Учебник Алгебра 10 класс Муравин

На сайте Учебник-Школа.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Учебник Алгебра 10 класс Муравин - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. ГЕОМЕТРИЯ Г. к. Муравин, О. В. Муравина АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ГОС ВЕРТИКАЛЬ Лврофа МАТЕМАТИКА; АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМОРИЯ АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Учебник Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации ВЕРТИКАЛЬ МОСКВА 2013 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 М91 Учебник получил положительное заключение Российской академии наук (№ 10106-5215/265 от 12.10.2012 г.) и Российской академии образования (№ 01-5/7д-431 от 11.10.2012 г.) Муравин, Г. К. М91 Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс. : учебник / Г. К. Муравин, О. В. Муравина. — М. : Дрофа, 2013. — 318, [2] с. : ил. ISBN 978-5-358-10962-9 Учебник входит в учебно-методический комплекс по математике для 10—11 классов, изучающих предмет на углубленном уровне. Теоретический материал в нем разделен на обязательный и дополнительный. Каждая глава завершается домашней контрольной работой, а каждый пункт главы — контрольными вопросами и заданиями. В учебнике есть ссылки на интернет-ресурсы, раздел «Ответы, Советы и Решения», в котором приведены решения наиболее трудных задач. Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования, имеет гриф «Рекомендовано* и включен в Федеральный перечень учебников. УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 ISBN 978-5-358-10962-9 © ООО «Дрофа», 2013 Оглавление Г Л а В а 1. Функции и графики 1. Понятие функции....................... 7 2. Прямая, гипербола, парабола и окружность............................. 15 3. Непрерывность и монотонность функций................... 24 4. Квадратичная и дробно-линейная функции. Преобразование графиков.................. 35 Г Л а в а 2. Степени и корни 5. Степенная функция// = л:” при натуральном п........................ 46 6. Понятие корня л-й степени............... 51 7. Свойства арифметических корней.......... 61 8. Степень с рациональным показателем...... 67 Г л а в а 3. Показательная и логарифмическая функции 9. Функция г/= 76 10. Понятие логарифма...................... 86 11. Свойства логарифмов.................... 95 Г л а в а 4. Тригонометрические функции и их свойства 12. Угол поворота......................... 106 13. Радианная мера угла................... 110 14. Синус и косинус любого угла........... 115 15. Тангенс и котангенс любого угла............ 122 16. Простейшие тригонометрические уравнения . . 128 17. Формулы приведения......................... 136 18. Свойства и график функции f/= sin д:....... 144 19. Свойства и график функции// = cos JC....... 151 20. Свойства и графики функций у = ig х и у == ctg X ............................ 157 21. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента........ 165 22. Синус и косинус суммы и разности двух углов 171 23. Тангенс суммы и тангенс разности двух углов 177 24. Тригонометрические функции двойного угла 182 25. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. Обратное преобразование..................... 188 26. Решение тригонометрических уравнений .... 194 Г л а В а 5. Элементы теории вероятностей и комбинаторики 27. Понятие о вероятности................. 203 28. Вычисление числа вариантов ........... 208 Г л а в а 6. Повторение 29. Функции и графики..................... 217 30. Уравнения и неравенства............... 232 Домашние контрольные работы.................... 241 Ответы.................................... 248 Советы.................................... 270 Решения................................... 280 Основные формулы............................... 311 Предметный указатель........................... 315 Список дополнительной литературы и интернет-ресурсов............................ 317 Уважаемые старшеклассники! Этот учебник продолжает курс алгебры 7—9 классов. В течение следующих двух лет вы расширите и углубите свои математические знания. И, главное, научитесь их применять. Знать математику — значит уметь решать задачи. Именно задачи вам предстоит решать на ЕГЭ. В учебнике задания разной степени сложности. В заданиях, номера которых не имеют специальных обозначений, вы не должны испытывать никаких затруднений. Значком «О» отмечены задания, в которых путь к ответу связан с некоторыми техническими сложностями. Задания, над которыми следует подумать, имеют обозначение « ® ». План решения таких заданий полезно обсудить в классе с учителем. Номера самых трудных заданий имеют обозначение « **. Значком «■» отмечены задания, которые следует выполнять с помощью калькулятора. В учебнике рассматривается калькулятор операционной системы Windows. При изучении математики вам предстоит строить много графиков. В некоторых случаях работу в тетради полезно совмещать, а иногда и заменять работой на компьютере в одной из компьютерных программ построения и исследования графиков функций и уравнений. Такие программы свободно и бесплатно распространяются в Интернете. Мы рекомендуем две русифицированные программы GeoGebra и WinPlot. Программу GeoGebra можно скачать с предлагаемого ниже сайта https://www.geogebra.org На этом же сайте вы детально познакомитесь с возможностями программы. Полезно зарегистрироваться на сайте https://geogebra. ru Сибирского института GeoGebra и пройти начальный курс обучения. Само название программы, составленное из частей слов geometry и algebra (геометрия и алгебра), говорит о том, что её можно использовать при изучении и геометрии, и алгебры. Чтобы скачать программу Win-Plot, можно зайти на сайт https://math, exeter.edu/rparris/ winplot.html и выбрать там русский язык (Russian). В тексте учебника рекомендация использовать какую-нибудь компьютерную программу обозначается символом Д . Выполненные в этих программах решения задач красивы и наглядны. Многие из них размеш;ены школьниками и учителями математики в Интернете, где их можно поискать. Надеемся, что и ваши решения можно будет там найти. Вместе с основным материалом, изучение которого обязательно, в учебнике есть и дополнительный материал, знакомство с которым желательно. Начало такого материала обозначается значком « ▼ », а конец — « Д ». В конце учебника в разделе «Основные формулы» вы можете найти нужную формулу. Решив задачу, сравните свой ответ с ответом в учебнике. Если выполнить задание вы не можете, то прочитайте совет к задаче или посмотрите её решение. В этом вам помогут разделы «Ответы», «Советы» и «Решения». Каждый пункт учебника завершается контрольными вопросами и заданиями, а к главам учебника предлагаются домашние контрольные работы с указанием примерного времени, на которое рассчитано их выполнение. Задания домашних контрольных работ разбиты на три уровня, которые соответствуют удовлетворительной, хорошей и отличной оценке. Так что вы сами сможете оценить свои математические достижения. В конце учебника имеется предметный указатель, особенно полезный при повторении. В учебник не вошли многие важные и интересные математические вопросы, поэтому для тех, кто интересуется математикой, в справочном разделе учебника имеется список дополнительной литературы и интернет-ресурсов. Авторш желают вам успехов! ■ Blit;-.: v V . >. ■• ■ ■ • ■ . - v-"..' ■■ ФУНКЦИИ и ГРАФИКИ Вы уже знакомы с понятием функции из курса алгебры. Однако и в различных разделах математики, и в разных школьных учебниках определение функции даётся по-разному. Будем использовать одно из сг1мых простых определений этого важнейшего математического понятия. С этим определением, а также с некоторыми связанными с понятием функции обозначениями и математическими терминами вы познакомитесь в первом пункте главы. Во втором пункте вы встретитесь с некоторыми уже знакомыми функциями и графиками, в третьем речь пойдёт о важных свойствах функций, часто применяемых при решении уравнений и неравенств, а в четвёртом — об основных преобразованиях графиков. ю 1. Понятие функции В окружающем нас мире многие величины взаимосвязаны, например количество букв на странице этого учебника зависит от номера страницы, время разморозки в СВЧ-печи зависит в основном от массы продукта, а площадь квадрата — от длины его стороны. Во всех трёх случаях каждому допустимому (возможному) значению второй из величин соответствует одно значение первой. Понятно, что в первом примере за номер страницы учебника можно взять любое натуральное число, не большее 319, во втором примере масса продукта ограничена рабочим объёмом печи, а длина стороны квадрата из третьего примера, конечно, положительна. Мы привели здесь простые примеры зависимостей между двумя величинами. Однако на практике всё несколько сложнее. Так, например, время разморозки зависит не только от массы продукта, но и от его формы и от мощности микроволнового излучения. В математике обычно отвлекаются (абстрагируются) от физической природы величин и рассматривают зависимости между числовыми переменными. 4 Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Переменную у называют функцией переменной л:, если каждому допустимому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют аргументом функции у. А Правило, по которому для каждого допустимого значения X находят соответствующее ему значение функции, обозначают какой-либо буквой. Так, например, чтобы указать, что значения у получают из значений х по правилу f, пишут: У = Кх). Множество допустимых значений аргумента называют областью определения функции и обозначают D{f) или D{y). Множество, которое составляют все значения функции, называют областью значений функции и обозначают E{f) или Е{у). Пример 1. Найти область определения функции У 3 и вычислить значения функции при jc, равном: 2, - , -6. Решение. На аргумент х формула 1/ накладывает единственное ограничение: хфО^ поэтому областью определения данной функции является объединение двух числовых промежутков (интервалов): D{y) = (-оо; 0) U (0; -Ноо), Значение функции, которое соответствует, например, JC = 2, обозначают у{2)\ !/(2)=| =2, |3\_..3_4-4_16 /йч_4_ 2 4 * 4 3 3 ’ ^ -6 3 ‘ Ответ: D{y) = (-оо; 0) и (0; +оо); у{2) = 2, z/^l 1 = ^, ^/(-6) = -|. р Примечание 1.В этом примере правило, по которому по значению аргумента находят значение функции, было представ- лено выражением -. Такой способ задания функции называют 1. Понятие функции аналитическим. Этим способом задано большинство функций, которые встретятся на страницах этого учебника. Другая ситуация с областью определения возникает, если, например, буквами хтлу обозначены длины сторон в сантиметрах прямоугольника, имеющего площадь 4 см^. Тогда в силу положительности длин область определения функции У = “ представляет собой числовой интервал (О; -Ьоо). 4 Рассматривая функцию i/ = - на множестве натуральных чисел, имеют дело с бесконечной последовательностью. Обычно для последовательностей используют специальные обозначения: п — для аргумента и i/„ — для соответствующего значения функции, которое называют л-м членом последовательности. 4 Саму формулу Уп~~ называют формулой п-го члена последовательности. Примечание 2. Знак «U*, который использовался для объединения промежутков, в математике объединяет любые множества, например: {1; 2; 3} U {3; 4} = (1; 2; 3; 4}. Перевернув знак объединения, получим математический символ для пересечения множеств: {1; 2; 3} П {3; 4} = {3}. Если повернуть знак объединения «и» на 90°, то получим знак, который показывает, что все элементы одного из множеств являются элементами другого, например: {1; 2; 3} с {1; 2; 3; 4}. Как говорят в таких случаях, первое множество является подмножеством второго, или второе множество включает в себя первое. Пример 2. Функция у = f{x) задана графически (рис. 1). Найти: 1) D(/); 2) /(-1); 3) значения аргумента, при которых значение функции равно 2; 4) нули функции; 5) наибольшее и наименьшее значения функции. Решение. 1) Область определения этой функции — числовой промежуток [-3; 6]; 2) /(-1) » »-0,7; Ъ) f{x) = 2 при х а -2,9, X » 0,4 и X » 1,7; 4) нули функции, т. е. значения х, при которых f{x) = 0: X » -2,3, X » -0,4 и х « 2,7; 5) наибольшее значение функции; max /(х) = f(l) = 4,5, наименьшее значение функции; min /(х) = /(6) = -3. О Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Пример 3. На рисунке 2 изображён график функции X = fiy)> аргументом которой является переменная у. Является ли это множество точек координатной плоскости графиком функции у7 Решение. Чтобы некоторое множество точек координатной плоскости представляло собой график функции у, все эти точки должны иметь разные абсциссы — любая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, или имеет единственную точку, или не имеет ни одной общей точки с графиком функции у. На рисунке видно, что ось ординат (прямая jc = 0) пересекает данную кривую в двух точках, значит, эта кривая не является графиком функции у. Упражнения 1. 2. з> Приведите свои примеры зависимостей между двумя величинами, и в каждом случае укажите множество допустимых значений второй из них. Является ли у функцией х, если у — это: 1) площадь прямоугольника, а х его: а) диагональ; б) периметр; в) отноптение длин сторон; 2) число десятых в десятичной записи х; 3) двузначное число, ах — сумма его цифр; 4) дата, ах — температура воздуха в конкретном городе в 10ч; 5)дата, ах — количество автомобилей, выпущенных за данные сутки заводом АВТОВАЗ; 6) атмосферное давление в данной точке земной поверхности, X — конкретное время суток? В каких случаях х является функцией у7 В книге 300 страниц. Петя каждый день прочитывает по 50 страниц этой книги. Обозначив буквой у количество не прочитанных Петей страниц, а буквой х — число дней, когда Петя читает данную книгу: 1) задайте аналитически функцию у; 2) укажите её естественную и реальную области определения. О 1. Понятие функции 8. Дана функция: 1) А^) = 2л: + 3; 3)/(л:) = + Зх + 4; 2) Кх) = -4х + 5; 4) f{x) = + 7х - 4. Найдите: а) /(3); б) значения х, при которых /(х) = 4. Правило /, задающее функцию i/ = fix), ставит в соответствие каждому двузначному числу сумму его цифр. Найдите: 1) Dify, 2) /(17), /(35), /(59); 3) при каких значениях X функция fix) принимает значение, равное 3; 4) наибольшее и наименьшее значения функции; 5)^ какое значение функции соответствует наибольшему количеству значений аргумента. По каждому из графиков функций, изображённых на рисунках 3—8, найдите: 1) Dif); 2) Eif); 3)/(-2); 4) при каком значении аргумента значение функции равно 3; 5) нули функции; 6) наибольшее и наименьшее значения функции. Подумайте и определите, существуют ли такие значения аргумента, при которых функции, заданные графиками: 1) на рисунках 3 и 5; 2) на рисунках 5 и 8 — принимают одни и те же значения. Найдите их. Найдите область определения функции у: 1 1) г/ = 2х^ - 7х Ч- 9; 2)у = х^Л- - -7; 3) г/ = 4) 1/ = 1 х2-4’ 1 х2 - Зх + 2 ’ 5) 0 1/ = 6) °!/ = 7)*!/- 8)*г/ = - 5x2 -I- 4 ’ 1 х4 _ 8x2 - 9 ’ 1 . X - |хГ 1 X + X 1) Найдите область определения функции у: а) I/ = л/х - 2 • Jx + 2 ; 6) у = Jx - 2 + Jx + 2 ; в)у= Jix -h 2)(х - 2); е) у = Jx -t- 5 • Jx — 3 ; ж) у = Jx Ч- 5 Ч- Jx + 3 з) у= Jix + 5)(3 - х) ; ч Jx + 2 г)у= ------ ; Jx - 2 ц) у = Jx Ч- 5 • Jx Ч- 3 ; ,0 Jx +2 . и)^1/= ~i^=— Jx - 2 - 3 чО Jx + Ъ к)^ у = Л—------ л/х Ч- 3 - 2 Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ 1. Понятие функции 10. 11 2) ■ с помощью калькулятора вычислите с точностью до сотых значения функций при дс, равном J2 , если это возможно. Постройте график какой-нибудь функции /(дс), для которой выполняются условия: 1) £>(/) = [-!; 5], £(/) = [-3;3]; 2) Z)(/) = [-3;2], £(Л = [-2;4]. На графике (рис. 9) показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток, начиная с О часов 11 июля. На оси абсцисс отмечается время суток, на оси ординат — значение температуры в градусах. 1) Когда была самая высокая, а когда самая низкая температура? 2) Какая температура воздуха была 12 июля в 18 ч? 3) Сколько раз в течение трёх дней температура достигала 12 °С? 4) Определите по графику, до какой наибольшей температуры прогрелся воздух 13 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия. 11 июля 12 июля Рис. 9 13 июля Ф Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ мм 7 ■ 6 5 4 3 2 -1 О I I 7 9 Рис.10 Т'" I f I 1 I 'J 11 13 15 12. На рисунке 10 точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствуюпдий день, в миллиметрах. 1) Сколько дней из данного периода не выпадало осадков? 2) Сколько миллиметров осадков выпало 10 февраля, 4 февраля? 3) Какого числа выпало 2 мм, 1 мм осадков? 4) Какого числа выпало наибольшее количество осадков? 13. ^ Из квадрата со стороной 10 см вырезаны квадратики со стороной X см, и из полученной фигуры сделана открытая коробка (рис. 11). Выразите объём V (см^) этой коробки через X. Укажите область определения функции y-V{x). 14. ® В прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вписан прямоугольник (рис. 12). Обозначив буквой х (см) длину его стороны, параллельной меньшему катету, выразите периметр Р (см) прямоугольника. Укажите область определения и область значений функции у = Р{х). Рис.12 2. Прямая, гипербола, парабола и окружность 15? 16? 17. 18? Запишите площадь: 1) правильного шестиугольника как функцию от длины его стороны; 2) квадрата как функцию радиуса вписанной в него окружности. Задайте формулой функцию 5(д:) — наибольшую площадь треугольника АВС, если известно, что; 1) АВ = 4, ВС = х; 2) две его медианы по х каждая. Найдите значение функции f(3), f(—2), f(0), если f(x) = х + \х\. Функция у = f(x) определена на промежутке: 1)[0;1]; 2)[-1;0]; 3)[-1;2]; 4)[1;2]. Найдите область определения функции: a)y = f(-x); B)y = f(x-1); у = f(x + \х\); 6)у = f(2x); 19? 1. 2. 3. 4. г)у = f(x^); е)* y = f{x- \х\). В математике за некоторыми числовыми множествами закреплены стандартные обозначения: N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, Q — множество рациональных чисел, R — множество действительных чисел, — множество положительных действительных чисел. Вставьте вместо многоточия один из знаков «П», «и>>, «с» так, чтобы получилось верное утверждение: 1) N...Q; 3)N...Z = N; 6)R...N = R; 2) N.,.R^; 4)R^...Z = N; 6)iV...Q = Q. Контрольные вопросы и задания в каких случаях одна переменная является функцией другой? Что такое естественная область определения функции? Приведите пример функции, нуль которой больше, чем f{0). Jx Найдите D(y) и t/(3), если у = ^ ^ . О 2. Прямая, гипербола, парабола и окружность С линиями, названия которых приведены в заглавии этого пункта, вы не раз встречались. В нашем курсе им также отводится важная роль. Следующие три рисунка напомнят вам о линейной функции. Ф Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ b-f-i-H- yk Г ! -! y = l\ ^ —\—i—!'■; ' ' ;; 1 _ : i . ' 0 1 ' . X U| I- Рис. 15 Прямая на рисунке 13 представляет собой график линейной функции у = kx + I при k > О, I > О, на рисунке 14 — при k < 0^ I > О, а линейная функция на рисунке 15 задаётся формулой у = 1у в которой, вообще, как бы нет аргумента. На самом деле угловой коэффициент k этой прямой равен нулю: у = О • X + I. Функция, которая при всех значениях аргумента принимает одно и то же значение, называется константой (или постоянной). J Пример 1. Задать функцию, график которой параллелен прямой I/ = 2лг -Н 3 и проходит через точку (-5; 2). Решение. Искомое уравнение имеет вид у = kx Л- I. Угловые коэффициенты параллельных прямых равны, т. е. k = 2. Остаётся найти начальную ординату I. Поскольку координаты данной точки должны удовлетворять искомому уравнению, получим: 2 = 2-(-5) + /, / = 2-Н10=12. Окончательно имеем: у = 2х + 12. Ответ:у = 2х + 12. ▼ Пример 2. Задать линейную функцию, график которой проходит через точки (х^; у^) и (jCgJ Уг)‘ Решение. Любая линейная функция задаётся уравнением у = kx -h I. Подстановка в это уравнение координат первой точки приводит к уравнению общего вида прямых, про- . . \ у = kx 1, . ходящих через точку {х^\у^): уу^ = + I, У~У1^ Ф 2. Прямая, гипербола, парабола и окружность Для определения k подставим в это уравнение координаты второй из данных точек: У2~ У ~ ^i)» У2 ~ У\ Имеем: у - Ух = --~ ^i)- Группируя игреки и иксы хо - X, в разных частях уравнения, получим уравнение прямой. У-У1 У2-У1 X - X, Хп - Xi Так и записывают обычно уравнение прямой^ проходящей через две данные точки. Примечание. В полученном уравнении знаменатели дробей должны отличаться от нуля. Однако никто не запрещает двум данным точкам иметь, например, равные ординаты: Ур В этом случае график линейной функции оказывается параллелен оси абсцисс и следует сразу написать искомое уравнение: у = Если у данных точек совпадут абсциссы: Х2 = х^у то уравнение соответствующей прямой х = х^не будет задавать функцию у (одному значению х в этом случае соответствует более одного значения у). Д На рисунке 16, а и б изображены k графики функции У ^ ~ при > О и при k <0 — гиперболы, каждая из которых состоит из пары симметричных относительно начала координат ветвей. Функция i/ определена на множестве всех действительных чисел, кроме О, т. е. на объединении промежутков: (-оо; 0) и (0; -1-оо). Это же множество является и областью значений функции у. k Гипербола У имеет две оси симметрии: прямые у = X и у = —X. Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Обратим внимание на важное свойство ги-k перболы у = -. При движении по графику от оси ординат расстояние от точек графика до оси абсцисс уменьшается, и график как бы сливается с осью абсцисс. Говорят, что у стремится к нулю, когда х стремится к бесконечности. Аналогично, когда х стремится к нулю, у стремится к бесконечности или к минус бесконечности (в зависимости от того, с какой стороны точка приближается к оси ординат). Ось абсцисс и ось ординат называют соответственно горизонтальной и вертикальной асимптотами графика функ-k ции у ~ На рисунке 17 изображена парабола — график ещё одной хорошо известной функции у = х^. Ветви её направлены вверх, а вершина расположена в начале координат. Функция у = х^ определена на множестве всех действительных чисел, а областью её значений является множество неотрицательных чисел. В Древней Греции, где наиболее развитой частью математики была геометрия, прямую, гиперболу и параболу определяли как геометрические места^ точек плоскости. Прямая — геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек (рис. 18). Гипербола — геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек равна данному числу (рис. 19). AM = ВМ FoM - FoM = 1 ^ Геометрическим местом точек называют множество всех точек плоскости, для каждой из которых выполняется некоторое условие. 2. Прямая, гипербола, парабола и окружность С Парабола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки и данной прямой (рис. 20). 3 Во всех трёх описаниях геометрических мест используется понятие расстояния. Полезно уметь выражать расстояние между двумя точками координатной плоскости через координаты этих точек. Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику АВС (рис. 21), получим: АВ=Мс^ + вс^ = 7(лг2-д;,)2 + (г/2-у,)2. Пример 3. Записать уравнение окружности с центром в точке K(S; 4), касающейся оси абсцисс. Решение. Изобразим данную окружность (рис. 22). Центр окружности К отстоит от касательной к окружности на 4, значит, радиус окружности равен 4. Расстояние от произвольной точки окружности М(х; у) до её центра К(3; 4) равно 4: 7(л: - 3)2 + (J, - 4)2 =4 ИЛИ, после освобождения от корня, (х - 3)^ + (у - 4)^ = 16. О т в е т: (л: - 3)2 4- (I/ - 4)2 = 16. Примечание. Окружность не является графиком функции, поскольку для неё не выполняется требование однозначности выражения у через х, например прямая х = 0 пересекает данную окружность в двух точках, ординаты которых — корни уравнения (0 - 3)2 + (у - 4)2 = 16. Ф Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Упражнения 20. 1) Постройте график функции у = -^х + S. Найдите по графику: а) координаты точек пересечения этого графика с осями координат; б) значение функции при х = -3,5; 10,5; в) значение аргумента, которому соответствует у = 1; 12; г) ^ есть ли на графике точки, обе координаты которых — целые числа. Если есть, то сколько таких точек? Щ 3 2) Постройте график функции у = ~ 1- Найдите по графику: а) координаты точек пересечения этого графика с осями координат; б) значение функции при х = -4; -6; 2; 8; в) значение аргумента, которому соответствует у = 1; 2; 5; г) # есть ли на графике точки, обе координаты которых — натуральные числа. Если есть, то сколько таких точек? Найдите k и I, если известно, что прямая у = kx 1: 1) параллельна прямой у = 0,3х и проходит через точку: а) А(0; 7); б) В(0; 8); в) С(2; 5); г) Н(-5; 6); 2) параллельна прямой z/ = 0,75jc-I-11h проходит через точку: а) К(8; 1); б) М(4; 9); 3 3) параллельна прямой у = -- х - д и проходит через точку: а)Р(7;4); б)Е(3;0). Каково примерное расположение у = kx + 1у если: 1) /е>0, 0; 4)/е<0, /<0; 2) fe<0, ^>0; 5)/г>0, / = 0; 3) Дг > о, Z < 0; 6) /г < 0, Z = 0; 23® Опишите примерное расположение прямой у = kx Л- I определите знаки /г и Z, если график расположен в координатных четвертях: 1) в 1,11 и III; 3) в I, III и IV; 2) в I, II и IV; 4) во II, III и IV. 21.' О 22^ О графика функции 7) Л = 0,/>0; 8) /г = 0, Z<0; 9) А; = 0, / = 0? 2. Прямая, гипербола, парабола и окружность 24* Может ли график линейной функции у = kx + I располагаться только: 1) в I и II координатных четвертях; 2) во II и IV координатных четвертях; 3) в III и IV координатных четвертях; 4) в I и III координатных четвертях; 5) в I и IV координатных четвертях; 6) во II и III координатных четвертях? 25. Задайте аналитически линейную функцию, график которой проходит через точки: 1) 0 А(-1;2)иБ(1;-1); 2) 0 А(-3;-5)иВ(2;4); 3) # А(-5; 13,5)иВ(17; 13,5). 26. 1)0 Не выполняя построения графика функции У I л: + 9, определите: а) координаты точек его пересечения с осями координат; б) принадлежит ли графику точка: А(100; 84), Б(-0,05; -7,9), С(-30; 30,5); в) • есть ли на графике точка, абсцисса которой равна её ординате. 2)0 Не выполняя построения графика функции 2 Q определите: а) координаты точек его пересечения с осями координат; б) принадлежат ли графику точка: А(50; 12), Б(-0,05; -7,98), С(52; 28); в) • есть ли на графике точка, абсцисса и ордината которой — противоположные числа. 2?Р 1) Прямая у = Zx I проходит через точку А(17; 30). Найдите / и определите, проходит ли эта прямая через точку Б(25; 54). 2) Прямая у = -2,5х + I проходит через точку М(-20; 66). Найдите I и определите, проходит ли эта прямая через точку С(20; 36). Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ 28 Р Заполняя таблицы значений обратно пропорциональных переменных, ученик допустил в нижних строках по одной ошибке. Исправьте их. 4 7,5 50 1,55 0,8 0,12 0,5 0,25 0,125 16 35 70 29. Задайте формулой зависимость между переменными z и X. Являются ли переменные z и х: 1) пропорциональными; 2) обратно пропорциональными, если: а) переменные хну обратно пропорциональны, а переменные у н Z пропорциональны, причём У ^ ^ и z = 0,5i/; б) переменные хну пропорциональны, а переменные у 5 и Z обратно пропорциональны, причём у = 2,6х н z = - ? У 30. Найдите число /г, если известно, что график функции у = - проходит через точку: 1) М(10; 0,4); 2) Е{-1,2; 15). О k 31. График функции У ^ ~ проходит через точку А(16; 2,5). Проходит ли он через точку: 1) Р(-8; -5); 2) М(12,5; 3,2)? 32. ® Точка С(а; Ь) принадлежит графику функции: 1) у = kx; k 2) у = -. Принадлежит ли этому графику точка: а) А(-а; -Ь); б) в(2а-,^ь]; в) С(0,1а; 10&); г) М(3а; Sb); д) D(-b; а); е) Р(Ь; а)? 33. 1) Постройте в одной системе координат графики функций: а)у = хну= - ; г)у = 0,5jc + 1 н у = х^; б)у = -2х ну= f0y=- и(/ = д:2; в) у = 2х- 2ну = - ; х“. Ц 2) Укажите координаты точек пересечения графиков. ч ~4 2 e)i/=— и z/= 2. Прямая, гипербола, парабола и окружность 34. Имеет ли асимптоты график функции: 1)У = 2|л:Г д;2 35^ Сколько общих точек могут иметь графики: k 1) линейной функции и функции У = k 2) параболы у = гиперболы У ^ Ответы подтвердите схематическими рисунками. 36.Могут ли быть равными суммы координат точек пересечения прямой с ветвью гиперболы J/ = ~ » расположенной в I четверти? Какой угловой коэффициент должна иметь такая прямая? А k 37“ Чем отличаются функции у = kxviy = - при ^ = О? 38.* На рисунке 23 изображено несколько случаев взаимного расположения на координатной прямой точек А(л:), В{х^) и С( - I. При этом допущено несколько ошибок. В случаях, когда указанное взаимное расположение точек А, В и С возможно, укажите, где примерно расположены точки 0(0) и Е(1). 39® Задайте аналитически функцию, график которой представляет собой множество точек координатной плоскости, равноудалённых от точек: □ 1)А(-1;2)иБ(1;-2); 3)А(13,5;-2)иБ(13,5; 5); 2)А(-3;-5)иБ(1;3); 4)А(3;-4)иБ(-4 ;3). А{х) Б(дс2) А{х) В(х^) а) X б) X B(jc2) А{х) В(х^) Ki) А(х) в) X г) X В{х^) с(-] А{,х) \х) В{х^) А(х) ' д) X е) X Рис.23 Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ 407 Задайте аналитически функцию, график которой представляет собой множество точек координатной плоскости, равноудалённых от прямой г/ = -1 и от точки К{0\ 1). 417 Запишите уравнение окружности с центром в точке К{2\ -3), касаюш;ейся: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат. D А27 Запишите уравнение окружности с радиусом, равным 5, центр которой расположен: 1) в точке А'(4; 4); 3) на прямой г/=-л:; 2) на прямой у = х; 4) на оси ординат. В 43.^ Найдите область определения и задайте формулой функцию S(x) — наибольшую площадь треугольника со стороной 4, вписанного в окружность радиуса х. 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания Все ли прямые, проходящие через точку А(2; 1), можно задать уравнениями вида у - 1 = k{x - 2)? Найдите координаты точек пересечения прямой у = 12л: - 11 и параболы у = х^. Запишите уравнение, задающее геометрическое место точек, равноудалённых от точек А(2; 0) и В(5; 3). О 3. Непрерывность и монотонность функций Графики линейной функции и функции у = х^ представляют собой сплошные непрерывные линии, которые можно изобразить, не отрывая карандаш от бумаги. Поэтому и сами эти функции называют непрерывными. В отличие от них, график функции У ^ ~ состоит из двух изолированных непрерывных ветвей. Говорят, что функция k // = - непрерывна на промежутках (-оо; 0) и (0; -Ьоо), а при л: = о имеет разрыв. О 3. Непрерывность и монотонность функций Пример 1. Является ли непрерывной функция _ I x^, при X ^ 1, У ~ \ ^ - Ху при X < 1? Решение. Данная функция на разных промежутках задаётся разными выражениями. Такие функции называют кусочно-заданными. Понятно, что на промежутке (1; +оо) данная функция не имеет точек разрыва. Непрерывна она и на промежутке (-оо; 1). Значит, остаётся выяснить, как выглядит её график в непосредственной близости от точки с абсциссой 1, как говорят, в окрестности точки 1. График данной функции (рис. 24) состоит из части прямой г/ = 3 - л: и части параболы у = х^. Когда абсциссы точек левой части графика приближаются к 1, их ординаты приближаются к числу 2. Правая же ветвь графика начинается в точке (1; 1). При переходе от левой ветви графика к правой придётся оторвать карандаш от бумаги. Значит, функция f х^у при Х^1у ^ 1 3 - л:, при л: < 1 имеет разрыв в точке х=\. Ответ: функция имеет разрыв. К/ Примечание 1. Мы связали понятие непрерывности функции с возможностью изобразить её график, не отрывая карандаш от бумаги. В большинстве случаев такое представление вполне достаточно для решения задач. С более строгим определением непрерывности вы встретитесь в курсе 11 класса. |g. Примечание 2. Все функции, заданные аналитически (формулами), с которыми вы встречались в курсе математики: у = Р{х)у у = , у =JP{x) и т. п., где Р{х) и Q(x) — многочлены, непрерывны на любом промежутке у входящем в область их определения. Познакомимся с двумя функциями, имеющими бесконечное множество точек разрыва. Уже в 5 классе, при записи неправильных дробей в виде смешанных чисел вы ветре- Ф Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ тились с понятиями целой и дробной частей числа. Например, ^ = 4 + I. Здесь 4 — целая часть, а | — дробная часть О О О числа 14 С Целой частью числа х называется наибольшее целое число, не превосходяш;ее х. J Для обозначения целой части используются квадратные скобки: [X] — целая часть числа х. Дробную часть {л:} можно определить через само число х и его целую часть [л:]: {л:} = X - [д:]. ШК' Примечание. Из определения целой и дробной части следует, что: 1) целая часть целого числа равна самому числу. В этом случае дробная часть оказывается равной нулю; 2) дробная часть числа не обязательно является дробным числом. Мы уже видели, что она может оказаться равной целому числу О, дробная часть может представлять собой и иррациональное число: {л/2} =л/2 - 1. Рассмотрим функции у = [д:] яу = {д:}. Обе они определены на множестве R всех действительных чисел. Значением первой из них может быть любое целое число, а значения второй функции заполняют промежуток [0; 1). На графиках этих функций (рис. 25) видно, что все целые числа являются их точками разрыва. С непрерывностью функций связано полезное при решении различных задач утверждение, которое является теоремой. 3. Непрерывность и монотонность функций Теорема о промежуточном значении Если непрерывная на отрезке функция принимает на его концах значения разных знаков, то по крайней мере в одной точке этого отрезка она обращается в нуль. Это утверждение становится очевидным, если обратиться к графической интерпретации: непрерывная линия, соединяющая точки верхней и нижней координатных полуплоскостей, пересекает ось абсцисс (рис. 26). Заметим, что если непрерывная на промежутке функция не обращается в нуль ни в одной его точке, то на этом промежутке она сохраняет знак. Таким образом, перемена знака любой функции может происходить только при переходе её через нуль, или точку разрыва. На этом свойстве функций основан приём решения нера- венств, который называется методом интервалов. Пример 2. Решить неравенство ^ ^ 3(л:2 -Ъх + 2) Решение. Найдём промежутки, на которых функция _10(д:2 + \Qx - 26) ^ 3(д:2 - 5л:-Ь 2) сохраняет знак. В данном случае границами её промежутков знакопостоянства являются нули числителя и нули знаменателя дроби 10(л:2 + 16л:- 26) а) 3(л:2 - 5л:-Ь 2) * Нули числителя: 1 и -2,6, нули ^ 2 знаменателя: 1 и -. Таким образом, О точки разрыва функции у — точки 1 в) и - , а её нуль — точка -2,6. О Эти точки разбивают координатную прямую на четыре интервала (рис. 27, а), на каждом из которых функция у сохраняет знак. г) -2,6 2 3 1 X + ^ -2,6 2 3 1 X -I- + ^ -2,6 2 3 1 X -2,6^^^ Л 1 X 3 Рис. 27 Ф Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Остаётся эти знаки определить. Для этого можно вычислить значение функции в какой-нибудь точке каждого интервала. Но можно использовать и другие соображения. Так, например, зная, что каждый из квадратных трёхчленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби, справа от своего большего корня принимает положительные значения, можно определить знак функции на самом правом интервале (рис. 27, б). Каждый из данных квадратных трёхчленов меняет знак при переходе через свой корень. Значит, при переходе через их общий корень 1 знак изменят и числитель, и знаменатель дроби, а сама дробь при этом свой знак сохранит (рис. 27, в). тт 2 При переходе через точку - знак изменит только знамена- О тель, а при переходе через точку -2,6 изменит знак только числитель. Каждый из этих переходов приведёт к изменению знака всей дроби, что можно показать с помощью кривой знаков (рис. 27, г). Ответ: (-оо; -2,6) и ^ |; 1 j и (1; -Ьоо). Ы Примечание. Ответ можно записать с помощью простейших неравенств: л:<-2,6, |<л:<1, х>\. Теорема о промежуточном значении позволяет установить, что на некотором промежутке имеется нуль функции у = Дх), но из неё не следует, что этот нуль единственный. А такая информация была бы очень полезна, например, при решении уравнений, когда нужно найти все корни уравнения /(х) = 0. Здесь на помощь приходят другие свойства, которыми обладают некоторые функции. Рассмотрим линейную функцию у = kx + I при k > 0 (см. рис. 13). Легко видеть, что с увеличением значения аргумента увеличивается (возрастает) и значение функции. Функции, обладающие таким свойством, называют возрастающими. При /г < о (см. рис. 14) с увеличением значения аргумента значение линейной функции уменьшается (убывает). Такие функции называют убывающими. Конечно, не только линейные функции являются возрастающими или убывающими. Так, например, известная вам 3. Непрерывность и монотонность функций цхщ ;.i. 1. i. . .1^ fv ■y i-f-- i-|.i --Г' - ; • i'J I :' 1 - ■ _;r- ■r!': Рис. 28 Рис. 29 функция у = графиком которой является кубическая парабола (рис. 28), является возрастающей, она возрастает на всей своей области определения. На всей своей области определения возрастает и функция у = Jx (рис. 29). Часто, однако, встречаются функции, которые на одних промежутках возрастают, а на других убывают. Так, например, функция у = х^ (см. рис. 17) на промежутке (-оо; 0] убывает, а на промежутке [0; -1-оо) возрастает. Л Функция у = f{x) называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений JCj и jCg из этого промежутка из неравенства х-^ < JCg следует неравенство /(jc^) < fix^). Функция у = f{x) называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений Ху и jCg из этого промежутка из неравенства х-^ < jCg следует неравенство f{x^) > Возрастающие и убывающие функции называют монотонными, а промежутки возрастания и убывания называют промежутками монотонности. Вернёмся к вопросу о единственности корня. Пусть некоторая непрерывная функция у = f{x) монотонна на отрезке [а; Ь] и принимает в его концах значения разных знаков. Тогда на этом отрезке она имеет единственный нуль, т. е. уравнение f{x) = 0 имеет единственный корень на отрезке [а; Ь]. Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Пример 3. Решить уравнение + л: - 12 = 0. Решение. Непрерывная функция у + х —12 явля- ется возрастающей (при увеличении х увеличивгиются значения каждого из выражений: х^, + XVL 4х^ + X - 12). Проще всего найти её значение при х = 0. Это значение отрицательно, а, например, при jc = 12 значение функции положительно. Значит, единственный корень данного уравнения принадлежит отрезку [0; 12]. В данном случае его легко подобрать: V43 + 4 - 12 = 23 -ь 4 - 12 = 0. О т в е т: 4. Примечание. Монотонная функция каждое своё значение принимает только один раз (т. е. при одном значении аргумента). Значит, уравнение f(x) = а, где а некоторое число, а f(x) монотонная функция, либо не имеет корней, либо имеет единственный корень. Упражнения 44. Найдите /(-1), /(-0,5), /(0), если: U(3-JC),0^ л:< 3; , -2 ^ дс < -1, 2) f(x) = •< д: -ь 3 11 - д:|, -1 ^ д: < 2 . 45. Найдите значение функции у = \х^ - 1\ при дс = 1 и X = -0,5. 46. Найдите промежутки, на которых непрерывна функция: 1).V = 2)у = 5х + 7' 1 S)y = д2-9’ 4)г/ = х^ + 4х -ь 4 ’ 2дс + 3 Зх^-7х + 4' 47Р Найдите точки разрыва функции: |дс - 5| . 1)У х^ - 8х^ -Ь 15л: ’ 2)у = \х + 5| д:^ + 9х^ -I- 14д: 3. Непрерывность и монотонность функций а) г/ = • 1 X при л < 0, ^)у= 1 I х^ при л ^ 0; б) 1/ = 1X при л ^ 0, \х^ при л < 0; А)°У=< в)^/ = - [ Зл - 1 при л ^ 1, [ л^ при л > 1; е)^ У = ■ 48. 1) Постройте график кусочно-заданной функции: 2х- 1 при X ^ 1, - при О < л: < 1; X X + 2 при X <-1, х^ при -1 ^ л: < 2, 5 — X при X ^ 2; 2 ^ о - при X < -2, X х — 1 при -2 < X < 1, 5-х при X ^ 1. 2) Имеют ли функции разрыв? В каких точках? 49. Найдите область определения и задайте кусочно функцию S(jc) — наибольшую плош;адь треугольника KMN, у которого КМ ^ 3, MN ^ 4, KN ^ х. 50. Приведите пример функции непрерывной: 1) ^ при всех значениях х; 2) ^ при всех значениях х, кроме х = 2; 3) ^ при всех значениях х, кроме х = 2; 5 и 9. 4) # В заданиях 2) и 3) приведите примеры функций, определённых в точках разрыва. 5) ‘“ В задании 3) приведите пример функции, неопределённой в точках разрыва и имеюш;ей единственную вертикальную асимптоту. 51. Докажите, что уравнение Зх^ - 4х^ + 2л: - 1 = О на промежутке [0; 2] имеет корень. 52. Решите неравенство: 1)л:(л:-1)(л: + 8)>0; X + 3 2) х(х - 7) ^0; о\ (л: •+■ 3)(3л: 2) ^ х{х-7) . ^ 53. Решите неравенство: 1) ^ 0; 4) (Зл: -Ь 5)(л: - 3)(л: Ч- 1) ^ 0; (-^ ~ 1)(2jc + 5) ^ Q, 7 — бд: — х^ ’ 6)0 л:(3л:2 + л: - 2)(3л: - 2) < 0. 3t + 2 3t+l 6г - 1 5 - 3z 3) Зл - 1 2л + 1 л - 1 л + 1 <1; >0; 4) 2]l±1 + 1-5у _з % + 2 у-3 Ф Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ 54Р Найдите область определения функции: 2)г/= + 2)(д:2 - 4). 55. Функция у = f{x) задана своим графиком (см. рис. 3—8, с. 12). Запишите промежутки возрастания и убывания этой функции. 56. На графике (рис. 30) показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля при температуре окружающего воздуха 10 °С. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Когда температура достигает определённого значения, включается вентилятор, охлаждающий двигатель, и температура начинает понижаться. 1) Сколько минут прошло от момента запуска двигателя до включения вентилятора? 2) При какой температуре двигателя включился вентилятор? 3) Запишите промежутки возрастания и убывания температуры двигателя. 57.* 1) Докажите, что если возрастающие функции у = f{x) VI у = g(x) определены на промежутке L, то их сумма у = f{x) -f g(x) на этом промежутке возрастает. 2) Можно ли утверждать, что функция, являющаяся суммой двух убывающих функций, определённых на одном и том же промежутке, является убывающей? 3. Непрерывность и монотонность функций 58. 1) Найдите промежутки возрастания и убывания функции: -1 а) I/= (л: - 2)2-Ь 1; б) g(b), где функция у = f{x) непрерывна и возрастает на [а; Ь], а функция у = g{x) на этом промежутке непрерывна и убывает, то уравнение f{x) = g{x) имеет на (а; Ъ) единственный корень». Докажите, что уравнение f{x) = g(x)^ где у = f{x) возрастающая, а. у = ё‘(лг) убывающая функции, либо не имеет корней, либо имеет единственный корень. 2) Jx + & -Ь Jx - 1 = 7. Решите уравнение: Щ l)Jx -Ь Jx Л- Ъ = 5; С помощью доказанного в № 63 утверждения решите уравнение: Щ \)Jx - 3 -Ь -Ь 2 = 19 - 2х; 2)Jx-9 -Ь = 14 - о Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ 66Р Докажите, что уравнение Зл:^ + 2х - ^ =0 имеет единственный корень на промежутке [0,5; 2]. Щ 67Р Изобразите график какой-нибудь непрерывной функции, зная, что: 1) а) функция определена на промежутке [-3; 4]; б) значения функции составляют промежуток [-3; 3]; в) функция возрастает на промежутке [-3; 0], а убывает на промежутке [0; 4]; г) нули функции: -1 и 2; 2) а) область определения функции есть промежуток [-4; 3]; б) значения функции составляют промежуток [—1; 4]; в) функция возрастает на промежутке [-1; 1], а убывает на промежутках [-4;-1] и [1;3]; г) нули функции: —1 и 2; 3) а) область определения функции — промежуток [-4; 3]; б) значения функции составляют промежуток [-5; 3]; в) функция убывает на промежутках [-4; 1] и [2; 3], а возрастает на промежутке [1; 2]; г) нули функции: -2 и 2; 4) а) функция определена на промежутке [-5; 2]; б) значения функции составляют промежуток [-2; 5]; в) функция убывает на промежутке [-3; -1], а возрастает на промежутках [-5; -3] и [-1; 2]; г) нули функции: -4 и -1. 68. "Найдите все значения k такие, что уравнение: 1) kx - 1 = [л:]; 2) kx - 1 = {д:} имеет ровно: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) два корня. Щ Контрольные вопросы и задания 1. Изобразите график какой-нибудь функции, определённой на отрезке [-3; 4], так, чтобы на промежутках [-3; 1) и [1; 4] она была непрерывной, а в точке л: = 1 имела разрыв. 2. Какой смысл имеют «пустой» и чёрный кружки на графике функции, изображённом на рисунке 24 (см. с. 25)? Как следует изменить задание этой функции, чтобы кружки поменялись местами? О 4. Квадратичная и дробно-линейная функции. Преобразование графиков 3. Изобразите график какой-нибудь функции у = f{x), непрерывной на отрезке [1; 4], так, чтобы одновременно выполнялись условия: 1) л: = 3 — нуль функции; 2) функция убывает на отрезке [1; 2] и возрастает на отрезке [2; 4]. Сколько корней имеет уравнение f{x) = О на отрезке [1; 4]? В какой точке функция принимает своё наименьшее значение? О 4. Квадратичная и дробно-линейная функции. Преобразование графиков Умение строить графики функций, рассмотренных в предыдущем пункте, часто помогает в построении более сложных графиков. Наиболее яркий из знакомых вам примеров преобразования графиков — получение графика квадратичной функции у = ах^ + Ьх + с КЗ графика функции у = х^. Вспомним это преобразование. 1. Если а положительно, то при переходе от графика у = х^ к графику у = ах^ первый график как бы растягивается от оси абсцисс в а раз. На рисунке 31 показаны графики функций у = ах^ при некоторых значениях а. Примечание. На русском языке странно звучит «растянуть в 0,5 раза». Естественнее в таких случаях говорить: «сжать в 2 2 раза». Это, правда, не поможет, когда а будет равно, например, - . О Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ а) Если а отрицательно, то сначала нужно перейти от графика «/= к графику у = симметричному относительно оси абсцисс, а затем растянуть полученный график от оси абсцисс в -а раз (рис. 32, а, б). ▼ Для тех, кто из курса геометрии знаком с понятием гомотетии, заметим, что график функции у = ах^ получается из графика функции у = х^ с помощью гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом ^ (рис. 33). Отсюда, в частности, следует, что все параболы подобны. Д 2. Переход от графика функции у = ах^ к графику функции у = ах"^ + Ьх-\- с можно осуществить с помощью двух переносов параллельно осям координат. Сначала выделим квадрат двучлена из выражения ах^ -f fcjc -Ь с: ах^ Ьх с = а\ X Л- 2а j = а(х - ХоУ ч- I/O, ^ 4ас - 4а Ь 4ас — '■Д®*о = -2^И!/о=-4^- Затем с помощью переноса на ^0» параллельно оси абсцисс, из графика функции у = ах^ получим график функции у = а(х - и, наконец, перенеся получившийся график параллельно оси ординат на г/о, придём к графику функции 4. Квадратичная и дробно-линейная функции. Преобразование графиков у = ах^ + Ьх Л- с (рис. 34). Этот график представляет собой параболу с вершиной в точке с координатами Ь . 