Учебник Алгебра 9 класс Муравин Муравин Муравина

На сайте Учебник-Школа.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Алгебра 9 класс Муравин Муравин Муравина - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
г. к. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравима АЛГЕБРА D р о ф а г. к. Муравин, К. С Муравин, О. В. Муравима АЛГЕБРА класс Учебник Рекомендовано Миниаеравом образования и науки Российской Федерации 14-е издание, стереотипное Москва jf ирофа 2014 УДК 373.167.1; ББК 22.1я72 М91 51 Муравин, Г. К. М91 Алгебра. 9 кл.: учебник / Г. К. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравина. — 14-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2014. — 315, [5] с. : ил. ISBN 978-5-358-13345-7 Учебник завершает линию по алгебре для 7—9 классов. Разноуровневая система упражнений, имеющая маркировку, позволяет работать с разным составом класса. Дополнительный материал, включающий сведения из истории математики, исследовательские работы, домашние контрольные работы, позволяет перейти в тематическом контроле на форму дифференцированного зачета. Каждый раздел учебника завершается вопросами и заданиями, которые помогут ученикам проверить свои знания. Способствует самоконтролю и обширный раздел оСоветы и решения», содержащий указания к решению наиболее сложных задач. Учебник (12-е издание) имеет новое художественное оформление. Учебник рекомендован Министерством образования и науки Российской Федерации, включен в Федеральный перечень учебников. УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 ISBN 978-5-358-13345-7 ©ООО «ДРОФА», 2000 ©ООО «ДРОФА», 2011, с изменениями iv , i2nM ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Неравенства § 1. Свойства неравенств............................. 5 1. Общие свойства неравенств..................... 5 2. Свойства неравенств, обе части которых неотрицательны............................ 15 §2. Приближенные вычисления..................... 22 3. Границы значений величин.................. 22 4. Абсолютная и относительная погрешности приближения............................... 29 5. Практические приемы приближенных вычислений................................... 34 § 3. Неравенства с одной переменной и их системы ... 39 6. Линейные неравенства с одной переменной ... 39 7. Системы линейных неравенств с одной переменной................................... 47 ▼ 8. Решение неравенств методом интервалов. 55 Глава 2. Квадратичная функция § 4. Корни многочленов........................... 62 9. Квадратные уравнения и уравнения, сводимые к квадратным........................ 62 10. Целые корни многочленов с целыми коэффициентами............................... 68 11. Теорема Безу и следствие из нее............. 73 12. Разложение квадратного трехчлена на множители................................. 79 § 5. Квадратичная функция и ее график............... 85 13. График функции у = 85 14. График функции I/= а+ 5л: + с ........... 92 ▼ 15. Исследование квадратного трехчлена........ 104 16. Графическое решение уравнений и их систем 109 о л-- 12п1П'' § бТКонические сечения............................. 115 17. Парабола и гипербола как геометрические места точек................................. 115 18. Эллипс..................................... 121 Глава 3. Корни л-й степени §7. Степенная функция............................. 126 19. Функция у = 126 20. Функция у = 129 §8. Корень д-й степени............................ 135 21. Понятие корня я-й степени.................. 135 22. Функция у = Ч/х и ее график................ 141 ▼ 23. Свойства арифметических корней............. 145 Глава 4. Прогрессии § 9. Числовые последовательности................... 154 24. Последовательности и функции............... 154 25. Рекуррентные последовательности............ 161 § 10. Арифметическая и геометрическая прогрессии... 164 26. Определение прогрессий..................... 164 27. Формула д-го члена прогрессии.............. 170 §11. Сумма членов прогрессий....................... 176 28. Сумма первых д членов прогрессии........... 176 Т 29. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при < 1.......................... 187 Глава 5. Элементы теории вероятностей и статистики § 12. Вероятность суммы и произведения событий. 196 § 13. Понятие о статистике......................... 206 Глава 6. Повторение и обобщение Выражения...................................... 218 Тождества...................................... 221 Уравнения...................................... 226 Неравенства.................................... 234 Функции и графики.............................. 239 Сведения из истории математики..................... 246 Исследовательские работы........................... 252 Проверь себя! Домашние контрольные работы.......... 256 Ответы............................................. 262 Советы и решения................................... 278 Справочные материалы............................... 307 Предметный указатель............................... 315 л НЕРАВЕНСТВА 1. Свойства неравенств 1. Общие свойства неравенств Решение многих задач приводит к необходимости сравнения значений выражений. Так, например, выясняя, существует ли треугольник со сторонами 5, 7 и 11 см, мы выбираем больший отрезок и сравниваем его длину с суммой длин двух других. По знакомому вам из геометрии неравенству треугольника большая сторона должна быть меньше суммы двух других сторон. Именно такое соотношение мы и получаем в рассматриваемом примере 11 < 5 -Ь 7, значит, треугольник со сторонами 5, 7 и 11 см существует. При решении задачи мы сначала выбрали большее из чисел 5, 7 и 11, а затем сравнили его с суммой 5-1-7, равной 12. Вообще, при сравнении двух различных чисел амЬ может быть одно из двух: или а < Ь, это значит, что число а меньше числа Ь, или а>Ъ — число а больше числа Ъ. На координатной прямой большее из чисел изображается правее (рис. 1), а меньшее — левее. Используя стандартную для математиков конструкцию «Если ..., то ...», можно записать следующее. С Если а> ЪуТоЪ < а. Графическая иллюстрация (рис. 2) делает очевидным и следующее свойство неравенств. С Если а < Ь и Ь < с, то а < с. а> Ь а < Ь, Ь < с Ь а Рис. 1 а Ь Рис. 2 2- — Следующая группа свойств часто используется при выполнении арифметических действий с неравенствами. Свой- ство Символическая запись Рабочая формулировка 1 Если а> Ь, тоа + оЬ + с па-с>Ь-с К обеим частям неравенства можно прибавить (или вычесть) одно и то же число 2 Если а + Ь > с + d, 'Toa + b- od Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком 3 Если а > Ь и о d, то a + ob-hd Неравенства одного знака можно почленно складывать 4 Если а > Ь и О 0, то ас > Ьс Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число 5 Если а> Ьис <0, то ас < Ьс Обе части неравенства можно умножить на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный 6 Если а > Ь, то -а < -Ь Можно изменить знаки обеих частей неравенства, одновременно изменив знак неравенства на противоположный На координатной прямой число а + с отстоит от числа а на с единиц вправо, если с > О, и влево, если с < 0. Это соображение позволяет проиллюстрировать свойство 1 (рис. 3). Свойство 2 можно получить, если из обеих частей неравенства а + Ь> с + duo свойству 1 вычесть число с. о о с < о а + с Ь + с а + с Ь + с а Рис. 3 «О/ Для доказательства свойства 3 воспользуемся тем, что а> Ь тогда и только тогда, когда а- Ь > 0. Пусть а> Ь и с> d. Это значит, что а-Ь>Олс — d>0. Рассмотрим разность (а + с) - (6 + d): (а + с) - (Ь + d) = а + с - Ь - d = (а - Ь) + (с - d). Получившееся выражение является суммой двух положительных чисел, значит, его значение положительно, т. е. (п + с) — (Ь + d) > 0. Отсюда (2 + с > 6 + с/, что и требовалось доказать. Докажем свойство 5. Как и в предыдуш;ем доказательстве, рассмотрим разность ас - Ьс: ас - Ьс = (а - Ь)с. Поскольку а> Ь, разность а — Ь положительна. Число с по условию отрицательно, значит, произведение (а — Ь)с < 0 и ас - Ьс < 0. Отсюда ас < Ьс, что и требовалось доказать. Взяв в свойстве 5 число с равным -1, получим свойство 6. Пример 1. Известно, что а > Ь. Какой знак неравенства следует поставить между выражениями 2 - 7а и 2 - 7Ь? Решение. Умножим обе части неравенства а > 6 на -7. По свойству 5 знак неравенства при этом следует изменить. Получим -1а < -1Ь. Осталось применить свойство!, прибавив число 2 к каждой части неравенства: -1а + 2<-1Ь + 2. Ответ: 2-1а<2-1Ь. Пример 2. Сравнить значения выражений (а -Ь 1)(а - 1) и (а -Ь 2)(а - 2), где а — любое число. Решение. Найдем разность значений данных выражений и в зависимости от ее знака сделаем требуемый вывод. (а + 1)(а - 1) - (а -ь 2)(а - 2) = = (а^ - 1) - - 4) = а^ - 1 - а^ -f 4 = 3. Разность оказалась положительной, значит, уменьшаемое больше вычитаемого. Ответ: (а -ь 1)(а - 1) > (а -ь 2)(а - 2). л. 2, ,Шг Наряду со знаками «<» и «>» в математике используют знаки — «меньше или равно» и «>» — «больше или равно». В отличие от знаков строгих неравенств «<» и «>», предполагающих, что сравниваемые числа различны, знаки нестрогих неравенств «<» и «>» допускают случай равенства левой и правой частей неравенства. Так, например, верны неравенства: 2>2, 2<2, 3>2и1<2. Пример 3. Доказать, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше, чем их среднее геометрическое. Доказательство 1. Напомним, что средним арифметическим двух положительных чисел хну называется их X + у полусумма —^ , а средним геометрическим — корень из их произведения . Таким образом, мы должны доказать неравенство ^ ^ ^ . Рассмотрим разность левой и правой частей этого неравенства: х + у - 7^ = _ х-\- у - 2jxy _ iJx -4уУ Мы получили дробь, значение которой при х = у равно нулю, а при любых неравных положительных значениях хну больше нуля. Значит, ^ ^ ^ - 7^ = О или ^ ^ ^ - Jxy > 0. Но это и значит, что ^ ^ ^ > 7^ при любых положительных значениях хну. ▼ Доказательство 2. Пусть х ну — любые положительные числа. Построим окружность с диаметром х + у. Точка М перпендикуляра МН, восставленного к диаметру АВ окружности (рис. 4), не может быть удалена от этого диаметра более чем на радиус окружности, равный —^ ^. Отрезок МН — высота прямоугольного тре- •\©/ угольника АМВ. МН = JAH • ВН = Jxy . Следовательно, ^ ^ ^ > лУ^ , что и требовалось доказать. Д ▼ Пример 4. Доказать, что сумма положительных значений обратно пропорциональных переменных хну минимальна при X = у. Доказательство. Найдем, какое значение принимает сумма X + у при X = у. Произведение обратно пропорциональных переменных постоянно. Пусть ху = k. Тогда при X = у имеем: xy = x‘x = k,x^ = k,x=jk,x + y = x + x = 2x = 2jk. Таким образом, мы должны доказать, что х + у ^ 2 Jk при любых положительных значениях хну. Рассмотрим разность левой и правой частей этого неравенства и вернемся от k к равному ему произведению ху. X + у - 2jk = X + у - 2 ={Jx - Jy)^. Мы получили выражение, значение которого при любых неравных положительных значениях хну больше нуля. Значит, X + у > 2jk при х^у. Поскольку х + у = 2jk при х = у, число 2jk является минимальным, т. е. наименьшим значением суммы X + у, н это значение достигается при х = у, что и требовалось доказать. Л Пример 5. Доказать, что периметр выпуклого четырехугольника больше суммы его диагоналей. Доказательство. По неравенству треугольника имеем (рис. 5): АВ "Ь ВС > АС, ВС -Ь CD > BD, CD + DA> АС, DA+AB>BD. Складывая неравенства одного знака, по свойству 3 получим: 2АВ + 2ВС -ь 2CD + 2DA > 2АС + 2BD. »«*311 Разделив обе части неравенства на положительное число 2 ^ это то же самое, что умножить на | j, по свойству 4 получим АВ + ВС Л- CD -Ь DA > АС + BD. Это и требовалось доказать, так как в левой части неравенства стоит сумма сторон четырехугольника, т. е. его периметр, а в правой части — сумма диагоналей четырехугольника. 2. 3. 4. Упражнения 1) Прочитайте неравенства: а) 3,5 < 3,99; в) -10,05 > -10; д) ; б) 40 702 > 4072; , 3 . 15 5 25 ’ е) 7б1 > 2) Назовите строгие и нестрогие неравенства. 3) Какие из этих неравенств верны? Замените многоточие знаком равенства или неравенства так, чтобы получилось верное утверждение, если: 1) а > ЬуТо Ь ... а\ А) а> Ь тлЬ> с,то а ... с; 2) а = 6, то 6 ... а; 5) а = Ь и = с, то а ... с; 3) а < 6, то ... а; 6) а < & и < с, то а ... с. Поставьте вместо многоточия знаки «>» или «<» так, чтобы получилось верное неравенство: 1)-23,5 ... -20,8; 2) -0,658 ... -0,65; 3)0,7647 ^ 19 13 , -0,5788; 7)1-1 7 . ■ 9’ 1 5’ ^-1* 7 ’ 4 5 ■ Запишите в виде неравенства следуюш;ее утверждение. 1) Сумма чисел а иЬ меньше половины их произведения. 2) Разность чисел end больше половины их частного. 3) Квадрат разности чисел р тл q меньше разности их квадратов. 4) Квадрат суммы чисел тип больше суммы их кубов. Ф, Д' -««зЭ112n 5) Куб разности чисел k и I меньше удвоенного квадрата их суммы. 6) Разность кубов чисел end больше полусуммы квадратов этих чисел. 7) *^ Произведение трех последовательных натуральных чисел, большее из которых п, меньше суммы их квадратов. 8) ^ Произведение четырех последовательных натуральных чисел, меньшее из которых fe, больше, чем их утроенная сумма. 5. 1) Как расположены друг относительно друга на координатной прямой точки А(о) и В(Ь), если: a)a-b = S; б)а-Ь = -1,5; в)а-Ь = 07 2) Отметьте точки на координатной прямой. 6. ^ 1) Можно ли утверждать, что: а) если а > Ь, то а + 2 > Ь + 2; б) если а < Ь, то а - 1 > Ь - 1; в) если а > 7 + то а - 7 > d? 2) Поставьте вместо многоточия знак неравенства и сделайте вывод: а) если а < Ь, то а + с ... Ь + с; б) если а < Ь, то а - с ... Ь — с; в) если a + b>c + d, то а + Ь — с... d. 7. Сложите неравенства: 1) 11,2 >7,8 и-6,4 >-9,5; 2) -5,72 > -8,4 и -2,1 > -3,6; „,4^5 9 ^ 11 . 5 6 10 12 ’ ..8^2 10 ^ 13 ^)-9<З^Тз^Т5 8. ® Верно ли утверждение: 1) если сложить верное и неверное неравенства одного знака, то получится неверное неравенство того же знака; 2) если сложить два неверных неравенства одного знака, то получится неверное неравенство того же знака? 9. Сравните а + Ь и х + i/, если известно, что: 1) а > Ху Ь > I/; 3)а<ХуЬ = у; 2) а> Ху Ь > у; 4) а <: Ху Ь < у. ■т 10. Можно ли утверждать, что: 1) если а < Ь, то -а > -Ь; 2) если а> Ь, то 0,3а > 0,ЗЬ; 3) если а < -3,2, то 2а < -6,4; 4) если а > -2,8, то 0,5а > -1,4; 5) если а > /Ь, то -0,8а < -0,8^?; 6) если а > Ь, то аЬ > Ъ^\ 7) если а > 6 и 6 > 3, то а > 3; 8) если а > Ь и Ь > 1у то а> 0; 9) ® если Зс > -2, то о -0,7; 10) ® если -5а > -10, то а < 3; л 4 !!)• если Ь < -- , то -1Ь > 4; 12)® если Ь <-\,тоЪЬ < -2? О 11. Известно, что а> Ь. Можно ли утверждать, что: 1) 5а > 5Ь; 2) а > -Ь\ 3) a4-l>fe+l; 4) а - 3 > 6 - 3; 5) 0 2а > 6; 6) 0 2а + 1 > 26; 7) » ^ > 1; 8) * ^ <2; а о 9)® - < 1? а 12. Известно, что J2 < 1,5 и 7з < 1,8. Какое неравенство можно записать для: 1) л/2 + 73; 3)-л/3; 5)2л/3+з72; 2) 272; 4)272 + 73; 6)® 372 -273? 13. 1)0 К обеим частям неравенства -10 < -3 прибавили число а. Можно ли утверждать, что получившееся неравенство верно? 2)# Обе части неравенства 5 > 3 умножили на число а^. Можно ли утверждать, что неравенство 5а^ > За^ верно? Можно ли утверждать, что неравенство 5а^ > За^ неверно? 14. Докажите, что при всех значениях переменной верно неравенство: 1) Ч- 5 > 0; 4) -4^2 + 12d - 9 < 0; 2) (с - 3)2 > 0; 5) (а + 5)(а - 2) < (а + 2)(а -Ь 1); 3) -62 - 1 < 0; 6) (6 - б)(6 - 4) > (6 -Ь 3)(6 - 13). f J i 2„ I5P Докажите, что: 1) квадрат среднего из любых трех последовательных целых чисел больше произведения крайних; 2) произведение крайних из четырех последовательных целых чисел меньше произведения двух других чисел. 16. Докажите, что: 1) если а — любое число, кроме а = 5, то + 25 > 10а; 2) если Ь — любое число, кроме Ь = 6, то 125 — Ь^< 36. 17. Докажите, что при любом положительном значении а верно неравенство: 1) 5 + а 12 + а ^ 12 ’ > 2) 15 + а ^ 15 11 + а 11 ' 18. Докажите неравенство: 1) Jab > 2аЬ а~+Ъ ’ 2) '^1- > 2. л/а^ + 1 19.* Используя результаты, полученные в примере 4, найдите наименьшее из положительных значений выражения: 3)9.+ f; 4)8i,+ ^. 20?^ 1) Докажите, что сумма двух неравных взаимно обратных положительных чисел больше 2. 2) Докажите, что сумма двух положительных взаимно обратных чисел не меньше чем 2. 21^1) Для спортивных игр отводят прямоугольный участок земли площадью 600 м^. Его нужно огородить металлической сеткой и разделить такой же сеткой на две одинаковые прямоугольные площадки. При каких размерах участка понадобится наименьшее количество металлической сетки? 2) Для игры в волейбол предполагается выделить прямоугольный участок земли площадью 720 м^, огородить его металлической сеткой высотой 3 м и разделить на две прямоугольные площадки сеткой высотой 1,5 м. При каких размерах участка стоимость изгороди окажется наименьшей, если стоимость 1 м^ трехметровой сетки такая же, как 1 м^ полутораметровой? / — п п я 22“ Докажите, что если переменные х vl у принимают положительные значения, такие что х + у = где k — некоторое фиксированное число, то значение произведения ху максимально при х = у. 23. ® Докажите, что из всех прямоугольников данного пери- метра наибольшую площ;адь имеет квадрат. 24. ® Найдите наибольшую площ;адь прямоугольного участка земли, который можно отгородить металлической сеткой длиной 100 м на берегу реки. (Сторону участка, при-мыкаюш;ую к реке, огораживать не требуется.) 25. ® 1) Школьник прошел первую половину пути до станции со скоростью 4 км/ч, а вторую половину — со скоростью 6 км/ч. Обратно он возвраш;ался со скоростью 5 км/ч. Когда школьник затратил больше времени: по пути на станцию или на обратном пути? 2) Лодочник проплыл п км по течению реки со скоростью 7 км/ч и вернулся обратно, двигаясь против течения со скоростью 4 км/ч. На следуюпдий день он проплыл по озеру расстояние, равное 2п км, причем двигался со скоростью 6 км/ч. На какой из двух маршрутов потребовалось больше времени? 26. ® Докажите, что сумма расстояний от любой точки, распо- ложенной внутри выпуклого многоугольника, до его вершин больше половины периметра этого многоугольника. Рассмотрите: 1) треугольник; 2) четырехугольник. 27. Докажите, что периметр треугольника АВС (рис. 6) больше периметра треугольника ANC, если точка N расположена внутри треугольника АВС. 28. *''*' Найдите такие натуральные числа а и Ь, чтобы одновре- менно выполнялись три неравенства: 1)За-Ь<2; 2)Ь-а<6; 3) а 4-й >10. 29. Известно, что процент блондинов среди голубоглазых россиян больше, чем их процент среди всех россиян. Докажите, что процент голубоглазых людей среди всех россиян меньше, чем процент голубоглазых среди россиян-блондинов. \0/ ____// . >& 1 1 2n Ид Контрольные вопросы и задания 1. Как будут выглядеть рассмотренные в этом пункте свойства неравенств для случая нестрогих неравенств? Останутся ли они верными? 2. Сравните значения выражений 7 - За и 7 - 3h, если число а меньше числа Ь. 3. Докажите, что значение выражения (а + 7)^ больше значения выражения (а + 10)* (а + 4), каким бы ни было число а. 2. Свойства неравенств, обе части которых неотрицательны На практике наиболее часто встречаются неравенства с положительными или, по крайней мере, с неотрицательными частями. Эти неравенства обладают всеми свойствами, которые были рассмотрены в предыдущем пункте. Вместе с тем у таких неравенств имеются и свои, дополнительные свойства, представленные в таблице. Свойство Символическая запись Рабочая формулировка 1 Если а > Ь и с > d, то ас > bd Неравенства с неотрицательными частями можно перемножать 2 Если а>Ьу 1 / 1 то - < -а Ь Обе положительные части неравенства можно «перевернуть», изменив знак неравенства на противоположный 3 Если а > Ь, то Неравенства с неотрицательными частями можно возводить в квадрат 4 Если а> Ъ, то Ja > Jb Из обеих неотрицательных частей неравенства можно извлечь квадратный корень Такими же свойствами обладают и нестрогие неравенства. Для доказательства любого из перечисленных свойств можно рассмотреть разность левой и правой частей доказываемого неравенства. Свойство 1. Обратите внимание на прием, который используется в преобразовании разности ас - bd: ас - bd = ас - Ьс + be - bd = = (ас - be) + (be - bd) = (a- b)c + b(c - d). Заметим, что разности в скобках и число с положительны, а число Ь не меньше нуля. Из этого следует, что первое слагаемое суммы (а — Ь)с + Ь(с - d) положительно, а второе — неотрицательно. Значит, сумма положительна. Таким образом, ас - bd > 0. Следовательно, ас > bd, что и требовалось доказать. Свойство 2. Найдем знак разности частей неравенства - < - : а Ь Ь - а аЬ Числитель дроби ^ отрицателен, а знаменатель поло- аЬ жителей, значит, сама дробь отрицательна. Имеем - - ^ < 0, а о 1 ^ 1 откуда - < т . а о Со свойствами 3 и 4 вы уже встречались в 8 классе при изучении квадратных корней. Однако там мы обосновывали эти свойства геометрически. Так, рассматривая квадраты со сторонами а и Ь, нетрудно сделать вывод о том, что квадрат с большей стороной а имеет и большую площадь а^ (свойство 3). Аналогично, рассматривая квадраты с площадями а и Ь, можно сделать вывод, что у квадрата с большей площадью а больше и сторона Ja . Однако свойства 3 и 4 нетрудно доказать и без геометрических интерпретаций. Докажем свойство 3 для случая нестрогого неравенства, т. е. если а> Ь, то а^ > Ь^. Найдем знак разности частей неравенства а^ - Ь^ = (а - Ь)(а + Ь). Первый множитель неотрицателен, а второй — положителен, значит, неотрицательно и их произведение. Имеем а^ — Ь^ > 0. Отсюда а^ > 6^, что и требовалось доказать. Для доказательства свойства 4 предположим, что неравенство Ja > Jb неверно. Тогда должно быть верным нестрогое ь неравенство 4а < 4ь . Поскольку обе части этого неравенства неотрицательны, его можно (по свойству 3) возвести в квадрат. Получим (л/а < (7б)2,т. е. а < Ь. Наше предположение привело к противоречию с условием а > Ь, значит, оно не верно, но тогда 4^ > 4Ь , что и требовалось доказать. Рассмотрим несколько примеров использования свойств неравенств с неотрицательными частями. Пример 1. Определить, что больше: л/Тб + Vl7 или 8. Решение. Мы не знаем, какой знак неравенства поставить между данными числовыми выражениями, поэтому развернем пока знак неравенства в «нейтральное» положение: ^/Г5 + л/Г? V 8. Обе части неравенства положительны, а значит, можно возвести неравенство в квадрат: 15 + 17 + 2V15-17 V64, 32 + 2715*17 V64. Перенесем (не забыв поменять знак) 32 в правую часть неравенства, получим: 2715*17 V32. Разделим обе части неравенства на положительное число 2: 715*17 V16. Снова возведем неравенство в квадрат: 15*17V256, 255V256. Левая часть полученного неравенства меньше его правой части, т. е. 255 < 256. Поскольку ни одно из выполненных с исходным неравенством преобразований не изменяло знака неравенства, делаем вывод о том, что 7l5 + 717 < 8. Действительно, если бы было 7l5 + Tl7 > 8, то после всех описанных выше преобразований мы получили бы 255 > 256, что неверно. Ответ: 715 + Tl7 <8. Иногда можно обойтись и без возведения в квадрат. о I 'Т'/-! 5 Пример 2. Доказать, что л/Гб + <9. Доказательство. Заметим, что УГб < Jl6 = 4, а лУ^ < = 5. Сложим неравенства одного знака JTE < 4 и л/^ < 5. Получим л/Гб + л/^ < 9, что и требовалось доказать. В некоторых случаях, перед тем как рассматривать разность левой и правой частей неравенства, полезно применить то или иное свойство неравенств. Пример 3. Доказать, что если Ь>Оиа>Ь, то Ja - Jb < Ja — b. Доказательство. По свойству4 обе части доказываемого неравенства неотрицательны, значит, его можно возвести в квадрат и доказывать, что (Ja — Jb)^ < (7а-6)2. Рассмотрим разность левой и правой частей этого неравенства (Та - 7б )2 - (Ja - Ь )2 = а + 6 - 2 Jab - a + b = 2b- 2 Jab = = 2jb(jb - Ja). Поскольку Jb > 0, a 7б - Ja < 0, значение выражения 2jb(jb - Ja) меньше или равно нулю. Значит, верно неравенство (Та - Тб)2 < {Ja - Ь )2, и вместе с ним неравенство Ja - Jb < Ja - b , что и требовалось доказать. Цё Примечание. Данные в условии неравенства Ь > 0 и а > Ь можно записать в виде одного двойного неравенства а> Ь> 0. Упражнения 30. 1) Сравните произведения левых и правых частей неравенств: а) 7 < 12 и 0,1 <0,26; б) 1,6 <2,4 и 0,8 < 1,26; .5^7 6^9 г) И <5 „Л. <18. ' 20 9 22 25 О. 2) Сформулируйте гипотезу об умножении неравенств одного знака с положительными частями. 3) Докажите свойство умножения неравенств одного знака с положительными частями. 31. 1) Возведите в степень с показателем 2, 3, -1, -2 обе части неравенства: а)|<0,7; 2) Какую гипотезу о возведении неравенства с положительными частями в степень с натуральным показателем можно высказать? Докажите ее. 3) Какую гипотезу о возведении неравенства с положительными частями в степень с целым отрицательным показателем можно высказать? ЗЗР Сравните: 2) 0,85'и 0,9^; и0,8'»; 4,(Ц) И1,1в; 6)® 0,9-® И 0,9-10. 33. Верно ли, что если а > 25, Ь > 4, то: 1)аЬ> 100; З)а2-Ьб2>б41; 2)i +1 <0,21; О, о 34. Известно, что Л < 1,8 и Л < 2,3. Какое неравенство можно записать для: 1) 715; 2) -7Г5 ; 3) 275; 4) 2 + 73 ; 35. Поставьте вместо многоточия знак неравенства так, чтобы при любом значении х было верным утверждение: 1) 5х^ ... 0; 3)х^ + 1 ... 0; 2)-^...0; 4)(*-l)2...0; X - Я.^ге-х об. 7) 6)-2 ...0; 8)- JC^ + 1 1 + 1 ...0; ... 0. 36. Положительными или отрицательными являются числа аиЬ, если известно, что: 1)аЧ>0; S)-ab^>0; 5)> 0; 2)^,>0; 4) 5аЗг?2 < 0; 6) < О? 37. Верно ли, что если перемножить два верных неравенства а < Ь и с < d, где: 1) а < О, & > О, с > О, d > 0; 2) а < О, < О, с < О, d < О, то получится неверное неравенство того же знака? 38. ® Верно ли, что если перемножить: 1) верное и неверное неравенства одного знака с положительными частями, то получится неверное неравенство того же знака; 2) два неверных неравенства одного знака с положительными частями, то получится неверное неравенство того же знака? 39. Известно, что Ь — положительное число и а > Ь. Докажите или опровергните с помощью контрпримера утверждение: 1) а^ + а>Ь'^ + Ь; S)l + a^>l + b^; 2) - а > Ь^- - Ь\ 4:)а+->Ь+\ а Ь 40. 1) Запишите неравенство, которое получится после извлечения корней из левой и правой частей неравенства: а) 9 <16; 1 ^ 1 . 64 81 ’ в) 0,49 > 0. 2) Запишите в общем виде и сформулируйте свойство извлечения корней из обеих частей неравенства. 41 1) Какой знак неравенства должен стоять вместо многоточия в свойстве, если числа а, Ь, с, d положительны: а) если а < Ь и с < d, то ас ... bd; б) если а> Ь, то - а о ш в) если а<: Ь,то а^ ... Ь^; г) если а < by то Ja ... Vb ? 2) К каждому свойству подберите соответствующую формулировку: а) при возведении неравенства с неотрицательными частями в квадрат знак неравенства не изменяется; б) если перемножить неравенства одного знака с положительными частями, то получится неравенство того же знака; в) при извлечении квадратных корней из обеих частей неравенства с положительными частями знак неравенства не изменяется; г) если перемножить неравенства одного знака, то получится неравенство того же знака; д) при извлечении квадратных корней из обеих частей неравенства с неотрицательными частями знак неравенства не изменяется; е) при «переворачивании» положительных частей неравенства его знак изменяется на противоположный. 42. Верно ли, что: 1) если О < а < 3, О < ^? < 5, то аЬ < 15, аЬ < 10, аЬ < 20; 2) если Ъ > 16, то > 4, л/Ь > 4, л/& > -4; 3) если 0<с<5,то- >^,- ^ \ с 5 с 5 с 5 4) если о < d < 7, то > 49, < 49? 43. Докажите неравенство: 1) (1 -Ь а) ^ 1 -+■ i j ^ 4, где а > 0; 2) (а -I- 6) ^ -I- ^ j ^ 4, где а > 0, 5 > 0. 44. Докажите неравенство: 1) 7^ -Ь л/48 < 13; 2) 7^ + J2Q > 14; 3) Tl7 -Ь 7^ > 7^; 4) 7l5 -Ь ТбЗ < 7145; ь) Ш - 7^ > 1; 6) ТШ - Тб5 <3. т. 45 P Сравните значения выражений 1) УТб - л/5 и л/2; 2) 7^ - 72 и л/П; 04 1 ^ 1 6 3) — + — и -= ; 77 7з 742 ^4 1 ^ 1 1 4) -= + — и — . Jib Л Л 46 " Докажите, что для любых положительных значений переменных выполняется неравенство: 1) а2 + ^2 + 2 > 2(а + Ь)\ 2) а + 6 -ь с > Jab + Jbc + Jac ; 3) + b^> a^b + ab^; 4) a'^ + b"^ > a^b + ab'^. 47. К каждому из чисел О, 1, 2 и 3 прибавили число k. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности чисел с произведением средних ее членов. Щ Контрольные вопросы и задания 1. Докажите, что если числа а, Ь, с и d неотрицательны и а < Ь, с > d, то ad < be. 2. Сравните числа —Lr и . Jl9 Jn 3. Докажите, что при любом значении а верно неравенство - а< 50а2 - 15а + 1. О § 2. Приближенные вычисления 3. Границы значений величин Большинство значений величин, которые мы используем в своей деятельности, не являются точными. Так, при измерении расстояний, при взвешивании, при определении числа лейкоцитов в 1 см^ крови получаются приближенные значения соответствующих величин. В одних случаях, связанных с применением измерительных приборов, точные значения получить невозможно, а в других, как, например, при подсчете числа жителей страны, точные значения и не нужны. П" Х^—J/ В приведенных примерах нахождение точного значения величины можно заменить отысканием чисел, между которыми это точное значение заключено, — границ значений величин. Пусть при взвешивании кочана капусты (рис. 7) его масса оказалась больше 2,5 кг, но меньше 2,6 кг. Обозначив массу кочана капусты в килограммах буквой х, можно записать двойное неравенство 2,5 < х < 2,6. С Числа 2,5 и 2,6 называют соответственно нижней и верхней границами величины х. 3 Более точное взвешивание могло бы сузить границы, т. е. уменьшить разность между верхней и нижней границами. Зная границы значения величины, можно оценить выражение, в которое она входит, т. е. указать границы значений этого выражения. При оценке выражений используются свойства неравенств, с которыми вы познакомились в предыдущем параграфе. Пример 1. Оценить значение выражения 5а - 7, зная, что 4,8 < а < 5. Решение. Найдем сначала верхнюю границу значений выражения. Для этого умножим неравенство а < 5 на 5 и вычтем из обеих частей неравенства число 7: а < 5, 5а < 25, 5а — 7 < 18. Верхняя граница равна 18. Выполняя аналогичные преобразования с неравенством 4,8 < а, найдем нижнюю границу выражения: 4,8 < а, 24 < 5а, 17 < 5а - 7. Нижняя граница равна 17. Ответ; 17<5а-7< 18. mi Примечание. Обычно преобразования выполняют, не расчленяя двойного неравенства: 4,8 < а < 5, 24 < 5а < 25, 17 < 5а - 7 < 18. 25 — Zx Пример 2. Оценить значение выражения —— , зная, что числа 1,8 и 1,9 являются границами величины х. Решение. Применяя свойства неравенств, получим: 1,8 < л: < 1,9, l,8*(-3)>-3x> 1,9*(-3), -5,4>-Зд:>-5,7, 25 - 5,4 >25-Зх>25- 5,7, 19,6>25-Зд:> 19,3, 1,96 > > 1,93. Обычно нижнюю (меньшую) границу указывают слева, а верхнюю (большую) — справа. Перепишем запись в обычном виде. Ответ: 1,93 < <1,96. В следующих примерах будут оцениваться выражения, в которые входит несколько переменных. Пример 3. При измерении длины а м и ширины Ь м участка прямоугольной формы нашли, что 53 < а < 54 и 40 < Ь < 41. Оценить площадь S этого участка. Решение. Площадь участка S равна аЬ м^. Поскольку части данных в условии неравенств положительные, а сами неравенства одного знака, их можно перемножить. 53 < а < 54, 40<&<41, 53-40 <аЬ < 54-41. Ответ: 2120 -у > —6,33. Поменяем местами части неравенства: -6,33 < —у < -6,31. Оценим числитель данной дроби: 25.2 < л: <25,3, -6,33 <-г/<-6,31, 25.2 - 6,33 < л: + (-у) < 25,3 - 6,31, 18,87 <х-у< 18,99. 2) Оценим знаменатель дроби: 25.2 < л: <25,3 и 6,31 <[/< 6,33, 25.2 + 6,31 <х + у< 25,3 + 6,33, 31,51 <х + у< 31,63. 3) Оценим выражение 1 >-i_> 1 х + у 31,51 < X + у < 31,63, 1 <^< 1 31,51 х + у 31,63’ 31,63 х + у 31,51' 4) Оценим значение дроби: 18,87 < х - у < 18,99, 1 <-!-< 1 18,87 ^ X-у ^ 18,99 31,63 ^х + у ' 31,51’ 31,63 ДГ +у 31,51' Выразим найденные границы в десятичных дробях и округлим их, например, до тысячных: 18,87 ^ ^ 18,99 _ ^ ЗМЗ -0,596, — -0,603. Ответ: 0,596 < ^ < 0,603. х + у ^ Примечание. Границы выражения -—- можно еще не- X + у много сузить. Преобразуем: . х-у _ 1 - 2у _ = 1 - . Теперь х + у х + у х/у + 1 ясно, что для получения левой границы вычитаемое нужно взять наибольшим, а для получения правой — наименьшим. Значит, для левой границы нужно брать х наименьшим, у наибольшим, а для получения правой границы наоборот: х наибольшим, а у наименьшим. 25,2 - 6,33 ^ X- у ^ 25,3 - 6,31 1^8^87 ^ х ^у ^ 18,99 < < 25,2 + 6,33 х + у 25,3 + 6,31 ’ 31,53 х + у 31,61' Разделив и округлив результаты до тысячных, получим: 0,598 < Х-у х + у <0,601. ш г Упражнения 48. Оцените значение выражения: 1) 5а + 3 при 24,5 < а < 24,6; 2) 86 - 7 при 7,5 <Ь < 7,6; 3) 1,5л: - 24 при 160 < х < 164; 4) 20 - Зс при 4,8 <с < 5,2. 49. Оцените значение частного: 2а -3 1) 2) 5 26-60 при 28,5 < а< 29; при 84 < 6 < 90; 3) — при 12 < с < 16; 4) 4 126 - 9d при 10,5 < d < 11,2, 50. Известны границы величин: 1,5 < х < 2 и 0,6 <у < 0,8. 1) Оцените значение выражения: а) x + j/; г) 0,5х + 3^; б) х + 2^; ц)х-у; в) Зх + у\ е) ху\ 2) Оцените значение частного: ж) {х + у)у\ з) (х- 1)(г/+ 1). а) - У б)^; в) X - 1 у г) У + 1 51 1)аН 3) а2 - 62; 7)« 2)62; 4) (6-10)3; 8)® Известно, что 23 < а < 25 и 18 < 6 < 20. Найдите границы значений выражения: а а + 6 ’ 6 а - Ь' 52. Оцените периметр равнобедренного треугольника с основанием а м и боковой стороной 6 м, зная, что: 1) 41,2 < а < 41,3 и 24,1 < 6 < 24,2; 2) 0,84 < а < 0,85 и 1,06 < 6 < 1,07. 53. Оцените площадь треугольника, основание которого а м, а высота h м, если: 1) 15,6 < а < 15,7 и 24,1 < 6 < 24,2; 2) 0,84 < а < 0,85 и 1,06 < Л < 1,07. т. / — .2-‘ Ш’п- 54Р Площадь трапеции (рис. 8) нгиходится по формуле S = ' h. Оцените площадь трапеции, если известно, что: 1) 41 < п < 42, 19 < Ь < 20, 29 < Л < 30; 2) 7,2<а<7,3, 5,6<&<5,7, 9,4< 9,5. а Рис. 8 55.* 56 О В цехе установлены станки двух типов, причем количество станков первого типа более чем на пять превосходит количество станков второго типа. За день на каждом станке первого типа обрабатывали 13 деталей, а на каждом станке второго типа — 12 деталей. При этом всего за день цехом обрабатывалось не более 305 деталей. После модернизации на каждом из станков первого типа стало возможно обрабатывать 15 деталей, а на каждом станке второго типа — 24 детали в день. Всего же в цехе стгшо возможным обрабатывать за день более 438 деталей. Сколько в цехе станков первого и сколько станков второго типа? Найдите с точностью до 0,1 границы длины окружности и площади круга радиуса г, зная, что 3,14 < тс < 3,15, если: 1) 12,8 < 13; 2) 78,6 < г< 80. 57. Найдите с точностью до 0,1 границы плотности вещест- т 58^ О ва по формуле Р ^ ^ (г/см^), если заданы границы для массы т (г) и объема V (см^) этого металла: 1) 1870 < m < 2000, 226 < V< 230; 2) 2664 2668, 340 < F< 341. Используя таблицу плотностей в разделе «Справочные материалы», определите название вещества. 1) На школьных соревнованиях по плаванию победи- тель проплыл S м за ^ с, причем 99,5 < s < 100,5, 70 70,5. Оцените среднюю скорость, с которой школьник проплыл дистанцию. Границы округлите до десятых. 2) Определяя плотность чугуна, ученик нашел массу чугунного слитка тти его объем V см^. Оцените плотность чугуна ^ j , если 68 < m < 69, 9,3 < 9,4. Границы округлите до десятых. Ф IV Dj Контрольные вопросы и задания 1. Докажите, что неравенства с положительными левыми и правыми частями можно перемножить. 2. Докажите, что если а < Ь, а > О, то - > ^ . а о 3. Оцените значение выражения: 1) За - 2Ь при 7,5 < а < 8 и 5,4 < & < 5,6; 2) ^ при 12 < а < 12,4 и 8 < 6 < 8,2. о 4. Абсолютная и относительная погрешности приближения На рисунке 7 в пункте 3 мы рассматривали результаты взвешивания кочана капусты. Масса кочана т оказалась в границах 2,5 кг и 2,6 кг. Возьмем среднее арифметическое границ за приближенное значение массы кочана капусты. Это можно записать с помош;ью знака приближенного равенства т~ 2,55. Какой бы ни оказалась масса кочана на самом деле, она не может отличаться от выбранного нами приближения больше чем на 0,05 кг. Это хорошо видно на рисунке 9, а. Ясно, что разница между точным и приближенным значениями массы равна модулю (или абсолютной величине) разности точного значения и приближения: \т - 2,55|. Модуль разности точного и приближенного значений величины называют абсолютной погрешностью приближения. Поскольку точное значение массы кочана т неизвестно, абсолютную погрешность приближения 2,55 кг найти нельзя, однако ясно, что она не превосходит 0,05 кг: |т-2,55|< 0,05. т 2,6 Рис. 9 •#/ .2------ Если бы за приближенное значение массы кочана мы взяли 2,5 кг, то могли бы утверждать, что абсолютная погрешность такого приближения не больше 0,1 кг (рис. 9, б): |т-2,5|<0,1. Говорят, что первое приближение взято с точностью до 0,05 кг, а второе — с точностью до 0,1 кг. Это можно записать так: 1) т = 2,55 ± 0,05; 2) т = 2,5 ± 0,1. Обычно при измерении величин с помощью приборов, имеющих шкалы, точность измерения равна цене деления шкалы. Так, например, при измерении величины угла с помощью транспортира, даже если вы все проделаете аккуратно, полученное приближение может отличаться от истинной величины угла на 1°. Бывают случаи, когда измерения выполнены с одной и той же абсолютной погрешностью, но качество измерений оказывается разным. Так, например, можно сказать, что измерение длины улицы а = 2 км с абсолютной погрешностью 1 м выполнено довольно точно, в то время как определение с такой же абсолютной погрешностью ширины комнаты I = 5 м проделано из рук вон плохо. В первом случае абсолютная погрешность составила всего , т. е. 0,05% измерявшейся величины, а во втором — 20% . Понятно, что чем меньшую часть от измеряемой величины составляет погрешность, тем выше качество измерения. Отношение абсолютной погрешности к точному значению измеряемой величины называется относительной погрешностью приближения. л Относительную погрешность обычно указывают в процентах. Пример. Найти относительную погрешность, которая получится при замене дроби ^ ее десятичным прибли- о5 жением 0,5. Решение. (Т) Найдем сначала абсолютную погрешность этого приближения: ^-0 5 35 17 35 70 ‘ П -- I 2; г (^ Разделим найденную абсолютную погрешность на саму дробь и выразим результат в процентах: 1 17 =;^= 0,0294.. 3%. 70 ' 35 70-17 34 Ответ: 3% — относительная погрешность замены дроби ее приближением. Как мы уже говорили, в большинстве случаев точное значение величины неизвестно и приходится говорить не об относительной погрешности, а об относительной точности приближения. Относительная точность приближения — это отношение точности измерения к приближенному значению измеряемой величины. Так, относительная точность приближения 2,5 кг массы кочана капусты (т = 2,5 + 0,1) равна ^ = 0,04 = 4% . Z,o Относительная точность приближения 2,55 кг (т = 2,55 ± + 0,05) равна 0,05 2,55 = 0,0196. 2%. fe. Примечание. Заметим, что ни относительная точность, ни относительная погрешность не суш;ествуют, когда точное или приближенное значение измеряемой величины равно нулю. Упражнения 59. Найдите абсолютную погрешность приближения а, если известно точное значение величины х: 1) х= 15,38, а = 15,4; 2) х = 6,53,а = 6,5; 3) л: = 0,0968, а = 0,1; 4) х = 0,7187, а = 0,72; Ь) х= а = 0,18; 6)х = — , а = 0,22; Г7Ч _ 4 _ 1 . 7)х 215’ Q4 21 1 8)х=—,а=з 60. Известно, что 2,4 < л: < 2,6. 1) С какой точностью было найдено приближение а: а) а = 2,4; г) а = 2,5; б) а = 2,6; д) а = 2,55; в) а = 2,42; е) а = 2,549? 2) При каком из этих приближений наибольшая из возможных ошибок меньше? 61. Изобразите на координатной прямой все числа л:, для которых: 1) |л:-3|<2; 3) |2 - л:| > 3; 2) |л:-Ь4|<5; 4)\5 + х\>1. 62. Запишите в виде двойного неравенства, что: 1) х= 13,6 ± 0,2; 3) д: = 4,573 ± 0,04; 2) х = 0,78 ± 0,05; 4) х = 0,0821 ± 0,05. 63.® С какой точностью найдено приближение а величины х, если: 1) д:= 1,247 ±0,01, а = 1,25; 2) д: = 8,651 ±0,1, а = 8,7? 64Р Какие из чисел — Oj, ag, Пд, — не могут быть точными значениями величины х, если: 1) д: = 0,652 ±0,001, = 0,65, Cg = 0,6518, Пд = 0,6534, = 0,65173; 2) д:= 1,54326 ±0,0001, aj = 1,54, ag = 1,54371, Пд = 1,543268, = 1,54319? 65. Известно, что в следуюш;их приближениях числа х абсолютная погрешность не превосходит единицу последнего сохраненного в записи разряда. Запишите в виде двойного неравенства: 1) д:~2,45; 2) д:~ 0,7192; 3)0 д:-4,8*103; 4)Ол:-3,92*10± 66. При измерении толпцины волоса в миллиметрах получили результат d = 0,15 ± 0,005, при измерении расстояния от Земли до Луны в километрах получили S = 380 000 ± 500. С одинаковой ли относительной точностью выполнены измерения? .О. ✓ 67. Найдите относительную точность приближения в процентах, если: 1) х = 23,6 ±0,1; 3)х = 0,63 ± 0,05; 2) х = 5,4 ±0,1; 4) д: = 0,112 ± 0,002. 68. Округлите число до десятых и найдите в процентах от- носительную погрешность полученного приближения: 1)12,36; 2)2,78; 3)9,43; 4)6,24. 69. Найдите абсолютную и относительную погрешности при округлении: 1) 0,628-0,63; 2) 1,54-1,5; 3) 0 2,58-106 ^2,6-106; 4) 0 7,52-108 «7,5-108; 5) | ^0,67; 6) ® ^0,86. 70 О С одинаковой ли относительной точностью заданы приближения: 1) 318±1; 31,8±0,1; 3,18±0,01; 0,318 ± 0,001; 2) 64,7 ±0,1; 6,47 ±0,01; 0,647 ±0,001; 647 ± 1? 71. При взвешивании на хозяйственных весах абсолютная погрешность не превышает 20 г. Определите в процентах относительную точность следующих измерений: 1) 2,3 кг; 3,8 кг; 4,5 кг; 0,7 кг; 2) 5,6 кг; 4,2 кг; 1 кг; 600 г. 72г При возведении в квадрат чисел, мало отличающихся от единицы, вместо формулы (1 -I- а)2 = 1 ± 2а -ь используют приближенное равенство (1 -ь а)^ ~ 1 -Ь 2а. Например, 1,03^ = (1 + 0,03)^ «14-2* 0,03 = 1,06. 1) Вычислите с помощью этого приближенного равенства: а)1,05^; 6)1,0052; в) 1,072; г) 0,992. 2) Найдите абсолютную погрешность полученных приближений. 3) Найдите относительную погрешность приближений. 73.' Великий древнегреческий ученый Архимед (287-до н. э.) нашел приближения для чисел л/З и д: 1351 < Уз < 265. ■212 1) 2)3^ х + 10 содержит одну переменную х. Подставив в него значение х, равное 10, мы получим верное числовое неравенство 40-11> 10-1-11, а при х = 0 неравенство обращается в неверное числовое неравенство —11 > 10. Обычно стараются найти все значения переменной, удовлетворяющие неравенству, т. е. обращающие его в верное числовое неравенство. Каждое из таких чисел называют решением неравенства. Заметим, что некоторые неравенства не имеют ни одного решения, например неравенство jc^ < 0. С Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет. J Как и при решении уравнений, процесс решения неравенства представляет собой замену исходного неравенства все более и более простыми неравенствами, имеющими те же самые решения. С Неравенства^ имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. ) Простейшими неравенствами являются неравенства: X > Ь, X < Ь, X > Ь, X < Ь, где X — переменная, аЬ — некоторое число. Решением уравнения, как правило, оказывается одно или несколько чисел — корней уравнения. Иная ситуация с неравенствами. Так, например, неравенству х > 4 удовлетворяет бесконечное множество чисел, которое состоит из всех чисел, больших четырех. На координатной прямой все эти числа лежат справа от точки 4 и изображаются лучом (рис. 13). Поэтому множество решений неравенства х > 4 называют числовым лучом и обозначают (4; -1-оо). Число 4 на рисунке 13 обозначено светлым кружком — это означает, что число 4 не является решением данного неравенства. В отличие от открытого числового луча (4; -foo), луч (-00; 5] (рис. 14) содержит свое начало — точку 5, поэтому этот луч называют замкнутым. Замкнутый луч (-°о; 5] составлен из решений нестрогого неравенства х < 5. Как мы уже говорили, обычный способ решения неравенств состоит в том, что с помощью некоторых преобразова- __'/////.Л'уА////у/,^ ^ Рис. 13 Рис. 14 и ний исходное неравенство преобразуют в равносильное неравенство простейшего вида. Сами преобразования, которые приводят к получению равносильных неравенств, также называют равносильными. Основой равносильных преобразований являются рассмотренные в пунктах 1 и 2 свойства неравенств. ч: Равносильные преобразования неравенств 1. Умножение или деление обеих частей неравенства на положительное число или на выражение с переменной, принимающее только положительные значения. 2. Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число или на выражение с переменной, принимающее только отрицательные значения, с заменой знака неравенства на противоположный. 3. Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую с изменением знаков этих слагаемых. л Преобразование 1 выполняется в силу свойства 4 из п. 1. В преобразовании 2 мы опираемся на свойство 5 из п. 1. В третьем случае используется свойство 2 из п. 1. Рассмотрим, как работают эти преобразования при решении линейных неравенств. Вы много раз встречались с линейными уравнениями, т. е. уравнениями, приводящимися к виду ах = Ь. Аналогично линейными называют неравенства, приводящиеся к виду ах > by ах < Ь, ах > Ь и ах Ь. Пример 1. Решить неравенство 4л: - 11 > д: -I- 10. Решение. (Т) Как и при решении уравнений, собираем в одной части слагаемые, содержащие переменную, в другой — числовые слагаемые: 4л: - 11 > л:-Ь 10, 4л: - л: > 10-Ь 11, Зл:>21. Делим обе части неравенства на коэффициент при х: Зл: > 21, х> 7. Решения неравенства составляют открытый луч (7; -ьоо). В таком виде можно записать ответ, однако чаще в ответе •Q, .311 просто оставляют полученное в конце преобразований простейшее неравенство. Ответ: х> 7. Пример 2. Решить неравенство 7л: -Ь 10 < 12л: - 15. Решение. Так же как ив примере 1, запишем цепочку равносильных неравенств: 7л:-МО < 12л:-15, 7л: - 12л: <-15 - 10, -5л: <-25, л: >5. Ответ: л: > 5. Замечание. Можно было обойтись без деления на отрицательное число — собрать переменные в правой части неравенства и записать неравенство справа налево: 7л: + 10 < 12л:-15, 10-М5 < 12х - 7л:, 5л: >25, л: >5. Пример 3. Решить неравенство 16 -Т 5(3л: -2)>Qx- 3{х + 1). Решение. Запишем цепочку равносильных неравенств: 16 + 5(3х -2)>6х- 3(х + 1), 16 -I- 15л: - 10 > 6л: - Зл: - 3, 15л: - 6л: + Зл: > -3 - 16 -Ь 10, 12л: > -9, л: > -|. 4 Ответ: Решениями всех трех рассмотренных неравенств были числовые лучи. Другая ситуация ожидает нас в следующем примере. Пример 4. Решить неравенство 2(3л: - 5) < 3(2л: - 3). Решение. Раскроем скобки и соберем в одной части члены, содержащие переменную, а в другой — числа: 6л: - 10 < 6л: - 9, 6л: - 6л: < -9 -Ь 10, 0 < 1. Кажется, что переменная х исчезла! На самом же деле это коэффициент при х обратился в нуль, и неравенство приобрело вид о • л: < 1. Любое значение х обращает это неравенство в .©/ ^v 1/г yv верное неравенство О < 1. Значит, любое значение х является его решением. Ответ: х — любое число. Другая форма записи данного ответа — +оо). Замечание. Если знак неравенства в примере 4 изменить на противоположный, то преобразования приведут нас к неравенству О • jc> 1. Это неравенство при любом значении х обращается в неверное неравенство О > 1, т. е. у него нет ни одного решения. В ответе так и пишется: «нет решений». Упражнения 87. Является ли решением неравенства: 1) Зх - 1 > 7 число: 3; 2,4; 2- , -2; О 2) 11-7л: <2 число: 1; 1,5; 1^;-3? 8вР Найдите два каких-нибудь решения неравенства: 1) л:2-л:<3; 2)х^ + х<1, 8ЭР 1) Является ли число 0,5 решением неравенства Ь-7у > 1? Найдите два каких-нибудь решения этого неравенства, больших чем 0,5. 