCDA^B^CJ)^ (рис. 16.1) проекцией диагонали А^В боковой грани куба на плоскость его основания ABCD является отрезок АВ (поскольку AjA 1 пл. ABCD). Следовательно, углом между А^В и плоскостью ABCD является угол А^ВА, равный 45®. I Теорема 16.1. Угол между наклонной и плоскостью — наименьший из всех углов между этой наклонной и прямыми, лежанщми в данной плоскости. ^ Термин «наклонная» может означать как прямую, так и отрезок. Иначе говоря, углом между отрезком и плоскостью будем считать угол между прямой, содержащей данный отрезок, и этой плоскостью. § 16. Угол между прямой и плоскостью 145 Рис. 16.1 • Доказательство. Пусть а — наклонная к плоскости а, Б — точка пересечения наклонной с плоскостью, Ь — проекция наклонной, с — прямая в плоскости а, проходящей через точку В (рис. 16.2). Нужно доказать, что угол ф между прямыми а и Ь меньше угла между прямыми а и с. Если с _L 6, то острый угол ф меньше прямого угла между прямыми а и с. Если прямые с и Ь не перпендикулярны, то возьмем на прямой а точку А, отличную от В, и ее проекцию О (тогда АО _L а). Проведем в плоскости а перпендикуляр ОС к прямой с и соединим точки А и С отрезками. По теореме о трех перпендикуляргих АС _L с. Из прямоугольных треугольников АВО и АВС: ЗШФ = —, sinZABC = —. Поскольку АО < АС, то sin ф < sin Z АБС. Учитывая, что эти углы острые, получаем: ф < Z АВС.О ШЛ Примеры решения задач Задача 1. Из точки, удаленной от плоскости на расстояние а, проведены под прямым углом друг к другу две нгпслонные, образующие с плоскостью углы 45° и 30°. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Решение ► Пусть дана точка А, из которой к плоскости а проведены две наклонные АБ и АС (рис. 16.3). Опустим из точки А перпендикуляр АО на плоскость а. По условию АО = а. Поскольку проекциями наклонных АБ и АС являются соответственно отрезки ОБ и ОС, то Z АВО — угол между Комментарий Поскольку расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, то на рисунке к задаче следует изобразить и наклонные, и перпендикуляр, проведенные из данной точки на данную плоскость (рис. 16.3). 146 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ наклонной АВ и плоскостью а, а Z АСО — угол между наклонной АС и плоскостью а. По условию ZABO = = 45° и Z АСО = 30°. Поскольку АО 1 а, то АО 1 ОВ и АО 1 ОС. Из прямоугольного треугольника АОВ: AB = -:^ = a-j2. Sin 45 прямоугольного треугольника АО Из АОС АС = = 2а. Из прямо-АВС sin 30 угольного треугольника (АВ 1 АС по условию): ВС = лУаВ^ + АС" = л/2а^ + 4а^ = а %/б, Ответ: а Vo. <] Прежде чем проводить вычисления, в решении необходимо обосновать, что данное расстояние (от точки до плоскости) и данные углы (между наклонными и плоскостью) обозначены правильно. В ходе вычисления следует указывать, из какого треугольника определяем элементы, и, если он прямоугольный, объяснять почему. План вычислительной части решения может быть следующим: 1) из прямоугольного треугольника АОВ найти АВ; 2) из прямоугольного треугольника АВС найти АС; 3) из прямоугольного треугольника АВС найти ВС. D Задача 2*. Найдите угол^ между ребром правильного тетраэдра и плоскостью грани, не содержащей это ребро. ►В Рис. 16.4 V Решение ► Пусть ABCD — данный правильный тетраэдр. Опустим перпендикуляр DO на плоскость АВС (рис. 16.4). Тогда АО — проекция ребра AD на плоскость АВС, следовательно, Z DAO — угол между ребром AD и плоскостью АВС. Поскольку в правильном тетраэдре Комментарий Напомним, что в правильном тетраэдре все грани — правильные треугольники, поэтому все его ребра равны. Поскольку углом между наклонной и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость, то для построения угла между ребром AD ^ Напомним, что задача на нахождение угла считается решенной, если найдена величина угла или любая его тригонометрическая функция. § 16. Угол между прямой и плоскостью 147 все ребра равны (пусть DA = DB = = DC = АВ = ВС = АС = х), то наклонные DAy DBy DC равны, а следовательно, равны и их проекции; АО = ВО = СО. Это значит, что точка О является центром окружности, описанной около правильного треугольника АВС, а отрезок АО — его радиусом. Тогда AQ = Гг Из прямоугольного треугольника ADO {DO -LAO, поскольку DO ± пл. ABC): X у ТЛ л УЛ АО >/з 1 cos Z DAO = = -7=. AD X Г Ответ: cos Z ОАО = -^. <3 7з (рис. 16.4) и плоскостью АВС достаточно построить проекцию АО на плоскость. Для этого нужно опустить перпендикуляр из точки О на плоскость АВС. В полученной конфигурации из точки О к плоскости треугольника АВС проведены перпендикуляр и наклонная. Поэтому целесообразно использовать соответствующие свойства, связывающие длины наклонных, проведенных из одной точки к одной плоскости, и их проекций. Следует также учесть, что в этой задаче на вычисление не дано ни одного отрезка, и поэтому для ее решения удобно ввести неизвестный отрезок. D Замечание. Для правильного построения рисунка к этой задаче необходимо учесть, что треугольник АВС есть изображение правильного треугольника, а точка О — изображение его центра (совпадающего с центром описанной окружности). Поскольку центр правильного треугольника лежит в точке пересечения высот, биссектрис и медиан, а медианы проектируются в медианы треугольника проекции, то на рисунке точка О должна находиться в точке пересечения медиан AM и ВК треугольника АВС (рис. 16.5). Вопросы для контроля 1. Что называют углом между наклонной и плоскостью? 2. Чему равен угол между прямой и плоскостью, если: 1) прямая перпендикулярна плоскости; 2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая лежит в плоскости? 3*. Докажите, что угол между наклонной и плоскостью — наименьший из всех углов между этой наклонной и прямыми, лежащими в данной плоскости. 148 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Рис. 16.6 Упражнения 16.1°. В кубе ABCDA^B^C^D^ (рис. 16.6) укажите углы между данными наклонной и плоскостью: 1) АВ^ и пл. ABCD; 2) АВ^ и пл. A^B^C^D^; 3) АВ^ и пл. AA^D^D; 4) АВ^ и пл. ВВ^С^С; 5) BD^ и пл. ABCD; 6) BD^ и пл. ВВ^С^С; 7) В^С и пл. ABCD; 8) В^С и пл. CDD^Cy 16.2°. Наклонная равна а. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная образует с плоскостью угол, равный: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°? 16.3°. Точка А удалена от плоскости на расстояние d. Найдите длины наклонных, проведенных из этой точки под следующими углами к плоскости: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°. 16.4. Докажите, что равные наклонные, проведенные к плоскости из точки, не принадлежащей плоскости, образуют с плоскостью равные углы. 16.5. Какую фигуру на плоскости а образуют основания всех наклонных, проведенных к плоскости а из точки, не принадлежащей плоскости, и образующих равные углы с плоскостью а? 16.6. Докажите, что проекция (ортогональная) наклонной равна произведению этой наклонной на косинус угла, который она образует с плоскостью проектирования. 16.7. Может ли катет равнобедренного прямоугольного треугольника образовывать с плоскостью, проходящей через гипотенузу, угол 60°? Каков наибольший угол между катетом и этой плоскостью? 16.8*. Докажите, что прямая, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под одинаковыми углами. 16.9*. Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные прямые, пересекает их под одинаковыми углами. 16.10. Прямые а VI Ъ образуют с плоскостью а равные углы. Будут ли прямые а и 5 параллельны? 16.11. Две различные плоскости образуют с данной прямой равные углы. Как расположены плоскости относительно друг друга? 16.12*. Одна из двух скрещивающихся прямых пересекает плоскость под углом 60°, а другая перпендикулярна этой плоскости. Найдите угол между данными скрещивающимися прямыми. 16.13. Отрезок длиной 10 м пересекает плоскость; его концы находятся на расстояниях 2 м и 3 м от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью. § 16. Угол между прямой и плоскостью 149 16.14. В кубе найдите угол между диагональю куба и плоскостью основания. 16.15. Даны треугольник АВС и точка К, не принадлежащая его плоскости. KD, КЕ, KF — перпендикуляры, опущенные из точки К на стороны треугольника. Эти перпендикуляры одинаково наклонены к плоскости треугольника. Докажите, что точка К проектируется в центр окружности, вписанной в треугольник. 16.16*. Через сторону квадрата проведена плоскость, образующая с диагональю квадрата угол 30®. Найдите углы, образованные этой плоскостью и сторонами квадрата, наклонными к ней. 16.17. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью. 16.18. Из точки, удаленной от плоскости на расстояние а, проведены под углом 60° друг к другу две наклонные, образующие с плоскостью углы 45°. Найдите расстояние между концами наклонных. 16.19. Из точки, удаленной от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции образуют угол 120°. Найдите расстояние между концами наклонных. 16.20*. Из вершины А квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок АЙГ, равный 3. Из точки К опущены перпендикуляры на стороны ВС и CD, перпендикуляр из точки К к стороне ВС равен 6. Найдите углы, образованные этими перпендикулярами с плоскостью квадрата. 16.21*. Основание равнобедренного треугольника лежит в плоскости а (плоскость треугольника не совпадает с плоскостью а). Какой из углов больше: угол наклона боковой стороны к плоскости а или угол наклона высоты, опущенной на основание треугольника, к плоскости а? 16.22*. Угол между прямой а и плоскостью а равен 45°. Через точку их пересечения в плоскости а проведена прямая Ь. Угол между прямыми а и Ь равен 60°. Докажите, что угол между прямой Ь и проекцией прямой а на плоскость а равен 45°. 16.23*. Через сторону АС равностороннего треугольника АВС проведена плоскость а. Угол между высотой BD треугольника и этой плоскостью равен р. Найдите угол ср между прямой АВ и плоскостью а. 16.24. Докажите, что если все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, то основанием пирамиды является многоугольник, около которого можно описать окружность, и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности. 150 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ § 17 ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ Таблица 15 двугранный угол Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями аир с ограничивающей их общей прямой с. Полуплоскости аир — грани двугранного угла, а прямая с — ребро двугранного угла. Линейный угол двугранного угла В Если ф — линейный угол, то 0° < Ф < 180°. Z AM В — линейный угол (у -L с, Y пересекает а по лучу МА, Y пересекает Р по лучу МВ) Практические способы построения линейного угла В Мес, МА J. с (в грани а), МВ J- с (в грани Р), Z АМВ — линейный SO 1 пл. АВС, ОМ 1 ВС. Тогда SM ± ВС (по теореме о трех перпендикулярах), Z SMO — линейный угол двугранного угла при ребре ВС. § 17. Двугранный угол. Угол между плоскостями 151 Окончание табл. 15 I Объяснение и обоснование 1. Двугранный угол. Полуплоскость в пространстве можно считать пространственным аналогом луча. Тогда аналогом угла между лучами на плоскости будет угол между полуплоскостями. Определение, Двугранным углом называют фигуру, образованную двумя полуплоскостями с ограничивающей их общей прямой (рис. 17.1). Полуплоскости называют гранями двугранного угла, а ограничивающую их прямую — ребром двугранного угла. Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум лучам. Угол, образованный этими лучами, называют линейным углом двугранного угла. Пусть дан двугранный угол, образованный полуплоскостями аире общей прямой с (рис. 17.2). Плоскость у, перпендикулярная прямой с, пересекает полуплоскости а и р по лучам а и Ь соответственно. Угол между лучами а и Ь и есть линейный угол этого двугранного угла. ^ Если при пересечении плоскостей все образованные углы равны (все углы прямые), то за угол между плоскостями принимают любой из них. 152 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ За меру двугранного угла принимают меру соответствующего ему линейного угла: Z (а; 3) = Z (а; Ь). Докажем, что величина линейного угла не зависит от выбора плоскости у. • Пусть у и у' — плоскости, перпендикулярные прямой с, которые проходят через точки О и О' на прямой с и пересекают полуплоскости а и р по лучам а Vi. а' VI Ь VI Ь' соответственно (рис. 17.3). Поскольку две различные плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, то у II ■/. Рассмотрим параллельное проектирование в направлении прямой ОО' на плоскость у'. Поскольку полуплоскость а проходит через прямую ОО' и пересекает плоскость у по лучу а, а плоскость у' — по лучу а', то луч а' — проекция луча а на плоскость у'. Аналогично луч Ъ' является проекцией луча Ъ на плоскость у'. Но из свойств параллельного проектирования следует, что если плоская фигура F (например, угол между лучами а vl Ъ) лежит в плоскости у, параллельной плоскости проектирования у', то ее проекция на плоскость у' равна фигуре F. Таким образом, угол между лучами а VI Ь равен углу между лучами а' и Ъ’. О Если обозначить линейный угол двугранного угла через ср, то из определения следует, что 0° < ф < 180°. Двугранный угол называют прямым, если его линейный угол прямой. Углом между двумя соседними гранями многогранника будем называть двугранный угол между соответствующими полуплоскостями. Например, в кубе ABCDA^B^C^D^^ (рис. 17.4) угол между гранями ABCD и ВВ^С^С прямой, поскольку соответствующий линейный угол АВВ^ равен 90° (плоскость АВВ^А^ перпендикулярна ребру ВС и пересекает соответствующие полуплоскости по лучам ВА и следовательно, Z АВВ^ — линейный угол двугранного угла с ребром ВС). Практические способы построения линейного угла двугранного угла В задачах, для регпения которых применяются линейные углы, не всегда удобно пользоваться определением линейного угла. Поэтому полезно знать некоторые практические способы построения линейных углов. § 17. Двугранный угол. Угол между плоскостями 153 Способ 1. Если из точки М, взятой на ребре двугранного угла, провести в его гранях перпендикуляры МА и МВ к ребру, то угол между перпендикулярами будет линейным углом двугранного угла (рис. 17.5). • По построению МА 1 с и МВ 1 с, тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости плоскость МАВ перпендикулярна ребру с и пересекает грани двугранного угла по лучам МА и МВ. Следовательно, по определению у гол АМБ —действительно линейный угол двугранного угла. О Например, чтобы в кубе ABCDA^B^C^D^ (рис. 17.4) получить линейный угол двугранного угла с ребром ВС, достаточно заметить, что в грани ABCD АВ 1 ВСу а в грани ВВ^С^С ВВ^ 1 ВС, следовательно, Z ABBj — линейный (и Z ABBj = 90° как угол квадрата ABB^Aj). В Рис. 17.5 Способ 2. Если из точки В, лежащей на одной из граней двугранного угла, опущен перпендикуляр SO на другую его грань, то для построения соответствующего линейного угла достаточно из основания данного перпендикуляра (точки О) опустить перпендикуляр на ребро двугранного угла и соединить отрезком полученную на ребре точку с точкой S. • Пусть дан двугранный угол с ребром АВ и гранями аир (рис. 17.6). Из точки В G р опущен перпендикуляр (ВО 1 а). Из точки О проведем в грани а перпендикуляр ОМ LAB и соединим точки S и М отрезком. По теореме о трех перпендикулярах SM ± АВ. Отсюда следует, что из точки М на ребре двугранного угла проведены в его гранях два перпендикуляра к ребру и, как обосновано в способе 1, угол SMO — действительно линейный угол данного двугранного угла. О Замечание. При записи решений задач, связанных с двугранными углами, результат, обоснованный в способе 1, можно использовать как известный опорный факт. Обоснования же, приведенные в способе 2, надо повторять в решении каждой задачи, где применен этот способ построения линейного угла. (Возможный вариант записи такого обоснования приведен в табл. 15.) 154 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Угол между плоскостями. Дадим определение угла между плоскостями. Определение. Углом, между пересекающимися плоскостями называют наименьший^ из двугранных углов, образованных соответствующими полуплоскостями^. Угол между параллельными или совпадающими плоскостями считается равным нулю. Если обозначить угол между плоскостями через (р, то из приведенного определения следует, что 0° < ф < 90°. Покажем, что для того чтобы найти величину угла между пересекающимися плоскостями, достаточно через произвольную точку на прямой их пересечения провести в каждой плоскости прямую, перпендикулярную пр51мой их пересечения. Величина угла между этими прямыми и равна величине угла между данными плоскостями. • Действительно, пусть две плоскости а и 3 пересекаются по прямой с (рис. 17.7). Выберем точку А на прямой с и проведем в плоскости а прямую а 1 с, а в плоскости р — прямую Ь ± с. Плоскость у, проходящая через прямые а и Ь (пересекающиеся в точке А), перпендикулярна прямой с (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Она пересекает эти плоскости по прямым а и Ь. По определению углы между соответствующими лучами прямых а и Ь — линейные углы двугранных углов, образованных полуплоскостями плоскостей а и 3 (с общей прямой с). Тогда наименьший из двугранных углов, образованных соответствующими полуплоскостями, равен наименьшему из углов, образованных соответствующими лучами прямых а и Ь, то есть углу между этими прямыми. Следовательно, Z (а; 3) = Z (а; Ь). О Например, в кубе ABCDA^B^C^D^ (рис. 17.8) угол между плоскостями ABCD и A^BCD^ равен углу между прямыми АВ и А^В, лежащими в рассматриваемых плоскостях и перпендикулярными прямой их пересечения ВС (поскольку ВС 1 пл. ABBjA^). Следовательно, угол между плоскостями ABCD и A^BCD^ равен 45°. С Рис. 17.8 Рис. 17.9 * Если при пересечении плоскостей все образованные углы равны (все углы прямые), то за угол между плоскостями принимают любой из них. ^ Имеются в виду двугранные углы, гранями каждого из которых являются одна полуплоскость плоскости а и одна полуплоскость плоскости р, а ребром — прямая пересечения данных плоскостей. § 17. Двугранный угол. Угол между плоскостями 155 ШШ Примеры решения задач Задача 1. Найдите угол между гранями правильного тетраэдра. Решение Комментарий ► Пусть SABC — правильный тетраэдр (рис. 17.9). Возьмем точку М — середину ребра ВС и соединим ее отрезками с точками S и Л. В правильном тетраэдре все ребра равны (пусть SA = SB = SC = АС = ВС = = АВ = х). Следовательно, треугольники SBC и АВС правильные и их медианы SM и AM являются соответственно их высотами, то есть SMlBCu AM ± ВС. Тогда Z SMA — линейный угол двугранного угла при ребре ВС (пусть Z SMA = ф). По- скольку SM = AM = (как высо- ты правильных треугольников), то по теореме косинусов из треугольника SMA: SA^ = АМ^ + SM^ - 2АМ ■ SM • cos ф, 2 Зх^ ^ Зх^ Зх^ то есть X =-----h —----— ' cos ф. Отсюда cosф = -. О Ответ'. созф = ^. О О Напомним, что в правильном тетраэдре все грани — правильные треугольники, поэтому все его ребра равны. Для построения линейного угла двугранного угла при ребре ВС удобно использовать первый практический способ и получить в гранях двугранного угла два перпендикуляра к ребру, проведенные из одной точки М (рис. 17.9). Следует учесть, что, опуская перпендикуляры из точек S и А на прямую ВС, нужно доказывать, что их основания находятся в одной точке. Во избежание этого удобно взять середину отрезка ВС, соединить эту точку отрезками с точками S и А, а затем доказать, что действительно получили перпендикуляры к ВС. Необходимо также учесть, что в предложенной задаче на вычисление не дано ни одного отрезка. Поэтому для ее решения удобно ввести неизвестный отрезок (и кроме того, обозначить искомый угол через ф). Задача 2. Через гипотенузу АВ = с равнобедренного прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°) проведена плоскость а, образующая с плоскостью треугольника угол 60°. Найдите расстояние от вершины С до плоскости а. Решение ► Опустим перпендикуляр СО из точки С на плоскость а, тогда СО — расстояние от точки С до плоскости а (рис. 17.10). В плоскости а проведем ОМ _L АВ и соединим отрезком точки с и М. Комментарий Для того чтобы найти расстояние от точки С до плоскости а (рис. 17.10), необходимо провести перпендикуляр к плоскости а (СО ± а). Поэтому угол между плоскостью треугольника и плоскостью а удобно построить 156 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Тогда СМ ± АВ по теореме о трех перпендикулярах, то есть Z СМО — линейный угол двугранного угла при ребре АВ, следовательно, Z СМО = 60°. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота СМ является одновременно медианой, следовательно, AM = АВ - = —. Тогда из прямоугольного треугольника ACM имеем: СМ = ^. Из прямоугольного треугольника СМО {СО 1 ОМ, поскольку СО 1 а): с4з 4 ■ CO = CM.sin 60° = Ответ: —. <1 4 способом 2 построения линейного угла. Этим способом всегда получается линейный угол двугранного угла как острый угол прямоугольного треугольника. Следовательно, величина полученного острого линейного угла всегда равна величине угла между плоскостями, в которых лежат грани рассматриваемого двугранного угла. Вопросы для контроля 1. Объясните, какую фигуру называют двугранным углом (ребром угла, гранью угла). 2. Объясните, как определяют линейный угол двугранного угла. 3. Докажите, что мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла. 4. Объясните, пользуясь моделью двугранного угла, как можно практически построить линейный угол двугранного угла. 5*. Докажите, что в результате использования практических способов действительно получаем линейные углы. 6. Дайте определение угла между плоскостями. 7*. Докажите, что если через произвольную точку на прямой пересечения плоскостей провести в каждой плоскости прямую, перпендикулярную прямой их пересечения, то величина угла между этими прямыми будет равна величине угла между заданными плоскостями. § 17. Двугранный угол. Угол между плоскостями 157 17.1' 17.2' Упражнения Какой угол образует ребро двугранного угла с любой прямой, лежащей в плоскости его линейного угла? На рисунке 17.11 изображен двугранный угол с ребром ВС. Укажите линейный угол этого двугранного угла, если АР _L пл. АВС и в треугольнике АВС угол С равен 90°. Рис. 17.11 17.3°. В основании пирамиды OABCD (рис. 17.12) лежит квадрат ABCD. Боковое ребро ОВ перпендикулярно плоскости основания. Укажите линейный угол двугранного угла с ребром CD. 17.4°. Полуплоскости, в которых лежат два равнобедренных треугольника с общим основанием, образуют двугранный угол. Верно ли утверждение, что медианы, проведенные к общему основанию треугольников, образуют линейный угол двугранного угла? 17.5. Треугольник МАВ и квадрат ABCD расположены таким образом, что МВ — перпендикуляр к плоскости квадрата. Величину какого угла можно считать углом между плоскостями AMD и АВС? 17.6. Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка А, лежащая в одной из этих плоскостей, удалена от другой плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей. 17.7. В кубе ABCDA^B^C^D^ найдите угол наклона плоскости ADCj к плоскости АВС. 17.8. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоскости, проходящей через гипотенузу и образующей с плоскостью треугольника угол 30°. 17.9. Через сторону АВ треугольника АВС проведена плоскость а под углом 60° к плоскости треугольника. Высота CD треугольника АВС равна а. Найдите расстояние от вершины С треугольника до плоскости а. 158 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 17.10. Через катет ВС = а равнобедренного прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°) проведена плоскость а, образующая с плоскостью треугольника угол 30°. Найдите расстояние от вершины А до плоскости а. 17.11*. Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под одинаковыми углами. 17.12. Найдите угол между плоскостями, если точка, лежащая на одной из них, находится от прямой пересечения плоскостей на расстоянии вдвое большем, чем от другой плоскости. 17.13. Равнобедренные треугольники АВС и ABD с общим основанием АВ лежат в различных плоскостях, угол между которыми равен а. Найдите cos а, если: 1)АВ = 24 см, АС = 13 см, AD = 37 см, CD = 35 см; 2) АВ = 32 м, AC = 65m,AD = 20 м, CD = 63 м. 17.14. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основание равно 16 м; боковая сторона одного треугольника — 17 м, боковые стороны другого — перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников. 17.15*. В квадрате ABCD через вершину D параллельно диагонали АС прюве-дена плоскость а, образующая с диагональю BD угол 60°. Чему равен угол между плоскостью квадрата и плоскостью а? 17.16*. Из точек А и В, лежащих в различных гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры АА^ и ВВ^ на ребро утла. Найдите: 1) отрезок АВ, если AAj = а, ВВ^ = Ь, А^В^ = с и двугранный угол равен а; 2) двугранный угол а, если АА^ = 3, ВВ^ = 4, А^В^ = 6, АВ = 7. 17.17*. Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через сторону основания, если угол между этой плоскостью и плоскостью основания равен: 1) 30°; 2) 60°. 17.18. Через центр О правильного треугольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр МО, АВ = а\/3. Угол между прямой МА и плоскостью треугольника равен 45°. Найдите угол между плоскостями: 1) АМО и ВМО; 2) ВМС и АВС. 17.19*. Все ребра правильной треугольной призмы равны. Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через противолежащие вершины боковой грани и середину ребра, противолежащего этой грани. 17.20*. Докажите, что если все двугранные углы при основании пирамиды равны, то основание пирамиды — многоугольник, в который можно вписать окружность, и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности. § 18. Перпендикулярность плоскостей 159 § 18 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ Таблица 16 Понятие угла между плоскостями позволяет дать определение перпендикулярности плоскостей. I Определение. Две пересекающиеся плоскости называют перпендикуляр-нымщ если угол между ними равен 90°. 160 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ■ Теорема 18.1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. • Доказательство. Пусть а — данная плоскость, Ь — прямая, перпендикулярная этой плоскости (Ь _L а), Р — плоскость, проходящая через прямую Ь, и с — прямая, по которой пересекаются плоскости аир (рис. 18.1). Докажем, что плоскости аир перпендикулярны. Проведем в плоскости а через точку А пересечения прямой Ь с плоскостью а (а значит, и с прямой с) прямую а, перпендикулярную прямой с. Так как ft 1 а, то Ь ± с и Ь 1 а. Тогда, как было показано в § 17, величина угла между плоскостями равна величине угла между прямыми а и 6, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными прямой с их пересечения. Учитывая, что Ь L а, получаем: Z (а; Р) = Z (а; Ъ) = 90°. Следовательно, плоскости аир перпендикулярны. О D, г Рис. 18.1 Рис. 18.2 В частности, в кубе ABCDA^B^CJ)^ (рис. 18.2) пересекающиеся грани попарно перпендикулярны, поскольку, как было показано ранее, каждое ребро куба (например, АА^) перпендикулярно грани, которую оно пересекает (например, грани ABCD). Следовательно, плоскость, проходящая через это ребро (например, ADD^A^), по признаку перпендикулярности плоскостей перпендикулярна другой плоскости (пл. ABCD). Рассмотрим еще одно свойство, связывающее перпендикулярность двух плоскостей и перпендикулярность прямой и плоскости. ■ Теорема 18.2. Прямая, проведенная в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно прямой их пересечения, перпендикулярна другой плоскости. • Доказательство. Пусть перпендикулярные плоскости аир пересекаются по прямой сив плоскости р проведена прямая Ь перпендикулярно прямой с (рис. 18.1). Докажем, что f) _L а. Проведем в плоскости а через точку А прямую а, перпендикулярную прямой с. Тогда величина угла между прямыми а и Ъ равна величине угла между плоскостями а и р, то есть 90°. Следовательно, прямая Ь § 18. Перпендикулярность плоскостей 161 перпендикулярна пересекающимся прямым а и с плоскости а. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости Ь ± а. О Примеры решения задач Задача 1. Даны прямая а и плоскость а. Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости а. Решение ► Если а J. а, то возьмем произвольную точку В, не лежащую на прямой а, и через прямую и точку вне ее проведем плоскость у (рис. 18.3, а). По признаку перпендикулярности плоскостей Y ± а. Если данная прямая не перпендикулярна плоскости а, то возьмем произвольную точку А прямой а и проведем через нее прямую Ь (рис. 18.3, б), перпендикулярную плоскости а. Через прямые а и Ь проведем плоскость р. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости р 1 а. <] Комментарий Эта задача на воображаемое построение фактически является задачей на доказательство существования фигуры, удовлетворяющей данным условиям. Как отмечалось в § 4, это доказательство должно опираться на соответствующие аксиомы и свойства стереометрических фигур. В частности, следует использовать результаты, рассмотренные в § 14: через произвольную точку пространства всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости. Для доказательства перпендикулярности данной и построенной плоскостей можно использовать признак перпендикулярности плоскостей (для этого достаточно выяснить, что построенная плоскость проходит через прямую, перпендикулярную данной плоскости). Рис. 18.3 162 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Задача 2. Докажите, что плоскость линейного угла перпендикулярна каждой грани двугранного угла. Решение Комментарий ► По определению линейного угла его плоскость у перпендикулярна ребру с (рис. 18.4). Но каждая грань (а и Р) двугранного угла проходит через прямую с, перпендикулярную плоскости у. Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей у _L а и у _L р. Для доказательства перпендикулярности двух плоскостей можно использовать признак перпендикулярности плоскостей, а для этого достаточно выяснить, что одна из плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости. Задача 3. Докажите, что если из точки, лежащей в одной из перпендикулярных плоскостей, опустить перпендикуляр на вторую плоскость, то этот перпендикуляр будет лежать в первой плоскости. Решение ► Пусть плоскости аир перпендикулярны (Р 1 а) и пересекаются по прямой с (рис. 18.5). Опустим из некоторой точки А G р перпендикуляр АО на плоскость а (АО _L а). Допустим, что АО не лежит в плоскости р. Проведем в плоскости Р через точку А перпендикуляр к прямой с (АО^ 1 с). Тогда по теореме 18.2 AOj ± а. Получается, что через точку А проходят две прямые, перпендикулярные плоскости а, что невозможно. Следовательно, АО лежит в плоскости р. <1 Комментарий Для доказательства используем метод «от противного»: допустим, что перпендикуляр не лежит в первой плоскости. Используя теорему 18.2, построим еще один перпендикуляр из данной точки к плоскости. Это и приведет к противоречию с единственностью такого перпендикуляра. Следовательно, наше предположение неверно, а значит, перпендикуляр должен лежать в первой плоскости. § 18. Перпендикулярность плоскостей 163 Задача 4. Докажите, что если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то прямая их пересечения перпендикулярна этой (третьей) плоскости. Комментарий Применим результат, обоснованный в задаче 2, к точке, взятой на прямой пересечения первых двух плоскостей, и учтем, что две различные плоскости могут иметь только одну общую прямую — прямую их пересечения. Решение ► Пусть плоскости аир пересекаются по прямой а и перпендикулярны плоскости у (а -L у и Р ± у) (рис. 18.6). Возьмем произвольную точку А на прямой а и проведем через нее прямую, перпендикулярную плоскости у {АО 1 у). По предыдущему свойству эта прямая лежит и в плоскости а, и в плоскости р, то есть она совпадает с прямой а. Тогда эта прямая перпендикулярна плоскости у. < Вопросы для контроля 1. Дайте определение перпендикулярности двух плоскостей. 2. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей. 3*. Докажите признак перпендикулярности двух плоскостей. 4. Сформулируйте свойство, связывающее перпендикулярность двух плоскостей и перпендикулярность прямой и плоскости. 5*. Докажите свойство, связывающее перпендикулярность двух плоскостей и перпендикулярность прямой и плоскости. Упражнения 18.1°. Плоскость а перпендикулярна плоскости р. Будет ли произвольная прямая плоскости а перпендикулярна плоскости Р? (Проиллюстрируйте ответ на модели перпендикулярных плоскостей.) 18.2°. Две плоскости перпендикулярны. Укажите все возможные случаи расположения прямой, лежащей в одной плоскости, относительно прямой, лежащей в другой плоскости. (Проиллюстрируйте свой ответ на модели.) 18.3°. Верно ли, что плоскость, проходящая через наклонную к другой плоскости, всегда не перпендикулярна этой плоскости? 18.4°. Верно ли, что две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны? 18.5°. Верно ли, что прямая и плоскость, перпендикулярные другой плоскости, параллельны? 18.6°. Плоскость и прямая параллельны. Верно ли утверждение, что плоскость, перпендикулярная этой плоскости, перпендикулярна и этой прямой? 164 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 18.7. Плоскость и прямая параллельны. Верно ли утверждение, что плоскость, перпендикулярная прямой, перпендикулярна этой плоскости? 18.8. Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную прямую? 18.9. Докажите, что пересекающиеся грани прямоугольного параллелепипеда попарно перпендикулярны. 18.10. Докажите, что в кубе ABCDA^B^C^D^ сечения AA,CjC и BB^D^D перпендикулярны. (Поскольку эти сечения проходят через диагонали граней куба, их называют диагональными.) 18.11. Докажите, что через любую точку пространства можно провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости. Сколько таких плоскостей можно провести через данную точку? 18.12°. Вертикальность стены при строительстве проверяют с помощью отвеса (шнура с грузиком). Если шнур плотно прилегает к поверхности стены, то считается, что вертикальность выдержана. На чем основан такой способ проверки? 18.13. Равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (Z С = 90°) перегнули по высоте СН таким образом, что плоскости АСН и ВСН образовали прямой угол. Найдите углы: 1) АНВ; 2) АСВ. 18.14. Существует ли треугольная пирамида, у которой три грани попарно перпендикулярны? 18.15. Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противолежащие боковые грани перпендикулярны основанию? 18.16. Существует ли пирамида, у которой три боковые грани перпендикулярны основанию? 18.17*. Даны прямая а и плоскость а, не перпендикулярная прямой. Докажите, что все прямые, перпендикулярные плоскости а и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости, перпендикулярной плоскости а. 18.18. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка AJB, если: 1) АС = 6 м, BD = 7 м, CD = 6 м; 2) АС = 3 м, BD = 4 м, CD = 12 м; 3) AD = 4 м, ВС = 7 м, CD=1 м; 4) АВ = ВС = 5 м, С£> = 1 м; 5) АС = а, BD = Ъ, CD = с; 6)AD = a, ВС = Ь, CD = с. 18.19. Точка находится на расстояниях а и Ь от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей (рис. 18.7). 18.20*. Плоскости аир перпендикулярны. В плоскости а взята точка А, расстояние от которой до прямой с (линии пересечения плоскостей) равно 0,5 м. В плоскости р проведена прямая Ъ, параллельная прямой с и удаленная от нее на 1,2 м. Найдите расстояние от точки А до прямой Ъ. § 18. Перпендикулярность плоскостей 165 18.21*. Перпендикулярные плоскости а и Р пересекаются по прямой с. В плоскости а проведена прямая а || с, а в плоскости р — прямая Ь II с. Найдите расстояние между прямыми а и Ь, если расстояние между прямыми а и с равно 1,5 м, а между прямыми Ь и с — 0,8 м (рис. 18.8). 18.22*. Плоскости равносторонних треугольников АВС и ABD перпендикулярны. Найдите угол: 1) между прямой DC и плоскостью ЛВС; 2) между плоскостями ADC и BDC. 18.23*. Плоскости аир взаимно перпендикулярны. Прямая I пересекает плоскости а и р в точках А и В соответственно, образуя при этом с каждой из плоскостей углы, равные ср. Найдите длину отрезка, концы которого — проекции точек А и В па линию пересечения данных плоскостей, если длина отрезка АВ равна а. 18.24. Плоскости равнобедренного треугольника ABF и квадрата ABCD перпендикулярны. Найдите расстояние: 1) от точки F до прямой CD; 2) от точки F до центра окружности, проходящей через точки А, В и центр О квадрата, если сторона квадрата равна 32 и AF = BF = 20. 18.25. Плоскости АВС и ABD образуют угол 45°. Известно, что AD = 3, АВ = 5, ВС = у/2; DA ± АВ, СВ ± АВ. Найдите: 1) отрезок CD; 2) угол между прямой CD и плоскостью АВС. 18.26. Прямоугольники ABCD и АВМК лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях. Верно ли, что: 1) АС LAK; 2) AM _L AD; 3) АС ± AM? 18.27*. Дан РАВС — правильный тетраэдр с ребром 8. Через вершину С проведена плоскость а, перпендикулярная ребру АР. Найдите периметр и площадь треугольника, вершинами которого служат точки пересечения плоскости а с ребрами данного тетраэдра. 18.28*. Изобразите куб ABCDA^B^C^D^ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: 1) ребро ВВ^ перпендикулярно плоскости АСС^; 2) ребро АВ перпендикулярно плоскости АВ^С^; 3) ребро ВС перпендикулярно плоскости ABjCj. 16в Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ §19 РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ТОЧКАМИ, ПРЯМЫМИ и плоскостями Таблица 17 РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ (р - РАССТОЯНИЕ^) Определение Практические приемы получения расстояния от точки до плоскости Проводим КМ _L а (М G а). SO 1 а. Проводим КМ II SO. Тогда КМ JL а. К О КМ = р (К; а) КМ = р (К; а) Проводим через точку К плоскость Р ± а (Р пересекает а по АВ). Проводим КМ 1 АВ. Тогда КМ 1 а. КМ = р (К; а) РАССТОЯНИЕ (р) МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ РАССТОЯНИЕ (р) МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ А в 7 I а II а, А G а р (а; а) = р (А; а) 7 р II а, В G р р (р; а) = р (В; а) РАССТОЯНИЕ (р) МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ В Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра. Прямые а и Ь — скрещивающиеся. АВ _L а, АВ ± Ь р (а; Ь) = АВ ^ Обозначение расстояния между точкой А и плоскостью а (и между другими фигурами) в виде р (А; а) не является общепринятым, но иногда мы будем пользоваться им для сокращенных записей. § 19. Расстояния между точками, прямыми и плоскостями 167 Окончание табл. 17 ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ (р) МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ Проводим через прямую Ъ плоскость Р II а. р (а; Ь) = р (а; р) Проводим через прямые а и Ь параллельные плоскости а || р. р (а; Ь) = р (а; Р) Проводим плоскость а ± а и проектируем прямые а и на эту плоскость: а А, Ь р (а; Ь) = р (А; Ь^) ШШ Объяснение и обоснование Напомним, что в планиметрии расстоянием между прямой и точкой, не принадлежащей ей, называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной прямой до другой (так как все расстояния от точек одной из параллельных прямых до другой одинаковы). В пространстве прямая и точка, не принадлежащая ей, а также две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Поэтому данные определения расстояний между точкой и прямой, а также между двумя параллельными прямыми можно использовать и для пространства. Напомним также (см. § 15) определение: расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Из свойств перпендикуляра и наклонной следует, что расстояние между точкой и плоскостью — наименьшее из всех возможных расстояний от этой точки до точек плоскости. Отметим, что в некоторых задачах важно указать на изображении пространственной фигуры основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость. Тогда можно использовать практические приемы получения расстояния от точки до плоскости, зафиксированные в табл. 17. Прием 1. Если в каком-либо месте данной конфигурации уже имеется перпендикуляр к данной плоскости, то достаточно через данную точку провести прямую, параллельную этому перпендикуляру, и найти точку пересечения этой прямой с данной плоскостью. Действительно, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. 168 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ D^DBx mo=\dd, 2 ^ 2 Пусть в кубе ABCDA^B^C^D^ с ребром а (рис. 19.1) нужно найти расстояние от середины диагонали куба BD^ — точки М до плоскости основания ABCD. Для этого достаточно вспомнить, что все боковые ребра куба перпендикулярны плоскости основания, в частности DJ) _L пл. ABCD, и провести через точку М прямую МО II DJ). Поскольку плоскость D^DB пересекает плоскость ABCD по прямой DB, то основанием искомого перпендикуляра является точка О G BD. Тогда по теореме Фалеса точка О — середина^ отрезка BD. Следовательно, расстояние от точки М до плоскости ABCD равно длине МО — средней линии треугольника Прием 2. Для того чтобы найти расстояние от точки до плоскости, можно через данную точку провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости, а затем в построенной плоскости провести перпендикуляр из данной точки на прямую пересечения рассматриваемых плоскостей. Действительно, по теореме 18.2 проведенный отрезок будет перпендикулярен данной плоскости, то есть он и будет расстоянием от данной точки до этой плоскости. Например, чтобы решить предыдущую задачу: в кубе ABCDA^Bfi^D^ с ребром а (рис. 19.1) найти расстояние от середины диагонали куба BD^ — точки М до плоскости основания ABCD, достаточно заметить, что плоскость BDJ) перпендикулярна плоскости ABCD (поскольку она проходит через ребро D^} ± пл. ABCD), и опустить из точки М перпендикуляр МО на прямую BD пересечения рассматриваемых плоскостей (если пл. BD^D ± пл. ABCD и МО 1 BD, то МО ± пл. ABCD). Это и будет расстояние от точки М до плоскости ABCD. Учитывая, что МО || D^D (как прямые, перпендикулярные одной плоскости), последующее решение будет таким же, как и приведенное выше. Дадим теперь определения расстояния между параллельными прямой и плоскостью, расстояния между параллельными плоскостями и расстояния между скрещивающимися прямыми. ■ Определение. Расстоянием между параллельными прямой и плоскостью называют расстояние от какой-либо точки прямой до плоскости. I Определение. Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называют расстояние от какой-либо точки одной плоскости до другой плоскости. * Строя изображение, следует учитывать, что диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам и при проектировании середина отрезка проектируется в середину отрезка проекции. Поэтому на изображении точка О должна быть точкой пересечения диагоналей BD и АС. § 19. Расстояния между точками, прямыми и плоскостями 169 Докажем, что расстояние между параллельными прямой и плоскостью или между двумя параллельными плоскостями не зависит от выбора точки. • Пусть даны параллельные прямая а и плоскость Р и точки Aj и на прямой а (рис. 19.2) или две параллельные плоскости а и Р и точки A^ и А^ в плоскости а (рис. 19.3). Опустим из точек А^ и А^ перпендикуляры А^В^ и А^В^ на плоскость р. Тогда расстояние от точки А^ до плоскости Р равно А^Б^, а расстояние от точки Ag до плоскости Р — AgSg* Четырехугольник А^А^В^В^ — прямоугольник (обоснуйте самостоятельно), следовательно, А^В^ = А^В^. О Отметим, что с понятиями расстояния от точки до плоскости и расстояния между параллельными плоскостями связаны понятия высоты пирамиды и призмы. а Аз Определение. Высотой пирамиды называют перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость ее основания. Длину этого перпендикуляра также называют высотой пирамиды. Например, если в пирамиде SABCD (рис. 19.4) SO _L пл. ABCD, то SO — высота пирамиды, то есть высотой пирамиды является расстояние от ее вершины до плоскости основания. I Определение. Высотой призмы называют перпендикуляр, опущенный из точки одного основания призмы на плоскость другого основания. Длину этого перпендикуляра также называют высотой призмы. ABCDEA^Bf^D^E^ Например, если в призме (рис. 19.5) А^М ± пл. ABCDEy то А^М — высота призмы. Поскольку в призме плоскости оснований параллельны, то высотой призмы является расстояние между этими плоскостями. Призму называют прямой, если у нее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, прямые призмы — куб и прямоугольный параллелепипед. Cl 170 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Из определения прямой призмы следует, что в прямой призме высотой призмы является боковое ребро. Например, если ABCA^Bfi^ — прямая призма (рис. 19.6), то ее высотой является любое боковое ребро, например АА^ (поскольку AAj X пл. АВС). Дадим также определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Определение 1. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них. Определение 2. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра. I Теорема 19.1. Обпщй перпендикуляр двух скрещивающихся прямых существует, и притом единственный. • Доказательство. Пусть а и Ъ — скрещивающиеся прямые. Через одну из них, например Ь, проведем плоскость р, параллельную прямой а. Это можно сделать, проведя прямую а', параллельную прямой а и пересекающую прямую Ь (рис. 19.7). Тогда пересекающиеся прямые а' и Ь будут определять плоскость р, параллельную прямой а. Рассмотрим ортогональную проекцию Oj прямой о на плоскость р. Она будет пересекать прямую Ь в некоторой точке В, являющейся ортогональной проекцией некоторой точки А прямой а. Отрезок АВ и будет искомым. Действительно, он перпендикулярен плоскости р, а значит, и прямым Ь и а'. Следовательно, АВ 1 Ь и АВ 1 а'. Учитывая, что а' || а, получаем АВ 1 а, то есть отрезок АВ — общий перпендикуляр прямых а и Ь. Докажем, что этот общий перпендикуляр единственный. Допустим, что прямые а VI Ь имеют еще один общий перпендикуляр CD: CD X Ь и CD X а. Поскольку а || а', то CD X а'. Тогда CD X р. Получили, что прямые АВ и CD перпендикулярны одной плоскости р, следовательно, они параллельны. Но параллельные прямые лежат в одной плоскости, тогда и точки А, Б, С, D лежат в одной плоскости. Отсюда следует, что прямые а и Ь лежат в одной плоскости, а это невозможно (поскольку по условию они скрещивающиеся). § 19. Расстояния между точками, прямыми и плоскостями 171 Следовательно, наше предположение неверно, и прямые а и Ь имеют только один общий перпендикуляр. О Например, в ABCDA^B^CJ)^ с ребром 1 (рис. 19.8) расстояние между скрещивающимися прямыми и ВС равно длине их общего перпендикуляра BBj = 1. Из теоремы 19.1 следует: для того чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, через одну из данных прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости (см. последний пункт табл. 17). Также можно через данные скрещивающиеся прямые провести параллельные плоскости и найти расстояние между ними. (Этот способ отличается от предыдущего тем, что через каждую из данных прямых проводят плоскость, параллельную другой прямой.) Кроме того, можно провести плоскость а, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых (например, на рис. 19.9 а _L а) и ортогонально спроектировать данные прямые на эту плоскость. Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми будет равно расстоянию между их ортогональными проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них (это свойство обосновано в § 21). Рис. 19.8 1Ш Примеры решения задач Задача 1. Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на 2,7 м и 6,3 м. Как удалена от плоскости середина этого отрезка? Решение ► Пусть дан отрезок АВ, не пересекающий плоскость а, и точка М — его середина (рис. 19.10). Опустим из точек А, В, М перпендикуляры на плоскость а (соответственно АА^, BBj, MMj). Так как прямые, перпендикулярные одной плоскости. Комментарий Еще до построения рисунка к задаче следует вспомнить, что расстояние от точки до плоскости измеряется по перпендикуляру, опущенному из данной точки на плоскость, и что прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. 172 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ параллельны, то АА^ || ВВ^ || ММ^. Тогда получаем проекцию (ортогональную) отрезка АВ на плоскость а. Поскольку М — середина АВ, то Mj — середина AjBj. Следовательно, MMj — средняя линия трапеции АА^В^В (AAj II ВВ^), поэтому ВВ. 6,3+ 2,7 ч _ ^ 2 Ответ: 4,5 м. <] = 4,5 (м). Тогда, рассматривая данные точки и основания соответствующих перпендикуляров, мы фактически получим параллельную (точнее, ортогональную) проекцию данного отрезка на плоскость. А поскольку проекция отрезка есть отрезок (а проекция его середины — середина отрезка проекции), то на соответствующем рисунке (см. рис. 19.10) основания перпендикуляров будут расположены на одной прямой. Задача 2. Докажите, что в правильной пирамиде высота проходит через центр основания. Решение ► Пусть SABC — правильная пирамида (рис. 19.11) и SO — ее высота (SO 1 пл. АВС). Так как в правильной пирамиде боковые ребра равны (SA = SB = SC), то их проекции на плоскость АВС также равны: ОА = ОВ = ОС. Тогда точка О — центр описанной около основания окружности, совпадающий с центром правильного многоугольника. <] Комментарий Напомним, что пирамиду называют правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а все боковые ребра равны. Центр правильного многоугольника одновременно является и центром описанной около него окружности. Поэтому для доказательства утверждения задачи достаточно показать, что основание высоты есть центр описанной окружности. Доказательство достаточно провести для треугольной пирамиды, поскольку для п-угольной пирамиды оно аналогично. Рис. 19.11 § 19. Расстояния между точками, прямыми и плоскостями 173 Задача 3*. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите расстояние между его скрещивающимися ребрами. Решение ► Пусть SABC — правильный те- I траэдр (рис. 19.12). Возьмем середи- | ны М VL К скрещивающихся ребер * ВС и SA соответственно и соединим отрезками точку М с точками S, А ' и К, а точку К — также с точка- I ми В и С. Поскольку в правильном 1 тетраэдре все грани — равные пра- | вильные треугольники, то ВК = КС и SM = AM (как медианы равных | треугольников). Учитывая, что в равнобедренном I треугольнике SAM медиана МК \ является также высотой, получаем МК ± SA. Кроме того, МК _L ВС (как ' медиана и высота равнобедренного , треугольника ВКС). j Следовательно, МК — общий пер- ' пендикуляр к скрещивающимся ребрам SA и ВС, а значит, это и есть расстояние между ними. Если ребро правильного тетраэдра а равно а, то SM = (как высота правильного треугольника со стороной а). I Из прямоугольного треугольника SKM i МК = Vbm"-SK^ = ал/2 Ответ: d Комментарий Напомним, что в правильном тетраэдре все боковые грани — равные правильные треугольники (и по условию все ребра равны а). Чтобы получить расстояние между скрещивающимися прямыми SA и ВС, рассмотрим плоскость SAM (где точка М — середина ребра ВС). Она перпендикулярна ВС (и будет проходить через другую прямую SA). Тогда, чтобы получить общий перпендикуляр двух данных прямых, достаточно в построенной плоскости SAM из точки М провести перпендикуляр к другой прямой. Учитывая, что этот перпендикуляр в равнобедренном треугольнике SAM (SM = AM) будет и медианой, можно составить следующий план дополнительных построений: 1) соединить отрезком середины двух скрещивающихся ребер данного правильного тетраэдра; 2) используя соответствующие равнобедренные треугольники в каждой из плоскостей, проходящих через построенный отрезок и одно из ребер, доказать, что этот отрезок является общим перпендикуляром рассмотренных скрещивающихся ребер. Вопросы для контроля 1. Дайте определение расстояния: 1) от точки до плоскости; 2) между параллельными прямой и плоскостью; 3) между параллельными плоскостями; 4) между скрещивающимися прямыми. 174 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Объясните, как практически можно получить расстояние от точки до плоскости. Проиллюстрируйте эти практические способы на каркасной модели куба. 3. Дайте определение высоты: 1) пирамиды; 2) призмы. Укажите на модели высоту прямоугольного параллелепипеда. 4. Объясните, какую призму называют прямой. На модели прямой призмы укажите ее высоту. 5. Дайте определение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых. Проиллюстрируйте его на модели. 6*. Докажите, что общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых существует, и притом единственный. ШШ Упражнения 19.1°. Из точки А, не принадлежащей плоскости а, проведена наклонная к этой плоскости. Определите угол между наклонной и плоскостью а, если расстояние от точки А до плоскости а в два раза меньше самой наклонной. 19.2. В кубе ABCDA^B^CJ)^ с ребром а найдите расстояние между вершиной А и: 1) ребром 2) диагональю BJ)^ грани 3*) диа- гональю куба AjC. 19.3°. Чему равно расстояние между параллельными гранями в кубе с ребром а? 19.4. В кубе ABCDA^BfiJ)^ с ребром а найдите расстояние: 1°) от вершины Aj до плоскости АВС; 2) от вершины В до плоскости АА^С. 19.5. В кубе ABCDA^BjC^D^ с ребром а найдите расстояние между вершиной С и плоскостью AB^D^. 19.6. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно а. Отрезок длиной Ь своими концами упирается в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую из плоскостей. 19.7. Найдите расстояние от середины отрезка AJ5 до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояния от точек А и В к плоскости равны: 1) 3,2 см и 5,3 см; 2) 7,4 см и 6,1 см; 3) а и Ь. 19.8*. Решите задачу 19.7 при условии, что отрезок АВ пересекает данную плоскость. 19.9. Через середину отрезка проведена плоскость. Докажите, что концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости. 19.10. Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость, параллельная гипотенузе, на расстоянии 1 м от нее. Проекции катетов на эту плоскость равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу. § 19. Расстояния между точками, прямыми и плоскостями 175 19.11. Через сторону параллелограмма проведена плоскость на расстоянии а от противолежащей стороны. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до этой плоскости. 19.12. Через одну сторону ромба проведена плоскость на расстоянии 4 м от противолежащей стороны. Проекции диагоналей на эту плоскость равны 8 м и 2 м. Найдите проекции сторон. 19.13. Два отрезка длиной а и Ь упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длиной а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка. 19.14°. Дано изображение правильной пирамиды SABCD с основанием АВС2). Постройте изображение ее высоты. 19.15. Дано изображение правильной пирамиды SABC с основанием АВС. Постройте изображение ее высоты. 19.16*. Докажите, что в правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания перпендикулярна боковому ребру, скрещивающемуся с ней. 19.17. В кубе ABCDA^B^CJ)^ с ребром а найдите расстояние между скрещивающимися прямыми: 1°) AAj и CD; 2) А^С и ВВ^\ 3) АВ и 4) АС и 5) BD и СС^; 6) АС^ и BD. 19.18. В прямой четырехугольной призме, в основании которой — ромб со стороной а и острым углом а, найдите расстояние между противолежащими боковыми гранями. 19.19*. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух параллельных плоскостей. 19.20°. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, высота — h. Найдите боковое ребро пирамиды. 19.21. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, боковое ребро — Ь. Найдите высоту пирамиды. 19.22. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, боковое ребро — Ь. Найдите угол наклона бокового ребра к плоскости основания. 19.23*. Даны плоскость а и две точки А и В по одну сторону от нее. Найдите точку С на плоскости а, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей. 19.24. Из данной точки к плоскости проведены две равные наклонные длиной 2 м. Найдите расстояние от точки до плоскости, если угол между наклонными равен 60°, а их проекции перпендикулярны. 19.25. Из точки, удаленной от плоскости на 1 м, проведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные 60°. 176 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 19.26. Через конец А отрезка АВ длиной Ь проведена плоскость, перпендикулярная отрезку, и в ней проведена прямая. Найдите расстояние от точки В до прямой, если расстояние от точки А до прямой равно а. 19.27. Расстояния от точки А до всех сторон квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна d. 19.28*. Основание высоты четырехугольной пирамиды — точка пересечения диагоналей основания пирамиды. Верно ли, что двугранные углы, образованные боковыми гранями пирамиды с плоскостью основания, равны, если основанием пирамиды являются: 1) квадрат; 2) произвольный параллелограмм; 3) ромб (отличный от квадрата); 4) равнобедренная трапеция? 19.29*. Докажите, что если основание высоты пирамиды — центр вписанной в основание окружности, то двугранные углы, образованные боковыми гранями пирамиды с плоскостью основания, равны. 19.30. Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС проведены пер- пендикуляры АА^ и BBj к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка если АВ = 2 м, CAj = 3 м, CBj = 7 м и отрезок А^^В^ не пересекает плоскость треугольника. 19.31. Расстояние от точки до каждой из двух параллельных плоскостей равно 5. Найдите расстояние между данными параллельными плоскостями. 19.32. Расстояния от точки до двух параллельных плоскостей равны 2 и 7. Найдите расстояние между данными параллельными плоскостями. 19.33*. Точка М находится на одинаковом расстоянии от каждой из прямых, содержании X стороны ромба ABCD, и равноудалена от каждой его вершины. Найдите углы ромба. 19.34. В кубе ABCDA^B^C^D^ проведено сечение через вершины А^, С и В^. Расстояние от вершины В до плоскости сечения равно 8. Найдите расстояния до плоскости сечения от вершин А, С^, D^. 