4ас -2а ’ 4а Зафиксируем в таблице преобразования графиков, с которыми мы встретились при построении графика квадратичной функции. У1 1 у = ах^ + Ьх + с у = ах^ \ 1 \)1 \ / Vi/ \ А 4а ^2“ 0 X Рис. 34 Исходный график Преобразование Новый график У = fix) Симметрия относительно оси абсцисс У = -fix) y = fix) Растяжение от оси абсцисс в k раз у = kfix) У = fix) Перенос вдоль оси абсцисс на а y^fix- а) У = fix) Перенос вдоль оси ординат на а У = fix) + а Эти и другие преобразования часто используются при построении различных графиков. Пример 1. Построить график дробно-линейной функции Ах+ 2 У = 2х-1 Решение. Преобразуем выражение 4х + 2 4х - 2 + А 4JC -I- 2 2х-1 2х-1 4х-2 2х-1 2х-1 График функции у 2х-1 = 2 + л:-0,5* 2 -Ь 2 X - 0,5 можно получить из графика функции I/ = ^ с помощью цепочки преобразований (рис. 35): 1.2.2 X X - 0,5 х-0,5 х-0,5 + 2. О Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Заметим, что при построении графиков в тетради бывает удобно сдвигать не сам график, а оси координат. Так, вместо сдвига графика вправо на 0,5 можно сдвинуть ось ординат на 0,5 влево, а вместо сдвига графика вверх на 2 опустить на 2 ось абсцисс. Полученный график имеет горизонтальную и вертикальную асимптоты: у = 2, х = 0,5. Функция у = 4х + 2 определена на объединении интерва- 2л:- 1 лов (-оо; 0,5) и (0,5; -Ьоо), непрерывна и убывает на каждом из интервалов (-с»; 0,5) и (0,5; -Ьоо). Пример 2. Построить график функции у = |л:|. Решение. Будем преобразовывать график функции у = х. Ф Заметим, что все точки графика у = X с неотрицательными абсциссами принадлежат графику ^ = 1д:|, т. е. при преобразовании графика остаются на месте. Поскольку |-лг| = |jc|, точки графика у = \х\ в левой полуплоскости симметричны его точкам в правой полуплоскости относительно оси ординат. Этими точками заменяется часть исходного графика у = Ху расположенная в левой координатной полуплоскости (рис. 36). Примечание 1. Проведённые рассуждения останутся справедливыми при преобразовании любого графика функции У = fix) в график функции у = Як|). Примечание 2. При построении графика функции у = \х\ можно было рассуждать и по-другому. Так, поскольку постановка знака модуля не изменяет положительных чисел и нуля, а отрицательные числа заменяет на им противоположные, мы могли оставить на месте все точки графика у = х в верхней полуплоскости и заменить на симметричные относительно оси абсцисс все его точки нижней полуплоскости. Ф 4. Квадратичная и дробно-линейная функции. Преобразование графиков Дополним список преобразований графиков. Исходный график Преобразование Новый график У = Ах) Симметрия относительно оси ординат у = А-х) у = Ах) Симметрия относительно начала координат у = -А-х) у = Ах) Уничтожение части графика слева от оси ординат и дублирование оставшейся части симметрично относительно оси ординат у = /(1^1) у = Ах) Симметрия относительно оси абсцисс частей графика, расположенных в нижней полуплоскости у = 1Я^)1 у = Ах) Уничтожение части графика под осью абсцисс и дублирование оставшейся части симметрично относительно оси абсцисс \у\ = Ах) 1^ Примечание 3. Последнее преобразование приводит к графику, который, вообще говоря, не является графиком функции у. Пример 3. Построить график уравнения \у\ = - 2\х\ Решение. Выполним цепочку преобразований графика функции у = х^ - 2х: у = х^ - 2х ^ у = \х\^ - 2\х\ -> 1^1 = \хр - 2\х\ (рис. 37). Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ ▼ Пример 4. Изобразить множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют не- равенству У 2 _ + 2|jc| - 1 ^ А-х^-у Решение. Будем решать эту задачу способом, напоминающим метод интервалов. Сначала отметим точки, координаты которых обращают в нуль числитель и знаменатель данной дроби; у^-х^ + 2\х\-1 = 0, г/2 = (|д:|-1)2, У = \А~^ или у = -\х\ + 1, 4- х'^- у = 0, у = 4- х^. Построенные линии разделили координатную плоскость на 10 областей, для координат точек каждой из которых дробь сохраняет знак (рис. 38). Остаётся определить знак дроби в каждой из областей или определить его в одной из областей и учесть, что при пересечении любой из линий дробь изменяет свой знак. Так, например, для точки (0; 5) значение дроби отрицательно, следовательно, соответствующая область в искомое множество не входит, а соседние с ней входят — их следует закрасить. f Примечание. Точки, в которых числитель дроби обращается в нуль, входят в искомое множество и изображаются сплошными линиями, а точки, в которых знаменатель обращается в нуль, — штриховыми. Л Упражнения 69. Найдите координаты вершины параболы: 5) у = -2х^ + 8х + 3; 6) Z/ = -2д:2 - 8л: -f- 3; 7) у = 2х^ - 10х; 8) у = 0,Ъх^ + 1х. 1) i/ = |л:2 + 6; 2) у = -\х^-2-, 3) У = х^ - 4х + 4) у = -х^ - 6х + 5; О 4. Квадратичная и дробно-линейная функции. Преобразование графиков 70. Самые красивые мосты — вантовые. Вертикальные пилоны связаны огромной провисаюпдей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. На рисунке 39 изображена схема одного вантового моста. Введём систему координат: ось Оу направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ох направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение: у = 0,0061jc2 - 0,692jc + 29. 1) Найдите длину ванты, расположенной в 100 м от пилона. Ответ дайте в метрах. 2) Найдите расстояние между пилонами с точностью до 1 м. 71. Задайте уравнением какую-нибудь параболу с вершиной в точке: 1) (0; 2); 2) (2; 0); 3) (-2; 3); 4) (3; -2) так, чтобы ветви параболы были направлены: а) вверх; б) вниз. 72. Постройте график функции у = f{x), если: 1) fix) = 0,5д:2 - 5л: -Ь 2; 2) f{x) = -0,5^2 + 4л: -Ь 3. Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Найдите по графику: а)/(-1); б)Д2); в) все значения х, при которых f(x) = 6; г) все значения аргумента, при которых f(x) > 6; д) промежутки возрастания и убывания функции; е) наибольшее и наименьшее значения, которые принимает функция на промежутке [-1; 7]. Щ 73. 1) Постройте график функции: а) у = + 3; г) ^ = 5 - 2х - б) у = 2х- х^; д) у = х'^ -8х + 20; в) у = 1 - X - х^; g) у = 2х^ - 6х + 2. 2) Для каждой функции найдите: а) область определения; б) область значений; в) координаты вершины параболы; г) значение дискриминанта; д) количество корней; е) наибольшее и наименьшее значение на промежутке [-1; 7]. 74. 1) Изобразите схематически, каким может быть график функции у = х^ + Ьх + с, если уравнение х^ + Ьх + с = 0 имеет: Щ а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) 0 единственный положительный корень; г) 0 единственный отрицательный корень; д) ® оба корня на промежутке [-1; 2]; е) ® ни одного корня на промежутке [-1; 2]. 2) Что можно сказать в заданиях а)—д) об абсциссе вершины соответствуюш;ей параболы? 75. При каких значениях k неравенство: 1) 2х^ - 6х + k > 0; 2) kx^ - 8х - 20 < о а) верно при всех значениях х; б) верно при всех значениях х, кроме одного; в) 0 неверно ни при каком значении х? Q 76® Определите знак числа а, если известно, что квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = 0 не имеет корней иа-6Ч-с>0. 77® Найдите все значения а, при которых: 1) один корень уравнения х^ - 2х + а = 0 больше, а другой меньше, чем а; 2) уравнение х^ — ах + а-1=0 имеет единственный положительный корень. О -i... ф 4. Квадратичная и дробно-линейная функции. Преобразование графиков 781 79. Имеет ли корни уравнение: 1) 957^2 - 4л: - 23 = 0; 3) 114д:2 - 497л: + 379 = 0; 2) 311jc2 - 821л: + 431 = 0; 4) 613л:2 -н 812л: + 135 = 0? Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые принимает функция: 1) ^ У = л/2л:2 _1_ 5д. _|_ 1 на промежутке [3; 4]; 2) 0 у = J|(л:2 - 5л: + 13) на промежутке [3; 6]; 3) ® I/ = на промежутке [-1; 3]; 4)® г/ = 3 + л --6 л/2л2 - л: - 1 на промежутке [2; 3]. 80.* В прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вписан прямоугольник (рис. 40). Обозначив буквой х длину его стороны в сантиметрах, параллельной меньшему катету, выразите площадь S (см2) прямоугольника. Укажите область определения и область значений функции у = 5(л:). Рис. 40 81 Р 1) Постройте график дробно-линейной функции: а) i/ = 3-^; б) у=| -2; ^)у = г)1/ = 2л- 1 л -f 1 2 - Зл л - 1 82. 2) Напишите уравнения асимптот этого графика и укажите промежутки возрастания или убывания данной функции. Перерисуйте в тетрадь график функции у = /(л:): 1) рис. 3; 3) рис. 5; 2) рис. 4; 4) рис. 6 (с. 12). Преобразуйте его в график, заданный уравнением: а) 0 у = 0,5/(л); б) Oy = f{x-l); в) 0 y = f{x + 2); г) 0 у = fix) - 2; y = f{x)+ 1; е)^ У = -Кх)\ ж) 0 у = Я-л); з) ^ у = /(W); и) ® г/ = 1/(д:)|; к) ® \у\ = f{x)\ л) ® I/ = f(\-x\); м) ® у = |/(Н)|. Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Запишите цепочку преобразований и назовите преобразования, которые вы использовали. Какие из полученных графиков задают функцию у; функцию х? 8з9 1) с помощью преобразований постройте график уравнения: а) у = -\х; е)\у\ = \х + 2\; б) I/= |л;-Ь 3|; ж) |i/|-I-|д:| = 4; в) у = 2-\х; з)|1/| = 4 4-3|л:|-л:2; г) у = |л:-ЬЗ|-1; и)г/ = {|х|}; fl)\y\ = \x-l\; K)i/ = [|x|]. Щ 2) Назовите преобразования, которые вы использовали. 3) Какие из построенных графиков задают функцию у, функцию х1 84® Каким уравнением будет задаваться график, полученный из графика функции у = /(д:): 1) симметрией относительно прямой jc = 3; 2) симметрией относительно прямой у = -5; 3) уничтожением его части, расположенной справа от оси ординат, и дублированием оставшейся части симметрично относительно оси ординат; 4) уничтожением его части, расположенной над осью абсцисс, и дублированием оставшейся части симметрично оси абсцисс; 5) симметрией относительно точки М(-3; 5); 6) * уничтожением его частей, расположенных в I, II и IV координатных четвертях и дублированием оставшейся части симметрично относительно осей и начала координат? Возьмите график функции I/ = -Ь 2дс - 3. Ц 85® Закрасьте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: 1) {у + 2х){у -х)^0; 2) (у - X + 3)(2у -h X - 4) < О; 3) у-^^ + 2 ^ О; у + х ^ 4) У - \х\ у + - 4 ^0; <0; у - х^^ + 1 6) - х^ - 2х - 1 у - х^ - 2х - 1 >0. 4. Квадратичная и дробно-линейная функции. Преобразование графиков 86. Закрасьте на координатной плоскости фигуру, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств: [I/ ^ 4 - 1) 2) + 4, у^х^-1; х^ + (у- 2)2 ^ 4, S)\х\; Контрольные вопросы и задания Задайте какую-нибудь функцию, графиком которой является парабола с вершиной в точке (-3; 4), ветви которой направлены вниз. Задайте аналитически дробно-линейную функцию, асимптотами которой являются прямые х = -1 и у = 2. Сколько существует таких функций? Постройте график функции у = + 2х - 4 vi укажите её свойства. Запишите уравнение, график которого, изображённый на рисунке 41, получен с помощью преобразований параболы. Глава 2 СТЕПЕНИ и КОРНИ Со степенными функциями у = х", где п — натуральное число, вы познакомились в курсе алгебры основной школы. В этой главе вы сначала повторите основные свойства степенных функций (п. 5), затем от квадратных корней перейдёте к корням натуральной степени п{п¥=^ 1) и научитесь применять их свойства (п. 6, 7). И, наконец, познакомитесь со степенями, показатели которых — дробные числа (п. 8). О 5. Степенная функция у = при натуральном п Рассмотрим две степенные функции у = и у = vi сравним их свойства (рис. 42, 43). 1. Обе эти функции определены и непрерывны на всей числовой прямой. 2. График функции у = х^ симметричен относительно оси ординат, а график функции у = х^ симметричен относительно начала координат. Это свойство можно сформулировать иначе. С При перемене знака аргумента значение функции у = х^ не изменяется, а значение функции у = х^ меняет знак. ) О Рис.43 5. Степенная функция у = х" при натуральном п 3. Область значений функции у = — все неотрицатель- ные числа. Область значений функции у = — все действительные числа. 4. Функция у = х^ убывает на промежутке (-с»; 0] и возрастает на промежутке [0; -Ноо). Функция у = х^ возрастает на всей числовой прямой. На следующем рисунке изображены графики функций у = х^ при чётном (рис. 44, а) и нечётном (рис. 44, б) п. Можно заметить, что при чётных п свойства степенных функций аналогичны свойствам функции г/ = а при нечётных — функции у = х^. Свойства функции у = 1. Функция t/ = X" определена и непрерывна на всей числовой прямой. 2. График функции I/ = х" при чётном п симметричен относительно оси ординат, а при нечётном п симметричен относительно начала координат. 3. Область значений функции г/ = х" при чётном п — все неотрицательные числа, а при нечётном п — все действительные числа. 4. Функция у = х'^ при чётном п убывает на промежутке (-оо; 0] и возрастает на промежутке [0; +оо). Функция у = х^ при нечётном п возрастает на всей числовой прямой. Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ Свойством 2 обладают не только степенные функции, но названия этому свойству дали по степенным функциям. Г Функция у = f{x) называется чётной, если выполняются два условия: 1) для любого значения х из D{f) -X тоже входит в D{f)\ 2) К-х) = Кх). Функция у = f{x) называется нечётной, если выполняются два условия: 1) для любого значения х из D{f) —X тоже входит в D{f)\ 2) f{-x) = -f{x). /4 _ Д.2 Пример 1. Доказать, что функция у = ^---- является - X нечётной. Для доказательства нужно проверить выполнение двух условий из определения нечётной функции. Доказательство. 1) Найдём D(y). Числитель дроби показывает, что -2 ^ л: < 2, а знаменатель, — что х^О; ±1. Значит, D(y) = [-2; -1) и (-1; 0) U (0; 1) U (1; 2]. Найденное множество точек числовой прямой симметрично относительно нуляу следовательно, вместе с любым числом из этого множества в него входит и противоположное число. г _ V4 - {-х)^ _74 - _ V4 - (-дс)^ - (-д:) -дсг^ + X х^ - X 2) у{-х) -у{х). Оба условия выполняются, а значит, функция у = ^ х^ - X нечётная, что и требовалось доказать. Пример 2. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение х^ — 4л:^ - Залг^ = 2 иметь ровно 7 корней? Решение. (Т) Многочлен, стоящий в левой части уравнения, при любом значении а задаёт функцию у = х^ — 4х* - Задг^, определённую на всей числовой прямой. При перемене знака у аргу- О 5. Степенная функция у = дс" при натуральном п мента значение функции не меняется, значит, эта функция чётная. Если некоторое, отличное от нуля, значение х является корнем данного уравнения, т. е. при этом значении у{х) = 2, то и противоположное ему число также корень этого уравнения: г/(-лг) = 2. Следовательно, число ненулевых корней уравнения не может быть нечётным. JC = О не является корнем данного уравнения, значит, число всех его корней не может быть нечётным. Ответ: число корней данного уравнения ни при каком значении а не равно 7. Упражнения 87. Существует ли натуральное п, при котором график функции у = х^ проходит через точку: 1) Е(-2;-32); 2) А(7; 343); 4) с{ -- • - 3 ’ 243 5) D(-0,2; -0,0000001024); 3) В(-6; 1296); 6)^ Е(-3; -6561)? 88. Каким натуральным числом, кроме 1, может быть показатель степени аргумента функции у = x'^, если известно, что при некотором целом значении х значение функции у равно: 1)4; 2)8; 3)-8; 4)16; 5)81; 6)64; 7)-64? 89. В каких координатных четвертях расположен график функции: 1)у = х^^; 2) !/ = **“; 3)° 1/= (ж + 3)’; 5) ° J/= (л - 4р - 10; 6) ° у = (л: + бр + 1? 90.* Может ли график функции у = {х - а)" -t- Ь иметь точки во всех координатных четвертях, если: 1) п — чётное натуральное число; 2) п — нечётное натуральное число? Если может, приведите конкретные значения а, Ь и п. 91Определите, через какие координатные четверти проходит график функции у = k{x - а)" + Ь, где: 1) п — чётное натуральное число; ф Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ 2)п — нечётное натуральное число, причём: а) > О, а > О, 6 > О б) /г > О, а > О, 6 < О в) /г > О, а < О, 6 > О г) /г > О, а < О, Ь < О 92! 93. д) /г < О, а > О, Ь > О; е) /г < О, а > О, 6 < О; ж) /е < О, а < О, & > О; з) /г < О, а < О, 6 < О. Определите, если возможно, чётным или нечётным числом является показатель степени п функции у = f{x), где f{x) = jc", зная, что: 1) Я-5) > /(-3); 3) Л-5) < Л-З); 5) /(5) > Д-3); 2) Л-5) > ЛЗ); 4) Л-5) < ЛЗ); 6) Д5) > ЛЗ). Сравните, если возможно, натуральные числа /пил, зная,что: 4) (V2)'" <(72)"; 5) *(7з -1)'"<(7з -1)": 1) 1,3'”< 1,3'*; 2) 0,3"* < 0,3"; 3)1 f <1 3 6)®(1-V2)'”<(1-V2)". 94. 95. 96. 1) С помощью каких преобразований из графика функции г/ = JC" можно получить график функции: а)1/ = -л:"; 6)i/ = 0,2x"? 2) • Можно ли утверждать, что все три функции у = дс", у = -д:" и // = 0,2дс" имеют одинаковую чётность (все они чётные или все они нечётные)? Докажите, что функция является чётной: 1)у = Зд:® - 3jc^ + 7; 3)® ^ = jc" • дс** ^ - 4; 2)у = 4)^y = -п + I .п - 1 ’ X' Докажите, что функция является нечётной: l)y = Sx^-5x^; 2)у = X® + 8 3)® у = JC" • х" ^ - дс. 97: о 1) Является ли функция чётной, нечётной или она не является ни чётной, ни нечётной: -х^ при X < О, ___|-(х -I- 1)2 при X < О, а) у х2 при X ^ 0; в)// = (х - 1)2 при X > 0; [х2 при X ^ 0; „ч |(^+ 1)^ прих< 1, 1-(Х — 1)2 при X ^ 1? 2) Постройте графики этих функций. Какая из функций имеет точку разрыва? 6. Понятие корня п-й степени 9вР Представьте функцию в виде суммы чётной и нечётной функций: 1) I/ = 4- 5jc - 4; |л;| - 2х^ 2)у = х^-1 99. Является ли: 1) сумма; 2) разность; 3) произведение; 4) частное чётной и нечётной функций с одинаковыми областями определения: а) чётной; б) нечётной функцией? 100.1) На рисунке 45 изображена часть параболы. Дополните её так, чтобы получившийся график задавал: а) чётную функцию; б) нечётную функцию. 2) • Задайте эту функцию формулой или кусочно и укажите промежутки её возрастания и убывания. Имеет ли эта функция точку разрыва? 101Может ли при каком-нибудь значении а уравнение: 1) 2jc® - х‘^ + ах^ = 1 иметь ровно три корня; 2) ах^ - 5х^ + 4х'^ - х^ = 8 иметь ровно пять корней; 3) ах"^ - 6х^ + Зх^ - X = -2 иметь ровно три корня? ВД Контрольные вопросы и задания 1. Назовите свойства, общие для всех функций у = х'\ где п — натуральное число. 2. Назовите свойства функций у = х", различные для чётных и нечётных л. 3. Можно ли сделать вывод о том, что т> п, зная, что при некотором положительном а верно неравенство а"* > а"? Укажите все положительные значения а, при которых этот вывод верен. 4. Является ли функция у = 5х^ — Зх^ + х — 1 чётной, нечётной или она не является ни чётной, ни нечётной? 6. Понятие корня л-й степени По графику функции у = х^ для любого положительного числа а можно найти числа, квадраты которых равны а. Эти числа называют квадратными корнями из а (рис. 46, а). Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ По графику функции у = для любого числа а можно найти такое число Ь, что = а (рис. 46, б). Это число называют кубическим корнем из а или корнем третьей степени из а. Вообще, по графику функции у = х'^ можно найти число, п-я степень которого известна. С Число, п-я степень которого равна а, называют корнем п-й степени из а. 3 Так, корнем пятой степени из числа -32 является число -2, так как (-2)^ = -32, а корнями четвёртой степени из числа 16 являются противоположные числа 2 и -2, так как 24 = (-2)4 = 16. При любом а прямая у = а имеет с графиком функции у = х'^, где п — нечётное натуральное число, отличное от 1, одну общую точку (рис. 47, а), абсцисса которой является корнем п-й степени из а. Этот корень обозначают 'ija (читается: корень я-й степени из а). Ф 6. Понятие корня п-й степени При любом положительном а прямая у = а имеет с графиком функции у = л:", где п — чётное натуральное число, две общие точки (рис. 47, б), абсциссы которых являются корнями п-й степени из а. Один из этих корней положителен, его обозначают ija, другой — противоположное ему число, т. е. -'\[а. Корень чётной степени из О равен О (О" = О при любом натуральном п): Vo =0. Любое число, возведённое в степень с чётным натуральным показателем, неотрицательно, следовательно, не существует корня чётной степени из отрицательного числа. В записи а называют подкоренным числом или подкоренным выражением, ап — показателем степени корня. При записи квадратных корней показатель степени корня не указывают. В зависимости от чётности или нечётности п выражение Va имеет или не имеет смысл при отрицательных а. Из-за этого при проведении общих рассуждений относительно корней п-й степени приходится рассматривать два случая. Естественно поэтому при рассмотрении свойств ограничиться корнями из неотрицательных чисел — арифметическими корнями п-й степени. А корни нечётной степени из отрицательных чисел, которые при этом как бы остаются «за бортом», можно будет всегда выразить через арифметические: , где п — нечётное число, а > 0. Это следует, например, из симметрии точек А и Aj графика функции у = X" относительно начала координат (рис. 48). Так, например, =-vn. Формула у = \[х задаёт у как функцию X. Для решения обратной задачи — нахождения значения переменной х по заданному значению у из этой формулы можно выразить переменную х как функцию переменной у: х = г/”. Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ Рис.49 Равенствам х = у'^ и у = '\[х удовлетворяют координаты одних и тех же точек (мы продолжаем рассматривать только неотрицательные значения х к у). Другими словами, функции у = ijx и х = у'^ имеют один и тот же график. И этот график можно получить, преобразовав график функции у = jc". Рассмотрим степенные функции у = х^ и X = у^ при д: ^ О, г/ ^ О (напомним, что аргументом второй функции является переменная у). Пусть точка М(а; Ь) принадлежит графику функции у = д:", тогда Ь = а". Но из этого же равенства следует, что точка N(b; а) принадлежит графику функции х = у'^. Прямая у = X проходит через противоположные вершины квадрата с диагональю MN (рис. 49) и, значит, является его осью симметрии. Следовательно, точки М(а; Ь) и N{b; а) симметричны относительно прямой у = х. Аналогично можно показать, что любой точке графика функции X = y'^ соответствует симметричная ей относительно прямой у = X точка графика функции у = х'^ (рис. 50). Таким образом, графики функций у = х^ иу = 'ijx (напомним, что функции у = 'l/x и X = у'^ имеют один и тот же график) симметричны относительно прямой у = х. В дальнейшем встретятся и другие пары функций с симметричными относительно прямой у = х графиками. i i $ 4J& 9 7 ii Гх Рис. 50 Функции у = f(x) иу = ф(д:), графики которых симметричны относительно прямой у = х, называют взаимно обратными, а каждую из таких функций — обратимой. л Рассматривая схематические графики взаимно обратных функций у = х'^ VL у = Ч[х, изображённые на рисунке 50, можно сформулировать некоторые свойства функции у = ijx . г о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 л: Рис. 51 Свойства функции у = , дс > 0 1. Функция возрастает, так как точка графика с большей абсциссой имеет и большую ординату. 2. График функции проходит через точки с координатами (0; 0) и (1; 1). 3. Из симметрии графиков функций г/ = х" и ^ = ^\[х следует, что значения функции у — ’Xfx могут быть как угодно велики. л На рисунке 51 изображены графики функций у = ^Jx при X ^ о для я, равных: 2; 3 и 4. Можно заметить, что график той из функций у = ifx , у которой показатель степени корня п больше, на промежутке (0; 1) находится выше, а на промежутке (1; -foo) — ниже других. 8/«2 — 25 пример 1. Решить неравенство ------ < 0. ЛТЪ-2 Решение. Подкоренные выражения должны быть неотрицательны : [х^ —25>0, [х<-5илих>5, ^ ^ [ж + 6;^0, >^-6, -6^х:^-5илих^ь. При -6 ^ X < -5 или X > 5 числитель дроби положителен. Найдём нули знаменателя: Jx + 6 -2 = 0, Jx + д =2, X-Ь 6 = 4, X =-2. Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ При X > -2 значения знаменателя положительны, а при -6 ^ х < -2 — отрицательны. Значит, при х > 5 дробь принимает положительные значения, а при -6 ^ х < -5 — отрицательные (рис. 52). Ответ;-6<х< -5. Пример 2. Решить уравнение J2x + 3 + Jx - 2 =4. ^ Примечание. Уравнения, в которых неизвестное стоит под знаком радикала, называют иррациональными. Обычный способ решения — избавиться от радикалов, возводя обе части уравнения в степень. Однако при этом следует иметь в виду, что при возведении в чётную степень могут появиться лишние, так называемые посторонние, корни. Так, например, возводя в квадрат уравнение лУх = -1, не имеющее корней, мы получим уравнение л: = 1, корень которого не является корнем исходного уравнения — посторонний корень. Решение. Перед тем как возводить данное уравнение в квадрат, полезно разнести радикалы по разным частям уравнения: 42х -f 3 -I- 4х -2 = 4, л/2л: + 3 = 4 - 4х - 2 , 2дс-1-3 = 16-1-д:-2 - д>4х - 2 , Ъ4х -2 =11- х. Ещё раз возводим в квадрат: б4(д: - 2) = 121 Л- х^ - 22л:, х^ - 86х -Ь 249 = 0, х^ = 3, Xg = 83. Теперь следует проверить, являются ли найденные числа корнями исходного уравнения, т. е. нет ли среди найденных корней посторонних. Проверка. 1) Если jc = 3, то л/2 • (3 + 3) + 73 - 2 =4 — верно. 2) Если X = 83, то V2 • (83 + 3) -t- V83 - 2 =4 — неверно (так как уже первый корень больше 4). Ответ: 3. ^ Примечание. Можно было найти подбором корень х = 3, и, поскольку левая часть уравнения задаёт возрастающую функцию, сделать вывод об отсутствии других корней. 6. Понятие корня п-й степени Пример 3. Решить иррациональное неравенство + X - 12 > X. Решение. Здесь также нужно избавиться от радикала. Однако в отличие от уравнений, при решении которых находят всего несколько чисел, решение неравенств обычно приводит к бесконечному множеству значений переменной и проверить их все невозможно. Будем рассуждать иначе. Заметим, что, когда правая часть данного неравенства отрицательна, неравенство верно, если, конечно, оно при этом имеет смысл. Значит, все реше- ния системы л: < О, х^ + X - 12 > О являются решениями данного неравенства. Если же правая часть неравенства неотрицательна, то неравенство можно возвести в квадрат (по свойствам неравенств с неотрицательными частями): л: ^ О, х^ + X - 12 > х^. Таким образом, всё множество решений исходного неравенства является объединением решений двух систем. л: < О, х^ + X - 12> О или X ^ о, х^ + X - 12> х^. J л: < О, Jjc ^ О, 1 л: ^-4 или д: ^ 3 [д:>12, X ^-4 или X > 12. О т в е т: д: ^ -4, х > 12. В; Примечание. Свойства неравенств с положительными членами удобно использовать и при решении иррациональных уравнений, особенно когда проверка корней трудоёмка. На основании соответствующего свойства неравенств или определения квадратного корня, при решении уравнения вида Jf(x) = g(x) достаточно проверить, что g(x) ^ 0. Упражнения 102. Верно ли, что: 1) число -3 является корнем четвёртой степени из числа 81; О Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ 04 1 1 2) число - является корнем третьей степени из числа - ; 2 о 3) ЧИСЛО 0,1 является корнем шестой степени из числа 0,000001; 4) число —10 является корнем пятой степени из числа -100 000? 103. Найдите корни уравнения: 1) л:2= 10; 2) = 16; 6) (Зд:-2)5 = -32; 8) (5д: + 7)4 = 81; 9) (л:2 -5х + 2)6 = 64; 10) (9д:-д:2-4)4 = 256. 3) л:б = -43; 4) л;8= 15; 5) (3 - 2xf = 8; 104. С помош;ью графика функции у = х^ найдите приближённые значения кубических корней из чисел: 1)5; 2)-7; 3)4,7; 4)-6,5.Д 105. Выясните с помощью графика, сколько корней имеет уравнение, и найдите приближённые значения этих корней: 1) л/jc - 6 = - Х^-', 3) л/л: + 1 = лг2 _ 7; 2) \[х = {х -1)2; 4) х^ — 1 = Jx + 1 . 106. Решите графически неравенство: \) Jx ^ х\ 3) Jx ^ 2х - 1; 2) Jx < х; 4) х^- Jx . 107. Принадлежит ли графику функции у = \[х точка: 1)А(3,375; 1,5); 2) Б(-0,125;-0,5); 3) С(-343;-7)? 108. Дана функция у = Jx . Найдите п, если график функции проходит через точку: 1) А(-0,00032; -0,2); 2) Б(2187; 3). 109. Каким натуральным числом может быть п — показатель степени корня у функции у = Jx, если известно, что у принимает натуральное значение, когда аргумент х равен: 1)4; 2)8; 3)27; 4)16; 5)81; 6)64; 7)1024? л 6. Понятие корня п-й степени 110. Сравните натуральные числа тип, зная, что: 1) "ДЛ < "ЛЛ ; 2) '"JoTf < "Тол; 5) 0 'Vn-3 < 'i/n^ ; 6) ® — 4 < 'ijn - 4 . 111. 1) Задайте функцию, обратную функции: а) у = х; B)y = 2x-1; б) 1/=^; г)1/ = 5-|л:. Н 2) • Как связаны коэффициенты kj и взаимно обратных линейных функций у = k^x + I и у = + т? 112. Если функция у = f(x), заданная рисунком 53, обратима, перерисуйте в тетрадь её график и в той же системе координат изобразите график обратной ей функции У = 8{х). 113. Имеет ли смысл выражение: 1) VT0; 5)3/115; 2) Vl8 ; 6) 5/I5 ; 3) ; 7)0 V5 - ; 4) ; 8)0 1277- (5)л/2 ? 114. Выразите через арифметические корни те из корней, которые арифметическими не являются: 1) V^; 2) 3) 0 Vl-л/2; 4) 0 з^з - 75; 5) ® V-l-a^; 6) # V-(4 -Ь 46 - fc2); ?)• V^:2 -Н л: -f 1 ; 8)# V-(c2 + 5с - 7). Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ 115. При каких значениях х имеет смысл выражение: l)Vjc; 4) ^М2х-Ъ; 7)^ МАх^ - 1; 5) V3 + бх ; 8)® - л: - 90 ; 3)12/Л; 6)0 V25-JC2; 9)# 16720л: - jc2 + 96 ? 116. При каких значениях л: не имеет смысла выражение: 1) 2) 1 V^-2 5 + 3 117. Решите уравнение: 3) 4) Vi л:2-4’ VjcTs 9-д:2 ’ 5) 6) 10 Уд:2 - 25 . л: + 13 ^У49 - х2 JC + 3 1) = I; 3) V2x + 1 = 0,2; 2) Vi = I; 4) V2 - 5д: = 0,6; 5) V^:2 + 7 = 2; 6) Уд:3 + 37 =_з. 118.0 Решите уравнение: Щ 1) л/3л:2 + 5л: + 6 = 1 - л:; 2) л/3л:2 + 7л: + 6 = лс - 1; 3) V9^^+T^ = 2л: + 3; 4) 75д:2 _ 15д._ 1 = 3 _ 2jc; 119. Решите неравенство: х-1 5) лУхТ~6 - Jx = 1; 6) л/i + 713 - д: = 5; 7) 73лс + 7 - Jx + 1 = 2; 8) 715 - JC + 73 - д: = 6. 1) 74д2 - 19д + 12 ^0; ^0. д + 3 120. Решите неравенство: 1) 0 79д - 20 > д; 2) 0 J2x + 15 ^ д; 3) Од + 2 < 74 + 5д ; 5) 0 7лс:2 _ _ 12 < д; 6) 0 7l3 + 8д - 5д2 ^ 4д; 7)® 75д2 + д ^ Зд - 1; 4) О - 1 > 73д + 7; 8)® 7Юд2 + 9д > д + 2. 7. Свойства арифметических корней ДД Контрольные вопросы и задания 1. Что означает запись Va ? 2. Почему при решении иррациональных уравнений необходимо делать проверку корней? _____ 3. Решите иррациональное уравнение Jll - 2х = 4 - х. Объясните, почему при проверке корней достаточно было бы убедиться, что 4 - л: ^ 0. 4. К решению каких систем сводится решение иррационального неравенства Jf(x) > g(x)? ю 7. Свойства арифметических корней Вы знакомы со свойствами квадратных корней. Аналогичными свойствами обладают и арифметические корни п-й степени. Свойства арифметических корней Свойства Квадратные корни Корни п-й степени 1 Jab = Ja • Jb 'Job =Ыа •'Ф 2 fa _ Ja Jb _ "Ja 3 Ja^ =(Va)'” "Ja^ = (Va)"* По определению арифметического корня п-й степени для любого неотрицательного числа а ( (-Га)" -а- ) Следовательно, чтобы убедиться в справедливости равенства ^Jx = у, где ijx — арифметический корень п-й степени, нужно проверить выполнение двух условий: l)y^QvL2)y^=^x. Докажем, например, что '\fa^ = . Должно быть: 1) ^ 0 и 2) = o'”. Ф Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ 1) "л/а ^ О, как арифметический корень, значит, и (Vi)'" ^ 0. (Заметим, что если тп — целое отрицательное число или о, то число а должно быть положительным.) 2) (("Та)"")" = (Va)""" = ((Va)")"" =а". Оба условия выполняются, значит, верно равенство = (Va)'”. Приведём примеры использования свойств арифметических корней. Пример 1. Вынести множитель из-под знака корня V8o5. Решение. VSa^ = ySa^ • = У(2а)^ • = 2а\[а^ . Пример 2. Упростить выражение (- Va - 2 Va). Решение. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: (\[х^ - \[а - 2 Va) = = - 2 + 2 . Пример 3. Сравнить 2^Jb и | ^300 . Решение. 2 V5 = • Vs =^J2^ • 5 = V40 ; I V300 = зЩ ■ V300 = зД-ЗОО = WrTZ . функция у = 'ifx возрастающая, т. е. большему подкоренному числу соответствует большее значение корня: 40 > 37,5, следовательно, Vio > VstTs . Ответ: 2^5 > | ^300 . 7. Свойства арифметических корней Свойства 1—3 используются для преобразования арифметических корней одной и той же степени. Однако в одном выражении могут оказаться корни разных степеней. Арифметические корни различных степеней связывают следующие два свойства. 4. . 5. . Докажем свойство 5. Должно быть: 1) '\[^ ^ О и 2) 1) ’ifa^ ^ О, как арифметический корень; 2) = (а'^) — ir,m\k — ппгк Примечание. Если показатель степени подкоренного выражения делится на показатель степени корня, то свойство 5 запи- сывается так : "л/^ = а ” . 28 Например, = 3 ^ = S'* = 81. Пример 4. Упростить выражение • \[а. Решение. Внесём под знак кубического корня: Применим свойство 4 и упростим подкоренное выражение: • а = ^\Ja^ . Применим свойство 5 (сократим показатель степени корня и показатель степени подкоренного выражения): =\fa. Ответ: * Va = ^Ja . Пример 5. Представить в виде корня из числа выражение Уз »'1/2 Уб Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ Решение. Приведём данные корни к одному и тому же показателю степени. Наиболее простым общим показателем является наименьшее общее кратное показателей степени корней — число 12. V3 = 1?/^ ; V2 = *V23; ^6 = . Таким образом, = ,/|1| = .273272 = 12Л8. V6 1^62 V 62 а/32.22 Упражнения 121. Докажите, что для арифметических корней верно равенство ijab = '\[а • '\Jb. 122. Вычислите: 1) 725 • 81; 2) 749-0,16; 04 /5 . Гб . У 36 • V 25 ’ 4) ^78 • 27 ; 5) V250 • 32 ; 7) 0 V125 • 405 ; 8) 0 V32 • 648 ; 9) 0 71,6-12,1; 10) 0 371,25-6,4; 11) # Vt-7^ - V7T7H ; 12)# ^5 - 2Тб - ^5 -ь 2Тб . 123. Вынесите множитель из-под знака корня: йл / 27 /9 1) 1^^; 4)V^; 7)#V^; 2) ; 5) ; 8)# ®7-128ai3bi4 ; 3) ; 6)0 3732x16^,10. 9)ф 5764^12^10. 124. Представьте в виде корня с меньшим показателем: 1) Vi; 4)307^; 7)« V(2-75)^ 2) ®7^ ; 5) ^64x3 ; 8)« ^(27б - 5)^ ; 3) # ; 6) 12716^; 9)# ^(зТб - 7)^*. о 7. Свойства арифметических корней 125. Запишите с одним знаком радикала: 1) \[ja ; 3) Ja^/a ; 4) 5)0 4 2) ^Jaja; 126. Сравните: 1) 73,^5и1/8; 3)л/^и^З^; 2) V2 , Vs и V3 ; 4) и . 127. Представьте в виде корня: 1) V2 • V^ ; 4) V^ : VoTs; 2) Ve 12 ’ 3) VTTs : ^Vs ; 128.^ Решите уравнение: 1) 7л:2 + 32 _ 2V^:2 + 32 = 3; 5) 0 IVOTS • V^ • Vo,008 ; 6) 0 Vo^e : iVo • Vio. 2) V3jc4 + 16 - V3jc4 + 16 = 2; S)x^+ + 20 =22; 4) + Зд: - 18 + 4 Jx^ + Зд: - 6 = 0; 5) V^c^n - ^ = 1; 6) , V^ + 3 _ о 5 %fx +2 129. ® 1) Докажите формулу «сложного радикала» 2) C помоыцью этой формулы упростите выражение: yi45 . 7б + 2V5 + 76-2^5 . 130. ® Не решая уравнения: 1) J26-X - J12-X = 2, найдите значение выражения V26 - л: + Jl2 - X; Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ 2) Jbx + 39 + Лх - 8 = 10, найдите значение выражения ^Ъх -Ь 39 - ^Ъх - 8. 131 Решите уравнение: 1) Vl + Jx -f Vl - = 2; 132. Решите систему уравнений: +J- =4 1)0 7^ Гу 3’ ixz/ = 9; Н Q \2{Jx + 4y) = ‘^ J^y, 1 л: + ^ = 5; S ^ 1 jc-bz/ = 28; 2) V^cH-To - - 9 = 1. 4)< Ту +Vy = 12, лгу = 64. 133. Найдите все значения а, при которых уравнение имеет единственный корень: !)• ^Jx~-{~Jx + 4^Jx + Jx -f а = 0; 2)* 2z + \Tz - sj2z + i/z + l + a + 1 = 0. 134.0 Упростите выражение, считая, что переменные принимают только положительные значения: 1ч 1 а® [аЧ ГЗ . ^^V-^'VTb’ 5) • 4j^; 04 1 /4а^ lab 6) Jx^^ • 135.® Вычислите: lfjl-j2 • ®л/з-Ь2л/2; 2) 1^7-Ь4Тз • VV3- 8. Степень с рациональным показателем 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания Докажите, что для арифметических корней верно равенство ^ где а ^ О, Ь > 0. Вычислите • Сравните и 2 V2 . 8. Степень с рациональным показателем — f Равенство 'i/a^ = а" в случае, когда m делится на л т. е. чис ло — — целое , позволяет заменить арифметический корень п J 9 8 ____ -10 степенью: = 3^ = 3^, = 5^ = 5^, = 2 ^ и т. п. Если же целое число т не делится на натуральное число /г, то число — является дробным. п Определим степень с дробным показателем с помощью равенства а " = . Степень с рациональным показателем т а " = > где т — целое, ап — натуральное число, не равное 1, а > 0. По определению, например, 7 3® = > 5“°’^ = 5^® = ^^5“^ и т. п. Рациональное число можно записать в виде дроби различ- 12 3 ными способами, например - = - = - и т. п. Покажем, что о о У значение степени с рациональным показателем не зависит от Ф Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ ТОГО, какой из равных дробей представлен её показатель, т. е. если т , то а п q где тир — целые, а nnq — натуральные числа. Действительно, учитывая, что mq = рпу имеем: т __ ________ ______ £ ап = nj^ ^ • Примечание. В доказательстве предполагалось, что ни п, ни q не равны 1, поскольку показатель степени корня не равен 1. Если же всё-таки, например, п = 1, т. е. /п = ^ , то преобразования ста- Я нут ещё проще: o’” = я/а^ = я/аР = а? . Можно показать, что для степеней с рациональными показателями остаются справедливыми свойства, ранее установленные для степеней с целыми показателями. Свойства степеней с целыми показателями а^аУ = = (аЬ)* ^ — = а* У аУ Л ь* ~[ь) {а^)У = а^У Докажем, что (а^)У = а^У, где хиу — рациональные числа. [ в и т\р Пусть х = — И у = ^ у тогда (а^)У =\а= = I— __________ UlR Hi,и = У(уа'^у = яуа'^Р = а'^я = а'^ я = а^У, что и требовалось доказать. В рамках принятого определения степени с дробным пока- 1 ^ зателем такие выражения, как (-2)^, 0^’^, (-3)^®, не имеют смысла. ▼ Попытка распространить определение степени с дробным показателем на отрицательные основания приводит к противоречиям. Попробуем, например, применить это опреде- ± ^ ление к выражению (-3)^®, а именно: (-3)^® = ^V(-3)® = ф 8. Степень с рациональным показателем А 1 = = V3. В то же время, (-3)^® = (-3)^ = = -Vs. Получилось, что одно и то же выражение имеет два различных значения. Противоречия можно избежать, если договориться сокращать дробные показатели степени. Д Поскольку = О при любом натуральном т, естествен- т НО считать, что О" = 'i/^, и доопределить степень с дробным показателем. С При любом положительном рациональном показателе степени г имеем О'’ = 0. 3 Степени с рациональными показателями часто встречаются в тождественных преобразованиях выражений. Пример 1. Найти значение выражения а + Ь 2 1 12 при а = 1,5, Ь = 40,5. Решение. Попытаемся упростить данное выражение. В знаменателе дроби каждый из членов содержит степень переменной а, поэтому попытаемся вынести общий множитель: 2 1 12 \ ( 2 11 2 а — 2 = ч- Поскольку 11 2 а 3 ijZ + является = а^\ а 1^2 2 ^ 1\2 ; I и =ib^ I , выражение а' 1 1 неполным квадратом двучлена . При этом выражение а + by стоящее в числителе дроби, можно рассматривать как сумму кубов: 1 АЗ f 1\з f 1 l\f 2 11 2 a + b = ya^j = ^flf3 -I- ;,3 дЗ _ дЗ 4-^,3 Теперь исходную дробь можно сократить: а + Ь 2 1 12 а - iV 2 11 2"\ 1 уу Уа^ - g3fe3 -|- ^ дЗ р,^ + Ь^) ______________ 1/2 11 2\ аЗ (^аЗ — Ч- b^J 1 = 14-1 \ а 3 ч- &3 1 гЗ = l + ^- = Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ |w Капысупятор eSQl Правка 8ид 2 . у7.-‘ ■ >5^^- . 112.01 n 136337617598559088970536459 ■, .. ^— Ьг -Нех <*■ Dec Г- Ort Вп f“ Inv Г Hjip _£J F-E 1 dms Exp In 1 k-sin XV iog| cos ^tan МС I М> I Deg Г Ritfr 'Г Giad"“ Back ^■'CE J_£il 8 8 Mod And 4 5 6 Xor 1 2 - Ш Not 0 ♦/- ♦ Int A В C "d ic' F Рис.54 Пора подставить данные значения переменных: 1 + (^)з = 1 + 2?з = 1 + 3 = 4. О т в е т: 4. Щ.-. Примечание. В рассмотренном примере удалось устно найти степень числа. В тех случаях, когда это не удаётся, на помощь приходит калькулятор. Так, на инженерном калькуляторе (рис. 54), который является одной из стандартных подпрограмм популярного компьютерного пакета «Windows» {Пуск -> Программы -> Стандартные Калькулятор -> Вид -> Инженерный), для возведения в степень есть специальная клавиша. Чтобы найти, например, значение степени 3,7^’® нужно: 1) ввести основание степени 3,7; 2) нажать клавишу х"у; 3) ввести показатель степени 1,9; 4) нажать клавишу «=» на калькуляторе (или «Enter» на клавиатуре). На дисплее калькулятора (рис. 54) появится приближённое значение степени, вычисленное с высокой точностью: 12,0111136337617598559088970536459. Пример 2. Доказать, что при 0 < а < 125 верно равенство 1 1 а*^+5 -20а = + а* 5. О 8. Степень с рациональным показателем Доказательство. Преобразуем левую часть данного равенства: 1 \i 1 + 5 -20а^ + + 5 -4*5а^ + = 1 \i = 11 - 5 Г + = 1 1 - 5 + . При О < а < 125 разность - 5 отрицательна, значит, модуль этой разности — число ей противоположное: 1 I I I \ i - 5 + =-\^а^ - 5J + что и требовалось доказать. Упражнения 136. Докажите, что — = а^~ у, где а>0,ал:и^ — рациональ- аУ ные числа. 137. Представьте в виде степени или произведения степеней с дробными показателями: 1) ; 4) VP; 10)# 7^; 2)V^; 5)VPP; 8)7/^; 3) 6) Vftp ; 9)* ; 12)* ■ 138. Представьте в виде корня или произведения корней: 3 1 9)# 2 4 . 33; 2 ,7 . 1) аМ 2) 3 3) х'~*; 4) а -0,5. 5) с 3; -li 6) 6 2. 7) 8) 1 2 Ю)® 3 2 . 53. 1 11) #(а + 6) 2; 2 12) # (X + 2i/)3 . Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ 139. Представьте в виде степени: 1 1 1 7 1 4 1) Jc3 Jc4 4) Ь 10 5 b 15; 1 1 1 ( 1 1 2) !/ ^ i/ 5)[а 3a2 а 1 5 3 1 1 1 ^-3 3) с 3 с 9 : С 4 ; Q)\x •3 X 2 хЧ : 5\0,7 1- 8) (с-0.3) 3. 9) (d-o.5)3. d. 140. Вычислите: 1 1) 2?3; 1 2) 32 5; 3 3) 81 4; 5) 0,001 3; 6)0,0001 4; 9) 93.5 1?’ 27 3 10) 11) 4)125 3; 141 Представьте в виде степени с основанием: 12) 8 ^3 _ 16-1.25’ 5 123 1? 1 ’ 2 З.3З 5 1 33 • 23 А. * 18^2 1)2; числа; 2) л/2; 3)4; 4)0,125; 5) V4 а) 0,25; б) ^; в) Vl6; г) —; д) 8 72 . 142.^ Представьте в виде степени с основанием; 2) 379; 3) 3; 4)^; 5) Vsl 27’ числа: а) ^ ; б) 81; в) V9 ; г) —^ ; д) 27л/3 . 81 V243 143. Представьте выражение в виде квадрата: 2 1 1) а; 3) д:3; 5) 4с; 7)64ху^; _2 1 2) г/3; 4)6 5. 6) 25а; 8) 96» с. 8. Степень с рациональным показателем 5) 82; 6) 27л:; 144. Представьте выражение в виде куба: 3 1) р; 3)а^; 3 2) а2; 4)Ь~^1 145. Раскройте скобки; I - М" 1) [2а^ +3^2 j ; 2) ^а2 - +1 3) (бЗ + _1 4) ^л:- л;2 + л: 2 5) + с 2 - с 2 6) ^а2 + Ь 2 д2 _ ^,3 7) ^л:® + 2^ j^2^ - л:® ( 1 l\f 2 11 2 8) [а^ + j; 2 1 \ / 4 2 1 I 7) 125az/3; 1 8) 100052 с. 9) 1 л:^ - г/® 146. Представьте выражение в виде разности квадратов и разложите на множители: 1 1) 10-а; 4) - г/З. 1 1 7) Зл: - J/5 ; 1 2)5-7; 5) а2 -9; 8) - 9д; 3)аЗ-25; 1 6)25-53; 9) x^^^ - 28у. 147. Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите на множители: 1 11 7) л: 2 _ ^4 . 1) 8-а; 3) 1000л:-3; 5) а2 + 8; 1 11 2) 5-ь27; 4)125-h2i/; 6)64-53; 8)5б+8с2 Ф Глава 2. СТЕПЕНИ И КОРНИ 148. Сократите дробь на а: 2) 4 + а 3) а - а 4) а - а‘ а - а'^ 149. Упростите выражение: 1) 1 1 а - . 1 1 ’ Ь - 1 2 2 1 У + 04 а - 25 - 5 4) 2^ 2 _ у2 X - 4t/ 5) 6) 1 1 а + 2а^х^ + X 1 1 ах^ + а^х ЗЬ^ - З^Ь 1 1 5 + 3-2*3252 7) О - 6 а“* + 6 + 8) О + ■ 36 -а2 1 -3 11 1 11 1 JC®!/® + t/2 Х^у^ - Х^ Х^ + У 1 1 х^у^ 150. 1) Вычислите значение выражения, если нужно, упростив его: а) 4 7а® ы а ® - За ® - при а = 2; б) в) [2 - а® ^ ---— при а = 4; 5а2 а 1 - 2 а® + 2 г) + 8 - 2^L±16 при а = 27; у-4 при у = 25; У^ + 2 Д) О д:2 - 1/2 1 1 ■2 4- 7,2 11 1 1 ~ Л^^1 1 при ^ = 12-8: у = 5; Лг21/3 _ jf3y2 дсЗуЗ ц. д;3^2 8. Степень с рациональным показателем 2 2 2 2 х^-у^ ^ —х^-у^ ^ ^ ^ 4. ^ = Q 5_ х^у + ху^ х^у - ху^ 2)^ Проведите вычисления с помощью калькулятора без предварительного упрощения выражений. 151Р Замените корни степенями и упростите выражение: 1) 2) 3) Vb 4) Vc зУс - 1 ^ с + 1 . ~^/с+ 1 с + 1 j 1 1 .(^ + 1 V -V~y U-1 Vy - J’ -Vft)- b-x . \ Jb + \fbx Jb - Jx 49 Мх-г - 21%[х _ 40 -^ ~ *t/^ + 3V^ + 9 J 16 - 4 - ^Jx 152.* Решите уравнение: Щ 1 1 1)(д: + 9)® -(x + sf =0; 2) —^ -21 Ч/ + 1 !/ 0,5 = 3. 153.* Найдите все значения а, при которых не имеет корней уравнение: Щ 1 1)х- 2ах^ - а + 2 = 0; 2) х + 3(2 + х)^'^ + а = 0. Контрольные вопросы и задания Используя определение степени с рациональным показателем, докажите, что ^а» = у, где а > 0, д: и у — рациональные числа. Запишите без знаков корней выражение и упростите его да. 1. 2. • Ja 3. — 8 Сократите дробь —-------- х + 2х +4 О ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ В этой главе снимется последнее ограничение на показатель степени — вы сможете использовать степени, показателями которых являются любые действительные числа. В пункте 9 вас ожидает также знакомство с новой функцией, аргументом которой является показатель степени числа, — показательной функцией. Свойства показательной функции будут использоваться в решении уравнений и неравенств. Проблема решения показательного уравнения = Ь в пункте 10 приведёт к понятию логарифма, а в последнем пункте главы вы научитесь применять свойства логарифмов к решению различных задач. 9. Функция у = В предыдущ;ей главе вы познакомились с понятием степени с рациональным показателем. Это позволяет нам рассматривать функции вида у = а^, аргумент которых может принимать любые рациональные значения. Аргументом функции у = является показатель степени, поэтому такие функции получили название показательных. Основанием степени с рациональным показателем может быть только положительное число, но, говоря об основании показательной функции, следует ввести ещё одно ограничение. Поскольку 1^ = 1, функция у = является не показательной, а линейной. С о функцию вида у = а^, где а > 0, а 1, называют показательной. J 9. Функция у = Построим график функции у = а^, например при а = 2. Для этого, как обычно, найдём сначала координаты некоторых точек графика и заполним таблицу значений функции: 2-3 = ^ = I *0,13; 2-2.5 = 2-3+ 0,5 = = 2-3.20.5 «1.1,414 «0,18; О 2-2 =i =0,25;...;22.5 = - 22-8-1,414 «11,31. X У = 2^ X У = 2^ -3 0,13 0,5 1,41 -2,5 0,18 1 2 -2 0,25 1,5 2,83 -1,5 0,35 2 4 -1 0,5 2,5 5,66 -0,5 0,71 3 8 0 1 3,5 11,31 Рис. 55 Отметим эти точки на координатной плоскости (рис. 55). Составляя таблицу, вычислили значения функции у = 2^ для значений л:, взятых с шагом 0,5. На рисунке 56, а изобра- а) ( ! • : 1 1—1-— Н“ ! * —,— -К — 1 j — __ i- ■ *: 4--: : • : , ! i 1 L1- I’-i-J-! ! ! ! 1 1- 1 1 j I ! [-4_ ['1~ ГГ" " I ■■ гЬ i :х1 /■■:: : :: 1 1 н+н 2-10 1 2 3*х б) -2 -1 Рис. 56 Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ жены точки графика функции у = 2^ для значений х, взятых с шагом 0,1. Можно заметить, что с уменьшением шага точки всё гуще располагаются на некоторой непрерывной кривой линии (рис. 56, б). Все точки этой линии, абсциссы которых рациональны, являются точками графика функции у = 2^. Но кроме них на ней имеется также бесконечное множество «лишних» точек, абсциссы которых иррациональны. Условимся считать, что и при любом иррациональном значении X ордината соответствующей точки нашей кривой равна 2^. Тогда полученная кривая будет являться графиком показательной функции у = 2^, аргумент которой может принимать любые действительные (рациональные и иррациональные) значения. Аналогичным образом, условимся считать^ что при любом положительном а, отличном от 1, аргумент показательной функции у = а^ может принимать любые действительные значения. Степени с действительными показателями обладают такими же свойствами, как и степени с рациональными показателями. Свойства степени с рациональными показателями а^аУ = а*^У; а’^Ъ’‘ = {аЪУ; ^ =а^-У; аУ а* аУ {а^)У = а^У. На рисунке 57 в одной системе координат изображены графики нескольких показательных функций с основаниями, большими 1. Рассматривая эти графики, можно отметить несколько свойств, общих для всех функций вида у = а^ при а > 1. шш 9. Функция у = Г Свойства функции у = о.-*, а > 1 л 1. функция определена и непрерывна на множестве всех действительных чисел. 