2) Является ли число 5 решением неравенства бл: + 5 > 34? Найдите два каких-нибудь решения этого неравенства, меньших чем 5. 90.® 1) Укажите, если возможно, наибольшее число, удовлет-воряюш;ее неравенству: а) л: <10; б) л: > 10; в) л: <10; т)х>10. 2) Укажите, если возможно, наименьшее число, удовлетворяющее неравенству: а)д:<1; б)д:>1; в) х> 1; г)л:<1. 91 Напишите простейшие неравенства, решения которых изображены на рисунках 15—18. 4 д: Рис. 15 -7 л Рис. 16 3 X Рис.17 15 з: Рис. 18 \0/ т/:щ^тгх^ Lmm^ TLj 5 92. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: 1) 5д:>-20; 2) Зл: <-33; 3) 7х<5,6; 4) -9х > -7,2; 5) 0,2д:< 10; 6) 0,6x>24; 7) -0,75л: > -1,5; 8) -0,12л: <-3; 9) -|л:>15: 10)-;л:< 44; D . .2 5 . 3^^ 9’ 13) 4г/ + 7>Зг/-2; 14) 7у - 4: < 8у + 9; 1Ь)11-Зу<1-у; 16) 37 + 5i/>8i/-5; 17) 0,31/- 19 < 1,7^-5; 18) 37-7,3^ >0,73-3,7^. 93. Как записывается ответ при решении неравенства: 1) 0-л: >100; 4) 0-х <-30; 7)0-х>0; 2) 0-х <25; 5)0-х>1; 8)0-х<0? 3) 0-х>-6; 6) 0-х < 12; 94. При каких значениях переменной значение выражения: 30 Зх -f 1 ’ 35- 5х Л ’ -8х -56 . л/5 + 2 ———? 7х -63 95. Решите неравенство: 1) 3(7i/-l)-8>64-3(5i/-9); 2) 5(4р + 7) - 38 < 11 - 6(3р - 4); 3) 12(2 - 0,5х) + 4 > 25 - 8(0,2х + 1); 4) 2,8(3 - 2д) - 0,64 < 15,4 -f 1,6(^ - 5); 5) (х + 5)2>(х+ 7)2+ 16; 6) (у - 6)2 < (у - 2)2 + 8. 96. 1) Составьте план решения неравенства: 1) положительно: а) 5х - 40; б) 2)отрицательно: а) 6у + 30; б) 3)неотрицательно: а) 302-5; б) 4) неположительно: а) -182 + 27; б) .2 3^6 1 a)3.V-g >^У-35; лч 3 1/7 5 Л о» 2) Решите неравенство по плану и проиллюстрируйте его решение с помош;ью координатной прямой. 97. При каких значениях переменной выполняется неравенство: - 29 ^ 5л:. ^3 Т ’ 04 4у - 5 Ну - 9 ^3 7 ' 98. При каких значениях переменной: 1) значение суммы ^—- большее; 04 с - 13 2с - 45 -.о 2) значение разности —------— меньше 1! J. J. 99. Решите неравенство: .4 11 - Зу 2р -ь 1 ^ . ^^4 3 2)7j^ _4^ <11; о о 21/ + 5 ^ Зр - 7 ^ 8г/ - 1 . 4) 4 - 5р 5 - 6р ^ 1 4- 4р 6 12 < 1, то < 1, то 100® Какие из следуюш,их утверждений неверны? 1) Если число р удовлетворяет неравенству > 1, то число 2р также удовлетворяет этому неравенству. 2) Если число р удовлетворяет неравенству д:^ > 1, то число р + 1 также удовлетворяет этому неравенству. 3) Если число q удовлетворяет неравенству число q удовлетворяет и неравенству х < 1. 4) Если число q удовлетворяет неравенству число q удовлетворяет и неравенству < х. 101?1) Выбирая место для ночлега, турист проплыл в лодке 8 км, часть из которых по течению реки, а остальное — против течения. Скорость течения равна 1 км/ч, а собственная скорость лодки — 5 км/ч. Сколько километров мог проплыть турист по течению реки, если на поиски места для ночлега он затратил менее полутора часов? 2) Турист решил проплыть на лодке некоторое расстояние по течению реки, а затем вернуться обратно, затратив на всю поездку менее 8 ч. Скорость лодки в стоячей воде равна 6 км/ч, а скорость течения реки — 1,5 км/ч. Какое расстояние мог проплыть турист по течению реки? .-ч 124Л5; 102. ^ 1) Дачник вышел из пункта М к железнодорожной станции К, расположенной в восьми километрах от М, когда до отправления поезда оставалось всего полтора часа. Сначала он шел со скоростью 4 км/ч. Увеличив затем скорость на 2 км/ч, дачник успел прийти на станцию К до отправления поезда. Сколько километров мог идти дачник со скоростью 4 км/ч, чтобы успеть на поезд? 2) Мотоциклист ехал по проселочной дороге со скоростью 50 км/ч, а по шоссе — со скоростью 60 км/ч. Путь по шоссе был на 21 км длиннее, чем путь по проселочной дороге. Сколько километров мог проехать мотоциклист по проселочной дороге, если известно, что на всю поездку он затратил менее 2 ч? 103. ®1)Из пункта А в пункт В, расстояние до которого 30 км, со скоростью 15 км/ч выехал велосипедист. Встретившийся ему мотоциклист двигался в 4 раза быстрее и прибыл в А раньше, чем велосипедист в пункт В. На каком расстоянии от В могла произойти встреча? 2) Из пункта М в пункт N, расстояние до которого 120 км, со скоростью 48 км/ч выехал автобус, а через некоторое время вслед за ним со скоростью 80 км/ч отправился автомобиль. Прибыв в N, автомобиль сразу же повернул и поехал обратно. На каком расстоянии от пункта N автомобиль мог встретить автобус? 104Р 1) В магазин поступают мебельные гарнитуры с двух фабрик. С фабрики А доставляют гарнитуры «Жилая комната», причем доставка одного гарнитура обходится в 1000 р. С фабрики В доставляют гарнитуры «Спальня», доставка каждого из которых обходится в 700 р. В неделю по плану магазин должен получить 72 гарнитура, израсходовав на их доставку не более 60 000 р. Сколько гарнитуров каждого вида может быть доставлено в магазин за одну неделю? 2) Доставка одной машины песка с карьера А на стройку обходится в 250 р., а доставка машины гравия с карьера В — в 350 р. В день планируется 40 рейсов автомашин, причем транспортные расходы не должны превышать 11 000 р. Сколько машин гравия может быть доставлено за день? ш 105. 1) Чтобы получить 100 л теплой воды с температурой, не превышаюпдей 40 °С, смешали холодную воду с температурой 12°С и горячую воду с температурой 62 °С. Сколько холодной воды могло быть взято? 2) Сколько литров воды с температурой б °С можно смешать с водой, имеюпдей температуру 84 °С, чтобы получить 39 л воды с температурой не ниже 50 °С? 106. ® 1) Ученик задумал два последовательных целых одно- значных числа. Увеличив каждое из них на 5, он заметил, что произведение полученных чисел оказалось больше, чем произведение исходных чисел. Какие числа мог задумать ученик? 2) Взяв четыре последовательных целых числа, составили разность произведений крайних и средних чисел. Для каких четверок последовательных целых чисел эта разность отрицательна? ЩЩ Контрольные вопросы и задания 1. Что называется решением неравенства с одной переменной? Что значит решить неравенство? Какие неравенства называются равносильными? 2. Является ли простейшее неравенство х> 7 линейным? 3. Решите неравенство 3(2jc - 1) -Ь 5(л: - 7) > 5(3л: - 14). 7. Системы линейных неравенств с одной переменной Когда несколько условий должны выполняться одновременно, говорят о том, что они составляют систему. Система неравенств появляется тогда, когда нужно найти общие решения нескольких неравенств. Пусть, например, нужно найти все значения х, при которых одновременно выполняются неравенства Зх -I 5 > 7, 4 -I 6л: ^ 4л: -Н1,л:>0и7 — 2л: > 3. С помощью фигурной скобки — знака системы — это задание записывают так: «Решить систему неравенств •< Зл:-Ь5>7, 4 -Ь бл: > 4л: -Ь 1, л: > о, 7 — 2л: > 3». а т%т Решением системы неравенств называется значение х, которое удовлетворяет всем неравенствам системы, т. е. обращает их в верные числовые неравенства. Решить систему неравенств — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. При решении системы неравенств обычно стараются упростить каждое из неравенств, входящих в нее. Рассмотрим сначала, какие ситуации могут встретиться при решении системы двух простейших неравенств. л: > 3, Пример 1. Решить систему неравенств > 4’ Г 4 Рис. 19 Решение. Отметим решения системы на координатной прямой. Решения первого неравенства системы составляют «идущий вправо» открытый числовой луч с началом в точке 3 (рис. 19), а решения второго неравенства — также «идущий вправо» замкнутый числовой луч с началом в точке 4. Решения системы должны удовлетворять обоим неравенствам, а значит, принадлежать обоим лучам. На рисунке 19 соответствующие точки координатной прямой под «крышами» обоих лучей — это точки второго луча. Ответ: [4; -1-оо) или х> А.. \х> Z Пример 2. Решить систему неравенств < 4’ Решение отмечено на рисунке 20. Эту систему можно заменить двойным неравенством 3 < х < 4 или можно записать в ответе как (3; 4]. Ответ: (3; 4]. jC 4 Рис. 20 JC < 3 Пример 3. Решить систему неравенств " ^ < 4’ .о. г L-> il2r , yt> Решение отмечено на координатной прямой (рис. 21). Оказалось, что данная система равносильна, т. е. имеет те же самые решения, что и неравенство л: < 3. Ответ: (-оо; З). 3 Ах Рис.21 Пример 4. Решить систему неравенств X <3, На координатной прямой (рис. 22) мы видим, что нет ни одного числа, удовлетворяющего обоим неравенствам. Ответ: нет решений. 3 4 Рис.22 Решения систем в примерах 1—3 изображались некоторой частью координатной прямой. Общее название для любой из таких частей — промежуток, но у различных промежутков есть и свои собственные названия. С открытым (см. рис. 21) и замкнутым (см. рис. 19) лучами вы уже встречались. Приведем в следующей таблице изображения, обозначения и названия промежутков. Числовые промежутки Изображение Ь X Ь X Ь X Ь X а X Ь X X Обозначение [а; Ь\ (а; Ь) [а; Ь) (а; Ъ] [а; +00) (-оо; Ъ) (-00; +00) Название Отрезок Интервал Полуинтервал Полуинтервал Замкнутый луч Открытый луч Прямая т, I 12,,’rtr r Научившись записывать ответ для системы двух простейших неравенств, решим систему неравенств, с которой мы начали этот пункт. Пример 5. Решить систему неравенств Зх -f 5 > 7, 4 + 6х > 4х + 1, х> О, 7 -2х> 3. Решение. (5) Третье неравенство системы имеет простейший вид. С помощью равносильных преобразований, рассмотренных в предыдущем пункте, приведем к простейшему виду остальные неравенства. Злг ■+• 5 > 7, 4 -f бд: > 4л: + 1, jc > О, 7 - 2д: > 3, Зх > 2, 2х > -3, д: > О, -2х>-4, д: > О, д: < 2. Отметим решения каждого из неравенств на координатной прямой (рис. 23). Общей частью отмеченных промежутков оказался интервал ^ |; 2 j. Ответ можно записать в виде этого г а о 2 3 Рис. 23 интервала или в виде двойного неравенства | < д: < 2. О Kt Замечание. Можно было, конечно, и не использовать координатную прямую, заметив сразу, что первые три неравенства системы дают левую границу интервала, а последнее неравенство — правую границу. Упражнения 107. Укажите, если это возможно, два каких-либо решения системы неравенств: д:>11,2, [дг<1,5, ^^1д:<2,8, I X > 9,4; X < -2,4; х > 2,5; lOePl) Является ли число 0,265 решением системы нера- венств < х< —7 11 2) Является ли число -0,328 решением системы нера- венств < X > 3 • 3) Укажите еш;е каких-нибудь два решения каждой системы. 109® Составьте систему простейших неравенств так, чтобы: 1) число 2,4 являлось, а число 2,3 не являлось ее решением; 04 1 2 2) число --не являлось, а число -- являлось ее реше- ^ О нием. 110. На координатном луче (рис. 24) отмечено решение каждого из двух простейших неравенств. Запишите систему этих неравенств и ее решение. 1) 2) 3) -1 Г jc:^ 4) 5) 6) —Г -л Л ^ -7,9 -6,5 d -U Рис. 24 о Жг 111. Замените систему неравенств одного знака одним неравенством, равносильным этой системе. Дайте графическую иллюстрацию решения с помощью координатной прямой: 1) 2) 3) X > 4, X > 2,6; 4)- J X < 2,5, 1 X < 2,2; 7)^ х<2\-. X < -3,2, X < -2; 5) j X < -8,1, |х < -7; 8)^ ^ 1 2 Х>-1-^. X > -3,7, 6)- J X > -6,3, X > -3,2; х>-5; 112. Если система имеет решения, запишите равносильное ей двойное неравенство и дайте графическую иллюстрацию решения: 1) х> 1,5, X < 4,5; л: > -3; 2) X < -3, jf >-7,5; 5) X > -4,2, X <-\\ 7) 8) 6,5, л: > 0; х>0, X < 0,8. 3) X > -0,5, X < -2; 6) 5, X > 7,1; 113. Если система имеет решения, запишите равносильное ей неравенство или двойное неравенство: 4) X < 6,8, X > 7,2; 7) { X < -2,8, 2) 5)^ лг С — — ^ 8’ 3 х>--\ 4 3) X > 3,6, X < 5,5; 6)^ ^ 15 X > -- • ^ 9’ л; V еа 6 114. Найдите все целые решения системы неравенств (если X < -8,5, X > -10; л: <-12,3, X > -12,7. они есть): 1) ■ \ х> 1,3, [ д: < 13; 3) 2)- j X < 0,65, 1 X > -6,5; 4) 115. Решите систему неравенств: J 5(д: - 0,4) - К Зд: + 8, ^ [ (4 + х)^ - 10 < д:^ - Зд:; о\ }(У- 5)^ - 15 > г/2 - 7^ - 38, ^>\Цу + 7)-17>1-у; У - 1 4- ^ Зу - 5 3) < 4)^ 5^3 У + 31 _ у - 2 4 5 2 + 31 8 22+1 > 4 ’ 3t/-l. 25 ’ 2 + 54 ^2 3’ 2+12 >32 3 8 4 11 бР Решите систему неравенств: д: > 2, f X < -3,5, [^<11, jc > 5, 3)- I л: > -7, 5) ^ X < 13, x>S; [ X > -6; 1д:> 12,5; X < 1, [ X > -3, [ X > -8, X < 2,5, 4) Ь<4,5, 6) < X > -5, X < -2; 1X < 2,5; [ X < -4. 11 уР Решите неравенство: 1) (д: - 6)(д: + 5) > 0; 2) (у + 3)(i/ + 8) > 0; 3) (22-1)(2-3)<0; 4) (5р - 8)(р + 2) > 0; 5) £_Д > 0; 6) 7) 8) д: + 4 У + 3 i/-3 -2 22 - <0; .<0; Зр - 4 р + 1 >0. .ф. -L. JUFb п' £ 7 f s---- X X X' 118. 1) Если к задуманному целому числу прибавить 2 и эту сумму разделить на б, то полученное частное будет больше 9. Если из этого же задуманного числа вычесть 5 и разность разделить на 7, то полученное частное окажется меньше 7. Какое число могло быть задумано? 2) Если задуманное четное число умножить на 2, из произведения вычесть 15 и результат разделить на 7, то по-лу^юнное частное будет больше 18. Если к этому же задуманному числу прибавить 22 и полученную сумму разделить на 12, то частное окажется меньше 8. Какое число могло быть задумано? 119® 1) Основание равнобедренного треугольника равно 38 см, а его периметр меньше 90 см. Какую длину может иметь боковая сторона этого треугольника? 2) Боковая сторона равнобедренного треугольника 52 см, а периметр больше 170 см. Каким может быть основание треугольника? 120.® 1)Из пунктов А и В, расстояние между которыми 16 км, одновременно в 9 ч утра навстречу друг другу выходят два пешехода. Скорость одного 90 м/мин, а скорость другого 70 м/мин. В течение какого промежутка времени расстояние между пешеходами будет менее 800 м? 2) Из пункта С в 8 ч утра вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час вслед за ним со скоростью 11 км/ч выехал велосипедист. В течение какого промежутка времени расстояние между ними будет менее 1 км? 121 1) Прямоугольник с измерениями 39 и 25 см разбит на два прямоугольника прямой, параллельной его стороне. При этом периметр одного из полученных прямоугольников не превосходит периметра другого, но больше его половины. Какой периметр может иметь меньший из прямоугольников? 2) От прямоугольного листа бумаги размером 32 х 20 см нужно отрезать разрезом, параллельным его краю, прямоугольную полоску, площадь которой должна быть не более 240 см^, но не менее 80 см^. Какой периметр может иметь эта полоска? При решении задачи рассмотрите два случая. 122.® 1) Для промывки проявленных цветных фотопленок нужна вода с температурой не ниже 35 °С, но не выше 45 °С. Сколько кубических сантиметров холодной воды с температурой 10 °С надо добавить к 360 см^ горячей воды с температурой 80 °С, чтобы получить воду для промывки цветных фотопленок? 2) Сколько 60% -й уксусной эссенции и сколько воды надо смешать, чтобы получить 1,5 кг столового уксуса крепостью не менее 6%, но не более 9% ? Контрольные вопросы и задания Что называется решением системы неравенств с одной переменной? Укажите какое-нибудь решение системы неравенств X < 2,15, X < 2,2. Может ли система неравенств не иметь ни одного решения? Если ответ утвердительный, приведите пример такой системы. '2х - 15 Решите систему неравенств < X + 4 JC - 63 >9, > 5х. т 8. Решение неравенств методом интервалов к системам линейных неравенств, решать которые вы научились в предыдущем пункте, можно свести и решение неравенств, имеющих вид f(x) > 0, где f(x) является произведением или частным нескольких линейных двучленов, а вместо знака «>» может оказаться любой другой знак неравенства. Пример 1. Решить неравенство (х + 3)(л: — 1)(х — 7) > 0. Решение. Способ 1. Использование системы неравенств. Произведение трех множителей положительно в следующих случаях: 1) все три множителя положительны; 2) один из трех множителей положителен, а два других отрицательны. [ x + 3 > 0, Первый случай приводит к системе неравенств л: — 1 > 0, л: - 7 > о, каждое из решений которой больше чем 7. Решением системы является промежуток, который можно задать неравенством х> 1. Второй случай приводит к трем системам: f JC + 3 > о, 1) л: - КО, X - 7 < 0; 2) дг + 3 < о, д: - 1 > о, д: - 7 < 0; 3) д: + 3 < о, д: - 1 < О, д: - 7 > 0. Первая система имеет решение -3 < д: < 1, а две другие решений не имеют. Объединяя найденные решения, получим ответ. Ответ: х > 7, -3 < д: < 1. Можно обойтись в решении и без выписывания систем, используя способ 2. Способ 2. Рассмотрим произведение (д: + 3)(д: - 1)(д: - 7). Это произведение обраш;ается в нуль при трех значениях х, а именно: х^ = -3, д:2 = 1, Х3 = 7. При любом другом значении X произведение либо положительно, либо отрицательно. Точки -3, 1 и 7 разбивают числовую прямую на четыре промежутка. Покажем это на координатной прямой (рис. 25). На крайнем правом промежутке, при д: > 7, все три множителя положительны, а значит, положительно и их произведение. Поставим над этим промежутком координатной прямой знак « + » (рис. 26). На следующем промежутке отрицательным становится множитель д: - 7, а два других множителя остаются положительными. Можно сказать, что при переходе через точку 7 знак меняет только один из множителей, а вместе с ним меняет свой знак и произведение, следовательно, при 1 < д: < 7 -3 1 Рис. 25 jv 1 a. "И Рис.29 оно отрицательно. Под соответствующим промежутком поставим знак «-» (рис. 27). При переходе через точку 1 знак меняет только множитель X - 1, и это снова приводит к изменению знака всего произведения. При -3 < л: < 1 произведение положительно. Это обозначается знаком «-f» над соответствующим промежутком (рис. 28). И наконец, при переходе через точку -3 знак меняет множитель дг -Ь 3. Это, как и в предыдущих случаях, влечет за собой изменение знака всего произведения, которое при л: < -3 становится отрицательным. Поставив знак «—» под соответствующим промежутком, получим рисунок 29. Так как произведение должно быть положительно, в ответе указываем промежутки, отмеченные знаком «-Ь ». Ответ: -3<д:<1,л:>7. Замечания. 1. Выбрав промежутки, отмеченные знаком «-», мы получим решение неравенства (х + 3)(л: - 1)(л: - 7) < О, а именно х < -3, 1 < л: < 7. 2. Неравенства дс + 3 > О и {X + 3)(л: - 1) > О отличаются от (х-1)(х-7) х-7 неравенства (д: -f 3)(д: - l)(jc - 7) > О лишь тем, что некоторые множители стали делителями, т. е. перешли в знаменатель дроби. Однако эти перемещения никак не влияют на знаки выражений, стоящих в левых частях неравенств. А значит, все три неравенства имеют одни и те же решения: -3 < л: < 1, jc > 7. При решении неравенства мы разбивали числовую прямую на интервалы и определяли знак выражения на каждом из них. Такой метод решения неравенств называют методом интервалов. Рассмотрим еще один пример использования метода интервалов при решении неравенства. ^^3 5 1 2 Рис.30 Рис. 31 Пример 2. Решить неравенство ^ (Т) Найдем границы интервалов знакопостоянства, т. е. нули числителя и нули знаменателя дроби. Нули числителя: X = 1, X = , нуль знаменателя х = 4. @ Поскольку нули числителя являются решениями данного нестрогого неравенства, а знаменатель дроби в нуль об-ращаться не должен, отметим на координатной прямой нули числителя черными точками, а нуль знаменателя — светлой точкой (рис. 30). @ Определим знаки выражения ——4^^^^ ^ образо- вавшихся интервалах (рис. 31). 5 Ответ: -- <^:<1,д:>4. Упражнения 123. 1) Какой из вариантов рисунка 32 соответствует решению неравенства{х + 1)(х + 2) > о методом интервалов? 2) Почему на координатной прямой точки -2 и —1 отмечены белыми кружками? 3) Запишите ответ к решению неравенства: а)(д:-Ы)(л:-Ь2)>0; б) (л: + 1)(х + 2) < 0. 4) Решите неравенство {х + 1)(х + 2) > о, составляя системы. 5) Сравните два способа решения неравенства: методом интервалов и с помош;ью системы неравенств. г ^ -2 -1 а) г) в) л е) Рис.33 124. Запишите неравенство f{x) > О, при решении которого был сделан рисунок 33, и укажите промежутки, на которых значения f{x)’. а) положительны; б) отрицательны; 125. При решении неравенст- л: + 3 ^ ^ ва т——итт---;г7 ^ О мето- в) неположительны; г) неотрицательны. Рис. 34 {х + 5)(л: - 6) дом интервалов получился рисунок 34. 1) Составьте план решения неравенства. 2) Объясните, почему одна точка на координатной прямой черная, а другие — белые. 3) Запишите ответ к решению этого неравенства. 4) Чем отличаются решения неравенств {х + 3)(д: -ь Ъ){х -6)<0и {х -f 3)(дг -ь 5) < О от данного? 126. Решите методом интервалов неравенство: 5) (2у-7)(У + 6_) ^ Q. у + Л У + Л 1) (х-1)(х-2)<0; 2) (д:-Ь 7)(3л: - 2) > 0; 3) (л: + 3)лс(7 - 2х) < 0; 4) л:(2л: - l)(3x -Ь 8) > 0; 6) <0; {2y + 9){y-S) (2х + 3)(x - 1) ^ п. (*-5)(1-;с)- < д (5jc-6)(2-33c) {4 + х){5-2х) ^ * гг 12.7Г Решите неравенство: 1) 3) X - 1 -b 2 - ДГ < П- 2x+ 1 -b 3x + 2 3jc -t- 1 ^ w, X + 2 2y+l + 6y - 1 >0; 5) 0,5y + 1 у + 3 5 - 3y y-2 2-3 2 2 - 3 -4’ 6) 32-1 2-1 < \-Ъх > jc - 3 -3 >-3; у + 2* 2' 2г + 1 г + 1 + 1. 128Pl) В чем отличие неравенств этого упражнения от неравенств упражнения № 126? 2) Решите неравенства: а) (jc-l)2(5x + 3)>0; б) {х + 4)(4д: - 3)2 < 0; в) {у -Ь 2Пу - Ъ){у - 7)у > 0; г) {y + my-S)(y-7)(y-2)<0; (2л:- 3)2 Д) (X + 4)(3л: - 1) 3 <0; е) —-т <0; ж) (Зл: + 2)2(4 - л:) (5t/ - 6){2у - 5)2 (3// +7)3(5-4у) >0; 3) а - Sz)yH2z + 3) ^ Q (32 - 7)4(5 - 42) 129. Дана функция f(x) = . Найдите значения х{ох — 1) переменной, при которых: 1)Яд:)>0; 2)/(х)<0; 3) fix) > 0; 4) fix) < 0. 130. * Найдите такое целое значение а, при котором множест- во решений неравенства (а - д:)(5 + х)> О содержит: 1) одно целое число; 3) три целых числа; 2) два целых числа; 4) четыре натуральных числа. 131. * Найдите такое целое значение а, при котором множест- во решений неравенства хЦа - л:)(1 + л:) > 0 содержит: 1) одно целое число; 3) три целых числа; 2) два целых числа; 4) четыре натуральных числа. 132. Найдите область определения выражения: 1) Jix - 2)ix - 4) -f V(1 - x)i6 - X); 2) J{x + 3)(д: - 2) x(x - 5) % li 133*“^'. Решите неравенство: 1) 2|jc + 1| > jc + 4; 2) 3|д:-1|<д: + 3; 3) 4:\х + 2\< х+ 10; 4) S\x + 1\> X + 5. 1. 2. Контрольные вопросы и задания Чем отличаются решения следующих неравенств: l)(jc+1)(д: + 2)(л: + 3)<0; (X + 1)(д: + 2) ^ ----^Тз----- Решите неравенство: 2х-7 1) {х + 5)(15 - 3jc) >0; 3) {х + 2){х + 3) < о? 2) 2л: + 3 3 - 5л: \wy- Глава 2 tn. г КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ ■э § 4. Корни многочленов 9. Квадратные уравнения и уравнения, сводимые к квадратным Алгебра создавалась и развивалась как наука о решении уравнений. Даже само слово «алгебра» является частью арабского названия часто используемого при решении уравнений приема — переноса члена из одной части уравнения в другую с переменой его знака. Наибольший интерес у математиков вызвали так называемые целые уравнения с одной переменной, в левой части которых стоит целое выражение, а в правой — нуль. Как вы знаете, любое целое выражение можно преобразовать в тождественно равный ему многочлен, поэтому можно сказать, что целое уравнение с одной переменной имеет вид Р{х) = О, где Р{х) — многочлен стандартного вида с одной переменной X. Степенью такого многочлена называют степень его старшего члена — члена, содержаш;его переменную в наибольшей степени. Так, например, левая часть уравнения 2х^ - - 3jc -ь 2 = О — многочлен третьей степени. По степе- ни этого многочлена и само уравнение называют уравнением третьей степени или кубическим уравнением. Г Уравнение, левая часть которого многочлен га-й степени с одной переменной, а правая — нуль, называют уравнением п-й степени. Л Уравнения первой степени имеют вид ах + Ь — О, где а ^ О. Такие уравнения вы начали решать еще в начальной школе, а в 6 классе после знакомства с отрицательными числами могли решить любое уравнение первой степени. Уравнения второй степени — квадратные уравнения вида ах‘^ + Ьх + с = Oj где а О, вы научились решать в 8 классе. ■--Л .Ф Г' 2.T -71’ ^ О '’ mmum ►» 1. ,*. «—^ ^ Квадратное уравнение имеет два корня, когда его дискриминант D = — 4ас больше нуля, один корень при Z) = О и не имеет корней при D < 0. Корни квадратного уравнения можно найти по формуле ^1; 2 ■Ь ± Jb^ — Аас 2а Однако при решении квадратного уравнения не стоит торопиться применять эту формулу, ведь часто корни квадратных уравнений можно найти проще. Для этого полезно выполнить следующее. (Т) Квадратное уравнение сначала переписать, добиваясь того, чтобы все коэффициенты стали целыми, а старший коэффициент еще и положительным. Затем следует устно проверить, не являются ли числа 1 или -1 корнями уравнения, т. е. нулю должно быть равно или а + Ь + с, или а - Ь + с. Теорема Виета, в которой утверж- . Ь с „ „ дается, что + Х2 = —- и XjATg = - , позволяет наити второй корень: если = 1, то Xg = ^ , а если Xj = -1, то Xg= - ^ . В случае, когда квадратное уравнение приведенное, т. е. имеет вид х^ + рх + q = О, можно попытаться подобрать сразу оба его корня с помощью теоремы Виета (точнее говоря, теоремы, обратной теореме Виета). (4) И наконец, для корней уравнения ах^ + 2kx + с = О с четным вторым коэффициентом применяется формула •^1; 2 -к ± Jk^ - ас Решение уравнений, степень которых выше второй, обычно является значительно более трудной задачей. Однако некоторые уравнения удается решить с помощью несложных приемов, которые рассмотрим на следующих примерах. Пример 1. Решить кубическое уравнение 2x3 - 3x2 - Зх -Ь 2 = О. ш /■■■■it ~\~L Решение. C помощью группировки левую часть этого уравнения удается разложить на множители: 2х^ - Зл:2 - Зх + 2 = 2(д;3 + i) _ + 1) = = 2{х + 1)(х^ - д: + 1) - Зд:(д: + 1) = (д: + 1)(2д:2 - 5х + 2). Получаем уравнение (д: + 1)(2д:2 - 5д: + 2) = О, равносильное исходному. Произведение многочленов обращается в нуль тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей принимает значение, равное нулю. Следовательно, или дг + 1 = О, или 2д:2 - 5д: + 2 = 0. Решив эти уравнения, получим все корни исходного куби- ческого уравнения: = -1, Х2= , х^ = 2. Ответ: -1, - , 2. Сл Кроме разложения на множители при решении уравнений часто полезно ввести новую переменную. Один из самых простых случаев введения новой переменной связан с решением уравнений четвертой степени вида ад:"* -Ь Ьх^ -ь с = о, называемых биквадратными уравнениями. Пример 2. Решить уравнение Здс'^ - 10х^ -8 = 0. Решение. Обозначим выражение х^ буквой 2. Тогда 2^, и уравнение новой переменной 2. п '1; 2 д:^ = 2^, и уравнение становится квадратным относительно Зг^-10г-8 = 0, = 5 ± 72^ _ 5 ± 7 3 ’ 2i =-75. 22=4. Возвращаясь к переменной х, получим: 1)дг2 = 2) х^ — 4. Первое из уравнений не имеет корней, а второе имеет два корня: х^ = -2, ДГ2 = 2. Ответ: -2, 2. Рассмотрим еще один случай применения приема замены переменной. ®г- ^ .Г С'' л., - -. 5 . Примерз. Решить уравнение - 5х + 13 V^2^^5^+8 - 22 = 0. Решение. Легко заметить, что в уравнении повторяется выражение - 5х, содержащее переменную. Несложным преобразованием, прибавляя и вычитая 8, можно добиться того, чтобы повторялось выражение, стоящее под знаком корня: (х'^ - 5л: + 8) + 13 Jx^ — 5л: + 8 - 30 = 0. Введем новую переменную t = Jx^ - 5л: + 8 . При этом л:^ - 5л: + 8 = и уравнение имеет вид + 13t - 30 = 0. Его корни легко подобрать: = -15, = 2. Возвращаясь к переменной х, рассмотрим два случая. 1) Jx^ - 5х + 8 = —15. Этот случай не дает нам корней исходного уравнения, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом. 2) Jx^- 5л: + 8 =2. По определению квадратного корня л:^- 5л: + 8 = 4. Решая квадратное уравнение л:^ - 5л: + 4 = 0, находим = 1 и л:з = 4. Ответ: 1; 4. Упражнения 134. Выберите рациональный способ и решите квадратное уравнение: 1) х^-2х-8 = 0; 6)7х^-6х = 0; 2) 3x2 - 2х - 1 = 0; 7) 6x2 + 5х - 6 = Q; 3) 5х2 + 9х + 4 = 0; 8)81x2-64 = 0; 4) -5х2-6х+5 = 0; 9) х2 - Зх - 21 = 0; 10) ^х2+ |х-5 = 0. 135. Решите уравнение, раскладывая на множители его левую часть: 1) х2 - 25x2 = 0; 2) 9x2 -4х = 0; 3) (^2 - 88)2 - 9x2 = 0; 4) (х2 + 21)2- 100x2 = 0; 5) х2 - 7x2 - 4х + 28 = 0; 6) 41/3 + 281/2 -у-7 = 0; 7) 0 хЗ - 13x2 + 39х -27 = 0; 8) 0 уЗ + 7у2 + Ыу + 8 = 0; 9) ® г/4 + б1/3 + 9^2 _ 100 = 0; 10) ® г/4 - Юг/З + 251/2 - 36 = 0; 11) * 3z4 + 20^3 + 29г2 -4 = 0; 12) * Зх'^ - 12x3 + 10x2 - 9 = 0. 136. Решите уравнение, вводя новую переменную: 1) (х2 + бх)2 + 5(х2 + 6х) - 24 = 0; 2) (х2 - 7х)2 - 18(х2 - 7х) = 360; 3) 0 (х^ + х- 5)2 - 3(х2 + X) + 17 = 0; 4) 0 (х2 - 2х + 1)2 + 2(х2 - 2х) = 22. 1З7О. Решите уравнение, обозначив одну из двух взаимно обратных дробей буквой у: х‘‘^ + X X' 1) 2х - 2 _ о 2 . ^3’ 2х - 2 138.^ Решите систему уравнений: . Л(2х + 1/)2-3(2х + 1/) = 4, М 7x-10t/=10; рЛх2^2_ 7ху = 30, 3x-4t/ = 7; 3) J(^ + + 1)^ - + I/) = 1, I х^-ху - 4:у^ = 4; 4) f(x-i/ + l)2-3(x-i/)=7, 1 х2 + 2ху - 5i/2 = 25; 2) ^ f = 2,5. х-2 х2 - Зх X - 1 5) < 6) + У = о1 X - 1 "^6 ’ х2 - 2ху + Зх - у = 10; х^ + уЗ - 5х + Зу = 10, X _ 2у - 1 ^ 5 2у - 1 X 6 * 139. Проверьте, является ли число: 1) л/2 - 1 корнем уравнения - 6х^ + 1 = 0; 7з - 1 2) корнем уравнения 4i/‘* - 8z/^ +1 = 0. 140. Решите биквадратное уравнение: 1) д:4-10jc2 + 9 = 0; 5) + 2^2 _ 5 = О; 2) - 29x2 + 100 = 0; 6) 72^ - 1922 _ 36 = 0; 3) - 7i/2 - 144 = 0; 7) х^ - 10x2 + i = О; 4) 4i/4 - 5г/2 + 1 = 0; 8) г/^ - 8i/2 + 4 = 0. 141. ® При каком условии уравнение х"^ + рх^ + q = 0: 1) имеет четыре корня; 2) имеет два корня; 3) не имеет корней? 142. 1) Составьте биквадратное уравнение, если среди его корней есть числа: а)-3и5; б)0и1; в) 2 и л/2 . 2) Сколько корней имеет составленное вами уравнение? 143* Укажите с точностью до трех значащих цифр приближенные значения корней биквадратного уравнения: 1) 27x4 - 316x2 + 145 = 0; 2) 59l/'^ - 816у^ - 7149 = 0. 144Р Решите уравнение: 1) X - л/х - 12 = 0; 2) Зх + 14л/х -5 = 0; 3) ®х-27д:-1 -36 = 0; 4) ® 4х + г^х +2 +7 = 0; 5)® х2 + 2х - 8 = 5 V3 - х2 - 2х ; 6)® 6х - 2 - 4x2 = 72x2 - Зх + 1 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания Приведите пример уравнения четвертой степени, которое можно решить, раскладывая его левую часть на множители. Составьте план решения уравнения вида (ах2 + Ьх + с)2 + /г(ах2 -ь Ьх + с) + m = 0. Как называется уравнение 4х^ - 13x2 + 9 = 0? Решите это уравнение. L~i 4 f й 10. Целые корни многочленов с целыми коэффициентами Вы много раз с помощью теоремы Виета подбирали целые корни приведенных квадратных уравнений. Подбором можно находить целые корни целых уравнений и более высоких степеней. Удобно это делать, когда коэффициенты многочленов, стоящих в левых частях уравнений, являются целыми числами. Пусть Р{х) — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда при любом целом значении переменной х значение этого многочлена — целое число. Нас интересуют корни уравнения Р(х) = о, т. е. значения х, обращающие многочлен Р(х) в нуль. Значения переменной, при которых значение многочлена равно нулю, называют корнями многочлена. Пример 1. Какие из чисел -2, 3, 17 являются корнями многочлена Р{х) = 4д:^ - 13л:^ + 5л: - б? Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно вычислить значения Р(-2), Р(3) и Р(17). Однако нас интересуют не столько сами значения многочлена, сколько равны ли они нулю. 1) При л: = -2 все члены многочлена принимают отрицательные значения, поэтому значение многочлена отрицательно Р(-2) =?*= о, и число -2 не является корнем многочлена Р(лг). 2) Вычислим значение многочлена при л: = 3. Р(3) = 4-33-13*3^-ь5-3-6 = 4-27-13*9 + 15-6 = = 108-117-Ы5-б = 0. Число 3 — корень многочлена Р(л:). 3) При л: = 17 все члены многочлена Р{х), содержащие :г, делятся на 17, а свободный член, равный -6, на 17 не делится. Если бы число 17 было корнем многочлена Р(лг), то выполнялось бы равенство 4*17^-13*17^-1-5*17 — 6 = 0. Перенесем -6 в правую часть равенства, а в левой части вынесем множитель 17 за скобки: (4*172 — 13*17 + 5)*17 = = 6. В левой части равенства после вычислений получится це- т 3- ? л — ^ лое число, которое делится на 17, а число б, стоящее в правой части равенства, на 17 не делится, значит, это равенство не верно. Но тогда не выполняется и равенство 4*17^-13*17^+ + 5*17-6 = 0, а значит, 17 не является корнем многочлена Р(х). Ответ; из данных чисел только число 3 является корнем многочлена Р(х). Рассуждения, которые позволили нам без вычислений сделать вывод о том, что 17 не является корнем многочлена Р(х), можно дословно повторить для любого целого числа, которое не является делителем свободного члена этого многочлена. Более того, аналогичные рассуждения можно провести и для любого многочлена с целыми коэффициентами. ▼ Пусть целое число k — корень многочлена с целыми коэффициентами + ... + а^х + с. Тогда из того, что a^k'^ + + ... + a^k + с = о, следует, что + + <22^”+ ... + a^)k = -с. Левая часть равенства делится на k, значит, на k должна делиться и правая часть равенства, т. е. на k должен делиться свободный член многочлена. Д Это позволяет сформулировать важный вывод. Г Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. Значит, искать целые корни многочлена с целыми коэффициентами следует среди делителей его свободного члена. Пример 2. Найти целые корни многочлена Q(jc) = Зх^ - + Зл: + 2. Решение. Число 2 имеет 4 делителя: 1, -1, 2 и -2. Однако делители свободного члена— это еще не корни, а лишь кандидаты в корни. Вычисляем соответствующие значения многочлена: Q(l) = 3- 8 + 3 + 2 = 0, Q(-l) = -3-8-3 + 2 + 0, Q(2) = 24 - 32 + 6 + 2 = о, Q(-2) = -24 - 32 - 6 + 2 ^ 0. Ответ: многочлен Q(x) имеет два целых корня 1 и 2, 2 ' + п П Проверка делителей свободного члена многочлена может оказаться довольно трудоемким делом. Особенно много времени это занимало в докомпьютерную эпоху. Некоторое облегчение математикам принесла предложенная английским математиком Вильямом Горнером в 1819 г. схема вычислений. Горнер заметил, что с помощью несложного преобразования можно уменьшить число арифметических действий при вычислении значения многочлена. Пример 3. Найти целые корни многочлена - Sx^ — 19х - 6. Решение. Нам нужно будет найти значения многочлена при X = ±1, ±2, ±3, ±6. Преобразуем данный многочлен к виду, удобному для вычислений. 5х^ - 8х^ - 19х - 6 = ((5л: - 8)л: - 19)л: - 6. ■ Особенно удобно вычислять значение представленного таким образом многочлена с помощью арифметического калькулятора, умеющего запоминать числа. Программа вычислений значения многочлена для данного значения х выглядит так: 5 * л: MS - 8 * MR - 19 * MR - 6 = Если калькулятора нет, то вычисления удобно оформлять в специальной таблице — схеме Горнера. Покажем, как вычисляется значение многочлена 5л:^ - 8л:2 — 19л: — б при л: = 6. □ (?) Записываем коэффициенты данного многочлена в первую строку таблицы, рассматриваемое значение переменной записываем во «внешнюю» клетку второй строки, во вторую клетку второй строки «сносим» старший коэффициент многочлена. 5 -8 -19 -6 6 5 Продолжаем заполнять вторую строку по следующему правилу. В пустую клетку ставится произведение числа, стоящего слева от нее, на «внешнее» число (значение переменной, при котором мы подсчитываем значение многочлена), сложенное с числом, стоящим «сверху». т. г’’ .г-—;/ *~L Схематически это правило можно записать так. С Следующее число = = левое число х внешнее число + верхнее число. ) Последовательно получаем. 5 -8 -19 -6 6 5 6-5-8 = 22 5 -8 -19 -6 6 5 22 6-22- 19= 113 5 -8 -19 -6 6 5 22 113 6-113-6 = 672 Число 672 в последней клетке таблицы и является искомым значением многочлена 5л:^ - 8х^ - 19л: - 6 при л: = 6. Таким образом, число 6 не является корнем данного многочлена. Остается проверить еще 7 чисел. Конечно, рисовать для каждого из них новую таблицу совершенно необязательно, лучше внизу добавлять новые строчки. 5 -8 -19 -6 6 5 22 113 672 1 5 -3 -22 -28 -1 5 -13 -6 0 2 5 2 -15 -36 -2 5 -18 17 -40 3 5 7 2 0 -3 5 -23 50 -156 -6 5 -38 209 1260 Ответ: числа -1 и 3 являются целыми корнями данного многочлена. ^ Примечание. Можно было сэкономить время, прекращая работу со строчкой сразу, как только становилось ясно, что значение многочлена отлично от нуля (в таблице соответствующие клетки выделены цветом). Кроме того, строчки, не дающие корня, обычно вычеркивают. О LmmJk ~b Замечание. Для нахождения коэффициентов многочлена Q(3£r) можно было обойтись и без группировки. Поможет в этом уже знакомая вам из предыдущего пункта схема Горнера. Найдем Р(3) по схеме Горнера. 4 -13 5 -6 3 4 -1 2 0 Числа, оказавшиеся между крайними клетками второй строки таблицы, как раз и являются коэффициентами многочлена Q(jc). Это, в частности, позволяет более экономно применять схему Горнера при отыскании целых корней. А именно, после отыскания целого корня многочлена Р(х) искать целые корни многочлена Q(^:). Пример 2. Решить уравнение 6х^ - 7х^ - 30jc2 + 21х -н 10 = 0. Решение. Попробуем отыскать целые корни этого уравнения. 6 -7 -30 21 10 1 6 -1 -31 -10 0 1 6 5 -26 =^0 -1 6 -7 -24 ^0 2 6 11 -9 ^0 -2 6 -13 -5 0 После того как был найден корень л:, = 1, мы продолжили работу с многочленом бл:^ — х^ — 31х — 10, коэффициенты которого оказались во второй строке таблицы. Заметим, что мы снова проверили, не является ли 1 корнем и этого многочлена. Хотя нового корня уравнения нам эта проверка принести не могла, но дальнейшая работа несколько упростилась бы. После отыскания корня JCg = -2 многочлена бх'^ — — 31х — 10 (он же является и корнем исходного уравнения), нам ф.' ^3;4 - 12 12 -4 1 30 _ 5 Хд 12 3 ’ ^4 12 2 -2,-- 5 ’ 3 ^ 2 г остается найти корни квадратного трехчлена — 13х - 5, т. е. решить квадратное уравнение 6х^ - 13х -5 = 0. Примечание. Корень многочлена Р(х), вообще говоря, может повториться и в многочлене тогда будем иметь Р(х) = {х - = (х - лг1)(л: - jCj)F(x) = (х - Как мы гово- рили, это не добавит уравнению Р{х) = 0 новых корней, но может упростить их поиск, снизив степень рассматриваемого многочлена. Поэтому считают, что многочлены могут иметь равные (их еще называют совпавшими) корни. ▼ Схему Горнера можно использовать не только для разложения многочлена на множители, но и для решения обратной задачи — для умножения многочлена Q(x) на двучлен X- а. Пример 3. Преобразовать в многочлен стандартного вида произведение (х - 3)(2jc3 + 5x2 _ 4)^ Решение. При х = 3 искомый многочлен обраш;ается в нуль. Если бы мы искали значение многочлена с помощью схемы Горнера, то вторая строка таблицы содержала бы коэффициенты многочлена 2х^ + 5х^ - 4. Учитывая, что его коэффициент при X равен нулю, начертим таблицу и заполним ее вторую строку. 3 2 5 0 -4 0 В первой клетке первой строки должно стоять число 2. Во второй клетке — число, которое в сумме с произведением 3 • 2 дает 5, т. е. число -1. Число в третьей клетке первой строки в сумме с произведением 3*5 дает 0. Значит, это число -15. Аналогично, в четвертой клетке должно стоять число —4, a в последней, пятой клетке первой строки Заполним верхнюю строку таблицы. число 12. 2 -1 -15 -4 12 3 2 5 0 -4 0 В верхней строке таблицы мы получили коэффициенты искомого многочлена. Ответ: - 15х^ - 4х + 12. Л Упражнения 153. Выпишите строку коэффициентов многочлена: 1) х^-3х + 5jc2 -2х + 3; 3) х'^ - 7х^ - 9х'^ + 2х'^ + 3; 2) + 5х^ - 7х^ - 2х’5; 4) д:® + Здг^ - 2д;2 + - 5. 154. Найдите значения многочлена непосредственной подстановкой и с помощью схемы Горнера: 1) х‘‘^ - Зх + 5 при X = ±1, ±2, ±5; 2) Зх2 + 2х-4 при X = ±1, ±2, ±4; 3) 2x2 + 3x2 - 12х - 4 при X = ±1, ±2, ±5; 4) -х2 + 4x2 + 17х - 6 при X = ±1, ±2, ±3. 155* 1) Приведите многочлен к виду, удобному для вычисления его значений. 2) Найдите с точностью до 0,01 значения многочлена: а) 2х"^ + 3x2 _ 5JJ.2 - 4х + 7 при х = -0,25; -1,7; 2,3; 4; б) х^ - 3x2 5л£.2 _ 2х + 4 при X = -2,35; -0,57; 1,4; 5. 156. Найдите целые корни многочлена: 1) 3x2 _ 4д^2 - 17х + 6; 2) 5x2-19x2+ 11х + 3; 3) 2x4 _ 5д-з _ 11;с2 + 20х + 12; 4) 5x4 _|_ _ 320х - 64. 157. Представьте в виде произведения многочленов: 1) 3x2 _ 2х^ - 7х - 2; 3) 2x4 + 3^.3 _ 12x2 -jx + 6; 2) 5x2 + 9д.2 _ 5jc - 9; 4) 3x4 _ 19^3 + з9^^2 _ 29х + 6. 158. Решите уравнение: 1) х2 - Зх + 2 = 0; 2) х2 + х2 - 5х + 3 = 0; т X 5 3) + 2x^ - 4л: + 1 = 0; 4) x^ - Sx^ + 4 = 0; 5) 2x^ - bx^ - Зл: + 6 = 0; 6) 2x^ + jc^ - 4л: + 1 = 0; 7) 0 6л:4 - 7л:3 - 18л:=^ + 13л: + 6 = 0; 8) 0 6л:4 + 7x3 _ 18x2 - 13х + 6 = 0. 159. ® Используя замену у = ах, решите уравнение: 1) 8x3-4х + 1 = 0; 2) 27хЗ + 9х2-27х + 7 = 0. 160. Восстановите схему Горнера. 1) 2) 3) 2 4 1 3 5 161.® 1) Восстановите схему Горнера и запишите многочлен, равный произведению (2хЗ - 3x2 _i_ 4^ _|_ _|_ i)^ -1 2 -3 4 1 0 2) Выполните с помощью схемы Горнера умножение: а) (хЗ - 3x2 _ + 2); б) ex'* - 3x2 - х + 2)(х - 2). 162. *' Заполните целыми числами таблицу схемы Горнера. 1) 1 0 -8 -3 0 4- 2) 2 5 3 8 6 Контрольные вопросы и задания Найдите значение многочлена -Зх‘^ + Зл:^ - 4лг^ + 8л: + 7 при л: = 2. 2. 3. Найдите целые корни многочлена 2л:^ + 15х^ + 22л: - 15. Решите уравнение Зл:^ - 14л:^ Ч- 16л: -3 = 0. 12. Разложение квадратного трехчлена на множители в предыдущем пункте вы научились с помощью теоремы Везу раскладывать многочлены на множители. Однако успех разложения многочлена на множители зависел от того, можно ли найти его целый корень. Ведь не у всех многочленов есть целые корни. Однако есть многочлен, для корней которого вы знаете формулу, — это квадратный трехчлен. Пусть квадратный трехчлен + рх + q имеет корни х^ и Xg*. По формулам Виета р = -(х^ + JCg) и ^ = л:^ • Х2- Следовательно, Х'^ + рх + q = х^ - (Xj + Х2)х + х^Х2 = л:^ - х^х — Х2Х + л:^л: — v2 = х(х - л:1) - Х2(х - х^) = {х - л:^)(л: - JCg). Мы получили формулу разложения на множители приведенного квадратного трехчлена^ т. е. трехчлена, старший коэффициент которого равен 1: -Ь рх q = {x — х^)(х — Х2). Полученный результат легко использовать для вывода формулы разложения на множители квадратного трехчлена общего вида ах^ + fex + с, корни которого х^ и Xg. Для этого вынесем за скобки первый коэффициент трехчлена: ах^ -\- Ьх с = а( х^ + - х+ - ) V а а) ^ Напомним, что корни многочлена могут совпадать, т. е. числа Xj и Xg могут быть равными. Ъ с Трехчлен ~ ^ имеет те же самые корни и х^, что и трехчлен ах^ + Ьх + с, значит, Отсюда х^+-х+ - = (х - х,)(х - Хр). а а ^ ^ ах^ + Ьх + с = а(х — Xj)(x — Xg). По этой формуле можно разложить на множители любой квадратный трехчлен, имеющий корни. Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх^ - 17х - 130. Решение. Дискриминант данного трехчлена положителен, значит, трехчлен имеет корни и его можно разложить на множители. Найдем корни трехчлена: 17 ± 7289 + 1560 _ 17 ± 71849 _ 17 ± 43 6 6 6 ’ ^1; 2 ~ Xj = 10, Х2 = -у . По формуле разложения квадратного трехчлена на множители получаем: 3x2- 17х- 130 = 3(х- 10)(^х-ь Щ j =(х- 10)(Зх-ЫЗ). Ответ: (х - 10)(3х + 13). Пример 2. Разложить на множители трехчлен 16x2- 24:Х -I- 9. Решение. Дискриминант данного трехчлена равен нулю. Значит, трехчлен имеет равные корни. Действительно, по формуле корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом имеем: ^ _ 12 ± 7144 - 144 _ 12 _ 3 _ _ 3 1;2 10 16 4’^1 ^2 4 По формуле разложения квадратного трехчлена на множители: 16x2 - 24х + 9 = 1б^х “Ij = (4х - 3)(4х - 3) = (4х - 3)2. Ответ: (4х - 3)2. |[Нё. Примечание. Можно было сразу заметить, что данный трехчлен является полным квадратом. Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя представить в виде произведения двучленов первой степени. Действительно, значения такого квадратного трехчлена отличны от нуля при всех значениях х, а произведение дву- членов первой степени (ах + Ь)(сх + d) при обращается в нуль. Произведение (ах + Ь){сх + d) обращается в нуль и при d X = — , но этот факт для обоснования невозможности разло-с жения трехчлена уже не нужен. Умение раскладывать квадратные трехчлены на множители помогает в решении различных задач. Рассмотрим одну из них. Пример 3. Сократить дробь " 21 у^ ~ ' Решение. Применим в числителе дроби формулу разложения трехчлена. Найдем корни квадратного трехчлена -18z/2 -н 21i/ + 4, рав- ные и ^ . Получим: о о -18y2+21i/ + 4 = -18(i/+i](!/-|) = = -(6у + 1)(3у - 4) = (6у + 1)(4 - Зу). ф/ Знаменатель дроби разложим на множители как разность кубов: 64 - 27г/3 = (4 - 3i/)(16 + 12у + V). Таким образом: -18у^ + 21у + 4 _ (6у + 1)(4 - Зу)_ _ бу + 1 64- 271/3 (4 - Зу)(16+121/+ 9i/2) l6+l2y + 9y^ Неполный квадрат суммы, оставшийся в знаменателе, на множители не раскладывается. В этом легко убедиться, вычислив, например, его дискриминант. 6у + 1 Ответ: 16+ 12у + 9у^' П римечание. Сократив дробь, мы расширили множество допустимых значений переменной у, включив в него число ^ . Это О число не является допустимым значением у в исходной дроби, так как обращает ее знаменатель в нуль. Об этом помнят, но в решении обычно не отмечают. Упражнения 163. Можно ли представить в виде произведения двух многочленов первой степени квадратный трехчлен: 1) х^ + Зх- 210; 3) 7х^ - 19х + 15; 2) - 210JC + 3; 4) 6д:2 + 17;с - 23? 164. Разложите на множители, если это возможно, трехчлен: 1) х^ + Зх- 88; 7)-12р^ + 5р + 2; 2) У^-7у- 18; 8) -24п^ + 14я + 3; 3) + 16А: - 63; 9)5с2 + 2с + 1; 4) -д:2 - 20л: - 96; 10) 4у^ - 9у + 15; 5) 3x2 + 11:^ _ 14; 11) х2 - 2х - 1; 6) 5г/2 -8у- 13; 12) + 6Ь + 1. 165.* Представьте в виде произведения двух двучленов: 1) 2x2 - Зх + 0,72; 5) 6x2 - ах - а2; 2) 5с2-5,5с-3; 6) - аЬ - дЬ^; 3) х2 - 9ах + 20а2; 7) 36x2 ^ \2kx + 4) ^2 - i^by + 40&2; 8) 9y^‘ - ЗОру + 25р2. 166. Сократите дробь: л:^ - 13л: + 40 1) 2) 3) л:2 - 25 49 - г/^ //2 + 4У-77’ 2д2 + 5а - 7 , а2 - 2а + 1 ’ 4) 5) 6) -3fe2 + 2Ь + 16 . ^2 + 45 + 4 ’ р - ах - 2д2 _ л:2 - 64а^ ’ щ 27f/3 + 853 Зг/2 + 5&1/ + 252 • 167. Упростите выражение: 6 \ л: + 5 ^.^л: 6 "\л: + 5, л:2 - 25 J ’ ТГб 2) ( • - ^V-x^-5 X + 4 ) X л: + 4 ТТо л:- 13 . 2л: - 10 ’ 3 Л" - о 168. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение принимает одно и то же значение: 1) а + 1 ^ а + 7 5а2 + а — 4 9(5< 2 , а + 4 . / 9(а - 1) За + 4 X + 2а 2) + ^LLi : ( ^ 2 - а а - 1 I 3) ( 6 ^ ^ Ч25-л:2 2л:2-7л:-15^ л: 4) ( 15а - 12 а + 1 (2а - 7)2 3g2 + а V -4)’ Зл;2 + л: - 2 9л:2 - 4 ) 9х^ - 4 л: + 1 + 2 Зл: + 4 -Ь 4 л: + 6 1 169. Решите уравнение: л: -+- 7 6 1) 2) 3) 4) Л‘2 - ЛС - 6 л:2 - Зл: ’ Зу - 10 _ 11 у2 - 5у у2 + ^ _ 30 ’ 35л: л: -Н 2 -6л:2+10л: + 4 Зл: + 1 25л: - 21 -Ь Зл: - 1 л: - 2 = 0; ^ 2 л:- 3 ^ л: + 4 2л:2 + 5л:-12 лс + 4 3 - 2лс 170.^Решите неравенство: 1) < 0; у2 + 8у + 16 Q4 х^ 2лс 15 ^ ^ лс2 + 9-6л: ^ ’ Ш у - 3) 4) 4x^ - 28х + 40 X - 3 + л: + 1 :2 - Зх - 10 1-х л: + 1 д:2-4’ 20 jc2 + IOjc + 21 9 - Jc2 Зл:2 + 12л: - 63 171. Разложите многочлен на множители: 3) л:3- 13jc- 12; 4) 2хЗ-19л:2 + 32л: + 21. 1) 5х^ - 19л:2 - 38л: + 40; 2) 27аЗ + 21а2-7а-1; 172. ® Решите неравенство: 1) л:4-13л:2 + 36<0; 2) 4х^ -5х^+1>0; 3) + 6л:2 - Их > 0; 4) 4х‘^ - 3x2 - 25х - 6 < 0; 5) 6х^ - 19x2 + X + 6 < 0; 6) 15x3 + 22x2 +5х-2 > q. 7) х^ - хЗ - 2x2 - 2х + 4 < 0; 8) х'^ - хЗ - 6x2 _|_ 10Д. _ 4 > 0. 173. ® Укажите все значения х, при которых имеет смысл выражение: 1) J42x + х2 - хЗ ; 2) 3) х"" - 24x2 _ 108х ; л/х2 - 9х + 20 7-х 4) 5) 6) Х2 + 3 2x2 - Зх - 9 ’ х2 - 9х ’ 16x3 - X 12-х 174.® Решите неравенство: 1) (2х - 3)73х2- 5х- 2 > 0; 2) (4х - х2 - 3)л/5х-8 < 0; 3) (6х - 5)72x2-5х +2 >0; 4) (Зх-х2-2)л/7х + 4 <0; 5) (Зх + 4)7-Зх-2x2-1 <0; 6) (7х + 2)74х-Зх2- 1 < 0. 175.® Найдите простые числа р и q, зная, что многочлен х2 + рх + q имеет целый корень. Т *^*4, п 1. 2. Контрольные вопросы и задания Напишите формулу разложения квадратного трехчлена на множители. В каких случаях квадратный трехчлен нельзя разложить на множители? Объясните, почему квадратный трехчлен, не имеющий корней, не может быть представлен в виде произведения многочленов первой степени. 