19.35*. В кубе ABCZMjBjCjJDj проведено сечение через вершины А^, Cj и В. Расстояние от вершины В^ до плоскости сечения равно 4. Найдите расстояния до плоскости сечения от вершин А, С, D. 19.36*. Плоскости а и (3 параллельны. Прямая а лежит в плоскости а, а прямые КМ и КТ — в плоскости р. Расстояние между прямыми а и КМ равно 5, а между прямыми а и КТ — 8. Определите: 1) взаимное расположение прямых а и КМ; 2) взаимное расположение прямых а и КТ, 3) расстояние между плоскостями аир. 19.37. Плоскости квадрата ABEF и ромба ABCD перпендикулярны; CD = 6, Z BCD = 60°. Найдите расстояние между прямыми: 1) BF и CD; 2) AF и ВС. § 20. Ортогональное проектирование 177 § 20 ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Таблица 18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВО ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ Определение Свойство а±а где ф — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции ■■ Объяснение и обоснование 1. Определение и простейшие свойства ортогонального проектирования. I Определение. Параллельное проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости проектирования, называют ортогональным проектированием. Если прямая а, задающая направление проектирования, перпендикулярна плоскости а (см. рисунок в табл. 18), то проектирующие прямые (например, A4.J II а) также будут перпендикулярны плоскости а. Иначе говоря, проекцией точки будет основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость (если точка лежит на плоскости проекции, то она совпадает со своей проекцией). Если указанным образом построить проекцию каждой точки фигуры, то получим проекцию самой фигуры. Например, если плоскость данного /г-угольника и плоскость проекции не перпендикулярны, то проекцией л-угольника является л-угольник (см. примеры, приведенные в табл. 18). Поскольку ортогональное проектирование — частный случай параллельного проектирования, то оно имеет все его свойства, обоснованные в § 9. Напомним их. Ортогональная проекция прямой а, не перпендикулярной плоскости проекции, — это некоторая прямая а’. Если прямая а параллельна плоскости проекции, то ее проекция а' параллельна прямой а. Проекции параллельных прямых — параллельные прямые (если прямые и плоскость данных прямых не перпендикулярны плоскости проекции). Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой (или на параллельных прямых), сохраняется при ортогональном проектировании. Если плоская фигура F лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования, то ее проекция F' на эту плоскость равна фигуре F. 178 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Площадь ортогональной проекции многоугольника. ■ Теорема 20.1. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. • Доказательство. Рассмотрим сначала треугольник и его проекцию на плоскость, проходящую через одну из его сторон (рис. 20.1). Проекцией треугольника АВС является треугольник АВС^ в плоскости а (CCj 1 а). Проведем высоту CD треугольника АВС. По теореме о трех перпендикулярах C^D 1АВ, то есть отрезок C^D — высота треугольника АВС у Угол CDC^ равен углу ф между плоскостью треугольника АВС и плоскостью проекции а. Имеем: СД) = CD • cos ф, CD, ^ААВС, . =-АВ • C.D = -AB • CD • созф. I 9. ^ ^ Следовательно, 5д ~^^авс' Ф» ^ требовалось доказать. Теорема верна также, если вместо плоскости а взять любую параллельную ей плоскость, поскольку проекцией треугольника АВС^ на плоскость, параллельную его плоскости, является равный ему треугольник. Рис. 20.1 треугольники. Каждый треугольник, не имеющий сторону, параллельную плоскости проекции, разобьем на два треугольника с общей стороной, параллельной плоскости проекции, как это показано, например, для четырехугольника ABCD на рисунке 20.2. Площадь {k = 1, 2, ..., п) каждого треугольника нашего разбиения и площадь S' его проекции связаны равенством Sl=S^‘ cos ф. Иначе говоря, SI = • cos ф, 82=82' cos ф, ..., 81 =8„‘ cos ф. Сложим почленно все эти равенства: Sj -нSj -f-... + = (Sj + S2 +... + )• cosф. Тогда в левой части равенства получим площадь проекции многоугольника, а в правой — площадь самого многоугольника, умноженную на cos ф. § 20. Ортогональное проектирование 179 Следовательно, и в этом случае =-S’* ‘созф. О (1) проекции фигуры ' ^ ' Отметим, что утверждение теоремы выполняется также для произвольной плоской фигуры, площадь которой можно приблизить площадями вписанных многоугольников с любой точностью. Теорема справедлива и тогда, когда плоскость фигуры параллельна плоскости проекции (или фигура лежит в плоскости проекции). В этом случае данная фигура и ее проекция равны, следовательно, они имеют равные площади. Этот же результат получаем по формуле (1), поскольку угол между двумя параллельными (или совпадающими) плоскостями равен 0° (cos 0° = 1) и тогда S =S^ • cos 0° = S^ проекции фигуры фигуры Примеры решения задач Задача 1. Проекция прямоугольника со сторонами б см и 8 см на некоторую плоскость — ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Найдите угол между плоскостями прямоугольника и ромба. Решение ► Обозначим угол между плоскостями прямоугольника и ромба через (р. По- скольку S прямоугольника = 6-8 = 48 (см2). 5ромба = - • 6 • 8 = 24 (см2), JJQ формуле площади ортогональной проекции S______ = • cos ф получа- ’ ппоекпии (bnrvniii т • cos ф, то есть ем: S . = S ромба тгрямоугольника 24 = 48-cos ф. Отсюда соаф = ^, следовательно, ф = 60®. <3 Комментарий Как уже отмечалось, для нахождения угла достаточно найти любую его тригонометрическую функцию, а для этого достаточно использовать соотношение между площадями фигуры и ее ортогональной проекции (S = • cos ф). ' проекции фигуры ' ' Для того чтобы найти площадь ромба, следует помнить, что она равна половине произведения диагоналей. Задача 2*. Докажите, что если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекции, а другая не перпендикулярна этой плоскости, то ортогональная проекция прямого угла — также прямой угол. Решение ► Пусть даны прямой угол АВС, расположенный так, что прямая ВС параллельна плоскости проекций а, и AjBjCj — ортогональная проекция угла AjBC на плоскость а (рис. 20.3). Если ВС II а, то В^С^ || ВС. Тогда по определению угла между скрещи- Комментарий Рассматривая данный прямой угол АВС и его проекцию А^В^С^ (рис. 20.3), следует обратить внимание на то, что для доказательства перпендикулярности прямых BjCj, и AjBj можно обосновать перпендикулярность прямой В^С^ и плоскости AjBjB. 180 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Бающимися прямыми Z АВ) = = Z (БС; АВ) = Z АВС = 90°, то есть Б^С, _L АВ. Поскольку проектирование ортогонально, то ББ^ 1 а, следовательно, ББ^ _L Б^С^. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем: При этом полезно учесть свойство параллельного (а значит, и ортогонального) проектирования: прямая, параллельная плоскости проекции, проектируется в параллельную ей прямую (если ВС || а, то ВС || Б^С^). БJC^ JL пл. А^В^ВА. Следовательно, В^С^ ± i Z А^В^С^ = 90°, что и требовалось до- | казать. <] Вопросы для контроля 1. Объясните, как получают ортогональную проекцию точки; фигуры. 2. Сформулируйте основные свойства ортогональной проекции. 3. Сформулируйте свойство площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. В каком случае площадь фигуры равна площади ортогональной проекции этой фигуры? 4*. Докажите свойство площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Упражнения 20.1°. Верно ли, что ортогональная проекция прямоугольного треугольника — всегда прямоугольный треугольник? 20.2°. Приведите пример фигуры в пространстве, ортогональные проекции которой на две взаимно перпендикулярные плоскости есть окружности одинакового радиуса. 20.3*. Найдите ортогональную проекцию ромба, одна из диагоналей которого перпендикулярна плоскости проекции. 20.4. Может ли площадь ортогональной проекции фигуры быть: 1) больше; 2) меньше; 3) равна площади этой фигуры? 20.5°. Найдите длину ортогональной проекции отрезка АВ на плоскость а, если АВ = а, а прямая АВ наклонена к плоскости а под углом 30°. 20.6. Может ли ортогональная проекция отрезка быть: 1) меньше отрезка; 2) равна отрезку; 3) больше отрезка? 20.7°. Может ли ортогональной проекцией треугольника быть: 1) отрезок; 2) квадрат? 20.8*. Каждая из ортогональных проекций фигуры F на две взаимно перпендикулярные плоскости — квадрат. Следует ли из этого, что фигура Б — куб? 20.9. Может ли ортогональная проекция угла быть: 1) меньше этого угла; 2) равна углу; 3) больше этого угла? § 20. Ортогональное проектирование 181 20.10°. Может ли ортогональная проекция квадрата быть: 1) прямоугольником; 2) параллелограммом; 3) трапецией? 20.11°. Какой фигурой является ортогональная проекция прямоугольного параллелепипеда на плоскость, параллельную его основанию? 20.12. Диагонали ромба равны 10 см и 4 см. Плоскость ромба образует с плоскостью проекции угол 60°. Найдите площадь проекции ромба. 20.13. Найдите площадь проекции фигуры F на плоскость а, образующей с плоскостью данной фигуры угол 30°, если фигурой F является: 1) квадрат, диагональ которого 3 см; 2) правильный треугольник со стороной а; 3) ромб, сторона которого равна а, а его угол равен 45°. 20.14. Чему равен угол между плоскостью треугольника и плоскостью проекции, если площадь проекции этого треугольника: 1) в два раза меньше площади самого треугольника; 2) равна площади треугольника? 20.15. Проекцией квадрата со стороной а на некоторую плоскость является ромб со стороной Ь и острым углом а. Найдите угол между плоскостями квадрата и ромба. 20.16. Докажите, что при ортогональном проектировании равновеликие треугольники, лежащие в одной плоскости, имеют равновеликие проекции. 20.17*. S — площадь грани правильного тетраэдра, а Q — площадь ее проекции на другую грань. Найдите отношение Q : S. 20.18*. Докажите, что проекцией правильного тетраэдра на плоскость, параллельную двум его скрещивающимся ребрам, является квадрат. Верно ли обратное утверждение? 20.19*. Какой может быть наибольшая площадь ортогональной проекции правильного тетраэдра с ребром а? 20.20*. Какой фигурой является ортогональная проекция куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали? 20.21*. Найдите площадь ортогональной проекции куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали, если известно, что ребро куба равно а. 20.22*. Докажите, что площадь ортогональной проекции куба на плоскость будет наибольшей в случае, если плоскость проекции перпендикулярна одной из диагоналей куба. 20.23*. Ортогональные проекции плоского четырехугольника на две взаимно перпендикулярные плоскости — квадраты со сторонами 1. Найдите периметр четырехугольника, если известно, что одна из его сторон имеет длину 2. 20.24*. Ортогональные проекции треугольника АВС на две взаимно перпендикулярные плоскости являются правильными треугольниками со сторонами, равными 1. Медиана AD треугольника АВС равна 2. Найдите ВС. 20.25. Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину основания под углом 30° к этому основанию и пересекающей все боковые ребра. 182 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 20.26. Стороны прямоугольника равны 20 см и 25 см. Его проекция на плоскость подобна ему. Найдите периметр проекции прямоугольника. 20.27. Основание прямоугольного параллелепипеда — квадрат со стороной а. Через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра параллелепипеда и наклоненная к плоскости основания под углом (р. Найдите площадь полученного сечения. 20.28*. Ортогональная проекция ромба ABCD на плоскость, проходящую через вершину А ромба и параллельную его диагонали BD, — квадрат со стороной а. Найдите периметр ромба, если его диаго- наль АС равна т. 20.29*. Ортогональной проекцией плоского четырехугольника ABCD является квадрат A^BfiJ)^ со стороной 4, АА^ = 3, ВВ^ = 6, СС^ = 9. Найдите длину DDj, вид, периметр и площадь четырехугольника ABCD. Точки А, В, С и D лежат по одну сторону от плоскости проектирования. РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ФИГУРАМИ. НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ Таблица 19 1. РАССТОЯНИЕ (р) МЕЖДУ ФИГУРАМИ Расстояние от точки до фигуры Расстояние между фигурами Точка В фигуры F — ближайшая к точке А р (А; F) = АВ Точки Aj^u А^ — ближайшие точки фигур F^ и F^ Р F^) = А^А^ 2. РАССТОЯНИЕ (р) МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ ь :] В Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра. Прямые а и Ь — скрещивающиеся. АВ 1 а, АВ -L Ь р (а; Ь) =АВ § 21. Расстояния между фигурами. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми 183 Окончание табл. 19 ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ (р) МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ Проводим через прямую Ь плоскость |3 II а. р (а; Ь) = р (а; р) Проводим через прямые а и Ь параллельные плоскости а || р. р (а; Ь) = р (а; Р) Проводим плоскость а J. а и проектируем прямые а и ft на эту плоскость: а А, Ь Ь^. р (а; Ь) = р (А; Ь^) Hi Объяснение и обоснование 1. Расстояние от точки до фигуры. Расстояние от точки до фигуры измеряется по кратчайшему пути. Поэтому расстоянием от точки А до фигуры F называют расстояние от этой точки до ближайшей к А точки фигуры F. Точка фигуры F, ближайшая к точке А, — это такая точка В е F (рис. 21.1), что для всех точек X фигуры F выполняется неравенство АВ < АХ (рис. 21.1). Иначе говоря, если точка А не принадлежат фигуре F, то отрезок АВ — кратчайший из всех отрезков АХ, соединяюгцих точку А с точками фигуры F. (Если А Е F, точка А оказывается ближайшей к самой себе. В этом случае расстояние считают равным нулю. В дальнейшем будем рассматривать случаи, когда А Е F.) Расстояние от точки А до фигуры F иногда будем обозначать так: Р (А; F), Рассмотрим несколько примеров. 1. Расстояние от точки А до прямой а равно длине перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую а. 2. Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, или расстоянию от точки до ее ортогональной проекции на плоскость. 184 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ • Эти утверждения следуют из известного свойства, что перпендикуляр короче наклонной. О 3. Расстояние от центра окружности до самой окружности равно радиусу. Все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра, следовательно, они все ближайшие к нему. Рис. 21.2 2. Расстояние между фигурами. Мы уже определяли расстояние от точки до фигуры. Но часто нужно решить более общую задачу — найти расстояние между двумя фигурами, например определить расстояние между берегами реки (рис. 21.2), чтобы построить мост. Ясно, что необходимо отыскать ближайшие точки этих фигур, иначе говоря, кратчайший среди всех отрезков, соединяющих точки этих фигур. Точки Aj и Ag фигур и (рис. 21.2, 21.3) называют их ближайшими точками, если для любых точек Х^е F^n & F^ выполняется неравенство AjAg < ■X’jXg. Расстоянием между двумя фигурами называют расстояние между ближайшими точками этих фигур (если такие точки существуют). Расстояние от точки до фигуры — частный случай расстояния между фигурами, когда одна из фигур — точка. Расстояние между фигурами будем обозначать иногда р (Pj; F^, где F^ VL F^ — данные фигуры. Рассмотрим примеры. 1. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра этих прямых (а также расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой). • Это следует из утверждения, что все общие перпендикуляры АВ (или XXj) между параллельными прямыми а vl Ь равны (рис. 21.4), а каждый отрезок XY с концами на данных прямых (X £ а, У Е Ъ), не являющийся их общим перпендикуляром, больше общего перпендикуляра ХХ^. О 2. Расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно длине перпендикуляра (общего), опущенного из какой-либо точки прямой на плоскость (а также расстоянию от любой точки прямой до плоскости). • Пусть прямая а и плоскость а параллельны. Спроектируем ортогонально прямую а на плоскость а. Получим прямую а^, параллельную а. § 21. Расстояния между фигурами. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми 185 Каждая из проектирующих прямых ХХ^ будет перпендикулярна плоскости а, а значит, перпендикулярна прямым и а (поскольку а || а^). Тогда все общие перпендикуляры АВ (или XXмежду параллельными прямой а и плоскостью а равны, а каждый отрезок XY (где X G а, У е а), не являющийся их общим перпендикуляром, больше общего перпендикуляра ХХ^ (поскольку наклонная ХУ к плоскости а больше перпендикуляра ХХ^). О 3. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине общего перпендикуляра к этим плоскостям (а также расстоянию от любой точки одной плоскости до другой плоскости). • Это следует из утверждения, что все общие перпендикуляры АВ (или XX^ между параллельными плоскостями аир равны (рис. 21.6), а каждый отрезок ХУ с концами на данных плоскостях (X g а, У g р), не являющийся их общим перпендикуляром, больше общего перпендикуляра ХХ^. О 4. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине общего перпендикуляра к этим прямым. • Скрещивающиеся прямые а и Ь (рис. 21.7) лежат в параллельных плоскостях аир (см. § 8, с. 85). Рассмотрим ортогональную проекцию а' прямой а на плоскость р. Она будет пересекать прямую Ь в некоторой точке В, являющейся ортогональной проекцией некоторой точки А прямой а. Отрезок АВ будет общим перпендикуляром к прямым а и Ь, а также общим перпендикуляром к плоскостям аир. Возьмем теперь любой другой отрезок ХУ (где X Е а, Y Е Ь). Поскольку ХУ не является общим перпендикуляром к плоскостям а и р, то ХУ > АВ. Следовательно, общий перпендикуляр АВ к двум скрещивающимся прямым а и Ь действительно является расстоянием между ближайшими точками этих прямых, то есть между прямыми а и Ь. О 3. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Как было показано в § 19, чтобы вычислить это расстояние, необязательно строить общий перпендикуляр скрещивающихся прямых а и Ь. Для этого из любой 186 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ТОЧКИ М прямой а (рис. 21.7) можно опустить перпендикуляр на плоскость р и найти его длину, а можно найти длину произвольного общего перпендикуляра плоскостей аир. Таким образом, находить расстояние между скрещивающимися прямыми можно одним из четырех приемов, приведенных в табл. 19. Прием 1. (Использование определения.) Непосредственно находим общий перпендикуляр данных скрещивающихся прямых. Например, в кубе ABCDA^B^CJ)^ с ребром а (рис. 21.8) расстояние между скрещивающимися прямыми АА^ и ВС равно длине их общего перпендикуляра АВ - а. Прием 2. Через одну из данных прямых проводим плоскость, параллельную другой прямой. Для этого достаточно через точку одной прямой провести прямую, параллельную другой прямой. Поскольку расстояние между параллельными прямой и плоскостью везде одинаково, то его можно вычислить от любой точки прямой до плоскости (как было показано выше, оно равно также расстоянию между данными скрещивающимися прямыми). Например, если в кубе ABCDA^B^C^D^ (рис. 21.8) с ребром а нужно найти расстояние между скрещивающимися диагоналями боковых граней AD^ и В^С, то для этого в плоскости грани ВВ^С^С можно провести еще одну диагональ BCj, параллельную AD^ (поскольку четырехугольник ABCJd^ — прямоугольник). По признаку параллельности прямой и плоскости плоскость ВВ^С^С параллельна прямой AD^. Поскольку расстояние между параллельными прямой и плоскостью везде одинаково, то его можно вычислить от любой точки прямой ADj. Учитывая, что ребро АВ перпендикулярно плоскости ВВ^С^С, получаем, что расстояние от точки А до плоскости В^С^С равно АВ = а. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми AJD^ и BjC равно а. Прием 3. Через данные прямые проводим параллельные плоскости. Этот способ отличается тем, что через каждую из данных прямых проводят плоскость, параллельную другой прямой. При использовании этого способа для определения расстояния между скрещивающимися диагоналями ADj и В^С боковых граней куба (рис. 21.8) можно, кроме диагонали ВС^ грани ВВ^С^С {ВС^ | АЛ^), провести также диагональ A^D грани AA^DJ}. Тогда A^D || В^С, значит, плоскости AA^D^D и BBjCjC параллельны (по признаку параллельности плоскостей). Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми ADj и В^С равно расстоянию между этими параллельными плоскостями. Его можно найти от любой произвольно выбранной точки одной из плоскостей, например от точки А плоскости AA^DJ). Учитывая, что АВ ± пл. ВВ^С^С, снова получаем, что искомое расстояние равно а. Рис. 21.8 § 21. Расстояния между фигурами. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми 187 Замечание. С помощью приемов 2 и 3 можно находить также углы между скрещивающимися прямыми. Если провести ВС^ || AD^, то по определению угол между скрещивающимися прямыми ADj и В^С равен углу между пересекающимися прямыми ВС^ и В^С. В нашем случае этот угол равен 90® как угол между диагоналями квадрата. Прием 4. Проектируем (ортогонально) обе прямые на плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых. Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их ортогональными проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из этих прямых. • Пусть прямые аиЬ — скрещивающиеся и плоскость а перпендикулярна прямой а, прямая Ь, — ортогональная проекция прямой Ъ на плоскость а (если А — точка пересечения прямой а с плоскостью а, то А — ортогональная проекция прямой а на плоскость а). Плоскость образованная проектирующими прямыми, проходящими через прямую Ъ, параллельна прямой а (так как прямая а параллельна любой из проектирующих прямых). По признаку перпендикулярности плоскостей плоскости а и Р перпендикулярны. Тогда перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой в плоскости а, будет перпендикуляром и к плоскости р. Следовательно, р (а; Ь) = р (а; Р) = р (А; О Например, в кубе ABCDA^B^C^D^ (рис. 21.10) с ребром а нужно определить расстояние между скрещивающимися диагоналями двух соседних граней, — пусть это будут диагонали ВА^ и В^С. Для этого можно спроектировать данные прямые на плоскость ABC^D^^, перпендикулярную прямой В^С (обоснуйте эту перпендикулярность). Рис. 21.10 В результате проектирования^: В^С -^0,В-^В,А^—>0^ (точки О и Oj — центры граней ВВ^С^С viAAJdJd соответственно), поэтому ВА^ —> BOj. Тогда р (ВА,; В^С) = р (О; ВО^). ‘ Напомним, что знак в приведенных записях означает: «проектируется в» (см. § 9). 188 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Рассмотрим выносной рисунок прямоугольника ABCjD^ (рис. 21.11). По условию АВ - CjDj = а. Тогда ВС^ = AD^ = а%[2 (как диагонали квадратов со стороной а). Нас интересует расстояние от точки О до прямой ВО^. Проведем ОМ 1 ВО^ и соединим отрезком точки О и Oj. Тогда ОМ — высота прямоугольного тре- ^ г. а у[2 в котором ОО^ = а. угольника ВОО ОВ = В0,=у[в0Ч^00[ = а^. Найдем площадь треугольника BOOj двумя способами: с одной стороны, =^В0'00,= с другой — S^^oo, =^ВО,- ОМ. Отсюда ОМ = 2S* ч _ ВО, 7^- Следовательно, р {ВА,\ В,С) = р (О; ВО,) = ОМ = Примеры решения задач Задача. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^B^C,D^ ребра Ав, AD и AAj соответственно равны 1 см, 2 см и 3 см. Найдите расстояние между прямой BD и плоскостью ABJ)^. Комментарий Для того чтобы найти расстояние между прямой и плоскостью, сначала следует выяснить их взаимное расположение. По признаку параллельности прямой и плоскости получим, что BD II AB^D^. Поскольку расстояние между параллельными прямой и плоскостью можно измерять от любой точки прямой до плоскости, то нужно опустить перпендикуляр из некоторой точки прямой на плоскость ABjDj^. Для этого сначала можно построить плоскость, перпендикулярную плоскости ABJ)^ и пересекающую диагональ BD в некоторой точке М, из которой затем провести перпендикуляр к прямой пересечения этих плоскостей. Для вычисления необходимых элементов удобно использовать выносные рисунки фигур в рассматриваемых плоскостях. Решение ► В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^B^C^D, (рис. 21.12) диагонали оснований BD и BJ)^ параллельны (как прямые пересечения параллельных плоскостей плоскостью BB^D^D), следовательно, прямая BD и плоскость AB^D^ параллельны. Проведем перпендикуляр AM X BD. Поскольку AAj ± пл. ABCD, то АА^ X BD. Тогда BD X пл. МАА^. Принимая во внимание, что BJ)^ || BD, получаем BJ)^ X пл. МАА^. Плоскость МАА^ проходит через прямую AAj, параллельную плоскости BBJ)^D, следовательно, прямая МК их пересечения параллельна АА^. § 21. Расстояния между фигурами. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми 189 Плоскость МАА^ пересекает также параллельные плоскости оснований по параллельным прямым: А^К || AM. Тогда АМКА^ — прямоугольник. Проведем из точки М перпендикуляр МТ к прямой АК пересечения перпендикулярных плоскостей MAA^aAB^D^. Тогда МТ _L пл. ABJ)^, следовательно, МТ — расстояние между прямой BD и плоскостью ABJ)^. Из прямоугольного треугольника ABD (рис. 21.13), в котором АВ = = 1 см, AD = 2 см, получаем: ВП = VAB^ + AD^ = Тб. Тогда ^ = то есть \ •1-2 = 1 -у/Ь'АМ. Следовательно, AM = 4~ь' D, D К М Рис. 21.13 Рис. 21.14 Из прямоугольного треугольника AM К (рис. 21.14), в котором МК = АА. = 3, получаем: АК = у1аМ^ + МК^ -i. Тогда л/5 S,^k^=\aM-MK = \aK-MT. тоесть = Ответ'. — см. <1 7 0 Следовательно, МТ = -. 1. 2. Вопросы для контроля Объясните, какую точку фигуры считают ближайшей к данной точке; какие точки двух фигур считают ближайшими. Дайте определение расстояния: 1) от точки до фигуры; 2) между двумя фигурами. 190 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 3. Дайте определение расстояния: 1) от точки до прямой; 2) от точки до плоскости; 3) между параллельными прямыми; 4) между параллельными прямой и плоскостью; 5) между параллельными плоскостями; 6) между скрещивающимися прямыми. Обоснуйте, что в каждом из этих случаев за расстояние действительно принимают расстояние между ближайшими точками фигур. 4. Объясните на примерах различные способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми. 5. Докажите, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их ортогональными проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из этих прямых. Н Упражнения 21.1. Пользуясь определением расстояния между фигурами, а также рисунками 21.15 и 21.16, докажите, что: 1) расстояние между окружностями (рис. 21.15) равно АВ; 2) расстояние между окружностью и не пересекающей ее прямой (рис. 21.16) равно АВ. Рис. 21.15 Рис. 21.16 21.2. Через диагональ параллелограмма проведена плоскость. Докажите, что концы второй диагонали находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости. 21.3. Концы отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на 0,3 м и 0,5 м. Как удалена от плоскости точка, которая делит данный отрезок в отношении 3:7? 21.4*. Решите задачу 21.3, считая, что отрезок АВ пересекает плоскость. 21.5. Через основание трапеции проведена плоскость, удаленная от второго основания на расстояние а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости, если основания трапеции относятся как т : п (рис. 21.17). Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на 21.6. § 22. Геометрические места точек в пространстве 191 расстояние а, а от его сторон — на расстояние Ь. Найдите расстояние от точки М до плоскости угла. 21.7. Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС проведены перпендикуляры АА^ и ВВ^ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка A^Bj, если AjC = 4 м, А,А = 3 м, BjC = 6 м, BJB = 2 м и отрезок AjBj не пересекает плоскость треугольника. 21.8. В кубе ABCDA^B^CJ)^ с ребром а найдите расстояние: 1) от точки А до плоскости BB^D^; 2) от прямой А^С^ до плоскости ABD; 3) между противоположными гранями куба; 4) между прямыми В^С и АА^; 5) от точки А до плоскости A^BD; 6) между прямыми АС и B^D^; 7) между плоскостями А^ВС^ и ACD^. 21.9. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной, равной 12. Грани SBA и SBC перпендикулярны плоскости основания. Высота пирамиды равна 5. Найдите расстояние между прямыми ВС и SD. 21.10*. Расстояние между скреш;ивающ,имися диагоналями двух смежных граней куба равно 2. Найдите ребро куба. 21.11. В кубе ABCBAjBjCjBj с ребром, равным 1, точка М — середина CZ), точка N — середина СС^. Найдите расстояние между прямыми AN и ВМ. 21.12. В основании прямой призмы ABCAjB^Cj лежит правильный треугольник АВС (такую призму называют правильной). Найдите расстояние между прямыми АВ^ и ВС, если все ребра данной призмы равны а. 21.13*. На прямой I в пространстве расположены точки А, В и С такие, что АВ = 18 и ВС = 14. Найдите расстояние между прямыми I и т, если расстояния от точек А, В и С до прямой т равны 12, 15 и 20 соответственно. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК В ПРОСТРАНСТВЕ Таблица 20 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК (ГМТ) Определение. Геометрическим местом точек плоскости (пространства) называют фигуру, состоящую из всех точек плоскости (пространства), имеющих определенное свойство. Фигура F — ГМТ, имеющих данное свойство 1. Если точка М е F, то М имеет данное свойство. 