Алгебра 10 класс Задачник Мордкович часть 2

На сайте Учебник-Школа.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Алгебра 10 класс Задачник Мордкович часть 2 - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ 8Й12 X + С082 X = 1 81П 2Х = 2 81П X С08 X С08 2х = С082 X - 81П2 X 1 + 1&2 х = соя2 л: 8Ш2л; = сов2* = 1 - сое 2х 1 + соя 2х л • X- + У X - у 81П X + 81И и = 2 8111---------- С08------- ” 2 2 п ■ X - у х + у 81П X - 81П и = 2 8111---------— С08------- у 2 2 л X + у х - у С08 X + СОЗ 11 — 2 С08---------- СОЗ------- * 2 2 л . X + у . х - у СОЗ X - С08 у = -2 81П------ 81П---- у 2 2 81П (X ± у) = 81П X С08 у ± С08 X 81П у С08 (X ± у) = С08 X С08 у Т 81П X 81П у 81П х = т х = (-1)л агсзт т + пп сое х - т х = ±агссо8 т + 2кп 12Х = тп х = а т + кп И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА класс В двух частях Часть 2 Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) Под редакцией А. Г. Мордковича Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 6-е издание, стереотипное Москва 2009 УДК 373.167.1:[512+517] ББК 22.14я721+22.161я721.6 А45 На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/9 от 31.10.2007) и Российской академии образования (№ 01-667/5/7д от 29.10.2007) Авторы: А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Л. И. Звавич. Т. А. Корешкова, Т. Н. Мишустина, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов Алгебра и начала математического анализа. 10 класс А45 В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А. Г. Мордкович и др.] под ред. А. Г. Мордковича. — 6-е изд., стер. — М. : Мнемо-зина, 2009. — 343 с. : ил. 18ВЫ 978-5-346-01202-3 Задачник представляет собой вторую часть комплекта из двух книг предназначенных для изучения курса алгебры и начал математического ана лиза в 10-м классе с профильной подготовкой по математике (первая часть — учебник). УДК 373.167.1:[512+517 ББК 22.14я721+22.161я721.6 © «Мнемозина», 2005 © «Мнемозина», 2009 181Ш 978-5-346-01200-9 (общ.) © Оформление. «Мнемозина», 2009 181Ш 978-5-346-01202-3 (ч. 2) Все права защищены ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ Издательство «Мнемозина» выпускает учебно-методический комплект для изучения курса алгебры и начал математического анализа в 10-м классе профильной школы, состоящий из еле-дующих книг: А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа. Часть 1. Учебник. А. Г. Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа. Часть 2. Задачник. A. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа. Методическое пособие для учителя. B. И. Глизбург. Алгебра и начала математического анализа. Контрольные работы / Под ред. А. Г. Мордковича. У вас в руках вторая книга комплекта — задачник. Наличие отдельного задачника позволило авторам выстроить в нем полноценную (как по объему, так и по содержанию) систему упражнений, достаточную для работы в классе, для домашних заданий, для повторения (без привлечения других источников). В каждом параграфе представлены упражнения трех уровней сложности: простые, средние (слева от номера такого упражнения помещен знак «О») и трудные (со знаком «•»). В конце книги приведены ответы к большинству заданий второго и третьего уровней. Нумерация упражнений своя в каждом параграфе. Число заданий в каждом номере — одно, два (а) и б)) или четыре (а)—г)). Все они в пределах конкретного номера однотипны, поэтому советуем вам разбирать в классе пункт а) (или пункты а) и б)), а на дом задавать пункт б) (или, соответст-венно, пункты в) и г)). Данная книга естественным образом соотносится с извест- м задачником «Алгебра и начала анализа, 10—11» (изда-льство «Мнемозина», авторы — А. Г. Мордкович и др.), 3 который с 2000 года используется в общеобразовательных шко-лах России: значительная часть материала, имеющаяся в упомянутом действующем задачнике, содержится и в настоящем задачнике. Это даст учителю, работавшему ранее по задачнику для общеобразовательной школы, возможность более комфортно работать по задачнику для профильной школы. Количество упражнений в данном задачнике таково, что его достаточно для учащихся профильных классов различной математической направленности: и при четырех, и при пяти, и при шести часах в неделю на изучение курса алгебры и начал анализа. В дальнейшем предполагается выпуск методического пособия с комментариями к параграфам учебника, с решениями трудных упражнений из задачника, с разными вариантами поурочного планирования. Пока же, для удобства учителя, мы приводим три варианта примерного тематического планирования (из расчета 4,5,6 часов в неделю) в первой части комплекта — в учебнике. В конце задачника появился новый (относительно предыдущих изданий) сравнительно небольшой раздел «Дополнительные задачи». В него мы включили задания с нестандартными формулировками, идеи которых навеяны материалами Единого государственного экзамена по математике. Распределение их по параграфам задачника потребовало бы переверстки всей книги, что неудобно ни нам, ни вам. Нумерация заданий в этом дополнительном разделе двойная: первые цифры указывают, к какому параграфу относится задание, а вторые — продолжают нумерацию упомянутого параграфа. Так что при желании (и при возможности) дополните материалы того или иного параграфа заданиями из нового раздела. Авторы Задачи на повторение д 1. Сократите дробь и найдите ее значение при заданных значениях переменных: а) 9аЬ - 3Ъг 12а2 - 4аЪ' если а _ 1. 3. - 3’ 5’ б) т4 - 1 "~8 7’ /72 — I если т = 1. 2’ 24*2 + 8$* В 5$2 + 15$* ’ если * - 12’ г) хг + у3 *6-1/6’ если х = 2; у = 3. П.2. Сократите дробь: Зх2 - 10х + 3 2л;2 - 9л; + 4 а) х2-3х ’ в) ж* - 16 ’ б) 5л;2 + х - 4. г) 2*2 + 5* - 3 2 » л; + л; ж2 - 9 П.З. Докажите, что заданная функция является линейной, и найдите ее область определения: ч х4 - 5х3 + Зх - 15 „ р3 - 4р2 - Ър + 20. а) I/ = ---------------’ в) 2 = ---------------------* б) и = х3 + 3 I4 - Ш2 + 16 . а + 2Ш2 - 4)’ г) $ = т6 - 16т3 + 64 (т2 + 2т + 4Хт3 - 8)* П.4. Докажите, что график данной функции принадлежит прямой, параллельной оси абсцисс; найдите область определения этой функции: V 4л; - 5 х - 1 . &)у~ 7х-21 2х -6’ ч Зл; + 4 х + 4 . “ 5л: - 10 Зх - 6’ б) у 2х + Ь П(* + 1). л: - 3 4х - 12 ’ х-5 Зх-1 Г)у~ Зх + З 2х +2' 5 П.5. Докажите, что график данной функции принадлежит прямой; найдите область определения этой функции: _ х3 + Ъх2 - 4х - 20. х3 - 4х2 - 9х + 36. а )у - х2 + Зх - 10 ’ в) У ~ х2 - 7х + 12 ’ б )у = х3 - 2х2 - 16* + 32. х2 - 6х + 8 ’ _ х3 + х2 - 4х - 4 г) У - ж* + 3х +2 П.6. Выразите переменную х через переменную у: Ч 3 Л а) У - х_2 +4'> в>»- х+3 "1; 4 2 б)г/- -2; Упростите выражение: п-7- а> (25¾ - 5Ть + 5^)<25 - 10Ь + Ь2У’ б) (^2 - 7^4 " ^Т2)(т2 + 4т + 4); в) (а"+1 + " йГл)(о2 + 2а + (2 4х 1 ) г> " 9^1?~ зТ^ К9 + 6х + х2У П.8, а) б) в) г) 2т,_____2 . ( тга + 1 _ 1 \ т2 - 4 т2 - 4 ’ [2т- 2 т - 1 / Г 1 1 1 Ь 2Ь 1 I—1 1 ь2 Ь + 2 &2 - 4 1 4а Г 1 - 1 а - 2 а2-4 [ а - 1 а2 - а ( с + 4 1 1 |-с + 1+ 2 Зс + 3 с + 1 1 Г 3 с2 -1 6 П.9. а) [ а - 1 + б) г) х + 5 + 3- х* б> тт 2 1 . о2 + 1 . а + 1) а2 + 2а + 1’ 18 ^ 62 - 66 + 9. СО 1 л ^ + 9 ’ 32 р2 + 8р + 16. р + 4 ] Р2 + 16 ’ 50 ^ | . х2 + 25 *-5, Г х2 - 10х + 25’ Зх . х . х - 1. х2 - 1 * л: - 1 х + 1’ а а2 - 4 ! 10 - За. и + 2 а а + 2 ’ У . У 5-2у. У + 1 V-! ^ + 1’ ЗЬ - 2 3 Ъ2 - 4 Ь2 - 4 Ь + 2 + Ь Ь + 2* П.11, а) б) в) г) + 5 + _2аО. X . х + 2 х2 - х - 6 х-3^ 2х + 1’ 2 10 _3х_'| . Зх + 2. х + 1 х2 - Зх - 4 х - 4)' 3 ’ 3 , 4 _2х_"| . 2х + 1. х-3 + х?-5х + 6 х-2)- 3 ’ 2х _1__________1__1. * х+3 х-1 х? + 2х — 3) 2х + 1" П.12. Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменной: 7 П.13. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных] значение выражения не зависит от значений входящих! в него переменных: 1 Ь{аЬс + а + с) Упростите выражение: П.14, а) 1<\ п- 0,5УТб0 н ~у1*9; б) 4М- 0,5У56 - П.15, а) 3 -3 + Уб У5 + СО со 1 + сгГ| оГ| б) 7зУз • / л/Зл/12; П.16, а) У2 \8 + у/2 • + У17 1 . 1 + —Ц- а + | Ь + ± Ь С в) 15^| - 0,5-М + 2^|з|; г) З^Ц-М-^Ц. в) у/12-^2 • >/зУ§; , 4 - Уб , 4 + Уб г) 4 + Уб 4-УГ + >/в - У2 • л/э - л/17 ) 2 + Уз 2 - УЗ б* Уг + Уг + Уз У2 - Уг - Уз' П.17. Докажите, что Уб - з ^-3-и|^~3 + 2 Уб - з + з = -1. П.18. Сравните числа А и В, если: а) А = б) А = 3 - У2 3 + У2’ 7 + 7 5 - 4ч/2 5 + 4У2 В = УТООО; , В = -Уэо. П.19, а) Известно, что /(*) = Уж. Найдите, при каких значениях переменной выполняется равенство /(х + 2) = /(2х+6). б) Известно, что /(х) = л/х. Найдите, при каких значениях переменной выполняется равенство /(5х - 1) - /(Зх + 17) =.0. 8 д.20. Сократите дробь: 4 4х - 3 у[у. а' 9у - 16* ’ 196т2 - 169п. 134п + 14т ’ 25р - 49 Гр-*Гя ’ в) Л-з ’ 4 + 2>/7 + ^. б) 2 + Л ’ л + 2у[аЬ + 4Ь г) ~1Г72Л~' П.22, а) Упростите выражение: 4х - 2 2\[х + 5 _ ЗУ1. 4>/л* 4>/д: 4>/л; ’ Нл/тга - 24п 24т - 34п , 4т - 4п . б) -------------------------—-----+ 3 4т 3 4т 3 4т в) *4р - 2 _ 2>/р - 1 + 1 . 24р 24р 2>[р 9 ч 24с -4а , 2>/с + 4а . 4с -ь4а г) ---—7=---- + ------г=-- + ъ4с ъ4с ъ4с п-гз. а) [<« - + „ - »1«, - - 1 б) >/аЬ - аЬ а + >/аЬ >/а& - Ь. а - Ъ ’ в) л/т 24т 4т - 1 _ л/т + 1 >/т + 1 - 1 г) уЦа + 4аЬ){4аЬ + &) + ^(а - 4аЬ){4аЬ - Ь) 7(а + 4аЬ)(4аЬ + &) - ^(а - 4аЬ){4аЬ - Ъ) 9 Решите уравнение: 11 8 П.24. а) , 9 2 о з ~л 9 9 X + ^ л: - 2л: х - 4х х 1 2 б> х + 1 ~ х - 1 “ д:2 - 1 = 0; ч 2* , 1 4 в' х + 2 + х - 2 *2 - 4 = 0; V 2 3 _ 15 Г) х2 + 5х 2х - 10 л:2 - 25* _ ос 2х -7__________1 _ 1 . П.25, а) хг _ 9х + 14 л.2_3х + 2 х_1> б* х2 - 9 9 - 6х + х2 + 2х2 + 6х’ Зх________5___________1_ в> ж3 - 1 4Х2 + 4х + 4 2(1 - х) = °5 м 4x2 I 27 _ 6 Г'1+2х2 + 8х 2х2 + 7х-4 2х-1* П.26. Не решая уравнения х2 + 4х - 2 = 0, найдите значение выражения: а) X2 + х22; б) \ в) ^ г) X!3 + х23, где хг, х2 — корни заданного уравнения. П.27. При каком значении т сумма квадратов корней уравнения х2 + (т - 2)х - (т + 3) = 0 будет наименьшей? П.28. При каких значениях параметра а квадратный трехчлен (2а - 2)х2 + (а + 1)лс + 1 имеет отрицательные корни больше, чем -2? П.29. Известно, что корни хх, х2 уравнения х2 - 3ах + а2 = 0 удовлетворяют соотношению х1 + х\ =1,75. Найдите значение параметра а. П.30. Решите неравенство: а) -2л: + 3(л: - 2) < 5л:; б) 7л: + 1 > 12(л: - 2); 10 в) 8(л: + 1) + Зл: < 4л: н- 15; г) 5л: - 4(л: + 3) > 7х. Решите неравенство: 2х - 5 ^ л П.31- а) ХйТ > 0; б) 1гпг > 0; П 32. а) х2 - 5х + 15 > 0; б) х2 - 12л: + 27 < 0; (1 + хХ2 + х) П.ЗЗ. а) х2 _ х _ 2 > 0; б) -2 2х2 - Их + 12 < 0; 4 + Зх ^ в> < 0; . 2-х л г> 3^ > °* в) х2 + 5х - 36 > 0; г) х2 - 7х + 20 < 0. (х - 2Х2х - 1) * 2х2 + 7х + 3 г) х2 - 4х + 3 х2 - 6х + 5 > 0. (1 + х)(2 + х) П.34, а) (1 _ х^2 - Х) > 1» ,, 2 _ _3_ 5. б) х х - 4 2’ в) г) (х - 3X2 - х) (3 + х)(х + 2) 6 13 х-1 х-2 < -1; < 2. П.35. При каких значениях параметра а любое решение неравенства х2 - Зх + 2 < 0 будет решением неравенства ах2 - (За + + 1)х + 3 < О? П.36. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство (а2 - 5а + 6)х2 - 2(а - 3)х + 1 > 0 выполняется при всех действительных значениях х. Существуют ли такие значения а, при которых решением неравенства является пустое множество? Решите систему неравенств: П.37. Зх - 1 > 2(х + 5), а) |7х - 1 < 3(3х - 11); в) |2х + 5 > 4 - Зх, б) [4х - 7 < 2(4 - х); г) 2х + 3 < 4(х - 1) + 13, х - 1 < 2(3х - 16); х + 5 < 12 - 3(х - 4), 8х - 3 > 4(х - 5). ГЛАВА ° § 1. Натуральные и целые числа 1.1. а) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 2? б) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 3? в) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 6? г) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 27? 1.2. Может ли из 101 идущих подряд натуральных чисел быть ровно одно делящееся: а) на 50; б) на 51; в) на 101; г) на 10001? 01.3. Найдите какие-нибудь 36 идущих подряд трехзначных чисел, среди которых нет ни одного кратного 37. Какое наименьшее и какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих 36 трехзначных чисел? 1.4. Может ли произведение 101 идущих подряд натуральных чисел не делиться: а) на 51; б) на 101; в) на 606; г) на 4386? Докажите утверждение: 01.5. а) Если каждое из натуральных чисел п и т делится на натуральное число р, то (п + т) : р и (п - тп) : р.* б) Если каждое из натуральных чисел пит делится на натуральное число р, а х, у — произвольные натуральные числа, то (пх ± ту) \ р. в) Если натуральное число п делится на натуральное число р, а натуральное т не делится на р, то ни сумма п + т, ни разность п - т не делятся на р. * Если натуральное число п делится на натуральное число р, то принято писать п : р. I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ действительные числи Г| I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I гггггггггггггггггггггггг 12 тга г) Если сумма натуральных чисел и каждое ее слагаемое, кроме последнего, делятся на некоторое натуральное число р, то и это последнее слагаемое делится на р. о1.6. а) Если п : р, то (п т) : р для любого натурального т. б) Если х : 5, то Зх ! 15. в) Если X : 7 и у : 3, то (ху + 14у) : 21. г) Если X \ 17 и у 23, то (хг + у3) : 40. Докажите, что: 1.7. а) Сумма двух четных чисел есть четное число; б) сумма двух нечетных чисел есть четное число; в) сумма четного и нечетного числа есть нечетное число; г) если х, у — произвольные натуральные числа, то ху(х + у) и ху(х - у) — четные числа. 1.8. а) Разность квадратов любых натуральных различных чисел делится на их сумму и на их разность; б) разность любых натуральных различных чисел является делителем разности их кубов. 01.9. а) Если а + Ь делится на с, а а - Ь не делится на с, то ни а, ни Ь не делятся на с; б) ад, + Ъс + ас + Ъд делится на а + Ъ; в) если ад + Ъс делится на а + Ъ, то и ас + Ъд делится на а + г) если ад + Ъс не делится на а + Ъ, то и ас + Ъд не делится на а + Ъ. 1.10. Объясните, почему не существует натуральных чисел а и Ъ таких, что: а) 152а + 134& = 12 345; б) 150а + 135& = 1234. 1.11. Найдите все натуральные числа х и у такие, что: а) 7х + 12у = 50; в) 5х - у = 17; б) 11* + 18у = 98; г) 5х - 11у = 137. °1.12. Докажите, что: а) 723 + 343 делится на 106; б) (I3 + 23 + З3 + ... + 1813 + 1823) делится на 183; в) 183 + 263 делится на 176; г) (23 + З3 + ... + 1963 + 1973) делится на 199. °1-13. а) Число 14а + 11Ъ не делится на 5; докажите, что и 9а + Ъ не делится на 5. б) Число 17а + 29Ъ не делится на 13; докажите, что и 4а + ЗЪ не делится на 13. 13 01.14. Найдите все такие натуральные числа п, при которых: ч Ьп + 4 а) выражение —-— является натуральным числом; б) выражение в) выражение Ъп + 4 ~ + д является натуральным числом; 7и + 12 —-— является натуральным числом; ч 7 п + 11 г) выражение ^ является натуральным числом. 01.15. Найдите все такие натуральные числа п, при которых заданное выражение является натуральным числом: „ 5п2 + 7п- 12. ,, п7 + 3п2 + 36 а) ----------; б) -----2----• 1.16. На графике заданной функции найдите все точки, обе координаты которых — целые числа: ч п 4 . Ъх + 17 а) У = 2 + ~—о, б )у = х + 7 01.17. При каком наименьшем натуральном значении параметра а на графике заданной функции есть ровно одна точка, координатами которой являются натуральные числа? Найдите координаты этой точки: 2 01.18. Известно, что при некотором значении а число Ъ = а + — — целое. Будет ли целым число: а) а2 + |г; б) а3 + |г? 01.19. Найдите все значения а, при которых х и у являются натуральными числами: ч 4 0 8 _ 3 9 а) х = - + Э, у = - + в; б) х = - + 3, у = - + 2а. 01.20. При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных натуральных корня: а) ах2 -(2а2 + 5)х + 10а = 0; б) ах2 - (а2 + 5)х + За - 5 = О? •1.21. Найдите все целочисленные значения параметра а, при которых оба корня уравнения — целые числа: 4 а) х2 + ах + = 0; б) (а + 2)х2 + (2а - 1)х + а2 - 5а - 4 = 0. 14 1 22 Найдите последнюю цифру числа: ’ а) 21047; б) З1641; в) 71799; г) 91861. 1 23 Найдите последнюю цифру числа: * а) 200120022003; в) 13456789'2345 ; б) 199920021333; г) 23 456789012346. 01.24. Существуют ли такие натуральные числа пик, что последняя цифра разности указанных двух степеней равна нулю: а) 627" - 833А; б) 834" - 626А? #1.25. а) Докажите, что если при некотором натуральном значении п число пг - п делится на 6, то и число (п -г I)3 - (и + 1) также делится на 6. Проверьте наличие делимости для п = 1 и подумайте, для каких еще значений п имеет место делимость. б) Докажите, что если при некотором натуральном значении п число пг + Ъп делится на 6, то и число (п + I)3 + + 5(п + 1) также делится на 6. Проверьте наличие делимости для п = 1 и подумайте, для каких еще значений п имеет место делимость. в) Докажите, что если при некотором натуральном значении п число 7" + 3п - 1 делится на 9, то и число 7" + 1+ 3(п + 1)-1 также делится на 9. Проверьте наличие делимости для п = 1 и подумайте, для каких еще значений п имеет место делимость. г) Докажите, что если при некотором натуральном зна- чении п число 32п + 2 - 8п - 9 делится на 64, то и число З2" + 4 _ + 1) _ 9 также делится на 64. Проверьте нали- чие делимости для п - 1 и подумайте, для каких еще значений п имеет место делимость. Найдите НОД и НОК чисел: 1.26. а) 154 и 210; в) 255 и 510; 6)120 и 144; г) 105 и 165. 1.27. а) 232 З4 II31 и 223 З7 II14; б) 424 614 98 и 818 1017 1216. 1.28. Не пользуясь калькулятором, определите, является ли данное число квадратом или кубом некоторого натурального числа: а) 75 625; б) 614 656; в) 31 104; г) 45 212 176. 1*29. Найдите все простые числа, меньшие: а) 50; б) 100. 1*30. Найдите все составные числа, меньшие: а) 50; б) 100. 15 1.31. Выпишите все пары взаимно простых составных чисел, из отрезка натурального ряда 1, 2, 3, ..., 20. 01.32. Докажите, что: а) наименьший отличный от 1 делитель натурального числа п, большего 1, есть простое число; б) наименьший отличный от 1 делитель составного числа п не больше л/й; в) еслирг< р2 < ... < рп — простые числа, то числорх р2 ... рп + 1 является либо простым числом, либо делится на простое число р, большее, чем рп; г) простых чисел бесконечно много. 01.33. Докажите, что: а) любое натуральное число либо взаимно просто с заданным простым числом р, либо делится на р; б) если произведение нескольких множителей делится на простое число ру то хотя бы один из множителей делится на р. 1.34. Составьте разложение на простые множители числа: а) 504; б) 8281; в) 108 000; г) 12 321. 01.35. Найдите число делителей числа: а) 24; б) 504; в) 180; г) 60. 01.36. Полагают, по определению, что п\ = 1 • 2 • 3 • 4 • ... • (п - 1) • п\ (символ п\ читают п-факториал)у а 1! = 1. С каким показателем входит число 2 в разложение на простые множители числа: а) 10!; б) 20!; в) 40!; г) 100!? 01.37. С каким показателем входит число 5 в разложение на про- стые множители числа: а) 10!; б) 20!; в) 40!; г) 100!? 01.38. Сколькими нулями оканчивается число: а) 10!; б) 20!; в) 40!; г) 100!? 01.39. Докажите, что среди данных последовательных натуральных чисел нет ни одного простого числа: а) 23! + 2, 23! + 3; 23! + 4, ... , 23! + 23; б) 101! + 2, 101! + 3; 101! + 4, ... , 101! + 101. в) Сколько составных чисел в каждой серии а) и б)? г) Выпишите 1 000 000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого. 01.40. Докажите, что: а) произведение двух идущих подряд натуральных чисел делится на 2; 16 б) произведение трех идущих подряд натуральных чисел делится на 3 и на 6; в) произведение четырех идущих подряд натуральных чисел делится на 4, на 12 и на 24; г) произведение пяти идущих подряд натуральных чисел делится на 5, на 20 и на 120. 01.41. Найдите простые числа р ид, если известно, что корни уравнения х2 - рх л- д- 0 — натуральные числа. 01.42. Найдите все простые числа р ид такие, что: а) Ьр + 17д = 140; б) 7р + Зд = 86. 1.43. Составьте формулу натурального числа, которое: а) при делении на 5 дает остаток 4; б) при делении на 11 дает остаток 7; в) при делении на 7 дает остаток 2; г) оканчивается числом, делящимся на 15. 1.44. Найдите остаток от деления на 10 числа: а) 1234; б) 43 215 432. 1.45. Число х при делении на 8 дает остаток 5. Чему может быть равен остаток от деления числа х: а) на 2; б) на 3; в) на 4; г) на 6? 1.46. Докажите, что: а) остаток от деления натурального числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2; б) остаток от деления натурального числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5. 1.47. Докажите, что: а) остаток от деления натурального числа на 4 равен остатку от деления на 4 числа, образованного его двумя последними цифрами; б) остаток от деления натурального числа на 25 равен остатку от деления на 25 числа, образованного его двумя последними цифрами. 1*48. Найдите остаток от деления на 3 числа: а) 1 234 321; б) 55 555 155 555. 1*49. Найдите остаток от деления на 9 числа: а) 1 234 567; б) 55 555 155 555. °1*50. Докажите, что произведение 1 • 2 • 3 • ... • 13 делится на (1 + 2 + 3 + ... + 13), а произведение 1 • 2 • 3 • ... • 16 не делится на (1 + 2 + 3 + ... + 16). 17 В числе 23 Ц 47 заполните пропуск такой цифрой, чтобы: а) число делилось на 3; б) число делилось на 9. В числе 233 Ц 4 заполните пропуск такой цифрой, чтобы: а) число делилось на 4; б) число делилось на 12. В числе 735 Ц 4 заполните пропуск такой цифрой, чтобы: а) число при делении на 3 давало в остатке 2; б) число при делении на 4 давало в остатке 2. В числе 7345 Ц заполните пропуск такой цифрой, чтобы: а) число при делении на 9 давало в остатке 2; б) число при делении на 25 давало в остатке 7. Рассмотрите два предложения: а) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 3; б) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 5 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 5. Докажите, что из этих утверждений верно только одно. Найдите все пары целых чисел (х; у), удовлетворяющих уравнению: 01.56. а) 2у - х - 15; в) 7х + 4у = 123; б) 6х - у = 25; г) 5х - 7у = 23. •1.57. а) ух = 15; в) Чху + 4у2 = 11; б) 36*2 - у2 = 27; г) х2 - Чху + 6у2 = 18. 01.58. Сколько делителей имеет данное число: а) 315; в) 250 000; б) 9450; г) 623 700? § 2. Рациональные числа 2.1. Между рациональными числами а и Ь поместите 5 рациональных чисел: а) а = 1,1, Ь = 1,2; в) а = 11,0001, Ь = 11,0002; ^ - II ь - 1°. ч 12 221 _ 122 221 °)а~ 12’ 11’ г) а - 12222’ °~ 122 222' 2.2. Сколько целых чисел заключено между числами: ч 1111 11512 1234 78 910 0 а> "ЗГ и "ЗбГ; б) “56“ и ~789~^ 1.51. 1.52. 1.53. 1.54. 01.55. 18 2.3. Сколько существует обыкновенных правильных несократимых дробей со знаменателем, равным: а) 17; б) 236? Выпишите наибольшую из этих дробей в каждом случае. 2.4. Среди правильных дробей вида где п — натуральное число, найдите ближайшую к числу: ,2, .,3. ч 4. .6 а) б) в) г) у 2.5. Среди всех дробей вида где п — натуральное число, най- дите ближайшую к числу: * 2. 3. , 4. а) б) в) г) % 02.6. т Найдите число вида — (т, п — натуральные взаимно простые числа) с наименьшим знаменателем, лежащее на числовой прямой между числами: 4. 3’ 101 н 232' б) 1 2. в) 3 3 и 3’ 4И 2 2. г) 121 9 и 7’ 323 Найдите число, равноудаленное от чисел: ч 5 6. 171 101 а> 6 и 5’ б> 363 и 242' Известно, что 0 < а < Ъ. Какое из двух чисел Ц или ^ лежит ближе к 1? Запишите целое число в виде бесконечной десятичной периодической дроби: а) 1; б) 20; в) -4; г) -111. Запишите обыкновенную дробь в виде бесконечной десятичной периодической дроби: . 2. 3. , 8 . ч 4 а) д, б) в) п; г) °2.11. Используя калькулятор, определите десятичный знак с указанным номером после запятой в десятичной записи числа: 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 5 301-й знак; V 6 В) 19> 4 123-й знак; V 7 г) 23’ 19 Запишите число в виде обыкновенной несократимой дроби: 2.12. а) 0; б) -123; в) 12,0006; г) 0,00123. 02.13. а) 0,(36); б) 12,0(006); в) -1,2(3); г) -0,01(234). 2.14. Запишите число в виде бесконечной десятичной периодической дроби: а) 10,1; б) -1,2; в) 4,023; г) -0,0101. 2.15. Запишите данные десятичные периодические дроби в виде дробей, имеющих одно и то же число цифр в периоде, и определите период каждой из этих дробей в полученной записи: а) 3,(345) и 59,(34); б) 3,(15) и 59,(23454). 2.16. Запишите данные десятичные чисто периодические дроби в виде смешанных периодических десятичных дробей, определите их периоды. Единственно ли такое представление: а) 1,(34); б) 30,(115); в) 6,(543); г) 9,(2610)? 02.17. Выполите действия и представьте результат в виде бесконечной периодической десятичной дроби: а) Д(4); б) Д48(4); в) ^Ц7)‘, г) ,/4,3402(7). 02.18. На числовой прямой отмечены точки А(-5) и В(10). С помощью циркуля и линейки отметьте точку: а) С(5); б) 0(0); в) 0(1); г) Р(0,6). § 3. Иррациональные числа 03.1. Докажите иррациональность числа: а) Д; б) Д; в) 1 - Д; г) Д - Дб. 03.2. Используя результат 3.1, докажите иррациональность числа: а) 5Д; б) -7Д; в) б(1 - Д); г) Ш +^1. Р 03.3. а) Пусть — — несократимая дробь и д > 1. Докажите, что ( рХ натуральная степень I — I * п € ЛГ, есть также несократимая дробь. 20 б) Пусть ап, п € N — целое число. Докажите, что а — либо целое, либо иррациональное число. в) Опираясь на утверждения а) и б), докажите иррациональность числа %/21. о3.4. Каким числом, рациональным или иррациональным, является: а) сумма рационального и иррационального чисел; б) разность рационального и иррационального чисел; в) произведение не равного нулю рационального числа и иррационального числа; г) частное рационального, не равного нулю числа, и иррационального числа? Какое из данных чисел является иррациональным: 3.5. а) 2,(2345); б) Д(4); в) г) ^Щб? 03.6. а) 1 + %/12 - 2>/3; в) 2Д - ЗД; б) (7 - -М) ■ (7 + -Л1); г) 1 + Д - Д - 2-Д? 03.7. Приведите пример двух различных иррациональных чисел, таких, что: а) их сумма — рациональное число; б) их разность — рациональное число; в) их произведение — рациональное число; г) их частное — иррациональное число. 03.8. Приведите пример, если это возможно, двух иррациональных различных чисел, таких, что одновременно: а) их сумма и разность — рациональные числа; б) их произведение и частное — рациональные числа. 03.9. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого один из корней равен: а) Д; б) Д - 5; в) Д - 2; г) 7з - Д. 03.10. Докажите, что найдется пара иррациональных чисел <х и Р таких, что: а) ос2 - р — натуральное число; б) 2а2 + Зр — целое отрицательное число. °3.11. Докажите, что существует такое иррациональное число а, что число с является натуральным: а) с = а + —; б) с = а2 + а. 21 03.12. а) Докажите, что для любого иррационального числа а, найдется такое рациональное число р, что произведение ар — рациональное число. б) Докажите, что если точка (х; у) лежит на прямой у = кх + Ъ, где к Ф О, Ъ — рациональные числа, то числа х и у или оба рациональные, или оба иррациональные. 03.13. Найдите хотя бы одно рациональное число, расположенное на отрезке: а) [>/2; Тз]; в) [Тб - 2; 2,23б]; б) [л/3 - Т2; ТЗ + Т2]; г) [Тз + Тб; 3,(9)]. 03.14. Найдите хотя бы одно иррациональное число, расположенное на отрезке: а) [0; 1]; в) [1,2; 1,6]; б) [1,2; 1,22]; г) [1,2; 1,201]. 03.15. Найдите хотя бы одно рациональное число, расположенное на полуинтервале: а) (1,5; Тз]; б) [Тз - 72; 0,б). 03.16. Найдите хотя бы одно иррациональное число, расположенное на полуинтервале: а) [О; 72); б) (Тз - 72; 0,б]. 03.17. Найдите хотя бы одну точку (х; у), имеющую рациональные координаты, лежащую на прямой: а) у = х(42 + 1) - 2; б) у = -щ - 2. 03.18. Найдите хотя бы одну точку (х; у), имеющую иррациональные координаты, лежащую на прямой: а) у = Ьх - 2; б) у = у + 2. 03.19. Могут ли длины сторон треугольника выражаться числами: а) ТЗ, 42, 1; б) Тз, Тб, 4? •3.20. Отметьте на числовой прямой точки А(1) и Б(4). С помощью циркуля и линейки постройте точку: а) С(Т7); б) £)(1 - 77); в) Е г) С(2 - Тб). 22 § 4. /Множество действительных чисел 4.1. На числовой прямой отмечены точки А(-2) и Б(17). Найдите координаты: а) середины отрезка АВ; б) точки М, если В — середина отрезка АМ; в) точки М, делящей отрезок АВ в отношении АМ : МВ = = 2:3; г) точки С числовой прямой, такой, что АС = 3СВ. 4.2. а) Отметьте на числовой прямой нули функции у = (х- 1)2(31* - 37)(41* - 49); б) определите промежутки знакопостоянства функции у = (х- 1)2(31* - 37)(41л; - 49); в) отметьте на числовой прямой нули функции у = (49* + 59)2(31* + 37)3(41* + 49); г) определите промежутки знакопостоянства функции у = (49* + 59)2(31* + 37)3(41* + 49). 4.3. а) Отметьте на числовой прямой нули функции _______(4* - 7)2 У ~ (19л: - 43)3(17л; - 39)’ б) определите промежутки знакопостоянства функции (4л: - 7)2 У ~ (19х - 43)3(17х - 39)’ в) отметьте на числовой прямой нули функции (8х + 17)4 У ~ (59л: + 69)2(51ж + 73)’ г) определите промежутки знакопостоянства функции (8л: + 17)4 У ~ (59х + 69)2(51л: + 73)' 4.4. Укажите два рациональных и два иррациональных числа, принадлежащих данному промежутку: а) б) 0,2; 72 1 . 1 78’ 72] в) (0,21; 51); г) (0,21; 0,22). 23 04.5. Существует ли геометрическая прогрессия, все члены которой различны и расположены на отрезке: а) [1; 2]; б) [1; 1,2]? Если существует, то приведите соответствующий пример, если не существует, то докажите это. 4.6. Используя калькулятор, расположите в порядке возрастания числа: п, Щ-, 3,14; 3,1415; Т31 и ,Д91. 4.7. Выпишите 10 различных чисел, расположенных между числами: а) 0,123 и 0,456; в) 0,123 и 0,124; б) -0,123 и -0,132; г) -1,9999 и -2. 04.8. На числовой прямой отмечены точки 0 и 1. При помощи циркуля и линейки постройте точки: а) 1,4; б) 72; в) -710; г) 72 - 73. 04.9. а) На числовой прямой отмечены точки -3 и 1. При помощи циркуля и линейки постройте точки 0 и 5. б) На числовой прямой отмечены точки -у[2 и 3. При помощи циркуля и линейки постройте точку 0. 4.10. Найдите расстояние между точками числовой прямой: а) 2,4 и 17,9; в) 12,14 и 18,92; б) -4,27 и 5,03; г) -4,27 и -5,03. 04.11. а) Докажите, что в интервале (8; 9) нет ни наименьшего ни наибольшего числа; б) докажите, что среди чисел, удовлетворяющих неравенству х2 < 5, нет ни наименьшего ни наибольшего числа. 04.12. Число т называют точной верхней границей числового множества X, если для любого числа х € X справедливо неравенство х < т и для любого числа е > 0 (е — буква греческого алфавита эпсилон) существует такое число хе € X, что хе > т - е. Найдите точную верхнюю границу множества X„ если: а) X = [0; 1]; в) X = |*|* = б) X = [0; 1); г) X = {*|* = -, п е Лг}; п } 1 + 5 п АТ\ ------, п е Ю. п 1 24 о4 13. Число т называют точной нижней границей числового множества X, если для любого числа х € X справедливо неравенство х > т и для любого числа е > О существует такое число хе € X, что хе < т + е. Найдите точную нижнюю границу множества X, если: 04.14. а) Найдите все такие значения параметра Ъ, при которых в промежутке (-5; Ъ] содержится ровно 8 целых чисел. б) Найдите все такие значения параметра Ъ, при которых в промежутке (-5; Ъ) содержится ровно 8 целых чисел. в) Найдите все такие значения параметра Ь, при которых в промежутке [Ъ; 8] находится ровно 8 целых чисел. г) Найдите все такие значения параметра Ъ, при которых в промежутке (Ь; Ъ + 4] находится ровно 5 целых чисел. 04.15. а) Найдите отрезок наименьшей длины, содержащий 33 целых числа, большее из которых есть 12. б) Найдите промежуток наибольшей длины, содержащий не более четырех целых чисел, меньшее из которых есть 18. 04.16. На числовой прямой отмечены точки А(2а - 6а2) и Б(2а - 3). При каких значениях а точка С лежит между А и В, если: 04.17. На числовой прямой отмечены точки А(12а + 6а2) и Б(-2а + 3). При каких значениях а точка С лежит между А и Б, если: а) X = [0; 1]; в) X = |л:|л: = б) X = [0; 1); а) С(2); б) С(-1)? а) С(-2); б) С(а)? 04.18. При каких значениях р числа жат отрезку [-3; 2]? принадле- 4.19. Расположите на числовой прямой числа а, Ь, 0, если: 25 4.20. Пусть 6 > 0. Множество всех точек х числовой прямой, удовлетворяющих неравенству а-е<д;<а + е, называют е-окрестностъю точки а, при этом точки а - е и а + е называют граничными точками е-окрестности точки а. При каких е > 0 точка 12,35 лежит в е-окрестности точки: а) 12,5; б) 12,2? 4.21. Точки х и у являются граничными точками некоторой е-окрестности. Найдите е, если: а) д;=12,5, у = 12,7; в) х = -2,9, у = 3,3; б) х = 32,31, у = 31,32; т) х = -31, у = -29,8. 04.22. Дано множество Р = ^х\х = —, п е #|. Определите, при каких натуральных значениях п числа из Р будут лежать в е-окрестности точки 0, если: а) е = 1; б) е = 0,1; в) е = 0,0001; г) е = ^• 4.23. Целой частью действительного числа х называют наибольшее целое число, не превосходящее числа х, и обозначают [х]. Найдите целую часть числа: а) 4; б) -3,2; в) 4,45; г) -3,3456. 04.24. Докажите: а) если [х] = к, то для любого натурального числа п верно равенство [х + п] = к + п; б) если [х] = к, то для любого числа у справедливо неравенство [х + у] < к + у. Решите уравнение: 04.25. а) [х] = 1; б) [х] = -11; в) [х] = -1; г) [х] = 11. •4.26. а) [х] = х; в) [х] = ; б) [х + 5] = 1 - х; г) х + х + 2. •4.27. Постройте на координатной плоскости хОу график соотношения: а) [х] = [у]; б) [*] > [у]; 26 в) [х] < [у]; г) [х - 1] > [у + 1]. 4.28. Дробной частью действительного числа х называют разность х - [х]; дробную часть числа х обозначают символом {я}. Вычислите: а) {2}; б) {12,81}; в) {1,08}; г) Ш. 4.29. Вычислите: а) {-2}; б) {-12,81}; в) {-1,08}; г) {-72}. 04.30. Пусть со € [0; 1). Докажите, что для любого натурального а верно равенство: а) {а + со} = со; б) {а - со} = 1 - со. 04.31. а) Найдите все числа х, для которых {я} = 0,123; б) найдите наибольшее целое число, не превосходящее 1000, дробная часть которого равна 0,123. •4.32. Постройте график заданной функции на отрезке [-4; 4]: а) у = [*]; в) у = [х + 4]; б) у = [1 - *]; г) у = •4.33. Постройте график заданной функции на отрезке [-4; 4]: а) у = {х}; в) у = {х + 4}; б) У = {1 - х}; Г )у= р-^}- •4.34. Пусть а € [-4; 0]. Найдите отрезок наименьшей длины, содержащей все числа вида: а) 1 + 2а2; в) 5а3; лч с 2 ч 2а + 1 б) 5а + а2; г) За_1- § 5. Модуль действительного числи 5.1. Найдите модуль числа: а) 11 — л/21; в) |2,2 - 7б|; б) |7з - ч/2|; г) | >/б — 2,51. 27 5.2. Используя определение модуля, запишите выражение без знака модуля: а) \х - 5|; в) \х - 5| - |4х - 5|; б) \х - 5| + \х + 8|; г) |х - 5| ■ (х + 3). 05.3. При каких значениях х верно равенство: а) \х\ = х; в) |х| = -х; б) | х - 7| = х - 7; г) | х2 - 7х + 12| = 7х - х2 - 12? 5.4. Найдите расстояние между точками А и Б числовой прямой: а) А(7) и Б(12); в) А(-7) и Б(12); б) А(-17) и Б(-62); г) 0(0) и Б(-12). На числовой прямой отметьте все такие точки х, которые удовлетворяют заданному соотношению: 5.5. а) |х| = -х; в) |х| = х; б) \х + 2| = х + 2; г) \х - 2| = 2 - х. 5.6. а) |х| < х; в) \х + 2| < х + 2; б) |х| < -х; г) |лг — 2| < 2 — лг. 5.7. а) |х| > х; в) \х + 2\ > х + 2; б) |лг| > -х; г) \х - 2| > 2 - х. 5.8. Докажите свойства модуля а) \а\ > а; в) б) -\а\ < а < \а\; г) действительного числа: а\ > а «=> а < 0; а\ + |Ь| + \с\ = 0 <=> а = Ь = с = 0. Упростите выражение: 5.9. а) |а - Ь\ - |Ь - а|; б) |а - с| - |а + 05.10. а) л1п2 - 8тс + 16; б) \/( 2- 75)’ + ,/(3 - 75)’; в) %/4л2 - - 28л + 49; г) 1/(2,7 - 77)’ - ,/(2,8 - 77)’. 05.11. а) |7Й- - 7| + |>/51 - 5л/з| + |Т75 - 111; б) |1 - >/2| + |Т2 - 2Т2| + |2Т2 - Зч/2| + + |5>/2 1 1 1 28 в) |1 - Т37| + |2 - Т37| + |з - Т37| + ... + + |б - 7371 + 6 • |7 - Т37|; г) |1 - л^371 + \2- Т137| + |3 - -\/1371 + ... + + |11 - Т137| + 11 • |Т137 - 121. 05.12. а) Пусть ах < а2 < ... < ап. Докажите, что \(к ~ (к\ + \(к - Оз | + |яз - а4| + ... + + \0п-1 ~ С1п\ — |Ск ~ &п\> б) Пусть п < у[а < п + 1. Докажите, что 11 — ■у/о | + 12 — V® | + 13 - "*[(1 | + ... + + \п - \/а| + п ■ |\/а - п ■ _ п(п + 1) 1 2 Решите уравнение: 05.13. а) |лг + 4| = 5; в) \х - 4| = 15; б) \х - 4| = 110 - х\; г) \х - 4| = |5д:|. 05.14. а) |* + 4| = -5; в) \х - 4| = л/20 - 2л/5; б) \х - 4| = 15 - л/227; г) \х + 4| = 3%/12 - бТз 05.15. а) |* + 4| = 2х; в) \х2 - 4х\ = Зх; б) \х -14| = 8 + 2х; г) \х2 + 7х| = 4х + 10. Решите неравенство: •5.16. а) \х + 4| < 2х; в) \х —14| < 8 + 2х; б) \х2 - 4х\ < Зх; г) \х2 + 1х\ < 4х + 10. •5.17. а) \х + 5| > 5х - 7; в)\7х + 4| > 6 + 5х; б) \х2 + х - 5| > Зх; г) |—х2 - х| > 4х - 2. °^-18. а) Какие значения может принимать \х - 7|, если \х - 4| = 6; б) какие значения может принимать \х + 5|, если \х - 2| = 16? 29 •5.19. а) Найдите все значения а, при которых \х - 2| = а, если \х - а\ = 1; б) найдите все значения а, при которых \х - 2а + а2\ = а, если \х - а\ = 2 - а. •5.20. а) Какие значения может принимать \х - у\9 если \х - а\ = 7, \у - а\ = 16; б) какие значения может принимать |а - Ь|, если \х - а\ = 7, \х-Ь\ = 16? •5.21. а) Пусть \х - 1| = 5. Найдите все возможные значения вы- ражения I 2| х + 4 \х2-х- 4| 10 б) Пусть |де — 1| < 5. Найдите все возможные значения вы-^х2 - 2х + 5 ражения 29 Постройте график функции. Для каждой функции укажите область определения, множество значений, промежутки монотонности, нули функции: 05.22. а) у = \х - 5|; б) у = \х + 3| + |1 - х\; 05.23. а) у = \х - 5| • (х + 3); •5.24. а) г/ = 12 — л/5 - х |; б) у = 2 - 75 -1*1; в) у = 2 - |1 - х\; г) у = \х + 3| - |1 - х\. б) у = \х + 3| • |1 - х\. в) у - |2 - -75 + х |; г) у = |2 - 75 + |*||- •5.25. Найдите наименьшее значение функции: а) у = 2 + |х + 5|; ъ) у - \х - 2\-\х + 5|; б) у = |л: - 2| + \х + 5|; т) у = \х — 2\ • \х + 5|. •5.26. На рисунке 1 изображен график функции у = /(я). Постройте график уравнения: а) у = |/(ж)|; б) у = /(И); в) \у\ = ?(х); г) \у\ = Л|*1)- 30 Выполните аналогичные задания для функций у = §(х) (рис. 2), у = к(х) (рис. 3) и у = (р(х) (рис. 4). Рис. 2 Рис. 3 31 Рис. 4 •5.27. Постройте график уравнения: а) |* + 2у\ = 4; в) * + 2\у\ = 4; б) |*| + 2у = 4; г) |*| + 2\у\ = 4. § 6. Метод математической индукции 06.1. Методом математической индукции докажите: а) формулу общего члена арифметической прогресси ап = 01+ й(п - 1); б) формулу суммы первых п членов арифметической щи о (2ах + д(п - 1))п. грессии 8п = ---^; в) формулу общего члена геометрической прогресси ьп= М"-1; г) формулу суммы первых п членов геометрической пр< грессии 8п = ^ при Вычислите сумму: 06.2. а) 7 + 8 + 9 ... + (л + 6); б) 2 + 11 + 20 + ... + (9л - 7); в) 1,35 + 1,4 + 1,45 + ... + (0,05га + 1,3); г) 0,(3) + 0,(5) + 0,(7) + ... + (0,(2)я + 0,(1)). 06.3. а) 1- 2 + 3-4 + 5-6... + га(-1)п+1; б) -I2 + 22 - З2 + 42 - 52 + ... + (-1)" га2; в) 0+3+2+5+4+7+6 » + ... + (га + (-1)"); г) 2-6 + 12-20 + ...+( -1)п+1(га2 + га). 32 Докажите, что при любом натуральном значении п выполняется равенство: об.4. а) 1 + 2 + 3 + ... + п = ^ 2— б) 1 + 4 + 7 + ... + (Зга - 2) = Х); в) 5 + 6 + 7+ ... + (га + 4) = ^га2+ 9); г) 1,6 + 3,1 + 4,6 + ... + (1,5га + 0,1) = ”<3ге + ^4). 06.5. а) 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2"-1 = 2" - 1; ^ + 1 + 1 + - + ^ = 1^^ в) 3 - 9 + 27 - 81 + ... + (-3)" = -(1 - (-3)"); 4 г) 1 + 0,1 + 0,01 + ... + 0,000...01 = 1,(1) (1 - п-1 нулей после запятой 0,000...01 ). п нулей после запятой 06.6. а) I2 + 22 + З2 + ... + га2= + б) I2 + 42 + 72 + ... + (Зга - 2)2 = п(6”2 ~3п ~ Ц. в) I2 + З2 + 52 + ... + (2га - I)2 = п(4”' ~ 4); О г) З2 + 72 + 102 + ... + (4га - I)2 = ”(16”2 \12п ~ 1}. О 06.7. а) I3 + 23 + З3 + ... + га3 = ^ +1)2; 4 б) I3 + З3 + 53 + ... + (2га - I)3 = га2(2га2 - 1). °6.8. а) —2 + 2—3 + з-4 + — + п(п + 1) = 7ГТТ’ 1 б> 217 + 7Л2 + '" + (5га - 3)(5га + 2) Юга + 4‘ 33 •6.9. Докажите, что ___1____+________-_______+_________1_______+ ...+ а (а + й) (а + д) • (а + 2д) (а + 26) • (а + 36) (а + д,(п - 1))(а + <1п) а(а + йп)У где а Ф 0, 6 Ф 0, п € ЛГ: а) методом математической индукции; б) без использования метода математической индукции. Об. 10. Используя тождество из № 6.9, вычислите сумму: ,1,1, 1 , , 1 . й) 4 9 9 14 14 19 144 149’ й, 1 + 1 + 1 + + 1 °* 1,5 2,5 2,5 3,5 3,5 4,5 73,5 74,5* 06.11. Используя тождество из № 6.9, докажите неравенство: а)_ц. + А + Д. + ...+ 1 1 2 2 3 3 4 б) 1½ + 2½ + 3^4 + *** + в) 1^3 + 3^+5^7 + - + ,1,1,1. . г) 13 35 57 ”* п(п + 1) 1 98 99 < 1; < 0,99; (2п - 1)(2га + 1) 1 < 0,5; 997 999 < 0,4996. Докажите, что при любом натуральном значении га выпол няется равенство: 06.12. а) 1 • 4 + 2 • 7 + 3 • 10 + ... + га(3га + 1) = га(га + I)1 2; б) 1 2 + 2 • 3 + 3 • 4 + ... + п(п + 1) = ”^п + IX» + 2). 3 в) 1 • 3 + 3 • 5 + ... + (2га - 1)(2га + 1) = п(4”2 + 6п ~ !). О г) 2 5 + 5 8 + 8 11 + ... + (Зга - 1)(3га + 2) - га(3га2 + 6га + 1). 06.13. а) 4 2 + 7 23 + 10 • 25 + ... + (Зга + 1)22л_1 = га 2 ,2п + 1 . -ч 1 , 2 3 , , ^ _ о б) 2+2*+2? + - + ^г-^" 2" га + 2. 2я ’ в) г) 1 • 22 + 2 • З2 + ... + (га - 1)га2 = + 2); 1,2,3, , га _ 3(-, 2га+3 3 з2 З3 Зл " 4^ Зл+1 34 _11_+ _?!_+ . л2 _ л(л + 1) . об. 14. а) 1.3 3 • 5 (2л - 1)(2л + 1) 2(2л + 1)’ 1 | 1 | , 1 _ 1(1 1 \ б) Г^З 2 3 4 л(л + 1Хга + 2) 2^2 (л + 1Хл+2)/ 14 2 5 /1-(/1 + 3) _ /г(/г + 1). в) 2 • 3 3 • 4 (л + 1)(п + 2) л + 2 ’ 1 I 2 I 3 I I 1 Г) 1-3-5 3 5-7 5-7-9 (2л - 1)(2л + 1)(2л + 3) п(п + 1) “ 2(2п + 1)(2п + 3)' •6.15. Докажите, что для любого п € N выполняется равенство: а) 1 • 1! + 2 • 2! + 3 • 3! + ... + ть • ть\ = (тх + 1)! — 1; б) +1+ I+ •" + оГТ1)1 = 1" оГТ1)! <см- № 1-86>- #6.16. Рассмотрите три утверждения, начните их доказывать в указанном порядке методом математической индукции и определите, какое из них является верным для любого натурального значения п, а какие нет: а) 2 + 7 + 14 + ... + (л2 + 2л - 1) = »(_2У + ?Д + 2)у О 2 + 7 + 14 + ... + (л2 + 2л - 1) = га(2”2 + 7п + 8), О 2 + 7 + 14 + ... + (л2 + 2л - 1) = »(2”2 + 9п + Ц. О б) 1+!+71+%+-+^ = 21-п+2п> 1+^+1+т+-+^ = 31"' + 3(п-1^ 1+!+ 1 + % + + ^ = + ®®*17- Докажите неравенство: а) 5п > Зп - 1, где п € N1 б) Зп > 2п2 + Зп, где п € М, п> 4; в) 2п > Ъп + 1, где п € п > 5; г) 5Л > Зп2 + 10п, где п € N, п > 3. 35 •6.18. Докажите методом математической индукции неравенство Бернулли* (1 + а)Л > 1 + п • а при а > -1. Докажите, что для любого натурального п выполняется неравенство: •6.19. а) \ + - 1,1 6) 5 2 + 92 Л+ ••• .+ 1 . : < 1: 42 (га + 1) л_ + ^ 1 ^ 1 132 ’ (4га + I)2 4' •6.20. а) —н—+ ... н—. > >/пТТ — 1; л/2 73 ч/п + 1 б) !- н—^ + ... ч—. ^ < 2л1 га + 1 — 1. л/2 7з ч/га + 1 Докажите, что для любого натурального значения га справедливо утверждение: 06.21. а) (га3 + 35га) • 6; б) (п3 + Зп2 + 8п) : 3; 06.22. а) (7Л - 1) • 6; б) (22л+1 + 1) 5 3; •6.23. а) (Ц6л+3 + 1) | 148; б) (72л - 42л ) ! 33; •6.24. а) (62п + Зл+2 + 3" ) = 11; б) (52л+1 + Зл+22л-1) : 19; •6.25. а) (6Л + 20п + 24) : 25; в) (п5 - га) : 30; г) (2га3 + Зга2 + 7га) • 6. в) (17л- 1) = 16; г) (132л+1 + 1) : 14. в) (134л+2 + 1) ! 85; г) (5Л+3 + 113л+1) : 17. в) (52+л + 26 • 5л + 82л+1) : 59 г) (5Л+32Л - 125) : 45. б) (7Л + 12га + 17) : 18. •6.26. Выведите формулу га-го члена последовательности (а„), за данной рекуррентным соотношением: . . (га - 1)га. а) ох= О, о„+1= о„+ га; докажите, что о„= ----^—* 2 (га - 1)га(2га - 1). б) аг = 0, о„+1 = а„+ га ; докажите, что ап= ------^-----» ч о о (Зга-29)га. в) ох = -13, а„+1= а„ + Зга; докажите, что а„= ---^-----, г) Ох= 0, о„+1= о„+ га3 ; докажите, что а„= (га - 1)2п2 * Якоб Бернулли (1654—1705) — швейцарский математик. 36 ой 27. а) Докажите, что количество разных наборов по два пред- мета, которые можно сделать из п различных предметов . оч п (п-1) (п > 2), равно —^---“• б) Докажите, что количество разных наборов по три предмета, которые можно сделать из п различных предметов (п ^ 3), равно 71-(/1-1)-(/1-2) 6 об 28. а) Докажите, что количество разных непустых наборов, которые можно сделать из п различных предметов, равно 2п - 1. б) Докажите, что п различных предметов можно расставить в ряд п\ способами (см. № 1.36). •6.29. Докажите, что любое натуральное число к > 4 можно представить в виде к = Зт/1 + Ъпу где тип — целые числа. об.ЗО. Докажите методом математической индукции, что у выпуклого п-угольника (п > 3): а) сумма внутренних углов равна 180о(п - 2); « гйп - 3) б) число диагоналей равно —-. I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ Числовые функции I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ггггггггггггггггггггггггг § 7. Определение числовой функции и способы ее задания 7.1. На рисунке 5 изображен шестиугольник АВСВЕЕ, со^-ставленный из двух прямоугольников, причем АВ = 10, ВС = СВ = 3, ВЕ = 2. Найдите: а) периметр шестиугольника АВСВЕЕ; б) площадь шестиугольника АВСВЕЕ; в) площадь прямоугольника АМХМ2Е, если АМХ = я* 0 < х < 7; г) площадь шестиугольника АМХМ2ВЕЕ, если М^М^ИАР и АМг = х, 7 < х < 10. 7.2. Используя условие задания 7.1, выразите площадь 5(:зс) части многоугольника АВСВЕЕ, расположенной слева от прямой М1М2, как функцию от длины отрезка АМХ = х. 7.3. Выполните рисунок 5 в тетради и совместите ось Ох с пря-4 мой АВ, а ось Оу — с прямой АЕ. Определите координаты точек А, Мх, В, С, В, В, М2, Р в полученной прямоуголь* ной системе координат. Задайте функцию, графиком которой является: а) прямая ВС; в) отрезок ВС; б) прямая ЕЕ; г) отрезок ЕЕ. 38 <111111 7 4. На рисунке 6 изображен сектор круга, радиус которого равен 1, а центральный угол равен ср, причем ср € (0; 2л). а) Выразите площадь 5 этого сектора как функцию угла ф : 5 = 5(ср). Постройте график функции 5 = 5(ср). б) Вычислите значение функции 5 = 5(ср) при ср = в) Найдите 5(2) - 5(1). г) Найдите 5(<р + 8) - 5(ср). 7.5. Площадь треугольника со стороной а и высотой к> опущенной на эту сторону, равна 20. Выразите длину стороны а, как функцию длины высоты к и найдите область определения и множество значений этой функции. 7.6. Перед вами известные физические формулы, связывающие несколько переменных величин. Выразите указанную величину как функцию от величины, записанной в скобках, а) 8 = VI, Дз); в) V = и0 + а*, а(и); б> ^= ж+Ж’ Лх(Л); г)Р = /2д*’т• 7.7. Выясните, при каких значениях переменных х и у линии, представленные на рисунках 7—10, задают функции вида у = Дх) или/и вида х = ср (у) (за единицу масштаба принят размер одной клетки). Рис. 9 Рис. 10 39 7.8. Из прямоугольного листа жести размером 30 х 50 см по уг„ лам вырезали квадраты со стороной х см и из полученной заготовки в форме «креста» согнули коробку прямоугольной формы высотой, равной х см (см. рис. 11). Выразите объем полученной коробки как функцию от х. X см] X см] РМС. 11 7.9. На рисунке представлен график функции, определенной на отрезке [а; 6]; 5(л;) — площадь «подграфика» на отрезке [а; х], а < х < Ь. Выразите величину 5(*) через х и постройте график функции у = 5(л;). По этому графику найдите область значений функции у = 5(л;): а) рис. 12 (а = 0, Ь = 2); б) рис. 13 (а = -4, Ь = 8). Решите данное уравнение относительно у и относительно х Исходя из полученных решений и допустимых значений переменных, выясните, можно ли говорить, что данное уравнение задает функцию вида у = /(х) или/и вида х = ф(у): 7.10. а) 2х + Зу = 24; ^- = 2; х + 2 •7.11. а) 2х - Зу2 = -12; в) 7х - 5у = 35; 2х + у_ _2 х - 4у г) б> 7=3 X ± 1 _ х + 4 - 3 У + 1 У + 4* 7.12. Постройте график функции: а) у = 2х - 3; в) 0,5х + 1; б) у = 6 - Зх; г) | . 