2. Область значений функции — множество всех положительных чисел. 3. Функция является возрастающей. 4. При л: = О значение функции равно 1, т. е. график проходит через точку (0; 1). 5. Ось абсцисс — горизонтальная асимптота графика функции у = а^. Из этих свойств следует, что при х > 0 значения функции больше 1, а при л: < 0 значения функции заключены между о и 1. Для построения графика функции у = а^ при 0 < а < 1 можно, конечно, снова составить таблицу значений, но лучше поступить иначе. Пусть, например, нужно построить график функции ^ I j • Поскольку ^ I j = 2"^, график функции t/ = 1 ^ I мы можем получить из графика функции у = 2^ с помощью симметрии относительно оси ординат (рис. 58). На графиках функции у = при а > 1 и при о < а < 1 видно, что различие в их свойствах относится только к свойству 3 — характеру монотонности: при а > 1 показательная функция возрастает, при о < а < 1 убывает. Свойство монотонности часто применяется при решении показательных уравнений и неравенств. Пример 1. Решить уравнение 9^ - 8 • 3^ = 9. Решение. Введём вспомогательную переменную t: t = 3^, тогда 9^ = (3^)^ = (3^)^ = Поскольку переменная t Ф Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ может принимать только положительные значения, задача сводится к нахождению положительного корня уравнения - 9 = 0. Корни этого квадратного уравнения = -1, ^2 = 9, значит, искомый корень 9. Возвращаясь к переменной Ху получим 3^ = 9,3^ = 3^. В силу монотонности своё значение 3^ функция у = 3^ принимает единственный раз при х = 2. О т в е т: 2. Пример 2. Решить систему уравнений |9^+1 = ЗЗу + 2^ [4х^ -2х = у + 13. Решение. Перепишем первое уравнение заданной системы 9^ 1 = 3^^^ ^ как равенство степеней с одинаковы- ми основаниями: 3^^ + 2 = 33^ + 2 Поскольку каждое своё значение показательная функция принимает по одному разу, из равенства значений показательной функции следует равенство значений её аргумента: 2х + 2 = Зу + 2у 2х = Зу. Подставляя Зу вместо 2х во второе уравнение системы, получим: (3у)^-3у = у+13, V-4i/-13 = 0, = -1. 13 У2=-д- Найдём соответствующие значения х из равенства 2х = 3у: 3 13 2 ^1 = -о’^2= у Ответ. Х^ п ^ У\ 1» ^2 <3 ’ У2 9 ' Пример 3. Найти область определения функции 1/= V0,25^-i-9*0,5^-b2. Решение. Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени, должно быть неотрицательно: 0,25^-1-9*0,5^ +2^0. 9. Функция у = Введём вспомогательную переменную ^ = 0,5^ и найдём положительные решения неравенства 0,25“^ • — 9t + 2 ^ 0: 4^2-9^ + 2^0, l^^тили^^2, ^ > о, t >0, О < ^ ^ I или ^ ^ 2 (рис. 59). Вернёмся к переменной х. О < 0,5^ ^ ^ или 0,5^ ^ 2. Поскольку О < 0,5* при всех значениях х, имеем: 0,5* ^ 0,52 или 0,5* ^ 0,5-1. Показательная функция с основанием 0,5 является убываю пдей, поэтому большему её значению соответствует меньшее значение аргумента, значит, дс ^ 2 или jc ^ -1. Ответ: D{y) = (-оо; -1] и [2; -Ьс»). Примечание. При переходе от неравенств со степенями к неравенствам с их показателями мы, в силу убывания показательной функции с основанием, меньшим 1, изменили знаки неравенств. Понятно, что если бы мы имели дело с возрастающей функцией, знак неравенства следовало бы сохранить, например, 3* < 3^, х<2. С показательной функцией, определённой на множестве натуральных чисел, вы встречались в курсе алгебры 9 класса в теме прогрессии. Действительно, формула д-го члена геометрической прогрессии = ^1(7" " i при Ь^ = q задаёт показательную функцию = Ь{п) = Показательная функция у = обладает важным свойством: при увеличении аргумента на 1 она изменяет своё значение в а раз: а* i = а • а*. Такие зависимости довольно широко распространены в окружающем нас мире. Приведём три примера из биологии, физики и экономики, приводящих к показательной функции. Биология. В питательной среде бактерия кишечной палочки делится каждые 20 минут. Понятно, что общее число бактерий за каждый час увеличивается в 8 раз. Если в начале процесса была одна бактерия, то через х часов их число N станет равным 8*: N{x) = 8*. Ф Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ Физика. Время, за которое распадается половина массы радиоактивного вещества, называют его периодом полураспада. У цезия-137, являющегося основным компонентом радиоактивного заражения местности после Чернобыльской катастрофы, период полураспада 30 лет. Значит, от началь- ной массы ttIq цезия через х лет останется ttiq • - ± 30 т{х) = /По • 11 - 130 X \х Экономика. Если ежемесячно на банковский вклад, равный Sq рублей, начисляется р%, то через х месяцев вклад s станет равным Sq • ^ 1 -ь j : s(:r) = So • 1 + 100 j ■ Найдём, например, на сколько процентов возрастёт банковский вклад за год, если ежемесячно банк начисляет на него 2«/о. 1. Сначала найдём, каким станет вклад через 12 месяцев: s(12) = So • (1 + 0,02)12 = . 1^0212 « l,27so. 2. Выясним, на сколько вырос вклад за год: s(12) - So = l,27so - So = 0,27So- 3. Определим, сколько процентов от начального вклада составляет этот прирост: s(12) - So 0,27Srt • 100% = ^ • 100% = 27%. Упражнения 154. С помощью графика функции у = 2^ (см. рис. 56, б) найдите: 1) приближённое значение функции, если: а) jc = 0,8; в) л: =-0,4; х = J2 ; б) jc=l,7; г)д: = -0,6; е)^ дс = ^/3 ; Щ 9. Функция у — 2) приближённые значения аргумента, если: а) i/ = 0,6; в) у = 2; д)у = 6; б) 1/=1,5; г) у = 3,5; е)г/ = 4,5. 155. Принадлежит ли графику функции у = 2^ точка: 1) А(5;32); 3)С(4,5; 16л/2); 2) В(-3;0,125); 4) в(_1,5; j? 156. Используя график функции у = 1,5^ (рис. 60), найдите приближённые решения уравнения и неравенства: Д 1) 1,5^ = 3; 2) 1,5^ >7; 3) 1,5"^ < 3; 4) 1,5^ = 0,3; 5) 1 ^ 1,5^^ 6; 6) 1,5^ = 0,8; 157. Сравните значения выражений: 1) 2-'^и2-5«з. 4) 0,30 и 0,30-1; 2) 4-1-4 и 40,03. 5) 1 1Л и 1Д1.7; 3) 50 и 5-0-1; 6)2-V5 и2-2.5; 7) 0,5< 1,5^ ^4; 8) 2^ 1,5^ <7; 9) 3< 1,5^ ^4. 7) 0,2^^ и 0,2-^; 8) 17®*^ и 17^; 9) 3-^ и 3-^. Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 158. Решите уравнение, представляя его правую часть в виде степени с тем же основанием, что и степень в левой части: 1)2^= 16; 2) 5^ = 625; 3) 2^ = 0,25; 5)f|NV9; 6) 2^ = 7) О 1 = V2 . 8 ’ 8)0 0,2^= ^ Vie 9) О 1 VI^ = 81. 159. Определите а, если известно, что график функции у = проходит через точку: 1) М(0,5; 3); 2) К{2; 5). 160.0 График функции у = проходит через точку А(4; 25). Проходит ли этот график через точку: 1) В(-6; 0,008); 2) С(6; 125)? 161.0 На рисунке 57 изображены графики функций вида у = а^. Определите значение а для каждой из них. 162.0 1) Постройте график функции: а) у = 3W; б) i/= I' в) у= 1,5I^ + 1|; г) г/= 3 2) Укажите область значений функции, её промежутки возрастания и убывания, наибольшее или наименьшее значение. 163.0 Упростите выражение: 2j3 Л Л 2Л> д2Л-Ь^Л _ 2) а® —а^Ь^+Ь^ а-Л + 1)Л 164. * Не решая уравнения 4^ + 4"^ =19, найдите значение выражения 2^ + 2~^. 165. Выясните, является ли функция: \)у = 2^ + 2-^\ 2) у = 2^-2-^ чётной, нечётной, или она не является ни чётной, ни нечётной. 166. ® Докажите, что при любом значении х верно неравенст- во 2^ -Ь 2-^ > 2. Ф 9. Функция у = 167. Решите уравнение: 2)8^= 128 72; 3) (2,5)2-з = 15|; 4) 0,125*42^ + 3= 0^^. 72 5) g2ji = з2х-б. 6) 10^ - + 5х + 1 = 1000; 7) Ъ^-Лх-ь = 125; 168. Решите уравнение: 1) 7х + 2_14.7х = 5. 2) 3^ + 1-5*3^-1 = 36; 3) 5х + 2_4.5х + 1 + 4.5д:-1 = 29; 4) 5*2^ - 7*2^-1 + 9*2^-2 = б0; 5)' о( 1 -4*( I V % 11 1 = 6; 6)0 о,2^-3 - 3 • 0,2^-2 - 6 • 0,2^-1 = 500; 7) # дх _ 2х + 0,5 = 2^ + 3,5 _ 02х - 1. х_1 8) # 4^ - З"" 2 = з"' 2 _ 22х- 1. 169. Решите уравнение: 1)4^-9*2^ +8 = 0; 4)^ 5^+1 + 5i"^ = 26; 5)0 5 • 5* - 3 • 5-^ = 2; X- 2 2)[|]'-8(1 1 -9 = 0; 3)3*2^-7*2 -20 = 0; 170. Решите систему уравнений: 27"^“ 2у = —1— 1) J^‘ 32X + V’ 1зл:-51/ = 4; f25^ + i'= — 2) i j5^-y (Sx - 2у = 6; 171. Решите неравенство: О 6)0 2^-13*2 2 -12 = 0. 3)< 3x-22f/= 17, 32 2У = 17; и-(ЛГ = и-(ЛГ. [w + i;2=12. 2) 7^ <27; Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 3) ° (3- 73)*> 1; 4) 0 (У15 -3)*> 1; >0; О t X 6)0 ^^>0; ?)• 2-<5-|; 8) ® 3^ > - ; 9) * 3^ + 5^ > 8^; 10) * 3^ + 4^ <5^. 5 + 4х - ^72P Найдите область определения функции: 1) 79^-28-3^ + 27; 2) 0,5^ - - 3 0,5* 173.® Найдите все значения а, при которых уравнение 4*-а*2* + а- 1 = 0: 1) имеет два корня; 2) не имеет корней; 3) имеет единственный корень. Щ 174.0 Процент инфляции показывает, на сколько процентов (в среднем) выросли цены. 1) Выразите процент инфляции за х месяцев, если ежемесячная инфляция составляла 3%. 2) И Вычислите с помощью калькулятора годовой процент инфляции. Д Контрольные вопросы и задания 1. Любое ли положительное число можно представить в виде степени с основанием 2 и рациональным показателем? 2. Между какими последовательными натуральными числами заключено число 2^2? 12 3. Сравните значения выражений л’' и л ^ . 4. Решите неравенство 0,25* - 4 • 0,5* < О. ю 10. Понятие логарифма При решении показательных уравнений в предыдущем пункте удавгшось представить обе части уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями и рациональными показате- 10. Понятие логарифма лями. Так, например, при решении уравнения 2^ = 1 ^2 8 Г 6 МЫ заменяем степенью 2 ^ и из равенства степеней с одинаковыми основания-6 ми 2^ = 2 ^ делаем вывод о равенст- ве показателей: х = . Однако, 5 Рис. 61 чтобы решить, казалось бы, более простое уравнение 2^ = 3 имеющихся у вас знаний оказывается недостаточно. Дело в том, что число 3 нельзя представить в виде степени с основанием 2 и рациональным показателем. т ▼ Действительно, если бы равенство 2" = 3, где тип — натуральные числа, было верным, то, возведя его в степень п, мы должны были бы получить верное равенство 2"* = 3". Но последнее равенство неверно, так как левая его часть является чётным числом, а правая — нечётным. Значит, не может т быть верным и равенство 2'^ = 3. Д С другой стороны, график непрерывной функции у = 2^ пересекается с прямой у = S (рис. 61), и, значит, уравнение 2* = 3 имеет корень. Таким образом, перед нами стоят два вопроса: «Как записать этот корень?» и «Как его вычислить?». Ко второму вопросу мы вернёмся в следующем пункте, а ответ на первый вопрос сформулируем в виде определения. Г Показатель степени, в которую нужно возвести число а (а > о, а 1), чтобы получить число Ь, называется логарифмом Ь по основанию а и обозначается log^ Ь. Теперь мы можем записать корень уравнения 2^ = 3: X = logg 3. Равенства = Ь и х = log^ Ь, в которых число а положительно и не равно единице, число Ь положительно, а число х может быть любым, выражают одно и то же соотношение между числами а, Ь и х. Подставив в первое равенство выра- Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ жение X из второго, получим основное логарифмическое тождество. С Основное логарифмическое тождество =Ь ) Выразим X из равенства у = log^ х, получим х = аУ. Последнее равенство задаёт функцию х = а^', график которой симметричен графику показательной функции у = относительно прямой у = X (рис. 62, а, б). Показательная функция х = аУ является монотонной, и, значит, разные значения у соответствуют разным значениям дс, но это говорит о том, что у = logg X, в свою очередь, является функцией X. Показательная функция у = и логарифмическая функция у = log^ X являются взаимно обратными. Сравнивая их графики, можно отметить некоторые основные свойства логарифмической функции. Г Свойства функции у = log^ дс, а > О, а 1 1. Функция у = logg X определена и непрерывна на множестве положительных чисел. 2. Область значений функции у = log^ х — множество действительных чисел. 3. При О < а < 1 функция у = log^ х является убывающей; при а > 1 функция у = log^ х является возрастающей. 4. График функции у = log^ х проходит через точку (1;0). 5. Ось ординат — вертикальная асимптота графика функции у = log^ д:. 10. Понятие логарифма Рассмотрим несколько примеров, в которых используются свойства логарифмической функции. Пример 1. Решить уравнение logg (2^ - 7) = 3 - л:. Решение!. По определению логарифма имеем: 23-дг = 2^- 7. g Далее: 2^ - ---7 = 0. Поскольку 2^ =?* 0, получаем: 2^ (2*)2 - 7 • 2^ - 8 = 0. Будем рассматривать полученное уравнение как квадратное относительно 2^ и найдём его положительный корень, поскольку 2^ > о, то 2^ = 8. Далее имеем: 2^ = 2^, х = 3. О т в е т: 3. Решение 2. Левая часть уравнения задаёт возрастаю-ш;ую функцию г/ = logg (2^ - 7). Действительно, при увеличении значения х соответственно увеличиваются значения 2^, 2^ - 7 и logg (2^ - 7). Правая же часть уравнения задаёт убывающую функцию у = 3 - X. Значит, данное уравнение либо не имеет корней, либо имеет единственный корень. Нетрудно подобрать корень данного уравнения — число 3. Пример 2. Решить неравенство log^^^ g (5 - х) > 1 Решение. Найдём множество значений переменной х, при которых все входящие в данное неравенство выражения имеют смысл — область допустимых значений переменной неравенства (обычно используется сокращение ОДЗ). Одновременно должны выполняться следующие условия: основание логарифма и выражение, стоящее под знаком логарифма, положительны, а основание логарифма, кроме того, отличается от 1. Следовательно, ОДЗ состоит из решений системы [5 - X > о, fx < 5, ^Х-Ь2>0, ^х>-2, ОДЗ:(-2;-1)и(-1;5). [хЛ-2^1\ [х=?^-1. Для любого значения х из ОДЗ правую часть данного неравенства можно представить в виде логарифма с основанием X + 2: + 2 (5 - л:) > log^ + 2 (^ + 2). ф \4 Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ Основание х + 2 логарифмов может быть как больше, так и меньше 1. В первом случае большему логарифму соответствует большее значение стоящего под его знаком выражения, а во втором — меньшее. Следовательно, чтобы перейти от неравенства логарифмов к неравенству выражений, стоящих под их знаками, нужно рассмотреть два случая: 1) основание логарифма больше 1 (знак неравенства не изменяется); 2) основание логарифма меньше 1 (знак неравенства меняется на противоположный). ^ ]х + 2>1, ]х>-1, ^ ^ _ Случай^. + \2х<3; -Кх<1,5. Найденные значения х входят в ОДЗ и, соответственно, в множество решений неравенства. ^ Гл: + 2<1, j х<-1, Случаи2.+ U Ответ:-1<л:< 1,5. ^ g. нет решений. Пример 3. Решить неравенство logg logo,s(2x -Ы)> 1. Решение. Запишем обе части неравенства в виде логарифмов с одинаковым основанием 3: logg logo 5 (2^ -Ь 1) > 1, logg logo,5 (2х + 1) > logg 3. Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, значит, logo 5 (2л: + 1) > 3. Понятно, что в этом случае значения выражения logo 5 (2^ + 1)> стоящего под знаком внешнего логарифма, положительны. Запишем обе части неравенства в виде логарифмов с одинаковым основанием 0,5: logo,5 {2х -Ы) > logo,5 0,53. Логарифмическая функция с основанием 0,5 убывает; учитывая, что под знаком логарифма должно быть положительное число, имеем: 2jc-f 1 < 0,53, 2л: Ч- 1 > 0; -1<2л:<-^, Ответ:-| <х<-^. о < 2л: -1- 1 < ^ , О -- < л: < . 2 16 10. Понятие логарифма S Примечание. Освобождаясь от внешнего логарифма, имеющего основание 3, мы сослались на возрастание соответствующей логарифмической функции, т. е. на то, что большему значению логарифма соответствует большее значение выражения, стоящего под его знаком. Однако следует иметь в виду, что если функцию у = log3 logo 5 (2л: ■+• 1) считать логарифмической, то её аргумент не переменная Ху а всё выражение logo 5 (2-^ + !)• Если же всё-таки рассматривать X как аргумент функции у = logg logo 5 (2л: -Ь 1), то эта функция окажется убывающей, так как при увеличении значения х увеличивается значение выражения 2х + \, уменьшается значение выражения logo 5 (2л: + 1) и, соответственно, уменьшается значение самой функции. Упражнения 175. Пользуясь определением логарифма, найдите: 2) а) logg 25; 1) а) logg 4; б) logg 81; в) logo 5 0,125; 27 г) logg — ; д) logons 8; е) *^ log4 J2 ; Ж)° Iogj3 б) log. 27; в) log^ 64; г) logo,25 16; Д) logg —; е)0 logg7 73; I0S372 о>125 176. Запишите в виде логарифма с основанием: 1)2; 2)i; 3)1: 4)4; числа: а) 1; 6)2; в)3; е)-2; ж)-3; з)0,5; 177. Решите уравнение: 1) log^32 = 5; 2) log,27==-3; г)0; 6)л:-Ы д)-1; и)|; к) -0,5; л) 3) log^ V5 =3; 4) log, V49 = -2. Ф Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 178. Решите уравнение^: 1) log2 (л: + 3) = 2; 2) logo 6 (^ - 5) = -2; 3) 0 log^ (л;2-Зя:-7) = 2; 4) 0 log^ (л:^ + 5лг + 2) =-6; Т 4)(f 1 =3. 3) 0 (3 - л/з )^ > 6; 4) 0 (Vl5 -3)^^6. 5) 0 log I (д: + 1) - logg (дс + 1) - 2 = 0; 6) 0 log 0,5 (Зд: - 1) + 3 logo 5 (3^ - 1) + 2 = 0. 179. Решите уравнение, пользуясь определением логарифма: 1) 2^ = 5; 3) 5^ + 1 = 2; 2) 0,5^ =7; 180. Решите неравенство: >3; 2) 7^ < 16; 181. В одной системе координат постройте графики функций. 1) ^ = logg д: и г/= logg дс. Используя графики, сравните числа: а) logg 5 и logg 5; в) logg (5 - 7l7 ) и logg (5 - Tl7); б) logg 0,9 и logg 0,9; г) logg (7з - 1) и logg (л/2 - 1). 2) у= logi X и Z/ = logi X. 2 3 Используя графики, сравните числа: а) logj 4 и logi 4; 2 3 б) logi 0,8 и logi 0,8; 2 3 в) logj (л/Г7 - 4) и logj (717 - 4); 2 3 г) logj (3 - л/2 ) и logi (3 - 72 ). 2 3 182.1)0 В одной системе координат изобразите схематически графики функций у = тл у = Ь^: а) при а > Ь > 1; б) при О < 6 < а < 1. ^ Принято обозначение log” Ь = (log^ b)'^. 10. Понятие логарифма 2) 0 В этой же системе постройте графики обратных им функций у = log^ X и у = logj, X. 3) 0 Используя графики, решите неравенство log^ X < log^, X. 4) # Сформулируйте правило сравнения логарифмов одного и того же числа. 183. ® Сравните: 1) log71, logs I и logs I; 2) log7 |, logg | и logg |. 184. Найдите область определения выражения: l)log5(7jc2-bl0x + 3); 5)0 log^^2 + Юл: + 3); 2) logg (7 + lOx - 17л:2); 6)° 1ое4,^.з(7+10д:-17ж2); 3)log3_2;,(2x + 3); 7)° 10g3x-2^3"^_,f; 4)log3_2:,(7-3x); 8)0 log , . 2 - - 4 - л: 3 185. Решите уравнение: 1)25^-8-5^-Ы5 = 0; з>(1Г-^-(1Г+б=о= 2)2^+ 10*2-^ - 7 = 0; 4)2*(0,1)^+10^ + 1-21 = 0; 5)# + Р = 0; 6) 3 • 4^ - 5 • 6^ + 2 • 9^ = 0; 7) 2^ + 1-3*2^ +5* 2^-1 = 15; /^in2jc-3 /л \х-1 «>(1) -2-(l ) -<-(|) 186.® Решите уравнение: l)log3(3"-8) = 2-x; 2)log4 (4-^ + 3) = л:-Ы. 187.® Найдите все значения а, при которых уравнение log2 (4^ - а) - х = 0 имеет: 1) единственный корень; 2) два корня. Ц 188. Решите неравенство: l)log5 (х + 2)>2; 5)0 1о0,^(д:2-Зд: + 4)<1,5; 2) logo 5 (х-2)< -2; 6)0 log^ (л:2 - 5л: - 6) > 6; 3) log^ (л:-Ь 2) < 4; 7)»log,.^(x + 2)>U 8)# log^^i (л:-2)<-1. Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 189. Выполнив эскизы графиков функций у = f{x) тл у = g{x), решите: 1) уравнение f(x) = g{x)\ 2) неравенство f(x) < g(x), где: а) fix) = logg л:, g(x) = 5 - х^; б) fix) = logj X, gix) = Jx -2 -2. Д 3 190. Решите неравенство, используя метод интервалов: 1о£б^ ' 2 - logei: О. logo.5^: + 2 2-log3:c ’ 3)0 ‘°go.4 ^-2 > Q Зл:2-10д: + 7 191. Решите неравенство: ..О 7x2- 1QJC + 3 ^ logo.9:c-2 ^ ’ 5)< х2 - 9х - 10 logo,9 ix^ - 9) ^0; 6)* io|5iiz£i) <0. х2 - Зх - 4 1)° (7- x) > 0; 7)# logg;, ix^ - 5x 4- 6) < 1; 2)0 log?-. (x- 3)>0; 8)® log^_i(x2 - 6x -b 9) < 1; 3)0 log,-3 (7- x) > 1; 9)* log,2.e,. g (x- 1)^ 1; 4)® x2 - 3 - <0; 10) • log,^*2 (3x-b6)^ 1; 5)# 10g^2_ q 1 (X -Ь4)>0; ll)*log,,**3. _4 (x 4) > 0; 6)^ log,-2 (x -f 10) <2; 12)* log^. + 4 (x2 -h 3x - 4) < 0 192.* Решите неравенство: 1) logg logi (х- 1) > 0; 3) logo 2 + 3) < -1; 2) logo,6 logo,5 1)>0; 4) logj logg (2х - 1) < -1; 3 5) * logo^glogj > 0; 6) * Iog3logo,2log32 > 0. Контрольные вопросы и задания 1. Запишите соотношение = Ь между числами а, 6 и с с помощью логарифма с основанием а. 2. Почему число 1 нельзя рассматривать в качестве основания логарифма? 11. Свойства логарифмов 3. В чём отличие свойств логарифмических функций с основаниями большими 1 и меньшими 1? 4. Решите: 1) уравнение log^ (х^ - 5х + 6) = -1; 2 о\ logsx - 2 . „ 2) неравенство ^ ^ ^ О. 5. Какие два случая надо рассмотреть при решении неравенства log_(7-д:) > О? Решите это неравенство. О 11. Свойства логарифмов В предыдущем пункте вы научились переходить от показательной формы записи равенств = Ь к логарифмической X = log^ Ь и обратно. Связь этих двух форм записи соотношения между числами а, Ь и х позволяет получить свойства логарифмов, основываясь на известных свойствах степеней. Рассмотрим, например, произведение степеней с одинаковым основанием: а^а^. Пусть = Ь и = с. Перейдём к логарифмической форме: х = log^ Ь и у = log^ с, тогда Ьс = ^ ^. От показательной формы равенства Ьс = ^ ^ перейдём к логарифмической форме: log„ (be) = log„ b + log„ c. Заметим, что в левой части формулы числа а и Ь могут быть отрицательными. Тогда формула будет выглядеть так: log„ (be) = log^ |Ь1 -Ь log^ \с\. Аналогично можно получить ещё два свойства для логарифмов частного и степени. Свойства логарифмов логарифм произведения log„ (be) = log^ \ Ь\ + log^ |с| Ъ логарифм частного Ч. логарифм степени =log^|b|-log^|c| logo bP=^plog^\b\ Последнее свойство даёт возможность вывести важную формулу, с помощью которой можно выразить логарифм с одним основанием через логарифм с другим основанием. Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ Пусть log^ Ъ = X. Перейдём к показательной форме = Ъ. Прологарифмируем это равенство по основанию с, т. е. найдём логарифмы с основанием с обеих частей этого равенства: log^ а^ = log^ Ь. Применяя к левой части свойство логарифма logc Ь степени, получим х log^ а = log^ Ь или х = log^a ’ откуда logcb Формула перехода логарифма от одного основания к другому log„b=|2S^ logc а Полезно запомнить частный случай формулы перехода, когда одно из оснований является степенью другого: log» Примечание. Все рассмотренные свойства и формула перехода «работают», конечно, только когда все входящие в них выражения имеют смысл. Рассмотрим несколько примеров уравнений и неравенств, в решении которых применяются свойства логарифмов. Пример 1. Решить уравнение logo х = S - 4 logo л/З + 3 logo 3. Решение. Используя свойства логарифма произведения, частного и степени «справа налево», представим правую часть равенства в виде логарифма с основанием 2: 3-4 logo 73 + 3 logo 3 = logo 23 - logo (73 )^ + logo 3^ = = log2^^;|^ = log2^^ = log2 (8*3) = log2 24. (73)^ 32 Мы пришли к равенству log2 х = log2 24. Потенцируя это равенство, т. е. находя число по известному его логарифму, получим JC = 24. Ответ: 24. 11. Свойства логарифмов X — 2 Пример 2. Решить уравнение logg + logg (х^ -4) = 4. X f ^ Решение. Выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны при л: < -2 и при х> 2. Этим условием определяется ОДЗ данного уравнения. Для всех значений х из ОДЗ к левой части уравнения можно применить свойство логарифма произведения: - 4) = logg ( (х^ - 4)] = X + 2 X + 2 = logs ^ По определению логарифма от равенства logg (х - 2)^ = 4 приходим к равенству (х - 2)^ = 3“^. Далее имеем х - 2 = ±9, х^ = 11^ Х2 = -7. Оба найденных числа входят в ОДЗ, а значит, являются корнями исходного уравнения. Ответ: -7; 11. IP Примечание 1.В левой части уравнения logg (л: - 2)^ = 4 можно было воспользоваться свойством логарифма степени: logg (х - 2)2 = 2 logg 1л: - 2| (модуль необходимо поставить, чтобы не потерять корни, при которых выражение л: - 2 принимает отрицательные значения). Вообще, полезно иметь в виду, что log^ fo2n = 2/1 log^ |Ь|, где п — целое число. IP' Примечание 2. Свойствами логарифмов в преобразованиях выражений с переменными следует пользоваться осторожно, поскольку они могут изменить область допустимых значений переменных. TeiK, например, применив в левой части рассмотренного уравнения свойства логарифмов частного и произведения, мы получили бы уравнение logg (л: - 2) - logg (л: + 2) 4- logg (х - 2)-h logg (х + 2) = 4, 2 logg (х-2) = 4, ОДЗ которого л: > 2 является лишь частью ОДЗ исходного уравнения. Продолжая 1>ешение, получаем: 1о&з(^~2) = 2, л:-2 = 9, л:=11. При таком решении корень -7 оказался «съеден» уменьшением или, как говорят математики, сужением ОДЗ. Понятно, что потерю корней нельзя обнаружить, проверяя оставшиеся корни. При решении уравнений желательно избегать сужения области допустимых значений. О Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ Пример 3. Решить уравнение 2 log^ 5-3 logs ^ = 1* Решение. Приведём логарифмы левой части уравнения к одному основанию: log^ 5 = logs 5 ^ 1 2 logsx logsx’ logs X 3 logs X = 1, поскольку X ^ 1, logs ^ 0 и умножение уравнения на logs ^ не нарушает равносильность преобразования 3 logf X logs л: - 2 = 0. Решая полученное уравнение как квадратное относительно logs получаем: logsXi = -l, = logsX2=|, X2=V^- Ответ: |• 5 В предыдущем пункте был поставлен вопрос о том, как вычислять значения логарифмов. Проще всего значение логарифма можно найти с помощью инженерного калькулятора. Как правило, калькуляторы позволяют непосредственно находить значения логарифмов на выбор по одному из оснований 10 или е « 2,7 (более близкое знакомство с числом е ожидает вас в следующем классе). Десятичные логарифмы (логарифмы с основанием 10) широко применялись в вычислительной практике в докомпьютерный период, а логарифмы с основанием е, так называемые натуральные логарифмы, используются в различных научных расчётах. Широкое распространение логарифмов с основаниями 10 и е дало им право на специальные обозначения: logjo а = Ig а, logp а = In а. На инженерном калькуляторе для вычисления значения десятичного логарифма имеется клавиша «log», для натурального логарифма — клавиша «1п». А для вычисления логарифмов с другими основаниями есть формула перехода. Пусть, например, нужно найти значение Ig 23,5. Набираем число 23,5 и нажимаем клавишу «log». Дисплей калькулято- ф 11. Свойства логарифмов W Калькулятор Правка Вид 2 ШИ I с Нек <• Dec /' Oct С Bin 1,37106786227173626920048050472471 {• Deg С Rad Gfad I Г Inv Г* Нц) Back СЕ Sta 1 F'E ■ , 1 MC| Ч 8 9 Antf Ave j dms Exp In j MR I 4 5 '*/ Or j Xof Sum| sin 1 tog 1 MS j 1 2 3 1 l '.h| Not --d cos x*3 nl j M+ 1 0 ♦/- Dat| tan угг цх| PI 1 A В c 0 E F Рис. 63 ра покажет число 1,37106786227173626920048050472471 (рис. 63), которое округляется с нужной точностью. Логарифмы, как средство для упрощения вычислений, были изобретены в начале XVII в. Титанический труд швейцарца И. Бюрги, шотландца Д. Непера, англичгшина Г. Бригса и голландца А. Влакка, составивших многозначные логарифмические таблицы, более 300 лет помогал людям выполнять различные вычисления. «Открытие логарифмов, — как сказал знаменитый французский математик, физик и астроном Пьер Лаплас, — удлинило человеческую жизнь, если оценивать её не числом прожитых лет, а количеством сделанной работы». Генри Бригс составил 14-значные логарифмические таблицы. С принципом их использования можно познакомиться на примере двузначной таблицы десятичных логарифмов, рассмотренной на с. 100. В этой таблице с двумя входами указаны значения десятичных логарифмов чисел от 1 до 9,9. Пусть, например, нужно найти Ig 6,4. Значение этого логарифма находим на пересечении строки 6 и столбца 0,4. Оно равно Ig 6,4 *0,81. Вычислим корень уравнения 2-^ = 3, с которого в предыдущем пункте был начат разговор о логарифмах: _ 1.^^ о __ 0,48 _ л а д=-1о§,3-— = — -1,6. Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,00 0,04 0,08 0,11 0,15 0,18 0,20 0,23 0,26 0,28 2 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,41 0,43 0,45 0,46 3 0,48 0,49 0,51 0,52 0,53 0,54 0,56 0,57 0,58 0,59 4 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 5 0,70 0,71 0,72 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,76 0,77 6 0,78 0,79 0,79 0,80 0,81 0,81 0,82 0,83 0,83 0,84 7 0,85 0,85 0,86 0,86 0,87 0,88 0,88 0,89 0,89 0,90 8 0,90 0,91 0,91 0.92 0,92 0,93 0,93 0,94 0,94 0,95 9 0,95 0,96 0,96 0,97 0,97 0,98 0,98 0,99 0,99 1,00 Не слишком большая точность, но ведь и таблица двузначная. В таблице нет значений логарифмов чисел, больших 9,9 и меньших 1. Однако таблицу можно использовать и для них. Так,например, Ig 438 = Ig (4,38 • 100) = Ig 4,38 + Ig 100 « Ig 4,4 -Ь 2 * 0,64 + 2 = 2,64 » 2,6. Ig 0,078 = Ig (7,8 • 10-2) = Ig 7,8 + Ig 10~2 « 0,89 -2 = = -l,ll*-l,l. P;;: Примечание. Заметим, что в обоих случаях число, стояв- шее под знаком логарифма, представлялось в стандартном виде: а • 10”, где 1^а<10ип — целое. При этом сам логарифм представлялся в виде суммы своей дробной и целой частей: Ig (а • 10") = Ig а -Ь п. Дробную часть десятичного логарифма называют мантиссой, а целую — характеристикой. Покажем теперь, как использовались логарифмы в вычислении значений выражений. Пример 4. Вычислить приближённо 0,632 0,575.7^ 11. Свойства логарифмов Решение. Обозначим буквой х данное выражение: 0,632 — ^ и прологарифмируем полученное равенство по 0,575-7^ основанию 10: lgAT = lg .=lg0,632-lg(0,57S-T^) = 0,57ii-723 = 2 Ig 0,63 - ^5 Ig 0,57 + I Ig 23 j = 2 Ig 0,63 - 5 Ig 0,57 - | Ig 23. Найдём значения логарифмов: Ig 0,63 « 0,80 - 1 = -0,20, Ig 0,57 * 0,76 - 1 = -0,24, lg23«0,36 +1 = 1,36 и подставим их в полученное выражение lgx«2*(-0,20)-5*(-0,24)-| -1,36« « -0,40 + 1,20 - 0,68 = 0,12. Наиболее близкие из значений, имеющихся в таблице 0,11 и 0,15, соответствуют Ig 1,3 и Ig 1,4, значит, Ig 1,3 < Ig JC < Ig 1,4 и 1,3 < X < 1,4. С помощью двузначной таблицы и нельзя было получить более чем две значащие цифры, однако все вычисления были устными. Проверяя результат с помощью калькулятора, находим X » 1,375. О т в е т: « 1,375. Упражнения 193. 1) Из каких свойств степеней получаются формулы: а) log^ - = log^ b - log„ с; б) log„ bP=p log^ b? 2) • Выведите эти формулы. 194. Вычислите значение выражения: 1) loge 2 + logg 3; 3) log^ 12 - log^ 4; 2) log 1 25 + log 1 9; 4) logg 12 + logo 5 15 15 &)• logg 10 -h log^ 100 - 0Д + logj_ 16; Л Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 6)® logg 49 • log^ 5 • log25 27; ?)• logg 4 • log4 5 • logg 6 • logg 7 • log7 8 • logg 9; 8)*log^_j (73 - V8)-log^^j (73 + VS). 195. Зная, что logg 2 = a, выразите через a выражение: 1) logg 16; 2) log^2; 5)°log2 6; 6)° loge 3; 7) * logg 2; 8) * logg 3; 9) “ log48 54. 196. ^ Найдите: 1) Ig 56, зная, что Ig 2 = a и logg 7 = 6; 2) loggg 8, зная, что Ig 5 = a и Ig 3 = 6. 197. ^ Найдите число a, зная, что: 1) logg a = 3 + 2 log^ 7 - I logg 16-4 logg 7; 2) logg a = log4 7 + 2 log^2 3 + 0,5 logg 5 7-2. 198. ® Найдите натуральное число n такое, что: 1) 32*35-38*...-33«-1 = 8110; 2) logg 3 • logg 4 • log4 5 «... • log„ (rt + 1) = 10. 199. ® He вычисляя значений логарифмов, докажите, что 2 < logg 2 + logg 3 < 3. 200. ® Найдите наименьшее значение выражения |log^ 7 + logy л:|. 201. ® Сравните числа: 1) logy 8 и logg 9; 2) logy 6 и logg 7. 202. При решении следуюш;их уравнений называйте свойства логарифмов, которые вы используете в преобразованиях, и подумайте, изменяют ли выполняемые преобразования ОДЗ (и если да, то как): 1) logg л: + log4 X + logg л: = 11; 2) logg (Здс - 2) + logg (х-7) = 2 + logg 2; 3) logg (4 • 3^ - 6) - logg (9^ - 6) = 1; 4) log^5 (4^ - 6) - log^ (2^ - 2) = 2; 11. Свойства логарифмов 5) log^ 9 + log^2 729 = 10; 6) 0 logio X + logy^ X + log.^^ д: + ... + log ’Vio loyio X = 5,5; ^ ^ + 10^6^ ;c + ... + logjg^ ДГ = 36; 8) 0 Ig (5^ + X - 20) = X - X Ig 2; 9) 0 3 logs 2 + 2 - д: = logg (3^ - 52-^); 10) 0 logg (81^ + 32^) = 3 log27 90; 11) 0 logj 3 - logi 2 - 0,5 = 0; 12) 0 log^^^ j 7 + logg^ 7 = 0; 13) 0 2 log^ 27-3 log27 д: = 1; 14) 0 iQg^ log^ + log^ log^ x = 2; 15) # logg X • logg JC • log27 • loggi x = 16) # Зд: - logg 8^ = logg (33^ + x2 - 9); 17) # log^216 + log2д. 64 = 3; 18) ® log^ (9д:2) • log| д: = 4. 203. Решите уравнение, логарифмируя обе его части: Ig X + 5 1) д:1е^ = 10 000; 2) + 2 _g. 3) д: 4) д:1-1г^ = 0,01; 5) =9; 6) д:^°®2 ^ = 4дл. 204. ® Решите устно уравнение 2iog3^=" . 5iog3^ =400 .log3 X - 4 _ 1 27 7) д: 3 =io5 + ig^; 8) 102^+1 = 7^; 9) 2^ = 3^-2; 10) 0 5x+i = o,2*32^ + 1; !!)• д:"'^ = (”л/^ )^ при д: > 0; 12)# д:1ое9(^ + 3) = 5iog3^. 205. 1) Сравните выражения ^ и “ . 2) На основании сформулированного вывода решите уравнение: a)5ig^ = 50-дг1б5; б) 25‘^^ = 5 + 4д:>^5^ Глава 3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 20бР Решите уравнение: 1) 21g x^-\g^ i-x) = 4; 2) 31g x^ - lg2 (-x) = 9. 207. Решите неравенство: 1) ^ log^ (x + 27) - log„ (16 - 2x) < log^ x; 2) 0 log^ _ ^ (2л: + 3) + log^ _ ^ (4 - л:) < log^ _ i (2 “ Зл:); 3) 0 log^ _ 3 (2 - 7л:) - log^ _ 3 (2 - Зл:) > log„ _ 3 (JC + 4); 4) 0 logs (3* - 1) • logj ^3* - 2 - i j > -3; 5) 0 logs (4* + 1) + log4, 4 , 3 > 2,5; 6) 0 log4 logg X + logg log4 ^ 0; 7) # log^ (л: + 1) < logi (2 - л:); X 8) # log,log2 (4^-12K 1; 9) # logo 5 -1 9 > 0; 10) # log3 log^2 ^og^zx^^ > 0. 208^ Решите систему неравенств: 1) 2) 25^-30*5^+125 ^ О, log^ (л: - 1) • log^ (л: + 1) ^ 0; x2 log25 X ^ log25 + л: logg X, 5^ + 5-^ ^ ^ ; 3) i ----------- < - » _ 3.2^ + 2 6 logi ( 2^“ ^“2’ 4) 8 *4^-65 *2^^ 0, log|^l x^ + log3 x2 ^ 18. 11. Свойства логарифмов 209. 1) С помощью двузначной таблицы логарифмов найдите приближённые значения выражений: 0,043У^. 0,632 12 а) 7,20>^ . ТзТэ ’ в) Д) 0,83Vl3 1. 2. 3. 4. б) 4,8 . 75,4-3’ г) V441 е) - 0,78V^ Vo,67 2) ® Найдите с помощью калькулятора значения этих выражений с четырьмя верными значащими (кроме нулей в начале записи числа) цифрами. Контрольные вопросы и задания Что происходит с ОДЗ при замене log^ (х{х + 3)) на logg X + log^ {х + 3)? Что происходит с ОДЗ при обратной замене? В каком случае могут потеряться корни? В каком случае могут образоваться посторонние корни? В каком случае при замене log^ {х + 4)*^ на clog^ (л: + 4) может произойти изменение ОДЗ? Могут ли при этом преобразовании появиться посторонние корни? Решите уравнение logg х^ -I- logg х - logg^ х = 1. Как с помощью таблицы значений десятичных логарифмов найти значения логарифмов чисел, больших 10? Найдите с помощью двузначной таблицы логарифмов Ig 0,0057. ШВШ8№№М>1Ш ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Слово «тригонометрия» произошло от двух греческих слов «тригонон» — треугольник и «метрео» — измеряю, и его можно перевести как знакомое вам по курсу планиметрии «решение треугольников». При решении прямоугольного треугольника вы впервые встретились с синусом и косинусом острого угла. В этой главе вы расширите своё знакомство с синусом, косинусом, а также познакомитесь еш,ё с двумя тригонометрическими функциями: тангенсом и котангенсом. ю 12. Угол поворота В курсе геометрии нам было достаточно углов, не превосхо-дяш;их 360°. Иначе обстоит дело в ряде задач механики, связанных с врапдательным движением. В этих задачах часто используют понятие угловой скорости врапдения — угол поворота в единицу времени. На рисунке 64 изображён проигрыватель грампластинок. В зависимости от положения переключателя грампластинка совершает 33, 45 или 78 оборотов в минуту. Найдём, на какой угол поворачивается пластинка за 1 с при каждом из положений переключателя. Учитывая, что один оборот — это поворот на угол 360°, имеем: 33 об/мин = 33 • 360' 45 об/мин = 60 с 45 • 360' = 198 град/с. 78 об/мин = 60 с 78 • 360' = 270 град/с. 60 с = 468 град/с. В последнем случае угол, на который поворачивается диск проигрывателя за 1с, оказался больше 360°. В технике часто встречаются Рис. 64 12. Угол поворота скорости вращения, достигающие сотен оборотов в секунду, поэтому приходится рассматривать углы, во много раз превышающие 360°. Так, например, лазерный диск, пришедший на смену грампластинке, вращается со скоростью до 900 об/мин, а диски в винчестере современного персонального компьютера — со скоростью 15 000 об/мин. Пусть, двигаясь по окружности, точка перешла из начального положения А в конечное положение В (рис. 65). При этом она повернулась вокруг центра окружности на некоторый угол. Обозначим угол поворота через а°, начальную точку поворота через Pq и конечную точку поворота через Р„о (рис. 66). Однако знать начгшьную и конечную точки поворота ещё недостаточно, чтобы однозначно определить величину угла а°, так как неизвестно, сколько оборотов и в каком направлении (по часовой стрелке или против) совершила точка. На рисунке 67 изображено несколько вариантов возможного перемещения точки. Очевидно, что существует бесконечно много подобных поворотов. Условились считать i/глы поворота против часовой стрелки положительными, а по часовой стрелке — отрицательными. Так, на рисунке 67, а угол поворота равен 120°, на рисунке 67, б изображён поворот на угол -240°, а на рисунке 67, в поворот состоит из двух полных оборотов против часовой Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА стрелки и поворота на угол 120°, значит, угол этого поворота равен 120° + 360° • 2 = 840°. Заметим, что любые два поворота с начальной точкой Pq и конечной точкой Р^о отличаются друг от друга на целое число полных оборотов, т. е. на 360° • п, где п — целое число. В рассмотренном случае общий вид углов а° будет равен 120° + 360° • п, где п — любое целое число. С Общий вид углов поворота с конечной точкой а° + 360° • п (л — любое целое число). 3 Подставляя в выражение а° + 360°* п вместо п числа ±1, ±2, ±3 и т. д., будем получать углы, повороты на которые имеют одну и ту же конечную точку Р^о. Упражнения 210. Приведите несколько примеров вращательного движения. 211. Барабан стиральной машины в режиме отжима может совершать или 400, или 600 оборотов в минуту. Найдите, с какой угловой скоростью вращается барабан в каждом из этих случаев. 212. ^ Сравните значения угла поворота минутной и часовой стрелок часов за: 1) 20 мин; 3) 1 ч 20 мин; 5) 40 ч 30 мин; 2) 2 ч 45 мин; 4) 7 ч 10 мин; 6) 10 ч 40 мин. 213. ® Два ученика, наблюдавшие за проехавшим велосипе- дистом, поспорили. Один заявил, что колёса велосипеда вращались по часовой стрелке, а другой — что против. Могут ли они оба быть правы? 214. ^ Ведущая и ведомая звёздочки одной из моделей велосипеда имеют соответственно 40 и 15 одинаковых зубьев (рис. 68). На какой угол повернётся ведомая звёздочка, если ведущая повернётся на угол: 1) 360°; 2) 540°? 12. Угол поворота 215. Представьте угол в виде а° + 360®л, где п — целое число и 0° < а® < 360®: 1) 840®; 3)-170®; 5)3200®; 7)-2450°; 2) 1200®; 4)-390®; 6)3500®; 8)-3100®. 216. 1) Представьте угол в виде а® + 360®л, где п — целое число и-180® < а® < 180®: а) 700®; 6)3500®; в)-470®; г)-2890®. 2) С помощью транспортира постройте на окружности начальную и конечную точки поворота на данный угол. 217. ^ Выпишите все углы, модули которых не превышают 1000°: 1) 40® + 360®л; 2) -70® -Ь 360®л (л — целое число). 218. 1)^ Постройте точку Рдо»— конечную точку поворота на угол 30®. Постройте: а) квадрат; б) равносторонний треугольник с вершинами на окружности так, чтобы одной из вершин была точка P^qo. Для каждой из вершин укажите общий вид углов поворота с конечной точкой в этой вершине. 2) • В каждом случае задайте одним выражением общий вид всех таких углов. 219. ® 1) Постройте окружность с центром в начале коорди- нат. За начальную точку поворота возьмите точку её пересечения с осью абсцисс. Постройте точку — конечную точку поворота на угол 70®. 2) Постройте точку Рро — конечную точку поворота на угол Р® так, чтобы точки Р^до и Рро были симметричны: а) относительно оси абсцисс; б) относительно оси ординат; в) относительно начала координат. 3) Для каждого случая укажите: а) наименьшее по модулю значение Р; б) наименьшее положительное значение р. 220® По окружности в противоположных направлениях движутся две точки, одна с угловой скоростью 30 гра-дус/с, другая — 45 градус/с. 1) Какое время проходит между двумя последовательными встречами точек? 2) Сколько всего точек встречи? 3) Через какое время после встречи обе точки снова встретятся в том же самом месте? Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания Укажите какой-нибудь отрицательный угол, поворот на который имеет ту же конечную точку, что и поворот на угол 100°. Укажите общий вид углов, поворот на которые имеет конечную точку Р1950. Постройте с помощью транспортира конечные точки поворотов на углы 145°, 215° и -250°. О 13. Радианная мера угла Уже в Древнем Вавилоне задолго до нашей эры углы измеряли в градусах. Градус, как вы знаете, — это 7;^ часть полно- ооО ГО оборота. Иногда такая единица измерения оказывается слишком большой. Так, например, в артиллерии при указании цели углы измеряют в тысячных (шеститысячных долях полного оборота), которые были введены во Франции в конце XVIII в. В этом пункте вы познакомитесь еш;ё с одним способом измерения углов, который наиболее часто применяют в математике. Рассмотрим центральный угол в а°, которому соответствуют дуги двух произвольных концентрических окружностей: дуга длиной и дуга А2В2 длиной Zg (рис. 69). Обозна- чим радиусы этих окружностей соответственно через и i?2- Фигуры AjOBj и А2ОВ2 подобны, поэтому отношение длины дуги, соответствующей центральному углу в а®, к радиусу окружности не зависит от размера окружности, а зависит только от величины угла а°. Следовательно, частное 4 можно R использовать для определения величины соответствующего центрального угла. В том случае, когда длина дуги равна радиусу окружности 1 = 1 мы получаем угол в 1 радиан — единицу радианной меры угла. Рис.69 13. Радианная мера угла Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан. Чтобы установить связь между градусной и радианной мерами одного и того же угла, рассмотрим центральный угол в 180°. Он опирается на половину окружности — дугу длиной TzR nR. Радианная мера этого угла равна рад. Таким обра- н зом, 180° = я рад. Разделив обе части равенства на 180, получим, что 1° = -|тг рад. И наконец, умножив это равенство 1о0 на а, получим: а° = рад. 180 Аналогично, из равенства я рад = 180° можно получить формулу перехода из радианной меры в градусную: ^рад а 180° я Г Формулы перевода градусной меры в радианную и обратно а 180^ пятт п. = 180 о «я а° = ттгтг рад ^'рад Пример 1. Выразить в радианах величину угла: 30°, 40°, -480°. Решение. Воспользуемся формулой (1): ОГ40 30 • я я 40 • я 2я 30» =— = - рад, 40» =— = - рад, -480 • Я о 2 я 2я о2 OTBBT.g,-,-2-д. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Пример 2. Выразить в градусах величину угла: л Зя л. - , у , -6 радиан. Решение. Воспользуемся формулой (2): я 3 я_____ я • 180® аг\о Зя Зя • 180° оггло о рад = о ^ = 60®, — рад =—------------- = 270®, tj * К А ^ * TZ -6-180® -6-180' о..с -о рад = --------- « —:г-г-;— * -344 3,14 Ответ: 60®, 270°, -344®. Как отношение одноимённых величин, радианная мера угла является числом^ поэтому обозначение рад обычно не указывают, записывая просто ^ = 60®, 270°= ^, -30° = 3 2 6 ИТ. п. Таким образом, радианная мера позволяет использовать действительные числа для измерения углов, что особенно важно в математике, имеюш;ей дело с числовыми множествами. ▼ Радианная мера углов позволяет значительно упростить многие формулы физики и математики. Выразим, например, с помош;ью радианной меры угла зависимость между угловой (со) и линейной (у) скоростями равномерного движения по окружности. Пусть за ^ с материальная точка проходит по окружности радиуса R путь, равный I, и совершает при этом поворот вокруг центра окружности на угол ф. Тогда линейная скорость точки у = I, а угловая её скорость со = ^ . Из равенства Ф = 4 находим, что I = фЯ. Подставим произ-R ведение фЛ вместо I в формулу линейной скорости: у = ^ = = coi?. А Линейная скорость равномерного движения по окружности равна произведению угловой скорости на радиус окружности у = соЛ. 13. Радианная мера угла Градусная мера углов обычно применяется при решении практических задач. Упражнения 221. Переведите угол из градусной меры в радианную: 1) 0°; 3)20°; 5)125°; 7)-225°; 2) 1°; 4)45°; 6)185°; 8)-375°. 222. Переведите угол из радианной меры в градусную: 1)п; 4) -0,3л; 2)f; 5)|: 8)1,8л; 3) 0,2л:; 6) 2Tt; 9)2. Р Переведите угол из градусной меры в радианную, пред ставляя результат в виде произведения kiz, где k — раци опальное число: 1)36°; 4)265°; 7) 870°; 2) 48°; 5)-120°; 8) 1020°; 3) 225°; 6)-135°; 9)-2510°. 224.^ Запишите в таблицу радианные меры ф указанных углов а°. а° 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 330° 360° Ф 225.^1) На рисунке 70 в окружности проведены 8 диаметров. Скопируйте рисунок в тетрадь. У концов диаметров укажите углы поворотов в градусной и в радианной мере. 2) Укажите углы конечных точек поворотов, которые симметричны относительно: а) горизонтального диаметра; б) вертикального диаметра. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 226.Зная, что « 0,0175, переведите в радианную меру 1о0 величины углов: 1) 20°; 4)-100°; 7)1030°; 2) 50°; 5) 250°; 8) 1300°; 3) -80°; 6)310°; 9)-1600°. 227. Окружность морского компаса делится на 32 равные части, называемые румбами. Выразите румб в градусах и радианах. 228. Углы треугольника относятся как 1:2:6. Найдите их величины в радианах. 229. Выразите в радианах угол, опирающийся на дугу длины 2,15 м окружности, радиус которой равен 1,24 м. 230. 1) Вычислите площадь кругового сектора, угол которого равен 1,32 рад, а радиус 2,26 м. 2) Площадь кругового сектора равна 0,38 м^. Найдите угол сектора в радианах, если радиус круга равен 1,52 м. 231Переведите из радианной меры в градусную, взяв я«3,14: 1) 0,25; 3)-1,625; 5)1,15; 7)-4,382; 2) 3,45; 4)5,285; 6)2,64; 8)7,168. 232. Напип1ите общий вид углов поворота вокруг начала координат, переводящих точку Р(1; 0) окружности с центром в начале координат и радиусом, равным единице, в точку: 1) М(0;1); 2)ЛГ(0;-1); 3)К(-1;0). 233. Найдите угловые скорости часовой, минутной и секундной стрелок часов (в рад/с). 234. 1)0 с какой угловой скоростью со (рад/ч) Земля вращается вокруг своей оси? 2) • С какой линейной скоростью v (км/ч) при этом движется точка экватора Земли, отстоящая от оси на расстояние 6370 км? Выполните вычисления с помощью двузначной таблицы логарифмов (см. с. 100). 235. Шкив скоростного электродвигателя делает 120 000 оборотов в минуту. Определите угловую скорость вращения этого шкива: 1) в градусах в секунду; 2) в радианах в секунду. 14. Синус и косинус любого угла 236.Что означает слово «радиальная» в словосочетаниях «радиальная линия метро», «радиальная планировка города»? 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания Что такое угол в один радиан? Выразите: а) в градусах 1,2л, -0,7л; б) в радианах 64°, -145°. Постройте на окружности начальную и конечную точки пово- рота на угол; 135°, 4 6 О 14. Синус и косинус любого угла При решении прямоугольных треугольников находят синус и косинус острых углов. В теоремах синусов и косинусов для косоугольных треугольников появляются и тупые углы. Теперь нам предстоит находить синусы и косинусы произвольных углов, с которыми вы познакомились в двух предыдущих пунктах. Но сначала напомним, как определяется синус и косинус острого угла в прямоугольном треугольнике (рис. 71). Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. о о. sin а® = -. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. cos а'" = -с Полезно помнить значения синусов и косинусов некоторых острых углов. а® 30° 45° 60° л л л Ф рад 6 4 3 sin ф 1 72 7з 2 2 2 cos ф V3 72 1 2 2 2 Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Рис.72 Рис. 73 Синус и косинус произвольного угла придётся определять по-другому. Рассмотрим для этого единичную окружность — окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Пусть, двигаясь по этой окружности, точка перешла из начальной точки Pq (1^ 0) ® конечную точку (рис. 72). Положение точки можно определить двумя способами; указав величину угла (р или указав её координаты хиув данной системе координат. Для углов от о до ^ (от 0° до 90°) координаты точки Р^ най- дём из прямоугольного треугольника P^JCO (см. рис. 72), гипотенуза которого равна 1: X = cos ф, у = sin ф. Равенства остаются верными для любых углов, если определить косинус и синус следующим образом. Синусом угла ср называется ордината конечной точки поворота точки (1; 0) вокруг начала координат на угол ф. у = sin ф Косинусом угла ф называется абсцисса конечной точки поворота точки (1;0)вокруг начала координат на угол ф. X = cos ф Таким образом, абсцисса любой точки единичной окружности равна косинусу, а её ордината — синусу соответствующего угла (рис. 73). Рассматривая ф как переменную, заметим, что любому её значению соответствует единственное значение выражения 14. Синус и косинус любого угла COS ф и единственное значение выражения sin ф. Следовательно, формулы X = cos Ц)иу = sin (р задают функции переменной ф. Пример 1. Найти синус и косинус угла 310°. Решение. Построим единичную окружность с центром в начале координат. Точка Pq(1; 0) — начальная точка поворота (рис. 74). Поворот на угол 310° можно заменить одним полным оборотом на 360° и поворотом на угол -50°: 310° = 360° - 50°. Отложим от начальной точки Pq с помош;ью транспортира угол, равный —50°, и найдём координаты точки Р^ю^ — конечной точки поворота на угол 310°: х » 0,64, у « -0,77. Ответ: cos 310° » 0,64, sin 310°« -0,77. В зависимости от величины угла конечная точка может оказаться в любой из четырёх координатных четвертей. По положению конечной точки углы называют углами I, II, III или IV четверти. В рассмотренной задаче конечная точка находилась в IV четверти (см. рис. 74), значит, 310° — угол IV четверти. Пример 2. Найти приближённо углы, косинусы которых равны 0,8. Решение. Косинус — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку С(0,8; 0) (рис. 75). Эта прямая пере- Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА секает единичную окружность в двух точках: Р^о и Рро, симметричных относительно оси абсцисс. С помощью транспортира находим, что угол а° приближённо равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой P^ol а° ж 37° + ЗбО°л, где п — любое целое число. В силу симметрии относительно оси абсцисс точка Рр» — конечная точка поворота на угол -37°. Значит, для неё общий вид углов поворота: р° « -37° + 360°/г, где п — любое целое число. Ответ: 37° -f ЗбО°п, -37° + 360°л, где п — любое целое число. Пример 3. Найти утлы, синусы которых равны 0,5. Решение. Синус — это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку Р>(0; 0,5) (рис. 76). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: Р^ и Р^_^, симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике ОКР^ катет КР^ равен половине гипотенузы ОР^, значит, ср = ^ . Общий вид углов поворота с конечной точкой Р^: ^ + 2тш, 6 где п — любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой Р, Л-ф я - ^ -f 2шг = ^ -Ь 2т1П, 6 6 где п — любое целое число. Ответ: ^ + 2яп, ^ + 2-кп, о о где п — любое целое число. ф 14. Синус и косинус любого угла Упражнения 237.1) Даны координаты точки единичной окружности. Укажите sin а и cos а: •чИ'- »)if i-i ,, 3 4 2) В какой координатной четверти расположена каждая точка? 238.Определите, в какой координатной четверти находится Рд — конечная точка поворота на угол а и каковы знаки cos а и sin а, если угол а равен: 1) 260°; 4)480°; 7)8760°; 2) 290°; 5)-915°; 8)8000°; 3) 565°; 6) -825°; 9) -9000°. 239.Используя рисунок единичной окружности, определите знаки cos Р и sin р, если: 1) °P=f; 2) 0 Р =-1,6л; 3) °Р = -^; 4) °р = 1,2л; 5) *р = 5,5; 6) * р = 4,8. 240.* С помощью единичной окружности найдите; 1) sin 1115°; 3) sin (-2120°); 2) cos 1490°; 4) cos (-2030°). 241. Найдите общий вид углов, для которых число 1)0,4; 3)-0,6; б)-| 2)0,7; 4)-0,3; является: а) синусом; б) косинусом. 242. В каких координатных четвертях знаки синуса и косинуса: 1) совпадают; 2) противоположны? 243. Постройте точку и найдите cos а и sin а, если: 1)а°=72°; 2) а° = 320°; 3) а° = 105°; 4)а° = 215°. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 244Р Найдите углы: 1) синус которых равен: 2) косинус которых равен: а) 0,5; а) 0,5; б) -0,5; б) -0,5. 245. Найдите значение выражения: 1) 3 sin 90° - 2 cos 270°; 4) 2 sin 270° - 3 cos 180°; 2) 4 cos 0° - 3 sin 270°; 5) 3 cos 270° + 5 sin 0°; 3) sin - - cos - ; ry \ • 3 7Г 6) Sin — cos Ж. 246- Для каких углов от 0° до 360"^: 1) ^ синус равен косинусу; 2) ^ синус противоположен косинусу; 3) ^ синус и косинус имеют равные модули; 4) ® синус больше косинуса; 5) • синус меньше косинуса? 247.^ Заполните таблицу. a° 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° Ф 0 n 6 я 4 я 3 sin Ф 0 1 2 72 2 73 2 cos Ф 1 73 2 72 2 1 2 a° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° Ф sin Ф cos Ф 248.*Найдите углы треугольника х, у и z в радианах, если sm X sm у sin z 1 V3 2 14. Синус и косинус любого угла 249. Имеет ли смысл выражение: 1) 0 Vsinl65°; 2) 0 Ig sin 195°; 3) 0 logons cos 243°; 4) 0 Vcos287°; 6)^ logo COS ^ ; 11л ?)• Vsin40° - cos40° ; 8) ® logo 6 50°); 9) ^ In (sin 1 - cos 1); 10)® л/sin 7 - cos 7 ? 250P Укажите все значения ф из промежутка [0; 2л], для которых верно равенство: 1) зшф=1; 3)зшф = -1; 2) созф = 1; 4)созф = -1. 251.0 Запишите общий вид углов ф, для которых верно равенство: 1)зшф = 0; 2)созф = 0. 252^ Укажите все значения ф, при которых не имеет смысла выражение: 1) ЗШф ^ СОЗф ’ 24 С08ф , ■' ЗШф ’ 3) 4) С05ф . 1 - ЗШф’ ЗШф 1 + ЗШф 6)* 1 - ЗШф 1 -I- СОЗф ’ 253Р Объясните, как получена цепочка равенств: ч ч л 5л 9л [ Зк\ (in 1) cos - =C0S Y =cos — =C0S -у =cos Y 2) sin Л = sin (-Л) = sin Зл = sin (-Зл). 254.1) Сравните числовые значения: \0 • ^ . / л а)^ sin - и sin --о \ о й\0 л / л б)^ cos - и cos --о 1 о 1. 2. 3. 2) • Какие предположения о последствиях изменения знака аргумента синуса и косинуса можно высказать? Контрольные вопросы и задания Что называется синусом и косинусом любого угла ф? Выполнив необходимые построения и измерения, найдите косинус и синус угла 150°. В какой четверти находится каждый из следующих углов 0,8л, 1,3л, 1,7л? Какие знаки имеют его синус и косинус? Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА О 15. Тангенс и котангенс любого угла В курсе геометрии вы познакомились с тангенсом острого угла, равным частному синуса и косинуса этого угла: sincp coscp с помощью этого равенства можно определить тангенс любого угла ф, косинус которого отличен от нуля. Тангенсом угла называется частное синуса и косинуса этого угла, sin Ф tg(p = cos Ф Для углов, косинусы которых равны нулю, т. е. углов вида ^ -f лл (л — любое целое число), тангенс не существует. Косинус и синус любого угла изображаются как абсцисса и ордината соответствующей точки единичной окружности. Единичная окружность поможет и при изображении тангенса. На рисунке 77 к единичной окружности в точке Pq проведена касательная; — конечная точка поворота на угол ф; С — точка пересечения касательной и прямой ОР^. 15. Тангенс и котангенс любого угла Ордината точки С равна тангенсу угла ф, ▼ Докажем это. Заметим сначала, что tg ф и ордината точки С одинаковы по знаку. Так, если — точка I или III координатной четверти, то cos ф и sin ф или оба положительны (рис. 77, а), или оба отрицательны (рис. 77, в). Значит, их частное tg ф положительно. Точка С в этих случаях расположена в верхней полуплоскости и, следовательно, имеет положительную ординату. Если же точка находится во II или в IV координатной четверти, то знаки cos ф и sin ф различны (рис. 77, б, г), следовательно, tg ф отрицателен. Точка С при этом находится в нижней полуплоскости и имеет отрицательную ординату. Остаётся показать, что IPq^I ф|- Это равенство следует из подобия треугольников PqOC и -DOP^ (см. рис. 77): l^o^l _|-РЛ|)| _|sin ф| 1 \OD\ |cos ф| |tgф|. Итак, утверждение доказано. А С Касательную, проведённую к единичной окружности в точке Pq, называют осью тангенсов. 3 Наверное, поэтому математик Т. Финк в конце XVI в. назвал отношение синуса к косинусу «тангенсом», что в переводе с латыни означает «касающийся». Прямая ОС проходит через начало координат, её уравнение, как вы знаете, у = kx. При X = 1 получаем у = к,т. е. угловой коэффициент прямой у = kx равен ординате точки С. Значит, fe = tg ср. Угол ф, образованный в верхней полуплоскости прямой у = kx VI лучом Ojc, называют углом наклона прямой. Такие же углы образуют с положительным направлением оси абсцисс все прямые у = kx + Ь: угловой коэффициент прямой у = kx + Ь равен тангенсу её угла наклона. В тригонометрии наряду с синусом, косинусом и тангенсом рассматривают котангенс угла. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Котангенсом угла называется частное косинуса и синуса этого угла. л Ctg«f _ С08ф sin(p Это равенство позволяет определить котангенс любого угла, синус которого отличен от нуля, т. е. Ф ^ тел, л — любое целое число. Пример 1. Найти тангенс и котангенс угла 220°. Решение. Построим единичную окружность с центром в начале координат и проведём ось тангенсов. Отметим на окружности с помощью транспортира точку -Ргго» (220° = 360° - 140°). Через точку ^220“ ** начало координат проведём прямую — она пересечёт ось тангенсов в точке С (рис. 78). Ордината этой точки приближённо равна 0,84. Значит, tg 220° «0,84. Заметив, что , _ cos ф 1 1 ctg(p=----^ = sin ф sin ф cos ф найдем: ctg 220° = tg 220° 0,84 О т в е т: tg 220°« 0,84, ctg 220° « 1,2. tg Ф ’ «1,2. Можно было для вычисления значения котангенса воспользоваться осью котангенсов (рис. 79). Абсцисса точки 15. Тангенс и котангенс любого угла пересечения прямой, касающейся единичной окружности в точке (0; 1), с прямой равна котангенсу угла ф. Доказательство этого факта аналогично доказательству, проведённому для оси тангенсов. Пример 2. Найти общий вид углов, тангенс которых равен -1,2. Решение, Отметим на оси тангенсов точку С с ординатой, равной -1,2, и проведём прямую ОС. Прямая ОС пересекает единичную окружность в точках Р^о и Рр» — концах одного и того же диаметра (рис. 80). Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т. е. на 180°/г {п — целое число). С помощью транспортира находим, что угол P^oOPq равен -50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен -1,2, следующий: -50° -I-180°/1 (л — целое число). Ответ: -50° + 180°/г, п & Z. По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например, 1 оно _ sin30° _ 2 _ 1 7з "cos3o»-^-:^-T-2 Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов. С(1;-1,2) Рис. 80 а° 30° 45° 60° л л л Ф рад 6 4 3 tgф 7з 3 1 л/З Ctgф 7з 1 V3 3 Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Упражнения 255. Даны координаты точки на единичной окружности. Вычислите sin а, cos а, tg а, ctg а: 2 «||^# 256. Определите знак выражения: l)tg 148°; 7) ctg 5 tg ^ ; 2) ctg 248°; 8)tg^ ctg^; 3) ctg 348°; 9)0 tg 68° - sin 68°; 4)tg 548°; 10)0 tg 125° +sin 125°; 5) tg230° sin 130°; 11)0 j 1,77i; 6) cos 285° ctg 185°; 12)0 i^2n + sin 1,271. 257. В каких координатных четвертях синус и тангенс име- ют: 1) одинаковые знаки; 2) разные знаки? 258. 1) В каких четвертях тангенс и котангенс: а) положительны; б) отрицательны? 2)^ Могут ли тангенс и котангенс одного угла иметь разные знаки? 259. С помощью оси тангенсов найдите: 1) tg72°; 3)tgl26°; 5)^ ctg 215°; 2) tg40°; 4)tg310°; 6)^ ctg 165°. 260. ^ Найдите общий вид углов, тангенс которых равен: 1)1,3; 2)0,7; 3)-0,4; 4)-1,7. 261Для каких углов от 0° до 360°: 1) тангенс равен котангенсу; 2) тангенс противоположен котангенсу; 3) тангенс больше котангенса; 4) тангенс меньше котангенса? 262.® Докажите, что синус острого угла меньше тангенса того же угла. 15. Тангенс и котангенс любого угла 263Р С помощью единичной окружности определите, имеет ли смысл выражение: 1) Vtg 2 ; 2)lgtg4; 3) Vtg 5 ; 4)lgtg6. 264.^ Докажите, что абсцисса точки пересечения прямой OP^p с осью котангенсов равна ctg ф. 265Р Заполните таблицу. 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° Ф 0 п 6 п 4 tgФ 0 7з 3 1 — Ctgф — л/З 266. Вычислите: 1) tg7i*cos 1; 3) cos ^ + tg 1; 2) ctg 1 + tg ^ ; 4)2cosf-i 267. Проверьте справедливость равенства cos 30° + tg 45° - 1 = ctg 60° (1 + sin^ 45°). 268. ® Найдите все углы ф, при которых верно равенство: l)tgф = 0; 2)ctgф = 0; 3)tgф = l; 4)tgф = -l. 269. ® Найдите все углы ф из промежутка [0; 2ti], для кото- рых верно равенство: 4) tgф = -^ ; 1) tgф= 73; 2) ctg ф = л/З ; 5) Ig tg ф = Ig sin ф — Ig cos ф; 3) tg ф = - л/З ; 6) Ig ctg ф = Ig cos Ф - Ig sin ф. 270.® Укажите все углы ф, для которых не имеет смысла вы- ражение: 2) ctgф ’ 3) 4) tgф - 1 ’ 1 . tgф + 1 ’ 5) Ig tg ф; 6) Ig ctg ф. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 271 .• Запишите уравнение прямой, если известно, что она проходит: 1) через начало координат; 2)через точку с координатами (0; 3) и её угол наклона равен: а) 30°; 6)45°; в) 120°; г) 135°. 272. Что больше: 1) sin 1° или sin 1; 3)^ sin 15° или sin 15; 2) tg 1 или tg 2; 4)0 cos 3 или cos 4? Д| Контрольные вопросы и задания 1. Что называется тангенсом и котангенсом любого угла ф? 2. При каких значениях ф выражение ctg ф tg ф не имеет смысла? Докажите, что равенство ctg ф tg ф = 1 верно при всех допустимых значениях ф. 3. С помощью оси тангенсов найдите tg (-40°). ■э 16. Простейшие тригонометрические уравнения В предыдущих пунктах вы уже находили угол по значению его синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Уравнения вида sin ф = о, cos ф = а, tg ф = а, ctg ф = а называются простейшими тригонометрическими уравнениями. В дальнейшем будут встречаться различные тригонометрические уравнения, однако все они в процессе решения будут сводиться к простейшим. Естественно поэтому сначала выяснить, как решаются простейшие тригонометрические уравнения. Уравнение sin q; = а Прямая у = а при -1 < а < 1 пересекает окружность в двух точках и (рис. 81). Число ф, принадлежащее промежутку синус которого равен а, называют арксинусом а. Обозначение: arcsin а («агс» означает «дуга». 16. Простейшие тригонометрические уравнения а целиком «arcsin а» можно перевести как «угол, синус которого равен а»). Из рисунка 81 видно, что уравнение sin ф = а при -1 < а < 1 имеет две серии корней. г sin ф = а. 1) Ф = arcsin а -Ь 2т1п, 2) ф = я — arcsin а -1- 2л/1., ч. п — любое целое число. J 1 Р%/2 с у К — ф X а 0 } ‘ -1 1Р-(я/2) Рис.81 Выражение для второй серии корней можно несколько упростить, записав: Ф = -arcsin а + (2п -f 1)я. Решение каждого из уравнений sin ф = 1 и sin ф = -1, как вы уже видели, записывается в виде одной серии корней. Г л sin (р = 1, q; = - + 2жп, п е Z; sin ср = —1, (р = “5 + 2я/1, п eZ. Уравнение cos (р = а в данном случае надо рассмотреть прямую, перпендикулярную оси абсцисс, которая при -1 < а < 1 пересекает окружность в двух точках и Р_^ (рис. 82). Как и в предыдущем случае, для числа ф вводят специальное название «арккосинус а» — корень уравнения cos л: = а, принадлежащий промежутку [0; л] (на рис. 82 соответствующая дуга единичной окружности выделена); обозначают арккосинус числа а: arccos а (угол, косинус которого равен а). Из рисунка видно, что уравнение cos ф = а при — 1 < а < 1 имеет две серии корней. cos ср = а, (Pj = arccos а -f- 2пп, (р2 = —arccos а -f 2яп., п е Z. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Как и в случае синуса, решение каждого из уравнений cos ф = 1 и cos ф = -1 записывается в виде одной серии корней. С cos (р = 1, ф = 2л:л, п е Z; cos ф = —1, ф = л(2т1. + 1), п е Z. ) Отметим, что если число а больше 1 или меньше -1, то ни уравнение sin ф = а, ни уравнение cos ф = а корней не имеют. Уравнения tg (р = а и ctg ср = а Решения уравнений tg ф = а и ctg ф = а проиллюстрируем с помощью осей тангенсов и котангенсов (рис. 83). Рис. 83 Ясно, что число а в этих уравнениях может быть любым. Г tg ф = а, Ф = arctg а + ЛП-, п е Z^ -| < arctg а < |, т. е. arctg а — угол из промежутка 5 2]’ которого равен а, tg (arctg а) = а. ctg ф = а, ф = arcctg а -Н ял, n^Z, О < arcctg а < я, т. е. arcctg о — угол из промежутка (0; я), котангенс которого равен а, ctg (arcctg а) = а. Л 16. Простейшие тригонометрические уравнения Пример 1. Найти корни уравнения 2 sin л: + 7з = О, принадлежащие промежутку [0; 2л:]. Решение. Заменим данное уравнение простейшим л/З уравнением sin х = -^ . Его корни: 1) х = arcsin j + 2лп, п е Z; 2) X = п- arcsin j + 2лл, п е Z. Из рисунка 84 видно, что arcsin (-а) = -arcsin а. С учётом этого можно записать: . ( ■ л л arcsin ~ 2 ^ -arcsin 2 ~з ‘ Продолжая решение уравнения, получим: 1) л: = + 2пп, п е Z; О 2) X = п -ь 2пп, п е Z. О Будем подставлять в эти две серии решений целые значения п и определять, принадлежат ли получаемые при этом решения промежутку [0; 2л]. При п = 1 имеем Другие решения этой серии выходят за границы промежутка, поскольку отстоят от х^ не меньше, чем на 2л, а границы промежутка отличаются от jCj меньше, чем на 2л. Аналогично получаем единственное решение второй серии, входящее в указанный промежуток при /1 = 0: V =я+- = — Х2 3 . OTBer:f,f. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 7з Примечание. Получив простейшее уравнение sin можно было изобразить его решения на единичной окружности (рис. 85) и сразу записать ответ. Пример 2. Найти значение arccos ( cos — Зп Решение. Для любого а из промежутка [0; п] arccos (cos а) = а. тт п ^ Зя . ( Зл ] Зя Поскольку о ^ ^ 7U, arccos cos ^ Ответ; Зя Пример 3. Решить уравнение 7 tg^ л: - tg дс - 6 = 0. Решение. Обозначим tg х буквой у, тогда данное уравнение примет вид 7у^-у-6 = 0. 6 7 Его корни: i/j = 1, 1/2 “ 7 • Возвращаясь к переменной Ху получим: l)tg X = 1, ^ = ^ + пп(п — любое целое число); 2) tg л: = - |, JC = arctg | - | | +пп{п — любое целое число). (-1) ш 16. Простейшие тригонометрические уравнения Поэтому вторую серию решений можно записать так: х = пп- arctg - (п — любое целое число). О т в е т: ^ + тт, юг - arctg | (л — любое целое число). Упражнения 273Р Используя таблицу значений синусов и косинусов, полученную при выполнении задания 265, заполните таблицу. a -1 1 0 0,5 -0,5 J2 2 72 2 73 2 2 arcsin a arccos a 274. Используя таблицу значений тангенсов и котангенсов, полученную при выполнении задания 247, заполните таблицу. a -1 1 0 7з -7з 7з 3 7з 3 arctg a arcctg a 275. Постройте угол, равный: 1) arcsin ^; 5 2) arccos I I; 3) arctg 2; 4)arcctg I I- 276.^ Используя графическую иллюстрацию, определите знак разности: 3) arctg 1 - arctg 4; 14 .3 . . 1) arcsin - - arcsin 1; 2) arccos 7 - arccos 1; 4 4) arcctg 3 - arcctg 1,5. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 2.77Г В каких границах заключён угол: 1) ^ arcsin р; 3) - + arctgp; 2) 2 arccos p; 4) л + arcctg р? 278. Вычислите: 1) arcsin 1; 4) arcctg л/З; 7) arctg ^; 2) arccos 5) arccos 0; 8) arcctg 0; 3) arctg (-1); 6) arcsin 1; 9) arcsin ^ 27эР Найдите значение выражения: 1) arccos ( cos ^ I; 2) arcsin I sin - ); 4) arcctg (ctg 1); 5) cos ^arccos ^ 6) sin [ arcsin ^ 3) arctg(tg 1); 28oP Найдите значение выражения: 1) sin ^arcsin ^ + arccos ^ j; 2) cos ^arccos ^ + arcsin ^ ]; 3) cos (arctg 1 + arcctg 1); 4) tg ^arcsin ^ + arctg 73 281 P Может ли: 1) arcsin 2) arccos 3) arctg 4) arcctg ^ к) —2л; л) ЗУ5; м) ^? принимать значение: a)0; r) J2 ; ж)|; 6)-l; fl)g; b) 1; \ 7Г ®>-6 = и) л; 16. Простейшие тригонометрические уравнения 282. Сравните а и Р, если: 1) 5а +1 = arcsin ^ j и 10Р + = arccos 2) За = arccos | ^ Зр - у = arcsin 1 • 7п Л 283. Для каких значений а имеет смысл выражение: 1) arcsin а; 2) arccos а; 3)arctga; 4) arcctg а? 284. ^ Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 2л]: 1) sin х = 0; 5) 2 sin - jcj = 1; 2) cos л: - 1 = 0; 6) ctg (д: - л) - 1 = 0; 3) 3 tg д: +л/3 =0; 7) 2 cos “ 1 j ^2 = 0; 4) ctg2 JC - 3 = 0; 8) 2 sin^ X— J2 sin д: = 0. 285.® 1) Верно ли утверждение, что при любом значении а: а) arcsin (sin а) = а; в) arctg (tg а) = а; б) arccos (cos а) = а; г) arcctg (ctg а) = а? 2) Если вы считаете, что утверждение неверно, приведите опровергающий пример. 286. ® Верно ли утверждение «arcsin (cos ~ ^ любо- го значения а»? 287. ^ Что означают слова арка, аркада! Существует ли ка- кая-нибудь связь этих слов со значением приставки «арк» в словах «арксинус», «арккосинус»! 288. ® Решите уравнение: 1) 4 sin^ JC -I- 5 sin jc -Ь 1 = 0; 2) 3 cos^ х + 2 cos л: - 5 = 0. 289.1) Объясните цепочку равенств ^ = arcsin ^ = arccos ^ = arctg л/З = arcctg ^ . О ^ ^ О 2) Составьте аналогичные цепочки равенств для чисел 7Г Л б"3- Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания Сформулируйте определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. (л 7з /з Вычислите arcsin ^4-2 arccos ^ arctg ^ Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [О; 2п]: а) sin л: - 0,5 = 0; 6)tgjc-l=0. О 17. Формулы приведения Уже в древности при выполнении различных расчётов применялись таблицы, в которых были приведены значения синусов, косинусов и тангенсов острых углов. Чтобы пользоваться такими таблицами, нужно было уметь приводить тригонометрические функции к углам от 0° до 90° |от 0 До| т. е. выражать значения тригонометрических функций любых углов через значения тригонометрических функций углов от 0° до 90°. Рассмотрим сначала, как тригонометрические функции любого угла приводятся к функциям углов от 0° до 360° (от о до 2п). Поскольку повороты на углы, отличающиеся друг от друга на 360°п (на 2д/г), где п — любое целое число, имеют одну и ту же конечную точку, то уменьшение или увеличение аргумента тригонометрической функции на 2п не изменяет её значения. sin ((р ± 2л:) = sin ср cos (<р ± 2л) = cos ср tg (ср ± 2л) = tg (р ctg (ф ± 2л) = ctg (р Пример 1. Привести к углу от 0° до 360° (от 0 до 2п): cos 2000°, sin ( - ^ 17. Формулы приведения Решение, cos 2000° = cos (2000° - 360° • 5) = cos 200°; 59я 6 sin - = sin ^ - 2ti • 5 = sin ^ . D / О Ответ: cos 200°, sin ^ . 6 Получить следующие три формулы приведения нам помогут рисунки. На рисунке 87 точки Р^, - ч> ^ + ф — конечные точ- ки поворотов на углы ф, -ф,7г-(рит1-1-ф. Точки и симметричны относительно оси абсцисс, значит, абсциссы этих точек равны, а ординаты противоположны. С cos (—<р) = cos (р sin (—(р) = —sin ф Точки Р^ _ jp и Р_^р, а также точки Р^ и Рд + ф являются концами соответствующих диаметров единичной окружности и, следовательно, симметричны относительно её центра — начала координат. Абсциссы этих точек противоположны, противоположны и их ординаты. cos (л — (р) = —cos (—(р) = —cos <р cos (л + (р) = —cos (р sin (л — (р) = —sin (—<р) = sin (р sin (л -f (р) = —sin ф 'ч. Эти формулы позволяют привести к углам от о до I (от 0° до 90°) синус и косинус любых углов. Точки Р,. и Р, о-Ф (рис. 88) — ко- 3 нечные точки поворота на углы ф и ^ — ф. Эти точки симметричны отно-сительно прямой у = х. С симметрией Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА______ относительно этой прямой вы уже встречались, рассматривая графики взаимно-обратных функций. Абсцисса точки равна ординате точки Р , а ордината 2-ф ТОЧКИ равна абсциссе точки Р . о -Ф с cos 1 - - (р sin (р sin ( - — <р I = cos q) J Полученные формулы приведения позволяют понять происхождение терминов «косинус» и «котангенс». В формуле sin I - - (pj = cos ф аргумент косинуса дополняет аргумент синуса до I, получаем -ф| -Ьф=|.От перестановки слов sinus complementi (синус дополнения) и сокращения одного из них образовался термин «косинус». Термин «котангенс» стали применять по аналогии с «косинусом». Для приведения к углу ф синусов и косинусов углов ^ + ф, ^ - Ф и ^ -I- Ф можно использовать симметрии точки Р^ 2-Ф 2^2 с точкой Р - ф относительно оси ординат, с точкой Рд^ Y + Ф относительно начала координат и с точкой Рд^ относи- у + Ф тельно оси абсцисс (рис. 89). Но можно применить и уже полученные формулы приведения. Для этого достаточно заметить, что я , /я , 2 +

1- Зя . о (Я у +Ф = 2я- - -Ф р„ S 1 X - Ф \ ^ ]Ро , V 1 X РзУС - ф Рзя, 2 ^— у + Ф Рис. 89 17. Формулы приведения Формулы приведения для тангенса и котангенса легко получить, рассматривая их как частные синуса и косинуса, например: \ sia “ ф) sin ф , ^ tg(7C-(p)=----^^ ^ =-tg9. cos (тг - ф) -cos ф а Ф + 2лп -Ф я — ф я -т ф sin а sin ф -sin ф sin ф -sin ф cos а cos ф cos ф -cos ф -cos ф tga tgФ -tgф -tgф tgф ctg а ctg ф -Ctgф -Ctgф Ctgф а 5 -ф sin а cos ф cos ф -cos ф -cos ф cos а sin ф -sin ф -sin ф sin ф tga Ctgф -Ctgф Ctgф -ctgф ctg а tgФ -tgФ tgФ -tgф Формулы приведения являются тождествами, т. е. они верны для любых допустимых значений ф. Анализируя полученную таблицу, можно заметить, что: 1) знак в правой части формулы совпадает со знаком приводимой функции в соответствуюи^ей четверти^ если считать ф острым углом’, 2) название меняют только функции углов ^ ± ф и ^ ± Ф (90° ± а° и 270° ± а°). Пример 2. Привести cos 289° к тригонометрической функции острого угла. Решение. Можно рассуждать следуюш;им образом: 1) 289° — угол IV четверти, в которой косинус положителен, значит, в правой части формулы нет знака «-»; 2) 289° = 270° + 19° — название меняется. Таким образом, cos 289° = cos (270° + 19°) = sin 19°. От в ет: sin 19°. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Г Примечание. Можно было представить 289° как 360° - 71°, тогда название не меняется и cos 289° = cos (360° - 71°) = cos 71°. Понятно, что cos 71° = cos (90° - 19°) = sin 19°. Вычислять значения тригонометрических функций можно с помощью таблиц или инженерных калькуляторов. На инженерном калькуляторе из Windows, о котором мы упоминали в связи с вычислением степеней и логарифмов, нет нужды использовать формулы приведения для вычисления значений тригонометрических функций — это делает сам калькулятор (рис. 90). Пример 3. С помощью калькулятора найти sin 43,5 с точностью до сотых. Решение. Чтобы найти sin 43,5, нужно сначала перейти в режим работы с радианами, для этого «щёлкнуть» мышью на указателе Радианы {Rad), набрать 43,5, «щёлкнуть» клавишу sin и прочитать в окошке искомое значение -0,46381551598382738881409597093642(рис. 90), sin 43,5 « -0,4638155159838 » -0,46 с точностью до сотых. о т в е т: sin 43,5 « -0,46. Калькулятор Главка Вид Справка ■0.46381551598382738881409597093642 ОНех ©Dec OOd ©Вп ОГрадусы ©Раоиат ©Грады Oinv ПНдо Г г I Backspace [ [ СЕ [ | С ~| Н G3DDO В ШШШШВИ ГП[~ГЦ~Г]р~|ГоГ|Г>^ ™ [T1G3Q 0 CUCI1CDOC3B B0B В CI3QCZIQQQ 0-. []Г][^ГП В " у” ° ^ ^ Рис. 90 17. Формулы приведения Пример 4. Вычислить с помощью калькулятора ctg 48757° с точностью до тысячных. Решение. Чтобы перевести калькулятор в режим работы с градусной мерой углов, следует «щёлкнуть» на указателе Градусы {Deg). Введя число 48757, нажмём на клавишу tg (или tan — иное обозначение тангенса) и на « ^ » — так как специальной клавиши для котангенса нет, мы находим его как величину, обратную тангенсу: 1 1 ctg X = совд: sin л: sin л: tg X cos л: На индикаторе появится число -2,3558523658237528339395866623439. О т в е т: ctg 48757°« -2,356. Если при вычислении окажется, что тангенс не существует, значит, котангенс равен нулю, а если тангенс окажется равным нулю, то не существует котангенс. Пример 5. Вычислить с помощью калькулятора arcsin 0,7. Решение. Помогает инженерный калькулятор и в нахождении углов. Так, чтобы найти arcsin 0,7, нужно ввести 0,7, «щёлкнуть» на указателе Inv (от английского слова inverse — обратный) и на клавише sin. Если калькулятор находился в режиме работы с градусной мерой, то он покажет 44,42700400081, если в режиме работы с радианами, то в окошке увидим число 0,7753974966108. Ответ; arcsin 0,7 » 44,42700400081°, arcsin 0,7 « «0,7753974966108. (Правда, трудно представить, что вам когда-нибудь потребуется вычислять углы с такой высокой точностью.) С развитием электронно-вычислительной техники, позволяющей быстро и точно получать значения тригонометрических функций углов, заданных как в градусной, так и в радианной мере, вычисления значений тригонометрических функций практически перестали выполняться вручную. Однако в преобразованиях тригонометрических выражений формулы приведения используются довольно часто. 0 Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Упражнения 290. Приведите к тригонометрической функции острого угла: 291 1) a) sin 152°; в) sin 242°; д) sin 312°; 6) cos 124°; г) cos 196°; е) cos 326°; 2) a) sin 175°; в) sin 221°; д) sin 290°; 6) cos 166°; г) cos 235°; е) cos 306°; 3)a) tglll°; в) tgl87°; д) tg 286°; 6) ctg 163°; г) ctg 215°; е) ctg 319°; 4)# a) ctg (-11,2); в) sin 19,3; д) sin (-12,5); 6) cos 5,7; г) tg (-8,3); е) cos (-17). Приведите к углам от 0 °до45°: 1)а) sin 72°; б) cos 71°; в) tg 65°; 2) а) sin 175°; б) cos 155°; в) tgl02°; 3) а) sin 285°; б) cos 273°; в) tg 250°; 4) а) sin (-355°); б) cos (-451°); в) tg(-317°). • По какому принципу сгруппированы задания? 292. Упростите выражение: 1) sin 146° + sin 304° + sin (-56°) + cos (-34°); 2) cos 220° + cos 320° - tg 110° + ctg 380°. 293. ® Упростите выражение: 1) 2) со8(я - Jc:)ctg + xj tg^l - xj sin(n + x) 3) cos(n + JC)tg(-JC) 4) sin(n - ф)С08(Зл + ф) ^ cos(4,-|)cos(f+ Ф sin(|!-a)sin(a-|5) [ 2 tg( ^ + ajtg^| - aj 294.* Найдите c точностью до тысячных значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла: 1) а)120°; б)-225°; 2) а)-150°; 6)210°; 3) а) ^; 6)Т’ в) 300°; в) 315°; 43я 6 ' в)-' 295.* ■ Вычислите с точностью до тысячных: 1) 3 arccos 0,06 : arcsin (-0,316); 2) arccos (-0,5213) - arctg 3,148; 17. Формулы приведения 296 297. 3) arcsin 0,87 + arctg (-57); 4) 0 sin (arctg (-2)). ® Догадайтесь, как находить на калькуляторе значения арккотангенсов. ® Найдите приближённое значение arcctg а, если а равно: 1) 15; 3)-26 589; 5)® tg л/2; 2) -0,000547; 4)-^; 6)® tg (-46°). 298 299 Решите уравнение на промежутке [0; 2тг]: 1) 2 sin + arj = л/2 ; 3) tg (л + х) = 1; 2) 2cos^Y - xj + 1 = 0; 4) 3 ctg (2л - х) = 73 . , Решите уравнение: 1) 2sin^x+|j +л/2 =0; 2) cos (2л - х) + sin + Xj = -s/2 ; 3) sin ^ I - Xj = sin 2 ; 4) ^ 3tgf2x-J I -JS =0. 300. Найдите значение выражения: 1) arcsin ( sin дТС); 4) arctg (tg 10); 2)arccos cos 24л 7 j’ 1. 2. 3. 5) arctg (ctg 10); 3) arccos (sin 6); 6) arcctg (tg 10). Контрольные вопросы и задания Какие координаты имеет точка В, симметричная точке А(т; п) относительно: а) оси абсцисс; в) начала координат; б) оси ординат; г) прямой г/ = х? Докажите, что sin (270° + а°) = -cos а°. Найдите: а) sin 855°; 6)tg2l2. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА ю 18. Свойства и график функции у = sin X Вы познакомились с некоторыми свойствами функции у = sin ф, аргумент ф которой может принимать любые значения. Эти свойства удобно использовать при построении графика функции у = sin X (аргумент функции, как вы знаете, обычно обозначают буквой х). Построим сначала график функции у = sin х на промежутке от О до I |для значений л: от О до | j. На рисунке 91 показано, как можно получать точки графика функции у = sin х с помощью единичной окружности. Соединив точки плавной линией, получим график функции у = sin X на промежутке от О до | (рис. 92, а). График функции у = sin х на других промежутках получим из построенной части графика. 18. Свойства и график функции у = sin х Формула sin (тг - л:) = sin х позволяет, используя симметрию графика относительно прямой х = ^ (рис. 92, б), постро- ить его на промежутке от ^ до л. Формула sin (-дс) = -sin х позволяет получить график функции у = sin X на промежутке от -л до О, используя обычный для построения графиков нечётных функций приём — симметрию относительно начала координат (рис. 93). Формула sin (2л -I- jc) = sin х показывает, что значения функции у = sin X через каждые 2л повторяются, т. е. для любого значения х sin (х - 2л) = sin X = sin (х + 2л). Повторяющиеся события или явления в окружающем нас мире встречаются довольно часто: восход и заход солнца, бой часов на Спасской башне Московского Кремля, колебание маятника настенных старинных часов. И в математике мы встречались с бесконечным повторением группы цифр в дробной части десятичной дроби, например при делении 4 на 33 получается бесконечная десятичная дробь 0,1212121212... . Такие дроби называют периодическими. Этот же термин применяют и к функциям, значения которых повторяются. ^ Положительное число Т называется периодом функции" у = fix), если для любого значения х из её области определения выполняются условия: 1) x - Т и X + Т тоже входят в область определения функции; 2) fix-T) = fix) = f(x + T). ч: Функции, имеющие период, называют периодическими. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Периодичность функции у = sin х позволяет получить её график на промежутках от я до Зя, от -Зя до -я, от Зя до 5я, от -5я до -Зя и т. д. с помощью сдвига построенной части графика вдоль оси абсцисс вправо и влево на 2я, 4я и т. д. (рис. 94). П римечание. В качестве периода функции у = sin х можно было бы взять 4я, 6я и т. д. Число 2я является наименьшим из её периодов. В этом легко убедиться, если найти расстояние между двумя соседними точками графика с ординатами, равными 1. Например, | j = 2я. Полученная кривая называется синусоидой. Это первый график тригонометрических функций, который был опубликован в 30-х годах XVII в. Синусоида — один из самых популярных графиков в физике. С ней непосредственно связано практически любое колебание. На рисунке 95 вы видите, что физический маятник на движущейся с постоянной скоростью бумажной ленте вычерчивает синусоиду. Синусоиду образует и край срезанного наискось рулона бумаги (рис. 96). 18. Свойства и график функции у = sin х Рис.97 Поверхность волн, как показано на рисунке 97, иногда напоминает синусоиду. Наверное, именно поэтому часть синусоиды длиной, равной периоду (например, на промежутке от О до 2я), называют волной синусоиды. Основные свойства функции у = sin х 1. Аргумент функции может принимать любые значения. 2. Функция принимает любые значения от -1 до 1. 3. Функция у = sin X нечётная, так как для любого значения X выполняется условие sin (-л:) = -sin х. График функции у = sin х симметричен относительно начала координат. 4. Функция у = sin X периодическая, её наименьшим периодом является число 2тг. 5. а) Функция у = sin х возрастает на промежутках -Ь 2тш; I 4- 2тш j, где п — любое целое число. Например, при п = О получаем промежуток возрастания я тг 1 о Г7я 9я1 ~2 2 J ’ ^ при п = 2 — промежуток I у ; у . б) Функция убывает на промежутках| -I- 2пп; ^ + 2тсп j, где п — любое целое число, (так, при /г = О получаем проме- Зя жуток я . ^ 2’ 2 , а при п = -1 — промежуток Зя._я1 2 ’ 2] 6. а) Функция принимает своё наибольшее значение, равное 1, при X = ^ + 2тш, где п — любое целое число. б) Функция принимает своё наименьшее значение, равное 7Г -1, при л: = - - -f- 2тш, где п — любое целое число. 7. Функция у = sin X принимает значение, равное нулю, при д: = ЯП, где п — любое целое число. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Пример 1. Расположить в порядке возрастания sin 225°, sin 310° и cos 118°. Решение. Функция у = sin х возрастает на промежутке от до ^, следовательно, большему острому углу соот- ветствует больший синус. Выразим данные в условии выражения через синусы острых углов: sin 225° = sin (180° -Ь 45°) = -sin 45°, sin 310° = sin (360° - 50°) = -sin 50°, cos 118° = cos (90° -b 28°) = -sin 28°. Так как в первой четверти функция у = sin х возрастает, имеем: sin 28° < sin 45° < sin 50°. Значит, -sin 50° < -sin 45° < -sin 28°. Ответ: sin 310°, sin 225°, cos 118°. Пример 2. Доказать, что число п является периодом функции у = sin X • cos X. Доказательство. Поскольку аргумент х этой функции может принимать любые значения, нужно доказать, что при всех значениях х sin (х - п) cos (л: - л) = sin х cos х = = sin (х + л) cos (х -Ь л). Используя формулы приведения, получаем: sin (х - л) cos (лс - л) = -sin (л - х) cos (п- х) = = -sin X (-COS х) = sin х cos х; sin (х + л) cos (х + п) = -sin х (-cos х) = sin х cos х, что и требовгшось доказать. Упражнения 301. Воспользуйтесь графиком функции у = sin х для выполнения следующих заданий. 1) Можно ли по графику определить период функции? Являются ли следующие числа периодами данной функции: л, 2л, Зл,4л? 2) Как по графику определить чётность функции? 18. Свойства и график функции у = sin х 3) Найдите точки, принадлежащие одновременно и промежуткам возрастания, и промежуткам убывания функции. 4) Назовите наибольшие и наименьшие значения функции. 5) Назовите корни уравнения: sin л: = 0; sin х = sin х = -\. 6) Найдите значения: sin 0; sin |; sin | 302. Используя график функции у = sin л:, найдите приближённые значения: Q 1) sin 1; 2) sin 2; 3) sin 0,5; 4) sin(-l); 5) sin ^; 6) sin I; 8) sin [ 303. Используя график и свойства функции у = sin л:, сравните: 1) sin 160° и sin 170°; 3) sin 1 и sin 2; 2) sin 230° и sin 300°; 4) sin 5 и sin 6. Ц 304.1) Постройте график функции у = sin х и выделите цветным карандашом те его точки, ординаты которых: а) положительны; б) отрицательны. 2) О На каких промежутках функция у = sin х принимает положительные и на каких — отрицательные значения? 305.1) Постройте одну волну синусоиды у = sinjc на промежутке от о до 2л, взяв за единицу 2,5 см. Выделите карандашами разных цветов точки графика, ординаты которых: . . п 1 1 V2 л/2 7з 7з б) больше; |- ^; . 7з ^/2 в) меньше: ~ ^ ^ 2) • Запишите абсциссы выделенных точек. ЗОбР Решите неравенство: 1) вшд:<1; 3) sin л: > 72; 2) sinj:>-l; 4) sin JC < - л/З . Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 307.1) Постройте график функции у = sin х и проведите несколько его осей симметрии. Q 2) • Напишите общий вид уравнения оси симметрии графика функции у = sin х. 308.1) Постройте график функции у = sin д: и отметьте несколько центров симметрии этого графика. Щ 2) • Укажите общий вид абсцисс центров симметрии графика функции у = sin х. 309. ®1) Докажите, что число тг является периодом функции: а) f/= sin^ jc; б) г/= |sin д:1. 2) Изобразите схематически график этой функции. 310. Является ли периодической функция: 1) i/ = W; 2)i/ = [jc]? Если является, то какой у неё наименьший положительный период? 3111) Постройте график функции: а)у = {2х]\ б) I/= {0,5л:}. Ц 2) Укажите её наименьший положительный период. 312. ® Укажите наибольшее и наименьшее значения функции: 1) I/ = 2 sin х\ 4) i/ = 3 - 2 sin х\ 2) I/ = -sin х\ 5) * у = sin^ х - sin д: -Г 4; 3) i/ = sin X + 0,5; 6У'' у = sin^ д: -I- 3 sin д: - 2. 313. ^ Какие из следующих функций являются чётными, а какие — нечётными: 1) у = sin^ х; S)y = sinx^; 2) у = sin'^ х; 4) ^ = sin д:^? 314. ® 1) Постройте в одной системе координат графики функ- ций: а) у = sin х; в) г/ = sin 2д:; б) у = 2 sin х; г) z/ = sin 2 2) С помощью каких преобразований графика функции у = sin X можно получить графики этих функций? 315.® При каких значениях а функция у = sin^ 2д -I- 6 sin 2х а принимает только положительные значения? 19. Свойства и график функции у = cos х 316“. Найдите все значения а, при которых определённая на интервале | j функция: 1) I/ = sin^ X -2а sin х-7; 2) у = cos^ X - 2а cos х-7 принимает своё наименьшее значение. 317. ® 1) Постройте график функции: а) у = |sin д:|; б) г/= sin |д:|; в) г/= |sin |л:||. 2) Являются ли эти функции периодическими? Д 318. ® 1) Являются ли функции секанс (у = sec х) и косеканс (г/ = cosec х) чётными, если: 1 1 о sec X =---, cosec х = —— ? cos X sin X 2) Изобразите эскизы графиков этих функций. Д Контрольные вопросы и задания Изобразите график функции у = sin х и перечислите основные свойства этой функции. Сравните sin 305° и sin 215°. По графику функции у = sin х найдите: sin (-0,5), sin 1,5 и sin 2,5. 1. 2. 3. О 19. Свойства и график функции у = cos X Задачу построения графика функции у = cos х можно свести к построению графика функции у = sin х. Действительно, по- скольку cos X = sin + - j, график функции у = cos х можно получить из графика функции у = sin х сдвигом последнего вдоль оси абсцисс влево на | (рис. 98). Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Полученный график является графиком функции у = cos х (рис. 99) и называется косинусоидой. Основные свойства функции у = cos X 1. Аргумент функции может принимать любые значения. 2. Функция принимает любые значения от -1 до 1. 3. Функция у = cos X чётная, так как для любого значения X выполняется условие cos (-х) = cos х. График функции у = cos х симметричен относительно оси ординат. 4. Функция у = cos X периодическая. Её наименьшим периодом является число 2ti. 5. а) Функция возрастает на промежутках [-71 -Г 2пп; 2тсп]^ где п — любое целое число. Например, при д = О получаем промежуток возрастания [-тг; 0], а при д = 1 — промежуток [7i; 2тг]. б) Функция убывает на промежутках [2т1д; п + 2тгд], где д — любое целое число. Так, при д = 0 получаем промежуток [0; 71], а при д = -1 — промежуток [-2тс; -ти]. 6. а) Функция принимает своё наибольшее значение, равное 1, при X = 2яд, где д — любое целое число. б) Функция принимает своё наименьшее значение, равное -1, при JC = я -I- 2яд, где д — любое целое число. 7. Функция у = cos X принимает значение, равное нулю. при ^ ^ 2 ^ ^ любое целое число. Пример 1. Сравнить значения cos ^ и cos ^ 19. Свойства и график функции у = cos х Решение. На промежутке от О до ^ функция у = cos х ш убывает. Приведём данные выражения к косинусам углов из этого промежутка: cos 2л 3 = cos 1 = -cos л . 3 ’ cos 5л = cos 1 = -cos л 4 1 4 1 4 ’ В силу убывания функции у = cos х на промежутке от О до I имеем: cos 7 > cos ^ , отсюда -cos 7 < -cos ^ . 4 о 4 о Ответ: cos ^ > cos ^. 3 4 Пример 2. Решить неравенство 2 cos [ Зф —^ | < -1. Решение. Обозначим аргумент косинуса буквой jc, т. е. Зф - ^ = X. Разделим обе части неравенства на 2: ^ 1 cos л: < -- . Отметим какую-нибудь часть графика функции у = cos х, точки которой имеют ординаты, меньшие и обозначим границы промежутка абсцисс выбранной части графика как х-^ и Х2 (рис. 100). Тогда cos Х-^ cos Х2 X , Х-^ , Х2 . Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Для всех X из промежутка ^ < х < ^ неравенство О о со8лг<-^ справедливо. Любой из промежутков, состоящих из решений неравенства cos л: < - -, отстоит от данного про- 2 7Г 4 JT межутка на целое число периодов: — + 2пп < х < — + 2пп, О О п € Z^. В виде такого двойного неравенства и записывают обычно множество всех решений нера-^ 1 венства cos х . Вернёмся теперь к переменной <р: + 2пп < Зф - ^ ^ Ч- 2т1Пу п е Z; О 4 О ^ 4-7 + 2пп < Зф < ^ -f-7 + 2пп, п е Z; 3 4 3 4 + 2пп < Зф < + 2ппу п G Z; 11я ,2 ^ . 19я ,2 „ -г-г -Ь - ЛЛ < ф < —— -I- - ЛЛ, л G Z. 36 3 ^ 36 3 Ответ: ^ -t- | лл < ф < ^ -г | лл, л е Z. Рис.101 ь Примечание. Для решения простейшего неравенства cos X < -- можно было использовать тригонометрическую окружность (рис. 101). Упражнения 319. Используя график функции у = cos х, ответьте на вопросы и выполните задания. 1) Промежутку возрастания или убывания принадлежит точка: а) ; б)-^; в) 5? 6 о 2) Укажите какое-нибудь значение л: > 4, принадлежащее одновременно и промежутку возрастания, и промежутку убывания. ^ Буквой Z обозначают множество целых чисел, поэтому запись *п е Z» {п — элемент множества Z) часто используется в том же смысле, что и «л — любое целое число». 19. Свойства и график функции у = cos х 3) Как по графику определить чётность функции? 4) Назовите наибольшее и наименьшее значения функции. 5) Назовите несколько значений аргумента, при которых функция у = cos л: принимает значение, равное 1, -1. Задайте общей формулой корни уравнения |cos х\ = \. 6) Решите уравнение cos д: = 0. 7) Найдите приближённое значение: а)cos -; 6)cos(-3); b)cos1; ч 5я г) cos —. 320.1) Постройте график функции у = cos д: и выделите карандашом одного цвета те его точки, ординаты которых положительны, а другим цветом — точки с отрицательными ординатами. Щ 2) ® На каких промежутках функция у = cos х принимает положительные значения и на каких — отрицательные? 321 1) Постройте график функции у = cos д: на промежутке от о до 2я, взяв за единицу 2,5 см. Выделите цветными карандашами те точки графика, ординаты которых: ч f. \ 1 J2 Л Л Л а)равны:0;-;--;-;-у; б) больше; в) меньше: - 2) • Каковы абсциссы выделенных точек? З22Р Сравните значения: Л 2 11я гчч Х5я хх/1 3) cos и cos —^ ; о о 4) cos 218° и sin 230°. 1) cos 0,8я и cos 0,7я; 04^ 11я 7я 2) cos -77- и cos — ; 9 о 323Р Решите неравенство: 1) cos д: < 1; 2) cos X > -1; 324.1) Постройте график функции у = cos х и проведите несколько его осей симметрии. Д 2) • Напишите общий вид уравнения оси симметрии графика функции у = cos х, 325.1) Постройте график функции у = cos х и укажите несколько центров симметрии этого графика. Q 3) cos д: < -л/2 ; 4) cos х> Л ^ Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 2) • Укажите общий вид абсцисс центров симметрии графика функции у = cos х. 326Р Докажите, что число п является периодом функции: l)y = tgx; 2)y = ctgx. 327.® Укажите наибольшее и наименьшее значения выражения: 1 - cos X 04 1 1) 2) 2-5 cos X 10 3) 4) 2 -ь cos X ’ 1 3-2 cos X 328. 1) В одной системе координат постройте графики функций: а) у = cos х; в)у = cos 2х; б) I/ = I cos х; г) г/ = cos ( дс -t- - I. 2) Укажите наименьшие периоды данных функций. 329.® 1) С помощью каких преобразований графика функции у = sin X можно получить график функции у = 2 sin -t- - j ? 2) С помощью каких преобразований графика функции у = cos X можно получить график функции г/ = | cos[*-5)? 330.® Найдите наименьший период функции: 1) I/ = cos 2х\ 2)у = sin - 331.® Какие из функций являются: а) чётными; б) нечётными: 1) у = cos^ х; 4) I/ = cos^ х + sin^ х; 2) у = sin-; 5)t/ = sin^ X -I- соб^л: + 1 sm^ X 3) £/ = sin X + cos x; 6) i/ = 3 cos^ x + sin® x? 332. Используя график, решите неравенство: -V . ^ л/2 1) sin дс< Y ; 04 ^ V3 2) cos х> - 3) 2 sin х^ -1; 4) -2 cos х^ J2 . 20. Свойства и графики функций (/ = tg х и у = ctg х 333Р Решите неравенство: 1) 2 sin 2х - 1 ^ 0; 2) 2 sin I Злг +- I ^ -1; 3) sin[ j ^ О; 4) -2 cos f 2дг -| ] < J2 . 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания Постройте график функции у = cos х и перечислите её основные свойства. 