2а2 - 5а - 7 Сократите дробь а'^ -Ь 1 § 5. Квадратичная функция и ее график 13. Г рафик функции у = ах^ Рассмотрим функцию у = ах^- при а = 1. Для построения графика функции у = укажем сначала в таблице координаты некоторых его точек, учитывая, что противоположным значениям аргумента х соответствует одно и то же значение функции у = Л‘ 0 ±0,5 ±1 ±1,5 ±2 ±2,5 ±3 у = х^ 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них плавную кривую линию (рис. 35). Получившаяся кривая — парабола. Именно с этой параболой вы познакомились в 8 классе, и именно она была использована для введения понятия квадратного корня. Используем рисунок 35, чтобы вспомнить основные свойства функции у = х^. Свойство 1. График находится в верхней полуплоскости и касается оси Ох в начале координат. (График rv ^ п не имеет ни одной точки, лежащей ниже оси Ох, так как при любом значении х значение функции у = х^ неотрицательно.) Свойство 2. Ось ординат — ось симметрии графика. Свойство 3. При отрицательных значениях х точка графика, имеющая большую абсциссу, имеет меньшую ординату, а при положительных значениях х точка графика с большей абсциссой имеет и большую ординату. Если увеличение значения аргумента х влечет за собой увеличение соответствующего значения функции, то говорят, что функция возрастает. Если увеличение значения аргумента х влечет за собой уменьшение соответствующего значения функции, то говорят, что функция убывает. Таким образом, функция у = х^’ при л: < О убывает, а при jc > О возрастает. Говорят, что промежуток (-°о; 0] является промежутком убывания функции у = х^-, а промежуток [0; -1-00) является ее промежутком возрастания. Используя график функции у х^, можно получить график функции у = ах^, где а — любое положительное число. Построим, например, график функции у = 2х‘‘^. Добавим к уже заполненной нами таблице значений функции у = х^ еще одну строку. X 0 ±0,5 ±1 ±1,5 ±2 ±2,5 ±3 у = х^ 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 у = 2x2 0 0,5 2 4,5 8 12,5 18 Значения функции у = 2х^ получены из значений функции у = х^ умножением на 2. Заметим, что любой точке графика функции у ^ х^ с координатами {х; у) соответствует точка графика функции у = 2х^ с координатами (х; 2у), т. е. с такой же абсциссой и в 2 раза большей ординатой. Эта точка находится в 2 раза дальше от оси абсцисс. Значит, чтобы получить график функции у = необходимо растянуть график функции у = от оси абсцисс в 2 раза (рис. 36). Рассматривая подобным образом функцию У ^ \ заметим, что ординаты точек ее графика в 4 раза меньше ординат соответствуюидих точек графика функции у = х^ и., следовательно, график функции у = ^х^ можно получить, сжав график функции у = х^ к оси абсцисс в 4 раза (рис. 37). На рисунке 38 изображены графики функций у = ах^ при различных положительных значениях а. Каждый из таких графиков обладает теми же свойствами, что и график функции у = х^^: 1) расположен в верхней полуплоскости и касается оси Ох в начале координат; 2) симметричен относительно оси ординат; 3) при отрицательных значениях X точка графика с большей абсциссой имеет меньшую ординату, а при положительных х точка с большей абсциссой имеет и большую ординату. Выясним теперь, что собой представляет график функции у = ах^ при отрицательном значении а. Пусть, например, 1 а = —. 4 1 Сравним функцию у = - ~х^ с функцией у 1 Значения этих функций при одних и тех же значениях х — противоположные числа. Следовательно, точки их графиков с одинаковыми абсциссами имеют противоположные ординаты, а значит, эти точки симметричны относительно оси абсцисс (рис. 39). Вообще, график функции у = -ах^ симметричен графику функции у = ах^ относительно оси Ох. На рисунке 40 изображено несколько графиков функции у = ах^ при различных отрицательных а. Свойства таких графиков вы можете сформулировать самостоятельно. Заметим, что график функции у = ах^ проходит через точку А(1; а). Это позволяет по графику функции у = ах^ определить коэффициент а как ординату точки пересечения графика с прямой X = 1. На рисунке 41 значение а = 2,5, т. е. это график функции у = 2,Ъх^. n График функции у = ах^ (а ^ 0) называют параболой. Ось симметрии делит параболу на части, называемые ветвями параболы. Точка параболы, лежащая на ее оси симметрии, называется вершиной параболы. Упражнения т-’- 176. Постройте график функции у = х^. Найдите по графику: 1) значение функции при: а) х = -1,5; б) х = 2,8; 2) значения аргумента, при которых: а) у = 4; 6)1/= 6; 3) все значения аргумента, при которых значение функции: а) не превышает 3; б) не меньше 5; 4) наибольшее и наименьшее значения, которые принимает функция на промежутке: а) -4 < jc < 3; б) -3 < лс < 4; 5) значения аргумента, при которых значения функции: а) больше 0, но меньше 2; б) больше 2, но меньше 3; 6) ось симметрии графика; 7) промежутки возрастания и убывания функции. 177. Постройте график функции f(x) = -1убх^. Найдите по графику: 1) значение функции в точке: а) Д-2,5); б)/(1,6); 2) значения аргумента, при которых: а) fix) = -5; б) fix) = -8; 3) все значения аргумента, при которых: а) fix) ^-2; 6)fix)>-6; 4) наибольшее и наименьшее значения, которые принимает функция при: а)-2<х<1; б)Кд:<2; 5) все значения аргумента, при которых: а) -5 < fix) < -2; б) -3 < fix) < -1; 6) ось симметрии графика; 7) промежутки возрастания и убывания функции. 178. 1) Постройте графики функций: 1 2 1 2 ГЖ I/ =--------------- 8i)y==^X^yLy = --^X^\ 6)y==\x^viy = -\x^\ в) у = 1,5jc^ и I/ = Зл:^; г) г/ = -1,6x2 и г/ = -4,8x2; д) И г/ = Уз х2 и I/ = 2 л/З х2; е) И y=-j5x^ny = Sjbx^. I 5 ■ п п я п :-^г.- 2) Каково взаимное расположение графиков заданных функций? 3) Как получить графики данных функций с помощью преобразований графика функции у = 179. Дана функция: 1)1/ = 23л:; 3) z/= 0,01л:2; 2,7 5)z/=—; 2)у = -Ъ1х\ 4)y = -J^x^; Q)y = - л/П Назовите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) наименьшее или наибольшее значение функции, если они есть; в) ось симметрии или центр симметрии графика функции, если они есть. 180. По графику функции у = ах^ (рис. 42) найдите значение коэффициента а. 181. Изготовьте из картона или плотной бумаги шаблоны парабол: у = х^; у = ^х^; у = 1,5х^; у = 2л:2. 182. Принадлежат ли точки А(2; 3), В(-2; 3), С(-5; 5), К{-2; -3) графику функции: 1) г/ = 0,2лс2; 2).1/ = -|л:2? 183. 1) Графику функции у = ах^ принадлежит точка А(15; 45). Не вычисляя значения а, определите, принадлежит ли этому графику точка: а) ?Г(-15;45); б) ЛГ(15;-45); в) С(-15;-45); г) М(-0,15; 0,45). 2) Графику функции у = ax^■ принадлежит точка С(10;-75). Не вычисляя значения а, определите, принадлежит ли этому графику точка: а) А(-10;-75); в) Р(10; 75); б) Б(-10; 75); r)ii:(l;-0,75). :;;-х 1%^ п 184. Докажите, что если у = ад:^ и а ^ О, то для любых и Xg, отличных от нуля, и соответствующих им i/j и ^2 верно равенство — = ^ , т. е. значения функции у = ах^ про- У2 Хо порциональны квадратам значении аргумента. 185. При каком значении а график функции у = ах^ проходит через точку с координатами: 1)(1,2; 2,88); 2) (-0,32; 2,048); 3) (-7з ; 15,6); 4) (-V? ; -0,021)? 18бР График функции у = ах^ проходит через точку А(-V5 ; 2). Проходит ли этот график через точку: 1) B(-JT0 ; 4); 2) С(-10; 40)? 187.* Докажите, что через любую точку плоскости, не лежащую на координатных осях, проходит единственный график функции у = ах^~. 188? Путь, пройденный телом за первые t с свободного _ gt^ падения, может быть вычислен по формуле Н = , где g ~ 9,8 м/с^. На рисунке 43 приведен график зависимости Н от t. Найдите по графику: 1) расстояние, которое пролетит падающий в пропасть камень за я, м; первые: а) 5 с; б) 10 с полета; qqq 2) время, за которое камень пролетит: а) первые 100 м; б) вторые 100 м пути. 3) Найдите глубину пропасти, если камень падал в нее 11с. 189. Для определения глубины колодца бросили камень, звук от падения которого был услышан через 3,6 с. Какова глубина колодца? (Скорость звука в воздухе считать равной 340 м/с, ускорение свободного падения g~ 9,8 м/с2.) .2- — 2 \^Tt X* 5- Г! X" i X 190PПлощадь круга вычисляется по формуле S = где к ~ 3,14, г, м — радиус кру- га, S м 2 ___ площадь круга. 1. 2. 3. На рисунке 44 построен график зависимости площади круга от его радиуса. Найдите по графику: 1) площадь круга, радиус которого: а) 6,2 м; б) 8,5 м; 2) радиус круга, площадь которого: а) 107 м^; б) 286 м^. Контрольные вопросы и задания Как получить график функции у = 0,1х^ из графика функции у = х'^7 Укажите общие свойства графиков функций у = и у = а^х^, если > 0, Og < 0. Каково взаимное расположение обоих графиков, если и ag — противоположные числа? Постройте график функции у — 1,5л:^. Принадлежит ли построенному графику точка А(-0,8; 0,96), Б(82; 192)? 14. Г рафик функции у = ах^ + Ъх + с График любой квадратичной функции^ т. е. функции вида у = ах^- + Ьх + с, где а, Ь, с — действительные числа, а ^ 0, легко получить из уже знакомого вам графика функции у = ах"^. Покажем, как это делается. Сначала в квадратном трехчлене ах^ + Ьх + с выделим полный квадрат: ах^ + bx-bc = afjc^-l--x-f--l = V а а) -b^ -Н 4ас 4а Так можно преобразовать любой квадратный трехчлен, значит, любую квадратичную функцию у — ах^ -Ь Ьх + с мож- НО представить в виде у = а{х + р)^ + где р и q — некоторые числа. Если сравнить эту функцию с функцией у = ах^, то можно заметить, что к аргументу функции у = ах^ прибавили р, а к значению функции прибавили q. Рассмотрим, как такие изменения отражаются на параболе у = ах^. Выясним сначала, что происходит с графиком функции, когда к ее аргументу х прибавляют число р. Для примера возьмем а = 2ир=1, т. е. построим график функции у = 2{х -Ь 1)2. Сопоставим таблицы значений функции у = 2{х + 1)2 и функции у = 2х^ с шагом 0,5. X -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 у=2х^ 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 ^ = 2(х-Ы)2 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 12,5 18 Нетрудно заметить, что числа, стояш;ие в третьей строке таблицы, на два шага опережают числа, стоящие в ее второй строке. Другими словами — одинаковые значения функции у = 2х^ VL у = 2{х -1-1)2 принимают тогда, когда аргумент второй из них меньше аргумента первой на 1. Так, например, свое наименьшее значение 0 функция у = 2^2 принимает при л: = о, а функция у = 2{х -+- 1)2 при л: = -1. Если говорить о графиках этих функций (рис. 45), то точка (-1; 0), принадлежащая графику функции у= 2(л:+1)2, расположена на единицу левее точки (0; 0), принадлежащей графику функции у = 2х^. Вообще, если точка (х; у) принадлежит графику функции у = = 2х‘^, то точка {х - 1; у) принадлежит графику функции у = = 2{х + 1)2. Ясно, что точка {х - 1\у) получается из точки (х; у) сдвигом на единицу влево вдоль оси абсцисс. Поскольку это относится к каждой точке графика функции у= 2{х + 1)2, МОЖНО сказать, что весь график функции у = 2{х 4-1)2 получается сдвигом графика функции у = 2x2 на единицу влево вдоль оси абсцисс (см. рис. 45). ш Рис. 46 Аналогичные рассуждения показывают, что функция у = I принимает в точности те же значения, что и функция у = Ь но при значениях л: на 2 единицы больших. О Поэтому график функции у = ^ (JC - 2)^ получается сдвигом О параболы у =\х^- на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс О (рис. 46). График функции у = а(х + р)^ получается сдвигом параболы у = ах^ вдоль оси абсцисс на р единиц влево при р > О или на -р единиц вправо при р < 0. Л С преобразованием, которое обеспечивает переход от параболы у = а(х 4- р)2 к графику функции у = а{х + р)^ + д, вы уже встречались, когда от графика прямой пропорциональности у = kx переходили к графику линейной функции у = kx + Ь (рис. 47). При одном и том же значении х значение второй функции отличается от значения первой на Ь. Значит, точки графика второй функции получаются из точек графика первой сдвигом вдоль оси ординат на Ь вверх (при Ь б) или на вниз (при Ь 0). Аналогично, сдвиг вдоль оси ординат на q вверх (при д > 0) или на -д вниз (при (/ < 0) превращает график функции у = а(х 4- р)2 в график функции у = а(х + р)2 + д. т Объединяя результаты двух преобразований, можно сделать выводы. 1. График функции у = а{х + рУ^ -Ь q получается из параболы у = ах^ с помощью двух сдвигов вдоль осей координат. 2. График функции у = а{х -f р)^ + q — парабола. При выделении полного квадрата из квадратного трехчлена ах^ Ьх + с мы нашли, что -Ъ'^ + 4ас ^ _ D 4а ’ 4а Таким образом, построение графика квадратичной функции у = ах^" Л- Ьх + с выполняется по следующему плану. (Т) Строим исходную параболу — график функции у = ах^. Вычисляем координаты вершины искомой параболы: Ъ -Ь^ -ь 4ас D 2а ^0 Р’ Уо У' 4а 4а (3) Сдвигаем построенную параболу вдоль оси абсцисс на р единиц влево, если р > О, или на -р вправо, если р < 0. При этом получается график функции у = а{х -Ь р)^. (4) Сдвигаем параболу у = а{х + р)^ параллельно оси ординат на q единиц вверх, если q > Оу или на -q вниз, если q < 0 (рис. 48). Г График квадратичной функции у = ах^ + Ьх + с является параболой с вершиной в точке [“^5 -Ь^ + 4ас 4а )’ ось которой параллельна оси ординат и имеет уравнение х = , а ветви направлены вверх при а > о и вниз при а < 0. ■3^ Пример 1. Построить график функции у = -2х^ + 6л: - 1. Построение. (Т) Строим параболу у = -2х^ (или выбираем шаблон параболы для а = 2). Находим координаты вершины исходной параболы у = -2х^ -Ь 6л: - 1: 6 _ 3 2 ’ Xf, = -- Уо о 2(-2) _ -02 + 4(-2)(-1) _ -28 _ 7 4(-2) -8 2* @ Сдвигаем параболу у = -2л:2 на I вправо вдоль оси абсцисс и 7 на - вверх вдоль оси ординат (прикладываем и обводим вы- Рис. 49 бранный шаблон) (рис. 49). Зная, что представляет собой график квадратичной функции, довольно просто решать квадратные неравенства^ т. е. неравенства, в левой части которых стоит квадратный трехчлен, а в правой — нуль. Пример 2. Решить неравенство Зл:^ - бл’ 4- 2 < 0. Решение. Ветви соответствующей параболы направлены вверх, поскольку старший коэффициент трехчлена Зл:^ - 5л: -Н 2 положителен. Значит, отрицательные значения трехчлен принимает между своими корнями (рис. 50). Корни квадратного трехчлена Зл:^ - 5л: -Ь 2 1 2 равны 1 и - . О Ответ; |<л:<1. О Рис.50 Пример 3. Решить неравенство -^x^ + Sx-KO. О Решение. Умножим это неравенство на -3, чтобы избавиться от дробей и сделать старший коэффициент положительным: 7л:2-9х + 3>0. Теперь выясним, как расположена относительно оси абсцисс соответствующая парабола. £) = 81-4*7*3<0, значит, парабола целиком расположена в верхней полуплоскости (рис. 51). Ответ: х — любое число. Упражнения 191. По графику функции (рис. 52, 53) найдите: 1) точки пересечения графика с осями координат; 2) значения х, при которых у = S; 3) наибольшее или наименьшее значение функции; 4) значения л:, при которых у > 0; 5) промежутки возрастания и убывания функции. т 192. Найдите координаты вершины параболы: 1) у = х^-4х+1; Ъ)у = 2х^-10х\ 2) у = -х^ - 6х + 5; 6) I/ = 0,5л:^ + 1х', S) у = -2х^ + 8х + 3; 7)у = -^х^ + 6; 4) у = -2х^ - 8л: + 3; 8)у=1х^-2. 193. Запишите преобразования графика функции, изображенного на рисунках 54, 55. 194. 1) Используя шаблоны парабол, постройте график квадратичной функции: di) у = х^ - 8х + 1\ г) I/ = -2х^ -I- 7л: - 3; б) I/ = л:^ 4- 4л: - 7; д) У = 0,5х^ + Зх - 6; в) у = 2х^ - 5х + 2; ^)у = -\,Ьх^ -2х+ 2) Укажите по графику значения х, при которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение. 195. ^ Постройте график функции у = f{x), если: 1) fix) = 0,5л:2 - 5л: + 2; 2) fix) = -0,5л:2 + 4л: + 3. Найдите по графику: а) /(-1); /(2); б) значения л:, при которых fix) = 6; в) все значения аргумента, при которых fix) > 6, fix) < 6; г) наибольшее и наименьшее значения, которые принимает функция на промежутке — 1 < л: < 7. 196. Принадлежат ли графику функции: 1)у = 0,3л:2 - 18л: + 10 точки Б(-8; 43,6) и С(7; 12,1); 3 2)у = I л’^ + 6л: - 5 точки А(3,6; 26,32) и Б(-2,4; -15)? 197. 1) График функции у = ах^ + Ьх + с пересекает ось Оу в точке М(0; 5). Найдите с. 2) График функции у = ах^ + рх + q проходит через точку К{0\ 3). Найдите q. 198. Найдите координаты точек, в которых пересекает координатные оси парабола: 1) г/ = 1,5x2 _ 8х - 6; 2)у = -3x2 + 8х + 28. 199? Не выполняя построения графиков, определите, имеют ли параболы г/ = х2-8х-Ь9и^ = -х2 Ч- 6х - 3 общие точки. Проверьте построением графиков обеих функций, верно ли решена задача. 200.^Найдите координаты вершины параболы, заданной уравнением: 1)у = {х- 6)2 -f- 5; 2)у = 1,5(х + 8)2 - 10. 201 Р Докажите, что (т; п) — координаты вершины параболы, заданной уравнением у = а(х - т)2 Ч- /г, (а 0). 202. Определите, принимает ли наибольшее или наименьшее значение функция: 1) Z/ = х2 Ч- (25 - х)2; 3) I/ = 10 Ч- 8х - х2; 2) I/= х(16 - х); 4) г/= х2 - 10х ч-7. 203. Запишите функцию вида t/ = (х Ч- а)2 Ч- 6, график которой изображен на рисунке 56. 204. Назовите цепочку преобразований, с помощью которых из графика функции у = х^ можно получить график функции: 1) y = 2(x-lf-, 2) у~-Ш-Ь)Н 3)у=1(3-;с)2 + 2; i)y = b[x-l)^-I. г) Рис. 56 .Й- ,3 f I 2п“И'- х‘ 20sP Сумма двух чисел равна 14. Определите: 1) какое наибольшее значение может иметь произведение этих чисел; 2) какое наименьшее значение может иметь сумма квадратов этих чисел. 206. * 1) Известно, что х + Sn = 30. Какое наименьшее значе- ние может иметь выражение + п^7 2) Сумма двух чисел р и q равна 18. Какое наименьшее значение может иметь выражение + 2д? 207. ® 1) Найдите плоидадь наибольшего участка прямоуголь- ной формы, который можно огородить забором длиной 120 м. 2) Участок прямоугольной формы, примыкающий к каменной стене, нужно огородить забором длиной 180 м. Какую наибольшую площадь может иметь этот участок? 208. “ 1) На основании и боковых сторонах равнобедренного треугольника с периметром 48 см построены квадраты (рис. 57). Какое наименьшее значение может иметь сумма площадей этих квадратов? 2) В треугольник с основанием 12 см и высотой 18 см вписан прямоугольник, две вершины которого лежат на основании, а две другие — на боковых сторонах треугольника (рис. 58). Какую наибольшую площадь может иметь этот прямоугольник? 209. Изобразите схематически график функции у и укажите все значения х, при которых функция принимает: а) положительные; б) отрицательные значения: 1) у = х^-9; S)y = -x^ + 8; 2) у = х^ + 6; 4) у =-х^ - 1; Рис.58 5) г/ = 6) i/= + 2x; 7) г/ = -i jc2 + ^) у =-\x^ - 2x\ 9)y = {x- l)(x-4); 210. Решите неравенство: 1) (x + 5)(x-ll)<0; 2) (x + 7)(x + 1) > 0; 10) у = 2{x + l)(x - S); 11) 1/ = -0,3(х-5)(л: + 3,5); 12) у = x^ - 2x - S; lS)y = x^ + Sx-10; 14) у = -x^ + 5x - 6. 3) (2x-9)(x-5)<0; 4) (5x + l)(2x+5)>0. 211. Решите квадратное неравенство: 1) x2 - 7x + 21< 0; 7) x2 + 3x + 8 > 0; 2) x2 + 8x+15>0; 8)x2-5x+ll<0; 3) 2x2 - 7x + 3 < 0; 9) 4x2 _ 20x + 25 > 0; 4) 0,5x2 + 5x - 12 > 0; 10) 9x2 + 24x + 16 < 0; 5) 3x2 + Ид: + 10 < 0; 11) -4x2 + 13x - 15 > 0; 6) -4x2+15x-9>0; 12)-25x2 + 8x - 1 < 0. 212P Составьте квадратное неравенство, решение которого записывается так: 1) -10<х<3; 4)х<1;х>3; 2) 0<х<6; 5)х?"2; 3) х<-4;х>12; б)х = 2. 21ЗР Составьте квадратное неравенство, не имеюпдее решений. 214* Какие абсциссы имеют точки графика функции 1 2 у = 2 ^ ’ расположенные: 1) над точками графика функции у = 4 - х\ 2) под точками графика функции у = 4 - х? Ответьте на вопрос: а) построив графики функций у = ^ х^ и у = 4 - х; б) решив неравенства ^ х2 > 4 - х или ^ х2 < 4 - х. А х: 215. 1) Укажите все значения аргумента, при которых функция // = - 6л: + 10 принимает значения, большие: а) чем 0,5; 1; 5; 7; б) чем значения функции у = -^x^‘ + 6л: - 3. 2) При каких значениях х значения функции у = -х^ - 4л: - 1 меньше: а) чем -6; 3; 6; б) чем значения функции у = -0,5л:^ - 2л: - 1? 216* Квадратный трехчлен ах^ + Ъх + с имеет корни л:^ = -4 и л:2 = 7. Верно ли неравенство ах^ + Ъх + с > 0 при л: = -8, если: 1) а > 0; 2) а < о? 217. * Квадратный трехчлен ах^ + Ьх + с имеет корни х-^ и л:2- Какой знак имеет коэффициент а, если л:^ = 3, л:2 = 8, и трехчлен принимает положительное значение: 1)прих = 7; 2)прид:=1,5? 218. Решите неравенство: 1) (5л: - 2)(3л: + 1) > 12л:2 + 7х + 1; 2) (4л: - 1)(л: + 7) < 2л;2 + 29л: - 3; 3) ^ 4)-т л2 - Зл: - 88 2 л2 4- 7л - 60 >0; <0; 5) 0 ^ >0; л2 - 2л - 63 6) 0 < 0. х'^ + 4л 4- 5 21Э9 Найдите все значения переменной, при которых имеет смысл выражение: 4) л/—Зд2 4- 8а - 7; а/-л2 4 л 4 20 . 1) 7л:2 - 8л + 15 ; 2) 78 - 7л - л2 3) 72д2 4- 5а + 8; \ф/ 5) 6) л-3 7-л2 - Л 4- 12 л 4- 2 Sis.'?- Г! 2,г 7п] 220* При каких значениях к неравенство: 1) 2лг^ - 6х + /г > 0; 2) кх^’ - 8д: - 20 < О а) верно при любом значении х\ б) верно при всех значениях д:, кроме одного; в) неверно ни при каком значении х1 221. Определите знак числа а, если известно, что квадрат- ный трехчлен ах^ + Ьх + с не имеет корней и его коэффициенты удовлетворяют условию а -f Ы- с < 0. 2) Определите знак числа с, если известно, что квадратный трехчлен ах^ Ъх + с не имеет корней и его коэффициенты удовлетворяют условию а - Ь + с < Q. 222* 1) Одна из сторон прямоугольника на 5 м больше, чем другая, а его плопдадь превышает 300 м^. Какую длину может иметь большая из сторон этого прямоугольника? 2) Один из катетов прямоугольного треугольника на 10 см меньше другого, а плопдадь треугольника не превышает 408 см^. Какую длину может иметь меньший из катетов? 223. 1) Велосипедист проехал 30 км из пункта А в пункт В с некоторой скоростью, сделав в пути остановку на 1 ч. Какой могла быть скорость велосипедиста, если известно, что, двигаясь без остановок со скоростью на 5 км/ч большей, он потратил на путь из А в Б и обратно больше времени, чем на проделанный им путь из А в В? 2) Турист проплыл на лодке 21 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на это меньше времени, чем затратил бы на преодоление 20 км по озеру. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, оцените скорость лодки в стоячей воде. 224.*Известно, что для функции f{x) = ах^ -f Ьл: -f с, где а^О, [/(-!)< 1, справедливы следуюпдие неравенства: /(1) ^ ~1» [/(3)<-4. Определите знак числа а. 1. 2. Контрольные вопросы и задания Что представляет собой график функции у = ах^ + Ьх + с (а ^ 0)? Какое наибольшее или наименьшее значение принимает квадратичная функция у = ах‘^ + Ьх + стл при каком значении аргумента? 3. 1) Постройте график функции у =-0,5х^ + 2х + 5. 2) Укажите числовые промежутки, на которых функция: а) убывает; б) возрастает. 3) Найдите наибольшее значение этой функции. 4. При каких значениях х имеет смысл выражение j3-5x- 2x^2 ▼ 15. Исследование квадратного трехчлена Многие задачи сводятся к нахождению корней уравнений, принадлежащих тем или иным числовым промежуткам. Так, при решении большинства текстовых задач смысл имеют только положительные корни. Этот пункт посвящен в основном поискам условий, при выполнении которых корни квадратных трехчленов или уравнений будут обладать теми или иными свойствами. Пример 1. При каких значениях а один корень уравнения 2х^ - 2(а - 1)х + - За - 10 = о больше 3, а другой меньше 3? Решение. Число 3 должно располагаться на координатной прямой между корнями квадратного трехчлена f(x) = 2х'^ - 2(а - 1)х + - За - 10. Поскольку старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, ветви соответствующей параболы направлены вверх, и она должна пересекать ось абсцисс слева и справа от точки X = 3 (рис. 59). При этом значение трехчлена в точке X = 3 должно быть отрицательным. Другими словами, число 3 бу- tv дет расположено между корнями трехчлена тогда и только тогда, когда /(3) < О, т. е. 2 • 32 - 2(а - 1) • 3 + _ зд _ 10 < 0. Решив это квадратное неравенство, найдем искомые значения а. - 9а + 14 < о, 2 < а < 7. Ответ: 2<а<7, Пример 2. Найти все значения а, при которых уравнение 2х - (а + 4)Jx - S + а -Н 10 = 0 имеет единственный корень. Решение. Обозначим Jx - S буквой z, тогда X - 3 = 2^ и X = 2^ + 3. Уравнение принимает вид 2(^2 + 3) - (а + 4)2 + а -Ь 10 = о, 2^2 - (а + 4)2 + а + 16 = 0. Заметим, что каждому неотрицательному значению 2 соответствует единственное значение х, а отрицательные значения 2 не удовлетворяют условию введения переменной z. Поэтому исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение, полученное нами с по-мош,ью подстановки, имеет единственный неотрицательный корень. Таким образом, ответ на вопрос задачи складывается из тех значений а, при которых уравнение 2г2 - (а + 4)2 + а -Ь 16 = 0 имеет: 1) единственный корень при условии, что он является неотрицательным числом; 2) корни разных знаков; 3) один корень, равный нулю при условии, что второй корень меньше нуля. Рассмотрим эти три случая. 1) Единственный корень квадратное уравнение имеет тогда, когда его дискриминант равен нулю. (а + 4)2 - 4 • 2(а -Ь 16) = 0, ц2 -t-16 -ь 8а - 8а - 8 • 16 = 0, а2 = 7.16, а^.2 = ±4л/7. ф. ”. 1 12n’«V X- При каждом из этих значений а корень уравнения равен . Это число положительно при а = 4^Jl и отрицательно а + 4 при а = -4J7 . Таким образом, условию первого случая соответствует только одно значение а, равное 4^/7 . 2) Когда корни имеют разные знаки, их произведение отрицательно. Поскольку старший коэффициент уравнения положителен, по формуле Виета имеем а -I- 16 < 0. Значит, а < -16. 3) Уравнение имеет корень, Xj = 0 при а + 16 = 0, а = —16. При этом значении а второй корень уравнения найдем по фор- -16 + 4 муле Виета: + jCg = ^ = -6. Ненулевой ко- рень уравнения отрицателен, что соответствует условию рассматриваемого случая. Объединим найденные значения а и запишем их в ответ. Ответ; а = 4л/7 , а <-16. Решить задачу часто помогает график квадратичной функции. Пример 3. Найти все значения а, при которых любое число из промежутка [1; 3] является решением неравенства -Ь Зал: - 2а > 0. Решение. Как и во многих задачах, связанных с квадратным трехчленом, удобно отдельно рассмотреть два случая: l)D<0;2)D>0. 1) Когда дискриминант отрицателен, все точки параболы f{x) = х^ + Зах - 2а расположены в верхней полуплоскости. Значит, все числа, и, в частности, числа отрезка [1; 3] являются решениями неравенства х^ н- Зах - 2а > 0. D = 9а^ -ь 8а = а(9а + 8), D <0: а(9а + 8) < 0, -§ 2) Когда дискриминант больше или равен нулю, одна из двух ветвей параболы должна располагаться над отрезком [1; 3] оси абсцисс (рис. 60). Из рисунка видно, что если вершина параболы расположена слева от этого отрезка, то значение трехчлена должно быть положительным при X = 1, а если справа, то должно быть положительным значение трехчлена при JC = 3. Xq<1 Хп > 3 Рис.60 Обозначив абсциссу вершины параболы буквой jCq, полу- чим 1/(1) > о или 1/(3) >0. Подставим в эти системы /(1) = 1 + За - 2а = 1 + а. -За /(3) = 3^ + 9а - 2а = 9 + 7а и Xq= : или 1 -Ь а > о 9 -Ь 7а > 0; а < -2, Остается объединить значения а, найденные нами при рассмотрении обоих случаев. Отметим их на координатной прямой (рис. 61). Теперь легко записать ответ. ■ fV,:.... 8 Ответ: а > -^ . Рис.61 Упражнения 225. При каких значениях с уравнение 5лг^ - Зл: -ь с = 0: 1) имеет единственный корень; 2) не имеет корней; 3) имеет два корня? 226. При каких значениях Ь уравнение х^ Ьх 4^ = 0: 1) имеет единственный корень; 2) не имеет корней; 3) имеет один корень, равный 1? д) в) ж) г) 3) Рис. 62 227. По графику функции у = /(л:), изображенному на рисунке 62, сформулируйте свойства, связанные с числом 2, которыми обладает квадратный трехчлен f{x) = ах^ -\-Ъх-\- с. 228. Имеет ли корни уравнение: 1) 816x2 - 4х - 23 = 0; 3) 14x2 - 497х + 479 = 0; 2) 311x2 - 821х - 431 = 0; 4) 613x2 + gi2x + 135 = 0? 229. ® 1) Докажите, что если число а принадлежит, а число Ь не принадлежит интервалу (с; d), то уравнение k{x — а)(х -Ь) + (х- с)(х - d) = о имеет корни при любом k. 2) Докажите, что при любых положительных а, Ь и с имеет корни уравнение а(х + Ь){х - с) + Ь(х + а)(х - с) + с(х -I- а)(х - ft) = 0. 230. При каких значениях а один корень уравнения: 1) х2 - 2х И- а = 0; 2) (а - 1)х2 - 2х -1- а = 0 больше а, а другой меньше а? 231® Найдите все значения а, при которых уравнение 2{а - 1) + 2а — 3 = о имеет два корня. 232. При каких значениях а уравнение (а - 1)х2 - (а + 1)х + -ь а = о имеет только один корень на интервале (0; 3)? 233. Найдите все значения а, при которых для всех х из промежутка [1; 3] верно неравенство х2 -I- ах - 7а < 0. Г2„ *П' т-ЛлгШФвЛ ж!.. ---- ^' Imaai ^ '. " ■> ■ 234. Сколько корней на интервале (1; 3) имеет уравнение - 2(а + 1)х + + 2а - 8 = О в зависимости от а? ИД Контрольные вопросы и задания 1. При выполнении какого условия корни трехчлена ах^ + Ьх + с лежат по разные стороны от числа 1, если а > 0; если а < 0? 2. При каких значениях а уравнение ах + Sjx +2 = 0 имеет единственный корень? 16. Графическое решение уравнений и их систем Вы научились строить графики уравнений k ах + by + с = о, у — у = ах^ + Ьх + с, являющиеся соответственно прямой, гиперболой и параболой. Дополним список знакомых графиков еще одной хорошо известной вам кривой — окружностью. Однако, если раньше мы выясняли, какой график имеет соответствующее уравнение, то здесь график у нас уже есть, а вот его уравнение нужно получить. Как известно, окружность представляет собой множество тех и только тех точек плоскости, которые находятся на одном и том же расстоянии от ее центра. В геометрии вместо слов «множество тех и только тех точек плоскости» обычно говорят «геометрическое место точек плоскости». Так или иначе, но речь в определении окружности идет о расстоянии между точками, поэтому сначала мы выясним, как найти расстояние между двумя точками координатной плоскости. Пусть даны точки А{х-^ \ у-^) и В{Х2\ у2) (рис. 63). Треугольник АСВ прямоугольный. Его катет АС равен разности ординат г/j - у2-> а катет ВС равен разности абсцисс Х2~ х^ точек А и В. Поскольку длина катета — число положительное, мы вычитаем из большей координаты меньшую. При другом (по сравнению с рис. 63) расположении точек А и В записанные разности координат могут поменять знак. Решить проблему знака позволяет знак модуля. Каким бы ни было взаимное *n" расположение точек A и Б, катеты соответствующего прямоугольного треугольника равны \х^ - JCgl и \i/i - У2\> По теореме Пифагора квадрат гипотенузы АВ равен сумме квадратов катетов. АВ'^ = \х^ - xj^ + \у^ - г/2р = {х^ - x^f -Ь (t/i - (/2)2. Отсюда найдем саму гипотенузу, равную искомому расстоянию между точками А и Б. л/(^1 - ^2)^ + {У\-У2)‘^’ Теперь можно перейти от окружности к ее уравнению. Пусть точка М{х\ у) — произвольная точка окружности с центром А(а; Ь) и радиусом г (рис. 64). Тогда МА = г. Применим формулу расстояния между двумя точками: л!{х - а)^ + (у - Ь)^ = г. Это уравнение задает окружность, однако его обычно упрощают, возводя в квадрат. Выполнив это возведение, получим: {х — а)^ (у — Ь)^ — г^. Координаты любой точки окружности удовлетворяют этому уравнению, а координаты других точек — нет. Когда центром окружности является начало координат, т. е. а = О и Ь = О, ее уравнение имеет более простой вид: х^ + у^ = г^. Умение строить графики уравнений, а иногда даже просто знание того, как они выглядят, помогает при решении систем уравнений с двумя переменными, особенно в тех случаях, когда достаточно получить приближенные решения или когда речь идет о числе решений. Напомним, что пара чисел, являющаяся решением системы, задает координаты общей точки, т. е. точки пересечения графиков уравнений системы. Пример 1. Решить графически систему уравнений у = - 2х - Ъу х^ у^ = 49. Решение. График первого уравнения системы — парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке (1; -6), а график второго— окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 7 (рис. 65). Графики имеют две обш;ие точки, их координаты являются решениями данной системы. Ответ: х^^ -2,6, у^ ~ 6,5; Xg ~ 4,4, у2 ~ 5,5. Заметим, что попытка решить данную систему способом подстановки, т. е. заменой во втором уравнении переменной у выражением х^ - 2х - Ь, приводит к уравнению четвертой степени, корни которого элементарными способами найти трудно. В следующем примере мы рассмотрим, как графики помогают решить уравнение с одной переменной. Пример 2. Решить кубическое уравнение - 2д:^ - 8д: - 12 = 0. Решение. Нуль не является корнем этого уравнения, поэтому, разделив обе части уравнения на х, получим уравне- 12 ние, равносильное первоначальному - 2х - 8 —— =0. Перенесем дробь в правую часть уравнения: х^-2х-8 = X Нужно найти все значения х, при которых левая и правая части этого равенства принимают одинаковые значения. Обозначая каждое из этих выражений буквой у, имеем: 12 у = х^-2х — 8иу= — . Получаем систему уравнений у = х^ - 2х - 8, График первого уравнения — парабола, а второго — гипербола (рис. 66). Графики имеют единственную общую точку, абсцисса которой х-^ приближенно равна 4,4. Ордината в данной задаче нас не интересует. Ответ: jcj ^ 4,4. 235. Запишите уравнение окружности, график которой изображен на рисунке 67. 236. Назовите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением: 1) + 1/2 = 16; 4) д:2-f-([/- 4)2 = 5; 2) (х - 3)2 + 1/2 = 25; 5) = 0,01; 3) (X + 1,5)2 + _ 2)2 = 9; б) (X + 2)2 + (у- 3,5)2 = б. 237. Запишите уравнение окружности с центром в начале координат, если известно, что она проходит через точку: 1)К(6; 12); 2)М(-1;-2). 238. Решите графически, а затем проверьте свой ответ, решив способом подстановки систему уравнений: х^ у2 = 25^ х + у = -1; х2 + у2 = 25^ ху = 12. 239. Решите графически систему уравнений: 1)- f ху = 20, \2х-у = г\ 3) 2)- \ху = -12, \2хЛ-у = Ъ; 4) г/ = д:2-н4. 2) х2 + у2 = 49- 3) 4) у = х‘‘^ - 6х + S, ху = 12; у = х^ + 4х - 6, ху = -6. Рис.67 0J 2* б) г) Рис.68 240. Составьте системы уравнений, графики которых изображены на рисунке 68, и запишите их решения. 241. Решите графически уравнение: 12 1)х^-2х+1 = ^; 3)х^-7х + 6 = 0; 2) + 2л: - 6 -1- ^ = 0; 4) лг^ -f 7л: + 8 = 0. 8 242? 1) Покажите, как могут располагаться графики уравнений системы: ^ + У^ = б) J у = ах^ л-Ьх + с\ \xy = k. 2) Сколько решений может иметь система? 243. Докажите, что уравнение: 1) (л: - 3)^ + (у + 2)2 = -1 не имеет решений; 2) (х - 3)2 + {у + 2)2 = о имеет единственное решение. т . £i 2h' Контрольные вопросы и задания 1. 2. В каких случаях можно применить графический способ решения системы двух уравнений с двумя переменными? 1) Как могут располагаться графики уравнений системы г/ = /гд: Н- /, л:2 + у2 == 2) Сколько решений может иметь эта система? 3. Решите графически систему \ „2 у = JC - 3, + у 2 = 6. ▼ Конические сечения 17. Парабола и гипербола как геометрические места точек Названия «парабола» и «гипербола» появились задолго до изобретения Декартом системы координат. Тогда эти кривые не могли рассматривать, как графики функций у = ах^- и у = -. В их определении, как и в определении окружности. использовалось понятие расстояния. Парабола Познакомимся с геометрическим определением параболы. Пусть на плоскости заданы прямая I и точка F, не лежащая на ней. Геометрическое место точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от точки F и прямой называется параболой с фокусом F и директрисой I. Покажем, как выбрать на плоскости систему координат, в которой это геометрическое место будет графиком функции у = ах^. Заметим сначала, что фокус параболы лежит на ее оси симметрии. Пусть М — точка параболы. Проведем через фокус F прямую т, перпендикулярную директрисе I. Точка Мр симметричная М относительно этой прямой, равноудалена ф. X Рис. 69 от фокуса и от директрисы (рис. 69), а значит, как и точка М, является точкой параболы. Следовательно, прямая т — ось симметрии параболы. Осью симметрии графика функции у = ах^’ является ось ординат. Естественно поэтому пустить ось ординат по прямой т. Тогда точка F будет иметь координаты (0; s), где s — некоторое число (рис. 70). Прямая /, перпендикулярная оси ординат, должна быть параллельна оси абсцисс. Пусть ее уравнение у = t, где t — некоторое число. Поскольку вершина параболы точка 0(0; 0) равноудалена от точки F и от прямой /, то она делит пополам перпендикуляр, опущенный из точки F на прямую I. А значит, S = -t. Возьмем теперь на параболе произвольную точку М(х; у). Тогда расстояние MF будет равно у = ах^ \ ^ S 1 У О п 1 ^ y=t t к 1 Рис.70 J{X - 0)2 -f- (^ - S)2 . Запишем расстояние МК от точки М до прямой I: МК = у + \t\ = y + S. Поскольку MF = МК по определению параболы, то = МК'^, а именно: Х^^{у- Sf = {у + S)2, х^ = {у + S)2 -{у- S)2, х^ = {уS - у + s){y + S + у - s), x^ = 2s*2y, x^ = 4sy. Отсюда у = ^ Обозначая ^ буквой а, получим у = ах^. Поскольку М — произвольная точка параболы, уравнению у = ах^ удовлетворяют все ее точки. Легко видеть, что координаты других точек плоскости этому уравнению не удовлетворяют. Значит, данное геометрическое место точек является графиком функции у = ах^. № .—>у 4 2.) Термин фокус, встретившийся в геометрическом определении параболы, имеет оптический смысл. 'ч. Всякий луч, ИСХОДЯШ.ИЙ из фокуса параболы, отражается от параболы в направлении, параллельном оси ординат. л Рис. 71 Это свойство параболы широко используется в технике. Например, автомобильные фары и прожектора конструируют в форме параболоида — поверхности, получаемой вращением параболы вокруг своей оси (рис. 71). Тогда лучи света от лампы, находящейся в фокусе параболоида, отражаясь от его зеркальной поверхности, выходят в виде пучка параллельных лучей. Лучи, падающие на параболическую поверхность, сходятся в ее фокусе, что применяется, например, в телевизионных спутниковых антеннах. Гипербола г Геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух заданных точек Fj и Fg этой плоскости постоянна по модулю, называется гиперболой с фокусами и F2. Обозначив модуль разности этих расстояний буквой С, получим для гиперболы, изображенной на рисунке 12, а: \MF^-MFj[ = C. а) ф/ W311 2n^ ^ График функции у = - является гиперболой с фокусами в точках Fj( л/2 ; V2 ) и i^2(“ ^/2 ; - л/2 ). Чтобы убедиться в этом, следует показать, что любая точка некоторой гиперболы с фокусами в точках и Tg принадлежит графику функции у = -, а любая точка графика X функции ^ принадлежит той же гиперболе. Точка Р(1; 1) (рис. 72, б), очевидно, принадлежит графику функции У ~ ^ - Найдем расстояния от точки Р до фокусов F^P= л/(л/2 - 1)^ + (72 - 1)2 ={Л - 1)72, FgP= 7(-Т2 - 1)^ + (-72 - 1)^ =(72 + 1)72. Разность расстояний от точки гиперболы до фокусов, которая по определению постоянна по модулю, равна: 72(72 -Ы)- 72(72 - 1) = 2 72. Рассмотрим теперь произвольную точку М{х\ г/), разность расстояний от которой до точек Pg и F^ тоже равна 2 Л : Ji-Л - xf + (-Л - yf - ^{Л - xf + (Л - yf =272. Перенесем из левой части второй корень в правую часть равенства и возведем обе части в квадрат: 7(72 + xf + (Л + yf = ^{Л - xf + {Л - yf +2Л 2 + х‘^ + 2х л + 2 у'^ + 2у Л = =^2 + х^-2хЛ +2+у^-2уЛ +8-ь + 4 72 7(72 - xf + (Л - yf . После приведения подобных членов и деления на 4 л/2 получим: х + у= J2 + V(V2 - х)^ + (л/2 - yf . Оставим в правой части уравнения только корень и снова возведем равенство в квадрат: X + у — л/2 = J{>j2 — х)^ + (л/2 — у)^ , х^ + у^ + 2 + 2ху - 2xj2 -2yj2 = = 2 + х^ -2xj2 + 2 Л- у^" - 2у 42 у 2ху = 2у ху = 1. Отсюда получаем у = - . Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки гиперболы. Повторение всех преобразований в обратном порядке докажет, что любая точка М(х; у) графика функции У=^ удалена от точек Fj и Fg на расстояния, разность которых равна 2 J2 . Гиперболы, как и параболы, обладают своим оптическим свойством (рис, 73). Г Луч света, выпущенный из одного фокуса, отразится от гиперболы-зеркала так, как будто он вышел из другого ее фокуса. Упражнения 244. Найдите директрису и фокус параболы, заданной на координатной плоскости уравнением у = х^, которую повернули вокруг начала координат: 1) на 180° по часовой стрелке; 2) на 90° по часовой стрелке; 3) на 90° против часовой стрелки; 4) ® на 45° по часовой стрелке. 245. Напишите уравнение параболы: 1) с фокусом в точке (О 2) с фокусом в точке (1 3) с фокусом в точке (О 4) с фокусом в точке (О 1) и директрисой у = 0; 0) и директрисой х = -3; -1) и директрисой у = -3; -1) и директрисой у = -7. 246. 1) Докажите, что параболой является кривая, заданная уравнением: а) = -Sx; б) у^ = ах + Ь (а 0); в) у^ + 4у = 2х - 6; г) \у\ = Jx. 2) Укажите координаты ее фокуса и уравнение ее директрисы. 247.® Постройте графики уравнений: 1) = W; 2) y=Jx; 3) Jy = Jx'^ - 1. 248.® Является ли параболой график функции у = х^ - 2\х\ + 1? Постройте этот график. 249. Найдите уравнения прямых с угловым коэффициентом, равным 2, касаюш,ихся параболы у = 10х^. 250. Найдите уравнения прямых, проходяш;их через точку (-2; 0) и касающихся параболы у = 4х^. 251 г Касательная к гиперболе у = - отсекает от первого ко- ординатного угла треугольник площадью 13,5, катеты которого относятся как 1:3. Найдите k и напишите уравнение этой касательной. 252. Найдите уравнения прямых с угловым коэффициентом, равным 2, касающихся гиперболы х^ - у^ = 1. 253. Найдите уравнения прямых, проходящих через точку (1; 0) и касающихся гиперболы у^ - х^ = 1. м Iv \ 2/г 7^. Контрольные вопросы и задания Что называется параболой? Что называется гиперболой? Для каких выражений f{x) график функции у = f{x) является параболой? Постройте и опишите график функции: 1)У = W’ 2) 1/= Jx. 18. Эллипс Окружность, параболу и гиперболу можно рассматривать не только как графики соответствующих уравнений или как геометрические места точек плоскости. Уже две с половиной тысячи лет назад математикам Древней Греции был известен еще один геометрический способ получения этих кривых. Правда, чтобы применить его, приходится «выйти» из плоскости в пространство и рассмотреть одно из основных стереометрических тел — прямой круговой конус. Слово «конус» в переводе с латыни означает «сосновая шишка». С прямым круговым конусом мы встречаемся каждый раз, вынимая карандаш из точилки, прямой круговой конус можно получить при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета (рис. 74, а). При таком вращении гипотенуза треугольника образует боковую поверхность конуса, поэтому ее называют образующей конуса. Если каждую из образующих а) в) ф. Рис. 75 Рис. 76 Рис.77 конуса дополнить до прямой, то получится коническая поверхность (рис. 74, б). Если пересечь конус плоскостью, параллельной его основанию, то она рассечет его на меньший конус и геометрическое тело, которое называется усеченным конусом (рис. 74, в). При пересечении поверхности конуса плоскостью, параллельной его основанию, в сечении получается окружность^ а если плоскость не будет параллельна основанию, получатся другие линии. Так, если повернуть плоскость, параллельную основанию конуса, уже на небольшой угол, то она будет пересекать поверхность конуса не по окружности, а по кривой, которую называют эллипсом (рис. 75). Именно по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца. На стереометрических чертежах окружности обычно изображаются с помощью эллипсов, как, например, окружность в основании конуса на рисунке 75. Можно сказать, что эллипс — это сжатая или растянутая окружность. Чем больше угол, на который мы поворачиваем секущую плоскость, тем более вытянутым становится эллипс. Как только плоскость сечения станет параллельной образующей конуса (рис. 76), линия пересечения превратится в хорошо вам известную параболу. Как вы знаете из физики, если бы на брошенный камень не действовала сила сопротивления воздуха, как, например, на Луне, он двигался бы по параболе. Заметим, что парабола получается только тогда, когда секущая плоскость параллельна образующей. При дальнейшем повороте плоскости получается другая знакомая вам кривая — гипербола (рис. 77). ш ^--у 5> п Кометы, залетающие в пределы Солнечной системы, иногда обладают настолько большой энергией, что силы притяжения Солнца не хватает на то, чтобы их удержать. Такие кометы движутся по гиперболическим траекториям. Гиперболу можно увидеть и дома: конус света от настольной лампы, падающий на стену, ограничен гиперболой или эллипсом. Названия «гипербола», «парабола» и «эллипс» были введены знаменитым древнегреческим математиком Аполлонием. В двух предыдущих пунктах мы видели, что окружность, парабола и гипербола могут быть заданы как геометрические места точек плоскости. Есть такое определение и у эллипса. Геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и Fg этой плоскости постоянна, называется эллипсом с фокусами Fj и Fg. Л Используя это определение, можно получить уравнение эллипса. Задача. Вывести уравнение эллипса с фокусами Fj(-1; 0) и F2( 1; 0) и суммой расстояний от них до любой точки М(х; у) эллипса, равной 4. Решение. MF^ + MFg = 4 (рис. 78): J(x + 1)2 -t- 1/2 -ь J(x - 1)^ + = 4. Освобождаемся от радикалов: J{x -ь 1)2 -ь 1/2 = 4 - J{x - 1)2 -I- i/2 ; {Х -t- 1)2 -f = = 164-(л:-1)2 ч-1/2- 8 лУ(л: - 1)2 4- ^2 ^ 4л: — 16 = -8 J{x - 1)2 -ь i/2 , Л’ - 4 = -2 J{x - 1)2 -f у2 ^ л:2 Ч- 16 - 8л: = 4л:2 Ч- 4 - 8л: Ч- 4i/2, Зл:2-Ь 4.^2- 12 = 0. Ответ: Зл:2 Ч- Ау^ -12 = 0. У эллипса, как у параболы и гиперболы, имеется свое оптическое свойство. Г Если поместить в один из фокусов эллиптического зеркала источник света, то после отражения луч попадет в другой фокус. Мы уже говорили, что планеты движутся по эллипсам. Остается добавить, что Солнце находится как раз в одном из их фокусов. Этот факт установил немецкий астроном и математик Иоганн Кепплер (1571—1630). Позже было доказано, что всякое тело, движупдееся в поле тяжести планеты, совершает свое движение по эллипсу, параболе или гиперболе. Таким образом, конические сечения вошли в арсенал астрономов и космонавтов. Упражнения 254. Какие геометрические фигуры могут получиться в сечении конической поверхности плоскостью? Как при этом должна располагаться секущая плоскость по отношению к конической поверхности? 255. Возьмите лист бумаги и воткните в него две кнопки на расстоянии 5 см друг от друга. Из нитки длиной примерно 20 см свяжите кольцо и набросьте его на кнопки. Оттягивая нитку карандашом, проведите на листе бумаги замкнутую кривую. Как называется полученная кривая? 256. Выведите уравнение гиперболы с фокусами jPj(-1; 0) и F2(1; 0) и разностью расстояний от них до любой точки М{х\ у) гиперболы, равной 1. 257. ® 1) Найдите уравнение эллипса с фокусами в точках (0; 3) и (0; -3), который проходит через точку (4; 0). 2) Найдите уравнение эллипса с фокусами в точках (-4; 0) и (4; 0), который проходит через точку (0; 4). 258. Существует ли на окружности, заданной уравнением {х - 2)2 + (г/ + 1)2 = 7, точка: 1) с абсциссой, равной 2; 2) с ординатой, равной -3? А 259. Существует ли на эллипсе, заданном уравнением \{х- 2)2 + 5 (*/ + 2)2 = 1, точка: 4 У 1) с абсциссой, равной 4; 2) с ординатой, равной -5? 1. 