40 Постройте график функции: 7.13- а) у = 2х2; б)|/= - 3. V в) 7.14. а) у = х2-4; в) У : б) г/ = (х- I)2; Г) У = 7.15- а) У = х2 - 6х + 8; в) У ■■ б) У = -х2+ 2х + 3; Г) У : 7.16. а) У = л/х; в) У : б) У = л/х + 2; Г) У : 07.17. а) У 2 . ~ х-Г в) */: б) У = -^ + ¾ Г) */ : об а) У = 1*1; в) У : б) У = \х + 2|; Г) */ : 7.19. а) У = 3 - х; б) У 07.20. а) Воспользовавшись тем, что л 5 _ 1 (х + 1)-6 = 11 г 1 2х + 2 2 х + 1 2 * , 2 г> У = х* г) у = л/х + 2 - 4. Злг — 1 _^_ + 1 ~ , 1 ^ О’ д» _ ^ постройте график функции I/ = 2х+2' Напишите уравнения асимптот полученной гиперболы. _ ах + Ъ а Ъ п ^ б) Функцию у = + где с ^ О, — * ^ называют дробно- линейной функцией. Докажите, что графиком дробнолинейной функции является гипербола с асимптотами „ д а х = —, и = —• с * С °7.21. Постройте график функции и найдите область ее значений: а) у = 2х2 - 1, х в (-2; 1]; б) У = X е [0; +оо); В) у = л/лГнПз - 1, л: € (-2; 1]; г) у = 2х2 + 2х - 1, х е [-1; 2]. 41 07.22. Постройте график функции у = /(х) и найдите область ее определения и область ее значений: [2 ~ *’ "3 < < 1? б) дх) = \х , -3 < * < 1, [х2, 1 < х < 2; [2 - х, 1 < х< 2, а) /(х) = Найдите область определения функции: »7 ОО о \ т, ^ в) г/ = х - 2 . 7.^0. а) 1/ - 2 _ *2 - ж - 12’ г) у = л: + 2 б) у “ ** + г х2 + х + 12' ч л/х-12. в) у = л/х + 12. 07.24. а) у - _ 1 » **-1 ’ 1 - V-*2 - 7* + 8. Г )у = X - V-*2 - 7* + 8 б) У ~ 1 + ^Т9 ’ 1 + \1 х + 3 7.25. Пусть Я*) = “Зх + 2. Найдите: а) я-*); б) Я* + 5); в) ЯЯ1)); г) ЯЯ*)). 7.26. Пусть Я*) = *2- Найдите: а) Я2*); б) Г(х - 5); в) ЯЯЗ)); г) ЯЯ*)). Зл: + 2 07.27. Пусть Я*) = 2~‘ Найдите: а) г(х) б) Л2х - ^ в> лл5»; г> лл*)). 07.28. а) Пусть ?(х) = х2 + 2. Докажите, что Ях) = Я-*)- б) Пусть Я*) = -х3 + 2х. Докажите, что Я*) = -Я-*)* в) Пусть /(х) = Докажите, что (Я*))-1 = г) Пусть Я*) = х2 + 2. Докажите, что ЯМ) = Кх), а |/(л:)| = ?(х). •7.29. Найдите область определения функции, учитывая все воз- V*2- 7х + 12. х - а ’ можные значения параметра а: у1х - а. . л/лс2 а) у = **-Г В)1/- б)у = \]1 - а ■ |дс|; О • . Г) У - - у/-х2 - 7* + 8 1 + у/х - а 42 \ + 2х О7.30. Пусть /(х) =2 - VI - х; #(х) = 3 + х • Найдите область оп-ределения функции: а) У = /(*) + 2(х); в) у = б) I/ = /(*) - #(х); г )у = ё(х) ПхУ 07.31. Пусть /(х) = х2 - Зх - 4; й'(х) = 5х - х2. Найдите область определения функции: ___ а) у = л/Я*) • у/8(х); в) у = ^е(х) ’ б)у= у1?(х) ■ §(х); г) у = #(*) Я*)‘ 07.32. Пусть !)(/) = [-4; 1] — область определения функции у = /(х). Найдите область определения функции: а) у = 15х - /(х); 7. + 4/(х). б) У = 2-х ’ вчц= 7 + 4/(х). * ^ 4 + х ’ х - 3/(х) т)у=~ПГ’ 07.33. Пусть П(/) = [-5; 10]. Найдите область определения функции: а) у = /(-*); в) у = /(|-х|); б) р = |/(-х)|; г) у = /(—|х[). 07.34. Пусть П(/) = [-2; 9]. Найдите область определения функции: а) у = Щх - 1); в) у = 4 • /(*) - 1; б) у = -4/(х + И); г) у = -4 • /(*) + И. 07.35. а) При каких значениях параметра а функция у- 3 ->/* - а определена во всех точках отрезка [-11; 7]? б) При каких значениях параметра а функция у = 3 - у/х - 3 определена во всех точках отрезка [а - 1; а + 1]? •7.36. Найдите все значения параметра а, при которых областью определения функции у = у/х - 3 + 4ах + 4 будет: а) луч; б) отрезок; в) единственное число (единственная точка); г) пустое множество. 43 07.37. а) Докажите, что, если число Ъ принадлежит области определения функции у = у]х4 - 7х + 3 - \1х4 + 7х + 3, то и число (-Ъ) принадлежит этой области. б) Докажите, что, если число Ь не принадлежит области определения функции у = \1х5 - х + 3 + Зл/-х5 + х + 3, то и число (-Ъ) не принадлежит этой области. •7.38. Найдите все такие числа Ъ, принадлежащие области опре- 1 - л/2#2 - 7х - 22 деления !)(/) функции у = --- + ^------> для которых: а) число Ъ + 1 не принадлежит !)(/); б) число Ъ - 1 не принадлежит !)(/); в) оба числа Ъ + 1 и Ъ - 1 принадлежат !)(/); г) отрезок [Ь + 1; Ь + 2] принадлежит !)(/). 07.39. а) Докажите, что все значения функции у = 5х + 3 положительны в окрестности точки 0 радиуса 0,2. б) Докажите, что в 0,5-окрестности точки -1 найдутся как положительные, так и отрицательные значения функции у = Ъх + 3. 07.40. Пусть область значений функции у = /(х) есть отрезок [-3; 5]. Найдите множество значений функции: а) у = (Д*))2; в) у = (Ах))3; б) у = |Дх)|; г) у = ^4 + Дх). 07.41. Пусть область значений функции у = Ах) есть отрезок [-3; 5]. Найдите множество значений функции: а) у = Ах + 5); в) у = 5 - Дх); б) у = 5 - Ах + 5); г) у = а - Ах + Ь). 07.42. Пусть область значений функции у = Дх - 5) есть отрезок [-3; 5]. Найдите множество значений функции: а) у = Дх); в) у = 5 - Дх); б) у = 5 - Дх + 5); г) у = а - Дх + Ь). 44 #7 43. Пусть область значений функции у = Дх) есть отрезок [-3; 5]. Найдите все целочисленные значения функции: •7.45. Выполните в указанном порядке задания а) и б), и, обобщив их результаты, предложите алгоритм нахождения множества Е({) значений функции у = Дх), исследуя вопрос существования корней уравнения Дх) = а, а также предложите алгоритм исследования существования корней уравнения Дх) = а, если известно £(/). а) Найдите область значений функции у = х2 - 4х - 1 и определите, при каких значениях параметра Ъ уравнение Ь = х2 - 4х - 1 имеет хотя бы один корень. б) Определите, при каких значениях параметра а уравнение х2+ 4х - 3 - а имеет хотя бы один корень и найдите область значений функции у = х2 + 4х - 3. •7.46. а) Определите, при каких значениях параметра а уравнение х2 - ах + 3 = 0 имеет корни, и найдите область Е(/) х^ •+■ 3 значений функции у = —-—; б) определите, при каких значениях параметра а уравнение ах2 - 4х + а = 0 имеет корни, и найдите область Е(/) 4х значений функции у = х2 + ^ •7.47. Найдите область значений функции у = Дх): в> у ~ 7 - /(*)’ 15___. г) У = 6 - /(*)• /(*) #7.44. Найдите область значений функции: а) у = И • (х - 6) - 2; б) у = х ■ \х - 6| - 2. х2 -4 в) № = 45 § 8. Свойства функций 8.1. Найдите область определения функции, заданной графически: РИС. 14 РИС. 15 Рис. 16 Рис. 17 Найдите область определения функции: 8.2. а) у = б )у = х + 1 . *2-1б’ х(х + 5) + 6’ хг-1 *)У=~2 г) у = - 10* х2 - I (х - 10)л: - 24 8.3. а) у = б) у = 08.4. а) у = 1 х • в) У = у 1 -4х . V* - 1’ 1-10 - *’ 1 х -12 . г) У = у 1 х + 11 V*2 -1б* + 48’ /л* + 14* + 33' X > 1, < X в) У = - -, * < 1, X х3, х<1; х3, х>1; 46 б) у =• Г) У = < 6х х + 7’ 18 .2 - х’ х > -1, х < -1; 6х х + 7’ х < -1, 18 2-х’ х>-1. Придумайте выражение, задающее функцию, определенную только при всех тех значениях х, для которых выполнено условие: 08.5. а) х Ф 100; б) 100 < х < 101; в) х < 100; г) х = 100. 08.6. а) х Ф 1 и х * 10; б) 0 < |х| < 1; в) х < 1 и х > 2; г) 0 < |х - 2| < 5. Найдите область значений функции, заданной графически: 8.7. а) рис. 14; б) рис. 15; 8.8. а) рис. 18; б) рис. 19; Рис. 18 в) рис. 16; г) рис. 17. в) рис. 20; г) рис. 21. Рис. 19 Рис. 20 Рис. 21 47 Найдите область значений функции: 8.9. а) у = 1 - 2х; б) у = 1 - 2х2; в) у = Зх2 - 12х + 1; г) у = -Зх2 - 12х + 1, х 6 [-6, 1). 08.10. б) у = 08.11. 08.12. 1 —• 1 х’ в) У = ! - 12; х-1. ч .. 4х х + 1’ г) У ~ 12х + 5' л/х + 5; в) у = 2 - л/# + 3; 1 - 2>/з - х; г) 1/ = -1 + 2л/-5 - 10л;. 2 + П; \х\ х2 + 2х - -рт; М Г),= х2-2х+-;г •8.13. Найдите область значений функции у = /(х), если: б) т = И _ 1*-Ц + \х-2\ _ \х - 3|_ х х - 1 х - 2 х - 3 ’ Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет решение: в) х2 - 36 = -а; 08.14 ~2 1 2-х ~а; „2 а) х‘ + 3 = а; б) 1 08.15. •8.16. 8.17. а) х + 5х + 3 = а; а) х + |х + 2| - 2 = о; г> 2Т^ = 1 - а* б) 2х2 + 5х - 3 = 7 - а. б) 5х + \х - 7\ - 2 = За. Используя условия заданий 8.7 и 8.8, определите промежутки монотонности функций, заданных графически. 08.18. Найдите промежутки монотонности функции: а) у = 2х2 - Зх + 4; в) у = Ьх2 + 6х - 11; б) у = >/1 - х; г) у = у!3 + Ьх. 48 08.19. Докажите: а) если функция у = Дх) возрастает на промежутке X и а > 0, то при любом значении Ъ функция у = а • Да;) + Ь возрастает на X; б) если функция у = Дх) убывает на промежутке X и а < О, то при любом значении Ь функция у = а • Дх) + Ъ возрастает на X; в) если функция у = / (х) убывает на промежутке X и а > О, то при любом значении Ъ функция у = а • Дх) + Ъ убывает на X; г) если функция у = / (х) возрастает на промежутке X и а < 0, то при любом значении Ь функция у = а • Дх) + Ь убывает на X. 08.20. Докажите: а) если каждая из двух функций возрастает на промежутке X, то их сумма также возрастает на этом промежутке; б) если каждая из двух функций убывает на промежутке X, то их сумма также убывает на этом промежутке. 08.21. Определите промежутки монотонности функции: а) у = 4 - 3у/х - 5; в) у = -3 + 5у/2 - х; б) у = у/х + 1 + \12х - 3; г) г/ = >/1 — л: + >/3 - 4х. 08.22. а) Пусть функция у = Дх) возрастает и принимает только положительные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (Дх))2 возрастает на промежутке X. б) Пусть функция у = Дх) убывает и принимает только положительные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (Дх))2 убывает на промежутке X. в) Пусть функция у = Дх) возрастает и принимает только отрицательные значения на промежутке X. Докажите, что функция I/ = (Дх))2 убывает на промежутке X. г) Пусть функция у = Дх) убывает и принимает только отрицательные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (Дх))2 возрастает на промежутке X. 08.23. 08.24. Найдите промежутки монотонности функции: а) у - (лг2 + I)2; в) у = (х2 - Вх + 10)2; б) у = х4 + 6х2 + 15; г) у = (х2 + 2)2 - 2х2 - 3. а) у = (х2 - I)2; в) у = (х2 - Зх - 10)2; б) у = (х2 - 9)2 + 6; г) у = (х2 - х - 20)2 - 18. 49 8.25. На рисунке изображен график функции у = /(х). Найдите промежутки монотонности функции у = (Я*))2: а) рис. 22; б) рис. 23; в) рис. 24; г) рис. 25. Рис. 24 Рис. 25 08.26. а) Пусть функция у = /(х) возрастает на X и принимает на X только положительные значения. Докажите, что функция у = у^ убывает на X. б) Пусть функции у = Я*) возрастает на X и принимает на X только отрицательные значения. Докажите, что функ- 1 V ция у = у^ возрастает на X. в) Пусть функция у = Я*) убывает на X и принимает на X только положительные значения. Докажите, что функция У = 1 № возрастает на X. г) Пусть функция у = Я*) убывает на X и принимает на X только отрицательные значения. Докажите, что функция у - убывает на X. 50 08.27. Найдите промежутки монотонности функции: а) у = 1 . 4 1 9 х + 1 в) У = 1 . -1’ б) У = 1 *2 + 6х + 10’ г) У = 1 х2 - Ах- 12' 08.28. На рисунке изображен график функции у = /(х). Найдите промежутки монотонности функции I/ = Рис. 26 Рис. 27 Рис. 28 Рис. 29 °8-29. Пусть функция у = /(л;) возрастает на К. Решите: а) уравнение /(Зле + 2) = /(4л;2 + л;); б) неравенство /(Зл; + 2) < /(4л;2 + л;); в) уравнение /(Зл; - 48) = /(-л;2 + л;); г) неравенство /(Зл; - 48) < /(-л;2 + л;). 51 08.30. Пусть функция у = /(х) убывает на К. Решите: а) уравнение = б) неравенство ^ + 8.-»} •8.31. Пусть функция у = /(л;) определена на интервале (-1; 1) и возрастает на нем. Решите: а) уравнение /(3* + 2) = /(4л;2 + л;); б) неравенство /(Зл; + 2) < /(4л;2 + л;). •8.32. Пусть функция у = /(л;) определена на отрезке [-1; 1] и убывает на нем. Решите: а) уравнение /(Зл; + 2) = /(4л;2 + л;); б) неравенство /(Зл; + 2) < /(4л;2 + л;). 08.33. Докажите: а) если функция у = /(л;) возрастает или убывает на промежутке X, то уравнение /(л;) - а не может иметь более одного корня на X; б) если функция у = /(л;) возрастает на промежутке X, а функция у = #(л;) убывает на промежутке X, то уравнение /(*) = §(х) не может иметь более одного корня на X. Решите уравнение: 08.34. а) л;3 = 2 - х; б) л;3 = 10 - х; •8.35. а) у[х + у/х - 5 = 23 - 2л;; б) —= 8^; ’ х + 1 в) у[х + \!х - 3 = 43 - 6л; - л;2; г) (х2 + 4л; + 9)л/4л; + 1 = 9. 8.36. Для функций, графики которых изображены на рисунках к упражнениям 8.7, 8.8, найдите экстремумы, а также наибольшие и наименьшие значения. 8.37. а) Докажите, что функции, графики которых изображены на рисунках к упражнениям 8.7, 8.8, ограничены в области, их определения. б) Докажите: если функция имеет наибольшее и наименьшее значение на множестве М, то она ограничена на этом множестве. в) л/лГ+Т = 5 - х; г) Зл; = у/10 - х. 52 08.38. Убедитесь, что функция, график которой изображен на заданном рисунке, не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; задайте эту функцию аналитически: а) рис. 30; б) рис. 31. Рис. 30 Рис. 31 8.39. а) Приведите пример функции, определенной во всех точках отрезка [а, Ь], ограниченной на этом отрезке, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на отрезке [а, Ь]. б) Приведите пример функции, определенной и ограниченной на К, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на К. 08.40. Докажите: если функция у = /(*) имеет наибольшее и наименьшее значения на отрезке [а, Ь], а отрезок [аи Ьх] является частью отрезка [а, Ь], то: а) 1/наиб на [а, Ь] не меньше унаиб на [аь Ъг]; а) у найм на [а, 6] не больше 1/наим на \аи Ьг]. 08.41. Докажите: если функция у = / (*) имеет наибольшее и наименьшее значения на отрезке [а, Ь], причем унаиб = г/наим, то функция является постоянной на отрезке [а, Ь]. 08.42. Докажите, что если £/ = * + то: а) при * < О г/наиб = -2; б) при х > 0 унаим = 2. °8.43. Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции у = З*2 - 24* - 100: а) на отрезке [-1; 5]; в) на луче [0; +оо); б) на луче (-оо; 0]; г) на К. 53 08.44. Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции у = -2х2 - 12* + 3: а) на отрезке [-1; 3]; в) на луче [-4; +оо); б) на луче (-оо; -4]; г) на К. 08.45. Найдите наибольшее значение функции: а) у = 2 х2 + 1' в) У = 2 х2 -4х + 10’ б )у = 2 х4 + 8х2 + 1’ г) У = 2 х4 - 8х2 + 17' •8.46. Используя результаты упражнения 8.42, найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 2х . 10* . а) у = *2 + 1’ в) у = *2 + 4’ б)у = 4л: - 4 х2 - 2х + 17’ г) У = 49(х - 2) х2 - 4х + 53’ •8.47. Найдите наименьшее значение функции: а) у = |*| + |* - 2|; б) у = \х - 1\ + \х -3\ + \х- 5|; в) I/ = \х\ + \х - 2\ + \х - 4|; г) у = |я| + |х - 1| + ... + \х - п\у п € N. 08.48. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции для каждого значения параметра а: а) у = х2 + 4* + 5а на отрезке [-1; 1]; б) у = -х2 + 4л: - а на отрезке [-1; 3]. •8.49. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции для каждого значения параметра а: а) у = х2 - 4х на отрезке [-1; а]; б) у = -х2 + 2л: - 3 на отрезке [а; 3]. •8.50. а) Функция у = 15л2 + 60 х4 - 16 определена только для допу- стимых целых значений х; найдите ее наибольшее значение. б) Функция у = 14х2 + 126 определена только для допу- 81 - л4 стимых целых значений х; найдите ее наименьшее значение. 54 51. Докажите теорему: если функции у = /(я), I/ = ё(х) определены на множестве X и наибольшее значение одной из этих функций на X, равное А, совпадает с наименьшим значением другой функции на том же множестве, то уравнение /(х) = §(х) равносильно на X системе уравнений •8.52. Опираясь на теорему из упражнения 8.51, решите уравнение: а) V*100 + 49 = 7 - х*; б) л/х2 - 2х + 5 = 1 + 2* - л:2; в) \1х22 + 64 = 8 - х12 - х14; г) 7-х2 - 4л: - 1 = х2 + 4х + 7. /(х) = А, #(х) = А. § 9. Периодические функции 9.1. Функция у = /(*) — периодическая, с периодом Т - 2. Известно, что /(0). Вычислите: а) /(2); б) Д-22); в) /(12к + 8), где к — некоторое целое число; г) /(4 - 8к), где к — некоторое целое число. 9.2. Функция у = /(х) — периодическая, с периодом Т = л/б. Известно, что /(1) = 1, /(-1) = 7. Вычислите: а) /(1 + 875); б) /(-1 - 22л/б). 9.3. Может ли областью определения периодической функции быть: а) отрезок; в) луч; б) интервал; г) множество целых чисел? 9.4. На рисунке изображена часть графика периодической функции с периодом Т на промежутке I. Постройте график этой функции на промежутке а) (рис. 32) Т = 2, / = [-1; 2]; Л= [-4; 8]; б) (рис. 33) Т = 3, / = [1; 4); Л= [-3; 10,5); в) (рис. 34) Т = 4, / = (-3; 1]; Л= (-5; И]; г) (рис. 35) Т = 1,5; I = (0; 1,5); 1г= (-3; 6). 55 рис. 32 Рис. 33 Уп т \ / \ О X < — Рис. 34 Рис. 35 09.5. Пусть у = Дх) — периодическая функция с периодом 3, определенная для всех действительных значений х, причем ДЗ) = 7, Д4) = 11, Д17) = 13 и ДОД) = 0. Вычислите; а) Д141); Д-134); Д332) Д-8,9); б) Д17,3) - Д20,3); /(32,(3)) - Д332,(3)); /(0,(1)) - /(-2,(8)); в) /(10); Д100); Д111111); г) /(13,1) /(14,1) /(15,1) /(16,1); /(8888...88) - /(22222...22). п цифр п цифр 09.6. Пусть у = Дх) — периодическая функция с периодом 4, определенная для всех действительных значений х, причем ДЗ) = 5; Д4) = 11; Д5) = 9 и Д6) = 0. Сравните: а) Д1) и /(31); в) /(-17) и Д831); б) /(11) и ДНО); г) /(6 + 3/3) и ГШ - б). 56 09.7. Является ли функция у = Дх) периодической: а) № = 2; В) № = - 3; б) /(*) = ^ _ ^2 “ Г) /(*) = ^ + ^2 + о9.8. Докажите: а) если 3 — период функции у = Дх), то 6 — также период данной функции; б) если 9 — период функции у = Дх), то 9 — период функции у = 5Дл; + 2) - 1; в) если 2 — период функции у = Дя), то 8 — также период данной функции; г) если 5 — период функции у = Дх), то 5 — период функции у - -ЗД2 - х) + 25. о9.9. Докажите: а) если 3 — период функции у = Дх), то 6 — период функции у = 5Д0,5л; + 2) - 1; б) если 9 — период функции у = Дх), то 3 — период функции у = 3 - 1,4ДЗх - 7); в) если 2 — период функции у = Дх), то 3 — период функ- г) если 5 — период функции у = Дя), то 1 — период функции у = 81 - ЗД0,7 - 5*). ции у =100/Г^-^ 09.10. Докажите, что если период функции у = Длс) равен Т, то а) период функции у = к • Дл; + а) + Ъ (к Ф 0) равен Т; б) период функции у = к{(рх + а) + Ь (рк Ф 0) равен Т_ 1рГ 09.11. Пусть период функции у = /(х) равен Ти а период функции у = ё(х) равен Т2. Докажите, что период функции у = Н(х) равен Т3: а) 7\ = 2, Т2 = 7, Цх) = 5/(х) - ЗЦх), Т3 = 14; б) Т1 = 15, Т2 = 10, Цх) = Щх) + 5&(х), Т3 = 30; в) Тг = 3, Т2 = 13, Цх) = 0,2/(* - 3) - д(х + 11), Т3 = 26; Г) Гх = Тг = = “ 3 Д*)» т, = 10 °9.12. Пусть для любого л: из области определения функции I/ = Дл:) выполняется равенство Дл; - 0,1) = Дл: + 0,1) = = Д*). Докажите, что тогда для любого х из области определения функции выполняется равенство Дх - 2) = = Пх + 2) = Дх). 57 09.13. Пусть для любого х из области определения функции у = !(х) выполняются равенства Дл; - 3) = Д* + 3) = Да;) и Я* - 5) = Да; + 5) = Длс). Докажите, что для любого х из области определения функции выполняется равенство Я* - 2) = я* + 2) = Я*). 9.14. Пусть [х] — целая часть действительного числа я, а {*} — дробная часть этого числа (напомним, что, согласно определению, [х] € 29 х < [х] < х + 1, {*} = х - [х]). а) Найдите целую и дробную часть числа: 6; -3; 5,3; -5,3; 35. 35. 535. 535 53’ 53’ 353’ 353’ б) Найдите целую и дробную часть числа: л/ГТ; л/ГТ - 2; 3 - VII; я; 0,(4); -2,(3); -7,(1). 09.15. а) Докажите, что для любого значения х выполняются равенства [я + 1] = [я] + 1, [х - 1] = [я]. б) Докажите, что для любого значения х выполняются равенства {х + 1} = {я} = {х - 1}. в) Докажите, что функция у = [х] не является периодической. г) Докажите, что функция у = {х} является периодической с периодом 1. 09.16. Докажите, что 1 — наименьший период функции у = (х). Постройте график функции и определите, является ли функция периодической: •9.17. а) у = [х]; б)у = [х- 2,5]; •9.18. а) у = |[х]|; б) у = х + [х]; •9.19. а) у = {х}; б) у = {х - 2,5}; •9.20. а) у = |{х}|; б) у = х + {х}; в) у = [2х]; г) У = [|*|]. в) у = {*} + [*]; г) у = [{*}]. в) у = {2х}; г) у = {|*|}. в) у = х - {х}; г) у = {[*]}. Найдите основной период функции: 09.21. а) у = {х + 2}; у = {х - 3,7}; у = 2{х + 1,1} - 14; у = 13 - 5{х - 0,(3)}; 58 б) у = {2х}; у = 3{2х - 2,5}; у = {2х - 2,5}; у = 4 - 0,5{2лс - 2,5}; в) у = {0,5*}; у = 3{0,5х}; у = 7{0,5х} + 6; у = 9 - 1,1{0,5л;}; ■ Н1}»- [Ч*■“4*■ Н1*■4 «9.22. а) у = {х - 3,7} + 3{2* - 2,5}; у = + °*3} + 5{х - 11}; б) у = {2л:} + {Зл: - 2,5}; у = 4 - {12л: - 2,5} + {18л:}; в) у = {0,3л:} + 5{0,25л:}; у = 7{0,15л:} + 1,1{0,2бх}; ч [3*1 \Ьх + 21. [д 10л:1 , о [15л: + 21 г>»Мт!' 1—8—1* ** г~тп 81—й—1- •9.23. Постройте график функции: а) у = ({*})2; В) у = б )у = {X}’ г) у = (*}-1 1-ад- Выясните, может ли функция быть периодической, если она обладает указанным свойством; если может, то приведите пример, если не может, — объясните почему: 09.24. а) Областью определения функции является отрезок или луч; б) областью определения функции является объединение бесконечного множества отрезков, но не прямая; в) функция определена на всей числовой прямой, кроме одной точки; г) функция определена на всей числовой прямой, кроме бесконечного числа точек. 09.25. а) Функция имеет шесть нулей; б) функция не имеет нулей; в) функция положительна при х > 3 и отрицательна при х < 3; г) при х > 3 функция принимает положительные значения. 09.26. а) Функция убывает на всей области своего определения; б) функция имеет бесконечно много промежутков убывания; в) функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего; г) функция убывает на интервале (3; 11). 59 Постройте график данной периодической функции у = Дл:) и укажите область ее определения, область значений, промежутки монотонности, точки экстремума, наибольшее и наименьшее значения, нули функции, промежутки знако-постоянства; исследуйте функцию на четность-нечетность: 09.27. а) Период функции равен 2 и Дл;) = Зх на промежутке (-1; 1]; б) период функции равен 4 и Дя) = 4 - х2 на отрезке [-2; 2]; в) период функции равен 3 и Дл;) = 2 - л; на промежутке [0; 3); г) период функции равен 1 и Дл;) = 2л:2 - 1 на промежутке (0; 1). 09.28. а) Период функции равен 2 и Дл;) = |дг| на отрезке [-1; 1]; б) период функции равен 4 и Дл;) = 3 \1х + 2 на промежутке [-2; 2); в) период функции равен 3 и Дл;) = 3 - 12 - х\ на промежутке [0; 3); г) период функции равен 1 и Дл;) = 3 - л/4 - Зл; на промежутке (0; 1). 09.29. а) Период функции равен 2 и Дл;) = —Цг на промежутке х ■+■ А (-1; 1]; б) период функции равен 4 и Дл;) = — на промежутке (-2; 2]; х в) период функции равен 3 и Дл;) = —— на промежутке X т ^ [0; 3); I* I г) период функции равен 5 и Дл;) = \х\ -1 на пР<>межУтке [-2; 3). 09.30. Наибольшее значение периодической функции с периодом 3 на отрезке [-1; 2] равно 5, а наименьшее значение равно -2. Найдите, если это возможно: а) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (-2; 11]; б) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (-5; 8]; в) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (-2; 1]; г) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (-оо;1). 60 09.31. Пусть у = /(л:) — периодическая функция с периодом 4 и /(л:) = 5х + 2 на интервале (0; 4). Решите: а) уравнение /(я) = 7; б) неравенство /(я) > 7. •9.32. Пусть г/ = /(х) — периодическая функция с периодом 5 и /(л:) = л:2 + 2л: на полуинтервале (-3; 2]. Решите: а) уравнение /(л:) = 0; в) уравнение /(л;) = 8; б) неравенство /(л;) >3; г) неравенство /(л;) < 0. •9.33. Пусть у = /(л;) — периодическая функция с периодом 4 и /(л;) = л:2 + 8л: + 5 на отрезке [-6; -2]. Решите: а) уравнение /(л:) = -11; в) уравнение /(л:) = -10; б) неравенство /(л:) <11; г) неравенство /(л:) > -10. •9.34. а) Существует ли такая функция у = /(л:), что для любого х из области ее определения выполняется равенство /(л:) = Кх + 2), а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции, б) Существует ли такая функция у = /(л:), что для любого х из области ее определения выполняется равенство /(л:) = /(л: - 3), а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции. •9.35. а) Существует ли такая функция у = /(л:), что для любого х из области ее определения выполняется равенство /(2л:) = /(л:), а функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции, б) Существует ли такая функция у = /(л:), что для любого х из области ее определения выполняется неравенство №х) ^ /(л:), а функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции. § 10. Обратная функция л:2 10.1. Дано равенство у = ^ + ^ Выразите из этого равенства х через у, если: а) х > 0; б) х < 0; в) х > 2; г) х < -0,21. 10.2. Дано равенство р = ^ связывающее три величины: р, 8, I. а) Выразите из этого равенства 8 через р и б) выразите из этого равенства I через 8 и р. 61 10.3. Для функции, заданной графически, укажите область определения и выясните, имеет эта функция в своей области определения обратную функцию или нет; в случае положительного ответа постройте эскиз графика обратной функции: а) рис. 36; б) рис. 37; в) рис. 38; г) рис. 39. Рис. 36 Рис. 38 Рис. 39 10.4. Для функции, заданной табличным способом, укажите ее область определения и выясните, имеет эта функция в своей области определения обратную функцию или нет; й случае положительного ответа постройте график обратной функции: X 1 2 5 7 У 3 4 7 3 X 1 3 1Н| 00 5 7 У 1 5 2 3 0,(6) 1.(4) X 1 2 3 7 У 5 8 9 1 X -1 1 2 5 У 4 1,(7) 3 1 62 Ю-5. Найдите область определения и множество значений функции у = ^(х), обратной для функции у = /(х), если: а) ЩГ) = Я, Е(Г) = (3; -к» ); б) ЩГ) = (2; 3) - [5; 6), Е(Г) = (3; 4) - (7; +сх>); в) ЩГ) = [-5; 6), Е(Г) = (-оо; 11]; г) ЩГ) = Е(Г) = {-3; 4; 7} - (10; -к»), 10.6. Найдите множество значений каждой из взаимно-обратных функций у = Г(х) и у = ё(х), если указаны их области определения: а) ЩГ) = К, Щё) = [-2; +<х>); б) ЩГ) = [-3; 4], Щё) = [4; И]; в) ЩГ) = (0; -их,), Щё) = 7 ); г) Б(П = {-1; 2; 4}, Щё) = {-2; 78; 123}. О10.7. Являются ли функции у = Г(х) и у = ё(х) взаимно-обратными, если: а) Г(х) = 3* + 5, ё(х) = б) Г(х) = | - 6*, ё(х) = 0,1 - ±х; в) Г(х) = |х - 3, ё(х) = 7х + 3; г) Г(х) = |* +1, ё(х) = |* + |? Найдите функцию, обратную данной. Постройте на одном чертеже графики этих взаимно-обратных функций: 10.8. а) у = Зх; 1 я II 1? б) у = 5х + 2; Г) у = з* - 4 О10.9. а) у - ; ’ у х - 1 V 2 . в) у — > 2.-5’ . 2х - 1 г)!,= » + 3 °Ю.Ю. Является ли данная функция обратной по отношению к самой себе: а) у = х; в) у = -х; б) у = Зх; г) у = -х + 1? 63 010.11. Совпадает ли данная функция со своей обратной: в) у = «)!/= х_2- г) у = 5 - -? X 010.12. Задайте функцию, обратную данной; постройте ее график: Г 2х, если х < О, [Зл;, если х > 0; Г—5л: - 3, если х < -1, [-1 - Зх, если х > -1; (-х, если х < О, [Зл;, если х > 0; 2л: + 1, если х < 2, —х + 4, если л; > 2. 12 010.13. Задайте функцию, обратную данной; постройте графики заданной и обратной функций: а) у = %!х + 3; в) у = у/2х - 1; б) у = ->]2 - х; г) у = -л/3 - 5л:. 010.14. Может ли функция иметь обратную, если она: а) линейная; в) дробно-линейная; б) квадратичная; г) вида у = у/х + а? 010.15. Обязательно ли функция имеет обратную, если она: а) линейная; в) вида у = \1х + а; б) дробно-линейная; г) вида у = х3 + а? 010.16. Может ли функция иметь обратную, если она: а) четная; в) периодическая; б) нечетная; г) непериодическая? 010.17. Может ли функция иметь обратную, если она: а) возрастающая; в) имеет три нуля; б) убывающая; г) не имеет нулей? а) у = б )У = в) У = г) У = 64 Х0.18. Рассмотрите график функции, представленный на рисунке, и укажите несколько числовых промежутков, на которых данная функция имеет обратную, и несколько, — на которых она не имеет обратной: а) рис. 40; б) рис. 41; в) рис. 42; г) рис. 43. Рассмотрите данную функцию на каждом из указанных промежутков; если она на этом промежутке имеет обратную функцию, то задайте обратную функцию аналитически, укажите ее область определения и область значений, постройте ее график: 010.19. у = х2: а) на К; в) на (-1; 5]; б) на [1; +оо); г) на (-оо; 0]. 010.20. у = х2- 2: а) на К; в) на (-1; 5]; б) на [1; 2); г) на [-2; 0]. 010.21. у = (х + З)2 - 2: а) на К; в) на (-оо; -3]; б) на [-3; +оо); г) на [-4; 4]. Рис. 43 У1 1 \ / г с— V / \ / О \ / \ X и 1 Рис. 42 65 010.22. (См. задание на с. 65.) у = х2 - 4х + 18: а) на К; в) на (-оо; 0]; б) на [2; +оо); г) на [- оо; 3). •10.23. На каждом из указанных промежутков найдите, если это возможно, функцию, обратную данной: \2х - 5, если х < 1, а) у = \ а л на (-оо; 1], на (1; +оо), на К; 1л: - 6, если х > 1 {5 - х9 если х < 2, 7 - 2», если * > 2 “ 21 “ (2; +“>' На * [Зл; + 5, если л; < О, в) у = { о л на (-оо; 0], на (0 +оо), на К; [х 9 если х > О ГЗ - х9 если х < О, т)у=\ на (-оо; 0], на (0; +оо), на К. [2 - 7*, если х > О •10.24. Постройте на одном чертеже какие-нибудь графики двух взаимно-обратных непрерывных на (-5; 10) функций у = /(х) и у = ё(х), для которых: а) ЛЗ) - 3, £(5) = 5; б) ЛЗ) = 7, /(7) = 8, £(9) = 9; в) Л-1) = -1, £(3) = 3; г) Л1) = 9, Я2) = 7, £(4) = 4. •10.25. у = Д*) и у = £(£) — взаимно-обратные функции. а) ЛЗ) = 5 и £(7) = 1. Решите уравнения Цх) = 7 и ё(х) = 3. б) Я4) = 4 и £(25) = 9. Решите уравнения Я*2) = 25 и д(х2) = 4. в) Я15) = -3 и £(-7) = 1. Решите уравнения Я*) = -7 и ёИ) = 15. г) Я7) = 5 и £(7) = 1. Решите уравнения ЯЗ*) = 7 и £(5 - х) = 5. Постройте график функции у = /(ё(х)), если: 010.26. а) {{х) = 4*, ё(*) = 0,25*; б) Я*) = х - 3, £(0:) = х + 3; в) Я*) = ~2х, ё(х) = -05*; г) Л*) = -5х + 5 , £(¾) = -0,2* - 1. 66 010.27. а) /(л) = 2(л) = ^ б>Я*>=тЪ’^=“Г; в>Л*>=^; **>= *;; ч ч л: - 1 . ч л; + 1 г> = 771' ё(х) = Г^- оЮ.28. а) /(л) = л2, #(л) = %/л; в) /(л) = л2, #(л) = -%/л; б) /(л) = -л2, #(л) = лГ7; г) /(л) = -л2, ё(х) = -лГ7. оЮ.29. а) /(л) = л2 + 1, §(х) = %/л - 1; б) /(л) = 3 - 0,5л2, #(л) = %/б - 2л; в) /(л) = л2 - 2, ё'(л) = л/л + 2; г) /(л) = 8 - 2л2, #(л) = -л/4 - 0,5л. •10.30. Пусть I/ = /(л:) и у = &(х) — взаимно-обратные функции. Постройте на двух различных чертежах графики функций у = КёМ) и у = #(/(*)), если: а) П(Я = Е(/) = Д; в) 2)(/) = [1; 3]; Я(/) = Д; б) П(Л = Е(Г) = (0; 3]; г) ЩГ) = [-2; 3]; Е(Г) = [-3; 2]. •10.31. Постройте на одном чертеже графики таких двух взаимно-обратных функций у - !(х) и у = ё(х), чтобы уравнение № = *: а) имело один корень; б) имело три корня; в) имело бесконечно много корней; г) не имело корней. •10.32. Постройте на одном чертеже графики таких двух взаимно-обратных функций у - !(х) и у - ё(х)9 чтобы уравнение /(*) = ё(х): а) имело один корень; б) имело три корня; в) имело бесконечно много корней; г) не имело корней. 67 •10.33. Пусть у = /(х) и у = §(х) — некоторые взаимно-обратные функции. Являются ли равносильными следующие уравнения: а) /(*) = х и ё(х) = х; б) /(^(х)) = х и #(Дх)) = х? Постройте график функции и определите, существует ли для нее обратная функция. Если да, то на том же чертеже постройте график обратной функции и задайте ее аналитически: •10.34. а) у = Зх + |х|; в) у = 2\х\ - 5х; б) у = х + 2\х\; •10.35. а) у = х|х|; б) у = х2+ 2\х\; г) у = 2х - 5|х|. в) у = 2 — х|х|; г) у = х\х - 2|. ГЛАВА °3 § 11. Числовая окружность Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр ВВ разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ — первая, ВС — вторая, СВ — третья, ИА — четвертая (рис. 44). 11.1. Вторая четверть разделена на две равные части точкой М, а третья — на три равные части точками К и Р. Найдите длину дуги: а) АМ; б)ВК; в) РМ; г) РК. 11.2. Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвертая — на три равные части точками К и Р. Найдите длину дуги: а) ВМ; б) ВК; в) РМ; г) РС. 11.3. Третья четверть разделена точкой М в отношении 2:3, первая — точкой Р в отношении 1 : 5. Найдите длину дуги: а) СМ; б) АР; в) РМ; г) МР. 11.4. Можно ли найти на единичной окружности точку Е с указанной ниже длиной дуги АЕ? Если да, то укажите четверть, в которой расположена точка Е: а) АЕ = 2; в) АЕ = 6,3; б) АЕ= 78^; г) АЕ = 11.5. а) К радиусам О А и ОС проведены серединные перпендикуляры, соответственно, МЫ и ? (рис. 44). Чему равен центральный угол АОМ? Найдите длину хорды МЫ. Найдите длину дуги Ы. Докажите, что точки А, М, Р, С, (?, Ы делят окружность на шесть равных частей. б) К радиусам ОВ и ОВ проведены серединные перпендикуляры ЬК и Т8, соответственно (рис. 45). Чему равен центральный угол КОВ? Найдите длину хорды КЬ. Найдите длину дуги ТЬ. Докажите, что точки К, Б, Б, Т, Б, 5 делят окружность на шесть равных частей. I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ г Тригонометрические -г функции Г| I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ 69 Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу: 11.6. а) к, 2’ б) -л; в) 4к; . Зк г> "Т* 11.7. а) К. 6’ ,ч к-б) -3, \ 7к • в) 4’ . Зтс г> "Т* 11.8. а) Юте. з ’ 3 1 11—1 ч 31я. в) “в"» . 19л г> “Г 11.9. а) л. 8’ б> "ё; ч 7п-В> 12’ . 11л г> 11.10. а) 1; б) -2; в) 3,5; г) -7. Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая заданному числу? 011.11. а) 6; б) -4,5; в) 3,3; г) -5. 011.12. а) 10; б)-17; в) 31; г)-95. 011.13. Укажите однозначное натуральное число, которому на числовой окружности (рис. 44) соответствует точка, наиболее близкая: а) к точке А; в) к точке С; б) к точке В; г) к точке В. 70 11.14. Как расположены на числовой прямой и на числовой окружности точки, соответствующие числам: а) * и б) 1 и 1 + 2пк, к € 2; в) ( и < + я; г) ( + я и ( - я? Найдите на числовой окружности все точки М(*)> соответствующие заданной формуле (во всех формулах предполагается, что п € 2): 11.15. а) ^ = 2пп; в) 1 - пп; ^ П б) 1 = ” + пп; ч Л г) 1 = ±- + 27Ш. 11.16. а) * = ±7 + 2пп; О в) * = ±— + пп; о \ . пп г)«=Т- 11.17. а) * = (-1)"| + пп; в) * = (-1)п+1| + пп-, б) * = | + у; ч ^ я . 2яп ' 6 3 Числовая окружность разделена точками на восемь рав ных частей (рис. 46). Составьте формулу для всех чисел которым соответствуют точки: 011.18. а) А и С; б) В и В; в) М и Р; г) N и (}. 011.19. а) М, ЛГ, Р, б) А, М, В, ЛГ, С, Р, В, ¢. Рис. 47 71 Числовая окружность разделена точками на 12 равных частей (рис. 47). Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки: 011.20. а) М и К; б) Р и Е; в) Р и Ь; г) М и Р. 011.21. а) А, Р, Ь; в) Р, М, ¢, К; б) Б, Р; г) А, И, Р, С, Б, Е. Найдите все числа I, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной открытой дуге или объединению дуг (рис. 46): 011.22. а) АВ; б) АВ и СИ; в) ВВ; г) ВС и ВА. 011.23. а) МИ; б) ИМ; в) ВР; г) РБ. 011.24. а) ОА и НС; в) МИ и РЯ; б) АН и Св; г)АМи ВНи СРи ВЯ- Найдите все числа I, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге (рис. 47): 011.25. а) МР; б) АЯ; в) ВЬ; г) ВЕ. 011.26. а) ЕН; б) ЯМ; в) КА; г) КР. Выделите на числовой окружности дугу, точки которой удовлетворяют заданному неравенству (во всех формулах предполагается, что п € 2): _ 11.27. а) — + 2лп < I < — + 2лп; 6 3 б) 2лл < I < ^ + 2лга; 11.28. а) + 2пп < * < \ + 2лп; б) + 2яп < I < — + 2лга; '6 6 + 2тш < I < — + 2пп; В) 4 3 тЛ + 2лп < I < — + 2пп. Г) 6 4 Найдите на числовой окружности все точки М(*), соответствующие заданным формулам; составьте общую формулу для всех чисел, которым соответствуют найденные точки: 011.29. а) I - 2пп, I - к + 2кп; ^ к б) I = 7ш, * = “ + 7ш; я Зя в) * = - + 2кп, I - — + 2кп; . кп г) I - кп, I - —• в^ — + 2ятг < I < — + 2кп; В) 2 2 г) и + 2ятг < I < — + 2ятг. г; 3 72 л я КП оЦ.ЗО. а) I = ±- + пп, I = —, б) I = (-1)"^ + пп, I = (-1)и+1^ + лга; ч 2я Л в) ^ = ±~ + 2лга, ^ = 2лп; г) I = (-1)"^ + ли, I = (-1)л+1^ + лп. Я Я 2ЯЛ •11.31. а) I = -- + я(2л + 1), * = — + —; б) I = (~1)л з + ял, * = (-1)л + 1^ + ял, * = ял; ч я я , я в) * = + ял, ^ = 4 “ 0 + ял; ч я я г) * = ±— + ял, * = 2 + ял, * = ял. 011.32. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки М(1 я. я ‘2’ 2 ку заданные формулой и принадлежащие отрез- а) I = (-1)"тт + я 15 ял. 3’ • я ял бм = ±8 + т; в) * = (-!)"+1 Л , пп. 8 4’ г) I = + 3я ял “73* 011.33. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки М(1)у заданные формулой и принадлежащие отрез-ку [-2; 4]: а> * = 6 + ЯЛ, в).= ±^ + ^; б) * = (-1)п5 г) I = (-1)п + 1 К ял 3 4* °11.34. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки М{1)у заданные формулой и принадлежащие отрезку [-я; 2я]: а) I = л; в) I - 2л + 1; б) I = - + 2л; г) I = 1 Зл 3 2* 73 § 12. Числовая окружность на координатной плоскости Всюду в этом параграфе предполагается, что центр число-вой окружности совпадает с началом координат плоскости хОу. Найдите декартовы координаты заданной точки: 12.1. а) М\ — |; 12.2. а) М(-Зтс); 12.3. а) м(-^; б> м{1); б)м[^]; в) М (I) б) М(117я); в) М 13л \ з; г) М\-у в) м\ г)м№\ 2; г) М(126я). 12.4. Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соот- ветствует заданная точка: ( к л \ а) м - ; в) м \ (л 1чЛ б) м ; г) м _7з. 1Л 2 ’ 2 I. Ж 2’ 2 12.5. Каким числам из заданного отрезка соответствует точка ( 72 ТЛ М ——» — числовой окружности: 2 2 а) [-4л; я]; б) Зя. 7л ’ 2 ’ 2. 012.6. На отрезке Зя. 17л] . 8 ’ 6 ] в) [0; 5л]; -> [1; 1]? укажите числа, которым на чис- ловой окружности соответствует заданная точка: '1. 7з\ , „Г7з. 1Л 2’Т’ В>М—’"2 а) М б) М .72. 72 2*2 в) М г) М 72. _7г 2 ’ 2 74 12.7. Имеется ли на числовой окружности точка, абсцисса или ордината которой равна: а) 0,7; б) в) г) 717 - 726? 3 4 Укажите знаки абсциссы и ординаты заданной точки числовой окружности: 012.8. а) 5(2); б) К(-4); в) Р(3,2); г) М(-4,8). 012.9. а) 5(12); б) £(-15)5 в) Р(Щ; г) М(100). #12.10. Что больше, абсцисса или ордината заданной точки числовой окружности: а) Е(1); б) К(-2,5); в) Р(7); г) М(-4)? #12.11. Что больше, модуль абсциссы или модуль ординаты заданной точки числовой окружности: а) Д2,8); б) Д-4,2); в) Д-0,5); г) М(4,5)? 12.12. Как связаны окружности: а) I и -1\ б) I и I + л; 12.13. Как связаны окружности: а) I и -1\ б) I и I + л; между собой абсциссы точек числовой в) I и к - I; г) I и 2л - П между собой ординаты точек числовой в) I и к - *; г) I и 2л - И На числовой окружности укажите все точки, координаты которых удовлетворяют данным условиям, и составьте формулы для всех чисел, которым соответствуют эти точки: 12.14. а) * = 0; б> *=Ь * II 1 Ч«1 г) х = 1. 12.15. а) * = и * = К II ' г) х = -1. 12.16. а) у = 0; 1Н|СЧ| II /•ч ю 1^|еч 1 II © г) у = 1. 12.17. а)■ у = ^; II © II Чм1 г )у = -1. 12.18. а) я = у < 0; в) * = у < 0; б) х = ^, у > 0; г) х = у > 0. 75 12.19. (См. задание к упражнениям 12.14—12.18.) а) У = х > 0; б) у = х < 0; в) У = х < 0; г) У = х> 0. 012.20. (См. задание к упражнениям 12.14—12.18.) а) у = х; в) х + у = 0; б) у = -*л/3; г) ^ = -Уз. Найдите на числовой окружности все точки с абсциссой или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству или системе неравенств, и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам X они соответствуют: 012.21. а) 012.22. а) 012.23. а) 012.24. а) 012.25. а) б) > 0; б) х < в) X > 1. 2’ г) X < V 1 Н&1 б) * < ^ в) X < 72. 2 ’ г) X > >0; 1—("| СЧ1 V /•ч ю в) у > 1. 2’ Г) у < V 1 Н&1 О)» <§■■ в) у < 72. 2 ’ Г )у> х > О, У < 0; х < О, У > “I5 в) г) X > — 4~2 У>~2' Л<2’ „ >/3 У<Т• 012.26. а) х - у > 0; б) ху > 0; в) х + у < 0; г) ху < 0. 012.27. а) х + у < 1; б) х - у > -1; в) х + у > -1; г) х - у < 1 012.28. а) 2л;2 - х < 0; в) у + 2у2 > 0; б) (2х - 1)0/ - 3) > 0; г) (2у - -Я){х + 2) < 0. 012.29. а) 4х2 — 1 < 0; б) 1-2у2 < 0; в) 3 - 4у2 > 0; г) 2х2 - 1 > 0. 76 § 13. Синус и косинус. Тангенс и котангенс Вычислите 81П I и сое I, если: 13.1- а) I = 0; б) * = в) I = Щ-\ г) I = л. 13.2. а) * = §5 13.3. а) I = б) * = б) 1 ч . 7л. в) * = -0-> в) г = -0-, ч , 9л г) * = X* V , Ш г) г = — Вычислите: . \ 13.4. а) 8И1 - я + С08 — + С08 [ 3 6 б) С08— • С08 —• • С08— • С08—; 7 6 4 3 2 в) 81П < я^ - С08 (-я) + 81П | --у- |; г) 81П — • 81П — • 81П— • 8И1 —. 6 4 3 2 13.5. а) 8Ш + 008 4 ^ + 4 ' 008 ^ + 008 0 * 8*п 5я , 4я , . Зя . 5я Зя б) С08---- + С08--- + 81П------ • 81П- • С08---. ' 3 3 2 8 2 Найдите значение выражения: 13.6. а) соз 2^у если * = б) зт-|, если I - в) 8И121 - соз2 если I = г) 8Ш21 + соз2 если I = ~б 13.7. Вычислите: а) б) в* \ +«.5я. в) *ет; г) с*е^- 77 N3 | Я Вычислите: 13.8. а) б) а& 5я я '8 Г в) г) Я '6/ 2л"1 13.9. а) • 8т| • с*е^; б) 2 8Н1 Я + 3 С08 Я + 0¾ у в) 2яп|.сов|-|1«|; г) 2 0 + 8 С08 ^ - 6 81П ^ О 13.10. а) *вг 7 • <Я* э э б) 3 Ь§ 2,3 • 2,3; в) у • с*е Г) 7 12 ’ °*е 12' 13.11. а) зт (1,5 + 32я) + соз 1,5 + соз („ \ _ \ ) ( _ \ я + 81П Я ’б б) С08 ^ + 4я I + зт21 ^ - 44я 13.12. а) 2,5 • 2,5 + соз2 я - зт2 ^ - соз2 о о б) зт —— 2 1% 1 • с1§ 1 + соз —— 13.13. а) соз 1 + соз (1 + я) + зт -(-1) + СОЗ . 2 5я + 81П ---. Я 'в г б) зт 2 + зт (2 + я) + соз2 013.14. Докажите равенство: 8Ш |-С08Я-1ё \ _ 72. +8Ш2^. 12 12 а) 0 . я . Зя 4 ’ 2 31П ^ - 81П -у б) , 5я Зя . / 5яч сЦт.ш.тЦ(-7) 2 со, 1Й + 2 »„■!!!! о 4 78 ^.15. Упростите выражение: а) зт I • соз ^ б) зт I • соз I • с1& I - 1; в) зт2 I - \,%1 - 0¾ 1\ ч 1 - соз2* г) 1-ап2Г Докажите тождество: 13.16. а) 1 + 1ё2 * = сое'2 Р, б) 1 + с!§21 = 8ЙГ2 Р, 13.17. а) 1е(л - «) = Р, б) (2л + !) = !§ Р, в) зт21 (1 + с1§21) = 1; г) сое2 * (1 + Ь§2 О = 1. в) с!е (л - {) - -сЬё Р, г) с!§ (2л + 1) = 1. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения: 13.18. а) 2 зт Р, б) 3 + 4 сое Р, 013.19. а) 2|8т1| + з; б) >/7 сое2 I + 9; в) -3 соз *; г) 3 - 5 зт *. _________1________. в) 3 8Н12 * + 4 соз2 * ’ 5 зт2 * + 5 соз2 * г) 3|С08 <1 + 2 ■ Определите знак числа: г 5л 7 13.20. а) зш —; 7 б) СОЗ 013.21. а) зт (-2); 013.22. а) зт 10; б) соз 3; б) соз (-12); ч . 9я ч . ( Зл ^ в) 81П —; Г) 81П 1. в) зт 5; г) соз (-6). в) зт (-15); г) соз 8. Определите знак выражения: 013.23. а) зт 1 • соз 2; г _7л ’ 5 б) зт — • соз 7 в) соз 2 • зт (-3); / 1 \ / г) соз 14л 9 зт 013.24. а) со8^- 1ё ч . 7л . Зл в)ш--о1*Т; б) 1 - соз 2; г) зт 2 - 0¾ 5,5. °13.25. а) зт 1 • соз 2 • 3 • 4; б) зт (-5) (-6) • (-7) • с1ё (-8). •13.26. Вычислите: а) зт 4 + |зт 4| + 2 соз 13 - 2|соз 13|; 1&11 + |1&11| \сЬё12\-сЬё12' 79 Решите уравнение: 13.27. а) сое I = & с* б) 81П г = — 13.28. а) зт I = -Щ-\ б) соз I = >/3; 13.29. а) 10 зт г = >/75; б) >/в зт * + 2 = 0; в) соз I = — г) зт г = & в) сое I = -у-; ч Я г) 81П г = в) 8 сое * - 732 = 0; г) 8 сое I - -л/48. 13.30. а) зт2 ^ + соз2 ^ - л/2 зт * = 0; О О б) СОЗ I = С082 1 + 81П2 1. 013.31. а) |зт *| = 1; б) VI - зт2* = & в) |соз 1\ - 1; г) >/1 - соз2 г = —. 2 013.32. Имеет ли смысл выражение: а) ^пЩ2л; б) Vсо8 1,3л; в) г) Vсо6 (-6,9л)? Решите неравенство (относительно переменной дс): 013.33. а) сое 2 • (2дс - 1) < 0; б) соз 3 • соз 5 • (ж2 - 4) < 0. 013.34. а) (соз I - 5)(3дс - 1) > 0; б) (2 + зт 0(9 - ж2) > 0. 013.35. а) с!§ 5 • (ж - 1) > 0; »>41ш?1 <2*‘ - 72> < в) (¾ 2 • зт 5)-(7- 5л:) < 0; г) 1% 1 • с^ 2 • 3 • 4 • (х2 + 2) > 0. 80 013.36. #13.37. 013.38. #13.39. •13.40. •13.41. •13.42. Сравните числа а и Ь: Ъ = соз 1; в) а = зт 2, Ь = соз 2; Ь = соз 4; г) а = зт 7, Ь = соз 7. Ь = соз 6; в) а = зт 4, Ь = соз 2; Ь = соз 4; г) а = зт 3, Ъ = соз 5. Расположите в порядке возрастания числа: ч . п . п .2 п .7л .4 п а) 81П —; 81П —; зхп —; зш —; зт —; 7 5 3 6 3 _ к к 5 к 5 к 7 к б) соз —; соз —; соз —; соз —; соз —. а) зт 2, зт 3, соз 4, соз 5; б) соз 3, соз 4, соз 6, соз 7; в) зт 3, зт 4, зт 6, зт 7; г) соз 2, соз 3, зт 4, зт 5. а) 1, зт 1, соз 1, 1¾ 1; Вычислите: б) 2, зт 2, соз 2, сЬд 2. а) -у/зт21 + зт2 2-2 зт 1 • зт 2 + ^ - зт 1 + зт21 + + у]1 + зт2 2-2 зт 2; б) л/соз2 6 + соз2 7-2 соз 6 • соз 7 + ^ - соз 7 + соз2 7 + + у]1 + соз2 6-2 соз 6. ч / • 2 с л • е • 11л «211я а) л/ зт 5-2 зт 5 • зт-+ зт - I • 2 5я л • 5я • е . • 2 с -Л/81П------2 81П ---- • 81П 5 + 81П 5; б) л|соз2 4-2 соз 4 • соз Щ- + соз2 Щ- + 4 +.1 соз2 4-2 соз 4 • соз -г + соз2 81 Решите неравенство: 013.43. а) 81п 1 > 0; б) ехп г < ^; в) 81П * < 0; Г) 81П * > 013.44. а) соз * > 0; б) соз 1 ; в) соз Г < 0; г) соз Г > 013.45. а) 81п ^ в) зт 1 > — б) зт * > г) зт Г < 013.46. а) соз * > ; Го в) соз * < б) соз ^ г) соз * > — 013.47. а) зт * < в) 81П 1 > — б) соз * > г) соз % < Решите систему неравенств: 013.48. а) ап I > О, ап * < в) 8И1 I > — 42 2 ’ 81П I < 4я. сое I < О, б) | 1 г) сое г > [ап ^ > О, 013.49. а) -I 1 в) |со8 г < сое I > —, сое * < и 81П ^ > - 4~2 , я соз 1 < —; 2 б) сое I < О, еш * > — г) < сое I > 8Н1 < < и 82 013.50. Решите неравенство: а) зш. ¢ • соз ¢ > 0; в) с!& ¢ • соз ¢ < 0; б) 8И1 ^ ^ ^ < 0; г) 1% ¢ • Ъ. Докажите неравенство: 013.51. а) зш ¢ < ¢, если 0 < ¢ < б) соз ¢ < с!& ¢, если 0 < ¢ < ^. #13.52. а) 1 < зш 1 + соз21 < 1,25; 17 б) 2 < 2 зш21,2 + соз 1,2 < •13.53. а) 0 < Ц- + соз'2 Ц- < 1; б) -1 < зш'2 4 + с!& 4 < 1. § 14. Тригонометрические функции числового аргумента Упростите выражение: 14.1. а) 1 - зш21; в) 1 - соз2 ¢5 б) соз2 * - 1; г) зш2 ¢-1. 14.2. а) (1 - зш ¢)(1 + зш ¢)5 в) (1 - соз ¢)(1 + соз ¢)5 б) соз2 ¢+1- зш2 ¢5 г) зш2 ¢ + 2 соз2 ¢-1. 14.3. а) —тт - 1; соз ¢ В) 1 - Л Л ' 81П ¢ ^ 1 - зш2 ¢ б) 2 . ’ 1 - соз2¢ 1 - 8Н12 ¢ .. . ч (ап* + сое г)2. 144• а> 1 + 2яп*сов*’ 1 - 28^п¢С06¢ ^ (сов ¢ - 8111 ¢)2 * 14.5. Докажите тождество: ч сое2 ¢ ^ Зит ¢ а> 1ТЖ7 -81П* = 1; б> 1 + сов* + соз ¢ = 1. 83 14.6. Докажите, что при всех допустимых значениях X выражение принимает одно и то же значение: а) (зт X + соз *)2 - 2 зт * соз *; 2 - 31П2 X - соз2 X. ^ 3 81П2 X + 3 СОЗ2 X 9 в) 81П4 * + СОЗ4 * + 2 81П2 * СОЗ2 *; 81П4 X ~ СОЗ4 X г) • 2 . 2 . • ' 81П X - СОЗ X 14.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции 8 = /(*), если: а) /(X) = 1 —(соз2 X - 81П2 X); б) /(*) = 1 - 81П X соз X 18 *; в) /(*) = соз2 X X + 5 соз2 X - 1; г) /(*) = 81П X + 3 81П2 * + 3 СОЗ2 X. Упростите выражение: 14.8. а) соз2 X - с182 *. 81П2 X - 1&2 * * б) с!82 * “ (з1п 2 * - 1); ^ Л ч 81П X , 81П * . 14.9. а) 1 + С08< + 1 - соз Г в) соз2 X - зт2 X (с!82 * + 1); 8Н12 ^ - 1 г) созЧ-1 + ^*<*е*. в> Т СОЗ X соз X + 81П X 1 - 81П X 9 б) с!82 * (соз2 X - 1) + 1; г) 18* + 1 1 + с!8 X' 14.10. а) (3 81П * + 4 соз X)2 + (4 зт X - 3 соз X)2; б) (*& * + г)2 - (Ьё * - о2; в) зт X соз * (18 * + с!8 *); г) зт2 X соз2 X (182 * + с!82 * + 2). Докажите тождество: °14-п-а) ** ли*= з1п2 п 014.12. а) 1 + зт * = б) 51П X + 18 * 18* соз X + с!8 *. с!8 * = 1 + соз *; в) с*# г = соз2 *: 18 * + с!8 * г) 1 - с!8 * -с!8 *. в) 1 - зт ^ _ соз X СОЗ X 1 + зт г г) зт X _ 1 + соз X 1 - соз X зт X 84 014.13. Докажите тождество: ч (ап ¢ + сое ¢)2 - 1 л , о с^*-8И1*сов* -21^^, б) зт3 ¢(1 + с!& ¢) + сов3 ¢(1 + ¢) = зт ^ + соз 1\ ч (зт * + сое ¢)2 - 1 л -*ег-ат*сов* -2с*е*; г) I - 4 зш2 г соз2 г (зт I + соз £)2 + 2 зт ¢ соз ¢=1. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций: 4 Т1 14.14. а) зт ¢ = ^ < * < тс; 5 7Г б) зт ¢ = 0 < ¢ < -2; в) зт ¢ = -0,6, ~ < ¢ < 0; г) 81П * = -0,28, я < { < у. 14.15. а) С08 1 = 0,8, 0 < * < §; в) соз 1 = 0,6, Зл 2 < 1 < 2я; б) 5 К г) С08 ^ = 24 . Зл СОЗ { “ 13 > 2 < * < л; 25 > л <*< Т‘ 14.16. а) * = ■ — 0 ' 4’ 0 <*< ь в) Ьё* = 3 4’ | < * < к; б) * = = 2,4, л < 1 < у; г) Ьё* = 1 3’ Зл 2 < 1 < 2л. 014.17. а) С*ё * 9 И и Зл < г < у; б) с*ё* -1¾ и 2л < г < у; в) аё* II 1 51« , у < 1 < 4л; г) с^ё^ и к!» , у < г < Зл. °14.18. а) Дано: зт (4л + ¢) = б) Дано: соз (2л + ¢) = (л - ¢). 3 д 0 < ¢ < -^. Вычислите: (л - ¢). 12 зя — < ¢ < 2л. Вычислите: 85 5 014.19. а) Дано: соз X - —8,5л < ^ < 9л. Вычислите: зт (-*). 4 9л б) Дано: зт 1 - < * < 5л. Вычислите: соз (-*) + зш И). 014.20. а) Известно, что зт X + соз X = 0,8. Вычислите: зт X соз б) Известно, что зт X - соз ^ = д* Вычислите: 9 зт X соз X. •14.21. Известно, что зт X + соз X = 0,6. Вычислите: а) зт3X + соз3X; б) 1¾ X зт X + с!& X соз X. •14.22. Известно, что * = 2,3. Вычислите: а) 1&2 X + с1#2 X; б) 1&3 X + ¢1¾8X. •14.23. Известно, зт X соз X - -0,5. Вычислите: а) зт2 X + соз2 X; в) зт6 X + соз6 X; б) 81П4 X + СОЗ4 Х\ г) зт8 X + СОЗ® X. 12 •14.24. Известно, что зт X соз X = “49* Вычислите: а) X + с1& X; б) X + с1&2 X. •14.25. Вычислите: 17 я а) зт X + соз X, если 1&Х - ^ и 0 < * < б) 2 зт X + соз X, если 4 с!& * + 61&* + 11 = 0и^ < * < 014.26. а) Вычислите X, если известно, что зш * + 3 соз X зт X - 3 соз X = 4. 