7тг бтг Сравните значения cos — и cos — . О 6 Найдите по графику функции у = cos х следующие значения: cos 1, cos 2,5 и cos (-2). О 20. Свойства и графики функций у = igxv\y = ctg X Область определения функции у = tg х включает в себя все числа, кроме чисел вида ^ + тш, где п е Z. Как и при постро-ении синусоиды, сначала постараемся получить график функции у = tg X на промежутке [ | | • В левом конце этого промежутка тангенс равен нулю, а при приближении к правому концу значения тангенса не- Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА \ ' ^ г L . J Рис.104 ограниченно увеличиваются (рис. 102). Графически это выглядит так, как будто график функции у = Xgx прижимается к прямой ^ = I» уходя вместе с ней неограниченно вверх. Вы уже встречались с таким свойством графика функции k ^ = - (/г ^ 0): при приближении аргумента х к нулю кривая как бы прижимается к оси ординат, а при увеличении аргумента — к оси абсцисс (рис. 103). Ось абсцисс называют горизонтальной асимптотой, а ось ординат — вертикальной k асимптотой графика функции у = - . Аналогично, прямая ^ 2 — вертикальная асимптота графика функции у = tg х. ▼ Несколько сложнее выяснить, как выглядит график функции у ^ tg X при приближении точек к началу координат. Здесь снова придёт на помощь ось тангенсов. На рисунке 104 с последовательным увеличением показана зона точки касания оси тангенсов и тригонометрической окружности (каждый следующий рисунок показывает ту часть предыдущего, которая находится внутри прямоугольной рамки). Мы видим, что при достаточно большом увеличении дуга окружности в зоне точки касания сливается с касательной. Это значит, что при достаточно малых значениях х имеем практически %g х ^ х. Поэтому график функции у = tgx при малых значениях х сливается с прямой у = х. То же самое, кстати, происходит и с графиком функции у = sin х. На рисунке 105 изображены части графиков функций у = tgx, у = X 1Л у = sin X. А 20. Свойства и графики функций y = tgxtAy = ctg х Получить график функции у = ig хяа промежутке |^~2 ’ ^ можно с помощью равенства tg (-д:) = -tg х, говорящего о симметрии графика относительно начала координат (рис. 106). И наконец, равенство tgx = tg(x + пп), п Е Z п п позволяет размножить построенную на промежутке i - ^ ^ часть графика, сдвигая её вдоль оси абсцисс на л, 2л, Зл и т. д. влево и вправо (рис. 107). График функции у = tg х называют тангенсоидой. Основные свойства функции у = igx 1. Аргумент функции может принимать любые значения. кроме I 4- лд, где п е Z. 2. Функция может принимать любые значения. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 3. Функция у = igx нечётная, так как для любого значения X из области определения tg (-лс) = -tg х. График функции у = tg х симметричен относительно начала координат. 4. Функция у = tg X периодическая. Её наименьшим периодом является число п. 5. Функция возрастает на интервалах + Tinj, где п S Z. Так, при п = О получаем промежуток возрастания я я ^ 1 я Зя , а при п = 1 — промежуток 2 ’ Y 6. Функция у = tg X принимает значение, равное нулю, при X = пп, где п е Z. 7. График функции у = tg х имеет вертикальные асимптоты, уравнения которых имеют вид х = ^ + я/г, где п е Z. Получить график функции у = ctg х можно с помощью преобразования тангенсоиды, так как ctg х = -tg “ 2 При этом сначала, сдвигая график функции у ^tg х вдоль оси абсцисс на ^ вправо, получаем график функции I/ = tg - - j, а затем выполняем симметрию полученного графика относительно оси абсцисс. В результате получается график функции у = ctg х — котангенсоиды (рис. 108). 20. Свойства и графики функций y = igxv\y = ctg х Пример 1. Сравнить tg 8 и tg 12. Решение. Приведём данные тангенсы к углам от --я до 2 = tg 8 = tg (8 - Зя), tg 12 = tg (12 - 4я). Сравним 8 - Зя и 12 - 4я: 8 - Зя - (12 - 4я) = я - 4 < О, значит, 8 - Зя < 12 - 4я. Поскольку на промежутке | j функция у = ig х возрастает, имеем tg 8 = tg (8 - Зя) < tg (12 - 4я) = tg 12. О т в е т; tg 8 < tg 12. Пример 2. Найти наименьший период функции f{x) = tg л: • ctg X. Решение. Чтобы найти наименьший период функции Дл:), заметим, что её область определения включает в себя все числа, кроме ^ , где л е Z. Поэтому для любого положитель- ного г, меньшего, чем ^ , требование 1) из определения периода не выполняется, так как л: = | - Т входит в область определения, ал:-ЬТ' = (| — не входит. С другой сто- роны, для Т = ^ значения ХуХ-Тих+Т одновременно входят или не входят в область определения для любого х. При любом значении х из области определения f(x) имеем ~ I j = ^ ^ i образом, наименьшим пери- одом функции f(x) = tg X* ctg X является |. Ответ: ^. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Упражнения 334. Верны ли утверждения? 1) Функции у = ig XVI у = ctg X нечётные. 2) Большему значению аргумента соответствует большее значение тангенса. Рассмотрите данное утверждение при следуюш;их значениях аргумента: б) X = п; ч 2п в)дг=у; г) л: = 271. 3) Большему значению аргумента соответствует меньшее значение котангенса. Рассмотрите данное утверждение при следующих значениях аргумента: а)х = - ; б) X = п; ч 2к в)д^=-з-; г) дс = 2ти. 335. Выполните задания, используя график функции у = tg х. 1) Найдите приближённое значение: a)tg|; б) tgl; 2) Сравните значения: а) tg(-5jHtg(-| б) tg I и tg у; в) tg 2; в) tg 1 и tg 2; г) tg (-l)Htg (-2). г) tg(-l). 3) Запишите промежутки, на которых функция у = tg х принимает: а) положительные значения; б) отрицательные значения. Щ 336. Выполните задания, используя график функции у = ctg X. Щ 1) Найдите приближённое значение: а) ctg -; 6)ctgl; в) ctg 2; 2) Сравните значения: а) ctg и ctg ^ ; б) ctg ^ и ctg у ; г) ctg (-1). в) ctg 1 и ctg 2. 3) Запишите промежутки, на которых функция у = ctg х принимает: а) положительные значения; б) отрицательные значения. 20. Свойства и графики функций y = tgxwy = ctg х 337.1) Постройте график функции у = igx vi выделите разными цветами те точки графика, ординаты которых: а) равны 1, больше 1, меньше 1; б) равны -2, больше -2, меньше —2. 2) Запишите абсциссы выделенных точек. Ц 338.1) Постройте график функции y = ctgx и выделите разными цветами те точки графика, ординаты которых: а) равны 1, больше 1, меньше 1; б) равны -3, больше -3, меньше —3. 2) Запишите абсциссы выделенных точек. Ц 339.^ Решите графически неравенство: l)tgx 3; 6) ctg X ^ -3. - „ 5тг. tgT' 2) tg jc > - Vs ; 340. Докажите, что: Dtg(-f)=tg = 2) tg (a + я) = tg (a - 2я). 341. Установите, какие из следуюпдих функций чётные, какие нечётные, а какие не являются ни чётными, ни нечётными: 1) г/= Д£г Ч-sin х; 5)y = tgx*\x\; 2)y = tgx + ctg х; S) у = х^ cos х; 4) г/ = tg^ X -Ь sin х; б) у = cos '7) У S) у = sin X 2 _ X х-1 ^ ctg X - cos х; ^23 _ ^21 х^ — I З42Р с помош;ью каких преобразований из графика функции у = tg X можно получить графики функций у = tgx + 2 и у = tg^x + - j? Постройте в одной системе координат графики функций: y = tgx, y = tgx + 2 и y = tgl^x+^ 343Р Как с помопдью преобразования графика функции у = ctg X получить график функции: l)y = cigx-l; 2)y = ctg(-x); 3) у = ctg (х - 1)? Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 344Р Сравните с помощью графика: 1) tglHtg2; 4) ctg (-2) и ctg (-3); 2) tg(-l)Htg(-2); 5)tg3nctg3; 3) ctg 2 и ctg 3; 6) ctg 1 и cos 1. 345P 1) Постройте график функции: a)z/ = ltgx|; &)y = \cigx\; B)y = ig\x\. 2) Является ли каждая функция периодической? I 346.Найдите корни уравнения: 1) tg х = 1 на промежутке: \ I я я ЛЛ I ^ в) (2п; 4п); 2) ctg л: = ^/3 на промежутке: а) (0; л); б) (л; 2л); 3) tg JC = 2 на промежутке: в) (2л; 4л); 4 1 ял «>|-2=2 ( Я Зя 6>l2’T в) (2л; 4л). 347. При каких значениях х выполняется равенство: l)tgx = ctgx; 2) tg X = -ctg х; 3) Itg х\ = |ctg х|? 348. Укажите, если возможно, промежутки возрастания функции: 1) I/ = sin х; 3)у= Jx; 5) 1/ = х^; 2) y = tgx; 4)z/ = ctgx; 6)y = 2x + S. 349.® Найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции: 1) I/= cos I X-Ь - S)y = tg\x+- 2) у = sin-; 4)у = ctg (-S) 350.® Найдите наименьший период функции: l)y = tg 2х; 3)у = ctg2 х; 1 2)y = tg^x; 4)у = Sin'^ X 21. Зависимости между тригонометрическими функциями 351 .^На промежутке ’ | j решите графически неравенство: l)igx 1 - х^. Д Щ Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте основные свойства функции у = ctg х. Какие из этих свойств имеет функция у = igxl 2. С помощью каких преобразований графика функции у = ig х можно получить график функции у = —tg(2x — л)? О 21. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента „ , sin ф , cos ф Равенства tg ф =--^ и ctg ф = ^ выражают соотношения cos ф sin ф между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента ф. С их помощью, зная синус и косинус некоторого угла, можно найти его тангенс и котангенс. Из этих равенств легко получить, что тангенс и котангенс связаны между собой следующим равенством. С tg ф • ctg (р = 1 Познакомимся с некоторыми другими зависимостями между тригонометрическими функциями. Уравнение единичной окружности с центром в начале координат х^ + у^ = 1 связывает абсциссу и ординату любой точки этой окружности. С Основное тригонометрическое тождество cos^ (р -I- sin^ <р = 1 J Основное тригонометрическое тождество часто используется при преобразовании тригонометрических выражений. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Пример 1. Упростить выражение (1 - sin а)(1 + sin а). Решение. (1 - sin а)(1 + sin а) = = 1 - sin^ а = cos^ а + sin^ а - sin^ а = cos^ а. Здесь мы заменили единицу суммой квадратов синуса и косинуса. С 1 — sin^ (р = cos^ (р 1 — cos^ (р = sin^ Эти равенства, которые получены из основного тригонометрического тождества, также являются тождествами. Разделив почленно основное тригонометрическое тождество на cos^ ф, получим: ;2 oi п 2 cos-^ Ф , sin^ ф 1 1 , X ? 1 ----ь------^ =-----г- , т. е. 1 + tg2 ф =-— . COS*^ ф COS*^ ф COS'^ ф COS'^ ф (1 -ь (р = ] cos^cp J Аналогично, делением основного тригонометрического тождества на sin^ ф получаем следующую формулу. С ctg^ q) -+• 1 = sin^q) I Зависимости между тригонометрическими функциями позволяют по значению одной из функций находить значения остальных тригонометрических функций при том же значении аргумента. Пример 2. Найти cos а, tg а и ctg а, если известно, что sin ot=-^ и^ <а < 2л. 10 ^ Решение. Из равенства cos^ а = 1 - sin^ а получаем jcos а| = Jl - sin^ а . 21. Зависимости между тригонометрическими функциями Условие I < а < 2т1 говорит о том, что а может являться углом II, III или IV четверти. Однако синус угла а в данной задаче положителен, значит, а — угол II четверти. Косинусы углов II четверти отрицательны, поэтому cos а = - 7l - sin^ а. Подставим в это равенство данное в условии значение sin а: cos а = - 7l - sin^ а = - ^1 - ^ = - 1 25 169 12 13 ' гт . 13 5 , 1 Далее имеем: tg а = — = , ctg а = ~13 12 5 12 О т в е т: cos а = , tg а = , ctg а = . 12 5 * Пример 3. Найти sin а, cos а и ctg а, если tga=— и - <а < 2тг. 15 Решение. Можно сразу найти ctg а: ctg ol= — О Из равенства 1 + tg^ ф =—следует, что - - -* COS^ ф 2 1 cos^ а = 1 + tg2 ф , 64 225 225 64 289 * Поскольку в данной задаче - < а < 2ti и tg а положителен, то а является углом III четверти (тангенсы углов II и IV четвертей отрицательны). Учитывая, что косинусы углов III четверти отрицательны, получаем: /225 _ 15 cos а = - 289 17 ‘ Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Найдём sin а из равенства tg а sin а cos а . 15 8 8 sin а = cos а • tg а = • — = - — • 8 15 - 15 Ответ: sin ^ ^ ^ ^ > ctg а = — . Пример 4. Доказать тождество ctg^ а - cos^ а = cos^ а • ctg^ а. Решение. Преобразуем левую часть равенства: , 9 9 COS^ а о 9(1 ctg^ а - cos"^ а = -----cos^ а = cos^ а sin^ а sin 2 а -1 = = cos^ а 1 — sin^ а sin 2 а о COS'^ ос о = cos'^ а „ = cos*^ а • ctg^ а, sin 2 а что и требовалось доказать. Упражнения i 352. Могут ли синус и косинус одного и того же аргумента быть равными соответственно: “ -- |al + |b|^0? 14 5 12 2) 353. Найдите значения тригонометрических функций угла а, если: 1) sina= — иО<а< 2) sin а = — и - < а < л; 12 3) cos а = и О < а < л; 4) cos а° = -I? и 180° < а° < 360°; 41 24 5) tga= — ил<а< 2л; 6) tg а° = - ^ и 180° < а° < 360°; 60 21. Зависимости между тригонометрическими функциями г7\ J. 5 я . ^ Зя 7) ctga--- и- <а<у 8) ctg а=^ И71<а< 2л. о5 354. Упростите выражение: 1) 1- sin^ а; 2) cos^ Р - 1; 3) cos а tg а; 4) sin а ctg а; 5) 6) 9) tg^ Р - sin^ р . ctg2 р - cos^ р ’ cos^P . 1 + sinP ’ 1 - cosa sin^ a 10) 11) 12) 13) 14) sin^ g 1 - sin^ a sinP + ctg a; sinP 1 - cos p 1 + cos p ’ cos p + cos P 1 - sin p 1 + sin p ’ sin P 1 + cos p + ctg P; cos p _ 1 - sin p tg P; 7) cos'* a - sin^ a; 8) (1 - cos a)(l + cos a); 15)0 11 - cos g ^ Д2 V1 + COS a V1 - - cos a cos a 16) О /1 + sin a _|_ /1 - sin a 1 - sin a 1 + sin a 355.® Найдите значение выражения: 1 ч 4sin а - 5cos а , 2 . 1) —zrrrr при tg а = - ; 2) 2 sin а - cos а 5 sin а + 2 cos а при tg а = -0,4. 3 sin а - 4 cos а 356. Докажите тождество: sin ф ^ 1 - cos ф . 1 + cos ф sin ф ’ sin а — cos а _ tg а — 1 . 1) 2)----------------------------, sin а + cos а tg а + 1 3) sin'* р + sin^ р cos^ р + cos^ Р = 1; 4) sin^ а + sin^ а cos^ а + cos'* а = 1; 5) cos^ а + cos^ а ctg^ а = ctg^ а; 6) sin^ а + sin^ а tg^ а = tg^ а; 7) 1 + sin X + cos л: + tg jc = (1 + cos лг)(1 + tg x); 8) 1 + cos p - sin P - tg p = (1 + cos P)(l - tg P); Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 9) sin^ а + cos^ а 10) 1 - sin acos а 3 /V - Г*ЛоЗ = sin а + cos а; а - cos^ а 1 + sin acos а 11) а - ctg2 а = = cos а - sin а; 1 1 cos'^ а sin^ а 12) (tg2 а - sin^ а) ctg^ а = sin^ а; 1 + 2sin acos a ^ tga + 1 . sin^ a - cos^ a tga - 1 ’ 1 4-^ 1 - 2cos2 a 14) tg a - ctg a = —-------. sin acos a 357. Упростите выражение: 1) sin 165° + cos 195° ctg 255°; 2) cos 320° - sin 220° tg 130°; 3) tg 110° tg 100° tg 45° ctg 70° ctg 80°; 4) ctg 135° ctg 125° ctg 115° ctg 35° ctg 25°; gv tg 205° , tg2 65° - tg 45° . ^ 1 - ctg2 155“ * ctg 295° g. tg 144° . tg2 126° Ч + tg2 216° ‘ 1 + ctg2 324° ■ 358. Решите уравнение: 1) ^ (sin X + cos x)^ -1 = 0; 2) ^ (sin X + cos x)^ = 1 + sin x cos x; 3) ^ 8 sin^ л: - 18 sin л: + 7 = 0; 4) ^ 4 cos^ jc - 4 cos л: - 3 = 0; 5) ^ (sin л: + 1)^ = sin^ д: + 1; 6) ^ cos^ X + cos X = -sin^ x; 7) ® 3 sin д; = 2 cos^ x; 8) ® 3 cos X = -2 sin x; 9) '* sin X + cos X = 1,4; 10) sin X - cos X = — . 10 359P Докажите, что значение выражения не зависит от переменной х: (а sin X + Ь cos х)^ + (Ь sin х -а cos х)^. 360® Известно, что tg а -f ctg а = 3. Найдите: 1) tg2 а + ctg^ а; 2) tg'* а + ctg^ а. 22. Синус и косинус суммы и разности двух углов 361Р Известно, что а — угол I четверти. Могут ли при одном и том же а оказаться верными неравенства: 2) tg а < 2 и ctg а < 2? 14 • 1) sin а < - и cos ot < - ; 362.® Докажите, что для любого острого угла: 1) сумма его синуса и косинуса больше 1; 2) сумма его тангенса и котангенса не меньше 2. 1. 2. 3. 4. Контрольные вопросы и задания Как, зная синус угла, найти тангенс этого угла? Как решить обратную задачу: зная тангенс угла, найти синус этого угла? 15 Найдите sin а, tga и ctg а, если cos а = и а — угол III четверти. COS ^ ос Упростите выражение-------— • tg а. 1 - соз^ а Найдите значение выражения: а) Ig tg 3° • Ig tg 6° • Ig tg 9° •• Ig tg 87®; б) Ig tg 3° + Ig tg 6° + Ig tg 9° + ... + Ig tg 87°. ■Э 22. Синус и косинус суммы и разности двух углов Точки + р, Р„ и Р_р — конечные точки поворотов на углы а + р, а и -р (рис. 109). Хорда + рРд единичной окружности при повороте на угол -р вокруг начала координат совпадает с хордой Р^^Р_р, значит, длины отрезков Выразим длины этих отрезков, используя формулу расстояния между точками г/^) и В{Х2, У2) координатной плоскости: АВ= 7(^1 - Х2)^ + (У1 - у2)^- О Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Подставляя в эту формулу координаты точек Рд» + Р» ^а» Р_р, получим: ^0^а + р= 7(cos (а + Р) - 1)2 + (sin (а + Р) - 0)2, Р„Р_р = л/(со8 а - cos (~Р))^ + (sin а - sin(-P))2. Так как длины отрезков равны, то 7(cos(a + Р) - 1)^ + sin^ (а + Р) = = 7(cosa - cosp)2 + (sina + sinP)^ . Возведём обе части этого равенства в квадрат: (cos (а + Р) - 1)2 + sin2 (а + р) = = (cos а - cos Р)2 + (sin а + sin Р)^. Преобразуем левую часть полученного равенства: (cos (а + Р) - 1)2 + sin2 (а + Р) = = cos2 (а + Р) - 2 cos (а + Р) + 1 + sin2 (а + р) = = 2-2 cos (а + р). Теперь преобразуем правую часть равенства: (cos а - cos р)2 + (sin а + sin Р)2 = = cos2 а - 2 cos а cos р + cos2 р + sin2 а + 2 sin а sin р + sin2 р = = 2-2 (cos а cos р - sin а sin Р). Следовательно, 2 — 2 cos (а + р) = 2 - 2 (cos а cos Р - sin а sin Р). Отсюда cos (а + Р) = cos а cos р - sin а sin р. С Формула косинуса суммы cos (а + Р) = cos а cos р — sin а sin р Заменяя в этой формуле р на -Р: cos (а - р) = cos а cos (-р) - sin а sin (-р), получим cos (а - р) = cos а cos Р + sin а sin р. С 3 Формула косинуса разности cos (а — Р) = cos а cos Р+ sin а sin Р 22. Синус и косинус суммы и разности двух углов С ПОМОЩЬЮ формул приведения выведем формулу синуса суммы: sin (а + Р) = cos ^ I - (а + p)j = cos I - aj - pj j = = cos I “ o(. cos P + sin I “ ot sin p = = sin a cos p + cos a sin p. c Формула синуса суммы sin (a + P) = sin a cos P + cos a sin p J Згшеняя в этой формуле р на -р: sin (а - р) = sin а cos (-Р) + cos а sin (-р), получим sin (а - Р) = sin а cos р - cos а sin р. С Формула синуса разности sin (а — Р) = sin а cos Р — cos а sin р 3 Пример 1. Доказать тождество cos (а - Р) - cos (а 4- Р) = 2 tg а. sin (а + Р) - sin а cos р Доказательство. Преобразуем левую часть равен- ства: cos (а - Р) - cos (а + Р) ^ sin (а + Р) - sin а cos Р ^ cos geos Р + sin asin Р - (cos acos P -T sin asin p) _ sin acos P -I- cos asin p - sin acos a - P =2tga, COS asm p что и требовалось доказать. Пример 2. Упростить выражение cos 75°cos 65° - sin 75°sin 65° sin 85°cos 35° - cos 85°sin 35° Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА В числителе дроби замечаем правую часть формулы косинуса суммы, а в знаменателе — синуса разности: cos 75°cos 65° - sin 75°sin 65° _ cos (75° + 65°) _ sin 85°cos 35° - cos 85°sin 35° “ sin (85° - 35°) “ _ cos 140° _ cos (90° + 50°) _ -sin 50° _ sin 50° sin 50° sin 50° Упражнения ЗбзР Найдите длину хорды единичной окружности: 1)Ро^я; 2)Р,Р2,; 3)РоР,; 4)Р„Рр. 2 2 2 364. Преобразуйте выражение, используя формулы синуса и косинуса суммы и разности: 1) cos (а° + 70°); 9)sin^(p-|j; 2) cos (20° + р°); 10) sin ^ у - pj; 11) cos ^ф- Y j; 12) cos IY + pjj 13) cos (a + a); 3) cos |^a+ - j; 4) cos - pj; 5)cos( - + y|; 6)cos(p-^ I; 14)cos 1 a - - |; 7) sin j^a + - I; 8) sin ^ ^ ^ 365. Найдите: 15) sin l^p -T - j; 16) sin (a + a). 24 1) sin (a + P), если sin a = - , sin P = — , 0 ^ ^ 3 7Г 7Г ^ о ^ п<а< — и - <р<л; 5) sin ^ j, если tga=^,0 ^2 = “Н + , п е Z. Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА Пример 3. Доказать тождество cos 2а _ 1 - tg^ а 1 4- tg2 а * Решение. Преобразуем правую часть равенства: 1 - sin^ а cos^ а - sm*' а 1 - tg^ а ^ cos^ а ^ cos'^ а 1 + tg2 а ^ ^ sin^ а cos^ а + sin^ а cos^ а cos^ а = cos^ а - sin^ а = cos 2а, что и требовалось доказать. Упражнения 397. Преобразуйте по формулам двойного угла выражение: 15) sin За; 1) sin 22°; 04 • 2я 8) sin —; 2) sin 42°; 9)cos ^; 3) cos 14°; 10) cos Y; 4) cos 66°; 11) tg 0,3я; 5) tg 26°; 12) tg^; 6)tg51°; 13) sin a; 7) sin 0,2я; 14)cos a; 16)cos - ; 17) О sin (а + Р); 18) ^ cos (а - Р); 19)^ sin ( ^ - ф 20)^ cos ( ^ + ф I; 21)Otg +ф1. 398. Найдите значение: 1) sin 2а, если sin а = 0,8 и 0 < а < - ; 2) sin 2а, если cos а = -0,96 и 0 < а < я; Л 3) cos 2а, если sin а = ^ ; 4 4) cos 2а, если cos а = _ V3. 3 ’ 5) tg 2р, если tg р = -0,75; 6) tg 2Р, если tg Р = - . 0 .Л 24. Тригонометрические функции двойного угла 399. В какой четверти находится угол а, если: 1) sin а > О, sin 2а > 0; 3) sin а < 0, sin 2а > 0; 2) sin а > о, sin 2а < 0; 4) sin а < 0, sin 2а < 0? 400. Преобразуйте в синус, косинус или тангенс некоторого угла выражение: 1) 2 sin а cos а; 2) 2 sin 2а cos 2а; 3) 2 sin 12° cos 12°; 4) 2 cos 12° sin 12°; 5) 2 cos 67,5° sin 67,5°; 6) 2 cos 105° sin 105°; 7) cos2 70° - sin2 70°; 8) cos2 75° - sin2 75°; 9) cos2 22,5°-sin2 22,5°; 10)cos2 112,5°-sin2 112,5°; 11)^ COs2 ^ - sin' a . 2 ’ 12) cos2 ^2^ ~ 2 ^ ; 13) 2 sin 1 ^ j cos ^ ^ - a 1; 14) 2 sin I ^ + ctl cos f ^ + a 1; 15) 16) 17) 18) 2tg 10° , 1 - tg2 10° ’ 2tg 70° . 1 - tg2 70° ’ l-tg2|’ 2tg g + p 401. Сократите дробь, используя формулы двойного угла и формулы приведения: 1) sin66° . 2sin33° ’ 2^ sin50° 3) - 4) sin 25° ’ cos20° sin 10° + cos 10° ’ cos 18° - sin 18° . cos36° ’ 5)® !)• S)^ 2 sin 160° . sin40° 2sin 153° . cos36° ’ cos2 40° — sin2 40° 2 sin 5° sin40° sin25° + cos25° ’ 402.1) Упростите выражение, используя формулу синуса двойного угла: а) 2 sin 10° cos 10°; б) 2 sin 10° cos 10° cos 20°; Глава 4, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА в) ^ cos 10° cos 20° cos 40° cos 80°; г) ® cos a cos 2a cos 4a cos 8a cos 16a. 2) Сколько раз вы использовали формулу синуса двойного угла в каждом случае? 3) В чём вы видите усложнение каждого следующего выражения? 403. Вычислите координаты точек пересечения графиков функций: 1) ^ = sin^ хну = cos^ х; 2) у = 3 cos хи у = д sin 2х. 404. Укажите наименьшее положительное число л:, при котором: 1) sin х° = sin^ 75° - 2 sin 75° cos 75° + cos^ 75°; 2) cos jc° = cos^ 105° - sin^ 105°. 405. Решите уравнение, применяя формулы двойного аргумента: 1) 2 sin X cos X = 1; 2) cos^ X — sin^ X = -; 3) 4 cos ^ sin ^ = 0; 4) sin^ I - cos^ I -1 = 0. 406.* Решите уравнение, понижая его степень с помощью формул: 1) sin^ X -Ь cos"^ X = 1; 2)* sin^ х + cos® х = 1. С о 1 — cos 2 а cos'^ а =--------г------- sin^ а = 1 — cos 2а 3 407.^ Докажите тождество: 1) cos^ а - sin** а = cos 2а; 2) sin а cos а cos 2а = 7 sin 4а; 4 3) ^sin I 4- cos I j =14- sin a; 4) l^sin I - cos I j' = 1 - sin |; 5) 1 - 8 sin^ 7 cos^ 7 = cos a; 4 4 6) cos^ 2 “ ^ 4 4 ^ 24. Тригонометрические функции двойного угла 7) sin 2а - tg а = cos 2а tg а; 8) ctg I - sin р = ctg I cos p. 408P Проверьте равенство: I ^ ^ i ’ 71 где п е Z. 1^ Примечание 2. Запишем уравнение-cos 2 дс = sin 2л: в виде sin 2л: + cos 2л" = О и преобразуем его левую часть, вводя вспомо- л гашельшлй, угол. Для этого умножим обе части уравнения на ^ и ТГ 7Т а/З воспользуемся тем, что sin - = cos ^ \ 4 4 2 ^ sin 2х+ ^ cos 2л: = cos 7 sin 2л: + sin 7 cos 2л: = sin ( 2л: -f- 7 V 2 2 4 4 \ 4 J Получим: sin ^2л: j = О, 2л: = яп, 2л: = -7 Ч- ян, л: = -3 Ч- ^ , где п Е Z. 4 о 3 ▼ Приём введения вспомогательного угла всегда позволяет заменить синусом или косинусом выражение а sin х + Ь cos х. Для этого надо добиться, чтобы коэффициенты синуса и косинуса являлись соответственно косинусом и синусом некоторого угла, т. е. чтобы сумма их квадратов оказалась равной 1: а sin X + Ь cos jc = Ч- ^ sin л: Ч—— I 7а2 ч- 62 7^ cos X = 2 -1^ = Ч- (cos ф sin X Ч- sin ф cos л:) = Ja^ ч- Ъ где ф = arccos = arcsin Введение вспомогательного угла особенно удобно, когда вспомогательный угол табличный, т. е. равен ±3 , ±7 и т. п. о 4 26. Решение тригонометрических уравнений Например, при решении уравнения cos л: - л/З sin х = 1 имеем: л/l 3 =2, X • 7t • 7С • _ I 1^1 - cos 2 ^ ^ 3 ^ “ sin - sin X — cos 1^+3 I» “±i +2nn, 2я x^ = 2ппу X2 = —5- -I- 2ппу где n e Z. A О Пример 6. Решить уравнение sin х + sin Зх = 4 cos^ х. Решение. Перенесём все члены в левую часть и преобразуем её: sin X + sin Sx — 4 cos^ x = 2 sin 2x cos x - 4 cos^ x = = 2 cos X (sin 2jc - 2 cos x) = 2 cos x (2 sin x cos x - 2 cos x) = = 4 cos^ X (sin X - 1). Уравнение приобрело вид: 4 cos^ x (sin лг - 1) = 0. Поскольку левая часть уравнения имеет смысл при всех значениях х, получаем два случая: cos л: = 0 или sin л: - 1 = 0, sin лс=1;лс:=^ +Т1п или лс = ^ + 2ля, где п е Z. Поскольку вторая серия корней полностью содержится в первой, её в ответе не указываем. Ответ: ^ + пп, где п е Z. Упражнения кж: 3) (sin X — cos х)^ -1=0; 4) sin^ лс - 6 sin лс = 0. 430. Решите уравнение: 1) 2 cos X + Vs = 0; 2) cos^ X + cos X = -sin^ x; 431.1) Решите уравнение, сведя его к квадратному: а) 2 cos^ X + cos лс - 1 = 0; б) 2 sin^ лс - 3 sin л: - 2 = 0; в) 6 - tg jc = tg2 х; r)2tg X - Ь ctg л: = 3; д) cos X - sin^ л: = 1; f*'- Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА е) sin х = 5 + cos^ х; ж) 2 cos^ X + 4 = -sin х; з) 8 cos^ X - 6 sin^ л: + 1 = 0. 2) Выделите особенности уравнений, сводящихся к квадратным. 432.1) Решите однородное уравнение: а) sin X 4- cos х = 0; б) sin^ X - Js sin X cos дс: = 0; в) sin^ X + sin X cos x - 2 cos^ x = 0; r) sin^ X cos^ л: - 3 cos'* л: = 0. 2) Выделите особенности данных уравнений. 3) • Какими ещё способами можно решить данные уравнения? 43зР 1) Решите уравнение, сведя его к однородному: а) 6 sin^ X -Г sin х cos х - cos^ х = 2; б) 3 sin^ х + 4 sin X cos х-3 cos^ jc - 2 = 0. 2) Чем отличаются эти уравнения от однородных уравнений? 434Р 1) Используя формулы, решите уравнение: а) cos^ X - sin^ jc = -1; в) cos'* х + sin“* х = 1; б) cos'* X - sin'* д: = 1; г) cos® х + sin® д: = 1. с cos 2а = cos^ а — sin^ а 2 ^ 14- COS 2а cos-^ а =------------ sin'* а = 1 — cos 2а 2) Какие уравнения решаются с помощью формул понижения степени? 435Р 1) Решите уравнение с помощью разложения на множители: а) (cos jc - 1)2 = cos2 я: - 1; б) cos X - cos 2д: = 1; в) sin X 4- sin 2jc + sin Зд: = 0; г) ® cos X 4- cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0. 2) • Укажите, в каком задании при разложении на множители использовались: способ группировки, вынесение за скобки, формулы сокращённого умножения. 26. Решение тригонометрических уравнений 436®. Используя условия равенства одноимённых функций, решите уравнение: 1) sin 4х = sin 7х; 4) ctg 5х - ctg х = 0; 2) cos 4х - cos 5х = 0; 3) tg Sx = tg 5л:; 5) sin [ 6л: - | j = sin |^2л: + ^ 6) cos I 2л: +1 j = -cos |. f sin a = sin p: a = p + 2лп или a = —P + (2n. + 1)л, neZ; Л I cos a = cos P: a = ±P + 2mi, n e Z; I I tg a = tg p, ctg a = ctg p: a = p + яп, neZ J 437. ® Запишите условия, при которых выполняются ра- венства sin а = cos Р и tg а = ctg р. Используя полученные условия, решите уравнение: 1) sin Зл: = cos 4л:; 2) tg 2л: = ctg 5л:. 438. ® Докажите, что если х^ + = 1, то суш;ествует такое число ф, что одновременно sin ф = л: и cos ф = у. 439. ® Докажите, что не имеет корней уравнение (sin л: + ^/3 cos х) sin 4л: = 2. 440. ^ Определите, если возможно, тип уравнения. Составьте план решения и выполните его. 1) sin^ 2л: -f- 2 cos^ 2л: = 7 ; 4 2) 3 cos^ х + 4 sin л: = 4; 3) sin 2л: - sin л: = 2 cos л: - 1; 4) sin^ X - Jb sin X cos л: = 0; 5) cos2 (45° + л:°) - cos^ (45° - л:°) = -1; 6) sin^ X cos X - sin x cos^ 7) cos x+ Jb sin л: = 1; 8) cos Зл: = cos 5л:; 9) sin^ л: - 10 sin x cos л: -f- 21 cos^ л: = 0; 10) 1 + cos Зл: + cos 7л: -f cos lOx = 0; 11) 2 sin^ л: = 4 - 5 cos x; 12) 7 sin^ л: = 8 sin x cos x - cos^ x; 13) sin 2л: cos Зл: -I- cos 2л: sin Зл: = 1; Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 14) 3 sin^ X + 2 sin х cos х = 2; 15) sin (л: + 7i) = cos ^ ^ + Jcj; 16) л/З cos X - sin X = 1; 17) cos'^ 2x - sin'* 2л: = I; 18) 1 + sin X + cos X + sin 2л: + cos 2л: = 0. 441. Найдите наименьший положительный корень уравнения 4 sin Зл: sin л: - 2 cos 2л: + 1 = 0. 442^ Найдите на отрезке [-л; п] все корни уравнения cos 2л: + sin^ х = cos х. 443Р Найдите на отрезке [-л; л] все корни уравнения 2cos^ X + cos X _ _ 1 2 cos X + Tsin^ X 2 444^ Найдите все решения уравнения: 1) sin 2л: + cos л: + 2 sin л: = -1, удовлетворяющие условию о < л: < 5; ■» 2) Js sin л: -Ь 2 cos х = Js + sin 2л:, удовлетворяющие условию о < л: < 2. 44sP При каких значениях а наибольшее значение функции у = а sin X -f cos х равно 5? 446. Решите уравнение: 1) 4sinx = 2; 2) # 5 -Ь 2*^= 3 • 4 "" ; 3) 0 ~ Зх _ g(sin X - cos х)2 _ 4) * ctg 2^ = tg 2-^ -Ь 2 tg 2^ + 1. ДД Контрольные вопросы и задания 1. Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете? 2. Решите уравнение: а) tg2 л: - 3 = 0; б) 6 sin^ л: - cos х= 5; в) sin^ X - sin 2л: = 0; г) л/З cos^ X - sin X cos л: = О. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И КОМБИНАТОРИКИ ю 27. Понятие о вероятности Каждому из нас хотелось бы, конечно, уметь предвидеть события будущего. Так, зная, какие задания достанутся на ЕГЭ, можно подготовить верные ответы и получить много баллов. К сожалению, во многих случаях неизвестно, какое из возможных событий произойдёт, а какое — нет. Вместе с тем, ожидать одних событий обычно бывает больше оснований, чем других. Так, например, вытаскивая карту из хорошо перетасованной колоды, лучше рассчитывать на то, что эта карта не окажется тузом, чем на то, что будет вытащен туз. Хотя оба события возможны, но их возможности имеют как бы разную степень. Для оценки этой степени математики разработали понятие вероятности. Так, в примере с картами вероятность вытащить туза меньше, чем вероятность вытащить какую-нибудь другую карту, а вероятности вытащить туза и короля равны. Пусть некоторое действие (эксперимент) обязательно приводит к одному из п равновероятных результатов (исходов), и в т из них происходит интересующее нас событие А (эти исходы будем называть благоприятными для А). Вероятность события А равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновероятных исходов. Р(А) = - \ Напомним, что если для А благоприятны все исходы, то событие А достоверное и его вероятность равна 1. Если же исходов, благоприятных для события, нет, то его вероятность равна О, и событие называют невозможным. ^ Иногда вероятность выражают в процентах, принимая число 1 за 100%. Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И КОМБИНАТОРИКИ Пример 1. Найти вероятность вытащить туза из карточной колоды, в которой 36 карт. Решение. При вытаскивании карты ею с равной вероятностью может оказаться любая из 36 карт колоды, значит, всего это действие имеет 36 равновероятных исходов. В каждой из четырёх карточных мастей есть свой туз, значит, в колоде четыре туза, и четыре из всех исходов благоприятны. Вероятность вытащить туза: ^ ^ ^ | ’ Ответ: |. Использование формулы вероятности возможно только тогда, когда все возможные исходы эксперимента равновероятны и, кроме того, их множество конечно. Однако часто эти условия не выполняются. Пример 2. Какова вероятность того, что подброшенная вверх пуговица упадёт и останется лежать выпуклой стороной вверх? Решение. В отличие от монеты, симметрия которой даёт основания считать равновероятными выпадение орла и решки, у пуговицы стороны по форме разные. С другой стороны, понятно, что искомая вероятность существует. На помощь в её поиске приходит статистический^ эксперимент. Будем подбрасывать пуговицу и считать, сколько раз она ляжет выпуклой стороной вверх (можно сократить время эксперимента, если подбрасывать одновременно несколько одинаковых пуговиц). Результаты такого эксперимента занесены в таблицу. Число бросков (л) 10 50 100 200 300 Выпуклость вверх (т) 7 31 59 122 178 Отношение mv.n\ — 0,7 0,62 0,59 0,61 0,59 ^ Математическая статистика — наука, изучающая методы обработки результатов наблюдения. 27. Понятие о вероятности Отношение числа случаев, когда пуговица оказывается выпуклостью вверх, к обш;ему числу случаев называют частотой соответствующего исхода. Можно заметить, что частота падения пуговицы выпуклостью вверх с увеличением числа п меняется незначительно, оставаясь приближённо равной 0,6. То есть пуговица падает выпуклой стороной вверх в среднем 6 раз из 10. Значит, вероятность того, что подброшенная пуговица упадёт выпуклой стороной вверх, приближённо равна 0,6: ■^выпуклость вверх ~ Понятно, ЧТО ДЛЯ другой пуговицы значение вероятности может оказаться иным. Из 33 букв русского алфавита некоторые буквы используются чаще, чем другие. Какая из них самая «трудолюбивая»? Пример 3. Какова вероятность того, что выбранная наугад буква в первом абзаце этого пункта окажется буквой «а»? Решение. Всего в первом абзаце 654 буквы, буква «а» среди них встречается 52 раза, значит, вероятность того, что выбранная наугад в первом абзаце буква является буквой 54 «а», равна , т. е. примерно 8% . Упражнения 447. Какова вероятность того, что карта, наугад вытащенная из карточной колоды, в которой 36 карт, окажется: 1) червой; 2) картинкой; 3) валетом или королём? 448. Какова вероятность того, что число очков при броске игральной кости окажется: 1) больше 2; 2) простым числом; 3) числом, кратным 3? 449. Какова вероятность того, что наудачу выбранное: 1) целое число от 40 до 70 является кратным 6; 2) целое число от 1 до 30 является кратным 3; 3) двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно? 450. Лотерейные билеты пронумерованы целыми числами от 1 до 200 включительно. Какова вероятность того, что номер наудачу взятого билета кратен 7 или 5? Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И КОМБИНАТОРИКИ 451. В НИИ работает 120 человек, из них 80 знают английский язык, 60 — немецкий, а 50 — знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наугад сотрудник не знает ни одного из этих языков? 452. В семье двое детей. Какова вероятность того, что они оба мальчики, если: 1) старший ребёнок мальчик; 2) один из них мальчик? (Считать, что вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы.) 453. Вычисляя вероятность выпадения хотя бы одной решки при бросании двух монет, Таня рассуждала так: «Выпадение хотя бы одной решки складывается из двух возможностей — выпадение решки на первой монете и выпадение решки на второй монете. Вероятность выпадения решки для любой из монет равна ^,^-1-^=1. Значит, выпадение хотя бы одной решки — событие достоверное, т. е., как ни бросай две монеты, а хоть одна решка да выпадет!» 1) В каком месте своих рассуждений Таня допустила ошибку? 2) Как надо было рассуждать в данном случае и чему в действительности равна вероятность выпадения хотя бы одной решки? 454. В коробке находятся две карточки. Обе стороны одной из них белые, а у другой одна сторона белая, а другая чёрная. Из коробки наугад вытаскивают одну карточку и кладут её на стол так, что цвет её нижней стороны не виден. Если цвет верхней стороны карточки окажется белым, то какова вероятность, что у этой карточки нижняя сторона чёрная? 455. Проведите статистический эксперимент и найдите приближённое значение вероятности того, что подброшенная канцелярская кнопка упадёт остриём вверх. 456. С какой вероятностью выбранная наугад буква в первом абзаце этого пункта окажется буквой: 1) «р»; 2) «е»? 457. В 1838 г. изобретателем электрического телеграфа американцем Морзе для передачи телеграмм была придумана специальная азбука. Каждая буква азбуки Морзе записывается в виде последовательности точек и тире. Объясните, почему в азбуке Морзе буква «е» передаётся одной точкой, а буква «э» набором из пяти символов «..—..». 27. Понятие о вероятности 458. В примере 3 и в задании № 451 были найдены вероятности того, что наугад выбранная буква абзаца этого пункта окажется буквой «а», «р», «е». Выполните аналогичные расчёты, взяв страницу своей любимой книги и заполнив таблицу. Буква а Р е Сколько раз она встретилась на странице (т) Р « — , где п — число всех букв на странице п Выберите наугад букву (закрыв глаза и ткнув пальцем). Повторите этот эксперимент 100 раз. Сколько раз вы попали в букву «а», букву «р», букву «е»? Подтверждается ли найденная вами оценка вероятности? 459. Как вы думаете, почему буквы на клавиатуре компьютера расположены не в алфавитном порядке? Почему в разных местах расположена на русской и английской клавиатуре буква «о», одинаковая в этих двух алфавитах? 460. При контрольной оценке всхожести зёрен пшеницы из 1000 зёрен 27 оказались невсхожими. Какова вероятность, что наугад взятое зерно из этой же партии окажется всхожим? 461. Из коробки, в которой лежат десять шаров, наугад вынули один шар, а затем положили его обратно в коробку и перемешали шары. Этот эксперимент проделали 100 раз, и в результате 72 раза был вытаицен белый, а 28 раз чёрный шар. Как вы думаете, сколько в коробке чёрных шаров? Контрольные вопросы и задания На чемпионате мира по фигурному катанию в сильнейшей подгруппе женской произвольной программы выступают 6 спортсменок: по одной из России и США, по две из Канады и Японии. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что последней будет выступать спортсменка из Японии? Приведите пример достоверного события, которое не складывается из равновероятных возможностей. Подброшенный над столом спичечный коробок, упав, иногда остаётся стоять на своей грани, покрытой серой. Найдите экспериментально приближённое значение вероятности такого события. 1. 2. 3. Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И КОМБИНАТОРИКИ ю 28. Вычисление числа вариантов Во многих случаях нахождение как числа всех возможных, так и числа благоприятных исходов сводится к подсчёту числа комбинаций, которые можно составить из элементов одного или нескольких множеств. Решением таких задач занимается специальный раздел математики — комбинаторика. С ним вы начали знакомиться в основной школе. Одно из основных правил комбинаторики — правило произведения. Его можно сформулировать следуюш,им образом. Г Правило произведения Если один из элементов комбинации можно выбрать п способами, каждому из которых соответствует т возможностей выбрать другой, то существует пт способов выбора этих двух элементов. Пример 1. Из города А в город В можно доехать на поезде или на автобусе, а также можно долететь на самолёте. Из города В в город С идут поезда, автобусы и теплоходы. Считая все маршруты равновероятными, найдите вероятность поездки из А в С на одном виде транспорта. Решение. Есть всего две возможности добраться из А в С, не меняя вида транспорта: на поезде или на автобусе. Поездка из А в С состоит из двух этапов. И на первом, и на втором этапе есть по три возможности выбора вида транспорта. По правилу произведения находим число различных маршрутов: 3*3 = 9. По условию задачи все маршруты равновероятны, значит, вероятность поездки из А в С на одном виде транспорта рав- на|.Ответ: |. При подсчёте числа комбинаций необходимо знать, важен ли порядок, в котором размещаются элементы в комбинации, или комбинации различаются только составом своих элементов. 28. Вычисление числа вариантов Пример 2. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Решение. При записи пятизначного числа важно, в каком порядке идут его цифры. Первой можно записать любую из данных пяти цифр, вторую цифру можно присоединить к первой четырьмя способами, так как одну из данных цифр уже использовали. По правилу произведения выбор первых двух цифр можно осуществить 5 • 4 способами. Каждому из них соответствует 3 варианта присоединения третьей цифры, значит, первые три цифры можно записать 5 • 4 • 3 способами. Четвёртой цифрой может оказаться любая из двух оставпгихся, т. е. первые 4 цифры можно выбрать 5 • 4 • 3 • 2 способами. Выбор последней пятой цифры предопределён выбором предшествующих, когда из пяти цифр выбрали четыре, осталась единственная цифра. Всего получилось 5*4*3*2*1 = 120 разных пятизначных чисел. Заметим, что каждое из этих чисел получается, например, из числа 12345 перестановкой его цифр. Ответ: 120 чисел. Комбинации, которые получаются при перестановке элементов некоторого набора, так и называют перестановками. А число всех перестановок, состоящих из п различных элементов, обозначают как Р„. В задаче Р5 = 1*2*3*4*5 = 120, а вообще, формула числа перестановок имеет следующий вид. С Формула числа перестановок из п элементов = 1 • 2 • 3 • ... • (п - 1) • п = п! ) Пример 3. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Решение. Рассуждаем так же, как в примере 2. Первой можно записать любую из данных 7 цифр. Вторую цифру можно присоединить к первой 6 способами, так как после выбора первой осталось шесть цифр. По правилу произведения выбор первых двух цифр можно осуществить 7 • 6 способами. Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И КОМБИНАТОРИКИ Каждому из них соответствует 5 вариантов присоединения третьей цифры, значит, первые три цифры можно записать 7 • 6 • 5 способами. Четвёртой цифрой может оказаться любая из 4 оставшихся, т. е. первые 4 цифры можно выбрать 7 • б • 5 • 4 способами. Последнюю пятую цифру выбираем из оставшихся трёх. Всего получилось 7 • б • 5 • 4 • 3 = 2520 разных пятизначных чисел. По сути дела, при записи пятизначного числа размеш;а-лись по определённым местам 5 из 7 данных элементов. Полученные при этом комбинации элементов так и называют размещениями. Число всех размещений из 7 различных элементов по 5 обозначают (читают: а из семи по пять). А?=7.6.5.4.3 = ^®*"-4‘3-2-1 2 • 1 (7-5)!’ Формула числа размещений из п по m п\ Лт — ^ {п — т)\ ш Замечание. Размещение из п элементов по п является перестановкой этих п элементов, поэтому = п.!. Однако при т = п в знаменателе правой части формулы числа размещений получается выражение 0! Чтобы равенство = п1 было верным, принято считать, что 01 = 1. Определение факториала J 1 • 2• ...» 7t, при п. = 2, 3, 4,..., — 11, при п = 0,1 J К решению задачи примера 3 можно подойти иначе. Вместо того, чтобы выбирать по одной цифре из 7, выберем сначала сразу все 5 цифр числа, не важно, в каком порядке, и будем затем их переставлять. Обозначим число вариантов, ко- с торыми можно выбрать 5 цифр из 7, как . Тогда каждому из этих вариантов соответствует перестановок выбранных цифр, а всего из данных 7 цифр можно будет составить Cj * пятизначных чисел. Как видно в примере 2, должно 28. Вычисление числа вариантов 5 5 получиться число размещений из 7 по 5: Су • Р5 = Ау , да получаем число вариантов выбора 5 элементов из 7: Отсю- ^5 А§ 7-6»5»4»3 1•2-3-4-5 7-6 2 = 21. Выбирая 5 цифр из 7 данных, обращаем внимание не на порядок выбора, а только на сочетание элементов, т. е. на то, какие элементы выбирали. Результат такого выбора называ- ют сочетанием. Число сочетаний имеет вид А ^ Гт = !_«. р ' ИЗ п элементов по т Подставив выражения для А\ числа сочетаний. и Р , получим формулу Формула числа сочетаний из п элементов по т п1 ml(n — т)1 Пример 4. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 составляются все возможные пятизначные числа, цифры в которых не повторяются. Найти вероятность того, что случайным образом выбранное из них число окажется кратным 3. Решение. Кратность трём определяется суммой цифр числа и не зависит от их порядка в его записи. Все выборки пяти цифр из семи равновероятны и являются сочетаниями. Всего таких сочетаний Су =21. Выберем из этих сочетаний те, сумма цифр которых кратна 3. Таких сочетаний 7: 12345, 12567, 12357, 14367, 12456, 23457 и 24567. По формуле вероятности получим Р = Ответ: ^ . О 1 3 * Пример 5. Привести к многочлену стандартного вида выражение (а + ЬУ. Решение. Представим четвёртую степень двучлена как произведение двучленов: (а + ЬУ = (а + Ь)(а + Ь)(а + Ь)(а -t- Ь). Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И КОМБИНАТОРИКИ После раскрытия скобок (до приведения подобных слагаемых) должен получиться многочлен, каждый из членов которого является произведением четырёх множителей, выбираемых по одному из каждой скобки. При этом может получиться 5 различных одночленов: а^, a^‘b^‘y аЪ^ и М. Если во всех скобках выбрать первый член, то получится а**, если же первый член выбрать только в третьей скобке, а в остальных трёх скобках — второй, то получится аЬ^. Такие же одночлены получатся, если выбрать а только в первой, только во второй или только в четвёртой скобке. Значит, после раскрытия скобок образуется четыре одинаковых одночлена аЬ^. После приведения подобных они образуют член АаЬ^, Коэффициент этого члена равен числу способов выбора одной скобки, в которой выбирается а из четырёх. Аналогично, коэффициент одночлена с буквенной частью окажется равным числу способов выбора двух скобок из четырёх. Порядок выбора скобок роли не играет, важно лишь, из скольких скобок в одночлен идёт множитель а. Таким образом, речь идёт о сочетаниях. Как мы уже говорили, одночлен получается при выборе всех четырёх скобок из четырёх, одночлен аЬ^ — при выборе одной скобки из четырёх и т. д. Член получится, если ни в одной из скобок не брать а. После приведения подобных слагаемых каждый коэффициент многочлена стандартного вида окажется равным числу соответствующих сочетаний из четырёх элементов: (а + ЬУ = С| + С|а^Ь + С|+ С\ аЬ^ + С^Ъ‘^. По формуле числа сочетаний: 4! .. 4! 4-3! = ^ 4!-О! = 1; Г>2 = ГЗ = ^ 3! • II 3! -1 = 4; 4! 4-3-2 = 6. 2!-(4-2)1 2-2 Заметим, что = С" “ , так как при замене т на п - т в формуле числа сочетаний меняется только порядок сомножителей в знаменателе дроби п1 ml(n - т)\ * Значит, С| = С| " ^ = С| = 4 и Cj = С| " ® = С| = 1. Окончательно имеем: (а -f ЬУ = -Ь 4а^Ь + ба^Ь^ + 4аЬ^ + 28. Вычисление числа вариантов В общем виде это равенство называют формулой бинома Ньютона, а коэффициенты многочлена в правой её части называют биномиальными. Г Формула бинома Ньютона (а + b)'^ = a'^-^b+ ^Ь^ + ... ... + С2 Cl ab'^-^ + C^b”^ Упражнения 462. 463 464. 465 466 467. 468 Из пункта А в пункт В ведут четыре дороги, а из пункта В в пункт С — три дороги. Сколько различных маршрутов, проходящих через В, ведёт из пункта Л в пункт С? Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найдите вероятность того, что у него снова получится слово «книга». Из карточной колоды, в которой 52 карты, наугад вынимают две карты. Какова вероятность того, что: 1) только одна из карт: а) бубна; б) туз; в) картинка; 2) обе эти карты: а) бубны; б) тузы; в) картинки; 3) 0 хотя бы одна из карт: а) бубна; б) туз; в) картинка? Какова вероятность того, что при 5 бросаниях монеты она 3 раза упадёт гербом вверх? Сколькими способами можно: 1) выбрать 2 из 6 разных открыток; 2) расставить на полке 7 разных книг; 3) из 10 кандидатов выбрать четырёх на четыре различные должности; 4) из 12 кандидатов выбрать трёх на конференцию; 5) из цифр О, 2, 4, 6, 8 составить различные пятизначные числа, чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр; 6) выбрать две гласные буквы из слова «комбинаторика»? Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность, что сумма выпавших очков окажется: 1) простым числом; 2) чётным числом; 3) числом, кратным 3; 4) числом, кратным 5? 1)В урне находится 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынимают два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара не окажутся одного цвета. Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И КОМБИНАТОРИКИ 2) в урне находится 10 белых и 6 чёрных шаров. Найдите вероятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара не окажутся одного цвета. 469. На почте имеется 18 видов красочных открыток. Сколькими способами можно выбрать из них 3 разных открытки? 470. В автобусе 20 мест. 1) Сколькими способами: а) три пассажира могут занять места в этом автобусе; б) 20 пассажиров можно рассадить в этом автобусе? 2) ^ С какой вероятностью при случайной рассадке пассажиров в автобусе Саша и Коля окажутся соседями, если места в автобусе сгруппированы по 2? 