2. Если точка М имеет данное свойство, то М е F. 192 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Продолжение табл. 20 На ПЛОСКОСТИ В пространстве 1. ГМТ, находящихся на данном расстоянии R от точки О (равноудаленные от данной точки) Фигура F — окружность с центром О и радиусом R. Фигура F — сфера с центром О и радиусом R. 2. ГМТ, равноудаленных от концов данного отрезка АВ Фигура F — 5 серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Фигура F — плоскость а, проходящая через середину отрезка АВ и перпендикулярная ему. 3. ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых 3. ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей Фигура F — биссектрисы всех углов, образованных при пересечении данных прямых. Фигура F — биссекторные плоскости (плоскости, делящие двугранные углы пополам и проходящие через ребро двугранных углов) всех двугранных углов, образованных при пересечении данных плоскостей. § 22. Геометрические места точек в пространстве 193 Окончание табл. 20 4. ГМТ, равноудаленных от вершин треугольника Фигура F — центр описанной около треугольника окружности. F =0 Фигура F — прямая, перпендикулярная плоскости треугольника и проходящая через центр окружности, описанной около треугольника. ■I Объяснение и обоснование 1. Понятие геометрического места точек пространства. Напомним, что в планиметрии геометрическим местом точек (ГМТ) на плоскости называют фигуру, которая состоит из всех точек плоскости, имеющих определенное свойство. Самые простые из ГМТ плоскости приведены в левом столбце табл. 20. Напомним их. 1) Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии R от данной точки О, есть окружность радиуса R с центром в точке О. 2) Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. 3) Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть пара перпендикулярных прямых, содержащих биссектрисы углов, образованных при пересечении данных прямых. 4) Геометрическое место точек, равноудаленных от вершин треугольника, состоит из одной точки — центра описанной около треугольника окружности. Аналогично понятию ГМТ на плоскости дается определение ГМТ в пространстве. Геометрическим местом точек пространства называют фигуру, состоящую из всех точек пространства, имеющих определенное свойство. Как и в планиметрии, решение задачи на нахождение геометрического места точек состоит из этапов выдвижения гипотезы о виде искомой фигуры F и обоснования двух взаимно обратных утверждений: 1) если точка М принадлежит фигуре F, то она имеет данное свойство; 2) если точка М имеет данное свойство, то она принадлежит фигуре F. Вместо второго утверждения можно доказывать эквивалентное ему утверждение, противоположное первому: если точка не принадлежит фигуре F, то она не имеет данного свойства. 194 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Основные геометрические места точек пространства. Рассмотрим геометрические места точек пространства, имеющие такое же свойство, что и соответствующие ГМТ на плоскости. Из определения сферы следует, что: I. Геометрическое место точек пространства, находящихся на данном расстоянии R от данной точки О, есть сфера радиуса R с центром в точке О (рис. 22.1). Рис. 22.1 Рис. 22.2 II. Геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных точек А и В, есть плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. • Рассмотрим плоскость а, перпендикулярную отрезку АВ и проходящую через его середину — точку К (рис. 22.2). Пусть точка М G а. В плоскости а проведем отрезок МК. Поскольку АВ _L а, то АВ ± МК. Учитывая, что АК = ВК, получаем AM = ВМ, то есть точка М равноудалена от точек А и В. Пусть точка М равноудалена от точек А и В, то есть МА = МВ. Рассмотрим плоскость р, проходящую через прямую АВ и точку М. В плоскости р точка М равноудалена от точек А и В, следовательно, она лежит на прямой, проходящей через середину отрезка АВ — точку К перпендикулярно этому отрезку. Но все прямые, перпендикулярные прямой АВ, проходящие через точку К, лежат в плоскости, перпендикулярной АВ. Учитывая, что через точку К проходит только одна плоскость а, перпендикулярная АВ, получаем М е а. Таким образом, плоскость а действительно является искомым ГМТ. О Для рассмотрения следующего геометрического места точек введем понятие биссекторной полуплоскости двугранного угла. Определение. Биссекторной полуплоскостью двугранного угла называют полуплоскость, ограничивающей прямой которой является ребро двугранного угла и которая делит двугранный угол пополам. Поскольку за меру двугранного угла принимают меру соответствующего ему линейного угла, то биссекторная полуплоскость проходит через ребро двугранного угла и биссектрису соответствующего линейного угла. § 22. Геометрические места точек в пространстве 195 Рис. 22.3 III. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся плоскостей, есть биссекторные полуплоскости всех двугранных углов, образованных соответствующими полуплоскостями. • Рассмотрим две плоскости а и р, пересекающиеся по прямой с, и полуплоскость у, являющуюся биссекторной полуплоскостью двугранного угла, образованного полуплоскостями плоскостей аир (рис. 22.3). Пусть точка М g у. Опустим из точки М перпендикуляры на плоскости аир (МА 1 а и МВ 1 Р). Через прямые МА и МВ проведем плоскость ф. Эта плоскость перпендикулярна прямой с (поскольку МА Хеи МВ X с). Если О — точка пересечения плоскости ф с прямой с, то Z АОВ — линейный угол двугранного угла с ребром с, образованного соответствующими полуплоскостями плоскостей а и р, а ОМ — биссектриса этого угла. Тогда по свойству биссектрисы угла (в плоскости ф) получаем, что МА = МВ, следовательно, точка М равноудалена от плоскостей аир. Пусть точка М равноудалена от плоскостей а и р, то есть МА = МВ, где МА Хаи МВ X р. Через прямые МА и МВ проведем проскость ф. Эта плоскость перпендикулярна прямой с (так как МА Хеи МВ X с). Если О — точка пересечения плоскости ф с прямой с, то Z АОВ — линейный угол двугранного угла (с ребром е), образованного соответствующими полуплоскостями плоскостей аир. Поскольку МА X ОА, МВ X ОВ и МА = МВ, то в плоскости ф точка М, лежащая внутри угла АОВ, равноудалена от сторон угла. Следовательно, ОМ — биссектриса этого угла. Но через биссектрису линейного угла проходит биссекторная полуплоскость, то есть М G у. Таким образом, фигура, состоящая из четырех биссекторных полуплоскостей, действительно есть искомое ГМТ. О Замечание. Поскольку плоскость ф перпендикулярна общему ребру с всех двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей аир, то в пересечении ее с гранями этих углов получаем линейные углы соответствующих двугранных углов (стороны которых лежат на прямых АО и ВО, пересекающихся в точке О). Учитывая, что на плоскости биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой, а биссектрисы смежных углов перпендикулярны, получаем, что искомое ГМТ, изображенное на рисунке 22.3, состоит из двух перпендикулярных плоскостей. IV. Геометрическое место точек пространства, равноудаленных от вершин треугольника, есть прямая, перпендикулярная плоскости треугольника и проходящая через центр окружности, описанной около треугольника. 196 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ • Рассмотрим треугольник АВС и прямую а, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через точку О — центр описанной окружности (рис. 22.4). Пусть точка Me а. Тогда МО — перпендикуляр к плоскости АВС; МА, МВ, МС — наклонные, ОА, ОВ, ОС — их соответствующие проекции. Поскольку ОА = ОВ = ОС (как радиусы описанной окружности), то МА = МВ = МС, то есть точка М равноудалена от вершин треугольника АВС. Пусть точка М равноудалена от вершин треугольника АВС, то есть МА = МВ = МС. Опустим из точки М перпендикуляр на плоскость АВС. Поскольку равные наклонные МА, МВ, МС имеют равные проекции, то основанием этого перпендикуляра будет точка в плоскости треугольника АВС, равноудаленная от его вершин, то есть точка О — центр описанной около треугольника окружности. Но через точку О проходит только одна прямая а, перпендикулярная плоскости треугольника АВС, следовательно, М е а. Таким образом, прямая а — действительно искомое ГМТ. О Отметим, что в приведенных примерах вид рассматриваемого ГМТ уже был задан и мы доказывали, что указанная фигура действительно является искомым ГМТ. Иногда приходится находить ГМТ пространства по данному его характеристическому свойству. Как правило, решение таких задач начинается с предположения (гипотезы) о виде искомой фигуры. Для этого часто рассматривают данное характеристическое свойство в какой-либо плоскости и известные ГМТ плоскости. Затем исследуют другие положения плоскости, при которых сохраняется данное свойство точек, и пробуют определить вид искомой фигуры. Иногда искомое ГМТ есть пересечение известных ГМТ. ■■ Примеры решения задач Задача 1. Найдите геометрическое место точек (ГМТ) пространства, равноудаленных от двух данных параллельных прямых. Комментарий Сначала рассмотрим плоскость а, в которой лежат данные параллельные прямые (рис. 22.5). ГМТ плоскости, равноудаленных от двух параллельных прямых а и Ь в этой плоскости, будет прямая т, параллельная данным, проходящая посередине между ними (делящая расстояние АВ между данными прямыми пополам: АК = ВК). Тогда ГМТ соответствующих точек пространства обязательно будет включать в себя прямую т. Зная, что в пространстве наклонные, имеющие равные проекции, равны, можно выдвинуть предположение, что соответствующее ГМТ пространства будет включать в себя также все перпендикуляры к плоскости а, проведенные из каждой точки прямой т. Но все такие перпендикуляры § 22. Геометрические места точек в пространстве 197 лежат в плоскости, перпендикулярной плоскости а, проходящей через прямую т. Это позволяет выдвинуть гипотезу, что искомым ГМТ и будет перпендикулярная плоскость у. Для доказательства этой гипотезы, как всегда, обосновываем два взаимно обратных утверждения: 1) если точка М принадлежит фигуре F (плоскости у), то она имеет данное свойство', 2) если точка М имеет данное свойство, то она принадлежит фигуре F (плоскости у). а В J "к т 3 2 Рис. 22.5 Решение ► Докажем, что ГМТ пространства, равноудаленных от двух данных параллельных прямых а и Ъ, есть плоскость у, перпендикулярная плоскости а данных прямых и делящая пополам расстояние между ними (плоскость у содержит прямую т плоскости а, параллельную данным прямым, и проходит посередине между ними) (рис. 22.6). 1. Пусть точка М е у. В плоскости у проведем перпендикуляр МК ± т. Поскольку у ± а, то МК А. а. Проведем через точку К в плоскости а прямую АВ L т {А & а, В Е Ь). Поскольку /тг || а || Ь, то АВ ± а и АВ J_ Ь. Учитывая, что АК = ВК, имеем равенство соответствующих наклонных: AM = ВМ. Используя теорему о трех перпендикулярах, получаем: AM 1 а и ВМ ± Ь, то есть точка М равноудалена от прямых а и Ь. 2. Пусть точка М равноудалена от прямых а и Ь, то есть МА = МВ (МА _L а и МВ _L Ь). Рассмотрим плоскость МАВ, перпендикулярную прямой а (а -L МА и а _L МВ, так как а || Ь). Следовательно АВ ± а, и тогда плоскость у проходит через точку К — середину АВ. Поскольку МА = МВ, то точка М также равноудалена от концов отрезка АВ. Но все точки пространства, равноудаленные от концов отрезка АВ, лежат в плоскости, перпендикулярной отрезку АВ и проходящей через его середину — точку К. Принимая во внимание, что через точку К проходит только одна плоскость у, перпендикулярная АВ, получаем М G у. Таким образом, плоскость у действительно является искомым ГМТ. <\ 198 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Задача 2. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых. Комментарий Сначала рассмотрим плоскость у, в которой лежат данные пересекающиеся прямые (рис. 22.7). ГМТ плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых а и Ь в этой плоскости, есть пара перпендикулярных прямых тип, содержащих биссектрисы углов, образованных при пересечении данных прямых. (Если, например, Те т, то TN = ТК, где TN 1 Ъ и ТК -L а, и наоборот.) Тогда ГМТ соответствующих точек пространства обязательно будет включать в себя прямые тип. Если в пространстве взять точку М (рис. 22.8) и провести из нее к плоскости у перпендикуляр (основание которого — точка Т) и две наклонные (основания которых — точки N и К), то по теореме о трех перпендикулярах МК JL а и MN X Ь, то есть МК и MN — расстояния от точки М до прямых а и Ь соответственно. Так как в пространстве наклонные, имеющие равные проекции, равны, можно выдвинуть предположение, что соответствующее ГМТ пространства будет включать в себя также все перпендикуляры к плоскости у, проведенные из каждой точки прямых тип. Но все такие перпендикуляры лежат в плоскостях а и р, перпендикулярных плоскости у, проходящих соответственно через прямые тип. Это позволяет выдвинуть гипотезу, что искомым ГМТ будет фигура F, состоящая из выделенных плоскостей, перпендикулярных плоскости у. Для доказательства этой гипотезы, как всегда, обосновываем два взаимно обратных утверждения: 1) если точка М принадлежит фигуре F, то она имеет данное свойство; 2) если точка М имеет данное свойство, то она принадлежит фигуре F. Решение ► Докажем, что ГМТ пространства, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых а и Ь, есть пара взаимно перпендикулярных плоскостей а п р, перпендикулярных плоскости у данных прямых и проходящих через биссектрисы углов, образованных данными прямыми (рис. 22.8). 1. Пусть точка М принадлежит какой-либо из указанных плоскостей а или Р, например М g а. (Плоскость а проходит через прямую т, содержащую биссектрисы двух вертикальных углов, образованных при пересечении прямых а и Ь.) В плоскости а проведем перпендикуляр МТ 1 т. Поскольку а ± у, то МТ X у. Опустим из точки Т в плоскости у перпендикуляры: ТК Хаи TN X Ь. По свойству биссектрисы Рис. 22.7 § 22. Геометрические места точек в пространстве 199 угла ТК = TN. Тогда МК = MN (как наклонные, имеющие равные проекции). Используя теорему о трех перпендикулярах, получаем, что МК -L а и MN _L &, то есть точка М равноудалена от прямых а и Ь. Пусть точка М равноудалена от прямых аиЬ, то есть МК = MN (МК JL а и MN 1 Ь). Тогда проекции наклонных МК и MN на плоскость у также будут равны, а по теореме о трех перпендикулярах еще и перпендикулярны прямым а и Ь соответственно. Следовательно, основание перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость у, будет точкой в плоскости у, равноудаленной от прямых а и Ь, то есть будет находиться на прямой т. Но все перпендикуляры к плоскости у, проведенные из точек прямой /п, лежат в плоскости а. Следовательно, М g а. Таким образом, пара плоскостей аир — действительно искомое ГМТ. Если плоскости аир пересекаются по прямой ОА (рис. 22.8), то, учитывая, что а _L у и р ± у, получаем ОА _L у (см. § 18, с. 163). Тогда Z (а; Р) = Z (т; п) = 90° (поскольку биссектрисы смежных углов перпендикулярны), то есть плоскости аир действительно перпендикулярны. <] Задача 3. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных скрещивающихся прямых. Решение ► Рассмотрим произвольную прямую с, пересекающую данные скрещивающиеся прямые а VI Ъ (рис. 22.9). Учитывая результат, полученный в задаче 2, получаем, что геометрическим местом точек пространства, каждая из которых равноудалена от прямых а и с, является определенная пара плоскостей а^ и Pj. Аналогично геометрическим местом точек пространства, каждая из которых равноудалена от прямых с и Ь, является определенная пара плоскостей ag и Pg. Точки четырех прямых пересечения плоскостей а^ и р^ с плоскостями и Pg принадлежат искомому ГМТ. Меняя секущую прямую с, получим таким образом бесчисленное множество прямых, каждая точка которых равноудалена от данных скрещивающихся прямых а и Ь. Объединение всех прямых этого множества является седлообразной поверхностью. 200 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ называемой гиперболическим параболоидом. Часть его изображена на рисунке 22.9. <1 Гиперболический параболоид изучают в высших учебных заведениях. Его поверхность можно получить перемеш;ением прямой d (которую называют образующей гиперболического параболоида) по двум скреш;иваюш;имся прямым т тл п, если образующая остается параллельной некоторой плоскости ф (рис. 22.10). Тогда и данные прямые также принадлежат заданному ими гиперболическому параболоиду. (Каждую прямую, принадлежащую гиперболическому параболоиду, называют его образующей, следовательно, прямые тип — также образующие рассмотренного гиперболического параболоида.) Рис. 22.10 Рис. 22.11 Гиперболический параболоид широко применяют в инженерно-строительной практике (в которой его часто называют косой плоскостью) для формирования поверхностей откосов, насыпей железных и автомобильных дорог, набережных, гидротехнических сооружений, кровель. На рисунке 22.11 изображен оригинальный бетонный павильон над источником минеральной воды «Харьковская», построенный по проекту российского архитектора В. С. Васильева в г. Харькове. Вопросы для контроля 1. Дайте определение геометрического места точек пространства. 2. Объясните, как можно обосновать, что фигура F является геометрическим местом точек, имеющих определенное свойство. 3. Назовите основные ГМТ пространства, имеющие такие же свойства, как и основные ГМТ на плоскости. Докажите правильность соответствующих утверждений. Н Упражнения 22.1. Найдите геометрическое место оснований наклонных данной длины, проведенных из данной точки к плоскости. § 22. Геометрические места точек в пространстве 201 22.2. 22.3. 22.4. 22.5*. 22.6. 22.7. 22.8. 22.9. 22.10* Найдите геометрическое место точек пространства, удаленных от данной плоскости а на данное расстояние h. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных параллельных плоскостей. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от сторон треугольника. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от прямых, содержащих стороны треугольника. Даны плоскость и не принадлежащая ей точка. Найдите геометрическое место точек пространства, делящих пополам все отрезки, один конец которых совпадает с данной точкой, а другой «пробегает» все точки данной плоскости. Найдите геометрическое место точек пространства, которые лежат на прямых, перпендикулярных данной прямой, и проходят через данную на ней точку. Найдите геометрическое место точек пространства, которые лежат на прямых, перпендикулярных данной прямой, и проходят через заданную точку, не лежащую на данной прямой. Точка А лежит вне плоскости а, X — произвольная точка плоскости а, X' — точка отрезка АХ, делящая его в отношении т : п. Докажите, что геометрическим местом точек X' является плоскость, параллельная плоскости а. Докажите, что геометрическим местом середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых (рис. 22.12) является плоскость, параллельная этим прямым (ее часто называют серединной плоскостью данных скрещивающихся прямых). 22.11*. Докажите, что каждая точка биссектрис I тл т углов между ортогональными проекциями двух скрещивающихся прямых на их серединную плоскость (см. упражнение 22.10) равноудалена от данных прямых, то есть принадлежит гиперболическому параболоиду, а сами прямые I VL т являются его образующими (см. задачу 3 на с. 199). 202 Раздел 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Указание, Пусть АВ — общий перпендикуляр данных скрещивающихся прямых а и Ь, у — их серединная плоскость, I — одна из биссектрис углов между ортогональными проекциями а^ и прямых а и Ь на. плоскость у (рис. 22.13). Проведите через прямые а и Ь параллельные плоскости а и р и обоснуйте, что плоскость у параллельна им. Потом через произвольную точку Pel проведите прямую CD, перпендикулярную к этим плоскостям (С е а, П б Р), из точки Р опустите перпендикуляры РЕ и PF на прямые а и Ь и обоснуйте равенство пар треугольников АСЕ, BDF и РСЕ, PDF. 22.12. Дана плоскость а и точки А н В, которые ей не принадлежат. На плоскости а найдите множество точек, равноудаленных от точек А н В. 22.13. Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от трех данных плоскостей, которые имеют единственную общую точку. ^ Раздел 5 ^— ________ 1К00РДИНАТЫ, ВЕКТОШ |и ГЕОМЕТРИЧЕСКИеЯ|| Ш\ ^ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Щв-пространствеШ основной МАТЕРИАЛ § 23. Прямоугольная система координат в пространстве § 24. Векторы в пространстве § 25. Геометрические преобразования в пространстве ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ § 26. Уравнение плоскости § 27. Применение координат и векторов к решению стереометрических задач В основной части раздела вы ознакомитесь с понятиями прямоугольной системы координат, векторов и движений в пространстве и с основными формулами и свойствами, связанными с этими понятиями. В дополнительной части раздела вы сможете ознакомиться с уравнениями плоскости и сферы и с возможностью применения координат и векторов к решению стереометрических задач. 204 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 23 ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ Таблица 21 § 23. Прямоугольная система координат в пространстве 205 Окончание табл. 21 Объяснение и обоснование 1. Прямоугольная система координат в пространстве. В курсе планиметрии вы ознакомились с прямоугольной системой координат на плоскости. Напомним, что осью координат называют прямую, на которой выбраны точка О (начало координат), положительное направление (обозначаемое стрелкой) и единичный отрезок (рис. 23.1). Каждой точке на координатной оси соответствует единственное действительное число, которое называют координатой точки, и каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной оси. Как известно, началу координат — точке О — ставится в соответствие число 0 (л: = 0); точке М, которая находится на положительном луче, ставится в соответствие число X, равное длине отрезка ОМ (х = ОМ); точке К, которая находится на отрицательном луче, ставится в соответствие число х, равное длине отрезка ОК, взятой с отрицательным знаком {х = -ОК). Прямоугольной системой координат на плоскости называют пару перпендикулярных координатных осей с общим началом координат. Чаще всего начало координат обозначают буквой О, а координатные прямые обозначают Ох, Оу и называют соответственно осью абсцисс и осью ординат (рис. 23.2). Плоскость, на которой задана прямоугольная система координат, называют координатной плоскостью. Каждой точке А на плоскости с заданной системой координат соответствует единственная пара чисел (а; Ь), которые называют координатами точки на плоскости в данной системе координат. ii: о 1 М Рис. 23.1 206 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ И каждой паре действительных чисел соответствует единственная точка на плоскости с заданной системой координат. Впервые прямоугольная система координат была введена Р. Декартом (1596-1650). Поэтому такую систему координат называют также декартовой системой координат, а сами координаты — декартовыми координатами. Чтобы получить координаты заданной точки А на плоскости, достаточно провести через эту точку прямые, перпендикулярные осям координат. Если обозначить точки пересечения этих прямых с осями Ох и Оу соответственно и Ау (рис. 23.2), то координату а точки А^ на оси Ох называют абсциссой точки А, а координату Ь точки А^ на оси Оу — ординатой точки А. Прямоугольные координаты в пространстве определяют аналогично. I Определение. Прямоугольной системой координат в пространстве называют тройку попарно перпендикулярных координатных осей с общим началом координат. Общее начало координат чаще всего обозначают буквой О, а координатные прямые обозначают Ох, Оу, Oz и называют соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат (рис. 23.3). Плоскости, проходящие через пары координатных прямых, называют координатными плоскостями и обозначают Оху, 0x2 и Oyz соответственно. Иногда эти плоскости обозначают короче: ху, xz и yz (рис. 23.4). Пусть А — произвольная точка пространства, в котором выбрана прямоугольная система координат. Через точку А проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох, и точку ее пересечения с осью Ох обозначим А^ (рис. 23.5). Координату а этой точки на оси Ох называют абсциссой точки А. Аналогично на осях Оу и Oz определяют точки А^ и А^, координаты которых Ь vi с называют соответственно ординатой и гшпликатой точки А. Упорядоченную тройку чисел (а; Ь; с) называют координатами точки А в пространстве. Можно доказать, что каждой точке А пространства с заданной системой координат соответствует единственная тройка чисел (а; 6; с) — координат точки в данной системе координат, и каждой тройке действительных чисел соответствует единственная точка пространства с заданной системой координат. А\(а;Ь;с) У Va. Рве. 23.5 § 23. Прямоугольная система координат в пространстве 207 Отметим, что в общем случае абсциссу, ординату и аппликату произвольной точки М пространства чаще всего обозначают х, у, z соответственно и записывают М (х; у; г). Иногда точку обозначают просто ее координатами (х; у; Z). 2. Координаты середины отрезка. Соответствующие формулы в пространстве полностью аналогичны формулам для вычисления координат середины отрезка на плоскости (см. табл. 21). Для точек А^(х^;у^^;2у) и в пространстве координаты X, у, z точки С — середины отрезка вычисляются по формулам 2 У = У1+У2 2 = г, +2„ 2 ’ 2 • Проведем через точки и С прямые, параллельные оси z. Они пересекут плоскость ху в точках г/^О), i/g; 0) и С' (х; у; 0) (рис. 23.6). Если точка С — середина отрезка А^А^, то по теореме Фалеса точка С' является серединой отрезка A^Ag'. А мы знаем, что на плоскости ху координаты середины отрезка выражаются через координаты его концов по формулам JC = ^ г/ = ^ . Чтобы получить формулу для 2, достаточно вместо плоскости ху взять плоскость XZ (рис. 23.7) или yz. Тогда для z полу- Z +2 чаем аналогичную формулу: 2= ^ ^ ^. О Замечание. Если прямая AjAg параллельна оси 2, то абсциссы и ординаты точек Aj,Ag равны и теорему Фалеса применить нельзя, но непосредственная подстановка показывает, что полученные формулы остаются верными и в этом случае. 3. Расстояние между точками в пространстве. В курсе планиметрии было доказано, что расстояние между точками А^{х^\у^) и А^{х2'уУ2) на плоско- сти выражается формулой А^А^ = yj{x^ - x^Y + ~ У2)^ Рис. 23.6 Рис. 23.7 208 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 2ГА /■ .Ai f4 с/" 0,. У В пространстве имеет место аналогичная формула. Расстояние между точками A^{x^\y^\z^) и А2{х2\У2-> ^2) ® пространстве вычисляется по форму- ле ЛЛ = - ^2)^+^У\ - у (^1 - 22)^- • Сначала рассмотрим случай, когда прямая не параллельна оси z. Проведем через точки А^ и А^ прямые, параллельные оси z. Они пересекут плоскость у в точках А[ и (рис. 23.8). Эти точки име-Рис. 23.8 ют такие же координаты х, у, что и точки А^ и А^ (координата z у них равна нулю). Тогда на плоскости ху точки А[ и Ag имеют координаты А[ (л:1; у^) и А^ (Xg; 1/2) и расстояние А[ А^ равно А'А^ = yj(x^ - х^)^ + (у^ - у2)^ ■ Проведем через точку А^ плоскость, параллельную плоскости ху. Она пересечет прямую А^ А[ в некоторой точке С. Тогда А2С 1 Aj А[ (поскольку проведенная плоскость будет перпендикулярна прямой А^ А{) и А^С || А^ А[ (как прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей). Таким образом, получаем прямоугольный треугольник AjA2C, у которого А^С = Aj'Ag = = yJ(Xy - Xg)^ + (У1 - у2)^» А^С = \z^ - z^, и по теореме Пифагора получаем AjAg — -^(xj~—"xg) + {.