2 81П X - 3 соз * б) Вычислите с!& X, если известно, что 2 соз * - 3 зш I = 3. 014.27. а) Вычислите 1¾ X, если известно, что 5 зт X - соз2 X = 2,36 и ^ < X < Зл. б) Вычислите с!& Х> если известно, что зт2X + 2 соз * + + 0,56 = 0 и ~ < I < -Зя. _ 2 зт X соз X з •14.28. а) Вычислите с!& X, если известно, что ^2 ^ _ ^2 ^ = 4 й ■7 < X < л. 4 б) Вычислите ¢, если известно, что 2 81П2 ¢ + 3 81П X СОЗ X - СОЗ2 X 1 К К 2 соз2 X - 81П2 X ~ 2 И 4<^<2‘ 86 ф14.29. Зная, что I = а, найдите: а) СОЗ4 1\ в) 8И14 1\ б) 81П I СОЗ г) 81П3 % СОЗ I. #14.30. Зная, что с1& I = а, найдите: а) 2 зи121 + 3 соз2 б) 2 зт2 * - 3 зт * соз ^ - 5 соз21. Упростите выражение: 014.31. а) 11 + СОЗ 1 ]/1 - соз г б) 11 - зт * ]/1 + зт 1 •14.32. а) •у/зт'2 1 - + л/СОЗ"2 1 67с + 1¾ *, если 2к < I < если * € (13; 14);_________________________________ б) -у/зт2 *(1 - 2 с1& ¢) + 4 соз2 *(1 - 0,5*) + + ап* + соз*, если * € (0; 1). •14.33. Расположите в порядке возрастания числа: Х1 .1 .13, 1 1 1 .. а) 2» 8Ш 2’ 8111 24’ °) 2’ 008 008 •14.34. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) у = зт2 л; + 2 зт х - 5; б) у= зт2 л: - 3 соз2 л; + 2 соз х; в) у = 4 соз2 л; - 4 соз л: - 2; г) у = соз2 х - 3 зт2 л: - 4 зт х. Постройте график функции: °14.35. а) у = соз2 л; + зт2 х; в) у = зт2 + соз2 л/^с; б) у = соз2 ^ + зт2 г) I/ = зт2 х2\ 4 + СОЗ2 4- °14.36. а) у = * с!# я; б) у = 3 соз2 х + 2 Ъв х с*ё х + 3 зт2 х. 87 § 15. Тригонометрические функции углового аргумента Переведите из градусной меры в радианную: 15.1. а) 120°; б) 220°; в) 300°; г) 765°. 15.2. а) 210°; б) 150°; в) 330°; г) 675°. Переведите из радианной меры в градусную: 11тс. ч 6Л. ч 46л 15.3. а) б) -з-; в) т; Г) -д-. 15.4. а) ^5 7л. б> 12 ч 11л в> ТГ’ . 47л г) -§-• Вычислите зт а, соз а, а, с!& а для заданного значения угла а: 15.5. а) 90°; б) 180°; в) 270°; г) 360°. 15.6. а) 30°; б) 150°; в> 210°: г! 240°. Расположите в порядке воз 015.7. а) зт 40°, зт 80°, зт 120°, б) соз 40°, соз 80°, соз 120°, 015.8. а) зт380°, зт830°, зт210 б) соз 390°, соз 460°, соз 92( 015.9. а) зт 22,5°, соз 37,4°, соз 990°, зт 990°; б) 1* 100°, с1* 225°, соз 94,3°, зт 77°. 15.10. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и острый угол а. Найдите катеты, площадь и радиус описанной окружности, если: а) с = 12, а = 60°; в) с = 4, а = 30°; б) с = 6, а = 45°; г) с = 60, а = 60°. 15.11. Хорда АВ образует с диаметром АС окружности угол а0. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен Я 015.12. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. 015.13. В ААВС известно, что АВ = 4л/2 см, АА = 45°, АС = 30°. Найдите ВС, АС и площадь ААВС. 88 ¢15.14- Высота треугольника равна 5 см, а углы, прилегающие к основанию, равны 60° и 45°. Найдите площадь треугольника. •15.15* Использовав геометрические соображения, вычислите: а) 81П 15° и соз 15°; б) зт 22,5° и соз 22,5°. Вычислите: 015.16. а) зт2 733° + соз2 347°; б) 2 соз2 395° + зт2 1000° + 2 зт2 755° + соз2 800°. 015.17. а) 1° 1% 2° 3° • ... • I# 89°; б) 2° 4° сЬё 6° ... сЬё 178°. #15.18. а) зт21° + зт2 2° + зт2 3° + ... + зт2 90°; б) соз21° + соз2 2° + соз2 3° + ... + соз2180°. 015.19. Докажите, что верно равенство: а) (4 аш 30° + 60°)^—+ с1*1б0°^ = 2 зт 150°; б) (с*д 210° + 2 соз 120°)(1;ё 420° - 2 зт 330°) = 4 сое2 315°. •15.20. Дано выражение зт 1° зт 2° зт 3° • ... • зт п°. а) При каких натуральных значениях п это выражение положительно? б) При каких натуральных значениях п это выражение отрицательно? в) При каких натуральных значениях п это выражение равно нулю? •15.21. Дано выражение соз 1° соз 2° соз 3° • ... • соз п°. а) При каких натуральных значениях п это выражение положительно? б) При каких натуральных значениях п это выражение отрицательно? в) При каких натуральных значениях п это выражение равно нулю? •15.22. Дано выражение зт 1° + зт 2° + зт 3° + ... + зт п°. а) При каких натуральных значениях п это выражение положительно? б) При каких натуральных значениях п это выражение отрицательно? в) При каких натуральных значениях п это выражение равно нулю? 89 •15.23. Дано выражение соз 1° + соз 2° + соз 3° + ... + соз п°. а) При каких натуральных значениях п < 360 это выражение положительно? б) При каких натуральных значениях п < 360 это выражение отрицательно? в) При каких натуральных значениях п это выражение равно нулю? •15.24. Использовав равнобедренный треугольник с углом 36° при вершине, вычислите зт 18°, соз 18°, зт 36°, соз 36°. Указание. Проведите биссектрису угла при основании треугольника. § 16. Функции у = 5т х, у = со5 х, их свойства и графики Найдите значение функции: 4к. 16.1. а) у = 2 зт ^ + 1 при х = ^ б) У = -8т ^X + ^ при * = в) у = 2 ат ^ + 1 при х = -^5 ч . ( ТО 15я г) у = —зт \х + при х = — 16-2- У = вс™1 . 2я. а) х = -0-> ,ч 11я б) * = Т* 16.3. у = 2 сов [ х - ] - 1, если: \ Я . а) х = ~2; б)х = Т 16.4. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции у = зт х точка с координатами* а) -1^; б) (1; I) в) (";!); г) -1^ 90 16.5. Принадлежит ли графику функции у - -зш^д: + 2 точка: а) (а |) б) + 2Л в» I Т: I) г) (4л; 2,5)? 16.6. Принадлежит ли графику функции у = соз х точка с координатами: а* (;* г) б> (1:1} в) Г) Г2л. ( 3 ’ 2 / 5л. 3 6 ’ 2 16.7. Принадлежит ли графику функции у = 2(»8^Х - ^ точка с координатами: а) (0; л/3 + 1); в) 2^; + 1 б) 1]; г) V 8) 16.8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции У - 8И1 х: 2л~|. ч ( Зл. Зл\ в) на интервале —тр , а) на отрезке б) на луче [|; +оо) г) на полуинтервале 16.9. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = соз х: в) на луче +оо^ ч [к 2к а) на отрезке -д- ; б) на интервале г) на полуинтервале г_л. ас') I 3’ 2 \ °16.10. Исследуйте функцию у = Дх) на четность: а) Дх) = хб зт в) Дх) = 2 81П 2. б) Дх) = х3 зт х2; г) Дх) = х3 - 81П X. 91 Исследуйте функцию на четность: 016.11. а) т~- = х + зт х; в) II б) К, и зт2х г) II - 3*-Г 016.12. а) т-- = 8И1 X соз х; в) /(*) = б) Ах)-- II ^ § Ч.Ч. г) II я «5^ 016.13. а) К и = л;2 соз х; в) Ах) = б) Я и = х5 соз Зл;; г) II Я «5^ X? 8Н1ЛГ ^-9; 8И12 X - X4. со&х3 х(25 - х2)9 (4 + соз х)(8т6 х - 1). сов 5л; + 1. Xй СОЗ X + 8И1 X. 016.14. Найдите область значений заданной функции на заданном промежутке: а) у = 8И1 ху х € в) у - 8И1 х9 х € (-1; 6); б) у = соз Ху х в (1; +оо); г) у = соз х9 х € [1,2; 7,5]. Вычислите, преобразовав заданное выражение (зт I или соз I) к виду зт *0 или соз *0 так, чтобы выполнялось соотношение 0 < *0 < 2л или 0° < *0 < 360°: 16.15. а) зт 50,5л; б) соз 51,75л; в) зш 25,25л; г) зт 30,5л. 16.16. а) зт 390°; б) соз 750°; в) зт 540°; г) соз 930°. 16.17. Докажите тождество: а) зт2 (л; - 8л) = 1 - соз2 (16л - л;); б) соз2 (4л + л;) = 1 - зт2 (22л - л;). 016.18. Найдите основной период функции: а) у = зт 2л;; в) у = зт б) у = соз Зл;; г) у Зл; 4 016.19. Преобразуйте заданное выражение (зт % или соз I) к виду зт ^0 или соз так, чтобы выполнялось соотношение 0 < *0 < 2л: а) зт 8; б) соз (-10); в) зт (-25); г) соз 35. 92 ^6.20. Вычислите: а) соз (£ + 4л), если соз (2л - £) = —д» 5 б) зт (32л - £), если зт (2л - £) = 16.21. Решите уравнение: а) зт (£ + 2л) + зт (£ - 4л) = 1; б) 3 соз (2л + £) + соз (I - 2л) + 2 = 0; в) 8И1 (£+ 4л) + 8И1 Ц - 6л) = >/3; г) соз (I + 2л) + соз (I - 8л) = л/2. Найдите область значений 016.22. а) у = 2 зт х; б) у- (3 соз х - 2)4; °16-23* &)У=ШТТ2’ - 8 ' ^ 3 соз х - 59 функции: в) у = -3 соз х + 2; г) 1/=(1 + 4 зт л;)2. в> У = ч _ 15 ^ 4 + соз х * 016.24. а) у = зт2 л; - 6 зт х + 8; б) г/ = д/2 - соз*; в) у = соз2 л; + соз л: + 2; г) г/ = -у/взтд: - 4. 016.25. Найдите все целочисленные значения функции: а) у = 5 + 4 соз х; в) у = 3 - 2 зт х; б) у = у]2 - 7 соз я; г) г/ = ^/11 + 2зтд:. 016.26. Найдите все значения х, при которых заданному промежутку принадлежит только одно целое число; укажите это число: а) (5 - 2 зт х; 5 + 2 зт х); б) [4 + 2 соз х; 4 - 2 соз х\. Постройте график функции: 16.27. а) у = зт '«-Г б) у = 8Н1 А -гг Л * + ^ 4 16.28. а) у = зт л: - 2; б) у = зт л: + 1; в) у = зт (л: - л); г) у = зт \ + * 3 \ у в) у = зт л: + 2; г) г/ = зт л: - 3. 93 Постройте график функции: 016.29. а) у = 8И1 016.30. а) у = -81П 016.31. а) у = 81П б) у = -81П б) . С и У = 8111 \ X + — 1. 2к |,1 * + 3 + 2’ 71 ^ + 2; б) у = —8И1 ЛГ + 3. в) у - 81П (х - к) - 1; г) у = -81П -гг Л * + ^ 2У - 2. 016.32. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции У = 81П а) б) V к Зк 4’ 4 Г3п 9 71 ^ + 0,5 на промежутке в) [0; тс); г) —; +оо 4 X 4 4 X Постройте график функции: в) у = С08 ^ I б) у = сое ж — 2; 16.33. а) у = сое | * + — ; г) I/ = С08 X + 1,5. 016.34. а) у = сов | х + — Ск б) у = С08 + 1; В) У = С08 | ^ 71^) 4 - 2; Г) У = С08 И] |-3. •16.35. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = —С08 а) ж + — | + 1,5 на промежутке: б) (1; 9); в) [231; 238]; г) 16.36. Известно, что /(*) = 3 зш х. Найдите: а) /(-*); в) 2/(х) + 1; б) 2/(*); г) К-х) + Г(х). 94 16.37. Известно, что /(л;) = —- соз х. Найдите: а) /(-*); б) 2/(*); в) /(лг + 2л); г) /(-*) - /(*)• 16.38. Известно, что /(х) = соз —. Найдите: 3 а) /(-*); б) 3/(*); в) /(-Зл;); г) А-х) - Ах). 16.39. Известно, что Ах) = зт 2х. Найдите: а) А-х); в) / б) 2/(л;); г) /(-л;) + Ах). 016.40. а) Дано: Ах) = 2х2 - х + 1. Докажите, что /(зт х) = = 3-2 соз2 л; - зт х. б) Дано: Ах) = Зл;2 + 2л; - 7. Докажите, что /(зт л:) = 2 зш х -- 3 соз2 х - 4. 016.41. а) Дано: /(л;) = 2л;2 - Зл; - 2. Докажите, что -/(соз л;) = = 2 зт2 л; + 3 соз х. б) Дано: /(л;) = 5л;2 + х + 4. Докажите, что /(соз л;) = = 9 + соз х - 5 зт2 л;. 16.42. Исследуйте функцию у = зт л; на монотонность на заданном промежутке: 5л. 7л а) . 2 ’ 2 _ ; в) V 7л. л г б) 6 ’ 6_ ; г) \ Ил 25к л. 7л 3’ 3 16.43. Исследуйте функцию у = соз х на монотонность на заданном промежутке: ^ 7л 17яЛ з; в ; а) [Зл; 4л]; б) в) л л V 3 г) л. 11л ^ 6’ 6 / °1б.44. На каких промежутках функция у = зт а) возрастает; б) убывает? < л^ X---- 3 95 а) возрастает; б) убывает? •16.46. Докажите, что функция у = зт х: а) возрастает на отрезке [12; 13]; б) убывает на интервале (8; 10); в) достигает на интервале (7; 12) наименьшего и наибольшего значений; г) не достигает на интервале (-1; 1) ни наименьшего, ни наибольшего значений. •16.47. Докажите, что функция у = соз х: а) возрастает на отрезке [-3; -0,5]; б) убывает на интервале (7; 9); в) достигает на интервале (3; 7) наименьшего и наибольшего значений; г) не достигает на интервале (-3; -0,5) ни наименьшего, ни наибольшего значений. Решите графически уравнение: 016.48. а) зт х = х + л; б) зт х = 2х; 2 016.49. а) зт х = — х; в) зт х + х = 0; г) 8И1 х = 2х - 2к. к 7С I б) зт х + * + — +1 = 0; г) 81П X = X2 + 1. 016.50. а) зт х - ^ = л - = л - Зх; б) зт х - у/х - л = 0; ( / в) зт х + — = о 016.51. а) соз х ; & б) —соз х = Зх - 1; в) соз х = 2х + 1; г) С08 х = 016.52. а) соз х = у[х + 1; в) С08 х = -{х — 7г)2 — 1 г) С08 X х| + 1. 96 01б-53 Сколько решений имеет система уравнений: IУ = зтх, ^ [у = х2 + 4х - 1; У = 8111X, \у = 81П Ху [у = -Зх2 - 2; г) у = 81ПХ, х\ - у = о? 016.54. Сколько решений имеет система уравнений: г \у = соз х, а) б) У = С08 X, в) У = -х2 + 2х - 3; У = С08ДГ, 2 г) У = ж’ у = х - 3; у = С08 X, \х\-у = О? 016.55. •16.56. Решите графически уравнение: а) 81П х = соз х; б) 81П х + С08 х = 0. Решите уравнение: Зх 3 016.57. •16.58. а)81п*= 2* 4 Решите неравенство: а) соз х > 1 + \х\; \ • ^ Зх. а) 81п х > —; 5 к б) С08 X + Зх____3_ 5 к 10 = 0, х > 0. б) 81П X < - 3 К , л Т 1 “ *• ^ 9х л б) С08 х < — - 1. 2 к Постройте график функции: 016.59. а) у = 181П х|; в) у = |соз х\; С08 X----- 2 б) у = а) у = 81П |х|; 81П X + — 2 Г) у = в) у = соз |х|; •16.60. б) у = 81П °1б.61. Постройте и прочитайте график функции: к „ , 2л X 3 ; г) у = сое X + — 3 ч [х2, если х < О, а) у = \ 181П х, если х > 0; [ 81п х, если х < О, б) у = \ 2 I х , если х > 0. 97 016.62. Дана функция у = /(я), где Дх) 81П X, если -я < X ^ ()| а) Вычислите: / < я^ Гх, если х > 0. , ДО), Д1), Дя2); б) постройте график функции у = Дх); в) прочитайте график функции у = Дх). 016.63. Дана функция у = Дх), где Дх) = —, если х < О, х 8И1 Ху если 0 < х < я. а) Вычислите: Д-2), ДО), Д1); б) постройте график функции у = Дх); в) прочитайте график функции у = Дх). Постройте и прочитайте график функции 2 016.64. а) у = х + 2, если х < О, соз Ху если х > 0; сов Ху если х < —, А , —, если х < О, б) у = \ X -соз х, если х > 0. 016.65. а) у = •16.66. Постройте график функции: б) у 81п х, если х > —; А Г-соз х, если х < О, 12х2 - 1, если х > О, а) У = I 8111 X\ 2 СОЗ X 81П X б) у = 1&х • |соз х\; 016.67. Постройте и прочитайте график функции: ^ | СОЗ X | 9 г) у = с1ёх • |зтх|. а) У = 2х - Пу если х < —у 2 соз х, если — < х < — Зя 2 ’ 6)1/ = Зя ^ ^ Зя. ----Ху если х > —; 2 2 81П х, если х < О, х2, если 0 < х < ^, соз х, если х > 2 98 01б.б8. Дана функция у = /(*), где Дх) 2х + 2л, если х < 81П х, если -Л < -2х, если х > О, ( а) Вычислите: /(-тс - 2), / V Д2); б) постройте график функции у = Длг); в) прочитайте график функции у = Ддг). 016.69. Дана функция у = Дх), где Дх) = -х2, если х < О, < 81П х9 если 0 < л -(х - тс)2, если а) Вычислите: Д-3), / 'к' V2; , Д2тс - 3); б) постройте график функции у = Дл;); в) прочитайте график функции у = Дх). 016.70. Дана функция у = Дх), где Д*) = 81П Н' зя , если-----< х < О, 2 л; + 1, если 0 < х < 2; -у1х - 2 + 3, если х > 2. а) Вычислите: ДО), Д6), Д-тс - 2); б) постройте график функции у = Дат); в) прочитайте график функции у = Дх). Постройте график функции: •16.71. а) у = 1 . 8И1 X9 б )у = 1 СОЗ х' < - ТС, х < О, : < тс, X > тс. •16.72. а) у = 8Ш (зт х); б) у = 81П (сов х); в) у = С08 (сов х); г) у = С08 (81П ЛГ). 99 §17. Построение графики функции У = тГ(х) Постройте график функции: 17.1. а) у = 3-Ух; б) У = -2|х|; 17.2. а) у = -2(х - I)3; б) у = 3\х + 2|; 17.3. а) у = 2 8И1 х; б) у = 3 соз х; 17.4. а) у = -2 зт х; б) у - -3 соз х; в) I/ = -2>]х - 3; г) г/ = 0,5лГ3. в) у = —8И1 х; г) у = —С08 X. в) г/ = 1,5 зт х; г) у = -1,5 соз х. 17.5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у - 2 соз х: 17.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = -3 8Н1 х: а) на луче [0; +оо); ( б) на открытом луче ~ 5 V К К а) на отрезке ; — & в) на луче г) на открытом луче (-оо; 0). 017.7. Постройте график функции: а) у = 2 81п х - 1; ч 3 . в) у = -- 81п х + 3; г) у = 3 соз л: - 2. 100 Постройте график функции: о!7.8. а) у = 2аш|* - - ( б) У - -3 С08 в) у = -81П * + т» г) I/ = 1,5 С08 X - 2л 017.9. а) у = 2 ап | х + - | + б) У = -3 С08 в) у = -1,5 81П X - 2л г) у = 2,5 С081 X + -у 1; -2; - 1,5. •17.10. а) у = 2|со8 х б) у = -3 сое X + в) у = 3 81п |х|; г) У = -2 зт 3 017.11. Подберите коэффициенты а и Ь так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции у = а зт х + Ь или у = а сое х + Ь: а) рис. 48; б) рис. 49; в) рис. 50; г) рис. 51. РИС. 48 101 Рис. 49 Рис. 50 Рис. 51 102 017.12. Подберите коэффициенты а и Ъ так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции у = а зш (х + Ъ) или у - а соз (х + Ь): а) рис. 52; б) рис. 53; в) рис. 54; г) рис. 55. Рис. 52 Рис. 53 РИС. 54 103 Рис. 55 017.13. Составьте возможную аналитическую запись функции по ее графику, изображенному: а) на рис. 56; б) на рис. 57. Рис. 56 Рис. 57 017.14. Постройте и прочитайте график функции: а) у = 3 8Ш х, если х < —; Ск Зх3, если х > —; 104 б) у = -2 сое х, если х < 0; ^х4, если х > 0. ^7.15. Решите уравнение: V о . п („ Я^ я2. а) 2 81П х - 1 = \х - 2 - -<р б) 2 соз д; = —2~• я •17.16. Решите неравенство: а) 2 соз х < 2 + х4; 9 ( б) -2 зт х > + Постройте график функции: #17.17. а) у = 3 8Ш3 X II о С083 X 1 - соз2 х9 2 81П2 X - 2' •17.18. а) у = 3 зт х + |зт х\; 04 II соз х - 3|соз X •17.19. а) у = 1 | 1 . 3 II 2 + 1 зтд; | з1п д:| ’ сое х |соех| •17.20. а)у = |81пх|(*-тг); 81П X 4 б )у = созд: ^ 1^|( + #17.21. а) у = зт д; + зт |д;| + |зт х\; б) у = соз х + сое | л:| - | соз х\. •17.22. а) у = соз х + соз + |соз х\; х + \х\ б) у = зт д: - зт —+ 18^п х\- § 18. Построение графики функции у = Т(кх) Постройте график функции: 18.1. а) у = л/2х; б) у = ^|; в) у = (2х)4; г) у = 18.2. а) у = зт б) у = соз 2д:; в) у = соз |-; г) у = зт Зд:. 105 СО|Н Постройте график функции: 018.3. а) у - 3 81П в) у = -3 зт 2х; х б) у = 2,5 соз 2х; г) у = 2 соз д» 018.4. а) у = 3 зт (-а:); б) у = -2 соз (-За;); в) у = 2 зт (-2а:); г) у = -3 соз (-х). 18.5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: у = зт 2а:: а) на отрезке в) на отрезке 71 К 45 4 б) на интервале К К | 4; 2 Г г) на полуинтервале (0; п] 18.6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: у = соз а) на луче [0; +оо); б) на открытом луче (-оо; л); в) на луче г) на открытом луче \ 018.7. Постройте график функции: а) у = 81П 2а: - 1; в) у = соз 2а: + 3; б) у = соз + 1; г) у = зт д - 2. Постройте и прочитайте график функции: соз 2а:, если х < п; 018.8. а) у = б) у = если х > к; с* {—зт За:, если х < 0; Гх, если х > 0. 018.9. а) у = -2 зт Ху если х < 0; у/2х, если х > 0; \^Гх, если х < 0; [З соз х - 3, если х > 0. 106 18.Ю* Составьте возможную аналитическую запись функции по ее графику, изображенному: а) на рис. 58; в) рис. 60; б) на рис. 59; г) рис. 61. Уп -р V ! \ п о 6 7Г\ П П 6 \3 2 X -1 Уь к л 1 и — О 7Г\ ) X -1 2 Ч ё / Рис. 58 Рис. 59 Рис. 60 107 018.11. Исследуйте функцию у = 2 зт Зле на монотонность на заданном промежутке: а) б) (-1; 0); в) | у г) (3; 4). 018.12. Исследуйте функцию у = -2 соз ^ на монотонность на за- данном промежутке а) : 6) (-3; 2); в) (у \ г) (3; 9). 2х 018.13. На каких промежутках функция у = -0,5 зт —: о а) возрастает; б) убывает? 018.14. На каких промежутках функция у = 1,5 соз —: а) возрастает; б) убывает? Постройте график функции: 2КХ 018.15. а) у = зт пх; в) у = -2 зт ——; о о я*. б) у = -2 соз —; ч о Зял; г) у = 3 соз —. 018.16. а) у = соз 3 (х - ^ 2 б) у = -1,5 зт - * + ^ 2 •18.17. а) у = зт (* + |лс|); х - 2\х\ б )у = соз —2^’ •18.18. Решите уравнение: а) зт пх = 2х - 4; в) у = соз (х + |*|); . . х + 3| дс[ г) у = 81П -------2 '• б) соз ^ = ^1,5х. §19. График гармонического колебания 019.1. Постройте график функции: а) у = 3 зт X + 2 Г б) у = соз | | |. 108 Постройте график функции: 019.2. а) у = -2 соз 2 | л; + 11; б) у = -2 81П 3 *♦! 019.3. а) у = 2 81п - т 1; ^ ч 1 . Г дс: . 7С . 019.4. а) у = - З1п | - + - |; б) у = -3 соз ЙЧ 3 б) У = ~2 СОЗ 2х + - х_ _ п 2 3 •19.5. Подберите коэффициенты а, Ь и с так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции у = а зт (Ъх + с): а) рис. 62; б) рис. 63. Рис. 62 Рис. 63 109 •19.6. Подберите коэффициенты а, Ъ и с так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции у - а соз (Ъх + с): Рис. 64 Рис. 65 110 лг-г л ~ . ( X К ¢19-7. На каких промежутках функция у = -1,5 зт — - — а) возрастает; б) убывает? ( 2к 019.8. На каких промежутках функция у = 3 соз \2х + — а) возрастает; б) убывает? 019.9. Чему равен основной период функции: а) у = -1,5 зт г х к\ С - - - , б) у = 3 соз X к 019.10. Исследуйте функцию у = -1,5 зт | — - — на монотонность на заданном промежутке: а) [0; 2тг]; б) (2; 4); в) -г» о Г) (-1; 2). 019.11. Исследуйте функцию у = 3 сое на заданном промежутке: О , 271 I 2х + — | на монотонность 3 а) «т б) (1; 2); в) -¾ О 12 г) (-1; 1). •19.12. При каких значениях параметра а функция у = 2 зт I ^ ^ 2 6 а) возрастает на 2л 2л . а — —, а + — , 3 3 1 б) убывает на а; а + — 2 •19.13. При каких положительных значениях параметра а функция у = -3 соз ( Ъх - - а) возрастает на (а; 2а); б) убывает на а; а + — 3 111 § 20. Функции у = Сд х, у = Лдх, их свойства и графики 20.1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = х на заданном промежутке: ч ( ки Зк \ а) на интервале —; — ; б) на полуинтервале в) на отрезке г) на полуинтервале Зк т;п КШ к 4’ 6 20.2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = с1ё х на заданном промежутке: а) на отрезке ы в) на интервале (-л; 0); И г) на отрезке б) на полуинтервале 20.3. Найдите область значений заданной функции: а)у = 1&х, х е _б’ 4_Г б) у = х, х е «•;) 5 л. к 6 ’ 3 3л, 3к 4 9 2 ь N / и V Зк, 7кл 2 9 4 20.4. Решите графически уравнение: а) <;д X - -73; в) Ьё х = -1; б) х = 1; г) х = 0. 20.5. Решите графически уравнение: а) с*е х = 1; яч >/8. б) с*е х = —; .,с г) х = 0. 112 Исследуйте функцию у 020.6. а) /(х) = х - сое х; б) /(х) = *§ х + х; 020.7. а) /(х) = \,&х зт2 х; _ч ^ ч . б) /(х) ~ х2 - 1’ /(х) на четность, если: в) /(х) = с1&2 х - х4; г) /(х) = х3 - сЬё х. в) /(х) = х5 Ьё х; г) /(х) = х2 + 81П X + Ьё X. О20.8. а) /(х) = 81П х + с*е в) /(х) = х4с1&х. х2 - 4 ’ б) /(*) = 2 х. „з » г) /(х) = X - X сое X. О20.9. Дана функция у = /(х), где /(х) = 1¾ х. Докажите, что: а) /(2х + 2л) + /(7л - 2х) = 0; б) /(л - х) + /(5л + х) = 0. 020.10. Дана функция у = /(х), где /(х) = х2 + 1. Докажите, что: а) Ш Х) = б) /(с1ё = Найдите основной период функции: 020.11. а) у = Ьё 2х; в) у = 5х; у 9-г б) у = ч г) у = 1* т. 020.12. а) г/ = л: + зт 2л: - Зл: - сое 4л:; б) у = 8И1 Зл: + сое 5л: + с1& х - 2 2л:. 3 20.13. Известно, что (9л - х) = Найдите: х, с1& л:. 5 20.14. Известно, что с1&(7л - х) = —. Найдите: \>&х, с!&л:. 020.15. Определите знак разности: а) 200° - 201°; в) 2,2 - 2,1; б) 1 - 1,01; г) ^ тр Постройте график функции: 20.16. а) у = *в|х + в) у = |х - б) у = х + 1; т)у = 1ёх-2. 113 Постройте график функции: 020.17. а)у = 1«|а: + -| + 1; б) у = \х - 2к 3 020.18. а) у = х; б) у = х + 1; 020.19. а) у = + — б) у = с*е х + 1; 020.20. а) у = 2Ъ§ х; б) у = -0,5 с*8 х; в) у = | х - - -1; + о; г) у = \х + - - 2. В) у = -1ё | * - 11; г) У = IX + ^ К . *"з|; в) у = с*ё г) у = с*е х - 2. в) у = Ъё 2х; г) У = сЬё 020.21. Исследуйте заданную функцию на монотонность: а) у = 2 Ьё | х - - + 1; в) у = б) у = сЬё {х + -|1 - 2; г) у = -2с*е| х - ^ | + 1,5. Постройте график функции: 020.22. а) у = 1¾ х\; в) у = |с1д х\; б)у = 1ё\х\; г) у = с*ё|х|. 020.23. а) у = х + |*е х\; б) у = |с*8 х\ - с*д х. 020.24. а) у = Ьё х |с!;б х\; б) у = 1½ х\с!# х. 020.25. а) у = 2 Ьёх с*е х + \х\; б) у = 1ёх с*б х + у[х. 020.26. а) у = 81п2 (½ х) + сое2 (¾ х); б) у = 3 со82 (с*е х) + 3 81П2 (с*8 х). •20.27. а) у - -Ьё (сов х) ■ с1ё (сов х); б) у - -2 (зт х) • с1& (з1П х). 114 О20.28. Решите неравенство: а) х < 1; б) с*ё х > л/3; в) ; г) с1& х < -1. ^20.29. Решите систему неравенств: > 0, а) б) |8шл: > сЬ&х < 1, созл; > — 75. в) г) , 7з *!!*<—■ соз х < 0; с^дс > -7з, 75 8111 X < -. § 21. Обратные тригонометрические функции Вычислите: л/3 21.1. а) агсзт —; 2 б) агсзт 1; ^ 7Р 21.2. а) агсзт б) агсзт | |; ч • 72 в) агсзт —; г) агсзт 0. в) агсзт (-1); г) аГС81П 2 ; 021.3. Найдите область определения функции: а) у = агсзт х; б) у = агсзт (5 - 2х); в) у = агсзт г) у - агсзт (х2 - 3). 021.4. Имеет ли смысл выражение: а) агсзт ~ ; в) агсзт (з - Т20); V 3 б) агсзт 1,5; г) агсзт (4 - \/20)? °21.5. Найдите область значений функции: а) у = 2 агсзт х; в) у = агсзт х + б) у = -4 агсвт х; г) у = п - 2 агсзт х. 115 021.6. Исследуйте функцию на четность: ч агсзт х а) У = —~4—5 б) у = 81п2 х + х агсзт х; в) у = агсзт х3 + 3 сое 2х; г) у = 2 х + х5 - 3 агсзт 2х. Постройте график функции: 021.7. а) у = агсзт х; б) у = агсзт (-я); 021.8. а) у = агсзт (х - 1) + к б) у = -агсзт (х + 2) - д. в) у = -агсзт х; г) у = -агсзт (-я). 021.9. а) у = 2 агсзт х; в) у = агсзт х; о б) у = — - агсзт х; о г) у = -2 агсзт (х - 3). 021.10. а) у = агсзт 2х; . х , я. б) г/ = агсзт - + в) г/ = агсзт —; о г) у = агсзт 2(х - 1) + 021.11. Постройте и прочитайте график функции: а) у = б)У = кх л —, если х < -1; 2 агсзт х, если -1 < х < 1; 71 —, если х > 1. 2 агсзт х, если -1 < х < 0; -агсзт х, если 0 < х < 1; (* - I)2 - если 1 < х < 3. и 021.12. Постройте график функции: а) у = 3|агсзт х\ - агсзт х; б) у = агсзт х + | агсзт х\; в) У = г) у = -агсзт |л: - 2|. агсзт х---- 3 116 £0 | Я Вычислите: 21.13. а) агссоз 0; б) агссоз 1; ^ 7^ 21.14. а) агссоз б) агссоз 75 , 7з. в) агссоз “2"» г) агссоз в) агссоз (-1); ( 1 г) агссоз V 21.15. а) агссоз (-1) + агссоз 0; ~ 1 7з. б) агссоз — - агссоз — > 72 + агссоз 7|. 2 ’ в) агссоз г) агссоз | ^ - агссоз 021.16. а) агссоз | —11 + агсзт б) агссоз в) агссоз 72 7з - агсзт (-1); ^ 7зч , 72 г) агссоз — - агсзт 2 + агсзт ' 7з 2 \ \ °21.17. а) соз 1 1ЛЛ 2 агссоз— 3 агссоз 0 - агссоз 1 1 '--У агссоз- + агссоз 3 з ^ 3 /, °21.18. а) 8И1 б) агссоз — 2 в) с!& (агссоз 0); V “ / у Л агссоз 7§ г) зт агссоз 72' 117 Вычислите: 021.19. а) 8Й1 2агсзт- - 3агссоз 2 1 2 б) С08 /Г Л\ — агсзш 1 + агсэт 2 72' 2 в) „„Те Г2~ агсзт — + 2 агссоз — 2 2 г) с1* 3 агссоз (-1) - агсзт Г 1 Л Л 21.20. Докажите тождество: а) 81п (агссоз х + агссоз (-я)) = 0; б) сов (агсзт х + агсзт (-х)) = 1. 021.21. Найдите область определения функции: а) у = агссоз х; в) у = агссоз 2х; б) у = агссоз (х - 1); г) у = агссоз (3 - 2х) 21.22. Имеет ли смысл выражение: а) агссоз 4Ъ; б) агссоз Л|-; в) агссоз 5 г) агссоз {-у/з)? 021.23. Найдите область значений функции: а) у = 2 агссоз х; в) у = агссоз х; & б) у = 1,5 агссоз х - —; г) у = к - 2 агссоз х. 021.24. Исследуйте на четность функцию: а) у = агссоз х2 + о агссое х2. б) У = —р—» в) У = агссоз х г) у = 2х3 агссоз х6. 021.25. Постройте график функции: а) у = агссоз х; в) у = -агссоз х; б) у = агссоз (-х); г) у = -агссоз (-я). 118 Постройте и прочитайте график функции: 021.2б. а) у = агссоз (х - 1) -б) у = агссоз (х + 2) + 021.27. а)у = б )у = 021.28. а) I/ = б)у = 021.29. а) у = -3 агссоз х; в) у Зк — агссоз х; г) г/ агссоз 2х; в) у х 5к. г) у агссоз д - ; л, если х < -1; < агссоз х, если - -1 < х < V* - 1 если х > 1. 1 = 2 агссоз х; = | агссоз (л; + 1,5). х = -агссоз -д; = агссоз 2(л: - 1) - 1; б )у = агссоз х, если -1 < х < 0,5; К Л к / К < —, если 0,5 < х < —; о о л:, если 7С з < х < 3. •21.30. Постройте график функции: ч 271 а) у = агссоз х ; о в) у = -2 агссоз |дс|; б) у = агссоз | лс |; г) г/ = агссоз | х -2| Вычислите: 21.31. а) агс1& 1; в) агс1& >/3; б) агс!е (-л/з); Г)аг«е[-^ • 21.32. а) агсс^ё —; 3 V Л / б) агсс1& 1; г) агсс1& 0. 119 Вычислите: 021.33. а) агсс!# (-1) + агс^ (-1); / б) аГС81П в) агсс!# г) агссоз 75 2 7Г з V 1Л агсс*е (—л/з); агс*е - агсс*е (-л/!). 021.34. а) б) в) г) 021.35. а) б) 2 агсзт 75 + агс!# (-1) + агссоз —; 2 3 агсзт — + 4 агссоз агс1;ё (-7з) + агссоз 4~2 75 - агс1§ 75' агсзт (-1) - ^ агссоз + 3 агсс1& А Сл + агсзт 1; " 751 31П (агс*&(-7з)); агс^е I ; V / в) сое (агс!# 0); г) с1® (агс!# (-1)). 021.36. а) (агсс^ 1); б) 8И1 (агсс^л/з); в) сое (агсс!# (-1)); ( / г) с1* 2 агсс!;& 1 \\ К 021.37. Найдите область определения функции: а) у = агсзт х + агс!;& х; б) у = агсс1ё у[х + агссоз в) у = агс!# — - агссоз (2х - 0,5); г) у = агсзт (х2 - 1) + агс!;& 2х + агсс!# (х - 1). 120 021.38. Исследуйте функцию на четность: ч агс*е х. а) У = ' -“Г"» б) у = 81П2 х + х агс!ё х; в) I/ = агсзт л; + агсс1& х; г) у = 2 агсс1& л; + л;5 - 3 агсзт 2л:. 021-39. Найдите область значений функции: а) у = 2 агс1& х; в) г/ = 1,5 агсс1& л; - б) у = —^ агсс1& х; г) у = к - 2 агс1^ х. Постройте график функции: 021.40. а) у = агс!е (-*); б) I/ = агсс^ё (-*); 021.41. а) у = агс1§ (х - 1) - б) у = агсс^е (х + 2) + -| 021.42. а) у = 0,5 агс^е х; б) у = — - агсс1е х; 021.43. а) у = агс!ё Зх; _ч , X к б )у = агс!д - - в) у = -агсс^ё х; г) у = -агс1§ (-х). в) У = агсс^е х; г) у = 1,5 агс!ё (х + 2). в) у = агсс!^ г) у = агсс^ё 2(х - 1). 021.44. Постройте и прочитайте график функции: ГагсЪё х, если х < 0; а) У =\ г— I ух, если х > 0. Гагсс1§х, еслих < 1; |агс% х, если х > 1. в) у = -2 агсс^ё |х|; г) у = агс!&х + ^ . О °21.45. а) у = |агс1е х|; б) у = агсс!д|х|; 121 Вычислите: ( ( 021.46. а) соз агсзт АЛЛ 13 б) (агсзт 0,6); 021.47. а) 8И1 агссоз — |; 021.48. а) 8И1 б) соз агс1&- агсс1& — 5 / в) соз агсзт - _8_ 17 г) (агсзт (-0,8)). в) зт (агссоз (-0,8)). / Г 5 V 13 ; \ ( 4 А б) агссоз V > ) г) с*е агссоз — 1 5) В) 81П агсс!§ г) соз агс!& 3 ( $\\ 12 •21.49. Докажите, что х а) зт (агс*ё х) = ’ х б) Ьё (агсзт х) = ^» 1 . в) зт(агсс*®х) = ^ + ^ ’ г) 1¾ (агссоз х) = ^ ~ **. Постройте график функции: •21.50. а) у = соз (агссоз х); б) у = агс1& х + агс1& (-х); в) у = (агс!ё х); г) у = агсзт х + агсзт (-х). •21.51. а) у б )у в) У г) У агссоз х + агссоз (-я); агссоз — + агссоз х \ У агсс1& х + агсс1& (-х); агсс1& \Гх + агсс1& {-у[х). •21.52. а) у = зт (агссоз х); б) у = (агсс!^ х); •21.53. а) у = агссоз (соз х); в) у = соз (агсзт х); г) у = с!# (агс!^ х). б) у = агс!^ (¾ *). 122 в) агссоз (Зл; - 3,5) Решите уравнение: 021.54. а) агсзт 2х = б) агс*е (4х + 1) = —; г) агсс^ (4х + 1) = 021.55. а) агсзт (Зх2 - 5х + 1) = б) агсЪд (х3 - 27 - 7з) = в) агссоз (Зх2 - 10х + 2,5) = -¾ О г) агсс^ (х3 - 8л;2 + 15л; + 1) = 021.56. а) агсзт ( -\ *5 [3 л л - агсэт - ё = б) агссоз | ~ + агс!§ л/2х - 1 --^=0. О 021.57. а) 8 агсзт2 х + 2л агсзт х = л2; б) 18 агс!#2 х - Зп агс1^ х = к2; в) 18 агссоз2 х = Зп агссоз х + п2; г) 16 агсс1&2 х + Зл2 = 16л агсс1& х. 021.58. а) агсзт Г 1 ^ 2л; + 3— = агсзт ( 2х\ 1 3 ^ 9 ] б) агс1^ (л;2 - 9) = агс1^ 8л;; в) агссоз (Зл; + 1) = агссоз (2л; + 5); г) агсс^ (л;2 - л;) = агсс^ (4л; - 6). •21.59. а) агссоз х = агс!# х; б) агссоз х = агсзт х; в) агссЬё х = агсЬё х; г) агсзт х = агсс1& х. Решите неравенство: °21.60. а) агссоз х > б) агсЬ§ х > Зл 4 ’ ч . Зл в) агсзт х < —; 4 ". 4’ г) агсс1& х < о •21.61. а) 9 агсзт2л; < л2; в) 16 агссоз2 х > л2; б) 36 агсЬё2 х > л2; г) 9 агсс^2 х < л2. •21.62. а) 8 агсзт2 х + 2л агсзт х < л2; б) 18 агсЬё2 х - Зл агсЬд х > л2; в) 9 агссоз2 х < 9л агссоз х - 2л2; г) 16 агсс^2 х + Зл2 > 16л агссЬё х. I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I г Тригонометрические -Г уравнения Г| I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I § 22. простейшие тригонометрические уравнения и неравенства Решите уравнение: 22.1. а) соз х = —; -ч >/2 б) соз х =-------; 22.2. а) соз л; = —; о ч 7з в) сое х = ——; г) СОЗ X - Л б) соз х - -1,1 ч в) соз х =-------; 3 ч л/б г) СОЗ X = ----. 2 022.3. Найдите корни уравнения на заданном промежутке: Гъ а) соз х = —, х € [0; 2я]; 2 б) соз * = х € [2л; 4я]; Са 42 в) соз х = —, х € [-71; Зл]; Са г) СОЗ X - -1, X € 2к 2 Решите уравнение: . ч 8 соз х - 3 22.4. а) ~ у . о = !; 7 о соз л: + 2 3 соз х + 1 , 5 соз л: б) ----9----+------5“ 1,75. 022.5. а) 6 сое2 х + 5 сое х + 1 = 0; б) 3 + 9 С08 X - 5 81П2 х. 124 1111111 ¢22.6. Найдите корни уравнения на заданном промежутке: а) сое х = х 6 [1; 6]; 72 б) СОЗ X = —, X € 12 4 в) соз х - , х € [2; 10]; . 7г г) соз л: = ——, л: 6 . 5 к -*Т 022.7. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке: а) соз х = х € [1; 6]; б) соз х = -0,4, х € [3; 11]? Решите уравнение: /ч 22.8. а) зш х= А в) зт л: = 1; б) зт х - —; ч • 1 г) зт х = —. 22.9. а) зт л: = ; 2 в) зт л: = -1; • 72 б) зт х = ; 2 ч • 1 г) зт х = . Са 22.10. а) зт л; = ч • !. в) зт х = -у; • Л. б) зт х = —; 4 ч • я Г) 81П X - —. о °22.11. а) (2 соз х + 1)(2 8И1 х - 73) = 0; б) 2 соз х - 3 зш х соз х = 0; в) 4 зт2 х - 3 81П * = 0; г) 2 81П2 х - 1 = 0. °22.12. а) 6 зт2 х + зт х-2; б) 3 соз2 х - 7(зт х + 1). 125 022.13. Решите уравнение: V • 2 Зх у[2 . 2 3^ - а) 81П----------= 81П х - соз — + 1; 4 2 4 б) соз2 2х - 1 - соз х = — - 8И12 2х. 2 Найдите корни уравнения на заданном промежутке: 22.14. а) 8И1 х = х € [0; л]; б) соз х = х € [-л; л]; & л/2 в) зш х = ——, х € [-л; 2л]; а л/з г) соз х = —, * € [-2л; л]. 022.15. а) 8хп х — х € I Не 2’ 4 ^ 5 л -т;6 б) 81П X = , X € & [9 в) зш х = —, х € (-4; 3); 2 г) зш х - х € (-3; 6). Са 022.16. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке: а) зш х = 0,6, х € ^Л о ^ -; Зл 4 б) зш х = , х € (2; 7)? о Решите уравнение: 22.17. а) х = 1; 1— в) Ьёх = б)Ьёх= г) Ьёх = 22.18. а) Ъё х = 0; в) 1ё х = б) х = -2; г) Ьёх = ч/з 3 ' -3; 1 2' 126 22.19. а) с1ёх = 1; б) с*е х = ч/З; 22.20. а) с!д х = —ч/З; б) сЬё х =-1; 22.21. а) х - 3 = 0; б) 2 I®2 х + 3 1® х - 0; 22.22. а) I®2 х - 6 1¾ х + 5 = 0; б) I®2 х - 2 1® х - 3 = 0. ■Я 22.23. а) зт 2х = & ^ х 1 б) сое 1 22.24. а) 81п = й. 2 ’ /ч б) с08 (-2х) = ——; а в) с1& х = 0; г) 0¾ х = у. в) с1® X = -у; г) с!& х = -5. в) 4 х - 9 = 0; г) 3 х - 2 х = 0. ч . х 1 в) 8Ш - = г) соз 4х = 0. в) 1® (-4х) = -щ; г) 0½ -11 = 1. 022.25. а) 2 соз б) ч/31® г X ял £ + 1 3 6 = ч/З; = 3; в) 2 81П Г) 8И1 3» - I) = -Я; / х ял + 1 = 0. 022.26. а) соз — - 2х 6 = -1; В) 2 8И1 /я X л = ч/З; 6)½ 7С _ Х_ 4 2 = -1; г) 2 соз - - Зх 4 = ч/2. °22.27. Найдите корни уравнения на заданном промежутке: а) 81п Зх = у, [0; 2л]; в) 1® = у, [-Зл; Зл]; ч/з б) соз Зх = —, [-л; л]; г) с1® 4х = -1, [0; л]. А Я 127 Найдите корни уравнения на заданном промежутке: 022.28. а) 81п х = —[-4; 4]; б) сое х = 1, [-6; 16]. 022.29. а) 81п ^ = 0, [-12; 18]; б) сое Зх = [1; 7]. 022.30. Решите уравнение зт "о 2х----- 4 = -1 и найдите: а) наименьший положительный корень; к 3 к б) корни, принадлежащие отрезку в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие интервалу 2 2 ( _л к П;2 022.31. Решите уравнение сое 'к 0 ' = — и найдите: а) наименьший положительный корень; к 3 к б) корни, принадлежащие отрезку в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие интервалу Я -71 — 2 Решите уравнение: •22.32. а) \х + 3| зт х = х + 3; б) 2\х - 6| соз х = х - 6. •22.33. а) л/16 - х? зт х = 0; б) (72 СОЗ X - 1)л/4х2 - 7х + 3 = 0; в) 77х - х2 (2 сое х - 1) = 0; г) (2 зтл: - 7з)л/3х2 - 7х + 4 = 0. 022.34. Найдите область определения функции: 31П х . а) У - 2 сое х - 1’ в) У = Гх . апд:’ б)у = Я — 3 С08 X ’ г) I/ = %/х - 5 128 Найдите область значений функции: #22.35. а) у = зт х + у/-соз2х; б) у = соз х + у/-Ш12Х. #22*36. а) у = соз Зх + 7со?Зх^Т; б) у = зт + -у/зт2 4л: - 1. Решите уравнение: #22*37. а) |зтл:| = |соз л:|; в) |зт2л:| = |л/Зсоз2л:|; б) у[з с1& х = 2|соз х\; г) у/2 х + 2|зт х \ = 0. •22.38. а) (2л: - 3) | зт х | = зт х; б) (Зл: - 7) соз х = 5 | соз х |. •22.39. а) л:21 х | + 9 ^ х = 0; б) л:2 с!& х - 4 | с!& х | = 0. •22.40. а) (2л:2 - 12л: + 13) зт х = 3 | зт х\; б) (л:2 + 8л: + 11) |соз 2л:| = 4 соз 2л:. •22.41. Сколько корней имеет уравнение: / -Л а) 8И1 б) соз V *) л/8х - х2 - 7 - 0; 2х + - К/10 - х* - Зх = 0? Решите неравенство: 22.42. а) сое I > б) сое % < ; А °22.43. а) соз * < о _ , 1 б) соз ¢ > ; 7 •22.44, а) 3 соз2 ¢-4 соз ¢ > 4; б) 6 соз2 * + 1 > 5 соз 1\ ч * ^ -Я. в) соз ¢ >----; 2 г) соз Ъ < \* & ч Л 2 в) соз ¢ > —; о г) соз ¢ < в) 3 соз2 ¢-4 соз ¢ < 4; г) 6 соз2 ¢+1^5 соз ¢. 129 Решите неравенство: 022.45. а) 4 соз2 * < 1; в) 9 соз2 ^ > 1; б) 3 соз2 ^ < соз г) 3 соз2 ^ > соз 22.46. а) зхп 1 > V . . ^ л/з в) зт 1 < —; Са б) зхп 1 > — Г) 81П ^ Са 022.47. а) зхп * < О в) зхп 1 > б) зхп 1 > -0,6; г) зхп 1 < -0,6. •22.48. а) 5 зт2 * > 11 зт * + 12; б) 5 зт2 * < 11 зт ^ + 12. •22.49. а) 6 соз21 + зт I > 4; 022.50. а) х < \[3; б) х > 0; б) 6 СОЗ2 ^ + 81П * < 4. в) х < 0; г) с1& х > -1. 022.51. а) х < 3; б) 3 с!& х - 1 > 0; 022.52. а) I*2 х > 9; б) 1^2 х > х; в) сЬ§ х < 2; г) 2 Ьё х + 1 > 0. в) Ьё2 х <9; г) 1^2 х < 2 1ё х. 022.53. а) зт 2х < 1, 2’ в) соз Зх > ч/з. 2 ’ б) 3 соз 4х < 1; г) 7 зт > -1. Са 022.54. а) зхп б) 008 | 2 ~ X 2’ в) соз Зх г) 81П V (Зп 1 4’ X < 7з 2 ' Найдите область определения функции: •22.55. а) у - ч/зхп* + -Л=; Ч/СОЗ* б) у = у сое х - 2х; 130 1 в) у = Ьё 2х - г) и = ——;-----1С08Х------- ' У 81П 4х ^ л/1 - 2зтх _1_ у/2' #22 .56. а) у = агсзт| + ^втх + б) у = агссоз (2х - 1) + л|-у=- - сов х. Решите уравнение: ,2 _ , „-2 . #22.57. а) зт х + зт Зх = 0; б) соз 2х + 1 = соз #22.58. а) зт 4х + соз 2х = 2; б) зт 5х + соз Зх = -2. При каких значениях параметра а множество корней заданного уравнения не пусто: 022.59. а) зт х = 2а - 1; в) соз х-За -2; б) соз х = 2а2 - 5а + 1; г) зт х - а2 - 3? •22.60. а) а соз х 2 соз х + а 5; б) а зт х + 1 2а - 3 зт х •22.61. Решите уравнение с параметром а: а) зт л \ _ а - 1. 3 ^ а + 1’ 711 _ 2а - 1 ч а - 2 ’ •22.62. Решите уравнение: а) — соз 2пх = л/З; б) зт (2л соз х) = -. & ^2.63. Решите неравенство: а) зт #л/4 - х? < 0; б) со&ху/х + 2 - х2 > 0. ^22.64. При каких значениях параметра а решением заданного неравенства служит любое действительное число: а) а соз х - 2 < 0; б) (2а - 3) зт х + 1 > 0? 131 Решите систему неравенств: •22.65. а) 51ПЛГ > — О соз л; > —; о б) 81П X < -, сов х < 0,6. •22.66. а) •22.67. а) 81ПХ < V* 2 ’ Ъ&х > 1,5; , 7з , аш > -0,8; б) б) сов л: > --, < -0,1. сов л: < -, с1®х > -3. 18111 2х < 2 25 - х2 > 0; б) сов^Зх + |х + 2| < 3. 42 2 ’ § 23. Методы решения тригонометрических уравнений Решите уравнение: 023.1. а) 3 8ш2 х - 5 зт х - 2 = 0; б) 3 зт2 2х + 10 зт 2х + 3 = 0; в) 4 зт2 х + 11 зт х - 3 = 0; г) 2 зт2 -^--3 зт ^ +1=0. а ^ 023.2. а) 6 соз2 х + соз х - 1 = 0; б) 2 соз2 Зх - 5 соз Зх - 3 = 0; в) 2 соз2 х - соз х - 3 = 0; г) 2 сов2 | + 3 сов | - 2 = 0. О О 023.3. а) 2 зт2 х + 3 соз х = 0; б) 8 зт2 2х + соз 2х + 1 = 0; в) 5 соз2 х + 6 зт х - 6 = 0; г) 4 зт Зх + соз2 Зх = 4. 132 023.4. а) 3 Ьёг х + 2 <;§ х - 1 = 0; б) с1&2 2х - 6 с1& 2х + 5 = 0; в) 2 Ьё2 х + 3 Ьё х - 2 - 0; г) 7 с1ё2 + 2 с1ё ^ =5. 023.5. а) <;§ х - 2 сЬё х + 1 = 0; ^ + 5 _ 1 б) ---2---- 2 9 сое X в) 2 0¾ л:-31^л: + 5 = 0; ч 7 - с\&х 1 Г) ---~л-- = ——о—• 4 81П X 023.6. а) 2 соз2 + 7з соз — = 0; б) 4 соз2 -3 = 0; в) 73 1&2 Зл: - 31¾ Зл: = 0; г) 4 31П2 2л: + -3 -1 = 0. 023.7. а) зт2 х - ——— зт х - 3^2 = 0; б) соз2 л: - 2 8 - 7з соз х - 2л/з = 0. 023.8. а) л: + Ьё2 х - 3 Ьё х = 3; б) с!ё4 2л: - 4 с!ё2 2л: + 3 = 0. 023.9. а) б) (соз 2х + 1) = 0; соз2 (2л: + | зт | = 0. °23.Ю. а) л: зт 2л: = 0; б) (1 + соз х) - 1 зтл = 0; в) соз х 1® Зл: = 0; г) (1 + соз х) °23.Ц. а) зт х = — соз л:; 4 б) б) 3 зт х = 2 соз х; в) 2 зт х + 5 соз х = 0; г) зт л: соз х - 3 соз2 х = 0. 133 ГЧЭ |Н Решите уравнение: 023.12. а) зт х + >/з соз х = 0; в) зт х - 3 соз х = 0; б) зт х + соз х = 0; г) >/з зт д: + соз х = 0. 023.13. а) зт2 л; + зт д: соз х = 0; б) >/з зт д: соз д: + соз2 х = 0; в) зт2 д: = 3 зт д: соз х; г) у/з соз2 х = зт х соз х. 023.14. а) зт2 х + 2 зт д: соз д: - 3 соз2 д: = 0; б) зт2 х - 4 зт д: соз д: + 3 соз2 д: = 0; в) зт2 х + зт х соз х - 2 соз2 д: = 0; г) 3 зт2 х + зт х соз х - 2 соз2 д: = 0. 023.15. а) зт 2д; = соз 2д;; в) зт -- = ^/3 соз С* & б) у/з зт Зд: = соз Зд:; г) у[2 зт Пх = у[б соз 17д;. 023.16. а) 2 зт2 2х - 5 зт 2д: соз 2д: + 2 соз2 2д; = 0; б) 3 зт2 Зд: + 10 зт Зд: соз Зд: + 3 соз2 Зд: = 0. 023.17. а) зт2 — = 3 соз2 б) зт2 4д: = соз2 4д:. & Ск 023.18. а) 5 зт2 х - 14 зт х соз х - 3 соз2 х = 2; б) 3 зт2 х - зт х соз х = 2; в) 2 соз2 х - зт х соз х + 5 зт2 х - 3; г) 4 зт2 х - 2 зт х соз х = 3. 023.19. а) 5 зт2 х + у/з зт х соз х + 6 соз2 х = 5; б) 2 зт2 х - 3 зт х соз х + 4 соз2 х = 4. 023.20. а) 3 зт2 2д: - 2 = зт 2д: соз 2д:; б) 2 зт2 4д: - 4 = 3 зт 4д: соз 4д: - 4 соз2 4д\ 023.21. а) 4 зт2 - 3 = 2 зт ~ соз Ск Ск Ск б) 3 зт2 + 4 соз2 = 3 + у/з зт соз о о О о 023.22. а) зт2 х - 5 соз х = зт х соз х - 5 зт х; б) соз2 х - 7 зт х + зт х соз х = 7 соз х. 023.23. а) зт6 х + зт4 х соз2 х = зт3 х соз3 х + зт х соз5 х; б) 81П2 х соз2 х - 10 зт х соз3 х + 21 соз4 х = 0. 134 ^23.24. а) сое® х + зт6 х = —; -4 X б) соз - 2 зт4 - - 1 2 = 2. Решите систему уравнений: 023.25. а) • 2 зт х - 5 соз у = 7, 5 зт х + соз у = 4; б» 1 зт х + соз у = , 023.26. а) • 2 1 б) - 81П X соз у = —; ч С* 5 зт 2х + 3 соз 3у = 1, 8 зт 2х - 6 соз 3у = 7. 81П — - соз 2у = 1, 2 2 зт2 — - 3 соз 2у = 2. 2 * Решите уравнение: #23.27. а) \с1% х\ = 0¾ # + “г 81П X б) X + ^ с*ё х = I—— - 1 - 1. 9 \со&х •23.28. а) |соз х\ = 2 соз х - у[з зт х; б) зт х = у[з соз х + 2 | зт х\. ч зт х + соз х 023.29. а) ^ = 0; 81П X б>с«*+ 1 + соз* = 2‘ •23.30. а) »«-V8’111**1 = 0; ' СОЗ X - СОЗ X ч сое х + сое л; в> —— = 0; г) 1 = СОЗ X. 1 + ^х 4 зт3 2х - 3 зт 2х б>-----БГО-----= °- •23.31. Для каждого значения а решите уравнение: а> ы а зт х - 1 81П X + СОЗ X = 0; Решите уравнение: •23.32. а) х2 - 2х соз кх + 1 = 0; •23.33. а) соз5 х + зт4 х = 1; •23.34. а) 3 зт2 ^ + 5 зт2 х = 8; а соз х - 1 б) ------------- = 0. ' зт х - соз х б) х2 - 2х зт ^ +1=0. б) соз8 х + зт3 х = 1. б) соз2 2х - 2 соз3 Зх = 3. 135 •23.35. Решите уравнение: а) 2 51п ^л; - ^ -3 сое 12х + -| ^ = 5; г х — 2я б) 81П + 2 СОЗ --д-- = 3. •23.36. а) ^5 - 281пл: = 6 зт х - 1; б) + 4созх = 3 соз х + 0,5. •23.37. а) 73 81п х -Л 81П2 X - 2 81П X СОЗ х + 3 соз2 х = 0; б) соз х + -у/зт2 х - 4 зт х соз х + 4 соз2 х = 0. •23.38. а) у!з^п^х^-~со^~х~^^ = 1 - зт х; б) у/2 соз 4х - зт2 х - 2 = 1 + соз х. Решите неравенство: •23.39. а) 4 81П X | соз х - 1 > 2 зт х - 2 соз х; б) 1 + 2 зт х > 4 зт х соз х + 2 соз х. 6 СО 3 а) 4 зт2 х - 2(у/3 - 1) зт х - - 73 < 0; б) 4 соз2х - 2(у/3 + 1) соз х + 7з ^ о. со О! • а) зт х - соз х > 0; в) зт х + б) зт х - л/з соз х < 0; г) л/з зт •23.42. а) зт2 х - 6 зт х соз х + 5 соз2 х > 0; б) зт2 х - 6 зт х соз х + 5 соз2 х < 0; в) зт2 х - 3 зт х соз х + 2 соз2 х < 0; г) зт2 х - 2 зт х соз х - 3 соз2 х > 0. I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ г преобразование [ тригонометрических -г выражений Г| I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I § 24. Синус и косинус суммы и разности аргументов 24.1. Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислите: а) зт 105°; б) соз 105°. 24.2. Вычислите: а) зт 15°; б) соз 15°; в) зт 15° соз 15°; г) соз2 15° - зт215° Упростите выражение: 24.3. а) зт (а + р) - зт а соз р; б) зт 1 ' - - зт а; в) зт а зт р + соз (а + р); г) соз "а + ^ - + — зт а. 2 24.4. а) зт 5 к 6 а - — соз а; С* б) у/з соз а - 2 соз V 6 ) , л/з . , Г 5л в) — зт а + соз а —— 2 13 Г) л/2 81 зт | ос — — I — зт а. 24.5. а) соз (а - р) - соз а соз р; б) зт (а + р) + зт (а - р); 2д Л . зт (а + р) - соз а зт р. зт (сс - р) + соз а зт р ’ зт (а - р) + 2 соз а зт р . ' 2 соз а соз р - соз (а - р) ’ в) зт а соз р - зт (а - р); г) соз (а - р) - соз (а + р). соз (а + р) + зт а зт р. в * соз (а - р) - зт а зт р ’ г) соз (а - Р) - 2 зт а зт Р 2 зт а соз р - зт (а - р) ’ 137 1111111 24.7. Представив 2х в виде х + х, докажите тождество: а) зт 2х = 2 зт х соз х; б) соз 2х = соз2 х - зщ2 * Докажите тождество: 24.8. а) зт (а + р) + зт (-а) соз (-р) = зт а соз р; б) соз (а + р) + зт (-а) зт (-р) = зт а соз р. /о 24.9. а) соз х + ^ 8*п х = зш 1 7з . б) 2 008 х - ^2~ 8Ш х = соз ч у[з 1 . в) соз х - 2 зт х = зт л 1 . у[з . г) 2 С08 х + 8т х = соз з + * (к 1з X X \ / \ 24.10. а) зт Ъх соз Зх + соз Ъх зт Зх = зт 8л:; б) соз 5л: соз Зл: - зт 5л: зт Зл: = соз 8л:; в) зт 7л: соз 4л: - соз 7л: зт 4л: = зт Зл:; г) соз 2л: соз 12л: + зт 2л: зт 12л: = соз Юл:. 24.11. а) соз (а - р) + зт (-а) зт р = соз а соз р; б) зт (30° - а) - соз (60° - а) = ->/з зт а; в) зт (а - р) - соз а зт (-р) = зт а соз р; г) зт (30° - а) + зт (30° + а) = соз а. л/2 соз а - 2 соз гг “ а 024.12. а) ----т------г—*-------* = ->[2 ^ос; 2 зт I ^ + а | - >/§ зт а соз а - 2 соз ^ + а б) ------т------= ->/3 а. 2 зт а - ^ - у[з зт а Используя формулы сложения, выведите следующие фор' мулы (их называют формулами приведения): 24.13. а) зт (л - х) = зт х; в) (2л - х) = х; б) соз (71 + л:) = -соз х; г) с!& (к - х = -с1& х. 24.14. а) зт | ^ + х | = соз х; в) б) соз | Щ - х I = -зт х; г) с!& л 2 Х Зл — + х 2 х; = 138 Вычислите: 24.15. а) зт 74° соз 16° + соз 74° зт 16°; б) соз 23° соз 22° - зт 23° зт 22°; в) зт 89° соз 1° + соз 89° зт 1°; г) соз 178° соз 2° - зт 178° зт 2°. 24.16. а) зт^ сов+ соз^ зт^-; 20’ 5л 2 к 5л .2л б) СОЗ--- СОЗ----81П--- 81П - , 7 7 7 7 ч л 11л , л 11л 12 12 12 12 ч 2л л . 2л . л г) соз — соз - - 31П — 81П —. 15 5 15 5 24.17. а) соз 107° соз 17° + зт 107° зт 17°; б) соз 36° соз 24° - зт 36° зт 24°; в) зт 63° соз 27° + соз 63° зт 27°; г) зт 51° соз 21° - соз 51° зт 21°. 5л 3л . 5я . Зя а) соз — соз Ь 81П 81П 8 8 00 00 . 2л к , 2я . я б) зт — соз — + соз 81П —; 15 5 15 5 л л я . я в) СОЗ — соз зт — зт —; 12 4 12 4 л л я . я г) зт — соз — - СОЗ — 81П —. 12 4 12 4 024.19. Докажите равенство: а) зт 75° соз 75° = 4 б) соз2 75° - зт2 75° = в) зт 105° соз 105° = г) соз2 75° + зт2 75° = 1. °24.20. Решите уравнение: а) зт 2х соз х + соз 2х зт х = 1; б) соз Зх соз 5х = зт Зх зт 5х; в) зт 6х соз х + соз 6х зт х = & л/з г) соз 5х соз 7х - зт 5х зт 7х =-----. 2 139 024.21. Найдите наименьший (в градусах) положительный коре^ уравнения: а) 8И1 X С08 45° + С08 X 81П 45° = = соз 17° соз 13° - зт 17° зт 13°; б) соз х соз 45° + зт х зт 45° = = зт 200° соз 80° - соз 200° зт 80°. 024.22. Решите уравнение: а) соз 6* соз Ъх + зт 6х зт Ъх = -1; б) зт Зх соз Ъх - зт Ъх соз Зх = 0,5. 024.23. Найдите корни уравнения на заданном промежутке: а) зт 0,2л; соз 0,8л; + соз 0,2л; зт 0,8л; = соз Зл; соз 2л: + + зт Зл; зт 2л;, х € [0; Зл]; б) соз 0,7л; соз 1,3л; - зт 0,7л; зт 1,3л; = зт 7л; соз 9л; -- зт 9л; соз 7л;, х € [-к; к]. Решите уравнение: 024.24. а) >/2 соз | ^ - х \ - соз х = 0,5; б) л/2 51 81П к _ х_ 4 2 , . х 4з + 81П — = ----. 2 2 024.25. а) — зт х - — соз х = 1; ’ 2 2 б) зт х - соз х = 1; V 4з , 1 . - в) ---СОЗ X + — 81П X = Ц ’ 2 2 ^ г) у/3 соз X + зш X = 1. 024.26. а) — зт х + — соз х = 1; ’ 2 2 б) зт х + соз х = 1; ч л/з 1 . - в) ----СОЗ X------81П X = Ц 2 2 г) у/з соз х - зш х = 1. 024.27. Зная, что зт I - —, 0 < I < —, вычислите: э ^ а) 81П б) соз ! + ‘> в) 81П г) СОЗ (- \ 2 § + ( 5 7С 024.28. Зная, что соз I = , — < I < л, вычислите: 16 6 а) зт б) соз Зл в) соз г $ + ---- 2 ( - \ I + ^ 6 ч . | , Зл^ г) 81П | г + — 140 8 4 тс 7С 024.29* Зная, что зт а = —, сое р = , 0 < а < —, 0 < Р < —, найдите значение выражения: а) зт (а + Р); б) соз (а + р). ¢24.30. Зная, что зт а = у соз р = -Щ, ^ < а < я, ^ < р < я, найдите значение выражения: а) зт (а + Р); б) соз (а + Р). 024.31. Зная, что зт а = зт Р = 0 < а < у < р < 2я, найдите значение выражения: а) 81п (а + р); б) соз (а + р). 5 я 024.32. Зная, что зт % - —, — < I < я, вычислите: 1о ^ а) зт | - - г |; в) з1п I 2 “ * 1; б) соз | г - | |; г) соз | - - * |. 3 Зя 024.33. Зная, что сов I - —, — < ^ < 2я, вычислите: 5 2 а) зт I % - - в) соз I Зя\ б) зт | * - -у |; г) соз | г - | |. °24.34. Зная, что зт а = Ф, соз Р = —^ < а < я, ^ < Р < я, вычислите: а) зт (а - р); 17 2 б) соз (а - р). °24.35. Зная, что зт р = соз а = -0,8, я < Р < ^ < а < я, 1о 2 2 вычислите: а) зт (а - Р); б) соз (а - Р). 141 Решите неравенство: 024.36. а) зт Ъх сое Зх - сое Ъх зт Зх > б) С08 X С08 ^ + 81П X 81П ^ ч . х х х . х ^ 1 в) 81П — С08----С08 — 81П — < —; ; 4 2 4 2 3 у1з г) 81П 2х 81П Ъх + С08 2х С08 Ъх >-----. 2 024.37. а) 81п х сое Зх + соз х зт Зх > б) СОЗ 2х СОЗ Ъх - 81П 2х 81П Ъх < о ч . х х . 2 в) 81П X СОЗ — + СОЗ X 81П — < ч X X . X . X у]2 г) СОЗ — СОЗ----81П — 81П — > ---. 2 4 2 4 2 •24.38. Докажите, что для любого действительного значения х справедливо неравенство: а) зт (5 + х) соз х < соз (5 + х) зт х; б) соз (7 - 2х) соз 2х > зт (7 - 2х) зт 2х. 024.39. а) Зная, что зт [ х - — 2к 7 к = 0,6 и — < х < —, вычислите: о о 81П X. б) Зная, что соз ^х + Щ ^ = -0,8 и ^ < х < вычислите: соз х. 024.40. Определите знак числа а: а) а = (соз 1 + соз 2)2 + (зт 1 - зт 2)2 - 2; б) а = (зт 3 + соз 4)2 + (соз 3 + зт 4)2 - 1. 024.41. Сравните числа а - соз х соз 2х и Ъ = соз Зх, если: а) 0 < х < |; б) — < х < к. А 024.42. Сравните числа а = вш х соз 2х и Ь = зт Зх, если: а) - < х < п; б) п < х < у. 142 #24-43 #24-44' #24.45. Сравните числа а и Ь, если: 81П 3 СОЗ 3 в 81П 4 СОЗ 4 а) а “ 81п 4 ’ ^ “ соз 4 ’ б) а - сод 5 ’ Ь — д^п ^ а) Зная, что сое (х + у) = а, сое (л: - у) = Ь, найдите л: г/. 