471. Сколькими способами можно разложить 5 поздравлений: 1) по 5 конвертам; 2) по 6 конвертам? 472. В четыре подписанных конверта случайным образом кладут четыре письма. Найдите вероятность того, что: 1) все письма окажутся в «правильных» конвертах; 2) 0 письмо г-ну Иванову окажется в «правильном» конверте; 3) 0 только одно из писем окажется в «правильном» конверте; 4) # два письма окажутся в «правильных» конвертах, а два других — нет. 473. ® Николай, Александр и ещё 9 юношей случайным образом выстраиваются в линейку. С какой вероятностью Николай и Александр окажутся соседями? 474. На плоскости отмечено 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? 475. ® Сколько существует точек пересечения диагоналей вы- пуклого 17-угольника, если никакие три из диагоналей не проходят через одну точку? 476. Сколькими способами четыре девушки могут разбиться на команды для парной игры в теннис? 477. Сколькими способами 22 ученика спортшколы могут разбиться на команды для игры в футбол (в каждой команде должно быть по 11 игроков)? 478. '^Сколькими способами 22 ученика спортшколы могут разбиться на команды для игры в футбол, если только двое могут стоять в воротах? 28. Вычисление числа вариантов 479. Сколькими способами 6 школьников можно разделить: 1) на две равные по численности группы; 2) на группы, в одной из которых 2, а в другой 4 школьника? 480. Сколькими способами 10 школьников можно разделить: 1) на две рЕшные по численности группы; 2) на три группы, в одной из которых 5, в другой — 3, а в третьей 2 школьника? 481. Из колоды в 36 карт случайным образом вытаскивают сначала одну карту, а затем другую. Какова при этом вероятность того, что: 1) обе карты будут одной масти; 2) обе карты будут одного достоинства; 3) вторая карта окажется «старше» первой? 482. Из колоды в 36 карт случайным образом берут 6 карт. 1) Сколько при этом существует различных вариантов? 2) Найдите вероятность того, что среди этих 6 карт будет: а) только один туз; в) все четыре туза; б) хотя бы один туз; г) хотя бы одна бубна. 483. Среди 25 учеников класса разыгрываются 15 билетов в театр. Найдите вероятность того, что: 1) Коле достанется билет; 2) Коле и Саше достанутся билеты; 3) ни Коле, ни Саше билетов не достанется. 484. Вычислите: 1) ^?; 3)С|; 5)Л[2; 2) Ps; 4) Ре; 6) C^ 485. Запишите формулой и упростите: 1) число размещений из п -Ь 1 элементов по k — 1; 2) число сочетаний пз k + 2 элементов по /г - 1; 3) число перестановок пз т-2 элементов. 486. Верны ли равенства: 1) С|-С|; 3)С| + С|-С^ 2) ^12 ~ ^12 ’ ^10 ^10 ~ ^11 ^ 487. ® По формуле (а -f ЬУ = С"а” -Ь а’^~^Ь + С”“^ Ч-... -Н С2 а2&«-2+ CJ -Ь CJ Ь" Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И КОМБИНАТОРИКИ представьте в виде многочлена стандартного вида: 1) (c + d)6; 3) (2А - Зп)4; 2) (Ь + 2с)5; 4) (т + п)\ 488. Используя формулу бинома Ньютона, определите, какой коэффициент будет иметь член многочлена (х + 2)^®, содержащий седьмую степень переменной х. 489. ® Преобразуйте в многочлен стандартного вида степени двучленов: 1) (X - 2)6; 3) (3 + г/)7; 5) (х + + (х - 2)6; 2) (X + 2)6; 4) (3 - уУ; 6) (3 + уУ - (3 - уУ, 490. ® Докажите равенство: 1) eg -н Cl -ь cf + eg + С| -ь С| = 26; 2) eg - С1 + С2 - сз +... + (-I)^CJ Ч-... c;j-i -h(-i)'»C" =0. 491. ® Не приводя к многочлену стандартного вида выражение {х - 3)^2, найдите: 1) член этого многочлена: а) содержащий х^; б) содержащий л:^6. в) не содержащий х (т. е. свободный член); 2) сумму коэффициентов многочлена стандартного вида, к которому приводится данное выражение. ® Найдите шестой член разложения (у^ -Ь х^У, если коэффициент третьего члена равен 45. Решите уравнение: 1 492 493 1^ДЗ = JL а4 . 20 ’ 2) 30д: = А2; 12 ’ 5) 20 АЗ „ =А6. 4) = АЗ • 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания Сколько разных составов может иметь родительский комитет из двух мужчин и трёх женщин, если его избирают из 5 мужчин и 7 женщин? Если все составы равновероятны, то какова вероятность, что и папа, и мама Коли, вошедшие в число кандидатов, будут избраны в комитет? Сколькими способами 6 учеников можно разбить: а) на две; б) на три равные по численности группы? Какова вероятность, что Коля и Саша окажутся при этом в одной группе? Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 чёрных шашек на 32 чёрных клетках шахматной доски? М ПОВТОРЕНИЕ Заключительная глава учебника состоит из двух пунктов. В первом — систематизируются знания о свойствах функций и преобразованиях их графиков. Вы познакомитесь также с обратными тригонометрическим функциями — последним классом функций, изучаемых в школьном курсе математики. Второй пункт посвящён уравнениям и неравенствам. При этом основное внимание в нём уделено причинам появления посторонних решений, а также оформлению решений с использованием математической символики. 1^^ 29. функции и графики Понятие функции начало складываться ещё в XVII в. В начале функциями называли обычные алгебраические выражения с переменными — собственно, это сегодня они обычные, а тогда Декарт только-только ввёл само понятие переменной. Впрочем, и сейчас никто из математиков не удивится, услышав выражения типа «функция x^» или «сумма функций sin X и cos X», — всем понятно, что в первом случае речь идёт о функции у = х^‘у а во втором — о сумме функций у = sin х и у = cos Ху т. е. о функции у = sin х -I- cos х. Существенное развитие понятие функции получило в XX в. в связи с разработкой теории множеств — стали рассматриваться не только знакомые вам числовые функции, но и функции, в которых переменные упх принимают значения из произвольных множеств. Область определения функции За время изучения математики вы познакомились с различными функциями. Каждая функция имеет область определения — множество значений, которые может принимать её аргумент. Наиболее часто приходится находить естественную область определения функции, заданной аналитически, т. е. Глава 6. ПОВТОРЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ математического выражения f{x). Естественная область определения функции у = f{x) состоит из всех значений X, при которых выражение f{x) имеет смысл. Упражнения 494. Найдите область определения функции у = fix), если fix) равно: 3 1) 2) х-\ - 2х + 1 ^ х^ - 1 х^ -h 2х + 1 * 3) J5x^+ ISx + S; 4) i4x^-7x+ 3)5; 5) °log,_o,s (ix-x^-2y, 6) *log,i„, + o,5<=os:t. Область значений функции Каждому значению аргумента из области определения соответствует единственное значение функции. Все значения, которые принимает функция, составляют её область значений (иногда можно встретиться с термином область изменения функции или множество значений функции). Упражнения 495. Укажите область значений функции: 2)у = 2х-\1-, ^)y=Jx -1-2; 4)1/ = л:2-14д:-ЬЗЗ; Ъ) у = Юл: - х^ - 21; 6) ® у = 2 sin^ X -Ь sin л: - 1; 7) ® у =12 cos л: - 4 cos^ х - Ъ; S)^y= 0,5^ 9) ^у= 2^з-2х-х2. 10) *1/ = 3^ + 3-^. Непрерывность функции Важным свойством, которым обладают многие функции, является непрерывность. Известно, что функция непрерывна, если её график можно провести, не отрывая карандаш от бумаги. 29. Функции и графики Графики некоторых функций состоят из нескольких непрерывных ветвей. Говорят, что такие функции непрерывны на соответствующих числовых промежутках. Упражнения 496. Укажите промежутки непрерывности функции: ^ ^ 3)0 у = Jsinx; 1)У = х^ + 2х+1" 2)0 г/= 1 5 - 4)# у = [х] + {2х}. Изученные вами функции у = f(x), в записи которых нет ни целой, ни дробной части, задают функции, называемые элементарными. Полезно знать, что любая элементарная функция непрерывна на любом промежутке из её области определения. Важное свойство непрерывных функций — сохранение знака на промежутках области определения, на которых она не обращается в нуль. На этом свойстве непрерывных функций основано решение неравенств методом интервалов. Упражнения 497. Решите неравенство: 2х+\ 1) (л: + 2){х - 5) >0; 2) <0; 3)0 х + г logo,5 Х+2 {х - 3)(л: + 5) ^0; 4) 0 5) « 6) # 4-23-^ х^ - \ 0,5^ - 2 cos X sin X 32Х-1 _ 1 ^0; >0; <0. Монотонность функции Часто при решении неравенств используют свойство монотонности, т. е. возрастания или убывания функции. Некоторые функции возрастают или убывают на всей своей области определения — их называют, соответственно. Глава 6. ПОВТОРЕНИЕ Рис.113 возрастающими или убывающими. На рисунке 113 изображены эскизы возрастающей (113, а) и убывающей (113, б) функций. Упражнения 498. Решите неравенство: о / -I \ 4 + Зх - *2 1) 0 3X2 + X - 1 ^1 2) ° logo.6 (^ + 1) > logo 25 (х^-х + 4); 4)* log, + 4 (д;-5)<1. X + 1 Большинство изученных выше функций на одних промежутках возрастают, а на других убывают (рис. 114). Упражнения 499. Укажите промежутки возрастания и убывания функции, заданной графиком: 1) рис. 114; 2) рис. 115, а; 3) рис. 115,6. Знание свойств конкретных функций часто позволяет сделать вывод о монотонности более сложных функций. Докажем, например, что функция у = - logo,s -зс - 7 воз- растает на всей своей области определения, т. е. на промежутке (О; -I-CX5). 29. Функции и графики Рис. 115 Пусть О < < Х2, тогда: 1) в силу возрастания функции у = x^‘ промежутке (0; +оо): х\<х1; (1) 2) по правилам действий с неравенствами вычтем из обеих частей верного неравенства (1) число 7: лг2-7<х|-7; (2) 3) в силу убывания логарифмической функции с основанием 0,5 имеем: 1о^о,5 ^1 > 1о^о,5 ^2^ (3) 4) по правилам действий с неравенствами умножим верное неравенство (3) на -1: -logo,5 ^1 < -logo,5 ^2^ (4) 5) по правилам действий с неравенствами сложим верные неравенства одного смысла (2) и (4): х\-1 - logo^s х^<х1~Ч - logo,5 ДГ2. Таким образом, при 0 < х^ < Х2 выполняется неравенство у{х^) < у(х2), а значит, функция возрастает, что и требовалось доказать. Упражнения 500. Докажите, что функция у щей. ^2-х является убываю- Глава 6. ПОВТОРЕНИЕ 501. Среди следующих функций укажите возрастающие и убывающие. Объясните, как вы сделали свой вывод: 1)О^ = 0,55-^+ Jx-2', 2)^^ у = logg (3 - лс) + Jx л-1 г)^y = {x + \)Jx-l^ у = {х- l)Jx - 1; 5) ® y = x^ + \g (-2 - х)\ 6) ® г/ = - 16) • Ig (-2 - х). 502. Укажите промежутки возрастания и убывания следующих функций. Найдите их наибольшие и наименьшие значения, если они существуют: ^ ^ 1 # ^ 1 /^ГГ ^ “V-2 ГЪ---------’ yx^‘ -Ь 2л: + 5 2) 0^= 0,2^"-4^ + 2. 3) °у = - 4) ^ У = log7 (х^ -I- 6л: 4- 11); 5) ® = л/4 - Зл: - х'^ б)®1/= 0,3 С08“Х - Sin'^X 503"^*. Функция у = fix) задана своим графиком: 1) рис. 115, а; 2)рис. 115, б. 1 Зная, что gix) = Jf(x) и h{x) = , найдите: Ig fix) а) область определения функций у = gix) иу = hix); б) область значений функций у = gix) и у = hix); в) промежутки возрастания и убывания функций у = gix) и у = hix); г) наибольшие и наименьшие значения функций у = gix) иу = hix), если они существуют. 504. Подберите корень уравнения и докажите, что он единственный: 1) ^ logg (5^ - 4) = 1 - х; 2) 0 log4(4-^-E3) = JC-hl; 3) 0 0,5^+ 1 - Jx +7 =х + 5; 4) 0 Jx- 10 + JIaTx = 12 . л:-9’ 29. Функции и графики 5) ^ logj {х + 2) -73л: + 1 = л: - 4; 3 6) ^ 7л: + 2 + 7л:- 1 = 11 + 2л:-3л:2; ?)• sin ^ = л:^ - 2л: + 2; 8)® log, X + log„ 2 = 2- Jx - 2 ; 9)® 5^ + 5”^ = 2 cos 5jc2 - 4x Обратимость функции Равенство у = f(x), задающее функцию i/, удобно для нахождения значения у по данному значению х. Часто, однако, приходится решать обратную задачу — находить значения аргумента, при которых функция принимает то или иное значение. Если каждое своё значение функция у принимает по одному разу, т. е. только при каком-то одном значении аргумента Ху то, выражая х из равенства у = /(л:), мы получим равенство X = g(y), задающее функцию х. Однако в школьной математике функцию обычно обозначают буквой у, поэтому переменные в равенстве х = g(y) переименовывают и получают функцию у = g{x), обратную для функции у = f{x). С этим переименованием связано свойство симметрии графиков взаимно обратных функций относительно прямой у = X. Действительно, функция х = g(y) имеет тот же самый графику что и функция у = Дл:), а графики х = g{y) и у = ^(л:) симметричны относительно прямой у = х (рис. 116). Функцию, имеющую обратную, называют обратимой. Так, например, обратима каждая из взаимно обратных функций у = а^ иу = log^ х. Чтобы функция была обратимой у каждое своё значение она должна принимать один раз. Так, обратима любая монотонная функция у поскольку каждое своё значение она принимает один раз. Глава 6. ПОВТОРЕНИЕ Некоторые функции не обладают свойством обратимости, поскольку одно и то же значение принимают при различных значениях аргумента. Так, например, значение 1 функция у = принимает при двух значениях аргумента: х = 1 и TZ X = -1, а функция у = sin х при любом 2 ^ п е Z. Чтобы получить функцию, обратную функции у = х^, последнюю рассматривают на промежутке [0; -Ьс»), на котором она, во-первых, принимает все свои значения и, во-вторых, монотонна, и, следовательно, обратима. Как вы знаете, обратной функцией для неё является функция у = Jx. Точно так же, ограничивая область определения функции у = х'^ при чётном п, получают обратную ей функцию у = ijx . Обратные тригонометрические функции Функция у = arcsin х Чтобы сделать обратимой функцию у = sin jc, нужно рассмотреть её на промежутке, где она, во-первых, принимает все свои значения и, во-вторых, монотонна. Естественно взять наиболее близкий к нулю промежуток [~2 ’ 2 ]’ промежутке функция у = sin х имеет обрат- ную функцию у = arcsin х (рис. 117). Перечислим её свойства: 1) область определения — отрезок [-1; 1]; 2) область значений — отрезок 5 | ]» 3) функция непрерывна и является возрастающей. Функция у = arccos х Функция у = cos X убывает и принимает все свои значения на промежутке [0; тс]. Здесь она имеет обратную функцию I/= arccos X (рис. 118), которая определена, непрерывна и убывает на промежутке [—1; 1]. Область значений функции у = arccos X — отрезок [0; тс]. Функция у — arctg х Функция у = tg X возрастает и принимает все свои значения на промежутке | | 1 • Здесь она имеет обратную функ- 29. Функции и графики цию у = arctg X (рис. 119), которая определена, непрерывна и возрастает на всей числовой прямой. Область значений функ- ции у = arctg X — интервал [ ’ 2 * * 7t Я Функция у = arcctg х Функция у = ctg X убывает и принимает все свои значения на промежутке (0; тг). Здесь она имеет обратную функцию у = arcctg X (рис. 120), которая определена, непрерывна и убывает на всей числовой прямой. Область значений функции у = arcctg X — интервал (0; л). Глава 6. ПОВТОРЕНИЕ Г Свойства взаимно обратных функций: 1) область определения одной из них является областью значений другой; 2) если одна из них возрастающая (убывающая), то и другая, соответственно, возрастающая (убывающая); 3) если прямая х = а служит вертикальной асимптотой одной, то другая имеет горизонтальную асимптоту у = а. л Упражнения 505. Найдите значение функции: 1) ^ = arcsin X, если х равен: а) 0,5; B)Osiny; г)# sin 10; д)® cos 2; 2) у = arccos X, если х равен: а)-0,5; б)-у; в)0 cos у ; г)# cos 10; д)# sin 1; 3) у = arctg X, если х равен: а)УЗ; б)-1; в)^ tg у ; г)« tg 7; д)* ctg 1; 4) у = arcctg X, если х равен: а)-^; 6)1; в)0 ctg у; г)# ctg 7; д)# tg 2. Р Решите неравенство: 1) < arcsin (j^2 _ 1,5л:) ^ |; 2) б arccos^ л: -Ь 7 arccos л: < 3. Чётность и нечётность функции Иногда преобразование переводит график функции сам в себя. Так, например, поскольку значение чётной функции не изменяется при перемене знака у аргумента: f(-x) = fix), график чётной функции оказывается симметричен относительно оси ординат. 29. Функции и графики Значение нечётной функции при перемене знака у аргумента свой знак меняет: f(-x) = -fix), поэтому график нечётной функции симметричен относительно начала координат. Понятно, что область определения и чётной, и нечётной функции должна быть симметрична относительно нуля. Упражнения 507. Задайте аналитически какую-нибудь функцию, имеющую тот же самый график, что и обратная ей. Может ли возрастающая функция, отличная от функции у = х, иметь тот же самый график, что и обратная ей? 508. Определите, какие из следующих функций чётные, какие нечётные, а какие не являются ни чётными, ни нечётными: 1) у = X + sin х; 3) у = х^ + cos х; 2) у = sin X • cos х; 4) у = х* arctg х. • Какие можно сделать выводы о чётности или нечётности: а) суммы двух чётных функций; б) суммы двух нечётных функций; в) произведения двух чётных функций; г) произведения двух нечётных функций; д) произведения чётной и нечётной функций с одинаковыми областями определения? 509. Дополните графики на рисунке 121 так, чтобы они стали задавать: 1) чётные; 2) нечётные функции. Рис. 121 Глава 6. ПОВТОРЕНИЕ Периодичность функции Если при сдвигах графика функции параллельно оси абсцисс вправо и влево на некоторое расстояние он переходит сам в себя, то функция является периодической. Расстояние, на которое переносится график, называют периодом функции. Рассматривая периодические функции, обычно указывают их наименьший период. Тригонометрические функции у = sin хтлу = cos X имеют период 2л, период функций y = Xgx тя. у = ctg X равен л. Периодична также и функция у = {х] — её наименьший период равен 1. Упражнения Sii-- 510. Достройте график функции, зная, что: 1) её период равен 2 (рис. 122, а); 2) её период равен 2, и она чётная (рис. 122, б). L£\.M ^■4-4-4 : 1 1 1 f-j- -i ..-i—;—j-- | —j 1 i 7 ! f Lftr ...J j ^ 1”*^ i—f—t— L-i. i— i f Г Г •1~i! h'T\ б) Преобразование графиков Симметрии и параллельный перенос, о которых упоминалось в связи со свойствами чётности, нечётности и периодичности функций, вместе с некоторыми другими преобразованиями часто используются при построении графиков функций и графиков уравнений. Для графика уравнения отсутствие различных точек с одинаковыми абсциссами не является обязательным, например, окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 2, не является графиком функции, но является графиком уравнения х^ + у^ = 4. 29. Функции и графики Основные преобразования графиков № Переход Описание преобразования от графика к графику 1 У = fix) у = f{x) + Ъ Перенос параллельно оси ординат на Ь 2 у = т y = f(x- а) Перенос параллельно оси абсцисс на а 3 у = т у = kf{x), k>0 Растяжение от оси абсцисс в k раз 4 У = Кх) у = fikx), k>0 Сжатие к оси ординат в k раз 5 у = fix) У--fix) Симметрия относительно оси абсцисс 6 У-fix) у = -fi-x) Симметрия относительно начала координат 7 У = fix) у = f(-x) Симметрия относительно оси ординат 8 У = fix) X = fiy) Симметрия относительно прямой у = X 9 У = fix) у - irt*)i Симметрия относительно оси абсцисс частей графика, расположенных в нижней полуплоскости 10 У-fix) !/ = «W) Уничтожение части графика слева от оси ординат и дублирование оставшейся части симметрично относительно оси ординат 11 У = fix) \y\ - fix) Уничтожение части графика под осью абсцисс и дублирование оставшейся части симметрично относительно оси абсцисс Глава 6. ПОВТОРЕНИЕ Упражнения 511. 1) Какие недостатки вы видите в описании преобразований 3 и 4 в таблице (с. 229)? 2) Что происходит с расстояниями от точки графика до осей абсцисс и ординат при этих преобразованиях? 512. ^ Проиллюстрируйте каждое из указанных в таблице преобразований конкретными примерами построения графика функции. 513. 1) Какой график вы будете преобразовывать при построении графика уравнения: di)y = {2x+ 1)^; 3 - 2л: б) I/ = —— ; в) г/ = 2л:- 3 4л: г)0 у = logo 5 (2 - 4|л:|)? 2) В каком порядке вы будете применять указанные в таблице преобразования? 514. ® При преобразовании графика функции у = f{x) в гра- фик функции у = /(2л: + 3) один ученик сначала перенёс график на 3 единицы влево, а затем сжал его к оси ординат в 2 раза, другой сначала сжал исходный график в два раза к оси ординат, а затем выполнил перенос на 3 единицы влево, третий же ученик сначала сжал график в два раза к оси ординат, а затем выполнил перенос влево на 1,5 единицы. Верны ли решения этих учеников? Как бы вы выполнили преобразование графика у = /(л:) в график функции у = f{2x - 3)? 515. Преобразуйте график функции у = f{x) (рис. 123) в график уравнения: 1) 0 у = Д|д;| + 1); 2) Оу = Д|д; + 1|); 3) Oj/ = |/W|-l; 4) Оу = |Дл:)+ 1|; 5) »i/ = ||fW|-l|: 6) *|i/l = ll/W|-l|. 516. ®1) Задайте аналитически функцию, график которой получается из графика функции у = х^ в результате последовательного выполнения преобразований, указанных в таблице под номерами: а) 1,3, 8; 6)5, 6, 2,8; в) 1, б, 4, 9, где & = -1 в преобразовании 1, а = 2 в преобразовании 2. 29. Функции и графики 2) Выполните эскиз графика, который должен получиться в результате этих преобразований. 3) Задайте сами последовательность каких-нибудь преобразований из первых девяти, указанных в таблице. 4) Выполните для своей последовательности преобразований задания 1 и 2. 517. ^ Задайте аналитически какую-нибудь функцию, гра- фик которой симметричен относительно: 1) прямой JC = 2; 2) точки А(-2; 3). 518. ^ 1) Чем отличается от графика функции у = {х} график кусочно-заданной функции ^ [ {д:}, если х — не целое число, 1, если X — целое число? 2) • Какие из указанных в таблице преобразований и в каком порядке следует применить, чтобы получить этот график из графика функции у = {д:}? 519. Используя идею преобразования графика, найдите наименьший период следуюш;их функций: l)y = cosSx; 3) I/= tg (4д:-Ь 1); У 2) I/ = sin - ; 4)0 у = {0,Ьх - 4). 52оР 1) Что произойдёт с графиком уравнения с двумя пере-менными, если в уравнении заменить: а) д: на-х; в)хнах + 3; д) х на 2х; б) 1/на-г/; т)уиау-3; е)уна0,6у? Ц 2) Проиллюстрируйте эти преобразования на примере уравнения окружности х^ + у^ = 4:. 521. 1) Постройте график уравнения: |х| + |j/| = 2. 2)^ Отметьте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству [х] -Ь |г/| ^ 2. 522^ Решите графически уравнения: 1) 4-I-2|х| - х^ = jx-Ь 1|; 2) |х Ч-3| + |х - ll = 4. Щ 523.® 1) Найдите все значения а, при которых уравнение |4 + 2|х| - х^| = а имеет: а) 2 корня; б) 4 корня; в) 5 корней; г) 6 корней. Д 2) При каких значениях а уравнение не имеет корней? Глава 6. ПОВТОРЕНИЕ Контрольные вопросы и задания Перечислите знакомые вам свойства функций и проиллюстрируйте их эскизами графиков соответствующих функций. Верны ли следующие утверждения о функциях с одинаковыми областями определения: а) сумма двух возрастающих функций — возрастающая функция; б) произведение двух убывающих функций — убывающая функция; в) разность двух чётных функций — чётная функция; г) произведение двух нечётных функций — нечётная функция. Если вы считаете утверждение верным, постарайтесь его обосновать, если неверным — приведите контрпример. Постройте график функции у = 2 cos 0,5л: -Ь !) с помощью преобразований. Укажите наименьший период, наибольшее и наименьшее значения, промежутки монотонности данной функции. О 30. Уравнения и неравенства Уравнения и неравенства люди решают с глубокой древности. Вы познакомились с уравнениями и неравенствами ещё в начальной школе и с тех пор научились решать много разных их типов. В большинстве случаев в процессе решения исходное уравнение или неравенство заменяется более простым и так далее, пока не будет приведено к простейшему виду. При замене одного уравнения или неравенства другим могут встретиться три случая. 1. Множества решений первого и второго уравнения (неравенства) совпадают. Понятно, что эта ситуация самая благоприятная — решения второго уравнения (неравенства) можно сразу записывать в ответ. С Уравнения (неравенства) с одним и тем же множеством решений называют равносильными. 3 2. Множество решений второго уравнения (неравенства) содержит все решения первого. В этом случае второе уравнение (неравенство) называют следствием, первого. При этом те решения второго, которые не являются решениями первого, называют посторонними, их стараются выявить и отбросить. Нетрудно заметить, что если следствие не содержит никаких других решений, кроме решений первого, то оно ему равносильно. 30. Уравнения и неравенства Два уравнения {неравенства) равносильны^ если каждое из них является следствием другого. 3. Множество решений второго уравнения (неравенства) содержит не все решения первого, т. е. теряются решения. Эта ситуация самая неприятная. Возможно, поэтому у неё даже нет специального названия. Во всех трёх случаях множество решений первого уравнения (неравенства) сравнивается с множеством решений второго. Однако обычно, когда мы выполняем преобразование, решений у нас еш;ё нет. И сравниваем мы множества решений, анализируя сами преобразования, которые применяем. Некоторые преобразования не могут изменить множества решений, такие преобразования называют равносильными. Применение других может привести к посторонним решениям или к потере решений, — эти преобразования называют неравносильными. Так, например, к равносильным преобразованиям относится замена sin^ х тождественно равным ему выражением 1 - cos^ х. А при замене sin х выражением л/l - cos^jc будут потеряны решения (если они есть), при которых sin JC < о, следовательно, это преобразование неравносильное. Заметим, что неравносильное преобразование может привести и к равносильному уравнению или неравенству, но в этом нельзя быть уверенным, т. е. неравносильное преобразование не гарантирует сохранения множества решений. В этом пункте мы повторим знакомые преобразования и проанализируем, как и почему следует поступать, чтобы записать в ответ все решения исходного уравнения или неравенства и не записать лишних. Рассмотрим сначала две основные причины неравносильности преобразований. 1. Изменение области допустимых значений переменной (ОДЗ) Наиболее часто изменение ОДЗ связано с применением формул. Некоторые формулы действуют на всём множестве действительных чисел, и их применение является равносильным преобразованием. Таковы, например, формулы сокращённого умножения. А вот в формуле sin 2х = ^ заме- 1 + tg^ X на её левой части, имеющей смысл при любом значении jc, её правой частью приводит к сужению ОДЗ за счёт всех значе- ний л: = ^ -Ь пп, п ^ Zy при которых не существует тангенс. Глава 6. ПОВТОРЕНИЕ Расширение ОДЗ влечёт, например, замена суммы логарифмов loggAoc) + \og2§{x) логарифмом произведения * ё'Сл:)), поскольку последнее выражение, в отличие от первого, имеет смысл и при отрицательных значениях f{x) и^(лг). Расширение ОДЗ может привести к появлению посторонних решений, а сужение — к потере решений. Чтобы этого избежать, при расширении ОДЗ следует рассматривать дополнительные условия, запреш;аюш;ие решениям попадать в район расширения. Если же ОДЗ сузилось, — нужно дополнительно поискать решения в районе сужения. На следующих диаграммах (рис. 124) схематически показаны случаи расширения и сужения ОДЗ. ОДЗ исходного уравнения или неравенства изображено голубым цветом, а ОДЗ преобразованного — серым. Точками обозначены решения. 2. Расширение сферы действия правил Использование правил действий с равенствами и неравенствами иногда предполагает наличие условий, при которых эти правила применимы. Так, например, вы знаете, что обе части равенства можно умножить или разделить на отличное от нуля число. Однако при умножении обеих частей уравнения на выражение с переменной множитель может иметь нули, которые объединяются с корнями исходного уравнения. А значит, нули множителя следует проверить отдельно — они могут оказаться посторонними решениями. Кроме того, умножение или деление на выражение с переменной может привести к сужению исходной ОДЗ, о последствиях чего уже упоминалось. Другим примером расширения сферы действия правил является возведение неравенства в чётную степень. Извест- Решения, которые находятся в районе расширения ОДЗ, следует отбросить Следует дополнительно искать решения в районе сужения ОДЗ Рис.124 30. Уравнения и неравенства но, что в чётную степень можно возводить неравенство с неотрицательными частями. Выполнив такое преобразование при решении неравенства, следует дополнительно рассмотреть случаи, когда части неравенства принимают отрицательные значения и, кроме того, не забыть, что возведение в чётную степень могло расширить ОДЗ. Упражнения 524. Является ли равносильным преобразование, связанное с заменой выражения а) выражением б)? Если преобразование неравносильно, укажите причину неравносильности. Запишите дополнительные условия, выполнение которых следует проверить, чтобы избежать появления посторонних решений, или какие случаи следует дополнительно рассмотреть, чтобы не потерять решения. 1 \ \ - 1 б) X- 1; 2) а) л: - 1; 3) а) л: -Ь 1; б) Jx^ + 1 + 2х; 4) а) + 1 + 2х; б) JC -Ь 1; 5) а) Jx^ + 1 + 2х; б) \х + ij; 6) а) tg [л: -f 2 I; р-ч tgx + л/з . 3 J (1 - 73)tg X 7) а) л/l - sin^x ; б)cos х; 8) а) 1 -н tg2 х; б)^; 9) а) fix) - g(x); ^){Жх) - Jg(x)){Jf{x) + V5w); 10) а) fix) - gix) + gix); 6) fix); 11) а.) 2 Ig fix); 6) Ig Pix); 12) a) IgPix); 6) 3 Ig fix); 13) a) In (/(;c)-g(jc)); 6) In fix) + In gix). 525. Является ли равносильным преобразование уравнения а) в уравнение б)? Если преобразование неравносильно, укажите причину неравносильности. Запишите дополнительные условия. Глава 6. ПОВТОРЕНИЕ выполнение которых следует проверить, чтобы избежать появления посторонних решений, или случаи, которые следует дополнительно рассмотреть, чтобы не потерять решения. 1) 8i) =2х - 1; б) - 6л: -f 2 = 0; 2) a)72x + 3 + Jx - 2 = 4; б) 2jc -Ь 3 -f л: - 2 -\-2j2x -f- 3 • Jx - 2 = 16; 3) a)j2x -Ь 3 +Jx - 2 =4; 6)2^r-b3-fjc-2-f- 2j{2x -I- 3)(л: - 2) = 16; 4) a) log7 _ ^ + 9) = log^ _^((x + 3)(л: - 1)2); 6) -f 9 = (jc -f 3)(jt: - 1)2; 5) a) |sin x\ cos x = sin2 x; 6) cos x = sin x; 6) a) log^„3^ sin ДС + loggia^ cos x = 2; 1 ^^^^sinx+-— logcosxSmjc 6) log, 7) a) tg2 X = . 1 - sin |дс| 8) a) 2 sin 2x -I- cos 2jc + 1 = 0; = 2; 6) tg2 |jc| = 1 - sin \x\ 6) 1 -b tg^X 1 -t- tg2 X Завершите решения уравнений 1), 2), 4)—8). 526. Выразите х из равенства: 2а + Ь а + 2Ь 2) а2 + л: 4а6д: -Ь 2а2 - 2^2 д2 _ ft2 - ft'* - х^ Ь2 + 527. Решите уравнение: 1) 2) 2 - бд: Зд: + 4 3-д: X + 1 2д: -Ь 6 3)^ + д:- 3 2д: 3 - д: 16 4) X + 4 д:2 - 16 д:2 + 5д:-ьЗ _ 3 jc2 + д: + 2 2 * = 3; _ 9(д: + 5) _ 2(д:2 - 9) _ д: -Ь 4 . JC-4 ’ О; 30. Уравнения и неравенства 528. Решите уравнение с модулем: 1) |д:-3| = 2; 3) 2) \2х-б\ = х-1; 4) 529. Решите систему уравнений: = х-1; 2х-5\ = 2-х. 1) Зх + 5у = Ы, о)13х-2у= 11, ^\4х-5у=^г. 2х — 4у = -20; 530. Является ли равносильным преобразование неравенства а) в неравенство б)? Если преобразование неравносильно, запишите дополнительные условия, которым должны удовлетворять решения второго неравенства или какие случаи следует дополнительно рассмотреть, чтобы не потерять решения: б) х2 - 9 > 0; 2) а) (2х - 3)73х2 - 5х -Ь 2 > 0; б) 2х - 3 > 0; 3) а) (2x2 - Зх - 5)73х+ 1 < 0; б) 2x2 - Зх - 5 < 0; 4) а)(6х-5)72х2-7х-9 ^0; 5) а) (2x2 + 9х - 11) lg2 (X - 5) ^ 0; б) 6х - 5 ^ 0; б) 2х‘^ + 9л: - 11 ^ 0; 6) а) - Зх + 2 < - 5х + 5 • б) - Зл: -Ь 2 < - 5л: -н 5; 7) а) Ig (л: - 2)2 < Ig (л:2 - 4) - Ig (-х - 2); б) 2 Ig (2 - х) < Ig (2 - х); 8) а) loggijj ^ cos X > 1; б) cos х < sin х. Завершите решение неравенств. 531. Решите неравенство: 1)(2х+1)2-8^(3-2х)2; 3) > -3; 2)^>0; 532. Решите систему неравенств: х2 - 4х + 3 4) (х-Ь4)(х- 1)(х-5)^0. 1) 2)^ 5(х -Ы) + б(х -ь 2) > 9(х + 3), 7х-3(2х + 3)>2(х- 18); 5 - X ^ 3 - 2х ^ 8 Зх - 5 4 2х- 1 <-2. Глава 6. ПОВТОРЕНИЕ 533. Решите неравенство с модулем: 1) |д: - 2| > 1; 2) |л:-2|< 1; 3) 2|jc + 1| > д: + 4; 4) 3|д: - 1| ^ д: + 3. Рассуждения, которые вы проводили при решении уравнений и неравенств, можно при оформлении решения заменить соответствующей математической символикой. Речь идёт об употреблении знаков равносильности «<=>», следования «=>», системы «{» и совокупности «[». Знак равносильности «<=>» ставится между уравнениями или неравенствами в случае проведения равносильного преобразования, а знак следования «=>» — при неравносильном преобразовании, которое может повлечь за собой появление посторонних решений. Знак системы «{» требует одновременного выполнения указанных с его помощью условий, а знак совокупности «[» показывает, что должно выполняться хотя бы одно из условий. Так, например, условие равенства произведения нулю можно записать символически: [ГЯ^) = 0, Яд:) • ^(д:) = О <=> Л = О, [ дгеОДЗ. Заметим, что, если в результате неравносильного преобразования получится равносильное уравнение или неравенство, в записи решения всё равно не следует ставить знак «о». Пример 1. Решить уравнение л/Зд: - 5 = х - 1. Решение. JSx - 5 = д:-1=>3д: — 5 = д:2-2д:-1-1=> =>д:2-5д:-Ь6 = 0=> Проверка. При д: = 2 имеем: д: — 1 = 2 - 1 больше нуля, следовательно, число 2 — корень данного уравнения. При д: = 3 имеем: х - 1 = 3 - 1 больше нуля, следовательно, число 3 — корень данного уравнения. О т в е т: 2; 3. Примечание. Как оказалось, первое и второе уравнения в цепочке преобразований равносильны. Однако в момент перехода это ещё не было известно, и, следовательно, ошибкой было бы поставить между ними знак «<=>». Если же нам потребуется, чтобы все 30. Уравнения и неравенства преобразования были равносильными, решение надо будет оформить, например, так: /о--к ^ ^ \Зх-5 = х^-2х-\-1, U-1 ^ о J - 5д: + 6 - о, Р ” i’ Ор-З, о х> I X = 2, х = 3. Оформим с помощью символов решение уравнения, с которым вы встретились в № 499. Пример 2. Решить уравнение 2 sin 2х + cos 2д: -f 1 = 0. Решение. Выразим синус и косинус через тангенс половинного аргумента — приём, который называют универсальной подстановкой: 4tg3c 1 - tg^x + 1 = Q 1 -ь tg^x 1 -f- tg^x X =1 -t- пПу n ^ Z, _ i 2 sin 2x -f cos 2jc -b 1 = 0 2 sin 2x -f cos 2x -f 1 = 0 <=> 4 tg л: -t- 2 = 0, <=> X + ППу n € Z, CI> 0- 1 -Ы = 0 X = -arctg - -f 7Ш, iU _7C I X =- + 7Ш, n E Z. 7C X Ответ: - -Ь тш, -arctg - + яп, n e Z. о Упражнения 534. Оформите с помощью символов решение уравнений и неравенств из № 525 и 530. 535. Объясните, почему не нужно делать проверку корней в следующем решении иррационального уравнения: JSx — 5 = л: — 1, 3 J3x — 5 = Зх — 3, Зх — 5 — 3 ^J3x — 5 -(-2 = 0, J3x — 5 = 1 или J3x - 5 =2, 3jc - 5 = 1 или Зх - 5 = 4, X = 2 или X = 3. О т в е т: 2; 3. Глава 6. ПОВТОРЕНИЕ 536.® Обоснуйте следующие равносильности: Г [ g(x) < О, I--- 1 f(x) ^ О, [ fix) ^ о, 3) Jf(x) < g(x) <=> i g(x) > О, 1 fix) < gHx); 3 < л: < 4, О < fix) < gix), x> fix) > gix) > 0; Ig fix) + lg gix)= 5, 4) log^ _ 3 fix) > log^ _ 3 gix) <=> [I 5) Ig ifix) • gix)) = 5 <=> Ig i-fix)) + Ig (-g(Jc)) = 5; 7) fix) = 0, gix)=^0, hix) = 0 fix) = 0, hix) = 0, J gix) = 0, 1 hix) = 0. 537. ® 1) Обоснуйте равносильность [ (/(л:) - 1)(я(д:) - 1) > О, log^^) fix) > О <:> j fix) > о, ig(jc:) > 0. 2) Используйте её в решении неравенств 5 и 11 из 191. 538. ® Запишите, чему равносильно неравенство: 1) log^(jf) fix) < О и решите с помощью этой равносильности неравенства 4и 12из№ 191; 2) JfM ^ gix) и решите с помощью этой равносильности неравенство 7 из № 120. Щ Контрольные вопросы и задания 1. Приведите два примера равносильных и два примера неравносильных преобразований уравнений и неравенств. 2. Проанализируйте формулы на с. 312 учебника с позиций равносильности—неравносильности их применения в преобразованиях уравнений и неравенств. ДОМАШНИЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Контрольная работа № 1 (к п. 1 —4) (90 мин) I уровень 1. Является ли у функцией л:, если: 1) у — число учеников вашего класса, посетивших урок математики, ад: — число учеников вашего класса, подготовившихся к этому уроку; 2) у — число учеников вашего класса, посетивших школу, ах — соответствующее число сентября; 3) X — натуральное число, at/ — число, квадрат которого равен х; 4) X — натуральное число, а. у — квадрат числа х? Является ли в этих примерах х функцией у1 2. Функция у = /(х) задана своим графиком (рис. 125). Найдите по графику: 1) область определения функции; 2) область значений функции; 3) промежутки возрастания и убывания; 4) значение х, при котором значение функции равно 3; 5) Я-2); 6) нули функции; 7) наибольшее и наименьшее значение функции. Задаёт ли этот график х как функцию у1 Домашние контрольные работы 3. Постройте график какой-нибудь непрерывной функции у = f{x), если: D{f) = (-4; 3], её наибольшее значение равно 3, а наименьшее -2, функция убывает на промежутке (-4; 1], а возрастает на промежутке [1; 3]. 4. Найдите область определения функции: 1)У = -3 _ 2)у = Jl - X + + 3 У jc2 + 2jc-3’ 5. Разрывна ли кусочно-заданная функция _ j при л: ^ 1, 2-х, при jc > 1? Постройте её график. 6. С помощью каких преобразований из графика функции “ можно получить график дробно-линейной функ- 2 ции у = ^ ^ ^ ? Постройте её график. II уровень 7. Определите с помощью графика, сколько корней имеет уравнение — х - х^ - х + 1 = 0. Щ 8. Решите уравнение Jx + 6 + Jx-b =11. Ill уровень 9. Найдите наибольшее значение функции 1 У = J2x^ -Ь 6jc + 9 10. Постройте график функции у = х^ - 2\х\ + А. Контрольная работа № 2 (к п. 5—8) (60 мин) I уровень 1. Докажите нечётность функции у = Jx^ - 9 • (х^ - х). 2. Постройте в одной системе координат графики функции у = S — 2х и функции, ей обратной. Д Домашние контрольные работы 3. Решите уравнение: 1) + 5 =2; 2) J2x^ + (4д:- 5) = л: - 2. - „ Vll + 9х- 2х^ . ^ 4. Решите неравенство ------------ > О. X - 3 5. Сравните значение выражений V6 и V4. 6. Сократите дробь: а — Уа , п\ Ь - 4лг®’® 1) + Va 2) b0,5jf0,5 + II уровень 7. Задайте аналитически функцию у = g(x), обратную функции у = 3 - 2х. 8. Решите уравнение + б - Jx - 2 = 2. 9. Решите неравенство J3x + 7 ^ jc + 1. Ill уровень 10. Упростите выражение (ху)^----- X + х^у^ 11 1 Х^у'^ - у^ X - у Контрольная работа № 3 (к п. 9—11) (90 мин) I уровень 1. Найдите а, если известно, что график функции у = проходит через точку М(-0,25; 2). 2. Решите уравнение: 1) logg л: - logo 5 (х-2) = 3; 3. Решите неравенство: 1) >0; ^ 3 + X II уровень 4. Решите уравнение: 1)2^ + 2Х-2 -9 = 0; 2)Цх + 2_22.11^ = 9. 2)logo,2 (л: + 3)>-2. 2) =81. Домашние контрольные работы 5. Решите неравенство: l)log^-2(5-*)>0; 2)1 1 'х^ + 3х + 4 III уровень 6. Решите неравенство log2 (2 + х) > 1 - х. 7. 1) На сколько процентов возрастёт вклад в банке за два года, если банк ежемесячно начисляет 3% ? 2) ■ Найдите сумму, которая окажется на вкладе через два года, если начальный вклад составил 10 000 р. Контрольная работа № 4 (к п. 12—20) (50 мин) I уровень 1. Переведите 1,25л из радианной меры в градусную. 2. Переведите -150° из градусной меры в радианную. 3. Постройте угол, косинус которого равен - . Выполните О измерения с помощью транспортира и запишите общий вид углов, имеющих данный косинус. 4. Приведите к функциям углов от 0° до 45°: 1) sin (-252°); 2) cos 1130°. 5. Используя график функции у = sin дс, укажите промежутки, на которых функция: 1) возрастает; 2) принимает положительные значения. 6. Найдите корни уравнения 2 sin (х - 1) = — л/2 , принадлежащие промежутку [0; 2л]. II уровень 7. Для каких углов от 0 до 2л выполняется неравенство sin ф > tg ф? 8. Найдите угол, который образует с осью ординат прямая, пересекающая оси координат в точках А{—2; 0) и В(0; Vl2). И III уровень 9. Решите уравнение 4 cos^ х - cos л: - 5 = 0. 10. Чему равен arcsin (sin 5)? Домашние контрольные работы Контрольная работа № 5 (к п. 21 —26) (60 мин) I уровень 5 4 1. Найдите sin (а + Р), если sin а = - 75 » sin Р = ^ ’ 1о О ^ ^ 3 7Г 7Т а ^ 7г<а< — и - <р<я. 2. Вычислите sin 70° + sin 20° cosl0°cosl5° - sinl0°sinl5° 3. Докажите тождество sin а + 1 + cos а 1 + cos а sina sin a 4. Найдите все корни уравнения 2 cos^ х - sin л: - 1 = 0, принадлежащие отрезку [0; 2я]. II уровень 5. Найдите абсциссы общих точек графиков функций у - cos xw.y = cos 2х. Щ 6. Можно ли утверждать, что если а° — острый угол, то sin (а° + 1°) > sin а°? 7. Вычислите: logo 1 + logo4 ctg 25° + ... ... + logoj ctg 75° + logo,i ctg 85°. III уровень 8. Докажите, что угол между прямыми у = 2х-1 и t/ = I л: + 3 равен 45°. 9. Решите уравнение: sin^ X + sin^ 2х + sin^ Зл: + sin^ Ах = 2. 10. При каких значениях а наибольшее значение функции у = а sin X + cos х равно 5? 1Д Контрольная работа № 6 (к п. 27—28) (50 мин) I уровень 1. Эксперимент провели 1000 раз и в 5 из них произошло событие А. 1) Каким является событие А: вероятным, достоверным, невозможным или маловероятным? Домашние контрольные работы 2) Чему примерно равна вероятность события А. 2. Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет 10 очков? 20! 3. Вычислите 18! II уровень 4. Сколько существует пятизначных чисел: 1) составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 7; 2) кратных 3? 5. Сколько разных составов может иметь комитет, состоящий из двух мужчин и трёх женщин, если его избирают из 5 мужчин и 7 женщин? с лг 1 k^ + k о. Упростите выражение — - ---— . ki (k + 2)! III уровень 7. Сколькими способами можно выбрать стартовую шестёрку баскетболистов из команды в 12 человек? Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если Иванов и Петров обязательно должны входить в стартовый состав? 8. Найдите коэффициент члена 5-й степени многочлена стандартного вида, к которому приводится (2 + х)^ Итоговая контрольная работа (90 мин) I уровень 1 1 1. Найдите значение выражения 81^ - Зл/З • 3^. 2. Упростите выражение - 16 — ЛГ 3 - 4 3. Упростите выражение 210S27 75-logs 3. 4. Решите неравенство (0,25)*-^ о. 9. 1) а) JC ^ 2; б) л: ^ 2; в) (-схз; -2] U [2 -Ьоо); г) х: > 2; д) л: ^ -3; ж) л: ^-3; 3) [-5; 3]; и) [2; 11) и (11; -t-c»); к) [-3; 1) и (1; +оо). Ответы 13. V= 4х(5 - jc)2,1)(У) = (0; 5). 14. Р = 8 - ^ , D(P) = (О; 3); Е(Р) = (6; 8). 18. 1) а) [-1; 0]; б) [0; 0.5]; в) [1; 2]; г)[-1; 1] ; д) (-со; 0,5] е) [0; -hoo); ж)х>0; 2) а) [О; 1]; б) [-0,5; 0]; в) [0; 1]; г) 0; д) (-сх>; 0] е) [-0,5; +СХ,); ж) д: > 0; 3) а) [-2; 1]; б) [-0,5; 1]; в) [0; 3]; г) [-72; 72] д) (-оо; 1]; е)[-0,5; +оо); 4) а) [-2; -1]; б) [0,5; 1]; в) [2; 3] г) [-72 ; -1] и [1; 72 ]; д) [0,5; 1]; е) функция не определена. 19. l)NcQ;2)NcR^;3)NnZ = N;4)R,nZ = N. 21. l)k = 0,3, а) Z = 7; б) / = 8; в) Z = 4,4; г) Z = 7,5; 2) fe = 0,75, а) Z = -5; б) Z = 6; 3) А: = -|, а) Z = 7; б) Z = I. 23. 1) /г > о, Z > 0; 2) А; < о, Z > 0; 3) Л > о, Z < 0; 4) < о, Z < о. 24. 1) Да, при А: = О, Z > О; 2) да, при /е < О, Z = 0; 3) да, при Аг = О, Z < 0; 4) да, при /г > О, Z = 0; 5) нет, график функции у = kx + 1ие может быть параллелен оси ординат, поскольку при этом одному значению X соответствует более одного значения у; 6) нет. 25. 1) г/ = -1,5д: -Ь 0,5; 2)г/=|дг+|;3)г/ = 13,5. о о 26. 1) а) (0; 9) и (-12; О); б) принадлежит А, не принадлежат В и С. На графике есть точка с равными координатами; 2) а) (0; -8) и (-20; 0); б) принадлежит В, не принадлежат А и С. На графике есть точка с противоположными координатами. 27. 1) Z = -21. Проходит; 2) Z = 16. Не проходит. 28. 4 7,5 50 1,5 0,8 0,12 0,5 0,25 0,125 17,5 35 70 3 2 29. 1)2= Z и X обратно пропорциональны; 2) 2 = г к х X X обратно пропорциональны. 30. 1)/г = 4; 2)k = -18. 31. 1)Да; 2) да. 32. Принадлежат точки: 1) А и М; 2) А, В,С п Р. 35. 1) Две, одну или ни одной; 2) одну. 37. Областями определения. 38. Ошибки в а), г) и е). 39. 1)у = 0,5л:; 2) у = -0,5л: - 1,5; 3) z/ = 1,5. 40. Z/ = 7 х^. ^ 4 41. 1) (л: - 2)2 + (у + 3)2 = 9; 2) (л: - 2)2 + (у + 3)2 = 4. 42. 1) (л: — 4)2 + (у - 4)2 = 25; 2) (л: — а)2 + (у — а)2 = 25, где а — любое число; 3) (л: - а)2 -Ь (z/ -Ь а)2 = 25, где а — любое число. Ответы 46. 1) ( -с«; -1 и l-g; +00 |; 2) (-оо; -3), (-3; 3) и (3; +оо); 3) (-оо; -2) и (-2; +оо); 4) -оо; 1 47. 1)0; 3 и 5; 2)-7;-2 и 0. " 48. 2) в) Разрыв при х = 1; д) разрыв при л: == 2; е) разрыв при л: = -2 и при л: = 1. (х - 2)(х - 5) 50. 5) Например, у = (л: - 2)(х - 5)(л: - 9) 52. 1) (-8; 0) и (1; +оо); 2) д: ^ -3, 0 < д: < 7; 3) л: < -3, О < л: < |, О д:>7;4)-| ^д:^3;5)д:< -7, -2,5 <д:<1,д:>1;6)-1^д:^0, д:=|. О О 53. 1) f < < ( < -|; 2) г < -3, < 2 < |; 3) х < -1, о и i/(0) > 0; б) дг^ < 0 и г/(0) > 0; в) jcq > 0 и D = 0; дгц > о и у(0) = 0; 1/(0) < 0; г) < о и £> = 0; дгц < о и у(0) = 0; i/(0) < 0; д) -К дго < 2, у(-1) ^ о, 1/(2) ^ О, Z) > 0. 75. 1)а)/г > 4,5; б) k = 4,5; в) таких значений k нет; 2) а) k < —0,8; б) k = -0,8; в) таких значений k нет. 76. а >0. 77. 1)0<а<1;2)а = 2,а^ 1. 78. 1)-4)Да. Ответы 79. 1) и 7^ ; 2) 7^ и 7^ ; 3) ^ и 3; 4) —^ и 77 714 75 80. S = 4д: - ^ , D(S) = (0; 3), £(S) = (0; 3]. 81. Уравнения асимптот: 2) в) у = 2, х = -1; г) у = -3, х = 1. 84. 1)у- п-х + 6): 2) у - -Пх) - 10; 3) у = Л-М); 4) |у| - -Пх); 5) у - -П-х - 6) + 10; 6) |у| - -Л-М). Глава 2 Степени и корни 87. Существует для точек А, Б и С. 88. 1) п = 2; 2) л = 3; 3) п = 3; 4) л = 4 или л = 2; 5) л = 2 или л = 4; 6) л = 2, л = 3, л = 6; 7) л = 3. 89. 1) I, III; 2) I, II; 3) I, II, III; 4) I, II; 5) I, III, IV; 6) I, II. 90. 1) Да, например: а = 0, Ь = -1 и л = 2; 2) нет. 91. 1) а) I, II; б) I, II, (III), IV; в) I, II; г) I, II, III, (IV); д) I, (II), III, IV; е) III, IV; ж) (I), II, III, IV; з) III, IV. (В скобках указаны четверти, через которые график может пройти лишь при некоторых значениях А:, а и Ь.) 2) а) I, II, III или I, III, IV; б) I, III, IV; в) I, II, III; г) I, II, III или I, III, IV; д) I, II, IV; е) I, II, IV или II, III, IV; ж) II, III, IV или I, II, IV; з) II, III, IV. 92. Чётным: 1), 2); нечётным: 3), 4); нельзя определить: 5), 6). 93. 1) лг < л; 2) m ^ л; 3) пъ ^ л; 4) тп ть\ 6) нельзя определить. 94. 1) а) Симметрией относительно оси абсцисс; б) сжатием в 5 раз к оси абсцисс. Все три функции имеют одинаковую чётность. 97. 1) а) Нечётная; б) чётная; в) нечётная; г) ни чётная, ни нечётная. Точку разрыва имеют функции в) и г). ' -2х^ 98. 1) t/ = (4д:« -4) + (5х); 2) у =( + - 1 99. а) Нет; б) нечётными являются произведение и частное чётной и нечётной функций. 100. 1) а) у = -(|л:1 - 2)^ + 5, при х ^0. 2) Функция возрастает на промежутках (-сю; -2] и (0; 2], убывает на промежутках [-2; 0) и [2; +с») и имеет разрыв в точке 0. J 5-(х-2)2, прид:>0, \х\ ^ " 1 (;. + 2)2 - 5, при < о ■ 7 возрастает на промежутках [—2; 0) и (0; 2], убывает на промежутках (-оо; -2] и [2; +оо) и разрывна в точке 0. 101. 1)Нет. 102. 1)— 4) Да. 103. 2) Vl6 ; 3) -V43 ; 6) 0; 7) 1,5; ^ ; 8) -2; -0,8; 9) 0; 1; 4; 5; О 10)0; 1;8;9. 107. 1)—3) Принадлежит. 108. 1) Такого л не существует; 2) л = 7. Ответы 109. 1) 2; 2) 3; 3) 3; 4) 2 и 4; 5) 2 и 4; 6) 2, 3 и 6; 7) 2, 5 и 10. 110. 1) m > п; 2) m < л; 3) /п < л; 4) m > л. 111. 1) а) Z/ = л:; б) г/ = ^ ; в) у = 0,5д: + 0,5; г) у = 7,5 - 1,5л:. 113. 1), 2), 5), 6), 7) Да; 3), 4), 8) нет. 114. 1)-V7; 2)-V6; 3)-VV2 - 1; Ь)~У1 + ; 6) - V4 - ЦЬ + 62); 8)-97с2- 5с+ 7 . 115. 1) д: ^ 0; 2) Jt — любое число; 3) д: 5* 0; 4) д: ^ 2,5; 5) при всех д:; 6) -5 ^ д: < 5; 7) д: ^ ; д: ^ |; 8) д: ^ -9, х ^ 10; 9) -4 ^ jc ^ 24. 116. 1) д: < О, д: = 16; 2) д: = -243; 3) д: < О, д: = 2; 4) д: < -3, :с = 3; 5) -5 < д: < 5, д: = -13; 6) д: < -7, дс> 7, д: = -3. 117. 1) If ; 2) ^ ; 3) -0,4992; 4) 0,3568; 5) -5 и 5; 6) -4. 118. 