2. Контрольные вопросы и задания Что называется эллипсом? Изобразите эллипс, заданный уравнением — + =1. t.: -ГЛ Глава 3 КОРНИ n-й СТЕПЕНИ Ю § 7. Степенная функция 19. Функция у = дс-^ Мы уже неоднократно встречались со степенями, имеющими натуральные показатели, и использовали их свойства в преобразованиях целых и дробных выражений. В этом параграфе мы будем рассматривать функции вида у = х'^, где п — натуральное число. При д = 1 получаем линейную функцию у = х, а при п = 2 — простейшую квадратичную функцию у = х^. Со свойствами этих функций вы уже хорошо знакомы. Рассмотрим теперь функцию у = х^, аргумент х которой может принимать любые значения. Построим график этой функции. Найдем координаты некоторых точек графика и составим таблицу. X 0 ±0,5 ±0,8 ±1 =1,2 ±1,5 ±1,8 ±2 у = х^ 0 ±0,125 ±0,512 ±1 ±1,728 ±3,375 ±5,832 ±8 При составлении таблицы мы воспользовались свойством степени с нечетным показателем изменять знак при перемене знака основания. Отметим точки, координаты которых указаны в таблице, и соединим их плавной линией (рис. 79). Рассматривая получившийся график, мы можем сформулировать некоторые его свойства. Свойство 1. График расположен в I и III координатных четвертях и проходит через начало координат. Свойство 2. График симметричен относительно начала координат, т. е. каждой точке графика с координатами (л:; у) со- ответствует точка того же графика с координатами {-х; —у), симметричная ей относительно начала координат. Свойство 3. Точка графика, имеющая большую абсциссу, имеет и большую ординату. Последнее свойство графика можно сформулировать иначе: большему значению аргумента функции у = соответствует большее значение функции. А это значит, что функция у = х^ возрастает. График функции у = х^ можно использовать при решении кубических уравнений. Пример. Решить уравнение х^ — х"^ + Sx — 12 ^ О. Решение. Перенесем все члены, кроме х^, в правую часть х^ = х^ - Ъх + 12 и решим графически систему уравнений У = х^, у = х^ — Ъх 12. ф/ Графики уравнений системы (рис. 80) имеют единственную общую точку, абсцисса х которой приближенно равна 1,4. Значит, уравнение имеет единственный корень ~ 1,4. Ответ: х-.~ 1,4. Упражнения 260. Постройте график функции у = ответьте на вопросы. 1) В каких четвертях расположен график? 2) Имеет график центр или ось симметрии? 3) Возрастает или убывает функция? 261. По графику функции у = х^ (см. рис. 79) найдите: 1) значение функции в точке с абсциссой, равной: а)-2,1; б)-0,6; в)-1,8; 2) значение х, при котором значение функции равно: а)-6; б)-1,5; в)3. 262. Используя график функции у = х^, найдите: 1) объем куба с ребром 0,7 м; 1,4 м; 1,9 м; 2,2 м; 2) ребро куба, объем которого 0,4 м^; 2,5 м^; 4 м^; 10 м^. 263. Проходит ли график функции у = х^ через точку: 1)А(0,15; 0,003375); 2)Б(-7,5; -421,875)? 264. Точка К(а; с) принадлежит графику функции у = х^. Принадлежат ли этому графику точки L(-a; с), М(-а; -с)? 265. Не возводя в куб, расположите в порядке возрастания значения выражений: 1) (2,07)3, (-0,68)3, (-3,21)3, (14,3)3; 266Р Решите графически уравнение: 1) д:3 = 2; 2) д:3 = -3; 3) д:3 + 2х - 5 = 0; 4) д;3 + 0,5л:-Ь 7 = 0; 5) х^ - х^ = 4; 6) х^ + х^ = -18; 7) д:3 - + 5дг + 3 = 0; 8) д:3 - д:2 - д: - 2 = 0. If л. “ 267. К построению каких графиков сводится графическое решение уравнения = ах^ + Ьх + с? Сколько точек пересечения может быть у этих графиков? 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания Перечислите основные свойства графика функции у = х^. Сравните свойства графиков функций у = x^viy = х^. Решите графически уравнение х^ = 2х^ - 1. 20. Функция у = Равенство у = х'^, где п — натуральное число, задает степенную функцию, аргумент х которой может принимать любые значения. Основные свойства степенной функции и ее графика вытекают из свойств степеней с нечетным и четным натуральным показателем. Например, симметрия графика функции у = х^ относительно оси ординат следует из свойства степени с четным показателем, так как (—л:)'* = л:", где п — четное число. Симметрия графика функции у = х^ относительно начала координат — из свойства степени с нечетным показателем, так как (-х)” = -х", где п — нечетное число. Такими же свойствами, как функции у = х^ и у = л:^, обладают и другие функции вида у = х^. Схематический график функции у = x’^ при нечетном п изображен на рисунке 81, а при четном п — на рисунке 82. Сравним свойства степенных функций с нечетным и четным показателями. Рис. 82 ~Т' =sfi Показатель степени п — нечетный Показатель степени п — четный 1. Если JC < 0, то 1/ < 0 Если л: < 0, то [/ > 0 Если л: = 0, то и 1/ = 0. Если л: > 0, то у > 0 График функции расположен в I и III координатных четвертях и проходит через начало координат График функции расположен в I и II координатных четвертях и проходит через начало координат 2, Противоположным значениям аргумента х соответствуют: противоположные значения функции равные значения функции График функции симметричен относительно: начала координат оси ординат 3. При х>0 большему значению аргумента соответствует большее значение функции При JC ^ 0 большему значению аргумента соответствует: большее значение функции меньшее значение функции 4. Функция возрастает при всех значениях аргумента Функция возрастает при х>0. Функция убывает при д: < 0 Замечание, Свойством 2 могут обладать не только степенные функции. Так, противоположным значениям аргумента х соот- 0 ветствуют противоположные значения функций у = у = - Зл:. А значения функций у = |х|, у = х'^ - 2х^ + 1 при противоположных значениях аргумента х оказываются равными. Свойства функции изменять или сохранять свой знак при перемене знака аргумента получили в математике специальные названия. Функция у = f{x) называется нечетной, если для любого допустимого значения х fi-x) == -fix). Функция у = fix) называется четной, если для любого допустимого значения х fi-x) = fix). <6t Г П тС Пример. Доказать, что функция f{x) = является нечетной. Доказательство, Аргумент данной функции может принимать любые значения. Для каждого из них f{-x) = (-л:)^ - 3(-л:) = -х^ + Зд: = -{х^ - Зх) = -f{x), что и требовалось доказать. Свойства симметрии графиков четной и нечетной функций удобно использовать при их построении. При этом сначала строится часть графика в правой полуплоскости (для х > 0), а затем выполняется симметрия построенной части относительно оси ординат или относительно начала координат. На рисунке 83 изображен график четной функции у = \х\. При х> о он совпадает с графиком функции у = х^ а при д: < 0 — с графиком функции у = -х. На рисунке 84 изображен гра- 6 фик нечетной функции У ^ ■ Для вычисления степеней можно использовать инженерный калькулятор. Покажем, например, как вычислить 2,13'^ с помощью инженерного калькулятора компьютерного пакета Windows. Пуск ^ Программы — Стандартные ^ Калькулятор —>• Вид —» Инженерный. Программа вычислений выглядит так: 2,13х>7=. Рис. 83 ■ф/ / W3| |2n»«'’ г. Калькулятор rfiir Правка Ёид Справка ^ ■ Г 138.91027788401117^ f' Неж (• Dec С Oct С Вл ^ j f* Degrees ^ Rediens C Gretfients j И jr Inv Г Hyp j Backspace! C£ C , «•! «1 11 > 1 *1 7 1 8 1 3 ] / 1 Mod j And * . dm*| Exp| In 1 MR 1 4 1 S 1 8 1 " Ot Xot jj ЯП II хУ log 1 MS 1 J_iJ^ L*h Not 1 CO* 1 х-з| ri 1 M. 1 0 1 1 , 1 * \ - 1 1 1 1 1 1Л 1 pi 1 A I 8 1 C 1 0 j E F 1 Рис.85 После выполнения этой программы калькулятор выдаст значение степени: 2,13^ = 198,91027786401117 (рис. 85). ^ J Примечание. Тот же результат можно получить и простым умножением числа 2,13 на себя шесть раз подряд, которое легко выполнить и на арифметическом калькуляторе по программе: 2,13 * = = = = = =.□ Упражнения 268. В каких координатных четвертях расположен график функции: 1) у = х^; 3)y = -j7x^; 2) у = х^; 4) I/ = -х^? 269. Какие значения принимает функция у = х^ при: 1)х = --;л: = 3;х = 0,1;л: = -10; 2) х> l,jc<-l;-l <х < V 270. Какие значения принимает функция у = х'^ при: 1) X = X = А', X = X = -10; О 2)д:> 1;д:<-1;-1 <д:<1? 271. При каких значениях аргумента х функция у = х^ принимает значения: 1) у = 32;у = -243; у = 0,00001; 2) у>1;у< -1; -1 <у< 1? Л Ф, 272. Укажите значения аргумента х функции у = при которых: 1) t/ = 81; I/ = 0,0016; у = 625; 2) г/>1;г/<1;16<1/<81. 273РПри каком значении п график функции у = х'^ проходит через точку: 4)D(0,2; 0,04)? 1) А(7;343); 2) Б(-6; 1296); 274. Расположите в порядке возрастания значения функции у = /(х), где f{x) = х” и /г — нечетное натуральное число: 1) /(7), Л-9), ЛЗ); 2) Л0,5), Л~2,7), ДО). 275. Расположите в порядке возрастания значения функции у = Л^)» где Л^) = х" и /г — четное натуральное число: 1) ЛЗ), Л-5), Л2); 2) Л-0,9), Л-0,7), ЛО). 276. ® Можно ли определить, четным или нечетным нату- ральным числом является показатель степени п функции f{x) = X”, если: 1) Л-5) > Л-3); 4)Л5)>ЛЗ); 2) Л-5) < ЛЗ); 5) Л-5) > ЛЗ); 3) Л-5) < Л-3); 6) Л5) > Л-3)? 277. ^ Не вычисляя значений степеней, сравните: 1) 0,3'^ и 0,34; 3)# 0,6^ и 0,74; 2) 0,83 и 0,84; 4)ф 0,9^ и 0,84. 27вРРасположите в порядке возрастания: 1) (-0,5)7, (-0,5)4 и (-0,5)6; 2) (-0,7)10, (-0,7)9 и (-0,7)8. 279.* Используя свойства неравенств, докажите, что функция г/ = х": 1) возрастает при х > 0, если п — натуральное число; 2) убывает при х < 0, если п — четное натуральное число; 3) возрастает при х < 0, если п — нечетное натуральное число. 280РДокажите, что функция у = f{x)\ 1) является нечетной, если: а) fix) = х7- б) Л^) = хЗ -f 2х; в) Л^) = 6х - - ; X у/ ^ 2) является четной, если: •i"V2nW X а) f{x) = х^; б) fix) = jc** - 5х^ + 1; в) f(x) = 3-5 ; Х‘‘ 3)# не является ни четной, ни нечетной, если: а) fix) = х^ - х'^\ б) fix) = Злс^ - 5л: - 4. 281. Может ли квадратичная функция у = ах^ + Ъх + с: а) быть четной; б) быть нечетной? Утвердительный ответ проиллюстрируйте примером, отрицательный ответ обоснуйте. 282. Даны функции: 1) [/ = (л: + 5)(л:-5); 2) y = ix+ 1)(л: - 5); Z)y= л/л:^ - 1 ; А)у = х4х\ ^)У 6)t/ = ;с2 + 1’ л:^ - 1 + 1 Какие из данных функций являются: а) нечетными; б) четными; в) не являются ни четными, ни нечетными? 283.® Постройте график функции: l)y = \xf; о\ ® 3)у = х\х\; 4) у = х^ - 4\х\; 5) “ у = \х^~ 4х\. 284. ®Как из графика функции у = х^ получить график функ- ции: \)у = -х'^; З)y = x'^ + U 2)^ = 0,1х”; 4) ^ = 2х" - 3? 285. Докажите, что не имеет решений уравнение: 1) -Ь Зх - 4; 2) -х'^ = х^ - х + 3. 1. Контрольные вопросы и задания Сравните свойства функций у = х" при четном и при нечетном п. Какие точки принадлежат всем графикам функций у = X"? V©/ 2. Сравните значения функции у = х" при х = -5,5 и при jc = 4, если: 1) п— нечетное натуральное число; 2) л— четное натуральное число. 3. Какие функции называются нечетными, четными? Приведите примеры: 1) нечетной функции; 2) четной функции; 3) функции, которая не является ни четной, ни нечетной. Ю § 8. Корень rt-й степени 21. Понятие корня п-\л степени По графику функции г/ = дг" легко найти число, л-я степень которого известна. Так, например, по графику функции у = для положительного числа а можно найти два числа, квадраты которых равны а (рис. 86). Эти числа, являющиеся корнями квадратного уравнения = а, называют квадратными корнями из а. Аналогично по графику функции у = х^ для любого числа а можно найти такое число Ь, что = а (рис. 87). Это число является корнем уравнения = а, и его называют кубическим корнем из а или корнем третьей степени из а. Г Корнем л-й степени из а называется число, л-я степень которого равна а. По этому определению корнем пятой степени из числа -32 является число -2, так как (-2)^ = -32, а корнями четвертой степени из числа 16 являются противоположные числа: 2 и -2, так как 2'* = 16 и (-2)4= 16. •'©у шт C-5 Рис.88 При любом a прямая у = a имеет с графиком функции у = х", где п — нечетное натуральное число, отличное от 1, единственную общую точку (рис. 88). Абсцисса этой точки является корнем п-тл степени из числа а. Значит, существует единственный корень данной нечетной степени из числа а. Его обозначают ija (читается: «корень энной степени из а»). При четном натуральном п график функции у х’^ целиком расположен в верхней полуплоскости, значит, он имеет общие точки с прямой у = а только при неотрицательных а (рис. 89). Абсциссы этих точек — корни я-й степени из а. Один из этих корней положителен, его обозначают 'уа , другой корень — противоположное ему число, т. е. -'i/a. Корень четной степени из О равен О, «Уо =0. Находя абсциссы точек пересечения графиков функций у = х'^ и у = а, мы графически решали уравнение jc"= а. Для записи корней этого уравнения использовался знак радикала (см. рис. 88, 89). Слово «радикал» происходит от латинского слова radix — «корень». В записи '\fa число п называют показателем степени корня, а называют подкоренным числом или подкоренным выражением. При записи квадратных корней показатель степени корня не указывают. — Запись ija используется для обозначения корпя нечетной степени из любого числа и для обозначения неотрицательного корня четной степени из неотрицательного числа. :ч <6t Так, V-64 = -4, = 2, = 3, a, например, корень V-16 не существует. Г" Число Va » где а > О, называется арифметическим корнем п-й степени из а. Л Как мы уже говорили, отрицательный корень четной степени с помощью знака «минус» можно выразить через арифметический корень. Так, отрицательный корень уравнения = 11 равен - Vll • Можно выразить через арифметический корень и корень нечетной степени из отрицательного числа: =-V64 =-4. Это следует, например, из симметрии точек А и Aj графика функции у = х'^ при нечетном п относительно начала координат (рис. 90). Возможность выразить любой корень /г-й степени через соответствующий арифметический корень привела к тому, что в математике в основном стали рассматривать арифметические корни. В 8 классе было доказано, что арифметический квадратный корень из натурального числа является или натуральным, или иррациональным числом. Это остается спргшедливым и для корней ц-й степени. ■ Инженерный калькулятор, о котором мы упоминали в предыдущем пункте в связи с проблемой вычисления степеней, можно использовать и для извлечения арифметических корней я-й степени. Так, например, выглядит программа вычисления 1589 Inv хУ7=. ш .я— ‘ « "4~. п п ~ 3- 1 ^уф' Калькулятор Правка Ёид ^правка Г0П. д, ‘ 2.8661796877399980434652831141381; Hex Dec Ой Bin Depees Г' Radar» Gradients ОНур : Г г-е| 7 l.-;l dms Exp 171 sin x'y 1 ,'°’l cos . ,-3 1 "1 tan *'•2- Lid Backspace СЕ 7 Mod And 4 1 5 И ' Or j Xor j II 1 1 2 j 3 1 • I Lsh 1 Nd D >л | , 1 . 1 . Int ■74" 1 в с D ( Е 1 F Рис.91 После выполнения этой программы калькулятор покажет очень точное, хотя и все равно приближенное значение корня (рис. 91). V1589 ~ 2,8661796877399980434652831141381.□ По аналогии с числами алгебраические выражения называют рациональными и иррациональными (т. е. нерациональными). Рациональные выражения состоят из целых выражений (многочленов) и дробных выражений, в записи которых есть деление на выражение с переменной. В иррациональных выражениях переменная встречается под знаком радикала. Пример. Решить иррациональное уравнение +19 = л: -Ь 1. Решение. Возведем обе части уравнения в третью степень и решим полученное уравнение. хЗ + 19 = + Зд:2 + Зд: + 1, Зд:2 + Зд: - 18 = 0, + X - 6 = о, х^ = -3, Х2 = 2. Ответ: -3; 2. Упражнения 9т: 286. Верно ли, что: 1) кубический корень из числа восемь равен двум; 04 1 „ 1 2) число ^ является корнем третьей степени из О 27 ’ 3) число -0,1 является корнем шестой степени из числа 0,000001; 4) число -10 является корнем пятой степени из числа 100 000; 5) корень четвертой степени из числа шестнадцать равен двум? 287. Вычислите: 1) 4) 5^0; a/iOOO 2)-V0,0016; 5) 3) ‘“«л; 6)-V^; 9)1Й- 288. 1)С помопдью графика функции у = (см. рис. 79) найдите приближенные значения кубических корней из чисел: а) 6; б) -8; в) 2,6; г) -5,1. 2)* Вычислите кубические корни из данных чисел с помощью микрокалькулятора. 289. Имеет ли смысл выражение: 4) V=8; 1) VITO; 2) Vl6; 7)0 ik-Л ; 3) V^; 5) V^; 6) 5/^; 8)0 '?/5 -3j2 ? 290. Выразите через арифметические корни те из корней, которые не являются арифметическими: 1) ; 2) ; 3)0 Vl - 73 ; 4)0 ^3 - Л • 291. При каких значениях х имеет смысл выражение: 1) ^Jx; 3) 4) 12/-5; 5) ^i/2x - 5 ; 7)0 i/25 - х^ ; 6) V3 - 6х ; 8)0 У4х^ - 1; м 9)^ - л: - 90 ; 10)0 ^ij20x-x^-96 7 292. 293 294. Между какими целыми числами заключено значение выражения: 1)л/о;9; 2)V9; 3) ; 4) VlOOO ? Решите уравнение: 1) х^ = 7; 5)13jc9-5 = 0; 8) х^ =-1; 2) х^ = -21; 6)0Д25-д:3 = 0; 9)xioo = 0; 3) 3x^ = 5; 7)х10 = -1; 10)д:^оо = 1. 4) 7x^=1; Решите иррациональное уравнение: 1) = |; 2) V5 = 1; 6) i/x + 5 = 4\[х ; 7) 0 \1х^ + 17 = 3; 8) 0 + 7 = 2; 9) 0 Ух^ + 4х-50 = 3; 10) 0 3j^2 + 14^ _ 10 = _4 295 296. 3) М2х + 1 =0,2; 4) 372 - 5х =-0,6; 5) 72д: - 3 = -2; * Решите уравнение: 1) У2х^ -Зх-А = УЗх^ + х-9 ; 2) ®721л:2+ 13л:-41 = У23х^ - 12л: - 18 . При каких значениях переменной не имеет смысла выражение: 1) 2) 1 Vi-2 5 3) 4) Vi i^’ Vjc + 3 . 9 - л:^ ’ 297. Vi + 3 Найдите значение выражения: 1) л/о^^Г^ при а = 0,3, fc> = 0,4; 5) 6) Vx2 - 25 . д: + 8 ’ ^У49 - , X - 5 2) Va^ - при а = 10, Ь = 6; с 3) Vl7 + с2 при с = 8; 4) ---Vi при с = 0,0001, d = 0,008. 298.® Решите уравнение: 1) V^:- 2 (21д:2 - Ых - 35) = 0; 2) V2 - л: (21л:2 - 14л: - 35) = 0; 3) ^J2x - 6 (7д:2 - 21л: - 28) = 0; 4) М4.-Х (7л:2 - 21л: - 28) = 0. Рис.92 299. Наиболее экономичная скорость хода судна V выражается по формуле 2kv^ = а, где k — коэффициент пропорциональности, а а — стоимость 1 км пути. Выразите скорость судна из формулы. 300* Объем шара вычисляют по формуле Р = ^ nR^, где О V— объем шара, R — его радиус (рис. 92). Найдите радиус шара, если его объем равен: 1)2240 см3; 2) 552 дм^; 3) 0,613 м^; 4) 10 см^. Ид Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение корня п-й степени из числа. 2. 1) Что означает запись 'ija ? 2) Что такое арифметический корень п-й степени из числа а? 3) Можно ли выразить неарифметический корень п-й степени через арифметический корень той же степени? Рассмотрите случай четного и случай нечетного п. 3. Найдите: 1) ; 2) V0,0625 . 22. Функция у = \Jx \л ее график Для выяснения свойств арифметических корней удобно использовать график функции у = ifx. Этот график можно получить из уже знакомого вам графика функции у = х". Пример. Доказать, что графики функций у = 'l/x и у = х" при неотрицательных значениях аргумента х симметричны друг другу относительно прямой у = х — биссектрисы I и III координатных углов. —- Доказательство. Пусть точка М(а; Ь) принадлежит графику функции у = тогда Ь = а". По определению корня п-й степени а = ^Jb. Это значит, что точка Nib; а) принадлежит графику функции у = 'ijx . Точки М{а; Ь) и N{b; а) симметричны относительно прямой у = X (рис. 93). Действительно, прямая у = х проходит через противоположные вершины квадрата с диагональю MN и, следовательно, является его осью симметрии. Аналогично можно показать, что любой точке графика функции у = 'ijx соответствует симметричная ей относительно прямой у ^ X точка графика функции у = х’^. На рисунке 94 схематически изображены графики функций у = х'’ и у = '\[х при неотрицательных значениях аргумента X. Операция извлечения корня является обратной по отношению к операции возведения в степень. Извлечение корня после возведения в степень возвраш;ает нас обратно к числу, которое возводилось в степень^. В свою очередь, возведение в степень обратно извлечению корня, поэтому эти две операции называют взаимно обратными. Мы уже встречались с такой ситуацией, например, при умножении и делении на одно и то же число. Взаимно обратными называют и функции у = х'^ ну = 'ifx . ^ Этим объясняется обозначение Inv на инженерном калькуляторе, которое является сокращением английского слова inverse — «обратный». # ^Tl, C Функции, графики которых симметричны относительно прямой у = X, называются взаимно обратными. Сравнивая графики, изображенные на рисунке 94, можно сформулировать некоторые основные свойства функции у = "Jx при л: > 0. Свойство 1. Функция возрастает, так как точка графика с большей абсциссой имеет большую ординату. Свойство 2. График функции проходит через точки с координатами (0; 0) и (1; 1); если 0 < д: < 1, то 0 < < 1, а если д: > 1, то '\[х > 1. Свойство 3. Функция у = ^Jx может принять любое неотрицательное значение. Это следует из симметрии графиков функций у = ifx и I/ = д:". На рисунке 95 изображены графики функций у = ^Jx при х> о для п, равных 2, 3 и 4. Ц Замечание. На интервале (0; 1) выше расположен график той из функций у = ’ijx, у которой показатель степени корня больше, а на промежутке (1; -1-оо) выше расположен график той из функций у = ifx , у которой показатель степени корня меньше. Упражнения 301. Принадлежит ли графику функции у = ^Jx точка: 1)А(3,375; 1,5); 2)В(-0,125; -0,5); 3)С(-343; -7)? •Шг" ж> 302.® Дана функция у = 'ifx. Найдите п, если график функции проходит через точку: 1) А(2187;3); 3)С(625;5); 2) Б(-1024; -4); 4) Б(-0,00032; -0,2). ЗОЗРДокажите, что функция: 1) у = \[х нечетная; 2) у = \[х не является ни нечетной, ни четной. 304. 1) Постройте график функции у = \[х на промежутке -8<д:<8. 2) Постройте график функции у = \/х на промежутке 0< 16. 305. Сравните значения выражений: 1) V5 и V6; 4) 0 и VO^ ; 04 /4 /5 " Уд' 5) л/б и V5 ; 3)-V^l и-^З^; 6) и ®7о^8 306® Можно ли утверждать, что п> т, если VoT? > ? 307. Сколько решений имеет уравнение: 1) х= \[х ; 2) = \[х ; 3) = \[х ; 4) \[х = \[х ? 308. Решите неравенство: 1) V^>1; 3)V^<0; 5)V^<-1; 2) Мх<2\ 4)®7х<0; 6)V^>-1. 309. Решите графически уравнение: \) Jx — х^ = 2)# х'^ Л- Jx -2 = 0. Контрольные вопросы и задания 1. Перечислите свойства функции у = 'l/x . 2. Сравните значения функции: 1) и №2 ; 2) V2 и V2 3. Решите графически уравнение ^Jx = х. ■'\Фл / ; Л n_ i \^i ^x 23. Свойства арифметических корней Выполняя преобразования с квадратными корнями из неотрицательных чисел, вы пользовались тем, что корень из произведения равен произведению корней = Ja • Jb , корень ^ [а Ja из частного равен частному квадратных корней /г = -р > Vo Jb а корень из степени равен степени корня JaJ = (л/а )". Аналогичными свойствами обладают и арифметические корни н-й степени. Свойство 1. ^Jab = 'Ja "Jb . Свойство 2. лё = — , b 9^ 0. Свойство 3. =("л/а)'"- По определению арифметического корня л-й степени для любого неотрицательного числа а имеем CJa)" = а. Следовательно, чтобы убедиться в том, что верно равенство ifx = у, где ijx — арифметический корень, нужно проверить, что выполняются два условия: 1) у > 0; 2) у'^ = х. Пример 1. Доказать, что ч/аЬ = 'Ja 'Jb. Доказательство. (Т) Значение произведения в правой части равенства неотрицательно, так как оба множителя являются арифметическими корнями. Возведем правую часть равенства в п-ю степень: (,'Ja 'Jb Y = i'Ja Y{"Jb Y = ab. Оба условия выполняются, значит, равенство 'Jab = = 'Ja 'Jb верно, что и требовалось доказать. Свойства арифметических корней находят применение в преобразованиях иррациональных выражений. Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении Решение. VSa^ = V(8a^)a2 = \JSa^ • = V(2a)^ • = = 2a • • Ответ: 2a • . Обычно решения не оформляют так подробно, а стараются выполнить некоторые преобразования в уме. Пример 3. Упростить выражение (— Va - 2 Va ). Решение. Раскроем скобки и приведем подобные. - 2^Jax^ - \[х^ + 2^Jax^ = \[а^. Ответ: . Пример 4. Сравнить 2^5 и | ^300 Решение. Внесем множители под знаки корней. 2 V5 = • V5 = = ViO; \ = ?У37,5 . Функция у = возрастает, т. е. большему подкоренному числу соответствует большее значение корня: V40 > V3^. Ответ: 2V5 > ^ V300. В некоторых выражениях могут одновременно оказаться корни разных степеней. Для преобразований таких выражений используются следуюш;ие два свойства арифметических корней. \Ф/ ~ 4 l 5 ^ rV о - О '^/7* Свойство 4. "'Va = 'xl'^Ja . Свойство 5. = 'ija^ . Заметим, что если показатель степени подкоренного выражения делится на показатель степени корня, то свойство 5 записывается так: ^Ja 'К = п П 21 Например, = 5 = 5^ = 125. В случае, когда т не делится на п, с помощью равенства а " = определяется степень с дробным показателем. Г Для любого положительного основания а т и рационального показателя степени — п а п = niQ^m Рассмотрим примеры использования свойств 4 и 5. Пример 5. Упростить выражение • Уа . Решение. Внесем а^ под знак кубического корня: "^Ja^ • Уа = . По свойству 4 получим = ’^‘Уа^ и, наконец, по свой- ству 5 сократим показатели степени корня и подкоренного выражения = Уа . Ответ: Уа. Пример 6. Сравнить У2 и V3 Решение. Применим свойство 5, чтобы привести данные корни к одному и тому же показателю степени. Наимень- ш шим из таких показателей является число 35 — наименьшее обш,ее кратное показателей корней. ■V2 = 1Д = 7-5^ = 35^^^ Большему подкоренному числу соответствует большее значение корня, значит, Ответ: V2 < V3 . В иррациональных выражениях некоторые из корней удобно рассматривать как квадраты или кубы. Это дает возможность использовать формулы сокраш,енного умножения, а сами преобразования выполняются так же, как знакомые вам преобразования рациональных выражений. Пример 7. Найти значение выражения а + Ь а - + УаЬ^ при а = 1,5, Ь = 40,5. Решение. Сначала попытаемся упростить данное выражение. Вынесем в знаменателе дроби общий множитель , который можно выделить в каждом из членов знаменателя: а - ^Ja^b + = = — \Ja • \fab Ч- \fa • = = - \fab + )• В скобке оказалось выражение, в котором легко увидеть неполный квадрат разности ^Ja и \[Ь . Тогда числитель дроби естественно рассмотреть как сумму кубов этих же корней: а + Ъ = {\[а + {\jb )^. Применяя формулу суммы кубов и со- кращая дробь, получим: _____а + Ь _ (4ja + \fb){\fa^ - ^Jab + _ Va + Vb _ a — ^Ja^b - УаЬ'^ - УаЬ + Теперь подставим данные значения а и Ь: п 1 + = 1 + =1 + 3 = 4. Ответ: 4. Пример 8. Решить иррациональное уравнение 373л: + 4 - УЗх + 4 = 2. Решение. Выражение Зл: + 4 может принимать только неотрицательные значения, поэтому по свойству 5 можно за- менить кубический корень V3^c + 4 корнем шестой степени ®7(Зл: + 4)2. Обозначим УЗх + 4 буквой z. Поскольку V(3x 4- 4)2 = = (V3jc + 4 )2, данное уравнение примет вид 2:2 - z - 2 = 0. условию замены переменной z может принимать только неотрицательные значения, поэтому нам нужен только неотрицательный корень полученного квадратного уравнения — число 2. Итак, г = 2. Возвращаясь к переменной х, получим: ^J3x -Ь 4 = 2. По определению корня шестой степени Зл: Ч- 4 = 64. Отсюда X = 20. Ответ: 20. Упражнения 310.1) Вычислите: а) 749-0,16; г) 7б,4 • 14,4 ; ж) 7444 7Ш’ б) 71,6-12,1 ; д) ./2gj; 3) 1оо7(-о,1)‘. ’ е) TlO • 740 ; 2) Запишите свойства арифметических квадратных корней, которыми вы воспользовались для вычислений. 3) Запишите аналогичные свойства для корней п-й степени. Ф. 311. Вычислите: 1) 378-27; 2) 37125-64; 5) V125-405; 6) V32 - 648 ; 9) 37^ . 3710 ; 1 пл . 3) 3754 - 4 ; 4) 37250 - 32 ; 7) 3722.3 - 372 - 32 ; 8) V32 - 2 - V3 - 23 ; ... [27 т. Vl25 * У5 ’ 12) ^'1 = ^ • 312^ Найдите значение выражения: 1) 3^7 - - 377 + 7^ ; 2) Vs - 2Тб - Vs + 2Тб ; 3) VT^ - 372 - VT^ + 372; 4) 37573 - 7П • VsTs + 7П. 313. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) 3774,0^0; 4)V^; 2) Vfe9,6 > 0; 3) 37^; 5) V250^:i® - , X > О, ^ > 0; 6) з7з2о^5Тр , а > О, 6 > 0. 314. Внесите множитель под знак корня: 1)2V2; 2)-31/5; 3)iV§; 4)-iV3. 315. Сравните значения выражений: 1)237з и 37^; 2 3) i 37^ и 373 ; 2)3V2 h2V10; 4) I 379 и 377:5 Представьте в виде корня с меньшим показателем: 1) V34; 5) ; 9) V64^; 2) 6) ; 10) 12716a ; 3)1/4; 7) 1374^ ; 11)* il{2-j5f ; 4)V^; 8) 3078^; 12)« V(276 -5)3 А Ч I -i. ^Tl- —j 317. Упростите выражение, считая, что переменные прини- мают только положительные значения: 1) l/Та; 3) l/VTe; 5) ^Jaja; 2) ^Я/а; 4) ФД7; 6) 1/ь75; 318. Сравните значения выражений: 1) V5 , V8 и 73 ; 3) 72-V2 и ^2 • V2 ; 2) V5 , V2 и V3 ; 4) Vs • 72 и 72*1/8 . 319. Представьте в виде корня: 5) ГГ Vl2’ 6) 1/^ 3) VT/5 : 1^3 ; 4) ; 75 ’ 7Ш. V6 ’ 7) 0 12^^ . . Vo,008 ; 8) 0 VO^ : • l/IO. 320P Считая, что переменные принимают только положительные значения, упростите выражение: 1V 1аЛ /о® Ф ■ ib^o ■’ р-ч 1 /4а2 ®' а У~Г ■ JT ’ 04 а- , ;а“ , 2) ».Ь : : 6) 5i 04 /9л:2 3) 4/---• 3 ; V у n3x .4 /а2& 7) • 4J3JI; 8) Jx • 1/^ : л/х2 • \[х 321. Сократите дробь: - ч 1/^ + 41/а -I- 16 . ^ а - 64 ’ 2) Ь + 8 1/Р - 21/6 + 4 ’ 3) 4) 7с - 75 . - 6/5 ’ 1/с + d 1/52 - VZ-1/5 + 3752 — ~^rL 5 322. Упростите выражение: !2nW’ ^ JL Л " 3) ' 4) ' Г Уа зУа-1>| а + 1 X - 1 . ( ^ -|- ^ У^- Г У yj^ 4- У^ V л: - 1 3J^ _ 1, ^ 4Л1аЬ Ч/а + УВ Г \ _ аУа + b^Ja ^ У^ - у^. U + fe з/^_з^ + з^ . Уа + \fb (^49 У^ + 3 ^ c4jc -1- 27Ус 1 40-У^ U + 27 3j^2_s^Jc + 9 ' 16 - Ус2 4 + Ус 323. Исключите иррациональность в знаменателе, т. е. запишите без корней в знаменателе дроби: 2 1) 2) 3) 4) Ja + 1 - Ja — \ 5 1 +Vi 3 i/7 - J2 4 V6 - 1/2 324. Найдите значение выражения: а 2а -ь 16 1) 2) Va - 2 V^ - 4 О при а = 27; yj^ - у^ I/• yjc^ + JC • У^ I/• yjc^ - л: • У^ при л: = 0,05, у - 0,4. 325. Вводя новую переменную, решите иррациональное уравнение: 1) X - Jx = 30; 2) \fx -Ь л/i = 2; 3) \fx + 2У^ = 3; 4) 1/2 - л: -Н 20 = л/2 - X . 326.“^ Вычислите: 1) Vl - J2 • ®7з + 2j2; 2) ^9/7 + 4^3 • 9/V3 - 2 Контрольные вопросы и задания Докажите, что для арифметических корней верно равенство „/£ = где а > О, Ь > 0. 4ь пГн 2. 3. Вычислите JI • ^ • 9/^ Сравните и 2 V2 . ПРОГРЕССИИ О § 9. Числовые последовательности 24. Последовательности и функции В математике и в практической деятельности часто встречаются серии чисел. Например, отметки ученика по математике в классном журнале или записанные лаборантом результаты серии измерений. Выписывая последовательно натуральные числа, начиная с 1, мы получим последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... . Многоточие в этом примере говорит о том, что последовательность натуральных чисел бесконечна. Последовательность же отметок в журнале, как и последовательность результатов измерений — примеры конечных последовательностей. С Числовая последовательность — это расположенные в определенном порядке числа. 3 Каждое из таких чисел называют членом последовательности, и каждый член последовательности имеет в ней свой порядковый номер. Так, в последовательности квадратов первых десяти натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 шестой член равен 36, а число 81 является девятым членом. Член последовательности с номером п называют ее энным членом и обозначают символом х^. При этом, конечно, вместо X может быть использована любая другая буква. В рассмотренной выше последовательности натуральных чисел каждый член равен своему номеру. С помощью обозначения п-го члена это можно записать так: у^ = п. Последовательность квадратов первых десяти натуральных чисел тоже легко задать формулой п-то члена = n^■. Однако здесь придется дополнительно указать, что натуральное число п не больше 10. Пример 1. Задать формулой п-го члена бесконечную по- 13 5 7 следовательность т , ^ ^ 4 16 36 64 Решение. Числители дробей составляют последовательность нечетных натуральных чисел, формула п-го члена которой = 2п — 1, а знаменатели — последовательность квадратов четных натуральных чисел = (2п)^, значит, п-й член этой последовательности выражается дробью 2п - 1 ^ _ 2л - 1 " Ь„ (2л) Ответ: = (2л)^ Запись с многоточием представляет собой один из способов задания бесконечной последовательности — перечислением элементов. При этом до многоточия указывают столько членов последовательности, сколько нужно, чтобы стало понятно, какие именно числа следуют за ними. Однако то, что понятно одним, не всегда понятно другим. Поэтому основным способом задания последовательности является аналитический, т. е. способ задания последовательности с помощью формулы п-го (общего) члена. Такой способ задания последовательности аналогичен привычной форме задания функции. Так, формула п-го члена последовательности z/„= 2п -Ь 1 задает линейную функцию у = 2х 1, определенную на множестве натуральных чисел. Поскольку последовательности являются функциями натурального аргумента, то можно говорить о свойствах последовательностей, как о свойствах обычных функций. Правда, формулируются эти свойства несколько иначе. Так, возрастающей называют последовательность, у которой чем больше номер члена, тем больше сам член. Возрастающую и убывающую последовательности можно определить и еще проще. Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член, кроме первого, больше предыдущего. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, кроме первого, меньще предыдущего '/1+1 < X. Пример 2. Возрастающей или убывающей является по- Jn следовательностьРп^ Решение. Для ответа на этот вопрос нужно сравнить (л1 + 1)-й и л-й члены этой последовательности: Рп + 1 _ Jn + 1 _ Jn ^Рп= — П + 1 ‘ “ п Рассмотрим разность этих членов: Jn + 1 Jn 1 1 Jn - Jn + 1 Pn^\-Pn = ” 1 ^ Jn + \ Jn Jn + 1 • Jn Числитель дроби отрицателен, так как Jn < Jn + 1. Знаменатель дроби положителен. Значит, Рп + 1-Рп<^‘ Отсюда Р„ + i < Р„. Ответ: данная последовательность убывающая. Заметим, что последовательность может не быть ни убывающей, ни возрастающей, как, например, последовательность 1, 2, 1, 2, 1, 2. Упражнения 327. 1) Выпишите в порядке возрастания все двузначные числа, кратные 9. 2) Укажите: а) число членов; б) пятый член; в) предпоследний член последовательности. 328. 1) Выпишите в порядке возрастания все двузначные числа, кратные 13. 2) Укажите: а) число членов; б) пятый член; в) предпоследний член последовательности. 329. 1) Выпишите в порядке убывания все двузначные числа, дающие при делении на 7 в остатке 1. 2) Укажите: а) номер последнего члена полученной последовательности; б) член последовательности, следующий за пятым; в) член последовательности, предшествующий четвертому. Ш 330. 1) Выпишите в порядке убывания все двузначные числа, даюш;ие при делении на 11 в остатке 2. 2) Укажите: а) номер последнего члена полученной последовательности; б) член последовательности, следую-щ;ий за пятым; в) член последовательности, предшествующий четвертому. 331. 1) Выпишите возрастающую последовательность всех трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 24. 2) Укажите: а) число членов последовательности; б) номера членов последовательности, кратных 6; в) номера соседних членов последовательности, разность которых наибольшая. 3) Есть ли среди членов последовательности простые числа, квадраты рациональных чисел? 332. 1) Выпишите возрастающую последовательность всех трехзначных чисел, сумма цифр которых меньше 4. 2) Укажите: а) число членов последовательности; б) номера членов последовательности, кратных 6; в) номера соседних членов последовательности, разность которых наибольшая. 3) Есть ли среди членов последовательности простые числа, квадраты рациональных чисел? 333. 1) Выпишите первые пять членов возрастающей последовательности натуральных чисел, дающих при делении: а) на 4 в остатке 1; б) на 5 в остатке 2. 2) Задайте эту последовательность формулой ее л-го члена. 334. Выпишите первые шесть членов последовательности, заданной формулой своего л-го члена: п 1) а„= л; 2) Ь„ = 2л-1; 3) с„ = л2 + 1; 4) = Л; = ^ +1; «ч _ 2 . 2л-1’ л + 1 ’ л — 1 7)г„ = 9) d^ = - 4л; 10) 6„ = I л2- л -Ь 1; 12)^а„ = (-1Г^‘лЗ. 33sPЗапишите (я + 1)-й и (я + 2)-й члены каждой из последовательностей, заданных в упражнении № 334. 336. Какой номер в последовательности, заданной формулой: 2я + 3 , имеет член, равный 17; ^ , имеет член, равный 54? ЗЗуР Имеется ли в последовательности, заданной формулой я-го члена: 1) = 65 - 4я, член, равный -15; 2) b^ = Sn - 40, член, равный 71; 3)* = п‘-7 п + 5 , член, равный 9; 4)® \ ^ ^ член, равный 12? я -I- 9 338Р Подберите формулу я-го члена для последовательности: 1) 2; 4; 6; 8;...; 2) 3; 5; 7; 9;...; 3) 4; 6; 8; 10;...; 4) 9; 11; 13; 15; 7)#1;2;4;8;...; 2 ’ 4 ’ 8 ’ 16 ’ 9) #-1;2;-4;8;...; 10) # 1* 1 • J- • J- • ' ’ 8 ’ 27 ’ 64 ’ ^ - Z - 9. ^ 2 ’ 4 ’ 6 ’ 8 ’ ^ 3 ’ 5 ’ 7 ’ 9 ’ 11) *0; 3;8;15;...; 12) *0; 2; 6; 12; ... 339. Какие из последовательностей: а) являются возрастающими; б) являются убывающими; в) не являются ни возрастающими, ни убывающими: 1) 5; 8; 11; 14; 17; ...; 2) -3;-7;-11;-15;-19;...; 1.11.1 1 1 3) 2’3’4’5’6’7’ ^ ’ 2’3’ 4’5’ 6’ 5) 0 5.6 8 9 12 ’ 13 ’ 14 ’ 15 ’ 16 ’ ш Is f - 11 . 12 . 13 . 14 . 15 . ^ 8 ’ 9 ’ 104l М2 ’ 7^# Л.Л^Д.Л.Л. n 2 ’ 3 ’ 4 ’ 5 ’ 6 ’ *“’ 8) * V2 ; V3 ; Vi ; V5 ; Ve ; ...; 9) * V3 - л/2 ; -Л - V3; V5 - Vi ;...; 10) * - • - • - • ? ^ V2-T V3-V2’Vi-V3’"‘ 340. Используя правило округления, выпишите первые шесть членов последовательности десятичных прибли- 04 2 04 3 ..23 жении числа: 1) ^ J 2) - ; 3) ; 4) — соответственно О о 11 ОО с одной, двумя, тремя и т. д. значаш,ими цифрами. Является ли эта последовательность возрастающей? 341 Р Даны последовательности, заданные формулами я-х членов. Какие из них являются: 1) возрастающими; 2) убывающими: а)а„ = 7-2я; г) = (я - 5)2; б) 1/„ = 0,1я-5; в) = я2 - 70; е) д:„ = 1 - Я -I- 1 342. Найдите наибольший и наименьший члены последовательности, если они у нее есть: 1) =-я2-ь 6я + 3; 3)г^== ^ ; 2) 1/„ = я2-8я +1; 4) = ~ . 343. Дана последовательность с„ = я -Ь - . При каких значе- "я ниях я выполняется условие: 2)с„<6; 3) 3 < с„ < 20? 344.* 1) Запишите формулу числа диагоналей выпуклого многоугольника в зависимости от числа его сторон я. —■ к L TV j iif n m 2) Существует ли многоугольник, число диагоналей которого равно 14? 3) У каких многоугольников число диагоналей не превосходит 20? 345* Найдите сумму первых десяти членов последовательности, формула п-то члена которой: 1)а„ = /г2; 2)а„ = п^-Ьп^. 346. “ Последовательность задана формулой л-го члена а^ = 4л. 1) Какие номера имеют члены этой последовательности, меньшие 200? 2) Какие номера у членов последовательности, являющихся двузначными числами? 1 6 Рис. 96 347. При возведении двучлена а + Ь в степень л (л = 0; 1; 2; ...) коэффициенты соответствующего многочлена стандартного вида можно получить с помощью треугольни- i ка Паскаля (рис. 96), с которым вы познакомились в 8 классе. Если складывать числа в каждой строке этого треугольника, получится некоторая бесконечная последовательность натуральных чисел. Выпишите несколько первых ее членов и задайте эту последовательность формулой л-го члена. 348. ® Задайте формулой л-го члена последовательность сумм коэффициентов многочленов стандартного вида, полученных при возведении трехчлена а + Ь + с в степень л. 349. Задайте формулой л-го члена последовательность треугольных чисел, выражающих число шаров в бильярдных пирамидах (рис. 97). О ф/ IK Контрольные вопросы и задания 1. 2. 3. Что такое последовательность? Приведите пример убывающей последовательности. Задайте формулой п-го члена бесконечную возрастающую последовательность всех четных натуральных чисел. Найдите десятый и одиннадцатый члены последовательности, заданной формулой п-го члена а^ = - 6п + 3. 25. Рекуррентные последовательности Как вы видели в предыдущем пункте, удобно, когда последовательность задана формулой ее общего члена. Однако во многих случаях подобрать соответствующую формулу для уже имеющейся последовательности оказывается довольно трудно. Так, например, далеко не сразу догадаешься, что п-й член последовательности треугольных чисел^ выражающих число бильярдных шаров в пирамидах (см. рис. 97), выража- ется формулой = + п с другой стороны, легко видеть. что каждая следующая пирамида получается добавлением к предыдущей пирамиде еще одного ряда, число шаров в котором равно номеру члена последовательности, т. е. + i = = а^ + п. Зная это соотношение между соседними членами, а также то, что первый член последовательности равен 1, мы можем, последовательно вычисляя ее члены, дойти до любого номера: flj = 1, ~ 1 ■*" 2 = 3, ^3 = 3 -Ь 3 = 6, <2^ = 6 + 4 = 10, ag = 10 -ь 5 = 15, = 15 -f 6 = 21, = 21 + 7 = 28 и т. д. Вычисляя члены этой последовательности, мы каждый раз как бы возвращаемся к предшествующим им членам. Такой способ задания последовательности называется рекуррентным (от латинского слова recursio — возвращаться). ▼ Рекуррентные соотношения могут быть и несколько более сложными. Так, например, равенства: = 1, Х2 = 1, + 2 -(-1 также позволяют вычислять поочередно чле- ны последовательности: лгд =1-1-1 = 2, ЛГ4 = 2-1-1 = 3,JC5 = 34-2 = 5, = 54-3 = 8, Ху = 84-5 = 13, Xg = 13 4- 8 = 21 и т. д. .9---- п т П mv Получается последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ..., каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме предшествующих двух. Члены этой последовательности называются числами Фибоначчи — по имени средневекового итальянского математика Леонардо Фибоначчи (1180— 1240). Эти числа удивительным образом появляются в самых неожиданных местах, например, этими числами выражается количество веток на дереве. В геометрии числа Фибоначчи связаны с так называемым золотым сечением. Последовательность Фибоначчи можно задать и формулой общего члена == (У5 + 1)"-(1 - У5)" 2«V5 , однако ее вывод нахо- дится за пределами нашего курса. Д Упражнения 350. Назовите последовательности, которые заданы формулой п-го члена, перечислением элементов или рекур-рентно; 1) 1,3, 5, 7,...; 4)с„ = 3я; 2) -Ь 7; 5) dj = 1, dg = 1» + 2 ~ +1» 3) ^ +1 = 6) 1, 2, 3, 5, 8, ... . 351. Выпишите первые несколько членов последовательности, заданной рекуррентно: 1) ai = 2, а„ + 1 = а„-Н5; 2) b, = S,b^^, = 2b,; 3) Ci = 5,c„ + i = c„-2; 4) d, = 96, = 5) jCi = 1,X2 = 2, + 2 = + 6) i/i = 1, i/2 = 2, Уп^2 = Уп м-Уп- 352. Выпишите первые шесть членов последовательности, первый член которой равен 15, а каждый следующий равен предыдущему, увеличенному на сумму его цифр. \®/ tv «--if» 12„ 353. 1) Определите рекуррентное правило, задающее последовательность: а) 4, 14,24, 34, г) 4, 2, 1, 0,5, б) 7, 14, 28, 56, д) 3, -3, 3, -3, в) 7, 2, -3, -8, е) 23, 28, 38, 53, ... . 2) Подберите формулу л-го члена последовательности. 354. 1) Выпишите несколько членов последовательности, заданной формулой общего члена: а) = 5я 4- 3; б) = 2 • 3"; в) = 2/г - 1; г)^ = 3(-2)". 2) Задайте эту последовательность рекуррентно. 355. ^ Задайте формулой общего члена последовательность, заданную рекуррентно: 1) = 1, 1 = — 3; ёп 2) 2, + J 3&„; 3) Oi = -5, у„^1 = п„ + 2; 4) Я1 = 16,^„ + 1 = 5) di = 2,d„^i = -3d„; 6) Cl — 1, ^ 1 с^. 356. *Задайте рекуррентно и формулой общего члена после- довательность : 1) первый член которой равен 1, третий равен 5, а каждый из остальных ее членов равен среднему арифметическому предшествующего и следующего за ним; 2) '* если ее первый член равен 1, третий равен 4, а каждый из остальных ее членов равен среднему геометрическому предшествующего и следующего за ним. 357. * Найдите по формуле общего члена _ (Vs + D'^-Cl-У5)" 2r^Л пятый член последовательности Фибоначчи. Контрольные вопросы и задания 1. Приведите пример последовательности, которую: а) можно задать и формулой л-го члена, и рекуррентно; б) невозможно задать ни формулой л-го члена, ни рекуррентно. 2. Выпишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно Cj = 1, Cg = 2, с„ + 2 = т о § 10. Арифметическая и геометрическая прогрессии 26. Определение прогрессий Одними ИЗ самых простых рекуррентных правил задаются последовательности, каждый член которых равен своему предпхествующему члену, сложенному с некоторым числом или умноженному на некоторое число. Так, например, каждый (кроме первого) член последовательности нечетных натуральных чисел: 1, 3, 5, 7, ... на 2 больше своего предшествующего. Последовательность, каждый член которой начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией. Таким образом, арифметическая прогрессия а^, Og, ... задается рекуррентно формулой: а , л — CL -Ь d. Число d называют разностью арифметической прогрессии. Каждый член, начиная со второго, конечной последовательности 2, 6, 18, 54, 162 в три раза больше предшествующего ему: 6 = 2*3; 18 = б • 3; 54 = 18 • 3; 162 = 54*3. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю число, называется геометрической прогрессией. Л Таким образом, геометрическая прогрессия 6^, &2» ••• задается рекуррентно формулой: Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. А Так, в арифметической прогрессии 1; 3; 5; 7; ... разность равна 2, а в геометрической прогрессии 2; 6; 18; 54; 162 знаменатель равен 3. Из определений прогрессий следует, что d = + q = -f 1 Эти равенства позволяют определить, является ли данная последовательность прогрессией Пример 1. Является ли конечная последовательность 7,2; -10,8; 16,2; -24,3; 36,45 геометрической прогрессией? Решение. Если данная последовательность является геометрической прогрессией, то должны быть равны частные второго и первого, третьего и второго, четвертого и третьего, пятого и четвертого ее членов. Найдем эти частные. -10,8 _ ^ 16,2 _ ^ -24,3 _ . к 36,45 7,2 -10,8 16,2 -24,3 = -1,5. Ответ: данная последовательность является геометрической прогрессией. Пример 2. Доказать, что последовательность, заданная формулой п-го члена = 2п - 7, является арифметической прогрессией. Доказательство. Найдем разность ^ . 1 - с. = 2(п -Ы) - 7 - (2п - 7) = 2. Каким бы ни было значение п, соседние члены отличаются на 2, т. е. каждый член последовательности, начиная со второго, равен предшествуюш;ему члену, сложенному с числом 2. Значит, эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью, равной 2. ^ Геометрическая прогрессия, члены которой являются нулями, рассматриваться не будет. Прогрессию ctj, ag, ... называют арифметической потому, что каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних с ним членов: Рис. 98 + а Л + 2 'л + 1 Прогрессию 6j, ^2, ... называют геометрической потому, что каждый ее член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов: + 1 ^ 'j^n ’ ^п+2 • ▼ Напомним, что высота, проведенная в треугольнике из вершины прямого угла, является средним геометрическим проекций катетов этого треугольника на его гипотенузу (рис. 98). Из подобия прямоугольных треугольников АНС и СНВ следует пропорциональность соответственных сторон: ^ ^ , откуда /^2 = • aj и Л = * cl\ • Полученная в процессе вывода пропорция ^ — объяс- Г1 д ^ няет, почему среднее геометрическое называют еще средним пропорциональным. Д Упражнения 358. Какие из следующих конечных последовательностей являются арифметическими, а какие геометрическими прогрессиями: 1) 3; 13; 23; 33; 2) -13;-3; 13; 23; 3) -1,5; 0,15;-0,015; 4) 1,45; 1,7; 1,95; 2,2; 5) 3; 30; 300; 3000; 6) -0,63;-0,09; 0,18; 7) -2000;-400; -80; -16; 8) 1600;-800; -400; 200; 2 ’ 6 ’ 18 ’ 54 ’ 11) 0 72; Л8; л/^; л/^; 12) 0 2;-72; 1;-^? А 3 X 359. Если первые четыре члена бесконечной последовательности образуют арифметическую или геометрическую прогрессию, то найдите пятый и шестой члены этой прогрессии: 1) 2,4; 3; 3,6; 4,2;...; 2) -5,3;-4,9;-4,5;-4,1;...; 3) 48; 72; 108; 162; ...; 4) -24,3; 16,2;-10,8; 7,2; ...; Ч-2’2*3’3-4’4-5’ li • • А • - А . О) 17» 17^ •••5 7) А; ^ 1 1-2’ 2-4’ 4-8’ 8-16’ 8) 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; ...; 9) 0 V2; 78; л/18; 7^; ...; 10) 0-73;3;-7^;9;...; 11) 0273;2; 12) 0 72; 374.67^-2; ... . 360. Докажите, что последовательность, заданная формулой п-го члена, является арифметической прогрессией, если: 1)^п = 7 -2п ^)Уп = Ъп + 8 361. Докажите, что последовательность, заданная формулой л-го члена, является геометрической прогрессией, если: l)b„=i-22"; 2)^. = 5!^ 362. Зная разность d и пятый член арифметической прогрессии, найдите первый член этой прогрессии: 2 «^1 3 1) с/= 3,5,05= 12; 2) d = -2,5, Од = 30,5; 3) d--— , О5 — 30— ; 4)d=6.<«5 = -42 ,---------- <-‘в*5е%ИЙ I -• " T ’ ■ ■ ^ , S . V - --- 363. Найдите первый член геометрической прогрессии, если известны ее знаменатель q и третий член: 1) q = 2,b^ = 1,2; 2) q=\,b^ = S0\ 3)g= о.Ьз = 64; 4)7 = “з » ^3 = 3,1. 364. *3апишите первые пять членов какой-нибудь арифмети- ческой прогрессии, если произведение третьего и четвертого ее членов: 1) положительно (приведите примеры возрастающей и убывающей прогрессий); 2) отрицательно; 3) равно 1; 4) равно —1. 