1&л: б) Зная, что зт (х + у) = а, зт (х - у) = Ъ9 найдите т~* “о У Докажите, что не существует пары (х; у)> такой, что: а) зт х сое у = 0,7; сое х зт у = 0,4; >/е . . >/г б) СОЗ X СОЗ у = -; 81П X 81П у -----. *24.46. а) Докажите, что если (а + р) зт у = соз у, то а + р + + У = \ + ян; б) докажите, что если с!& (а + р) зт у = -соз у, то а + р + + у = кп; 024.47. Постройте график функции: ч . 11л: х + Юл 11л: . х а) у = зт —-— соз--------соз —-— зт —; 5 5 5 5 б) у - соз (2х + соз Гл: + + + зт 2л: + ^ | зт | х + 9л Вычислите: •24.48. а) зт + агссоз^ |; б) соз + «тя>Г-§" в) 81П - - агсзт - |; ч | Л .5 г) соз--агсзт — 1 2 13 •24.49. а) зт б) сое ( 4^ агссоз —- I 5у + агсзт- О агс!®^ + агсзт! --4 I 5 %24.5о. Докажите равенство: .4 2 , 1 агсзт---агссоз —= = агс1&—. 5 л/5 2 143 Докажите равенство: •24.51. агссоз — + агссоз Г41- агссоз 13 14 _ л л к а . 4 5 • 10 я •24.52. агсзт — + агсзт — + агсзт— = —. 5 13 65 2 § 25. Тангенс суммы и разности аргументов Вычислите: 25.1. а) Ьё 15°; б) 1* 75°; 25 2 а) * ?*?.+ * ^1; а) г ^ 25° 20° 1-1ё 70° 1^65°. ^ё 70° + ^ё 65° ’ Упростите выражение: 25 о ^2,22 + ^0,92 а) х _ ^2,22 1ё 0,92 25.4. а) в) 105°; г) 1¾ 165° 9° + 1^51° . 1 - 9° 1ё 51° ’ 1 + 1ё 54° ^ё 9° г) 1^54° - 1^9° ’ 1ё 1,47 - 0,69 1 + 1,47 12 0,69’ *(1+агМ1~а , 1-4е(1 + а)*е(1-аУ _ (45° + а) - 1& а 1 + 1е(45° + а)1;еос' Докажите тождество: 025.5. а) = *ё(45° - а); Зя Зя б) 1¾ - х ^ * = I# — х ^ X - 1; Ьё а + 1¾ р <;& а - 1¾ Р _ Ьё (а + р) (а - Р) г) |а + ^ а = 1 + ^ + а ^ Ьё а. 025.6. а) (а + Р) - (*е а + Ьё Р) = (а + Р) а Р; б) (а - Р) - (Ьё а - Р) = (Р - а) а I# р. 144 1^2 2х - 1&2 х 025.7. а) 1_Ьё22хЬё2х = 1* Зх 1ё х; Ьё2 30° - 1ёг 15° 1 - 1ё2 30° Ьё2 15° “ 15°‘ 25.8. Представив 2х в виде х + х, докажите тождество *ё2х= 1^х _ п „ 1$(сс - р) - 1#а + 1$р 025.9. Докажите, что значение выражения ---(а - р) р----- не зависит от значения р. 025.10. Вычислите: а) ^ё к ) , 2 - - а , если а = г Л б) I а + ^ , если Х& а = о 025.11. Известно, что Х& а = Х& р = Вычислите: 2 3 а) (а + р); б) 1® (а - Р). 025.12. а) Вычислите ос, если | а - — | = 3; б) вычислите с!& а, если С чт \ а+<, = 0,2. 025.13. а) Зная, что ос = 3 и (ос + р) = 1, вычислите р; б) зная, что а = ^ и (ос - р) = 2, вычислите р. Х2 37С 025.14. Известно, что вт а = , к < ос < —. Вычислите: 13 2 а) | а + ^ |; б) Ьё | « - 1 |- 3 я °25.15. Известно, что сое ос = —, 0 < а < —. Вычислите: Э 2 а) 1® а + |> бИе | а - ^ 145 025.16. Дано: а - Р = —. Докажите, что: а) П 1 + Еёр 1-е*Р = Её а; Ееа - 1 б) *еа + 1 “ Р- 025.17. Решите уравнение: а) Её х + Её 3* 1 - Её х Её Зх = 1; Ее 5х - Ее 3* _ /л °* 1 + Её 3* Её 5* 025.18. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-л; 2л]; УЗ-Её* _ а) 1 + УзЕе* -1’ 025.19. Решите неравенство: х •»7Гф^<1; Её ~ Её 2* йч ----5-------- = Уз. ' Её |г Её 2х + 1 б) > 1. Зх + 1 025.20. Решите систему уравнений: |е& (х + у) = -з, а [2 Её X - Её у = 0; [2 Её л: + ЬёУ = 5. •25.21. Вычислите Р, если известно, что Её (а + Р) = -3, Её (а - Р) = 1 3 “ 2 1 Л „ а „ = ЯИ9<Р<Я- •25.22. Вычислите: а) Её б) Её \ + агсЕё| |; Зл - агссоз ми г) Её 5), V В) Её 11 - агссЕё | I; . 4 , . 3 агсзш— + агсс1& — 5 4 •25.23. Докажите, что прямые у = 3х+1иу = 6-2х пересекаются под углом 45°. •25.24. Точка К — середина стороны С1) квадрата АВС1). Чему равен тангенс острого угла между диагональю АС и отрезком ВК? 146 § 26. Формулы приведения Упростите выражение: 26.1. а) 8ш И 26.2. 26.3. 26.4. 26.5. 26.6. б) соз (2л - ^); а) зт (л - ^); б) С08 5 + ‘) а) соз (90° - а); б) 81П (360° - а); а) (90° - а); б) с1&(180° - а); в) С08 | у + * |; г) 31П (л + *). в) сое (2л + *); г) зт ^у - I в) зт (270° + а); г) сое (180° + а). в) (270° +а); г) с1# (360° + а). Вычислите с помощью формул приведения: а) зт 240°; б) 300°; в) соз 330°; ч 5 л а) соз —; ( 11*0 б) 8Ш | Ч . 7л. в) 81П —; г) соз -?} а) зт 3090°; б) 2205°; в) сое 4650°; г) 0¾ 4110°. 026.7 026.8. а) соз 630° - зт 1470° - с!§ 1125°; б) зт (-7л) + 2 соз -¾ о 4 в) 1800° - зт 495° + сое 945°; г) соз (-9л) + 2 зт 49л ^ 6 ) - 21л 026.9. г) с*е 315°. Упростите выражение: а) зт (90° - а) + соз (180° + а) + (;§ (270° + а) + с!& (360° + а); б) зт * - соз (л - ¢) + (л - *) + с!ё I ~ * 147 Упростите выражение: сое (180° + а)соз(-а). 026.10. а) з1п ( а) з1п (90о + а) . 5И1 (Я ~ *) СОЗ (2Я - 1) . ^ (я - *) сое (я - *) ’ ЗИ1 (-а) (-а) в> соз (360° - а) (180° + а)’ 81П (Я + *) 81П (2Я + *) г) (я + *) СОЗ (т-1 026.11. а) СОЗ (я — *) + СОЗ | — - I 8111 (2Я - *) - 81П ( ^ - I 81П2(Я - *) + 31п б) 81П (Я - *) Ап2(|~0 (я - г). зт3 (а - 270°) соз (360° - а). 026.12. а) (а _ 90О) созз (а _ 270О) б) - . Зя , зт|Т + соз (я - х) с1& (Зя соз (2л - у) (11л - л:) I2 ~у) 026.13. Докажите тождество: 1е(я-«) . 8Ш(~2+*, = 2 соз(л + *) + ^ ’ б) в) 31П (Л - () оы. соз (2я - ¢) = 81П %\ г) *е(Л + 0 ^Л + ^ 8Ш(-() СОЗ2(Л - о + 31П2 - *] + соз (л + О соз (2л - о “■ИМт-) ■■4-т] = С08 С08 (2я - *) ^\г-1 соз2 = С08 *. 148 Вычислите: 026.14, а) б) 11 соз 287° - 25 8Й1557° 81П 17° 13 зт 469° - 8 соз 341° соз 19° 026.15. 026.16. а) 2 008^ + 88111^ 5 8Ш^ + 2С08^ 10 . СОЗ ^ о б) 5л 7 25 л 14 . 2л 51П — а) зт 77° соз 17° - зт 13° соз 73°; б) соз 125° соз 5° + зт 55° соз 85°. соз [- + * )с08 {--А - СОЗ - - ЛсОЗ и [12 ] и ; 1 026.17. а) зт^ + ~ + + *)з1п(з ~ 12 соз 105° соз 5° + зт 105° соз 85° . 026.18. а) зш 1950 С08 50 + соз 195о з1п 185о; зт 75° соз 5° - соз 75° сое 85° б) соз 375° соз 5° - зт 15° зт 365°' 026.19. +„ 19л . 7л Ьё 36 4ё36 1*380°+ 1*25° ° аб " аб а> 1*225° + с1*290°с1*65°’ б> д 7, _ , о оо 026.20. Известно, что с!& - х^ = 0,4, ^ + у^ = -3. Вычислите: а) (х + у); б) с!& (х - у). Решите уравнение: °2б.21. а) 2 соз (2л + х) + зт ± + х\ = г; б) зт (л + х) + 2 соз 2 + х | = 3; в) 2 зт (л + х) + соз | — - х^ г) 3 зт (— + х ] - соз (2л + х) = 1. 11л ’ 36 149 Решите уравнение: 026.22. а) 5 вш | -^ + ж - вш | Щ- + ж | - 8 сов (2л - ж) = 1; б) 81П (2л + ж) - сов — - ж | + вш (л - ж) = 1. 026.23. а) вш2 (л + ж) + сов2 (2л - ж) = 0; б) 81П2 (л + ж) + сов2 (2л - ж) = 1. 026.24. а) вш — + 2ж 1 + сов Г— - 2ж = 0; 2 12 \ / \ / б) 2 вш (л - Зж) + сов (2л - Зж) = 0. 3 сов | те — — |=0; 026.25. а) сов |^ - : б) л/з ВШ ^Л - ^ + 3 81П ^ ~ ^ = 0. 026.26. а) вш2 ж + сов — - ж вш - ж | - 2 сов2 ж = 0; б) 81П2 Зж + 3 сов2 Зж - 4 вш | -| + Зж сов | — + Зж в) 81П2 ж + 2 вш (л - ж) сов ж - 3 сов2 (2л - ж) = 0; г) вш2 (2л - Зж) + 5 вш (л - Зж) сов Зж + 4 вш2 [ — - Зж 026.27. а) 3 вш2 | + вш | вш || - ^ = 2; б) 2 сов2 ^ - 3 вш А Л - | СОВ 2л - | + 7 ВШ2 | = в) 4 сов2 + 3 сов2 (л + ж) = 3; — + Ж ) + -\/3 81П ГЩ - X I 81П (л + ж) + Зл Г) 3 81П2 + 2 81П2 (Ж - л) = 2 ж — I — 2 сов I + ж | сов (л + ж) + 150 026.28. а) 2 8И1 (я + х) - 5 сое | — + х б) 2 сое2 X + 5 С08 Г- \ к ---X 2 У + 2 = 0; 4 = 0; |-*|-1 = 0; 026.29. в) 2 С082 X + 8Н1 V * ; г) 5 - 5 81П 3 (я - х) = С082 (я - Зх). а) 2 1&2 2х + 3 (я + 2я) = 0; б) Ъ&2 Зх - 6 --Зх = 0. 026.30. а) 3 | - 2 с*е + §1 - 1 = 0; б) (тс + х) + 2 Ьё | — + х | + 1 = 0; в) 3 1¾2 4х - 2 с!е (- 4х = 1; г) 2 с!& х - 3 | — - х 026.31. а) зш2 х + соз2 2х + соз2 б) 2 соз2 х - зш I х - — + 5 = 0. Зя — + 2х | + 2 соз х х = 1; Сл = 0. + 1ё X 1ё | х + - 026.32. Постройте график функции: а) у = зш (Зя + Зх) зш 99я + зш —; б) у = С08 (Я + X) С08 16я + С08 -Т-. г Зк > - X + ЗШ + Зх I2 ) к2 ; г \ Зя X - СОЗ [ ^ + X V 2^ I2 ) 8Ш (4Я -Х) + 3 к + х С08 ------- + •26.33. Докажите равенство: 81П 50° + сов 50° _ а у[2 8И1 85° _ соз 40° - у[з зш 40° 0 б>----------------------= 2- 151 •26.34. Докажите, что: а) агсзт х + агссоз х = —, х 6 [-1; 1]; С* б) агс1& х + агсс1& х = —, х € К. & Вычислите: •26.35. а) агсзт . 2 п 81П---- б) агссоз | зт-^р в) агсзт г) агссоз “'-Т г соз 2к •26.36. а) агсзт б) агссоз ( —соз ■ 4 к сов 24к в) агс1ё г) агсс1§ Ч*)) Ч 7 ) •26.37. Постройте график функции: а) у = агсзт (зт х); б) у = агсзт (соз х). § 27. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени Упростите выражение: 8И1 21 27.1. а) соз* -8Ш<; в) соз21 - соз 21\ б) 8111 6^ . Г) сое 21 _. сов2 3*’ С08 1 - 8И1 1 ~ 8111 81П 40° . зт 100° в 27.2. а) 81П 20° ’ в) 2 соз 50° ’ б) сое 80° Г) СОЗ 36° + 8Н12 18° соз 40° + зт 40° ’ соз18° 27.3. Вычислите: а) 2 зт 15° соз 15°; в) сое215° - зт215°; б) (сое 75° - зт 75°)2; Г) (соз 15° + 81п 15°)2. 152 Вычислите: 27.4. а) 2 81п | соз . к к 1 б) 8Ш-СОЗ- + -; 1&75° . 27.5. а) 1_ ^75°’ 27.6. а) 51П 21-2 51П X . соз 1-1 9 ^ 006¾ - сое2*. 6) 1-соз2* ’ 27*7* 1ёТ+^*ё7; « 2 °' 1**-с*в*’ ч 2 л . 2 л в) СОЗ — - 81П —; 8 8 л/2 Г л . л'' Г>Т“ С08 8 + 8Ш8 б) 2¾ 5 к 12 х—2 5Л ’ 18 12-1 в) зт 2% % - 1; г) 2 С082 ^ * * - 2 81П2 в) (1 - 1&2 £) соз2 г) (½ * + £) 81П 2%. Докажите тождество: 27.8. а) (зт I - соз £)2 = 1 - зт 2%\ б) С084 I - 8Н14 I = С08 2%\ в) (8И1 I + СОЗ О2 = 1 + 31П 21\ г) С084 I - 8Н14 % = 1 - 81П2 2*. 27.9. а) 81П2 2* = -—^)В^; в) 2 зт2 2* = 1 + зт - 4* ; б) 2 зт2 ^ + соз % - 1; г) 2 соз2 * - соз 2* = 1. Сл 027.10. а) соз2 3* = 1 + зт I 5 - 61 б) 1 - соз X 1 + соз ^ = 2 1. 2’ в) зт2 т + 2Н= г) 1 - соз * зт I 1 - зт 4^. 2 ’ °27.Ц. а) 1 + 81п а = 2 соз2 45° - - б) 2 зт2(45° - а) + зт 2а = 1; в) 1 - зт а = 2 81П2 45° - — г) 2 со82(45° + а) + зт 2а = 1. 153 027.12. а) - Докажите тождество: сое 21 8Н11 СОВ I + 8И1 1: - + I) - 1; ЗИ1 2* - 2 81П - * б) СОЗ I ^ * 1 - 81П2^ = -2 в) (с!^ I - 1® *) зт 21 = 2 соз 21; 1 - сов21 + 8И121 _ Л г) 1 + соз2* + зт2* ^[2 ) = соз % __ . _ ч 81П 2г 027.13. а) ^ + С08 2% 1 + соз * соз I б, зт 21_________________ ' 1 + соз 21 1 + соз * 1 - соз 21 + зт 2% = ъ~г 0081 = **. 1 + со4 4 & 027.14. а) х + з1п 21 + С08 2^ *’ Х + совЙ-зшЙ _ ±^(п _ 1 + 811^ + 006¾ П 027.15. а) соз21 - сое2 б) зт21 - зт2 1-1 4 1-г 4 4~2 1 42 зт 81П - - 21 81П 4Х 027.16. а) соз х соз 2х = 4а1п ^ зт 8л: б) соз х соз 2х соз 4х = 3 8^п" ”» 81П 4х в) зт х соз 2л; = . . ~ . вт 8х г) 81П X 008 2х 008 4х = ^С08х‘ 027.17. Проверьте числовое равенство: а) зт 18° соз 18° сое 36° = ^ зт 72°; б) зт 18° соз 36° = 154 если: ^27.18. Упростите выражение ^1 - 008¾ + ^1 + сов2*, а) 1 6 1 М | Я Я 1 9 в) 1 € N б) { € 1 1 1 ; г) г € 1 1 а 27.19. Вычислите (с помощью формул понижения степени): а) 81П 22,5°; б) сое 22,5°; в) зт г) соз о о 027.20. Вычислите: а) 311111°15' соз 11°15' соз 22°30' соз 45°; /р* \ • ТС тс тс тс б) 81П---СОЗ----СОЗ---СОЗ----. ; 48 48 24 12 . . 1 + соз 40° + соз 80° , А{ЛО 027.21. а) • ^40°; б) 8И1 80° + 8Н1 40° 1 - соз 25° + соз 50° 8И1 50° - ЗИ1 25° -1*65°. _ . зт 125° соз 125° 027.22. а) з1п 55о соз 55° ’ соз 150° _ зт 150° ' зт 40° соз 40° ’ •27.23. а) соз Я , . Я У 3 к . зя! — + 81П — СОЗ----81П — ; 8 8 Д 8 8) _ . 7л( 4 7я . 4 7л) в>япт(сов ш~81п Те/ Я . Я V 3 п 3 л в) СОЗ----81П-- СОЗ -- + 81П - } ( 12 12 Д 12 12 Я [ з Л • 6 Я | г) 81П--- СОЗ-------81П ---- . 12 24 24 1 •27.24. а) зт2 Зя 8 + соз2 Зя 8 + зт4 Зя 8 + соз4 Зя 8 + зт6 Зя 8 + соз6 б) 2 5я • 2 5я А 5я • 4 5я 6 5я • 6 СОЗ 8 - 81П 8 + соз 8 - зт 8 + СОЗ 8 - 81П •27.25. а) СОЗ я 2я соз — соз 4я СОЗ 8я 16я соз 33 33 33 33 33 б) я 2я 4я 8я 16я 32я СОЗ соз — соз соз — соз соз . 65 65 65 65 65 65 Зя. 8 ’ 5л 8 ’ 155 •27.26. Докажите равенство: а) 8 сое 10° сое 20° сое 40° = с1& 10°; б) зт 70° + 8 сое 20° соз 40° сое 80° = 2 сое210°. 027.27. Известно, что 8Ш I = ^ < I < п. Вычислите: 1о 2 а) зт 2%; б) соз 21; в) 2%; г) с1& 21. 027.28. Известно, что соз х = 0,8, 0 < х < —. Вычислите: а) зт 2х; б) соз 2х; в) 2х; г) сЪ& 2х. о 027.29. Известно, что 1% х = —, 180° < х < 270°. Вычислите: а) зт 2х; б) соз 2х; в) 2х; г) сЪ& 2х. 3 к 027.30. а) Известно, что соз I - —, 0 < I < —. Вычислите: I .1.1: . 1 сое 81П Ьё 2’ с*е 2' 3 Зя б) Известно, что сЬ& I = —, к < I < —. Вычислите: 1 . 1 , 1 , 1 СОЗ 81П ^ С1ё 3 я 027.31. а) Известно, что зт 2х = — < х < к. Вычислите: 5 2 соз х, зт х, Ьё х9 с1ё х. 3 5я б) Известно, что 2х = —, к < х < —. Вычислите: СОЗ Ху 81П Ху 1& Ху с!& х. «л ч г» , х „ 2х - я 2х + я. 027.32. а) Зная, что — = а, найдите зт —-—, соз —-—, 2 2 2 , х „ х - Зя х + Зя б) зная, что — = а, найдите зт —-—, соз —-—. 4 & & 527 я я •27.33. а) Зная, что соз 4* = ———, -г < х < —, вычислите зт#; о25 4 2 _ , 17 я ^ ^ Зя , б) зная, что соз 4* = —, — < х < вычислите х. о1 ^ 4 027.34. Вычислите зт я _ я 2 6 х + — |, если: 6 а) 8Н1 I % - 5 I = а; б) соз | -| + ^ | = о. 156 027.35. а) Известно, что зт 2а = —- Вычислите зт4 а + сое4 а. б) Известно, что зт4 а + соз4 сх=^и^<а<л. Вычис- 50 А лите зт 2а. 5 027.36. Известно, что соз 2х = —. Вычислите: 1о а) зт4 х + соз4 х; б) зт8 х - соз8 х. 02131- Сравните числа а и Ъ, если: 027.38. Выразите: а) зт 3* через зт х; б) соз 3* через соз х. 027.39. Опираясь на результаты № 27.38, сформулируйте необходимое и достаточное условие для выполнения равенства: 027.40. а) Зная, что /(х) = зт х, /(а) = 0,1, вычислите /(За); б) зная, что /(х) = зт х, /(а) = 0,25, вычислите /(4а); в) зная, что /(х) = соз х, /(а) = -0,1, вычислите /(За); •27.41. а) Зная, что 15 соз 2* + 8 зт ^ = 9 и 1 < К 3, вычислите б) зная, что 6 соз 2* + 5 соз * + 3 = 0и4<*<6, вычислите с1ё г. •27.42. а) Докажите, что если зт2 х = зшу соз у, то соз 2х = б) докажите, что если соз2 х = зт у соз у, то соз (л + 2х) = а) зт Зх = 3 зт х; б) соз 3* + 3 соз х = 0. 2 г) зная, что /(х) = соз х, /(а) = -, вычислите /(4а). о 157 •27.43. а) Известно, что х = —, зт у = ^,0<х<|,0<»<|. Докажите, что х + 2у = 7 7 3 я б) Известно, что зш х = —, соз у = —, соз г = —, 0 < х < — 25 25 5 2 О < у < ~, 0 < 2 < “• Докажите, что х + = г. & Сл & •27.44. а) Зная, что 1 = 2 агссоз —, вычислите зш £, соз £, £, с1§ 5 ( 3^ б) зная, что 1 = 2 агс1& -т > вычислите зт £, соз £, ^9 \ 4 У ( 5 ^ в) зная, что 1 = 2 агсзт | |> вычислите зт соз %9 12 г) зная, что 1 = 2 агсс1& —, вычислите зт £, соз £, 1¾ 5 с1ё £. 3 III •27.45. а) Зная, что г = агссоз вычислите зт —, соз —, 5 2 2 2 б) зная, что I = агс1& в) зная, что I = агсзт г 3Л 4У 5 ^ • * * . *. , вычислите зт —, соз —, ге 2 2 2 13 . * * , *. > вычислите зш —, соз —, -» 2 2 2 ч , х 12 . г г , г г) зная, что * = агсс1§ —, вычислите зш —, соз —, —- 5 2 2 2 Решите уравнение: 27.46. а) зт 2х - 2 соз х = 0; б) 2 зт х = зт 2лсг; в) зт 2лсг - зт х = 0; г) зт 2лсг - соз х = 0. 27.47. а) зт х соз х = 1; Ч 2 X . 2 X 1. в) соз - - зт - = б) зт 4х соз 4* = Сл г) зт2 х - соз2 х = тг. 158 ¢27.48. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 2л]: а) сое 2х + 3 зт х = 1; в) сое 2х = сое2 х; б) 81П2 X = -С08 2х; г) С08 2х = 2 8И12 X. ¢27.49. Решите уравнение: а) 2 - сое 2х + 3 зт х = 0; б) сое 6х - соз 3* - 2 = 0; в) 26 зт х соз х - соз 4х + 7 = 0; г) 81П4 X + С084 X = 81П X СОЗ X. ¢27.50. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения: зт 22,5° сое 22,5° а) 008 х = сое2 67,5° - зт267,50’ ап2 75° - сое2 75° б) 81П X — 4^150 ¢081.5° Решите уравнение: 027.51. а) 3 зт 2х + соз 2х = 1; б) соз 4х + 2 зт 4х = 1. 027.52. а) 4 зт х + зт 2х = 0, х 6 [0; 2л]; б) соз2 Зх + . 2 - зт Зх + 4) 1 4) + Т = 0’*6 Зл т;л 027.53. Сколько корней имеет уравнение: а) (соз х - зт х)2 = 1 - 2 81П 2х, на отрезке 20л. 28л 9 ’ 9 б) 2 соз2 \2х - — л. Зл 2’ 2 2 зт2 \ — - 2х \ + 1 = 0, на отрезке Решите уравнение: °27.54. а) 1 - соз х = 2 зт ; Сл X б) 1 - соз х = зт х зт —; °27.55. а) ет2 2х = 1; б) сое2 Зх - - 4’ в) 1 + сое х = 2 сое —; а г) 8И1 х = Ь&2 ^ (1 + соз х). Са в) ет2 Г2х - -Л г) сое2 1^ + -^1=1 159 027.56. Найдите корни уравнения, удовлетворяющие неравенств а) 4 8Н12 х + 8Н12 2х = 3; б) 4 сое2 2х + 8 соз2* = 7. •27.57. Решите уравнение: а) зт 2х + 2 8И1 х = 2 - 2 соз х; б) 4 8И1 2х + 8 (зт х - соз х) = 7. 027.58. Докажите тождество: а) зт х = 2*е-1 + *ё ,2Х б) СОЗ X = 1+^2| 027.59. Используя замену и = ^ и тождества из упражне ния 27.58, решите уравнение: а) зт х + 7 соз х = 5; б) 5 зт х + 10 соз * + 2 = 0. 027.60. Вычислите если известно, что: а) зт х + соз х = 1,4; 0 < х < Зтс б) зт * - соз х = 0,2; л < х < Решите неравенство: 027.61. а) 4 зт2 3* <3; б) 4 соз2 ^ > 1. 027.62. а) зт 2* соз 2* < —; 2 X .2X^1 б) СОЗ -4 > 2’ 027.63. а) соз2 2х - зт2 2* < -1; в) 81Л2 Зх - соз2 Зх < -1 _ _ 1 ч . 2х 2х . 1 б) зт эх соз эх > ^; г) 81П -0- СОЗ -д- Ч . Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: 027.64. а) у = 2 соз 2* + зт2 х; б) у = 2 зт2 3* - соз 6*. 027.65. а) у = 3 - зт х + соз 2х; б) у = соз 2х + 4 соз х - 1. •27.66. а) г/ = зт 3* + соз 2* + 4 зт3 *; б) у = соз 3* + соз 2* - 4 соз3 х. 027.67. Постройте график функции: а) у = 4 зт соз б) у = 2 соз2 *. 160 Постройте график функции: 027.б8. а) 027.70. а)у = 11 + СОЗ X 3 II 11 - соз 2х \1 - соз х9 у 1 + соз 2х' 81П 2Х о\ II 31П 2х 81П X 9 СОЗ X 9 соз 2х + 81П х; II 'т' соз 2х + 81П х; 81П X - СОЗ X СОЗ X + 81П X соз 2х + соз х; и 'и соз 2х - СОЗ X. СОЗ X + 81П X СОЗ X - 81П X 027.71. а)у = 2зтх сое л:, если х < О, 2 ап2 4, если х > (¾ 4 б)у = (зт х + сов ху, если х < —, 4 2 + — - х9 если х > —. ч 31П 2х •27.72. а) у = т—:----г; * 81П X в) у = 31П 2х -| соз х\9 б )у = 81П 2х —2| соз л: | ’ ч 81П 2х Г)У= 2[в1п7|' § 28. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение Представьте в виде произведения: 28.1. а) 81П 40° + зт 16°; в) зт 10° + вт 50°; б) 81П 20° - 8И1 40°; г) зт 52° - вт 36°. 28.2. а) СОЗ 15° + соз 45°; в) соз 20° + сов 40°; б) соз 46° - соз 74°; г) соз 75° - сов 15°. 28.3. а) 81П тс 5 " тс . 8Ш 10’ в) 81П ТС 6 ■* - зт б) 81П тс 3 + • ТС. зт ^; Г) 81П ТС 3 " ТС вт ТГ 161 Представьте в виде произведения: 28.4. а) соз т?\ - соб 10 11я . б) соз -утр + соз 20’ 3я. 4 ’ \ к я . в) соз д - соз уу; ч 3я 5 я г) соз ур + СОЗ -у. 28.5. а) зт Ы - зт 1\ б) соз (а - 2р) - соз (а + 2р); в) соз Ы + соз 4*; г) зт (а - 2р) - зт (а + 2р). 28.6. а) 1* 25° + 1* 35°; . я . я . б) 5 - ^ё 10’ в) 1* 20° + 40°; ч , Я , 71 Г)^г 4- 028.7. а) - соз б) + зт и в) 1 + 2 соз г) соз I + зт I. 028.8. а) зт Ьх + 2 зт 6х + зт 7х; б) 2 соз х + соз 2х + соз 4х. 028.9. а) зт I + зт 21 + зт Ы + зт 41\ б) соз 21 - соз 41 - соз 6* + соз 8*. Докажите тождество: 28.10. а) зт 2а + зт 6а соз 2а + соз 6а “ ^ а’ б) соз 2а - соз 4а Л , соз 2а + соз 4а “ ^ а* 028.11. а) б) зш (а + р) + зт (а - р) соз (а + Р) + соз (а - (3) соз (а - [3) - соз (а + Р) зт (а + р) - зш (а - р) а; Ьё а. X X х — у 028.12. а) зт х + зт у + зт (х - у) = 4 зт ^ соз соз —^ ЗШ X + 81П 2х + зш Зх соз х + соз 2х + соз Зх “ х’ 028.13. а) зт2 (а + р) - зт2 (а - р) = зт 2а зт 2р; б) соз2 (а - р) - соз2 (а + р) = зт 2а зт 2р. Вычислите: соз 68° - соз 22°. 028.14- а) 8И168° - 8И122°; 8И1 130° + 81П 110° . в) соз 130° + соз 110°; б) С08т|-С08|’ г) сов||+со*1^ зт а + зи1 За + зт 5а + зт 7а 028.15. а) С08 а + сод да + С08 5а + С08 уа> если с!& 4а - 0,2, зт х - зт 2х + зт Зх - зт 4х §х соз х - соз 2х + соз Зх - соз 4х9 если ~4 “ •28.16. а) зт210° + зт2130° + зт2110°; б) соз2 35° + соз2 25° - соз2 5°. #28.17. а) соз 24° + соз 48° - соз 84° - соз 12°; б) Ьё 9° - Ьё 63° + Ьё 81° - Ьё 27°. Проверьте равенство: 28.18. а) 81П 35° + 81П 25° : = соз 5°; в) соз 12° - сов 48° = зт 18°; б) 81П 40° + СОВ 70° : = сое 10°; г) соз 20° - зт 50° = зт 10°. 028.19. а) 81П 20° + 81П 40° - соз 10° = 0; б) С08 85° + соз 35° - соз 25° = 0. 028.20. а) 81П 87° - 81П 59° - зт 93° + зт 61° = зт 1°; б) сое 115 0 - сов 35 ° + соз 65 >° + соз 25° = зт 5°. •28.21. а) 81П 47° + 81П 61° - зт 11° - зт 25° = соз 7°; б) 55° • - 1« 35° = 2 1$ 20°. •28.22. Докажите, что если а + р + у = я, то выполняется равен- ство: а) 1ё а + 1ё р + у = 1ё а *>ё Р *>ё У ; б) зт а + зт р + зт у = 4 соз ^ соз ^ соз °28.23. а) Зная, что зт 2х + зт 2у = а, соз 2х + соз 2у = Ь (а Ф 0, Ъ ф 0), вычислите (х + у); б) зная, что зт х - зт у = а, соз х - соз у = Ъ (а Ф 0, Ъ Ф 0), х х + У вычислите с1ё — 163 •28.24. Докажите: а) если 2 зт х = зт (х + 2у), то 1%(х + у) = 3 у; б) если 2 соз х = соз (х + 2у), то с!& (х + у) - 2 х = = х + с1& у. •28.25. Докажите: а) если соз2 х + соз2 у = т, то соз (х + у) соз (х - у) = т - б) если соз2 (х + у) + зт2 х + зт2 у = т, то / . \ 1 — т 81П X 81П у СОЗ (X + у) = ~—• Решите уравнение: 028.26. а) соз х + соз Зл; = 0; в) СОЗ X = = соз 5л;; б) зт 12л; + зт 4л; = 0; г) зт Зл; = зт 17л;. 028.27. а) зт х + зт 2л; + зт Зл; = 0; б) соз Зл; - соз 5л; = зт 4л;. 028.28. а) зт Зл; = соз 2л;; б) зт (5я - л;) = соз (2л; + 7я); в) соз 5л; = зт 15л;; г) зт (7я + л;) = соз (9я + 2л;). 028.29. а) 1 + соз 6л; = 2 зт2 5л; в) . 2 X зт 2 2 7х9 = соз -у; б) соз2 2л; = соз2 4л;; г) 81П2 X + зт2 Зл; = 028.30. а) 2 зт2 х + соз 5л; = 1; б) 2 зт2 Зл; - 1 = соз2 4л; - зт 24х. СО об о х + 5х = 0; в) 2х = 4л;; б) 1& Зх = с!& х; г) с*е| , 4. Зл; + с*е ~2 = 028.32. а) зт х + зт Зл; + соз х + соз Зх = 0, б) зт 5л; + зт х + 2 зт2 х = 1 028.33. Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке а) зт 2х + зт 6х = соз 2х; б) 2 соз2 х - 1 = зт Зл;? 028.34. Найдите корни уравнения, принадлежащие промежуг^ (0; 2,5): а) соз 6х + соз 8л; = соз 10х + соз 12л;; б) зт 2л; + 5 зт 4л; + зт 6л; = 0. 164 28.35. При каких значениях х числа а, Ъ, с образуют арифмети-0 ческую прогрессию, если: а) а = соз 7х, Ъ = соз 2х, с = соз 11л:; б) а = 8И1 Зл;, Ъ = соз х9 с = зт 5х? о28.36. Решите неравенство: а) зт I х + — + 81П | X - — < 1; б) соз | 2х + — + соз о28.37. Постройте график функции: а) у = 1,5 9х + Юте , 9х - Юте соз---------+ соз -ч о1 . 9х + 2к , б) у = 2 | 81П--------- + 81П 3 6 9х - 2к 3 #28.38. Постройте график уравнения: а) зт 2х = зт 2у; б) соз 2х = соз 2у. § 29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму Представьте в виде суммы: 29.1. а) зт 23° зт 32°; /*\ К ТС. б) соз ^2 008 8’ 29.2. а) зт (а + р) зт (а - р); б) соз (а + р) соз (а - р); 29.3. а) соз а зт (а + р); б) зт (60° + а) зт (60° - а); в) зт р соз (а + р); в) зт 14° соз 16°; V о . ТС ТС Г) 2 81П д СОЗ а 2 + 2 Iе08 I 2 в) соз г) 2 зт (а + р) соз (а - Ё) 2 Р Р). г) соз I а + — соз °29.4. а) зт 10° соз 8° соз 6°; °29.5. а) зт х зт у зт г; °29.6. а) зт2 х соз 4х; б) 4 зт 25° соз 15° зт I б) соз х соз у соз г. б) соз2 2х зт Зх. 165 Докажите тождество: 029.7. а) 2 8И11 зт 21 + соз 3* = соз б) зт а - 2 зт | ^ - 15° | соз “ + 15° 1 - 029.8. а) зт2 х + соз б) 4 зт |_Х]С08 (| + х]=^; = 3-4 зт х. (к > \ . (к ^ ) зт — + X 1з , ) 1» ^ 029.9. а) 4 зт х зт | — - х 8111 (^ \ ^ + * 3 = зт Зх; б) Ьёх1ё\-- х \ *й I ^ + * = 1* Зх. •29.10. соз2 (45° - а) - соз2 (60° + а) - соз 75° зт (75° - 2а) = зт 2а. •29.11. а) зт х + зт 2х + зт Зх + зт 4х + ... + зт пх = (п + 1)х пх 8Ш1—2~ 8Ш ~2 . зт| б) соз х + соз 2х + соз Зх + соз 4х + ... + соз пх = (п + 1)х пх С03-- = ' Вычислите: 029.12. а) соз2 3° + соз21° - соз 4° соз 2°; б) зт210° + соз 50° соз 70°. 029.13. а) 28^10о - 2 вт 70°; б) + 4 сов 100°. 029.14. а) 2 вт 87° сов 57° - вт 36°; б) 2 вт 59° вт 14° + вт 163°. 029.15. а) вт 12° сов 72° - сов 33° сов 27°; б) 2 сов 28° сов 17° - 2 вт 31° вт 14° - 2 вт 14° вт 3°. •29.16. а) сов 10° сов 30° сов 50° сов 70°; б) вт 10° вт 30° вт 50° вт 70°. 166 ^29.17. Сравните числа: а) а = 8И11 соз 2, Ъ = зт 3 соз 4; б) а = соз 2 соз 4, Ъ = -зт 3,5 зт 2,5. ^29.18. Докажите неравенство: а) зт (л; + 2) соз (л; - 2) < зт (х + 3) соз (х - 3); б) соз (2х - 3) соз (2х + 3) > зт (1 + 2х) зт (1 - 2х). 3 х Зх #29.19. а) Зная, что соз х = вычислите 16 зт зт ; 3 71 б) зная, что соз х = —д» -^ < л; < я, вычислите 1 «с • х Ъх 125 зт ^ соз ~2~. Решите уравнение: 029.20. а) соз | х + - соз я 3 - 0,25 = 0; б) 81П + ||сОВ ^ 1. 029.21. а) 2 зт х соз Зх + зт 4х = 0; -ч . х . Зх 1 б) зт зт ~2~ = 2* 029.22. а) зт Зх соз х = зт соз б) 2 зт ^ + л; в) зт 2х соз х = зт х соз 2х; г) соз 2х соз х = соз 2,5л; соз 0,5л:. °29.23. Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корень уравнения: а) зт х зт Зл; = 0,5; б) соз х соз Зх = 0,5. °29.24. При каких значениях х числа а, Ъ, с образуют геометрическую прогрессию, если: а) а = соз 6л;, Ъ = соз 4л;, с = соз 2л;; б) а = зт 2л;, Ъ = зт Зл;, с = зт 4л;? 81П Я ---X 4 + зт2 х = 0; 167 029.25. Решите неравенство: а>81п(1 + *)з1п(§- • I Я , X 6) 8Ш | - + - , К X 008 1 6 " 2 <0; > 0; 5тс в) 81П I X - — 1 С08 I X + 1 12 ) I 12 < 0; Г) С08 3х + ж Зх - к С08 6 > 0. •29.26. Решите систему уравнений: а) 1 1 о • х-У х + У 1 2зш—2^ сов —= д; б) С06 (х + у) соз(х - у) = 8И1 (X + у) 8Н1 (X - у) = 029.27. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: к а) У = 81П б) у - 81П ( _ Л / 71 X + — 8 С08 ' 7^ X---- 3/ х - 24 81П X + — 3 •29.28. Постройте график функции: а) у = 2 б) у = -3 Г 5яЛ \ 5я^| зт [12, СОЗ х + й \ У Зх + 71 Зх - 71 С08------- С08 6 6 Постройте график уравнения: •29.29. а) 2 зт (х + у) соз у = зт х; б) 2 соз (х + у) соз х = соз у. •29.30. а) соз ^ 008 = 0082 б) зт ^ соз = соз2 168 § 30. Преобразование выражения Л5тлг+ Всо$х к виду С$т (дг+ Г) Преобразуйте данное выражение к виду С зт (л; + I) или С соз (л; + ^): 30.1- а) >/з зт х + соз х; в) зт х - соз х; б) зтх+ у/з соз х; г) 2 зт л; - л/12 соз л;. 30.2. а) 3 зт х + 4 соз л;; б) 5 соз х - 12 зт л;; оЗО.З. Докажите тождество: в) 7 зт л; - 24 соз л;; г) 8 соз х + 15 зт л;. а) зт х + соз х + у/2 = 2\[2 соз2 I \ ^ |; б) соз 2х - зт 2х - л/2 = -2у[2 зт2 ^л; + 030.4. Преобразуйте сумму в произведение: ( к а) зт I + соз * + 5 соз * + — б) зт I - соз I + >/34 соз [ - * О30.5. Вычислите: зт 38° - соз 38° а) б) л/2 зт7° зт 377° - >/Зсоз170. соз 407° в) зт 17° + у/г соз 17°. 2 соз 347° ’ зт 752° + соз 328° г* 72 зт 437° 030.6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) у = л/З зт л; + соз л;; б) у = зт х - у[з соз х; в) у = зт л; - соз л;; г) у = >/б зт л/2 соз л:. °30.7. Найдите область значений функции: а) у = 3 зт 2х - 4 соз 2л:; б) у = 5 соз Зл; + 12 зт Зл:; в) у = 7 зт ^ + 24 соз л: л: г) у = 8 С08 -д - 15 81П -д* 169 030.8. Существуют ли значения х, при которых выполняется равенство: а) виг Ъх + соз 5х = 1,5; б) 3 зш 2х - 4 соз 2х = >/26; в) зт 7х - л/з соз 7х = г) 5 зт х + 12 соз х = >/170? 030.9. Постройте график функции: а) у = л/2 (зт л; + соз л:); в) у = зт х - >/з соз л:; б) у = л/з зт л; + соз л:; г) у = зт л: - соз х. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: О30.10. а) у = соз л: - 2 зт х - 1; б) 1/ = |5 зт л; + 12 соз л: - 17|; в) у = 3 соз + 4 зт ^ - 5; г) у = \ 7 зт 2х - 24 соз 2х\ + 15. 030.12. При каком значении параметра а наибольшее значение заданной функции равно числу М: а) у = 6 зт 1,5л; - 8 соз 1,5л; + а, М = 17; б) у = 7 зт 0,3л; + 24 соз 0,3л; + а, М = -17? 030.13. При каком значении параметра а наименьшее значение заданной функции равно числу т: а) у = -9 81п 1,4л; - 12 соз 1,4л; + а, т - 1; б) у - 3,5 зт 0,2л; - 12 соз 0,2л; + а, т = -1? •30.14. При каком значении параметра а наибольшее значение функции у = /(л;) равно наименьшему значению функции У = 2(*): а) /(х) = 7 зт 5х - 24 соз 5х + а - 1, §(х) = 3-2 соз 4х; б) /(х) = 9 зт (х - 2) + 12 соз (х - 2) - 5 - а, 8(х) = 2 + 7 81п (2х + 1)? 030.15. Решите уравнение: а) л/з зт х + соз х = 1; в) зт х - >/з соз х = -УЗ; б) 81п х + соз х - л/2; г) зт х - соз х = 1. 170 Решите уравнение: 030-1в- а) соз 2х + у[з зт 2л: = у[2; б) зт 5л: - соз 5л: = —; ' 2 в) соз ^ - л/з зт ~ +1=0; г) 8И1 -0 + СОЗ -д = 1. 030.17. а) 4 зт л: - 3 соз х = 5; б) 3 зт 2л: + 4 соз 2л: = 2,5; в) 12 зт х + 5 соз х + 13 = 0; г) 5 соз ~ - 12 зт ^ = 6,5. 030.18. а) зт 2л: - соз 2х =у[2 зт Зл:; б) у[з зт х - соз х = 2 соз Зл:; в) зт 5л: + соз 5х =у[2 соз х; г) зт 2х + у/з соз 2х = 2 зт 4л:. •30.19. а) 2 зт 17л: + у/з соз 5л: + зт 5л: = 0; б) 5 зт х - 12 соз х + 13 зт Зл: = 0. •30.20. а) (зт х + у/з соз л:) - 5 = соз к ---X 6 б) (л/з зт х - соз л:) +1 = 4 соз | х + — •30.21. а) у[з зт х + соз х + 2 = —х; 5к б) у/2 (соз х - зт л:) = 2л: - & °30.22. Решите неравенство: а) 7з зт х + соз х > б) 3 зт х - 4 соз х < 2,5. °^0.23. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений: а) 5 зт 2л: + 12 соз 2л: = 2а - 1; б) 3 соз ~ - 4 зт ~ + 1 = а2? 171 Докажите, что при любых значениях х выполняется неравенство: 030.24. а) 2 81п2 х + зт 2х < 2,5; б) 16 зт2 Зх + 15 зт 6х < 25. •30.25. а) 3 зт х + 5 соз х < ^210; б) >/з 81П х - 7 сое х > -л/390. 030.26. При каких значениях параметра а решением неравенства является любое действительное число х: а) 12 8ш 2х - 35 сое 2х < 148а2; б) 35 зт 3* + 12 сое 3* > 18,5(а3 - 10)? § 31. Методы решения тригонометрических уравнений (продолжение) Решите уравнение: 031.1. а) зт (х - 1) = соз (х + 2); б) 81П (ЗХ + 3) = соз (х - 1). 031.2. а) 81П X 81П 5х = соз 4х; б) сов х сов / _ Л ( О 031.3. 81П * + — + СОЗ \ X + — = 1 + сов 2х. 1 в) 1 ^ 031.4. а) 2 сов2 5х + соз Зя; = 1; б) 81П 5Х + 81П X + 2 СОЗ2 X = 1. 031.5. а) о . 2 X 8 81П - - 3 зт х - 4- 0; б) А . 2 X 4 8Ш 2 2 X л - - соз т; = 1,5 + вт х. 031.6. а) 81П2 X + 81П2 2х + 81П2 Зх = 1,6; б) сов2 2х + соз2 4я; + соз2 бя; = 1,5. 031.7. а) . 2 х , виг 2 + • 2 . . 2 5я; , зт х + зт “2“ + ■ 8т2 2х = 2; б) соз2 х + соз2 2х + соз2 Зх + соз2 4х = 2. 031.8. 1д(л: - 15°) с1д(л: + 15°) = \- 172 Решите уравнение: •31.9. 8 вт6 х + 3 со8 2х + 2 сов 4х + 1 = 0. #3110. а) 5 8И1 Зх + 2 зт х = 0; б) 7 соз Зх - 3 соз х = 0. ¢31.11. а) 3|соз х\ + 2 соз х = 5|зт х\ - 3 зт х; б) 7|соз х\ - 4 соз х = 3|зт х\ + 2 зт л:. 031.12. а) 4 соз3 ^ + 3>/2 зт х = 8 соз 7 л: з л: . . х б) 1 СОЗ = СОЗ + 81П 031.13. соз4 л: + зт4 х - зт 2х + ^ зт2 2л: = 0. 031.14. а) соз 4л: + 5 соз2 х = 0,75; б) соз 4л: + 3 зт2 х = 0,25. 031.15. 2 зт3 х - соз 2л: = зт х. •31.16. х + с1ё х = 3 + соз 4л:. 031.17. Решите уравнение 2 зт х - 3 соз х = 3 двумя способами: а) с помощью универсальной подстановки и = 1% б) сведя его к однородному уравнению второй степени относительно аргумента Решите уравнение: 031.18. а) 3 зт 2л: + соз 2л: = 2; б) соз 4л: + 2 зт 4л: = 1. •31.19. зт 2х + х = 2. 031.20. Применив подстановку у = соз х - зт х9 решите уравнение 4 - 4(соз х - зт л:) = зт 2л:. Решите уравнение: •31.21. а) зт х соз х + 6 соз х + 6 = 6 зт х; б) 5 зт 2л: - 11 соз х = 11 зт х - 7. •31.22. 2(1 - зт х - соз л:) + х + с!& х = 0. •31.23. а) соз Щ = соз2 х; б) 32 соз6 х - соз 6л: = 1. 173 031.24. 031.25. •31.26. •31.27. •31.28. •31.29. Решите уравнение: 8т 5х + сое 5х = \[2 сое 13х. а) 3 сое (л: + 1) - 4 эт (х + 1) = 5; б) 15 8ш (2х - 3) + 8 сое (2х - 3) = 8,5. 3 ет х - 5 8т 7л: + — -4 сов х. 6 (зт 2х + \[3 со8 2л:) =2 + 2соз = 0. _ л - - 2л: сое2 л: - сое л: - зт2х 1 - сое 2л: - зтл •31.30. •31.31. 031.32. ТТ - , 10<®л: Найдите корни уравнения сое 4л: + ^ + ^ х ' лежащие отрезку [-2; 1,4]. Решите уравнение: з^| + <***= сое 2л: - 3 сое л: + 1 = (с*е 2л - «лД) зт (х - я)’ С082х(1 + сЪ^х) 8И1Л: - С08 X = 3 С08 X. 031.33. а) 2 - 81П X + С08 2Х л 2 = 0; ол: — кх — к б) б8ш2л: - бзшх + сов 2л: + 1 12л2 - 8тсл: + л2 •31.34. а) 2 с!& Зл: - 2 Зл: - 4 6л: = 1; б) с!& х - Ьё х - 2 Ьё 2х - 41§ 4х = 8 8л:. •31.35. 6х + 5 с!& Зл: = 2л:. •31.36. 81п 5л: + зт х = 2 + 2 сое2 л:. •31.37. ( 81П х + 7з сое л:) 81п Зл: = 2. •31.38. сов 2л: 1 - 3 . 2 о — 81П 2Х 4 = 1. 3, принад* 174 Решите уравнение: ^1.39. 8Д.П х + С08 х = 72 + 81П4 4х. ^1.40. 79 - ж2 (зт 2х - 3 сое л;) = 0. ^1.41. а) 725 - 4Х2 (3 зт 2пх + 8 зт яя) = 0; б) 749 — 4л:2 8т пх + 3 сое -^1 = 0. ,31.42. а) | - |зтл: >/4х - х2 + 5 = 0; б) (2 81п 2х - х) л/2 - х - х2 = 0. •31.43. л/соз2х + у]1 + зт2х = 2^/зтх + созх. •31.44. а) ^ш\7х - зтбх = пх; б) д/соз 5х + С08 х - зт 5х = ^зтх. •31.45. а) 81п (ял/б - х2) = 0,5; б) сов (ял/7 - х2) = -0,5. •31.46. : -7^ 2 + зт --2~2 = 2. 1 + лГ 1 + лГ •31.47. а) Дано уравнение с параметром а: соз 2х - 3 8Н12х = = соз х. Известно, что х = 0 является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни. б) Дано уравнение с параметром а: ^2 зш 2х - а соз 2х + + зт х = 0. Известно, что х = ~ является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни. I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ;г^- р Комплексные числа -К; г I I I I I I I I I I I ! I I I I I I I I I I I I § 32. Комплексные числа и арифметические операции над ними 32.1. Приведите примеры линейных уравнений с действительными коэффициентами, которые: а) имеют целые корни, но не имеют натуральных корней. б) имеют рациональные корни, но не имеют целыхкорней в) имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней; г) не имеют действительных корней. 32.2. Приведите примеры квадратных уравнений с действительными коэффициентами, которые: а) имеют целые корни, но не имеют натуральных корней; б) имеют рациональные корни, но не имеют целых корней; в) имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней; г) не имеют действительных корней. 32.3. Укажите хотя бы одно значение параметра а, при котором у уравнения 2л:2 + 4х + а = 0: а) оба корня целые, но не натуральные числа; б) оба корня рациональные, но не целые числа; в) оба корня действительные, но не рациональные числа; г) укажите все значения а, при которых действительных корней нет. 32.4. Укажите хотя бы одно значение параметра а, при котором у уравнения Зл;2 + ах + 6 = 0: а) оба корня целые, но не натуральные числа; б) оба корня рациональные, но только один из них — целое число; в) оба корня действительные, но не рациональные числа г) укажите все значения а, при которых действительных корней нет. 176 Вычислите: 32.5. а) г3; б) I5; в) I22; г) г17 + г2005. 032.6. а) (-03; в) -I22 - (-022; б) (-205; Г) /3 + г5 + г7 + ... + г2006. 32.7. Найдите значение многочлена г2 + 361 при заданном зна-чении переменной г: а) г = ц в) г - -11ц б) г = -21; г) г = -19(-03. 032.8. Найдите значение многочлена га + Зг при заданном зна-чении переменной г: а) г = -ц в) г = -3ц б) г = у/2ц г) г = -у/Зи 032.9. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным ц и знаменателем, равным -и а) Выпишите первые 7 членов этой прогрессии; б) найдите значение 27-го члена прогрессии; в) найдите сумму первых 2007 членов прогрессии; г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й. Для комплексных чисел 2\ и г2 найдите их сумму 2\ + г2 и разность 2\ - г2, если: 32.10. а) 21 = 1 + г, г2 - 1 - ц в) - -ц г2 = 1 - ц б) 2Х = 1 + г, 22 = -1 + 2ц г) 2Х - 1г + 4г4, г2 = г2 - З(-г)3. 032.11. а) 2Х = 1 + г, 22 = 1 - 2ц б) 2г = 2 + ц г2 = -3 + 2ц в) 21 = Г15, 22 = 15 + ц г) 2Х = I17 + 18г18, г2 = 15г15 - 16(-г)16. 032.12. Дана арифметическая прогрессия с первым членом, равным 3 - 2г, и разностью, равной -1 + г. а) Составьте формулу п-го члена прогрессии; б) найдите значение 15-го члена прогрессии; в) найдите сумму первых 20 членов этой прогрессии; г) найдите сумму членов прогрессии с 10-го до 40-го. 32.13. Докажите, что: а) 2Х + 22 = 22 + 2и 2\ € С, 22 € С; б) (а + Ь)2 = аг + Ьг, а € В, Ь е В, 2 в С; в) (аЪ)г = а(Ьг), а € В, Ъ € В, 2 € С; г) а(2х + г2) = агх + аг2, а 6 В, € С, г2 € С. 177 032.14. Известно, что сумма действительной и мнимой часте$ комплексного числа аг, а € К, равна 1. Найдите а если: а) г = 1 + ц в) г = 13 - 23г; б) г = 7 + Зц г) г = 1 - и 032.15. Вычислите агх + Ьг2у если: а) = 1 + г, 22 = 1 - г, а = 2, 6 = -1; б) 21 = 1 + г, г2 = -1 + 2г, а = -4, Ъ = -5; в) 2х = 1 + г9 г2 = 1 - г, а = -2, Ь = 3; г) 2х = 1 + I, г2 = -2 + Зг, а = 12, Ь = -11. 032.16. Известно, что число агх + 22, а € К, является чисто мни* мым. Найдите а, если: а) гх = 3 + I, г2 = 6 - ц в) 2Х = 8 + 3*, г2 = -1 - 2ц б) 2Х = 12 - 13г, г2 = Зг; г) гх = ц г2 = -1 + 2г. 032.17. Известно, что число 2Х + аг2, а € Л, является действительным. Найдите а, если: а) 2Х = 3 + г, г2 = 6 - г; б) 2Х = 12 - 13г, 22 = (3 + о2; в) 2Х = 8 + 3г, 22 = -1 - 2г; г) 21 = г, 22 = (2 - Зг)2. 032.18. Найдите действительные числа а и Ь, для которых верно равенство г = а2х + &г2, если: а) 2Х = 1, г2 = 1 + ц г = 5 + 2ц б) 2Х = -2 + г, 22 = 3 - ц 2 = г; в) 2Х = 1 + I, г2 = 1 - г, 2 = 3 + 5г; г) 2Х = 4 - ц г2 = -7 + 2г, 2=1. Вычислите: 32.19. а) 1(1 + 0; в) (4 - 300 б) 1(-3 + 20; г) г(4 - 30^(4 + 30. 32.20. а) (1 - 20(1 + 0; в) (4 - 30(-4 + 30; б) (1 - 0(1 + 0; г) (12 + 50(12 - 50- 32.21. а) (1 + О2; В) (2 + О5; б) (1 - О3; г) (1 + О3 + (1 - О2. 32.22. Решите уравнение: а) гг = 1; в) (1 + г)г = ц б) (1 + г)2 = 1; г) (1 + 1)г = 1 - и 032.23. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным г, и знаменателем, равным 1-1. а) Найдите третий член прогрессии. б) Найдите девятый член прогрессии. 178 032.24. 032.25. •32.26. 032.27. 032.28. 032.29. 032.30. •32.31. 032.32. в) На каких местах в этой прогрессии расположены чисто мнимые числа? г) На каких местах в этой прогрессии расположены действительные числа? Вычислите: ч 1. „ 1-1. , 1-1. а> V б> ~Г' в> ТТТ’ г> а) I2 + Г2; б) г3 + Г3; в) г3 + Г5; а4 + ж9 (2-о4 ,6. &) (2 + ЗгХ8 +г) (3- 4гХ8 - 0 ’ 1 + 1 1- Г г) г -3 + Г5. 2г16 - а9 (1 + 204 93 - 361 б) (2 - 302 (3 - 40(24 - 70 + 325 ' Решите уравнение: а) гг = (1 - 0; в) (1 + г)г = г; б) (1 + 1)г = (1 - 0; г) (1 + 1)2г = (1 - О*. Найдите действительные числа а и Ь9 для которых верно 2\ 22 - равенство ~ = а~ + Ъг2, если: 22 2\ а) гг = г, г2 = 2; в) гх = 1 + 2г, г2 = 1 - 2г; б) г! = 1 + г, г2 = 1 - 1; г) гх = 1 + г, г2 = 1 + 21. Найдите значение функции ю = 22 если: а) г = 1 + /; в) г = 2ц б) г = 1 - ц г) г = 2 + I. а) Докажите, что число {-Ь + гу[а) + {ь - 1у[а) при любых действительных значениях а > 0 и Ь является действительным. б) Вычислите (2 + *л/б) + (2 - *л/б) . При каких действительных значениях а число г = (2 - ш)3 - (3 - ш)2 + 5 + а(1 - а2г)\ а) является действительным; б) является чисто мнимым? Для комплексного числа г найдите сопряженное число г г. и вычислите произведение гг и частное — • а) г = ц б) г = -ц в) г = 3 - 7ц Г) 2 =-б- 6 и 179 032.33. По заданному сопряженному числу г восстановите ком плексное число г и вычислите произведение гг и частное г : г. а) г = 2ц в) 2=1-1; б) г = -Зг; г) г = -1 + 3г. 032.34. Дано: гх = 1 - ц г2 = 4 + г. Найдите: ч 21 • а) (¾} ,2’ Ч 21 • в) —> ' 22 ч (¾)2 г) 032.35. Дано: = 3 + 2г; 22 = -2 + Зг. Найдите: а) в) 22 _ . 22 + 21 * б) (21 + 2¾)2 . 21-¾ ’ г) г2 - 2гх (22 + 21>3 * •32.36. Решите систему уравнений: Г 5¾ — 3 2 или Ке г < 3; б) 1т г > 2 или Ке г < 3; в) Ке г > (1т г)2 и (Ке г)2 > 1т г; г) 1т г > 2 Ке г или Ке г < 3 1т г. 182 033.12. а) Ке г + 1т г > 0; б) 1 < Ке г + 1т г < 2; в) 1 < (Ке г)2 + (1т г)2 < 16; г) (Ке г)2 + (1т г)2 < 1 или 16 < (Ке г)2 + (1т г)2. 33.13. Изобразите на координатной плоскости числа гх - 1 - Ь и г2 = -1 + 3Ь, а также числа: а) Згх; б) -2г2; в) гх + г2\ г) Згх - 2г2. 33.14. Изобразите на координатной плоскости числа гх = 2 - ЗЬ и г2 = —5 + 21, а также числа: а) \\ б) -Зг2; в) ^ г) ^ - Зг2. 033.15. а) Изобразите на координатной плоскости числа гх = -3 + г и г2 = 5 + 21. б) Найдите действительный коэффициент а, при котором гх + аг2 — чисто мнимое число. в) По правилу параллелограмма постройте сумму чисел 2\ и аг2 из пункта б). г) Найдите действительный коэффициент а, при котором гх + аг2 — действительное число; по правилу параллелограмма постройте сумму чисел гх и аг2. 033.16. а) Изобразите на координатной плоскости числа гх = -3 + Ь и г2 = 5 + 21. б) Найдите действительный коэффициент а, при котором агх + г2 — чисто мнимое число. в) По правилу параллелограмма постройте сумму чисел агх и г2 из пункта б). г) Найдите действительный коэффициент а, при котором агх + г2 — действительное число; по правилу параллелограмма постройте сумму чисел агх и г2. •33.17. а) Для п - 1, 2, 3, 4 изобразите на координатной плоскости точки гп = (2п -1) + (5- п)ц б) докажите, что все эти точки лежат на одной прямой I; составьте уравнение прямой; в) укажите число, лежащее на прямой I, у которого Ке г = -5; г) укажите число, лежащее на прямой I, у которого 1т г = 8. •33.18. а) Для п = 1,2, 3, 4, 5, 6 изобразите на координатной плоскости точки гп = (п - 1) + (п2 - 5п + 6)г. б) Докажите, что эти точки лежат на одной параболе; составьте уравнение параболы. в) Найдите действительную часть суммы гх + г2 + ... + г6. г) Укажите номер п, начиная с которого мнимая часть числа гп будет больше 100. 183 •33.19. а) Для п - 1, 2, 3, 4, 5, 6 изобразите на координатной 3 ПЛОСКОСТИ ТОЧКИ 2п = (п + 1) + —I. п б) Докажите, что все эти точки лежат на одной гипербо* ле; составьте уравнение гиперболы. в) Укажите точку, наиболее близкую к оси абсцисс. г) Укажите точку, наиболее близкую к началу координат. Решите уравнение: 033.20. а) г Ке г - 1; б) 2 Ке 2 = -1; 033.21. а) 21т 2 - ц б) 2 1т г = -I; 033.22. а) г Ке 2 = г 1т г; б) 2 Ке 2 = г 1т 2\ 033.23. а) 2 Ке (г - 4) = Ь - 4; б) г 1т (г + 21) = 7 - ц в) г (Ке г)2 = 1; г) г (Ке г)2 = -1. в) г (1т г)2 = ц г) 2 (1т г)2 = -Ь; в) г 1т 2 =2 Яег; г) г Ке г = 2 Яег. в) г (Ке г - 6) = 21/ - 9; г) г (1т г + 4) = 10 + 41. § 34. Тригонометрическая форма записи комплексного числа Найдите модуль комплексного числа: 34.1. а) 6 - 81; в) £(2 + I); б) 20 + 211; г) (3 - £)(2 + £). 34.2. а) т, б)--; в)-—, г)—. 034.3. Для комплексных чисел гх - 12 - Ы и г2 = 3 + 4г. а) найдите \2г \ и \г2\; б) вычислите 2\22 и проверьте равенство \ г1г2\ = \гг \ • \г2\; в) вычислите ~ и проверьте равенство г) вычислите ~ и проверьте равенство 34.4. Для комплексных чисел гх - 3 - Ь и г2 - 1 + 2Ь: а) найдите |^| и |^| и проверьте равенства |^| = \гг\ й Ш = \2г\; 1¾ Ы' 184 б) проверьте неравенство \гг + г2\ < \%\\ + \г2\; в) вычислите 21¾ и проверьте равенство 121¾ | = | ^ | | % |; г) проверьте неравенство |*1 - г2\ > \2г\ - \ г2\. 034.5. При каком положительном значении параметра а модуль данного числа равен 10: а) а + 8*; в) (а + 1) + (а - 1)Ь; -ч п \ 50*9 б) 2а + а*; г) а + • Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел гу удовлетворяющих заданному условию: 34.6. а) \г\ = 3; б) |з - 1| = 3; 034.7. а) |* - г| = 1; б) \г + 2*| = 2; в) \г + 2| = 3; г) |* + Зг| = 3. в) \г - 1 - 1\ = >/2; г) |г+4 + 3*| = 5. 034.8. Про комплексное число г известно, что Не г = 3 или Не г = 6. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что: а) |2| = 3; б) |*| = 4; в) |*| = 6; г) |*| = 10? 034.9. Про комплексное число г известно, что Не * = 3 или 1ш г - 4. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что: а) |*| = 3; б) |*| = 4; в) \г\ = 5; г) \ г\ = 10? 034.10. Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел г у удовлетворяющих уравнению: а) |*| = \г - 1|; в) \г - 1| = \г - Ь\; б) |* — 1| = |* — 3|; г) |* + Зг| = |* + 4|. 034.11. Число г задано в тригонометрической форме. Укажите его стандартную тригонометрическую форму: ч 7л , . . 7л. а) 2 = С08 + I 31П -^у б) 2 = С08 Юл + I 31П Юл. ч 9л , . . 9л в) 2 = С08 + I 81П ч 101л , . . 101л г) 2 = СОЗ + I 51П 185 034.12. Число г задано в тригонометрической форме. Укажите его стандартную тригонометрическую форму: ч 11л . . 11л. а) г = сое -0- + г 81П -0-, ( 13л Л . . Г 13л \ б) 2 = С08---0- + I 81П I-0- р В) 2 = С08 99л 4 + 99л 4 Г) 2 = С08 103л 6 + I 81П 103л ^ 6 г 034.13. а) г = сое (13,2я) + I зш (13,2я); б) 2 = С08 (-12,3л) + I 8111 (-12,Зл); в) г = соз (17 агссоз (-1)) + г зт (17 агссоз (-1)); г) г = соз (2 агссоз (-0,5)) + I з1п (2 агссоз (-0,5)). Найдите аргумент комплексного числа: 34.14. а) 51; б) 5,55; в) -5,5*; г) -5,555. 034.15. а) 2 - 21; в) -3 + 3*; б)(-%/з + 02; г)(-3 + 302. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, аргумент которых равен: 34.16. ч Л а) в) Зл 4’ _ Зл л б) — или 4 4 г) Зл —— или 4 л 4' 34.17. ч 2л а)т; в) 5л. 6 ’ л 5л б) или —; г) 2л —— или 3 л 3' 034.18. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, у которых аргумент: а) положителен; в) больше чем а б) отрицателен; ч к г) меньше чем —. 034.19. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, у которых аргумент: ч - л Зл. а) больше чем —, но меньше чем —; сл 4 б) больше чем но меньше чем 4 о 186 ч - 3я я. в) больше чем —, или меньше чем —; 4 о ч 2я - я г) отличается от —— не более чем на —. 0з4.20. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел гу у которых: а) | < аге(г) < ^ и \г\ = 2; б) ^ < аг& (г) < ^ и 3 < \г\ < 5; в) “X < аге(2) < | И \г\ = 8; г) < аг§(г) < или 1 < \ г\ < 2. Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме: 034.21. а) 5; б) Зг; в) -8; г) -0,5г. 034.22. а) 4 + 4 ц б) 1 -1; в) —2 + 2ц г) -2 - 2г. 34.23. а) 7з + Н в) Зл/З- б) —л/З + Ц г) -2л/3 - 2Г. 034.24. а) 4 - 4-Ли в) -2 - 2ТШ; б) 1 + л/Зг; г) -1 + 2 &, 2 034.25. а) 3 - 4 Ц б) -5 + 121; в) 6 + 81; г) -15 - 81 • СО ГО а) 81П 35° - 1 сое 35°; в) —81П 40° + г соз 40°; б) 81П (-23°) • 1 сое (-23°); г) 81П (-20°) - 1 зш (-70°). •34.27. а) 1 - С08 100° + г81П 100°; в) 81П ^ + 1 (л 6я ^ 1 и; б) 81П 471 . Т +1 (л 4я г) 1 - сое 250 ° + 1 81П 610° 034.28. Представьте в алгебраической форме комплексное число: а) 5| С08 — + I 81П — 1 6 6 \ с1 2я , . . 2я | в) 5| С08 — + I 81П — |; б) С08 | | + I 81П г) С08 Зя 1 , . . [ Зя 4 4 187 Выполните действия, используя правила умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме: 034.29. а) бГсов— + Ьзт—1 • — 1 Г Г _ \ ( \\ С08 к + 1 81П К 3 1 6, 6,1] б) (-5 - 50 • | соз^ + *8т-| |; В) 0,3("сОв["-:^ + 181X1 20 ет|! Г**1 5)Г г) ТзГсОЗ— + I 31П — • (2 + 2л/з0. 034.30. а) 8| соз^ + 18111¾ Л : 4 / С08 + 18111 Г-*У| / ч , 4, *)) б) (10 + 100 72( 008¾ + 18111¾ 4 4 в) 12 008 [ ^ | + 181X1 ^||:0,3 ооз^^зш! г) 1б[соз(-| \ ^-?Т1 + 18111 ) 1 : (4 - 4ч/ж). 34.31. а) Зная, что г - *, изобразите на комплексной плоскости О Я О 00 и числа 2, 2 , г, 2 , г и найдите их аргументы. б) Зная, что г = изобразите на комплексной плоскости числа г, 25, 215, 2'25, 2'1001 и найдите их аргументы. 34.32. а) Зная, что г = л/2 + л/2*, найдите 22, запишите числа 2 и 22 в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости. б) Зная, что 2=2- 2л/3г, найдите 22, запишите числа г и 22 в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости. 188 Зная, что 2\ = — + —I И22 = изобразите на 2 2 2 2 034.33. комплексной плоскости числа ги 22, г и найдите аргумент указанного числа г\ а) г = гхг2\ в) г = 2Х(22)3; б) 2 = (2!)222; г) 2 = (2!)5(22)3. 034.34. а) 2 = б) 2 = ^; Зная, что 21 = — + —I и 22 = —изобразите на ком-2 2 2 2 плекснои плоскости числа ги -г2, г и найдите аргумент указанного числа г: •34.35. а) 2 = 2Х22; в) г = 2Х(22)5; б) 2 = (2х)222; г) 2 = (21)11(22)10. 2 24 231 •34.36. а) 2 = —; б) 2 = г\; в) г = -щ'* г) г = 034.37. Каждое комплексное число, действительная часть которого равна -4, умножили на 2. Изобразите на комплексной плоскости полученное множество чисел, если: а) г = ц б) 2 = -ЗЬ; в) 2 = 1 - л/Зг; г) 2 = 3 - г. 034.38. Зная, что 2Х = 2 + Ь, г2 = 4 + 3*, 23 = -1 + И, изобразите на комплексной плоскости треугольник с вершинами гги гг2, 223, если: а) г = Ь; в) 2 = Ч; б) 2 = 2ц г) 2 = 1 - I. 034.39. Зная, что 2Х = 2 - *, 22 = 4 + 3*, 23 = -2 + 5*, изобразите на комплексной плоскости треугольник с вершинами -¾ —» если: а) 2 = Ь; б) 2 = 2*; в) 2 = -г; г) 2 = 1 - Ь. •34.40. Для числа 2 = сое (0,11л:) + Ь зт (0,11л:) укажите наименьшее натуральное число п, при котором: а) аге (гп) > в) аге (гп) > Щ-', б) аг$ (гп) > г) аге (гп) < 0. 189 •34.41. а) Среди корней г уравнения у[3(г + г)(г - г) = 4г* най к дите число, аргумент которого равен —. о _ 7з б) Среди корней г уравнения Ке г 1т г = найдите •34.42. а) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел 2, удовлетворяющих условию \гг - 3* + 4| ^ б) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел г, удовлетворяющих условию \гг - 3 - 4*| < § 35. комплексные числа и квадратные уравнения 035.1. Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение г2 - 4х + а = 0: а) имеет только один корень; б) имеет два действительных корня; в) не имеет действительных корней; г) имеет два действительных корня разных знаков. 035.2. Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение х2 + ах + 9 = 0: а) имеет хотя бы один действительный корень; б) не имеет действительных корней; в) имеет хотя бы один отрицательный корень; г) имеет два действительных корня, больших, чем 1. 035.3. Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение ах2 + 8л: + 16 = 0: а) имеет только один корень; б) имеет действительный положительный корень; в) имеет два действительных корня разных знаков; г) имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна 1. 035.4. Решите уравнение: к число, аргумент которого равен д. а) 22 + 144 = 0; в) 22 + 441 = 0; 190 Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа: 035.5. а) 1 и -г; в) И и -1ц б) 7 + 2^ и 7 — 2/; г) 1 + 1 и 1 - 1. оЗб.б. а) 2г и у; в) -2‘3г и у; б>1 + 3‘и г) (2® + 27 + 23)г и (З4 - Решите уравнение: 35.7. а) г2 - 2г + 2 = 0; в) г2 - 6г + 25 = 0; б) г2 + 4г + 5 = 0; г) г2 + Юг + 61 = 0. 035.8. а) г2 - г + 2,5 = 0; в) г2 - 5г + 6,5 = 0; б) г2 + Зг + 8,5 = 0; г) г2 + Иг + 36,5 = 0. 035.9. При каких действительных значениях параметра а: а) уравнение г2 - 2г + а = 0 имеет корень 1 + ц б) уравнение г2 + 6г + а = 0 имеет корень Ь - 3; в) уравнение г2 - 8г + (а2 + 9) = О имеет корень 4 - 3*; г) уравнение г2 + Юг + (а2 + 4а + 5) = 0 имеет корень -5 + I? 035.10. При каких действительных значениях параметра а: а) уравнение г2 + аг + 5 = 0 имеет корень 2 + /; б) уравнение г2 + аг + 13 = 0 имеет корень -2 - 3/; в) уравнение г2 + (1 - а2)г + 25 = 0 имеет корень 4 + 3*; г) уравнение г2 + (а2 + 2а + 2)г + 41 = О имеет корень -5 + 4/? 035.11. Вычислите у/а + Ыу решив уравнение (х + уг)2 = а + Ы: а) 74; б) 7^4; в) г) >Г2Ы. 035.12. Вычислите у/а + Ы> решив уравнение (х + уг)2 = а + Ы или использовав формулу у/й + Ы — — |7а2 + Ъ2 + а , . Ъ [у/а V—2— + 2,1.2 + о — а а) 73 - 4г; б) л/З + 4г; в) л/4 - Зг; г) л/12 + 51. 191 035.13. Вычислите: а) VI5 + 8*; в) 724 ^71; б) 715 - 8/; г) 740 + 9*. 35.14. Изобразите на комплексной плоскости число г и множество если: а) \г\ = 1, аге (г) = в) \г\ = 9, аг& (г) = б) \г\ = 4, агё (г) = г) \г\ = 0,25, аге (г) = 35.15. Изобразите на комплексной плоскости число г и множество если: а) \г\ = 1, аге(г) = б) |г| = 4, агё(г) = •35.16. Изобразите на комплексной плоскости множество 7г, в) \г\ = 9, аг§ (г) = г) \г\ = 0,25, аг$ (г) = ~. если: а) \г\ = 1, 0 < аге(г) < в) \г\ = 1, б) \г\ = 1, 0 < аге(г) < п; г) \г\ = 1, — < аге (г) < 0; ~ < аге (г) < я. 4 035.17. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа: а) 1 + I и 2 - в) 1 + 2/ и 7 - 2*; б) 2 + г и 3 - 2*; г) 5 + 4г и 4 - Ы. 035.18. Решите уравнение: а) г2 - 2Ьг = 0; в) г2 - Зг + 3 + / = 0; б) г2 + 412 = 0; г) г2 - 8г + 11 + 121 = 0. 035.19. Найдите те значения параметра а, при которых: а) уравнение г2 - 2г + а = 0 имеет корень г = 1\ б) уравнение г2 - Ыг + а = 0 имеет корень 3 - 2; в) уравнение г2 + 6г + а = 0 имеет корень -г; г) уравнение г2 + ЮЬг + а = 0 имеет корень -10 + г. 192 ¢35.20. Найдите те значения параметра а, при которых: а) уравнение г2 + аг + 5 = 0 имеет корень /; б) уравнение г2 + аг + 13 = 0 имеет корень -2ц в) уравнение г2 + аг + 24/ = 0 имеет корень 1 + /; г) уравнение г2 + аг + 1 + / = 0 имеет корень -3 + 21. § 36. Возведение комплексного числи в степень. Извлечение кубического корня из комплексного числа 36.1. Пусть г = 2 (соз 0,2л + / зт 0,2л). Верно ли, что: а) г4 принадлежит первой координатной четверти; б) г4 принадлежит второй координатной четверти, а его модуль меньше л/300; в) г8 принадлежит третьей координатной четверти; г) г8 принадлежит четвертой координатной четверти, а его модуль больше 100? 036.2. Пусть г = 3 (соз 0,3л + / зт 0,3л). Верно ли, что: а) г6 принадлежит первой координатной четверти; б) г6 принадлежит четвертой координатной четверти, а его модуль больше 1000; в) г6 принадлежит четвертой координатной четверти, а его модуль меньше 750; г) г16 принадлежит второй координатной четверти? 036.3. Пусть г = соз 0,19л + / зт 0,19л. Какие числа из множества {г, г2, г3, ... , г9, г10}: а) расположены выше оси абсцисс; б) расположены правее оси ординат; в) расположены в первой координатной четверти; г) расположены во второй или в четвертой координатной четверти? 036.4. Пусть г = 2 (соз 0,21л + / зт 0,21л). Какие числа из множества {г, г2у г3у ... , г9, г10}: а) расположены во второй координатной четверти; б) расположены внутри круга радиуса 500 с центром в начале координат; в) расположены в первой координатной четверти; г) расположены правее оси ординат и вне круга радиуса 500 с центром в начале координат? 193 036.5. Пусть г - соз 0,17л + I зт 0,17л. Какие числа из множества {г, г2, г3, ... , г9, г10}: а) расположены выше оси абсцисс; б) расположены правее оси ординат; в) расположены выше биссектрисы первой и третьей координатной четвертей; г) расположены ниже биссектрисы второй и четвертой координатной четвертей? •36.6. Пусть г = 0,5(соз 0,23л + г зт 0,23л). Какие числа из множества {г, г2, г3, ... , г9, г10}: а) расположены во второй координатной четверти; б) расположены вне крута радиуса 0,2 с центром в начале координат; в) расположены в первой координатной четверти; г) расположены правее оси ординат и внутри крута радиуса 0,001 с центром в начале координат? Вычислите: 36.7. а) (соз 15° + г зт 15°)8; б) (соз 15° + I зт 15°)18; 036.8. а) (1 + О4; б) (1 + О6; 036.9. а) (1 + Д) ; б) (1 + л/ш)5; 036.10. а) (сое 10° + I зт 10°)'9; б) (соз 10° - I зт 10°) 3; 036.11. а) (1 + г)"4; б) (1 + о-6; 036.12. а) (1 + ТЗ*)’3; б) (1 + ТЗгГ; •36.13. а) (1 + з)7 + (1 - 1-Д)7; \2 б) 16/1 зт 5 - / соз \2 и Ш + I) в) (сое 75° + 1зт 75°)10; г) (сое 75° + 1зт 75°)100. в) (1 - о10; г) (1 - О20- в) ОУз + О7; Г) Ш - О’. в) (соз 10° + I зт 10°)~12; г) (соз 80° - I зт 80°)~18. в) (1 - О'10; г) (1 - О'20. в) (л/3 + г) 7; г) (л/3 - г) *. в) ш + о5 + Ш - О*; 32^8111^ + *С08^ Ш - I? г) •36.14. а) Вычислите г12, если г = 2 соз —• Зл Зл 81П--- +1 + 1 СОЗ — |; 4 4 б) вычислите г 9 если г = 2з1П 12 5 л 5к 1 - СОЗ------ + I 8111 6 6 194 036.15. Пусть {г, г2, г3, ... , 2п, гл + 1, ...} — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем г - соз 0,2л + г зт 0,2л. а) Укажите наименьшее натуральное значение /г, при котором гп принадлежит второй координатной четверти. б) Укажите наименьшее натуральное значение /г, при котором гп принадлежит четвертой координатной четверти. в) Укажите наименьшее натуральное значение п9 при котором 2п = 1. г) Сколько в этой прогрессии различных чисел? 036.16. Пусть {г, г2, г3, ... , гпу 2п + 1,...} — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 2 = соз 0,03л + I зт 0,03л. а) Укажите наименьшее натуральное значение п, при котором 2п принадлежит второй координатной четверти. б) Укажите наименьшее натуральное значение /г, при котором 2п принадлежит третьей координатной четверти. в) Укажите наименьшее натуральное значение /г, при котором гп - -1. г) Сколько в этой прогрессии различных чисел? •36.17. Пусть {г, г2, г3, ... , гпу гл + 1, ...} — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 2 - соз 0,1л - I зт 0,1л. а) Укажите наименьшее натуральное значение /г, при котором гп принадлежит третьей координатной четверти (не на координатных осях). б) Укажите наименьшее натуральное значение п, при котором гп принадлежит второй координатной четверти (не на координатных осях). в) Сколько в этой прогрессии различных чисел? г) Найдите сумму этих различных чисел. •36.18. Пусть {гу г2, г3, ... , гл, гл + 1, ...} — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 2 - соз 0,01л - I зт 0,01л. а) Укажите наименьшее натуральное значение п, при котором гп принадлежит второй координатной четверти. б) Сколько в этой прогрессии различных чисел? в) Сколько из этих чисел лежат на осях координат? г) Найдите сумму этих различных чисел. •36.19. Пусть 2 = 1 + 1. Какие числа из множества {г, г2, г3, ... , г11, г12}: а) лежат на оси абсцисс; в) лежат левее оси ординат; б) правее прямой х = 9; г) выше прямой у = 2? 195 036.20. Вычислите и изобразите на комплексной плоскости: а) 3/64; б) $1-27; в) $11251; г) $1-5121. 36.21. Произвольно отметьте на комплексной плоскости число г0, у которого |г0| = 1 и ^ < аг& (г0) < п. а) Изобразите корень уравнения г3 = г0, принадлежащий первой координатной четверти. б) Изобразите корень уравнения г3 = г0, принадлежащий четвертой координатной четверти. в) Изобразите множество . г) Объясните, почему у уравнения г3 = г0 нет корней, расположенных в третьей четверти. 36.22. Произвольно отметьте на комплексной плоскости число г0у у которого |г0| = 1 и ~ < аг& (г0) < 0. А а) Изобразите корень уравнения г3 = г0, принадлежащий четвертой координатной четверти. б) Изобразите множество . в) Объясните, почему у уравнения г3 = г0 нет корней, расположенных в первой четверти. г) Найдите площадь треугольника с вершинами в точках из пункта б). •36.23. Решите уравнение: а) г6 + (8 - 1)г3 + (1 + О6 = 0; б) г4 + (2 - Ы)г2 - (1 - I)6 = 0. •36.24. а) При каком действительном значении а выражение а(зш 75° + I соз 75°)12 Ь(а + 202 - (14 - ЗаО - 2 является действительным числомс б) При каком действительном значении Ъ выражение Ь : (соз 22°30' - I зт 22°30')16 —_ (з - 8&) - 3— является действительным чис- лом? I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ г производная Г Г| I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I гг \ гггггггггггггггггггггггг § 37. Числовые последовательности 37.1. Являются ли числовыми последовательностями следующие функции: а) у = Зх2 + 5, х 6 2\ в) у = 7 - х2, х € б) у = зт я, х € [0; 2я]; г) у = соз х & N7 37.2. Приведите примеры последовательностей, заданных: а) с помощью формулы п-го члена; б) словесно; в) рекуррентным способом. 37.3. Задайте последовательность аналитически и найдите ее первые пять членов, если: а) каждому натуральному числу ставится в соответствие противоположное ему число; б) каждому натуральному числу ставится в соответствие квадратный корень из этого числа; в) каждому натуральному числу ставится в соответствие число -5; г) каждому натуральному числу ставится в соответствие половина его квадрата. По заданной формуле п-го члена вычислите первые пять членов последовательности (уп): З/г-1. 37.4. а) уп = 2п2 - п; (-1)п ®) у- = тИ~1; в) У» = ~5Г; Г) „ = (г-1)" + 2. )Уп З/г-2 37.5. а) у„ = 3 соз 6) Уп = ье ((_1)"~); \ 1 2 Я . в) уп = 1 — соз г) уП = з1п пи - соз пи. 197 По заданной формуле п-го члена вычислите первые членов последовательности (уп): 37.6. а) ул = 8Ш ^ - с*е ^(2га + 1); б) уп = сое Щ- + Ьё ^(2га + 1); ч • /17С 2 ТИС в) уп = га 81П *2" + га сое -у; ч . /17С /17С Г) уп = 81П -----/I С08 37.7. а) уп 12 3 ... /г. 3 . 1 ’ /1+1 б) Уп = 1 3 5 ... (2/г - 1) 2 4 6 ... 2/1 • 37.8. Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа л/2: а) по недостатку; б) по избытку. Выпишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно: 37.9. а) *1 = 2, *л = 5 - г; в) хг = -1, хп = 2 + хп.г; б) хг = 2, хп = Хп-г + 10; г) хх = 4, хп = - 3. 37.10. а) Хг = 2, хп = пхп.х; б) Хг = -5, = -0,5 хп-г; в) Хг = -2, = -хп.г\ \ ^ %п-1 г) Хг = 1, Хп= “од"- 37.11. а) Выпишите первые шесть членов последовательности (л:„), у которой Х\ — 5, х2= -3 и каждый член, начиная с третьего, равен полусумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности, б) Выпишите первые шесть членов последовательности (уп), у которой ух = -1, у2 = 1 и каждый член, начиная с третьего, равен утроенной сумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности. 037.12. Определите значения первых пяти членов последовательности и составьте формулу ее /1-го члена, если график последовательности представлен: а) на рис. 66; в) на рис. 68; б) на рис. 67; г) на рис. 69. 198 Уп1 — п гУ 7,5- < > о* < > — 6' ( > 1,5’ ■ < > г- О 1 1 1 3 ^ 1 5 ( к Т1 — Рис. 66 Рис. 67 е. о■ ( ► О. 4 О* к 1 4 к 1' 1 Р о < г 1 1 1 \ ( 3 п -О. к — -4. 1 -А. 1 1 1 Уп1 О' 1' я О’ К О' А о. ( ► о* -9. 1 > 1 *, ) 1 1 1 1' о ] 1 1 ! з \ [ 1 3 ( 3 г Г 1 3 71 Рис. 68 Рис. 69 Постройте график функции: 037.13. а) у = (х + I)'2, * € ЛГ; в) У = 18 , л: 6 ЛГ; х + 2 б) у = Зх - х2, х € ЛГ; г) у = V* + 3, X € N. 037.14. а) у = 2 - х, х € N; в) у = х + 5 , ,г. 2 9 ^ ^ ЛГ, б) у = Зх - х2, х € N1 г) у = ж2 - 4*, х € N. 037.15. а) у = 8Ш ^х, л: € ЛГ; О в)у = 1§ х € N; б) у = с*е ^(2* + 1), ж € ЛГ > г) у = сое тис, х € N. 199 Постройте график последовательности: 037.16. а) уп = 10 - ге3; в) уп = п3 - 8; б) уп = (-1)"л/9га; г) уп = 4 - лДгё. 037.17. а) уп = 2 зш ^п; б) |/„ = (-1)" 7 (2га - 1). О 4 037.18. а) Все натуральные числа, кратные пяти, расположенные в порядке возрастания, образуют последовательность. Укажите седьмой, девятый, двенадцатый, п-й члены последовательности . б) Все натуральные числа, кратные семи, расположенные в порядке возрастания, образуют последовательность. Укажите шестой, десятый, тридцать первый, п-й члены последовательности. 037.19. а) Все натуральные числа, которые при делении на 5 дают в остатке 2, расположены в порядке возрастания. Найдите первые пять членов этой последовательности. б) Все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3, расположены в порядке возрастания. Найдите сумму первых шести членов этой последовательности. 037.20. а) Последовательность состоит из квадратов простых чисел, расположенных в порядке возрастания. Найдите сумму первых восьми членов этой последовательности. (Число 1 не считается ни простым, ни составным). б) Известно, что (уп) — последовательность всех натуральных степеней числа 3, расположенных в порядке возрастания. Найдите: уЬу г/8, узъ у2п, у2п + и у2п_3. 037.21. Задайте формулой п-го члена и рекуррентным способом: а) возрастающую последовательность всех четных натуральных чисел, не делящихся на 4; б) возрастающую последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 5; в) возрастающую последовательность всех натуральных чисел, делящихся на 3 и на 7 (одновременно); г) возрастающую последовательность всех четных натуральных чисел, делящихся на 3 и на 5 (одновременно). Составьте одну из возможных формул л-го члена последовательности по первым пяти ее членам: 037.22. а) -1, -2, -3, -4, -5, ... ; в) 10, 9, 8, 7, 6, ... ; б) 6, 12, 18, 24, 30, ... ; г) 4, 8, 12, 16, 20, ... . 200 п37.23. а) 3, 9, 27, 81, 243,...; б) 9, 16, 25, 36, 49, ... ; яал Ч1 1 1 1 1 037.24. а) 1, , , , ,... ; б) 2 4 8 16 3 5 7 _9_ И 4’ 6’ 8’ 10’ 12”* . . 1_ _1_ _1____1_ В) ’ 8’ 27’ 64’ 125”' в) 1, 8, 27, 64, 125,... ; г) 2, 9, 28, 65, 126,... . г) 3 5’ 5 7’ 7 9’ 9 11’ 11 13” 037.25. а) б) 3 ^ 27 _81_ 243 4’ 16’ 64’ 256’ 1024’ 1 3 5 7 9 № 2’ 2уЦ9 4’ 4>/2 ч 1 4 9 16 25 в) >/з“Т 4 9 14 19 24 Г' 1 2 3’ 2 3 4’ 3 4 5’ 4 5 б’ 5 6 7”'' * 37.26. Какие члены последовательности (уп) расположены между членами: &) У 732 И У7451 в) у993 И У1003 > б) уп - 1 И Уп + 2> г) у2п-2 И 1/2П + 3? 2 __ ^ 037.27. Укажите номер члена последовательности уп = ------ 5/1 + 1 равного: а)0; в) 4;, в) г)-^. 037.28. Квадрат со стороной 1 см вписан во второй квадрат таким образом, что вершины первого квадрата являются серединами сторон второго. Второй квадрат, аналогично, вписан в третий квадрат и т. д. Получается последовательность вписанных друг в друга квадратов. а) Составьте последовательность периметров полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности . б) Составьте последовательность площадей полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности . в) Чему равна длина стороны одиннадцатого квадрата? г) Чему равна площадь семнадцатого квадрата? 201 037.29. Сколько членов последовательности уп = 2п2 - 7п + 5 при-надлежит: а) отрезку [2; 5]; б) промежутку (-оо; 10)? Начиная с какого номера все члены последовательности (хп) будут больше заданного числа А? 037.30. а) хл = Зп - 2, А = 15; б) хл = 5л1, А = 125. 037.31. а) хг = 0, хп = хп.х + 3, А = 28; б) хг = 1, хп = 7хп_19 А = 285. 037.32. Сколько членов последовательности не превосходят 1: 3125’ 625’ 125’ 6 11 16 ' 377’ 379’ 381’' .2 2 2 В' 729’ 243’ 81’ ; ч _____9_ ^6_ ? } 219’ 222’ 225’*“ * 037.33. Выпишите все отрицательные члены последовательности: а) уп = п2 - п - 6; йч _ -181 • °* У" - 15 - 1п' в) уп = п2 - 6п + 8; . 1+2п г) Уп - 9П _ 5' 037.34. Найдите число положительных членов последовательности: а) уп = Ап- п2; в) уп = -п2 + 9п- 14; б) Уп = 140 - п2. 6л - 11 ’ 123 г) Уп - 147 _ 5п- 037.35. Найдите наименьший член последовательности: а) уп = п2 - 42п + 13; б) уп = п2 - 26п + 41. 037.36. Укажите номер наибольшего члена последовательности: а) уп = 303 + 38п - п2; б) уп = 145 + 32п - п2. хТ о 3/г + 191 037.37. Найдите номер члена последовательности уп = зп~+ 2~* наиболее близкого к числу: а) 25; б) 2; в) 5; г) 41. 037.38. Дана последовательность уп = п2 - 18п. а) Установите, сколько в ней отрицательных членов; б) найдите наименьший член последовательности; в) укажите номер члена последовательности, который равен 19; г) выясните, сколько членов последовательности принадлежит отрезку [-15; 2]. 202 •37.39. Найдите наименьший член последовательности: а) уп = 3п2 - 10п + 3; в) уп = 2п2 - 7п + 3; —3 . \ —4 б) У" - 2п - 5’ г) У» - п + 4’ #37.40. Найдите наибольший член последовательности: а) уп = -2п2 + 11 п - 2; в) уп = 20 - 12п - 3/г2; 3 . 4 б> Уп = 2^5’ Г> Уп = 7ГГ4‘ 037.41. Является ли ограниченной снизу последовательность: а) -1, 2, -3, 4, -5, ... ; в) 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, ... ; ^ ч /I # б>= 7ГТТ’ ся ли (-1)" +1. г) Уп = ((-1)" + 1 )п2? 037.42. Является ли ограниченной сверху последовательность: ч (-1У + 1. ч л2 -1. а) хп = ^---; в) хп = п2 + 2> б) 1, -1, 1, -2, 1, -3, ... ; г) |, |,... ? 037.43. Является ли ограниченной последовательность: 111 ^ 2’ 3’ 4’■“ ’ п'" ’ б) -2, 3, -4, 5, ... , (-1)п(п + 1), ... ; в) 8111 1 зт 2 81П 3 (- -1)л1 81П П 1 ’ 2 ’ 3 ’ • • • * п ’-; Ч’ 3к *еТ’ |(2п-1),...? •37.44. Известно, что (л:л) — ограниченная последовательность. Является ли ограниченной последовательность: 1 . а) Уп = - Ьхп + 2; в) гн = 2|^| + 1’ б) Рп = 4 + 1; г) *п = *л 81п 037.45. При каких значениях параметра р заданная последовательность ограничена сверху числом 1: п 0 б>2" = 771Г . 2п + р. &)Уп~ 2п + 1 ’ 037.46. При каких значениях параметра р заданная последовательность ограничена снизу числом 1: 2 71 + 99 б> 2» = ч П - р. а> Уп = ТГТ2 ’ 203 •37.47. При каких значениях параметра р последовательность: ч 2/г + р а) уп = _ 1 ограничена сверху числом 1; р + 5/г б) уп = ^п + 1 огРаничена снизу числом 1? 37.48. Определите, является последовательность (хп) убывающей или возрастающей: а) хп = 3п + 2; в) хп = 61-п; р, / л \2п-1 б> *» = ТГТЗ’ г) ж» = "к 37.49. Объясните, является последовательность (уп) убывающей или возрастающей, если для любого номера п выполняется неравенство: а) Уп +1 ~Уп> 0; в) уп + 1 - уп < 0; б) ^ < 1; Уп Г) V1 < 1 (Уп < 0). Уп 037.50. Выясните, какие из приведенных последовательностей являются монотонными; укажите характер монотонности: а) Уп = б'"; в) уп = д^; б) Уп = соз 7Г^; г) уп = ТпТ~8. 037.51. Исследуйте на монотонность последовательность: а) уп = -2 п + 1; в) уп = сов р б) уп = 3п2 + п - 1; г) уп = п2П+ •37.52. Докажите, что заданная последовательность возрастает: а) Уп = пг + 2п; Ч /1+1. В)У*~ п + 7’ б>^=-^По; п4 + З/г2 + 1 Г) Уп „4 0-2 /I4 + Зп + 6 •37.53. Докажите, что заданная последовательность убывает: ч З/г + 5. а)^"- Зп - 1’ б)Уп п3 + 2п ч и + 15. В> Уп=^Т2' ч и4 + 2п2 + 7 Г,И*~ и2 + 2п2 - 1' 204 037.54. Если (хп) — возрастающая последовательность с положительными членами, то что можно сказать о монотонности последовательности (уп): а) уп = 5я„ + 7; в) уп = 2 - Зхп; б) У* = 3 + хп’ г) Уп = (Хп)2 + 2? 037.55. При каких значениях параметра р последовательность (уп) будет возрастающей: а) уп=рп - 5; в)уп=2-рп; б) Уп = г) у„ Р + 2? /1 + 1 037.56. При каких значениях параметра р последовательность (уп) будет убывающей: б) Уп = рп + 2. р/1 + 3’ в) Уп = 81П - 1’ ч 5п2 - р<> г) Уп = — 037.57. Дана последовательность хп = п2 - 1. Исследуйте на огра-ниченность и монотонность последовательность (уп): а) уп = хп\ в) Уп = Хп* 2. Л^+1 * б) Уп = хп+1 - хл; г) ул = 1 ^п+1 037.58. Исследуйте последовательность (д:л) на ограниченность и монотонность: ч п . ^ и2 +1 а> *• = 7ГГ2’ б> *» = 037.59. Приведите примеры последовательностей: а) возрастающих и ограниченных снизу; б) возрастающих и не ограниченных сверху; в) убывающих и ограниченных снизу; г) убывающих и не ограниченных снизу. •37.60. Приведите пример последовательности: а) возрастающей, ограниченной сверху, все члены которой положительные числа; б) убывающей, все члены которой принадлежат интервалу (0; 7); * в) возрастающей, имеющей ровно три отрицательных члена; г) неограниченной, немонотонной. 205 § 38. Предел числовой последовательности 38.1. Запишите окрестность точки а радиуса г в виде интервала, если: 38.2. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал: 38.3. Принадлежит ли точка хх окрестности точки а радиуса г, если: а) хх = 1, а = 2, г = 0,5; б) Х\ - 1,1, а - 1, г = 0,2; в) хх - -0,2, а - 0, г = 0,3; г) хх - 2,75, а = 2,5, г = 0,3? 038.4. Существует ли номер п0, начиная с которого все члены последовательности (хп) попадают в окрестность точки а радиуса г = 0,1, если: 1 71 а) х„ = * а = 0; в) хп = а = 0; б) хп = а = 1; г) д:л = о = 1? Укажите номер п0 того члена последовательности (х„), начиная с которого все члены последовательности попа-дут в окрестность точки а радиуса г : 038.5. а) хп = а = 0, г = 0,1; б) д:л = 3 + -½> а = 3, г = 0,2; п 2 в) д:л = 1 + —, а = 1, г = 0,01; п 3 3 г) = —, а = 0, г = 0,1. п а) о = 0, г = 0,1; б) а = -3, г = 0,5 в) а = 2, г = 1; г) а = 0,2, г = 0,3. а) (1, 3); б) (-0,2, 0,2); в) (2,1, 2,3); г) (-7, -5)? 206 г) хп = 3 — 1 Т 1 . .А’ л — 6, г — 128, 1У „ 1 3 Г а — 3, г — 31* Постройте график последовательности (уп)и составьте, если можно, уравнение горизонтальной асимптоты графика: 'З4 |> об о Уп = 2. п’ в) Уп = и 3|^ б) Уп = № г) Уп = 11 ^N>11-^ 4 "а 038.8. а) Уп = —1 + п в) Уп -- и СО 1 аМго б) Уп = о ^ Л п2’ г) Уп = + СО 1 038.9. а) Уп = 2 + (-1)" 1. п’ в) Уп -- = -3 + (-1)" 2. п’ б) Уп = (-1)" 2 + _1. п’ г) Уп = = (-1)л+1 • 3 2 п 38.10. Верно ли утверждение: а) если последовательность имеет предел, то она монотонна; б) если последовательность монотонна, то она имеет предел; в) если последовательность ограничена, то она имеет предел; г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела? Пользуясь теоремой о пределе монотонной ограниченной последовательности, докажите, что последовательность имеет предел: 038.11. а) хп = 3 п2 + 2. 2 9 б) п2 - 5 п2 + 5* •38.12. а) х„ = 1 +\ + ф + ••• + б) хп п + 1 1 п + 2 + 207 Вычислите Пт хп: п —» оо 38.13. а) хн = Л? п в) ж„ = п -17. б) ж. = —з-; п . 3 г) *„ = -7- у!п 038.14. а) ж. = 1 + 4- + п у1п п в> *»=I+ « 7 3 3 . б) ж„ = 6 - -2 - - - -т=; п п г> *»=\+ 038.15. а) хп — в) *„ = 7 3-"; б) жв = ! 5'"; ^ _ _4_ Г) 3Л+1 * 038.16. а) ж. - В)Х Зп + !; в'*л- га + 2 .. 7га - 5. б) *" " га + 2 ’ . 2га + 1 г>*-- Зга-Г 038.17. а) хп - 2пп2 *; ч 3 - п2. в) ’ 5 , 13 б) хп = 1 + 2п + пг 2 г) х„ = Зп - 4 - 2га2 038.18. а) ж. = (2П + ^ 3); 7 /г „ (Зга + 1Х4п - 1). ’ п~ (га +1)2 ’ ч (Зга - 2)(2га + 3). в) хп — п2 » (1 - 2гаХ1 + га) ' " " (га + 2)2 ' 038.19. а) ж. = <2" + 1)(3»-4) -6п2 + 12п, га2(2га + 5) - 2га3 + 5га2 - 13. б) " га(га + 1Хга - 7) + (1 - га) ’ (1-гаХга2 + 1) +га3. В) *"= га^Т~2га ’ ге(7 - га2) + га3 - Зга - 1 Г) = (га + 1)(га + 2) + (2ге2 + 1)' 208 •38-20. а) Шп б) Шп Вычислите: ^1,1 + ^ + ...+ 1 ' 1 2 2 3 3 4 1 + + п{п + 1) 1 1 3 3 5 5 7 (2п - 1X2п + 1) ^ Л1в 4 1. 2 Зл + 3 4\ •38.21. а) 1ип —п— „ ; л —> оо ^ -0-4 3 • 5" - 7 • 4" б) 1ип , „ . Л—>оо ^ +0*0 38.22. Найдите сумму геометрической прогрессии (Ьп) , если: а) &1 = 3, д = в) Ь1 = -1, д = 0,2; б) Ьг = -5, д = -ОД; г) Ьг = 2, д = — 38.23. Найдите сумму геометрической прогрессии: а) 32, 16, 8, 4, 2, ... ; в) 27, 9, 3, 1, ... ; О б) 24, -8, |, -|,... ; г) 18, -6, 2, -|, ... . 38.24. Найдите знаменатель и сумму геометрической прогрессии (Ьп), если: а) Ъх = -2,7>2 = 1; в) Ъг = 7, Ь2 = -1; б) = 3, &2 = Г) = —20, &2 = 4« О 38.25. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (Ьл), если: а) 8 = 2, &! = 3; в) 5 = = -3; б) 8 = -10, Ьг = -5; г) 8 = 1,5, Ьг = 2. 38.26. Найдите первый член геометрической прогрессии (Ьл), если: а) 8 = 10, д = 0,1; в) 8 = 6, д = -0,5; б) 8 = -3,д= г) 8 = -21, д = ± °38.27. Найдите га-й член геометрической прогрессии (Ь„), если: а) 8 = 15, д = ~, га = 3; в) 8 = 20, Ьг - 22, га = 4; О б) 8 = -20, Ьг - -16, га = 4; г) 8 = 21, д = га = 3. О 209 038.28. Найдите сумму геометрической прогрессии (Ъп)> если: , . 25. ч . 45. а) оп= Зп> в) Ьп= 3„ > б) ьп = (-1)"^; ^6. = (-1)-1^. 038.29. а) Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего ее членов равна 29, а второго и четвертого 11,6. б) Чему равен пятый член геометрической прогрессии, если известно, что он в 4 раза меньше куба третьего члена прогрессии, а сумма прогрессии равна 4,5? 038.30. а) Найдите геометрическую прогрессию, если известно, что ее сумма равна 24, а сумма первых трех членов равна 21. б) Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если известно, что ее сумма равна 31,25, а сумма первых трех членов равна 31. 038.31. а) Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что ее сумма равна 18, а сумма квадратов ее членов равна 162. б) Найдите сумму квадратов членов геометрической прогрессии, если известно, что ее сумма равна 2, а сумма кубов ее членов равна 1 Вычислите: 038.32. а) 2 + 1+ ^ + ^ + ... 5 в) I - 1 + б) 49 + 7 + 1 + Дг + ... ; г) 125 + 25 038.33. а)- 6+ + 25з ~ • • • \ б) 3 + у[з + 1 + + ... 1 в) 49 - 14 + 4 - | ; г) 4 + 2у[2 + 2 + л/2 + ... . 038.34. а) 2 + 4 + 6 + ... + 20 + -^ + -7 + ; 2 4 о б) б) 1 + 3 + 5 + ... + 99 + | - 35 + ^ - ... ; 210 в) 21 + 24 + 27 + ... + 51 + ^ ^ + ^ ; г) 1 + 4 + 7 + ... + 100 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... . 038.35. Упростите выражение х Ф юг 2 а) 81П X + 81П2 X + 81П3 X + 81П4 X + .. б) С08 X - СОЗ2 X + С083 X - С084 X + . В) С082 X + С084 X + С086 X + СОЗ® X + Г) 1 - 81П3 X + 81П6 X - 81П9 X + ... . Решите уравнение, если известно, что \х\ < 1: 038.36. а) х + х2 + х3 + х4 + ... + хп + ... = 4; б) 2х - 4х2 + 8л;3 - 16л;4 + ... = 1 7 •38.37. а) — + х + л;2 + л;3 + л;4 + ... + хп + ... = б) 2х + 1 + х2 - х3 + х4 - х5 + ... = •38.38. Решите уравнение: а) 81П X + 81П2 X + 81П3 X + ... 81ПЛ х + ... = 5; б) соз х - соз2 х + сое3 х - ... + (-1)л_1 С08Л X + ... = 2\ в) 1 + 8Ш2 х + 8ш4 х + ... + (зт л;)2л_2 + ... = г) 7 соз3 х + 7 соз6 х + ... + 7 (соз л;)3л + ... = 1. § 39. Предел функции 39.1. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 70—73, имеет предел при х —> +бо? при х —> -оо? при X —» ОО? 39.2. Выясните, имеет ли функция у = /(л;) предел при х —> +оо, при х —> -оо или при х —» оо и чему он равен, если: а) прямая у = 3 является горизонтальной асимптотой графика функции на луче (-оо; 4]; б) прямая у = -2 является горизонтальной асимптотой графика функции на луче [-6; +оо); в) прямая у--5 является горизонтальной асимптотой графика функции на луче (-оо; 3]; г) прямая у = 5 является горизонтальной асимптотой графика функции на луче [4; +оо). 211 Рис. 70 Рис. 71 Рис. 72 212 Рис. 73 039.3. Известно, что Пт /(х) = 2, Ит &(х) = -3, Ит Л(л:) = 9. Х-»оо Х-»оо Л-»оо Вычислите: а) Пт (Дх) + д(х) - й(х)); Х-»оо б) 11т (*(х) • (Дх))2); в) Пт (^(х) - Дх) + й(х)); Х->°° г) Ит (Дх) • §(х) • й(х)). 039.4. Известно, что Ит Дх) = -2, Ит ё'(х) = -10, Ит й(х) = 6. Х-»оо х-»оо х-»°° Вычислите: а) Ит №. ё(хУ в) Ит ЗДх) + й(х). 11т 2§(х) + 15 ’ тт. 8(х) ’ 3*(х) г) ““ тГ) Постройте график какой-либо функции у = /(я), обладающей указанными свойствами: 39.5. а) Ит /(я) = 3; Х-»оо б) Ит Дх) = -2; в) Ит Дх) - -5; Х-»оо г) Ит Дх) = 0. 39.6. а) Ит Дх) = 4, Ит Дх) = 0; Х-М-оо х-»-оо б) Ит /(я) = 10, Ит /(я) = -2; Х-»+оо Х-»-оо в) Ит Дх) = -2, Ит Дх) - 1; Х-М-оо Х-»-оо г) Ит Дх) = 3, Ит Дх) = -4. 39.7. а) Ит Дх) = 5 и Дх) > 0 на (-оо; +оо); Х-М-оо б) Ит Дх) = -3 и Дх) > 0 на отрезке [-7; 3]; X—»—оо в) Ит /(я) = 0 и /(я) > 0 на [0, +оо); Х-М-оо г) Ит /(я) = 0 и /(я) < 0 на (-оо; +оо). X—моо 213 Постройте график какой-нибудь функции у = Н(х), х € Ц обладающей указанными свойствами: 039.8. а) Ит Н(х) = 4 и функция возрастает; Х-»+оо б) Нш Н(х) = 5 и функция убывает; Х-*-оо в) Ит Н(х) = -2 и функция возрастает; X—»—оо г) Ит Н(х) = -3 и функция убывает. Х-»+оо 039.9. а) Ит Н(х) = 1 и функция ограничена сверху; Х-*-оо б) Ит Н(х) = 1 и функция ограничена снизу; X —» +оо в) Ит Н(х) = 1 и функция ограничена сверху; Х-»+оо г) Ит Н(х) = 1 и функция ограничена снизу. Х-»-оо •39.10. Постройте график непрерывной на (-оо; +оо) функции у = /(я), обладающей следующими свойствами: а) Ит /(я) = 0; /(я) > 0 на (-оо, 0); Е{[) = [-5; 5], функция X—>°° убывает на [2; 7]; б) Ит /(ж) = 5, Ит /(ж) = 0, £(/) = [-3; 5), /(ж) < 0 на X—»—оо Х-»+оо (0; +оо), функция возрастает на [3; +оо) и убывает на [0; 3]. Вычислите: 39.11. а) Ит (^ + р) б> 39.12. а) Ит ГД- + 1); *"»°° ^ ) б) Ит (4 - - - 21); *^°° (ж3 х / 039.13. а) Ит [12-ДЛ в) Ит г) Ит »> + г> “а ? -71- 214 >>Й“(4 + ?)|; 6_ ^0 -31 039.14. а) Ит §г|; «ч цт 4. б) 1™ 2х + 7’ х — 4 в) Ит —— х—»оо X т О „ 7х+ 9 г> I1™ &ГТ „ ч Зх - 1 . 039.15. а) Ит ^ГГ^Тб’ б) Ит А~\' > 7 х—>оо 2л: - 9л: в) Ит X—»°° г) Ит -2л: - 1 . Зл:2 - 4л: + 1’ 4х + 3 12л:2 - 6л:’ л „ л ч .. 4х - л:2 + 1. 039.16. а) Ит 5д;2 _ ^ > б> “й 7¾5 в) Ит X—»°° г) Ит Зх - 2х2 + 4. Зл:2 + 2л: ’ л:3 - Зл:2 х4 + 2х + Г 039.17. а) Ит -4^; X—>°о X + 4 .. 12л:2 + 5л: + 2. б) Ит д 2 , е----------Г’ 7 х—»оо 6х + Ъх - 1 в) Ит Х->оо Зл:2 - 8. л:2 - 1 ’ Юл:2 + 4х - 3 г) Ит ,2.о—ГТ 7 х-»°о 5л: + 2л: + 1 39.18. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 74—81, имеет предел при х —> 3? Чему равен этот Рис. 74 Рис. 75 215 Рис. 76 Рис. 78 Рис. 79 Рис. 80 Рис. 81 216 39.19. Постройте график какой-нибудь функции у = §(х), обладающей заданным свойством: а) Пт ё(х) = 2; в) Пт #(х) = -4; х-»-1 х-*-7 б) Итц(л:) = -3; г) Пт#(х) = 3,5. х->2 х->5 39.20. Постройте график какой-нибудь функции у = /(я), обладающей заданными свойствами: а) ЦтДх) = 3 и /(2) = 3; х->2 б) Иш Дх) = 4 и Пт Дл;) = 0; х->-6 х->-оо в) Пт /(*) = 4, /(-1) не существует; х->-1 г) Пт /(х) = -1 и Пт /(лс) = -5. X—>3 Х-»+оо 39.21. На рис. 82 изображен график функции у = /(я). Найдите: Рис 82 039.22. Постройте график функции у = /(я), обладающей следующими свойствами: а) 1ип т = 5; Д2) = 5; Пт Д*) = -1; Д-3) = 1; Ит Д*) = -2; х->2 х-»-3 х->оо функция возрастает на (-оо; 2]. б) Пт Дя) = -3; Д-1) = 2; Пт Дя) = -2; ДО) = -2; Пт Дя) = 3; х->-1 х—»0 х—>°о £(/) = (-3; 5]. 217 Вычислите: 39.23. а) Пт (х2 - Зх + 5); Х->1 /-\ т + 3. б> 1ш? ШТ2’ в) Ит (х2 + 6х - 8); х->-1 ч г 7х -14 г> 1ш\ ШТ2- г—- 039.24. а) Ит у/х + 4; т 2х - 1 . 6) 1Ш1 2 , о-----7’ 7 *_»о х + Зх - 4 в) Иш \12х - 6; х->3,5 , г 5-2* ' х_,-1 3* - 2х + 4 зт га; 039.25. а) Ит ■ х _ 1. Х-»4 б) Ит 8111 л: . 2 2х + 1’ в) Ит ,. СОЗ КХ АШ1 о > х-»о л: + ^ 2я С08 тЛ 1т т —---— •39.26. а) Ит (2 агсзт х + 3 агссоз л:); х-»0,5 агссоз X + К 3111 КХ я сое ял: + 2 агсзт л:9 в) Ит (2 агс!# х - агсс!# л:); х-»/з 2 агсс!& л: + ял: г' соз х - соз (-л:) + агсЬё х ’ 039.27. а) Ит —ъ х->о л: - л; в) Нт х-Зх. ““з ~Х^ПГ’ б) Нт "Т~“5 ' *-*-! л: + ж л: + 5 г>й57Тй- 039.28. а) б) Ит х-»1 х2 - 1, х-19 Ит х->-2 х2 - 4т 2 + л: ’ в) Ит х-»5 г) Ит х->-3 л:2 - 25. л: - 5 ’ 3 + х х2 - 9’ 039.29. а) б) Ит х->1 Ит х-»2 л:2 + 2л: - 3. х-1 9 х-2 . 2л:2 - л: - б’ в) Ит х->-1 г) Ит х-»9 * + 1 . х2 - 2х - З9 х2 - 11л: + 18 л: - 9 218 039.30. а) Игп х + 2 . 12 х3 + & ’ б) Нт х-»-1 1 + х3, 1-х2’ в) Пт х->3 х-3 . х3 - 27’ 16 -* г) 1Ш1 —------ ' х->4 64 - X 2 3' 039.31. а) Цт х->0 81П X # б) Ит зт Зл: + зт х . СОЗ Зх + СОЗ X 9 •39.32. а) Ит х->3 уГх~+~6 - 3. х2 - Зл: ’ в) Ит *-»! г) Ит х->0 СОЗ Л\ С^Л:’ СР8 5л: - СР8 Зл: зт 5л: + зт Зл: ’ б) в) Ит (%!2х + 3 - у/2х - 7); х-м-оо л^-4 I1™ 72х + 5 - 3’ г) Ит (л/5 - Зх - V-Зх). X—»—оо л ч 1 - соз л; •39.33. а) Нт------2— б) Ит х->0 зш 7л: - зш Зл: зт 8л: - зт 2л: ’ 39.34. Найдите приращение функции у = 2х - 3 при переходе от точки х0 = 3 к точке хи если: а) Х\ - 3,2; в) хх = 3,5; б) хх = 2,9; г) Х\ - 2,5. 39.35. Найдите приращение функции у = х2 + 2х при переходе от точки х0 = -2 к точке хи если: а) Х\ - -1,9; в) хх = -1,5; б) Х\ = -2,1; г) Х\ - -2,5. 39.36. Найдите приращение функции у - зт х при переходе от точки х0 = 0 к точке хи если: ч тс . ч тс а) Ху = 0, в) Ху = р б) г) Ху - - ТС 3* °39.37. Найдите приращение функции у- 2 зт х • соз х при переходе от точки х0 = 0 к точке хи если: а) хх = в) хг = б) хг = тс . 12’ г) Хг = тс 12* 219 039.38. Найдите приращение функции у = у[х при переходе от точки х0 = 1 к точке хх = х0 + Ах, если: а) Ах = 0,44; в) Ах = 0,21; б) Дл; = -0,19; г) Ах = 0,1025. 39.39. По графику функции, представленному на рисунке, найдите приращение аргумента и приращение функции при переходе от точки х0 к точке хх: а) рис. 83; б) рис. 84. Рис. 83 Рис. 84 039.40. Найдите приращение функции у = 4х2 - х при переходе от точки х к точке х + Дл;: а) х = 0, Ах = 0,5; в) х = 0, Дл; = -0,5; б) х = 1, Ах = -0,1; г) х = 1, Ах = 0,1. 039.41. Найдите приращение функции у = /(х) при переходе от точки х к точке х + Ах, если: а) /(*) = Зл; + 5; в) /(*) = 4 - 2х; б) № = -*2; г) т = 2х2. 039.42. Вычислите, чему равно отношение приращения функции у = х2 - 4х + 1 к приращению аргумента при переходе от точки х0 = 2 к точке: а) х = 2,1; в) х = 2,5; б) х = 1,9; г) х = 1,5. 39.43. Для функции у = /(я) найдите Д/ при переходе от точки X к точке х + Дл;, если: а) /(*) = Ьх + т; в) /(*) = —; х б) /(*) = ах2; г) Длс) = V*. 220 039.44. Для функции у = /(х) найдите при переходе от точки х к точке х + Ах, если: а) /(*) = кх + Ь; б) ?(х) = ах2; в) Я*) = г) Я*) = V*- 039.45. Для функции у = Я*) найдите Пт -тг- при переходе от Дх->0 ДАХ точки л: к точке х + Дя, если: а) Я*) = йл + 6; б) Я*) = я*2; в) /(*) = ”5 г) Я^) = у[х. § 40. Определение производной 40.1. Закон движения точки по прямой задается формулой 8(0 = 2* + 1, где 1; — время (в секундах), 8(0 — отклонение точки в момент времени 1; (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента 0 = 2 с до момента: а) 0 = 3 с; в) 12 - 2,1 с; б) 12 = 2,5 с; г) 12 - 2,05 с. Вычислите мгновенную скорость точки в момент * - 2 с. 40.2. Закон движения точки по прямой задается формулой 8(0 = I2, где I — время (в секундах), 8(0 — отклонение точки в момент времени I (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента = 0 с до момента: а) О = 0,1 с; в) 12 = 0,2 с; б) 12 = 0,01 с; г) 12 - 0,001 с. Вычислите мгновенную скорость точки в момент 1; = 1 с. 40.3. Закон движения точки по прямой задается формулой 8(0 = 212 + I, где I — время (в секундах), 8(0 — отклонение точки в момент времени 1; (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента 1\= 0 с до момента: а) и = 0,6 с; в) 12 - 0,5 с; б) 12 = 0,2 с; г) 12 - 0,1 с. Вычислите мгновенную скорость точки в момент * = 1 с. 040.4. Закон движения точки по прямой задается формулой 8 = 8(1:), где 1; — время (в секундах), 8(0 — отклонение точки в момент времени 1; (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки, если: а) 8(1;) = 4* + 1; в) 8(0 = 3* + 2; б) 8(0 = I2 - I; г) 8(0 = I2 - 21. 221 40.5. Функция у = /(я) задана своим графиком. Определите зна чения /'(*!) и ?(х2), если график функции изображен: а) на рис. 85; в) на рис 87; г) на рис. 88. Рис. 85 Рис. 87 Рис. 88 40.6. Функция у = /(я) задана своим графиком (рис. 89). Сравните значения производной в указанных точках: а) П-7) и /'(-2); в) /'(-9) и /'(0); б) Г(-4) и /'(2); г) /'(-1) и /'(5). Рис. 89 222 40.7. Функция у = /(х) задана своим графиком (рис. 89). Укажите два значения аргумента хг и х2, при которых: а) Г(хО > 0, Г(х2) > 0; в) /'(*!> < 0, /'(*2) < 0; б) Г(хО < 0, Г(х2) > 0; г) Г{хх) > 0, Г(х2) < 0. 40.8. Функция у = ф(л:) задана своим графиком (рис. 90). Укажите несколько значений аргумента, для которых: а) <р'(*) > 0; в) ф'(л:) < 0; б) ф'(я) < 0 и х > 0; г) ф'(лг) > 0 и х < 0. Рис. 90 Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке х: •40.9. а) у = х2 + 2х; в) Зх2 - 4х; 6) */= р и •40.10. а) у = у[х; в) у = 4х + 1; 3 и со н II 'Е4 Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке х0 или докажите, что она не существует: [Зл:, если х > О, 4 х0 = 0. [-2л: + 3, если х < 0; •40.11. а) у = Г2л:2, если х > О, б) У = 1 Л о Л *о = °* [-2л: , если х < 0; в) у г) у -4х + 2, если х > 3, 2л: - 4, если х < 3; х2 у если х < 1, 2л: - 1, если х > 1; х0 — 3. х0 = 1. 223 •40.12. а) у = |* + 4|, *0 = -4; б) у = —Злг|лг|, *0 = 0; в) у = 2х\х\, х0 = 0; г) у = (* - 1)|* - 1|, х0 = 1. 40.13. Найдите скорость изменения функции в точке *: а) у = 9,5* - 3; в) у = 6,7* - 13; б) у = -16* + 3; г) у = -9* + 4. 040.14. Найдите скорость изменения функции у = /(*) в указанной точке: а) /(*) = *2, *0 = 2; в) /(*) = *2, *0 = -2; б) /(х) = *0 = -1; г) /(*) = р *0 = -0,5. 040.15. Закон движения точки по прямой задается формулой зЦ) = *2, где 1: — время (в секундах), зЦ) — отклонение точки в момент времени 1: (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение (скорость изменения скорости) в момент времени 1У если: а) * = 1 с; б) I = 2,1 с; в) £ = 2 с; г) 1 - 3,5 с. 040.16. Закон движения некоторой точки по прямой задается формулой з(1:) = I2 + £, где I — время (в секундах), «(*) — отклонение точки в момент времени 1; (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени 1У если: а) ¢ = 1 с; б) I - 2,1 с; в) 1; = 2 с; г) 1 = 3,5 с. § 41. Вычисление производных Найдите производную функции: 41.1. а) у = 7х + 4; в) у = -6* + 1; б) у = х2; II 41.2. а) у = *5; в) у = *4; б) у * *10; г) у = *201. 41.3. а) у = 8И1 х; в) у = сое х; с\ II II о 41.4. а) у = *; в) у = * + 4; б) у = с1е х; г) у = с1® * + 8. 224 41.5. а) у ■ б) у 41.6. а) у б) у 41.7. а) у б) у 41.8. а) у б) у 41.9. а) у б) у 41.10. а) у б) у 41.11. а) у б) у 41.12. а) у б) У х2 - 7х; -Зх2 - 13х; х3 + 2х5; х4 - х9; 12х + л/х; -2х2 - X 6^ + X -2Л - —; X сое х + 2х; 3 81П X + С08 X; 81П х - 3 с1(* х; 2 1% х + у[з сое х; : х5 + 9*20 + 1; х7 - 4я16 - 3; (х2 - 1)(х4 + 2); (х2 + 3)(х6 - 1); в) у = 7х2 + Зх; г) у = -х2 + 8х. в) у = х3 + 4х100; г) у = х4 - 7х9. в) у = Лс - 5х2; г) у = Юх2 + в) у = 10-Тх + —; х г) у = -8л/х - —. в) у = 8Ш х - Зх; г) у = 2 СОВ X + 81П X. . С08 X л . , в) у = ё + М с*е х; г) у = 6Ьё X - 81П X. в) у = х6 + 13х10 + 12; г) у = х9 - 6х21 - 36. в) у = (х2 + 3)(х4 - 1); т)у = (х2 - 2)(х7 + 4). 41.13. а) у = л/х(2х - 4); в) у = л/х! б) у = (х3 + 1) • л/х; г) у = л/х 41.14. а) у = х • эт х; Я II 'П' б) у = л/х • сое х; II 041.15. а) у = {- + 11(2х - 3); II И4 V* / V х Г л\ Г б) у = 7 (6х + 1); 1 х) Г) у = 1^9 °41.16. а) у = х3 ■ 1% х; II К 1 н-4 (5х - 2); (Зх + 2). б) у = сое х • с4е х; Г) у = 81П X • X. 225 Найдите производную функции: 041.17. а) у = (х - 1)(*2 + дс + 1); в) у = (х + 1)(х2 - х + 1). б) у = (лГ + 2х + 4)(л: - 2); г) у = (лГ - 3* + 9)(л: + 3) 041.18. а) у = б) У = б )у = б )У = л:3 . в) У = х2 . 2л: + 4’ СО 1 *2 . г) У = X **-1’ х2 + 1' Зл/# . II 1? -2уГх . 2л: + 9’ 00 1 5? зт л: и СОЗ X х 9 X х9 -3 и 'и х5 + X. х3 ’ хъ - Г X15 . г) у = х13 л:10 + 1’ х4 - 2’ 041.21. а) у = сое2 ^ - зт2 л: л: _2 X, в) у = сое2 Зл: + 81П2 Зл:; л: х 2 008 2 * г) у = -8И1 С08 б) I/ = 2 81П С08 ~2; 041.22. а) у = зт 2л: сое л: - сое 2л: зт х; . х 2х , х . 2х б) у = 81П — С08---- + С08 — 81П —; } у 3 3 3 3 в) у - сое Зл: сое 2л: + зт Зл: зт 2л:; г) у = С08-| С08 - 8111-^ 81П 0 0 0 0 Найдите значение производной заданной функции в точке лу 41.23. а) у = у/х9 х0 = 4; в) у = -Зл: - 11, л:0 = -3; б) у = л:2, л:0 = -7; 41.24. а) у = зт х9 х0 = —; б) I/ = сое х9 х0 = 41.25. а) у = 6х - 9, х0 = 3; г) у = х0 = 0,5. в) у - соз Ху х0 = -Зя; г) у = зт л:, л:0 = 0. • в) у = 5л: - 8, х0 = 2; б) I/ = л:3 - Зл: + 2, л:0 = -1; г) 1/ = л:2 + Зл: - 4, х0 = 1 226 41.26. а) у б) у 41.27. а) у б) у в) У г) У 41.28. а) у б) у в) у Г) У 041.29. а) у б) у 2 х . . 8 х3 , - ~ 2> *о = 4; в) у = - - т, *„ = 1; V* + 4, х0 = 9; г) у = 4х + Ъх, х0 = 4. 2 8И1 X - 13 С08 Ху Х0 = тр , 1 2 Л. -СОЗ X + -Я , Хо = 7"» 7С 6 О Л. -81П X - 3, Хо = 4 сое л: + я>/2, л;0 = дм- л/л • II О я 71. 4’ 2 я - 3 х, х0 = к. 3’ , к2 с1§ х + X о II 1 05 | а (2х + З)2 - 4 х, х0 = 0. 81П X Я. в) У = СОЗ X II о Я Н 2’ II о Я н х + 1 г) У = 2х х-1’ х°~ : 2; : х + 1’ х°~°' 041.30. Докажите, что производная заданной функции принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента: а) у = Зл; + 12; в) у = -2 зт х + 4х; б) у = 2л;3 + 15л:; г) у = Зх - 1,5 сое х. °41.31. Докажите, что производная заданной функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента: а) г/ = “5 - 1,5л;; в) у = 1,4 сое х - Зх; б) у = -4х + 14; г) У = + 29. 227 041.32. а) Найдите те значения аргумента, при которых производная функции у - хг - Зх принимает положительные значения; б) найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = х5 - ^х4 принимает отрицательные значения; в) найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = у[х + х принимает неотрицательные значения; г) найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = 7 сое х + 12 принимает неположительные значения. Найдите скорость изменения функции в точке х0: 41.33. а) у = х2, х0 = -0,1; в) у = у[х, х0 = 9; б) у = “> х0 = -2; г) у = сое ху х0 = к. — 2х0 = -0,5; б) у = (л/х + 1)у[ху х0 = 1; г) у = 2 вш х - 4х9 х0 = •41.35. Существует ли производная заданной функции в точке х01 Если да, то вычислите ее: а) у = \х - 2\(х - 2), х0 = 2; б) у = (х + 2)\х + 2|, х0 = -2. •41.36. Существует ли производная заданной функции в указанных точках? Если да, то найдите значения производных: а) у = х2 - 5|л;| + 6, х0 = 2, хх = 3, х2 = 0; б) I/ = |я2 - 5|я| + 6|, х0 = -2, = 0, я2 = 2,5. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = /(я) в точке с абсциссой х0: 41.37. а) /(*) = х2у х0 = -4; в) /(*) = л:0 = -|; б) /(*) =р*0 = г) /(*) = *2, *0 = 2. 041.34. а) у - х3 + 2х, х0 = 2; 228 в) Дх) = СОВ X, Х0 = 41.38. а) Дх) = 81п х, х0 = б) Дх) = сое х, х0 = --7; г) /(л;) = 8ш л;, х0 = 4 о Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции у = Дх) равен й, если: 041.39. а) Дх) = 4х - х, к = 1; б) Дх) = уГх + Зх, к = 4. 041.40. а) Дх) = вт |- сое й = б) Дх) = соз2 й = |. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у = Дх) в точке с абсциссой х0 и осью х: 41.41. а) Дх) = Xе - 4х, х0 = 1; б) Дх) = л/х - 3, х0 = в) Дх) = -х5 - 2х2 + 2, х0 = -1; г) Д*) = — + 2, х0 = 041.42. а) Дх) = 10 - сое х, х0 = -у; б) Дх) = 2 1* х, х0 = у в) /(я) = 4 - вт я, л:0 = 6п; г) Дх) = -4 с*е *о = 4 °41.43. а) Дх) = х2 зш х, | = ? б) Дх) = х(1 + сое х), Д(я) = ? в) Дх) = л/з 81П X + + X 81П | = ? г) Д*) = Тз С08 X - X СОЗ ^ + у, = ? 229 041.44. Определите абсциссы точек, в которых касательная к гра* фику функции у = к(х) образует с положительным направ-лением оси абсцисс заданный угол а: а) Дл;) = х2 - Зх + 19, а = 45°; б) Дл;) = а = 135°- 041.45. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = к(х) образует острый угол с положительным направлением оси х, если: а) к(х) = х3- Зх2 + 1; в) к(х) = хг - х4 - 19; б) к(х) = 4\[х - х; г) к(х) = 1& х - 4х. 041.46. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = ф(л;) образует тупой угол с положительным направлением оси х, если: а) (р(х) = 8ш х + 3; б) ф(л;) = 0,2л:5 - З^л;3 + 9л;; в) ф(л;) = с!# х + 9л;; г) ф(л;) = х4 - ^л;3 + 21. 041.47. При каких значениях а касательные к графикам функций у = Дл;), у = к(х) в точке х = а не имеют общих точек: а) Дл;) = х\ к(х) = х8; б) /(л;) = л;2 + х + 3, к(х) = л;3? 041.48. а) При каких значениях х выполняется равенство Дл;) = 2, если известно, что Дл;) = 2у[х - 5л; + 3? б) При каких значениях х выполняется равенство Дл;) = 1, если известно, что Дл;) = Зл; - у[х + 13? Решите неравенство Дл;) < 0: 041.49. а) Дх) = х3 - 44; б) Дх) = | х5 - | х3 + 6х. 041.50. а) Дх) = вт 2х; б) Дх) = -4 сов х + 2х. Решите неравенство Д(х) > 0: 041.51. а) Дх) = х3 + х4; б) Дх) = 2 -§х‘ 041.52. а) Дх) = сов2 ^ - вт2 б) ДХ) = 81П2 -|. 230 При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = ?(х) равна скорости изменения функции у = §(х)\ 041.53. а) Цх) = ^х3 - х2, §(х) = 7,5х2 - 16*; б) /(х) = у/х, ё(х) = 041.54. а) /(*) = соз *, §(х) = зш *; б) /(*) = х, ё(х) = -с1ё х? 041.55. При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = §(х) больше скорости изменения функции у = Н(х): а) ё(х) = х3 - З*2, Н(х) = 1,5*2 - 9; б) ё(х) = *, Н(х) = 4х - 81? 041.56. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию Жх) = ё'(х), если: 6 3 а> Л*) = 5^9’ **> = 7 б) /(*) = с1& ху §(х) = 2х + 15. 041.57. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию Ж*) < ^(*), если: а) Я*) = зт х • соз *, ё(х) = — * + 61; б) Я*) = X СОЗ *, §(х) = 81П *. 41.58. Укажите, какой формулой можно задать функцию у = Я*)> если: а) /'(*) = 2х; в) Ж*) = 3; б) Ж*) = соз *; г) Ж*) = -зт х. 041.59. Известна производная функции у = Ж*)* Укажите, какой формулой можно задать функцию у = Я*)> если: а) Ж*) = З*2 + 2х; в) Ж*) = б*4 - 1; б) Т(х) = ~^2; г) /'(*) = ^г? •41.60. Задайте аналитически функцию у = Я*)> если графиком ее производной является: а) парабола (рис. 100); б) ломанная (рис. 104). 231 041.61. а) При каких значениях х верно равенство у' • у + у2 = о если у = 2 8И1 х? б) При каких значениях х верно равенство у2 + (у')2 = ^ если у = 4x1 •41.62. При каких значениях а и Ъ функция \2х - 3, если х < 1, ^ \х2 + ах + Ъ, если х > 1: а) непрерывна на всей числовой прямой; б) дифференцируема на всей числовой прямой? •41.63. При каких значениях а и Ь функция У = 1 х + 3 , если х < -1, ах3 + Ъх, если х > -1: а) непрерывна на всей числовой прямой; б) дифференцируема на всей числовой прямой? 041.64. Найдите вторую производную функции: а) у = х4 + 2х; в) у = зт х + 1; б) у = х5 - Зх; г) у = 2 со в х - 4. 041.65. Найдите /'"(0), если: а) у = 2х3 - х2; в) у = 4 зт х - соз х; б) у = х + соз х; г) у = зт х + соз х. 041.66. Тело движется по прямой согласно закону хЦ) = “4 “ “3 " - 6*2 + 21 + 1 (где I — время (в секундах), х(1) — координата (в метрах)). Найдите: а) ускорение движения в момент времени I - 3 с; б) силу, действующую на тело массой 1 г в момент времени I = 3 с. 041.67. а) При каких значениях х верно равенство у" + у' - У = О, если у = 3 соз х? б) При каких значениях х верно равенство (у")2 + 2у' 55 = у2 + 1, если у = зт х? 041.68. а) Докажите, что функция у = х зт х удовлетворяет соотношению у" + у = 2 соз х; б) докажите, что при любых значениях а и Ь функция у = а зт х + Ь соз х удовлетворяет соотношению у" + у = 0. 232 С)41*69. Строится мост параболической формы, соединяющий пункты А и В, расстояние между которыми равно 200 м. Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути, эти участки направлены к горизонту под углом 15°. Указанные прямые должны быть касательными к параболе. Составьте уравнение профиля моста в заданной системе координат (рис. 91). Рис. 91 •41.70. а) При каких значениях параметра а касательные к графику функции у = 4х2 - |а|дг, проведенные в точках его пересечения с осью х, образуют между собой угол 60°? б) При каких значениях параметра а касательные к графику функции у = х2 + |а|дг, проведенные в точках его пересечения с осью х, образуют между собой угол 45°? § 42. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции Найдите производную функции: 42.1. а) у = (4* - 9)7; 42.2. а) у = 81п (Зл: - 9); б) у = соз ^ - 4* 42.3. а) у = ^5* - ; б) у = л/50 + 0,2л;; / V* .)9=(1 + 2] ; Г) у = (15 - 9л:)13. в) у = 8Ш (5 - Зх); г) у = соз (9л: - 10). в) у = С 1ё ^ - 4*^; г) у = л/4 - 9х. 233 Найдите производную функции: 042.4. а) у = соз2 л: - ят2х; в) у = 1 - 2 зт23л:; б) у = 2 зт * • соз х; г) у = зт2 Зл: + соз2 Зл:. 