У\ ~ У2) + (2j — 2g) • Если прямая А^А2 параллельна оси 2, то А^А2 = \ - z^\. Такой же резуль- тат дает и полученная формула, поскольку в этом случае Xj = х^, у^ = у^. О 4. Уравнение сферы. Напомним, что сфера состоит из всех точек пространства, удаленных от одной точки — центра — на расстояние, равное радиусу (см. § 3 учебника). Если центр сферы — точка (а; Ъ; с), а точка М (х, у\ z) принадлежит сфере (рис. 23.9), то из определения сферы получаем, что OjM = R. Тогда O^M^ = или в координатах: (х - af + {у - ЬУ + {z- cf = (1) Это уравнение называют уравнением сферы с центром в точке Oj (а; Ъ\ с) и радиусом R. Действительно, координаты каждой точки сферы удовлетворяют уравнению (1), и наоборот, если координаты точки М удовлетворяют уравнению (1), то OjM = R и точка М принадлежит сфере. Если центром сферы является начало координат, то уравнение сферы (1) принимает вид: х2 + у2 + z^ = R\ (2) Получаем уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом R. Рис. 23.9 § 23. Прямоугольная система координат в пространстве 209 ■I Примеры решения задач Задача 1. Для данного изображения прямоугольной системы координат в пространстве (рис. 23.10) постройте точку А с координатами (2; 3; 5). Решение ► Сначала построим ортогональную проекцию заданной точки А (2; 3; 5) на плоскость ху — точку Aj (2; 3; 0). Для этого откладываем на оси Ох отрезок ОА^ = 2 и проводим в плоскости ху прямую АА^ II Оу. На оси Оу откладываем отрезок ОА^ = 3 и проводим в плоскости ху прямую Aj^Aj II Ох. При пересечении прямых Аи Аполучаем точку А^, соединяем ее с точкой О и проводим прямую AjA II О2. После этого на оси Oz откладываем отрезок ОА^ = 5 и проводим прямую А А II OAj. Пересечение прямых А А и AjA дает изображение искомой точки А (рис. 23.11) . <1 Комментарий Напомним, что по определению осей координат на каждой из них считается заданным и единичный отрезок (как на рис. 23.10). Это позволяет в любой из координатных плоскостей построить точку с заданными координатами. При этом следует учитывать, что на изображении (параллельной проекции) пространственной фигуры перпендикулярность прямых может не сохраняться, но обязательно сохраняется параллельность прямых. Поэтому, описывая построения точек по их координатам, следует использовать параллельность соответствующих прямых осям координат. Задача 2. Рис. 23.10 Даны точки А (3; 4; 5), В (2; 3; 0), С (0; 0; 5), D (3; 0; 2), Е (0; 7; 0). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости ху, 2) в плоскости yz\ 3) на оси z\ 3) на оси i/? Решение Точки плоскости ху имеют координату Z, равную нулю. Поэтому только точки В иЕ лежат в плоскости ху. Точки плоскости yz имеют координату X, равную нулю. Следовательно, Комментарий Следует учесть, что для точек, лежащих в координатных плоскостях, одна из координат обязательно равна нулю (см. рисунок в первой строке табл. 21), а для точек, лежащих на 210 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ТОЧКИ с W. Е лежат в плоскости уг. Точка на оси z имеет две координаты (х и у), которые равны нулю. Поэтому только точка С лежит на оси z. Точка на оси у имеет две координаты (х и 2), которые равны нулю. Поэтому только точка Е лежит на оси у. осях координат, равны нулю. две из координат Задача 3. Даны точки А (1, 4, 7), В (2, 4, 1), С (5, 2, 3), D (4, 2, 9). Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Решение ► Середина диагонали АС имеет ко .1 + 5 4 + 2 7 + 3 ординаты 2 ’ 2 ’ 2 есть (3; 3; 5). Середина диагонали BD f 2 + 4 4 + 2 1 + 9 имеет координаты то есть (3; 3; 5). Как видим, диагонали АС и BD имеют общую середину, значит, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм. -V. Комментарий Для решения можно воспользоваться следующим признаком параллелограмма: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. В данном случае достаточно проверить, что середины диагоналей АС и BD совпадают (то есть совпадают координаты этих точек, которые можно вычислить по формулам координат середины соответствующего отрезка). Задача 4*. В плоскости ху найдите точку £>, равноудаленную от трех данных точек А (0; 2; -2), В (-2; 0; 2), С (0; -2; 0). Решение Пусть искомая точка D в плоскости ху имеет координаты D (х; у; 0). DA^ = (х- 0)2 + (у - 2)2 -Ь (0 + 2)2, DB^ = (д: + 2)2 + (I/ - 0)2 + (0 - 2)2, ПС2 = (х- 0)2 -Ь (у +2)2 + (0 - 0)2. Поскольку DA = DB = DC тогда и только тогда, когда DA^ = DB^ = DC^, то, приравнивая правые части двух первых равенств к правой части третьего равенства, получаем систему уравнений д:^ + - 4i/ + 4 + 4 = +1/^ + 4у + 4, д:^ + 4д: + 4 + 1/^ + 4 = д:^ + + 4i/ + 4. Отсюда получаем: I/ = ^» Искомая точка D | 0 Комментарий Так как по условию точка D находится в плоскости ху, то ее третья координата равна нулю, то есть точка D будет иметь координаты (д:; у\ 0). Также по условию DA = DB = DC. Но запись этих равенств по формуле расстояния между двумя точками в координатах будет содержать квадратные корни. Чтобы не получать иррациональные уравнения, удобно воспользоваться свойством, что неотрицательные числа будут равны тогда и только тогда, когда их квадраты будут равны, и записывать через координаты квадраты соответствующих расстояний. § 23. Прямоугольная система координат в пространстве 211 Задача 5*. Решение ► Радиус заданной сферы Я = АВ = 7(2 + 1)'+(4-4)Ч(3 + 1)2 =5. Тогда уравнение искомой сферы: {х + 1)2 + ([/ - 4)2+ (Z + 1)2= 25. <3 1. 3*. 4. 5*. 6*. Запишите уравнение сферы с центром в точке А (-1; 4; -1), проходящей через точку В (2; 4; 3). Комментарий По определению сферы расстояние от центра сферы до произвольной ее точки равно радиусу сферы. Поэтому радиус сферы можно найти как расстояние между точками А и В, а. затем использовать уравнение сферы с заданным центром (а; Ь; с) и известным радиусом R: (х - а)2 + (у - 5)2 + (Z - с)2= Д2. Вопросы для контроля Объясните, как определяют декартовы координаты точки в пространстве. Запишите формулу для нахождения расстояния между двумя точками через координаты этих точек. Докажите формулу для нахождения расстояния между двумя точками через координаты этих точек. Запишите формулы для нахождения координат середины отрезка через координаты его концов. Докажите формулы для наихождения координат середины отрезка через координаты его концов. Запишите и обоснуйте уравнение сферы с центром в точке Oj (а; Ь; с) и радиусом R. Упражнения 23.1®. Для данного изображения прямоугольной системы координат в пространстве (рис. 23.12) постройте точки с координатами: (1; 2; 3), (2; -1; 1), (-1; 3; 2). 23.2°. Найдите координаты ортогональных проекций точек А (1; 3; 4) и В (5; -6; 2) на: 1) плоскость ху; 2) плоскость yz; 3) ось Ох; 4) ось Oz. 23.3®. На каком расстоянии находится точка А (1; -2; 3) от координатной плоскости: 1) ху; 2) ЛГ2; 3) yz? 23.4°. Где лежат точки пространства, для которых координаты X тя. у равны нулю? 23.5°. Заданы точки А (1; 2; 3), В (0; 1; 2), С (0; 0; 3), D (1; 2; 0). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости ху; 2) на оси Oz; 3) в плоскости yz? Рис. 23.12 212 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 23.6®. Задана точка А (2; 5; 7). Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси и координатные плоскости. 23.7. Что является геометрическим местом точек пространства, для которых: 1) первая координата равна нулю; 2) вторая координата равна нулю; 3) третья координата равна нулю; 4) первая и вторая координаты равны нулю; 5) первая и третья координаты равны нулю; 6) вторая и третья координаты равны нулю; 7) все координаты равны нулю? 23.8. Что является геометрическим местом точек пространства, для которых: 1) первая координата равна единице; 2) первая и вторая координаты равны единице? 23.9. На каком расстоянии находится точка А (1; -2; 3) от координатной прямой: 1) Ох; 2) Оу; 3) Oz? 23.10. Найдите расстояния от точки (1; 2; -3) до: 1°) координатных плоскостей; 2) осей координат; 3°) начала координат. 23.11°. Найдите расстояние между точками: 1) А^ (1; 2; 3) и (-1; 1; 1); 2) (3; 4; 0) и (3; -1; 2). 23.12°. Какая из точек — А (2; 1; 5) или В (-2; 1; 6) — лежит ближе к началу координат? 23.13. Даны точки М (1; -2; -3), N (-2; 3; 1) и iiT (3; 1; -2). Найдите периметр треугольника MNK. 23.14. Определите вид треугольника АВС, если его вершины имеют координаты: А (0; 0; 2), В (0; 2; 0), С (2; 0; 0). 23.15. На оси Ох найдите точку С {х; 0; 0), равноудаленную от двух точек А (1; 2; 3) и В (-2; 1; 3). 23.16. Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: 1) А (0; 2; -3), В (-1; 1; 1), С (2; -2; -1), D (3; -1; -5); 2) А (2; 1; 3), В (1; 0; 7), С (-2; 1; 5), В (-1; 2; 1). 23.17. Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если: 1) А (6; 7; 8), В (8; 2; 6), С (4; 3; 2), D (2; 8; 4); 2) А (0; 2; 0), В (1; 0; 0), С (2; 0; 2), D (1; 2; 2). 23.18. Найдите координаты середины отрезка: 1) АВ, если А (1; 2; 3) и В (-1; 1; 1); 2) CD, если С (3; 4; 0) и В (3; -1; 2). 23.19. Даны координаты одного конца отрезка А (2; 3; -1) и его середины С (1; 1; 1). Найдите координаты второго конца отрезка В (х; у; z). 23.20. Найдите координаты вершины В параллелограмма ABCD, если координаты трех других его вершин известны: 1) А (2; 3; 2), В (0; 2; 4), С (4; 1; 0); 2) А (1; -1; 0), В (0; 1; -1), С (-1; 0; 1); 3) А (4; 2; -1), В (1; -3; 2), С (-4; 2; 1). 23.21. Докажите, что середина отрезка с концами в точках А (а; с; -Ь) и В (-а; d; Ь) лежит на оси Оу. 23.22. Докажите, что середина отрезка с концами в точках С (а; Ь; с) и D (р; q; -с) лежит в плоскости ху. § 24. Векторы в пространстве 213 23.23*. В плоскости ху найдите точку D {х; у; 0), равноудаленную от трех данных точек: А (0; 1; -1), В (-1; 0; 1), С (0; -1; 0). 23.24*. Найдите точки, равноудаленные от точек (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0) и удаленные от плоскости yz на расстояние 2. 23.25. Дан куб ABCDA^B^C^D^, ребро которого равно 1. Начало координат находится в точке В. Положительные лучи осей координат соответственно ВА, ВС и ВВ^. Назовите координаты всех вершин куба. 23.26. Куб АВСDA^B^C^D^ помещен в прямоугольную систему координат так, что началом координат является центр нижнего основания куба, ребра куба параллельны соответствующим осям координат, вершина А имеет координаты (-3; 3; 0). Найдите координаты остальных вершин куба. 23.27*. Дан правильный тетраэдр ABCD. Вершины А и В имеют соответственно координаты (1; 0; 0) и (-1; 0; 0). Основание АВС тетраэдра лежит в плоскости ху. Найдите координаты остальных вершин тетраэдра. Сколько случаев возможны? 23.28. Найдите координаты центра и радиус R сферы, заданной уравнением: 1) (х - ЗУ + (у + 5У + z^ = 16; 2) х^ + (у - If + (2 + 3)^ = 11. 23.29. Запишите уравнение сферы: 1) с центром в точке О (0; 0; 0) и радиусом 4; 2) с центром в точке Oj (2; -3; 7) и радиусом 5. 23.30. Запишите уравнение сферы с центром в точке (1; 2; -1), проходящей через точку: 1) М (1; 0; 0); 2) К (1; 0; 1); 3) N (0; 0; -1). 23.31*. Точка А (0; 0; 12) принадлежит сфере с центром (5; 0; 0). Запишите уравнение этой сферы. Принадлежат ли этой сфере точки М (5; 0; 13), К (-5; 0; -13) и N (0; 0; -12)? 23.32*. Докажите, что уравнение: 1) х^ - 6х + у^ + z^= 0; 2) х^ - Sx + у^ + + 6у + 2^ = о задает сферу в пространстве. Найдите ее радиус и координаты центра. 23.31*. Докажите, что уравнение х^ + у^ + z^ + Ах + By + Cz + D = 0 при условии А^ + В^ + С^ > 4D задает сферу. Найдите координаты центра и радиус сферы. Какую фигуру получим, если А^ + В^ + С^ = 4D? § 24 ВЕКТОРЫ в ПРОСТРАНСТВЕ ВЕКТОРЫ Определение. Вектором В называют направленный отрезок. АВ = а Таблица 22 Длину этого отрезка называют длиной (модулем, абсолютной величиной) вектора. \а\ = АВ 214 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Продолжение табл. 22 3 24. Векторы в пространстве 215 Продолжение табл. 22 Разность векторов Й(а^;аз)-Ь ф{;Ъ2) = с (а^ = с (flj — flg ~ ^2’ ^3 ~ ^з) а- Ь АС-АВ=ВС Умножение вектора на число X • (Пр Og) = (X.aj; Xog) X • (а^; Hg; flg) = (Х,а^; X,ag; X-Og) При X > О вектор Ха и вектор а направлены одинаково. При X < О вектор Ха и вектор а направлены противоположно. Х-й I = I Я, И й I Коллинеарные векторы Определение. Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы направлены либо одинаково, либо противоположно. а иЬ коллинеарны с:>Ь =Хао^ = ^ = — (соответствующие координаты пропорциональны) 216 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Окончание табл. 22 Скалярное произведение векторов а-Ь =\а\-\ь\’ cos ср В координатах на плоскости в пространстве С1 Л2> ^з)> Ь (Ьр &2» ^з) а • Ь = Oj • + ^2 • ^2 d-b =а^ t При а t О и Ь Т О а-Ь =0<^ а lb РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА на плоскости в пространстве тп — произвольный вектор плоскости; а ^ Ь — неколлинеарные векторы. т — произвольный вектор пространства; а, Ь с — некомпланарные (то есть не паргшлельные одной плоскости) векторы. Всегда существует разложение: аа аа § 24. Векторы в пространстве 217 Рис. 24.1 ■■ Объяснение и обоснование 1. Понятие вектора в пространстве и координат вектора. Понятие вектора в пространстве вводится так же, как и на плоскости. Вектором будем называть направленный отрезок (рис. 24.1). Направление вектора определяется его началом и концом. На рисунке направление вектора обозначают стрелкой. Для обозначения векторов, как и в планиметрии, используют строчные буквы латинского алфавита: а, Ь, с, ... . Можно также обозначать вектор, указывая его начало и конец. При таком способе обозначения вектора на первое место ставят его начало. Иногда вместо слова «вектор» над буквенным обозначением вектора ставят стрелку или черту. Вектор, изображенный на рисунке 24.1, можно обозначить так: а или АВ. Векторы АВ и CD называют одинаково направленными, если полупрямые АВ и CD направлены одинаково. Векторы АВ и CD называют противоположно направленными, если полупрямые АВ и CD направлены противоположно. Заметим, что полупрямые (или векторы), направленные одинаково или противоположно, всегда лежат на параллельных прямых (или на одной прямой) и поэтому всегда находятся в одной плоскости, следовательно, мы можем использовать соответствующие определения, известные из курса планиметрии. На рисунке 24.2 векторы а и Ь направлены одинаково, а векторы а и с — противоположно. Длиной (или модулем, или абсолютной величиной) вектора называют длину отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора а обозначают | а |. Два вектора называют равными, если они имеют одинаковую длину и направление. Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор называют нулевым вектором и обозначают 0. Все нулевые векторы считают равными друг другу. О направлении нулевого вектора не говорят. Считают, что длина нулевого вектора равна нулю. Координатами вектора с началом в точке А (л:^;ур2^)и концом в точке В{Х2,У2\^2^ называют упорядоченный набор чисел: х^-х^', У2~Уд Z2~^v Так же как и на плоскости, обосновывают, что равные векторы имеют соответственно равные координаты и, наоборот, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание для обозначения вектора его координатами: а{а^',а2\аД или просто {а^\а2,аД. Например, если А (2; -1; 3) и В (1, 4, 7), то АВ(-1;5;4). 218 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Заметим, что если началом вектора является точка О (0; 0; 0), а концом точка А (а^; а^; а^), то вектор ОА будет иметь координаты ОА(а^; а^; а^). Следовательно, если вектор отложен от начала координат, то его координаты совпадают с координатами конца вектора. Если вектор а имеет координаты а(а^;а2;а^), то \d\ = ^Ja[+a[^^. Из определения координат вектора следует, что нулевой вектор имеет координаты 0(0; 0;0). 2. Операции над векторами в пространстве. Так же как и на плоскости, определяют операции (действия) над векторами: сложение, умножение вектора на число и скалярное произведение векторов. Суммой векторов а(а^;а2;а^) и ^(bpfegJ^a) называют вектор с (flj + Ь^', flg + £>2; а^ + Ь^). Векторное равенство АВ + ВС = АС доказывается так же, как и на плоскости. • Доказательство. Пусть А (дс^; z^), В (iig; Pzl С (x^; y^; z^) — данные точки (рис. 24.3). Вектор АВ имеет координаты (jCg -Х{,у2~ у{-> - z^), вектор ВС —координаты (Хд-Xg; i/з -1/2; 23-Zg). Тогда вектор АВ-\-ВС имеет координаты (лгд1/3Z3-Zj), а это и есть координаты вектора АС. Следовательно, векторы АВ + ВС и АС равны. О Напомним, что обоснованный способ получения суммы двух векторов называют правилом треугольника* сложения векторов. Сумму двух ненулевых векторов с общим началом (рис. 24.4) изображают диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах {«правило параллелограмма*). Действительно, АВ + ВС = АС, а BC = AD. Значит, ав+аЗ = ас. Сумму трех ненулевых векторов с общим началом, не лежащих в одной плоскости (рис. 24.5), изображают диагональю параллелепипеда, построенного на этих векторах {«правило параллелепипеда*). Рис. 24.3 Рис. 24.4 Рис. 24.5 § 24. Векторы в пространстве 219 • В самом деле, если векторы а, Ь, с отложены от точки О (как на рис. 24.5), то через конец каждого вектора можно провести плоскость, параллельную плоскости, проходящей через два других вектора. Образуется четырехугольная призма (параллелепипед), все грани которой — параллелограммы. Тогда ОМ = OD + DM, а DM = OC и OD = OA + OB. Следовательно, ОМ = ОА + ОБ + ОС, то есть ОМ = а + Ъ + с. О Разностью векторов а(а.^; 02', а^) и b(b^;b2;b2) называют такой вектор c(Cj;c2;Cg), который в сумме с вектором Ь дает вектор а: Ь + с=а. Отсюда находим координаты вектора с: с(а^ag-frgJ Противоположным ненулевому вектору а называют вектор -а, абсолютная величина которого равна абсолютной величине вектора а, а направление является противоположным направлению вектора а. Из определения противоположного вектора следует: если вектор а имеет координаты й(а^;а2;аз), то вектор -а имеет координаты -й(-ар-а2;-аз). Тогда а + (-а) = 0 и разность векторов а и Ь можно записать так: а-Ь = а + (-Ь). Произведением вектора a(aj;a2;ag) на число X, называют вектор Ха = (Ха^; XOg; ХПд). Для любых векторов a(aj;a2;ag), &(Ьр&2;^з)» ^(^р^^з’^з) выполняются следующие свойства, аналогичные свойствам чисел: Сложение векторов Умножение вектора на число Переместительный закон 1) d + b = b + d 1') Х*а = а*Х Сочетательный закон 2) d + (b + c) = (d + b) + c 2') Х-(ц-а) = (Х*ц)*а Распределительные законы 3) Х^а + ?7^ — Ха + X5j 4) (а+Р)а = аа + ра 5) а+ 6 = а 5') 1*а = а 6) а + (-а) = 0 6') -1 • а = -а Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в левой и правой частях равенств. Как видим, они равны. А векторы с соответственно равными координатами равны. Так же как и на плоскости, можно доказать, что длина вектора Ха равна |Х|‘|а|, а направление совпадает с направлением вектора а, если X > О, и противоположно направлению вектора а, если X < О (см. соответствующие рисунки в табл. 22). 220 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Как и на плоскости, ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Поэтому коллинеарные векторы направлены или одинаково, или противоположно. Можно обосновать, что так же, как и на плоскости, ненулевые векторы dub коллинеарны тогда и только тогда, когда Ь = Ха. В частности, если а(а^; а^, а.^) и Ь(Ь^; Ь^; Ь^), то = Ха^, = Ха^, = Ха^, то есть у коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Если ни одна из этих координат не равна нулю, это можно записать так: ^ = ^ = ^2 ^3 Скалярное произведение векторов пространства определяют аналогично скалярному произведению векторов плоскости. Скалярным произведением векторов dia-iia^ia^) и называют число + а^Ь^ + аф^ (то есть сумму произведений одноименных координат данных векторов). Напомним, что скалярное произведение векторов а и Ь обозначают а • Ь. Скалярное произведение а • а обозначают а^ и называют скалярным квадратом вектора а. Очевидно, что а^=|а|^ то есть скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Из определения скалярного произведения векторов получаем, что для любых векторов а{а{;а^',а^), b{b{,b2',b^), с(с^;с2;с^) выполняются следующие свойства: 1. (а) >0, причем (а) >0, если а Т 0; 2. d‘b = b'd (переместительный закон); 3. [Xd)'b = d’^Xb'j = x(^d'Vj (сочетательный закон); 4. (^а + Ь^с =d’c+ Ь'С (распределительный закон). Действительно, левая часть последнего равенства, нгшример, равна правой: ^а + ^ jc = (flj + bj)Cj + (^2 ^2)^2 ^3)^3 ~ ^2^2 ^2^2 ^3^3 ^3^3 ~ = (AjCj -I-OgCg -I-flgCg)-I-(bjCj -I-^з^з) = d'C +b'C. Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называют угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами а и Ь называют угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считают равным нулю. ■ Теорема 24.1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. • Доказательство. Пусть а и Б — данные векторы и (р — угол между ними. Имеем: (йч-Б) =(а + Б)(а + Б) = (а + Б)а-1-(а + Б]Б = а'а + Б* а + а-Б + Б*Б = а^ + 2а*Б + Б . Тогда I -*|2 I |2 -* |-|2 \d-\-b\ = а -\-2d’b-¥\b\ . § 24. Векторы в пространстве 221 Рис. 24.6 I Отсюда видно, что скалярное произведение d'b выражается через длины векторов и поэтому не зависит от выбора системы координат, то есть скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат Oxyz так, как показано на рисунке 24.6 (ось у размещена в плоскости, которая определяется векторами а и Б). Координатами вектора а при таком выборе системы координат будут (|а|;0;0), а координатами вектора Ь будут ^|ib|cos(p;|b|sin(p;Oj. Скалярное произведение: a-b = |a|-|&|cos(p + 0*|b|sin(p + 0*0 = |a|*|&|cos(p. О Из теоремы 24.1 следует: если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И наоборот: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. 3. Разложение вектора на плоскости и в пространстве Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам Теорема 24.2*. Если на плоскости заданы два неколлинеарных вектора а и Ъ, то для любого вектора m этой плоскости существует единственная пара чисел аир такая, что m = аа + рЬ. • Доказательство. Если вектор т коллинеарен одному из векторов а или by то или т = аа + 0’Ь (вектор т коллинеарен а), или /п = О • а + рь (вектор т коллинеарен Ь). Заметим также, что 0 = 0*а + 0*Ь. Пусть теперь вектор т не коллинеарен ни одному из векторов а и Б. Отложим все три вектора от одной точки А (рис. 24.7) и через конец вектора ОС = т — точку С проведем прямые, соответственно параллельные векторам а и Б. Получим параллелограмм ABCZ). Поправилу параллелограмма АС = AD + АВ. Векторы AD и АВ соответственно коллинеарны векторам а и Б, поэтому существуют такие числа аир, что AD = ady АВ = рБ, следовательно, т = аа + рБ. (1) Полученное равенство (1) называют разложением вектора т плоскости по двум неколлинеарным векторам а и Б, а числа аир — коэффициентами разложения. Покажем, что коэффициенты а и р в разложении (1) определяются однозначно. Предположим, что существует другая пара чисел а^ и Р^ (отличающаяся от первой хотя бы одним элементом, например, aj ^ а), для которой также верно равенство = (2) 222 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Вычитая равенство (2) из равенства (1), имеем: (a-ai)a + (P-3i)b = 6. -R Ь. Равенство „ _ В, -В г Поскольку а, ^ а, то получаем а = ^ ^ а-а означает, что векторы а и Ь коллинеарны, но это противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно и коэффициенты в разложении вектора т Рис. 24.8 по двум неколлинеарным векторам а я Ь опреде- ляются однозначно. О Полученное равенство т = аа + ^ показывает, что любой вектор т плоскости может быть выражен через два неколлинеарных вектора а и Ь этой плоскости (в виде их линейной комбинации). Поэтому пару неколлинеарных векторов а и Б на плоскости называют базисом на плоскости, векторы а и Ь — базисными векторами, равенство т = аа + ^ — разложением вектора т по базису а, Ь, а числа аир — координатами вектора т в базисе а, Ъ. Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам Три ненулевых вектора называют компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Например, если ABCDA^B^C^D^ — куб (рис. 24.8), то векторы СВ, CD, D^B^ компланарны, поскольку отрезок D^B^ параллелен плоскости BCD, а векторы СВ, CD, СС^ не компланарны, поскольку отрезок СС^ не лежит в плоскости BCD и не параллелен этой плоскости. Заметим, что если векторы не компланарны, то они попарно не коллинеарны (объясните почему). Теорема 24.3*. Если заданы три некомпланарных вектора а, Ь, с, то для любого вектора т пространства суш;ествует единственная тройка чисел а, Р, Y такая, что т = аа + ^Ь + ус. • Доказательство. Если вектор т не компланарен ни одной из пар векторов (а; Б), (а; с), (Б; с), то отложим все векторы от одной точки С (рис. 24.9) и через конец вектора CD^ =т — точку D^ проведем плоскости, соответственно параллельные плоскостям, проходя-сдим через пары векторов (а; Б), (а; с), (Б; с). Получим четырехугольную призму (параллелепипед) ACBDA^C^BJ)^. По правилу параллелепипеда СД =СА + СВ + СС^. Векторы СА, СВ, СД соответственно коллинеарны векторам а, Ъ, с, поэтому существуют такие числа а, р, у, что СА = аа, СВ = рБ, СД=ус, следовательно, /п = аа + рБ + ус. (3) 7 I § 24. Векторы в пространстве 223 Полученное равенство (3) называют разложением вектора т по трем некомпланарным векторам а, с, а числа а, р, у — коэффициентами разложения. Если ненулевой вектор т компланарен какой-либо паре векторов, например (а; Ь), то, откладывая эти векторы от одной точки А, получаем, что изображенные векторы а, Ь, in находятся в одной плоскости. По теореме 24.2 /п = аЙ + рЬ, и тогда можно записать, что m = аа+ pb-t-0 • с, то есть теорема справедлива и в этом случае. Заметим также, что 0 = 0‘а + 0*Ь + 0’С. Покажем, что коэффициенты а, р, у в разложении (3) определяются однозначно. Предположим, что существует другая тройка чисел ttj, р^, у^ (отличающаяся от первой хотя бы одним элементом, например а), для которой также верно равенство m = -ь pjb-f у^с. Вычитая равенство (2) из равенства (1), получаем: (a-ai)a + (p-pj)b-f-(y-yi)c = 5. Поскольку ^ а, то из этого равенства имеем: (4) а-а, а-а Ь + ^о. ''1 '^1 Учитывая правила сложения векторов, из последнего равенства получаем, что векторы а,Ь,с или лежат в одной плоскости, или параллельны одной плоскости, то есть компланарны, но это противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно и коэффициенты в разложении вектора т по трем некомпланарным векторам а, 6, с определяются однозначно. О Полученное равенство т = аа + ^Ь + ус показывает, что любой вектор т пространства может быть выражен через три некомпланарных вектора а, Ь, с (в виде их линейной комбинации). Поэтому тройку некомпланарных векторов а,Ь,с называют базисом пространства^ сами векторы а,Ъ,с — базисными векторами, равенство m = aa + 3b + yc — разложением вектора т по базису а, Ъ, с, а числа а, р и у — координатами вектора т в базисе а, Ь, с. ■I Примеры решения задач Задача 1. Даны четыре точки А (1; 5; -4), В (2; -1; 3), С (-3; 1; 2), D (-4; 7; -5). 1) Укажите среди векторов АВ, ВС, DC и AD равные векторы. 2) Найдите длины векторов АВ и ВС. 224 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Решение ► Найдем координаты заданных векторов: АВ(1;-6;7), БС(-5;2;-1), !^(1;-6;7), AD(-5;2;-l). Тогда: 1) AB = DC и BC = AD; 2) 1^1 = + (-6)2 + 7^ = Iвс\ = V(-5)2 + 2^ + (-1)2 = ^/зa < Комментарий 1) У равных векторов соответствующие координаты равны. Поэтому для решения задачи найдем координаты указанных векторов и выберем из них пары равных векторов (для нахождения координат вектора нужно из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала). 2) Если a(aj;a2;ag), то \а\ = ^jal al + al. Задача 2. Дан вектор а(2;3;-2). Найдите координаты коллинеарного ему вектора с началом в точке А (-1; 2; 4) и концом на плоскости ху. Решение ► Пусть концом искомого вектора является точка М (х; у; 0). Тогда вектор AM имеет координаты AM (х-^1;у-2;-4). Коллинеарные векторы имеют пропорциональные дг-1-1 у - 2 -4 3 “ -2 ■ Отсюда X = 3, у = S. Тогда искомый вектор имеет координаты AM (4; 6; - 4). <] координаты, поэтому Комментарий Сначала учтем, что у точки, лежащей в плоскости ху, третья координата равна нулю, а затем — что у коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Задача 3. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCZ), если А (3; 2; -1), В (5; -4; 7), С (-1; 2; 6). Решение ► Пусть точка D имеет координаты D (х\ У’, г). Тогда векторы AD и ВС имеют координаты: аЗ(х-3; у-2;г + 1), БС(-6;6;-1). Поскольку ABCD — параллелограмм, то AD = BC. У равных векторов соответствующие координаты равны, поэтому дг - 3 = -6, у-2 = 6, 2 + 1 = -1. Отсюда x = -3,y = S,z = —2. Тогда точка D имеет координаты D (-3; 8; -2). <3 Комментарий Если ABCD — параллелограмм, то у него противоположные стороны (например, ВС и A-D) параллельны и равны, но тогда и векторы ВС и AD равны, а следовательно, и соответствующие координаты у этих векторов равны. § 24. Векторы в пространстве 225 Задача 4*. С помощью векторов запишите координаты точки С, которая делит отрезок АВ в заданном отношении. Решение ► Пусть данные точки имеют координаты А (ЛГр l/p 2i), В У2, Zz), с (х; у; z) и точка С делит отрезок АВ АС в заданном отношении -— = Х (где Я, > 0). Тогда АС = X, • СВ, то есть (.X Х^, у i/j, Z — = X'iXz-xiy^-yiz^-z). Приравнивая соответствующие координаты, получаем: х - х^ = X (х^ - х); У - У1 = '^(У2~ уУу 2 - ^1='^ (^2 ~ Тогда координаты точки С равны: X, +Хх„ _ у, + Ху2 ^ _ z^ + Xz^ 1 + Я JC = - 1 + Х У = -,z = - 1 + Х <1 Комментарий Напомним, что когда точки А, В, С лежат на одной прямой, то векторы, определяемые парами этих точек, коллинеарны и, в случае одинаково направленных векторов, связаны соотношением Ь = Х'а, где коэффициент X равен отношению длин векторов bud. Записывая равенство Ь = Х-а в координатах, получим нужные соотношения между координатами заданных точек. Задача 5. Определите углы треугольника АВС, если его вершины имеют координаты А (1; 5; 3), В (3; 3; 2), С (3; 6; 5). Решение ► Величина угла А треугольника АВС равна величине угла между векторами АВ и АС. Найдем координаты этих векторов: АВ (2; -2; -1), АС (2; 1; 2). Тогда скалярное произведение АВ-АС = 2-2-н(-2)-1-ь(-1)*2 = 0. Но если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны, следовательно, Z А = 90®. Величина угла В треугольника АВС равна величине угла между векторами ВА(-2;2;1) и ВС (0;3;3). Тогда Ш • ^ = (-2) •0-1-2-3 + 1-3 = 9, = Vh7+24V =3, ВА ВС\ = у1о^+3^+3^ =з72. 