365. ®Запишите первые пять членов какой-нибудь геометри- ческой прогрессии, если произведение третьего и четвертого членов каждой из прогрессий: 1) положительно (приведите примеры возрастающей и убывающей прогрессий); 2) отрицательно; 3) равно 1; 4) равно -1. 366. ® Величины углов выпуклого четырехугольника обра- зуют: 1) арифметическую прогрессию с разностью 42°; 2) геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2. Найдите углы этого четырехугольника. 367. ® 1) Длины сторон прямоугольного треугольника образу- ют арифметическую прогрессию. Найдите длины катетов, если известно, что гипотенуза равна 2 м. 2) Длины сторон прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Найдите ее знаменатель. ■ Вычислите знаменатель прогрессии с точностью до сотых. □ 368. '• 1) В четырехугольник ABCD вписана окружность. Может ли последовательность АВ, ВС, CD, DA длин сторон этого четырехугольника являться: а) арифметической прогрессией с отличной от нуля разностью; б) геометрической прогрессией со знаменателем, отличным от единицы? 2) В четырехугольник ABCD вписана окружность. Может ли последовательность АВ, ВС, AD, DC длин сторон этого четырехугольника являться: а) арифметической и »f прогрессией с отличной от нуля разностью; б) геометрической прогрессией со знаменателем, отличным от единицы? 369. “ 1) Может ли последовательность величин /-А, А В, ACj /L D вписанного в окружность четырехугольника ABCD являться арифметической прогрессией с отличной от нуля разностью? 2) Могут ли величины углов прямоугольного треугольника образовать геометрическую прогрессию? 370. * Могут ли у бесконечной арифметической прогрессии с отличной от нуля разностью: 1) быть два равных члена; 2) быть два члена, являющихся противоположными числами; 3) все члены, кроме одного, быть четными числами; 4) все члены, кроме одного, быть нечетными числами; 5) все члены, кроме одного, быть целыми числами; 6) все члены, кроме одного, быть дробными числами; 7) все члены, кроме одного, быть рациональными числами; 8) *'^* все члены, кроме одного, быть иррациональными числами? Утвердительный ответ проиллюстрируйте примером, отрицательный ответ объясните. 371 .* Ответьте на вопросы предыдущего упражнения, рассматривая не арифметическую, а геометрическую прогрессию со знаменателем, отличным от 1. ДД Контрольные вопросы и задания 1. Какие последовательности называют арифметическими, геометрическими прогрессиями? 2. Каждый член арифметической прогрессии увеличили на 3. Является ли полученная таким образом последовательность арифметической прогрессией? 3. Каждый член геометрической прогрессии разделили на 3. Является ли полученная таким образом последовательность геометрической прогрессией? 12г.’пг 27. Формула 71-го члена прогрессии Задача. Витя решил сделать садовую лестницу с таким расчетом, чтобы нижняя ступенька имела длину 50 см, а каждая из следуюш;их 12 ступенек была на 2 см короче предыдуш;ей (рис. 99). Какой длины должна быть верхняя ступенька лестницы? Решение. Длины ступенек лестницы в сантиметрах образуют арифметическую прогрессию с первым членом = 50 и разностью d = —2. Длина верхней, 13-й ступеньки является 13-м членом этой прогрессии. Будем последовательно находить члены прогрессии: П2 = 50 - 2, Пз-(50-2)-2 = 50-2-2, а4 = (50-2*2)-2 = 50-2-3, Og = (50-3*2) = 50-2-4. Заметим, что каждый раз из 50 вычитается произведение числа 2 и числа, на единицу меньшего, чем номер определяемого члена. Для я-го члена прогрессии получим соответственно = 50 - 2(я - 1). При я = 13 имеем а^з = 50-2*12 = 26. Ответ: длина верхней ступеньки лестницы равна 26 см. Выписывая последовательно члены арифметической прогрессии с первым членом = 50 и разностью d = -2, мы заметили закономерность, которая позволила получить формулу я-го члена этой прогрессии без вычисления промежуточных ее членов. Аналогично в произвольной арифметической прогрессии: второй член получается из первого прибавлением разности d, третий член можно получить, прибавляя к первому удвоенную разность, четвертый — утроенную и т. д. Вообще, чтобы получить я-й член арифметической прогрессии, к первому члену прибавляют разность, умноженную на я - 1: = ttj -Ь d{n — 1). в геометрической прогрессии вместо прибавления разности происходит умножение на знаменатель: b2 = b^-q, b3 = bi-q^q = bi-q^, b^ = b^-q^-q = b^-q^, b^ = b^* q‘^ • q = b^* q'^ ИТ. д. Заметив, что показатель степени, в которую возводится знаменатель прогрессии, на единицу «отстает» от номера ее члена, получаем формулу: К = ^гя'"~'- Пример 1. Найти 27-й член арифметической прогрессии, зная ее первый член = -12 и разность d = 0,5. Решение. По формуле п-го члена арифметической прогрессии при п = 27 получаем: 027 = -12 + (27 - 1) • 0,5 = -12 + 26 • 0,5 = -12 -ЫЗ = 1. Ответ: 037 = 1. Пример 2. Найти знаменатель геометрической прогрес- 2 сии, второй член которой равен -, а восьмой член равен О 486. Решение. Используя букву Ь для обозначения членов геометрической прогрессии, найдем ее знаменатель q из сис- темы < и ^ &1-<7' = 486. Разделив второе равенство системы на первое, после со-крапдения получим: 96 = 486 : I, q^= 729, = 36. Последнему уравнению удовлетворяют два значения q — это числа 3 и —3. Таким образом, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условию задачи. Знаменатель одной из них -3, а другой 3. Ответ: -3 или 3. А /—■ В упражнениях этого пункта а^, «2» ^з» ••• — бесконечная арифметическая прогрессия с разностью d; а ^2» ^з’ ••• — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем q. Упражнения 372. Найдите: 1) ajQ, если а^ = 2, d = 3; 2) flgs’ если Oj = -3, d = 2; 3) 071, если Oj = -2,5, d = 1,5; 4) Ogj, если Oj = 14,5, d! = -2,5; 5) bg, если &i = 0,5, q = 2; 6) dg, если &i = 24, q = 0,5; 7) ^7, если t>i = 729, 7 = -|; О 8) 6g, если b^ = ^,q = J2 . 373. Найдите: 1) Oj, если 026 d = 2; 2) Oj, если Ogi = -130, d = 4; 3) Oj, если Ogg = -8,6, d = -0,2; 4) Oj, если OjQQ = 210, d = -3; 5) dj, если fc>6 = 128, g = -2; 6) dp если dg = -324, g = 3; /2 7) dp если d7 = 0,5, q = 8) dp если dio = I, g = Vs . 374. 1) Каждый год сумма денег, хранящихся на срочном вкладе в сберегательном банке, увеличивается на 15% (в 1,15 раза). Какая сумма А будет на счету вкладчика, внесшего о р., через t лет? 2)* Найдите А, если о = 500, t = 16. 375? Ежегодный прирост древесины на лесном участке составляет 2%. На сколько кубометров увеличится количество древесины на участке, содержащем 5000 м^ дре- в весины, через 5 лет? Через сколько лет количество древесины увеличится в 2 раза? 376. Используя указанные в таблице данные, заполните пустые клетки каждой строки. 1) «1 d п «/1 2 3 37 36 5 6 85 -31 15,8 19 1,58 46,52 66 -0,28 8,7 -0,15 4,2 -24,6 0,35 -9,9 2) д п Ьп 2 7 4 3 9 1 8 16 3 27 96 11 3 6 10 2 9 1,5 2 48 2 81 7з 18 З77Р 1) Найдите первый положительный член бесконечной арифметической прогрессии: -3,8; -3,62; .... 2) Найдите первый отрицательный член бесконечной арифметической прогрессии: 17,25; 16,15; ... . 378РНачиная с какого номера п члены арифметической прогрессии: 1) -5; -4,8; ... становятся больше: а) 100; б) 1 000 000; 2) 3; 2,95; ... становятся меньше: а) -100; б) —100 000? 379® 1) Могут ли все члены бесконечной возрастающей арифметической прогрессии быть меньше некоторого числа? 2) Могут ли все члены бесконечной убывающей арифметической прогрессии быть больше некоторого числа? 3) Могут ли все члены бесконечной возрастающей геометрической прогрессии быть меньше некоторого числа? 4) Могут ли все члены бесконечной убывающей геометрической прогрессии быть больше некоторого числа? 380Pl) Найдите первые четыре члена арифметической прогрессии, у которой: а) HjQ 21, ^20 41; в) П|0 12, 62, б) <^14 0,65, ^^26 ~ 5,35; г) Ц45 7,5, Ц75 4,5. ш 2) Найдите первые четыре члена геометрической прогрессии, у которой: а) &5 = 192, Ьд = 12; б) 65 = 288, 6g = -36; 381РДокажите, что: 1) П - k = d; в) ^7 ^ » ^9 ^ ’ г) 64 = -486, 67 = -18. 2)^ =qn-K З82Р1) Между числами 31 и 62,5 впишите еще 6 чисел так, чтобы полученные восемь чисел образовали арифметическую прогрессию. 2) Между числами 6 и 48 впишите еще 5 положительных чисел так, чтобы полученные семь чисел образовали геометрическую прогрессию. 383Р Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если: 1) 2) 6^7 “I” ^23 ^4 ^38 ^ -206; а^ + а^ = -20, ^10 ^ ^6 ~ S)^ 4)# OgOg = 240, ^4 + ag = 48; ^12^14 -200, ^13 ^14 ^15 ~ 1) 2) 3) 4) 64 + &2 63 — 84, 64-63 = 36; 64 - 62 -Ь 63 = 21, 64 + 63= 15. 384. * Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если: 64 -f- 62 = 22,5, 64 -I- 63 = 19,5; 62-64 = 18, 63 — 62 = 27; 385. ^ Две арифметические прогрессии заданы формулами своих п-х членов а^ = 26 + 2(п - 1) и = 8 -Ь 3(л - 1). Есть ли в этих прогрессиях равные члены: 1) с одинаковыми номерами; 2) ''^" с различными номерами? 386. *Известно, что Oj, П2> ••• — бесконечная арифметическая прогрессия. Является ли арифметической прогрессией последовательность: 1) ^3» ^5> ^7> •••» 2) ^^2» ~^4> ^6’ ^8’ 3) ^4 + 7, <22 -Ь 7, ag -Ь 7, ...; т Сл 4) 1 1 ^2’ ^ ^3’ •••» 5) af, а|, а|, а|, ...; «И 1 1 1 о) > ) J >•••> Oj 02 «3 О^ Т) flj "Ь 02» ^2 ^3’ ^3 ^4’ •••’ 3) О^ ”Ь ^2’ ^3 ^4’ ^5 ^6’ •••? 387.®Известно, что 6j, &2» ••• — бесконечная геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность: 4) bj + &2» ^2 ^3’ ^3 ^4’ 5) Ь2,Ь|^62^...; 1 _ _L 9 1) &1, 63, г?5, ...; 2) ~&2» ~^4’ ~^6’ •••> 3) + 1, &2 1 > ^3 1 > • • • 388. ® Докажите равенство: 1) попарных сумм членов арифметической прогрессии, имеющих одну и ту же сумму номеров; 2) попарных произведений членов геометрической прогрессии, имеющих одну и ту же сумму номеров. 389. Могут ли три последовательных члена геометрической прогрессии (|qf| 1) являться: !)• какими-нибудь членами арифметической прогрессии; 2)‘''‘последовательными членами арифметической прогрессии? 390. ® Укажите номера членов данной арифметической про- грессии, являющихся двузначными числами: 1)2; 5; ...; 2) 197; 191; ... . 391FЕсть ли в арифметической прогрессии 2,36; 3,1; ... члены, являющиеся целыми числами, не превосходящими 100? Если есть, то найдите их. 392. Укажите номера членов геометрической прогрессии, не превосходящих 1200: !)• 3; 6; ...; 2)И8; 12; ... . 393. !)• Найдите числа, одновременно являющиеся членами двух арифметических прогрессий 5, 9, ... и 3, 9, ..., если известно, что каждая из этих прогрессий содержит по 25 членов. 2)* Найдите числа, одновременно являющиеся членами арифметической прогрессии 12, 15, 18, ... и геометрической прогрессии 1, 3, 9, ..., если известно, что каждая из этих прогрессий содержит по 100 членов. Контрольные задания тт 1. Запишите формулы п-х членов арифметической и геометрической прогрессий. 2. Найдите десятый член арифметической прогрессии, если aj = 3 и 0^7 = 7. 3. Задайте формулой д-го члена геометрическую прогрессию 0,16; 0,4; ... . ю §11. Сумма членов прогрессий 28. Сумма первых п членов прогрессии Задача 1. Для изготовления 13 ступеней лестницы, самая длинная из которых 50 см, а самая короткая 26 см (см. задачу из п. 27), школьник решил распилить доску длиной б м. Хватит ли ему этой доски, если на крепление каждой ступени к боковым стойкам требуется 4 см? Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти сумму длин всех ступенек лестницы и прибавить к ней на крепление ступенек 4 • 13 = 52 (см). Возьмем две одинаковых лестницы и приставим их друг к другу, как показано на рисунке 100. Легко видеть, что сумма длин первой ступеньки первой лестницы и последней ступеньки второй лестницы равна сумме длин второй ступеньки первой лестницы и предпоследней ступеньки второй лестницы и т. д. Каждая из попарных сумм длин соответствующих ступенек обеих лестниц равна 50 4- 26 = 76 (см). Сумма длин всех ступенек обеих лестниц 76 • 13 (см). Сумма длин ступенек одной лестницы в 2 раза меньше; (76-13): 2 = 494 (см). Всего на изготовление ступенек потребуется: 494 + 52 = 546 (см). Значит, доски длиной 6 м достаточно для изготовления ступенек. В рассмотренной задаче длины ступенек образовывали арифметическую прогрессию. Подобно тому, как была найдена сумма 13 ее членов, можно найти сумму первых п членов любой арифметической прогрессии. Пусть а^; а2', ... — арифметическая прогрессия с разностью d. Обозначим через сумму первых п ее членов и запишем эту сумму. Второй строкой запишем слагаемые правой части полученного равенства в обратном порядке: Sn = a^ + a2 -f аз-Ь... + а„_2 + а„_1 + а„. S„ — a.„-\-(i„ 1-Ь о + ...-Ь -Ь Oq-ь ' ^^n-2 ' ••• ' *^3 ' ^*2 ' ‘^1* Сложим почленно оба равенства: 2S„ = («1 -ь а„) + (^2 + i) -Ь (аз + а„_2> + ... ... -ь(а„_2 + аз) + (а„_1 -ba2) + (a„4-ai). Попарные суммы + а„, ag + а^_^, ад -Ь а^_2 и т. д. равны между собой: а2 + = а^ + d + a^-d = a^ + a^, а^ + а^_2 = + 2d + ап~ 2d = а^ + а^, а^ + = cii + ^d + a^-Sd = а^ + а„. Значит, 2S„ = (ttj -f- а^) • п. Отсюда получаем формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии: а. + = п. Пример 1. Найти сумму всех двузначных натуральных чисел. Решение. Двузначные натургшьные числа составляют арифметическую прогрессию 10; 11; ...; 98; 99. Первый ее член равен 10, а последний — равен 99. я----- пм Подсчитаем число членов в этой арифметической прогрессии. Так как 99 — число натуральных чисел от 1 до 99, и 9 из них — однозначные, то число п двузначных чисел равно 99-9 = 90. По формуле суммы первых п членов арифметической прогрессии имеем: <590= *90 = 4905. Ответ: 4905. Для нахождения суммы первых п членов геометрической прогрессии Ь^; bgJ ••• умножим обе части равенства S„ = -Н ... -Ь J -1- на знаменатель прогрессии q: ^п'Я=^Ь^-д + Ь2'д + ... + b^_i-q + b^-q = = ^2 + ^3+ ... + Ь„ + Ь„^1. Найдем разность • q: Выражая из этого равенства получим формулу суммы первых п членов геометрической прогрессии^: Ь, -Ь, S = rt + 1 1-q ,q^0. В полученную формулу входит + j. Однако в геометрической прогрессии может оказаться всего п членов. Это затруднение легко устранить, заменив на q. При этом формула суммы первых п членов геометрической прогрессии примет следующий вид: ^1 - b^q S = 1-q Пример 2. Найти сумму всех членов геометрической прогрессии 2; -6; ...; 118 098. Решение. Найдем знаменатель прогрессии: q = (-6): 2 = -3. ^ Этой формулой нельзя пользоваться при q = 1. Но поскольку в этом случае все члены прогрессии равны между собой, сумма первых п членов окажется равной сумме п первых членов, т. е. = Ь, • п. т, Найдем сумму всех п членов данной прогрессии: е _ 2 - 118 098-(-3) _ 354 296 _оо ГмГз)---------4-----88 574. Ответ: 88 574. Пример 3. Доказать тождество х" - 1 X - 1 = 1 + х + х^ + х^ + ... + х п - 1 Доказательство. При х = 0 это равенство верно. При любом другом допустимом значении х, а допустимы все значения, кроме х = 1, правую часть данного равенства можно рассматривать как сумму геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, последний равен х”“ а знаменатель равен X. Применяя в правой части формулу суммы первых п членов, получаем: 1 - х" ~ ^ • X х” - 1 1-Ьх-1-х^-1-х^-1-...-1-х"“^ = X - 1 Значит, исходное равенство верно при всех допустимых значениях переменной х, т. е. является тождеством, что и требовалось доказать. Для случаев, когда п-й член прогрессии неизвестен, удобно преобразовать формулы суммы первых п членов арифметической и геометрической прогрессий, выражая их п-е члены через первые члены прогрессий. Арифметическая прогрессия S= >п = {а ^ + {п - \ )d) п = 2«j + {п - \)d п. 2aj + {п — l)d S„ = ------гг---- • п. Геометрическая прогрессия о _ • 7 _ _ -(bi _ 1-7 _ bi(l-7'*) = 1 - q bl(l - qr") 1-q ,q ^0. m- Замечание. Когда речь идет о сумме, имеется в виду сложение как минимум двух чисел. Однако в формулы суммы первых п членов прогрессий можно подставить и я = 1. При этом полученное по формуле число окажется первым членом прогрессии. I d е f Рис. 101 g h Старинная легенда. Индийский раджа, познакомившись с игрой в шахматы, решил наградить изобретателя этой игры и предложил тому самому выбрать награду. Изобретатель пожелал за первую клетку шахматной доски получить одно зернышко пшеницы, за вторую — два зернышка, за третью — четыре, за четвертую — восемь, за пятую — 16 и т. д. Удивившись скромности изобретателя, раджа распорядился немедленно выдать на-приказ раджи оказалось невоз- граду. Однако выполнить можно. Подсчитаем, сколько зерен пшеницы нужно было бы выдать изобретателю шахмат. Количества зерен, запрошенные за каждую из 64 клеток шахматной доски (рис. 101), составляют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2. Найдем сумму всех 64 членов этой прогрессии: Q 1 ~ 1 • 2^^ 264 _ 1 *^64 1 -2 ^ С помош;ью микрокалькулятора находим, что 2^4 - 1 = 18 446 744 073 709 551 615 ~ 1,8 • Такого количества зерен пшеницы человечество не собрало за всю свою историю! Задача 2. Сколько членов арифметической прогрессии 1; 4; ..., начиная с первого члена, надо сложить, чтобы получить число 425? Решение. Первый член прогрессии равен 1, а ее разность равна 3. Сумму первых п членов данной прогрессии “ А о 2*1 + 3(/г — 1) можно наити по формуле ------ • п. По условию задачи 1+3(/г — 1) лок. ----------- * п = 425. f f -Э' Найдем натуральный корень (н — натуральное число) этого уравнения: Зя2 - л - 850 = 0; D = 1 + 4 • 3 • 850 = 10 201, 1 ± 101 1 ± 710201 ------в---- ^1; 2 /Ij < 0^ П2 = . Ответ: надо сложить 17 членов данной прогрессии. Упражнения 394. Старинная задача. Рабочему дали задание выкопать колодец и условились платить за первый метр 3 р., за второй 5 р. и т. д., увеличивая плату за каждый следующий метр на 2 р. Сколько уплатили рабочему, если им был вырыт колодец глубиной в 10 м? 1) 0 какой прогрессии идет речь в задаче? 2) Составьте формулу суммы членов прогрессии. 395. Найдите сумму первых п членов арифметической прогрессии, зная, что: 1) = 13, = 67, п = 25; 2) а^ = -39, а„ = 19, п = 40; 3) = -2,5, = 17,5, п = 60; 4) = -17,3, а^ = 17,3, л = 37; 5) а^ - -2,5, d = 1,5, п = 20; 6) а^ = 3,4, d = -2, п = 15; 7) Oj = 4,8, d = -0,2, п = 48; 8) = -248, d = п = 125. 396. Найдите сумму: 1) первых ста натуральных чисел; 2) ^ всех трехзначных чисел; 3) ^ всех четных трехзначных чисел; 4) ® всех трехзначных чисел, кратных 3; 5) ® всех трехзначных чисел, не кратных 3, 397. 1) Найдите суммы: 1 + 3; 1 + 3 + 5; 1 + 3 + 5 +7. 2) Найдите свойство сумм нечетных натуральных чисел с помощью рисунка 102. ^ 1* Ш- 1 Ш Рис.102 г*- 5£j2+f п w* ЗТ12п1»''; ^ 3) Задайте последовательность сумм первых п нечетных натуральных чисел формулой ее п-го члена. 4) Найдите сумму первых ста нечетных натуральных чисел. 5) ^ Докажите, что для любого натурального п: а) 1 + 3 + 5 + ... + (2/1 — 1) = /1^; 6) 1 + 24-3 + ... + {п — 1) + /1 + (/2 — 1) + ... + 3 + 2 + 1 = /1^. 398®Боковая сторона трапеции разделена на 12 равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Найдите сумму длин отрезков этих прямых с концами на боковых сторонах трапеции, зная, что: 1) основания трапеции 41 и 19 см; 2) средняя линия трапеции равна 27 см. 399® Катет прямоугольного треугольника разделен на 14 равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные гипотенузе. Найдите сумму длин отрезков этих прямых с концами на катетах, зная, что: 1) большая из средних линий треугольника равна 29 см; 2) катеты треугольника 5 и 12 см. 400® 1) На рисунке 103, а кубики уложены рядами в виде пирамиды. Сколько кубиков понадобится, чтобы сложить пирамиду, в нижнем ряду которой: а) 15 кубиков; б) 2/i - 1 кубиков? 2) На рисунке 103, б пирамида составлена из кирпичей. Сколько кирпичей понадобится, чтобы сложить пирамиду, в нижнем ряду которой: а) 15 кирпичей; б) п кирпичей? 4019 Последовательность задана формулой /г-го члена = 37 - 0,5/1. 1) Докажите, что эта последовательность — арифметическая прогрессия. \Ф/ а) Рис.103 III б) 2) Найдите сумму первых 40 ее членов. 3) Найдите сумму всех ее членов от «4^ до о^о включительно. 4) ^ Существует ли такое /г, при котором = 0? 5) ® Существует ли такое л, при котором 402. Старинная задача из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Продавец запросил за лошадь 156 р., но покупатель решил, что лошадь таких денег не стоит. Тогда продавец предложил покупателю купить только подковные гвозди, а лошадь получить в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь продавец запросил ^ копейки, за второй i к., за третий 1 к. и т. д. Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условие продавца. Сколько денег придется заплатить покупателю за лошадь? 1) Какую прогрессию составляет плата за гвозди? 2) Составьте формулу для подсчета платы за лошадь. 3) Ответьте на вопрос задачи. 403. Найдите сумму первых п членов геометрической прогрессии, зная, что: 1) 6i = 3, &„=192,^ = 2; 2) fei = -2,b„=1458, 9 = 3; 3) г», = 24,6„ = 1,5, g = -i; 4) b, = -162,6„ = -2,q = -l; 5) bj = 1, 9 = 2, д = 7; 6) = -2, 9 = 3, д = б. 404. В геометрической прогрессии: 1) 3; ... найдите сумму первых 10 членов; 2) ^ 1; л/2 ; ... найдите сумму первых 20 членов; 3) И V2;-V2; ... найдите сумму первых 16 членов; 4) И V3; V3; ... найдите сумму первых 12 членов. .2- 405. Может ли сумма первых п членов арифметической прогрессии: 1) 17; 13; ... равняться -26; 2) —15; -12; ... равняться 930? 406Р Может ли сумма первых п членов геометрической прогрессии: 1) 1; 6; ... равняться 1533; 2) 2; -6; ... равняться 1760? 407. 1) Последовательность fcg» ••• — геометрическая прогрессия со знаменателем q. Используя указанные в таблице данные, заполните пустые клетки. № Ьг Я п К 1 54 5 2 8748 7 12 3 2 144 283,5 4 -3 6 -486 ъш 21,6 -1,5 109,35 6Ш 12 -0,5 7,9375 2) Последовательность а^; а2\ ... — арифметическая прогрессия с разностью d. Используя указанные в таблице данные, заполните пустые клетки. № ai d п «я 1 -10,2 9,5 47 2 320 -0,25 70 3 65 121 17 4 16 160 1200 5В 1,5 77 1927 6В -19 0,35 85,05 -'Z 5 > 'X 3- 408Р Найдите сумму: 1) всех положительных членов арифметической прогрессии 4,3; 3,9; ...; 2) всех отрицательных членов арифметической прогрессии -6,33; -5,93, ...; 3) всех положительных членов прогрессии 17,4; 16,7; 16;...; 4) всех отрицательных членов прогрессии -12,3;-11,7;-11,1;.... 409. Начиная с какого номера сумма первых п членов арифметической прогрессии: 1)-3; -2,8; ... превысит 1000; 2) 7; 6,6; ... станет меньше -10 000? 41ОР Найдите сумму первых п членов арифметической прогрессии, зная, что: 1) 020 ^ ^5 ^13 ^ "" 25; 2) arj + ^29 == 56, Ojo + CLn = 47, п = 50; 3) Og • 04 = 40, Oj + Og = 9, о = 15, d > 0; 4) O3 • Oj5 = -155, Ojg - Ojo = 24, n = 60. 411. ® Найдите сумму первых n членов геометрической про- грессии, все члены которой положительны, если: 1) Ьд - = 16, fc>5 = 162, 0 = 6; 2) &5 + &з = 240, bi = 768, 0 = 7. 412. ®Сумма первых о членов последовательности находится по формуле: 1 ч с _ о— 4) = о^; 2) = о2 + 2о - 15; 5) = 2'^ - 5; 3) = lOo - о2; 6) = 2” -1 - 2. Запишите первые пять членов данной последовательности. Есть ли среди последовательностей прогрессии? 41ЗР 1) В арифметической прогрессии известны Sgg = 470 и SgQ = 9080. Найдите \ не имеют суммы. В начале пункта мы показали, что бесконечная периодическая дробь 0,(1) может быть записана как обыкновенная дробь i . С помощью формулы суммы геометрической прогрессии любую бесконечную периодическую дробь можно перевести в обыкновенную. Пример 2. Записать в виде обыкновенной дроби число 0,(72). Решение. Представим число 0,(72) в виде суммы: 0,(72) = 0,72 -Ь 0,0072 + 0,000072 + ... . Слагаемые в правой части равенства образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом 0,72 и знаменателем 0,01. Число 0,(72) — сумма этой прогрессии, значит, 0^704- 0»72 _ 0,72 _ 72 _ 8 ^ 1-0,01 0,99 99 11' Ответ: ^. Рассмотрим еще несколько примеров использования формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии. Пример 3. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 9; -6; .... Решение. Первый член прогрессии равен 9. Найдем знаменатель прогрессии. —6 2 11^1 значит, данная прогрессия имеет сумму. Найдем ее по формуле: S = Ответ: 5,4. -(-I) 9 27 . . 2 =5 = Т ^ ^ 3 3 ^'.4,1 X-— n Задача. Из точки В одной из сторон угла ВАС, равного 45°, на другую его сторону опущен перпендикуляр ВС. Из точки С на сторону АВ опущен перпендикуляр CD. Из точки D на сторону АС опущен перпендикуляр DE и т. д. до бесконечности (рис. 104). Доказать, что длины этих перпендикуляров составляют геометрическую прогрессию, и найти ее сумму при ВС = 10 см. Рис. 104 Решение. Обозначим длину перпендикуляра ВС буквой 1^, длину перпендикуляра CD — буквой Zg» длину перпендикуляра DE — буквой Zg и т. д. Получим бесконечную последовательность длин перпендикуляров: 1^, I2, 1^, .... Каждый член этой последовательности является гипотенузой соответствующего прямоугольного равнобедренного треугольника, катетом которого является следующий член последовательности. Так, Zj — гипотенуза треугольника BDC, катет которого — /д, Zg — гипотенуза треугольника CED, катет которого — Zg, и т. д. Катет прямоугольного равнобедренного треугольника получается л/2 умножением гипотенузы на sin 45°, равный ^ . I _ / , V2 , т _ . л/2 ^ .1—1 , . ^2 ^1 2 ’ ^2 2 ’ ''п-1 2 ’ ’ Каждый член последовательности Zj, Zg, Zg, ..., кроме первого, получается из предыдущего умножением на одно и то же Л число ^ , значит, эта последовательность — геометрическая л/2 л/2 прогрессия со знаменателем, равным ^ . Заметим, что ^ < 1. При Zj = 10 находим сумму данной бесконечной прогрессии. 10(1+ 1) S = 10 -1 (■-4)('*1) Ответ: 10(2 -f Л) см. 101 I ----- = 10(2 + V2). ф.' r-='TJ ; / 2, 3 ri* n ^Tlv x^ Упражнения 425. Найдите сумму сии, если: бесконечной геометрической прогрес- l)bi = 6,q^ = 4)6, = -15,? = -i; 2)fc,-6, В 439. В равносторонний треугольник со стороной а вписан другой треугольник, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника. В этот треугольник тем же способом вписан следующий треугольник и т. д. (рис. 109). 1) Докажите, что последовательность площадей полученных треугольников является геометрической прогрессией. 2) Найдите сумму площадей всех этих треугольников. 440. В квадрат, сторона которого равна а, вписан другой квадрат, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата. В этот квадрат аналогично вписан новый квадрат и т. д. 1) Найдите сумму длин сторон всех этих квадратов. 2) Найдите сумму площадей всех этих квадратов. 441 РЗадача П. Ферма. Докажите, что если S — сумма бесконечной геометрической прогрессии 6^, bg, ..., то S-Ъ, 442Р Найдите сумму: V2 + 1 1 72-1 2)3л/3 -Ь 2-72^2 ^ 273 -3 ^ “Г -—-- ”Г . л/з + 1 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания Что называется суммой бесконечной последовательности? Приведите пример бесконечной последовательности, не имеющей суммы. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 0,48; 0,08; ... . Запишите в виде обыкновенной дроби число 0,(63). Ф. .'t ' ч'4^'’ ^ ' л 'ч'i . о- -'jif; а|Л?- '■ .V г-' !ЗФ 5 • 5n-«W?' v ■'дС^у Глава 5 •s^/“ я • -ft: ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ ■э §12. Вероятность суммы и произведения событий В 7 И 8 классах вы познакомились с понятием вероятности и научились находить вероятности различных событий. При вычислении вероятностей использовалась следующая схема. Пусть событие А может произойти в результате некоторого опыта, все п исходов которого равновероятны. Вероятность события А ищут по следующему плану. (Т) Сначала находим число п всех возможных равновероятных исходов этого опыта. @ Затем находим число т тех из них, при которых происходит интересующее нас событие А. Наконец, вычисляем вероятность Р(А) события Л, равную отношению ^ . Рассмотрим ситуацию, возникающую при броске одной игральной кости. Задача 1. Пусть событие А заключается в том, что число выпавших очков больше 4. Найдем вероятность события А. Решение. (?) При броске игральной кости есть всего шесть равновероятных исходов. Число очков окажется больше 4, если выпадет 5 или 6 очков, т. е. при двух исходах. ® Р(А) = ■ гГ |Э1;! п Аналогично можно найти вероятность события В, которое заключается в том, что число выпавших очков окажется простым числом, т. е. что выпадет 2, 3 или 5: Событие, которое заключается в том, что произойдет и событие А, и событие В, записывают АБ и называют произведением событий Ап В. В нашем случае событие АВ заключается в том, что выпадет простое число очков, большее 4. Это произойдет в единственном случае, при выпадении 5 очков. Таким образом, Р(АВ) = g. Пусть нам стало известно, что событие А произошло, т. е. число выпавших очков больше 4. При этом условии событие В имеет место только в одном из двух возможных исходов, 1 и поэтому его вероятность равна - . Вероятность события В при условии, что произошло событие А, обозначается Р{В/А) и называется условной вероятностью. Сравнивая Р(А), Р{АВ) и Р(В/А), можно заметить, что они связаны равенством: Р(ЛВ) = Р{А)-Р(В/А). Рассмотрим теперь событие, которое заключается в том, что произойдет одно из событий — А или В — или оба события вместе. Такое событие называют суммой событий А и В и записывают А + В. В нашем случае сумма событий А и Б заключается в том, что выпадет 2, 3, 5 или 6 очков. На рисунке 110 с помопдью кругов Эйлера показано, как в этом случае возможные исходы нашего опыта распределяются по событиям А, Б и АВ. Событие А происходит при двух исходах, событие Б происходит при трех исходах, а событие АВ — при одном исхо- / де. Диаграмма помогает увидеть, что число исходов, при которых происходит событие А + В, равно 2 -f 3 - 1. Разделив полученную сумму на общее число исходов опыта, получим вероятность суммы событий А и В: Р(А + В)=1±|^ =? +1 -1 =Р(А) + Р(В)-Р(АВ). Таким образом, формула вероятности суммы событий выглядит так: Р{А -h В) = Р(А) -h Р{В) - Р{АВ). Рассмотрим еще одну ситуацию. Задача 2. Из коробки, в которой находится 4 белых и 6 черных бильярдных шаров, наугад вытаскивают сначала один, а затем второй шар. Найдем вероятности событий: А — первый шар черный; В — второй шар черный; С — оба шара черные. 6 3 Решение. 1. Проще всего найти, что Р(А) = = -= . 10 о 2. Событие С является произведением событий А и В. Чтобы найти Р(АВ) по формуле, нам нужна условная вероятность Р(В/А). Найдем ее. После того как из коробки достанут черный шар, в ней останется всего 9 шаров, 5 из которых — черные. Вероятность вытащить черный шар в этом случае 5 5 будет равна - . Таким образом, В(В/А) = - . У У По формуле вероятности произведения получаем: 3 5 1 Р(АВ) = Р(А) • Р(В/А) = 5 9 Полученную вероятность можно найти и непосредственным подсчетом числа вариантов при вытаскивании из коробки двух шаров. 1) Вытащить 2 шара из коробки с 10 бильярдными шарами можно А Iq способами, Afo = 10-9 = 90. 2) Выбрать 2 из 6 черных шаров можно А§ способами. А| = 6-5 = 30. Л <6t If /1' З)тв) = |2='. 3. Будем теперь искать вероятность события В. Заметим сначала, что событие В складывается из двух событий: 1) первый шар черный, второй шар черный; 2) первый шар не является черным, а второй шар черный. Обозначим с помош;ью черты сверху событие А, противоположное событию А, т. е. событие, которое заключается в том, что событие А не происходит. В нашем случае событием А является вытаскивание первым белого ша^. Тогда событие В можно записать в виде суммы: В = АВ -I- АВ. Используя формулы вероятностей суммы и произведения, имеем: Р(В) = Р(АВ + АВ) = Р{АВ) + НАВ) - Р{{АВ)(АВ)) = = Р(А)Р(В/А) + Р(А)Р(В/А) - Р((АВ)(АВ)). Мы уже нашли, что Р(А)Р(В/А) = ^ . О Событие А происходит при 4 исходах из 10, значит, 4 2 Р(А) = = 10 Если событие А произойдет, то в коробке останется __ g 2 9 шаров, б из которых черные. Значит, Р(В/А) ^9^3* События АВ и АВ вместе произойти не могут, так как первый шар, извлеченный из коробки, не может оказаться сразу и черным, и белым. События, которые ни при каком исходе опыта не могут произойти вместе, называют несовместными. Понятно, что их произведение является невозможным событием и имеет нулевую вероятность. Таким образом, Р((АВ)(АБ)) = 0. Подставим найденные значения в выражение для Р(В): Р(Б) = Р(А)Р(Р/А) -Ь Р(А)Р(Б/А) - Р((АБ)(АВ)) = = 1 + -.--0= — = -3 5*3 ^ 15 5' Конечно, получить ответ можно было и проще, заметив, что все 10 шаров в коробке «равноправны», поэтому любой из них с равной вероятностью мог оказаться вторым. Однако в процессе решения мы получили важную формулу вероятности суммы несовместных событий. А' г/»Дл» П ,Ф2 Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей. Р(Л+В) = Р(Л) + Р(В). л Немного изменим условия опыта, описанного в задаче 2. Задача 3. Пусть из коробки, в которой б черных и 4 белых бильярдных шара, сначала наугад вынимают один шар, затем возвращают его в коробку и снова наугад извлекают из нее один шар. Найти вероятности событий: А — первый шар черный; В — второй шар черный; С — оба шара черные. Решение. 1. Изменения в опыте относятся только к условиям извлечения второго шара. Поэтому, как и в задаче 2, Р{А) = I. о 2. К моменту извлечения второго шара ситуация возвра- 6 3 щается к исходному состоянию. Поэтому Р{В) ^ тт^ = -= , вне 10 5 зависимости от того, какой шар, черный или белый, был вытащен первым. Оказалось, что Р{В/А) = Р(Б). Такие события называют независимыми. 3. Вероятность события С, которое по-прежнему является произведением событий А и Б, в этом случае оказывается равной произведению вероятностей этих независимых событий: Р(С) = Р(АВ) = Р(А) ■ Р(В/А) = Р(А) ■ Р(В) = I . § = ± . Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Р(АВ) = Р(А)*Р(В). Это утверждение справедливо для любого числа независимых событий, т. е. в ситуации, которая наиболее часто встречается при проведении серии одинаковых опытов. А: 2 -У 2 "X' 3- ‘Я Задача 4. Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Число бросков записывается. Так, если при первом же броске кости выпадает 6 очков, то пишется 1, если при втором, то 2, и т. п. Затем опыт повторяется. В результате получается последовательность, со-стояпдая из натуральных чисел. Какова вероятность того, что следующий член последовательности окажется равным 4? Решение. Член последовательности будет равен 4, если лишь при четвертом броске кости выпадет б очков, а при первых трех бросках 6 очков не выпадет. При каждом броске кости, вне зависимости от результата предыдущего броска. вероятность выпадения 6 очков равна - , а вероятность того, о что б очков не выпадет, равна ^ . Таким образом, нужно най- о ти вероятность произведения четырех независимых событий. вероятности первых трех из которых равны - , а вероятность о четвертого равна - . По формуле вероятности произведения 5 5 5 1 125 независимых событий имеем: = 0,0964..., 6 6 6 6 1296 что составляет чуть меньше 10% . ▼ Задача 5. Проводится тест, состоящий из 10 вопросов. К каждому из вопросов предлагается на выбор три ответа, только один из которых верный. Чтобы получить зачет, нужно указать не менее четырех правильных ответов. Какова вероятность не получить зачет, если выбирать ответы наугад? Решение. Зачет не будет получен в четырех случаях: 1) если ни на один вопрос не будет дан верный ответ; 2) если верным будет только один ответ; 3) если верными будут только два ответа; 4) если верными будут только три ответа. Все эти случаи являются несовместными событиями. Для ответа на вопрос задачи нужно найти вероятность их суммы, равную сумме вероятностей каждого из них. ф. 1) Найдем вероятность Р(0) того, что все 10 ответов неправильные. Заметим, что выборы ответов на разные вопросы теста не зависят друг от друга. Вероятность угадать один пра- 1 вильныи ответ из трех равна - , а вероятность не угадать рав- О на - . По формуле вероятности произведения независимых О событий имеем 10 множителей 10 множителей Р(0) =2.2.2 ^ ’ 3 3 3 2 2 3 * 3 3 j 2) Событие, заключающееся в том, что один ответ правильный, а остальные девять — нет, складывается из следующих 10 событий: правильный ответ дан на первый вопрос, на второй вопрос, ..., на десятый вопрос. Все эти события несовместны, поэтому вероятность Р(1) суммы этих событий равна сумме их вероятностей. Вероятность каждого из событий равна произведению, состоящему из одного множителя, равного , и девяти множителей, рав- О ных I. Таким образом, Р(1) = 10 • ^ ^ j • ^ | j . 3) Два верных ответа могут быть даны на любые два из 10 вопросов теста. Выбрать эти два вопроса можно 10! 10-9 Г2 = 2!-8! = 45 способами, поэтому вероятность Р(2) — угадать два верных ответа — равна v2 /о\8 P(2) = 45.(i) .(I) 4) Наконец, вероятность Р(3) — угадать три ответа — равна: If 5) Остается вычислить сумму найденных вероятностей. Р(0) + Р(1) + Р(2) + Р(3) = 258 27-86 = (23+10-22 +45-2 +120)= 39 0,559. Вероятность не сдать зачет оказалась равна 56%. Понятно, что вероятность сдать зачет, т. е. вероятность противоположного события, равна 44%. При решении этой задачи мы использовали так называемую схему Бернулли. Академик Петербургской академии наук Якоб Бернулли (1654—1705) установил: 'ч. Если производится серия из п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность успеха равна р, а вероятность неудачи 1 — р, то вероятность Р{тп) того, что ровно т испытаний в этой серии будут успешными, можно найти по формуле: Р{т) = С^р^{1 А Упражнения 443. Один раз бросается игральная кость. Событие А заключается в том, что число выпавших очков меньше четырех. Событие В — число выпавших очков окажется простым числом. Найдите вероятность того, что на игральной кости: 1) выпадет число очков, меньшее четырех; 2) число выпавших очков окажется простым числом; 3) число выпавших очков будет меньше четырех и при этом окажется простым числом; 4) число выпавших очков окажется составным числом при условии, что выпало не меньше четырех очков. 444. Из урны с белыми, черными и синими шарами извлекают один шар. Событие А означает появление белого шара, событие В — появление черного шара. Что означает событие: \)АВ\ 2) А + В? I_____i -4 Л 445. В урне находится 5 белых шаров, 3 черных шара, 2 в полоску и 7 в клетку. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен одноцветный шар? 446. Один раз бросают игральную кость. Событие А состоит в выпадении четного числа очков. Событие В — в выпадении числа очков, кратного трем. Событие С — в выпадении нечетного числа очков. Событие D — в выпадении простого числа очков. Найдите: 1) Р(А), Р(В), P(C),P(D); 2) Р(АВ), P(CD), Р(А£)), P(BD); 3) Р(А + В), Р(С + Z)), Р(А + D), Р(В + D); 4) Р(Б/А), P(C/D), P{D/A), РФ/В). 447. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов приходится выигрыш по 20 р., на 10 билетов — по 15 р., на 15 билетов — по 10 р., на 25 билетов — по 2 р., а остальные билеты проигрышные. Найдите вероятность того, что: 1) купленный билет выиграет не меньше 10 р.: 2) выигрыш составит Юр., если известно, что билет выигрышный. 448. В корзине находится б белых и 8 черных носков. Найдите вероятность того, что пара носков, которые достают наугад, окажется одноцветной. 449. ®В корзине находится 6 белых, 8 черных и 10 серых но- сков. Найдите вероятность того, что пара носков, которые достают наугад, окажется одноцветной. 450. Известно, что в семье двое детей. Найдите вероятность того, что они оба мальчики, если известно: 1)что старший ребенок мальчик; 2) что одного из детей зовут Мишей. Вероятности рождения мальчика или девочки считать равными 0,5. 451. На игральной кости грани с 1, 2 и 3 очками окрашены в белый цвет, а грани с 4, 5 и б — в черный. 1) Какова вероятность того, что выпадет четное число очков, если выпадет черная грань? 2) Какова вероятность того, что выпадет черная грань, если выпадет четное число очков? 2пЗ' J. — 452. Какова вероятность того, что взятая наугад кость домино окажется «дублем», если известно, что сумма очков на этой кости является четным числом? 453. В первой урне находится 7 черных и 5 белых шаров, во второй — 9 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны наугад извлекают по одному шару. 1) Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми? 2) Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? 3) Какова вероятность того, что шары окажутся разных цветов? 454. Два измерительных прибора работают независимо. Вероятность выхода из строя первого прибора равна 0,3, а вероятность выхода из строя второго прибора равна 0,4. Найдите вероятность того, что: 1) оба прибора выйдут из строя; 2) хотя бы один из приборов выйдет из строя; 3) ни один из приборов не выйдет из строя. 455.*Стрельбу в цель ведут 10 солдат. Для пяти из них веро- ятность попадания равна 0,6, для трех — 0,5, а для остальных — 0,4. Какова вероятность поражения цели? 456.*В классе 25 учеников. Какова вероятность того, что дни рождения хотя бы у двоих из них совпадут? 457.* Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин — дальтоники^. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина? (Считать, что количество мужчин и женщин одинаково.) 458.* Играющему в «Поле чудес» предлагают выбрать из трех ящичков один, в котором лежит приз. После того как играющий сделал свой выбор, ведущий, который знает, в каком ящичке находится приз, показывает, что один из оставшихся двух ящичков пустой. Играющему предоставляется возможность изменить свой первоначальный выбор. Следует ли ему воспользоваться этой возможностью? ’ Дальтонизм — нарушение способности различать цвета. ф. m Контрольные вопросы и задания 1. Приведите примеры зависимых и независимых событий. Объясните равенство Р(ВА) = Р{АВ). Как называются события А и В, если: 1) Р(Б/А) = Р(Б); 2) Б(АБ) = Р(А)-Б(Б); 3) Р(А + Б) = Р(А) + Р(Б)? 2. Игральную кость бросают трижды. Какова вероятность того, что шесть очков: 1) выпадет три раза; 2) выпадет два раза; 3) выпадет один раз; 4) не выпадет ни разу? 3. Имеется две одинаковые урны. Первая урна содержит 2 черных и 3 белых шара, вторая — 2 черных и 1 белый шар. Сначала произвольным образом выбирают урну, а затем из нее наугад извлекают один шар. Какова вероятность того, что будет извлечен белый шар? о §13. Понятие о статистике «Статистика знает все: ... сколько какой пищи съедает средний гражданин, сколько в стране охотников, балерин, ..., станков, собак, велосипедистов, памятников, девушек, маяков и швейных машинок» — так писали о статистике Илья Ильф и Евгений Петров в своем знаменитом романе «Двенадцать стульев». Статистика занимается сбором и анализом информации, полученной в результате обследования большого числа различных объектов. Можно сказать, что статистика изучает состояние дел в различных областях. Поэтому свое название статистика ведет от латинского слова status — «состояние». Методы статистики используются в медицине, биологии, социологии, маркетинге, педагогике и т. п. Так, например, при проверке нового лекарства его сначала дают ограниченному числу больных. Затем, в случае положительных результатов, это лекарство рекомендуют всем страдающим данным заболеванием. Понятно, что чем больше экспериментальная группа, тем убедительнее результат эксперимента. С другой стороны, чем многочисленнее группа, тем эксперимент дороже. Статистика дает ответ на вопрос, сколько и каких больных следует выбрать для надежности результата эксперимента. м г IV: Х^' f 'SX-—г-7?^ в этом пункте вы познакомитесь с некоторыми основными характеристиками, которые используются при анализе статистической информации. Рассмотрим задачу выставления четвертных оценок, которую приходится решать каждому учителю математики. Задача 1. Пусть, например, Саша в третьей четверти по алгебре получил следуюш;ие отметки: 4, 3,3, 5, 5, 4, 5, 3, 2,4,5. Какую отметку за четверть заслужил Саша? Решение. Всего отметок 11, и первая идея, которая приходит в голову, найти средний балл — среднее арифметическое всех полученных Сашей отметок: 4 + 3 + 3 + 5 + 5 + 4 + 5 + 3 + 2-Ь4 + 5 _43 11 11 Можно рассуждать и иначе. Ранжируем последовательность Сашиных отметок, т. е. выпишем отметки в порядке возрастания: 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5. Четверка, которую мы выделили, в этом ряду отметок находится точно посередине — перед ней и после нее стоит по 5 отметок. С Среднее число в ранжированном ряду данных называют медианой ряда. Как мы видим, выбрав медиану вместо среднего арифметического, мы получили ту же самую четвертную отметку. Больше всего среди Сашиных отметок пятерок, т. е. пятерки Саша получал чаш,е всего. С Число, встречающееся в ряду данных чаще других чисел, называют модой ряда. 3 Вряд ли учитель выберет моду ряда Сашиных отметок в качестве четвертной, так как пятерки у Саши составляют лишь чуть больше трети всех оценок. Ответ; Саша заслужил отметку «4». Задача 2. Сашин друг Сережа в той же четверти получил 10 отметок: 3, 3, 4, 5, 5, 4, 5, 4, 5, 5. Какую четвертную отметку поставить Сереже за четверть? Решение. Найдем среднее арифметическое отметок Сережи: 3+3+4+5+5+4+5+4+5+5 10 = 4,3. Ранжируем последовательность Сережиных отметок и найдем ее медиану. 3,3, 4, 4,4, 5, 5, 5, 5, 5. В ряду четное число членов, поэтому среднего члена в нем нет. В таких случаях берут средние два члена и считают ме- 4 + 5 дианой их среднее арифметическое: = 4,5. Модой ряда отметок является число 5, так как половина всех Сережиных отметок — пятерки. Ответ: за четверть Сереже можно поставить как оценку « 4 », так и « 5 ». Заметим, что мода есть не у каждого ряда данных. Так, например, в ряду 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5 по три раза встречаются числа 4 и 5, а числа 2 и 3 — по два раза. Таким образом, ни одно из чисел ряда не встречается в нем чаще других, т. е. моды у этого ряда нет. В ряду Сашиных отметок есть и двойки, и пятерки, а среди отметок Сережи двоек нет. С Разность наибольшего и наименьшего из значений ряда называют его размахом. 3 Таким образом, размах Сашиных отметок равен трем, а Сережиных — двум. Конечно, для решения проблемы выставления четвертной оценки статистические методы никто не применяет, нам она понадобилась только для знакомства с основными статистическими характеристиками рядов данных. Обычно статистика оперирует с большими массивами данных и возникает вопрос, как эти данные представить. Задача 3. В двух районах проводилась контрольная работа по математике. В одном районе ее писали 1875, а в другом 2687 девятиклассников. В первом районе получили отметки: «2» — 376 школьников, «3» — 731, «4» — 604, «5» — 164, а во втором районе: «2» — 430, «3» — 1236, «4» — 752, «5» — 269. Как сравнить успехи учеников этих районов? ■Ш г,, Решение. Найдем знакомые статистические характеристики для оценок каждого района. Так, мода и медиана в обоих районах оказались равными 3. А среднее арифметическое оценок в первом районе: 2 • 376 + 3 • 73И- 4 • 604 + 5 • 164 1875 несколько больше, чем во втором: 2 • 430 -ь 3 • 1236 -Ь 4 • 752 + 5 • 269 2687 3,5 ~3,3. Однако для сравнения успехов девятиклассников результаты, показанные в обоих районах, удобнее выразить в процентах. В первом районе получили отметки: «2» — 20% писавших работу, «3» — 39, «4» — 32, «5» — 9%, а во втором районе: «2» — 16%, «3» — 46, «4» — 28, «5» — 10%. В таком виде легко сравнить так называемые проценты успеваемости и качество знаний учащихся. Процент успеваемости показывает, сколько процентов школьников выполнили работу на «3», на «4» и на «5», качество знаний — сколько процентов школьников получили за работу «4» и «5». Сравнивая два района по этим параметрам, видим, что процент успеваемости во втором районе выше, а качество знаний — ниже, чем в первом. Ответ: во втором районе выше процент успеваемости, а в первом районе выше качество знаний. Для повышения наглядности часто используют диаграммы. Так, например, информацию об оценках в первом районе можно выразить в виде круговой диаграммы (рис. 111). Ту же самую информацию можно изобразить в виде столбчатой диаграммы, которую обычно называют гистограммой {pvLC. 112). «2» I I «3» □ «4» I I «5» 50% 40% 30% 20% 10% f 0% ___UsL ♦2* «3» «4» «5» Рис. 112 « 2 » «3 » « 4 » Рис.113 «5» В отличие от круговой диаграммы, гистограмму можно использовать и для сравнения данных. Так, на следующей гистограмме (рис. 113) одновременно показаны результаты контрольной работы в первом районе (светлые столбики) и во втором районе (темные столбики). В следующем примере вы встретитесь с ситуацией, когда в ряде данных имеется слишком много значений, чтобы говорить о каждом из них отдельно. В таких случаях данные обычно группируют. Это делает соответствующую информацию обозримой. Задача 4. В таблице представлены результаты испытаний электронных ламп на продолжительность работы. Какова средняя продолжительность работы ламп? Решение. Данные, приведенные в таблице, можно указать и с помощью гистограммы (рис. 114). о со о 05 6 о со о ю о о см о гН см 6 о 00 о см I о о см о со со I о о о со Рис. 114 A ?