042.5. а) у = зт Зл: соз 5л: + соз Зл: зт 5л:; б) у = соз 4л: соз 6л: - зт 4л: зт 6л:; в) у = зт 7л: соз Зл: - соз 7л: зт Зл:; г) и = соз — • соз — + зт — • зт—. 9 * 3 6 3 6 042.6. а) у = (1 - ж3)5; в) у = ^ + 8)2» б) у = \1х3 + Зж2 - 2ж + 1; г) у = ~ 042.7. а) у = зт3 л:; в) у = 1&5 л:; б) у = ^сЪ§х; Г) у = (ж + ж3). •42.8. а) у = >/1 - ж2 + соз3 ж; в) у = зт2 ж • соз л/ж; б)г/ = 7*ёж. ж2 + 1’ г) У = х Найдите значение производной функции в точке ж0: 042.9. а) у = (Зж - 2)7, ж0 = 3; в) у = (4 - 5ж)7, ж0 = 1; б) у = 725 - 9ж, ж0 = 1; г) у = 77ж + 4, ж0 = 3. 042.10. а) у = зт ^2ж - ^ ж0 = б) у = с*е || - *о = в) у = соз ^ - 4ж| ж0 = -|; Г) У = Гзж - Ж0 = 042.11. а) у = (л:2 - Зл: + I)7, л:0 = 1; б) у = \1§т1’ х<> = °; в) у = у](х - 1Хж - 4), ж0 = 0; г) у = х2 + 1 \3 ж2 + 3 ж0 = 1. 234 042.12. а) у = *е3 х, х0 = в) у = сое х3, х0 = 0; я2 б) у = 31п Vх, х0 = 3^; г) у = с1§2 х - 1, х0 = Вычислите скорость изменения функции в точке х0: 4 в) у = 12х~^Ъ’ х° = 2; г) у = \/11 - 5х, х0 = -1. г) у = х0 = к. 042.13. а) у = (2х + I)5, х0 = -1; б) у = у!1х - 3, х0 = 1; 042.14. а) у = зт |з* - ^ х0 = б) у = 6х, х0 = в) у = соз | - 2л: 1 х0 = ^5 042.15. а) у = V4*2 - 20х + 25, х0 - 3; б) у = ^^^I^x-2^пx + 1, х0 = О в) у = %/1 - 10* + 25л:2, х0 = 1; г) У=^- 1 , 1 2 Я 1 - соз х л— соз х, х0 - —. 4 4 •42.16. а) у = (х - зт х)2, х0 = я; ^ /1 - зт х я. б> У = V ""сое* = 4; в) г/ = ^(апж + 1)созл;, х0 = г) У = (4д * - I)4, *0 = °42.17. При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = ?(х) равна скорости изменения функции у = #(л:): а) ?(х) = соз 2ху §(х) = зт х; б) /(х) = зт 6л:, ё(х) = соз 12л: + 4; 2 в) /(л:) = д зт Зл:, ё(х) = соз 2л:; г) Г(х) = V*2 - 2х; ё(х) = 2^7 235 042.18. При каких значениях аргумента скорость изменения функ* ции у = §(х) больше скорости изменения функции у = Н(ху а) §(х) = 8И1 (зх - Н(х) = 6х - 12; б) §(х) = соз Н(х) = 3 - 42x1 042.19. Найдите тангенс угла между касательной к графику функ-ции у = к(х) в точке с абсциссой х0 и осью х: а) Л(*) = 4х + 1> х0 = 0,5; в) Н(х) - 4б - 2х, *0 = 1; б) Н(х) = соз3 х, х0 = г) к(х) - *0 = 042.20. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции у = Ддг) равен а, если: 72 а) Ддг) = зт х • соз Ху к = ——; б) Я*) = соз2 Ху к = 042.21. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной равен 0: а) Ддг) = х; б) Дх) = зт2 х соз 2х. 042.22. а) Найдите корни уравнения /'(х) = 0, принадлежащие отрезку [0, 2], если известно, что Дх) = соз2 х + 1 + зт х. б) Найдите корни уравнения Ддг) = 0, принадлежащие от-п Зя резку 2’ 2 > если известно, что Ддг) = зт2 х - соз х - 1. 042.23. а) Дано: Ддг) = а зт 2х + Ъ соз х9 Д ^ | = 2, ?\~2 | = Чему равны а и Ь? б) Дано: Ддг) = а соз 2х + Ъ зт 4дг, ^ = 4, ^ = 2. Чему равны а и Ъ? 042.24. Решите уравнение $\х) = 0, если: а) Ддг) = 7соз 2х; в) /(х) = зт4 х; б) Ддг) = Ь&2 х; г) Ддг) = соз3 х - зт3 х. 042.25. Решите неравенство у' < 0, если: а) у = (1 - Зх)6 (2 - 7х)1 ,5 9 б) у = (2* + З)4 (2 - 5*)8 ‘ 236 ¢42.26. Решите неравенство х) > 0, если: (2х - I)4 а) ^ = (Зх + 2)5’ б) ^ = (4 - За:)4 (5х - 4)3 042.27. Проверьте равенство ^(х) = Дл;), если: а) §(х) = (1 - х2) 8Ш х2 - соз л;2, Дл;) = 2(х - хг) сое х2; б) &(х) = (х2 - 1,5) соз 2х - х 8И1 2ху Дл;) = (2 - 2л;2) зт 2л;. 042.28. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию Дл;) = ё'(х), если: а) Дл;) = зш (2л; - 3), §(х) = соз (2л; - 3); б) Дл;) = у/Зх - 10, ё(х) = л/14 + 6л;. 042.29. Определите абсциссы точек, в которых касательные к графику функции у = Н(х) образуют с положительным направлением оси абсцисс заданный угол а: а) Н(х) = 2 ^2х - 4, а = 60°; б) Н(х) = 81П | 4л; - — , ос = 0° Известна производная функции у = Дл;). Укажите, какой формулой можно задать функцию у = Дл;): 042.30. а) Дх) = 6(2х - I)2; б) Дл;) = -20(4 - 5л;)3. 042.31. а) Дл;) - + 3)2’ 042.32. а) Дх) = з1п (зх - V 3 б) Дх) = б) Пх) = 5 2у/5х - 7 ’ 4 соз2 (5л; - 1)’ 042.33. Найдите производную функции: а) у = агсзт Зл;; в) у = (агссоз л;)3; б) у = агс!# л;2; г) у = агсс!# 4х. •42.34. Найдите значение производной функции в точке х0: а) у = (агссоз л;)3, х0 = 0; ч 2 2х + 1 б> У = 7з агс^ = ~1; в) у = агсзт л/х, х0 = 2 - л г) у = агссоз -^р Х0 = 1. 237 042.35. Вычислите скорость изменения функции у = &(л:) в точке х^; а) §(х) = агс!& (1 - Зл:), х0 = б) ё(х) = агсзт у[х; х0 = 0,25; в) §(х) = агссоз (2х - 3), х0 = 1,5; г) ё(х) = ^агссЬёх, х0 = 0. 042.36. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у = Н(х) в точке с абсциссой х0 и осью х: 2 а) Н(х) = агсзт (Зх - 2), х0 = б) Н(х) = агсзт х • агссоз х, х0 = 0. 042.37. а) Решите уравнение /'(х) = 2, если Дх) = агс1& (2х). б) Найдите те значения х, при которых выполняется равенство (/'(л:))2 = где /(х) = 2 агсзт у[х. •42.38. Решите неравенство (/'(л:))2 > 1, если: а) /(х) = агсзт 2л:; б) Дл:) = 2 агссоз у[х. § 43. Уравнение касательной к графику функции 43.1. Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции у = Дл:), в точках с абсциссами а, Ъ, с: а) рис. 92; Рис. 92 Рис. 93 238 43.2. Укажите точки, в которых производная равна нулю и точки, в которых производная не существует, если график функции изображен на заданном рисунке: а) рис. 94; б) рис. 95; в) рис. 96; г) рис. 97. Рис. 94 Рис. 95 Рис. 96 Рис. 97 43.3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = ?(х) в точке с абсциссой х = а, если: а) ?(х) = х3 - 2х2 + 3, а = -1; б> «*> = в) /(*) = х4 - 7х3 + 12х -45,а = 0; 2х-1 г) Г(х) = ^-р а = 1. 239 Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = Дх) в точке с абсциссой х = а если: 43.4. а) Дх) = л/х - 7, а = 8; б) Дх) = -74 - 5х, а = 0; в) Дх) = л/Ю + х, а - -5; г) Дх) = ^/3,5 - 0,5л:, а = -1. 43.5. а) Дх) = 8ш х, а = 0; в) Дх) = соз Зх, а = 7С 7С б) Дх) = 2х, Д = г) Дх) = 0¾ х, а = д* 043.6. а) Дх) = фёх, а = в) Дх) = с)#4 х, а = б) Дх) = соз2 х, а = —I г) Дх) = ^2 - япх, а = |. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у = Дх) в точке с абсциссой х0: 043.7. а) Дх) = (х - 2)(х2 + 2х + 4), х0 = 3; б) Дх) = соз2 Зх - зт2 Зх, Х0 = в) Дх) = (2х + 1)(4х2 - 2х + 1), х0 = г) Дх) = 81П X • соз х • соз 2х, х0 = ~ЛП О \ £1 \ х3 - Зх2 + Зх - 1 , 043.8. а) Дх) = ---------------, х0 = -1; б) Дх) = л/х2 - 6х + 9, х0 =-2; . ,, . х4 - Зх3 + х . „ В) Кх) = -----^2-----* *0 = -0,1; г) Дх) = %/х3 - 6х2 + 12х - 8, х0 = -5. 240 Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = Дх) в каждой из указанных точек: о43.9. а) Ах) = х2 - 1, если |х| > 1, 1-х2, если |х| < 1, Хх = -2, х2 = 0, х3 = 3; б) Ах) = в) Ах) = х2 + 2, если х > О, , Хх = -1, х2 = 0, х3 = 2 - х , если х < О, -Зх, если х < О, г— Л Хх = -1, х2 = 1, х3 = 5; л/5х, еслих > О, 2; г) Ах) = >/4 - 2х, если х < 2, х - 2, если х > 2, XI = -2, х2 = 2, х3 = 5. 043.10. а) Дх) = х2 - 9|х| + 14, хх = -7, х2 = 4,5, х3 = 8; б) Ах) = х2 - 4|х| - 12, Хх = -3, х2 = -2, х3 = 2. 043.11. а) Ах) = |х2 - 5х + б|, X! = 0, х2 = 2,5, х3 = 4; б) Ах) = |-х2 + 2х + 3|, X! = -2, х2 = 1, х3 = 2. Найдите ту точку графика функции у = /(х), в которой угловой коэффициент касательной равен к: 043.12. а) Ах) = 1,5х2 - х + 1, к = 2; б) /(х) = х + к = 3; в) Дх) = х3 - 2х2 + х, А = 1; г) Ах) = | + |. А = -3. 043.13. а) Дх) = агсзт 2х, А = 2; б) Дх) = х - агссоз х, А = 2; в) Дх) = 3 + агс1е х, А = г) Дх) = агсс!^ Зх, А = 3. 43.14. Какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = Дх) в точке с абсциссой х = а: а) Дх) = 4 + х2, о = 2; в) Дх) = (1 - х)3, а = -3; б) Дх) = 1 - о = 3; г) Дх) = 2х - х3, а = 1? 241 Какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = Дх) в точке с абсциссой х = а: 43.15. а) /(х) = х2, о = 0,5; в) Я*) = 0,2х5, о = -1; б) Я*) = -Зх3, а = ^; г) Я*) = -0,25х4, а = 0. 43.16. а) Я*) = х3 - Зх2 + 2х - 7, о = 1; б) Ях) = -7х3 + 10х2 + х - 12, о = 0. 43.17. а) Я*) = а = |; 43.18. а) Я*) = 7бх + 7, а = 3-; О 43.19. а) Я*) = 7з соз^, о = 43.20. а) Ял) = х + зт а = Зя; о б) Я*) = С08 X + с4§ О = 043.21. а) Я*) = |2х - х2|, а = 1; б) Я*) = I*2 - Зх - 4|, а = -2; в) Я*) = |л2 + 4х|, а - -3; г) Я*) = I*2 - Зх - 4|, о = -1. Составьте уравнение касательной к графику функции у = Я*) в точке с абсциссой х = а: 43.22. а) Я*) = л2, о = 3; б) я*) = 2 - х - х3, о = 0; в) Я*) = х3, а = 1; г) Ял) = х2 - Зх + 5, о = -1. 043.23. а) Ял) = Зл-2 3 - х ’ ° “ в) Ял) = II б) Ял) - г) Ял) = 1 (х + 2)3’ °"-3’ 4(2х - I)2 ’ 043.24. а) Ял) = 2>/Зл: - 5, а = 2; б) Ял) = 77 - 2х, а = 3. б) Ял) = о = 1. б) Ял) = 75 - 2х, о = 2. б) /(я) = зт 2л:, а = 242 043.25. а) /(ж) = сое а = 0; в) /(ж) = 81п 2ж, о = б) /(ж) = с*е 2х, а = г) /(ж) = 2 |, а = 0. 043.26. а) Дх) = агссоз Зх + 2х, а = 0; б) Дх) = Зх2 - 0,2 агсзт 5л:, а = 0; в) Д*) =2 агс1|г х + 3>/х, а = 1; г) Д*) = ~ - 5 агсс1& 2л:, а = 1. •43.27. а) /(л:) = зш3 2л:, а = б) Кх) = ^ Тагс^Зх. а = 1’ в) Дх) = сое2 2л:, а = г) Дх) = 2 агсс1& (Зх2) + 3 агс1& (2х3), а = 0. 043.28. а) Дх) = х2 + 2х, если х > -3, -2х - 3, если х < -3, б) Дх) = |х2 - Зх|, а = 4; 4х - х2, если х > 0, -4х, если х < О, г) Дя) = х2 - 7|х| + 10, а = -1. а = -2; в) Д*) а = 1; 043.29. Напишите уравнения касательных к графику функции У = Дя) в точках его пересечения с осью абсцисс, если: а) Дх) = 9 - х2; в) Дх) = х3 - 4х; б) Дх) = х3 - 27; г) Дх) = х3 - х4. 043.30. Напишите уравнения касательных к параболе: а) у = х2 - Зх в точках с ординатой 4; б) у = -х2 + 5х в точках с ординатой 6. 043.31. В какой точке касательная к графику функции у = х2 параллельна заданной прямой: В) У = - 2; г) у = -ж + 5? а) у = 2ж + 1; б) У = ~\х + 5; 243 043.32. Напишите уравнения тех касательных к графику функ- х3 ции у = — - 2, которые параллельны заданной прямой: а) у = х - 3; б) у = 9х - 5. 043.33. Напишите уравнения тех касательных к графику функ-ции у = агсзт х, которые параллельны заданной прямой: а) у = 2х - 3; б) у = х + 2. В какой точке графика заданной функции у = ?(х) касательная параллельна заданной прямой: 043.34. а) у = 3 + х9 /(х) - \ ~ Зх2 + 10х - 4; б) у = 0, Дх) = - X2 + 8; -а в) у = х - 3, /(*) = -у - х2 + 2х - 7; г) г/= 2, Дх) = |х4-х3 + 6? 4 043.35. а) Дх) = 81П х, у = -х; в) Дх) = х, у = х; б) Дх) = сое Зх, у = 0; г) Дх) = зт у = -1? 043.36. а) Дх) = сое2 х, у = -х + 3; б) Дх) = агсс^е (х2), у = -3; в) Дх) = ^/зтх, у = 5; г) Дж) = (агсзт х)2, у = -5. К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой у - 2-х: 043.37. а) у = + |х2 - х; Оу I 7 043.38. а) I/ = 043.39. а) у = -4>/х + 7; 043.40. а) у = агссоз х; 244 б) У = -д- + X2 - X. X + 9 б)^=1ГГ8- б) у = %/1 - 2х. б) у = агсс1& л:. 043.41. а) На графике функции у = хг - Зх2 + х + 1 найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45°. Составьте уравнения этих касательных. Зх + 7 б) На графике функции у = х найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 135°. Составьте уравнения этих касательных. 043.42. Составьте уравнение той касательной к графику функции у = /(я), которая образует с осью х заданный угол ос, если: &) /(*) = - зТЗх, а = 60°; б)Кх) =1ъх~ 1р’ а = 30°- 043.43. а) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех Зх — 1 касательных к графику функции у = х + ^ > которые образуют угол 45° с осью х. б) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех х + 4 касательных к графику функции у = х _ которые образуют угол 135° с осью х. 043.44. Составьте уравнение параболы у = х2 + Ъх + с, касающейся прямой у = -х в точке М( 1; 1). 043.45. Проведите касательную к графику функции у = х2 + 1, проходящую через точку А, не принадлежащую этому графику, если: а) А(-1; -2); б) А(0; 0); в) А(0; -3); г) А(-1; 1). °43.46. Через данную точку В проведите касательную к графику функции у = /(*): а) Г(х) = -х2 - 7х + 8, В( 1; 1); б) Цх) = -х2 - 7х + 8, В(0; 9). 245 Через данную точку В проведите касательную к графику функции у = !(х): •43.47. а) Г(х) = л/3 - х, В(-2; 3); б) Г(х) = л/3 - х, В(4; 0). •43.48. а) /(л) = л/4* - 3, В(2; 3); б) Г(х) = л/2* + 1, В(1; 2). 043.49. а) Найдите все значения х, при каждом из которых касательная к графику функции у = сое 7х + 7 соз л: в точках с абсциссой х параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой б) Найдите все значения а, при каждом из которых касательные к графикам функций у = 2 - 14 зт Зх и у = 6 зт 7х в точках с абсциссой х = а параллельны. •43.50. а) Составьте уравнение касательной к графику функции У = ~2> х > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 2,25. б) Составьте уравнение касательной к графику функции у - —2» х < 0, отсекающей от осей координат треуголь- х 9 ник, площадь которого равна •43.51. а) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х3, х > 0, отсекающей от осей координат треугольник, 2 площадь которого равна д- б) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х3, х < 0, отсекающей от осей координат треугольник, 27 площадь которого равна -д-- •43.52. а) На оси у взята точка Б, из нее проведены касательные к графику функции у = 3 - ^ х2. Известно, что эти касательные образуют между собой угол 90°. Найдите координаты точки Б. б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции у = 0,5л:2 - 2,5, которые пересекаются под углом 90 в точке, лежащей на оси у. 246 #43.53. а) На оси у взята точка В, из нее проведены касательные к графику функции у = ^ х2 + Известно, что эти С* и касательные образуют между собой угол 60°. Найдите координаты точки В. б) Составьте уравнения тех касательных к графику функ-ции у = -0- (1 - х2), которые пересекаются под углом 120° в точке, лежащей на оси у. •43.54. а) Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = х2 - \2х - 6|, проведенных через точки с абсциссами х = 5, х = -5. б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = х3 + |х - 1|, проведенных через точки с абсциссами х = 2, х = -2. •43.55. а) При каких значениях параметра р касательная к графику функции у = х3 - рх в точке х = 1 проходит через точку (2; 3)? б) При каких значениях параметра р касательная к графику функции у = х3 + рх2 в точке х = 1 проходит через точку (3; 2)? •43.56. Является ли прямая у = 4х - 5 касательной к графику заданной функции? Если да, то найдите координаты точки касания: а) у = х3 + х2 - х - 2; б) у = х3 - 2х2 - 7х - 13. 043.57. Найдите все такие значения параметра а, при которых касательные, проведенные к графикам функций у = /(л;) в точке (а; /(а)) и у = #(;с) в точке (а; #(а)), параллельны: а) Лх) = х6; ё{х) = х7; б) № = *4; в<*) = *5. •43.58. а) При каких значениях параметра а прямая у = ах + 1 является касательной к графику функции у = у/4х + 1? б) При каких значениях параметра а прямая у = 2х + а является касательной к графику функции у = >/4л: - 1? 247 •43.59. а) К графику функции у = 2 зт2 х + у/з зт 2х, х е 0; к 2 проведена касательная, параллельная прямой у - 4х - 1 = 0. Найдите ординату точки касания. б) К графику функции у = 2 соз2 х + л/З зт 2х, х в я. 2’ К проведена касательная, параллельная прямой 3у - 6х + + 2 = 0. Найдите ординату точки касания. •43.60. а) Найдите наименьшее положительное значение х, при 5~ котором касательные к графикам функций у = 3 соз — А с Зя 0 и у = 5 соз -^- + 2 параллельны. б) Найдите наибольшее отрицательное значение х, при котором касательные к графикам функций у - 2-14 зт Здг и у = 6 зт 7л: параллельны. •43.61. а) Точка А с абсциссой -1 и точка В с абсциссой 1 принадлежат графику функции у = 2л;3 + Зл;2 - ^ + 1. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой АВ. б) Точка А с абсциссой -3 и точка В с абсциссой 3 принадлежат графику функции у = т^л;3 - 2л:2 - 22л: - 28. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой АВ. •43.62. а) Составьте уравнение общей касательной к графикам функций у = л;2-л:+1иу = л:2 + 5л; + 4. б) Найдите точку пересечения общих касательных к графикам функций у = х2 и у = -х2 - 8. •43.63. Углом между кривыми называют угол между касательными к кривым в точке их пересечения. Под каким углом пересекаются кривые: а )У =\ и у = 4х; б) у = х2 и у = 7х? 248 перпен- ^43.64. Докажите, что параболы у = (х - I)2 2 и у = (X + I)2 2 дикулярны в точке их пересечения. •43.65. а) Из какой точки оси у кривая у = л/1 + х2 видна под углом 120°? б) Найдите множество точек координатной плоскости, из которых парабола у = х2 видна под прямым углом. •43.66. а) Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции у = х3 + а2х - а в точке х = -1 проходит через точку М( 1; 7). б) Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции у = хА - Здг3 + 2а в точке х = -2 проходит через точку М(-1; -8). •43.67. а) Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции у = л/х2 - 5 в точке л: = 3. б) Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции у - л/х2 - 9 в точке л: = 5. •43.68. а) Прямая у = 6х - 7 касается параболы у = х2 + Ъх + с в точке М(2; 5). Найдите значения коэффициентов & и с. б) Прямая у = 7л: - 10 касается параболы I/ = ах2 + Ьх + с в точке х = 2. Найдите значения коэффициентов а, Ь и с, если известно, что парабола пересекает ось абсцисс в точке х = 1. •43.69. Докажите, что треугольник, образованный касательной к гиперболе У - ~ и осями координат, имеет постоянную площадь, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника. Рассмотрев чертеж к задаче, придумайте геометрический способ построения касательной к гиперболе. •43.70. Докажите, что касательная к параболе у = х2 в точке х - а делит пополам отрезок [0; а] оси абсцисс. Рассмотрев чертеж к задаче, придумайте геометрический способ построения касательной к параболе. Обобщите этот результат и этот способ построения касательной на любую степенную функцию у = х”, где п — натуральное число, большее 2. 249 § 44. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы 44.1. Определите, какой знак имеет производная функции у = /(*) в точках с абсциссами а, Ъ, с, й\ а) рис. 98; б) рис. 99. 44.2. По графику производной функции у = /(х), представленному на заданном рисунке, определите, на каких промежутках функция у = Цх) возрастает, а на каких убывает: а) рис. 100; б) рис. 101; в) рис. 102; г) рис. 103. Рис 98 Рис 99 250 44.3. На каком из указанных промежутков функция у = /(х) убывает, если график ее производной представлен на рис. 104: Рис. 102 Рис. ЮЗ Рис. 104 251 44.4. Определите, для какой из функций у = /(х), у = ^(дг), у = Н(х) отрезок [-1; 1] является промежутком возрастания, если на рис. 105, 106, 107 изображены графики производных этих функций. И г — «ч -1 О 1 дг Рис. 107 44.5. На рис. 108, 109, 110 изображены графики производных у = Г(х), у = ё'(х), у = Л'(лг). Определите, какая из функ-ций у = /(х), у = §(х), у = Н(х): а) возрастает на К; И 1 У = п X) - 2 О 1 X Рис. 108 Рис. 109 252 У; к У- N1 =г [X) \ ъ ( 1 X \ \ Рис. 111 Рис. 112 Рис. 113 Рис. 114 На рис. 111—114 изображены графики функций у = /(х), у = §(х), у = Н(х) и у = ф(л;), определенных на всей числовой прямой. Используя их, решите неравенство: 44.6. а) Г(х) > 0; б) /(*) < 0; в) Н'(х) < 0; г) <р'(х) > 0. 44.7. а) Г(х) < 0; б) х) > 0; в) Н'(х) > 0; г) (р'(дг) < 0. 263 44.8. а) Изобразите эскиз графика производной функции у = /(*), если известно, что данная функция возрастает на (-оо; 1) и убывает на промежутке (1; +оо). б) Изобразите эскиз графика производной функции у = /(*), если известно, что данная функция убывает на луче (-оо; -1], возрастает на отрезке [-1; 3], убывает на луче [3; +оо). 44.9. Изобразите эскиз графика функции у = /(л;), если промежутки постоянства знака производной /'(я) представлены на схеме: а) рис. 115; в) рис. 117; б) рис. 116; г) рис. 118. + + Рис. 115 + + Н----1-------1---- 0 2 5 Рис. 116 + -I- ------1-------------------1---------н -2 4 7 РИС. 117 -I- -I- - -I- - -1 0 1 2 * РИС. 118 044.10. Докажите, что заданная функция возрастает на К: а) у = соз х + 2х; в) у = х5 + Зл;3 + 7х + 4; б) у = 81П х + х3 + х; г) у = х5 + 4л;3 + 8л; - 8. 044.11. Докажите, что заданная функция убывает на В: а) у = 81п 2л; - Зл;; б) у = соз Зл; + 4л;. 254 044.12. Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой. Укажите характер монотонности. а) у = х5 + 6хг -7; в) у = 8т х - 2х - 15; б) у = х - сое х + 8; г) у = 11 - Ъх - хг. Докажите, что заданная функция возрастает: 044.13. а) у = х5 + Зх - 6 на (-оо; +оо); б) у = 15 - \ на (-ОО, 0); В) у = х7 + 7хг + 2х - 42 на (-оо; +оо); г) у = 21х - ^5 на (0, +оо). 044.14. а) у = 7х - сое 2х на (-оо; +оо); б) у = 10х + 81П Зх на (-оо; +оо). 044.15. а) у = 2хг + 2л:2 + 11л: - 35 на (-оо; +оо); б) у - Зхг - 6л:2 + 41л: - 137 на (-оо; +оо). 4^ 044.16. а) у = 4х + 1 на 2х - 13 +оо 4 6 )У= 5 на (-оо, 5). Докажите, что заданная функция убывает: 044.17. а) у = -хг - 5л: + 3 на (-оо; +оо); б) у = -2л:5 - 7л:3 - х + 8 на (-оо; +оо); в) у - -хг + Зл:2 - 6л: + 1 на (-оо; +оо); г) у = -4л:3 + 4л:2 - 2л: + 9 на (-оо; +оо). 044.18. а) у = на ^-2, +°°^; б )у = -4х + 1 2л: + 1 на л ) 044.19. а) у = 7 сое х - 5 8т Зл: - 22л: на (-оо; +оо); б) у = 3 сое 7л: - 8 зт ^ - 25л: + 1 на (-оо; +оо). 044.20. Определите промежутки монотонности функции: а) у = хъ + 2л:; б) у = 60 + 45л: - Зл:2 - л:3; в) у = 2л:3 - Зл:2 - 36л: + 40; г) у = -л:5 + 5л:. 255 Определите промежутки монотонности функции: ог _ 1 044.21. а) у - 044.22. а) у = \13х - 1; б) у - VI - х + 2х; 1-2х *>у= ЗЛЕ* в) у = VI - 2х; г) у = у}2х - 1 - х. 044.23. а) у = Зх2 б> * = "77Т 044.24. а) I/ = 8т2 ж; б )у = 3 » С08 X В) у = г) У = сое2 х; 1 зт5л; 044.25. а) у = у/х2 - 6х + 8; •44.26. а) у = агсзт х2; б) у = агсс1& у/х; б) у = у15х - 2 - 2Х2. в) у = агссоз у/х; г) у = агс!&2 х. •44.27. а) у 2х3 - 6х, если х > -1, х2 + 2х + 3, если х < -1; Г Зл:4 - 4л;3, если х < 2, 1 ■-х2 + 4х + 12, если х > 2. •44.28. г) у = х5 - 5х4 + 1, если л; > О, (л; + 2)2 - 3, если х < 0; б) У = -Зх5 + 5л;3 - 2, если х > -1, —, если х < -1. х 044.29. Исследуйте на монотонность функцию у = /(х) и постройте (схематически) ее график: а) 7(х) = х3 - Зх + 2; в) /(х) = х3 + 6л;2 - 15л; + 8; б) /(х) = х4 - 2х2 + 1; г) /(х) = -х4 + 8л;2 - 7. 044.30. Постройте график функции у = /(х), х 6 [0; 10], произвоД' ная которой равна нулю на интервалах (0; 2); (2; 6); (6; 10), если известно, что /(1) = 0, /(5) = 3, /(8) = -2. 256 При каких значениях параметра а функция возрастает на всей числовой прямой: хг 044.31. а) у = хг + ах; б) у = -у - ах + Ъх - 3? 044.32. а) у = ах - соз х; б) у = 2 зт 2х - ах? 044.33. При каких значениях параметра Ъ функция убывает на всей области определения: а) у = 7 + Ъх - х2 - хг; в) у = х3 + Ьх2 + Зх + 21; б) у = -2у/х + 3 + Ьх; г) у = -2Ъх + у!\ - х? •44.34. При каких значениях параметра а функция у = хг - Зх: а) убывает на отрезке [а + 1; а + 3]; б) возрастает на отрезке а----; 2а + 2 2 в) убывает на отрезке о 1 ,2 а - 3; — а + — 6 3 г) возрастает на отрезке [а - 2,5; а - 0,5]? 044.35. а) При каких значениях параметра а функция - Зх2 + 7 возрастает в интервале (а - 1; а + 1)? б) При каких значениях параметра а функция + Зх + 5 убывает в интервале а, а + А 2 у = 2х3 -у = -х3 + 044.36. По графику функции у = /(я), х € К, изображенному на заданном рисунке, определите точки, в которых ее производная обращается в 0: а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122. РИС. 119 257 Рис. 121 Рис. 122 044.37. По графику функции у = Дл;), х € К, изображенному на заданном рисунке, определите точки, в которых произвол* нал не существует: а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122. 044.38. При каких значениях параметра а заданная функция имеет одну стационарную точку: а) у = хг - 3ах2 + 27л; - 5; б) у = хг - Зал;2 + 75л; - ДО? 258 44.39. Сколько точек минимума имеет функция у = /(х), график которой изображен на заданном рисунке: а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122? 44.40. Сколько точек максимума имеет функция у = /(я), график которой изображен на заданном рисунке: а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122? 44.41. Используя данные о производной у = /'(я), приведенные в таблице, X 5) -5 (-5;-2) -2 (-2; 8) 8 (8; +оо) у = /'(*) + 0 - 0 + 0 + укажите: а) промежутки возрастания функции у = ?(х); б) промежутки убывания функции у = /(х); в) точки максимума функции у = ?(х); г) точки минимума функции у = /(я). 44.42. По графику у = /'(х)9 изображенному на заданном рисунке, определите, имеет ли функция у = /(х) точки экстремума: а) рис. 100; б) рис. 101; в) рис. 102; г) рис. 103. 044.43. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами: а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной; б) функция возрастает при х < 1 и при х > 5 и убывает на промежутке [1; 5], точка х = 1 является критической, а точка х = 5 — стационарной; в) функция имеет разрыв в точке х = -2, максимум в точке х = -1 и минимум в точке х = 1; г) функция имеет горизонтальную асимптоту у = 3 при х —> оо, одну точку максимума и одну точку минимума. 044.44. а) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале (а, Ь), имеющей на этом интервале одну точку минимума, две точки максимума и не имеющей наименьшего значения. б) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале (а, &), имеющей на нем две точки минимума, две точки максимума, но не имеющей ни наименьшего, ни наибольшего значений. 259 044.45. Может ли иметь только одну точку экстремума: а) четная функция; в) периодическая функция; б) нечетная функция; г) монотонная функция? 044.46. По графику функции у = ?(х), х € К изображенному на заданном рисунке, постройте эскиз графика ее производ ной: а) рис. 123; б) р] У) 1 1 ы ч - / о 1 Ь X Рис 126 260 ¢44.47. Постройте эскиз графика функции у = /(х), х 6 Е по графику производной, изображенному на заданном рисунке: а) рис. 127; б) рис. 128; в) рис. 129; г) рис. 130. Рис. 127 рис. 130 261 Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер: 044.48. а) у = 2х2 - 7х + 1; б) у = 3 - Ъх - х2; в) у = 4х2 - 6х - 7; г) у = -Зх2 - 12х + 50. 044.49. а) у = - ^х2 + 6х - 1; б) у = хг - 27х + 26; 044.50. а) у = 5л;5 - Зл;3; б)у = х4- 4х3 - 8х2 + 13; в) у = х3 - 7х2 - Ъх + 11; г) у = 2х3 - 21л;2 + 19. в) у = хА - 50л;2; г) у = 2хъ + 5л;4 - Юл;3 + 3. 044.51. а) у = х + 044.52. а) у = х - 2у1х - 2; б) у = \/л; + 1 + л/5 - л;; 044.53. а) у = л; - 2 соз л;, л; 6 [-тс, тс]; б) у = 2 зт х - х, х € [тс, Зтс]. б)*/ = л:2 + 9 л: в) у = 4у/2х - 1 - л;; г) г/ = л/л; + 2л/7 - х. 044.54. а) г/ = (л;3 - 27л;)3; б) у = л/л;3 - 27л;; в) у = (л;3 - Зл;2)4; г) у = л/л;3 - Зл^. •44.55. а) у = агсзт л;2; б) у = 3 агсс!^ л/^с; в) у = агссоз л;2; г) у = агс1& л/2я. 044.56. Докажите, что заданная функция не имеет нй точек максимума, ни точек минимума: а) у = ^ л;3 + 2л;2 + 4л; - 12; в) у = ^ л;5 + ^ л;3 + х - 7; б) У = “^л;3 + ^л;2 - Зл; + 9; г) у = -л;3 - л;5 + 27. 044.57. Производная функции у = ах2 + 7л; + 1 в точке л;0 равна с, Найдите точку экстремума функции и определите, является она точкой максимума или точкой минимума, если: а) х0 = 0,5, с = 15; в) х0 = -1, с - 9; б) х0 = 3, с = -5; г) х0 = -0,5, с = 7,1. •44.58. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер: а) у = \х4 + 1| + |л;4 - 1| + 2л;3; б) у = |л;3 - 8| + |л;3 - 1| - л;2. 262 Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: 044.59. а) у = 8т х - | л:; б) у = ^ - соа х; 044.60. а) у = х - зт 2х; 044.61. а) у = \х - 3| - 2; 044.62. а) у = \х3 - Зж|; Исследуйте функцию на постройте ее график: 044.63. а) у = Зх2 - 4х + 5; б) у = 3 + 2х - х2; 044.64. а) у = Зх2 - х3; б) у = 6х + х3; 044.65. а) у = х3 - Зх2 + 2; б) у = -х3 + 4х - 3; 044.66. а) у = 2х3 + х2 - 2х - 1; «ч *3 г о П. б) У =---д- + X + Зх - -д-ч в) у = х3 + х2 - х - 1; ч *3 2 о 5 г) У = -д- + X - Зх + д* 044.67. а) у = -х4 + Ъх2 - 4; б) у = х& - 5х; 044.68. а)у = (х- 1)\х + 2); б) у = Щ^х(х - I)3; Решите уравнение: °44.69. а) х3 + 5 = 15 - х; б) х5 + Зх3 + 7х - 11 = 0; •44.70. а) 81П Ьх - 2 соз х - 8х = л б) 4 соз Зх + 5 81П -^ + 15 = 1 в) у = ^ х + соз х; г) у = X - 8И1 X. б) у = X + 4 С08 в) у = |(* - 2){Х + 3)1; г) у = (М - 2)\х\. б) у = \х- х3\. монотонность и экстремумы и в) у = 7 - х - 2дс2; г) у = Ъх2 - 15л: - 4. в) у = х3 + Зх2\ г) у = 3х- х3. в) у = -х3 + 4х2 - 3; г) у = х3 - Зх + 2. в) у = 2л:4 - 9л:2 + 7; г) у = Ъх3 - Зл:5. в) у = (х + 2)2(л: - 3); г) у = х\2 - л:). в) 2л:5 + Зл:3 = 17 - 12л:; г) л:5 + 4л:3 + 8л: - 13 = 0. :5 - 2; = 4 - л:3. 263 •44.71. а) 3 соа пх + 5 зт ^ + 18а: = 43 - хъ - 22а;3; б) 2 зт ^х - 2 соз пх - 10а: = хъ - 54. Докажите тождество: •44.72. а) агсзт х = - агссоз х; б) агс^е х + агсс1§ х ~ \ , „ . Г,---7 Гагсзт х, 0 < х < 1, •44.73. а) агссоз \11 - х2 = \ [-агсзт х, -1 < х < 0; б) агс1§ х + агс1е у 1- а: + х 7, * > -1’ 4 3 к 1 ~г» * < -1. I 4 •44.74. Докажите, что функция у = /(дг) постоянна на указанном промежутке и найдите значение этой постоянной: 2х а) /(дг) = 2 агс!# х + агсзт ^ + хг при х > 1; б) /(дс) = агссоз + агс!;& х при х < 0. Докажите неравенство: 1 2 •44.75. а) х2 - х3 < если х > б) 2у[х > 3 - если х > 0. •44.76. а) агсзт х > х, если 0 < х < 1; х3 б) агс1& х > х - -д-, если х > 0. § 45. Построение графиков функций Исследуйте функцию и постройте ее график: 045.1. а) у = б)!,“7ТТ 045.2. а) у = —2 х + 4х + 4 ^ У х2 + 2х + 1* 264 045.3. а) у = т* + р г\ х2 + 4 б)у- х ■ „ . ч 2л: + 1 _ х - 2 045.4. а) у - х2 + 2> б)У- х2 + 5' 045.5. а) у - х2 _ 4; х - 3 б)У- х2_8- х2 — 1 х2 — 4 045.6. а) у - х2 + 1> 6)У= х2 + 4■ _ _ . х2 + 4 х2 + 1 045.7. а) 1/ - б>*= л:2 - 1' •45.8. а) I/ = 2л/х - х; б) у = л/л; + 4 + ^л/9 - Зл;. о •45.9. а) у — ^ х , 3 и к4 1 со •45.10. а) у - ^ 3 и 045.11. а) Постройте график функции у = х4 - 2х2 + 3. б) При каких значениях параметра а уравнение х4 - 2х2 + + 3 = а имеет три корня? 045.12. а) Постройте график функции у = -х4 + 2л;2 + 8. б) При каких значениях параметра а уравнение -х4 + 2л;2 + + 8 = а не имеет корней? 045.13. Сколько корней имеет заданное уравнение при указанных ограничениях на параметр а: а) х3Зл;2 = а, -4 < а < 0; б) -х3 + Зл;2 -2 = а, а < -2; в) Зл;2 - х3 = а, 0 < а < 4; г) х3 - Зх2 + 2 = а, а > 2? •45.14. Сколько корней имеет уравнение х3 + ах + 2 = 0 при различных значениях параметра а? °45.15. Решите уравнение: а) 3\1х + 1 = -х3 + Зл;2 + 6; б) л;3 - Зл; = (л; + I)6 + 2. 265 § 46. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной: 046.1. а) у = хв - 1, [-1; 2]; в) у = х3 - 4, [0; 3]; б) у = -хъ + 2, [-2; 1]; г) у = -2х4 + 8, [0; 3]. 046.2. а)у = {х- I)3 + 4, [-2; 1]; б) у = 7 - (2х - 8)4, [-1; 3]; в) у = 5 - (3* + 6), [-2; 0]; г )у = 2(х + З)6 - 4, [-1; 2]. 046.3. а) у = зт х - 3, б) у = соз х + 0,5, В) у = -2 81П х + 1, г) у = 4 - 3 С08 х, -ГГ. Л тс 5 _ 9 ТС 3 6 _я. 1* 4’ 6 Я. 7С 2’ 2 046.4. а) г/ = -у/1 + соз 2х, б) у = ^1 + 81ПЛГ, в) г/ = ^1 - зт2х, [0; л]; г) у = ^/1 + соз2ж, О •46.5. а) у = ||х| - 4|, [-3; 3]; б) у = |3 - |х||, [-4; 4]. 046.6. а) у = 2 - 3 зт х + 4 соз дг; б) у = 3 8И1 х - 4 соз дг + 1. 046.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (-4х + 12, если х < 2, ^ |дс2 - 2дс + 2, если дс > 2 на отрезке: а) [-3; 0]; б) [3; 4]; в) [-1; 3]; г) [1; 4]. 266 о46.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(х + 2)2 - 3, если х < -2, У ~ [дс2 - 4, если х > -2. на отрезке: а) [-4; -3]; б) [0; 2]; в) [-2; 3]; г) [-3; 0]. 046.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке: а) у = х2 - 8х + 19, [-1; 5]; б) у = х2 + 4х - 3, [0; 2]; в) у = 2х2 - 8х + 6, [-1; 4]; г) у = -Вх2 + 6х- 10, [-2; 9]. 046.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х3 - 9х2 + 24х - 1 на отрезке: а) [-1; 3]; б) [3; 6]; в) [-2; 3]; г) [3; 5]. 046.11. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х3 + Зх2 - 45х - 2 на отрезке: а) [-6; 0]; б) [1; 2]; в) [-6; -1]; г) [0; 2]. 046.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х3 - 9дс2 + 15л: - 3 на отрезке: а) [0; 2]; б) [3; 6]; в) [-1; 3]; г) [2; 7]. 046.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х4 - 8х3 + 10х2 + 1 на отрезке: а) [-1; 2]; б) [1; 6]; в) [-2; 3]; г) [1; 7]. 046.14. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 4 у = х + _ ^ на отрезке: а) [2; 4]; б) [-2; 0]. 046.15. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке: п 3 к 4’ 4 а) у = с1& х + х, б) у = 2 8ш х - х, [0; к]; в) у = 2 соз х + х, кт к 2 ’ 2 267 г) у = X - х, 0; ’ з]' Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке: 046.16. а) у = х3 - 2х2 + 1, [0,5; +оо); б) у = х - 2\[х, [0; +оо); В) у = \хъ - *2, (-оо; 1]; г) у = х* + (-°°; +°°)- 046.17. а) у = х + ^» (-оо; 0); б) У = [0; -юо); в) у = -2* - (0; +оо); г) у = >/2* + 6 - х, [-3; +оо). 046.18. а) у = (2х - 1)2(х - 2), [-1; 2]; б) У = [0; 2]; х* -2х- 1 в) у = (* + 4)(3* + I)2, 5*3 -2- --2’ 2 г) У = х2 -9 , [-1; 1]. 046.19. а)у = х* + 8*3 + 24х2 + 32* + 21, [-3; 0]; б) у = х4 - 4*3 + 6*2 - 4х - 9, [0; 4]; в) у = 4х3 - 21х2 + 36х - 2, [1; 2]; г) у = 0,25*4 - 2^*3 + 3,5, [-1; 2]. 046.20. а) у = х2 - 5|*| + 6, [0; 4]; б) у = х2 - 5\х\ + 6, [-5; 0]; В) У = х2 + 8|*| + 7, [1; 5]; г) у = х2 + 8|л:| + 7, [-8; -2]. •46.21. а) у = х3 - 2*|* - 2|, [-1; 8]; б) у = 3*|* +1| - *3, [-1; 2]. 268 ¢46.22. а) у = х2 - 4х + 5 + |1 - х\, [0; 4]; б) у = I*3 - 1| - Зх, [-1; 3]. 046.23. а) у = зт3 х + соз3 х, 0; Е . 2 ’ б) у - 81П5 X ~ СОЗ5 X, К 2; 0 . 046.24. а) у = 8Ш2 • 81п х, [-я; 0]; б) у = соз2 0,5* • соз х, [0; я]. 046.25. а) у = х3 - Зх, (-оо; 0]; в) у - х3 - Зх, [0; +оо); б) У = [0; +<х>); г )у= (-оо; 0]. 046.26. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции: а) у = х4 - 2х2 - 6 на отрезке [-2; 2]; б) у = х3 - Зх2 + 2 на отрезке [-1; 2]. Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения: 046.27. а) у = 7(* - 1X10 - *); в) у = 7(2* - 6X7 - *); б) у = у](х + 2X4 - *); г) у = 7(5 - - 3). 046.28. а) у = V* - 5 + 79 - *; б) у = 37* + 1 + 7-*; в) у = 710 - 2х + 7з*; г) у = 78 — Зх + \[х. 046.29. Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наименьшего значения: а) у = 7*2 - 8* + 17; в) у = 7*2 + 4х + 10; б) у = 77(х + 9Х* - 6); г) у = 72(х - 4Х* + 8). Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 046.30. а) у = 7(х - 5X15 - *); в) у = 7(12 - *Х* - 4); б) у = 7(2* + 4X3 - х); т) у = 7(5 - *ХЗ* + 6). 046.31. а) у = 72*2 - 5* + 2; б) у = 73*2 + 6* + 4; в) г/ = 7*2 + 6* - 7; г) г/ = 72*3 - 2* + 1. 269 046.32. Найдите наибольшее значение функции: а) у = -х8 + 2л;4 +1; б) у = -х4 + ^ х3 + 046.33. Найдите наибольшее значение функции: а) у = л/б - х2 + л/х; б) у = 4~х + л/б - х2. 046.34. Найдите наименьшее значение функции: а) г/ = 2|х| - 4; в) у = 3|х| + 9; б) у = х2 - 5|х| + 6; г) у = х2 - 6|х| - 7. Найдите область значений функции: I. 11 4’ 4 046.35. а) г/ = 2х - >/16х - 4, х 6 б) у = 2%/х - 1 - 0,5х, х € [1; 10]. •46.36. а) у = х^х + 2; б) у = Ху/1 - 2х. •46.37. у = -2х2 - 2х - 38 х2 + 6х + 34 •46.38. а) При каком значении параметра а наименьшее значение функции у = хл/х + а равно -6л/3? б) При каком значении параметра а наибольшее значение функции у = (а - х) у[х равно Юл/5? •46.39. а) При каком значении параметра п сумма квадратов корней уравнения х2 - 2пх + 4п2 + 3/1 = 0 будет наибольшей? б) При каком значении параметра п сумма квадратов корней уравнения х2 + пх + 2п - 1 = 0 будет наименьшей? •46.40. Докажите, что при любых значениях х выполняется неравенство: а) *5 + (1 - х)5 > б) *7 + (1 - х)7 > 046.41. а) Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение. б) Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение. 270 046.42. а) Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. б) Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. 046.43. а) Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. б) Известно, что одно из двух чисел меньше другого на 28. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. 046.44. а) Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей. б) Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим. 046.45. а) Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? б) Периметр прямоугольника составляет 72 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? 046.46. а) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь, была наибольшей? б) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? 046.47. а) Площадь прямоугольника составляет 16 см2. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? б) Площадь прямоугольника составляет 64 см2. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? 046.48. Огораживают спортивную площадку прямоугольной фор- 271 мы площадью 2500 м2. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки рабицы? 046.49. Сторона квадрата АВСБ равна 8 см. На сторонах АВ и ВС взяты соответственно точки Р и Е так, что ВР = ВЕ = 3 см. На сторонах АВ и СИ берутся точки соответственно К и М так, что четырехугольник КРЕМ — трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции? 046.50. а) В арифметической прогрессии с разностью й девятый член равен 1. При каком значении й произведение четвертого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наибольшим? б) В арифметической прогрессии с разностью <1 второй член равен 6. При каком значении й произведение первого, третьего и шестого членов будет наименьшим? 046.51. а) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключен между графиками функций у - 2х2 (снизу), у - 4х (сверху) и параллелен оси у. б) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключен между графиками функций у = х2 (снизу), у = -2х (сверху) и параллелен оси у. 046.52. а) На графике функции у = х2 найдите точку М, ближайшую к точке А(0; 1,5). б) На графике функции у = л[х найдите точку М, ближайшую к точке А(4,5; 0). •46.53. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей? •46.54. Из прямоугольной трапеции с основанием а и Ъ и высотой к вырезают прямоугольник наибольшей площади. Чему равна эта площадь, если: а) а = 80, Ь = 60, к = 100; б) а = 24, Ь = 8, к = 12? •46.55. У пятиугольника АВСБЕ углы А, В и Е — прямые, АВ = а, ВС - Ь, АЕ = с, БЕ = /тг. Впишите в пятиугольник прямоугольник наибольшей площади, если: а) а = 7, Ъ = 9, с = 3, тп = 5; б) а = 7, Ь = 18, с = 3, т - 1. •46.56. Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошел человек. Верхняя точка памятника находится 272 выше уровня глаз человека на а м, а верхняя точка постамента — на Ь м. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом? #46.57. База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу — 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции? 046.58. Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдет наименьшее количество материала? 046.59. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объем 343 м3. При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала? 046.60. Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как 2 : 3, а объем составлял 576 м3. Каковы должны быть размеры всех его сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей? 046.61. Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна й. При какой длине бокового ребра объем призмы будет наибольшим? 046.62. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна р. При какой высоте пирамиды ее объем будет наибольшим? 046.63. Периметр осевого сечения цилиндра равен р см. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы его объем был наибольшим? 046.64. Объем цилиндра равен V м3. Каким должен быть его радиус, чтобы полная поверхность цилиндра была наименьшей? I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I г Комбинаторика " и вероятность I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I § 47. Правило умножения. Перестановки и факториалы 047.1. Двузначное число составляют из цифр О, 1, 3, 4, 5, 6, 9 (повторения цифр допустимы). а) Сколько всего можно составить чисел? б) Сколько всего можно составить чисел, больших 50? в) Сколько всего можно составить нечетных чисел? г) Сколько всего можно составить нечетных чисел, меньших 55? 047.2. Двузначное число составляют из цифр О, 1, 2, 4, 5, 6, 7 (повторения цифр допустимы). а) Сколько всего можно составить чисел? б) Сколько всего можно составить чисел, отличающихся от 40 менее чем на 10? в) Сколько всего можно составить четных чисел? г) Сколько можно составить чисел, отличающихся от 50 более чем на 20? •47.3. а) Сколько имеется трехзначных чисел, составленных только из четных цифр? б) Сколько имеется трехзначных чисел, которые не меняются при перемене местами первой и последней цифр? в) Сколько имеется трехзначных чисел, кратных 5? г) Сколько имеется трехзначных чисел, которые при перемене местами первой и второй цифр меняются менее чем на 90? 047.4. На кусок белого, черного или ржаного хлеба можно положить сыр, колбасу или масло. Бутерброд можно запить чаем, кофе, молоком или кефиром, а после этого или погулять, или пойти в гости, или остаться дома. а) Найдите общее число вариантов начала выходного дня. б) В скольких случаях будет выпит молочный напиток? в) Каков будет ответ в пункте а), если в доме привыкли масло мазать только на белый хлеб? 274 тип г) Каков будет ответ в пункте а), если хлеб надо сначала купить в одном из трех ближайших магазинов? #47.5. За четверть в классе прошли пять тем по алгебре. Контрольная работа будет состоять из пяти задач: по одной задаче из каждой темы. К каждой теме заранее был составлен список из 10 задач, одна из которых будет входить в вариант контрольной. Ученик умеет решать только по 8 задач в каждой теме. Найдите: а) общее число всех вариантов контрольной работы; б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач; в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить; г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой. •47.6. В каждую клетку квадратной таблицы 3x3 произвольно ставят крестик или нолик. а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу? б) В скольких случаях в первом столбце будут одни крестики? в) В скольких случаях по диагоналям будут стоять одни нолики? г) В скольких случаях во второй строке будет стоять ровно один крестик? 047.7. В один день происходят выборы мэра города и префекта округа. На первую должность свои кандидатуры выставили Алкин, Балкин, Валкин, а на вторую — Эшкин, Юшкин, Яшкин. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования на выборах. б) В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина? в) В скольких вариантах фамилии кандидатов состоят из разного числа букв? г) Как изменятся ответы в пунктах а) и б), если учесть еще кандидата «против всех»? 047.8. Ученик помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы Н, И, О и что есть один нижний индекс — то ли двойка, то ли тройка. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых ученику придется выбирать ответ. 275 б) Сколько среди них тех, в которых индекс стоит не втором месте? в) Как изменится дерево вариантов, если ученик помнит что на первом месте точно стоит Н, а порядок остальных букв забыл? г) Как изменится дерево вариантов, если буквы могут идти в любом порядке? 047.9. В урне лежат три неразличимых на ощупь шара, два белых и один черный. При вытаскивании черного шара его возвращают обратно, а вытащенный белый шар откладывают в сторону. Такую операцию производят два раза подряд. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов. б) В скольких случаях оба вытащенных шара будут черными? в) В скольких случаях вытащенные шары будут разного цвета? г) Нарисуйте дерево возможных вариантов для трех вытаскиваний из двух черных и двух белых шаров. 047.10. Из пяти одноклассниц А, Б, Б, Г, Д только В и Д дружат со всеми, Б дружит, кроме В и Д, только с Г, остальные не дружат между собой. Для проведения соревнования надо из этих одноклассниц выбрать капитана и его заместителя, которые дружат между собой. а) Нарисуйте дерево возможных вариантов выбора. б) В скольких вариантах капитаном будет А? в) В скольких вариантах выбора будет присутствовать Б? г) В скольких вариантах выбора Г будет заместителем? Вычислите: 7! + 8! 047.11. а) 51 + 7_ (10!)2 - (91)2. 11 (8!)2 - (7!)2 ’ 047.12. а) 1 , 10 , 630. 4! 5! 6! ’ ч 17 6! + 8!. в) 7! + 9! ’ . (7!)2 • (6!)2 г) 4! 5! 8! 9!* б) 1 + 1_49 6! 5! 7! ’ 047.13. Сколькими нулями оканчивается число: а) 10!; б) 15!; в) 26!; г) 100!? 047.14. Укажите наибольшее натуральное число л, для которого: а) 10! кратно 2Л; в) 26! кратно 5Л; б) 16! кратно 2Л; г) 28! кратно Зл. 276 047.15. Докажите тождество: а) (п + 1)! - п\ = п • п\; б) (2л + 1)! - (2л - 1)! • 2п = 4л! • (2п - 1)!. ¢47.16. Решите уравнение: а) л! = 42(л - 2)!; в) 0,125л! = (л - 1)! - 90; б) (к + 17)! = 420(к + 15)!; г) (3*)! = 504(3* - 3)!. ¢47.17. При каких натуральных значениях л выполняется неравенство: а) л! > (л + 1 )(л - 2)!; б) 7 • (2п + 1)! • (2п - 1)! < 8 ((2п)!)2? Докажите неравенство: •47.18. а) п\ > (п + З)2 при п> 5; в) п\ > 2п при п > 4; б) п! > (п + 2)3 при п > 6; г) п! > 4Л при п > 9. #47.19. а) 2,66 ПРИ всех п > 2; б) ^ + ••• + < 0,125 при всех п > 4; в) 1 + г+ь.+-+ь < 3 при всех п (используйте пункт б) и номер 47.18 в)); т) 1 + + + ••• + < 2,75 при всех п. 047.20. У мамы и папы — один сын. К ним в гости пришла другая семья — мама, папа и дочь. За круглым обеденным столом есть 6 мест. Сколькими способами можно рассадить людей за столом, если: а) место хозяина дома неприкосновенно; б) первыми садятся дети, и они садятся рядом; в) первыми садятся дети, но не рядом друг с другом; г) жены садятся рядом со своими мужьями? 047.21. а) В каждом из двух заплывов по шести дорожкам участвует по 6 пловцов. Дорожки между пловцами в каждом заплыве разыгрываются по жребию. Найдите число всех возможных распределений пловцов по дорожкам. б) То же, но если в каждом заплыве один из пловцов — победитель отборочных соревнований — плывет по четвертой дорожке. в) То же, но если во втором заплыве участвуют 5 пловцов. г) То же, но если в обоих заплывах участвует по 4 пловца. 277 047.22. Две команды по 5 шахматистов проводят матч из пяти одновременно проходящих партий, в каждой из которых встречаются по одному из шахматистов каждой команды. а) Найдите число всех возможных распределений встреч в матче. б) То же, но для двух, независимо проводимых матчей. в) То же, но если во втором матче участвует только по три лучших шахматиста из каждой команды. г) То же, что и в пункте б), но если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой. 047.23. Одинаковый текст приглашения напечатан на семи разных открытках. Их надо разослать директорам семи разных школ. а) Найдите число всех возможных рассылок приглашен ний. б) То же, что и в пункте а), но если самую красивую открытку послать директору школы № 1. в) То же, что и в пункте а), но если в трех каких-либо приглашениях надо дописать и приглашения завучам по учебной работе. г) То же, что и в пункте в), но если надо пригласить еще трех завучей по воспитательной работе из трех других школ. 047.24. В зоопарке пять львов надо распределить по одному по пяти клеткам, четырех тигров — по четырем другим клеткам и трех слонов — по трем вольерам. а) Найдите число всех возможных распределений львов, тигров и слонов в зоопарке. б) То же, но если есть четыре льва и львица и одного льва (известно какого именно) вместе с львицей надо посадить в одну клетку. в) То же, что и в пункте а), но если у львов есть две семейные пары. г) То же, что и в пункте а), но если между клетками для тигров и клетками для львов нет разницы. § 48. Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты 048.1. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретилось, если известно, что: а) каждый здоровался с каждым; б) только один человек не здоровался ни с кем; 278 в) только двое не поздоровались между собой; г) четверо поздоровались только между собой и остальные поздоровались только между собой. 048.2, Каждую из п точек, являющихся вершинами выпуклого л-угольника, соединили отрезками с каждой другой вершиной. а) Сколько провели отрезков? б) Сколько провели диагоналей? в) Сколько есть двузвенных ломаных, соединяющих вершину А с вершиной Б? г) Сколько есть трехзвенных ломаных, соединяющих вершину А с вершиной В (самопересекающиеся ломаные допускаются)? 048.3. В футбольной команде — 11 человек: вратарь, 4 защитника, 4 полузащитника и 2 нападающих. Команда выбирает капитана и его заместителя. а) Найдите число всех возможных вариантов выбора. б) Найдите число всех возможных вариантов, если в команде 3 новичка и они не могут быть капитаном или заместителем. в) Найдите число всех возможных вариантов, если капитан — точно не нападающий, а его заместитель — точно не вратарь. г) Найдите в пунктах а) и б), число всех возможных вариантов выбора пары кандидатов, из которых тренеры позже будут делать окончательный выбор. •48.4. Все станции пригородной железной дороги разделены на 10 зон, в каждой зоне более одной станции. В билете на проезд в одну сторону указывают номер зоны отправления и номер зоны прибытия. а) Сколько существует различных типов билетов? б) Сколько существует различных стоимостей билетов, если стоимость проезда из зоны х в зону у рассчитывается по формуле 8 = 7 + 6\х - у\? в) Сколько различных типов билетов можно купить не более чем за 50 руб.? г) Сколько существует различных типов билетов по цене, кратной 5 руб.? 279 Вычислите: 48.5. а) С?7; б) С? оо; В) с!; г) С1 48.6. а) А?0; б) А|; в) А!0; г) А!*». 48.7. а) С27 — С2б> А| б) Ж; ^10 в) Си + Си; г) 4*г ^10 048.8. Упростите выражение: р \ • ^л+1 . дп-2 * Р /пгл-2 /СЛ *п+1 ’ '-'п б) л, ' 048.9. Составив частное двух чисел, выясните, какое из них больше: а) С?7 или С/в; в) С159 или с®8; б) С148 или С!59; г) с1 или С®+1. Решите уравнение: 048.10. а) С| = 2Сгх; В) С2 + С|+1 = 49; б) СГ2 = 15; г) СЦ = 70. 048.11. а) А* = 18А4_2; б) А2п - С\ = 79. 048.12. а) С* = Л2; в) с4 = Л3 + а; б) С4 = А2; г) 0,5А4 = 3(А2.! + С2.!), 048.13. Решите неравенство: а) 120 < Л2-з < 140; в) С!2о < А2 < 60; б) С| < А2 < С1; г) С!29 < А* + С2 < >200. 048.14. Три ноты из семи нот (до, ре, ми, фа, соль, ля, си) одной октавы можно нажать либо одновременно (аккорд), либо поочередно (трезвучие). а) Найдите число всех возможных трезвучий. б) Найдите число всех возможных аккордов. в) Найдите число всех возможных аккордов, содержащих ноту «соль». г) Найдите число всех возможных трезвучий, в которых подряд не идут две соседние ноты (до и си — не соседние ноты). 048.15. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишке затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут: а) выбрать каждый для себя по одному инструменту из 15 данных; б) выбрать набор из пяти инструментов из имеющихся 12 инструментов; 280 в) сесть по одному за какие-то четыре из выбранных в пункте б) инструмента; г) выгнать одного из участников квартета, и потом сесть за какие-то три выбранных в пункте б) инструмента? 048.16. Из колоды в 36 карт выбирают 5 карт и потом одновременно открывают их. Найдите: а) число всех возможных вариантов выбранных карт; б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть четыре туза; в) число вариантов, при которых все полученные карты — пики; г) число вариантов, при которых все полученные карты — одной масти. •48.17. По программе в концерте должен выступить хор из пяти певцов и трех певиц. Предварительное согласие на выступление дали 10 певцов и 8 певиц. а) Сколько существует различных вариантов состава хора? б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не будут петь вместе. в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица Б. г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и вместо недостающего певца придется выступать одной певице. •48.18. Пусть у(п) = с? п > 4. а) Укажите дробно-линейную функцию, на графике которой лежат все точки (п; у(п)). б) Постройте график этой функции. в) Укажите наибольшее п, при котором у(п) > 0,25. г) Укажите наименьшее п, при котором у(п) отличается от ^ менее чем на 0,01. •48.19. Пусть у(п) = п > 4. а) Укажите многочлен, на графике которого лежат все точки (п; у(п)). б) Постройте график этого многочлена. в) Укажите наибольшее п, при котором у(п) < 600. г) Укажите наименьшее п, при котором у(п) > 6000. 281 048.20. а) Докажите, что последовательность А4+1 гЛ ’ Чи-2 /г = 3, 4, 5, монотонно возрастает. б) Докажите, что все члены этой последовательности больше числа 4. в) Укажите номер, начиная с которого члены этой последовательности будут больше 20. г) Найдите предел этой последовательности при п —> оо. 048.21. Найдите п, при котором: а) число Сп+1 составляет 80% от числа б) число Сп+1 составляет 120% от числа С4; в) число С2*1 составляет 56% от числа С$~1и г) число С%п+з составляет 150% от числа 0^+2- •48.22. Докажите тождество: а) С3 = Сп-1 + С3^; б) сг4 = си + си-, в) с* = си + си г) с* = си + си + си2. •48.23. Выпишите треугольник Паскаля до седьмой строки включительно. а) Найдите сумму всех чисел в третьей строке треугольника Паскаля. б) Найдите сумму всех чисел в четвертой строке треугольника Паскаля. в) Найдите сумму всех чисел в седьмой строке треугольника Паскаля. г) Методом математической индукции докажите, что сумма чисел в п-й строке треугольника Паскаля равна 2п. 48.24. Раскройте скобки в выражении: а) (х + I)7; б) (2х - у)6; в) (х2 + 2)5; г) (1 - х3)4. 048.25. У многочлена Р найдите коэффициент при х3: а) Р(х) = (1 + Зх)4; б) Р(х) = (3 - 2х)5; в) Р(х) = (х + 2)5 - (2х + I)4; г) Р(х) = (х2 - х)4 + 048.26. В разложении + ± х .10 по степеням х укажите: а) член, содержащий х8; в) член, содержащий х 2; б) член, содержащий х4; г) член, не содержащий х. 282 ^48.27. Найдите член разложения, не содержащий переменных: а) Г2х2+^Т; в) (з *1а 1 х) 1 ( I _4\5 б) и» + хЧ ; г) и°д5 у/а } \17 048.28. Известно, что сумма биномиальных коэффициентов разложения (а + Ь)п равна 1024. а) Найдите п. б) Найдите наибольший биномиальный коэффициент этого разложения. в) Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом? г) Дайте ответы на вопросы пунктов а), б), в), если сумма биномиальных коэффициентов разложения (а + Ь)п равна 512. 048.29. Найдите к, при котором достигается наибольшее значение выражения: С*; б) С\в ; в) Св1 ; г) С999 + С999. •48.30. а) Докажите, что для любого натурального числа п > 1 и любого х > 0 верно неравенство (1 + х)п > 1 + пх (неравенство Бернулли). б) Используя неравенство пункта а), укажите какое-нибудь решение неравенства 1,001” > 1000. в) Используя неравенство пункта а), укажите какое-нибудь решение неравенства 0,99” < 0,01. г) Докажите, что для любого 0 < д < 1 и любого а > 0 неравенство д” < а верно для всех натуральных п, начиная с некоторого номера. § 49. Случайные события и их вероятности 049.1. Случайным образом выбирают двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что оно: а) делится на 5; в) делится или на 15, или на 25; б) делится на 13; г) не делится на 29. 049.2. Случайным образом выбирают нечетное двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что: а) его квадрат меньше 1000; б) его квадрат больше 9000; в) сумма квадратов его цифр больше 140; г) сумма квадратов его цифр не больше 10. 283 049.3. Два ученика независимо друг от друга написали по одн0* му двузначному натуральному числу. Найдите вероятность того, что: а) эти два числа различны между собой; б) сумма чисел равна 100; в) сумма чисел не больше 25; г) сумма чисел больше 190. 049.4. Из набора домино случайно выбирают одну фишку. Найдите вероятность того, что: а) это дубль; б) одна из ее половинок — «пустышка»; в) различие между очками на ней больше 4; г) сумма очков на ней больше 7. 049.5. Из значений п\ для п = 1, 2, 3, ... , 25 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что это число: а) меньше миллиона; в) делится на миллион; б) больше миллиарда; г) не делится на тысячу. 049.6. Из чисел, расположенных в пяти первых строчках треугольника Паскаля случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что это число: а) двузначно; в) кратно трем; б) нечетно; г) не является простым числом. •49.7. В круге с центром в начале координат и радиусом к случайно выбрали точку с целыми координатами. Найдите вероятность того, что: а) сумма координат этой точки больше 3; б) произведение координат этой точки меньше 4; в) эта точка лежит в круге с центром в начале координат и радиусом л/З; г) эта точка лежит вне треугольника с вершинами (0; 2), (-2; -2), (1; -2). •49.8. Двузначное число составляют так. Его первая цифра получается в результате первого бросания игрального кубика, грани которого пронумерованы цифрами от 1 до 6, а вторая цифра — в результате второго бросания этого ку* бика. Найдите вероятность того, что это число: а) состоит из разных цифр; в) кратно 7; б) больше 20; г) простое. 284 049.9. Красивых учеников в классе — 22, а умных — 18. Всего в классе 30 учеников и каждый из них умный или красивый, или и умный, и красивый. а) Сколько учеников, которые и умны, и красивы? б) Сколько учеников, которые умны, но не красивы? в) Сколько учеников, которые красивы, но не умны? г) Измените в условии общее число учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковы. о49.Ю. При подготовке к экзамену один ученик решил 44 задачи из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил 26 задач из этого же списка. Известно, что каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил. а) Сколько задач были решены и первым, и вторым учеником? б) Сколько задач были решены первым, но не решены вторым учеником? в) Сколько задач были решены вторым, но не решены первым учеником? г) Измените в условии общее число задач так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковы. •49.11. У каждого из туристов есть или тугрики, или «еврики». У 100 туристов есть только тугрики, у 38 туристов есть только «еврики», а у 31% туристов есть обе валюты. а) Сколько всего было туристов? б) Сколько туристов имеют тугрики? в) Сколько туристов имеют «еврики»? г) Измените в условии задачи 31% так, чтобы ответ в пункте а) стал наибольшим из всех возможных. •49.12. Каждый из 30 учеников умный или красивый. Красивых учеников всего 26, умных — 24, а 14 учеников — ростом выше 180 см. а) Про скольких учеников гарантированно можно утверждать, что они и умные, и красивые, и выше 180 см? б) Каков ответ в пункте а), если известно, что все умные, но не красивые — ростом ниже 180 см? в) Каков ответ в пункте а), если известно, что все красивые, но не умные — ростом выше 180 см? г) Каков ответ в пункте а), если известно, что 12 умных — ростом выше 180 см? 285 049.13. Экзамен пересдавали три ученика. Рассматриваются события: А — экзамен сдал ровно один ученик; В — хотя бы один ученик; С — не менее двух учеников; Б — ровно два ученика. Опишите события: а) А + С; б) А + Б; в) В + Б; г) А + В + С + д 049.14. Опишите события, противоположные событиям из пунктов а) — г) предыдущей задачи. •49.15. Из чисел О, 1, 2, ... , 9 выбирают одно. Рассматриваются события: А — это четное число; В — это число больше 7; С — это число кратно 3 и не равно 0; Б — это или 1, или 4, или 9. Опишите события: а) АВ; б) СБ; в) ВС; г) АВСБ. 49.16. Опишите события, противоположные событиям А, В, С, Б из предыдущей задачи. 049.17. В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете одновременно 3 билета. Найдите вероятность того, что: а) все билеты выигрышные; б) есть ровно один проигрышный билет; в) есть ровно два выигрышных билета; г) есть хотя бы один выигрышный билет. •49.18. В темном ящике п выигрышных билетов и п проигрышных, п > 2. Вы случайно вытаскиваете одновременно 3 билета. а) Найдите вероятность того, что есть ровно один проигрышный билет. б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом п. в) К какому числу стремится эта вероятность при п —> оо? г) Найдите п, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,4. •49.19. В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете одновременно п билетов, п = 1, 2, 3, ... , 9. Найдите вероятность р(п) того, что у вас есть ровно один выигрышный билет. Численные результаты соберите в таблицу. п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 р(л) 049.20. В темном ящике 6 билетов, из которых п билетов выигрышных и 6 - п проигрышных, п = 0, 1, 2, 3, ... , 6. Вы случайно вытаскиваете одновременно 2 билета. Найдите 286 вероятность р(п) того, что у вас есть ровно один выигрышный билет. Численные результаты соберите в таблицу. п 0 1 2 3 4 5 6 р(п) 049.21. В темном ящике 8 белых и 7 черных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно 4 шара. Найдите вероятность того, что: а) все шары белые; б) имеется, как минимум, три белых шара; в) имеется, как минимум, два черных шара; г) есть хотя бы один белый шар. •49.22. В темном ящике п белых ип-1 черных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно 4 шара. а) Найдите вероятность того, что имеется, как минимум, три белых шара. б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом п. в) К какому числу стремится эта вероятность при п —> оо? г) Найдите п, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,35. 049.23. Какова вероятность того, что при трех бросаниях монеты: а) ни разу не выпадет «орел»; б) ни разу не выпадет «решка»; в) «орел» выпадет ровно один раз; г) «решка» выпадет хотя бы один раз? 049.24. Решите задачу 49.23 для четырех бросаний монеты. •49.25. а) Какова вероятность того, что при п бросаниях монеты «решка» выпадет хотя бы один раз? б) Как меняется эта вероятность с изменением п! в) Найдите предел этой вероятности при п —> оо. г) При каком наименьшем п вероятность появления хотя бы одной «решки» будет больше 0,999? 049.26. Три ученика независимо друг от друга написали по одной цифре от 0 до 9. Какова вероятность того, что среди написанных цифр: а) не будет ни одной цифры 0; б) будет хотя бы одна цифра 5; в) не будет ни одной четной цифры; г) будет хотя бы одна нечетная цифра? 287 •49.27. Каждый из п учеников независимо друг от друга написал по одной цифре от 0 до 9. а) Какова вероятность того, что среди написанных цифр будет хотя бы одна цифра 5? б) Как меняется эта вероятность с изменением п? в) Найдите предел этой вероятности при п —> оо. г) При каком наименьшем п вероятность появления хотя бы одной цифры 5 будет больше вероятности ее отсутствия? •49.28. Буквы русского алфавита написаны на карточках. Вы случайно вытаскиваете одну карточку, читаете букву, возвращаете карточку и повторяете выбор. Как только появится гласная буква — процедура заканчивается. (В русском алфавите 33 буквы, из них 10 гласных.) а) Какова вероятность того, что никаких повторений не потребуется? б) Какова вероятность того, что хватит двух повторений? в) Какова вероятность того, что хватит именно п повторений? г) Найдите предел этой вероятности при п —> оо. 049.29. Стрелок не очень меток: вероятность того, что он попадет в мишень одним выстрелом, равна всего 0,1. Независимо от предыдущих промахов он повторяет выстрелы до первого попадания и после этого прекращает стрельбу. а) Какова вероятность р(п) того, что ему хватит п выстрелов? б) Найдите предел этой вероятности при п —» оо. в) Численные результаты для 71 = 1,2,3,..., 7 соберите в таблицу. п 1 2 3 4 5 6 7 р(п) г) Найдите предел суммы р(1) + р(2) + ... + р(п) при п оо. •49.30. Найдите вероятность р встречи с контролером при одной поездке, если известно, что вероятность хотя бы одной встречи: а) при трех поездках равна 0,875; б) при четырех поездках равна 0,9984; в) при пяти поездках равна 0,98976; г) при шести поездках равна 0,468559. 288 Дополнительные задачи #7.48. Найдите наименьшее целое число, принадлежащее области значений функции: а) у = у/х2 - 7х - 3; б) у = >1х2 - 7х + 24. #8.53. а) Дана функция г/ = Дх), где Дх) = 2х2 - 5х + 3. Нечетная функция у = определена на всей числовой прямой, причем Дх) = ё{х) при х > 0. Вычислите /г(—2), где /г(х) = Дх) + ^(х). 5х 1 б) Дана функция у = Д*), где Дх) = х2 + у Четная функция у = определена на всей числовой прямой, причем /(х) = при х < 0. Вычислите Л(1), где Н(х) = •8.54. При каком значении параметра а функция у- х2(ах + + 2а - 6) является: а) четной; б) нечетной? •9.36. Известно, что у = Дх) — четная, периодическая функция с основным периодом, равным 8, и что на отрезке [0; 4] она задается формулой у = у/х + 1. а) Решите уравнение Дх) = 0; б) решите уравнение Дх) = 1; в) решите неравенство /(х) > 0,97; ч Ш>2, г) решите систему неравенств 4 -4 < х < 8. •9.37. Функция у = Дх) является периодической с периодом Т = 8. На отрезке [-1; 8] она задана следующим образом: -х, если -1 < х < 1; № = х - 2, если 1 < х < 5; 8 - х, если 5 < х < 7. а) Вычислите: Д40), Д50), Д-65). б) Сколько корней имеет уравнение Дх) = 0 на отрезке [-10; 10]? •13.54. Решите уравнение х4 - 4х3 + 4х2 + соз2 = 0. •14.37. Сколько целых чисел содержится в области значений функции: а) у = у]8 - 27 81П х - 4зт2;с; б) у = у/4 + 24соз х - зт2х? 289 016.73. Укажите число четных и нечетных функций среди дац. ных: а) 1/1 = 2 8И1 Ху у2 = СОЗ 2х, Уз = X 81П X, уА = 81П (X2 + 1) Уъ = 81п 0,25л3; _ 8И1 X я Л 4 б) У1 = С05Х" У2 = 008 3*’ = ~х з1п х' У4 = з1п (* - 1), Уь = х + 81П 0,5л:; соз X в) У1 = 2 - У2 = X + сое 0,5л:, у3 = х3 + х2зшх, 8Н1 (X2 + 2) 81П X У*~ 2+СО8(2-^)’ 1/5 ~ х 5 г) 1/! = ^3 + С08 Зх, У2 = СОЗ 4х, Уз = Х^1 - СОЗ 2х, 1/4 = яп х + + СОЗ X, 1/5 = 31П X С08 X. 016.74. Укажите число периодических функций среди данных: а) 1/1 = соз2 X, у2 = СОЗ х2, у3 = 81П (х2 + 1), 1/4 = 81П (2х + 3), Уъ = VI + зт2 х; б) У1 = зПГх’ У2 = 5’ Уз = 008 IV* Л 1/4 = 8Ш ——» Уъ = VI + СОЗ2 х; в) 1/х = |/2 = 8Н1(х + 2), 1/з = соз (х2 + 2), 1/4 = соз (14х - 7), 1/5 = л/^-~^1^х; г) 1/1 = 2, у2 = х2, г/з = 2 зт х, у4 = соз х2, уъ = 8111 2л: соз 2х9 у6 = 81П (соз Л), у7 = С082 X. •16.75. а) Функция у = &(х) четная и определена на всей числовой прямой, а /(х) = £(£(#) + 3) + £(8 + 2ц(х)). Вычислите /(2), если известно, что £(2) = -5. б) Функция у = &(х) четная, периодическая с основным периодом Т = 2 и определена на всей числовой прямой, а Ах) = &(&(х) + 1) + £(5 + З^л)). Вычислите /(3), если известно, что #(3) = -4. в) Функция у = ё(х) четная и определена на всей числовой прямой, а Ах) = §(ё(х) + 2) + £(14 + 5&(х)). Вычислите /(1), если известно, что £(1) = -3. 290 г) Функция у = §(х) четная, определена на всей числовой прямой и периодическая с основным периодом, равным 5, а /(*) = 2^(13 - 2х) + §(х2 28)* Вычислите /(Ю), если известно, что §(7) = -5. #20.30. Решите уравнение 9л:2 - 6л: + 6 = (л/б - Зпх)(у/Е + 1% Зкх). ^ #20.31. а) Сколько целочисленных решений неравенства х + § ^ 0 удовлетворяют неравенству 1 + с1&2 ^ > 0? б) Сколько целочисленных решений неравенства 5л: + 36 > л:2 удовлетворяют неравенству 4л:2 + 1 + > 4л:? 021.63. На сколько процентов: а) число агссоз (зт 45° + соз 135°) больше числа агсзт б) число агссоз (зт 30° + соз 120°) больше числа агсзт в) число агсзт меньше числа агссоз (зт 30° + соз 120°); г) число агссоз (зт 60° + соз 150°) больше числа агсзт 021.64. На сколько: а) число с1& (агс1& 4) меньше числа (агсс^ (0,8)); б) число 1%2 (агссоз (-0,25)) больше числа 1&2 (агссоз (-0,5)); в) число 1&2 (агссоз 0,5) меньше числа с1&2 | агсзт г) число с1&2 (агсзт (-0,2)) больше числа 1&2 | агссоз •21.65. Решите уравнение: а) 2л:3 - х + 4 = Юл:2 + 2 соз (агссоз (0,5л: - 3)); б) зт (агсзт (5л: - 4)) = л/Юл: + 16. 291 022.69. Сколько корней имеет данное уравнение на данном цр^ межутке: а) 2 + с!;^2 х = (зт х)~2 + соз 4х, х е ^|; б) Ь§г2 х = (соз х)~2 + зт Зх, х € (-0,5я; 2тс]? •23.43. Решите уравнение: а) |зт х\ (соз х + 2 зт х) = 2 - 2 соз2 л;; б) |соз л;| (2 соз х - 3 зт л;) = 2. •23.44. Решите уравнение: 2 соз2 л + 5| созл;| - 3 2 зт х + у/з а) = О; б) =0. 7 4 соз^ х - 3 •23.45. Решите уравнение соз2 Зх - 2 соз 2л; соз Зл; + 1 = 0. 024.53. Найдите значение выражения: а) ((1 + соз 44° соз 1° - зт 44° зт 1°)2 - 1,5)2; б) ((1 + зт 57° соз 3° + соз 57° зт 3°)2 - 1,75)2; в) ((2 + зт 41° соз 4° + соз 41° зт 4°)2 - 4,5)2; г) ((2 + соз 25° соз 5° - зт 25° зт 5°)2 - 4,75)2. 027.73. Сколько корней имеет данное уравнение на данном промежутке: а) 2 соз2 х - зт 2л; = (соз х - зт л;)2, (-0,5я; Зп); б) 6 соз2 х + зт 2л; = (соз х + зт л;)2 + 2, (-я; 3,5я)? 028.39. Во сколько раз: а) число (зт 70° + зт 50°)2 больше числа зт2 80°; б) число (соз 65° + зт 65°)2 больше числа зт2 50°; в) число (соз 50° + соз 40°)2 больше числа зт2 85°; г) число (¾ 57° + 3°)2 больше числа (соз 54° + 0,5)~2? •30.27. Сколько целых чисел содержится в области значений функции у = (зтл; + >/3 соз л;) + зт + + 3? •30.28. Решите уравнение соз х - зт х соз 4л; = л/2. 040.17. а) Прямая, проходящая через начало координат, является касательной к графику функции у = Дл;) в точке А(2; -4,5). Вычислите /'(2). б) Прямая, проходящая через точку А(1; 1), является касательной к графику функции у = Дл;) в точке В(3; 4). Вычислите /'(3). 292 ¢45.16. Решите уравнение \[х (4л;3 + Зх2 - 6х + 2,75 - зт пх) = 0. #46.65. Сколько натуральных чисел принадлежит области значений функции у = у1(хг - х2)г + у/х2 - 6х + 9, х € [0; 5]? #46.66. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции У = |л/2 - х2 - 2| + ^2 - х2 -2 + 2х- х2. б) Найдите область значений функции у = |>/8 + 2х - х2 - 4| + >/8 + 2х - х2 + х3 - Зх2 - 9х. ОТВЕТЫ Повторение тт 1 ч 1 оК. 16. ч 24. ч__________1_ _ 0 ч Зх-1. _ 5х-4 П.1. а) 1,35; б) в) г) П.2, а) ) б) ~ -; 2х - 1 2х - 1 в) ~х + 4 9 г) ^ _ з * П.З. а) у = х - 5, х — любое число; б) у = I - 2, I * ±2; в) у = р - 4, р Ф ±л/5; г) у = т - 2, т * 2. П.4. а) у = х * 3; 3 4 1 б) у = —лс * 3; в) у = ^5 х ф2;г) у = -1^; х ф -1. П.5, а) у = х + 2, х Ф 2, х Ф -5; б) у = х + 4, * Ф 2, х Ф 4; в) у = х + 3, х Ф 3, х Ф 4; г) у = х - 2, х Ф -2, х Ф -1. П.6, а) х = —г + 2; б) х = 1 - — /у ’ у - 4 ’ ' у + 2 в) х = 7 ^ - 3; г) х = 3 - 2 П.7, а) 2(5 - 6); б) т + 2; в) 5(а + 1); г) 3 + *• П.8, а) б) утр в) г) уу- П.9, а) а + 1; 1 Ъ х б) 6 - 3; в)р + 4; г) * - 5. П.10, а) —у 5 б) а; в) у; г) ^Г2* П-П- а) з з х б> ^4; в> 1Г3; г> 7ТЗ- П12- *л1. 1П. Цт-Зп), 13 2 » -Ю; б) Зх* т - п 9 25* П.13. -1. П.14, а) б) в) зТГб; г) П.15, а) 7; б) 12; в) 12; г) 4,4. П.16, а) 1; б) 1; в) 2717; г) 72. П.18, а) А < В; б) А < В. П.19, а) Ни при каких; б) 9. П.20, а)----т=-^—?=■; б) 14т - 137й; 3 у] у + 4 V* 1 „ , р4р + ч4ч. 8 -*7*. в) ф-7,[д; г) 9^ + 6^- П.21, а) р _ д , б) 4_, . 7с - 4й в) ^_+927; г) а^~^. П.22. а - 46 б) 8|; в) 1; г) 1 - 771. >/а6 у[аЬ П.23, а) 26(а - 6); б) а; в) —?=—; г) —т—, если а > 6 > 0; ------------, если >/Л1 & а Ь > а > 0. П.24, а) 3; б) 3; в) -0,5; г) -1у П.25, а) 0; б) 9; в) -1; -3,5; г) -д. П.26, а) 20; б) 2; в) -10; г) -88. П.27. При т = 1. П.28. 1 < а < 2. 294 0.29. а = ±-|* П.30, а) х > -1,5; б) х < 5; в) х < 1; г) х < -2. П.31, а) х < -4; 1 3 х > 2,5; б) -2,5 < х < 3; в) х < -1-^5 х > 1; г) х < х> 2. П.32, а) л: — любое число; б) 3 < х < 9; в) х < -9; х > 4; г) таких х нет. П.ЗЗ. а) х < -2; х > 2; б) х < 1,5; х > 4; в) х < -3; -0,5 < х < 0,5; х > 2; г) х < 1; 1 < х < 3; о х > 5. П.34, а) 0 < х < 1; х > 2; б) х < 0; 1^ < х < 2; х > 4; в) х < -3; -2 < х < 0; г) х < 1; х > 2. П.35. При а < 0 и а > 1. П.36, а > 3; таких значений нет. П.37, а) х > 16; б) -0,2 < х < 2,5; в) х > 6,2; г) -4,25 < х < 4,75. §1 1.3. 112, 113, 114, ... , 147. Наименьшее 112, наибольшее 963. 1.14. а) 1; 2; 4; б) 8; в) 1; 2; 3; 4; 6; 12; г) 6; 7; 28; 51. 1.15. а) 2; 3; 4; 6; 12. б) 1; 2; 3; 6. 1.17. а) 2; (1; 1); б) 114; (1; 1). 1.18. а) Да; б) да. 1.19. а) 1; 2; 4; б) 0,5; 1; 1,5; 3. 1.20. а) 0,5 и 1; б) таких значений нет. 1.21. а) 0; 3; 5; б) -1; 3. 1.23. а) 1; б) 1; в) 5; г) 6. 1.24. а) Да, например 6 и 2; б) да, например 2 и 1. 1.35. а) 8; б) 24; в) 18; г) 16. 1.36. а) 8; б) 18; в) 38; г) 98. 1.37. а) 2; б) 4; в) 9; г) 24. 1.38. а) Двумя; б) четырьмя; в) девятью; г) двадцатью четырьмя. 1.39. а) 23! + 2 делится на 2, 23! + 3 делится на 3; 23! + 4 делится на 4, ... , 23! + 23 делится на 23; б) 101! + 2 делится на 2, 101! + 3 делится на 3; 101! + 4 делится на 4, ... , 101! + 101 делится на 101; в) 22, 100; г) 1000001! + 2; 1000001! + 3; 1000001! + 2; ... ; 1000001! + + 1000001. 1.41. р = 3; ^ = 2. 1.42. а) р = 11; = 5; б) р = 11; д = 3 или [х = 1 + 2к; (х = 4 + к; '“5; ¢-.17. 1.56. а) * * *; б) * * * в) (* = 17 к е 2, г) \Х = ® + 7*; к € 2. 1.57. а) (1; 15); (-1; -15); [1/ = 1 + 7¾ [у = 1 + 5¾ (15; 1); (-15; -1); (3; 5); (-3; -5); (5; 3); (-5; -3); б) (1; 3); (-1; -3); (1; -3); (-1; 3); в) (1; 1); (-1; -1); г) решений нет. 1.58. а) 12; б) 48; в) 35; г) 180. §2 2.6. а) |; б) в) 1; г) 2.11. а) 3; б) 7; в) 1; г) 6. 2.13. а) б) 12 1 1665 137 г> 11100 2.17. а) 0,(6); б) 1,8(6); в) 1,(3); г) 2,08(3). 295 §3 3.4. а); б); в); г) Иррациональным. 3.6. а); б); г) — числа рациональные; в) — число иррациональное. 3.7. а)Т7-Зи1-Т7; б) 77-3¾ 1 + Т7;в)Т7-ЗиТ7 +3; г) 72 и 572. 3.8. а) Нет таких чисел; б) 77 и 728. 3.9. а) х2 - 2 = 0; б) *2 + 10* - 22 = 0; в) З*2 + 12* ^ - 3 = 0; г) составить такое уравнение невозможно. 3.10. а) Например, ос = 2 + 73; Р = 473; б) например, а = 3 - 72; р = 472. 3.11. а) Су. щестует, например, при а = 2 + 73 число с = 4; б) существует, например, при а = —- число с = 3. 3.13. а) 1,5; б) 1; в) 2; г) 3,99. 3.14. а) б); в); г) ^1,44001. 3.15. а) 1,6; б) 0,49. 3.16. а) 71Д; б) 7§ - 1,4. 3.17. а); б) Единственная точка (0; -2). 3.18. а) (>/3; 5\/3 - 2); б) (7^2; 2 + 72). 3.19. а) Такой треугольник существует, так как 72 + 1 > 73; б) такого треугольника не существует, так как 73 + Тб < 4. §4 4.5. а), б) Не существует. 4.12. а) 1; б) 1; в) 1; г) 6. 4.13. а) 0; б) 0; в) 0; г) 5. 4.14. а) 3 < Ь < 4; б) 3 < Ь < 4; в) 0 < Ь < 1; г) таких Ь не существует. 1 - /7 4.15. а) [-20; 12]; б) (17; 22). 4.16. а) а > 2,5; б) ^ < а < 1; а > 1. 4.17. а) а > 2,5; б) а >1.4.18. 3<р<4. 4.22. а) п > 2; б) п > 11; в) п > 10 001; г) п > 307. 4.25. а) 1 < * < 2; б) -11 < * < -10; в) -1 < * < 0; г) 11 < * < 12. 4.26. а) * — любое целое число; б) -2; в) 0; г) -3. 4.31. а) х = к + 0,123, где к принимает любые целочисленные значения; б) 999,123. 4.34. а) [1; 33]; б) [-6,25; 0]; в) [-320; 0]; г) -1; _7_" 13 * §5 5.3. а) * > 0; б) * > 7; в) * < 0; г) 3 < * < 4. 5.10. а) 4 - к; б) 1; в) 7 - 2л; г) 5,3 - 2Тг. 5.11. а) 4; б) 8; в) 21; г) 66. 5.13. а) 1; -9; б) 7; 2 в) 19; -11; г) -1; д* 5.14. а); б) Решений нет; в) 4; г) -4. 5.15. а) 4; б) 2; в) 0; 7; 1; г) 2; -1. 5.16. а) * > 4; б) * > 2; в) 1 < * < 7; г) -1 < * < 2. 5.17. а) * < 3; б) (-°о; 1) и (1 + Тб; +оо); в) ^-ос; и [1; +оо); 296 г) ; 1] и [2; +°°). 5.18. а) 3 или 9; б) 9 или 23. 5.19. а) 0,5; 1,5; б) 1; 2. 5.20. а) 9 или 23; б) 9 или 23. 5.21. а) 0 или 1; б) ^а) б) 7; в) -7; г) 0. §6 6.2. а) +213>п; б) (9га 2 5^; в) 0,025га(33 + п); г) \^П• 6.3. а) -к при п = 2к; к при п = 2к - 1; б) к(2к + 1) при п = 2к; к( 1 - 2к) при п = 2к - 1; в) ^ ПРИ п = ^ “ 1 при 71 = - 1; 0 29 292 г) -2к(к + 1) при /г = 2&; 2Аг при п = 2к - 1. 6.10. а) 59^’ б) 447е 6.16. а); б) Первое равенство неверно уже для п = 1. Второе равенство верно для ть = 1, но не для всех к из А{к) следует А(к + 1). Таким образом, равенство неверно. Третье равенство верно. §7 7.9. а) 5(*) = (-4 2Х)Х, 0 < х < 2; б) 8(*) = 5(* + 4), -4 < х < 2; 2х + 26, 2 < х < 8. 7.11. а) у = 4 2х + 12 Зу2 - 12. 2 ’ уравнение задает функцию вида х = ф(г/) и не задает функцию вида у = /(л:); б) у = х или I/ = -х - 1; х = у или х = -у - 1 при х Ф 3, -4, у ф 3, -4. 7.21. а) [-1; 7]; б) (-оо; -1] и (1; +оо); в) (0; 1]; г) [-1,5; И]. 7.22. а) ЩГ) = [-3; 2], Е(Г) = [1; 5]; б) П(Л = [-3; 2], £(/) = [0; 9]. 7.24. а) [12; +°°); б) [-8; 1]; в) [-12; -1) и (-1; 1) и (1; +°о); г) [-3; 1]. 7.25. а) Зх + 2; б) -Зх - 13; в) 5; г) /(/(*)) = 9* - 4. 7.26. а) 4*2; б) (х - 5)2; в) 81; г) *4. 7.27. а) 2х + 3 1-2*’ б) 1г^; в) /(/(5)) = 5А’ ч 1Ъс + 2 Г ~х + 6 ’ 7.29. а) Если а > 1, то [а; +оо); если а - 1, то (1; +оо); если -1 < а < 1, то [а; 1) и (1; +оо); если а = -1, то (-1; 1) и (1; +оо); если а < -1, то [а; -1) и (-1; 1) и (1; +оо); б) если а < 0, то К; если а > 0, то 1. 1 а’ а в) если а > 4, то (-оо; 3] и [4; а) и (а; +оо); если а = 4, то (~~°о; 3] и (4; +оо); если 3 < а < 4, то [а; 4) и (4; +оо); если а = 3, то (3; 4) и (4; +оо); если а < 3, то [а; 3) и (3; 4) и (4; +оо); г) если а > 1, то если а = 1, то {1}; если -8 < а < 1, то [а; 1); если а < -8, то Ь8; 1]. 7.30. а) (-°°; -3) и (-3; 1]; б) (-°°; -3) и (-3; 1]; в) (-оо; -3) и 297 и (-3; -0,5] и (-0,5; 1]; г) (-оо; -3) и (-3; 1]. 7.31. а) [4; 5]; б) [-1; 0] и [4; 5]; в) [4; 5); г) (-1; 0] и (4; 5]. 7.32. а) [-4; 1]; б) [-4; 1]; в) (-4; 1]; г) [-4; -2) и (-2; 1]. 7.33. а) [-10; 5]; б) [-10; 5]; в) [-10; 10]; г) [-5; 5]. 7.34. а) [-1; 10]; б) [-13; -2]; в) [-2; 9]; г) [-2; 9]. 7.35. а) а < -Ц. 4 4 4 б) а > 4. 7.36. а) а > 0; б) -д < а < 0; в) а = г) а < —д* 7.38. а) Ь = -31; -3 < Ь < -2; б) Ь = -29; 5,5 < Ь < 6,5; в) (-оо; -31) и (-31; -30) и (-30; -29) и и (-29; -3] и [6,5; +оо); г) (-оо; -32) и (-31; -4] и [4,5; +оо). 7.40. а) [0; 25]; б) [0; 5]; в) [-27; 125]; г) [1; 3]. 7.41. а) [-3; 5]; б) [0; 8]; в) [0; 8]; г) [а - 5; а + 3]. 7.42. а) [-3; 5]; б) [0; 8]; в) [0; 8]; г) [а-5; а + 3]. 7.43. а) 1, 2, 3; б) нет таких значений; в) 2, 3, 4, 5, 6, 7; г) 0, 1, 2, 3, 4, 5. 7.44. а) (-оо; +оо); б) (-оо; +оо). 7.45. а) Е{[) = [-5; +оо) при Ь > -5; б) при а > -7; Е(/) = [-7; +оо). 7.46. а) При \а\ > 2у[3; Е({) = (-оо, -2>/з] о и [2ч/3; +оо); б) при |а| < 2; Е(П = [-2; 2]. 7.47. а) (-ос; -4Л] и и [4л/2; +оо); б) (-оо; -8] и [4; +оо); в) (-оо; +оо); г) (-оо; +оо). §8 8.4. а) (-оо; +оо); б) (-оо; +оо); в) (-оо; 0) и (0; +оо); г) (-оо; -7) и и (-7; 2) и (2; +оо). 8.5. а) у = доО^- х; б) 7(100 ~ *)(* - 101); в) У = \/Ю0 - х-, г) у = -^/-(100 - х)2. 8.6. а) у = ^ _ ^1() _ ,ч л/1 — дс2 . г.-------------^7-----. л/21 - х2 - 4х б) у = -------—; в) у = у](х - 1)(х - 2); г) у = ------------------• 8.10. а) (-оо; 1) и (1; +оо); б) (-оо; 1) и (1; -юо); в) (-оо; -12) и (-12; +оо); г) |-ос; 1 ^ и +оо^. 8.11. а) [5; +оо); б) (-оо; 1]; в) (-оо; 2]; г) [-1; +о°). 8.12. а) {1; 3}; б) (-1; +оо); в) (-оо; +оо); г) [0; +оо). 8.13. а) {0; ±2; ±4}; б) {0; 2}. 8.14. а) [3; -юо); б) (-оо; 0) и (0; -юо); в) (-оо; 36]; г) (-оо; 1) и (1; -юо). 8.15. а) [-3,25; -юо); б) -оо; 13 8Лв- а) [-4; +оо); б) (-оо; +оо). 8.18. а) Убывает на (-оо; 0,75]; возрастает на [0,75; +оо); б) убывает на (-оо; 1]; в) убывает на (-оо; -0,6]; возрастает на [-0,6; +оо); г) возрастает на [-0,6; +оо). 8.21. а) Убывает на [5; +оо); б) возрастает на [1,5; +о°); в) убывает на (-оо; 2]; г) убывает на (-оо; 0,75]. 8.23. а) Убывает на (-оо; 0]; 298 возрастает на [0; +оо); б) убывает на (-оо; 0]; возрастает на [0; +оо); в) убывает на (-оо; 1,5]; возрастает на [1,5; +оо); г) убывает на (-оо; 0]; возрастает на [0; +оо). 8.24. а) Убывает на (-оо; -1] и на [0; 1]; возрастает на [-1; 0] и на [1; +оо); б) убывает на (-оо; -3] и на [0; 3]; возрастает на [-3; 0] и на [3; +оо); в) убывает на (-оо; -2] и на [1,5; 5]; возрастает на [-2; 1,5] и на [5; +оо); г) убывает на (-оо; -4] и на [0,5; 5]; возрастает на [-4; 0,5] и на [5; +оо). 8.27. а) Возрастает на (-оо; 0]; убывает на [0; +оо); б) возрастает на (-оо; -3]; убывает на [-3; +оо); в) возрастает на (-оо; -1) и на (-1; 0]; убывает на [0; 1) и на (1; +оо); г) возрастает на (-оо; -2) и на (-2; 2]; убывает на [2; 6) и на (6; +оо). 8.28. а) Возрастает на [-3; -1] и на [0; 2]; убывает на [-1; 0] и на [2; 3]; б) возрастает на [-2; -1] и на [1; 3]; убывает на [-1; 1]; в) постоянна на [-3; -1); возрастает на [-1; 0) и на (0; 1]; убывает на [1; 2) и на (2; 3]; г) убывает на [-3; -2), (-2; -1], [1; 2) и (2; 3]; возрастает на [-1; 0) и на (0; 1]. 8.29. а) -0,5; 1; б) (-оо; -0,5) и (1; +оо); в) -8; 6; г) [-8; 6]. 8.30. а) -2; б) [-оо; -2,5) и |^|; -2^ и (1; +оо). 8.31. а) -0,5; б) ~0,5} 8-32' а) -°’5; б> [-¾¾ -§]• 8-34- а) 1; б) 2; в) 3; г) 1. 8.35. а) 9; б) ^; в) 4; г) 0. 8.38. а) у = “Я - 3, - 3 < х < 0; о — я + 2, 0 < х < 3; о б) у = §(* - I)2 - 2, -2 < х < 1; 8.43. а) унаиб = -73, у, |(х - I)2 - 2, 1 < х < 4. -148; б) наибольшего значения нет; унаим = у(О) = -100; в) наибольшего значения нет; уиаим = 1/(4) = -148; г) наибольшего значения нет; г/наим = у(4) = -148. 8.44. а) у наиб = 13; уИВИМ = -51; б) унйпб = 19; наименьшего значения нет; в) У наиб = 21; наименьшего значения нет; г) унаиб = 1/(-3) = 21; наимень- шего значения нет. 8.45. а) 2; б) 2; в) г) 2. 8.46. а) уИВИб = 1; уиа]ЛМ = -1; У наиб 0,5, У найм 0,5, в) У наиб 2,5, У найм 2,5, Г) У наиб — 3,5, У найм — 3,5. 8.47. а) 2; б) 4; в) 4; г) если п - четное число, то уъ п(п + 2) 4 ; если п — {ть + 1^2 нечетное число, то уИШМ = *—8.48. а) уиш6 = у( 1) = 5(а + 1); уИШШ = = У(-1) = 5а - 3; б) уваи6 = у(2) = 4 - а; «/„„„ = у(-1) = -5 - а. 8.49. а) Если -1 < а < 2, то (/наи6 = г/(-1) = 5, у^ = у(а) = а2 - 4а; если 2 < а < 5, то 1/наиб = 4/(-1) = 5, «/наим = у(2) = -4; если а > 5, то у^6 = у(а) = = а2 - 4а, утим = 1/(2) = -4; б) если 1 < а < 3, то (/Н1ш6 = у(а) = -а2 + 2а - 3, ^н.им = 4/(3) = -6; если -1 < а < 1, то «/ншб = у(1) = -2, увтм = 1/(-1) = -6; если а < -1, то увш6 = у(1) = -2, (/наим = у\а) = -а2 + 2а - 3. 8.50. а) 3; б) -2. 8.52. а) 0; б) 1; в) 0; г) корней нет. 299 §9 9.5. а) 7; 11; 13; 0; б) 0; 0; 0; в) 11; 11; 7; г) 0; 0. 9.6. а) /(1) > /(31); б) ЛИ) > /(110); в) /(-17) = /(831); г) /(б + Щ) = гШ - б). 9.7. а) Да. б) нет; в) нет; г) да. 9.17. а) — г) Нет. 9.18. а) — в) Нет; г) да. 9.19. а) в) Да; г) нет. 9.20. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 9.21. а) 1; 1; 1; 1; б) 0,5; 0,5; 0,5; 0,5; в) 2; 2; 2; 2; г) |; |; 9.22. а) Т = 1; Т = 3; б) Т = 1; Т = в) Т = 20; Т = 20; г) Т = 12; Т = 4,4. 9.24. а) Нет; б) может, напри- мер: у = >/1 - 2{х}\ в) нет; г) может, например: у = -^у. 9.25. а) Нет; б) у = {я} + 6; в) нет; г) у = {я} + 8. 9.26. а) Нет; б) может, например: у = {-я}; в) может, например: у = {я}; г) может, например: у = 9.30. а) Наибольшее значение 5; наименьшее -2; б) наибольшее 5; наименьшее -2; в) определить невозможно; г) наибольшее 5; наименьшее -2. 9.31. а) * = 1 + 4&, к 6 2; б) (1 + 41; 4 + 41], I е 2. 9.32. а) * = -2 + ЬЪ; х = Ы, к € 2; I € 2; б) (1 + 5г, 2 + 5г], г 6 2; в) я = 2 + 5*, * 6 2; г) (-2 + 5л; 5л), п € 2. 9.33. а) х = 4&, Л 6 2; б) х € Е; в) х = -3 + 2л, п € 2; г) (-3 + 41; -1 + 40,1 € 2. 9.34. а) Существует, например: /(я) = 3 + 4х - 4х; б) существует, например: /(я) = 3 + 4-х - 4-х. 9.35. а) Существует, например: /(лг) = 1; б) нет. § 10 10.7. а) Да; б) да; в) нет; г) нет. 10.9. а) у = 3 ^ *; б) у = \ *У\' б) у = ~2 г) у = 2* _+ • 10.10. а) Да; б) нет; в) да; г) да. 10,5л;, если х < О, 1 л. -=х, если я > о; б )у = -х -1 3 я + 3 , если х < 2, если л: < 0, в) р = ^ 3 , если я > 2; если л: > 0; г) У = 0,5(л: - 1), если х < 5, . „ , 10.13. а) р = х2 - 3, х > 0; б) у = 2 - **» 2* - 8, если х > 5. 300 , -в 3 — х^ х < 0; в) у = —2—’ х > 0; г) у = —^—* х < 0. 10.14. а) Может; б) не может; в) может; г) может. 10.15. а) — г) Да. 10.16. а) Нет, не может (если область ее определения не состоит из одного нуля); б) может; в) не может; г) может. 10.17. а) Да, может; б) может; в) не может; г) может. 10.19. а) Нет; б) у = 4х; в) нет; г) у = -4х. 10.20. а) Нет; б) у = 4х + 2; И(Г) = [-1; 2); Е(Г) = [1; 2); в) нет; г) у = -4х + 2; Ш = [-2; 4]; Е(Г) = [-2; 0]. 10.21. а) Нет; б) у = 4х + 2 - 3; ЩГ) = [-2; +оо); Е(Г) = [-3; +оо); ^ х "Ь 5 в) у = - V* + 2 - 3; -0(/) = [-2; +°°); £(/) = (-°°; -3]; г) нет. 10.23. а) у= 2 , 7-х у = х + 6, на Д обратной функции нет; б) у = Ъ - х, у = —~—* У = 1-х —гг—, если х < 3; ч х - 5 ^ 2 в) г/ = —д—, у = >/х, на л обратной фукнции 5 - х, если х > 3; нет; г) у = 3 - х, у = 2-х —. У = 2-х 0 —-—, если х < 2; 3 - х, если х > 3. 10.25. а) /(х) = 7; х = 1 и §(х) = 3; х = 5; б) /(х2) = 25; корни: -3; 3 и #(х2) = 4; корни: -2; 2; в) Ю) = -7; * = 1 и $(*) = 15; * = -3; г) /(Зх) = 7; х = ^ и £(5 - х) = 7; х = 0. 10.33. а) Да; б) нет. 10.34. а) у = если х < 0, б) нет; если х > 0; В) у = если х < О, г) нет. 10.35. а) у = -у, если х > 0; -4~х, если х < О, б) нет; ух, если х > 0; [ -42 - х, если х < 2, В) у = \ ---- г) нет. [-ух - 2, если х > 2; §11 11.11. а) IV; б) II; в) III; г) I. 11.12. а) III; б) II; в) IV; г) IV. 11.13. а) 6; б) 8; в) 3; г) 5. 11.18. а) пп; б) ^ + пп; в) ^ + пп; г) + пп. 301 -л -л -л *\ \ Я Я7Т — ч ПП ^ ^ лл ч ТС ТС 2я 11.19. а) ^ + -у; б) у. 11.20. а) 0 + яи; б) - д + яи; в) ±у + 2тсп; у я . . л, 2я/1 7С 2я71 Я Я71 г) ±0 + 2яи. 11.21. а) -у» 6)-^ + “д“» в) ±0 + пп; г) -у. 11.22. а) 2яи < * < ^ + 2яи; б) яи < * < ^ + яи; в) ^ + 2яи < * < у + 2тсп; 7С тг ^'тг К-уг г) у + яп < I < пп. 11.23. а) + 2яи < г < у + 2яи; б) -у + 2яп < < I < ^ + 2яи; в) ^ + 2яи < I < у + 2яи; г) -у + 2яи < I < —• + 2яп. 11.24. а) у + яп < I < пп; б) пп < I < у + яи; в) ^ + яи < I < у + яп; г) у < * < ^ + у. 11.25. а) ^ + 2яи < * < ^ + 2тш; б) 2яи < ^ < у + + 2яи; в) ^ + 2яи < I < у + 2яи; г) + 2яи < I < + 2яп. 11.26. а) + 2яи к * к ^ + 2яи; б) -у + 2яи < ^ < | + 2яп; 5я 7я 11я в) -у + 2яи < I < 2пп; г) у + 2яи < I < -у + 2яи. 11.29. а) пп; пп б) т ; в) я 2 + пп; г) Щ-. 11.30. а) пп, п 3 ’ б) 4 + ПП . 2яП. ~2 ; в> Т’ г3 ,:Ь6 + пп. а) я 2пп, пп к пп у пп Я 4к 2я. 30 + 5 ’ б) 3 ’ в) 12 + 3 ’ Г)Т- 11.32. а) ^0» 15’ -Т; Зя . я Зя. у , Зя 2я . 5я . . _ _ . я 5л 7я. , ± “8 : ; в) “8’ 8 ’ г) ±_7" ±21’ +—. "21 11.33. а) ± 0» 6 ’ 6’ 5я . . я Зя 5я я я 7я 5я я 13я 2л 7л 4 ; в; ±-^, - 4 ’ 4 ’ г* 3 ’ 12’ 12’ "12’ 6’ 12’ 3’ 6’ а)- -3, -2, -1, 0 » 1, 2, 3, 4, 5, 6; ! б) -1,5; 0,5; 2,5; 4,5; в) —3, -1, 1 ,3, 5. ч 2 11 5 1 5 г)-2д, -10, д, 10, Зд, 4 0, §12 ч я .. Зя 11я ч 7я. я 7я .00 ч ^ п. 12.6. а) д, у, б) у, у-; в) у, г) у, у. 12.8. а) х < 0, у > 0, б) х < 0, у > 0; в) х < 0, у < 0; г) х > 0, у > 0. 12.9. а) х > 0, у < 0; б) х < 0, у < 0; в) х > 0, у < 0; г) х > 0, у < 0. 12.10. а) х < у; б) х < у\ в) х > у; т) х < у. 12.11. а) |дс| > |у|; б) |х| < \у\; в) \х\ > \у\; г) |х| < \у\- 12.20. а) + пп; б) у + пп; в) у + пп; г) ^ + пп. 12.21. а) у + 2ял ^ я я 5я я я < г < -я + 2яп; б) д + 2яи < I < у + 2яи; в) - д + 2яи < I < д + 2ял; 302 _ о_ 5тс 5к 1г г) — + 2пп < I < + 2яп. 12.22. а) --ц- + 2яп < * < "б" + 2яп; б) ^ + + 2яи < I < + 2яп; в) ^ + 2яп < I < ^ + 2яп; г) + 2яп < г < 2я _ 7я я _ с -д- + 2яп. 12.23. а) 2яп < I < я + 2яп; б) --0- + 2яп < I < 0 + 2яп; я 5я я в) 0 + 2яп < * < -0- + 2яп; г) -я + 2яп < 1 < 2пп, 12.24. а) - д + 2яп < 4я 5я ^ 5я 7я < I < “з" + 2яп; б) + 2яп < I < + 2яп; в) + 2яп < I < + 2яп; г) + 2яп < * < + 2яп. 12.25. а) + 2яп < * < 2пп; б) ^ + 2яп < 7я л ч я Зя ч 2я 5я < * < ~б" + *КП’ В) 6 + *КП К * К ~4~ + *ЛП; Г) "з" + 2пп < * < -д- + 2яп. 12.26. а) + 2яп < I < + 2яп; б) 2яп < * < ^ + 2яп; я + 2яп < ^ < < Щ + 2яп; в) ^ + 2яп < г < + 2яп; г) ^ + 2яп < I < я + 2яп; + + 2яп < I < 2кп. 12.27. а) ^ + 2яп < I < 2я + 2яп; б) -я + 2яп < * < ^ + + 2яп; в)~ + 2яп <1 <п + 2пп; г) 2яп < * < Щ- + 2яп. 12.28. а) + 2яп < я _ я л я « я _ 5я л чл < I < - д + 2яп; д + 2яп <1 <—+ 2пп; б) д + 2яп < * < -д- + 2ял; в) 2яп < 7я 1 11г. 5я ^ < * < я + 2яп; -0- + 2яп < I < -0- + 2яп; г) + 2яп < I < ^ + 2яп. 12.29. а)^+яп<*<-^ + пп; б)^+яп<^<-^ + пп; в) + яп < < ^ < ^ + яп; г) + пп < ^ ^ + пп. §13 13.19. а) 3; 5; б) 3; 4; в) г) 1; 2,5. 13.21. а); б); в) Минус; г) плюс. 13.22. а); в); г) Минус; б) плюс. 13.23. а); б); г) Минус; в) плюс. 13.24. а) Минус; б); в); г) плюс. 13.25. а) Плюс; б) минус. 13.26. а) 0; б) 0. 13.31. а) ^ + яп; б) + яп; в) яп; г) ^ + 13.32. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 13.33. а) х > б) х < -2; х > 2. 13.34. а) х < б) -3 < х < 3. 13.35. а) х < 1; б) -6 < х < 6; в) х > 1,4; г) -оо < х < +°о. 13.36. а) а > Ь; б) а < Ь; в) а > Ь; г) а < Ъ. 13.37. а) а < Ь; б) а > Ь; в) а < Ь; г) а < Ь, 303 4л 7л я л 2л ю оо ч • 171 • д к 5л 5л 7С 13.38. а) 81П “дГ> 81П -0-> 81П у» 81П -д» 81П “д"» б) С08 ур С08 -у, С08 соз у, соз 13.39. а) соз 4, зт 3, соз 5, зт 2; б) соз 3, соз 4, соз 7, соз 6; в) зт 4, зт 6, зт 3, зт 7; г) соз 3, зт 5, зт 4, соз 2. 13.40. а) соз 1, зт 1 1, 1; б) с1$2, соз 2, зт 2, 2. 13.41. а) 0,5; б) 0,5. 13.42. а) -1; б) 1* 4л я 13.43. а) 2пп < ^ <п + 2лл; б) -у + 2пп < г < д + 2лл; в) -л + 2лл < г < л 2л л Л тг < 2лл; г) д + 2лл < ^ < -д- + 2лл. 13.44. а) -у + 2ял < I < у + 2лл; б) — + + 2ял < * < + 2ял; в) ^ + 2ял < * < ^ + 2ял; г) + 2ял < I < ^ + 4 ^ ^44 + 2лл. 13.45. а) у + 2лл < * < + 2лл; б) у + 2пп < I < у + 2ял; ч л _ 7л 5л л 7л _ _ 5л в) -0 + 2лл < I < -0- + 2лл; г) у + 2лл < X < у + 2лл. 13.46. а) -у + 5л 2я 4л 5л + 2пп < I < -0- + 2ял; б) у + 2ял < I < у + 2лл; в) -0- + 2пп < ^ < 7л ч 2л 2л ч 7л ^ ^ я < -0- + 2лл; г) -у + 2пп < * < “з~ + 2лл. 13.47. а) -у + 2лл < I < д + + 2лл; б) -у + 2лл < * < у + 2лл; в) + 2лл < ^ + 2ял; л 7л л 5л г) у + 2пп < I < у + 2лл. 13.48. а) 2пп < I < д + 2лл; -0- + 2пп <%< < л + 2лл; б) у + 2пп < < < у + 2пп; у + 2пп < ^ < у + 2ял; в) + 2пп < ^ < | + 2лл; у + 2пп < * < у + 2лл; г) у + 2лл < I < < ^ + 2лл; у + 2лл < I < -у + 2лл. 13.49. а) у + 2лл < * < л + 2ял; б) у + 2пп < I < у + 2лл; в) у + 2лл < I < + 2лл; • + 2лл < I ^ < + 2лл; г) + 2лл < I < у + 2лл. 13.50. а) пп < ^ < у + ял» тс Зтс Зтс б) у + 2пп < < с у + 2лл; ^ = 2лл; в) л + 2лл < г < у + 2лл; + 2лл < г < 2л + 2лл; г) * * уу . 304 §14 5 12 5,. 24 7 14.17. а) 8Ш ( = -уд» сое Ь = -уд» 1® ( = у^; б) 81П Ь = дд» С08 I = дд» 24. 12 5 12. ч . 15 , 8 “у"» в) 8ш (= -уд» соз (= уд» Ьё < = __5"’ г) 8Ш *= ^7’ 008 *= -17’ 15 ч 12 12 12 г = —д. 14.18. а) -|; б) -д-. 14.19. а) -уд. б) -1,4. 14.20. а) -0,18; б) 4. 14.21. а) 0,792; б) -2,475. 14.22. а) 3,29; б) 5,267. 14.23. а) 1; б) |; в) г) 14.24. а) -у|; б) . 14.25. а) 1,4; б) 1. 14.26. а) 5; б) 14.27. а) -|; б) -|. 14.28. а) б) 0. 14.29. а) (1+1д2)2; б) в) За2 + 2 2 - За - 5а (ГГ^; г) (ГГ^Т 14-30- а) б) 1 + д2 • 14-31- а) 0: б) СОд I* 14.32. а) 3 зт *; б) 3 соз I. 14.33. а) зт зт б) соз 1,1; |; соз 1. 14.34. а) -6; -2; б) -5; 1^; в) -3; 6; г) -7; 2. §15 15.7. а) зт 160°, зт 40°, зт 120°, зт 80°; б) соз 160°, соз 120°, соз 80°, соз 40°. 15.8. а) зт 1000°, зт 210°, зт 380°, зт 830°; б) соз 920°, соз 460°, соз 650°, соз 390°. 15.9. а) зт 990°, соз 990°, зт 22,5°, соз 37,4°; б) 100°, соз 94,3°, ап 77°, с*е 225°. 15.13. ВС = 8 см; АС = 4 (7з + 1) см; 5 = 8 (7з + 1) см2. 15.14. а) см2. 15.15. а) зш 15° = ^ у ■ ^, соз 15° Тб + 72 4 ’ б) зт 22,5° >/2-72 2 ’ соз 22,5° 72 + 72 2 15.16. а) 1; б) 3. 15.17. а) 1; б) 0. 15.18. а) 45,5; б) 90. 15.20. а) п = 1, 2, 3, ... , 179; б) ни при каких; в) п > 180. 15.21. а) п = 1, 2, 3, ... , 89; б) ни при каких; в) п > 90. 15.22. а) При любых п е И, кроме чисел вида п = 3606, п = 3606 - 1, к е Ы; б) ни при каких; в) п = 3606, п = 3606 - 1, 6 е N. 15.23. а) п = 1, 2, 3, ... , 178; б) п = 180, 181, ... , 359; в) п = 3606, П = 360* - 181, к е N. 15.24. зш 18° = —~ *; сое 18° = V10 + 275 4 4 8Щ 36° = Ую - 2>/5 ♦ С08 36° = У^ + 4 4 305 $ 16 16.10. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г) нечетная. 16.11. а) Нечетная; б) четная; в) нечетная; г) четная. 16.12. а) Нечетная; б) четная* в) нечетная; г) четная. 16.13. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г) нечет- ная. 16.14. а) [-1; 1]; б) [-1; 1]; в) [-1; 1]; г) [-1; 1]. 16.18. а) л; б) 8л в) 4л; г) -дг- 16.19. а) зт (8 - 2л); б) соз (-10 + 4л); в) зт (-25 + 8л); г) соз (35 - Юл). 16.22. а) [-2; 2]; б) [0; 625]; в) [-1; 5]; г) [0; 25]. 16.23. а) [1; 1]; б) [-4; -1]; в) [-1; -|]; г) [3; б]. 16.24. а) [3; 15]; б) [1; л/з]; в) |\|; 4]; г) [0; 2]. 16.25. а) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; б) 0, 1, л 5л 2, 3; в) 1, 2, 3, 4, 5; г) 3. 16.26. а) 5; 2лп < х < 0 + 2пп; + 2л 4л + 2пп < х < л + 2пп; и е 2\ б) 4; -^+ 2ли < х < -д- + 2пп; -д- + 2пп < < х < Щ- + 2ли; и е X, 16.32. а) б) увавм = —уввям не существует; в) §; г) |; 16.35. а) 1,5; 2,5; б) 0,5; 2,5; в) 0,5; 2,5; л 5л г) Ушшм = 1; Уи.иб не существует. 16.44. а) + 2яга < х < -0- + 2лп, п е 7; __5те „ „ 11л „ „ „ к 11л п 6)-0-+ 2пп < х < -0- + 2лп, П€ 2. 16.45. а) -0- + 2лп < а: < -0- + 2лп, п € 2; б) + 2лп < л: < ^ + 2лп, и е 2. 16.48. а) -л; б) 0; в) 0; г) л. 16.49. а) ±^; 0; б) в) г) нет корней. 16.50. а) б) л; в) г) 0. 16.51. а) б) 0; в) 0; г) |. 16.52. а) 0; б) |; в) л; г) 0. 16.53. а) 2; б) бесконечное множество; в) 0; г) 1. 16.54. а) 0; б) бесконечное множество; в) 2; г) 2. 16.55. а) ~ + ли; 6)-^ + ли. 16.56. а) -0-5 б) Зл 5л 5л л 16.57. а) я = 0; б) х = 16.58. а) я < -“о"» 0 < я < -0-5 б) х > д* 306 §17 17.11. а) у = 2 зт х + 1; б) у = -1,5 соз х + 2; в) у = -0,5 зт х - 2; г) у = 3 соз х - 0,5. 17.12. а) у = -зт ^л; - б) у = 2 соз ^л; + в) У = 1*5 зт (х + ^1; г) у = -3 соз (х - -^1 1л:2, если х < 0, 1 . < 6)У = — зт ху если 0 < х < л; 1,5 сое Ху если - ^ < х < л л х - 2* если л: > 2* л 5л. _ л . ... 5л л 17.15. а) 0» -0-> б) ± д* 17.16. а) х < 0; х > 0; б) < х < -0« § 18 „„ ч Г-х, если х < 0, 18.10. а) у = •! л б) У = 1зт2х, если х > О; сое Зх, если - ^ < х < -1, если х > Ь Гап2х, если х < 0, ч [-2 ет х, если - 2л < х < 0, в)^/=1о п.г)^=1 * Л [2совлг, если х > 0; 1сов если л: > 0. 18.11. а) Возрастает на |^0, убывает на б) убывает на ^-1, возрастает на 0^; в) возрастает на ртр убывает на возрастает на |^р убывает на ртр ^ г) убывает на ^3, возрастает на 418.12. а) Возрастает на [0, 2л], убывает на |^2л, б) убывает на (-3; 0], возрастает на [0; 2); в) убывает на о|, возрастает на |^0, г) возрастает на (3, 2л], убывает на [2л, 9). 307 18.13. а) + Зли < х < + Зли, и е 2; б) --- + Зли < х < ^5. . 4 4 4 4 + о ^ о ^ ч 2л 4ли ^ 4л 4ли ^ 4ли + Зли, ие2. 18.14. а) -д- + —д- < л: < -д- + —тр , и € 7; б) -д- < * ^ < т + ^аг*пе г-1818*а) 11> 2> 2\; б) !• §19 19.5. а) у- 2 зш (2*+ |^; 6)^ = -1,5зт(|-||. 19.6. а)у = -2 соз 6 б) у = 3 соз | 2лс + 19.7. а) ^ + 4лп < л: < -у- + 4ли, и е 2; б) + Зл . _ ,л п ч 5л . .л + 4ли < л: < + 4лп, ие 2. 19.8. а) --0- + ли < х < - д + ли, п е 2; к л б)-д + ли < а: < 0 + ли, п & 2. 19.9. а) 4л; б) л. 19.10. а) Убывает на 2л ; б) убывает; в) возрастает на Г 4л _л1 [ 3’ 2_|’ [0, возрастает на убывает на 0^ г) убывает. 19.11. а) Убывает на |\), на б) возрастает; в) возрастает на 0^ г) убывает на |-1, возрастает на |^, 1^. 19.12. а) возрастает убывает на 2л 2л 13л _ + 4лп < а < 4ли, и е 2; б) -д- + 4лп < а < —д- + 4лп, и е Ъ. ч я . л я 2ли жг 19.13. а) 0 < а < б) а = -0 + —п е N. §20 20.6. а) Ни четная, ни нечетная; б) нечетная; в) четная; г) нечетная. 20.7. а) Нечетная; б) четная; в) четная; г) ни четная, ни нечетная. 20.8. а) Нечетная; б) четная; в) нечетная; г) нечетная. 20.11. а) б) Зл; 308 р) г) 20.12. а) я; б) 2я. 20.15. а) Минус; б) минус; в) плюс; г) ми- О и йус. 20.21. а) Возрастает на + пп; + ппп е 2; б) убывает на + пп; + ппп е 2; ( Зл к ^ в) убывает на —+ пп; + пп , гее2; Г я 7я ^ _ г) возрастает на Ь + тш; + пп , п е 2. 