1) -1; -2,5; 2) нет корней; 3) 1; 4) -2; 5) 6,25; 6) 4; 9; 7) -1; 3; 8)-1. 119. 1) J ^ (4; 7]; 2) д: = -8,5, -3 < д: ^ 1. 120. 1) 4 < д; < 5; 2) -7,5 ^ д: ^ 5; 3) О < д: < 1; 4) д: ^ 6; 5) д: > 4; 6) 1 ^ д: ^ 2,6; 7) д: ^ -|, О ^ д: ^ 7_±^ ; 8) д: < -1, дс> |. 122. 1) 45; 2) 2,8; 3) |; 4) 6; 5) 20; 6) |; 7) 15; 8) 12; 9) 4,4; 10) 2; о о 11)3; 12)1. 123. 1) 2“72; 2) Si/S; 3) aV^; 4) b^-i/b; 5) ab'^-M^; 6) 2x^b^ • V4x5 ; 7) -aif^ ; 8) 2a^b^ • У~2аЬ^ . 124. 1) л/2; 2) 73; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) VVS - 2 ; 8) Vs - (2)л/б . 125. 1) V^;2) V^;3) V^;4) Jb; 5) ; 6) . 126. 1)73 >VS > VS; 2)72 VsTI ; 4)Vs^ = J2\fh. 127. 1) V2 ; 2) ; 3) 24Д ; 4) ; 5) ^^ОД ; 6) 207I6O . 128. 1) -7; 7; 2) -2; 2; 3) -4; 4; 4) -5; 2; 5) ; 6) 8; 27. 129. 2)a) 7S;6)275. 130. 1) 7; 2)4,7. 131. 1)0; 2)-18; 17. Ответы 132. 1) = 1, i/i = 9; ^2 = 9,1/2 = 1; 2) = 1, = 4; JC2 = 4, г/2 = 1; 3) jCj = 1, i/i = 27; ^2 = 27, У2 = 1; 4) = 1, = 64; X2 = 64,1/2 = 1. 133. l)a^0;2)a<2, a = 4 134. 1) 30Д ; 2) ; 3) У255; 4) wjf; 5) : 6) воД . 135.1)-1; 2)-l. 1 1 3 5 23 12 _1Й_1 137. 1)д;3;2)1/4;3)а5;4)Ьб;5)1а|7Ь7;б)ЬЗ|с|з .7)2 ^ а'^\Ъ\ 7; 18-й 3 8) 3 7|c|7 д; Ю)(-а)2. 138. 1) , гдеа > 0; 3) ; 4) Д ; 5) ; 6) ; 7) loj^ , где a > 0; 8) 10/-^ , где л: > 0; 12) + 2i/)2 , где л: + 2i/ > 0. 3 A 13 ^ 2 1 139. 1) X^ ; 2) 1/28 . 3) ^36.4) уЗО . 5) д2. g) д:-2; 7) /,3 ; g) . 140. 3) 27; 4) ^ ; 5) 100; 6) 1000; 7) ^ ; 8) i ; 9) 9; 10) 2; 11) 7S ; 12) V2 141. 1) a) 2-2; 6) 2“^; в) 20*8; r) 2"0*9; д) 23.5; 2) a) (72 )-4; 6) (Л )-Ю; в) (72)‘-б; г) (72)-i*8; д) (72)7; 3) а) 4-I; б) 4“2.5; в) 40.“; г) 4-».45; 2 5 д) 41.75. 4) а) (0,125)3; б) (0,125)3; в) (0,125) ; г) (0,125)0*3; 7 д) (0,125) 6; 5) а) (Vi)-3; б) в) (Vi)b2; j,) (37i)-i.35; Д) (374)3.25. 142. 1) а) [I ; б) ( | )'' : в) ( | j-5; г) (| j I ; д) (| ; 3 _1_5 2)а)(?У9)-«; б) (V9)»; в) (V9 )® ; г) (V9)"'“; д) (VO)^^*; 3) а) З'"; 2 _5 б)3“; в) З-''; г)3 ^ д) 3«; 4) а) js ; б) (^Н; в) ( ^ )'А : r)f^)A; Д) 6)a)(V81)-5; б) (VSl)'^; в)(У81)2; 27 25 35 г)(57^)'28;д)(5781)8 . Ответы 143. 1) (а0’5)2; 2) 3) (х^ ] ; 4) [ь ^ j ; 5) (2с0-5)2; б) (5а0»5)2; [ 1 if 7)(8x0-V’^^)^;8)l^3f?6c2 j . 144. l)[p~^ j ; 2) J ; 3) [a'^ ) ; 4) j ; 5) (^22« j ; 6)(зл:з) ; 7)(5a3i/9 ) ;8)(l0b6c3 ) . 2 3 1 1 1 § 1 145. 1) 4a3 + 12a4 &2 + g^,. 3) Ь2 - feS . 4) ^2 _ + jc^ - 1; 5 5 i _1 1 1 21 _§ i 5) c® - c 9 ; 6) a + a2 6 з _ ^2 ^3 _ j. 7) ; 8) a + b; 9) л: ^ . 146. I)(l02) -(аз) =(lO^-a2)(l02 + a2 ); (7iT = (.i-7M(.i.7^); 3) a2 -52= a2 -5 U2 +5 ; 4) (j£:2)2_^y2j = ^д,2 _ ^2 J^j,2 + ^2 J. 5) (a4) -32 = (a4-3) (а4 + з);6)52-(ьб j = (5 - ][s + ^,6 j. 1 \2 7) (3:c)2 = 1 (Зл:)2 - t/ 8 11 (3jc)2 + у 8)(p“>) -((39)3 ) -(^p‘0-3g2 + 392J; 1 ‘Y f 1 l\ I ! 1 »2 2 1 \ n rr e\i-,2 2 I I n 7 ■ rtr>2 2 9) (л;9>'^)2 - ^ 28^y^ j = - 28^y^ ] + 28^у j. 147. 1) 23 - (аЗ ) = (2 - аЗ 1(4 + 2аЗ + 2)(ьз) +З3 = (г>з +з|[^,з _з^,з+gj. 1 U 3) [Юд:3 J -1^33 J =^10д:3 - 3З ]|^100д:3 + 10д:3 . 3З + 3З J; [11^3 / 11 22"\ 4) 53 + ^23г/3 J = ^5 + 2^у^ ]\2Ъ-Ъ‘2^у^ + 2^у^ j; 5) ^a®j + 23 = + 2j^a3 - 2а® + 4j; 6) 43-{б9) =(4- ^9 )(l6+ fe9 + ^,9 ; Ответы = [л:® - 2^2 ][л:^ + jc® + z® j; 8)(г>^) +(206 ) =(fei8 + 2сб)[&9 _ 2fti8c6+4сЗ j 1 148. 3) ^;4)J—2- 1 - а 2 1 149. 1)-^; 2) 3) 1 - а ® 1 11 7) 62 J.3 _1- Y-3 :8)2^ 1 1 2^2 4) а^х 1 1 3262 1 1 32-62 5) а2 + 5; 6) ——-—- х2 + 2i/2 а* - 6 J/2 - 150. 1) а) 2,8; б) 0,75; в) 13; г) 29; д) 1; е) 2. ^ I i ' ^;3)-6'1^д:4 + b'^ J;4)-10. ^3 _ 1 jjS ^ i 151. 1) —-;2) ^ ^ ^ c2 + 1 1/3 152. 1)-1;2)-|. 153. l)a< 1; 2)a^ 2. Глава 3 Показательная и логарифмическая функции 155. Принадлежат. 158. 1) 4; 2) 4; 3) -2; 4) -3; 5) ; 6) 1,2; 7) 2,75; 8) f . о 4 159. 1)9; 2) л/5. 160. 1)—2) Проходит. 163.1) a^/з _ Л Л а 2 + 3 164. л/21 . 165. 1) Чётная; 2) нечётная. 167. 1) |; 2) 2,5; 3) 3; 4) б) 9; 6) нет корней; 7) 7; 8) 4. 168. 1) -1; 2) 3; 3) 1; 4) 4; 5) -1; 6) -2; 7) 1,5; 8) 1,5. 169. 1) 0; 3; 2) -2; 3) 4; 4) -1; 1; 5) 0; 6) 6. 170. l)x~y--2-,2)x-^,y~-^-,3)x = i,y = Z-, 4) Uj = и, = -4, U2 = V2 = 3. Ответы 171. 1)х < -4; 2) л: < 6; 3) JC > 0; 4) д: ^ 0; 5) д: < -3, д: > -1; 6) дс < -1, 4 ^ л: < 5; 7) дс ^ 2; 8) jc < О, д: ^ 1; 9) д: < 1; 10) х> 2. 172. 1) X ^ О, Д£г ^ 3; 2) jc < -2. 173. 1) а > 1 и а 2; 2) ни при каких; 3) а ^ 1, а = 2. 174. 1) (1,03^ - 1) • 100%; 2) к 42,6%. 175. 1) а) 2; б) 4; в) 3; г) -3; д) -3; е) 0,25; ж) -6; 2) а) 2; б) 3; в) 3; г)-2; д) -4; е) |; ж) -9. 176. 1) а) logg 2; б) logg 4; в) logg 8; г) logg 1; д) logg 0,5; е) logg 0,25; ж) logg 0,125; з) logg J2\ и) logg V2 ; к) logg л) logg V4; 2)a)logi|; б) logi в) logj r) logj 1; д) logj 2; e) log^ 4; ’i 4 ’i 8 ж) logj 8; 3) logj ^ ; и) logj ; к) logj J2 ; л) logj ^ ; 2 g V2 g V2 2 2 з) a) logg I; 6) logg 5 ; в) logg ^ ; r) logg 1; д) logg \ ; e) logg ® ; 3 3 3 9 3 'i 2 3 4 3 27 Г2 Г2 Гз f4 ж) logg — ; 3) logg I-; и) logg 3/- ; к) logg ; л) logg 3/- ; 3 3 ^ 3 ^ 3 3 4) a) log4 4; 6) log^ 16; в) log4 64; r) log4 1; д) log4 0,25; e) log4 ^ ; ж) log4 ^ ; 3) log4 2; и) log4 V4 ; к) log4 |; л) log4 VI6 ; 5) a) logj_ ^ ; 6)logi 7I9; lo&i 1;д)1о^1 27; e) log729; 27 27 27 27 27 ж)logl 273;3)logi -^;H)logi ^ ; к) log ^ 7^ ; л) log ^ 27 27 ^ ‘ 27 27 27 6)a)log^+i(x+ 1); 6)log^^i (x+ 1)2; B)log^+i (x+ 1)^; r)log^+i 1; Д) log x+ 1 X + 1 ; e) log. (x + 1)2 ; ж) log ^ (X + 1)2 ’ 3) log*+1 'Jx + 1 ; и) log^+1 Vx + 1; к) log^+ 1 J л) log^ + 1 V(x +1)2 . 177. 1) 2; 2) i ; 3) VB ; 4) . 178. 1) 1; 2) ^ ; 3) -2; 5; 4) 1; -6; 5) -|; 8; 6) |; |. 179. 1) logg 5; 2) logo,5 3) logg 2 - 1; 4) log^ 3. 7 Ответы 180. 1) д: < log^ 3; 2) л: < logg 256; 3) л: > logg 6; 2 4) л: ^ - 3 183. 1) logs § > logs f > log, f : 2) logs I < logs f < log, f ■ 184. \)x<-l,x> -^-,2)-^ <*<1;3)-| 23; 2) л: > 6; 3) -2 < д: < 7; 4) 0,99 <д:<1;5)0<д:<3; 6) jc < -2, д: > 7; 7) д: > 6; 8) 2 < д: < 1±^ . 190. 1) 25 < д: < 36; 2) о < д: < 4, д: > 9; 3) о < д: < 0,16, К д: < |; 4) I ^ д:<0,81, д:^ 1; 5)-Л0 2; 6) 2 < д < 3, д > 6; 7) 0 < д < 0,5 1<д<2, 3<д<6;8)1<д<2, 2<д<3, 3<д<5;9)1<д<2 2 < д < 3, 3 < д < 4, д ^ 5; 10) -2 < д ^ -1, д ^ 4; 11) д > 12) К д< -3 + 7^ 192. 1) К д < I; 2) -0,5 < д < 0; 3) д > 14,5; 4) д > 4,5; 5) д > 5; 6) д <-11. 194. 1) 1; 2) -2; 3) 2; 4) 2; 5) 8; 6) 6; 7) 2; 8) 2. 195 . 1) 4а; 2) 2а; 3) 7,5а; 4) -4а; 5) ^ ; 6) 1 - а; 7) ; 9) а 1 — а 1 -г ба 196. 1)За + 5; 2) 3 — За & + 1 197. 1) 13,5; 2) 20,25. 198. 1)5; 2) 1023. 200. 2. Ответы 201. 1) log7 8 > logg 9; 2) log7 6 < logg 7. 202. 1) 64; 2) 9; 3) 1; 4) 2; 5) V3 ; 6) ;7) J3;8) 20; 9) 2; 10) 1; 11) : 12) ^ ; 13) 9; i ; 14) 16; 15) 9; |; 16) 3; -3; 17) 4; i ; 18) 3; i . 203. 1) 100; 0,01; 2) 2; |; 3) 3; 27; 4) 100; 0,1; 5) 3; ^ ; 6) 0,5; 4; О у ^;10)log|i;ll) 1; ; 7)0,00001; 1000; 8) ; 9) 12) 1; 22. 204. 9. 205. 1) ^ ; 2) a) 100; 6) 10. 206. 1)-100; 2)-1000. 207. 1) 3 < X < 4,5; 2) -1 < x < |; 3) -2 < x < |; О • 4) logg ^ < X < logg 28; 5) x < log^ (л/З - 1), x > 1,5; 6) 1 < x ^ 2®"^; 7) 0 < X < 1, < X < 2; 8) log4 13 < x ^ 2; 9) 4 < x < 10; 10)-л/2 0; 7) II четверть; 8) I четверть. 239. 5) cos Р > о, sin р < 0. 241. 1) а) 156® + 360°п и 24° + 360°п, п — целое число; 2) а) 45° + 360°п и 135° -I- 360°п, п — целое число. 243. 1) cos 72° « 0,31, sin 72° « 0,95; 4) cos 215° « -0,82, sin 215° -0,57. 245. 1)3; 3) 1; 5)0. 246. 1) Синус равен косинусу для углов 45° и 225°; 2) синус противоположен косинусу для углов 135° и 315°; 4) синус больше косинуса для углов между 45° и 225°. 249. 1) Да; 3) нет; 7) нет; 8) да. 250. 3)ф-|!. 251. 1) ф = ял, п — любое целое число. 252. 1) ^ -ь ял; 3) ^ “Ь 2ял, л — любое целое число. 5) ^ -f- 2nk ^ Ф ^ ^ + 2я^е; 6) я -Ь 2я/г ^ ф ^ 2ж(к -f 1), ф = ^ + 2я/г, k&Z. 256. 9) Положительное; 10) отрицательное. 259. 3)-1,4; 5) 1,4; 6)-3,7. 260. 1) 52,43° + 180°л; 3) -21,80° + 180°л, л — любое целое число. 261. 1) Для углов 45°, 135°, 225° и 315°; 2) нет таких углов; 3) для углов между 45° и 90°, между 135° и 180°, между 225° и 270°, между 315° и 360°; 4) для углов между 0° и 45°, между 90° и 135°, между 180° и 225°, между 270° и 315°. 263. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет. 266. 4) 0. 268. 3) ^ -ь ял, л — любое целое число. 269. 3) ф = ^ , ф = ^ ; 5), 6) 2ял < Ф < ^ + 2ял. О О ^ 270. 1) ф = I л; 3) ф = I + ял, | + ял, л — любое целое число; 5л 5) -1- ял < ф ^ ял, л любое целое число. 271.2)a)f/= ^х + 3;в)у = -Лх + 3. О 272. 2) tg 1 > tg 2; 3) sin 15° < sin 15; 4) cos 3 < cos 4. 276. 3) Отрицательна. 277. 1) arcsin р^^;4)я<я-ь arcctg p ^ 2я. 278. 2) 5я 279. 1)^;3)1, 280. 3)0. Ответы 282. 1)а = (3;2)а = р. 283. 1)ае[-1;1]; 3)аеД. 284. 3) ^ . 285. Нет. 288. 1) -| + 2лл, -arcsin ^ + 2лп, л + arcsin ^ + 2лл, п — любое целое число; 2) 2лл, п — любое целое число. 292. 1) sin 34° - cos 34°; 2) 2 ctg 20°. 293. 1) -tg jc; 3) ctg (p. 294. 1) a) sin 120° « 0,866, cos 120° « -0,5, tg 120° « -1,732. 299. 4) I +^,neZ. 300. 2) ^ ; 3) 5 - 6 + 2л; 4) 10 - Зл; 5)^ - 10 + Зл. 306. 1) ^ + 2лл, n — любое целое число; 3) не имеет решения. 307. 2) Общий вид уравнения оси симметрии ^ | ^ бое целое число. 308. 2) Общий вид абсцисс центров симметрии х = лл, где п — любое целое число. 312. 1) = 2, = -2; 3) = 1,5, у^^^ = -0,5; 5) у^^^ = 6, _ q3 У min ^ ^ • 313. 1), 4) — нечётные; 2), 3) — чётные. 315. а >5. 316. 1) -0,5 < а < 0,5; 2) а > ^ . 318. Функция у = sec х чётная, а функция у = cosec х нечётная. 323. 1) х^ 2пп, п — любое целое число; 2) х^п + 2лл, п — любое целое число; 3) нет решений; 4) нет решений. 324. 2) Общий вид уравнения оси симметрии х — лл, л — любое целое число. 325. 1) Абсциссы некоторых центров симметрии ^ |^ • 2) Общий вид абсцисс центров симметрии: л: = | + лл, л — любое целое число. 327. 1) 0,4 и 0; 3) 1 и i ; 4) 1 и 0,2. О 330. 1) л; 2) 4л. 331. а) Чётные функции 1), 5) и 6); б) нечётная функция 2). Ответы 332. 1) + 2ял < л: < ? + 2тт, л е Z; 4 4 2) + 2ял < л: <^ + 2ял, п & Z\ О О 3) + 2яЛ ^ д: < ^ + 2nk, /г 6 Z; 4)^ + 2яЛ < д: < ^ + 2nk, k & Z. 6 6 4 4 . 5я 5л 333.1)^ ^^ 2) ^ ^ + ^,/?eZ;3)-5 +4ял^дс^ ^ + 4ял, л е Z; <4\ 5т1 I ^ ^ХЗтг I 4) -— + я/г< JC < + ял, п е Z. 339. 1) + ял < д: < f + ял, л е Z; 2) + ял < д: + ял, п е Z; А О S А 3) + ял < JC ^ + ял, п е Z; 4)^ + ял < jc < я + ял, п е Z; А ^ о 5 arctg 3 + ял<д:<| + ял, л е Z; 6) arcctg (-3) + ял ^ д: < я 4- ял, п е Z. 346. 1) а) f ; б) ^ ; в) ; 3) а) arctg 2; б) я + arctg 2; 4 4 4 4 в) 2я + arctg 2; Зя + arctg 2. 347. 1) ? + ^ , л е Z; 2) Таких х нет; 3) ? + ^ , л е Z. 4 2 4 2 349. 1) Функция возрастает на промежутках: ^ + 2ял; + 2ял I и убывает на (-^ + 2ял;^ + 2ял 1, л е Z; 6 Ь \ о о I 2) функция возрастает на промежутках |-я + 4ял; я + 4ял| и убывает на I я + 4ял; Зя + 4ял), л е Z; 4) убывает на| ^ -Ь -Н ял 1, п е Z. 350. 1)|;2)я; 3)я;4)я. 351. l)^-|:oj;2)fo,6:11. 352. 1) Могут; 2) могут. 353. 1) cos а = II; tg а = II; ctg а = II; 3) sin а = р ; tg а = ; 12 12 24 7 7 ctg а = -— ; 5) sin а = ; cos а = -— ; ctg а = 24 354. 5) 1 - sin Р; 7) cos2 а - sin2 а; 9) tg^ р; 11) -ф- ; 13) -Лл ; sinp smp 15) sinal * Ответы 355. 1)-7; 2)0 357. 1)0; 3) 1; 5) 1. 358. 7) ^ + 2nk, ^ ^ 2тгЛ, k е Z; 8) -arctg ^ | j + п g Z; 3 4 5 9) ±arccos - + 2пп, ±arccos - + 2пп {п е Z); 10) arccos — + 2кп, 5 5 1о ± arccos ^ j + 2пп, п е Z. 360. 1)7; 2)47. 361. 1) Не могут; 2) могут. 363. 3) ^/2 ; 4) V(cos а - cos Р)^ + (sin а - sin Р)^. 364. 11) -sin ф. о с с 1\ 117 33 31 л/2 *if\7 1171 . 04 4 + 3л/з „ ~4 + Зл/З 221 ’ 10 10 368. 1) — ; 2) . ^ 325’^ 145 369. 3) V2 cos а. 370. 1) г) cos р. 371. 1) Значение первого выражения больше значения второго; 2) значение первого выражения больше значения второго; 3) значения выражений равны. 372. 1) 1;2)-1. 373. 1) ^ ; 3) i . 374. ±5| + |яА,«ге2. 375. 105°. ООН 04 ^ 2лл . 5л . 2лл 382 1) 3 + 273 . э) 1 - 1.573 п е Z. 2 - ЗТЗ 7з + 1,5 7з ^ 1 383. 1) ^—- ; 3)— . 7з + 1 7з - 1 З84.1)а)1|;в)-Ш. 385. 1)|;3)|. 386. 1) 17,2. 387. 90°. 388. 1) 1; 3) л/З . 392. 3) arctg 2 + пп, п е Z. Ответы 394. I)tg55°; 2) ^ctglO°. О 396. 2) Угловые коэффициенты и Ag взаимно перпендикулярных прямых связаны соотношением • Ag = — 1- 397. 9) cos2i - sin2 i ; 11) - : 14 14 1 - tg*^ 0,loTi 1 04 о • « a 1 c\ о ■ За За н ггч о ot + P “ + Р . 13) 2 sin- cos - ; 15) 2 sin — cos — ; 17) 2 sin —^ cos —; 19)2sin(|-|)cos(|-|) 24 398. 1)0,96; 3)|;5)-^ 400. 3) sin 24°; 5) ^ ; 7) -cos 40°; 9) ^ ; 11) cos a; 13) cos 2a; 15) tg 20°; 17)tg|. 401.3) cos 10° — sin 10°; 5) 1 cos 20° ; 7) cos 5°; 8) cos 25° - sin 25' 402. 1) a) sin 20°; 6) 22®^ ; в) . 8 32 sin a 403. 1) ^ -b ^ , Л e Z; 2) I -t- nk, -arcsin | -f 2nk, n -b arcsin ^ -I- 2nk, k & Z. 404. 1)30; 2) 150. 405. 1) ^ + юг, Л e Z; 4) Л -Ь 2nn, где n & Z. 406. 1) Y » « e Z; 2) ^ , n 6 Z. 410. 1) Может, так как sin 2л: = 2 sin 24° < 2 sin 30° = 1; 2) не может, так как sin 2л: < 2 sin 34° при любом х, так как 2 sin 34° > 2 sin 30° = 1; 3) да; 4) нет. 412. Наибольшее и наименьшее значения функции: 1) 1 и —1; 04 1 1 К4 1 1 3>2 и--;5) J и-j. 415.1) 2 cos 45° cos 60° = ^ ; 5) 2 sin cos ; 8) 2 cos За cos а. 418. 1) ; 2) . 421.1) ^;2)3. 422. 1) ^ , л € Z; 3) I + ^ , ^ , п € Z; 5) ±1 -Ь 2яп, п е Z. Ответы 423. 1) ^ + 2яп, п е Z. 424. 1) а) sin^ 4а; б) sin 4а sin 5а; в) sin 7а sin 8а. 425. 1) а) ; б) sin 4а cos 5а; в) sin 8а cos 7а. 426. 1) а) 7 ; б) sin 80° cos 70°. Аргументы слагаемых составляют 4 арифметическую прогрессию, а аргумент множителя равен её полу-разности. 1 ТТЛ гж о\ 7t /I гж 428. 1) - -Ь — , лл, л е Z; 2) , л 6 Z. о о Z о 429. 1)-л;-|;0; |;л. 430. 1) + 2пп, /I е Z; 2) л + 2лга, п е Z; 3) ^ , п е Z; 4) пп, О Z п е Z. 431. 1) а) л -н 2лл; + 2лл, л е Z; б) (-1)* + nk, А € Z; о о в) -arctg 3 + Tin, arctg 2 -f лл, л e Z; г) arctg 2,5 + Tin, - | + ял, л e Z; д) 2лл, л e Z; e) корней нет; з) ^ -Ь ^ , л e Z. 432. 1) a) ~7 -1- Tin, n e Z; 6) Tin, ^ + лл, л e Z; в) -arctg 2 -Ь Tin, 4 о ^ -b Tin, Л e Z; r) ^ -f- л/г, i л + яЛ, fe € Z. 4 ^ о 433. 1) a) -7 -f- ЛЛ, arctg 7 + лл, л e Z; 6) 7 -b лл, -arctg 5 + лл, 4 4 4 n & Z. 434. 1) a) I -I- ЛЛ, Л e Z; 6) лл, л 6 Z; в) лл, | -ь лл, л е Z; г) лл, I 4- лл, л е Z. 435. 1) а) 2лл, л е Z; б) ^ + лл, ± л + 2лл, л е Z; в) ^ , ± Y -I- 2лл, л е Z; г) I + лл, | -f- , л е Z. 436. 1) ^ , (2л t 1)^ , л е Z; 2) ^ , л е Z; 3) ^ , л е Z; 4) ^ , /усчТтг.лл л ,Л/о 14...-'^. «'кЗл,4лл. 5л,4яп Лб2;5)- +— или - + - (2n-l),nsZ;6) - + —, Л е Z. 437. 1) - 2лл или ^-H^,л6Z;2)^-^-y,лeZ. Ответы 440. 1) ±-^ + ^ , п е Z; 2)| + 2яп, (-1)" arcsin \ + кп, п & Z', \2i 2, 2 о 3) ^ + 2ял, ±5 + 2я/1, п е Z; 4) ппЛ + яп, п е Z; 5) j + ял, 2 О о 4 л € Z; 6) + ^, л 6 Z; 7) (-1)"| + 2ял, л е Z; 8) ^, л е Z; 9) arctg 3 + ял, arctg 7 + ял, л е Z; Ю)^ ^ 5 7 ^ ^ ^ А е Z; 11) + 2ял, л е Z; 12) 7 + ял, arctg^ + ял, л е Z; 3 4 7 13) А + ^ л, л е Z; 14) arctg (./З - 1) + ял, -arctg (л/З + 1) + ял, 10 о л 6 Z; 15) JC = ял, л е Z; 16) + 2ял, л е Z; 17) ±:^ + ^ , л е Z; О 1^ Z 18) + ял, + 2ял, л е Z. 4 о 441. — . 12 442. О, ± I. 443. ± я. 444. 1)я, ^;2)|и5. 445. а = ±2Тб. 446. 1) (-1)"^ + ял, л е Z; 2) ял, л е Z; 3) 7 + ял, | ял, О 4 у о л €Z;4)log2( 5 + ^ ), л = 0, 1,2,3, ... . Г Л а В а 5 Элементы теории вероятностей и комбинаторики 447.1)1;2)|;3)|. 448. 1)|.,2)|:3)|. 449. l)A;2)A;3)i. 450. 63 200 ■ 451.0,25. 452. 1) I; 2) I Ответы 454. I. 456. 1) = 4%; 2) » 7%. 460. Частота всхожести примерно равна 97% 461. Скорее всего, в коробке 2 чёрных шара. 462. 12. 463. — . 120 464. 1)а)||:б) 33 . 116 221 ’ 221 ■ 467.1)А;2)|:3)|;4)Х. 468. 1)0,2. 470. 1)а)А|„;б)/>2о;2) А. 471. 1)120; 2) 6! = 720. 472. 1)А;2)1;3)|;4)1. 473. А . 11 474. 10 треугольников. 475. С^7. 476. |CJ. 478. С^§. 479. 1)|С|:2)С^ 2 482. 1)С§в;2) а) •с|. • 3) — 4 • с. *^36 ^32 . ч ^32 . Сб ’ f 6 ’ *^36 '^36 ^27 С|б 483. 1) - ; 2) — ^ 5 ’ ^20 484. 1)210; 2) 120; 3) 15. 485. 1) (л + 1) • л •... • (л - /г + 3). 488. 960. 491. 1) а) 40 095x8; б) 594x^0; в) З^^; 2) 2^^. 492. л = 10. Шестой член разложения бинома имеет коэффициент Cfo = 252. 493. 1)23; 2)7; 3)5; 5; 5)5. Ответы Глава 6 Повторение 494. 1) -1; 2) л- Tt 1; 4) л: -1,6, х ^ -1; 5) (-оо; 0,75] U [1; +оо); 6) 2-л/2 <л:<1,5, 1,5<л:<2+л/2; 7) + 2тш; ^ + 2япj ^ ^ + 2яп; | + 2япj, где п & Z. 495. 1) (-оо; 0) и (0; +оо); 2) (-оо; 4-оо); 4) г/ ^ -16; 5) I/ ^ 4; 6) -| ^ г/ ^ 2; 7) [-21; 3];8)0<у^ 2; 9) [1; 4]; 10) [2; +оо). 496. 1) (-оо; -1), (-1; +оо); 2) ^ | + 2ял; | + 2ж(п + l)j, где п е Z; 3) [2я/г; я(2п 4- 1)], где л е Z; 4) п- 0,5; п + 0,5 J , где п & Z. 497. 1) (-3; -0,5) и (5; +оо); 2) х < -3, -0,5 < л: < 0,5; 3) 3 < л: ^ 4; 4) (-1; 1) и (1; +СХ,); 5)(-^ - 2пп; -^ - 2ял | Л ; -1 К I + 2ял; ^ + 2ял|, где п = 0,1, 2, 6) (0; 0,5), (2ял - я; 2яп), (-2ял; я - 2ял), где п е N. 498. 1) л: < -|; 2) -К л: < 1; 3) К л: < 2; 4) 5 < д: < . 499. 1) Функция возрастает на промежутках [а; Ь] и [с; d], а убывает на промежутках [Ь; с] и [d; +оо]; 2) функция возрастает на промежутке [-2; 1,5], а убывает на промежутках [-3; -2] и [1,5; 5,5]; 3) функция возрастает на промежутке [1,5; 3,5], а убывает на промежутках [-2,5; 1,5] и [3,5; 5]. 501. Убывающие: 2), 5); возрастающие: 1), 3). 502. 1) Возрастает на (-оо; -1], убывает на [-1; -Ьоо); наибольшее значение 4; 2) возрастает на (-оо; 2], убывает на [2; -1-оо); наибольшее значение 25; 3) возрастает на (-4; -1,5], убывает на [-1,5; 1); наибольшее значение -1,2; 4) возрастает на [-3; -l-oo), убывает на (-оо; -3], наименьшее значение log^ 2; 5) возрастает на [2яА; я(2/г Ч-1)], убывает на [я(2Л -I- 1); 2n(k -Ь 1)], где k е Z; наибольшее значение 9, наименьшее значение 1; 6) возрастает на nk; - + nk 10 , убывает на -^ + яЛ; nk , где k е Z; наибольшее зна- чение ; наименьшее значение 0,3. 503. 1) а) D(g) = [-3; 4], D(h) = (-3; -2) и (-2; -0,8) и (-0,8; 3,3) и и (3,3; 4); б) E(g) = [0; ], E(h) = (-с»; 0) U [ ; -booj ; в) g{x) воз- растает на [-2; 1,5], убывает на [-3; -2], [1,5; 4], h(x) возрастает на Ответы (-3; -2), [1,5; 3,3), (3,3; 4), убывает на (-2; -0,8), (-0,8; 1,5]; г) min g(x) = о, max g(x) = J4,5, у h(x) нет ни наибольшего, ни наименьшего значения; 2) а) D(g) = [-2,5; 0,8] и [2,3; 4], D(h) = [-2,5; 0,3) и (0,3; 0,8) и (2,3; 2,8) и (2,8; 3,7) и (3,7; 4); б) E(g) = [0; л/4,5], E(h) = (-со; 0) U ig4~5 ’ возрастает на [2,3; 3,5], убывает на [-2,5; 0,8], [3,5; 4], h(x) возрастает на [-2,5; 0,3), (0,3; 0,8), [3,5; 3,7), (3,7; 4), убывает на (2,3; 2,8), (2,8; 3,5]; г) min g(x) = 0, max g(x) = л/4,5 , у h(x) нет ни наибольшего, ни наименьшего значения. 504. 1)1;2)0;3)-3;4)11;5)1;6)2; 7)1; 8) 2; 9)0. 505. 1) а) I; 6) -I; в) ^ ; г) Зн - 10; д)| - 2; 2) а) ^ : 6) ^ : в) ^ : г) 4л - 10; д) I - 1; 3) а) I; б) ; в) ; г) 7 - 2л; д) | - 1; 4) а)|!;6)1;в)|!;г)7-2л;д)|! -2. 506. 1) ^ 1• -{-х} -Ь 1. 519. 1)у;2) Юл; 3)^;4)2. 520. 1) Симметрия относительно оси ординат; 2) симметрия относительно оси абсцисс; 3) перенос параллельно оси абсцисс на 3 единицы влево; 4) перенос параллельно оси ординат на 3 единицы вверх; 5) сжатие к оси ординат в 2 раза; 6) растяжение от оси абсцисс в 2 раза. 523. 1) а) а = о, а > 5; б) о < а < 4, а = 5; в) а = 4; г) 4 < а < 5. 2) Уравнение не имеет корней при а < 0. 524. 1) ОДЗ расширилось: в него добавилось число -1; 2) ОДЗ сузилось: из него исчезло число —1; 3) следует дополнительно рассмотреть случай, когда х + 1 < 0; 4) следует проверить, что х -f 1 ^ 0; 5) равносильное преобразование; 6) следует дополнительно рассмотреть случай, когда ^ | к е Z; 7) следует проверить, что 2п 5л Ответы cos л: ^ 0; 8) равносильное преобразование; 9) следует дополнительно рассмотреть случаи, когда f{x) < 0, g{x) <0; 10) ОДЗ могло расшириться, следует проверить, что g{x) имеет смысл; 11) ОДЗ могло расшириться, следует проверить, что f{x) >0; 12) равносильное преобразование; 13) ОДЗ могло сузиться, следует дополнительно рассмотреть случай, когда f{x) и g{x) одновременно отрицательны. 525. 1) Следует проверить, что значения правой части уравнения неотрицательны; 2) равносильное преобразование; 3) ОДЗ расширилось: следует проверить, что 2лс -Ь 3 и л: - 2 неотрицательны; 4) ОДЗ расширилось: следует проверить, что 7 - х > 0, 7 - х 9^ 1, х^ -h 9 > 0; 5) следует дополнительно рассмотреть случаи, когда sin х = о и cos X = -sin х; кроме того, следует учесть, что косинус должен быть неотрицателен; 6) равносильное преобразование; 7) равносильное преобразование; 8) ОДЗ сузилось: следует дополнительно рассмотреть случай л: = | + nk (k е Z). Ответы: 1) 3-ь 77;2)3; 4)-1; 5) пп, + 2лл (п е Z); 6)? + 2nk (k е Z); 7) ±7 -Ь 2лЛ, 2v.k 4 4 4 {к е Z); 8) -arctg 0,5 -I- л/г, - + кк(к е Z). 526. 1)2(а-ьб); 2) а + Ь а - Ь ‘ 527. 1) Нет решений; 2) -3,2; 3) л: 5* ±4; 4) 0 и 7. 528. 1) 1 и 5; 2) 2 и 4; 3) 1,5; 4) нет решений. 529. 1)-2; 4; 2) 7; 5. 530. 2), 3) Следует учесть, что подкоренное выражение должно быть положительным; 4) подкоренное выражение должно быть неотрицательным; 5) ОДЗ расширилось; следует рассмотреть случай равенства нулю логарифма и учесть требование положительности выражения, стоящего под знаком логарифма; 6) ОДЗ расширилось; следует учесть требование неотрицательности подкоренных выражений; 7) равносильное преобразование; 8) ОДЗ расширилось; следует учесть требование существования loggj^ cos х. Ответы: 1) JC < -3, лг>3;2)л:>|;3)-^ < х < 2,5; 4) х 4,5, л: = -1; 5) д: = 6; А О 6) л: ^ 1; 7) нет решений; 8) ^ 4* 2nk < Jc <^ + 2nk. 4 2 531. 1) (0; оо); 2) ^-2|; I j; 3) (-«>; 1), (1,2; 2), (3; +<ж>); 4) (-оо;-4],[1;5]. 532. 1) (5; 27); 2) (-оо; 0,2). 533. 1) (-оо; 1), (3; +00); 2) (1; 3); 3) (-оо; -2), (2; -Ьоо); 4) [0; 3]. 535. Каждый переход в решении равносилен, поэтому проверку корней делать не нужно. СОВЕТЫ г л а в а 1 Функции и графики 5. Подумайте, сколькими способами можно выбрать первую цифру двузначного числа. 14. Обозначьте вторую сторону прямоугольника буквой у, выразите больший катет треугольника с меньшим катетом х и составьте пропорцию из подобия треугольников. 18. В этой задаче аргументом функции у оказываются различные выражения, значения которых должны попадать в заданную в условии область определения функции у = f{x), т. е. выражение в скобках может принимать значения только из области определения функции у = f{x). Исходя из этого и определяется соответствующее множество значений х. Работая с модулями, сначала рассмотрите отрицательные, а затем неотрицательные значения х. 20. Подумайте, какие целые (натуральные) значения х следует брать, чтобы значения у тоже оказались целыми (натуральными). 25. 3) Представьте себе, как расположена прямая по отношению к оси абсцисс. 26. Подумайте, каково взаимное расположение графиков данной функции и функции: \) у = х\ 2) у = -х. 28. Произведение обратно пропорциональных переменных постоянно {ху = k). 31. Не нужно вычислять k, достаточно сравнить произведения координат точек. Советы 32. 2) Должны быть равны произведения координат. 36. Предположите, что такие точки имеют абсциссы х^ = а и Х2 = Ь. 39. 1), 2) Можно применить формулу расстояния или построить график. В 3) представьте себе, как выглядит искомый график и запиптите ответ. 40. Расстояние от точки М(х; у) до прямой у = —1 равно \у + 1|- 46. 4) Перед тем как применять формулу корней квадратного уравнения, попробуйте найти сумму его коэффициентов. 51. Найдите значения левой части уравнения на концах данного отрезка и воспользуйтесь свойством непрерывной функции. 52. 2), 4), 6). При решении нестрогого неравенства нули соответствуюш;ей функции включаются в множество решений. При изображении этих нулей на координатной оси их полезно изображать не «пустым», а чёрным кружком. 64. Подумайте, какую функцию задаёт выражение, стоящее в левой части уравнения, и попробуйте подобрать корень. 65. Обратите внимание на характер монотонности функций, которые задаются левой и правой частями уравнения. 66. Подумайте, какую функцию задаёт выражение, стоящее в левой части уравнения, и какие знаки оно имеет на концах данного промежутка. 68. Попробуйте решить задачу графически — постройте на листе бумаги в клетку график функции у = [л:] (// = {дс}), за координатную единицу возьмите 4 клетки. Проведите прямые, проходящие через точку (0; -1), пересекающие график только в двух точках. Затем определите их угловые коэффициенты. 69. Абсцисса вершины параболы у = ах^ + Ьх + с равна , а ординату можно найти подстановкой абсциссы в уравнение. 75. Ответы на эти вопросы связаны с наличием или отсутствием корней соответствующего квадратного уравнения. Здесь лучше находить сокращённый дискриминант: D . 4 - ас. Советы 76. Подумайте, при каком значении х левая часть уравнения равна а - Ь + с. 77. 1) Сделайте эскиз соответствующей параболы и определите, какой должна быть ордината её точки с абсциссой а. 2) Рассмотрите два случая: случай 1 — уравнение имеет единственный корень; случай 2 — корни имеют разные знаки. 78. Постарайтесь дать ответ устно. 79. Справа и слева от вершины параболы квадратичная функция монотонна. Выясните, принадлежит ли абсцисса вершины указанному промежутку и как ведёт себя данная функция на этом промежутке. 80. Область определения можно найти по рисунку, ответив на вопрос, какой может быть сторона прямоугольника. Площадь прямоугольника должна изменяться от нуля до своего наибольшего значения, причём нулём она быть не может. 84. 1) и 2) Искомую симметрию можно получить в результате последовательного выполнения симметрии относительно одной координатной оси и переноса параллельно другой. 3) Преобразование f(x) Д1л:|) уничтожает часть графика, расположенную в левой полуплоскости и дублирует оставшуюся часть симметрично относительно оси ординат. Чтобы уничтожить часть графика, расположенную в правой полуплоскости, её сначала надо переместить влево: f{x) f(-x). 4) Преобразование у = f{x) -> \у\ = f{x) уничтожает часть графика, расположенную в нижней полуплоскости, и дублирует оставшуюся часть симметрично относительно оси абсцисс. Чтобы уничтожить часть графика, расположенную в верхней полуплоскости, её сначала надо переместить в нижнюю: f(x) -> -f(x). 5) Симметрию относительно точки можно получить как результат двух осевых симметрий. 6) Используйте результаты, полученные в заданиях 3) и 4). Г Л а В а 2 Степени и корни 90. Утвердительный ответ на вопрос: «Может ли...?» — достаточно подтвердить конкретным примером, а отрицательный ответ необходимо обосновать. 100. Проще всего задать эту функцию кусочно. Чтобы задать её одной формулой, в 1) воспользуйтесь симметрией графика относительно оси ординат. В 2) нужно сделать симметрию части графика, полученного в 1) относительно оси абс- Советы цисс. Изменить знак у функции при д: < О поможет I JCl выражение — . Кстати, в математике есть специальная функ- X [1, при д: > о, ция сигнум (лат. signum — знак): sgn (д:) = "^0, при д: = О, [-1, при д: < О, правда, в область определения нашей функции О не входит. 101. Выражение в левой части задаёт чётную функцию. Подумайте, в каком случае множество её нулей нечётно. 112. Для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы каждому её значению соответствовало одно-един-ственное значение аргумента. В противном случае её график не будет задавать функцию х. Графически это выражается в том, что любая прямая, перпендикулярная оси ординат, либо не пересекает график функции г/, либо имеет с ним единственную общую точку. После того как вы убедитесь в обратимости функции у = Дх), график функции у = g(x) легко построить с помощью симметрии относительно прямой у = х. 118. Равенство с неотрицательными частями не нарушится, если его возвести в квадрат. Поэтому, возводя в квадрат уравнение, следует затем проверить его корни, — ведь они были найдены в предположении, что обе части уравнения положительны. Если при подстановке корня это окажется не так, его следует отбросить как посторонний. В заданиях 1)—4) неотрицательность левой части гарантируется равенством, которое получается после возведения в квадрат, поэтому найденный корень можно подставить только в правую часть исходного уравнения. 119. Корень, конечно, на знак не влияет, но подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а в задании 1) оно ещё не может обращаться в нуль. 120. В заданиях 1)—3), 7) и 8) следует рассматривать два случая: а) когда выражение без корня меньше нуля, достаточно, чтобы выражение под корнем не было отрицательным; б) когда выражение без корня больше или равно нулю, обе части неравенства можно возвести в квадрат. В заданиях 4)—6) не забудьте о том, что выражение под корнем должно быть неотрицательным. Советы 123. 6) Число а может принимать только неположительные значения, поэтому = 1^1 = -о,- 8) И здесь а принимает только неположительные значения. Поэтому = -а. 124. 3) Следует «подстраховаться» на случай отрицательных значений а: = VM • 7), 8) Подумайте, какое число, положительное или отрицательное, возводится в квадрат под знаком корня. 128. Введением вспомогательной переменной приведите к квадратному уравнению. 129. Возведите обе части равенства в квадрат. Преобразуйте данное выражение под правую часть формулы. 130. Произведение суммы на разность равно, как известно, разности квадратов. 131. Иррациональные уравнения с квадратными корнями решаются возведением в квадрат, а с кубическими — в куб. Полезно помнить, что (а + Ь)^ = + Sab(a + Ь). 132. Чтобы найти неизвестные по их сумме и произведению, удобно составить квадратное уравнение, корнями которого являются неизвестные. 133. Введите вспомогательную переменную. 134. Приведите корни к общему показателю. 135. Выражение под корнем с большим показателем постарайтесь представить в виде квадрата. 141. Представьте данное равенство в виде равенства степеней числа 2 и перейдите к равенству показателей. 150. 1), 2) Попробуйте сократить дробь на а в некоторой степени. 5), 6) Попробуйте упростить каждую дробь отдельно. 153. С помощью вспомогательных переменных сведите уравнения к квадратным, которые не должны иметь положительных корней. Глава 3 Показательная и логарифмическая функции 160. и а® можно найти, зная а^. 164. Найдите квадрат искомого выражения. 167. Приведите обе части уравнения к одному основанию и приравняйте показатели. Советы 168. 1)—6) Старайтесь выносить такой множитель, чтобы в скобках остались целые числа; 7), 8) разнесите по разным частям равенства степени с одинаковыми основаниями. 169. Сведите к квадратным уравнениям, вводя вспомогательную переменную. 170. 1), 2) Запишите первое уравнение системы в виде равенства степеней с одинаковыми основаниями; 3) в первом уравнении системы примените формулу сокращённого умножения; 4) в первом уравнении системы разнесите переменные по разным частям равенства и подумайте о свойствах функции, значения которой равны, соответственно, левой и правой частям равенства. 171. 1)—4) Запишите правую часть равенства в виде степени и воспользуйтесь монотонностью показательной функции; 5), 6) примените метод интервалов; 7), 8) воспользуйтесь тем, что левая и правая части равенств задают функции с разным характером монотонности; 9), 10) степени с одинаковыми показателями можно делить друг на друга. 172. Сведите задачу к решению квадратного неравенства. 173. Речь идёт о числе положительных корней уравнения У 2 _ ау + а — 1 = 0, которое при всех значениях а имеет корень, равный 1. 178. 1)—4) Используйте определение логарифма. 5), 6) Решите квадратное уравнение относительно логарифма. 180. Запишите обе части неравенства в виде степеней с одним и тем же основанием. 183. Подумайте, как изменится значение логарифма, если его основание изменить на 1. 184. В 3)—8) не забывайте, что основание логарифма не может быть равно 1. 185. 1) Разделите почленно на 9^. 186. Обратите внимание на характер монотонности функций, задаваемых выражениями, стоящими в разных частях равенств. 187. Перейдите к показательной форме равенства. 188. Представьте обе части неравенства в виде логарифмов с одинаковыми основаниями и воспользуйтесь свойством монотонности логарифмической функции. 189. Проверьте, что координаты найденной по рисунку точки пересечения графиков удовлетворяют уравнениям, задающим функции. При записи ответов к неравенствам не за- Советы будьте об областях определения функций — найденные решения должны принадлежать их пересечению, т. е. одновременно обеим областям. 190. Не забудьте, что выражение под знаком логарифма может принимать только положительные значения. Можно сразу выделить соответствуюш;ую часть координатной прямой, а затем уже рассматривать интервалы. 191. Рассмотрите два случая: когда основание логарифма меньше 1 и когда больше. Не забудьте об ОДЗ! 192. Не забудьте, что выражение под знаком логарифма должно быть положительное. 194. 6), 7) Перейдите к логарифмам с каким-нибудь одним основанием; 8) -рД— =—_ ^---- = л/2 - 1. V2 + 1 (J2 + 1)(J2 - 1) 198. 1) Представьте обе части в виде степеней с основанием 3 и найдите сумму арифметической прогрессии; 2) перейдите к логарифмам с основанием 10. 199. Сравните отдельно с числами 2 и 3. 200. Достаточно рассмотреть случай, когда логарифмы положительны. Примените свойство суммы обратно пропорциональных переменных. 201. Рассмотрите разность логарифмов. 202. Область допустимых значений переменной (ОДЗ) — это множество чисел, для каждого из которых каждое из выражений имеет смысл. Выполняя преобразования, старайтесь получить логарифмы с одинаковыми основаниями. 203. Подумайте, по какому основанию логарифмировать уравнение. 11) л: может принимать и значение 1. 204. Представьте левую часть уравнения в виде степени с основанием 20. 205. Найдите логарифмы и “ по основанию Ъ. 207. 1)—3) Потенцируйте неравенство с учётом монотонности логарифмической функции; 4) приведите к квадратному неравенству относительно logj (3^ - 1); 5) приведите 3 к квадратному неравенству относительно logg (4^ 4- 1); 7), 8)—10) рассмотрите случаи, когда основание логарифма меньше и когда больше 1. Советы Г Л а В а 4 Тригонометрические функции и их свойства 262. Представьте sin ф - tg ср как 249. Используйте результаты № 246. sin ф( cos ф — 1) cos ф 285. Следует учесть ограниченность множества значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. 286. См. указание к X» 280. 288. Отнеситесь к этим уравнениям как к квадратным. 312. 5), 6) Рассмотрите выражение в правой части равенства как квадратный трёхчлен относительно sin х и подумайте, на каком промежутке его рассматривать. 315. Рассмотрите выражение в правой части равенства как квадратный трёхчлен относительно sin х и подумайте, при каком значении синуса его значение наименьшее. 316. Рассмотрите выражение в правой части равенства как квадратный трёхчлен и подумайте, какой должна быть абсцисса вершины соответствующей параболы. 352. Необходимо и достаточно, чтобы сумма квадратов чисел была равна 1. 358. 9), 10) Возведите обе части уравнения в квадрат. Зная произведение и сумму, можно составить вспомогательное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. 360. 1) Возведите в квадрат обе части данного равенства. 2) Возведите в квадрат равенство, полученное в первом задании. 362. 1) Способ!. Рассмотрите единичную окружность с центром в начале координат. Для точки этой окружности, находящейся в I координатной четверти (угол поворота острый), доказываемое утверждение сводится к очевидному сравнению суммы катетов с гипотенузой, равной 1. Способ 2. Сравните с 1 квадрат суммы синуса и косинуса угла I четверти. 366. Представьте углы следующим образом: 1) 15° = 45° - 30°; 2) 75° = 45° + 30°; 3) 105° = 60° + 45° и примените формулы синуса и косинуса суммы и разности. 372. 1) Представьте sin 48° как sin (23° + 25°) и примените формулу синуса суммы. 379. Воспользуйтесь тем, что 15° = 45° - 30°. Советы 408. В процессе преобразований обратите внимание на границы, в которых заключены аргументы тригонометрических функций, и каковы по знаку их значения, 411. Представьте аргумент синуса в виде суммы. 412. 4) Используйте формулу косинуса двойного угла. 413. Умножьте равенство на 8 sin 20°. 436. 6) Представьте правую часть равенства следующим X ’'-2 образом: -cos ^ = cos 440. 1) Упростите левую часть уравнения. 2) Сведите к квадратному уравнению. 3) Решите разложением на множители. 4) Однородное уравнение. 5) Используйте формулы: разности квадратов и разности и суммы косинусов. 6) Используйте вынесение общего множителя и формулу косинуса двойного угла. 7) Разделите уравнение на 2 и примените одну из двух формул: косинуса разности или синуса суммы двух аргументов. 8) Решайте или по формуле разности косинусов, или используя условие равенства косинусов. 9) Однородное уравнение. 10) Используйте способ группировки для разложения на множители. 11) Сведите к квадратному уравнению. 12) Однородное уравнение. 13) Сверните по формуле синуса суммы. 14) Сведите к однородному уравнению. 15) Примените формулы приведения. 16) Разделите на 2 и используйте одну из формул: косинуса суммы или синуса разности. 17) Примените формулы: разности квадратов и косинуса двойного угла. 18) Разложите на множители способом группировки. 445. Преобразуйте правую часть, вводя вспомогательный угол. 446. 2) Преобразуйте показатель степени числа 4 к виду ^(1 - tg х). 4) Перейдите к синусам и косинусам. Когда будете переходить от простейшего тригонометрического уравнения к показательному, не забудьте, что показательная функция принимает только положительные значения. Г Л а В а 5 Элементы теории вероятностей и комбинаторики 482. Комбинации, число которых нужно найти, чтобы ответить на вопросы задачи, связаны только с составом вытащенной из колоды шестёрки карт. Значит, комбинации карт являются сочетаниями. Советы а) Туза можно выбрать 4 способами, а остальные 5 карт придётся выбирать из 32 карт, которые не являются тузами. б) Чтобы найти число возможностей вытащить хотя бы одного туза, можно из общего числа всех вариантов вычесть число тех из них, в которых среди шести карт нет ни одного туза. в) Если из колоды вынуть всех четырёх тузов, то остаётся добрать 2 карты из оставшихся 32. 490. Левая часть равенства — сумма коэффициентов: 1) двучлена а -Ь Ь в пятой степени; 2) двучлена а-Ъв степени п. Из формулы бинома Ньютона при а = Ь = 1 получим доказываемое равенство. Г Л а В а 6 Повторение 495. 6), 7) Рассмотрите квадратный трёхчлен от вспомогательной переменной и подумайте, какие значения она может принимать. 8), 9) Подумайте, на каком промежутке функция возрастает, а на каком — убывает. 10) 3^ -f 3"^ — сумма обратно пропорциональных переменных, которая минимальна при равенстве их значений. 497. 5), 6) Рассматривайте интервалы на тригонометрическом круге. 504. 7)—9) Сравните наибольшее значение одной части равенства с наименьшим значением другой. 505. Не забывайте об области значений у; д) с помощью формул приведения перейдите к нужной функции. 506. 1) Представьте все части неравенства как арксинусы и воспользуйтесь свойством монотонности арксинуса; 2) решите неравенство как квадратное относительно арккосинуса и, с учётом области значений арккосинуса, используйте свойство его монотонности. 507. Рассмотрите две точки, симметричные относительно прямой у = X. Сравните их абсциссы и ординаты. 523. Постройте график функции у = \4 2\х\ - хЦ тл опреде- лите, сколько общих точек он имеет с прямой у = а в зависимости от значения а. РЕШЕНИЯ Г л а в а 1 Функции и графики 13. Высота коробки равна х, а в основании её квадрат со стороной 10 - 2х. По формуле объёма прямоугольного параллелепипеда имеем F= д:(10 - = л:(2(5 — x)Y = 4л:(5 - х)^. 14. I = , у = 4 - ^х, Р = 2(х + у) = S - ^х. Понятно, что X — число положительное и заведомо меньше, чем катет, равный 3. 18. 3) д) При всех х <0 значение выражения х -f |л:| равно 0 и, следовательно, попадает в указанную область определения. При л: ^ о имеем л: + |л:| = 2х, значения которого попадают в указанный промежуток при 0 ^ ^ 1. 36. Пусть прямая пересекает соответствующую ветвь гиперболы в точках с абсциссами а и Ь. Тогда должно выполняться равенство: - + а = г + Ь. Отсюда а — Ь = ^ ^ и аЬ= 1, а Ь ао поскольку а ^ Ь. Следовательно, прямая должна пересекать гиперболу в точках а; - а и I -а а , симметричных относи- тельно прямой у = X. Значит, и сама секущая симметрична этой прямой и имеет угловой коэффициент k = -1. 57. Доказательство. Для любых х^ и Х2, входящих в промежуток L, из условия х^ < JCg следует, что f(x^) < и g{x^) < g(x2). Складывая два верных неравенства одного знака, получаем верное неравенство: f(x^) + g{x{) < /(ДС2) + Решения а значит, функция у = /(д:) + g(x) на промежутке L возрастает, что и требовалось доказать. 62. В № 60 вы доказали, что функция у = -f{x) убывает на [а; Ь]. Сумма двух убывающих на [а; Ь] функций убывает (доказательство аналогично № 57), значит, у = g(x) + (-f(x)) убывает на [а; 6]. На концах отрезка эта функция принимает значения разных знаков, значит, в силу непрерывности она имеет на этом промежутке нуль. Этот нуль, вследствие монотонности функции, является единственным, т. е. уравнение f(x) = g(x) имеет на (а; Ь) единственный корень, что и требовалось доказать. 63. Возможность отсутствия корней можно проиллюстрировать примером. А для доказательства единственности заметим, что из условия х^ > Xq, где fixo) = ^(jCq) следует, что f(Xi) > /(Xq) = gixo) > gix^), a из условия x^ < Xq следует, что f(x^) < /(Xq) = giXo) < g(x{). Значит, при х^ ^ Xq f(Xj) ^ g(x^), T. e. Xq — единственный корень, что и требовалось доказать. 77. 1) Точка х = а оси абсцисс расположена над параболой, значит, значение квадратного трёхчлена х^ — 2х + а в ней отрицательно: - 2а + а < о, - а < 0^ а(а - 1) < 0, 0 < а < 1. 2) Уравнение будет иметь единственный положительный корень в трёх случаях: 1) Z) = 0 и лгд ^ 0; 2) корни имеют разные знаки, т. е. а - 1 < 0; 3) один из корней равен нулю, а второй положителен, т. е. а - 1 = 0 и а > 0. Имеем: l)D = a^-4a + -f 4 = о, (а - 2)^ = о, а = 2. При этом jCq = 1 > 0, что удовлетворяет требованию случая; 2)а-1<0,а<1;3)а-1 = 0, а=1. При этом Х2 = I > о — удовлетворяет требовгшию случая. Окончательно получаем: а ^ 1, а = 2. 79. 3) Большему положительному значению подкоренного выражения соответствует меньшее значение функции у. Своё наибольшее значение подкоренное выражение принимает -1 при X = 2.(-i = 2. Это значение принадлежит промежутку [-1; 3] и равно 4. Значит, наименьшее значение у(2) =— = 3. V4 Чем дальше х от числа 2, тем меньше значение подкоренного выражения. На указанном промежутке самая удалённая от 2 точка — это левый конец промежутка. Значение подкоренно- Решения го выражения при л: = -1, наименьшее на указанном проме- 7 жутке, равно - . Значит, наибольшее значение i/(-l) = 12 JTJl л/7 80. Функция 5(д:) определена при всех л:, при которых существует прямоугольник, т. е. при О < л: < 3. Обозначим длину другой стороны прямоугольника буквой а, тогда S = ах. а Из подобия треугольников имеем: ____ =4 4(3 - X) 3-х 3’ 3 = 4 - ^х, следовательно, 5(л:) = 4х - Наибольшее О О значение квадратный трёхчлен 4х — | принимает при О X = А Q ~ = -, принадлежащем Z)(S), значит, наиболь- 4 \ ^ 2.1-1 шее значение функции 5(л:) равно I ~ Получаем о < Six) ^ 3. Ответ: D(S) = (0; 3), E(S) = (0; 3]. Г Л а В а 2 Степени и корни 87. 5) Не существует, так как степень (-2)" оканчивается на 4 только при чётном л (п = 2, 6, 10, ...), а такие степени положительны. 6) Не существует, (-3)” оканчивается на 1 только при п кратном четырём, а такие степени положительны. 90. 2) При нечётном п функция является возрастающей. Если её график пересекает ось ординат в верхней полуплоскости, то в IV четверти у него не будет точек, а если в нижней, то точек не будет во II четверти. 118. 3) Возведём обе части уравнения в квадрат. 9х^ + 16х = 4х^ -f 9 -Ь 12x, 5х^ Ч- 4д: - 9 = о, JCj = 1, дгз = . Проверка: если х=1, то2д: + 3 = 2-1-3>0, следовательно. Решения 9 18 1 — корень; при х = --:2х + 3 = -— + 3<0, следовательно, 5 5 9 --не является корнем. Ответ: 1. 7) Введём новую перемен-5 ную у = X + 1, тогда JSy + 4 - Jy = 2. Уединим корень: 43у~Т~4 = Jy + 2,3у + 4 = у + 4 + 4jy ,2jy(jy - 2) = 0, у = 0 или у = 4. Проверка: при у = 0: Jy + 2 =J0 + 2^0, следовательно, о — корень; если у = 4,то J3y + 4 - Jy = Vl6 - J4 = = 2, следовательно, у = 4 — корень. Вернёмся к переменной х:д:+1-=0, л: = -1;л:-1-1 = 4, лг = 3. Ответ: -1; 3. 8) Введём новую переменную у = 3 — х, тогда Jl2 + у + Jy = Q, Уединим корень: Jl2 -f у = 6- Jy , 12 + у = 3Q + у - 12 Jy , Jy =2, у = 4. Проверка: если ^ = 4, то получим 6 — Jy = 6 —J4 ^0, следовательно, 4 — корень. Вернёмся к переменной х: 3 — х = 4^ X = -1. О т в е т: -1. 120. 2) Если л: < о, должно быть 2л: + 15 ^ 0, ^ |л:<0. Если л: ^ о, должно быть , и^-7,5. т.е jx^O, 12л: + 15 ^ л:^, [л:^ - 2л: - 15 ^ О, л: > О, т. е 2л: -ь 15 ^ О 2л: + 15 ^ х^у О л: ^ 5. Объединяя результаты обоих случаев, —о ^ X ^ D, fX ^ 1, получаем -7,5 ^ л: ^ 5. 4) Должно быть ч Зл: -Ь 7 ^ О, [х^ - 2л: -Ь 1 > Зл: + 7, л: > 1, л: > 1, л: > 6. х^ - 5х - б ^ О, л: < -1 или л: > б, _ . . [Зл: - 1 < О, л: < или О < л: < ^ . 5 3 л: ^ - ^ или л: > О, 5 Решения Случай 2. Зд: - 1 ^ О, Ъх^ + JC ^ 9x^■ + 1 - блс, - 7л: + 1 ^ О, Х^\, 8 V33 <^< 7 +7^ 8 тт 7 - 7^ ^1^7 + 7^ Прикидка показывает, что-^ ^ -о — » значит, ООО 1 ^ ^ 7 + 7^ решением системы является промежуток „ ^ ^ ^ О 8 Объединяя результаты, получаем ответ: ^ 1 л ^ ^ 7 + 7^ ^ ^ ~5» О < лс ^-8— ■ 128. 2) Введём вспомогательную переменную у = ®7з^^+16, где у ^ ®71б , тогда у^ - у - 2 = О, у^ = 2, У2 = -I — удовлетворяет условию введения переменной у. Вернёмся к переменной X и получим: VSx'^ + 16 = 2, Зд:'^ -Ь 16 = 64, Зд:'* = 48, х'^ = 16, д:^ = -2, ДГ2 = 2. 6) Введём вспомогательную переменную у = ^Jx + 2, тогда - + ^ = 2у у^ - 9у + 20 = О, у^ = 4, У ® У2= 5. Вернёмся к переменной х: \[х -Ь 2 = 4, х = 8; \[х -f 2 = 5, X = 27. О т в е т: 8; 27. 131.2) Возведём равенство в куб: х-Ы0-х-Ь9 - 3^(л: + 10)(x-9)(Vjc-b 10 - ^л:-9) = 1; 19- гМх^ -Ь X - 90 = l\Ux^ -Ь X - 90 = 6; х2 -Ь X - 90 = 216; X -I- X - 306 = 0; Xj = -18; Хз = 17. О т в е т: -18; 17. J_ 4-J- =4 132. 1)^ Vi J-y 3’ ху = 9, 7^ -ь 7х ^ 4 3 ’ Поскольку из второ- ху = 9. .— 17^ ч- 7^ = 4, го уравнения ^ху = 3, имеем: < __ Составим [7^ =3. вспомогательное квадратное уравнение, корнями которого Решения являются и 7^ : 2^ - 42 + 3 = о, = 1, = 3. т в е т: = 1, i/i = 9; JCg = 9, 7^ =3, = 1, |Т^ “ 1» Q = 17^=3, li/2 = l- 1/2= 1. 3) Возведём первое уравнение в куб, учитывая при этом информацию из второго уравнения: \[х + \(у = 4, хЛ- у 3 + Vy) = 64; 28 + S^Jxy *4 = 64; = 3; xy = 27. Произведение неизвестных 27, a их сумма 28. Составим вспомогательное квадратное уравнение, корнями которого являются неизвестные: 2^ - 282 -Ь 27 = О, 2^ = 1, 2£ = 27. х^ = 1, ]л:2 = 27, i/i = 27, [1/2 = 1- Ответ: д=1 = 1, г/i = 27; д:2 = 27, 1/2 = 1- 4) Преобразуем первое уравнение системы, учитывая, что из второго уравнения ^Jxy = 2 и Ух^у^ = 4: ^Jx Jy -f \fy Jx = = 12, Ух^у^ + Ух^у^ = 12, Ух^у^ (Ух -t- Уу) = 12, 4(Ух + Уу) = 12, Ух +Уу = 3. Сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Составим вспомогательное квадратное уравнение: 2^ - З2 -f 2 = О, 2j = 1, 2g = 2. 