^aefc-;«-r:^ ‘ -— "5 ’ —■ ■« Л. .y. S b i . - ’ Всего испытывались 53 + + 41 + 30 + 22 + 16 + 12 + 9 + + 7 + 5 + 3 + 2 = 200 ламп, 53 из них проработали меньше 300 ч, 41 лампа проработала более 300, но менее 600 ч. Ни одна лампа из 200 не проработала больше 3300 ч. Несмотря на то что в таблице не указано точное время работы каждой из испытывавшихся ламп, полученная информация позволяет сделать вывод о том, что модой этого ряда является работа лампы менее 300 ч, медианой — работа лампы от 600 до 900 ч. Для вычисления среднего арифметического продолжительности работы ламп будем считать, что каждая из них проработала максимальный срок, т. е. 53 лампы проработали по 300 ч, 41 — по 600 ч и т. д. Тогда среднее арифметическое равно Т, ч п f 0—300 53 0,265 300—600 41 0,205 600—900 30 0,150 900—1200 22 0,110 1200—1500 16 0,080 1500—1800 12 0,060 1800—2100 9 0,045 2100—2400 7 0,035 2400—2700 5 0,025 2700—3000 3 0,015 3000—3300 2 0,010 Более 3300 0 0 53 • 300 + 41 • 600 + 30 • 900 + ... -ь 2 ♦ 3300 200 1000 (ч). При вычислении среднего арифметического можно использовать третью колонку таблицы, в которой указана частота соответствующего результата эксперимента, т. е. отношение числа ламп, проработавших некоторое количество часов, к числу всех испытывавшихся ламп. Так, частота про- 53 работавших менее 300 ч ламп равна f = = 0,265. Значит, среднюю продолжительность работы лампы можно найти как сумму произведений срока работы лампы {Т) на его частоту {f): 300 • 0,265 + 600 • 0,205 -ь 900 • 0,150 -Ь 1200 • 0,110 + ... ... + 3000 • 0,015 -Ь 3300 • 0,010 ~ 1000 (ч). Ответ: 1000 ч. В рассмотренном примере вероятность той или иной продолжительности работы случайным образом выбранной лампы не была известна и найти ее по плану, сформулированному в начале предыдущего пункта, было нельзя, поскольку возможные исходы испытания лампы очевидно не являлись фу n равновероятными. Однако при увеличении числа испытываемых ламп можно заметить, что частота того или иного срока работы ламп все меньше отличается от некоторого числа, которое и принимается за вероятность соответ-ствуюш;его исхода. Представление о вероятности события как о числе, к которому стремится частота события при увеличении числа испытаний, было разработано английским ученым Дж. Венном в 60-х гг. XIX в. Если знать вероятности всех возможных несовместных результатов, то можно ожидать, что среднее арифметическое результатов в серии испытыний будет близко к сумме произведений результатов на их вероятности. С Сумму произведений результатов испытания на их вероятности называют математическим ожиданием J Задача 5. Вычислить математическое ожидание числа очков при бросании игральной кости. Решение. Вероятность каждого возможного результата при бросании игральной кости равна ^ . Математическое о ожидание равно: l-g+2.i+3.1+4.i+5.i+6 1^-2 + 3-ь4 + 5-ь6 = 3,5. Конечно, получить такой результат нельзя, так как он попросту невозможен, однако, бросив игральную кость несколько раз, можно ожидать, что средний результат окажется близким к числу 3,5, причем тем ближе, чем больше бросков будет сделано. Понятие «математическое ожидание» происходит от представлений игроков об ожидаемом выигрыше. Впервые это понятие появилось в трудах французского математика Б. Паскаля и голландского математика X. Гюйгенса в XVII в. Термин «математическое ожидание» ввел французский астроном, математик и физик П. Лаплас в 1795 г. В полной мере это понятие было оценено и использовано русским математиком и механиком Пафнутием Львовичем Чебышёвым в середине XIX в. ly Вы познакомились с основными характеристиками, которые используются в статистике. Однако мы не коснулись, пожалуй, самого важного вопроса о том, как получать достоверные выводы о всей совокупности исследуемых объектов {генеральной совокупности), изучая лишь часть из них {выборку). Так, например, с помощью интернет-опроса вряд ли можно получить достоверную информацию о нуждах российских пенсионеров, поскольку лишь у незначительной их части есть Интернет. Трудно также рассчитывать на объективность выводов о доходах москвичей, опрашивая покупателей сети дорогих магазинов «Седьмой континент». Таким образом, соответствующая выборка может позволить статистике получить не объективный, а желаемый результат. Поэтому британский премьер-министр конца XIX в. Б. Дизраэли сказал: «Есть три вида лжи: обычная ложь, наглая ложь и статистика». К сожалению, многие современные опросы общественного мнения показывают, что слова Дизраэли по-прежнему актуальны. Упражнения 459. 1) Найдите медиану ряда, представленного ранжированной выборкой, содержащей нечетное количество членов: 12, 14, 14, 18, 20, 22, 22, 26, 28. 2) Найдите медиану ряда, представленного ранжированной выборкой, содержащей четное количество членов: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24. 3) Сделайте вывод. Как найти медиану ряда, содержащего четное количество чисел? Как найти медиану ряда, содержащего нечетное количество чисел? 460. Приведены ранжированные данные (в секундах) результатов бега на 100 м юношей 9 класса: 12,8; 13,7; 14,2; 15,0; 15,2; 15,6; 15,8; 16,0; 16,0; 16,3; 16,6; 16,9; 17,7. 1) Найдите: а) размах ряда; б) среднее арифметическое ряда; в) медиану ряда; г) моду ряда. 2) Какую из средних характеристик, по вашему мнению, лучше всего использовать, чтобы охарактеризовать спринтерскую подготовку юношей этого класса? Ф. 461. Запишите число страниц, на которых располагается каждый пункт данного учебника. Ранжируйте получившийся ряд. Чему равен размах ряда? Найдите среднее арифметическое, моду и медиану этого ряда. 462. На предприятии работают 100 человек: директор, зарплата которого составляет 100 000 р. в месяц, и 99 слу-жапцих, каждый из которых получает по 1000 р, в месяц. Служащие потребовали повысить им зарплату, так как практически все работники предприятия получают по 1000 р. Однако директор отказал им, объяснив, что средняя зарплата на предприятии составляет около 2000 р. Какая средняя величина лучше характеризует ситуацию с зарплатой на предприятии? 463. При определении размеров верхней одежды у случайным образом выбранных женщин полученные данные представили в виде гистограммы (рис. 115). По гистограмме ответьте на следующие вопросы. 1) Сколько женщин участвовало в опросе? 2) Какая величина отмечена на оси абсцисс? 3) Какая величина отмечена на оси ординат? 4) Чему равны мода, медиана и среднее арифметическое (средний размер одежды)? 464. Девятиклассники соревновались на скорость чтения, т. е. определяли, какое количество слов в минуту может прочитать каждый из них. Данные, полученные в ходе соревнования, представлены на гистограмме (рис. 116). По гистограмме определите: 1) число соревновавшихся девятиклассников; 2) размах и средние характеристики совокупности результатов. Рис. 115 \Ф/ 91 100 110 120 130 140 Кол-во слов в минуту Рис.116 465. Провели измерения размеров обуви у мужчин и женщин. Размеры обуви женщин: 25; 24; 23,5; 24,5; 23; 24,5 22,5; 23; 23,5; 24; 23,5; 23; 24; 23; 24; 24; 23,5; 24; 23,5 24; 23,5; 24; 24,5; 23,5; 24,5; 24,5; 22,5; 24; 24,5; 25 22,5; 24; 25; 23,5; 24; 25; 23,5; 25; 24,5; 23,5; 25,5; 23 24,5; 25,5; 23,5; 24; 26; 24,5; 23,5; 24. Размеры обуви мужчин: 28,5; 27,5; 27; 28; 26,5; 27,5 25,5; 27; 27,5; 26; 26,5; 28; 25,5; 26,5; 27; 26,5; 25,5; 27 26; 27; 26,5; 27; 26; 27; 26,5; 27; 26; 27,5; 26,5; 27,5; 28 27,5; 28; 27; 27,5; 28; 26; 28,5; 26; 25,5; 28,5; 29; 27,5 26; 28; 26,5; 26; 27; 27,5; 28. 1) Постройте гистограммы размеров обуви женщин и мужчин по данным выборок. 2) Каких размеров женской и мужской обуви фабрике следует выпускать больпге? 466. Из горы хлопка наугад вытащили пучки и измерили длины волокон хлопка в сантиметрах. Результаты первых 20 замеров оказались следующими: 2,10; 2,23; 2,14; 2,16; 2,56; 2,05; 2,20; 2,34; 2,18; 1,95; 2,21; 2,46; 2,28; 1,95; 2,54; 2,12; 2,05; 2,15; 2,18; 2,21. 1) Постройте гистограмму длины волокон в пучках. 2) Охарактеризуйте полученные данные. 467. Приведены показатели объема легких (в миллилитрах) учеников 9 класса до поездки в спортивный лагерь и после. Показатели объема легких до поездки в спортивный лагерь: 3400, 3600, 3000, 3500, 2900, 3100, 3200, 3400,3200, 3400. Показатели объема легких после летнего сезона: 3800, 3400,3300,3600,3100, 3200, 3200, 3300, 3500, 3600. 1) Ранжируйте ряды. 2) Найдите: а) размахи рядов; б) средние арифметические рядов; в) медианы рядов; г) моды рядов. 3) Какая характеристика лучше характеризует каждый ряд? 4) Постройте сравнительную гистограмму объема легких учеников до поездки в спортивный лагерь и после. 468. При наборе в баскетбольную секцию кандидатам предлагалось выполнить по 10 бросков в корзину. Подсчитывалось число п попаданий каждого из кандидатов. Ф. I В таблице представлена информация о результатах, показанных желающими заниматься в секции. Число попаданий п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Число кандидатов, попавших п раз 5 8 13 24 31 25 20 10 3 2 1 Частота результата в процентах 3,5 5,6 9,2 17,0 21,8 17,6 14,1 7,0 2,1 1,4 0,7 1) Постройте гистограмму частот попадания. 2) Найдите среднее (среднее арифметическое) число попаданий кандидата в серии из 10 бросков. 469. В таблице приведены данные о годовом надое молока коровами некоторой фермы. Надой, тыс. л 1,6- 2,2 2,2— 2,8 2,8— 3,4 3,4- 4,0 4,0- 4,6 4,6- 5,2 5,2— 5,8 5,8— 6,2 Кол-во коров 4 14 17 37 15 6 4 3 Найдите: 1) единицу измерения надоя молока; 2) число коров на ферме; 3) величину промежутков разбиения показателей надоев; 4) средние показатели надоев; 5) математическое ожидание годового надоя молока от коровы. 470. 1) Выпишите из дневника свои оценки за этот учебный год: а) по математике; б) по русскому языку. 2) Найдите средние характеристики этих рядов. Каких годовых отметок вы заслуживаете? 3) Постройте сравнительную гистограмму своих отметок по математике и по русскому языку. Какие выводы можно сделать по этой гистограмме? Г' /д| II wm 5>* ---- 471. Найдите в газетах статистические данные, представленные в виде гистограммы. Проанализируйте эту информацию. Укажите средние статистические характеристики этих данных. 472. 10 солдат по одному разу стреляют в одну и ту же мишень. У пяти из них вероятность попадания в мишень равна 0,6, у двух — 0,5, а у остальных — 0,3. Найдите математическое ожидание числа попаданий в мишень. 473. Найдите математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании двух игральных костей. ДД Контрольные вопросы и задания 1. Перечислите средние характеристики рядов чисел. Как они вычисляются? 2. Ученики 9 класса проводили хронометраж времени, которое они тратят на просмотр телепередач. Полученные данные занесли в таблицу. Кол-во часов Менее 1 1—2 2—3 3—4 4—5 Более 5 Кол-во 1 5 7 12 4 1 учеников Найдите: 1) число учеников в классе; 2) среднее время просмотра; 3) моду; 4) медиану. 1ЙгЩ:-5-й4 rfimmim _ ПОВТОРЕНИЕ И ОБОБЩЕНИЕ Выражения За время обучения вам много раз приходилось находить значения различных числовых выражений. С Числовое выражение или имеет единственное значение или не имеет смысла. 474. Имеет ли смысл выражение: 1,6433-5,2*2,35 . ^ 2* 33 + (3*2)2 _ 10 ’ 4) V93-63-83; 04 0,4575-3,75*0,8212 ^ 2* 63 - 0,5* 82 - 202 ’ »-ДШ‘ 3) л/122 + 132 - 182; 475. Найдите значение выражения: 1)0.1 + 0,03:(^-|); к, 5,2 * 1012 ^ 5*1015 ’ 2>(Й-п)=°’45-^; «л 9-1 * 9-9 . 6) 9-.. ; 3)100.0,23 + 0,3^:(1|+А); ^ 16-1 ’ 4)0,52-0,3- О, (3-5)-з.д2 27-3 • 476Р Вычислите: 1) 0,1 + 0,145 :(( 22 2)1,415 + 3,25* (10,42-1,122 : ГА - А + ^'|V U8 70 50 Jj’ D = +1+^) ■2-25 +1.35) 4) ^+0,6048: (0,5r6-14.4(jIg-A+^)); 5) (5,412 - 0,1506 : (^ + - ^ )) -0,45 - |; 6) ((Ш + 477. Результат выполнения действий запишите в виде десятичной дроби: 1) (1,5 • 10-3) • (5 • 102); 2) 1,2 • 102 . (3 . ю-4). 478* Вычислите с помош;ью микрокалькулятора: 1) (6,244 - 3,1521 : 0,525): 0,0192 + 3,7; 2) (27,0405 : 6,75 - 3,973): 0,0132 + 0,74; 3) (4,0554 : 0,675 - 0,608) • 2,05 - 1,47; 4) 6,528 : (0,503 • 140 - 26,28 : 0,375); 5) (12,767 : 4,25 -Ь 0,196) • 0,056 - 0,0442; 6) 1,65 • 1,8 -Ь 1,2 • (12,008 - 10,258). в « 479Г С помощью микрокалькулятора найдите значение вы- ражения: 1) 1,47* 3719,29; 3) 2)0,9123- 7342,7; 4) 717,62 . 0,61453 ’ 0,8913'* ‘ 480. Упростите выражение и найдите его значение: 1) 1 ут5 +3V48 - УШ + 7^ + 7^; 5 2) \4Ш^ +27^ -^78 -7^ +7^; 5 2 3) 0 2 /I -Ь 7б0 + 7^ - 715 + 5 S; ^ О ^ X о 4) 0 и -2,5Л;5-3^+1,776: 5>* 75 ^ ^ ^ - А = 6)» i - 2,5 /l-Jj 798^^2. W Ш Большинство выражений, которые встречаются в математике, содержат буквы, обозначаюш;ие переменные, т. е. буквы, вместо которых можно подставлять различные числа — значения переменных. Такие выражения называют выражениями с переменными. 481. Найдите значение выражения: 1) Ja^ + при а = 12 и 6 = -5; 2) Jc^ - при с = 10иЬ = -6; 3) -f- с при d = 11 и с = -20; 4) Убх - Зу при X = 146 и у = 35; 5) 12 при а = V4 и Ь = 73 ; 6) при с = -л/б и d = -\[2 ; 18 7) (т при т = 0,25; 8) при п = 0,2. С Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называются допустимыми. 3 Когда речь идет о выражениях с одной переменной, множество всех ее допустимых значений обычно называют областью определения выражения. 482. Найдите область определения выражения: 1) 2дг + 1 ’ 2) У 1Ьу + 3 ’ 3) d 4) 7-а - 81 ’ ft + 8 7) 8) 9) 4- 4 . - р - 90^ k-4 /г^ - fe + 90 ’ 3t + 12 9b^ - 100’ 10) <3 - 1000 ’ 5n -ь 25л 13) (7а)-2; 14) (7бТ1)-3; 15) 2с + 3 5) -7 6) с2-5 ’ 13d лз - 125 ’ 11) 73 - 12лг; V3d + 1 16) Vsc + 1 ; 17) М2х + 3 ; 4d2 - 3 ’ 12) J6q - 3 ; 18) У + 2 ^2^ТЗ If X *4-1 X X X ^ n Тождества С Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных J К тождествам относятся законы арифметических действий, формулы сокращенного умножения, основное свойство дроби, свойства корней, степеней и т. п. В тождестве = (а + Ь){а^ - аЬ + Ь^) допустимы любые ас а значения переменных, в тождестве i— = г — все значения ос о переменных, не обращающие знаменатели дробей в нуль, а в тождестве Vob = Ja • Jb допустимы только неотрицательные значения переменных. Равенство не является тождеством, если существуют допустимые значения переменных, при которых оно неверно. 483. Докажите, что равенство не является тождеством: 1) = (а- Ь)^; 2) + с1^^(с + d)^\ 3) -I- у‘^ = х‘^ Л- 4) \Jx^ - 2^ = Х^ - 2^. Выражения, записанные в левой и правой частях тождества, называют тождественно равными. Переход от одного выражения к другому, равному ему тождественно, называют тождественным преобразованием. 484. Является ли тождеством равенство: 1) (а Ч- Ь)^ = а^ Ч- + ЗаЬ(а -ь б); 2) х^-у^- Зху{х -у) = {х- у)^\ 3. 3) (а + Ь){а - Ь){а^ + Ь^) = а^ - ЬН 4) - г/4 = (л: + у){х^ - х^у -Ч xy^■ - у^); - 1 5) 1 -f а -Н -Ь = 6)l-b + b^-b^ + b^ = а - 1 ’ 65 + 1 6 + 1 ’ -ф,' ГС ЛвалятЛ I i-t 7)^ S)^ о> Ы - X X X = -2; = -1 ? 2 ' 485. Является ли тождеством равенство: 1) л/^ = а^; 4)^ ^9/^ = 9/а^ ; 2) л/Р=6'‘; 5) J{a -Ь)^ = а-Ь; 3) ^ = 5^ . б) 7(а + Ь)2 =а + Ь? 486. Докажите тождество: 1){а + Ь + с)(а + Ь - с) = + 2аЬ + - с^; - у - z)(x + у + z) = - 2yz - z^. 487. Докажите, что дробно-рациональное равенство является тождеством: 1) 2) 1 Х'^ + ху + ху + 1/2 1 = 4) а2 - аЪ аЬ - 1 ху J_ аЬ (хуУ ixy)'^-Hx'^-^y) ху; 3) (аЬГ(а'-Ь) ^ (аЬ)'^ 6)< 8^-1 + 8*-2 дп _ 9^-1 (Зл + 1 + 3«)2 18 Тождественные преобразования применяются и для представления выражения в более удобном для решения задачи виде. Так, например, уравнение х^ — 5х^ - 4л: -Ь 20 = О можно решить, разложив на множители его левую часть: л:» - 5х^ -4х + 20^ х^х - 5) - 4(л: - 5) = (jc - 5)(л:2 - 4) = = (х- 5)(х - 2)(л: + 2), а затем применить условие равенства произведения нулю: (х - о)(х - 2)(х + 2) = о, JCj = -2, Х2 = 2, Х3 = 5. 488. Разложите многочлен на множители: 1) За^ — 2аЬ - 2ах -Ь 2Ьх; о) х^ - 2а - 1; 2) 14а^ - Зр^ - бар -f 7kp; 3) 0 (а2 - 5а)2 - 36; 4) 0 {х^ - 44)2 _ 49^2. 6) p2_4b2_4^7_ 1; 7) 0 2а2-За2-За + 2; 8) 0 362 + 7^2-76-3. -л® г 489.• Сократите дробь: ЪОаЪх - 18а&2 +\2а^Ь 1) 2) 3) 4) 5) 6) ЗОаЬл: - 4562JC + ТЪЬх^ ’ 18а2;с - ЗОаЬл: - 12ал:2 . Ъ0Ь^х-г^аЬх + 20Ъх^ ’ 12а2 - 9а6 + Аас — ЗЬс 20а2 + ЗЬс - loab - 4ас ’ 15а^ + 2Ьс - 5ас - баЬ 4Ьс - 15а2 - Юас + баЬ ’ х^ - 5у + 5х - г/2 , х^ + 5у - 5х - ’ + Ьс - - ас аЬ - с^ + ас + ' 490. Сократите дробь: 1) 2) 3) ' 4) ' х^ - 19л: + 88 . л:2 _ 64 ’ 22 - 625 22 - 232 - 50 ’ к 15а2 + lab - 452 27аЗ - 53 щ 8сЗ + 125^3 6с2 + \3cd - 5d^’ 491. Сократите дробь: .О xjx + у4у . 1) 2) Jxy + у о ajb- bja . aja - bjb 492. Упростите выражение: а + 1 , 1 5) ® 6) ® 7) * 8) " (с - 1)^ - 1 сЗ + 1 ’ (d + 1)3 + 1 , d3- 1 ’ дЗ-8 . а* + 4дЗ 4- 4д2 - 16 ’ fe3 + 27 54 _ 9^2 + 54f, -81 ’ 3) О X - Jx -Jy - у . 4) О х-у а - Ь а + Ja — Jb - b 2)( 25 + 15 - За )-(а4т-‘4 4)( 1 . ^-2 ]. (1 4х-27\ 5х + 40 л:2 - 64 J [з 2х-1 ) 9 ЗЬ 25 ^ , 52 _100 5 {Ь - 10)2 52 - 100J 25 -f 100 5 - 10 ’ Зл: 2х \ 4 л: + 50 5 4д:2 - 25 (2х + 5)2 ) ‘ (2л: + 5)2 8л: - ф. * . ^ -I- 5)0 -.1 +f£f .f_d_ ^ lSc+12 {2) 1эс2- Ifl 6)0 ( 18 + d-S 4 3c-2 3c2 + 2cJ’ 1 Л fSV . 1 4^2-9 2d^ + 3d 2d-3 493. Упростите выражение: 1) + ____. d) Q-4d 2) 3) 10 ^ 10 f ^ ^ V л: + 5 л;2-25 ’ 1л:2 _ 7jc -1- xo 2x -x4^ 30 39 ( ^ V ^-y y^-^y ’ lp2_ lly-26 y'^ + 2i/J’ + 3p2 + p - 2 9/?2 - 4 ) ’ 9p2 - 4 p + 1 ’ . 3p + 4 _ 1 . 4) 21 4a + 6 + a2 - 25 a + 2 ( + a 5)2^ + Ш'( 25-a2 2a2-7a-15 6 + 2 5 U-26>l 4463-4^,2 + ^ 2-6 462 + 26 +1 6) 1-863 262 + 6 c2 — 2c + 4 2c + c2 ■)= c + 2 4c2 — 1 c3 + 8 2c2 494. Упростите выражение: с + 3 с + 4 ;2 + 2c 3 - 6c 1\0 f 4(c + 3) c \______________ V c2 — 3c 9 — c2y C + 6 c — 3’ Ob-5 4(6+1) / 96 6 + 4 \ * 1б2 - 16 62 - 46;’ 2) 36 - 6 62 + 46 2 3)« - ^ . - fl-M±l)l ; +d)- (c + d)2 V c^ — d'^] \ c — d J’ ) V ^ + у {X - y)^ 495. Упростите иррациональное выражение: a - 8 , \[a^ - 4 . 1) + + 2^Ja + 4 \[a - 2 2) 62 + 27 + - 9 - 3lfb^ + 9 37^ + 3 Ш .„.У/ 3) 0 4) Jx + X Л f Jx+ Jy ^ '^Jxy - Jy i/xy - Jx i/^ о Va \fb_______a + b ^Jab + Vb ^Jab + Ja ^Jab 49бР Упростите выражение: 2) 3)' 4)* Ja Ja - Jb ^ a + Jab Sjb а - Ь а - Jab J s Ja - Jb Jy Jx у Jp - xj~y 1 X + J^ X- у у Jx^ + Jy^ Jx +Jy ( Vi X + у v^ \Х- У X + Jx^y + Jxy^ ^ X • - VP V^ + Vy ( ш _l_ V~p Л. p - k Vp \р + k Jp^k - - Jpk^ + k ^ p . 3/P + VP Vp - Vfe 497. Представьте выражение в виде степени: 1) + а~^ + а~^ 2) Ь^ + Ь^ + Ь'‘ + O'* + а® ’ ' Ь ^ + Ь~^ + Ь ^ Для вычисления значений многочлена х'^-6х^+7х^-8х-10 его удобно преобразовать следуюпдим образом: х'^ - 5л:^ + 7х^ - 8л: - 10 = (л:^ - бл:^ + 7х - 8)х - 10 = = ((л:2 - 5л: + 7)х - 8)х - 10 = (((л: - 5)л: + 7)х - 8)х - 10. Такое преобразование непосредственно приводит к схеме Горнера. 498. Составьте схему Горнера и вычислите приближенное значение многочлена: 1) х^ - 7х^ + 8л: - 19 при х ~ 0,85; 2) + Зу^ - 6у + 12 при у ~ 7,2; 3) И а'* + 9а^ - 21а2 - 7а + 30 при а ~ 7,432; 4) И - 11^3 + 1352 _ 8Ь - 9 при 5 ~ 15,25; 5) И л:'* - 2л:^ + Зл:^ + 5л: - 18 при х ~ 6,45; 6) И у"^ + Зу^ -8у - 19 при у ~ 0,628. \Ф/ Уравнения Решая уравнение, его обычно приводят к более простому виду. Такие преобразования уравнения, как прибавление к обеим его частям многочлена, умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, приводят к уравнению, равносильному исходному^ т. е. имеющему те же самые решения, что и исходное. 499. Решите уравнение: 1) {2х - 3)2 {2х - 1){2х + 3) = 4; 2) (Зх - 7)2 - (Ьх + 1)(2х - 5) = -х2 - 3; 2^ X - 0,5 ^ X - 0,25 л: - 0,125 _ q. . ч 4л- + 0,5 . X - 0,8 , 12 8 2 X + 0,2 6 = 0. 500. Выразите х из равенства: 1) 3(х - а) = X + За; 2) 3 ^ л: - I j = 2л: + 6; 3)' ас X + Ьс X - аЬ = 2а; (а -ь Ь)х - аЬ ^ (а - Ь)х + аЬ _ ^ а — Ь а + h 501. Имеет ли корни уравнение: 1) 7л:2-61л:+ 200 = 0; 2) 8л:2 +45л:+ 570 = 0; 3) И l,663f/2 - 2,75у + 1,825 = 0; 4) Я 0,721г/2 - 0,2451/ + 0,08512 = 0? 502. Решите уравнение: 1) 2л:2- 11л: + 15 = 0; 2) -Зл:2 + 13л: + 66 = 0; 3) 4f/2-44i/ + 21 =0; 4) 1122 + 712 + 30 = 0; 503? Решите уравнение: 1) х2 + 346л:+ 21 093 = 0; 2) 241/2-711/-3 = 0; 5) 2/г2 + 3/г + 8 = 0; 6) 5р2-7р+ 13 = 0; 7) 4п2 - 26/1 + 49 = 0; 8) 9с2 + 30с + 25 = 0. 3) 49А;2 - 1250А: + 2304 = 0; 4) 2522- 1932 + 340 = 0. г о 4п 504.1) Решите уравнение: а) -2х^ - X + 6 = 0; в) -4х^ + 7х + 30 = 0; б) -Зх^ + 4х + 15 = 0; г) -5х^ + бх - 1 = 0. 2) В чем особенность данных уравнений? С чего нужно начать их решение? 505. Решите уравнение: 1) х^ - 7x2 +12 = 0; 2) Зх^ - 13x2 + 4 = 0. Корни Xj и Xg квадратного уравнения связаны с его коэффициентами соотношениями + Xg = - ^ , ^r^Xg = ^ , называе- мыми формулами Виета. 506. Не решая уравнения, определите знаки его корней (если корни существуют): 1) х2-Ы7х-47 = 0; 2) х2-12х + 40 = 0; 507. Решите уравнение: 3) 5х2-ь27х-Ы = 0; 4) 6x2-39х-211-0. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 0 8) 0 2х-1 ^ 2х + 1 1 -4x2 ’ 5х 16х _ 2х - 50 . X - 3 X -ь 3 9 - Х2 ’ 2 У - 1 8 5у - 10 3J/2 + 5t/2 _ 20 ’ 2y-hl 2у - 1 _ 8 6у2 - Sy Z z‘^-lz + 10 О 14t/2 + ly \2у — 3 ’ 16 + Зг2 - 12 = 0; 2 + 2 — 0* 2г2 + 2-3 222 - 32 -9 Зх X + 2 ^ Зх - 1 2 + 5х-Зх2 Зх +1 X — 2 25г/ - 21 2г/ - 3 t/ + 4 2у2 + Ъу - 12 У + 4 3 - 2у = 0; = 0. При решении некоторых уравнений удобно использовать условие равенства произведения нулю: произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. ф.’ Так, при решении уравнения (х^ - 4) 3 + ^ ^ ^ ) ~ ^ нахо- дим числа 2 и -2, обращающие в нуль первый множитель, и число -, обращающее в нуль второй множитель. Проверка показывает, что корнями исходного уравнения являются числа -2 и - . Число 2 не является корнем исходного уравне- ния, так как при этом значении х второй множитель не имеет смысла. 508. Решите уравнение: 1)(2;с-5)(д: + 7) = 0; 7)0 £i±_2£ = 0; 2)(11 -х)(х + 4) = 0; 8) - 4 О 2jc - 14 = 0; 3) (i/^ - 9)( V - 1) = 0; 4) (4,i/2-l)(j/2 + 25) = 0; 5) i±2 2 + 4 x^-2x- 35 9)* (2i/-ll)-T4^ =0; 10) » (31/- 10)=0; 11) »(5г+ 10)(75 -4) = 0; 6) = 0; 1-52 12)# (302 + 5)(V^ + 5) = 0. 509. Решите уравнение, разложив на множители его левую часть: 1) - Ьх^ - Збх = 0; 4) {у^ - 5у)^ - 36 = 0; 2) у^ + ду^ -Sy = 0; 5)*^ х^ + 5х‘‘^ - 5х - 1 = 0; 3) (х‘^ + 15)^ — 64х‘^ = 0; 6)^ у^ + 7у^ + 14у + 8 = 0. Значения переменных, удовлетворяющие каждому из нескольких уравнений, называются решениями системы этих уравнений. Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что система не имеет решений. Основными приемами решения систем уравнений являются способы подстановки и сложения. 510. Решите способом подстановки систему: \3х + у = 23, \х-Ьу = 23, I 2х + 31/ = -8; \5х + 7у= 19; 3) 1 1 1 1х-Ъу^ 9; 5119 Решите способом подстановки систему: 2л: + 3^ _ 5л: + 9t/ [ 5л: + 4t/ = 10. 1)^ x-Zy _ 2л: - Зу . . 2 3 ’ 3) + ху - = 11, х-2у=1; 5у — Зл: - 3 _ 4г/ — Зл: -3 2)i 2 2 6 + Зл: - у _ 12л: - у _ 4) л:^ + -f X + 2^ = 0. 512. Решите систему уравнений способом сложения: х2 + 3х-4:у = 20, ^ ' х^ -2х + у = -5; у2 + 3jc-^ = 1, П-: ^ + У = 1)13д:-5у = 2; ,7ж-3(/=13, I X - 2i/ = 5; 4) у^ + Gx - 2у = 1. 513. Выразите х и ^ через аиЬ: 1)< ^ ^ У =1 Ь ’ X - а а + fc X - а у - Ь _ ^, _ -|- ^ О а 2)i у - а а - Ь' X а + Ь У а - Ь ' 514. Решите систему уравнений: Jx + 2t/ = 0, 1>1x2-z/ = 18; 4) хг/ + + X — 4i/ = 15, х +t/ = 5; 2) |Х + 1/2 = 16, + 5z/ = 10; 5)^ J Х2-3 [ху = 60; Зх^ + 1/2 = 61, 3) х-у = 2. х^ — ху - X — у = 2; 6)^ х2 + 5х^ - у^ = 35, ху = 39. 5159 Решите систему уравнений: 5t/+l _ Зу - 2 X + 6 х2 - 36 ~ ’ х+1 x+l_12t/-12. у - 3 у + 3 i/2-9 #/ Т 2)^ 2jc - 2 ^ у - \ ^ 2 x + у x-y X - \ _ л: + 3 г/ + 1 у + Ъ' 516. Запишите формулу я-го члена арифметической прогрессии aj, Я2> если известно, что: Яг-bag =10, [я2 + <25 = 14. 1) ^3 ^14 ^ 1 ’ 2) Яд + Яу - 8. 517. Найдите первые четыре члена геометрической прогрессии fc>2» если известно, что: + = [6j-t-&3 = 15, 1) Ъо + Ъл = 60; 2) ^4 ~ 30. При решении текстовых задач с помощью составления уравнения нужно иметь в виду, что корни составленного по условию задачи уравнения могут и не удовлетворять смыслу задачи. Решения системы уравнений, составленных по условию, также следует проверять на соответствие со смыслом задачи. 518.1) Велосипедист проехал 20 км от пункта М до пункта N по шоссе, а возвратился в пункт М по проселочной дороге длиной 15 км. Обратно он ехал на 3 км/ч медленнее, но затратил на 5 мин меньше, чем на путь по шоссе. С какой скоростью ехал велосипедист по шоссе? 2) Трасса, по которой двигался лыжник, состояла из горизонтального участка длиной 4 км и подъема длиной 2 км. Хотя на подъеме лыжник двигался на 4 км/ч медленнее, чем на горизонтальном участке, он затратил на подъем на 5 мин меньше. С какой скоростью двигался лыжник на подъеме? 3) Пассажирский поезд, двигаясь быстрее товарного на 15 км/ч, затрачивает на прохождение пути в 150 км на 20 мин меньше. С какой скоростью движется товарный поезд? 4) Автомобиль проехал расстояние между городами М и N, равное 185 км, с некоторой средней скоростью. На об- ф Г .... ?»-> ----------^ S ^ _1. J. I."*- ' ратном пути средняя скорость автомобиля была на 10 км/ч больше, и он затратил на 15 мин меньше, чем на путь из города М в город N. Какова была средняя скорость автомобиля на пути из города N в М? 5) 0 Два поезда отправились одновременно от станций А VL В т встретились через 2 ч. Когда один из поездов, пройдя 330 км от станции А, прибыл на станцию В, другому оставалось до А еще 55 км. Найдите скорости поездов. 6) 0 Из города М в город N одновременно отправились автобус и автомобиль. Через 2 ч 30 мин после отправления автомобиль уже опережал автобус на 50 км. Когда автомобиль прибыл в город iV, автобусу оставалось до N еще 120 км. Найдите скорости автомобиля и автобуса, если известно, что длина пути из города М в город N равна 390 км. ?)• Автобус проходит расстояние между городами Aw. В по расписанию за 6 ч. Однажды автобус был задержан в 100 км от города А на 40 мин и, чтобы прибыть в город В по расписанию, должен был увеличить свою обычную скорость на 10 км/ч. Какова скорость автобуса, идущего по расписанию? 8) ® Всадник предполагал проехать 60 км из А в Б за определенное время. Однако через 3 ч после отправления он должен был снизить скорость на 2 км/ч, вследствие чего прибыл в Б на 24 мин позже. С какой скоростью рассчитывал ехать всадник? 9) ® Два туриста выходят одновременно из пунктов М и N навстречу друг другу. При встрече оказывается, что турист, вышедший из М, прошел на 6 км больше второго. Продолжая движение с теми же скоростями, первый турист попадет в пункт N через 2 ч, а второй — в пункт М через 4,5 ч после встречи. Сколько километров между пунктами М и А? 10) ® Два пешехода выходят одновременно навстречу друг другу из пунктов А W By расстояние между которыми 10,5 км, и встречаются через 56 мин после выхода. Продолжая движение, пешеход, вышедший из пункта ф. r^T:zJ A, приходит в пункт в на четверть часа раньше, чем второй в пункт А. С какой скоростью двигался каждый из пешеходов? 11) ® Два школьника скатываются на санках с ледяной горки один за другим с интервалом 10 с. Первый движется с ускорением 0,15 м/с^, второй — с ускорением 0,2 м/с^. Когда первый достиг конца горки, второму оставалось еще 30 м. Какова длина горки? 12) ^ Велосипедист, выехав из пункта А в пункт В, расстояние до которого по дороге, идущей под уклон, 970 м, двигался с ускорением 0,1 м/с^. Через 15 с навстречу ему из пункта В выехал мотоциклист со скоростью 10 м/с. Сколько времени будет ехать мотоциклист до встречи с велосипедистом? 519. 1) Уборку урожая с поля начал один комбайн. Через 2 ч к нему присоединился другой, и после б ч совместной работы они убрали 80% урожая. За какое время мог убрать урожай с поля каждый из комбайнов, если известно, что первому на это понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму? 2) Цех завода должен изготовить партию деталей к определенному сроку. Если выполнение этого заказа поручить первой бригаде, то она закончит работу на 3 дня позже срока. Вторая бригада, работая одна, могла бы закончить ту же работу на 8 дней позже срока. Распределение заказа между первой и второй бригадами позволило заводу выполнить работу за день до срока. Сколько дней понадобилось бы каждой из бригад, чтобы одной выполнить заказ? 3) ^ Два подъемных крана разгрузили баржу за 40 ч. Если бы половину баржи разгрузил один кран, а затем оставшуюся половину другой, то на разгрузку потребовалось бы на 41 ч больше. За сколько часов мог бы разгрузить баржу каждый из кранов, работая один? 4) '• Мастер и его ученик должны были выполнить работу за определенное число дней. Однако, когда была выполнена половина работы, ученик заболел, и мастер, оставшись один, закончил работу с опозданием на 2 дня. За сколько дней мастер, работая один, мог бы выпол- л n ш X t нить всю работу, если ученику на это потребовалось бы на 5 дней больше? 520. 1) При уборке урожая с каждого из двух полей собрали по 84 т пшеницы. Плош;адь первого поля на 2 га больше площади второго, а урожай пшеницы на первом поле был на 1 ц с гектара меньше. Сколько центнеров пшеницы было собрано с одного гектара на каждом поле? 2) С каждого из двух полей собрали по 900 т картофеля. Площадь второго поля на 10 га меньше, чем площадь первого, а урожай картофеля на втором поле был на 3 т с гектара больше. Какова площадь каждого поля? 3) Необходимо было убрать пшеницу с поля площадью 560 га к определенному сроку. В течение первых 4 дней дневная норма перевыполнялась на 5 га, а в последующие дни — на 7 га, и уже за 2 дня до срока оставалось убрать только 4 га. Сколько гектаров пшеницы было убрано за первые 4 дня работы? 4) ® Бригада рабочих должна была к определенному сроку изготовить 272 детали. Через 10 дней после начала работы бригада стала перевыполнять дневную норму на 4 детали. За 2 дня до срока бригаде осталось изготовить 12 деталей. Сколько деталей стала изготовлять бригада за один день? 521 .• 1) Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 40 м, а гипотенуза имеет длину 32 м. Найдите площадь треугольника. 2) Периметр прямоугольного треугольника равен 90 см, а длина гипотенузы 37,5 см. Найдите площадь треугольника. 3) Коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Высота коробки равна 6 см, а одна из сторон основания на 5 см больше другой. Найдите объем коробки, если известно, что площадь ее дна больше площади внутренней боковой поверхности на 90 см^. 4) Из прямоугольного куска жести с измерениями 1,5 м и 2,4 м нужно изготовить открытую коробку. Для этого по углам прямоугольника вырезают квадраты, а оставшуюся часть сгибают (рис. 117). Какую длину должна иметь сторона вырезанного квадрата, чтобы площадь основания коробки равнялась площади ее внутренней боковой поверхности? ф. ^ « fl Y. %> Рис. 117 Рис.118 Рис. 119 5) В треугольник, основание которого на 7 м больше высоты, вписан квадрат так, что две его вершины лежат на боковых сторонах, а две другие — на основании треугольника (рис. 118). Найдите плош,адь треугольника, если известно, что сторона вписанного квадрата равна 12 м. 6) В равнобедренный треугольник, периметр которого равен 14 м, вписан ромб так, что одна сторона ромба лежит на основании треугольника, а другая — на его боковой стороне (рис. 119). Найдите длины сторон треугольника, если известно, что сторона ромба равна 2,4 м. 522.• 1)В цистерне находилась концентрированная серная кислота, содержаш,ая 2 т воды. После того как эту кислоту смешали с 10 т воды, ее концентрация понизилась на 16%. Сколько концентрированной серной кислоты находилось в цистерне? 2) Для получения соляной кислоты 2 кг хлористого водорода растворили в некотором количестве воды, налитой в реторту. Затем, чтобы повысить концентрацию полученной кислоты на 25%, в реторте растворили еще 9 кг хлористого водорода. Сколько соляной кислоты получилось в реторте? Неравенства Каждое действительное число изображается точкой координатной прямой, и каждой точке координатной прямой соответствует действительное число. С ш Большее из двух чисел изображается на координатной прямой правее. / У З ^_____// i А(-3) В(1) С (7) А (-5) Б(-1) С (4) Рис. 120 Рис. 121 523. На координатной прямой отмечены точки А(-3), Б(1), С(7) (рис. 120). Какой знак имеет значение выражения: 1)х + 3; 4)(jc +3)(jc-1)(д:-7); л: + 3 2) X - 3; 5) (X - l)(x - 7) ’ 3)д:-7; если точка М(х) расположена на координатной прямой: а) правее точки С; в) между точками Б и С; б) левее точки А; г) между точками А и Б? 524. На координатной прямой отмечены точки А(-5), Б(-1), С(4) (рис. 121). Какой знак имеет значение выражения: 1)х + 5; 4) (л: + 5)(д: + 1)(л: - 4); (д: + Ъ){х - 4) 2) X + 1; 5) X + 1 3)х-4; если точка М(х) расположена на координатной прямой: а) правее точки С; в) между точками Б и С; б) левее точки А; г) между точками А и Б? 525. На координатной прямой изображено число а (рис. 122). 1) Какое из чисел - , а^, Ja : а) наибольшее; б) наименьшее? 2) Укажите на координатной прямой примерное расположение точек, изображающих эти числа. -4 526. Сравните значения выражений: 1) (1,4.10-1) • (7.10-2) и о,009;3) | j'" и | 2) (5,6 • 101^): (8 • 103) ^ 0,071; 4) 72 • 73 и 2,5 1 а) Рис. 122 а б) Ф, - 5> 527. Расположите в порядке возрастания числа: 1) 730, 735 и5,6; (1Г ”(1Г’ 2) VB , V5 и 2,3; М-вГ'НГ-НГ г Решить неравенство — значит найти все значения переменной, удовлетворяющие ему, или доказать, что таких значений нет. л 528. Решите неравенство: 1)(х + 3)^<0; 2)(д:-6)2<0. При решении неравенства его обычно приводят к более простому неравенству, равносильному исходному — имеющему те же самые решения, что и исходное. Равносильные преобразования неравенств: — прибавление числа к обеим частям неравенства; — умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число с сохранением знака неравенства; — умножение или деление на одно и то же отрицательное число с изменением знака неравенства на противоположный. 529. Решите неравенство: 1) (Зх - 1){2х + 3)> (Зх - 2)2 - Зх(х - 7); 2) (4х + 7)2 -ь (Зх - 11)2 > (5д. _ 1)2^ 530. Найдите решения неравенства: о Y — л Qr— 9 11г — Ч 1) —-— + —-— < ——— , принадлежащие промежут- 12 5 6 ку [-20;-10]; 2) ^ ^ , принадлежащие проме- 4 1 ^ oU жутку [-30; -20]. Значения переменной, удовлетворяющие каждому из нескольких неравенств, называют решениями системы этих неравенств. ш 4i" 77' c Решить систему неравенств — значит найти все ее решения или доказать, что их нет. 3 531. Решите систему неравенств: 3jc + 11>5jc-21, 1) Зд: + 10 < 5л: - 20; 4)< 5- 7- Зд: - 5 4 2х + 1 ^ X — 13, < X - 10. , 2^- 19 < 7^ + 31, 2) i 2т/- 18 < 7т/+ 22; 3)^ 5д: + 1 6 Зд: + 1 + 8jc - 6 5 16-х > 3 - X, >7,5; 4 14 532. Найдите решение системы неравенств: 1) х2- 10х + 9<0, 10-Зх<0; . х^-6х + 8>0, I 5 - 2х < 0. 533. При каких значениях х верно двойное неравенство: 1)_1<2_^ <2; 2)0< ^ ~ < 2; 3)2< -2<2,2; 4)6,3< 12 7х - 8 15 + К 7? 534. 1) Найдите решения двойного неравенства 0,5<0,1х-0,3<0,7, принадлежащие промежутку [5; 9]. 2) Найдите решения двойного неравенства 0,27 < 0,3-0,02х< 0,35, принадлежащие промежутку [-3; 2]. Зная границы, в которых заключены значения переменных, можно оценить выражение, в которое они входят. При этом используются свойства неравенств. 1) Если а>Ьис>с1, то a + Ob + d. 2) Если а > Ь > о и с > d > о, то ис > bd. 3) Если а>?7>0, то - <^. а Ь \Ф/ Рис. 123 Rn 535. Оцените выражение (округление не должно сужать границ значений выражения): 1) 2а + Ь, где 4,1 < а < 4,2, 3,7 < Ь < 3,8; 2) За - Ь, где 2,6 < а < 2,7, 5,3 <Ь < 5,4; 3) ^ а^ - аЬ, где 7,2 < а < 7,3, 5,8 <Ь < 5,9; 4) ^+ аЪ, где 0,67 < а < 0,69, 1,3 <Ь < 1,4; аЬ 5)1 6)« а + Ь а - h а + Ь , где 12,3 < а < 12,5, 7,81 <Ь < 7,83; , где 2,68 < а < 2,70, 1,46 <Ь < 1,48. 536. Оцените сопротивление участка электрической цепи (рис. 123), если сопротивления (в омах) заключены в границах 4 < < 5, 9 < i?2 < 10. К решению неравенства или системы неравенств часто приводит задача отыскания области определения выражения. 537. Найдите область определения выражения: 1) JlOx + 2 - Jx ; 2) Jx{10x + 2) ; 3) 4) X - 8 , 2х + 9 ’ 10 - Jc 2д:-8’ 538. Решите квадратное неравенство: 1) 2jc2 + 13x Ч-20 < 0; 4)-3jc2 - 10х + 48 < 0; 2) 5л:2-17л:-22>0; 5) Зд:^ - 19л: + 40 > 0; 3) -д:2 -ь 8д: - 15 > 0; 6) 7х^ + 39х + 55 < 0. 539. Найдите множество допустимых значений переменной: 1) Jx^-nx + 72; 2) л/11 -Sx-8x^. т 540. Используя метод интервалов, найдите область определения выражения: 1)0 2)0 3)# 4х :2-Г 4 - 49x2 8 - 32д;2 л:- 10 + 8 2д: - 9 4Г 5) < 6) < 4д:2 - 16л: + 7 х + 2 3(х + 2) 7 - 2л:’ 2д:3 + л:2 - 12л: + 9 9 - л:' л;2 - 25 Зл:»- 14л:2- 7л:-МО ‘ 541. Докажите, что при а>0, Ь>0, с^О, d>0 верно неравенство J(a -Ь с)(Ь + d) > Jab -t- Jed . Функции и графики Переменная у называется функцией переменной х, если каждому допустимому значению х соответствует единственное значение у. k>Q В общем виде функцию обычно обозначают у = /(л:). Переменную х называют аргументом функции, а множество значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения функции. Наглядное представление о свойствах функции дает ее график. Вы познакомились со следующими основными функциями. 1) Линейная функция у = kx -Н I. Область определения линейной функции состоит из всех действительных чисел. (При рассмотрении конкретных задач множество допустимых значений аргумента определяется смыслом самой задачи.) График линейной функции — прямая (рис. 124). При положительном значении k функция у = kx I является возрастающей, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции. б) Рис.124 ш Рис.125 Рис. 126 При отрицательном значении k функция у = kx + I является убывающей, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. 2) Функция У — - а) п - Область определения состоит из всех действительных чисел, кроме нуля. нечетное число У Графиком функции У ^ ~ (k^O) является гипербола (рис. 125). 3) Квадратичная функция у = ах^ + Ьх Л- с {а ^ О). б) п четное число У к t/ = дг" i О Рис. 127 Область определения квадратичной функции состоит из всех действительных чисел. График функции у = ах^ + Ьх + с (а 0) — парабола (рис. 126). При положительном значении а ветви параболы направлены вверх, при отрицательном значении а — вниз. 4) Степенная функция у = х^ (п — натуральное число). Множество допустимых значений аргумента состоит из всех действительных чисел. График степенной функции у = х^ при нечетном п симметричен относительно начала координат, а при четном п симметричен относительно оси ординат (рис. 127). О VL убывает при л: < 0. 5) Функция у = '\[х . Множество допустимых значений аргумента в случае нечетного п состоит из всех действительных чисел, а в случае четного п — из неотрицательных чисел. Функция у = ^4х является возрастающей. На рисунке 128 изображены графики функций для некоторых значений п при х> 0. 542. Принадлежит ли графику функции: 1)1/ = 0,25д:+ 16 точка: а)А(124; 15); б)Б(0,64; 16,16); 12 2)// Ъх точка: а)С(0,02; 10); б)" П(-1,642; 1,436); 3) Z/ = 1 - 8^2 точка: а) Б(13; 0,625); б)И Б(-2,25; -39,5); 2х - 1 4) г/ Зд: + 1 точка: а) 0(13; 0,625); б) Я(-0,33; -166); b)y=^Jx точка: a)iT(16;2V2); б) L(-91,125;-4,5); 6)y=i/x точка: а) М(36; Л ); б) Я(1396; 6)? 543. При каком значении k график функции: 1) у = kx + 2,5 проходит через точку Р(12; 5,5); k 2) у = - проходит через точку i?(-25; 0,8)? 544. При каких значениях аргумента х значения функции у положительны, а при каких отрицательны: 1) у= 1,2х - 60; S)y = x^- 16; 2) у = -о Ах +10; 4.)у = х^ + х-2? 545. Постройте график функции у и укажите промежутки ее возрастания и убывания: 1) I/= 1,5дс - 6; 3) у == - 6х + 8; 2) у = 14х + 14; 4) I/ = -х^ + Зл: + 10. 546. Постройте график функции у: 2)у = 6, 4)* У X - 10 . Зд:’ 5)* г/ = 2-^; X 6)* у 2 - д:’ д: + 4 д:- 1 ’ -2. 547. Постройте график функции у: 1) у = (х - 3)(х - 5); 2) у = (0,5х + 2)(х-2). 548. Постройте график функции у и укажите множество ее значений: 2) У = \ - X + ^ 549. Даны функции: 1) у = kx + I; 2) у = ах^ + Ьх + с. При каком условии график функции расположен: а) во II, III и IV координатных четвертях; б) в I, II и IV координатных четвертях; в) в первой и второй координатных четвертях? 550. Задайте формулами функции, графики которых изображены на рисунке 129. \ф/ Рис. 129 X l2n Зг' 551. Дана функция: 1) у=1-3х; 2) у= Jl - х; 4) t/ = -2х‘‘^ + Зх - 4; 5) у = -х^ + 1. 1 3) Найдите: а) область определения функции; б) множество значений функции; в) промежутки возрастания и убывания функции; г) точки пересечения с осями координат; д) значения аргумента, при которых значения функции положительны. 552. 1) Графиком квадратичной функции служит парабола с вершиной в точке А(0; -2), проходящая через точку В(1; 4). Задайте эту функцию формулой, 2) Графиком квадратичной функции служит парабола с вершиной в точке А(0; 5), проходящая через точку В(2; -3). Задайте эту функцию формулой. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению, называют графиком этого уравнения. л 553. Постройте график уравнения: 1) Зх + 5у = 30; 2) 2х-3у= 12; 7) х^ + у^=Ю0; 8) (o:-5)2 + (z/ + 3)2=l; 9) # (д: - 2)(г/4-5) = 0; 4)- =1- 10)^(x-y)(x + 4) = 0; 5) ху = 18; д)ху = -15; ну 12У (X - 5)2 + {у + 3)2 = 0; {х + yY Ч- (д: - 3)2 = 0. Является ли построенный график графиком функции? 554. Решите графически систему уравнений: д:2-Ьг/2 = 36, ]д:2 +t/2= 100, 1) 2х + 3у = 12\ 2) ху = 36. При графическом решении уравнения вида f(x) = g(x) находят абсциссы обхцих точек графиков функций у = f(x) иу = g(x). 555. Приведите к виду f(x) = g(x) и решите графически уравнение: 1) х^ - X - - =0; X 2) х^ + X + — =0 556. Решите графически уравнение: 1) х^ = 2х^ — 8х + 9; 2) х^ + 0,5л:^ ч- 2л: — 4 = 0. Некоторые функции на одной части своей области определения задаются одной формулой, а на другой части — другой. Такие функции называют кусочно-заданными. Так, например, функцию у = \х\ можно задать разными формулами для неотрицательных и для отрицательных значений х: У X при л: > о, -X при JC < 0. Чтобы найти значение кусочно-заданной функции при некотором значении аргумента, нужно сначала выяснить, к какой части области определения относится это значение аргумента, а затем подставить его в соответствуюш;ее выражение. 557. Скорость V (м/с) автомобиля меняется по следующему закону J 2tпри о < f <15, == 130 при t> 1Ъ. 1) Найдите скорость автомобиля в моменты времени f = 13 с и f = 25 с. 2) Постройте график изменения скорости движения автомобиля. 558. Постройте график функции: j 2л: -+- 2, < -1, 1) 11 - X > -1; Jx ^ о < л: < 4, 2) у ^ ^ - 2, X > 4; 4 3)У = X х^, л: > 2; ^)У=\3,х>3. Ti' x’^/ ,2 -- .* +/ Рис.131 559. Найдите область определения функции и постройте ее график: 1) У = 2) у = - 9 3-х ' х^ - 4х + 4 3)у = x-h 1 лг2 + л: ’ 2-х 4)1/=Ч дс - 3 х‘^ — Зд: 560.* Найдите координаты точек А, В и С, принадлежащих графику функции: 1) у = х‘^ - х‘‘^ - 4х + 4 (рис. 130); 3)У= ^о—I (рис. 131). х^ + 2 561. 1) Докажите, что парабола у = дх^ - 7х + 2 и прямая у = -2х не пересекаются. 2) Найдите координаты точки пересечения параболы у = 4x^■ - Здг + 5 и прямой у = х Л- 4. 