9 „ „ ВА • ВС Поэтому cos В =,—.. I_= ВаМвс! З-Зл/2 л/з' Комментарий Для определения углов треугольника можно использовать то, что эти углы равны углам между соответствующими векторами. Например, угол А равен углу между векторами АВ и АС. Из формулы скалярного произведения а*5 = |а|’|ь| -cosср получаем, что косинус угла между ненулевыми векторами а иЪ можно вычислить по формуле coscp = -3- а-Ъ (*) ,а|* Также полезно помнить: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Для вычисления по формуле (*) следует также использовать формулы нахождения скалярного произведения 226 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Следовательно, Z В = 45®, но тогда в прямоугольном треугольнике АВС и ZC = 45®. <1 векторов и длины вектора: если а(а^;а2^^з)’ db = a.fi^ + а\ = у[^ +0,^2 ■*“ ^3^3 И Задача 6. Решение ► Пусть fh = d + 2b. Тогда ,2 -о /- -г*ч2 m = + 2Ь + 4а • Ь + 4Ь^ = I - |2 ^1-1 = а +4 а Векторы а и Ь единичной длины образуют угол 120°. Найдите длину вектора а + 2&. Комментарий Для нахождения длины вектора иногда можно использовать форму-лу а = I а I , записав ее справа налево: I а 1^ = а^. Получаем следующий план решения'. 1) обозначить заданный вектор а+ 26 через т\ 2) найти скалярный квадрат вектора in (который равен квадрату длины вектора т); 3) найти длину вектора т. |б|’СО8120°+41б| = = l2+4*l*l--i +4-12=3. Следовательно, | ^ | = Vs, то есть I а + 261 = л/з. Вопросы для контроля Дайте определение вектора, длины вектора, равенства векторов. Дайте определение координат вектора. Запишите формулу нахождения длины вектора а(а^;а2;ад). Дайте определение суммы векторов. Сформулируйте правила треугольника, параллелограмма и параллелепипеда для нахождения суммы векторов. Обоснуйте правила треугольника, параллелограмма и параллелепипеда для нахождения суммы векторов. Дайте определение произведения вектора на число. Сформулируйте свойства произведения вектора на число. Обоснуйте свойства произведения вектора на число. Дайте определение угла между векторами и скалярного произведения векторов. Сформулируйте свойства скалярного произведения векторов. Обоснуйте свойства скалярного произведения векторов. 11. Дайте определение коллинеарных и компланарных векторов. Объясните, что называют разложением вектора на плоскости по двум не-коллинеарным векторам и разложением вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам. Обоснуйте возможность и единственность разложения вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам и вектора пространства по трем некомпланарным векторам. 1. 2. 3. 4*. 5. 6. 7*. 8. 9. 10*. 12*. § 24. Векторы в пространстве 227 ■■ Упражнения 24.1®. Дан куб ABCDAjBjCjDj (рис. 24.10). Точки М и К — середины ребер AAj и CCj соответственно. Укажите векторы: 1) равные векторам СВ, CD, D^B^, AM; 2) противоположные векторам АВ, В^С^, АС, СК; 3) коллинеарные векторам AM и СК, но не равные им; 4) компланарные с векторами АВ, ДСр АС. 24.2°. Даны точки А (2; 5; 7), В (3; -1; 2), С (-2; 1; 4), D (2; 3; -5), О (0; 0; 0). Найдите координаты и длину векторов: 1) АВ; 2) ОВ; 3) СВ; 4) CD; 5) Щ 6) Ш. 24.3. Может ли длина суммы двух векторов быть: 1) меньше длины каждого из слагаемых; 2) равной сумме длин слагаемых; 3) больше суммы длин слагаемых? Ответ обоснуйте. Даны три точки А (1; 1; 1), В (-2; 1; 2), С (0; 2; -3). Найдите точку D (jc; у; z), если векторы АВ и CD равны. Даны три точки А (1; 3; -1), В (-2; 4; 2), С (0; 3; -1). Найдите точку D (х; у; г), если векторы АВ и CD противоположны. 24.4° 24.5° 24.6° В кубе ABCDA^B^CJ)^ (рис. 24.10) укажите вектор с началом и концом в вершинах куба, который равен: 1) AAj+AjB^ 2) АВч-AD; 3) АД+^ + сД; 4) АС + ЯД-ь^. 24.7*. Дан параллелограмм ABCD, О — произвольная точка пространства. Докажите, что OA + OC = OB + OD. 24.8*. Дан параллелепипед ABCDA^B^CJ)^, О — произвольная точка пространства. Докажите, что: 1) ОА -I- ОС^ = ОС -I- ОА^; 2) OD + ОВ^ = = ОВ + OD^. 24.9. Даны векторы (2; т; 5) и (4; 2; п). При каких тип эти векторы коллинеарны? 24.10. Дан вектор /п(3;5;-1). Найдите координаты коллинеарного ему вектора с началом в точке М (-2; 1; 2) и концом на плоскости xz. 24.11. Вектор а(2;-3;4) отложен от точки А (3; 1; -5). Найдите координаты точки М (х; у; z) — конца вектора а. 24.12. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если: 1) А (2; 1; -3), В (4; -5; 6), С (-3; 4; 8); 2) А (1; -3; 2), В (3; -1; 4), С (5; - 2; 6). 228 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 24.13°. Найдите скалярное произведение векторов, если: 1) а (2;-3; 4), М3; 2; 5); 2) а (-2;-1; 3), 5(4; 3; 1); 3) |а| = 3, |ь| = 2, Z(a;5) = 60°; 4) |а| = 4, |Б| = 5, Z (а; Б) = 120°. 24.14. Какой знак имеет скалярное произведение двух векторов, если угол между ними: 1) острый; 2) тупой? 24.15. Определите вид угла между векторами а и 5, если их скалярное произведение: 1) равно нулю; 2) больше нуля; 3) меньше нуля. 24.16°. При каком значении п данные векторы перпендикулярны: 1) а (2; -3; 1), 5(3;-2;п); 2) а(л;2;п), Б(4;-п;5); 3) а (3;п;2п), Ь (п;-п;1); 4) а (1; п; -2), Ь (п; щ 1)? 24.17. Даны три точки А (1; 1; 1), В (-2; 1; 2), С (0; 2; -3). Найдите на оси z такую точку D (0; 0; с), чтобы векторы АВ и CD были перпендикулярны. 24.18. Даны четыре точки А (1; 2; -2), В (1; -1; 2), С (2; 1; 0), D (14; 1; 5). Найдите косинус угла ср между векторами АВ и CD. 24.19. Даны три точки А (0; 1; -1), В (1; -1; 2), С (3; 1; 0). Найдите косинус угла С треугольника АБС. 24.20*. Векторы а, Ь, с единичной длины. Векторы а и Ь образуют угол 60°, а вектор с им перпендикулярен. Найдите длину вектора а + Ь+с. 24.21*. Векторы а, 5, с единичной длины образуют попарно углы 60°. Найдите угол ф между векторами: 1) а и Ь+с; 2) а и Ь-с. 24.22. Дан куб ABCDA^B^CJ)^ (рис. 24.11), точка К — середина ребра CCj, АВ = а, AD = Ь, АА^ = с. Выразите через векторы а, Ь, с векторы: 1) АС^; 2) АВ^; 3) DB^; 4) АК; 5) А^; 6) СА^. § 25. Преобразования в пространстве и их свойства 229 § 25 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ И ИХ СВОЙСТВА Таблица 23 230 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Продолжение табл. 23 /р= 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ✓ 7 2. Поворот около точки на плоскости вокруг прямой в пространстве ОХ' = ох Z ХОХ' = а р 1 а ОХ' = ОХ Z ХОХ' = а 3. Параллельный перенос на плоскости в пространстве Х\х + а;у + Ъ) Х'{х-\-а\у-\-Ь\ 2+с) Точки перемещаются вдоль параллельных прямых (или прямых, которые совпадают) на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. XX' = YY (то есть = YY') § 25. Преобразования в пространстве и их свойства 231 Окончание табл. 23 II. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ Преобразование, при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, называют преобразованием подобия. X У' ХУ" XY = k — коэффициент подобия Свойства 1. Преобразование подобия сохраняет углы между лучами. 2. У подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки — пропорциональны. Гомотетия Если точка X отображается в точку X', то это означает: 1) точка X' лежит на луче ОХ; 2) ОХ k. Свойства 1. При гомотетии отрезок отображается в параллельный ему отрезок (или в отрезок, лежапщй с заданным отрезком на одной прямой) X Y 11 XY. 2. При гомотетии плоскость отображается в параллельную ей плоскость (или в эту же плоскость, если центр гомотетии лежит в заданной плоскости или если k = 1). 232 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Объяснение и обоснование 1. Преобразование фигур. Движение. Напомним понятие преобразования фигур, известное вам из курса планиметрии. Если каждую точку данной фигуры переместить каким-либо образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной (рис. 25.1). Заметим, что в отличие от реального преобразования, которое можно представить себе как непрерывный процесс, в геометрии для нас будут иметь значение только начальное и конечное положения фигуры’. F F'j X* Рис. 25.1 Рис. 25.2 Преобразование одной фигуры в другую называют движением, если оно сохраняет расстояния между точками, то есть переводит произвольные две точки X и У одной фигуры в точки X' и У' второй фигуры так, что ХУ = Х'Т (рис. 25.2). Понятия преобразования и движения для фигур в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Дословно так же, как и для движения на плоскости, обосновывается, что при движении в пространстве прямые переходят в прямые, лучи — в лучи, отрезки — в отрезки и сохраняются углы между лучами. Новым свойством движения в пространстве является то, что движение переводит плоскости в плоскости. • Докажем это свойство. Пусть а — произвольная плоскость (рис. 25.3). Обозначим на ней любые три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. При движении они перейдут в три точки А', В\ С, которые также не лежат на одной прямой. Проведем через них плоскость а'. Докажем, что при данном движении плоскость а ’ Фактически понятие преобразования в геометрии имеет такой же смысл, что и понятие функции в курсе алгебры и начал математического анализа, то есть для получения преобразования одной фигуры в другую нужно установить соответствие между точками этих фигур, при котором каждой точке первой фигуры ставится в соответствие единственная точка второй фигуры. § 25. Преобразования в пространстве и их свойства 233 переходит в плоскость а'. Пусть X — произвольная точка плоскости а. Проведем через нее какую-нибудь прямую а в плоскости а, которая пересекает треугольник АВС в двух точках Y л Z. Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую а'. Точки Y и Z прямой а перейдут соответственно в точки Y и Z' плоскости а', принадлежащие треугольнику А'В'С\ а значит, и плоскости а'. Следовательно, прямая а' лежит в плоскости а'. Таким образом, при движении произвольная точка X плоскости а переходит в точку X' прямой а', а значит, и плоскости а', что и требовалось доказать. О Как и на плоскости, две фигуры в пространстве называют равными, если они движением переводятся одна в другую (см. определение равенства фигур на плоскости на с. 14). Так же как и на плоскости, определяют преобразование симметрии относительно точки^ и прямой. I Определение. Точки X л X пространства называют симметричными относительно точки о, называемой центром симметрии, если точка О является серединой отрезка XX'. Точку О считают симметричной самой себе (рис. 25.4). Фигуру F в пространстве называют центрально-симметричной относительно точки О, если каждая точка X фигуры F симметрична относительно точки О некоторой точке X' фигуры F. Например, куб (рис. 25.5) центрально-симметричен относительно точки пересечения его диагоналей (обоснуйте это самостоятельно). I Определение. Точки X и X' пространства называют симметричными относительно прямой а, называемой осью симметрии, если прямая а проходит через середину отрезка XX' и перпендикулярна этому отрезку (рис. 25.6). Точки прямой а считают симметричными самим себе. Фигуру F в пространстве называют симметричной относительно оси а, если каждая точка X фигуры F симметрична относительно этой оси некоторой точке X фигуры F. Например, прямоугольный параллелепипед (рис. 25.7) симметричен относительно оси, проходящей через точки пересечения диагоналей противоположных граней (обоснуйте самостоятельно). Рис. 25.4 Рис. 25.5 ^ Симметрию относительно точки также называют центральной симметрией. 234 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Кроме симметрии относительно точки и прямой в пространстве, рассматривают еще и преобразование симметрии относительно плоскости. Определение. Точки X п X' в пространстве называют симметричными относительно плоскости а, называемой плоскостью симметрии, если эта плоскость проходит через середину отрезка XX' и перпендикулярна ему. Точки плоскости а считают симметричными самим себе (рис. 25.8). Симметрию относительно плоскости называют также зеркальной симметрией. Симметрия относительно плоскости является движением. • Доказательство. Пусть точки А и В' получены симметрией относительно плоскости а точек А и В (рис. 25.9), а точки М и К — ортогональные проекции точек А и В на плоскость а. Тогда точки А, В, А, В' принадлежат одной плоскости и в этой плоскости точки А, В' симметричны точкам А, В относительно прямой МК. Из свойств симметрии на плоскости следует, что АВ =АВ'. Таким образом, симметрия относительно плоскости сохраняет расстояния и, следовательно, является движением. О Аналогично можно доказать, что движениями являются симметрия относительно точки и симметрия относительно оси (докажите самостоятельно). Фигуру F в пространстве называют симметричной {зеркально-симметричной) относительно плоскости а, если каждая точка X фигуры F симметрична относительно этой плоскости некоторой точке X' фигуры F. Например, прямоугольный параллелепипед зеркально-симметричен относительно плоскости, проходящей через ось симметрии и параллельной одной из пар противоположных граней (рис. 25.10) (обоснуйте самостоятельно). Рис. 25.10 § 25. Преобразования в пространстве и их свойства 235 Симметрия широко распространена в природе. Ее можно наблюдать в форме листьев и цветков растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел (рис. 25. 11). Рис. 25.11 Симметрию широко используют на практике, в строительстве и технике (рис. 25.12). Рис. 25.12 236 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Рис. 25.13 2. Поворот. Фигуры вращения. Напомним, что точка X' на плоскости получается из точки X этой плоскости поворотом около центра О на угол а, если ОХ' = ОХ и угол ХОХ' равен а ( рис. 25.13). В пространстве аналогом преобразования поворота на плоскости около точки является поворот вокруг прямой. Пусть в пространстве заданы прямая а и точка X, не принадлежащая этой прямой (рис. 25.14). Через точку X проведем плоскость р, перпендикулярную прямой а, и точку пересечения прямой а и плоскости Р обозначим О. Говорят, что точка X пространства получается из точки X поворотом вокруг прямой а на угол а, если в плоскости Р точка X получается из точки X поворотом около центра О на угол а. Определение. Преобразование пространства, при котором точки прямой а остаются на месте, а все остальные точки поворачиваются вокруг этой прямой (в одном и том же направлении) на угол а, называют поворотом, или вращением. Прямую а при этом называют осью вращения. Говорят, что фигура Ф в пространстве получена вращением фигуры F вокруг оси а, если все точки фигуры Ф получаются различными поворотами точек фигуры F вокруг оси а. Фигуру Ф при этом называют фигурой вращения. Например, при вращении точки А вокруг прямой а (рис. 25.15) получаем окружность с центром в точке О, которая является точкой пересечения прямой а с плоскостью, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а. Сферу можно получить вращением круга вокруг его диаметра (рис. 25. 16). Рис. 25.16 3. Параллельный перенос в пространстве Параллельным переносом в пространстве называют такое преобразование, при котором произвольная точка (х; у; г) фигуры переходит в точку (х + а; у + Ь; Z + с), где числа а, Ь, с одни и те же для всех точек (х; у; z). Параллельный перенос в пространстве задается формулами х' = X + а, у' = у + Ь, z' = Z + с, выражающими координаты х', у', z' точки, в которую переходит точка {х\ у; z) при параллельном переносе. § 25. Преобразования в пространстве и их свойства 237 Так же как и на плоскости, доказываются следующие свойства параллельного переноса: 1. Параллельный перенос является движением. 2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние (рис. 25.17). (В этом случае часто говорят, что точки смещаются на один и тот же вектор XX'.) 3. При паргшлельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя). 4. Каковы бы ни были точки А и А', существует единственный параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А'. Новым для параллельного переноса в пространстве является следующее свойство: 5. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит или в себя, или в параллельную ей плоскость. • Действительно, пусть а — произвольная плоскость (рис. 25.18, а). Проведем в этой плоскости две прямые а тл Ь, которые пересекаются. При параллельном переносе прямые а и Ь переходят или в себя, или в параллельные прямые а' и Ъ' (рис. 25.18, б). Плоскость а переходит в некоторую плоскость а', проходящую через прямые а' и Ъ'. Если плоскость а' не совпадает с плоскостью а, то по признаку параллельности плоскостей она параллельна а, что и требовалось доказать. О Х'(х + а; у + Ь; 2+с) Рис. 25.18 4. Подобие пространственных фигур. Преобразование подобия в пространстве определяется так же, как и на плоскости. Преобразование фигуры F называют преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, то есть для любых двух точек X и У фигуры F и точек X' и Y' фигуры F', в которые они переходят, X'Y = kXY. Так же как и на плоскости, преобразование подобия в пространстве переводит прямые в прямые, лучи в лучи, отрезки в отрезки и сохраняет углы между лучами. Такими же рассуждениями, как и для движения, доказывается, что преобразование подобия переводит плоскости в плоскости. (Выполните такое обоснование самостоятельно.) 238 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Как и на плоскости, две фигуры называют подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия (см. определение подобия фигур на с. 231). Простейшим преобразованием подобия в пространстве является гомотетия. Так же как и на плоскости, гомотетия относительно центра О с коэффициентом гомотетии k — это преобразование, которое переводит произвольную точку X в точку X' луча ОХ такую, что ОХ = кОХ. Преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходяш;ую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k = 1). • Действительно, пусть О — центр гомотетии и а — любая плоскость, не проходяш;ая через точку О (рис. 25.19). Возьмем любую прямую АВ в плоскости а. Преобразование гомотетии переводит точку А в точку А' на луче ОА, а точку В — в точку В' на луче ОБ, причем ^^ = к и у^ = к, где (JA ОН к — коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников АОВ и АОВ'. Из подобия треугольников получаем равенство соответствуюш;их углов ОАВ и ОА'В', а значит, параллельность прямых АВ и АВ'. Возьмем теперь другую прямую АС в плоскости а. Она при гомотетии перейдет в параллельную прямую АС. При рассматриваемой гомотетии плоскость а перейдет в плоскость а', проходящую через прямые А В' и АС. Поскольку А В' 11 АВ и АС \ \ АС, то по признаку параллельности плоскостей плоскости а и а' параллельны, что и требовалось доказать. О Примеры решения задач Задача 1. Дана точка (2; 3; 5). Найдите точки, симметричные данной относительно координатных плоскостей. Решение ► Точка А, симметричная точке А (2; 3; 5) относительно плоскости ху, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости ху, поэтому имеет такие же координаты х vl у\ х = 2, у = 3. Симметричная точка находится на таком же расстоянии от плоскости ху, но по другую сторону от нее, поэтому ее координата z отличается только знаком, то есть Комментарий Для построения точки, симметричной заданной точке А (2; 3; 5) относительно плоскости ху, нужно провести прямую АА J. пл. лгг/ и от точки Aj пересечения этой прямой с плоскостью ху отложить отрезок AjA' = AAj. Тогда точки А и А' имеют одинаковые координаты х и у, & координаты Z у них отличаются только знаком (см. рисунок). § 25. Преобразования в пространстве и их свойства 239 Z = -5. Итак, точкой, симметричной точке А (2; 3; 5) относительно плоскости ху, будет точка (2; 3; -5). Аналогично точкой, симметричной точке А (2; 3; 5) относительно плоскости XZ, будет точка (2; -3; 5) и точкой, симметричной точке А (2; 3; 5) относительно плоскости yz, будет точка (-2; 3; 5). О Задача 2. Найдите значения а, by с в формулах параллельного переноса х' = X а, у' = у + by z' = Z + Су если при этом параллельном переносе точка А (4; 5; 3) переходит в точку А' (3; -2; 7). Решение ► Подставляя в формулы параллельного переноса координаты точек А и А', то есть л: = 4, I/ = 5, 2 = 3, л:' = 3, у = -2, z' = 7, получаем уравнения 3 = 4 + л, —2 = 5 -h by 7 = 3 +с. Отсюда а = -1 у Ь = -7, с = 4. <1 Комментарий Учтем координатные формулы параллельного переноса, при которых точка (лс; у\ z) = (4; 5; 3) переходит в точку (х'; у'; Z') = (х + а; у + Ь; Z + с) = = (3; -2; 7). Задача 3. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В, а точка С — в точку Z), если А (1; 3; 5), В (4; 0; 1), С (2; 4; 3), D (5; 1; -1)? Решение ► Сравним координаты векторов АВ VI CD: АБ(3;-3;-4), СП(3;-3;-4). Поскольку АВ = CDy то при параллельном переносе на вектор АВ точка А переходит в точку В, а точка С — в точку D. <3 Комментарий При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то есть точки смещаются на один и тот же вектор а. Следовательно, если при параллельном переносе точка А переходит в точку By а точка С — в точку D, то векторы АВ и CD должны быть равны. Вопросы для контроля 1. Какое преобразование фигуры называют движением? 2*. Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость. 3. Какие фигуры в пространстве называют равными? 240 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 4. Что такое преобразование симметрии относительно точки? Какую фигуру называют центрально-симметричной? 5. Объясните, что такое преобразование симметрии относительно плоскости. Какую фигуру называют симметричной относительно плоскости? 6. Дайте определение параллельного переноса. 7. Назовите свойства параллельного переноса. 8*. Докажите, что при параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит или в себя, или в параллельную плоскость. 9. Что такое преобразование подобия? Назовите его свойства. Какие фигуры называют подобными? 10. Какое преобразование называют гомотетией? 11*. Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, которая не проходит через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя). Упражнения 25.1°. Приведите примеры центрально-симметричных и не центргшьно-сим-метричных фигур. 25.2°. Может ли центр симметрии фигуры не принадлежать ей? 25.3°. Постройте фигуру, симметричную кубу ABCDA^B^CJ)^ (рис. 25.20): 1) при симметрии с центром А; 2) при симметрии относительно пло- 25.4°. скости ВВ^С^С, Существуют ли точки, прямые и плоскости, которые центральной симметрией отображаются на себя? Ответ проиллюстрируйте на рисунке. 25.5°. Найдите центр, оси и плоскости симметрии фигуры, состоящей из двух пересекающихся прямых. 25.6°. Сколько осей симметрии имеет: 1) прямоугольный параллелепипед, который не является кубом; 2) куб? 25.7°. Сколько осей симметрии имеет сфера? 25.8°. Сколько плоскостей симметрии имеет: 1) прямоугольный параллелепипед, который не является кубом; 2) куб? 25.9°. Приведите примеры пространственных фигур, в которых есть ось симметрии, но нет плоскости симметрии, и наоборот, есть плоскость симметрии, но нет оси симметрии. 25.10°. Какие виды симметрии имеет куб? 25.11. Сколько в правильной шестиугольной призме: 1) осей симметрии; 2) плоскостей симметрии? 25.12. Сколько в правильной треугольной призме: 1) осей симметрии; 2) плоскостей симметрии? 25.13. В основании прямой призмы лежит ромб. Сколько она имеет: 1) осей симметрии; 2) плоскостей ^ ^ симметрии? Рис. 25.20 Ai 7 ✓ / ✓ Bi 7 § 25. Преобразования в пространстве и их свойства 241 25.14. Сколько осей и плоскостей симметрии имеет правильная пирамида, в основании которой лежит многоугольник: 1) с четным числом сторон; 2) с нечетным числом сторон? 25.15. Может ли фигура иметь ровно два центра симметрии? Ответ обоснуйте. 25.16*. Докажите, что если две пересекающиеся перпендикулярные прямые в пространстве являются осями симметрии данной фигуры F, то и прямая, проходящая через их точку пересечения и перпендикулярная этим прямым, также будет осью симметрии фигуры F. 25.17*. Докажите, что фигура в пространстве не может иметь четное (ненулевое) число осей симметрии. 25.18. Назовите движение, которое оставляет на месте только: 1) одну точку; 2) точки одной прямой; 3) точки одной плоскости. 25.19. Существуют ли движения (если существуют, то какие), переводящие данную прямую в другую заданную прямую: 1) параллельную первой; 2) пересекающую первую; 3) скрещивающуюся с первой? 25.20*. Докажите, что при движении в пространстве круг переходит в круг такого же радиуса. 25.21*. Докажите, что при движении в пространстве три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, которые также лежат на одной прямой. 25.22*. Докажите, что движение переводит сферу в сферу такого же радиуса. 25.23*. Докажите, что если движение оставляет на месте две: 1) пересекающиеся прямые; 2) параллельные прямые, то оно оставляет на месте и всю плоскость, в которой лежат эти прямые. 25.24*. Докажите, что если движение оставляет на месте три точки, не принадлежащие одной прямой, то оно оставляет на месте и всю плоскость, которой принадлежат эти точки. 25.25*. В правильном тетраэдре закрасили одну грань. В результате каких движений, которые оставляют на месте окрашенную грань, он са-мосовместится? (Под самосовмещением тетраэдра понимают, что все точки заданного тетраэдра в результате перемещения переходят в точки этого же тетраэдра.) 25.26*. В кубе закрасили одну грань. В результате каких движений, оставляющих на месте окрашенную грань, он самосовместится? 25.27*. Докажите, что движением является: 1) симметрия относительно точки; 2 ) осевая симметрия; 3) поворот. 25.28*. Докажите, что параллельный перенос может быть получен в результате последовательного выполнения (композиции) двух симметрий относительно плоскостей. 25.29*. Подайте симметрию относительно точки в виде композиции трех симметрий относительно плоскостей. 25.30. Докажите, что преобразование симметрии относительно координатных плоскостей задается формулами: 1) относительно плоскости ху\ х' = х, у' = у, г' = -г; 242 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 25.31. 25.32. 25.33. 25.34. 25.35. 2) относительно плоскости xz: х' = х, у' = -у, г' = z\ 3) относительно плоскости yz\ х' = -х, у' = у, z' = z. Даны точки: 1) (2; -7; 3); 2) (-3; 4; 1); 3) (5; -3; 7). Найдите точки, симметричные данным относительно координатных плоскостей. Даны точки: 1) (2; -7; 3); 2) (-3; 4; 1); 3) (5; -3; 7). Найдите точки, симметричные данным относительно начала координат. Найдите значения а, Ь, с в формулах параллельного переноса х' = х + а, у' = у + Ь, z' = Z + с, если при этом параллельном переносе точка А (3; 2; 0) переходит в точку А' (2; 0; 5). При параллельном переносе точка А (1; —1; 3) переходит в точку А' (3; -5; 2). В какую точку переходит начало координат? Существует ли параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В, а точка С — в точку D, если: 1) А (2; 1; 0), В (1; О; 1), С (3; -2; 1), D (2; -3; 0); 2) А (-2; 3; 5), В (1; 2; 4), С (4 3) А(0; 1; 2), В (-1; 0; 1), С (3 4) А(1; 1;0), В(0; 0; 0), С (-2 25.36. 25.37. 25.38. 25.39. -3; 6), D (7; -2; 5); -2; 2), D (2; -3; 1); 2; 1), D (1; 1; 1)? Докажите, что при параллельном переносе параллелограмм переходит в равный ему параллелограмм. Четыре параллельные прямые пересекают параллельные плоскости в вершинах параллелограммов ABCD и A^B^C^D^ соответственно. Докажите, что параллелограммы ABCD и A^B^C^D^ совмещаются параллельным переносом. Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия. Три прямые, проходящие через точку S, пересекают эту плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость — в точках Aj, В^, С^. Докажите, что треугольники АВС и А^В^С^ гомотетичны. § 26j УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ Таблица 24 УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ах + by + CZ + d = о — уравнение плоскости а, а ± Я (а; Ь; с). Если плоскость а проходит через точку М (х^; у^; и а±п (а;Ь;с), то уравнение плоскости а: а (х - Xq) + Ь (у - 1/ц) + с (z - z^) = О. § 26. Уравнение плоскости 243 Объяснение и обоснование В курсе планиметрии было показано, что прямая на плоскости задается уравнением ах + by + с = О, в котором а, Ь, с — действительные числа, причем а VI Ъ одновременно не равны нулю. В пространстве имеет место аналогичная теорема. Теорема 26.1. Плоскость в пространстве задается уравнением ах-\-Ьу + + С2 + d = О, где а, Ь, d — действительные числа, причем а, Ь, с одновременно не равны нулю и являются координатами вектора, перпендикулярного этой плоскости, который называют вектором нормали. • Доказательство. Пусть точка М (л:^; у^, принадлежит плоскости а и п (а;Ь;с) — вектор, перпендикулярный этой плоскости (рис. 26.1). Произвольная точка А (х, у, г) будет принадлежать этой плоскости тогда и только тогда, когда вектор МА {х - х^\ у - у^\ г - z^) будет перпендикулярен вектору Я, то есть их скалярное произведение будет равно нулю: п • МА = 0. Записывая скалярное произведение через координаты рассматриваемых векторов, получим уравнение а{х - х^) + Ь(у - у^) + с (г - z^) = 0, (1) которое задает искомую плоскость а. Раскрыв скобки и обозначив -ах^ - Ьу^ - cZq = d, получим необходимое уравнение плоскости ах + Ъу + CZ + d = 0. О Рассмотрим также вопрос о взаимном расположении в пространстве плоскостей, заданных своими уравнениями. Заметим, что две плоскости в пространстве параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда их нормали Я^ и коллинеарны и, следовательно, для некоторого числа X выполняется равенство Яз =Хп^. Для плоскостей, заданных уравнениями а^х + Ь^у + c^z + = 0; а^х + Ь^у + c^z + d^ = 0, (2) векторы нормалей имеют координаты Я^ (а^; Ь^; q) и Яз (Оз; Яз; С3). Поэтому такие плоскости параллельны или совпадают, если для некоторого числа X выполняется равенство а^ = Ха^^ = ХЪ^, = Хс^. Если при этом d^ = Xd^y то уравнения (2) определяют одну и ту же плоскость. Если же dg то эти уравнения определяют парал- лельные плоскости. Если плоскости не параллельны и не совпадают, то они пересекаются по прямой и угол ф между плоскостями равен углу между прямыми, содержащими их нормали щ (Ор &р Cj) и {а^', Ъ^', с^) (обоснуйте это самостоятельно). Этот угол можно вычислить по формуле \п, • л. С08ф = т^ 244 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ В частности, плоскости перпендикулярны, если скалярное произведение векторов п^ и п^ равно нулю, то есть выполняется равенство = = HjHg + bjbg + CjCg = 0. Hi Примеры решения задач Задача 1. Определите, какие из заданных точек А (1; 1; 2), В (1; 0; 1), С (-2; -2; 5), D (-3; 2; 1) принадлежат плоскости Зх - у + + 2з - 6 = 0. Решение ► Точки А и С принадлежат заданной плоскости, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению плоскости (действительно, 3-1-1 + 2-2-6 = 0 и 3*(-2) - (-2) + 2*5 - 6 = 0). Точки В и D не принадлежат заданной плоскости, поскольку их координаты не удовлетворяют уравнению плоскости. <] Задача 2. Даны точки А (1; -1; 3) и сти а, проходящей через Решение ► Поскольку АВ i. а, то вектор АВ является вектором нормали для плоскости а. По формуле (1) а {х - х^) + Ъ {у - у^) + с (Z - 2^) = о получаем: 2 (л: - 1) + 3 (г/ + 1) + 2 (2 - 3) = 0. Отсюда 2х + Зу + 2z - 5 = о — искомое уравнение плоскости. Комментарий Точка, заданная своими координатами, будет принадлежать плоскости тогда и только тогда, когда координаты точки будут удовлетворять уравнению плоскости. Поэтому для решения задачи нужно подставить координаты каждой точки в заданное уравнение плоскости и проверить, получим мы правильное равенство или нет. В (3; 2; 5). Запишите уравнение плоско-точку А перпендикулярно прямой АВ. Комментарий Если прямая АВ перпендикулярна искомой плоскости а, то любой ненулевой вектор на этой прямой (например, вектор АВ) будет вектором нормали для плоскости а. Тогда до-, статочно по формуле (1) записать уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору нормали АВ. Задача 3. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки А(0; 1;0), В(1; 0; 0), С (1; 1; 1). Решение ► Пусть уравнение искомой плоскости имеет вид ах by -\- cz d = 0. Если точки А, В, С принадлежат этой плоскости, то их координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Комментарий Запишем уравнение плоскости в общем виде: ах Ъу CZ -\- d = о. Далее учтем, что плоскость проходит через точки А, В, С, следовательно. § 26. Уравнение плоскости 245 Получаем систему уравнений a-0 + fc*l + c*0 + d = 0(для точки А), a-l + b-0 + C'0 + d = 0(для точки В), a-l + b‘l + c'l + d = 0(для точки С). Отсюда Ь = -d, а = -d, с = d. Тогда уравнение плоскости АВС имеет вид -dx - dy + dz + d = О или x + y- z- l = 0 (после сокращения на -d ф 0). <] координаты этих точек удовлетворяют уравнению плоскости. Задача 4*. Докажите, что расстояние от точки М (л;^; у^; z^) до плоскости а, заданной уравнением ах + by + cz + d = 0 (где а, Ь, с одновременно не равны нулю), вычисляют по формуле \axQ+byQ + czQ +d| yfa‘ + b^ + с" (*) Решение ► Для нахождения расстояния от точки М (л:^; у^\ z^) до плоскости а (рис. 26.2) проведем перпендикуляр МК JL а (точка К (х; у; z) — основание перпендикуляра). Вектор нормали п (а; Ь; с) также перпендикулярен плоскости а, поэтому векторы КМ и п коллинеарны, следовательно, КМ = Хп. Учитывая, что КМ {x-XQ,y-yQ,z-z^), Хп = {Ха',ХЬ‘,Хс), получаем: x-Xq= Ха, у-у^=ХЬ, Отсюда Х = х. z-Zq = Хс. • Ха, у = у^+ХЬ, 2 = Zq + Хс. Поскольку точка К принадлежит плоскости а, то координаты этой Комментарий Чтобы найти расстояние от точки М до плоскости а, проведем перпендикуляр МК к плоскости а и учтем, что вектор нормали п тоже перпендикулярен этой плоскости. Поскольку два перпендикуляра к одной плоскости а параллельны (или лежат на одной прямой), то векторы КМ и п коллинеарны, следовательно, КМ = Хп, Но у равных векторов равны соответствующие координаты, поэтому записываем координаты векторов КМ тл Хп W. равенство соответствующих координат. Также учтем, что расстояние МК от точки М до плоскости а равно длине вектора КМ и |/!ГМ| = |^|*|л|. Для нахождения значения л, воспользуемся тем, что точка К принадлежит плоскости а, следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоскости а. 246 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ уравнению точки удовлетворяют плоскости а, то есть а {х^+Ха) + Ь (i/q+ 1Ь) + с (z^+ Xc) + d = 0. Тогда ах^ + Ьу^ + cZq + d = -X (а^ + + с^). Отсюда x = а +Ь +с Еще заметим, что по условию коэффициенты а, Ь, с одновременно не равны нулю, поэтому сумма ^ Ф о (и, следовательно, всегда положительна). Учитывая, что ^ГМ| = |Я,|-|/г| и IЯI = л/а^ +Ь^ + с^, получаем: КМ = \КМ\ = \Х\-\п\=^ • yja^ +Ь^ +с^ = axQ+byQ + czQ + d \aXr.+byr. + cZr.-\-d\ г—у—----------у = ^— 2 .2—\-------------'^а^+Ь^+с^ = а^ + Ь^ \(^XQ-\-by^ + czQ + d\ у[а‘ + Ь^+с" Таким образом, чтобы найти расстояние от точки М (л:^; у^; z^) до плоскости а, заданной уравнением ах + by Л- cz + d = 0, достаточно в левую часть уравнения плоскости подставить координаты заданной точки и модуль результата разделить на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при переменных. Задача 5. Найдите расстояние от точки А (2; -5; 1) до плоскости, заданной уравнением 4д; - 3i/ + 122 + 17 = 0. Решение ► Расстояние от точки А до плоскости а — р (А; а) равно: I аХо+Ьуо -н C2(j -ь ЯI Р (А; а) = -Ja^+bUc^ |4-2-3>(-5) + 12-1 + 17| 52^ 75ЧН)Ч1^ 13 <] Комментарий Для нахождения расстояния от точки А (jCjj; у^; до плоскости а, заданной уравнением ах + by -\- cz d = = о, воспользуемся формулой (*) \axQ-\-byQ + czQ^d\ 4а‘1ь‘‘ + г Вопросы для контроля 1. Запишите в общем виде: 1) уравнение плоскости в пространстве; 2) уравнение плоскости, проходящей через точку М (х^; y^. z^ перпендикулярно вектору Я (а; Ь; с). 2*. Обоснуйте уравнение плоскости в пространстве. § 26. Уравнение плоскости 247 3. в каком случае плоскости, заданные уравнениями а^х + Ь^у + c^z d^ = = О и а^х + Ъ^у + Cg 2 + = О» будут параллельны? 4. В каком случае плоскости, заданные уравнениями а^х + Ь^у Л- c^z + d^ = = О и а^х + Ъ^у + Cg 2 + dg = О, будут перпендикулярны? ШШ Упражнения 26.1°. Определите уравнение координатных плоскостей: 1) ху; 2) xz\ 3) yz. 26.2°. Даны точки А (1; 3; 4), В (-2; -1; 2), С (3; 0; 1), D (-1; 3; 1). Укажите, какие из них принадлежат плоскости 2я: - 5^ + З2 - 7 = 0. 26.3°. Найдите точки пересечения плоскости л: + 31/-52-6 = 0с осями координат. 26.4. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку А (2; -3; 5), с вектором нормали п (4;2;-1). 26.5. Точка М (2; -5; -3) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Запишите уравнение этой плоскости. 26.6. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки: 1) А (0; 0; 1), В (1; 0; 0), С (0; 1; 0); 2) М (3; -1; 2), N (4; 1; -1), К (2; 0; 1). 26.7*. Принадлежат ли одной плоскости точки А (1; 0; -2), В (3; 4; 2), С(0; 1; 3), 7) (2; -1; 1)? 26.8. Запишите уравнение плоскости, которая: 1) проходит через точку М (1; -2; 4) и параллельна координатной плоскости xz; 2) проходит через точку М (0; 2; 0) и перпендикулярна оси ординат; 3) проходит через точки А (3; 0; 0), В (0; 3; 0) и параллельна оси аппликат. 26.9. Определите, какие из перечисленных ниже пар плоскостей параллельны: 1) л: 4-1/ + 2 - 7 = о, Зл: + 3^ + З2 + 7 = 0; 2) Зд: - 2г/ + 52 - 2 = о, 6х - 4у + lOz - 4 = 0; 3) 2д: + 61/ - 42 = о, -д: - 3i/ + 22 + 1 = 0; 4) X - у + 2z - 2 = о, Sx - у + 6z - 5 = 0. 26.10. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М (1; 2; -1) параллельно плоскости: 1) Зле + 2i/ - 2 + 4 = 0; 2) х - 4у + 3z - 5 = 0. 26.11. Определите, какие из перечисленных ниже пар плоскостей перпендикулярны: 1) X + у + Z - 1 = о, Ьх - Зу - 2z + 3 = 0; 2) 2х - 2у + + 2 - 3 = о, бле - 4i/ + IO2 - 4 = 0; 3) 2х + 6у - 4z = о, -X - Зу + 2z + + 1 = 0; 4) X - у + 2z - 2 = о, Зх - у + 6z - 5 = 0. 26.12. Найдите косинус угла ср между плоскостями, заданными уравнениями: 1) лс + 3^ - 2 - 1 = о, Зх - 2у + Z + 3 = 0; 2) 2х - у + z - 2 = 0, X - 4у + 3z - 4 = 0; 3) 2х + у - 3z = о, x-y + z+ l = 0;4)x-y + + 22 - 2 = о, 4х - 2у + Z - 5 = 0. 26.13*. Плоскость задана уравнением ах + by + cz + d = 0. Запишите уравнение плоскости, симметричной данной относительно: 1) координатных плоскостей; 2) координатных прямых; 3) начала координат. 26.14. Вычислите расстояние от начала координат до плоскости: 1) 2х - 2у + + 2-6 = 0; 2) 2лс + 3j/ - 2 + 12 = 0. 248 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 26.15*. Сфера, заданная уравнением + у ^ = 4, пересечена плоскостью. Найдите координаты центра и радиус окружности сечения, если плоскость задана уравнением: 1) z = О’, 2) у = 1', Ъ) х + у Л- z = 2. 26.16. Найдите расстояние от точки М (-3; 1; 2) до плоскости, заданной уравнением 2х Ау - 12z -1-2 = 0. 26.17. Вычислите расстояние между параллельными плоскостями, заданными уравнениями Зл: -Ь 2у -Ь 4г -f 12 = 0 и 9л: -f 6у -Ь 12z -5 = 0. Указание, Для этого достаточно выбрать любую точку первой плоскости, например М (0; 0; -3), и найти расстояние от нее до второй плоскости. 26.18*. Докажите, что в общем случае расстояние между параллельными плоскостями а и Р, заданными уравнениями ах + by cz + = 0 vi I - 0), так и тупым (cos ф < 0). Если же требуется определить угол ф между прямыми АВ и АС, то он может быть только острым. В этом случае удобно пользоваться формулой \аЬ\ СОЗф = —*—г=7 |а|- 6 (10) О Рис. 27.4 254 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Рис. 27.5 Соотношение 9 Ф Пусть точка D принадлежит плоскости АВС и точка С не принадлежит прямой АВ (рис. 27.5). Тогда векторы СА и СВ не коллинеарны. Поскольку вектор CD лежит в плоскости АВС (то есть компланарен к векторам СА и СВ), то он раскладывается по двум неколлинеарным векторам СА и СВ в таком виде: СП = аСЛ + |ЗСВ. (11) И наоборот, если для ненулевых векторов СА и СВ выполняется равенство (11), то векторы СА, СВ и CD лежат в одной плоскости, следовательно, точка D принадлежит плоскости АВС. Если О — произвольная точка, то равенство (11) можно записать так: ОВ-^ = а[Ш-ОС) + ^(Ш-ОС). Тогда ^ = аОА + р^ + (1-а-Р)^. (12) Таким образом, точка D принадлежит плоскости АВС тогда и только тогда, когда СП = аСА + рСБ или ОП = аОА + рОВ + (1-а-Р)ОС. О Соотношения, приведенные в таблице, позволяют переводить требование геометрической задачи на векторный язык, что дает возможность выделить некоторые ориентиры для осуществления остальных этапов векторного решения геометрической задачи. Итак, векторное решение геометрических задач можно проводить по следующей схеме. 1. Перевести требование задачи на векторный язык (используя соотношения из таблицы 25). 2. Ввести прямоугольную систему координат или выбрать два неколли-неарных вектора на плоскости (или три некомпланарных вектора в пространстве) как базисные. 3. Найти координаты векторов, выделенных в пункте 1, или выразить эти векторы через базисные. 4. Доказать или найти выделенное в пункте 1 соотношение и перевести результат на геометрический язык (для перевода снова можно воспользоваться соотношениями таблицы 25). Пример применения этой схемы при использовании векторно-координатного метода решения стереометрической задачи приведен в таблице 25. Приведем пример применения векторного метода для решения геометрических задач. § 27. Применение координат и векторов к решению стереометрических задач 255 Н Примеры решения задач Задача 1. Докажите, что в пирамиде, все грани которой — правильные треугольники, любые два скрещивающихся ребра перпендикулярны. Решение ► 1. Пусть в пирамиде ABCD все грани — правильные треугольники, то есть все ребра равны а и все плоские углы по 60° (рис. 27.6). Чтобы доказать, например, что скрещивающиеся ребра AD и ВС перпендикулярны, достаточно доказать, что скгшярное произведение векторов AD и ВС равно нулю. D В 2. Выберем три некомпланарных вектора как базисные: AD = dy АВ-Ъ, АС = с (длины этих векторов равны а и углы между каждой парой векторов по 60°). 3. Выразим векторы, которые были выделены в пункте 1, через базисные: AD = d, ВС = с-Ъ. 4. Найдем скалярное произведение векторов: AD * ВС = d(c-b) = dc-db = = а • а • cos 60° -а'а- cos 60° = 0. Но если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны, следовательно, AD 1 ВС. О Комментарий Используем схему решения геометрических задач векторным методом. 1. Перевести требование задачи на векторный язык — используя таблицу 25, вспоминаем, что для доказательства перпендикулярности отрезков достаточно доказать, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю. 2. Выбрать три некомпланарных вектора как базисные — чаще всего эти векторы выбирают выходящими из одной точки. 3. Выразить векторы, выделенные в пункте 1, через базисные. 4. Доказать или найти выделенное в пункте 1 соотношение и перевести результат на геометрический язык (для перевода удобно снова воспользоваться соотношениями табл. 25). Для нахождения полученных скалярных произведений учитываем, что скалярное произведение векторов равно произведению их, длин на косинус угла между ними. 256 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Задача 2*. Докажите, что плоскость, проходящая через концы трех ребер параллелепипеда, которые выходят из одной вершины, отсекает от диагонали параллелепипеда, проведенной из этой же вершины, отрезок, длина которого равна одной трети длины диагонали. Решение ► Пусть диагональ АС^ параллелепипеда ABCDA^B^CJD^ пересекает М плоскость A^BD точке (рис. 27.7). Поскольку вектор AM коллинеарен вектору ACj, то AM = ХАС^. По правилу параллелепипеда АС^ = АВ + AD + ААу Отсюда ~Ш = ХАС = Х(АВ + Ш + ^,) = = XAB + XAD + XAA-^. Но М Е ил. A^BD, тогда сумма коэффициентов разложения вектора AM по некомпланарным векторам АВ, AD, AAj равна единице, то есть А, + А- + А, = 1. Тогда ЗА, = 1 и А. = -. 3 Следовательно, АМ = ХАС.=-АС., ^ 3 ^ и поэтому AM = ^АС^. <1 Комментарий Требование задачи на векторном языке можно записать так: I АМ = -АС,. Выберем в качестве базисных векторов три некомпланарных вектора, которые изображаются ребрами куба, выходящими из одной точки, и запишем векторы AM и АС^ через базисные. Затем используем векторное условие принадлежности точки М плоскости A^BD (сумма коэффициентов разложения вектора AM по некомпланарным векторам АВ, AD, AAj равна единице). Рис. 27.6 Вопросы для контроля Назовите этапы векторного решения геометрических задач. Как на векторном языке записать следующие геометрические утверждения: 1) прямые АВ и CD параллельны; 2) точка С принадлежит прямой АВ; § 27. Применение координат и векторов к решению стереометрических задач 257 3*. 4. 3) точка С делит отрезок АВ в отношении ^ = 4) точка С — середина отрезка АВ; 5) отрезок МК соединяет середины отрезков АВ и CD соответственно; 6) М — точка пересечения медиан треугольника АВС; 7) прямые АВ и CD перпендикулярны; 8) длина отрезка АВ равна а; 9) угол ВАС равен (р; 10) точка D принадлежит плоскости АВС? Обоснуйте векторные соотношения, приведенные в таблице 25. Предложите схему векторного решения геометрической задачи и приведите пример ее использования. Упражнения 27.1°. Определите вид четырехугольника ABCD, если: 1) AB = DC\ 2) АВ = 0,2ЙС. 27.2°. Параллелограммы ABCD и A^BCJ) не лежат в одной плоскости. С по-мош;ью векторов докажите, что АА, || СС^. 27.3°. Дан куб ABCDA^B^CJ)^ (рис. 27.8). С помопдью векторов определите угол между скрещиваюш;имися прямыми А^В и B^D. 27.4°. В кубе ABCDAjB^CjD^ точка М — середина ребра AAj, N— такая точка ребра ССр что CjiV : NC = 1: 2. Найдите угол между прямой MN и диагональю D^B. 27.5. Все грани параллелепипеда ABCDA^B^CJ)^ — равные ромбы, АВ = а, Z BADj = 60°. Найдите длины диагоналей АС^ и BD^. 27.6. Точки К, L, М, N — соответственно середины ребер АВ, ВС, CD и AD тетраэдра ABCD. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников AML и CNK совпадают. Указание. Чтобы доказать, что точки Е и F совпадают, достаточно доказать, что для некоторой точки О векторы ОЕ и OF совпадают. 27.7. В тетраэдре ABCD ребра АВ и CD, ВС и AD взаимно перпендикулярны. Докажите, что ребра АС и BD также перпендикулярны. 27.8. С помопцью векторов докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости. 27.9. С помощью векторов докажите теорему о трех перпендикулярах. 27.10. В основании тетраэдра ABCD лежит прямоугольный треугольник АВС, в котором Z АСВ = 90°, АС = 3, ВС = 4. Ребро AD перпендикулярно плоскости АВС и равно 4. Найдите угол между прямыми АС и BD. Cl 258 Раздел 5. КООРДИНАТЫ, ВЕКТОРЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 27.11. В кубе ABCDA^B^C^D^ найдите угол между прямыми EF и PQ, где Е, F, Р, Q — середины ребер DD^, ВС, АА^ и соответственно. 27.12. Дан тетраэдр ABCD с прямыми плоскими углами при вершине D. Точки М и N — середины ребер АВ и CD. Найдите угол между прямыми AN и DM, если DA = DB = 1 и DC = 2. 27.13. В тетраэдре ABCD ребро AD перпендикулярно грани АВС, AD = а, АВ = Ь, Z ВАС = 45®. Найдите угол между прямыми АС и BD. 27.14. В правильной треугольной призме АВСА^В^С^ все боковые грани являются квадратами. Найдите угол между прямыми: 1) АС^ и ВА^', 2) ACj и СВ^; 3) ВА, и СВ^. 27.15*. Найдите косинус угла между прямыми, которые содержат скрещивающиеся медианы двух граней правильного тетраэдра (рис. 27.9). D В 27.16*. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны, точки Е, F — середины ребер соответственно SB и SC. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF. Приложение Система опорных фактов курса планиметрии Таблица 1 УГЛЫ Понятие угла Угол — фигура, которая состоит из точки — вершины угла — и двух лучей, выходящих из этой точки, — сторон угла. Z АОВ = а ( 0° < а < 180°) Z АОВ- а (0° < а < 360°) Угол (или плоский угол) — часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом. (0° < Р < 360°) Виды углов Прямой Острый Тупой В LL Z АВС = 90° 0° < а < 90° 90° < р < 180° Развернутый Больше развернутого Стороны развернутого угла — дополнительные лучи. АОВ Z АОВ = 180° 180° < Y < 360° 260 Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ Окончание табл. 1 Биссектриса угла Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла, лежит в его внутренней области и делит угол на два равных угла. Луч OD — бисектриса Z ЛОВ, то есть Z AOD = Z BOD Смежные и вертикальные углы (рассматриваются углы меньше развернутого угла) Смежные углы Вертикальные углы Сумма смежных углов равна 180° Z 1 и Z 2 — смежные (одна сторона общая, а две другие — дополнительные лучи) Z 1 + Z 2 = 180° Вертикальные углы равны Z 1 и Z 3 — вертикальные Z 2 и Z 4 — вертикальные (стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон второго) Z1 = Z3, Z2 = Z4 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ а II Ь Две прямые называют Л а параллельными, если они “* лежат в одной плоскости ^ и не пересекаются. --------------- Через точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной. Признаки параллельности Если Z 1 = Z 3 (внутренние разносторонние углы), или Z 1 = Z 4 (соответственные углы), или Z 2 + Z 3 = 180° (сумма внутренних односторонних углов), то а II Ь. Свойства Если а II Ь, то Z 1 = Z 3, Z 1 = Z 4, Z 2 + Z 3 = 180°. Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 261 Таблица 2 РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ Две фигуры называют равными, если они движением переводятся одна в другую. Д АВС = А АВ = AjBj Z А = Z Aj АС = A^Cj Z Б = Z Б^ ВС = Bf^ Z С = Z Cj Свойства равных треугольников 1. У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, медианы, высоты и тому подобное). 2. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов лежат равные стороны. Признаки равенства треугольников Два треугольника равны, если: 1) две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника; 2) сторона и прилегающие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилегающим к ней углам другого треугольника; 3) три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника. 1. По двум сторонам и углу между ними. 2, По стороне и двум прилегающим к ней углам. 3. По трем сторонам. 262 Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ Продолжение табл. 2 Признаки равенства прямоугольных треугольников Два прямоугольных треугольника равны, если: 1) катеты одного из них равны соответственно катетам другого; 2) катет и прилегающий острый угол одного треугольника равны соответственно катету и прилегающему острому углу другого; 2') катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны соответственно катету и противолежащему острому углу другого; 3) гипотенуза и прилегающий угол одного треугольника равны соответственно гипотенузе и прилегающему углу другого; 4) гипотенуза и катет одного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого. 1. По двум катетам. 2. По катету и острому углу. 3. По гипотенузе и острому углу. 4. По гипотенузе и катету. СВОЙСТВА СТОРОН И УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА ZA + Z5 + ZC = 180' Сумма углов треугольника равна 180°. Внешний угол треугольника Угол, смежный с внутренним углом треугольника, называют внешним углом треугольника при данной вершине. Z 4 — внешний (при вершине С) Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 263 Окончание табл. 2 Свойства 1. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Z4=Z1+Z2 2. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Z4>Z1, Z4>Z2 Неравенство треугольника Ь-с\<а<Ь + с В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (и больше модуля разницы этих сторон). Равнобедренный треугольник В В Треугольник называют равнобедренным, если у него две стороны равны. А АВС — равнобедренный {АВ = ВС) АС — основание, АВ и ВС — боковые стороны Свойства 1. Если в А АВС АВ = ВС, то Z А = Z С. 2. Если А АВС равнобедренный и BD — медиана, то BD — высота и биссектриса. В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают. Признаки 1. Если в А АВС ZA = ZC, то АВ = ВС. 2. Если в треугольнике совпадают: а) высота и медиана, или б) высота и биссектриса, или в) медиана и биссектриса, то треугольник равнобедренный. 264 Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ Таблица 3 ВЫСОТА, МЕДИАНА, БИССЕКТРИСА И СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА Медиана треугольника Медиана треугольника — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. ВК — медиана, К — середина АС Свойства 1. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая каждую медиану делит в отношении 2 : 1, начиная от вершины. М — точка пересечения медиан. AM _ВМ _ СМ _2 MN МК МТ 1 Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом, или центром масс, треугольника. В 2. m^=-J2b^-\-2c^-a^. о 1 о. т^=-^с —в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Высота треугольника Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, которая содержит противоположную сторону треугольника. Для прямоугольного треугольника: BD — высота BD 1 АС ВА — высота (Z А = 90°) В В Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 265 Продолжение табл. 3 Свойства 1. Прямые, которые содержат высоты треугольника, пересекаются в одной точке {ортоцентр). Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам. В частности, наибольшая высота треугольника проведена к его наименьшей стороне, а наименьшая сторона — к наибольшей. 2. а О С Биссектриса треугольника Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, который соединяет вершину треугольника с точкой на противоположной стороне. BD — биссектриса ZABD = ZCBD = -ZB треугольника 2 Свойства 1. AD DC АВ ВС Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам треугольника. 2. Каждая точка биссектрисы угла (меньше развернутого) равноудалена от сторон угла (то есть равноудалена от прямых, которые содержат стороны этого угла). И наоборот, если точка лежит внутри угла (меньше развернутого) и равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла. 3. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — в центре вписанной окружности (точку пересечения биссектрис треугольника еш;е называют ин-центром треугольника). В О — точка пересечения биссектрис треугольника, центр вписанной окружности 266 Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ Окончание табл. 3 Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называют отрезок, который соединяет середины двух его сторон.___________________ MN — средняя линия М — середина АВ N — середина ВС Свойства 1. MN II АС 2. MN = -AC 2 Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Теорема Фалеса Если АВ = ВС = CD и ВВ^ || CCj || DDj, ТО АВ^ = BjCj = CjBj Если параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на второй его стороне. Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 267 Таблица 4 СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ Соотношение между элементами прямоугольного треугольника Z С = 90°; а, Ь — катеты, с — гипотенуза; Z А = а — теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Z Б = 90° - а а = с sin а Ь = с cos а а = Ь tg а В прямоугольном треугольнике: синус угла а — отношение противолежащего катета к гипотенузе; косинус угла а — отношение прилежащего катета к гипотенузе; тангенс угла а — отношение противолежащего катета к прилежащему; котангенс угла а — отношение прилежащего катета к противолежащему. а Ь sina =—; cosa = -; с с . а. . Ь tga = —; ctga = — b а CD — высота Д ACD со Д АВС Д CBD со Д АВС Д ACD со Д CBD Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. 268 Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ Окончание табл. 4 Соотношение между сторонами и углами в произвольном треугольнике Теорема синусов sin а sin Р sin у = 2Я R — радиус описанной окружности Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Теорема косинусов - 2аЬ cos у Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Следствия из теоремы косинусов 1. Если с^ = а^ + 1^, то у = 90°, то есть треугольник прямоугольный (теорема, обратная к теореме Пифагора). 2. Если с^ < а^ + то угол у — острый (cos у > 0); если с — наибольшая сторона, то треугольник остроугольный. 3. Если то угол у — тупой (cos у < 0). 4. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона: а > Ь а > р. Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 269 Таблица 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФИГУР ДВИЖЕНИЕ XT' = ХУ Движение — это преобразование, при котором сохраняются расстояния между точками фигуры. Во время движения сохраняются углы между лучами. Каждое из преобразований: симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, параллельный перенос, поворот — является движением. Симметрия относительно точки Поворот ОХ = ОХ ОХ' = ОХ Z ХОХ = а Симметрия относительно прямой Параллельный перенос I/ X ! 1 |Х F F' _Я V \i. О Х'{х+а; у+Ь) XX' ± I ХМ = MX' Точки смещаются по параллельным прямым (или совпадающим прямым) на одно и то же расстояние. 270 Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ Таблица 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ Определение и свойства Преобразование, при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же количество раз, называют преобразованием подобия. 1. Преобразование подобия сохраняет углы между лучами. 