57^ -1, 1x^ = 1, 5/^=2, |j/i = 64. =1, f;C2=l, e/^2=2, 1j/2 = 64. о T в e t: jCj = 1, = 64; jCg = 64,1/2 = 1. 133. 1) Введём вспомогательную переменную у = ^Jx -ь Jx (у ^ 0), тогда задача сводится к определению всех а, при которых уравнение у^ + 4у + а = 0 имеет единственный неотрицательный корень. Это может произойти в трёх случаях: а) когда единственный корень уравнения является неотрицательным; б) когда корни уравнения имеют разные знаки и в) когда один корень равен 0, а другой отрицателен. Рассмотрим эти случаи, а) П = о, 4 - а = о, а = 4. Корень Xq = -2 отрицателен, что не удовлетворяет условию случая, б) Z) > 0 и про- 4-а>0, Ja<4, изведение корней отрицательно: а < о. а < о. а < 0. Решения в) Один из корней равен О, значит, а = 0. Тогда другой корень равен -4, что удовлетворяет условию случая. Объединяя результаты, получаем ответ: а ^ 0. 2) Введём вспомогатель- ную переменную х = J2z + \fz -f 1, где л: ^ 1, так как 2^0. Тогда задача сводится к определению всех а, при которых уравнение + а = Q имеет единственный корень, боль- ший или равный единице. Это может произойти в трёх случаях: а) когда единственный корень уравнения больше или равен 1; б) один из корней больше, а другой — меньше 1 и в) когда один из корней 1, а второй меньше 1. Рассмот- рим эти случаи, а) D 0; 9 - 4а = о, а = -. Корень Хг. 4 1,5 удовлетворяет условию случая; б) 1 находится между корнями квадратного трёхчлена х^~ — Ъх а тогда и только тогда, когда его значение при х = 1 отрицательно: 1 - 3 -Ь а < 0, а < 2. в) Один из корней трёхчлена равен 1 при а = 2. В этом случае второй корень равен 2, что не удовлетворяет условию случая. Объединяя результаты, получаем О т в е т: а < 2, 9 4 ’ а = - 135. 2) 1^7 + 4л/3 • VV3 - 2 = 1^(73 -Ь 2f • - 2 = = VVr+2 • V73 - 2 = V3-4 = -1. 141. 5) в) (Vif = Vie, 2 2 3^ „5 2 _ 4 _ 6 - 2 , 3^: X g. (3^4)5 = 5Дб 152. 1) Введём новую переменную у = х + S, где у ^ 0, 1 1 и перепишем уравнение в виде (г/ + 6)® = г/ . Возведём уравнение в шестую степень: у + 6 = у^, у^ - у - 6 = 0. Попробуем подобрать целый корень. Видим, что уравнение имеет корень 2. Разложим левую часть уравнения на множители (у - 2)(1/2 + 2у Ч- 3) = 0. Поскольку квадратный трёхчлен у^+ 2у + S корней не имеет, то число 2 — единственный корень уравнения у^ - у - 6 = 0. Это число удовлетворяет условию введения переменной у. Вернёмся к переменной х'. я: -Ь 3 = 2, л: = -1. Решения 2) 2 . Возведём уравнение в квадрат: ЧУ у + 1 _ {2у + 3)2 ^ ^ ^3 _ 2^ ^ 2^2 у (у + 1)2 ’ ^ ^ 4i/^ + 12//2 + 12г/ + 4 = 4i/^ + 12^^ + 9г/, 12i/ + 4 = 9^/, Зу = -4, 1/ = -|. 1 153. 1) Случай 1. Пусть у = , где I/ ^ 0. Нужно найти все значения а, большие или равные нулю, при которых квадратный трёхчлен у^ - 2ау - а + 2 не имеет корней. Найдём значения а, при которых трёхчлен не имеет корней, и объединим их с теми значениями а, при которых корни трёхчлена у^ - 2ау — а + 2 отрицательны (включая возможность совпадения корней, т. е. единственности корня квадратного уравнения у^ - 2ау - а + 2 = 0). D < 0, + а - 2 < о, -2 < а < 1. Случай 2. Сумма отрицательных корней отрицательна, а их произведение — положительно. По теореме Виета, если корни существуют, то должно быть 2а<0и-аЧ-2>0. Требовать существования корней {D ^ 0) излишне, так как их отсутствие приведёт всего лишь к дублированию найденных ]2а<0, |а<0, в (1) значении а: |_а + 2>0 1а<2 ^<^0. Объединяя найденные в (1) и (2) множества значений а, получаем ответ: а < 1. Глава 3 Показательная и логарифмическая функции or . 1 о (2^)2-2*2^-Ы 2^-1^ л 166. 2^ + --2 = ^^-------- =----- > о, что и требо- 2х 2* 2^ валось доказать. 167. 7) 5^-^Зх-5 =53, д:- 73д:- 5 - 3 = 0, Зд: - Зл/Зд: - 5 - — 9 = 0, (Зд: — 5) — Зл/Зд: — 5 -4 = 0, J2x — 5 = —1 или 73д: — 5 =4, Зд: — 5 = 16, д:=7. Примечание. Это решение несколько экзотичное — можно было решить, перенося корень в правую часть, возводя в квадрат и проверяя корни. Решения 168. 3) 5^ - 1(5^ - 4-52 + 4) = 29, 5^ - 1 = 1, д: = 1; 6) 0,2^ - 40,2-2 _ 3.0,2-1 _ б) = 500, ^ | j"" ~ ^ = 125, 5i ~ ^ = 5^, X = -2; 8) 4^ + 4^ - ^.5 = + о,5 + - о.5^ - 0,5(2 + 1) = = 3^-0,5(3+ 4д:-1,5 = Зх-1.5 15^ 169. 4) 5 • 5^ + — - 26 = о, 5 • 52^ - 26 • 5^ + 5 = о, 5* = 5 или ^ 5х ’ 5^ = 5“1, jCj = 1, JC2 = -1; X - 2 6) Поскольку 2^ = 4 • 2^-2, имеем 4 • 2^-2 - 13 • 2 2 -12 = 0. X - 2 Пусть Z/ = 2 2 , где у > О, тогда 4^2 _ - 12 = 0. С учётом X - 2 условия у > о имеем: г/ = 4, 2 2 = £2, д: = 6; 5) поскольку 5^ ^ о, умножая данное уравнение на 5^, получаем 3 5 • 52^ - 2 • 5"^ - 3 = о, 5^ = 1 или 5^ = . Второе равенство не 5 выполняется ни при каких значениях лс, а первое даёт д: = 0. X 32 -2У=1, X 2-32 = 18; \2У = 8, 1^ = 3 ^^\u + (j5y = v + iJ5y, „ V ..4)^ v-v/ v'v/jg силу возраста- ния, функция у = X + (Jb у принимает равные значения при одном и том же значении аргумента, т. е. и = и, следова- и = V, 1ц = и и = V = -4 или If- \ X 17 32 -2У\ = 17, 32 -2У=\, 170. 3) ^ V / X 32 Л-2У=П\ 32 +2У=\1\ Т0ЛЪНО) 1 ,2 _1_ . 1 о Л* Л А о Ч-п — 12 = 0; [п = -4илии = 3; и = V = 3. 171. 10) . Выражение в левой части равен- ства задаёт убывающую функцию, которая принимает значение 1 при д: = 2. Следовательно, её значения меньше 1 при д: > 2. 172. 2) Должно быть: 0,5^-------3 > 0; 0,52^ - 3 • 0,5^ - 4 > 0; 0,5^ < -1 или 0,5^ Решения 0,5* > 4; 0,5* > 0,5“^. В силу убывания показательной функции с основанием 0,5 имеем х <-2. 180. 4) (Л5 - 3)* ^ 6, (УГ5 - 3)* ^ (VT5 - 3)‘°®(-Я5-з)\ Поскольку показательная функция с основанием Jl5 - 3 убывает (3 < -УГб < 4, значит, 0 < Vl5 - 3 < 1), имеем; X ^ . Зле - 1 184. 8) log д: решения системы 2-1 >0, 4 — лс . Область определения составляют 2-1’= 1. Зх-1 4-х >0; д: < 6, X ^ 3, Зх-1 4-х >0. Рис.127 Используем метод интервалов (рис. 127). Ответ: | <х<3;3<х<4. О 185. 5) 4* - 6* +1 -Ь 5 • 9* = о, ( | 2х - 6 2л- + 5 = 0, = 1, - =5, Xj = 0, Xg= log2 5. 188. 7) Рассмотрим два случая: а)0<х-5<1,5<х<6: 0<х + 2<х-5 — нет решений; б)х-5> 1,х>6:х + 2> > X - 5 — все числа, удовлетворяющие условию случая, т. е. X > 6. 8) Поскольку значения выражения х - 2, стоящего под знаком логарифма, положительны, то х > 2. При этом основание х + 1 логарифма больше 1. Имеем: f X > 2, f X > 2, I log, (а;-2) < log, I X > 2, 1(х-2)(д:+1)<1, {х^-х-3<0, I <х< , 2 <х< 1 + лДз Решения -3 -1 Рис.129 190. 2) Выражения, стоящие в числителе и в знаменателе дроби, существуют при л: > О и обращаются в нуль при х = 4 и X = 9. Отметим это на координатной прямой и проведём линию знаков (рис. 128). Ответ: О < л: < 4, л: > 9. 5) Выражения, стоящие в числителе и в знаменателе дроби, существуют при л: > 3 и при л: < -3. Знаменатель обращается в нуль при X = ± JTO , числитель — при л: = 10 и л: = -1. Отметим это на координатной прямой и проведём линию знаков (рис. 129). Ответ: -VlO < л: <-3, VlO < х ^ 10. 191. 4) < log^ + 4 !• Рассмотрим два случая: а)0<х + 4<1иб)х-Ь4>1.а)-4<х< -3: > 1, > 4, X > 2 или X < -2. С учётом условия а) имеем -4 < х < -3; х^- 1 ^ ^ ^ ^ .,2 б) X > -3: о < <1,1<х^<4, 1<х<2 или —2 < X < —1. При всех этих значениях условие б) выполняется. Объединяем результаты а) и б): -4 < х < -3, -2 < х < -1, 1 < х < 2; 6) log^_2 {х + 10) < log^_2(x - 2)2. а)0<х-2<1,2<х<3. При этом X + 10 > х2 — 4х -Ь 4, х2 - 5х - 6 < о, -1 < X < 6. С учётом условия а) имеем: 2 < х < 3; б) X - 2 > 1, X > 3. При этом о < X -Ь 10 < х2 - 4х -Ь 4, х-Ы0>0, fx>-10, х2 — 5х-6>0; 1х<-1 или х > 6. С учётом условия б) имеем: х > 6. Объединяя результаты а) и б), получаем О т в е т: 2 < х < 3, х > 6. 7) \0g2x - 5х -f 6) < < logg;^ (2х). а) о < 2х < 1, о < X < 0,5. При этом: х2 - 5х -I- 6 > 2х > о, ]х2 - 7х-I-б > о, ]х<1илих>6, 12л:>0; U>0; 0 < л < 1 или ж > 6. С учётом условия а) получаем 0 < х < 0,5. б) 2х > 1, х > 0,5. При этом о < х2 - 5х -Ь 6 < 2х, х2 - 5х -+- 6 > о, IX < 2 или X > 3, х2-7х + 6<0; 1Кх<6; 1 < X < 2 или 3 < X < 6. Решения Эти значения удовлетворяют условию б).Ответ:0<л:< < 0,5; 1 < лг < 2; 3 < д: < 6. 9) log^2_6^: + 9 “ 1) < ^ log^2_0j. + 9 (л:^-6л: + 9). а) О < - 6jc + 9 < 1; О < (л: - 3)^ < 1; д:^3и2<д:<4. При этом л: - 1 ^ - бд: + 9; - 7л: + 10 ^ О; 2 ^ X ^ 5. С учётом условия а) имеем; 2<д:<3;3<д:<4; б)х^- бд: + 9 > 1; (х — 3)^ > 1; д: < 2 или д: > 4. При этом О < д: - 1 ^ - бд: + 9, х-1>0, |х>1, х2 - 7х + 10 > 0; 1X ^ 2 или X ^ 5; 1 < х ^ 2, х ^ 5. С учётом условия б) получим: 1 < х < 2, х ^ 5. Ответ:1<х<2, 2<х<3;3<х<4;х^5. ll)log:,2 + 3^_4 (X + i)>\0g^2^^^_^ 1. а) О < х^ -Ь Зх - 4 < 1: х2 + Зх - 4 > О (^ < -4 или X > 1, х2 + Зх-5<о! |-3-У29 + ^ 2^ < X < -4 или 1 < X < ~3 , При этом: О < х Ч- 4 < 1, —4 < X < —3. Эти значения х не удовлетворяют условию а); + Зх --3 -Н 729 б) х2 -f Зх — 4 > 1: х2 + Зх — 5 > О, X < или X > . При этом х-1-4>1,х>-3. Поскольку -3 -ь 7^ . -3 -ь 7^ 1^0 •• > ---г----- = 1 > -3, с учетом условия б) имеем: X > 2 2 -3 -ь 7^ 12) log^^ 4 (х2 -1- Зх - 4) < log^^4 1. а) о < X -Ь 4 < 1, -4 < X < -3. При этом: х2 + Зх - 4 > 1, х2 + Зх - 5 > О, X < или —3 -Н 7^ X >---— , что не удовлетворяет условию а), б) х -f 4 > 1, X > -3. При этом 0<х2-ьЗх-4<1, x^ + ix-A>0, \х<-4илах>1. х^ + Зх-5<0; 1 -3-7М ^ ^ -3 + -У29 2 2 Решения -3 - < л: < -3 + 729 —3 + 7^ 4 или 1 < л: <-^— . С учётом условия б) имеем 1 < jc < 192. 2) logo 6 logo,5 + 1) > logo 6 I* Поскольку логарифми- ческие функции с основаниями 0,6 и 0,5 убывают, а выражение под знаком логарифма может принимать лишь положительные значения, имеем: 0 < logo,5 (х + 1)<1; logo,5 1 < logo,5 (^ + 1) < logo,5 1 > л: -Ь 1 > 0,5; -0,5 < jc < 0. 3) logo 2 log2 (2л: + 3) < logo 2 В силу убывания логарифмической функции с основанием 0,2 имеем; log2 (2х + 3) > 5; log2 (2х -I- 3) > log2 32. Поскольку логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, имеем: 2л: -I- 3 > 32; х > 14,5. 6) Поскольку логарифмические функции с основаниями 3 и 32 возрастают, а с основанием 0,2 убывают, имеем: 1оёз l0g„,2 log32 > log3 1: •ogo,2 '°g32 > *°go,2 0.2; * ' ^ < iog32 2; 1 < ^ < 2; 0 < log32 < g ; log32 1 < log32 л: -H 5 д: -t- 5 X + 5 x+11 X + 5 <0, x<-ll. >0, 194. 5) logs 10 + 4 logs 10 + 3 logs Ю - 8 logs 2 = = 8 (logs 10 - logs 2) = 8 • logs 5 = 8; 8) logg 49 • log = 5 • log2s 27 = log349 • log35 • log327 _ 21og37 • log35 • 3 = 6. log3T7 • log325 0,51og37-21og35 7) logg 4 • log4 5 • logs 0 * logs 7 * log7 8 • logg 9 = = log, 4 . - log3 9 = 2. logs 4 logs 5 logs 8 ® 8) log_/5_, (73 - V8)+log^_,(73 +V8) = = log^_j (3- 78)= log^_,(2 - 272 + 1) = = log^2_j (72-1)2 = 2. Решения 195. 6) logg 3 = logg (6 : 2) = 1 - a; 7) logg 2 = 1 la (log2 6) - 1 - 1 log 2 3 ^ logs 6 + logs 32 ^ 1 + 21og6 3 _ 1 + 2(1 -g) _ 3 - 2a logs 6 + logg 2^ 1 + 31ogg 2 1 + 3a 1 + 3a 196. 2) logoQ 8 =------ ^31g(10-lg 5) _ 3 - 3a lg3 + lg 10 Ig 3 + 1 b + 1 198. l)32 + 5 + ... + 3n-i = 340^ 2 + (3n—= Зд2 + я - 80 = 0, n = 5; 2) ‘ 7 ‘ - ■ = Ю, Ig 2 • Ig 3 • Ig 4 •• Ig Л Ig (Л + 1) = 10 Ig 2, Л + 1 = 210, n = 1024 - 1 = 1023. 199. logg 2 + logg 3 - 2 = logg | + lOgg | > lOgg | + lOgg | = = logg 1 = 0, logg 2 + logg 3 < lOgg 3 + lOgg 4 = 1 + 2 = 3, ЧТО И требовалось доказать. 200. Сумма обратно пропорциональных переменных минимальна, когда значения переменных равны, log^ 7 = logy л:, logf jc = 1, logy л: = 1, log^ 7 + logy x = 2. Перемена знаков у логарифмов (они имеют одинаковые знаки) на модуль их суммы не влияет. 201. 1) logy 8 - logg 9 = (logy 8 - 1) - (logg 9 - 1) = = logy I - logg I > logg I - logg | > lOgg | ~ lOgg | = 0, ЗНЯЧИТ, 7 8 logy 8 > logg 9. 8 8 10^ 202. 8) Ig (5* -H д: - 20) = Ig ^ , 5^ -h д: - 20 = 5^, д: = 20; 111 2 15) logg X-- logg X-- logg ДГ * ~ lOgg X = ~, l0g| JC = 16, loggДС = 2 или logg X = -2, jc = 9 или x = ^; 16) Зд: - Зд:logg 2 = = logg(32^ +x^ - 9), 3jc(logg 6 - logg 2) = logg (33^ + x^ - 9), logg 33^ =logg(33* -h д:2 - 9), 33^ = 3ЗХ + ^2 _ 9 Д-2 _ 9 = q. Xj = -3, JCg = 3; 17) 2 log^ 2 -b 6 logg^ 2 = 3, ^ 2 + 2 logg д: -b 6 logg д: = 3 logg д: -b 3 logf д:. -f 1 + log2 X = 3, Решения 3 logf X - 5 logg X - 2 = 0, logg x = 2 или logg jc = -^ jc = 4 или О л: = ^; 18) (2 + 2 log^ 3)*log| д; = 4, ^1 j logf x = 2, logf X + logg X - 2 = 0, log^x = 1 или logg X -■ -2, д: = 3 или _ 1 ^ 9‘ 203. 6) log| X = 2 + logg X, logg д: = -1 или logg дс = 2, д: = 0,5 или д: = 4; 10) 5^ + 1 • 5 = 32^ + 5^ + 2 = g2x \ (х + 2) logg 5 = logs — lOgSg 9 ложительные корни уравнения. Рассмотрим два случая: а) дс = 1 и б) д: =5^ 1; а) = ("Д )i — верное равенство, значит, 1 — корень уравнения; б) логарифмируем по основанию х: 1 _ 1 ______ ’\fx = -^n=x ",п=х " ,х=п” ^; 12) logo (х + 3)* logo х = л W о = logg X • logg 5, logg X = 0 ИЛИ | lOgg (Х + 3) = lOgg 5, X = 1 ИЛИ х = 22. 3 2 207. 2) ОДЗ неравенства -- < х < Для этих значе- dt О ний х; log^g _ J (—2x2 + 5х + 12) 1 3^)# Пооколь* ку 7з - 1 < 1, логарифмическая функция с основанием 73 - 1 убывающая, следовательно, -2x2 + 5jc + 12 > 2 - Зх, 2x2 - 8х - 10 < о, -1 < X < 5. С учётом ОДЗ получаем ответ: -1 < X < 1. 4) -logj (3^ - 1)(2 + logj (3^ - 1)) + 3 > 0. Неравен- О — — 3 3 ство —2 log^ (3^ — 1) — log^ (3^ — 1) + 3 > о решаем как квад-3 3 ратное относительно logj (3^ — 1); -3 < logi (3--1) < 1. Учи- 3 3 тывая убывание логарифмической функции с основанием |, О п - 1 Решения получаем | <3^-1 <27,| <3^<28. Учитывая возрастание 3 3 показательной функции с основанием 3, получаем ответ: logg ^ < х < logg 28; О 6) I logg logg + logg ^ | lOgg < 0, 1 3 - logg logg X-1+ logg lOgg ДГ ^ 0, ~ lOgg lOgg X^l, 2 2 logg logg X^^, logg lOgg X ^ lOgg 2^ , 0 < lOgg ЛГ ^ 2^ , 1< ДС ^ 2^*^ . 7) ОДЗ неравенства: 0<л:<1, 1<л:<2. Для этих х: log^ (х+1) < logjp (2 — х) Рассмотрим два случая: а) 0 < л: < 1. Логарифмическая функция с основанием х убывает, значит. X + 1> 2-х . Поскольку 2 - л: > о, имеем: {х + 1)(2 - д:) - 1 > 0, 1 — л/б 1 + л/б - X - 1 < о, —< д: < —. С учётом условия а) получа- ем:0<дг<1;б)1<д:<2. Логарифмическая функция с основа- 1 нием X возрастает, значит, д: + 1 < 2 - д: Поскольку 2 - д: > о. 1 — /б имеем: (д: + 1)(2 -д:)-1<0, jc2-x-l>0, д:< —или X > 1 + Уб . с учётом условия б) получаем: ^ < х < 2. 2л " Ответ: 0<д:<1, ^ < д: < 2. 8) log^ logg (4* - 12) ^ log^ X. ОДЗ: 4^- 12 > 1, х > log4 13 > 1. При этом логарифмическая функция с основанием х возрастает, значит, logg (4^ - 12) < х, logg (4^ — 12) ^ 2^. Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, значит, 4^- 12 ^ 2^; 4"*^ - 2^ - 12 ^ 0; -3 ^ 2^ ^ 4; 2^ ^ 2^. Показательная функция с основанием 2 возрастает, значит, х ^ 2. С учётом ОДЗ получаем ответ: log4 13 < х ^ 2. 9) logons logg log^_ 1 9 > logons 1. Поскольку логарифмическая функция с основанием 0,5 убывает, а выражение под знаком логарифма должно принимать положительные значе- Решения ния, имеем: О < logg ^ ^ 1 < 1о^2 9 ^ ^^gg 2. Поскольку логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, имеем: 1 < log^^ _ j 9 < 2. Рассмотрим два случая: а) 0<л:-1<1,1<л:<2: log^.^ (л: - 1) < log^.j 9 < log^_i(jc- l)^. Поскольку логарифмическая функция с основанием х — 1 (х - 1 > 9у 1х> 10, убывает (условие случая), имеем: j g > (д. _ ]^)2. 1 |x - 1| < 3; нет решений; б) л: - 1 > 1, л:> 2: log^_ j (л: - 1) < logj^_ ^ 9 < logj^_i (х - l)^. Поскольку логарифмическая функция с основанием х - 1 воз- (л:-1<9, jx < 10, растает (условие случая), имеем: | g < ||х - 1| > 3. С учётом условия случая получаем: 4 < л: < 10. Ответ: 4<х< 10. 10) Заметим, что log^z = 2. Имеем logg logj^2 2 > logg 1. Поскольку логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, то log^2 2 > 1. Рассмотрим два случая: а) х^ < 1. Поскольку логарифмическая функция с основанием х^ убывает, имеем > 2, что не удовлетворяет условию случая; 6) х^ > 1. Поскольку логарифмическая функция с основанием х^ возрастает, имеем: х^ < 2. С учётом условия б) имеем 1 < х^ <2, откуда получаем ответ:- 72 < х < -1, 1 < х < J2 . Глава 4 Тригонометрические функции и их свойства 220. 1) 360 : (30 + 45) = 4,8 (с). За время между двумя последовательными встречами первая точка поворачивается вокруг центра окружности на 30° • 4,8 = 144°. Пусть через X поворотов на 144° точка оказалась на месте старта, тогда 144° «л: = 360°*/г. Найдём наименьшее натуральное значение лс, удовлетворяющее этому уравнению: 144л: = = 360 • п, 2х = Ъпу значит, х делится на 5. Наименьшее натуральное число, кратное 5, — это 5: 2 • 5 = 5 • 2. Таким образом, каждая пятая встреча точек происходит в стартовой точке. Значит, кроме неё есть ещё 4 точки встречи, т. е. всего 5 точек встречи. 3) Через 4,8 • 5 == 24 (с). Решения 234. 1) Вокруг своей оси Земля поворачивается примерно за 24 часа. 2тг: 24 w 3,14 : 12 » 0,26 (рад/ч). 239. 5) Р = 5,5 « * 315®. Угол р в IV четверти, зна- О 914 чит, cos Р > о, sin Р < 0. 271. 2) в) Общий вид уравнения прямой у = kx Ь, где /г = tg а, а а — угол между заданной прямой и осью абсцисс. а = 120°, tg 120° = -^/3 . Если прямая проходит через точку, заданную координатами, то в уравнение прямой подставляем её координаты и находим значение Ь: 3 = - Js *0 + Ь, Ь = 3. Уравнение прямой у = -Js х + 3. 288. 1)4 sin^ X + 5 sin jc + 1 = 0. Решим это уравнение как 1 1 квадратное относительно sin х: sin jc = -1 и sin ^ ^ JC = -^ + 2тт, JC = -arcsin \ + 2тш, jc = тг + arcsin 7 + 2тш, 2 4 4 п — любое целое число. 300. 2) arccos I cos j = arccos cos A 4тг 4тг - Y = arccos ^cos Y j ^ » 3) arccos (sin 6) = arccos ^cos | ~ ^ = arccos ^cos ^ I “ 6 j ^ - 6 + 2л. 315. Решением будут те и только те значения а, при которых функция t = + 6z + а принимает только положитель- ные значения на промежутке [-1; 1] (z = sin 2jc). Абсцисса вершины параболы t = z^ + 6z + а равна -3. Для выполнения требования задачи достаточно, чтобы значение функции t в точке 2 = -1 было положительным: (-1)^ + б(-1) + а > О, а > 5. 316. 1) Чтобы на интервале у квадратного трёхчлена было наименьшее или наибольшее значение, абсцисса вершины соответствующей параболы должна принадлежать этому интервалу. Находим границы интервала: sin ТС 1 sin 7 = л • Абсцисса вершины параболы равна а, значит, о 2 -0,5<а<0,5.2) Рассматриваем правую часть равенства как квадратный трёхчлен относительно косинуса на промежутке Решения значений косинуса | ^ 5 1J • Чтобы трёхчлен на этом проме- жутке имел наименьшее значение, абсцисса вершины соответствующей параболы должна или принадлежать этому промежутку, или быть больше его правой границы. Значит, а>^. 2 333. 1) sin 2х ^ ^ ^ + 2пп < 2х < ^ + 2пп, 2 о о ^ + кп, п е Z; 2) sin ^Злс: | j ^ • По фор- мулам приведения sin ^Зл: -l-|j = cos Зх, cos Зх ^ ^ -Ь 2лА; ^ Зл: ^ ^ + 2л/г, ^+^k^x^^+^k,kGZ. О О У О у о 350. 1) Соседние нули функции отстоят друг от друга на ^ , значит, период функции не может быть меньше ^ . Прове-рим, является ли данное число периодом, т. е. выполняется ли равенство tg 2| л: - | j = tg 2jc = tg 2^jc | j • Равенства вер- 7Г ны, следовательно, - — период функции у = tg 2х. 358. 9) Возведём уравнение в квадрат и после упрощения получим: sin х • cos х = ^. По теореме, обратной теореме 25 Виета, sin х и cos х — корни квадратного уравнения 27. 12 л 3 4^ 2^ - - 2 -Ь — = о, 2, = - , 29 = г . Один из корней — косинус, 5 25 5 5 3 а другой — синус, или наоборот. Имеем: cos х = - или 5 COS х = -. 5 Ответ: ±arccos - -Ь 2тш, ±arccos ^ + 2т1п, neZ. 5 5 362. 2) Рассмотрим разность (tg х + ctg х) - 2 = . I 1 о X - 2tg X + 1 (tg X — 1)^ ^ л = tg jc + :---2 = ®^ > О, посколь- tg л: tg л: tg jc ку тангенс острого угла положителен, значит, для любого Решения острого угла х полученное неравенство верно, т. е. tgx + cigx^ 2. Что и требовалось доказать. 377. sin (а + p)sin(a - Р) = = (sin а • cos р + cos а • sin p)(sin а • cos р - cos а • sin р) = = sin^ а • cos^ р — cos^ а • sin^ р = = (sin^ а cos^ р + sin^ а sin^ Р) - (cos^a sin^ Р + sin^ а sin^ Р) = = sin^ a(cos^ P + sin^ P) - sin^ P(cos^ a + sin^ a) = sin^ a - sin^ p. 396. 1. a) Найдём тангенс разности углов, образованных этими прямыми с осью абсцисс: tg а = 2, tg Р = ^ . Подставим О значения тангенсов в формулу tg (а - Р) = ’ полу- X “г tg CCtg р чим: tg (а - Р) =- 1 + 2-1 = 1, значит, а - Р = 45°. 437. 1) Представим sin а = cos Р следующим образом: sin а = sin | + Рj . Тогда а = Р -+• | -1- 2пп или а = -Р - I + тс(2п -Ь 1), п G Z. JCj = - | - 2пп или ^2 ^ ^ 2яп п е Z. 2) tg а = ctg р, tg а = tg | ~ “ = -р -Ь | + пп. От равенства значений функций tg 2х = ctg 5х перейдём к условию равенства аргументов 2х = ^ - 5х + ял, 2х + 5х = = ^ -I- пп, 1х='^ пп, X = -^ + ^ п, п е Z. 2 2 14 7 438. Из данного равенства следует, что точка с координатами (х; у) лежит на окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Но по определению абсцисса точки этой окружности является синусом, а ордината — косинусом некоторого угла поворота ф, т. е. sin ф = л: и cos ц> = у, что и требовалось доказать. 440. 10) (cos Зх -Ь cos 7х) -I- (1 -+- cos Юх) = 0; 2 cos 5х cos 2л: -I- 2 cos^ 5л: = 0; 2 cos 5л:^2 cos | х cos | л: ] =0. 7 3 cos 5л: = о или cos - л: = 0, или cos - л: = 0. 18) 1 -I- sin X -I- cos X -Ь sin 2л: -Ь cos 2х = 0; (1 -I- cos 2л:) -Ь sin 2л: -I- (sin х + cos х) = 0; Решения 2 cos^ X + 2 sin X cos x + (sin x + cos x) = 0; 2 cos X (cos X + sin x) + (sin x + cos x) = 0; (sin X + cos x)(2 cos j: + 1) = 0; cos ^ или sin x = -cos x. 441.4 sin Ъх sin x-2 cos 2x + 1 = 0. Поскольку 2 sin 3x • sin X = cos 2x - cos 4jc, имеем 2 cos 2л: - 2 cos 4л: - - 2 cos 2;c + 1 = 0; 2 cos 4л: - 1 = 0; cos 4л: = |, 4л: = + 2тш, Ct О x = ±^ + ^ у n & Z. Искомый корень уравнения x = . X ^ ^ X ^ 443. 2cos^jc + cos X 1 . 2 ’ 2cos X + 7sin2 X 4cos^ X + 2 cos X + 2 cos л: + 7 sin^ x = 0, 2(2 cos л: + 7 sin^ л:) 4 cos^ л: + 4 cos л: + 7 - 7 cos^ л: = 0, 3 cos^ x - 4 cos л: — 7 = 0, cos л: = -1. Ha отрезке [-тс; я] cos л: = -1 при х = ±я. Эти значения не обращают знаменатель в нуль. 444. 2) л/З sin л: + 2 cos х =JS + 2 sin х cos х; Js + 2 sin X • cos л: - 2 cos x—jz sin л: = 0; л/З (1 - sin л:) - 2 cos л:(1 - sin л:) = 0; (1 - sin л:)( Js - 2 cos x) = 0; sin л: = 1 или cos x = ^ . x = ^ + 2яп или x = + 2яп, n e Z. 2 2 о Из множества решений выбираем те, которые удовлетворяют условию о < л: < 2: л:, = ^ , л:з = ^ . 2 о sm 446. 2) 72 72 cos (л: - sin л:) cos X 72 cos X = I (1 - tg X). Ь + 2^ex = -(1 - tgx) = 3-4 ; 5 + 2^^^ = 3‘2i-te^; 2^«^ - 6 • 2" + 5 = o. Обозначим 2^^^ = у и найдём положительный корень Q уравнения у----+5 = 0;i/2 + 5j/-6 = 0;i/=l. Вернёмся к У переменной л:: 2^^ = 1; tg л: = 0; д: = я/г, п € Z; 4) пусть 2^ = у, где у > о, тогда ^ - tg у = 2tg 2у; ^ ^ = 2 tg 2у; ctg 2у = tg 2у; 2у = ^ ^ ^ поскольку значения у Решения ДОЛЖНЫ быть положительными, /г = О, 1, 2, ^ (/I = О, 1, 2, ...)• Вернёмся к переменной х : 2^ = ^ ^ (/г = о, 1, 2, 3, ...), X = logo f Б + ^ 1» где п = О, 1, 2, 3, ... . Г Л а В а 5 Элементы теории вероятностей и комбинаторики 447. Есть 36 равновероятных возможностей вытащить одну карту. В 9 из них карта окажется червой, в 16 — картинкой, в 8 — валетом или королём. 448. Всего имеется 6 равновероятных исходов при бросании кости. В четырёх из них число выпавших очков больше 2, в трёх — число очков простое, в двух — кратно 3. 452. 1) Возможны два равновероятных варианта рождения детей: ММ и МД. Благоприятный (в рамках задания) первый. Искомая вероятность |. 2) Возможны три равновероятных варианта рождения детей: ММ, МД и ДМ. Благоприятный (в рамках задания) первый. Искомая вероятность ^. О 453. Таня ошиблась в самом начале своих рассуждений. Она должна была найти общее число всех равновероятных возможностей, которые имеются при бросании двух монет. Таких возможностей четыре: ОО, ОР, РО, РР. Решка выпадает в трёх из них, значит, вероятность выпадения решки 3 равна -. 454. Есть всего четыре равновероятных возможности вытащить карточку и положить её на стол. В трёх из них верхняя сторона карточки окажется белой. Только в одном из этих трёх равновероятных случаев нижняя сторона карточки чёрная. Значит, искомая вероятность равна ^ . Л 456. 1)Р.р. = ^ ,4%;2)Р„,= 654 48 654 7%. Решения 460. Из выбранной 1000 зёрен всхожими оказались 1000 - 27 = 973 зерна, значит, частота всхожести равна примерно 97%. Это значение и принимаем за приближённую вероятность того, что наугад взятое зерно окажется всхожим. 461. Частота выемки чёрного шара примерно равна 70%. Считая вероятность вытащить чёрный шар равной примерно 70% , можно с большой степенью уверенности (но не наверняка, конечно) сказать, что в коробке 7 чёрных шаров. 462. Есть четыре возможности выбрать дорогу из пункта А в пункт В. Каждому варианту этого выбора соответствует три возможности выбрать дорогу из В в С. По правилу произведения 4*3 = 12. 464. События, вероятность которых требуется найти в этой задаче, определяются не порядком вытаскивания карт из колоды, а только тем, какие две карты вытащены. Таким образом, комбинации вытащенных карт являются сочетаниями. Все возможные сочетания при вытаскивании карт равновероятны. Их число равно С§2 • 1) а) В колоде по 13 карт каждой из четырёх мастей. Одну из карт выбираем из 13 бубен, а другую из 39 карт других мастей. По правилу произведения число благоприятных исходов равно 13*39, и вероятность события равна 13*39 _ 13 п OQ Ch 34 ~ • б) В колоде есть 4 туза и 48 других карт, значит, число возможных благоприятных сочетаний равно 4 • 48. Вероятность вытащить только одного туза равна ili§=^,014 С§2 221 ’ • в) Картинки — это валеты, дамы, короли и тузы. Всего в колоде 16 картинок, значит, одну из них можно выбрать 16 способами, а для выбора другой карты остаётся 36 возможностей. Число благоприятных исходов 16*36, а соответ- 16*36 96 ^ .о ствующая вероятность равна ——г— = —— « 0,43. С §2 221 2) а) Обе карты выбирают из 13 бубен, значит, число благоприятных исходов равно • Искомая вероятность равна ^ « 0,06. С|2 17 Решения 3) а) Число возможностей складывается из числа вариантов, когда среди карт есть только одна бубна, и из числа вариантов, в которых вытаскиваются две бубны. Эти числа были найдены в заданиях 1) и 2): 13*39-1- Cfg . Число благоприятных исходов можно найти иначе: вычитая из общего числа исходов С§2 число «неблагоприятных» исходов С§д , когда обе карты выбираются из 39 карт других мастей: Cfg - С§д . Искомая вероятность равна С. 13*39-1- Cfa ^52 '52 ^39 _ 15 ^ Q С§2 34 ’ • 470. 2) Саша с Колей могут оказаться на любых двух местах из 20. Поскольку важно, на каком месте сидит Коля, а на каком Саша, то общее число вариантов равно Afg . На каком бы из 20 мест ни оказался Коля, рядом с ним будет только одно место для Саши. Значит, есть всего 20 вариантов для мальчиков оказаться соседями. Вероятность этого равна 20 _ J_ 20*19 19* 472. 1) Всего есть равновероятных исходов, и только в одном из них все письма попадут в свои конверты. Следовательно, вероятность того, что все письма окажутся в нужных 1 1 конвертах, равна -б" = ^ • Jr 4 ^4 2) Положим письмо Иванову в правильный конверт. Останется 3 письма, которые можно положить в три конверта Рд Ро 1 способами. Вероятность данного события равна б" ^ 7 • ■*4 ^ 3) Письмо для правильного конверта можно выбрать четырьмя способами. Первое из оставшихся трёх в неправильный конверт можно положить двумя способами, в каждом из них второе и третье можно положить в неправильные конверты одним-единственным способом. Получаем всего 4 * 2 * 1 = 8 способов. Вероятность события равна ^ • Р4 3 4) Два письма, которые положат в правильные конверты, можно выбрать С| способами, так как важно, какие это письма, а не в каком порядке их выбирают. После того как Решения будут выбраны два правильных конверта, останется только один-единственный способ положить оставшиеся два в неправильные конверты. Вероятность этого равна ^ = т • Ра 4 473. Задача аналогична примеру 4 пункта 28. Всего способов построиться. Представим себе, что Саша будет становиться в шеренгу последним. Без Саши мальчики могут построиться PjQ способами. В каждом из них Саша может встать либо справа, либо слева от Коли. Значит, есть всего 2 • PjQ вариантов построения, при которых Саша и Коля стоят 2^10 _ 2^ 11 ■ рядом. Вероятность этого равна 11 474. Любые три из данных пяти точек являются вершинами треугольника. Значит, нужно найти число вариантов выбора 3 элементов из данных 5. Поскольку порядок выбора не важен (например, Л АВС и Л ВАС — это один и тот же треугольник), искомое число находим, как число сочетаний из 5 по 3: СЯ - 5! ® 3!(5 - 3)! 5-4-3-2 = 5*2 = 10. 3*2*2 475. Выбрав любые 4 вершины, получим четырёхугольник с одной точкой пересечения диагоналей, значит, число таких точек равно C\rj. 476. Достаточно выбрать одну пару, поскольку тем самым определится и вторая пара теннисисток. 477. В футбольной команде 11 игроков, включая вратаря. Выбор игроков в первую команду полностью определяет, какие ученики будут играть во второй команде. При этом каждый выбор некоторых 11 игроков даёт точно такое разбиение на команды, что и выбор остальных одиннадцати, поэтому биноминальный коэффициент нужно поделить на 2. 480. 2) Пять школьников можно выбрать Cfo способами. Трёх из оставшихся после этого 5 школьников можно выбрать С| способами. Оставшиеся два школьника войдут в третью группу. По правилу произведения получаем C^q * • 481. 1) Всего может быть A|g равновероятных исходов. Поскольку в одной масти 9 карт, есть А^ способа выташ;ить Решения две карты этой масти, но масть может быть любая из 4, значит, всего есть 4А| благоприятных исходов. Искомая веро- ятность равна 4А| 4»8»9 35-36 35 ' 2) Первую карту можно вытащить 36 способами. После этого в колоде останется ещё три карты того же достоинства в других мастях. Значит, число благоприятных исходов равно 36 • 3, а вероятность вытащить карты одного достоинства рав-36-3 36-3-34! на А 2 -^36 36! 0,09. 3) Достоинства карт равны, как видно в задании 2), в 36*3 случаях. В остальных А|0 -36*3 случаях одна из карт старше другой. В половине этих случаев вторая карта А|б — 36 * 3 16 старше. Искомая вероятность равна ——^----- = — . 2A|g 35 483. Чтобы разыграть билеты между учениками, можно взять 25 одинаковых конвертов и положить в 15 из них билеты. 1) У Коли есть 25 вариантов выбрать конверт и в 15 из них конверт окажется с билетом. Значит, вероятность получить 3 билет у Коли - . 2) У Коли и Саши есть всего Cfg возможности выбрать конверты. Из них в Cfg случаях в обоих конвертах окажутся билеты. Значит, вероятность получить билеты у Коли и Саши равна С|5 25-24 3) Число вариантов, в которых ни в Колином, ни в Сашином конвертах не окажется билетов, равно Cfo • Значит, вероятность, что им не достанется билетов, равна 15*14 _7_ 20* ^10 ^25 10-9 25*24 _3^ 20 * 488. Подставим в формулу бинома Ньютона х вместо а, 2 вместо 6 и 10 вместо п. Нас интересует член многочлена Домашние контрольные работы. ПОВТОРЕНИЕ стандартного вида, содержащий . Поскольку имеем: Cio-i х'О-^ ■ 2^ = CL х'’ -S = 10 71(10-7)! х"^ = = х'^ = 1Q-9-8-8 д-7 = 10 • 3 • 4 • 8л:7 = ЭбОлг^. 713! 3*2 491. 1) а) С}2 (-3)%8 = 495.81^8 = 40 ОЭбх^; б) С^2 (-3)2x10 = 594x10. 492. Имеем Cj = = 45, л = 10. Шестой член разложения бинома (у^ + х^)Ю имеет коэффи- циент: С?п = _ 10 5!-5! = 252. Г Л а В а 6 Повторение 498. 4) Должно выполняться условие х - 5 > 0, т. е. х > 5. Заметим, что для этих значений х основание логарифма X + 4 X + 1 , больше 1. log^ + 4 (х - 5) < 1, log^ + 4 (х - 5) < log^ + 4 X + 4 X + 1 . в силу Х+1 Х+1 X + 1 возрастания логарифмической функции с основанием боль- 1 к^лг-ь4 fx>5, ше 1 имеем: 0 < х - 5 < X > 5, х2 - 5х - 9 < о. X > 5, 5 - 7б1 < X < X + 1 ’ 1 (х - 5)(х + 1) < X + 4, 5 + УбТ,5<х<^ . 2 ^ 505. 1) г) sin 10 = sin (Зл + (10 - Зя)) = -sin (10 — Зя) = = sin (Зя - 10). Поскольку ^ Зя - 10 ^ ^ имеем: arcsin (sin 10) = arcsin (sin (Зя — 10)) = Зя — 10. 4) д) arcctg (tg 2) = arcctg |^ctg | ^ - 2 _Зя n 506. 1) arcsin arcsin (x^ - l,5x) ^ arcsin |. По- скольку арксинус является возрастающей функцией, имеем: Решения _i <,2 - 1 5л: < -• -1 < 2лг2 - Зл: < 1- Зх + 1 > О, 1,5л: ^2» 1 < ^ ’ 12л:2-Зл:-1<0; X < 0,5 или л: > 1, ^ ^ 3 — л/т? ^ ^3 + л/17 Ответ:-----^^ х< 0,5 или 1 < л: <----г— • 4 4 3 1 2) -- < arccos л: < - . С учётом области значений арккоси- ^ О нуса имеем: о ^ arccos л: < ^ , arccos 1 ^ arccos х < arccos cos ^ . 3 3 Поскольку функция арккосинус убывает, окончательно получаем: cos - < л: ^ 1. О 525. 4) logy _ ^ (л:^ + 9) = logy _ ^ ((х + 3)(лс: - l)^); + 9 = = (х + 3)(х - 1)^. При этом должны выполняться условия: 7-х>0;7-х^1;х^ + 9>0. Далее получаем: - 5х - 6 = 0; X = 6 или X = -1. Проверка: х = б, 7-6>0 — верно, 7 - 6 1 — неверно, следовательно, 6 — посторонний корень; х = -1, 7 - (-1) >0 — верно, 7 - (-1) ^ 1 — верно, (-1)^ + 9 > 0 — верно, следовательно, -1 — корень исходного уравнения. 1 Ответ: -1. 6) log cos X sin л: -Ь ^ = 2. Поскольку ни при каком значении х log^^^g ^ sin х не равен нулю, имеем: log?osx sin X - 2 log^o3^ sin X -Ы = 0; log^^^^ sin x = 1; sin x = = cos X при условии, что cos X > о и cos X ^ 1. с учётом этого тс условия окончательно получаем: х = - + 2nk (k е Z). 74 to-yilyl _ 1 - cos |лг| sin^ \х\ _ 1 - cos \х\ т 1 _ sin |х| ’ cos2 Ы l-sinW При условии cos^ |х| о, 1 - sin |х| ^ 0, получаем: sin^ |х1 - sin^ |х| = cos^ |х| - cos^ |х|; (cos |х| - sin |х[) (cos |х1 -t- sin |х|) = (cos |х| - sin |х|)(1 + cos 1х| sin |х|); (cos |х| - sin |х|) (1-1- cos |х| sin |х| - cos |х| - sin 1х|) = 0; (cos |х| - sin |х|)(1 - sin |х|) (1 - cos jx]) = 0; cos |х| - sin |х| = 0 или 1 — sin |х| = о, или 1 - cos |х| = 0. Решения Условию удовлетворяет только первое и третье равенство: cos |х| = sin |д:| или cos 1x1 = 1, |л:1 = 7 + 2iik или |х| = 2nk, 4 X = ±7 + 2т1к или X = 2nk (k е Z). Ответ: ±7 + 2nky 2nk 4 4 (k е Z). 8) 2 sin 2x + cos 2x + 1 = 0. Рассмотрим 2 случая: a)x=f + дА(ft e Z)и6)+ 1 = 0. 2 1 + tg^ X 1 + tg2 X а) 2 sin (71 + 2nk) + cos (л + 2nk) + 1 = 0; 0-1 + 1 = 0, следовательно, I + nk (k e Z) — корни исходного уравнения. б) 4 tg X + 1 - tg^ X + 1 + tg2 X = 0; tg X = -0,5; X = —arctg 0,5 + л/е. Объединяем результаты обоих случаев и записываем ответ: | + nk, -arctg 0,5 + nk(k е Z). 530. 4) (бх - 5)72x2- 7х-9 ^ 0 <=> 2x2 - 7х - 9 = о, ] 2x2 1бх-5 > о <=> X = -1 или X = 4,5, X < -1, или X > 4,5, <=> х = -1, _х ^ 4,5. 7) Ig (х - 2)2 < Ig (х2 - 4) - Ig (-Х - 2); Ig (х - 2)2 < Ig ((-х - 2) х X (2 - х)) - Ig (-Х - 2). Должно выполняться условие -х — 2 > > 0; т. е. X < -2. Тогда 2 - х > 0. 2 Ig (2 - х) < Ig (2 - х). Ig (2 - х) < о, Ig (2 — х) < Ig 1. Поскольку логарифмическая функция с основанием 10 возрастает, получаем 0 < 2 - х < 1, 1 < X < 2, что не удовлетворяет условию х < -2. Ответ: нет решений. 534. 2) J2x + 3 + Jx - 2 = 4<=>2х + 3 + х- 2 + 272х + 3 о <=> Jx - 2 = 16 2j2x + 3 • Jx -2 = 15 - Зх о о < 2х + 3 ^ о, X - 2 ^ о, 15 - Зх ^ о, 8x2 - 4х - 24 = 225 + 9x2 _ <=> J 2 ^ X ^ 5, [ х2 - 86х -+ + 249 = 0 о f 2 ^ X ^ 5, <+jrx = 3, <=>х = 3. ILx = 83 Решения 4) log7_^ (л:3 + 9) = iog7_^ ((д: + 3)(х - 1)2) о <=> < 7 - д: > О, 7 - д: 1, д:^ + 9 > О, д:3 + 9 = (д: + 3)(д: - 1)2 <=> < 7 - х> О, 7 - хф1^ д:3 + 9 > О, д;2 - 5д: - 6 = О 7 - д: > О, 7 - х^1, о ^ + 9 > О, д: = —1. г х = -1, I х = 6 5) |sin х\ cos X = sin2 х <=> |sin х\ cos х = |sin д:|2 X = nrij <=> sin д: = О, cos X = I sin x\ <=> 1 71 I о n S Z. x = ±- + 2тш, 4 <=> sin'^ д: 1 - cosld 1 - зт|д:| cos2|j:| 1 - зш1д;| <=> f cos |д:| ^ 0, 1 - sin |д:| 0, <=> [ (cos |д:| — sin |дг|)(1 — sin lx|)(l - cos |д:|) = 0 cos |x| 0, <=> < 1 - sin |д:| 0, 'cos |jc| = sin |jc|, <=> 1 - sin |д:| = 0, 1 - cos IjcI = 0 д: = ±7 + 2nk, 4 keZ. .X = 2nky 537. 5) log^2 _ 1 (JC + 4) > 0 <=> [ дг2 - 1 > 0, д: + 4 > 0, о < (Г-4 < д: <-1, f 2_1 \ <=> sl-д: > 1, (д: + 3) - 1 > о 1 (д: + 3)(д: - 2)(д: + 2) > 0 <=> <=> -3 < д: < -2, д: > 2. 11) log.2 + 3,-4 (* + 4)>0о д:2 + Зд: - 4 > о, д: + 4 > о, <=> (дг2 + Зд: - 5)(х + 3) > о Решения <=> < (х + 4){х-1)>0, JC + 4 > О, -3 + 7^V _l3-V^ X + ДГ + (л: + 3) > о <=> < Х> 1у 3 - 7^ <х<-з, ^ -3 + 7^ о х> --— X > -3 + 7^ [(Ял:)-1)№)-1)<0, 538. 1) fix) < О о j fix) > О, [ gix) > 0. 4) log - 1 <» <=> х+ 4 3 fjc2-l>0, X + 4 > о. < о <=> -1, (д, + 3)|5!^_1]<0 кх + 3)(х-2)(х + 2)<0 -4<х< -3, -2 < X < -1, 1 < X <2. х^ + Зх -4> О, 12) log^ + 4 (л:2 + Зд: - 4) < О ол: + 4 > О, <=> (д:2 + Зд: - 5)(д: + 3) < 0 о ^ (д: + 4)(jc - 1) > о, д: + 4 > о, X + д: > 1, д: + 3 + 7^^ (х + " 2 ) 1 2 9 3 + („£^ <=> |(д: + 3)<0 <0 <=> <=> < д: > 1, -3 - 7^ 3 + 7^ <=> 1 < д: < 3 + 7^ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Корни квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = 0 (а 0) -Ь +Jb^ - 4ас ^1:2 2а ах^ -Ь 2kx -Ь с = 0 (а 0) -к ±Jk^ - ас ^1;2 а ах^ -\-Ьх + с = 0(а^0)а + Ъ + с = 0 Х.=1,Ху=- ах^ + Ьх + с = 0{аФ0)а — Ъ + с = 0 1 с X. = — 1, Х^ = — ^ ‘‘■а Формулы Виета х^ -\- рх -Ь g = 0 Xi -Ь jCg = -р, Xi* Х2 = q Разложение квадратного трёхчлена на множители ах^ + Ьх + с = а(х - х^)(х - JCg) Координаты вершины параболы — графика квадратного трёхчлена у = ах^ + Ьх + с Ь 4ас - ^0 = -^’ Уо 4а Разложение на множители многочлена п-й степени, имеющего корень JCj (следствие из теоремы Везу), P^ix) = (x-x^)P^_iix) Основные формулы Степени и логарифмы Т ригонометрия Некоторые значения тригонометрических функций 0“ 30” 45” 60” 90” 180” 270” 360” а 0 п 71 л л Зл 2л 6 4 3 2 2 sin а 0 1 72 7з 1 0 -1 0 2 2 2 cos а 1 7з 72 1 0 -1 0 1 2 2 2 Основные формулы Окончание табл. a 0» 30» 45» 60» 90» 180» 270» 360» 0 Л 6 Л 4 Л 3 л 2 л Зл 2 2л tga 0 Л 3 1 7з — 0 — 0 ctg a — 7з 1 Л 3 0 — 0 — Формулы приведения а Ф + 2лл -Ф л — ф л + ф |-<р 3 л „ Зл . sin а sin ф -sin ф sin ф -sin ф cos ф cos ф -cos ф -cos ф cos а cos ф cos ф -cos ф -cos ф sin ф -sin ф -sin ф sin ф tga tgФ -tgф -tgф tgФ Ctgф -Ctgф Ctgф -Ctgф ctg а Ctgф -Ctgф -Ctgф Ctgф tgФ -tgф tgф -tgф Основные тождества sin^ а + cos^ а = 1 tg а • ctg а = 1 tga = ctg а = sin g cos a _ cos g sin a 1 + tg'^ a = cos'^ a 1 + ctg^ a 2 П4 = sin^ a Формулы сложения sin (a ± P) = sin a cos p ± cos a sin p cos (a ± P) = cos a cos p =F sin a sin P tg(a±P)= 1 + tg a • tg tg a•tg p Формулы двойного угла cos 2a = cos^ a - sin^ a = 2 cos^ a - 1 = 1 - 2 sin^ a sin 2a = 2 sin a cos a 2tg g tg 2a 1 — tg^ a Основные формулы Переход от суммы к произведению sin а ± sin Р = 2 sin ' cos а ± Р 2 а + Р 2 cos а + cos Р = 2cos cos — cos а — cos Р = -2 sin ^ ^ ^ sin —- - tga±tgP=^^"<°±P) COS аcos р Переход от произведения к сумме sin а sin р = | (cos (а - р) - cos (а + р)) cos а cos Р =1 (cos (а - Р) + cos (а + Р)) sin а cos Р = ^ (sin (а- Р) - sin (а + Р)) Формулы понижения степени о 1 + cos 2а cos'^ а =------- 1 - cos 2а 1 + cos 2а sin'^ а = - 2 tg2 а = 1 + cos 2а где sin ф Вспомогательный угол а sin X + t> cos X = Ja^ + sin (x + ф), b ______ a , cos Ф = + b^ Универсальная подстановка sin 2a = cos2a= ^-*g!”tg2a= J- 1 + tg2 a 1 + tg2 a 1 - tg2 a Решение уравнений sin л: = a, |a| ^ 1, x = (-1)" arcsin a + nn, n eZ cos л: = a, |a| < 1, x = ±arccos a + 2тш, neZ tg X = a, X = arctg a + nn, neZ ctgx = ay X = arcctga + nn, neZ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аргумент функции 8 Арккосинус 129 Арккотангенс 130 Арксинус 129 Арктангенс 130 Асимптота 18 — горизонтальная 18, 158 — вертикальная 18, 158 Биноминальные коэффициенты 213 Вероятность события 203 Вспомогательный угол 198, 314 Геометрическое место точек 18 Гипербола 16, 18 Дробная часть числа 26 Единичная окружность 116 Исходы (результаты) — благоприятные 203 — равновероятные 203 Координаты вершины параболы 37, 311 Корень п-й степени 52 Корни квадратного уравнения 311 Косинус угла 116 Косинусоида 152 Котангенс угла 124 Котангенсоида 160 Логарифм 87 — десятичный 98 — натуральный 98 Логарифмическая функция 88 Мантисса логарифма 100 Метод интервалов 27 Область значений функции 8, 218 — определения функции 8, 217 Обратные тригонометрические функции 224—225 Объединение множеств 9 Окрестность точки 25 Основное логарифмическое тождество 88 — тригонометрическое тождество 165, 313 Ось котангенсов 124 — тангенсов 123 Парабола 19 Пересечение множеств 9 Перестановки 209 Период функции 145 Подкоренное выражение 53 Подмножество 9 Показатель степени 53 — дробный 67 — рациональный 67 Потенцирование 96 Преобразование графика 37, 229 Предметный указатель Промежуток знакопостоянства 27 — монотонности 29 Прямая 18 Равносильное преобразование неравенства 233 ----уравнения 233 Радиан 111 Радианная мера угла 110 Разложение многочлена на множители 311 Размещения 210 Синус угла 115,116 Синус числового аргумента 117 Синусоида 146 Свойства корней 61, 312 — логарифмов 95, 312 — степени 68, 312 Скорость линейная 112 — угловая 112 Событие достоверное 203 — невозможное 203 Сочетания 211 Таблица значений тригонометрических функций 312—313 Тангенс угла 122 Тангенсоида 159 Теорема Безу 311 Теорема о промежуточном значении 27 Точка разрыва 25 Тригонометрия 106 Угловой коэффициент прямой 16 Угол поворота 107, 108 — отрицательный 107 — положительный 107 — наклона прямой 123 Универсальная подстановка 239,314 Уравнение иррациональное 56 — тригонометрическое 128 Уравнения равносильные 232 Формула бинома Ньютона 213 — числа перестановок 209 ----размещений 210 ----сочетаний 211 Формулы двойного угла 182,313 — перехода от суммы к произведению 189, 190, 314 ----от произведения к сумме 188, 314 — понижения степени 186, 314 — приведения 136—139 — сложения 172—173, 313 Функция 8 — возрастающая 29 — константа 16 —косеканс 151 — кусочно-заданная 25 — логарифмическая 88 — монотонная 29, 223 — непрерывная 24, 218 — нечётная 48 — обратимая 54, 223 — периодическая 145, 228 — показательная 76 — секанс 151 — степенная 46 — чётная 48, 226 — убывающая 29 Функции взаимно обратные 54,223 Характеристика логарифма 100 Целая часть числа 26 список ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСОВ Алгебра. Углублённый курс с решениями и указаниями: учебно-методическое пособие / Золотарева Н. Д., Попов Ю. А. и др. Под ред. М. В. Федотова. — М.: Издательство Московского университета, 2011. Босс В. Интуиция и математика. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ*, 2012. Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. Виленкин Н. Я., Шибисов Л. П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра: пособие для учащихся 10—11 кл. — М.: Просвещение, 2008. Гашков С. Б. Занимательная компьютерная арифметика: Математика и искусство счёта на компьютерах и без них. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. Говоров В. М. и др. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в вузы / П. Т. Дыбов, Н. В. Мирошин, С. Ф. Смирнова. — М.: Оникс, 21 век, 2006. Громов А. И., Савчин В. И. Математика для поступающих в вузы: учебное пособие. — М.: РУДН, 2008. Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н. X. Математика. Для поступающих в вузы: учебное пособие. — М.: Дрофа, 2002. Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. Клайн М. Математика. Поиск истины. — М.: Мир, 1988. Колмогоров А. Н. Математика— наука и профессия.— М.: ЛКИ, 2008. Крамор В. С. Задачи на составление уравнений и методы их решения. — М.: Оникс, Мир и Образование, 2009. Лурье М. В. Тригонометрия. Техника решения задач. — М.: УНЦ ДО, 2006. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С, Алгебргшческий тренажёр: Пособие для школьников и абитуриентов. — М: Илекса, 2007. Список дополнительной литературы и интернет-ресурсов Моденов В. П. Математика для школьников и абитуриентов. — М.: ИКИ; Наука, Физматлит, 2002. Понтрягин Л. С. Жизнеописание Льва Семеновича Понтрягина, математика, составленное им самим. — М.: КомКнига, 2012. Рывкин А. А., Ваховский Е. Б. Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы. — М.: Оникс, 21 век, 2003. Садовничий Ю. В., Фролкина О.Д. Геометрия. Конкурсные задачи с решениями. В 5 ч.: учебное пособие. — М.: УНЦ ДО, 2009. (В помощь поступающим в вузы). Сборник задач по математике (с решениями). В 2 кн. / под ред. М. И. Сканави. — М.: Оникс, 21 век, 2005. Суходольский Г. В. Математика для гуманитариев. — М.: Гуманитарный центр, 2007. Хорошилова Е. В. Элементарная математика. В 2 ч.— М.: МГУ, 2010. Шарыгин И. Ф. Математика. Для поступающих в вузы. — М.: Дрофа, 2004. Шабунин М. И. Пособие по математике для поступающих в вузы. — М.: Физматлит, 2003. Шибасов Л. П., Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики. Математический анализ. Теория вероятностей: пособие для учащихся 10—11 кл. — М.: Просвещение, 2008. Шибасов Л. П. От единицы до бесконечности. — М.: Дрофа, 2006. Юшкевич А. П. Из истории возникновения математического анализа. — М.: Знание, 1985. Якушев Г. М. Большая математическая энциклопедия. — М.: Олма-Пресс, 2005. Интернет-ресурсы https://www.ege.edu.ru/ — Официальный информационный портал единого государственного экзамена. https://school-collection.edu.ru/ — Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. https://www.turgor.ru/ — Международный математический турнир городов. https://math.rusolymp.ru/ — Всероссийская олимпиада школьников по математике. https://www.kenguru.sp.ru/ — Российская страница международного математического конкурса «Кенгуру». https://kvant.mccme.ru/ — Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» для школьников и студентов. https://potential.org.ru/ — Образовательный журнал «Потенциал» для старшеклассников и учителей по разделам «Физика», «Математика », « Информатика ». Список дополнительной литературы и интернет-ресурсов https://ilib.mccme.ru/ — Интернет-библиотека Московского центра непрерывного математического образования. https://www.etudes.ru/ru/ — Математические этюды: познавательные экскурсии по красивым математическим задачам. https://ru.wikipedia.org — Википедия. История математики. https://www.geogebra.org — Сибирский институт GeoGebra. https://geogebra.ru — Математическая программа для самообучения школьников. https:// math. exeter. edu/ rparris /winplot. html — Программа WinPlot для работы с графиками и другими математическими объектами. Учебное издание Муравин Георгий Константинович Муравина Ольга Викторовна МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Углубленный уровень 10 класс Учебник Зав. редакцией О. В. Муравина Редактор Т. С. Зельдман Художественный редактор А. В. Пряхин Технический редактор И. В. Грибкова Компьютерная верстка С. Л. Мамедова Корректор Г. И. Мосякина в соответствии с Федеральным законом от 29.12.2010 г. № 436-ФЗ знак информационной продукции на данное издание не ставится Сертификат соответствия РОСС RU. АЕ51. Н 16238. Подписано к печати 23.03.13. Формат 60 х 90 ‘/16-Бумага офсетная. Гарнитура «Школьная*. Печать офсетная. Уел. печ. л. 20,0. Тираж 1000 экз. Заказ С-1280. ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги просим направлять в редакцию общего образования издательства «Дрофа»: 127018, Москва, а/я 79. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: chief@drofa.ru По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52. Сайт ООО «Дрофа»: www.drofa.ru Электронная почта: sales@drofa.ru Тел.: 8-800-200-05-50 (звонок по России бесплатный) При участии ООО «Медиа-Принт» Отпечатано в типографии филиала ОАО «ТАТМЕДИА» «ПИК «Идел-Пресс». 420066, г. Казань, ул. Декабристов, 2.