3) Имеют ли графики функций у = 4х^- + дг — 24 и у = 2x^■ — X общие точки? Если графики имеют общие точки, то в каких координатных четвертях они находятся? X Cl СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ Неравенства Роберт Рекорд (1510—1558)— английский врач и математик, автор первых учебников по арифметике и алгебре на английском языке, в которых он использовал знаки «плюс» («+») и «минус» («-»). Р. Рекорд ввел в 1557 г. современный знак равенства («=»). Свое нововведение он объяснял таким образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Другой английский ученый, Гарриот (1560—1621), взяв в своей работе «Практика аналитического искусства» за основу знак равенства, ввел знаки неравенства и обосновал их следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, которые используются в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются справа («>») или слева («<»). В первом случае знак неравенства обозначает «больше», а втором — «меньше». Несмотря на то что знаки неравенства появились на 74 года позже знака равенства, они вошли в употребление намного раньше. Это было связано с тем, что в наборных кассах типографий того времени литеры для знака равенства не было, а знак неравенства легко было изобразить с помощью имеющейся литеры латинской буквы V. Знаки нестрогих неравенств «>» и «<» появились значительно позже. Их ввел в 1734 г. французский физик и математик Пьер Буге (1698—1758). Сами понятия равенства и неравенства появились в глубокой древности задолго до изобретения соответствующих обо- v<0t tv X — значений. Так, например, более 2000 лет назад было известно неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим л/оЬ < > где а > 0, Ь > 0. Приближенные вычисления с приближенными вычислениями встречаются не только в практической деятельности, но и в курсе изучения математики, так как приходится строить графики функций по точкам, извлекать корни из чисел, решать уравнения и т. д. Приемы приближенных вычислений возникли в глубокой древности, некоторые из них применяли уже в Древнем Египте и Вавилоне. Большой вклад в развитие теории приближенных вычислений внес академик Алексей Николаевич Крылов (1863— 1945). Он писал: «Вычисление должно производиться с той степенью точности, которая необходима для практики, причем всякая неверная цифра составляет ошибку, а всякая лишняя цифра — половину ошибки». Для того чтобы в приближенных вычислениях можно было бы из самой записи приближения судить о степени его точности, Крылов предложил приближение записывать так, чтобы все цифры, кроме последней, были верными. А. Н. Крылов был не только известным математиком, но и выдающимся механиком-корабле-строителем, сделавшим ряд важных открытий. В 1969 г. Академией наук была учреждена премия имени А. Н. Крылова. Корни и степени с дробными показателями Начиная с XIII в. европейские математики стали обозначать корень латинским словом radix, или сокращенно R. Например, запись обозначала . В 1525 г. в книге К. Рудольфа «Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры...» появилось обозначение «V» для знака корня, корень кубический обозначали как VVV. В 1626 г. голландский математик А. Жирар ввел обозначение ^V, и т. д., которое стало быстро вытеснять знак R, при этом над подкоренным выражением ставилась горизонтальная черта Vx + у вместо X X современного Jx + у . Современный знак корня V впервые применил французский философ и математик Рене Декарт (1596—1650) в книге «Геометрия», изданной в 1637 г., но показатель корня он еще не использовал. Например, запись + J(|) ^(з) ^ Декарта выгляде- ла бы так: J ^ + ^qq , где С — первая буква латин- ского слова cubicus, что означает кубический. В конце XVII в. в употребление вошла запись корня, полностью совпадающая с принятой в настоящее время. Первоначально под степенью понимали произведение нескольких одинаковых сомножителей. На плитках древних вавилонян нанесены таблицы квадратов, кубов и их обратных значений. Долгое время понятие степени относили только к неизвестным величинам. В III в. Диофант стал применять сокращенное обозначение неизвестного и его степени. Дальнейшее развитие науки вызвало необходимость расширения понятия степени. В XVI в. французский епископ из Нормандии Никола Орезм (1323—1382) впервые стал заменять корни из чисел дробными показателями степени и ввел символические обозначения степени с дробными показателями. Н. Орезм сформулировал правила выполнения различных операций со степенями. Значительно позднее бухгалтер из Нидерландов, а в последствии военный инженер Симон Стевин (1548—1620) вновь открыл дробные показатели и указал в более общем виде, что корень п-й степени из числа а можно записать следую-1 щим образом: а" , а > 0. Степень с нулевым показателем первым стал использовать самаркандский ученый аль-Каши в начале XV в. Независимо от него французский математик Никола Шюке в работе «Наука о числах в трех книгах» в 1484 г. применил нулевой, а также и отрицательный показатели. Немецкий математик Михель Штифель (1487—1567) ввел термин «показатель степени» и записывал ААЛ вместо современной записи Французский математик XVII в. Пьер Эригон в «Курсе математики» обозначил степени буквы а в виде а2, аЗ, а4 вместо современного а^, и а^. И только Рене «TV . I i3'7 3. Декарт в своей «Геометрии» ввел современные обозначения степени, за исключением второй степени, которую он записывал как произведение двух множителей, такую же запись сохранил и немецкий математик Карл Гаусс (1777—1855). Завершили введение современного обозначения степени англичане Джон Валлис (1616—1703) и Исаак Ньютон (1643— 1727). Постепенное расширение понятия степени в науке шло таким образом, чтобы новые понятия нулевой, дробной и отрицательной степеней не противоречили ранее принятым определениям степени и свойствам действий со степенями. Степенная функция у = х'^, где п — целое число, была впервые рассмотрена Рене Декартом, исследовавшим ее свойства и график. С конца XVII в. в связи с усложнением математических задач определение степени распространилось на иррациональные показатели, что позволило рассматривать степенную функцию у = х'' с любым действительным показателем г. Знакомство с такими степенями ожидает вас в следующих классах. Арифметическая и геометрическая прогрессии Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с древних времен. Греческих математиков интересовала связь прогрессий с вычислением площадей, объемов и красивыми числовыми соотношениями типа: 1 = 12 1 = 13 1 + 3 = 22 3 + 5 = 23 1 + 3 + 5 = 32 7 + 9 + 11 = 33 1 + 3 + 5 + 7 = 42 13+ 15+ 17 +19 = 43 Египетские папирусы и вавилонские клинописные таблички, относящиеся ко II тыс. до н. э., содержат примеры задач на арифметическую прогрессию. Каких-либо теоретических сведений о прогрессии в них не приводится, а даются лишь указания, какие действия надо выполнить для получения ответа на вопрос задачи. В трудах древнегреческих математиков Евклида (III в. дон. э.) и Архимеда (287—212 до н. э.) приведены правила, которые можно рассматривать как формулы сумм первых п членов прогрессий. Архимеду было известно и правило вы- П числения суммы бесконечной геометрической прогрессии, которое он использовал для вычисления площадей фигур и объемов тел. Для решения ряда задач геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов первых п натуральных чисел: 1 + 2^ -Ь 32 + ... + 1 /г(/г + 1){2п + 1). о Правило для нахождения суммы п первых членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается у итальянского математика Фибоначчи в «Книге абака» (1202). Никола Шюкё в своей книге «Наука о числах...» сравнил арифметическую и геометрическую прогрессии и дал общее правило для суммирования любой бесконечной геометрической прогрессии с |д| < 1. Слово «прогрессия» в переводе с латинского языка означает «движение вперед», как и слово «прогресс», и встречается впервые у римского автора Боэция (V—VI вв.). Долгое время прогрессией называли любую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно ее продолжать. В настоящее время прогрессии рассматриваются как частные случаи числовых последовательностей. Вероятность и статистика Одной из самых распространенных азартных игр в Средние века в Европе была игра в кости. Правила при этом были разными. Так, одна из самых простых игр заключалась в том, что выигрывал тот, у кого при броске двух костей выпадало большее число очков. Именно в эту игру Атос проиграл лошадь Д’Артаньяна в романе А. Дюма «Три мушкетера». Французский шевалье де Мере, живший несколько позже описанных в этом романе событий, играл в кости уже по более сложным правилам. Желая чаще выигрывать, де Мере задался вопросом о том, в каких играх шансы на выигрыш больше, чем на проигрыш. За помощью де Мере обратился к одному из лучших ученых того времени Блезу Паскалю (1623—1662). Вопрос, который задал де Мере Блезу Паскалю, можно сформулировать так: «Сколько раз следует бросать две кости, чтобы вероятность хотя бы одного выпадения двух шестерок была больше ^?» Проблемы, с которыми столкнулся Паскаль в поисках ответа на вопрос де Мере, привели к возникновению нового раздела математики — теории Л^г ' • +L вероятностей. Вычисление вероятностей событий требовало научиться находить число всех равновероятных исходов и число тех из них, при которых происходят эти события. Так появилась комбинаторика с ее формулами перестановок, размещений и сочетаний. Однако во многих случаях исходы не равновероятны, и комбинаторика не может помочь найти вероятность. Тогда для поиска вероятности приходится многократно повторять соответствующие опыты. Наука, которая занимается сбором и анализом больших информационных массивов, называется статистикой. Анализ многочисленных экспериментов помог физику Р. Бойлю получить свое знаменитое соотношение pV = const, означающее, что при постоянной температуре t произведение давления р газа на занимаемый им объем V есть величина постоянная (1662), подтвержденное Э, Мариоттом в 1676 г. и известное как закон Бойля—Мариотта. Наиболее бурное развитие статистика получила в наше время в связи с возрастанием объемов информации и необходимостью прогнозировать развитие различных ситуаций. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ РАБОТЫ Работа 1 Исследование зависимости времени движения от маршрута Указания к работе Из пункта А в пункт В можно попасть, проехав 10 км по шоссе до пункта а затем 4 км по грунтовой дороге В-^В (рис. 132). По шоссе вездеход может развить скорость 15 м/с, по грунтовой дороге — 12 м/с, а по целине — 10 м/с. 1. Сколько времени потребуется вездеходу на путь из А в В по маршруту АБ|В? 2. Может ли вездеход быстрее достичь пункта Б, если свернет с шоссе на целину? 3. Задайте формулой зависимость времени движения t (с) вездехода от расстояния х (м) от точки С, в которой вездеход сворачивает с шоссе, до точки Б^. I "hZ-i 5 4. Заполните таблицу. X, м 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 t, с 5. Найдите с точностью до 100 м, на каком расстоянии от точки должен свернуть с шоссе вездеход, чтобы время, затраченное на путь из точки А в В, было наименьшим. Работа 2 Исследование изменения объема открытой коробки Указания к работе Из прямоугольного листа картона размером 20 х 32 (см^) делают открытую коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и сгибая оставшуюся часть так, как это показано на рисунке 133. 1. Запишите формулу объема V (см^) коробки, обозначив длину стороны квадрата в сантиметрах буквой х. 2. Заполните таблицу. X, см 2 3 3,5 4 4,5 5 6 7 8 V, см^ 3. При каком из указанных в таблице значений х получается коробка наибольшего объема? 4. Вычислите объемы для двух каких-либо близких к числу 4 значений х. 5. Сформулируйте гипотезу о наибольшем объеме данной коробки. 6. с какой точностью следует вычислять: а) табличные значения объема; б) значения объема для ответа на поставленный вопрос? Работа 3 Вычисление коэффициента полнодревесности прямоугольного штабеля Указания к работе Учет уложенных в штабель бревен ведется с использованием коэффициента полнодревесности Д, равного частному объемов древесины и самого штабеля. Объем цилиндра радиуса R можно найти по формуле V = nR^h, где h — высота цилиндра. 1. На рисунке 134 изображен прямоугольный штабель, в основании которого находится 4 бревна, а число бревен по высоте штабеля равно 3. Найдите коэффициент полнодревесности Д, считая все бревна одинаковыми цилиндрами радиуса R. 2. Найдите коэффициент Д для прямоугольного штабеля, имеюш;его в основании т, а по высоте п бревен. 3. Сделайте вывод, зависит ли значение коэффициента Д от числа бревен в прямоугольном штабеле. Рис. 134 Работа 4 Вычисление коэффициента полнодревесности треугольного штабеля Указания к работе 1. Найдите коэффициент полнодревесности Д для треугольного штабеля (рис. 135), в основании которого лежат 3 бревна. Выразите сторону равностороннего треугольника через радиус бревна и найдите объем штабеля как произведение плош;ади треугольника АВС и длины штабеля. 2. Найдите коэффициент полнодревесности Д для треугольного штабеля, лежит 5 бревен. Рис. 135 в основании которого X 3. Сделайте вывод, зависит ли значение коэффициента Д от числа бревен в треугольном штабеле. Работа 5 Исследование статистических характеристик учеников вашего класса Указания к работе 1. 1) Составьте массив данных размеров обуви девушек и юношей вашего класса. 2) Составьте сравнительную гистограмму размеров обуви учаш;ихся вашего класса. 3) Найдите средние характеристики рядов данных. 2. 1) Составьте массив данных роста учеников класса. 2) Составьте сравнительную гистограмму роста девушек и юношей класса. 3) Найдите средние характеристики рядов данных. 3. Сделайте вывод по результатам исследования. ПРОВЕРЬ СЕБЯ! Домашние контрольные работы Работа 1 Тема «Неравенства» 1. Сравните значения выражений 2,5а - 7 и 2,55 - 7 при а < Ь. 2. Докажите неравенство: 1) 4а2 + 1 > 4а; 2) (5 + 2)(5 + 4) < (5 + 3)2. 3. Сравните а + ЬЛ-сих + у-\-2, если: 1) а> х,Ь> у,с = z\ 2) а < X, Ь < у, с < z; S) а = X, Ь = у, с > Z. 4. Положительным или отрицательным является число а, если: 1) а-1<5-1иЬ<-1; 2) и Ь > 10; 3) -2а > -25 и 5 < о? 5. • Значение какого выражения, ^ или ^ ^ ^ , больше, а а + 1 если О d> о? Работа 2 Тема «Приближенные вычисления» 7- 10х 1. Решите неравенство 11 < < 19. 2. Оцените выражение ^ — , если 1,2 < а < 1,5. ®г V' -.г:-'-,, о- п 3. Найдите абсолютную и относительную погрешности 13 приближения — ~0,72. 1о 4. ^ Найдите границы значений площади трапеции S, если известно, что 15,2 <а< 15,4; 9,4 < Ь < 9,6; 21,3 < Л < 21,5, где а и 6 — основания трапеции в метрах, а Л — высота трапеции в метрах. 5. Пользуясь практическими приемами вычислений, найдите значение выражения (а - Ь)аЬ при а ~ 32,45, Ь ~ 31,2. Работа 3 Тема «Неравенства с одной переменной и их системы» л:-1.л:-н2.5д:-38 1. Решите неравенство —-— + —-— > ;г— . 2. Решите систему неравенств: ^ |3jc<-5, ^ [-3jc<4, |4jc>-7; ^Ц-2х>3; 3) 2 - Зл: < 11 -Ь 2х, 1 - 2х < 6 + X. о D {^х - 7)(х + 4) ^ f. 3. Решите неравенство ^^< 0. 4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: 1) J5X-2; 2) Л -Зу + Jy + 6? 5. ® Решите неравенство (3 - лДо )х > 19 - 6л/Т0 и укажите наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Работа 4 Тема «Корни многочленов» 1. Сократите дробь —— ^ ^ -2а2 + 5а + 3 2. Решите уравнение: 1) х'^-5х^-3х+ 15 = 0; 2) Зх^ + 10х‘^ - 27д: -10 = 0. 3. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: 1 1) + Зс - 70 ; 2) V8 + 2d - ^2 ш / — .2'---- 4. Решите биквадратное уравнение 9х'^ - S7x^ + 4 = 0. 5. ® С помощью введения новой переменной решите урав- нение {х"^ + х^)^ - х'^ - х^ = 2. Работа 5 Тема «Квадратичная функция и ее график» 1. График функции у = ах^ проходит через точку А(-2,5; 50). Проходит ли этот график через точку Б(0,5; 4)? 2. Постройте график функции у = х^ + 4х — 7. С помощью графика найдите: 1) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному —1,5; 2) значения аргумента, при котором значение функции равно -2; 3) промежутки знакопостоянства функции; 4) промежутки возрастания и убывания функции; 5) область значений функции; 6) координаты точки графика, симметричной относительно его оси симметрии точке с абсциссой, равной 5. 3. Решите графически систему уравнений у — 0,5jc^ = о, х + у = 4. 4. ® При каких значениях р уравнение Зх^ — 2рх + 7 = 0 имеет два корня? 5. ® Определите, при каком условии вершина параболы у = ах^" + 5л: + с находится: 1)наоси01/; 2)наосиОд:. Работа 6 Тема «Степень с натуральным показателем» 1. Постройте график функции у = л:'^ 1) Определите по графику: а) при каком значении х значение у равно 5; б) как изменяются значения у, если значения х увеличиваются от —1 до 2. 2) Проходит ли график функции через точки: С(-6; -216), D(0,2; 0,08)? 2. Принадлежит ли графику функции у = х^ точка: 2) Р(0,1; 0,000001)? м 3. Сравните: 1) 2Дби2,Зб; 2) (-0,3)5 и (-0,4)5; 3) (-3,7)5 и 3,55. 4. Четной или нечетной является функция: 1) г/ = 5л:^5 _ 10л:5; 2)у = л:7 + д:5 • 5.® Сколько корней в зависимости от значений а имеет уравнение = 5 - о? Работа 7 Тема «Корень п-\л степени» 1. Вычислите: 1) V0,0001 • 16 ; 3) 5 • Vl6 - 2 • V-216 - V64 . 3 2. Упростите выражение ija^ • Va ^Jaja 3. Сократите дробь b - \fb 4. Решите уравнение: l)x5 = 32; 3)-ixi5-9 = 0; 2)ix«-27 = 0; 4) i/jc +2Vi - 3 = 0. О 5. Сравните значения выражений и 5VT0 Работа 8 Тема «Числовые последовательности и прогрессии» 1. Запишите три члена последовательности = 10 • 3'*“ 2. Найдите: 1) 17-й член арифметической прогрессии -12,3; —11; ...; 2) 8-й член геометрической прогрессии 96; 48; .... I! '2n! 3. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии а„, если = -71, d = 0,5. 4. Найдите разность и первый член арифметической прогрессии а„, если Пу = 57, = 53. 5. ® Между числами 6 и 486 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Работа 9 Тема «Сумма членов прогрессии» 1. Найдите сумму первых: 1) 25 членов арифметической прогрессии -2; 1,2; ...; 32 10 2) б членов геометрической прогрессии di i 2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 6; 4; ... . 3. Представьте в виде обыкновенной дроби периодическую дробь 5,(36). 4. # Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 3,7; 3,55; ... . Работа 10 Тема «Вероятность и статистика» 1. На 10 карточках записаны числа от 1 до 10. Наугад выбирается одна из этих карточек. Событие А заключается в том, что на карточке четное число, событие В заключается в том, что на карточке простое число, событие С заключается в том, что на карточке число, большее 6. Найдите вероятности событий: А, В, С, АВ, АС, ВС, АВС, АJ- В,А + С,В + С, С, АВ, АВ, АВ, А “Ь В, А -Ь В, А + В. 2. Какова вероятность того, что при подбрасывании монеты орел впервые выпадет на четвертом броске? 3. Вы подбрасываете монету до первого выпадения орла и записываете номер броска, при котором выпал орел. Запишите таким образом ряд из 20 чисел. Найдите математическое ожидание числа в этом ряду, моду, медиану и размах ряда. Составьте гистограмму по полученным вами данным. ш г.; 3' I ^ % J- JL 3 ^ ^ Работа 11 Итоговая работа 1. Вычислите 2,1632 : 2,08 + 10,5 • f ^ ^ 1 • V оО 42 у Л • л/12 2. Упростите Ло 7 2* 10® 3. Выполните действия —---— ^^ запишите ответ десятич- ной дробью. 4. Упростите выражение / с - 4 с -1 Зс 4- 6 + Зс - 18 + 12 с'^ 4- Юс + 24 с г, 2х^ 4- л: ^ л: , 1 О. Решите неравенство —-— > о + тт • 2 о о 6. Найдите множество допустимых значений переменной а в выражении V35 4- 2а - . 7. Решите графически систему уравнений art/ 4- 3 = о, - у + 2 = 0. 8. Найдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, если известно, что ее седьмой член равен -1, а двенадцатый член равен 0,5. 9. Оцените периметр прямоугольника со сторонами хстл и у см, если 11<х<12и5<г/<6. 10. Токарь должен был за определенное время изготовить 120 деталей. Перевыполняя план на 5 деталей в час, он выполнил задание за 2 ч до срока. Сколько деталей изготовлял токарь за 1 ч? [2п’П'' ОТВЕТЫ Глава 1 Неравенства 4. 7) (п - 2)(п - 1)п <(п- 2)2 + (п- 1)2 + «2. 8) k(k + 1)(/г + 2)(k + 3) > > 3{k + (k + 1) + (k + 2) + (k + 3)). 8. 1) Утверждение неверно, так как может получиться и верное неравенство. Например, при сложении неравенств 5 > 1 и 2 > 3 получится верное неравенство 7 > 4. 2) Утверждение верно. Убедиться в этом можно, если, например, в свойстве 3 поменять местами левые и правые части неравенств. 10. 9) Да; 10) да. 11.1) Да; 2) нет; 3)да; 4) да; 5) нет; 6) да; 7) нет. например, 3 > -2, но —- < 1; 8) нет, например, при а = 2, Ь = —1. 12. Например, 1) ^2 + 73 < 3,3; 2) 2 л/2 < 3; 3) -л/З > -1,8; 4) 2 V2 + + 73 < 4,8; 5)2 73 +зЛ <8,1. 13. 1)Да, по свойству 1; 2) нет, так как может получиться неверное неравенство при а = 0 и верное при а ^ 0. 19. 1)2; 2)0,2; 3)30; 4)24. 21. 1) 30 м, 20 м; 2) 30 м, 24 м. 24.1250 м2. 25. 1) По пути на станцию школьник затратил больше времени; 2) в первый день у лодочника ушло больше времени, чем во 2 Г.Ч /л о,г7 ^ л «7 > второй. 28. а = 3, 5 = 8. 32. 1) (I) < ^ | ] ; 2) 0,85^ < 0,9^; 3) [ | j >0,810; 4)(^]" > 1,18; 5)(|]"' > (!]"'; 6) 0,9-э < 0,9-ю. 33. 4) Верно. 34. 2)-УТ5 > -4,14; 5) 4- > ^ • 36. 1) & > 0; 2) а > 0; л/5 3) а < 0; 4) а < 0; 5) а < 0; 6)5 > 0. 37. 1) Неверно; 2) верно. 38. 1) Нет, так как, перемножив, например, неравенства 100 > 1 и 1 > 2, получим верное неравенство 100 > 2; 2) да, для доказательства достаточно поменять местами части неравенств в свойстве 1. ш * f —У ■Л-L. 5.- "Л* 9 45. 1) VT5 - Л VI; 3) 4^ + 4^ ^^1 ^1 Л 73 л/42 Vl5 Л Л 48. 1) 125,5 < 5а + 3 < 126; 2) 53 < 8Ь - 7 < 53,8; 3) 216 < 1,5л: - 24 < <222; 4) 4,4 < 20 - Зс < 5,6. 49.1)10,8 < < 11; 2)36 < < — < 40; 3)-7,5 < ~ < -4,5; 4)3,6 < < 4,5. 3 4 50. 1) г) 2,55 < 0,5л: + Зг/ < 3,4; д)0,7 < х у < 1,4; ж) 1,26 < <{х + у)у < 2,24; з) 0,8 < (л: - 1)(у + 1) < < 1,8; 2) а) ^ ^ < ^ ; о у о Г) I < Ё . 51.3) 129 < а2 - 62 < 301; 4) 512 < (6 - 10)» < 1000; D X D 1 < ± 7) — 6-8 10’ ^43 'а + 6 43 ’ “'7 ' а-Ь ' 3 52. 2) 2,96 <Р < 2,99 (м). 53. 2) 0,44 < S < 0,46 (м2). 54. 2) 60 < S < <62. 55. 15 станков первого типа, 9 станков второго типа. 56. 1) Границы длины 80,4 и 81,9; границы плош;ади 514,4 и 532,4; 2) границы длины 493,6 и 504; границы площади 19 398,8 и 20 160. 57. 1) 8,2 < р < 8,7 (г/см^) — латунь; 2) 7,8 < р < 7,9 (г/см^) — железо. 58. 1) 1,4 < < 1,5 (м/с); 2) 7,3 < р < 7,4 (г/см^). 59. 5) ^ ; 6) ; 7) 8)^. 60. 1) а) 0,2; г) 0,1; е) 0,149. 62.4)0,0321 < л: < < 0,1321. 63. 1)0,013; 2)0,149. 64. 1)ар а^; 2)а^, а^. 65. 1)2,44 < < л: < 2,46; 3) 4,7 • < л: < 4,9 • Ю^; 4) 3,91 • < л: < 3,93 • 10“. 66. Нет, относительная точность второго измерения существенно выше. 67. 2) 1,9% ; 4) 1,8%. 68. 4) 6,2 и 0,6%. 69. 4) Абсолютная погрешность равна 2 • 10®, относительная погрешность равна 0,003; 5) абсолютная погрешность равна , относительная погрешность оОи равна 0,005. 70. С одинаковой относительной точностью. 73. 1) Абсолютная погрешность 2,5*10®, относительная погрешность 0,001%; 2) абсолютная погрешность 0,001, относительная погрешность 0,04%. 76.1)47,6; 2)69,4; 3)667,4; 4)152,1. 77. 1)11,20 2)150,6; 3)34,44; 4)80,34. 78.1)18,15; 2)166,9; 3)2,85*104 4)6,5*102. 79^ 1)5- 2)6; 3)4; 4)4; 5)3; 6)3; 7)3; 8)6. 80. 1)92,4 2)126; 3)1,25; 4)1,58; 5)2,01*10®; 6)3,87*10®. 81. 1)2,38 м2 2)5,14*10®м2. 82.1)13,5; 2)260; 3)11,8; 4)0,228; 5)66,4 6) 0,00462. 83. 1)51,9; 2)10,54; 3)17,9; 4)0,0254; 5)0,27; 6)0,46 84. 1)0,372 м2; 2) 0,92 м2. 85. 1)24 м®; 2) 19 м®. 86. 1) 2,4 * 102м® 2) 3,8 * 102 jyj3 90. 1) в) 10; 2) в) 1. 91. На рис. 15 неравенство л: < 4 на рис. 16 неравенство х < -7; на рис. 17 неравенство л: > 3; на 25. 18 43 ’ ^7 < 20 рис. 18 неравенство х > 15. 92. 4) л: < 0,8; 17) // > -10. 93. Нет решений в 1), 4), 5), в остальных случаях х — любое число. 94. 1) а) л: > 8; б) X > ; 2) а) I/ < -5; б) д: > 7; 3) а) z > ^ ; б) х < -7; 4) а) z > 1,5; О О б) д: > 9. 95. 1)^>^;2)р<1;3)д:<|;4)9> 0,05; 5) д: < -10; 6) i/ > 3. 96. 2) а) (-00; -3]. 97. 1) д: < -203; 2) у > -|. 98. 1)р > -|; 2) о у . 99. 1) у < 1; 2) I/ < 20,5; 3) у > 6,5; 4) у > 12,5. 100. 1) Да, так как (2р)2 > р^', 2) нет, например, прир = —1,5; 3) да, поскольку — Kq2,35, [д:<-0,5, [д:<-1, 109. 1)^ jc>2,3; 2)^;^-<_о,б. И0-1)1дг>2; нет решений; д:> 3, д: > 5; (5; -ь°°); 4)]^^ ^,(-°о;-72]; 73; (х>0, 5)]х<-6,5; (-7,9;-6,5); 6)Ь<7. X > -7,9, 111. 1)д:>4; 2) д: < -3,2; 3) д: > -3,2; 4) д: < 2,2; 5) д: < -8,1; б) х> -5; 7) д: < 2^ ; О 8) д- > -1^ . 112. 1) 1,5 < д: < 4,5; 2) -7,5 < д: < -3; 3) нет решений; 4) нет решений; 5)-4,2 < х < -1; 6) нет решений; 7)0<д:< 6,5; 8)0<д:<^ - 113. 1)д:> 1,8; 2) д: < -2^ ; 3) 3,6 < х < 5,5; 4) нет реше-5 о 3 5 7 ний; 5) -- < д: < ; 6) нет решений; 7) нет решений; 8) -1— < д: < 4 о 1о < -li . 114. 1) 2, 3, ..., 12; 2) -6, -5, ..., 0; 3) -10, -9; 4) нет целых решений. 115. 1)д:<-—;2)-2<р<16;3)11 < у < 117; 4) z < 0,4. 116.1) д: > 5; 2) д: < -2; 3) -6 < д: < -3,5; 4) -3 < д: < 2,5; 5) нет решений; 6) —5 < JC < -4. 117. 4) р > 1,6 или р < -2; 7) 2 < 0 или Z > 2,5. 118. 1) 53; 2) 72. 119. 1) От 19 см до 26 см; 2) более 66 см и Г менее 104 см, 120. 1) С 10 ч 35 мин до 10 ч 45 мин; 2) с 9 ч 40 мин до 10 ч. 121. 1) Если прямая параллельна меньшей стороне, то 591 < Р < 89 (см). Если прямая параллельна большей стороне, то о 78 < Р < 103 (см); 2) от 48 см до 64 см или от 69 см до 79 см. 122. 1)От 360 см=^ до 648 см"^; 2) от 150 г до 225 г. 126. 4) ; о] , 8)(-оо; -4), [|; I], (2,5; +оо). 127.1) 2)(-оо;-3), 3)(3;3,5], (4;+оо); 4)(-оо;-2), 5) (-2; 0,4), (2;+оо); б)(-оо;-1), (-i;l]. 128. 2) а) ; 1 j, (1; +оо); б) д: < -4, д: = |; в) 0 < у < 5, ^ > 7, t/ = -2; г)/у<2, 3<(/<7;д):с = |,-4<д:< 1;ж)1/<-|, I <£/< ^,1/ = 129. 1)0 |; 2)д:<-1,-1 < Jc < о, ^ < х < |; 3) д: =-1, о < д: < i , д: > I; 4) д; < о, I < д: < 1. 130. 1) -5; 2) -6, -4; 3) -7, -3; 4)4. 131. 1)а = -3, а = 2;2)а = -4,а = 3;3)а=-5, а = 4; 4) а = 5. 132. 1) (-00; 1], [6; +00); 2) (-оо; -3], [2; 5), (5; +оо). 133. 1) (-оо; -2), (2; +с»). Глава 2 Квадратичная функция 5 ± /17 135. 9)-5, 2; 10)-1, 2, 3, 6; 11) о 1 . ,04 1 ± ЛЗ , Z, - , - 136. 3)-3, 2, ^ '^2 ■•37.2)1; 4; 138. l)ofj=0, 1;д:2= ^’^2“ ^ » 2)д^2 = 5, — 2; д^2 27 У2----^ > 3) д?] — 5, 3; д^2 “ 3, //2 0; 4) ДГ|^ 5, Уу 2; Х2 22 29 1/2 = 4; 5)jCj = 4, i/i = 2; 6)^1 = 6, i/j = -4; дг2--Уг ^ ^3.4 = 1)/^ ■ Уа..| - ^ ~ ■ 439. 1) Да; 2) да. 140. 1)-1,3,1, -3; 2)-2, -5, 2, 5; 3)-4, 4; 4)±1, ±i; 5)±1; 6) ±2; 7)±л/б ± 2/б; ■#/ -9- 8) ± 1 ± л/З . 141. 1) 7 > О, jP < О, p2 > 4g; 2) (^ < О, p^ - 4qr = 0; 3) ^ > 0, p> 0 или p2 - 4(7 < 0. 142. а)д:‘‘ - 34л:2 + 225 = О, четыре корня; б) л:"*- = О, три корня; в) д:'‘ - бл:^ + 8 = 0, четыре корня. 143. 1) ±3,35, ±0,695; 2) ±4,55. 144.1)16; 2)^; 3)50; 4)-|^; у 1о 5) нет корней; 6) 1, - . 145. —1 и 2. 146. а) ±1, ±7; 1 — корень; б) ±1, ±2; в) ±1, ±3; г) ±1, ±2, ±4. 147. 1) Р(х) = 2х^ + х^ - 16д: - 15; 2) -1 и 3; 3) Р(1) = -28, Р(-3) = -12, Р(-5) = 160, Р(5) = 180. 148. а) Q(x) = = Зл:® - 8х^ - 19л: - 80, Q(5) = О (табл. 1); б) ^(л:) = л:^ - Зл:^ + Юл: - 12, Qi-2) = -52 (табл. 2); в) ^(л:) = 2л:3 + 7л: - 5, Q(-3) = -80 (табл. 3). Таблица 1 3 -8 -19 -80 5 3 7 16 0 Таблица 2 1 -3 10 -12 -2 1 -5 20 -52 Таблица 3 2 0 7 -5 -3 2 -6 25 -80 149. а) Р(х) = 2х^^ + Зл:^ - 5л:^ - 4л: + 7 = (((2л- + 3)л: - 5)л: - 4)л: + 7; Р(-1,8) « 1,50; Р(1,3) ~ 5,65; б)Р(л:) = л:-^ - ЗхЗ + 5jc2 - 2л: + 4 = = (((л:2 - 3)л: + 5)л: - 2)л: + 4. Р(-0,27) ~ 4,96; Р(2,7) ~ 119,49. 151.1)1; 2)-2; 3)-5, 2; 4)-3, 1; 5)1; 6)-1, ±2; 7)-3, -1; 8)±1, 2, 3. 159.1)0,5, ^ ^ 2)\, 160. 2) Табл. 4. 4 «5 о 161.1) Табл. 5, (2х^ - Зх^ + 4л: + 1)(л: + 1) = 2л“* - х^ + х^ 5х -h 1; 2) б) табл. 6, (л:^ - Зл:^ - х + 2)(х - 2) = х^ - 2х"^ - Зл:^ + 5л:^ + 4л: - 4. 162. 1)Табл. 7; 2) табл. 8. Таблица 4 -2 ф г Таблица 6 1 -2 -3 5 4 -4 2 1 0 -3 -1 2 0 Таблица 7 1 0 -8 -3 -3 1 -3 -1 0 Таблица 8 2 5 3 8 -2 2 1 1 6 163. 1), 2), 4) Можно, ответ зависит от знака дискриминанта. 164. 1) (х + 11)(д: - 8); 2) {у + 2)(у - 9); 3) (9 - k)(k - 7); 4) -(х + 12) х х{х+ 8); 5) (Зд: + 14)(д: - 1); 6) (Ьу - 13)(г/ + 1); 7) (2 - Зр)(4р + 1); 8) (3 - 4п)(6л + 1); 9) нельзя разложить; 10) нельзя разложить; 11) (д: - 1 - Л){х - 1 + л/2); 12)(Ь + 3 - Л)Ф + 3 + 78). 165. 1)(2д: - 0,6)(д: - 1,2); 2) (5с + 2) | j; 3)(д: - 5а)(х - 4а); 4) (у - 4Ь)(у - 106); 5) (2д: - а)(3д: + а); 6) (а + 2Ь)(а - 36); 7) (бд: + k)x X (6х + 6); 8) (Зу - 5р)(3у - 5р). 166. 1) ^ ; 2) ; 3) ; 4) 8-36. .. д: + а . 167. 1)|; 2)1. 6 + 2 ; 5) - + 2ах + 4а^ 5 3 1 168. После упрощения получается: 1) - ; 2) р ; 3) - ; 4) 1. 169. 1) д: = у + Ь 5 3 = -4;2)у = -4;3)х= ^;4)х=^. 170. 1)-7<у<-4, -4 < у < 8; 2) -3 < д: < 3, 3 < д: < 5; 3) д: < -2, I < д: < 2, 2 < д: < 5; 4) -7 < д: < -3, О -| < д: < 3, д: > 3. 171. 1) (5д: - 4)(дг - 5)(д: + 2); 2) (9а + 1)(3а-1)х х(а+ 1); 3) (д: - 4)(д: + 3)(д: + 1); 4) (д: - 3)(2д: + 1)(д:- 7). 172. 1)-3 < 0, <х < -2, 2<д:<3;2)л:<-1,-^ <лг<^,дг>1;3)-^ < х, х > 1; 4) д: < -2, -i < х<3; 5)х<-\, | < д: < 3; 6) -1 < д: < , дс > \ ; 4 Z о о и 7) к д: < 2; 8)jc < -1 - -Уз , -1 + л/З < д: < 1, д: > 2. 173. 1)д:< -6, О < д: < 7; 2) О < д: < 6, д; > 18; 3) д: < 4, 5 < д: < 7, д: > 7; 4) дг < -1,5, д: > 3; 5) 0 < д:, 4 < д: < 9; 6)-i < д: < О, ^ < д: < 12. 174. 1) д: > 2; 2) д: = ? , 4 4 о д:>3;3)д:=§,д:>2;4)-^ <д:<1,д:>2;5) нет решений; 6) д: = ^ , 5 7 о д:= 1. 175.р = 3, q = 2. 176. 1)а)^ ~ 2,3; б) у ~ 7,8; 2) а) д: ~ ±2 6) д: ~ +2,4; 3) а) -1,7 < д: < 1,7; б) д: < -2,3, д: ^ 2,3; 4) а) 16,0; б) 16,0 5) а) -1,4 < д: < о, о < д: < 1,4; б) -1,7 < д: < -1,4, 1,4 < д: < 1,7; 6) д: = о 7) промежуток убывания (-оо; 0], промежуток возрастания [0; +оо) 177. 1)а)-9,4; б)-3,8; 2)а)±1,8; б) ±2,3; 3)а)д: < -1,2, д: > 1,2 6) -1,8 < д: < 1,8; 4) а) -6, 0; б) -6 и -1,5; 5) а) -1,8 < д: < -1,2, 1,2 < < д: < 1,8; б) -1,4 < д: < -0,8, 0,8 < д: < 1,4. 182. 1) Принадлежит точка С; 2) принадлежит точка К. 183. 1) Принадлежит точка К; 2) принадлежат точки А и К. 185.1)2; 2)20; 3)5,2; 4)-0,003. 186. 1) Да; 2) да. 187. Подставив координаты данной точки в уравнение, получим единственное значение а. 188. 3) 593 м. 189. ~ 58 м. 192. 1)(2; -3); 2)(-3; 14); 3)(2; 11); 4) (-2; 11); 5) ; -Щ; 6) 1^-7; j ; 7) (0; 6); 8) (0; -2). 196. 1) Нет; 2) точка А принадлежит, точка В не принадлежит. 198. 1) ^-|; 0 j, (6; 0), (0; -6); 2) (-2; 0), ( ^ ; о j, (0; 28). 199. Да, имеют. 200. 1) (6; 5); 2) (-8; -10). 202. 1) Наименьшее; 2) наибольшее; 3) наибольшее; 4) наименьшее. 203. 1)у = (х - 2)'^ + и 2)у = (X + 2)2 + 1; 3)«/ = (д: - 2)2 - 1; 4) г/ = -{х + 2)2 + 1. 204. 1) Растяжение в 2 раза от оси абсцисс, сдвиг на 1 вправо; 2) растяжение в 3 раза от оси абсцисс, сдвиг на 5 вправо, симметрия относительно оси абсцисс; 3) сжатие к оси абсцисс в 7 раз, сдвиг на 3 вправо, сдвиг на 2 вверх; 4) растяжение в 5 раз от 2 оси абсцисс, сдвиг на - вправо, сдвиг на 1 вниз. 205. 1) Наибольшее О значение равно 49; 2) наименьшее значение равно 98. 206. 1) Наименьшее значение равно 90; 2) наименьшее значение равно 35. 207. 1) Наибольшее значение равно 900 м2; 2) наибольшее значение равно 4050 м2. 208. 1) Наименьшее значение равно 768 см2; £) наи- г: I '-J о ---------------- ' большее значение равно 54 см^. 209. 1) а) д: < -3, д: > 3; б) -3 < д: < 3; 2) а) д: — любое число; б) нет решений; 3)a)-JS JS; 4)а) нет решений; б) любое число; 5) а) д: < О, д: > 12; б) О < д: < < 12; 6) а) д: < -6, д: > 0; б) -6 < дг < 0; 7) а) О < д: < 4; б) д: < О, д: > 4 8) а) -4 < дг < 0; б) д: < -4, д: > 0; 9) а) д: < 1, д: > 4; б) 1 < д: < 4 10) а) д: < -1, д: > 3; б) -1 < д: < 3; 11) а) -3,5 < х < 5; б) х < -3,5, д: > 5 12) а) д: < -2, д: > 4; б) -2 < д: < 4; 13) а) д: < -5, д’ > 2; б) -5 < д: < 2 14)а)2<д:<3;б)д:<2,д:>3. 210. 1)-5<д-< 11;2)д:< -7, д: > -1 3) 4,5 <д:<5;4)х<-^,д:>-^211. 1) Нет решений; 2) д: < -5, д: > -3 2 5 3) i < д: < 3; 4) д; < -12, дс > 2; 5) -2 < д: < -|; 6) | < д: < 3; 7) д: — лю- 5 4 бое число; 8) нет решений; 9) при х=!^ - ; 10) д: = — - ; 11) нет решений; 2 о 12) X — любое число. 212. Например, 1) дс^ + 7дс - 30 < 0; 2) дг^ — бд: < < 0; 3) д:2 - 8д: - 48 > 0; 4) д:2 - 4д: + 3 > 0; 5) д;2 - 4д: + 4 > 0; 6) д;2 - 4д: + + 4 < 0. 213. Например, дг^ + 1 < 0. 215. 1)6) При всех значениях д:; 2) б) д: < -4, д: > 0. 216. 1) Верно; 2) неверно. 217. 1) а < О; 2) а > 0. 218. 1)д:<-^ д:>3;2)-Кд:<2;3)д:<-8, д:>11; 4)-12<д:<5; О 5) д: < -7, д: > 9; 6) -9 < д: < 5. 219. 1) д: < 3, д: > 5; 2) -8 < д: < 1; 3) при всех значениях а; 4) ни при каких значениях а; 5) -4 < д: < 3, 3 < дг < < 5; 6) -4 < д: < -2, -2 < д: < 3. 220. 1) а) /г > 4,5; в) нет таких значений; 2)а) k < ; б) таких значений нет. 221. 1) а < 0. 222. 1) Боль- ше 20 м; 2) меньше 24 см. 223. 1) От 10 км/ч до 15 км/ч; 2) от 4 км/ч до 5 км/ч. 224. а < 0. 225. 2)с> ^>3)с< 226. 1)Ь = ±4; 2)\Ъ\ < 4; 3)Ь = -б. 228. 1) Да, дискриминант урав- - Л 2 . 231. а < 1,5, а = 2. 232. а=1, а=1-Ь^,0<а< 2 о 1 — /б нения положителен; 3) да; 4) да. 230. 1)0<а< 1; 2) —— < а < 0, 1 < а < < ^ . 233. а > 2,25. 235. а) дг^ + у'^ = 4; б) д:^ -Ь (у - 1)2 = 1; в) (д: + 2)2 + + (у- 2)2 = 0,25; г) (д: - 3)2 -ь г/2 = 9. 236. 1) (0; 0), 4; 2) (3; 0), 5; 3) (-1,5; 2) , 3; 4) (0; 4), Л ; 5) (0; 0), 0,1; 6) (-2; 3,5), Л . 237. 1) д:2 -н у^ = = 169; 2)д:2 + у^ = Ь. 238. 1)(4; 5), (-2,5; -8); 2) (-1,5; 8), (4; -3); 3) (-4; 3), (3; -4); 4) (3; 4), (-3; -4), (4; 3), (-4; -3). 239. 1) дг^ ~ -3,5, t/j ~ 6,1; д^2 ~ 3,5, У2 ~ 6,1; 2)д:J ~ -1,7, у^ ~ 6,8; дгг ~ 1,7, Уч ~ 6,8; 3)х^^ 5,7, I/, ===2,1; 4)дг1 ~ -5,2, у, « 1,2. 240. а) (1; 2), (-1; 2); ф. ^2 ^ s3ll2n’"r 6)^1- 0,7, £/i ~ 0,7; ^2~ -0,7, i/g ~ -0,7; в) лг^ ~ -2,8, уу ~ 0,4; лгз ~ ~ -0,5, 1/2 ~ 2,1; г) нет решений. 241. 1) д: ~ 3; 2) л: ~ —4; 3) Ху ~ -3, д;2«1,*з“2:4)д: = -1.244. l)f (0:-i ) , j, = i ; 2)F ( i ; 0 ) , дг =-1; 3)FH;0),.-i;4)F(|; | . 245. 1) - = 0,5x2 + 0,5; 2)x = \y^ - 1; 3)i/ = 0,25x2 _ 2; 4)i/ = - 4. 246. 2)a) F(-0,75; 0), x = 0,75; 6) F ( ~ ; 0 ), x = -^—^-, B)F(-0,5;-2), x = -l,5; r)F(0,25;0), x = -0,25. 248. Нет. 249. t/ = = 2x - 0,1. 250. у = 0, у = -32x - 64. 251. г/ = -Зх + 9, у = 3 - ^ , О k=^. 252. I/ = 2х ± V3.253. у = ±^(х-1). 256. 12x2 _ 4^2 _ 3 = q. 257. 1) 25x2 + 16//2 = 400; 2)х2 + 2у'^ = 32. 258. 1)Да, например (2; л/7 - 1); 2) существуют две точки сх = 2± Js , у = -3. 259. 1) Да, (4;-2); 2) да, (2;-5). Глава 3 Корни п-й степени 261. 1) а)-9,3; б)-0,2; в)-5,8; 2) а)-1,8; б)-1,1; в) 1,4. 262. 1)0,3м2, 2,7 м2, 6,9 м2, 10,6 м2; 2) 0,7 м, 1,4 м, 1,6 м, 2,2 м. 263. 1) Да; 2) да. 264. Точка L принадлежит графику при а = с = = 0; точка М принадлежит графику. 266. 3) =1,3; 4) = -1,8. 267. Графики функций у = х^ и у = ах^ + Ьх + с могут иметь одну, две или три точки пересечения. 269. 1)-^, 27, 0,001, -1000. О 270. 2) I/ > 1, {/ > 1, 0< 1/< 1. 271. 1)2, -3, 0,1; 2)х> 1, х<-1, -1 < < X < 1. 272. 1) 3, 0,2, 5; 2) X < -1 и X > 1, —1 < х < 1, -3 < х < -2 и 2 < X < 3. 273.1)3; 2)4; 3)5; 4)2. 276. 1) Четная; 2) нечетная; 3) нечетная; 4) нельзя; 5) четная; 6) нельзя. 277.1)0,3^ < 0,3^*; 3) 0,65 < 0,75 < 0,74. 4)0,84 < 0,83 < 0,93. 278. 1)(-0,5)^ < (-0,5)6 < < (-0,5)4; 2) (-0,7)9 < (-0,7)10 < (_о,7)«. 281. а) Да, например у = х^; б) нет, парабола не имеет центра симметрии, а графики нечетных функций симметричны относительно начала координат. 282. 1) Четная; 2) ни четная, ни нечетная; 3) четная; 4) ни четная, ни нечетная; 5) нечетная; 6) четная. 284. 1) Симметрия относительно оси абсцисс; 2) сжатие к оси абсцисс в 10 раз; 3) сдвиг на 1 вверх; 4) растяжение в 2 раза от оси абсцисс и сдвиг вниз на 3. 286. 1) Да; «31 i 2n -УГ 2) да; 3)да; 4) нет; 5) да. 287. 1)3; 2)-0,2; 3)1; 4)0; 5)5; 6)-2 7) 0,2; 8)|; 9)1,5. 288. 1)а)1,8; б)-2; в) 1,4; г)-1,7. 289. 1)Да 2) да; 3) нет; 4) нет; 5) да; 6) да; 7) нет; 8) да. 290. 1)-V9; 2)-V2 3) — 1 . 291. 1) л: > 0; 2) х > 0; 3) jc — любое число; 4) х ^ 0 5)х> 2,5; 6)х < 0,5; 7) -5 < jc < 5; 8) д: < -0,5, д: > 0,5; 9) д: < -9 х> 10; 10)8 < X < 12. 292. 1) О и 1; 2) 2 и 3; 3) 2 и 3; 4) 3 и 4 293. 1)±77; 2)-V21; 3)±4j; 4) ф ; 5) 9JI; 6)0,5; 7) нет корней 8) -1; 9) 0; 10) ±1. 294. 1) ^ ; 2) ^ ; 3) -0,4992; 4) 0,4432; 5) нет кор- о1 ней; 6)^; 7) ±8; 8) ±5; 9)-11, 7; 10)-8, -6. 295. 1)-5; 2)11,5. 296. 1) д: = 16, д: < 0; 2) д: < 0; 3) д: = 2, д: < 0; 4) JC = 3, д: < -3; 5) -6 < х < <5, X = -8. 297. 1) 0,5; 2) 2; 3) |; 4) 4,9. 298. 1) 2; 2) 2, -1, |; 3) 3 О О 4) 4, -1. 299.0 = зЕ. 300. R = з/р. 1)8,12 см; 2) 5,09 дм V2k а/ 4л 3) 0,527 м; 4) 1,34 см. 301. Принадлежат. 302. 1) 7; 2) 5; 3) 4; 4) 5 305. 1) V5 < V6 ; 2) 5^ < sj ; 3)-^^ < ; 4) 0 < VoT25 5) 75 > VS; 6) V03 < ®V03. 306. Да. 307. 1)Два; 2) два; 3)три 4) два. 308. 1)дг> 1;2)0<д:< 16; 3) д: = 0; 4) д: < 0; 5) д: < -1; 6) д: — любое число. 309.1)0 и 1; 2)1. 310. 1) а) 2,8; 6)4,4; в) |; г) 9,6 о д)^; е)20; ж) 2; з) 1. 313. l)aVa; 2)b‘^-i/b; 3)8^2; 4)27V3 5) 5д:V • ; 6) 2a5ft2. . 314. i) ЗД0 . 2)-if^ ; 3) 4)-3^. 315. 1)2 Vs < V^; 2)3i/2 > 2V1O; 3) | V^ < VS 4) |V9 < V^. 316. 1)V9; 4)73; Ъ)1[аЬ; 7) V^; 9) 7i^ 11) 775 - 2 ; 12) Vs - 276 . 317. l)Va; 2)^lfa; 3) V2 ; 4) Vs 5) 7^; 6)VS; 7):Д; 8) з/Л • 318. 1) 73 > Vs > VS; 2) 1/S > > Vs > 72; S) V2V2 > V^ ; 4)\[8Л = 319. 1)V2; 2)12^1; S)24j; 4) 12750 ; 5) V2 ; 6) Vs ; 7) 127ОД ; 8) 207160 . 320. l)3oJ|; 2)2V^; 3) ; 4) ; 5) ; 6) loj^ ; 7) ; 8) . 321. 1) —— ; 2) Vft + 2; 3) + ^Jcd + ; Va - 4 4) ®7c + . 322. 3) Vb - Va; 4) 10. 323. 1) Ja + 1 + Ja - 1 ; 2) 1 - Vi + 2 V2 ; 3) (i/7 + ^2 )(V? + 2); 4) (V6 + V2 )(7б + V2 ). 324. 2) 10. 325. 1) 36; 2) 1; 3) 1; 4) -623. 326. 1) 1; 2) -1. Глава 4 Прогрессии 327. 2) a) 10; 6) 54; в) 90. 328. 2) a) 7; 6) 65; в) 78. 329. 2) a) 13; 6) 64; в) 85. 330. 2) a) 8; 6) 35; в) 68. 331.2) a) 10; 6) 3, 5, 8 и 10; в) 1 и 2; 3) нет. 332. 2) а) 10; 3) 101 — простое число, 100 — квадрат натурального числа. 333. 2) а) = 4п - 3; б) а^ = Ъп - 3. 334. 12) 1, -8, 27, -64, 125, -216. 335. 12)a„ + i = (-1)" + Ч« + l)^ а„^2 = х(п + 2)^. 336. 2) &53. 337. 1) Да, ago; 2) да, 637; 3) да, с^з; 4) нет, в последовательности нет положительных членов. 338. 1)а„ = 2л; 2)о„= 2п + 1; 3)а„ = 2(л + 1); 4)а„-2п + 7; 5)а„- ; 6) а„ = -|f^: 7)а„ - 2”-1; 8)а„ = 2-”; 9) а„ = (-1Г-2"-'; 10) о„ - 11) а^ = п'^ - 1; 12) а^ = - п. 339. Возрастающие: 1), 5), 10); убы- вающие: 2), 3), 6), 7), 9); ни возрастающие и ни убывающие: 4), 8). 340. Возрастающая только последовательность 1). 341. 1)6, в, е; 2) а, д. 342. 1) Наибольший член = 12; 2) наименьший член у^ = 5 = -15; 3) наибольший член z^ = наименьший член = -5; 4) наименьший член = 3. 343. 3) 3 < л < 19. 344. 1) ^2' ^ это семиугольник; 3) у треугольников, у четырехугольников, у пятиугольников, у шестиугольников, у семиугольников, у восьмиугольников. 346. 1) л < 12, ле ЛГ; 2) 2 < л < 8. 347. .s„ = 2"-i. 348. s„ = 3”. 349. = —-—-—^. 353. е) а^ = 23, Og = 28, а^ + 2~ +1 ~^ ~ = 23 + 355. 3)о„= -5 + 2(л - 1); 4)^„ = 5)d„ = а„ + а. , а„ = 2л - 1; = 2*(-3)"-Ч 356. l)aj = 1, аз=5, a„ + j = — ^ 2) = 1, г>з = 4, ^ = 2«-1. 358. 1) 1, 4, 10, 11; 2) 3, Л' ~ViLi 5'' ----^ 3—'ii^n- 5, 7, 9, 12. 359. 2) ag = -3,7, = -3,3; 3) bg = 243, = 364,5; 4) feg = U 17 = -4,8, b^= 3,2; 6) ag = - A , ; Ю) = -9 Vs , ftg = 27; 11) &5 = = , f,g = ? ; 12) bg = Vl^ , . 362. 1) = -2; 2) Oj = 40,5; 3)ai = 33; 4)aj----7|. 363. 1)^1 = 0,3; 2)b^ = 320; Z)b^ = 36; 729 4) . 366. 1) 27®, 69°, 111° и 153°; 2) такой четырехугольник не существует. 367. 1) - ми § м; 2) , ^ 5 5 а/1 + 75 368. 1) Нет; 2) а) да; б) нет. 369. 1) Не может; 2) могут. 370. 1) Нет равных членов; 2) да, например: -1, 1, 3, ...; 3) нет; 4) нет; 5) нет; 6) нет; 7) нет; 8) да, например: 1, 1 + 72.371. 1) Могут, например: 2, -2, 2, ...; 2) могут, например: 2, -2, 2, ...; 3) могут, например: 1, 2, 4, ...; 4) могут, например: - , 1, <3 3, ...; 5) могут, например: i, 1, 3, ...; 6) могут, например: 1, i^ , ...; tj О и 7) не могут; 8) могут, например: 1, 1 + 72 , ... . 372. 2) 45; 4) -210,5; 6)0,75; 8)i. 373. 2)-330; 4)507; 6)-4; 8):^. 374. = 4068 р. О ±А 375. Через 35 лет количество древесины удвоится. 377. 1)п2з = = 0,16; 2) = -0,35. 379. 1) Нет; 2) нет; 3) да; 4) да. 380. 1) а) 3; 5; 7 9; б)-7,15; -6,65; -6,15; -5,65; в)-18; -16; -14; -12; г) 11,9 11,8; 11,7; 11,6; 2) а) 3072; 1536; 768; 384; б) 4608; -2304; 1152 -576; в) ^ ^ ||; г) -13 122; -4374; -1458; -486. 382. 1) 31 tj О и О 35,5; 40; ... ; 2) 6; б72 ; 12; ... . 383. 1) a^ = 367, d = -23,5; 2) = = -38, d = 8; 3) aj = -46, d = 14; 4) = -287,5, d = 22,5. 384. 1) ft, = = 13,5, 9=1 или fej = 18,75, 9 = i; 2) = 36, 9 = 1,5; 3) b^ = 48, 3 * g 9 = 0,5 или bj = 100, 9 = -0,8; 4) bj = 3, 9 = -2 или b^ = 12, 9 = -0,5. 385. 1) Да, Ojg = Cjg; 2) да, например: и Cg. 386. Является 1), 2), 3), 4), 7), 8). 387. Является 1), 2), 4), 5), 6). 389. 1) Да, например: 1, 2,4 — члены арифметической прогрессии; 2) нет, Jb^b^ < — Ь, +Ь при 6j ^ 63. 390. 1)4 < л < 33, л е 7V; 2) 18 < л < 32, пе N. 392. 1)3-2"-1 < 1200; 1 < л < 9, ле iV; 2)8• (1,5)'’"‘ < 1200; 1 < л < < 13, л е N. 393. 1) 3 + 6(/г - 1), где /г = 2, 4, ..., 16; 2) 27, 81 и 243. 394. 120 р. 395. 2) -400; 4) 0; 6) -159; 8) 0. 396. 1) 5050; 2) 494 550; .я--' / 3)247 050; 4)165 150; 5)329 400. 397. 3) S„ = «2. 398. 1) 330 см; 2) 297 см. 399. 1)377 см; 2) 84,5 см. 401.2) = 1070; 3) S^o - - S40 = 105; 4) да, п = 147; 5) да, п = 49. 402. 84 000 р. 403. 1) 381; 2) 2188; 3) 16,5; 4) -122; 5) 127; 6) -728. 404. 1) 29 524; 2) 1023(1 + + л/2); 3)==:-8,15; 4) ~ 108,3. 405. 1) Нет; 2) да, S31 = 930. 406. 1) Нет; 2) нет. 408. 1) = 25,3; 2) = -53,28; 3) S25 = 225; 4)S2i = -132,3. 409. l)n = 117; 2) д = 243. 410. 1) 1125; 2) 1775; 217 3) 90; 4) 4650 или 3090. 411. 1) 728 или ; 2) 1524. 412. 1)-2, 372 -4 -1, О, 1, 2; 3) 9, 7, 5, 3, 1; 5) 1, 2, 4, 8, 16. Последовательности 1) и 3) являются арифметическими прогрессиями, последовательность 6) — геометрическая прогрессия. 413. 1)5юо = 14 350; 2)Sjq = = 320. 414. 1) Нет; 2) да {d ^ 0). 415. Нет. 417. 1) + ^8 + j. 3) * 10 ,: 4) - JC'5 + 1. 418. 2) а„ = 2 + 2(п - 1). 419. 1) дг - = 29; 3) л: = 7. 420. 1)Не меньше 12 членов; 2) больше 8 членов. 421. 1) Семиугольник; 2) 6 отрезков. 422. 1)а„ = 5(2п - 1); 2) = = п - 0,5. 423.1)1275; 2)1830. 424.-2, -0,5 и 1. 425.2)4,5; 4) -13,5; 5) -8; 6) -21,6. 426. 1) 2; 2) 14. 427. 1) ^ ; 2) -i . 428. 1) 8; О ^ 2)|;3)|;6)f;8)±:ll)^^_^ « :12) 2 ^^^^.430.1)1;3)1^; 5)||: 6)|^. 431. 1)<г - 0,4; 2)?- ±|. 432. l)q- 0,5; 2)-К 5т < <0,5; 3)0,5 < g < 1. 433.6,-1, Я - 434. 1)72 см, 192 см^; 2 п, 1 1 2) 16,8 СМ, 9см^. 435.2)--—. 436. 1) Да, -, 2) нет. о do 437. 1)|; 2)1. 438. 6„= 16-0,2'*-Ч Ь„ = -24*(-0,2)"-1. 439. 2) . 440. 1) 4а(2 + V2 ); 2) 2а^. 442. 1) ^ ; 2) 9- 9. О I Глава 5 Элементы теории вероятностей и статистики 443. 1)Р(А) = 0,5; 2) Р(В) = 0,5; 3) Р(АВ) = 4)Р(Б/А) = | 444. 1) Событие ЛБ состоит в том, что не вытащен ни белый, ни черный шар, т. е. вытащен синий шар; 2) событие А 4- Б состоит в том, что вытащен или белый, или черный шар, т. е. не вытащен синий \Ф/ L •iLj %L 71Э шар. 445. ^ . 446. 1) P{A) - P(C) - P(D) = 0,5, P(S) - ^ 2) P(AB) = 1 I <5 = i , P(CD) = 1, P(AD) = P(BD) -~;3)P(A+B)~ P(C + £>) - P(B + + D) - P(A + D) = I; 4)P(B/A) - P(D/A) - |, P(D/B) - |, Р(С/£>) _ 2 3 ' . 447. 1)0,3; 2) 15 55 3 ■ 11 ' 448. ^ . 91 449 22 ■ 69 ‘ 450. 1)0,5 2'|- 451. 1>1 = 2>|- 452. 7 16 ■ 453. 1) 35 192 ’ 2) 21 . 64 ’ 31 96 454. 1)0,12; 2)0,58; 3)0,42. 455.0,9995, t. e. цель практически 20 наверняка будет поражена. 456. 0,57. 457. — . 458. Да. Выбрав оставшийся ящик, играющий вдвое увеличивает свой шанс получить приз. 459.1)20; 2)15. 460. 1) а) 4,9 с; 6)15,5; в) 15,8; г) 16,0. 463. 1)50; 2) размер одежды; 3) число женщин; 4) мода выборки — 48-й размер; медиана выборки — 50-й размер; математическое ожидание— 49 (однако такого размера и не бывает). 464. 1)60; 2) размах равен 49, медиана 130, мода 23—5; 23,5—12; 24—13; 24,5— 9; 25—5; 25,5—2; 26—1; мужчины: 25,5—4; 26—8; 26,5—8; 27—10; 27,5—9; 28—7; 28,5— 3; 29—1. 468. 1) Гистограмма (рис. 137); 2) среднее ариф- метическое число попаданий в корзину равно пяти. 472. 0,49. 473. 3,5. 1234 56789 10 11 Рис.137 Глава 6 Повторение и обобщение 474. Не имеет смысла 2) и 3). 475. 1)-0,1; 2)0,5; 3) 1; 4)-0,1; 5)0,00104; 6)i; 7)0,25; 8) З^». 476. 1)-5,12; 2)2,13; 3)0,2075; 4) 5,15; 5)1; 6)0,965. 477. 1)0,75; 2)400 000. 478. 1)16,2; 3)9,6; 5) 0,135. 479. 1)« 3,942; 3)« 18,0899. 480.5)0. 481.2)8; 4)5; 6) —5 ; 8) 125. 482. 5) с — любое число, кроме ± V5 ; 7)р — любое чис-ло, кроме —9 и 10; 13) а > 0; Ы)Ь > —2; 15) с/ i ; 16) с — любое число. О 484. Являются тождествами 1), 2), 3), 4), 5), 6), 8). 485. Равенства 2), ф r”rj ) 7 2'~T^ 71 2ntnr^ 3) являются тождествами. 488. 3) (а + 1) X x(a - 3)(a - 2)(a - 6); 8) (36 + 1)(6 + 3)(6 - 1). 489. 1)|^; 3) |^. 490.1)^^; 3) 3) 5a + 4b 9a2 + Sab + b'^ ’ Jx - Jy - 1 5) c - 2 c + 1 ’ 7) a - 2 + 2a - 4 491.1) X - 7^ + у . J~y ^ ^ . 492. 1)--]- ; 3) 0,5; 5) ^ . 493. 1) 2; 3) 1; 5) 0,5. Jx - Jy a + 5 12 494. 1) -- ; 4) -1- . 495. 1) 2^a ; 3) 1. 496. 1) ; 3) - 1; с X - у Ja - Jb 4) -1. 499. 1) i ; 2) 3; 3) i ; 4) 0,04. 500. 1) jc = 3a; 2) x = 26; 3) x = = ab - ac - be; 4) x = |. 501. Нет. 504. 1) a) -2 и 1,5; в) -2 и ^ ; г) 0,2 и 1. 505. 1) ±2, ±JS;2) ±2, . 506. 1) Корни имеют разные О знаки; 2) корней нет; 3) корни отрицательны; 4) корни имеют раз- ные знаки. 507.1)1 и 0,2; 3)-5; 5)-10 и |. 508. 3) ±3, ±i; О О 7) 0; 8) корней нет; 9) 4; 10) 8; 11) 16; 12) . 509. 1) -4, 0, 9; 2) 0, -3 ± Л7; 3)±3, ±5; 4)-1, 2, 3, 6; 5)1, -3 ± 2j2; 6)-4, -2, -1. 510. \)х = 11,у = -10; 2)л: = 8, t/ = -3; 3)лг = 12, г/= 15; 4) л: = 18, 1/ = -20. 511. 1)д: = 18, у = -3; 2) х = I, у = 0; 4) (2; -1), (-2; 1). 512. 2)х = 1,у = -2; 3) х^ = 1, г/^ = -4; jCg = 0. «/2= 4) = -^ , у^ = --1; |,!/2-1.513. 1) ж = ^ , ^ . 514. 1)(4; -2), ^ j;2)(15;-l), (-20; 6); 3) бесконечное множество решений, у = х-2 при любом значении х; 4) нет решений; 5) (15; 4), (4; 15), (-15; -4), (-4; -15). 516. 1)а„ = -7 + 3(п - 1); 2)а„= 12 - 2(/г - 1). 517. 1)6„ = 15 = ^ • 4"“ 2) 6„ = 3 • 2”~ Ч 518. 1) 48 км/ч или 15 км/ч; 3) 75 км/ч; 5) 90 км/ч и 75 км/ч; 7) 30 км/ч или 50 км/ч; 8) 12 км/ч; 9) 30 км; 10) 6 км/ч и 5,25 км/ч; 11) 120 м; 12) 65 с. 519. 1) 20 ч и 15 ч; 3) за 90 ч и 72 ч; 4) за 10 дней. 520. 1) 20 ц и 21ц; 3) 180 га. 521. 1)144 м2; 2) 337,5 см2; 3)4500 см^; 4) 0,3 м; 5) 294 м2; 6) 4 м, 4 м и 6 м или 4,2 м, 4,2 м и 5,6 м. 522. 1)50 т; 2) 33 кг. 527. 4) (-| j • 528. 1)-3; 2) нет решений. '.Ф. 529. 1)х < -3,5. 530. 1)(-17; -10]; 2) [-30; -28). 531. 1) 15 < jc < < 16; 4) л: > 12. 532. 1) ^ < л: < 9; 2) д: > 4. 533. 1) -| < х < U о о 534. 1)[8;9]; 2) [-2,5; 1,5]. 535. 1)11,9 < 2а + 6 < 12,2; 3)9,3 < <а2 -а6< 11,0; 5)4,7< аЬ < 4,9. 537. 1) д: > 0; 2) д: < -0,2 и д: > 0; а + Ь 3) д: > 8 и д: < -4,5; 4) 4 < д: < 10. 538. 1) -4 < д: < -2,5; 3) 3 < д: < 5; Ъ) X — любое число. 539. 1)д:<8ид:>9;2)-^ <д:<1. 540. 1) -1 < О <д:<0и д:>1;3)д:< —0,5, 0,5 < д: < 4,5 и 4,5 < дг < 10; 5) д: < —3, — 3<д:<1и1,5<д:<3;б)—5<д:<—1, ^ < х < 5, х > 5. 542. 1) Точка В принадлежит; 3) точка Е не принадлежит, а точка F принадлежит; 5) точки К VI L принадлежат. 543. 1) Л = 0,25. 548. 1) (-о°; 4]; 2) [-0,5;+00). 551. 1) а) (-00;+00); б) (-о°;+оо); в) промежуток убывания (-00; +00); г)(0; 1), oj; д)(^-°о; |j; 2)а)(-оо; i]; 6) [0; н-оо); в) промежуток убывания (-°о; 1]; г) (0; 1), (1; 0); д) (-°о; 1); 3) а) (-00; 0) и (0; -ьо°); б) (-°о; 0) и (0; -1-оо); в) промежутки возрастания (-°о; 0), (0; -ьоо); г) нет; д)(-о°; 0); 4)а)(-°о; -ь°о); б) ^-оо, -^j ; в) промежуток возрастания ^-оо; , промежуток убы- вания 1^1 ; -1-00 j; г) (0; -4); д) нет; 5) а) (-оо; +оо); б) (-оо; +оо); в) промежуток убывания (-оо; -ьоо); г)(0; 1), (1; 0); д) (-°о; 1). 552. 1)у = 6х^ - 2; 2) // = -2x2 -1- 5. 553. 1 ра(])иками ([функции являются: 1)—6), 11), 12). 554. 1)х, ~ 6; t/j ~ 0; Xg ~ -2,3, t/g ~ 5,5; 2) Xi ~ -9,2, z/i ~ -3,9; Xg ~ -3,9, у2 ~ -9,2; Хд ~ 9,2, у^ ~ 3,9; х^ ~ 3,9, 1/4 ~ 9,2. 555. 1) X ~ 2,2; 2) х ~ -2,6. 556. 1) х ~ 1,3; 2) х « 1,1. 557. 1) 26 м/с и 30 м/с. 559. Область определения: 1) х =/= 3; 2) х 2; 3) х ^ о, X -1; 4)х=5^ о, X ^ 3. 560. 1)А(-2; 0), Б(0; 4), С(2; 0); 2)А(-л/5; 0), Б(0;-2,5), С{Л\ 0). 561.2) (0,5; 4,5); 3) в первой и второй координатных четвертях. i ^ СОВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Глава 1 Неравенства 6. Подберите соответствующее свойство неравенств. 10. 9) Да, так как по свойству 4 получаем, что с > - - , и, 2 поскольку -- > -0,7, имеем с < -0,7; 10) да, так как по О свойству 5 получаем, что а < 2, и, поскольку 2 < 3, имеем а < 3. 15. 2) Пусть k — меньшее из чисел. Тогда, k{k + 3) - (/г + 1) х X (/г + 2) = -2 < 0. Значит, k{k + 3)<(k + 1)(/г 4- 2), что и требовалось доказать. 16. 2) Рассмотрим разность (126 - Ь^) - 36 == -(6 — 6)^. При всех значениях 6, кроме 6 = 6, эта разность отрицательна. Значит, 126 -Ь^ <36 при Ь ^ 6, что и требовалось доказать. 17. 2) Рассмотрим разность _ 11(15 + а) - 15(11 + а) _ 15 а 11 + а —4а (11 + а)11 (11 + а)11 15 ^ И . При любом а > о полу- ^ 15 + а ^ 15 пившаяся дробь отрицательна, значит, < — , что и тре- бовалось доказать. 18. 1) Рассмотрим случай а > 0, 6 > 0, так как для других возможных случаев доказываемое неравенство очевидно. Преобразуем известное неравенство между средним арифме- —Lu +L 2n Лг г-г ^ a + Ъ 1 ^ тическим и средним геометрическим. ^Jab ч —-— , —= й ^ ^аЬ > , > 2 ^ _у^ ^ 2аЬ а + Ь . Что и требовалось дока- а + Ь аЬ а + Ь зать. 2) Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства. + 2 о _ + 2 - 2ja^ + 1 _ (а^ + 1) + 12 - 2ja^ + 1 _ ,____ - 2 = + 1 ^ (Уд2 + 1 - 1)^ л/о^ТТ доказать. + 1 л/а^ + 1 Д 2 ^ 2 > 0. Значит, , > 2. Что и требовалось + \ 25 5 19. 3) Должно быть 9х = — , X = -. При этом значении X о сумма равна 30. 20. Поскольку произведение таких чисел равно 1, воспользуйтесь результатами примера 4. 21.1) Пусть одно из измерений участка х м, тогда другое равно м. Потребуется ^Зл: -ь 2* м сетки. Наимень- о о 600 шее значение эта сумма имеет, когда Зле = 2 • , т. е. при X = 20. Значит, измерения участка 30 м и 20 м. 2) Пусть одно из измерений участка х м, тогда другое равно м. Потребуется ^3* 2 ^л: -Ь j + 1,5х j м^ сетки. Пай- 720 дем наименьшее значение суммы 7,5лс -Ь 6 • . Должно быть 7,5л: = 6 • , х^ = 576, х = 24. Второе измерение участка рав- 720 но = 30 (м). Ответ: 30 м, 24 м. k 22. Пусть лег^ = у^, тогда х^+ у^ = 2х^, 2х^ = k, х-^^ у^ = {х + у)2 Q (л: + t/)2 Х1У1 = . Рассмотрим разность - ху = ш Ж'— X 2^] _(Х + l/)2 - 4xy _ (X- l/)2 > 0. Значит, JCjt/j > xy^ что и требо- валось доказать. 23. Поскольку сумма измерений прямоугольника равна половине его периметра, то наибольшим произведение измерений будет в случае их равенства, т. е. когда прямоугольник является квадратом. 24. Пусть одно из измерений участка х м, тогда другое (100 - 2х) м, площадь участка равна лс(100 - 2х) = = 2х(50 - х) (м^). Площадь будет наибольшей, когда наибольшее значение примет произведение х(50 - х). Поскольку X 4- (50 - х) = 50, наибольшее значение это произведение имеет при X = 50 - X, т. е. при х = 25. Второе измерение участка 100 - 2 • 25 = 50 (м). Ответ: 1250 м^. 