2. У подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки — пропорциональны. ХУ' XY = k — коэффициент подобия Гомотетия Если точка X отображается в точку X', то это значит: 1) точка X' лежит на луче ОХ; 2) — = /г. ох Свойство при гомотетии отрезок отображается в параллельный ему отрезок (или в отрезок, который лежит с заданным отрезком на одной прямой). XT' II ХУ Подобие треугольников Определение Два треугольника называют подобными, если они переводятся один в другой преобразованием подобия. Д АВС ^ Д А,В,С, Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 271 Окончание табл. 6 Свойство 1. у подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки — пропорциональны. ^ А = ^ Z В = Z Z С = ^ АВ ВС ----- -k Отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон и равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников 1. Если Z А = Z Aj, Z В = Z В^, то Д АВС А А^В^С^ 2. Если Z А = Z Aj, АВ АС А]_В^ AjCi — ТО А АВС ~ А AjBjCj 3. Если АВ ВС АС А-^С-^ ТО А АВС А AjBjCj по двум равным углам по двум пропорциональным сторонам и углу между ними по трем пропорциональным сторонам Прямая, параллельная сто-Если PQ II АС, роне треугольника, отсека- то А PBQ А АВС треугольник, подобный данному. Теорема о пропорциональных отрезках Если ВВ^ II СС^ II DD^, А В то AB:BC:CD = АВ^ : В^С^ : C^D^ Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. 272 Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ Таблица 7 ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ЕГО ВИДЫ Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, называют параллелограммом. ABCD — параллелограмм о АВ II CD, ВС II AD Свойство 1. Если АВСD — параллелограмм, то АВ = DC; AD = ВС; ZA = ZC;ZB = ZD. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы также равны. Признаки 1. Если ABCD — четырехугольник и ВС II AD, ВС = AD, то ABCD — параллелограмм. Если в четырехугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. 2. Если ABCD — четырехугольник и АВ = DC, AD = ВС, то ABCD — параллелограмм. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Свойство 2. Если ABCD — параллелограмм и BD — диагональ, то л ABD = Л CDB. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 273 Продолжение табл. 7 Свойство 3. Если ABCD — параллелограмм, АС и BD — диагонали, то АО = ОС; ВО = OD. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Признаки 3. Если ABCD — четырехугольник и АО = ОС, ВО = OD, то ABCD — параллелограмм. Если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Свойство 4. АС2 + BD^ = 2 (AD2 + АВ2) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Прямоугольник Параллелограмм, у которого все углы прямые, называют прямоугольником. Свойства Признаки 1. Все свойства паралле- 1. Если ABCD — лограмма. параллелограмм и Z А = 90°, то ABCD — 2. Если ABCD — прямоугольник. прямоугольник, то АС = BD. 2. Если ABCD — параллелограмм и АС = BD, Диагонали прямоуголь- то ABCD — ника равны. прямоугольник. 274 Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ Окончание табл. 7 Ромб Параллелограмм, у которого все стороны равны, называют ромбом. Свойства Признаки 1. Все свойства паралле- Если ABCD — лограмма. четырехугольник 2. Если ABCD — ромб, и АВ = AD = ВС = CD, АС и BD — диагонали, то ABCD — ромб. то: а) АС ± BD — диагонали пер- Если у четырехугольни- пендикулярны; ка все стороны равны. б) диагонали яв- то этот четырехуголъ- ляются биссек- ник — ромб. трисами углов ромба. Квадрат Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом. Другое определение. Ромб, у которого все углы прямые, называют квадратом. Свойства Г □ L Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 275 Таблица 8 ТРАПЕЦИЯ В т с Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны, называют трапецией. ABCD — трапеция, AD и ВС — основания, АВ и CD — боковые стороны, АС и BD — Частные случаи трапеции Равнобедренная трапеция — трапеция с равными боковыми сторонами (АВ = CD). D Свойство ZA = ZD Углы при основании равны. Диагонали равны. AC = BD Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. D h =АВ прямоуг. трапеции Средняя линия трапеции Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называют средней линией трапеции. MN — средняя линия Свойства MN II AD MN II ВС MN = AD + BC Средняя линия трапеции параллельна осноШШШЖ и рйвнСГ их полусумме. 276 Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ Окончание табл. 8 Таблица 9 ОКРУЖНОСТЬ. ХОРДЫ. ДУГИ. КАСАТЕЛЬНЫЕ И СЕКУЩИЕ Окружность — фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). О — центр окружности; О А — радиус; АВ — диаметр; CD — хорда (отрезок, соединяющий две точки окружности). Наибольшая хорда — диаметр Свойства дуг и хорд Если U АВ = U CD, то АВ = CD. Равные дуги стягивают равные хорды. Если АВ = CD, то U АВ = U CD. Равные хорды стягивают равные дуги. Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 277 Продолжение табл. 9 Если АВ II CD у то U АС - U BD. Параллельные хорды отсекают на окружности равные дуги. Если CD — диаметр, АВ — хорда, которая отличается от диаметра, CD 1 АВ, AM = МВ, то AM - МВ то CD _L АВ. (и U АС = U СВ). Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду (и дуги, которые она стягивает ) пополам, и наоборот. Если АВ — хорда, АС — диаметр, BD 1 АС, где S — точка пересечения хорд АВ и CD. то AB^ = AD-AC BD^ = AD'DC Свойства касательных и секущих Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности. АВ — касательная; А — точка касания; CD — секущая (прямая, имеющая с окружностью две общие точки). 278 Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ Окончание табл. 9 ОА1АВ Касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. А Если из одной точки к одной окружности проведены две касательные, то отрезки касательных равны. SA-SB = SC- SD SA-SB = SM^ где SA и SC — две секущие, которые пересекают окружность соответственно в точках А, В, С, D. где SM — касательная, М — точка касания; SA — секущая, пересекающая окружность в точках А и В. М Е Наибольшее и наименьшее расстояния от заданной точки до точек окружности измеряют по прямой, которая проходит через заданную точку и центр окружности. ME — наименьшее расстояние от точки М до точек окружности; МК — наибольшее расстояние от точки М до точек окружности. Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 279 280 Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ Продолжение табл. 10 Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 281 Продолжение табл. 10 ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ Пусть - d — расстояние между центрами окружностей, и Tg — радиусы окружностей {г^> г^. Общих точек нет d> + о < d < г^ - Одна общая точка (окружности касаются в этой точке) ^ = ''i + ^2 — внешнее касание d = г,-г^ внутреннее касание М 6 OjOg — точка каса- ния лежит на прямой, проходящей через центры окружностей. Две общие точки (окружности пересекаются) r^-r^ 180° знак «-1-») Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 289 Таблица 13 290 Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ Продолжение табл. 13 Условие параллельноаи прямых у = k^x + у = k^x + — прямая I — прямая т Уравнение окружности О х^ + у^ = Центр окружности — начало координат. ix-af + (у-bf = R^ Центр окружности — X точка (а; &). 2. ВЕКТОРЫ Вектором называют направленный отрезок. АВ = а Длину этого отрезка называют длиной (модулем, абсолютной величиной) вектора. а\ = АВ Равные векторы Координаты вектора ^ Azix^y.) а = Ъ Ai (х^; у^) j|al = |b I [векторы а иЬ одинаково направл^шы где а^ = х^- х^, ^2 = Уг- У1 \d\ = yjaf +а| Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 291 Продолжение табл. 13 3. ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ Сумма векторов Правило треугольника Правило параллелограмма АВ + БС = АС а (Oj; а2> + Ь Ьз) = с ag +^2) Разница векторов В координатах a.(_£i^ja.2) ^ Ф1', b2) — с ^i»^2 ^2) Умножение вектора на число АС = ХАВ \Ха\= X В При Л, > О вектор Ха и вектор а одинаково направлены (а Т 0). При X < о вектор Ха и вектор а противоположно направлены (а 10). В координатах Л • (а^; Пз) = (Ха^; Алз) Скалярное произведение векторов Ф а ■i> а*6 = |а •СОВф Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. В координатах а • & = -I- Дз • &2 292 Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ _______________________________Окончание табл. 13 4. КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы или одинаково направлены, или противоположно направлены. а W. Ъ коллинеарны Ь=Ха<^ — =—. а, Пп (соответствующие координаты пропорциональны) Таблица 14 НЕКОТОРЫЕ ВЫДАЮЩИЕСЯ ТЕОРЕМЫ Теорема Чевы Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С^, А^ и В^, то отрезки АА^, ВВ^ и СС^ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда АВ^ CAj ВС^ Теорема Менелая Если на сторонах АВ и СВ и на продолжении стороны СА (или на продолжении сторон АВ, СВ и С А) треугольника АВС взяты соответственно точки Cj, Aj и В^, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда ABi CAj BCj _ j В,С AiB CjA Приложение. СИСТЕМА ОПОРНЫХ ФАКТОВ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 293 Окончание табл. 14 Теорема Птолемея Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон: AC^BD=AB^CD + BC^AD Формула Эйлера В треугольнике радиус R описанной окружности и радиус г вписанной окружности связаны с расстоянием d между их центрами соотношением d^ = R^~ 2Rr. Например, если в треугольнике АВС точка О — центр описанной окружности, Oj — центр вписанной окружности, О^К — радиус вписанной окружности, ОС — радиус описанной окружности, то = ОС2 20С • О^К Прямая Симеона Основания перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника (или к их продолжениям) из произвольной точки описанной окружности, лежат на одной прямой. (Эту прямую называют прямой Симеона.) Р, R, Q — основания перпендикуляров. 294 Ответы к упражнениям § 1 1.2. Тупоугольный. 1.4. 6; б73; б7з. 1.5. 4,25я см^. 1.6. 5. 1.7. V?. 1.8. f с . .4 а +Ь . 1.9. Юл/З; 60°, 120°, 60°, 120°. 1.10. 10 см. 1.11. 8 см и 15 см. 2аЬ 1.12. 87 см^. 1.13. 156 см2. 1 14 g см и 25 см. 1.15.^^. 1.16. 2 см, 3 см а + Ь И 5 см. 1.17. 25 V2 см2, цд ЮО см2. ^ 23. 42, 5я. 1.24. 10^/з. 1.25. 14,4. 1.26. йу/з. 1.27. 4>/з. 1.28. 150. 1.29. 17. Точка О находится вне квадрата. 1.30. 3V2-3. 1.31. 2,4 или 21,6. 1.32. 2,5 или 10. 1.33. 5 или 7. 1.34. 4n/6 или 8^3. 1.35. 8 или 80. 1.36. или 1.37. 2 или 5. 1.38. 2,25 или 9. 1.39. 28 или 12. 1.40. §2 26 26 5ч/2 11%/2 , 17 10 — 23 “™Т 2.1. Координаты вершин: (а; 0), (0; 5), (0; 0). Координаты середин отрезков: oj, ^0; -j, (0; 0). 2.2. 1) Координаты вершин: (а; 0), (0; а). (0; 0), (а; а), координаты точки пересечения диагоналей: “1^2) коорди- о>/2^ (ал/2 ^ ^ наты вершин: а V2 ;0 , 0; 2 ; ;0 , 0;-----I, координаты точ- ки пересечения диагоналей: (0; 0). 2.3. Координаты вершин: (-а; 0), (0; Ь), (а; 0), координаты середин сторон: | -1, (0; 0). 2.4. Координаты \ 2 2J \2 2J вершин: (а; 0), (0; Ь), (0; 0), (а; Ь), координаты точки пересечения диагона-а ^ Ь 2’ 2. 2.16. С08ф = леи: 2.5. Координаты вершин: (-а; 0), (0; Ъ), (а; 0), (0; -Ъ). 17 ТГз §3 3.2. Да. 3.4. Да. 3.5. Одну или бесконечное множество. 3.8. Нет. 3.9.1) Да; 2) да; 3) нет. 3.10. Бесконечное множество. 3.11. 1) Нет; 2) нет. 3.12. Нет. 3.13. Совпадают. 3.16. 1) Да; 2) да; 3) нет. 3.17.1) Да; 2) да. 3.18. 1) Нет; 2) да. 3.19. Нет. 3.20. 1) АА^ и АВ; АВ и ВВ^ и т. д.; 2) АА^, A^D^, А,В,; А^В^, ВВ^, BjC^ и т. д.; 3) плоскости АА^В^В и AJB^CJD^\ плоскости ABCD и АА^В^В и т. д.; 4) плоскости ABD, АВВ^, ADD^; плоскости АВС, АВВ, ВСС^ и т. д. 3.22. Не обязательно. Три. Ответы к упражнениям 295 §4 4.1. 1) Точка С; 2) прямая СС^. 4.2. 1) Точка В; 2) прямая ВС. 4.8. Нет. §5 5.10. 1; 5; 7; 10; бесконечное множество. 5.13. 12л/3. 5.14. 5л/2. §6 6.1. 1) АВ и АВ VL CC^vL т. д.; 2) АВ и СС^; АВ и Bf^ и т. д.; 3) AS и ВС; SB и ВС и т. д. 6.2. Прямые могут пересекаться или быть скрещивающимися. 6.3. Нет. 6.4. Нет. 6.8. Не всегда. 6.9. 1) Три; 2) пятнадцать; 3) 6.10. 1) АВ и СВ; АА, и ВВ^ и т. д.; 2) АВ и А^В^; АА, и BBj и т. д.; 3) АВ и СВ; ВС иАВ. 6.13. Нет. 6.15. Нет. 6.17. 1) 4 м; 2) 3 дм; 3) а + Ъ . 6.18. 1) 1 м; 2) 0,5 дм; 3) а-Ь 6.19. 5 см. §7 7.1. 1) BCC^Bj, A^BjC^B^; 2) АВСВ, ВСС^В^; 3) ADD^^, АВВ^А^. 7.2. АВ и ВС имеют общую точку с плоскостью а; ВС || а. 7.4. Нет. 7.5. Нет. 7.8. Бесконечное множество. 7.9. Бесконечное множество. 7.13. 1) 12 см; 2) 4 см; 3) 4 см. §8 8.1. 1) АВСВ и AjBjCjBj, ABBjAj и ВСС^В^ и т. д.; 2) АВС и А^В^С^. 8.2. 1) Нет; 2) да, три пары. 8.3. Нет. 8.4. Нет. 8.5. Да. 8.6. Да. 8.7. Нет. Если прямая параллельна плоскости. 8.8. Нет. 8.10. Не всегда. 8.15. Третья плоскость или пересекает две данных плоскости, или параллельна им. 8.17. Три плоскости могут иметь общую точку; или общую прямую; или пересекаться по трем различным прямым. 8.22. а. 8.27. 30 см, 45 см. 8.28. 20 см, 30 см. §9 9.1. Отрезок или треугольник. 9.2. 1) Да; 2) да; 3) да. 9.3. 1) Отрезок или параллелограмм; 2) отрезок или параллелограмм; 3) отрезок или трапеция. 9.4. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) нет. 9.5. Нет. Утверждение выполняется, если плоскость проекции параллельна плоскости ромба. 9.6. 1) Да; 2) нет; 3) нет. 9.7. Провести медианы этого треугольника. 9.8. Провести средние линии этого треугольника. 9.8. Нет. 9.9. Да. 9.15. 1) 6 см; 2) 9.17. 3,5 или 8,75. 3 § 10 10.1. Например, параллельность противоположных сторон сохраняется; равенство соседних сторон не сохраняется. 10.2. Например, параллельность противоположных сторон сохраняется. §11 11.1. Нет. Для точек, которые лежат в плоскости, параллельной плоскости проекции и проходящей через центр проектирования. 296 Ответы к упражнениям 11.2. Да. 11.3. Если данные прямые параллельны плоскости проекции. 11.4. Если плоскость проектирования расположена между фигурой и центром проектирования, то при центральном проектировании получим фигуру, похожую на данную, но уменьшенную. 11.5. Если центр проектирования расположен между фигурой и плоскостью проектирования, то при центральном проектировании получим перевернутое изображение фигуры. Такое изображение используется при фотографировании. 11.6. Если фигура расположена между плоскостью проектирования и центром проектирования, то при центргшьном проектировании получим фигуру, похожую на данную, но увеличенную. Такое изображение используется при показе кинофильмов. 11.7. Фигура и ее изображение — подобные фигуры. § 12 12.1. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) нет. 12.2. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) да; 5) нет; 6) нет. 12.3. 1) Да; 2) нет. 12.4. 1) Да; 2) да; 3) нет. 12.5. Ромб. 12.6. Правильный треугольник. 12.7. Пятиугольник. 12.8. Трапеция. 9а* 12.12. Треугольник, четырехугольник, пятиугольник. 12.13. Да. 12.23.1) о\ 04 За*л/з ^ 2 ’ 4 ' § 13 13.1. 1) 90°; 2) 60°. 13.2. 45°. 13.3. 60°. 13.4. Бесконечное множество. 13.5. Одну. 13.6. Бесконечное множество. 13.8. 1) 90°; 2) 0°; 3) 90°. 13.9. 1) 45°; 2) 60°. 13.10. 60°. 13.11. 60°, 60°, 60°. 13.12. 1) 6,5 см; 2) 15 см; 3) yja^-b^ + d\ 13.13. 90°. 13.14. Прямые Ь и с скрещиваются или пересекаются, угол между ними равен 90°. 13.15. Прямые Ь и с скрещиваются или пересекаются, угол между ними равен 30°. 13.18. 60°. 13.20. 13.22. Vsa. § 14 14.1. Нет. 14.2. Если прямые перпендикулярны (пересекаются или скрещиваются). 14.3. Прямая перпендикулярна к плоскости треугольника. 14.4. 1) Нет; 2) да. 14.5. Перпендикулярны. 14.6. Да. 14.7. Да. 14.18. 5 м. 14.19. = 7 ,8 м. 14.20. 9 м. 14.21. Длина перпендикуляра Ъ , длина стороны квадрата -а^. 14.22. Длина перпендикуляра +Ь^-с^, длины сторон прямоугольника и yjc^-а^. 14.23. 14.24. -Ь^. 14.25. КА = КВ = 20 см; DA = DB = 32 см. 14.28. 5 см, 27 см, 31 см, 53 см (в зависимости от расположения вершин параллелограмма относительно плоскости). Ответы к упражнениям 297 § 15 15.1. Проекция диагонали куба на грань АВСП — АС, на грань ADZ)jAj — AjD, на грань АА^В^Б — aJb, на грань ВВ^Ср — Б^С, на грань DD^CjC — D^C, на грань A^B^CJ)^ — 15-2. SA < SB = SD < SC. 15.3. Наибольший отрезок SB, наименьший — SA. 15.4. 40 см. 15.5. 16 см. 15.6. 9 см. 15.7. AD = 6 см, проекция AD на плоскость а равна 4,8 см. 15.9. а у[б 15.10. 6,5 м. 15.11. -2Ъ" 15.12. 6 см и 15 см. 15.13. 1) 15 см 3 2 и 41 см; 2) 4 см и 8 см. 15.14. 9 см. 15.16. 3>/41 см. 15.17. 8 см и 2 n/66 см. 15.18. Да. 15.19. Да. 15.22. 2 см. 15.25. 24 см. 15.26. 6л/3 см. 15.27. 20 см. 15.28. 13 см. 15.29. 7 см, 7 см, 9 см, 9 см. § 16 16.1. 1) Z Б^АБ; 2) Z АБ,А^; 3) Z D^AB/, 4) Z АБ,Б; 5) Z D^BD\ 6) Z Б^ББ^; 7) Z Б,СБ; 8) Z Б,СС,. 16.2. 1) —; 2) 3) —. 16.3. 1) 2d; 2) dS’, ^ ^ ^ 2 2 2 3) 16.5. Окружность. 16.7. Нет. 45°. 16.10. Не обязательно. 16.11. Па- V3 раллельны или пересекаются. 16.12. 30°. 16.13. 30°. 16.14. arctg—р = V2 = arcctg \/2 = arcsin= arccos^. 16.16. 45°. 16.17. 30°. 16.18. a\l2. 16.19. а. V3 V3 16.20. 30°. 16.21. Угол наклона высоты, опуш;енной на основу треугольника, к плоскости а. 16.23. sin (p = -^sin(3. § 17 Прямой. 17.2. Z АСР. 17.3. Z ОСВ. 17.4. Да. 17.5. Z МВС. 17.6. 2а. 17.7. 45°. 17.8. 3,36 м. 17.9. 17.10. -. 17.12. 30°. 17.13. 1) —; 2) —. 22 14 31 _________________ 2 2 17.14. 13 м. 17.15. 60°. 17.16. 1) yja^ + b^-Zabcosa + c"; 2) 60°. 17.17. 1) 2) 2а2. 17.18. 1) 60°; 2) tg ср = 2. 17.19. 45°. § 18 18.1. Нет. 18.2. Пересекаются (в частности, перпендикулярны), параллельны, скреш;иваюш;иеся (в частности, перпендикулярны). 18.3. Нет. 18.4. Нет. 18.5. Нет. 18.6. Нет. 18.7. Да. 18.8. Бесконечное множество или одну. 18.11. Бесконечное множество. 18.13. 1) 90°; 2) 60°. 18.14. Да. 18.15. Да. 18.16. Нет. 18.18. 1) 11 м; 2) 13 м; 3) 8 м; 4) 7 м; 5) л/оЧьЧ?; 298 Ответы к упражнениям 6) ^а^ + Ь^-с\ 18.19. л/^Ч^. 18.20. 1,3 м. 18.21. 1,7 м. 18.22. 1) 45®; 2) cos ф = 0,2. 18.23. а7соз2ф. 18.24. 1) 4у/73; 2) 12. 18.25. 1) 2) 8Шф = ^. 18.26. 1) Да; 2) да; 3) нет. 18.27. 8(1 + 73) и 16^2. § 19 19.1. 30®. 19.2. 1) aV2; 2) —; 3) —. 19.3. а. 19.4. 1) а; 2) —, 2 3 2 19.5. 2а 19.6. yjb^-a\ 19.7. 1) 4,25 см; 2) 6,75 см; 3) —. 19.8. 1) 1,05 см; 2) 0,65 см; 3) — . 19.10. 6 м. 19.11. 19.12. 5 м и 3 м. 2 2 19.13. л/сЧ&'-а^. 19.17. 1) а; 2) —; 3) а; 4) а; 5) —; 6) —. 2 2 6 19.18. а sin а. 19.19. Плоскость, параллельная данным плоскостям и лежащая между ними на расстоянии, равном половине расстояния между данными плоскостями. 19.20. ^ 19.21. Jb^ . 19.22. arccos-^. 2 V 3 19.23. С — точка пересечения отрезка АВ^, где — точка, лежащая на луче ВО (ВО 1 а и О Е а), причем ВО = ОВ^ 19.24. V2 м. 19.25. 2>/2 м. 19.26. Vo4^. 19.27. 19.28. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет. 19.30. 7^ м. 19.31. 10. 19.32. 5 или 9. 19.33. 90®. 19.34. 8, 8, 8. 19.35. 4, 4, 4, 8. 19.36. 1) Скрещивающиеся; 2) параллельные; 3) 5. 19.37. 1) зТ7; 2) 3>/3. §20 20.1. Нет. 20.2. Например, шар. 20.3. Отрезок, равный второй диагонали. 20.4. 1) Нет; 2) да; 3) да. 20.5. —. 20.6. 1) Да; 2) да; 3) нет. 20.7. 1) Да; 2 2) нет. 20.8. Нет. 20.9. 1) Нет; 2) да; 3) да. 20.10. 1) Да; 2) да; 3) нет. 20.11. 9 Тз Прямоугольником, который равен основанию. 20.12. 10 см^. 20.13. 1) -; 2) —; 3) 8 20.14. 1) 30®; 2) 0®. 20.15. arccos о sin а . 20.17. -. 3 20.19. -а^. 20.20. Правильный шестиугольник. 20.21. а^л/з. 20.25. . 20.26. 72 см или 90 см. 20.27. DD^ = 6; Р = 20; S = 4V^. 7а^ Scoscp 20 .28. 2л/тЧ^. 20.29. Ромб; Ответы к упражнениям 299 §21 ап am 21.3. 0,36 м или 0,44 м. 21.4. 0,06 м или 0,26 м. 21.5. --- или ------ т + п т + п 21.6. ^2Ъ^-а\ 21.7. 4 м. 21.8. 1) —; 2) а; 3) а; 4) а; 5) 6) а; 7) 2 V3 V3 21.9. 4—. 21.10. 2 Vs. 21.12. 21.13. 12. 13 8 §22 22.1. Окружность. 22.2. Две плоскости, параллельные данной плоскости и находящиеся на расстоянии h от нее. 22.3. Плоскость, параллельная данным плоскостям и лежащая посередине между ними. 22.4. Прямая, перпендикулярная к плоскости треугольника и проходящая через центр окружности, вписанной в данный треугольник. 22.6. Плоскость, параллельная данной плоскости и находящаяся от нее на расстоянии, равном половине расстояния от данной точки до данной плоскости. 22.7. Плоскость, перпендикулярная к данной прямой и проходящая через заданную на ней точку. § 23 23.8. 1) Плоскость, параллельная плоскости yz и проходящая через точку (1; 0; 0); 2) прямая, параллельная оси Oz и проходящая через точку (1; 1; 0). 23.14. Правильный. 23.15. С (0; 0; 0). 23.19. В (0; -1; 3). 23.23. (-2, -2, -2), (2, 2, 2). 23.30. 1) (X - 1)2 + (у - 2)2 + (z + If = 5; 2) (х - If + (у - 2)2 -h + (z + 1)2 = 8; 3) (X - 1)2 + (у- 2)2 + (2 + 1)2 = 5. § 24 24.2. 1) (1; -6; -5), Тб2; 2) (3; -1; 2), л/^4; 3) (5; -2; -2), V^; 4) (4; 2; -9), ViH; 6) (-2; -3; 5), V^. 24.3. 1) Да; 2) да; 3) нет. 24.4. (-3; 2; -2). 24.5. (3; 2; -4). 24.6. 1) АВ^; 2) АС; 3) AD^; 4) AD. 24.9. m = 1, л = 10. 24.10. (-0,6; -1; 0,2). 24.11. (5; -2; -1). 24.12. 1) (-5; 10; -1); 2) (3; -4; 4). 24.13. 1) 20; 2) -8; 3) 3; 4) -10. 24.14. 1) Плюс; 2) минус, 24.15. 1) Прямой; 2) острый; 3) тупой. 24.16. 1) -12; 2) 0; 3) 0; 5; 4) -2; 1. 24.17. (0; 0; -3). 24.18. 24.19. 13 15 24.20. 2. 24.21. 1) arccosi; 2) 24.22. 1) а + Ь + с; 2) а + с; 3) а-Ь + с; v3 2 4) d + b + 0,5c; 5) a + b-0,5c; 6) c-d-Ъ. 300 Ответы к упражнениям § 25 25.2. Да. 25.4. Да. 25.6. 1) 3; 2) 3. 25.8. 1) 3; 2) 9. 25.11. 1) 4; 2) 7. 25.12. 1) 0; 2) 4. 25.13. 1) 1; 2) 3. 25.31. 1) (2; -7; -3), (2; 7; 3), (-2; -7; 3); 2) (-3; 4; -1), (-3; -4; 1), (3; 4; 1); 3) (5; -3; -7), (5; 3; 7), (-5; -3; 7). 25.32. 1) (-2; 7; -3); 2) (3; -4; -1); 3) (-5; 3; -7). 25.33. а = -1, Ь = -2, с = 5. 25.34. (2; -4; -1). § 26 26.1. 1) Z = 0; 2) I/ = 0; 3) л: = 0. 26.2. В. 26.3. (6; 0; 0); (0; 2; 0); (0; 0; -1,2). 26.4. 4л: + 21/ - 2 + 3 = 0. 26.5. 2х - 5у - 3z - 3S = 0. 26.6. 1) х + у + z - 1 = 0; 2) л: + 4г/ + 32 - 5 = 0. 26.7. Нет. 26.8. 1) г/ + 2 = 0; 2) I/ - 2 = 0; 3) л: + I/ --3 = 0. 26.9. 1) и 3). 26.10. 1) Зл: + 21/ - 2 - 8 = 0; 2) д: - 41/ + 32 + 10 = 0. 2>/l54 9>/39 ол V42 ^ бл/Й 26.11. Только 1). 26.12. 1) 77 ; 2) 78 ■; 3) 21 . 26.14. 1) 2; 2) 26.15. 1) (0; 0; 0), Д - 2; 2) (0; 1; 0), R =-Д; 3) ||; |; ||, Д - 7 ' л/Й 26.16. 2—. 26.17. 13 7т § 27 27.1) Параллелограмм; 2) трапеция. 27.3. 90°. 27.4. arccos 7Й9’ 27.10. arccos 27.11. arccos—. 27.12. 60°. 27.13. arccos—7 ^ 741 3 72(аЧб=^) 27.14. 1) arccos-; 2) arccos-; 3) arccos—. 27.15. 27.16. -. 4 4 4 3 3 Предметный указатель Лбсцисса точки 206 Аксиома 10, 41 Аксиоматический метод 60 Аксиомы планиметрии 8, 10 — стереометрии 37, 41 Аппликата точки 206 />азис пространства 223 /Лектор 213 —, длина (модуль, абсолютная величина) 213, 217 — нулевой 217 — противоположный 219 —, разложение 216, 221, 223 —, умножение на число 215, 219 Векторный метод 17, 254 Векторов разность 215, 219 — скалярное произведение 216, 220 — сумма 214, 218 Векторы коллинеарные 215, 220 — компланарные 222 — одинаково направленные 215, 217 — противоположно направленные 215, 217 Геометрическое место точек 191 — тело 39 Гомотетия 231, 238 Движение 229, 232 Двугранный угол 150, 151 ----, грань 150, 151 ----, ребро 150, 151 Декартовы координаты 204, 206 Достаточное условие 15 Язображение фигуры 94, 100 ----в центральной проекции 109 координаты вектора 214, — середины отрезка 204, 207 Линейный угол двугранного угла 150, 151 ---------, практические способы построения 150, 152 Метод плопдадей 19 — следов 50, 112 Методы решения геометрических задач 17 Многогранник 39 —, вершина 39 —, грань 39 —, диагональ 39 —, ребро 39 —, сечение 47, 49 //аклонная 136 —, основание 137 Необходимое условие 15 Ордината точки 206 Ортогональное проектирование Ось координат 205 177 Параллелепипед прямоугольный 38 Параллельное проектирование 90 ----, направление 91 ----, свойства 91-93 Параллельные плоскости 79, 80 — плоскость и прямая 73, 74 — прямые 66, 67 Параллельный перенос 230, 236 Перпендикуляр к плоскости 137 —, основание 137 Перпендикулярные плоскости 159 — прямые 120, 122 302 Пирамида 39 — правильная 39 —, боковая грань 39 —, боковое ребро 39 —, вершина 39 —, высота 39, 169 —, основание 39 Площадь ортогональной проекции многоугольника 177, 178 Плоскость изображения 94 — проекций 91 — секущая 49 Поворот вокруг прямой в пространстве 230, 236 — около точки 230, 236 Подобие фигур 237 Подобные фигуры 42 Полупространство 56 —, граница 56 Правило параллелепипеда 214, 218 — параллелограмма 214, 218 — треугольника 214, 218 Преобразование подобия 231 — фигур 229, 232 Призма 39 —, высота 169 —, основание 39 — прямая 169 Признак паргшлельности двух плоскостей 80, 129 -------прямых 68, 75 ----прямой и плоскости 74 — перпендикулярности плоскостей 160 прямой и плоскости 127 — скрещивающихся прямых 67 Проекция наклонной 137 — фигуры 91 Пространство 38 Прямоугольная система координат на плоскости 204, 205 -------в пространстве 204, 206 Радиус шара 39 Равные векторы 217 — фигуры 41, 233 Расстояние между скрещивающимися прямыми 166, 170 ----, способы вычисления 183, 185-188 ----точкой и плоскостью 166, 167 ----точкой и прямой 167 ----параллельными плоскостями 166, 168 — — — прямой и плоскостью 166, 168 ----фигурами 182, 184 Расстояние между точками в координатах 204, 207 Секущая плоскость 49 Симметрия относительно точки 229, 233 ----прямой 229, 233 ----плоскости 229, 234 Скрещивающиеся прямые 66 ----перпендикулярные 122 Стереометрия 38 Сфера 39 Теорема о трех перпендикулярах 138 Тетраэдр 39 — правильный 39 Тело геометрическое 39 Угол между наклонной и плоскостью 144 ----ненулевыми векторами 220 ----плоскостями 151, 243 ----прямыми 121 ----скрещивающимися прямыми 122 Уравнение окружности 204 — плоскости 242, 243 — сферы 204, 208 Фигура неплоская 38 Центр шара 39 Центральное проектирование 106, 107 303 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие для учащихся............................................3 Предисловие для учителя.............................................5 Раздел 1. Систематизация и обобщение фактов и методов планиметрии § 1. Логическое построение школьного курса планиметрии. Методы решения геометрических задач............................8 1.1. Логическое построение школьного курса планиметрии.........8 1.2. Методы решения планиметрических задач....................17 § 2. Примеры применения координат и векторов для решения геометрических задач..............................29 Раздел 2. Введение в стереометрию § 3. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия................37 § 4. Простейшие задачи на построение сечений многогранников........47 § 5. Понятие об аксиоматическом методе в геометрии.................54 Сведения из истории...........................................60 Раздел 3. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве § 6. Расположение двух прямых в пространстве: пересекающиеся прямые, параллельные прямые, скрещивающиеся прямые....................66 § 7. Параллельность прямой и плоскости.............................73 § 8. Параллельность двух плоскостей................................79 § 9. Параллельное проектирование. Изображение плоских и пространственных фигур в стереометрии.......................90 § 10. Свойства изображений некоторых многоугольников в параллельной проекции.....................................100 § 11. Центральное проектирование. Изображение пространственных фигур в центральной проекции................................106 § 12. Методы построения сечений многогранников....................111 Сведения из истории.........................................117 Раздел 4. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве § 13. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярные прямые.....................................120 § 14. Перпендикулярность прямой и плоскости.......................126 § 15. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах...136 § 16. Угол между прямой и плоскостью..............................144 § 17. Двугранный угол. Угол между плоскостями.....................150 § 18. Перпендикулярность плоскостей...............................159 § 19. Расстояния между точками, прямыми и плоскостями.............166 § 20. Ортогональное проектирование................................177 § 21. Расстояния между фигурами. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми...............................182 § 22. Геометрические места точек в пространстве...................191 304 Раздел 5. Координаты, векторы и геометрические преобразования в пространстве § 23. Прямоугольная система координат в пространстве .............204 § 24. Векторы в пространстве......................................213 § 25. Геометрические преобразования в пространстве................229 § 26. Уравнение плоскости.........................................242 § 27. Применение метода координат и векторов к решению стереометрических задач......................................248 Приложение. Система опорных фактов курса планиметрии..............259 Ответы к упражнениям..............................................294 Предметный указатель..............................................301 Нелин Евгений Петрович Лазарев Виктор Андреевич Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия ГЕОМЕТРИЯ базовый и углубленный уровни 10 класс Подписано в печать 16.09.2014. Формат 70x90/16. Усл.-печ. л. 22,23. Тираж 3000 экз. Заказ № 1261. ООО «Илекса», 107023, г. Москва, ул. Буженинова, д. 30, стр. 4, сайт: www.ilexa.ru. E-mail: real@ilexa.ru, телефон: 8(495) 964-35-67 Отпечатано в ОАО «Областная типография «Печатный двор*, 432049, г. Ульяновск, ул. Пушкарёва 27. E-mail: ul-pd@mail.ru