25. 1) Пусть путь до станции равен 2s км. Тогда на путь до f S S \ 2 s станции у школьника ушло ( - -1--1ч,ана обратный путь — ч. „ S , S 2s 10s + 15s - 24s s ^ « Рассмотрим разность g + ^ —g" --------00----- ^ 60 ^ Значит, ^ -I- I > ^ • 6 4 5 путь на станцию занял у Ответ: школьника больше времени. 2) В первый день лодочник затратил 4- а во второй — ^ ч. Рассмотрим разность ^ 6 7 д 2га _ 4 "б" 12га-ь 21га —28га 5га ^ о ------—-------- = 7ГТ > 0. Значит, в первый день у лодочни- 84 84 ка ушло больше времени, чем во второй 26. Пусть X, у, Z — расстояния от внутренней точки М до вершин треугольника АВС (рис. 138). Из получившихся трех треугольников АМВ, ВМС и АМС по неравенству треугольника имеем: х + у > Су хЛ-2>Ь,2 + у>а. Складываем эти неравенства: 2jc4-2^-l-22>a-l-64-c, а + Ь + с X + у + 2> ш Рис. 139 27. Продолжим AN до пересечения с ВС в точке М (рис. 139). Из треугольника АВМ по неравенству треугольника имеем АВ + ВМ > > AM. Из треугольника NMC по неравенству треугольника имеем NM + МС > NC. Учитывая, что AM = AN + NM, а ВМ Ч- МС = ВС, получим, складывая неравенства: АВ + ВМ + NM -ь МС > AM + NC, АВ + ВС + NM > AN + + NM + NC. Вычитая из обеих частей по NM, получим АВ ч- ВС > AN ч- NC. Что и требовалось доказать. 28. Найдем сначала границы величины а. Для этого исключим Ь сначала из неравенств 1) и 2), а затем из неравенств 2) и 3). Складывая неравенства 1) и 2), получим 2а < 8, а < 4. Умножим обе части неравенства 2) на -1, получим а - Ь > -6 и сложим его с неравенством 3). 2а > 4, а > 2. Таким образом, 2 < а < 4. Единственное натуральное число, заключенное в этих границах, равно 3. Значит, а = 3. При этом значении а неравенства 2) и 3) приобретают следующий вид: Ь — S < 6 и 3 + Ь > 10. Оставляя Ь в левых частях этих неравенств, получим Ь < 9 и Ь > 7. Единственное натуральное число, при котором эти неравенства верны, равно 8. Ответ: а = 3, Ь = S. 29. Обозначим число всех россиян буквой R, число голубоглазых россиян — Сд, число россиян-блондинов — Вд, а число голубоглазых блондинов — Од. Тогда по условию за- ^ г Gr > . Умножив это неравенство на — , получим дачи — R В, В, о _ > — . Это неравенство говорит о том, что процент голубо- li глазых среди блондинов больше, чем процент голубоглазых среди россиян, что и требовалось доказать. 32 6) 0,9-« = (^ ^ У" - 0,9-'0. .2- 33. 4) Верно. > Л А » значит, а' 625’fe2 16 — + — < — + J- < о 1 а2 fe2 625 16 ’ 34. 2) л/15 = Vs • V5 < 1,8 • 2,3 = 4,14. Значит, -Лб >-4,14. 39. 1) Данное неравенство получится в результате перемножения двух верных неравенств с положительными частями а>6иа-1-1>Ы-1. 2) Например, при а = 0,2 и Ь = 0,1 имеем 0,22-0,2 < 0,12-0,1. 3) По свойству 3 получим а2 > Отсюда 1 + а^> 1 + Ь^-. 4) Например, при а = 1 и ft = 0,5 имеем 1 -I- 1 < 0,5 -t- 2. 43. 2) Раскроем скобки в левой части неравенства: (a-l-i>)^i + = 2 + ^ ^а' сумма взаимно обрат- ных чисел ^ и - не больше 2, получаем доказываемое О d неравенство. 44. 1) V^ + л/48 < V^ + V49 = 6 + 7 = 13; 2) V^ -h V^ >9-Ь5 = 14; 3) лД7 + V^ > 4 -Ь 6 = 10 > V^ ; 4) Л5+ТбЗ<4 + 8 = 12< ; 5) V^ - V^ > 7 - V^ >7-6 = 1; 6) Л19 - V65 <11-8 = 3. 45. 1) Л5 - V5vV2,15 4-5 - 2 Jib v 2, 9 V VT5 , 81 > 75. Значит, Vl5 — Jb > J2 . 1,1., 6 1,1, 2.,36 l.,9 _ V V i- - A, 721 42’ 721 21 21’ 14/ 4, .^4 1^1^6 1 V -= , 1 > , значит, -=-!---> —— ЛТ V^ Л 7з V42 4) + 4 V — , — V2 15 + V A V 4 30 ’ V3 6 ’ / 49 < — , значит, 36 7i5 1- V 4 Л5 Vs V2 ’ 15 V^ 27^ V5 Л 46. 1) Рассмотрите разность левой и правой частей данного неравенства и выделите в ней два квадрата двучленов. -Н 2 - 2(а + Ь) = (а - 1)^ + (Ь - 1)^ > 0, значит, а^ + Ь^ + 2> 2{а -t- Ь), что и требовалось доказать. 2) Рассмотрите удвоенную разность левой и правой частей данного неравенства и выделите в ней три квадрата двучленов. 2а -+- 2Ь -f 2с - 2 Jab - 2jbc - 2jac = (Ja - Jb)^ + + {Jb - Jc)^ + {Ja — Jc)^ > 0. Значит, a + b + c > Jab -t- + Jbc -b Jac , что и требовалось доказать. 3) а^ -f b^ - a^b - ab^ = (a + b)(a^ - ab + b^) - ab(a + b) = = (a + b)(a - b)^ > 0, значит, a^ + b'-^ > a^b + ab^; 4) a“^ + b^^ — a^b - ab'^ = a\a - b) + ЬЦЬ - a) = = (a - b)(a^ — b^). Если a > b, то значения обеих скобок положительны, если а < by то отрицательны, а если о = Ъ, то равны нулю. Значит, а^ + Ь^ — а^Ь — аЬ^ > 0 и а'^ + Ь"^ > а^Ь -4- аЬ^. Что и требовалось доказать. 47. k(3 + k)-(l + k){2 + k) = Sk + - 2 - 3k - = -2 <0. Произведение крайних членов на число 2 меньше произведения средних членов. 51.8) 3 < а - Ь < 7, ^ < -4: 7 а — о <20 55. Пусть имеется х станков первого типа и у станков второго типа, тогда х — у > 5, 13х + 12у < 305, 15х + 24у > 438. Попытаемся как можно точнее оценить, например, число станков первого типа. Поскольку это число натуральное, такая оценка позволит существенно уменьшить число рассматриваемых вариантов. Умножим второе неравенство на 2 и прибавим к нему третье неравенство, умноженное на -1 (знак неравенства при этом умножении изменится). Получим 11л: < 172, откуда д: < 16. Разделим теперь третье неравенство на 3. Получим Ьх + Sy > 146. Исключим из третьего неравенства у у прибавив к нему для этого умноженное на 8 первое неравенство, получим 13д: > 186. Отсюда х > 14. Единственное натуральное число Ху которое удовлетворяет полученным оценкам, — число 15. Значит, на заводе 15 станков первого типа. Подставив это значение х в первое и третье ш J. i — n 35-4 У , 8 - X . 3 ^ 5+1 больше 6 KM. ^ > 15 30 15-4 . Отсюда 4jc > 30 - x, Ъх > 30, x> &. Отсюда \Ф ■ ' -w ' неравенства, получаем, что у < 10 и у > S. Отсюда получаем единственное натуральное значение у = 9. Ответ: 15 станков первого типа, 9 станков второго типа. 72. 1) г) Представьте 0,99 как 1 - 0,01. Тогда в формуле а = -0,01. 90. Наибольшее число имеется, если решения неравенства заполняют промежуток, замкнутый справа, а наименьшее, если промежуток замкнут слева. . 6 2^1 3 4 . 20 ^20-21 96.а)^у-зУ< gg ------ Ответ: (——3]. 101.1) Пусть X км путь по течению, тогда л: 2) Пусть X км искомое расстояние, тогда ^ + /з < S, ^ ^ < 4, Зд: -Н 5л: < 4*45, л: < 22,5. (уО 4,0 -LO У Ответ: меньше 22,5 км. 102. 1) Пусть дачник прошел д: км со скоростью 4 км/ч. Тогда ^ f^ ^ . Решаем это неравенство. 4 4 + 22 Зд: + 16 - 2х < 18, д: < 2. Ответ: меньше 2 км. 103. 1) Пусть встреча произошла в д: км от В. Тогда Ответ: более чем в 6 км от В. 2) Пусть автомобиль встретил автобус в х км от N. Тогда наибольшее значение х будет, если автомобиль выедет из М одновременно с автобусом. К моменту встречи автомобиль преодолеет путь длиной (120 + д:) км, а автобус (120 - х) км. 120+ д 120-д Имеем: 120 • 3 + Зд: = 120 • 5 - 5д:, 80 48 8д: = 240, д: = 30. Ответ: менее 30 км. 104. 1) Пусть с фабрики А доставляют а гарнитуров, тогда 1000а + (72 - а) • 700 < 60 000. Ответ: не более 32 гарнитуров с фабрики А и не менее 40 гарнитуров с фабрики В. 105. 1) Пусть X кг (считаем, что 1 л воды имеет массу, равную 1 кг) искомая масса холодной воды. Воспользуемся уравнением теплового баланса сд(40 - 12) = с(100 - д:)(62 - 40), где с — теплоемкость воды. Отсюда л: = 44. Если холодной воды взять больше, температура смеси окажется ниже 40 °С. Ответ: не менее 44 л. 106. 1) Пусть задуманы числа п и л -ь 1, тогда п{п -Ь 1) < < (л -f 5)(л + 6). Имеем л^ Ч- л < л^ + 11л -f 30, Юл > —30, л >-3. Ответ: меньшее из задуманных чисел не меньше—2. 2) Пусть наименьшее из четырех чисел л. Тогда должно быть л(л Ч- 3) - (л -f 1)(л Ч- 2) < о, л^ Ч- Зл - л^ - Зл -2 < 0, -2 < 0. О т в е т: для любых четверок последовательных целых чисел. 117 |5р-8<0, + ™ip + 2<0. Р > 1,6, \Р< 1,6, р>_2 1,6илир<-2. \-2>0, J-2<0, |г<0, jz>0, ")|22-5<0 ™|22-5>0, [2<2,5 ™|2>2,5, 2 < о ИЛИ 2 > 2,5. 118. 1) Обозначим задуманное число буквой д:, тогда ' : + 2 6 д:- 5 >9, <7, 52 < д: < 54. Ответ: 53. 2) Обозначим задуманное четное число как 2л. Тогда 2-2л - 15 7 2л Ч- 22 > 18, 12 <8. Г4л>141, Имеем 1 2л < 74 70,5 < 2л < 74. Единст- венное четное число 2л равно 72. Ответ: 72. 119. 1) Пусть д: см — длина неизвестной стороны, тогда 2д: > 38, 2х Ч- 38 < 90 19 < JC < 26. Ответ: от 19 см до 26 см. 120. 1) Расстояние между пешеходами через ^ мин после выхода равно |16 000 — 1б0^|. Знак модуля поставлен потому, что не встреча являлась целью пешеходов и что после нее они продолжили свой путь. 116 000 — 160^1 < 800, —800 < < 16 000 - 160^ < 800, 95 < ^ < 105. Ответ: 10 мин или с 10^'^ до Ф. £mid n 2) Пусть t — время, которое ехал велосипедист. Тогда путь велосипедиста ll^км, а путь пешехода 5(< + 1)км. Должно быть |ll^ - 6{t + 1)1 < 1, -1 < 6^ - 5 < 1, 4 < 6^ < 6, - < ^ < 1. Be- О лосипедист выехал в 9 ч утра, значит, расстояние между ним и пешеходом было меньше километра с 9ч 40 мин до 10ч. Ответ: с9ч40 мин до 10 ч. 121.2) 1-й случай. Пусть ширина полоски х см, а длина полоски 20 см. Тогда 80 < 20д: < 240, 4 < х < 12. Периметр полоски Р = 2 • (20 -I- х). 2(20 -Ь 4) < Р < 2(20 -Ь 12), 48 < Р < 64. 2-й случай. Пусть ширина полоски х см, а длина полоски 32 см. Тогда 80 < 32х < 240, 2,5 < х < 7,5. Периметр полоски Р = 2*(32 + х), 2(32 + 2,5) < Р < 2(32 + 7,5), 69 < Р < < 79 (см). ioo , Л^^^(45-10)>360с(80-45), ^ 22- [ сх(35 - 10) > 360с(80 - 35), 360 < х < 648. Ответ: от 360 см^ до 648 см^. 2) Пусть надо взять х кг эссенции. Тогда 1,5 • 0,06 < 0,6х < 1,5 • 0,09, 0,15 < X < 0,225. Ответ: от 150 г до 225 г. 8 1 126. 4) Границы промежутков знакопостоянства: “3 » 2 (рис. 140). Ответ: [ 1 ; +00 j ; 0\ А ^ ^ О К. 8) границы промежутков знакопостоянства: -4, 3» (рис. 141). Ответ: (-оо, -4), 5 ^ (2,5; +оо) 127. 4) \ > -3, X -Ь 2 X - 3 2x2 - 5х - 3 - 5x2 - 9х -ь 2 + 3^.2 _ - 18 (X -Ь 2)(х - 3) >0, -17х- 19 (х -ь 2)(х - 3) >0. Рис. 140 Рис. 141 ш Рис. 142 Рис. 143 12 4 6 Рис. 144 -3 0 2 5 л: Рис. 145 19 Границы промежутков знакопостоянства: -2, “у?’ ^ (рис. 142). Ответ: (-оо; _2), ^ ; 3 j. iOQ ч (1 - 32)5г2(22 + 3) ^ л т- 128. з) ---- ----------- < 0. Границы промежутков (32 - 7)'*(5 — 42) зна- копостоянства: -1,5, о, 5 7 ^ (рис. 143). О 4 О Ответ: 2<-1,5, 2 = 0, 132. 1) Рис. 144 (-00; 1], [6; +оо); 2) рис. 145 (-оо; -3], [2;5),(5;+оо). 1 Л^ + 1 ^0» \х+К0, 133. ^)\2(х+ 1)> х + 4: ^^^\2(-х-1)>х + 4:; X > -1, х>2 \х<-1, |Зх<-6; ^>2илих<-2. Ответ: (-о°; -2), (2; Ч-оо). Глава 2 Квадратичная функция 134. 1) Подберите корни по теореме Виета; 2) проверьте число 1; 3) проверьте число -1; 4) измените знаки и примените формулу для четного второго коэффициента; 5) освободитесь от знаменателей; 6) разложите на множители; 7) по общей формуле; 8) разложите по формуле разности квадратов; 9) по общей формуле; 10) освободитесь от знаменателей. ■ф/ .й"— *4"у п И;. 135. 9) + 6l/3 + 9i/2 - 100 = (^2 + 3i^)2 _ 102 = (^2 + 3^ - - 10)(у2 4- 3^ + 10). ^2 + 3^ _ 10 = о или Z/2 + 3f/ + 10 = 0. Корни первого из уравнений -5 и 2, а второе уравнение корней не имеет. Ответ: —5; 2. 10) - 10//2 + 25J/2 - 36 = о, (£/2 - 5i/)2 - 62 = о, (i/2 - 5z/ - — 6)(//2 — 5i/ + 6) = о, i/2 - 5f/ — 6 = о или г/2 - 5^ + б = 0. Корни первого из уравнений 6 и -1, корни второго уравнения 2 и 3. Ответ: -1, 2, 3, 6. 11) 32^ + 202» + 29^2 -4 = 42^ + 202^ + 25^2 - (2^ - 42^ + 4) = (2^2 + 52)2 _ (2г2 _ 2)2 = (22 + 52 + 2)(32^ +52-2). 22 + 52 + 2 = _ -5 ± 7 '3:4 fi • = о или 322 52 2 = 0, 2jj2 = —2. ^ -5 ± л? о 1 Ответ: ----з * 12) 8л;4 - 12x3 + 10x2 _ 9 = 9^.4 _ 12д;3 + 4^.2 _ (^-4 _ 5^2 + 9) = = (3x2 _ 2д:)2 _ (^2 _ 3)2 = (4д.2 _ 2х - 3)(2х2 - 2х + 3). 4x2 _ 2х - -3 = 0 или 2x2 - 2х + 3 = о, Xj 2 ^ ^ ^• Второе уравнение ^ 1 + Лз 1 - УГз корней не имеет. Ответ: --^— , ---г— • 4 4 136. 3) Обозначим + х - Ь = у. Получим у^ — 3(г/ + 5) + + 17 = о, i^2 _ 3^ + 2 = о, i/j = 1,1/2 = 2. Вернемся к переменной X и получим уравнения х2 + х — 5 = 1 или х2 + х - 5 = 2, х2 + + X - 6 = о или х2 + X - 7 = о, Xj = -3, Х2 = 2, Хд 4 = ^ ' Ответ: -3,2,-^ ’ ^2 ^ ' 4) Пусть х2 - 2х + 1 = 2, тогда ^2 + 2(2 - 1) - 22 = 0, 22 + + 22 - 24 = о, 2j = -6, 2g = 4. Вернемся к переменной х и получим: 1) х2 - 2х + 1 = -6, х2 - 2х + 7 = о, нет корней; 2) х2 -- 2х + 1 = 4, х2 - 2х - 3 = о, Xj = -1, Х2 = 3. Ответ: -1 и 3. 137. 2) Пусть у = , тогда i/ + ^ = 2,5, 2у^ - 5у + 2 = = о, = 2, г/2 = ^ . Вернемся к переменной х и получим урав-х'^ - Зх нение X- 2 = 2, х2 - Зх = 2х - 4, х2 - 5х + 4 = о, Xj = 1, Х2 = 4; ------------^ i 2x2 - 6х = X - 2, 2x2 _ 7д£. + 2 = 0, X — 2 2 ш fty _ 7 ± 749 -16 _ 7 ± 7^ Проверка показывает, что ни ■"3;4 4 4 одно из найденных чисел не обращает знаменатели дробей 7 ± 7^ исходного уравнения в нуль. Ответ: 1,4, 138. Одно из уравнений системы сведите к квадратному относительно новой переменной. 4) Обозначим в первом уравнении системы х - у + 1 бук- вой 2, тогда 2^ - 3(2 - 1) = 7, 2^ - Зг - 4 = о, = -1, 2,2 = 4. От- сюда X - у + 1 = -1 или х-у + 1 = 4^х = у- 2 или х = у + S. Подставим эти выражения для х во второе уравнение системы: (у - 2)2 + 2{у - 2)у - 5i/2 = 25 или {у -ь 3)2 -ь 2(у + 3)у - 5г/2 = = 25, -2г/2 - 8г/ - 21 = О или г/2 - 6г/ + 8 = 0. Первое уравнение корней не имеет, а корни второго t/j = 2, f/g = 4. Найдем соответствующие им значения х. х-^ = Ь, х-2 = 7. Ответ: jCj = 5, i/j = 2; Xg = 7, t/g = 4. X 6) Обозначим во втором уравнении системы 2 2у-1 , тог- 1 5 да это уравнение примет вид 2 - - = ^. 622 - 52 - 6 = 0, 2 О 2,. о 5 ± 13 1’2 12 _ -4у + 2 2у X 3 X I = 2 2^1 2 6у- 3 = --, лг = или X = . Подставим эти выражения для х в первое урав- нение системы. После упрощений получим 25t/2 + 71у - 116 = = о или 401/2 _ 12у _ 61 = 0. i/i = -4, У2= ^,Уз,4 = 29 3 ± 7^ 25 20 22 Остается найти соответствующие значения х. х^= 6, Х2 = , 39 ± 7^ а А 22 29 ^3,4 = -9П----Ответ: х^ = 6, у^ =-4; ^3 = z/g = ^; 20 25 X., ^ = 39 ± 7^ '3,4 20 Уз, 4 3 ± 7^ 20 139. 2) Из уравнения имеем у^ = ^• О другой сторо- ны 73 - I'i^ _ 4 - 27з 7з -1 ^ . Значит, - является корнем дан- 4 2 ного биквадратного уравнения. ф 2 — *n*3l 12я*П'’ 141. 1) Оба корня уравнения у"^ + ру + q = О положительны, следовательно, - 4<7 > О, О, р < 0. 2) Корни уравнения у^ + ру + q = 0 или имеют разные знаки {q < 0), или единственный корень этого уравнения положителен (р < 0, р^ - 4(/ = 0). 3) Уравнение + рр -f ^ = 0 не имеет корней или его корни отрицательны, значит, р^ - 4р < 0 или р > 0, р > 0. 144. S)(x-l)-2jx - 1 -35 = 0; Jx - 1 = 7, д: = 50. 4) Цх + 2) + Sjx + 12 -1=0; Jx + 2 =\,х = ~ . 6)(-х‘‘^ - 2jc + 3) -Ь 5 Js - х^ - 2х -1-5 = 0. Обозначим Js - х^ - 2х буквой t. Заметим, что значения t должны быть неотрицательными. Уравнение f2-f-5f-t-5 = 0He имеет неотрицательных корней, значит, исходное уравнение не имеет решений. 6) 6л: - 2 - 4л:2 = J2x^ - Sx + 1 . Обозначим J2x^‘ - Sx + 1 буквой р, значения которой должны быть неотрицательными. Тогда уравнение примет вид -2р2 = р. Единственный неотрицательный корень этого уравнения р = 0. Возвращаясь к переменной л:, получим J2x^‘ - Зл: -1- 1 = 0. 2х^ - Зл: -Ь 1 = 0, jTj = 1, ^ ^ • 152. Достаточно проверить делители свободного члена. 159. 1) Обозначим у = 2х и получим уравнение у^ - 2у + -1 ± Л -Ь 1 = 0. Корни этого уравнения = 1> !/2, з ^ . Вернем- - лк -1 ± Л ся к переменной х. х^ = 0,5, 3 =-^- Ответ: 0,5, -1 ± У5 2) Обозначим р = Зх и получим уравнение у^ + — 9у + + 7 = 0. Корни этого уравнения 1, -1 + 2л/2, а корни исходного уравнения в 3 раза меньше. Ответ: . 1 -1 + 2л/2 3 ’ ш г ш •2izr« f -----У 162. 1) Найдите корень соответствующего многочлена. 2) Подумайте, на сколько отличается многочлен, имеющий целый корень, от многочлена, строка коэффициентов которого дана. 175. Многочлен имеет целый корень, а произведение корней равно простому числу, значит, второй корень тоже целый и имеет тот же знак, что и первый. Простое число q можно представить в виде произведения целых чисел двумя способами: 1 и (—1)*(-д). Поскольку число р простое, сумма корней, равная -р, должна быть отрицательна. Отсюда корни трехчлена -1 и -q. Имеем р = \ л- q. Если простое число q будет больше 2, то в правой части равенства окажется четное составное число. Значит, q = 2, р = 3. Ответ: р = 3, q = 2. 2 2 .Vi 184. — = —5 = — , что и требовалось доказать. У2 a;cf х\ 188. 3)Я = ^ 121 593 (м). 189. Пусть Н — глубина колодца, тогда время ожидания складывается из двух частей — собственно времени падения камня и времени, которое требуется звуку, чтобы пройти \2tH Н колодец. 3,6 = /— + --- . Ответ: приблизительно 58 м. ^ У,О o4U 199. Нужно выяснить, имеет ли корни уравнение - 8х + 9 = -х‘^ + бх-3. 205. 1) Применим свойства квадратного трехчлена. Пусть одно из чисел х, тогда другое число равно (14 - х). Р = х(14 - х) = 14х - х^. Наибольшее значение Р при х = 7. Р(7) = 7*7 = 49. 2) S = -I- (14 - х)^ = 2х'^ - 28jc -I- 14^. Наименьшее значе- ние имеем при х = 1, S(7) = 7^ -f 7^ = 2 • 49 = 98. 206. 1) -Ь «2 = (30 _ з„)2 ^ = 10ц2 _ 180л -н 3Q2. Наименьшее значение при п = 9у х = 3, х^ + = 3^ 9'^ = 90. 2)q = 18 — р, р2 -I- 2(18 - р) = р2 _ 2р + 36. Наименьшее значение прир = lyq= 17, р2 -f 2qr = 35. 207. 1) Понятно, что это квадрат со стороной 30 м, площадь которого 900 м2. Этот ответ можно получить и с помощью квадратного трехчлена. Пусть одна из сторон прямоугольника X м, тогда другая (60 - лс) м. S = л:(60 - х) = -х^ -\--1- бОд:. Наибольшее значение при х = 30. 2~ — 2 -г-Lj ft C , —•'i %rrft 3r- 2) Пусть jc M — длина стороны, перпендикулярной забору, тогда другая сторона (180 - 2л:) м. Имеем л:(180 - 2л:) = = 180л: — 2л:^. Наибольшее значение при л: = 45 равно 45(180 -2*45) = 4050 (м^). 208. 1) Пусть боковая сторона х см, тогда основание (48 -- 2л:) см. Понятно, что 12 < л’ < 24. Сумма площадей квадратов 2л:^ + (48 - 2х)^ = бл:^ -2*2* 48л: + 48^ принимает наименьшее значение при л: = 16. 2 • 16^ + 16^ = 768 (см^). 2) Пусть X см — сторона, лежащая на основании треугольника, тогда другая сторона ^ 18 - | х j см, а площадь x^l8-|xj = = 18х - -х2(см^). Площадь будет наибольшей при х = 6, S = 6 • 9 = 54 (см2). 214. Нужно решить неравенство. 220. 1)а)П = 36-8/е,П > о, /г > 4,5; в) нет таких значений; J ^ < о, 4 2)^) |16 + 20А:<0, ^^”5’ \k > о, б) П < о, i < о таких значений нет. 221.1) По условию трехчлен ах2 + Ьх + с корней не имеет, значит, либо все его значения положительны, либо все они отрицательны. Но число а + Ъ + с — это значение квадратного трехчлена при х = 1. По условию значение трехчлена при X = 1, а значит, и при всех других значениях отрицательно. Следовательно, ветви соответствующей параболы направлены вниз и а < 0. 222. 1) Обозначьте большую сторону буквой х; 2) обозначьте меньшую сторону буквой х. а - Ь + с < 1, 224. Запишем систему неравенств Ja-fb + c>-l, 9а + ЗЬ -Ь с < -4. второе неравенство на —2, получим Умножая а — fe + с < 1, —2а - 2Ь - 2с < 2, 9а + ЗЫ- с < -4. Сложим все три верных неравенства од- ного смысла. При этом получится верное неравенство того же смысла 8а < -1. Отсюда а < - ^ , а значит, а < 0. О Ш П\ —- I y. 226. Подумайте, каким в каждом случае должен быть дискриминант. 229. 2) После раскрытия скобок и приведения подобных получим квадратный трехчлен, старший коэффициент которого а + Ь + с положителен, а свободный член, равный —ЗаЬс, отрицателен. Значит, дискриминант квадратного трехчлена положителен, и трехчлен имеет корни. Что и требовалось доказать. 230. Значение квадратного трехчлена при х = а должно отличаться по знаку от старшего коэффициента. 1) - 2а -Ь а < О, - а < О, О < а < 1. 2) При а = 1 имеем только один корень. Для выполнения условия задачи должно быть (а — 1)((а — 1)а^ — 2а -Ь а) < О, (а - 1)((а - 1)а^ - а) < О, а(а - 1)((а - 1)а - 1) < О, а(а - 1)х X (а^ - а - 1) < 0. Левая часть обращается в нуль при а равных: 0,1, л/5 (рис. 146). 1 - Л 1 + л Ответ: —^г^<а<0, 1<а<— 231. Обозначим — буквой 2, тогда данное уравнение ста- нет квадратным относительно z. - 2{а - 1)2 -Ь 2а - 3 = 0. Поскольку сумма коэффициентов квадратного трехчлена 2^- 2(а - 1)2 -н 2а - 3 равна нулю: 1 - 2(а - 1) -ь 2а - 3 = 0, трехчлен имеет корень 1 при всех значениях а. Этому корню соответствуют два корня 1 и -1 исходного уравнения. Поскольку других корней исходное уравнение иметь не должно. трехчлен z^ — 2(а — 1)2 -f 2а — 3 не может иметь положитель- ных корней, отличных от 1. Значит, либо трехчлен имеет единственный корень, либо второй корень трехчлена неположителен, т. е. либо дискриминант этого трехчлена равен нулю, либо его свободный член меньше или равен нулю. Имеем D = о или 2а - 3 < о, 4а^ - 8а -ь 4 - 8а -Ь -f- 12 = 0 или а < 1,5, 4а^ - 16а -+-16 = о или а < 1,5, а = 2 или а < 1,5. Ответ: а< 1,5, а = 2. 232. Рассмотрите случаи: 1) исходное уравнение имеет единственный корень, и этот корень принадлежит данному интервалу. Не забудьте рассмотреть случай, когда уравнение окажется уравнением первой степени; 2) уравнение имеет два корня, из которых только один принадлежит данному интервалу. Это может быть: а) когда на концах интервала трехчлен f{x) = (а - \)х^ — - (а + 1)х + а принимает значения разных знаков, т. е. при А0)-А3)<0; б) когда один их концов интервала является корнем трехчлена, а другой корень принадлежит интервалу, т. е. ^ .хттг, [^1=3, О < Xg < 3 или о < Xg < 3. 233. Значения квадратного трехчлена в концах отрезка должны быть отрицательны. ^ ^ ^ ~ ^ О т в е т* а > 2 25 9 + За-7а<0, |4а > 9, а > 2,25. ^ в е т. а > 234. Дискриминант уравнения положителен при всех значениях а, значит, уравнение имеет два корня. Пусть Дх) = х^ - 2(а + 1)х -t- -I- 2а - 8, абсцисса вершины параболы Хд = а + 1. Тогда уравнение может иметь один корень на интервале в следующих случаях. Случай 1. /(1) • ДЗ) < 0; Д1) = а^ - 9 = (а - 3)(а + 3), ДЗ) = = а^ - 4а - 5 = (а 4- 1)(а - 5). (а - 3)(а + 3)(а + 1)(а - 5) < 0, -3<а-1,3<а<5 (рис. 147). Случай 2. 1 < Хд < 3, Л1) = 0, ДЗ) > о 1 < Хд < 3, или Д1) > о, Д3) = 0. или [0 < а < 2, Ja2-9 = 0, |ДЗ)>0 Обе системы не имеют решений. о < а < 2, а2-9>0, ДЗ) = 0. nv 2 f ДЙ3З112n J"n Таким образом, один корень на интервале (1; 3) уравнение имеет при -3 < а < -1, 3 < а < 5. Два корня уравнение имеет, если 1 < лго < 3, fO < а < 2, /(1) > О, Система J а < -3 или а > 3, Д3)>0. /(3)>0, не имеет решении, значит, два корня на данном интервале уравнение иметь не может. Ответ: один корень на интервале (1; 3) уравнение имеет при -3 < а < -1, 3 < а < 5. При других значениях а уравнение на данном интервале корней не имеет. 244. Найдем сначала ординату s фокуса до поворота: ^ = 1, S = i . Уравнение директрисы параболы г/ = - ^ 249. Все прямые с угловым коэффициентом 2 имеют уравнения вида у = 2х + Ь. Нам нужно найти такие значения &, при которых прямая и парабола имеют единственную общую точку, т. е. при которых уравнение 10х^ = 2х + Ь имеет единственный корень. Приравняем нулю дискриминант квадратного уравнения 10х^ - 2х - Ь = 0. 1 + lOfe = О, ^> = -0,1. Ответ: у = 2х - 0,1> 250. Координаты точки (-2; 0) должны удовлетворять уравнению искомой прямой у = kx + Ь. 0 = -2k -f &, Ь = 2k. Уравнение 4л:^ = kx Ъ должно иметь единственный корень, значит, дискриминант квадратного уравнения Ах^ - kx — Ъ = 0 должен быть равен нулю. Заменяя Ь из первого условия, получаем -I- 4 • 4 • 2^ = о, + S2k = 0, k^ = 0, /eg = -32. 6^ = 0, />2 = -64. Ответ: у = 0^ у = -32х - 64. 251. Найдем сначала уравнение касательной. Обозначим абсциссу точки ее пересечения с осью абсцисс буквой jc, тогда она пересекает ось ординат в точке с ординатой Зх. Площадь соответствующего прямоугольного треугольника равна поло- Здг2 вине произведения катетов, значит, = 13,5, х^ = 9, х = 3 (речь в задаче идет о положительной полуоси абсцисс). Уравнение прямой у = -Зх -I- 9. Эта прямая имеет единственную общую точку с гиперболой, значит, уравнение - = -Зх 9 имеет единственный корень. Преобразуем уравнение в квад- ш 2п^ ж*-- ратное и приравняем его дискриминант нулю. Sx^ - 9х + k = О, 27 81 - 12/г = О, /г = —. Еще одну касательную можно найти, обозначив ее точки пересечения с осями координат как (0; у) и (Зу; 0). Г — w2 = ^ 252. Система уравнений '\у = 2х + Ь^ должна иметь единственное решение. - (2х + 6)2 - 1 = о, Зх^ + 46л: + 62 + 1 = о, 462 _ 3(^,2 + 1) = = 0,62-3 = 0,6^ 2 = +j3. Ответ: у = 2х ± J3 . 253. Искомая прямая имеет уравнение у = к{х - 1). Систе- f у '^ — ~ 1 > ма уравнений Лу = k{x — 1") должна иметь единственное решение. у = k\x - 1)2 — л:2 = 1. (/?2 - \)х^ - 2kx -Н (^2 _ X) = 0. Должно быть (^2)2 _ ^1^2 _ Х)2 = Q, 2k^ - 1 = 0, k = ± л Ответ: у = ±^{х—\). 257. 1) Сумма расстояний от точки (4; 0) до фокусов равна 10. Составим уравнение эллипса Jx^‘ + (f/ - 3)2 + -h Jx^ + iy + 3)^ = 10. Освобождаясь от корней, получим 25л:2 + 16i/2 = 400. Ответ: 25л:2 + 16у^ = 400. Глава 3 Корни n-iA степени 274. Аргументы должны возрастать. 275. Модули аргументов должны возрастать. 279. Доказательство. 3) Пусть х^ и Х2 отрицательны и лг2>л:р тогда -Х2 < -х^, где -ЛГ2 и -х-^ положительны. Возведем это неравенство в нечетную степень п, получим -х^ < -x'l. Умножим неравенство на -1, получим х!^ > х^. Что и требовалось доказать. 280. 3) а) Найдем, например, /(1) = 0, /(-1) = 2. Числа 0 и 2 не являются ни равными, ни противоположными, значит, функция f(x) не является ни четной, ни нечетной. ш Iv ^ __ 285. Графики левой и правой частей уравнения расположены в разных координатных полуплоскостях, поэтому у них нет обш,их точек. 295. После освобождения от корней и решения уравнения следует проверить, не окажется ли значение подкоренного выражения отрицательным. 298. Не забывайте, что число под корнем четной степени должно быть неотрицательным. 300. Выразите сначала из формулы радиус шара. 303. 2) Достаточно заметить, что область определения этой функции не симметрична относительно нуля. 318. 1)V5 = V8 = ’V5l2, Л = л/з > Vs > Vs. 339. 5)а„ = 4 + я Глава 4 Прогрессии 5 -I- я ны: а. - а„ = 11 + я 5 + я 12+ п 4 + п Сравним соседние чле-7 > 0. Значит, ‘•л + 1 -п 12 + п 11 4-я (12 + я)(11 + я) каждый следующий член последовательности больше, чем ему предшествующий, т. е. последовательность возрастающая. 7) Сократим дроби и увидим, что последовательность 11111 72’ 7з’ 71’ Тб’ Те’ 8) Так как первый и третий члены последовательности равны, она не может быть ни убывающей, ни возрастающей. 9) Умножим и разделим каждый член последовательности на 111 убывающая. сопряженное число. ... . Знамена- ' 7з-н72’ 74 + Тз’ 75 + 74’ тели дробей возрастают, а в числителях 1, значит, последовательность убывающая. 10) Освободимся от иррациональности в знаменателях: 72 +1;73 + 72;Т4 + 73;.... Теперь видно, что последовательность возрастающая. 344. 1)Это несложная комбинаторная задача. Из каждой из п вершин многоугольника выходит по я - 3 диагонали. Ф. ■L ‘n" 3 j I Учитывая, что каждую диагональ мы считаем дважды, полу- , /7(П - 3) чаем . уравнения - и 2. Понятно, что 2 не удовлетворяет условию. D п 8 6 Ответ; рми-м. 5 5 уравнения q‘^ - - 1 = О, q = 1 + л/ь прогрессии взять гипотенузу, то q = 1 + V5 Ответ: 1 + Л ш X 2. 348. При а = Ь = с = 1 сумма коэффициентов равна значению степени. 360. Найдите разность (п -Ь 1)-го и п-го членов последовательности или почленно разделив числитель дроби на ее знаменатель, получите формулу д-го члена арифметической прогрессии. 361. Найдите частное (л -г 1)-го и п-го членов последовательности или преобразуйте формулу к виду = bq'^~ Ч 366. Сумма углов четырехугольника равна 360°. 1) Пусть меньший угол а\, тогда -f 42 + + 2 • 42 -Ь -t- 3 • 42 = = 360, = 27. Ответ: 27°, 69°, 111° и 153°. 2) Пусть меньший угол Ь\, тогда -Ь 2Ь^ -Ь 4Ь^ + 8Ь^ = = 360, bj = 24. Но тогда больший угол оказывается 192°, чего у выпуклого четырехугольника быть не может. Ответ: такой четырехугольник не суш;ествует. 367. 1) Пусть разность этой прогрессии d м, тогда катеты треугольника равны соответственно (2 - d) м и (2 - 2d) м. По теореме Пифагора имеем (2 - d)2 + (2 - 2d)^ = 4. Корни этого 2) Пусть знаменатель этой прогрессии равен q, а меньший катет равен 1. Если первым членом прогрессии взять меньший катет, то второй катет будет равен д, а гипотенуза треугольника q^. По теореме Пифагора получаем уравнение 1 -Ь q^ = Найдем положительный корень биквадратного . Если первым членом 368. Суммы длин противоположных сторон описанного четырехугольника равны. 369. 1) Суммы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. Решение аналогично решению пре-дыдуш;его упражнения. Ответ: не может. 2) Сумма острых углов равна прямому углу, следовательно, Ь bq = bq^. Уравнение q^^ - q - 1 = О имеет удовлетворяю- 1 -ь л/ь ш;ии условию задачи корень Ответ: могут. 370. 1) Арифметическая прогрессия с отличной от нуля разностью или убывает, или возрастает, значит, у нее нет равных членов. 3) Взяв два соседних четных члена, получим, что и разность прогрессии — четное число, но тогда любой член прогрессии можно представить в виде суммы или разности двух четных чисел, т. е. все члены этой прогрессии четные. 4) Взяв два соседних нечетных члена, получим, что разность прогрессии — четное число, но тогда любой член прогрессии можно представить в виде суммы или разности нечетного и четного чисел, т. е. все члены этой прогрессии нечетные. 5) Взяв два соседних целых члена, получим, что и разность прогрессии — целое число, но тогда любой член прогрессии можно представить в виде суммы или разности двух целых чисел, т. е. все члены этой прогрессии целые. 6) Взяв два соседних дробных члена, найдем разность прогрессии — обыкновенную дробь с некоторым знаменателем q, тогда, прибавив к недробному члену прогрессии разность прогрессии q раз, мы снова получим недробный член нашей прогрессии. 7) Взяв два соседних рациональных члена, получим, что и разность прогрессии — рациональное число, но тогда любой член прогрессии можно представить в виде суммы или разности двух рациональных чисел, т. е. все члены этой прогрессии рациональные. 371.7) Взяв два соседних рациональных члена, получим, что и знаменатель прогрессии — рациональное число, но тогда любой член прогрессии можно представить в виде произведения или частного двух рациональных чисел, т. е. все члены этой прогрессии рациональные. 374. А = а • 1,15^ 500 • l,15i5 ^ 4068 (р.). ф. 375. Через 5 лет количество древесины увеличится на 5000 • (1,02^ - 1) ~ 520 (м^). Подберем приближенный корень уравнения 5000 • 1,02^ = 2 • 5000, 1,02^ = 2. t 20 30 33 35 1,02' 1,49 1,81 1,92 2,00 + Qd + + 22(i = 76, + 3d + + 37d = -206; 3) Ответ: через 35 лет количество древесины удвоится, 380. 1)а2о ^ ^10 + ^ ^ = 2, - 9d, aj = 21-18 = 3. Ответ: 3; 5; 7; 9. 2а^ + 28d = 76, 2а^ + 40d = -206; 12d = - 282; d = -23,5; = 367. (Oi + 4d)(a^ + 5d) = 240, j (a^ + 4d) • 24 = 240, 2flj + lOd = 48; | + 5d = 24. Ответ: = -46, d = 14. 385. 1) 26 + 2(/i - 1) = 8 + 3(n - 1), П - 1 = 18, П = 19. Ответ: да, a^g = Cjg. 388. 1) Пусть m + n = k + I, тогда = 2a■^ + d{m + n- 2) = 2a^ + d(k + / - 2) = + a^. 2) Пусть m + n = k + ly тогда = ^2.д,т + п-2 = 390. 1) 10 < 2 + 3(я - 1) < 99; 4 < П < 33; 2) 10 < 197 - 6(л - 1) < 99; 18 < п < 32. 392. 1) 3 • 2'' -1 < 1200; 1 < п < 9; 2)8*(1,5)«-i < 1200; 1 < д < 13. 393. 1) Должно быть 3 + 6(/г — 1) < 5 + 4(25 - 1), k < 16. 5 + 4(д - 1) = 3 + 6(А: - 1), п = 1М - 1, где ^ = 2, 4, ..., 16. Искомые числа: 3 + 6{k - 1), где /г = 2, 4, ..., 16. 2) Должно быть 3*“^ < 12 + 3(100 - 1), 3*“^ < 309. Таким образом, следует проверить, какие из чисел 1, 3, 9, 27, 81, 243 являются членами арифметической прогрессии 12 + + 3(д - 1). Это числа 27, 81 и 243. 394. S.0 = ^ J20 (р.). ш 396. 1) -100 - 5050; 2) .^QQ + ^^^ -900 = 494 550; 3) 100 + 998 ^450 _ 247 050; 4) • 300 = 165 150; 5) 494 550 - 165 150 = 329 400. 41 + 19 398. 1) = 297 (cm). 13 - 41 - 19 = 330 (cm); 2) 27 • 13 - 2 • 27 = /1ЛЛ 1 \ 1 + (2« - 1) 2 400. 1)----Цг------ •n = n^; r,. 2 • 1 + (n - 1) • 1 n(n + 1) 2)-----------^— • n = ^ 401. Можно найти разность (я + 1)-го и я-го членов или преобразовать формулу к известному виду формулы я-го члена арифметической прогрессии: 37 - 0,5я = 36,5 - 0,5(я - 1). 402. ^24 = ^ ~ 42 000 (р.). 406. 1)Нет, 1-2 6" - 1 1533, 6" = 5 • 1533 -Ь 1; при натураль- ном я левая часть уравнения кратна 3, а правая — нет. 412. Найдите разность ^ ^ и S„. f ^ = ЯП , а. -Ь 2d = 6, 418.2).^ ' ^ X 2а, ч- 9d 1 2а, + 9d = 22, ^ 10 = 110, ' ^ fd = 2, |ai = 2, а„ = 2-Ь2(я-1). 419. 1) 4 + 3(^п- 1) Зя2 -Ь я - 310 = о, я = 10, = 29. 3) 1 + ...-Ь (JC-2)-Ь (JC - 1) = Зд:; ^ ^ ~ ^ ' ‘(л:-1) = = 3jc, - 7л: = о, JC = 7. 420. 1) я^ -f 2я > 143, я > 11. Не меньше 12 членов. ф. 421. 1) . п = 203, Зд2 _ 79п + 406 = 0. Единст- венный натуральный корень этого уравнения равен 7. Ответ: семиугольник. 2) Если переписать эту прогрессию, начиная с ее большего члена, то знаменатель будет равен 0,5. Тогда 5’^"^ =315, =±,п = 6. Ответ: 6 отрезков. 422. 1) Сумма первых п нечетных натуральных чисел равна п^. Увеличив каждое из этих нечетных чисел в 5 раз, получим 5 И-15 -ь 25 -(-... -I- 5(2я - 1) = 5п^. 2) 0,5 -Ы,5 -Ь 2,5 -Ь ... + (п - 0,5) = 0,5^2. 423. 1) 502 _ 492 + ... + 22 - 12 = 50 -ь 49 -Ь ... + 2 + 1 = =1275. 424. + (k — 1)д:2 — kx = 0. Число 0 является корнем данного уравнения. Два других его корня 1 и -fe должны отличаться от нуля. Числа 0, 1 и должны составлять арифметическую прогрессию. Возможны 3 варианта: 0, 1, -k; 0, -k, 1; -k, о, 1. Получаем искомые значения k: -2; -0,5; 1. 439. 1) Sj = = ■ - . Площадь каждого следующего треугольника составляет ^ площади ему предшествующего. Значит, площади треугольников составляют геометрическую прогрессию со знаменателем \ . 4 2) Сумма площадей всех треугольников равна ‘(-i) ^ 1 а В а 5 Элементы теории вероятностей и статистики 445. Исх^омое событие складывается из извлечения белого и извлечения черного шаров. Его вероятность можно найти либо как сумму вероятностей этих несовместных событий, либо просто сосчитав число всех шаров в урне и разделив на гч 8 него число одноцветных шаров. Ответ: — . IV 2п п 448. Обозначим извлечение первым черного носка Aj, извлечение вторым черного носка Ag. Соответственно, извлечение первым белого носка Бр извлечение вторым белого носка Eg. Тогда искомую вероятность можно найти, как сумму вероятностей того, что оба носка белые и оба носка черные, т. е. как вероятность суммы несовместных событий AjAg и E^Eg. P(AiAg) -Ь E(E,Eg) = E(Ai)P(Ag/A,) + Р{В,)Р(В^/В,) = = А . _L + А . А 14 ‘ 13 14 * 13 = 1.А4-ё.А = 1з 7 ’ 13 7 * 13 91 449. Можно найти число вариантов вытащить какую-нибудь пару носков, а затем число тех из них, в которых пара состоит из одноцветных носков. Способ 1. 1) Всего 24 носка, значит, число способов вытащить два из них равно С|^. 2) Носки одноцветные, если оба они черные, белые или серые. Число таких вариантов равно С| + С| -t- Cfo- 3) Вероятность вытащить пару носков одного цвета равна: Со + С« + 10 '24 8-7 ^ ^ ^ 10-9 24 • 23 28 + 15 -ь 45 12 • 23 22 69 Способ 2. Обозначим буквами А извлечение черных, Е — белых и С — серых носков. P(Aj Ag) + P(E,Eg)-f + P(CiCg) = P(Ai)P(Ag/Ai) + P(Ei)P(Eg/E,) + P(Ci)P(Cg/Ci) = = A.A + A.A +10.^ = A.A + A.A + A.A 24 * 23 24 * 23 24 ’ 23 12 * 23 12 ‘ 23 12 ’ 23 28 + 15 -b 45 12 • 23 22 ^ 22 =^69- 69* 450. 1) Возможны следующие два равновероятных варианта: младший ребенок мальчик, младший ребенок девочка. Следовательно, вероятность того, что оба ребенка мальчики, в этом случае равна 0,5. 2) Возможны следующие три равновероятных варианта по старшинству детей: мальчик — мальчик, мальчик — девочка, девочка — мальчик. Следовательно, вероятность того. что оба ребенка мальчики, в этом случае равна - . О ф 451. И в том и в другом случае речь идет о произведении одних и тех же событий, поэтому вероятности должны быть 2 2 равными. 1) - ; 2) - . 452. Из 28 костей домино 16 имеют четную сумму очков, из 7 них 7 дублей. Значит, искомая вероятность равна . 453. Извлечение шаров из разных урн — события независимые, значит, вероятность их произведения равна произведению их вероятностей. 5 7 35 1)Оба шара белые: 715 * = 7^; 2) оба шара черные: 1 О X 7 9 21 тт: * гг FT 5 3) шары черный — белый или белый 12 1о о4 черный. Вероятность можно найти двумя способами. Способ 1. События несовместны, значит: 7.7 ,5.9 _ 49 + 45 _ 94 _ 47 12 ’ 16 12 * 16 192 192 96 ‘ Способ 2. Извлечение шаров разного цвета — событие, противоположное извлечению шаров одного цвета. Вероятность извлечь шары одного цвета складывается из извлечения белых и черных шаров. Поскольку события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей: 35 , 21 _ 192 64 35 + 63 98 тз — = . Вероятность противоположного 98 события равна 1 - ^ ^ ^ 47 96 454. Пусть событие А — выход из строя первого прибора, а Б — выход из строя второго прибора. 1) Выход из строя обоих приборов— это произведение независимых событий Ап В. Р(АВ) = Р(А) • Р(В) = 0,3 • 0,4 = 0,12. 2) Выход из строя хотя бы одного прибора — это сумма событий А и В. Имеем: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,3 + 0,4 - 0,12 = 0,58. 3) Способ 1. Если ни один из приборов не выйдет из строя, значит, произошло произведение событий, противоположных событиям А и В: Р(АВ) = Р(А)Р(В) = (1 - Р(А))(1 - Р(В)) = (1 - 0,3)(1 - 0,4) = = 0,7-0,6 = 0,42. Ф, l.\ Способ 2. Если ни один из приборов из строя не вышел, значит, сумма событий А + В не произошла. Нам нужно найти вероятность события, противоположного событию А В. Р(аТВ) = 1 - Р{А + В) = 1 - 0,58 = 0,42. 455. Найдем вероятность противоположного события, т. е. того, что цель не будет поражена. Все стрелки при этом должны промахнуться. Вероятность промаха у пяти из них равна 0,4, трое промахиваются с вероятностью 0,5, а остальные — с вероятностью 0,6. Совместный промах заключается в том, что независимо друг от друга каждый из стрелков промахивается. Значит, вероятность обш;его промаха равна 0,4^ • 0,5^ • 0,6^ ~ 0,0005. Вероятность поражения цели равна 1 — 0,0005 = 0,9995, т. е. цель почти наверняка будет поражена. 456. Найдем вероятность противоположного события, которое заключается в том, что дни рождения ни у кого не совпадут. Рассмотрим список из 25 учеников. Вероятность того, что у второго ученика день рождения не совпадает с днем 364 рождения первого ученика, равна , так как второй уче- оо5 ник мог родиться в любой из 364 дней, «свободных» от рождения первого ученика. Третьему ученику «разрешается» родиться в один из оставшихся после первых двух 363 дней, поэтому вероятность несовпадения дней рожде- ния у третьего с первыми двумя равна . Четвертому «особо тается» 362 дня и т. д. 25-й ученик может «выбирать» из 341 дня. Даты рождения учеников друг от друга не зависят, поэтому вероятность несовпадения дней рождений равна 365 ’ 365 * 365 * ’” * 365 Таким образом, вероятность того, что хотя бы у двух учеников дни рождения совпадают, равна 1 - 0,43 = 0,57. 457. Пусть мужчин и женщин по п, тогда дальтоников среди них 0,05л -Ь 0,0025л = 0,0525л. Мужчин среди них 0,05л, значит, вероятность выбора среди дальтоников муж- 0,05л _ 20 0,0525л “ ^ ■ чины равна ф Глава 6 Повторение и обобщение 541. Рассмотрим разность квадратов левой и правой частей неравенства. аЬ + ad + сЬ cd - аЬ - cd - 2 Jabcd = = ad + cb - 2 Jad • Jcb = (Jad - Jcb > 0. Значит, (л/(а + c){b -ь d) >{4ab -b Jcd)^. Поскольку левая и правая части исходного неравенства были неотрицательны, из неравенства их квадратов следует доказываемое неравенство. г\ X 2izr» .—// 2 -г СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Свойства неравенств Если а> b,Tob < а Если а>6и&> с, то а>с Если a>bvLC>d,T:oa-\-c>b-\-d Если а> bw.k> ak> bk Если а > Ь w.k <0^то ak < bk Если a>b>0vLC>d> О, то aobd Если а>д>0, то - <\ а Ъ Если а > Ь > О, то Если а> Ь> 0,то Ja > Jb Арифметическая прогрессия а^ = а^ + d(n - 1), где — первый член, d — разность, п — номер члена а„ + а„ . о 1 1 -S = 'п + 1 а^ + а 2а. + d{n -\) П = ------------- * П Геометрическая прогрессия где Ь^ — первый член, q — знаменатель, Ь^^ О, q ^ О + 1 ^ J^n * f 2 S = f^i-ЬпЧ \-q 1-7 ,7^1 Сумма бесконечной геометрической прогрессии с? 1 II S = j—- , где q — знаменатель, О < |(7| < 1 Действия со степенями {аЬУ = (= — U J {а'^У = а'"'* дШ . дП = дт + Л а® = 1, = а, а"" = — , а О Свойства квадратных корней л/^ = |л:| л/^ = Ja • Jb , если а > Oj Ь > О ^ , если а > О, Ь > О 'Ь Jb Если a>l,Toa>Va>l; если 0<а<1,тоа< Ja <1 Свойства арифметических корней /г-й степени ^Jab = Va 'a _ '\fa 'i/b '\fa^ =(Var Среднее арифметическое чисел а^, ag, ...» а, + а, + ... + а„ Среднее геометрическое чисел а иЬ Jab , где а > О, 6 > 0. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим а + Ь > Jab Квадратные уравнения ax^ + bx + c = 0,a^0 Дискриминант D = — 4ac Если Z) > 0, TO x^ 2 ^ ^ о» если Z) = 0, то jc = 77^ , если 2a 2a -D < 0, TO корней нет Теорема Виета: х. Приведенное квадратное уравнение Ь с Теорема Виета: х, + х^ = -- у х, • х., = - ^ если D> 0 ^ ^ а ^ а х^ + рх + q = о, Xi 2= ± - Я Теорема Виета: х^ + Х2 = -р, • Х2 = q, если D> 0 Разложение квадратного трехчлена на множители ах^ + Ьх + с = а{х - х^){х - Х2), где х-^, Х2 — корни трехчлена Комбинаторика Число перестановок Р„=1-2-3*...-(п-1)*я = л1 Число размещений = п{п - 1)(я - 2) •• (я - m + 1) п\ (п —т)\ Число сочетаний Л ^ # Ст =ZlL = т\{п - т)\ Факториалы однозначных чисел п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 п1 1 1 2 6 24 120 720 5040 40 320 362 880 Бином Ньютона (а + 6Г = 0'' + а''-1& + С"-2а«-2ь2 + ... + С1 аЧ^ - 2 + Ci аЬ'' -1 + С® Ь'' Свойства биномиальных коэффициентов l + cj, +С^ + ... + С^-1 +1 = 2-, С" =С^-- Вероятность Р(А) - ^, где п — число всех равновероятных исходов опыта, т — число тех из них, при которых происходит событие А Р{АВ) = Р{А) • Р{В/А) Р{А + В) = Р(А) + Р(В) - Р{АВ) Р{АВ) = Р{А) • Р(В), А VI В — независимые события Р(А + Б) = Р(А) + Р(Б), А и Б — несовместные события Если производится серия из п испытаний, в каждом из которых вероятность успеха равна р, а вероятность неудачи 1 -р, то вероятность Р{т) того, что ровно т испытаний в этой серии будут успеп1ными, вычисляется по формуле Р(т) = С^р-(1 -р)"~- Формулы сокращенного умножения (а ± Ь)^ = а2 + 2аЬ + (а^ + cig + ••• + = af + о| + ... + а2 + + 2(aja2 + а^аз + ... + (а ± Ь)2 = ± 3a2i> + 3afc>2 + ±b'^ = {а± Ь)(а2 + аЬ + Ь'^) - Ь^ = {а - Ь)(а + Ь) Ф Чх X — tu “га 12„ in Основное свойство дроби С1 ас I л л - = — , если о =А О, с =5^ О о ос Таблица квадратов двузначных чисел 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801 Квадраты и кубы однозначных чисел а 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 9 16 25 36 49 64 81 1 8 27 64 125 216 343 512 729 Ф. .2----- Таблица простых чисел от 2 до 997 х‘'- Латинский алфавит 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 Аа ВЬ Сс Dd Ее Ff Gg Hh li Jj Кк L1 М m а бэ цэ ДЭ е эф же аш и жи ка ЭЛ эм Nn Оо Рр Qq Rr Ss Tt Uu Vv Ww Хх Yy Zz эн о пэ ку эр эс тэ У вэ дубль- вэ икс иг- рек зэт ш г Приставки СИ и множители для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименований Приставка Обозначение приставки Множитель международное русское экса Е Э пета Р П 10»5 тера Т T Ю‘2 гига G Г 10» мега М M 10« кило к к 10» гекто h г 1Q2 дека da да 101 деци d Д 10 1 санти с с 10-2 милли m м 10 3 микро m мк 10-6 нано n н 10 9 пико P п 10-12 фемто f ф 10-15 атто a а 10-18 0 / — 2.--- w.3ll2»jnr *■ Плотность веществ Вещество кг/м^ г/см^ Алмаз 3515 3,5 Алюминий 2700 2,7 Железо 7874 7,9 Золото 19 320 19,3 Кирпич 1400—1600 1.4-1,6 Латунь 8500—8700 8,5—8,7 Медь 8960 8,9 Олово 7300 7,3 Платина 21 450 21,4 Свинец 11 350 11,3 Серебро 10 500 10,5 Стекло 2400—2600 2,4—2,6 Цинк 7140 7,1 Чугун 7000—7800 7,0—7,8 Бензин 700—720 0,7 Вода морская 1010—1050 1,01 — 1,05 Керосин 790—820 0,79—0,82 Масло растительное 910—970 0,91—0,97 Серная кислота (концентрированная) 1800 1,8 Ртуть 13 600 13,6 Соляная кислота (20% -я) 1100 1,1 \w/ fl,\^ X^~j/ , 112n tr. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аргумент функции 239 Вероятность суммы событий 196,200 — произведения событий 197, 200 — условная 197 Выделение полного квадрата 92 Геометрическое место точек 109 Гипербола 117, 240 Гистограмма 209 Граница верхняя 23 — нижняя 23 График уравнения 243 Диаграмма круговая 209 — столбчатая 209 Допустимое значение переменной 220 Знаменатель геометрической прогрессии 164 Значащая цифра 36 Интервал знакопостоянства 58 Конические сечения 122 Конус 121 — усеченный 122 Корень арифметический 137 — квадратный 135 — n-Vi степени 135 — многочлена 68 Медиана ряда 207 Метод интервалов 57 Мода ряда 207 Неравенство двойное 18 — квадратное 96 — линейное 41 — нестрогое 8 — строгое 8 — треугольника 5 Область определения выражения 220 ------функции 239 Округление с избытком 25 — с недостатком 25 Относительная точность приближения 31 Парабола 89, 96, 115 Погрешность абсолютная 29 — относительная 30 Показатель степени корня 135 Последовательность 154 — возрастающая 155 — рекуррентная 161 — убывающая 155 Приближенное значение величины 22 Приведенный квадратный трехчлен 79 Прогрессия арифметическая 164,166 — геометрическая 164, 249 Промежутки возрастания 86 — убывания 86 Равносильные неравенства 40 — преобразования неравенств 41, 236 — уравнения 226 Размах ряда 208 Разность арифметической прогрессии 164 Расстояние между двумя точками 109 Решения неравенства 40, 236 — системы неравенств 48, 236 — уравнений 228 Секущая плоскость 122 Свойства арифметических корней 145 — неравенств 6, 15 Система линейных неравенств 47 Среднее арифметическое 166, 207 — геометрическое 166 — пропорциональное 166 Статистика 206, 250 Схема Бернулли 203 — Горнера 70 Теорема Безу 74 Тождество 221 Тождественное преобразование выражения 221 Точность приближения 35, 36 Уравнение биквадратное 64 — окружности 110 — целое 62 Фокус параболы 117 Формула п-го члена арифметической прогрессии 170 — геометрической прогрессии 171 Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии 189 ----первых п членов арифметической прогрессии 177, 179 ----геометрической прогрессии 178, 179 Формулы Виета 227 Функции взаимно обратные 143 Функция возрастающая 86, 238 — квадратичная 92,240 — кусочно-заданная 244 — линейная 239 — нечетная 130 — степенная 128, 240 — убывающая 86, 240 — четная 130 Числа Фибоначчи 162 Числовые промежутки 49 Член последовательности 154 Эллипс 123 г Учебное издание Муравин Георгий Константинович Муравин Константин Соломонович Муравина Ольга Викторовна АЛГЕБРА 9 класс Учебник Зав. редакцией О. В. Муравина Редактор Т. С. Зельдман Художественный редактор А. В. Пряхин Технический редактор И. В. Грибкова Компьютерная верстка С. Л. Мамедова Корректоры Г. И. Мосякина, Е. Е. Никулина в соответствии с Федеральным законом от 29.12.2010 г. № 436-ФЗ знак информационной продукции на данное издание не ставится Сертификат соответствия № РОСС RU. АЕ51. Н 16508, Подписано к печати 05.07.13. Формат 60 х 90 '/je-Бумага офсетная. Гарнитура «Школьная*. Печать офсетная. Уел. печ. л. 20,0. Тираж 1000 экз. Заказ № 13-01666. ООО «ДРОФА». 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги просим направлять в редакцию общего образования издательства «Дрофам 127018, Москва, а/я 79. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: chief@drofa.ru По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52. Сайт ООО «ДРОФА»: www.drofa.ru Электронная почта: sales@drofa.ru Тел.: 8-800-2(Ю-05-50 (звонок по России бесплатный) TNM PRINT TNM PRINT s.r.o. Нова Место 14 Хлумец над Цидлиной 503 51 Чешская Республика www.tnm.cz mail.: tnm@tnm.cz тел.: +420 495 480 878 Представительство типографии в России: ООО «ИНО ПРЕСС>*. Тел.: *7 (499) .Ч92-001Ь