20.28. а)“ + яи < а: < ^ + яи; б) яи < х < ^ + пп; в) + яи < а: < ^ + пп; г) + яи < а: < я + пп. 20.29. а) 2яи < х < ТС 7ТС 0тс д < -^ + 2яи; я + 2яи < х < -0- + 2яи; б) - + 2яи < х < 2пп; + 2яи < 5я Л ч я Л 7яЛЧЛ я < х < -0- + 2яи; в) 2 + 2яи < х < -0- + 2яи; г) 2яи < х < + 2яи; Зя 5я 11я + 2яи < х < -0- + 2яи; я + 2яи < х < -0- + 2яи. §21 21.3. а) [-1; 1]; б) [2; 3]; в) [-2; 2]; г) [-¾ -72] и [72; 2]. 21.4. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 21.5. а) [-я; я]; б) [-2я; 2я]; в) [0; я]; г) [0; 2я]. 21.6. а) Нечетная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная; г) нечетная. 21.16. а) б) в) г) Щ. 21.17. а) 0; б) 21.18. а) б) в) 0; г) 21.19. а) б) 1; в) г) 73. 21.21. а) [-1; 1]; б) [0; 2]; в) г) [1; 2]. 21.23. а) [0; 2к]; б) [-|; я]; в) о]; г) [-я; я]. 21.24. а) Четная; б) нечетная; в) ни четная, ни нечетная; г) нечетная. 21.33. а) б) в) г) 21.34. а) б) в) я; г) я. 309 21.35. а) б) в) 1; г) -1. 21.36. а) 1; б) в) г) 21.37. а) [-1; 1]; б) [0; 2]; в) -1; 0^0* |]; г) [-72; 72]. 21.38. а) Нечет- ная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная; г) ни четная, ни нечетная. 21.39. а) (-я; я); б) 0^; в) я^ г) (0; 2я). 21.46. а) б) 15. 12. 12. в) 47» г) -4- 21.47. а) д» б) - д 5 в) д> г) д« 21.48. а) д5 б) ^д5 в) д; 12 /о 12 г) 21.54. а) —; б) нет корней; в) 1; г) 21.55. а) 0; 1 д5 б) 3; в) 3; г) 0; 3; 5. 21.56. а) 4; б) |- 21.57. а) -1; б) 73; в) г) ±1. 21.58. а) -1,5; б) 9; -1; в) нет корней; г) 2; 3. 21.59. а) 2 , ~, 3 ’ 2 2 ’ б) в) 1; г) 21.60. а) -1 < ж < б) * > -1; в) -1 « ж < 1; г) ж > -73. 21.61. а) < ж < б) ж < ж > в) -1 < ж < 7з з ' г) л: < -1; х > 1. г) ж > 21.62. а) -1 < ж < б) ж < ж > 73; в) < ж < § 22 ооо чя Цл. 8я 10я. я я 7я 9я. ч. 0ок ч . 2я , 22.3. а) д» 0 » б) з > д > в)“4* ‘4* “4"* “4"» г) ±я. 22.5. а) ± д + Г 1^ 1 я 5я. + 2ял, ±агссоз “з + 2ял; б) ±агссоз д + 2ял. 22.6. а) д> “д"> _ я я 7я 9я 15я ч 2я 4я 8я. ч ,5я ,3я ч 0 0 б) _4’ 4’ Т’ Т’ ~г; в) Т9 Т9 "з’ Г)±Т’ ±т-22-7- а>2; б>3- 22.11. а) (-1)"^ + ял, + 2ял; б) ^ + ял, (-1)пагсзт + ял; в) (-1)пагсзт ^ + ял, ял; г) ^ 22.12. а) (-1)”^ + ял; (-1)п+1агсзт + ял; б) —^ + 2ял. 22.13. а) (-1)п+1^ + ял; б) + 2ял. 310 я 5я 13я. я 7я Ия. 5я я Зя Зя я 22.15. а) 6> 0 > 6 ’ "б’ 6 ’ 6 ’ ~~4~9 4’ 4 ’ ”4’ 22.16. а) 3; б) 2. 22.25. а) ^ + 4пп; 4пп; б) | + Зтш; в) я + г) — + 4яя. 22.26. а) Щ + кп; б) я + 2яя; в) 8яя, -4^ + 8яя; я 2ял 2ял + г> 6 13я. я я Зя Ия 17я 19я я . Ия 3 ‘ 22-27- а> 12’ 4’ 4 ’ 12 ’ 12 ’ 12 ’ б^±18’ ± 18 я 7я 5я Зя 7л 11я 15я ч я 5я 7л. ’ г) 16’ 16’ 16 ’ ■^0 • 22.28. а) - 0> ■ 6’ 6 ’ 11я 19я 5я 13я 7л 1) —2я, 0, 2я, 4я; б) ^2", 12 ’ 4 ‘ 7я я я я я 4л. "8" в> -8’ г> -8- 22.31. а) д5 б) 0, 3’ я’ 3 ’ 22.30. а) б) - 2я 2я я я я в) --3-; г) --3-, О, 3. 22.32. а) -3, | + 2яя (я = О, 1, 2, 3, ...), + 2яя 4я 7я я 2я (л — —1, —2, —3, ...); б) 6, з » з > ± з + 2ял (я — 2, 3, 4, ...), 1 3 + 2ял (п = О, -1, -2, ...). 22.33. а) 0, к, -л, 4, -4; б) 1; + 2лп (п = ±1, ±2, я 5я 1 2я я ±3, ...); в) з» -3-» 0, 7; г) 1, 1 з» “3" + 2ял, п е 2; 3 + 2ял (п = ±1, ±2, ...). 22.34. а) х Ф ±3 + 2ял; б) х Ф кп; в) х > 0, х Ф кп (л = О, 1, 2, ...); г) х > 5, * Ф | + ял (п = 2, 3, 4, ...). 22.35. а) {-1, 1}; б) {-1, 1}. 22.36. а) {-1, 1}; б) {-^7Г> ^тг}* 22.37. а) + кп; б) ^ + яя, ^ + яя; в) ±-^ + ^; г) яя, ^ + яя. 22.38. а) 2, яя; б) ^ + яя. 22.39. а) 3, яя; б) -2, ^ + яя. 22.40. а) 1, 4, яя; б) -5, -7, | + 22.41. а) 8; б) 7. 22.42. а) + 2яя < < * < ^ + 2яя; б) ^ + 2яя < 1 < + 2яя; в) + 2яя < 1 < ^ + 2яя; ч я 5я 2 2 г) з + 2яя < % < -3- + 2яя. 22.43. а) агссоз 3 + 2яя < * < 2я - агссоз 3 + + 2яя; б) -агссоз ^ + 2ял < 1 < агссоз ^ + 2яя; в) -агссоз ^ + 2яя < 2 ^ П ^ 1Л < * < агссоз з + 2яя; г) агссоз —^ + 2яя < * < 2я - агссоз —^ + 2яя. 311 22.44. а) агссоз ^^ + 2лл < I < 2 л - агссоз ^^ + 2лл; б) -т^ + 2ял < < * < ^ + ^лл, агссоз ^ + 2лл < * < 2л - агссоз ^ + 2лл; в) -агссоз ^ + + 2лл < ^ < агссоз ^ + 2лл; г) -агссоз + 2лл < % < + 2лл, я _ . . 1 _ _ _ . ^ ч я 2я тг д + 2лл < * < агссоз д + 2лл. 22.45. а)д+лл<*<-д- + лл; б) + + 2лл < * < -агссоз ^ + 2лл, агссоз ^ + 2лл < * < ^ + 2лл; в) -агссоз ^ + 1 я Зл 1 + лп < % < агссоз д + пп; г) -^ + 2лл < % < + 2пп, -агссоз д + 2ял < < I < агссоз ^ + 2пп. 22.47. а) -я - агсзт ^ + 2пп < % < агсзт ^ + 2ял; б) -агсзт 0,6 + 2пп < * < л + агсзт 0,6 + 2пп; в) агсзт + 2пп < * < < я - агсзт д + 2пп; г) я + агсзт 0,6 + 2пп < I < 2я - агсзт 0,6 + 2лл. 22.48. а) л + агсзт 0,8 + 2пп < г < 2я - агсзт 0,8 + 2ял; б) -агсзт 0,8 + л 2 + 2лл < % < л + агсзт 0,8 + 2лл. 22.49. а) - 0 + 2пп <1 < агсзт д + 2пп; 2 7л 2 2 я - агсзт д + 2лл < I < + 2л/г; б) агсзт д + 2лл < % < я - агсзт д + 2лл; 7я 11я + 2пп < * < + 2лл. 22.50. а) + лл < л; < ^ + лл; б )пп < х < < ^ + ял; в) — ^ + яп < л: < лл; г) лл < л: < + лл. 22.51. а) -^ + + ял < х < агс1ё 3 + лл; б) лл < х < агсс1ё д + лл; в) агсс1§ 2 + ял < х < 1 тс к < л + лл; г) -агс1# -^ + лл < л; < -^ + лл. 22.52. а) + ял < х < -агс!& 3 + ял, агс1& 3 + лл<л;<^ + лл; б) + лл < л: < ^ + ял, ^ + ял < х < ^ + пп; 77С в) -агс!# 3 + лл < х < агс!& 3 + лл; г) ял < х < агсЬё 2 + ял. 22.53. а) + ^ я 1 1 лл ^ ^ л 1 1, ял. + ял < х < + лл; б) -т агссоз о + -«- <лг<о”7 агсс°8 ч + “«Г» 312 я 2пп я 2пп, х _ 1 о о .1 в) "18 + ~3~" < х < 18 + ""3~" ’ ^08111 7 + *кп < х < 2л + 2 агсзш тр + я 1 2я 1 + 4ял. 22.54. а) 0 + 2 агсд1п ~3+кп<х<~3~2 ^08^11 3 + кп> б) + 1^\ 2яу1 + 2ял < л: < 2я + 2ял; в) 13 ” 3 агссоз [-4]-1- “3" < х < 18 + 1^ 2тт. 5 я + ^ агссоз ^ + г) ^ + 2ял < х < + 2ял. 22.55. а) 2ял < < х < ^ + 2кп; б) + 2яп < х < 2пп, 2ял < л: < ^ + 2ял; 3 . 5я 5я л 5я л ^ ^ 7тс 0 я 0 ^ в) -0- + 2ял < л: < + 2ял, + 2ял < х < + 2ял, + 2ял < < л: < + 2ял; г) + 2ял < х < 2пп, 2пп < х < ^ + 2кп. 22.56. а) < <л:<2;б)^<л:<1. 22.57. а) кп; б) ^ + ял. 22.58. а), б) Нет решений. 22.59. а) 0 < а < 1; б) 0 < а < 0,5, 2 < а < 2,5; в) | < а < 1; г) -2 < а < -л/2, 72 < а < 2. 22.60. а) < а < б) -1 < а < д. 22.61. а) $ + /,ч»1 . а -1 тсп ^ „ + (-1) 2 агсзш Д + ^ + "2“, если а > 0; нет решении, если а < 0; тс 2й — 1 б)--^ ±2 агссоз а~_ 2 + 4ял, если ~1 ^ ^ < 1; нет решений, если а < -1 или а > 1. 22.62. а) ± 0 + л, л е 2; б) ±агссо8 ^ + 2ял, ±агссоз ^ + 2ял, ±агссоз (-12) + 2ял, ±агссоз -12) + 2лл. 22.63. а) -2 < х < 0, х = 2; б) -1 < х < х = 2. 22.64. а) -2 < а < 2; б) 1 < а < 2. 4 ^ П 2 22.65. а) -агсзш ^ + 2ял < х < агссоз —д + 2ял; б) я - агсзш + + 2лл < х <2 я - агссоз 0,6 + 2ял. 22.66. а) агс1§ 1,5 + 2яп < х < д + 2ял; я + агс!§ 1,5 + 2ял < х < + 2яп; б) ^ + 2лл < х < агссоз | -Ц \ + (-? + 2лл; ~2 + 2ял < х < агсЬё (-0,1) + 2ял. 22.67. а) агсзш (-0,8) + 2ял < 2я 4 < х < 2кп; -д- + 2ял < х < я + 2ял; б) агссоз д + 2ял < х < агсс1ё (-3) + 2ял; 313 л + 2 лл < х <2к- агссоз ^ + 2ял. 22.68. а) < д: < я 5 л 13л 17л Зл 4л 5л ^ -^2 ’ 12 ^ ^ ^ то’ то < # ^ 5; б) 5 < х < ^ ^ ^ ^ ^ ~ д ? 12 ’ 12 2л л. —3 < х < О < X < 1. §23 23.1. а) (-1)п + 1 агсзт д + ял; б) (-1)п + 1 агсзт д + ; в) (-1)” агсзт ~ + лл; г) л + 4лл; (-1)л ^ + 2ял. 23.2. а) + 2ял; 2л 2кк 2л ±агссоз о + 2лл; б) ±-5- + ~о“» в) л + 2пп; г) ±л + бял. 23.3. а) ±-д- + г» — ч л ч л п /-*\л . 1 ч л 2пть + 2пп; 6)-2+ ял; в) -^ + 2лл; (-1) агсзт ^ + лл; г) 0 + ~“д“* 00 . . л ,1 _ л лл 1 , с лл ч , 1 23.4. а) - ^ + лл, агсс!& д + лл; б) д + 2 агсс1& 5 + -у в) агс1& + Зл 5 л + лл, -агс1& 2 + лл; г) + 2лл, 2 агсс1& ^ + 2лл. 23.5. а) + лл, -агс!& 2 + + лл; 6)--^ + лл, агс!§ ^ + лл; в) агс1& 2 + лл, -агс1§ ^ + лл; г) ^ + лл, 3 5л л лл л лл агсс1# ^ + лл. 23.6. а) л + 2лл, ±-д- + 4лл; б) д + лл, лл; в) -у д + -у ч ТС ЛЛ Л ЛЛ лп _ ч у -.чл + 1 ТС -ч . 5я г) -^2 + “2"» “4 + -у 23.7. а) (-1)" 1 ^ + лл; б) ±у + 2лл. лл л 2 ’ 4 лл 2 гы» л ч тс I тс — ч Л ЛЛ . Л ЛЛ л п п ч ЛЛ — ч ЛЛ 23.8. а) + тш; ±д + тт; б) д + ±^ + -«р 23.9. а) -^р б) -р + ^р 23.10. а) пп; б) ^ + 2пп; в) -^р г) 2пп. 23.11. а) агс!§ ^ + пп; 2 я б) агс1§ д + лл; в) -агс!& 2,5 + пп; г) + лл, агс!# 3 + лл. 23.12. а) - д + лл; 6)-^+ лл; в) агс1§ 3 + лл; г) + лл. 23.13. а) лл, -^ + лл; б) ^ + лл, -■^ + лл; в) лл, агс1§ 3 + лл; г) -^ + лл, ^ + лл. 23.14. а) ^ + лл, -агс1§ 3 + лл; б) ^ + лл, агс1§ 3 + лл; в) ^ + лл, -агс!# 2 + лл; г) -^ + + лл, агс1§ -§ + лл. 23.15. а) ^ б) -¾¾ + в) ^ + 2лл; 18 314 я ял 1 л ял 1 , 1 ял -ч 1 . л г) 51 + 17’ 23*16* а) 2 агс1ё 2 + “2”’ 2 агс*ё 2 + Т; б) “ 3 агс*ё 3 + ял 1 , 1 ял ч 2я _ , я тел + -д-> “д агс1§ д + “д~- 23.17. а) ±-д" + 2ЯЛ; б) ±^0 + 1 я я 23.18. а) агс!& 5 + ял, -агс1§ д + ял; 6)-^ + кп, агс!§ 2 + кп; в) + ял, -агс1# + ял; г) + кп, агс1§ 3 + кп. 23.19. а) ^ + ял, + ял; б) ял, -агс1& 1,5 + ял. 23.20. а) + агс1& 2 + б) агс!§ 1,5 + + -^р 23.21. а) + 2ял, 2 агс1;§ 3 + 2ял; б) + Зял, ^ + Зял. 23.22. а) ^ + ял; 6)-^ + ял. 23.23. а) ял, ^ + ял; б) ^ + ял, агс1;§ 7 + ял, агс!§ 3 + ял. 23.24. а) ±-^ + ^л; б) ±^ + 2ял. 23.25. а) 2 + [у = к + 2ккг, б) ■ = ^в + т , 2я 2я& " - 9 + 3 * 23.26. а) х = ~ + 2ял, У = + 2яй, л: = (-1)"| + яга, I/ = я + 2яй; б) л: = я + 4ял, У = я , кк 4 + 2’ х = (-1)"! + 2яга, 2л ! 23.27. а) -о- + 2ял; б) -агс!& о + ял, .Я ? о о У = ±д + ЯЙ. 1 я 4я 2я 7я -агс!ё 0 + ял. 23.28. а) 0 + 2ял, -д- + 2ял; б) -д- + 2ял, -0- + 2ял. 23.29. а) Нет решений; б) (-1)” ^ + ял; в) -^ + ял; г) нет решений. 23.30. а) (-1)” ^ + ял; б) ^тр 23.31. а) Нет решений, если -1 < а < 1; + 2ял, если а < -42, ^ + 2ял, если а = 42; (-1)” агезт ^ + ял, если а < -42, -42 < а < -1; 1 < а < 42; а > 42; б) нет решений, если -1 < Зя я < а < 1, — + 2ял, если а = -42; + 2ял, если а = 42; ±агссоз ^ + 2ял, если а < -42, -42 < а < -1; 1 < а < 42; а > 42. 315 23.32. а) -1; б) ±1. 23.33. а) ^ + ял, 2ял; б) ^ + 2ял, кп. 23.34. а) + Зял; б) я + 2ял. 23.35. а) 0; б) 2я + 24ял. 23.36. а) (-1)” ^ + ял; б) + 2ял. 23.37. а) ^ + 2кп; -агсЬё 3 + я(2л + 1); б) + 2ял; агс1§ 3 + я(2л + 1). 23.38. а) 7^ + 2кп; б) я + 2ял. 23.39. а) + 2кп < х < + 2ял; 7я 5я я 7я я -0- + 2ял < л: < -д- + 2ял; б) д + 2ял < л: < -0- + 2ял; - д + 2ял < л: < я я я 2я 7я < -0 + 2ял. 23.40. а) -0 + 2ял < х < д + 2ял; -д- + 2ял < х < “о" + 2ял; я 5я к к к б) д + 2кп < х < -д- + 2ял; -0 + 2ял < л: < 0 + 2ял. 23.41. а) + 2ял < 5я 2я л ^ . я л ч Зя 7я < х < + 2кп; б) - -д- + 2ял < х < д + 2ял; в) + 2ял < х < + 2ял; ч тс _ ^ ^5я _ , ^5я г) -0 + 2ял < л: < -0- + 2ял. 23.42. а) агс!# 5 + ял<л;<-^- + кп; б) ^ + кп < х < агс!# 5 + кп; в) ^ + кп < х < агс!# 2 + кп; г) -^ + я я + ял < л; < + тел; агс1§ 3 + ял<л;<-2 + кп. §24 .71 27171 71 Л77. _ Л 7177. ■ , 071 ПП 24.20. а) б + -д-» б) 1б + з » в) (-1) -^ + 7 * г) ± 72 + 6 • 24.21. а) 15°; б) 15°. 24.22. а) я + 2лп; б) (-1)" + 1 ^ 24.23. а) 5л 9л 5л 71 Зл 7л П1(11 . . л , я , ^ ^ > б) — д 3 — д» д 9 д • 24.24. а) (~ 1) 0 + КП; б) + д + 4ЯЛ. 24.25. а) ^ + 2ял; б) ^ + 2ял, я + 2ял; в) ^ + 2ял; г) ^ + 2ял, -^ + 2ял. 24.26. а) ^ + 2ял; б) 2ял, ^ + 2ял; в) -^ + 2ял; г) ^ + 2ял, 4>/з + 3. „ 3 4 4 - ЗУЗ 6 12л/3 - 5. —2 + 2яп- 24.27. а) —^—; б)-^; в) г) —^—. 24.28. а)-------------------^-----; б) 13’ в) 5^26 ^’ г) 13' 24-29- а) 85’ 6) 85' 24-30- а) "85’ б) 85' 316 1519. 720 24.31. а) — б) 24.32. а) 5х/3 - 12 12>/з +5 _ч _5 . х 12. 26 ’ б) 13’ в) 13’ г) 26 ' 24.33. а) - 4х/з+3. _ч3. 4 4. ч Зх/З - 4 л„ 4 36. ’ б) 5’ в) 5’ г) 10 ' 24,34‘ а) "85’ 10 77 63 16 тс 5я б) 35* 24.35. а) 05* ^ — 65* 24.36. а) ^ ^ < х < ^ ^ я/г^ / 2\ 2 1 б) 2 агссоз —^ + 4яп < л: < 2я + 2 агссоз ^ + 4ял; в) -4 агсзт д + л , . 1 -57с 2пп 5я 2пп + 8пп < х < 4я + 4 агсзт д + 8я/г; г) -^д- + —д- < х < 35 + ~3~* л . 0- . я пп 5тс тс/г _ 1 24.37. а)24+_2~ < * < 24 + "2~; 7 агссо8 "») 2пп + —у- < х < 2я - агссоз --< --------=— ------1 + д агсзт у 4я/1. 2ял. 2я 2 2 7 ’ а) -3 + д аГС81П 7 + ч ТС 8ял я 8ял г>-з + 3 <х<г + 3 • 4яЛ 3 4тс < * < Т ■ 3^4. } 10 ’ 5) 3^0+ 4 . 24.40. а) а < 0; б) а > 0. 24.41. а) а> Ь; б) а < Ь. 24.42. а)а<Ь; Ъ - а а + Ь Зл/з + 4 6) а > Ь. 24.43. а) а < Ъ; б) а < Ь. 24.44. а) б) ^75. 24.48. а) ; б)4; В) г) 24.49. а) 6л/2 - 4 15 ; б) 1. §25 25.10. а) ^5 б) -41>^+ 8~. 25.11. а) 1; б) 25.12. а) -2; б) -|. 17. 25.13. а) б) -1 25.14. а) -у 5 б) 25.15. а) - 25х/3 + 48 39 ; б) ? 7‘ я тс/г _ я пп 16 + Т; б) 13тс 14я 43я 29я 11я я 13я 17я я ОС -Л1-Г ч ^ Л/4- ,-4 ^ Л#!’ V 11Я Л 10/1 -ч ^ 25.17. а) 16 + Х; б) 6 + Т' 2518‘ а) ~~Л2' 12’ 1Т; б) _ 30 ’ "15’ 30 ’ 15 ’ 30 ’ 15 • ч 7я Я Я Я/1 25.19. а) -^0 + пп < х < + пп; б) д + -5- < 20 ^ я пп я - + я/г, < л: < ^ + -д-* 25.20. а) <{ 4 [г/ = агс1& 2 + я/г, х = -атс1^-| + ял, у = ~ + пкг, 317 б) \Х = \ + Ш’ Iх = + ^ 25.21. а) р = Щ.. [у = жЛвг + пк, [У = -агс1®4+ тс*. 4 б) 1; в) —"3^; г) -з|- 25.24. 3. 25.22. а) 1,8; § 26 26.7. а) -0,5; б) 1; в) ^; г) -7з. 26.8. а) -1,5; б) 2; в) -72; г) -1. 26.9. а) 0; б) 2 сов I. 26.10. а) а; б) соз V, в) а; г) -соз %. 26.11. а) -1; 1 сов2у б)----±-. 26.12. а) соз а; б) --^ГГГ- 26.14. а) 36; б) 5. 26.15. а) -6; б) 7. СОЗ Т Ы11 у 26.16. а) б) -|. 26.17. а) 1; б) |. 26.18. а) 1; б) 1. 26.19. а) 1; б) 73. 26.20. а) б) 17. 26.21. а) 2пп; б) —^ + 2пп; в) ^ + 2пп, + 2тот; я 2я г) ±д + 2ял. 26.22. а) ±-д- + 2ял; б) -^ + 2ял. 26.23. а) Корней нет; „ г»/» гы Ч 71 пп _ 1 , 1 ПП б) любое действительное число. 26.24. а) - д + ; б) - д агс^ д + “д"" 26.25. а) -2 агс1§ 3 + 2пп; б) -я + Зял. 26.26. а) ^ + пп, -агс1§ 2 + пп; 6)-^+ --^агс1§ 3 + в) ^ + пп, -агс1;§ 3 + пп; г) --^агс!# 4 + + -д-> -^2 + “з"* 26.27. а) -^ + 2пп, -2 агс1§ 2 + 2пп;'б) + 2пп, 0 ^ 1 0 я ч я х 1 -2 агс1§ + 2ял; в) ял, -д + ял; г) -^ + ял, -агс!§ + ял. 1 7^ 71 ТС 2тС/С 26.28. а) (-1) 0 + пп; б) (-1)” 0 + пп; в) я + 2ял, ± д + 2ял; г) 0 + “д“* ч кп 1 , 3 пп пп 1 яя я , 26.29. а) -у, агс1§ 2 + "2~; б) “з"’ 3 агс*2 6 + “§"• 26.30. а) + + 2ял, 2 агс1§ ^ + 2ял; б) -^ + ял, -агс!§ 2 + ял; в) ^ + —р* - — агс1# г) агс!;§ 2 + пп, -агс1§ ^ + пп. 26.31. а) пп; б) я + 2ял, я Л 2я. _ я. ч 2я. ч 2я ч Зя. _ 4я. гЬ д + 2пп. 26.35. а) ^ > б) Ю? ^ — ^ » г) ^ • 26.36. а) б) ^ > в) Зя. 9я 10’ г) 14- 318 §27 27.18. а)2зт ^ б)2зт ^ в)2ап ^ г)-; ■2 ап и + ^ 27.20. а) ^5 б) 27.21. а) 1; б) 0. 27.22. а) 2; б) -2. 27.23. а) 1±^2. 2372 _______ . 1 42. б) в) зТз . 14 + 7з г) ^ 27.25. а) 32? 8 ’ 1> 64 - 27'24' а) 2 8’ б) "Лб” 1 120 119 120 119 24 7 6) 64' 27-27- а)_169; б) 1695 в)_119’ г) ~ 120' 27,28, а) 255 б) 25’ 24. .7 ____ . 24. „ 7. . 24. . 7 .42 4й 24 7 24 7 24 7 /о /77 в) Т; Г) 27.29. а) ^ б) в) Т? г) 27.30. а) ^, V? /7. бч Л. А 2 I 27 31 а'»______-____- 1 7 ’ ^7’ б) 75’ ч/б’ ’ 2' а) 71о’ 710 ~ з ИЛИ ~~ 1 _71о’ б) ьГа 3’ _3; б) "710’ ч/1о’ з’ 3- 27-32- а) 3 710’ 2 а а2 + 1 1 + аг а 2 а 1 + аг 27.33. а) б) -272. 27.34. а) 1 - 2а2; б) 1 - 2а2. 17 1 97 485 27.35. а) б) - д. 27.36. а) ^0д> б) - 2197* 27.37. а) а > Ъ; б) а < Ъ. 27.38. а) зш 3* = 3 зтх - 4 зш3 л:; б) сов Зл: = 4 сов3# - 3 соз х. 27.39. а) х = пп; б) * = | + лп. 27.40. а) 0,296; б) ±^|^; в) 0,296; г) -Ц. 27.41. а) 42 4 ' 24 25’ “ Л». , ~19П» г) 119 120 119 169’ “119’ "120 ТТо з71о 1 б) ПГ’ 1о~ 7_ 25’ " 120 3’ я Зтс 24 7 „ 24 7 ’ 24’ б) 25’ 119 120 119 169’ 119’ 120 726 5726 26 ’ 26 > 24 120 27.45. а) 75 2ч/5 1. 5 ’ 2’ 726 5726 1 26 ’ 26 ’ 5' ч л _ я Зтс ч л л я 5л Ия „ ч к 27.48. а) 0, я, 2я; б) -р в) 0, я, 2я; г) 0, -0-, -0-» -0-* 27.49. а) + я I о / ч\п + 1 /-\ ТС АКТУ -*\п + 1 тс КП ч я + 2яя; (-1) 0 + пп; б) д + -д-> в) (-1) 12 + Т; г) 4 + яп. 27.50. а) -120°; б) -240°. 27.51. а) лп, агс<я 3 + яп; б) агс*е 2 + 7я 27.52. а) 0, я, 2я; б) -д~- 27.53. а) 2; б) 3. 27.54. а) 2яп, я + 4ял; б) 2ял; в) я + 2ял, 4ял; г) 2ял, ^ + 2ял. 27.55. а) ^ ; б) (-1)” ^ в> ~2 ~ 12’ 4 + Т; г) "3 + 27'56' а) ±4’ ±Т’ ±Т’ б) ±6’ 319 ±~0"> 27.57. а) 2яп, ^ + 2яп; б) ^ + (-1)лагс81п + лп. 11 3 27.59. а) 2 агс!& ^ + 2яп; -2 агс1& д + 2лп; б) 2 агс!& 2 + 2лп; -2агс1& — + 2лп. 27.60. а) б) -3. 27.61. а) -| + ^ < л; < | + ^5 б) -у + 4лп < * < < ^ + 4лп. 27.62. а) + Щ- < х < 13л 24 +Т; б)-^+4лп<*< ^ + . Ч ТС ЛП _ я ЯЛ. ЯЛ. Зя ЗЯП . чл „ + 4яп. 27.63. а) -^ + “д-» б) 20 + ^ » в) д > г) — д + —^—• 27.64. а) 2; —1; б) 3; -1. 27.65. а) 4-§; 1; б) 2; -4. 27.66. а) 2^5 -4; б) 4; -2^. § 28 28.7. а) 2 8Ш (| “ |] ' «йп (| + |) б) 2 8ш (| + |] ' соз (| - в) 4 соз 008 + г) >/2 зт ^ 28.8. а) 4 зт 6* сое2 ^; Зд. ^ 5^ б) 4 соз л: соз2 28.9. а) 4 соз I соз зт -тр б) -4 зт I зт 2% соз Ы. 28.14. а) -1; б) -1; в) -^3; г) -1. 28.15. а) 5; б) -|. 28.16. а) 1,5; б) 0,5. 28.17. а) б) 4. 28.23. а) б) -у 28.26. а) | + кп, ^ 2я 2я б) пп в) ЯП пп ч пп я л/г 28.27. ч лп 2л 8 ’ Т-’ 3 ’ г) -у. 20 + 10 • а> т, ± 3 + б) пп (-1) п Я 28.28. а) л 2лп 2пп. в) л Т’ 6 + ЯП. 10 + 5 _ ^ ; б) 2 + 3 ’ 40 + Я/1. Я Я/1. ч Я 2яЛ л_ ч Я КП к пп _ кпл К пп 20 + 5 ’ г) 6 + 3 ■ 28-29* а) 16 + 8 ’ 4 + ~2' б) 6 ’ в) 8 + 4 ’ я Я/1. я ЯП я яп 00 ол V 2ЯП 2яи. я яп 6 + 3 ’ г) 4 + Т’ 8 + ~А‘ 28-30- а) 7 ’ 3 ’ б) 14 + 7 ■ 28.31. а) п Ф 3 + 6й; б) ^ в) г) ^ + пп, п + 2пп. 28.32. а) | + кп, ^ б) \ + Щ-1 (-1)" 28.33. а) 3; б) 2, я Зя 2 я л ЯЛ. Я ’ "8 + т: б) 4 2л Я 4л 5я 9’ 3’ ' 9’ 9’ л л ЯП 2 + ЯП. - 8 + 2 *Е 7я. л л Зл 0 ^ я 3’ 9 ’ 4’ 2’ ~4~’ 28,35, а' 4 лп 2л л. л я яп ло ч 5я п ^ ^ 'я 0 + -д-> б) ^ + яп, д + “2". 28.36. а) —+ 2яп < х < + 2яи; б)~д + ЯП < X < д + ЯП. 320 § 29 29.4. а) (зт 24° - зт 4° + зт 12° + зт 8°); б) соз 35° - соз 45° + + соз 5° - соз 15°. 29.5. а) — (зт (х + у - г) + зт (х + г - у) + зт (>у + г- - х) - зт (х + у + г)); б) ^ (соз (х + у - г) + соз (х + г - у) + соз (у + г - - х) + соз (х + у + г)). 29.6. а) (2 соз 4х - соз 2х - соз 6л:); б) (2 зт Зл: + + зт 7х - зт*). 29.12. а) 1; б) 29.13. а) 1; б) 2. 29.14. а) б) 29. .15. а) - — 1; б) 72. 29.16. а) б) 29.17. а) а < Ь; б) а > Ь. 29.19. а) 5; б) 82. 29.20. а) пп; б) ^ + пп. 29.21. а) ", агссоз ^ + пп; б) + кп, + 2тш. 29.22. а) кп, + 2тш; б) ^ + кп; в) кп; г) 2тш, + 2пп. 29.23. а) ±|; б) ±^. 29.24. а) б) пп. 29.25. а) | + пп < 7п < х < ^ + кп; б) + 2кп < х < -д- + 2тш; в) + тш < х < ^ + яп; . 2п 2к г) --д- + 2кп < х < -д- + 2тгп. 29.26. а) « о х = (-1)71 агсзт + кп, у = (-1)* агсзт+ ккг, л: = ±-= + пп, 3 1. _ 1 3 ^) | 29.27. а) 1/наиб ^» У леям — ^» б) У паяв ^» У паям ^ * [У = як. §30 30.4. а) зТЗзт ^ ^ + ср^, где (р = агсзт б) 6 зт ^ ^ + <р^, где ср = агсзт 30.5. а) -1; б) -2; в) 1; г) 1. 30.6. а) -2; 2; б) -2; 2 в) -72, 72; г) -272, 272. 30.7. а) [-5; 5]; б) [-13; 13]; в) [-25; 25] г) [-17; 17]. 30.8. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет. 30.10. а) -Тб - 1, Тб - 1 б) 4; 30; в) -10; 0; г) 15; 40. 30.11. а) -4; 4; б) -3; 3. 30.12. а) 7; б) -42 2п 30.13. а) 16; б) 11,5. 30.14. а) -23; б) 15. 30.15. а) 2пк, -д- + 2пк 321 б) — + 2пк; в) у + 2пку п + 2кк; г) ^ + 2пк> п + 2кк. 30.16. а) (-1)* ^ ^ п пк и п пк 2к - 12 + ~2; Тб + 20 + "5"’ "3~ + 4пк’ ~2к + 4кк; 6кк> I + 2пк, у + бтгк, 30.17. а) Ц + агссоз ^ + 2пк; б) (-1)* ^ ~ \ агссоз ^ 5 2тг 5 я в) я + агссоз ^д + 2кк\ г) ±-д- - 2 агссоз уд + 4тг&. 30.18. а) я пк 2п к пк к кк. к ’ б) 6 + 2 ’ з + ял; в) 16 + -у» 24 + Я ’ г) 8 + кк> я ^ опт , к кк К кк. I 9 + 3‘ 30.19. а) “ бб + ЗТ* 9 + б ’ б) 4 2пк. п 4 + 5 1 5 , олпл ч 7п 13 60.20. а) 0 о б) 30.22. а) 2 пк<х< ~2 + 3 ’ г) 6 1 5 пк 4 агссоз Хз + -у? у + 2тгА; б) 2пк, -у + 2тг&. 30.21. а) у; 71 1 о 2 2 ^00°3 13 2тг с% 1 4 7тг л , .4 у + 27гА?; б) агсзт ^ - у + 2пк < х < агсзш ^ + я л , + 0 + 27гА? а < б) а < 2. :. 30.23. а) а > 7; а < -6; б) а > >/б; а < ->/б. 30.26. а) а > §31 о-* ■* \ 1 к 7С л я 1 тел. п . я 31.1. а) ~2 + ^ + 71л; б) ^ — 2 + тш, + ~2~* 31.2. а) ^ (1 + 2л); _ ял л ч п , я л . ч я 2п % к 2п б) 0 • 31.3. а) Т) + 7СЛ-5 “3 2я". 61.4. а) + у л, ^д + -^д л> _ 71 ЯЛ / ч ч,л Я ЯЛ 4 , 0 - б) 4 + у» (-1) уд + у 31.5. а) -агс!# д + тгл; б) -агс^ 2,5 + тш. 31.6. а) |(1 + 2тг), ±| + тт; б) ^ + 1Г’ ±1 + Т'* 31.7. а) В(1 + 2га)’ | + б) |(1 + 2тг); ^(1 + 2т1). 31.8. 45° + 180°га. 31.9. \ + 1 тг 1 5 31.10. а) тгл; агссоз (-0,7) + тгл; б) ^ + пп; агссоз ^ + + тгл. 31.11. а) агс^ 2,5 + 2ттл, п - агс^ 0,5 + 2тт, п + агс^ ^ + 2тш, 5 -агс1& д + 2тт; б) агс1& 0,6 + 2тт, п - агс1& 2,2 + 2пп, п + агс!# 11 + 2тш, п 2п -агс!ё 3 + 2лт1. 31.12. а) л + 2пп, (-1)" + 2лл; б) 2л + 4лл, (-1)" -д- + 4лл. 322 31.13. 0. 31.14. а) ±-| агссоз ^ + тш, ±-| + тш; б) + тш, ±— агссоз ^ + + 7ш. 31.15. а) "[ + -^ + 2тш. 31.16. а) ^ + тш, (-1)" - агсзш ^^ 1 + + ^/г. 31.17. а) я + 2тш, 2 агс^ + 2тш. 31.18. а) агс^ —^— + тш; б) — агс1& 2 + 31.19. — + пп. 31.20. а) 2тт, + 2кп. 31.21. а) + 27171, тг + 2тш; б) ^ ± агссоз + 2тш. 31.22. + тш, ■7 ± агссоз ——. + 27171. 31.23. а) Зтт, тг; б) — + 7гтг; 4 4 4 ^ ^ 1 1А , ч 71 7171 71 7171 л-1 ±2 агссоз 1—^1 + 7171. 31.24. а) + "§"* -дд + ~4~' ^1-25. а) “ 3 ^чч^1 8,71 лч( ч ф Я 71 - агссоз ^ + 27171; б) 1,5 + ^ агссоз ^ ~ 6 + 71л* а) “"б ”36 + Зл’ ф 5тГ 71 3 „ 71 ТГ 2тГ + 48 + гДе ф - агссоз 31.27. ^ + зл* 31.28. ±-д- + 2тт. 31.29. -||, ||. 31.30. 0. 31.31. 0. 31.32. + кп, агсЬе + кп. 31.33. а) — + 27171, где п = ±1, ±2, ±3, ... ; б) — + 2тш, где п = ±1, ±2, ±3, ... ; (-1)* ^ + тг к, где к = ±1, ±2, ±3, ... . 31.34. а) агс1^8 + 6)-^ + ^. 31.35. а) ±-| агссоз ^ + тш, ±-| агссоз ^ + тш. 31.36. — + + 27171. 31.37. ^ + 7171. 31.38.7171. 31.39. | + 27171. 31.40. ±^; ±3. 31.41. а) 0, 5 7 2тг 4тг тг ±1, ±2, ±^; б) ±1, ±3, ±2* 31.42. а) -1, 5, тс, -у, у; б) -2, 0, 1, - д. 31.43. 2тгт1, +7171. 31.44. а) (-1)" ^ + тш, (-1)" + тш, (-1)" + 7гтг, тш; « , я 5я . „ 711 , 7155 , 7179. „ , 747 б) (-1)" — + 7171, ^2 + 27С71. 31.45. а) ±—, ±—^—, ±—^—; б) ±“у, ±^. 31.46. а) 2 ± 78. 31.47. а) 2кп, -агс^б + 2кп; б) + 2яга, . 1 „ 781 ,7155 ,7179.^,747 ,759 л + агс1® + 2кп. 31.48. а) ± д , ±—^—, ±—^—; б) ±—д—, ± ■ -д ■. 323 §32 32.6. а) *; б) -32*; в) 2; г) 0. 32.8. а) -2*; б) >/2*; в) 18*; г) 0. 32.9. а) *, 1, -*, -1, *, 1, -*; б) -*; в) 1; г) 0. 32.11. а) гх + г2 = 2 - *, гх - г2 = 3*; б) гх + г2 = -1 + 3*, 2г - г2 = 5 - *; в) + г2 = 15, гх - г2 = -15 - 2*; г) 2\ + г2 = -34 - 14*, 2Х - г2 = -2 + 16*. 32.12. а) (4 - п) + (п - 3)*; б) -11 + 12*; в) -130 + 150*; г) -651 + 682*. 32.14. а) 0,5; б) 0,1; в) -0,1; г) таких а не существует. 32.15. а) 1 + 3*; б) 1 - 14*; в) 1 - 5*; г) 34 - 21*. 13 32.16. а) -2; б) 0; в) 0,125; г) таких а не существует. 32.17. а) 1; б) -к-; в) 1,5; г) -^2* 32.18. а) а = 3, Ь = 2; б) а = 3, 6 = 2; в) а = 4, 6 = -1; г) а = 2, 6 = 1. 32.23. а) 2; б) 16*; в) на 1-м, 5-м, 9-м, ... местах; г) на 3-м, 7-м, 11-м, ... местах. 32.24. а) -*; б) -1 - *; в) -*; г) *. 32.25. а) -2; б) 0; в) -2*; -20 + 28* г) 0. 32.26. а) --------; б) 0,6. 32.27. а) -1 - *; б) -*; в) 0,5 + 0,5* г) * - 1. 32.28. а) а = -0,25, 6 = 0; б) а = -1, 6 = 0; в) а = 0,2, 6 = -0,48 г) а = 0,56, 6 = -0,24. 32.29. а) 1 + 2*; б) 1; в) 3*; г) 2 + 2*. 32.30. б) -44 4 32.31. а) 0; б) 1; 32.32. а) г - -*; 2 2 =1; г \ г = -1; б) г = *; гг =1 -20 + 211 г : г = -1; в) г = 3 + 7*; гг = 58; г : г = -29-’ г) ^ = -5 + 6*; гг = 61 -11-60* г : г = ---^----• 32.33. а) г = -2*; гг = 4; г : г = -1; б) г - 3*; гг = 9; г : г - -1; в) г = 1 + *; гг = 2; г : г = *; г) г = -1 - 3*; гг = 10; г : г = _ л . 5-3*. _ 16-30*. . 5+3*. ч 2 + 8* — —0,8 + 0,6*. 32.34. а) > б) 289 * ^ 17 * г) 17 17 ч 17+7*. ^ 32.35. а) > б) -55 + 371. ,1 + 51 , 1-Ш олол , в) —5—; г)----------—. 32.36. а) гг = ц 13 г2 = 3; б) 21 = 1; г2 = 2ц в) гг = 1 + г2 = 3 + 2г, г) гг = 2 - I; г2 = 2 + 3*. 32.37. г— г— 3 + * а) 2; -2; б) ыЪ +*;—>/5 + *; в) таких корней нет; г) ^ ‘ 32.38. а) -2; б) -1 - *; в) 0; г) 1 - л/2 + * 72 §33 5 33.8. б) 45°; в) 3 -3 = 9; г) г3 и г7. 33.15. б) 0,6; г) -0,5. 33.16. б) г) -2. 33.17. б) у = 0,5(9 - *); в) -5 + 71; г) -7 + 84. 33.18. б) у = х2 - Зх + 2; 6 в) 15; г) 13. 33.19. б) у = р в) г6 = 7 + 0,54; г) г2 = 3 + 1,54. 33.20. а) ±1; б) нет решений; в) 1; г) -1. 33.21. а) ±4; б) нет решений; в) 4; г) -4. 324 33.22. а) 0; б) 0; в) 0; г) любое действительное или чисто мнимное число. 33.23. а) 2 - 0,5*; б) 7 - ц в) 3 + И; г) 5 - 2г. §34 34.3. а) \гх\ = 13, |г2| = 5; б) = 56 + 33/, = 65; в) ^ = ^^д* ? Г)| = 16 2563*' 34.5. а> 6; б> 2ч/5; в) 7; г) 5ч/2. 34.8. а) 1; б) 2; в) 3; г) 4. 34.9. а) 1; б) 3; в) 3; г) 4. 34.11. а) г = сов ^-0 +1 ап (—^б) г = сое ^ + . . ( 2я\ . п , . . я. . 5я . . 5я + I 81П---д- ; в) 2 = СОЗ + I 81П -^5 г) 2 = С08 -д- + I 81П 34.12. а); 5я 5я [ Я^ , . . Г Я]. ч Зя . . Зя * — , . . — б) 2 = С08 —^ + I 81П —^ ; В) 2 = С08 + I 81П Г) 2 = СОЗ -д- + I 81П -д-* 34.13. а) г = соз (-0,871) + * зт (-0,8я); б) г = соз (-0,3я) + I зт (-0,3я); в) г = соз я + I зт я; г) г = соз | --^^ + I зт ^ 34.15. а) б) -^5 в) ; г) 34.21. а) 5 (соз 0 + I зт 0); б) 3 "созГ§]+1втГ|^ в) 8(со8 я + I зт я); г) 0,5 соз|-| и^т(-|л. 34.22. а) 472 [соз^ + 1зт^ ]; б) 72 С08|-^ +18т(-| ,,, . Зя"), . . ( 3я Сов,__ и,8Ш __ в) 272 ^соз-^ + *зт^; г) 272 34.23. а) 2^сов^ + 1ат^; б) 2^соз^ + 1 зт-^ в) 6 Г Гя^-.^я4^ соз + I зт 6 6 ; г) 4 С031-Т Г^зШ "Т 34.24. а) 8 соз |)+‘81П("1)); б) 2(^1 + 181110 в) 4 . 2я) , . . ( 2я СОЗ|-Т +13Ш -- ; г) | сое + 1зт-^ |* 34.25. а) 5 (соз (-агссоз 0,6) + I зт (-агссоз 0,6)); б) 13 ( / сое агссоб| / + I зт агссоз — 13 \\ 325 в) 10 (соз (агссоз 0,6) + * зт (агссоз 0,6)); г) 17 / С08 -агссоз — / + * 81П -агссоз \Л )) 34.26. а) соз (-55°) + * зт (-55°); б) соз 113° + 1зт113°; в) соз 130° + + *з1п130°; г) соз 110° + *з1п110°. 34.27. а) 2 зт 50°(соз 40° + + * зт 40°); б) 2зт^^соб^ + * зт-^ в) 2зт^^соз^ + * зт^^; г) 2 зт 125° (соз (-35°) +* зт (-35°)). 34.28. а) 2,5 (-7з + *); б) 0,5 (1 + *7з); в) 2,5(-1 + *7з); г) (-1 + 0- 34.29. а) 20 б) -5*72; в) 3(7§ + »); г) *73. 34.30. а) -73 + 0 б) -50 в) 401; г) 73 + 0 34.33. а) я; б) в) г) -§. 34.34. а) б) в) -|; г) п. 34.35. а) -^5 б) в) тг 5тг 5тг г) 0. 34.36. а) б) я; в) г) 34.40. а) 3; б) 5; в) 8; г) 10. 34.41. а) 1 + ^ *; б) 1 + *73. 34.42. а) Круг радиуса 1 с центром в 3 + 4*, \г\ = 6 — наибольшее значение; б) круг радиуса 1 с центром в 4 - 3*, \г\ = = 4 — наименьшее значение. §35 35.1. а) 4; б) а < 4; в) а > 4; г) а < 0. 35.2. а) \а\ > 6; б) -6 < а < 6; в) а > 6; г) -10 < а < -6. 35.3. а) а = 1 или а = 0; б) а <'0; в) а < 0; г) а = -16 - 8>/5. 35.4. а) ±12*; б) ±21; в) ±211; г) ±32*. 35.5. а) г2 + 1 = 0; б) г2 - 142 + 53 = 0; в) г2 + 49 = 0; г) г2 - 2г + 2 = 0. 35.6. а) г2 + 4 = 0; б) г2 - 22 + 10 = 0; в) 6422 + 1 = 0; г) 22 + 6482 = 0. 35.8. а) 0,5 ± 1,54; б) -1,5 ± 2,5*; в) 2,5 ± 0,5*; г) -5,5 ± 2,5*. 35.9. а) 2; б) 10; в) ±4; г) -7; 3. 35.10. а) а = -4; б) а = 4; в) а = ±3; г) а = -4 или а = 2. 35.11. а) ±2; б) ±2*; в) ±^(1 + 0; Г) ±^(1 - 0. 35.12. а) ±(2 - I); б) ±(2 + 0; в) ±^; 7 - I г) 35.13. а) ±(4 + I); б) ±(4 - I); в) ±—щ г) ± 9 + * 72 • 35.17. а) г2 Зг + (3 + 0 = 0; б) 22 + (I - 5)2 + (8-0 = 0; в) г2 - 8г + + (11 + 120 = 0; г) г2 + (» - 9)г + (40 - 90 = 0. 35.18. а) г, = 0, г2 = 20 б) 21 = 0, г2 = -4ц в) гх = 2 - I, г2 = 1 + 0 г) гг = 7 - 20 гг = 1 + 2О 35.19. а) 1 + 20 б) 300 в) 1 + 60 г) -89 + 1200 35.20. а) а = 4ц б) а = -4,50 40-211 в) а = -13 - 130 г) а = -+5—• 326 §36 36.2. а) Нет; б) нет; в) да; г) да. 36.3. а) г, г2, г3, г4, г5; б) гу г2, 28, 29, 210; в) 2, 22; г) 23, 24, 25, 28, 29, 210. 36.4. а) 23, 24; б) 2, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28; в) 2, г2, 210; г) 29, 210. 36.5. а) г1, г2, 23, 24, г5; б) г, г2, 29, 210; в) г2, 23, г4, 25, 26, г7; г) 25, 26, 27, 28, 29, 210. 36.6. а) 23, 24; б) 2, г2; в) 2, 22, г9, г10; г) 210. 36.8. а) -4; б) -8ц в) -32ц г) -1024. 36.9. а) -8; б) 1б(1-ь/з); в) -64 (>/3 + »); г) -512{. 36.10. а) -ц б) 0,5 (7з + 0; в) -0,5 (1 + *7з); г) 1.36.11. а)б) ^цв) ^ г) --цЩ- 36.12. а)-0,125; б) 2^(1 + »7з); в) 2-4-73 + *); г) 2"9ц 36.13. а) 128; б) -ц в) -32л/§; г) 1. 36.14. а) -64ц б) й 36.15. а) 3; б) 8; в) 10; г) 10. 36.16. а) 17; б) 34; в) 100; г) 200. 36.17. а) 6; б) 11; в) 20; г) 0. 36.18. а) 101; б) 200; в) 4; г) 0. 36.19. а) г4, г8, г12; б) г7, г8, г9; в) г8, г4, г5, г11, г12; г) г9, г10, г11. 36.20. а) 4,2 (-1 + ТзГ), -2(1 + *7з); б) 1,5(1 + *7з), -3,1,5 (1 - »7З); в)2,5(Тз + 0, 2,5(-7з + О, -5ц г) 4(73 - 0, -4(73 + *), 81. 36.23. а) -I, 0,5 (±7§ + »), -2,1 ± *73; б) ±72(1 + 0, +гТ2. 36.24. а) -4; 1; б) -9; 1. § 37 37.12. а) 1,5; 3; 4,5; 6; 7,5; 9; ап = 1,5га; б) -1; 1; -1; 1; -1; а„ = (-1)"; в) 8; 4; 21; 2; 1,6; а„ = г) 1; -2; 3; -4; 5; а„ = (-1)"+1га. 37.19. а) 7, 12, 17, 22, 27; б) 102. 37.20. а) 1027; б) З5, З8, З37, 32\ 32п+1, З2п"3. 37.21. а) ап = 4л - 2; ах = 2, ап = а„_х + 4; б) а„ = 13л + 5; ах = 18; а„ = а„_ 1 + 13; в) а„ = 21л; ах = 21, ап = ага_х + 21; г) ап = 30л; ах = 30, ап = а„_х + 30. 37.22. а) ап = -л; б) ага = 6л; в) ап = 11 - л; г) а„ = 4л. 37.23. а) 3"; б) (га + 2)2; в) га3; г) га3 + 1. 37.24. а) тр-; б) ^++\’ в) 1 _______ . Зп „ * г) (2га + 1)(2га + 3)‘ 37-23- а) а* = б) а„ = / ,_ч„ ; в) а„ = 2га - 1 ШТ (-1Г1»2 . 7«(п + 1)’ (-1)"+1(5п - 1) I I— г) а"= п(га + 1Хга+ 2)' 37-27- а) 2; б) 5; в) 13; г) 45> 37-28- а) Р" = ^ 4; 4; 472; 8; 872; 16; б) 8„ = (72)2"’2; 1; 2; 4; 8; 16; в) 32; г) 65 536. 37.29. а) 1; б) 4. 37.30. а) 6; б) 5. 37.31. б) 11; в) 4. 37.32. а) 6; б) 124; 5 в) 6; г) 55. 37.33. а) -6; -4; б) -22 ^5 -181; в) -1; г) нет. 37.34. а) 3; б) 10; 327 в) 4; г) 29. 37.35. а) -428; б) -128. 37.36. а) 19; б) 16. 37.37. а) 2; б) 62; в) 15; г) 1. 37.38. а) 17; б) -81; в) 19; г) 1. 37.39. а) у2 = -5; б) у3 = -з| 4 4* в) у2 = -3; г) у 1 = 37.40. а) у3 = 13; б) у3 = 3; в) ух = 5; г) ух = 7?. 37.41. а) Нет; б) да; в) нет; г) да. 37.42. а) Да; б) да; в) да; г) да. 37.43. а) Да; б) нет; в) да; г) да. 37.44. а) Да; б) да; в) да; г) да. 37.45. а) р < 1; б) р — любое. 37.46. а) р < -2; б) -3 < р < 3. 37.47. а) р < 0; б) р > -1. 37.50. а) Убывает; б) не является монотонной; в) убывает; г) возрастает. 37.51. а) Убывает; б) возрастает; в) не является монотонной; г) убывает. 37.54. а) Возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает. 37.55. а) р > 0; б) р > 1; в) р < 0; г) р < -2. 37.56. а) р > 0; б) р < 0; в) р < 0; г) р < 0. 37.57. а) Ограничена, возрастает; б) неограничена, возрастает; в) ограничена, убывает; г) ограничена, убывает. 37.58. а) Возрастает, ограничена; 2 тъ б) убывает, ограничена. 37.59. а) уп = п2; б) уп = п2 + 5; в) уп = —г; 71 — Э Г) Уп = -га. § 38 38.4. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 38.5. а) 6; б) 3; в) 15; г) 31. 38.6. а) 4; б) 7; в) 8; г) 5. 38.7. а) у = 0; б) у = 0; в) у = 0; г) у = 0. 38.8. а) у = -1; б) у = 2; в) у = 2; г) у = -3. 38.9. а) у = 2; в) у = -3. 38.10. а) Нет; б) нет; в) нет; г) нет. 38.14. а) 0; б) 6; в) 0; г) -4. 38.15. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. 2 38.16. а) 5; б) 7; в) 3; г) д- 38.17. а) 2; б) 1; в) -1; г) -2. 38.18. а) 2; б) 12; в) 6; г) -2. 38.19. а) 7; б) 0; в) 1; г) 0. 38.20. а) 1; б) |. 38.21. а) б) |. 2 1 '2 38.27. а) 2 д5 б) -0,128; в) -0,022; г) 3 д. 38.28. а) 12,5; б) -8 д5 в) 22,5; 2 2 1 г) 36. 38.29. а) 41 д5 б) 38.30. а) Ьг = 12; д = 0,5; б) 38.31. а) Ьг = 12; д = б) 1^. 38.32. а) 4; б) 57^; в) 0,9; г) 156,25. 38.33. а) -5,4; б) | 73(73 + 1); в) 38^5 г) 4 72(72 + 1). 38.34. а) 111; б) 250о|; 1 8Ш X СОЗ X „ 1 в) 396,25; г) 1717 д- 38.35. а) б) в) с** *; г) 1 + (йпз"- 12 17 „ 5 38.36. а) 0,8; б) 0,3. 38.37. а) д5 д5 б) -д- 38.38. а) (-1) агсат д + пк, К К к е б) нет корней; в) ±0 + к к, к е 2\ г) ± д + 2 кк, к е 2. 328 §39 39.3. а) -10; б) -12; в) 4; г) -54. 39.4. а) 0,2; б) 0; в) 1,2; г) -1. 39.13. а) 0; б) -2; в) 0; г) 6. 39.14. а) 1; б) 1,5; в) 1; г) 1^. 39.15. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. 39.16. а) б) 1; в) -|; г) 0. 39.17. а) 4; б) 2; в) 3; г) 2. 39.24. а) 3; б) в) 1; г) 39.25. а) 0; б) 0,2; в) 0,5; г) -0,2. 39.26. а) |л; б) 1; в) |; г) -2. 39.27. а) 0; б) -1; в) 3; г) 0,2. 39.28. а) 2; б) -4; в) 10; г) 39.29. а) 4; б) в) -^; г) 7. 39.30. а) б) 1,5; в) г) 39.31. а) 1; б) 0; в) 1; г) 0. 39.32. а) ^5 б) 0; в) 12; г) 0. 39.33. а) |; б) |. 39.37. а) -^; б) 0,5; в) г) -0,5. 39.38. а) 0,2; б) -0,1; в) 0,1; г) 0,05. 39.40. а) 0,5; б) -0,66; в) 1,5; г) 0,74. 39.41. а) ЗД*; б) -2хАх - (Д*)2; в) -2Д*; г) 4хАх + 2(Дх)2. 39.42. а) 0,1; б) -0,1; в) 0,5; г) -0,5. 39.44. а) к; б) 2ах + а Ах; в) г) ^ + ^ + ^- 39.45. а) к; б) 2а*; в) -±', г) 2ТГ § 40 40.4. а) 4; б) 21 - 1; в) 3; г) 2( - 2. 40.9. а) 2х + 2; б) -Л; в) 6* - 4; л; г) --4-. 40.10. а) -4=; б) —в) -4=; г) Зх2. 40.11. а) Не существует; * 2у]х х6 2у]х б) 0; в) не существует; г) 2. 40.12. а) Не существует; б) 0; в) 0; г) 0. 40.14. а) 4; б) -1; в) -4; г) -4. 40.15. а) 2 м/с, 2 м/с2; б) 4,2 м/с, 2 м/с2; в) 4 м/с; 2 м/с2; г) 7 м/с, 2 м/с2. 40.16. а) 3 м/с, 2 м/с2; б) 5,2 м/с; 2 м/с2; в) 5 м/с, 2 м/с2; г) 8 м/с, 2 м/с2. §41 41.15. а) 2 + б) 42 + ; в) 40 + г) 27 + 41.16. а) З*2 • 1® * + + х* . 9 > сое я б) -сов * сое х ап2 л; ; В) - с1&х 1 • 2 > X 81П X Г) 81П X + 8Ш X сое2 Я* 329 41.17. а) Здс2; б) З*2; в) З*2; г) З*2. 41.18. а) -(^+2)?; б) в) ^3- у; Г) 7¾^. 41.19. а) ~ 2х) 2; б) .* .<*** ~ еш*. (3 - 4л:)2 (х2 + I)2 2у[х(2х + 9)2 л:2 Зх + 8 . ч В> "" у[х(8 - Здс)2 ’ Г) -х 81П х - соз х _ „л ч 6л:9 + 9 5лг14(дс10 + 3) -------------------. 41.20. .) б) X „12/п „4 , 4л5 + 5х4 + 1 , х12(9х4 - 26) „ м л , л ч 1 в)-----(X* _ 1)2—’ г) —(Х*~_ 2)2—• 41-21- а) -5111 х>б) соз лс; в) 0; г) - 2 сое х. 4 1 41.22. а) соз х; б) соз х; в) -зт х; г) -зт х. 41.29. а) —=■; б) -2; в) г) 2. Л* 71^ 41.32. а) л: < -1 и дс > 1; б) 0 < х < 1; в) х > 0; г) 2тш < х < л + 2лп. 41.34. а) 14; б) в) 72; г) у/2 - 4. 41.35. а) 0; б) 0. 41.36. а) -1; 1; не существует; б) не существует; не существует; 0. 41.39. а) б) 41.40. а) ±|л + 2пк; б) + 2пк. 41.43. а) тс; б) 0; в) 2^5 г) 41.44. а) х = 2; б) х = 0; х = -4. 41.45. а) х < 0; х > 2; б) 0 < х < 4; в) х < 0; л 3 ч я к л 2л л О < х < —; г) о+7т < х < -~ + лп; + лп < х < -о- + тш. 41.46. а) + + 2лп < х < 271 + 2тш; б) -3 < х < -1; 1 < х < 3; в) агссоз д + лк < 17 1 7 * 1 < х < 2 агссоз д + лк; г) х < 0, 0 < х < 41.47. а) а = б) а = 1, а = - д* 41.48. а) б) 41.49. а) * > |; б)-у/З <х<-у/2; у/2 < х < у/З. 41.50. а) — + лк < х < — 7С + лк; б) -^? + 2лк < х < + 2лк. 3 2 2 41.51. а) < х < 0, х > 0; б) х < ^I х> 41.52. а) -л + 2тш < х < 2лп; б) 2тгл < х < л + 2тгл. 41.53. а) 1; 16; б) ^4. 41.54. а) — + лк; (-1)А+1 агсзш + лк; б) — + 41.55. а) х< 0; х > 3; б) ^ + лп < х < ^ + 7ш; л 2л 7С -^ +тт < х < -^- + лп. 41.56. а); б) Таких значений нет. 41.57. а) ^ + 57С + пк < х < + пк; б) 2тш < х < тс + пп, -п + 2пк < х < 2пк; п = 0, 1, 2» 330 3, X? 41.60. а) у = -д- - Зх; б) у = ... ; & = 0, -1, -2, -3, .... 41.59. а) х3 + х2; б) в) хъ - х; г) 9у[х. -х2 - 4х, если х < -2,5, + Цх, если -2,5 < * < \ (вершины 1 Я ±х? + ^х, если х > 1 ломаной не учтены). 41.61. а) ~ + пк, яд; б) 41.62. а) а + & = -2; б) а = О, ь = -2. 41.63. а) а + + & = -1; б) а = р Ь = 41.64. а) 12л;2; б) 20л:3; в) -8Н1 я; г) -2 соз х. 41.65. а) 12; б) 0; в) -4; г) -1. 41.66. а) 9 м/с2; б) 9 кгм/с2. я 41.67. а) -агс!§ 2 + яд; б) ± д + 2яд. 41.68. а) у" = 2 соз х - х зт х; б) у" = -азтх - Ь соз я. 41.69. а) у = 15° ^50 - 41.70. а) ±>/з, ±^; б) ±42, ±1. § 42 42.4. а) -2 зт 2л:; б) 2 соз 2л;; в) -6 зт 6л;; г) 0. 42.5. а) 8 соз 8л;; х 6* 1 х б) -10 81п10л;; в) 4 соз 4л;; г) зт 42.6. а) — 15л;2( 1 - л;3)4; ЗлГ + 6л; - 2 6 14 - 4л; 6л; 2>/л;3 + Зл;2 - 2л; + 1 ^ (*2 - 7л; + 8)3 ^ (я2 + 5)>/л;2 + 5 • у1х2 - 1 42.7. а) 3 зт2 л; соз л;; б) - ч 5¾4 л;. ч 1 + Зл^ - В) ~^2 Г) 2 8И12 X X ’ 0082 Х 9 С082(л; + X?) 42.8. а) -л; о 2 • ^ х2 + 1 - 2лгзт2л; ч . 0 /- ,------ - 3 соз2 х зт х; б)---,--------—; в) зт 2л; соз у/х - V1-х2 2^ + 1)%/^ сое2* 8ш2д; ат V* х^Ьёх + 6 зт2 х х 2>/х г)- 2л:4 зт2* 42.9. а) 3 77; б) -1 д5 в) -35; 3 13 г) 0,7. 42.10. а) 2; б) 4; в) -2; г) 3. 42.11. а) -7; б) в) -1±; г) рг. о [Ц 48 5 42.12. а) 6; б) в) 0; г) -4. 42.13. а) 10; б) 1,75; в) -д^р г) -д. 42.14. а) 0; б) 12; в) ->/§; г) 42.15. а) 2; б) в) 5; г) 42.16. а) 4я; б) ^2(^/2 - 1); в) 0; г) 0. 42.17. а) ^ + кк, (-1)"+1 агсат ^ + яА; я яй. -I+1 1 . 1 яй. ч яй ч о) ^2 + “0"* (-1) 0 агсзт 4 + “0’’ в) “д"» г) таких значении нет. 42.18. а) Таких значений нет; б)-^ + яд < л; < ^ + яд. 42.19. а) -8; б) -1 331 в) -0,5; г) 1. 42.20. а) ± 3 л + яд; б) (-1)п + 1 ^ + 42.21. а) л; = пп; б) |Д; (-1)" | + пп, (-1)"+1 | + ли. 42.22. а) |; б) л, 42.23. а) а = 2, ЯД яд я & = 0; б) а = 2,5, Ь = 0,75. 42.24. а) б) яд; в) ; г) ^ + яд. 42.25. а) * > ^|; б) -9,1 < л; < -1,5. 42.26. а) | < * < 5^; б) л; < х > 42.28. а) К + б) 9. 42.29. а) 2^; б) |^ + 42.30. а) (2л;- - I)3 + С; б) (4 - 5л;)4 + С, где С — любое число. 42.31. а) 2х\ 3 + С; б) л/5л: - 7 + С, где С — любое число. 42.32. а) соз ^Зл; - ^ + С; б) 4 (5л; - 1) + С, где С — любое число. 42.33. а) -, б) — 0 VI - 9Х2 1 + х4 *> ; г) 424*. ,) б) 1; в) 1; г) 2. 42.35. „ -3; б) в) -2; г) - ■ • 42.36. а) 3; б) ■?. 42.37. а) 0; б) нет таких значе- « V 2л * ний. 42.38. а) < х < ^; б) 0 < х < 1. §43 43.6. а) 1; б) -0,5; в) -8; г) 0. 43.7. а) 27; б) 0; в) 6; г) -1. 43.8. а) -4; б) -1; в) -103,2; г) 1. 43.9. а) -4, 0, 6; б) 2, 0, 4; в) -3, г) -^, нет, 1. 43.10. а) -5, 0, 7; б) -2, 0, 0. 43.11. а) -5, 0, 3; б) -6, 0, -2. 43.12. а) (1; 15); в) (0; 0), (|; ^); г) (^; ^), (-^; ^)- 43.13. а) (0; 0); б) (0; -1); в) (-1; 3 - -|), (¼ 3 + |). 43.21. а) 0; б) л — агс<« 7; в) агс1& 2; г) касательной не существует. 43.23. а) у = 7х - 10; б) у = -Зл; - 10; 5 в) у = 5х - 17; г) у = -х + 43.24. а) у - Зл; - 4; б) у - -х + 4. 43.25. а) у = 1; б) у = \ - 2х; в) у = 1; г) у = 3*. 43.26. а) у = | - *; б) у = -х; в) у = 2,5* + 0,5 + г) у = х - 5 агс1& 2. 43.27. а) у = * + 1. лУ§. 6 - птг; 6)1/ = + 2 - в)1/ = -2* + ^ + 7; г) г/ = я 332 43.28. а) у = -2х - 4; б) у = 5х - 16; в) у = 2х + 1; г) у = 5х + 9. 43.29. а) у = -6л: + 18, у = 6л; + 18; б) I/ = 27л; - 81; в) у = -4л;, I/ = 8л; + 16, у = 8х - 16; г) I/ = О, I/ = -х + 1. 43.30. а) у = 5х - 16; у = -5л; - 1; 1 3 б) у = х - 4, I/ = -х + 9. 43.31. а) л; = 1; б) л; = —в) л; = г) х = -0,5. 8 4 43.32. а) у = х - у = х - б) у = 9х - 20, I/ = 9л; + 16. 43.33. а) у = 2х + + ^ - 73, у = 2х - ^ + 73; б) у = х. 43.34. а) л; = 3; б) л^ = 0, л;2 = 72, л;3 = -72; в) л; = 1; г) л;1 = 0, л;2 = 0,6. 43.35. а) х = я + 2ял; б) х = -^л; в) л; = ял; г) л; = я + 2ял. 43.36. а) ^ + ял; б) 0; в) ^ + ял; г) 0. 5 1 43.37. а) у = -х, у = 20 0 - х; б) у = 1 ^ - х; у = -х. 43.38. а) у = 14 - х, у = -х - 2; б) у = -л; - 5, у = -л; - 9. 43.39. а) у = -х - 11; б) I/ = 1 - х. 43.40. а) г/ = ^ - х; б) у = ^ - л;. 43.41. а) л^ = 0, у = х + 1, х2 = 2, у = л; - 3; 1бТз б) хх = -3, у = -л; - 1, х2 = -1, у = -х + 3. 43.42. а) у = 73х - /«„ 1бТз 7з 2Тз 7з 27з х/л у = у/Зх + ---; б) у = -^-Х-------у = -д-х + -д-. 43.43. а) (0; 1), (0; 21); б) (0; 0), (0; 12). 43.44. а) у = х2 - Зл; + 3. 43.45. а) у = -бх -- 8, у = 2л;; б) у = 2л;, у = -2л;; в) у = 4л; - 3, у = -4л; - 3; г) I/ = 1, у = -4л; - 3. 43.46. а) у = 8 - 7л;, I/ = -11л; + 12; б) у = -9л; + 9, I/ = -5л; + 9. 43.47. а) у = -0,1л; + 2,8, у = -0,5л; + 2; б) у = -0,5л; + 2. 43.48. а) у = 2л; - 1, 1 5 тс я тс г/ = 0,4л; + 2,2; б) у = х + 1, у = дл; + д- 43.49. а) а = -^л, а = 0 + дл; -V Я ЯЛ Я Я ч О О «ГЧ 1 3 б) а “ Тб + "5"’ а = 4 + 2П> 43.50. а) у = 3 - 2л;; б) у = -^л; + 27 27 43.51. а) I/ = Зл; - 2; б) у = ^-х + 43.52. а) В(0; 3,5); б) у = л; - 3, У = -X - 3. 43.53. а) В(0; 0); б) I/ = (х - 1), у = ^ (х + 1). 43.54. а) |-|; -25^; б) (17; 204). 43.55. а)р = 0,5; 6)р = -1. 43.56. а) (1; -1); 6 4 б) не является. 43.57. а) б) 43.58. а) а = 2; б) а = 0. 43.59. а) 1; б) 1 + >/3. 43.60. а) б) 43.61. а) -1; б) 4. 43.62. а) у = х; б) (0; -4). 43.63. а) агс1§ 3; б) агс1е 43.65. а) ; б) у = -I. 43.66. а)-1; 2; 4 333 б) 10. 43.67. а) 5; б) 9. 43.68. а) Ь = 2; с = -3; б) а = 3; Ь = -5; с = 2. 43.69. 5 = 2а1 2. 43.70. у = 2ах - а2 — уравнение касательной, х = ~__ абсцисса точки пересечения. §44 44.31. а) а > 0; б) -^5 < а < Тб. 44.32. а) о > 1; б) а < -4. 44.33. а) & < б) Ь < 0; в) ни при каких Ь; г) Ь > 0. 44.34. а) -2; б) -2,5 < а < -1,5; а > 1,5; в) 2; г) а < -0,5; а > 3,5. 44.35. а) а < -1; а > 2; б) а < -1,5; а > 1. 44.36. а) 6, й; б) с; в) а, 0; г) нет таких точек. 44.37. а) е; б) а, Ь; в) Ь, с; г) а, Ь, с, <2, е. 44.38. а) При а = ±3; б) при а = ±5. 44.45. а) Да; 7 б) нет; в) нет; г) нет. 44.48. а) х = точка минимума; б) х = -2,5 — 3 точка максимума; в) * = — точка минимума; г) х = -2 — точка макси- мума. 44.49. а) х = 2 — точка максимума, х = 3 — точка минимума; б) х = -3 — точка максимума, х = 3 — точка минимума; в) х = - д — точка максимума, х = 5 — точка минимума; г) х = 7 — точка минимума, х = 0 — точка максимума. 44.50. а) х = -0,6 — точка максимума, х = 0,6 — точка минимума; б) х = -1, х = 4 — точки минимума, * = 0 — точка максимума; в) х = -5, х = 5 — точки минимума, * = 0 — точка максимума; г) х - -3 — точка максимума, х = 1 — точка минимума. 44.51. а) х = -2 — точка максимума, х = 2 — точка минимума; б) х = -3 — точка максимума, х = 3 — точка минимума. 44.52. а) х = 3 — точка минимума; б) х = 2 — точка максимума; в) х = 8,5 — точка максимума; г) х = 1,4 — точка к 5л максимума. 44.53. а) х = - 0 — точка минимума, х = — точка мак- 5л симума; б) х = 7 — точка минимума, х = дл — точка максимума. 44.54. а) х = -3 — точка максимума, х = 3 — точка минимума; б) х = -3 — точка максимума; в)х = 0и^ = 3 — точка минимума; х = 2 — точка максимума; г) нет таких точек. 44.55. а) х = 0 — точка минимума; б) нет; в) х = 0 — точка максимума; г) нет. 44.56. а) у' = = (х + 2)2 > 0 при всех х; б) у' = -х2 + Зх - 3 < 0 при всех х; в) у' = х4 + х2 + 1 > 0 при всех х; 7 г) у' = -5л;4 - Зле2 < 0 при всех х. 44.57. а) 8; л; = ~ 16 — точка минимума; у б)-2; х = ~ — точка максимума; в) -1; х = 3,5 — точка максимума; г) а = -ОД; 1 х = 35 — точка максимума. 44.58. а) Нет; б) х = 0 — точка максимума; х = 3 334 й х = 2 — точки минимума; х = 2 — точка минимума. 44.59. а) Возраста- ет на ~ + 2кп; ^ + 2кп , убывает на ~ + 2яп; ^ + 2пп > х = ~3 + + 2кп — точки минимума, х = д + 2пп — точки максимума; б) убывает на 5 + 2жтц ^- + 2пп О о возрастает на и + 2кп; -4 я + 2кп о х=-6 + + 2кп — точки минимума, х = 0 я + 2кп — точки максимума; в) убывает на ~ + 2кп; Щ- + 2кп 4 4 [5я я —+ 2яи; ^ + 2пп » ^ - 4 + + 2яд — точки максимума, х = я + 2яп — точки минимума; г) возрас- тает на К. 44.60. а) Убывает на я я “6 + кп; 6 + кп , возрастает на я 5я 1 тс я Ф + кп; -^г + кп \, х = 0 + кп — точки минимума, х = +лп — точки максимума; б) убывает на ^ + 4яп; ^ + 4кп , возрастает на --^ + 4ягс; ^ + 4ягс я 5я , * = д + 4яп — точки максимума, * = -д- + 4яд — точки минимума. 44.61. а) Убывает на (-оо; 3], возрастает на [3; +оо), х - 3 — точка минимума; б) возрастает на (-оо; 0) и на [1; +°о), убывает на (0; 1], х = 1 — точка минимума; в) убывает на (-оо; -3] и на Г 2’ 4 возрастает на 4 и на [2; +°о), х = -3 и х = 2 — точки минимума, х = - — — точка максимума; г) возрастает на [-1; 0] и на [1; +°о), убывает на (-оо; -1] и на [0; 1], х = -1, х = 1 — точки минимума, х = 0 — точка максимума. 44.62. а) Убывает на (-ос; ->/з], на [-1; 0] и на [1; >/§], возрастает на [-у[3; -1], на[0; 1]ина \_у/3; +оо), х = -у/з, х = 0,х= >/3 — точки минимума, х = -1, х = 1 — точки максимума; б) возрастает на -1; - 7з. на 0; 7з. и на [1; +°°), убывает на (-оо; -1], на и на 1 1 П 1 1 1 , х = -1, х = 0, х = 1 — точки минимума, х = х = — 335 точки максимума. 44.64. г) Возрастает на [-1; 1], убывает на (-оо; -ц и на [1; +°°), х = -1 — точка минимума, х = 1 — точка максимума. 44.65. г) Возрастает на (-оо; -1] и на [1; +°о), убывает на [-1; 1], х = -1 — точка максимума, х = 1 — точка минимума. 44.66. г) Возрастает на (-°°; -3] и на [1; +оо), убывает на [-3; 1], х = -3 — точка максимума, х = 1 — точка минимума. 44.67. г) Возрастает на [-1; 1], убывает на (-оо; -1] и на [1; +оо), х = -1 — точка минимума, х = 1 — точка максимума. 44.68. г) Возрастает на (-°°; 1,5], убывает на [1,5; +°о), х = 1,5 — точка максимума. 44.69. а) 2; б) 1; в) 1; г) 1. 44.70. а) 0, б) 0. 44.71. а) 1; б) 2. 44.74. а) б) 0. §45 45.13. а) 3; б) 1; в) 3; г) 1. 45.14. а) 1 корень, если а > -3; 2 корня, если а = -3; 3 корня, если а < -3. 45.15. а) 3; б) -1. §46 46.1. а) 255; -1; б) 34; 1; в) 23; -4; г) 8; -154. 46.2. а) уваиб = 4; Упатл — 23; б) 1/наиб — 9, Упатл — 9993, в) 1/наиб 9, 2/наим 1» У наиб 31 246; Упатл ~ 124. 46.3. а) 1/наиб 2, 1/наим 4, б) 1/наиб 1>9, У патл 9,5, в) У наиб 0» 2/наим = "“1* Г) 1/наиб = 7; У патл 1» 46.4. а) 1/наиб У патл 9, б) У наиб ^2; У патл — 1» В) 1/ваиб = У патл = 9; Г) 1/ваиб = У патл — 1» 46.5. а) 1/ваиб 4; У патл = 1> 5) У патл — 9, 1/ваиб — 3. 46.6. а) 1/наиб 7, У патл 3, б) 1/ваиб 9, У патл 4. 46.7. а) 1/ваиб — 24, У патл 12, б) 1/ваиб 19, 1/наим 9, В) 1/наиб 19, У найм 2, 1/наиб = 19; 1/наим — 2. 46.8. а) 1/наиб 1» Упатл 2, б) 1/наиб 9, 2/найм 4, в) 1/наиб = 5; 1/наим = “4; Г) 1/Наиб Нв СуЩвСТВувТ; У найм = -4. 46.9.'а) 1/ваиб = 28; Упатл — 3, б) 1/наиб 9, 1/наим 3, В) 1/наиб 19, Упатл 2, Г) 1/наиб 7, Упатл 199. 46.10. а) 1/наиб = 19; 1/наим —35, б) Ун аиб “ 35, Упатл ~ 19; В) 1/наиб “ 19, Упатл “ ~93, Г) 1/наиб = 19; Упатл = 19* 46.11. а) 1/наиб “ 173; Унвшл — ~2, б) 1/наиб — “43, Упатл ~ —72, В) У наиб 173, Упатл 45, Г) 1/наиб 2, Упатл -72. 46.12. а) у.* = 4; г/вшм = -3; б) 1/наиб = ~12; Унаим “ “28, в) 1/наиб “ 4, 1/наим “ “28, г) 1/наиб “ 4, Упатл “28. 46.13. а) 1/наиб 20, Упатл 7, б) 1/наиб 4, Упатл -124; в) 1/наиб = 121; Упатл ~~ 44; Г1) Упаиб 148, Упатл ~ -124. 46.14. а) утяе = 6; Упатл ~ 9, б) 1/наиб — -3; — Зя б) 1/наиб зТз - я. Упапм ~ -4. 46.15. а) 1/наиб = ^ + 1» У найм ^ 3 » Упатл -л; в) ував6 = 7з + 2/найм II 1 м К|СЧ1 1 II СО оо1 со 1 1 ^ а Унайм — 0. 46.16. а) 1/наиб не существует; у, ?аим 5 —"27’ б) У...б не существует; | Упатл -1; в) 1/наиб — I 0; 1/н»им не существует; г) Ун,иб не существует; У найм о. 336 46.17. а) 1/наиб = -0; уваюл не существует; б) уваиб = —; Унаим = -2; в) уЯйиб = -2; У*аим не существует; г) ува]Лб = 3,5; увйии не существует. 46.18. а) уяшб = 0; 5. 1/наим 27, б) 1/наиб = 6; 1/наим — 4; в) 1/наиб 50, 1/наим 0,875, Г) 1/наиб 5 У явим 46.19. а) 1/ваиб — 21, Унаим б) 1/наиб 71, 1/наим 10, в) У наиб 18,25, У найм 17; Г) У наиб ~~ 6 * 1/ваим = ~И 0 * 46.20. а) И б) 1/наиб 6, У найм. “0,25, В) У наиб = 72; 1/ваим = Ю; Г) 1/наиб = 135, 2/ваиы 27. 46.21. а) 1/наиб 21, 40 г~ 3 У найм ~ ~ 27» б) 1/наиб = Ю; У найм = 5 — 4>/2. 46.22. а) У наиб ~ 6> у найм = л/2 л/2 0)^/наиб = 17; 1/ваим = ~3. 46.23. а) 1/наиб 1» У найм 2 * ^ У наиб ^ » У найм 1 • 3>/з ^ 46.24. а) 1/наиб 0, У найм = 0 > б) 1/наиб ~ 1» Уналм 0* 46.25. а) 1/наиб 2, г/наим не существует; б) 1/наиб = !/**„ = 0; в) 1/наиб не существует; 1/наим = -2; Г) 1/наиб = 0; 1/яа]м = -|. 46.26. а) -5; б) -9, 6; г) -8, 4. 46.27. а) 5,5; б) 1; в) 5; г) 4. 46.28. а) 7; б) -0,1; в) 3; г) |- 46.29. а) 4; б) -1,5; в) -2; г) -2. 46.30. а) 1/наиб б, 1/наим 0, б) 1/наиб ^^2; Унаим О, в) 1/наиб 4, 1/наим = 0; г) 1/наиб = 3,б73; Унаим = 0. 46.31. а) {/нннб не существует; уНа™ = 0; б) 1/наиб не существует; 1/^^ = 1; в) 1/^ не существует; ун.им = 0; г) не существует; {/,„„„ = 46.32. а) 2; б) 1. 46.33. а) 3; б) 3. 46.34. а) -4; А б)-0,25; в) 9; г)-16. 46.35. а) | ; б) | • 46.36. а) +оо^; б) (-«* 46.37. [-3; -1]. 46.38. а) 9; б) 15. 46.39. а) га = б) га = 4 - 273. 46.41. а) 12; 12; б) 22; 22. 46.42. а) -5; 5; б) -49; 49. 46.43. а) -18; 18; б) -14; 14. 46.44. а) 2; 1; б) 1 31. 46.45. а) 14 см; 14 см; б) 18 см, 18 см. 46.46. а) 50 м х 50 м; б) 60 м х 60 м. 46.47. а) 4 см х 4 см; б) 8 см х 8 см. 46.48. а) 50 м х 50 м. 46.49. 32 см2. 46.50. а) 0,8; б) -4. 46.51. а) 2; б) 1. 46.52. а) (1; 1); (-1; 1); б) (4; 2). 46.53. 30 см. 46.54. а) 6000; б) 108. 46.55. а) 21; б) 32,4. 46.56. ТаЬ. 46.57. 3 ч 44 мин. 337 46.58. 4 дм, 4 дм, 2 дм. 46.59. 7 м, 7 м, 7 м. 46.60. 4^5 м, 6^5 м, м о 46.61. 46.62. 46.63. 46.64. §47 47.1. а) 42; б) 20; в) 24; г) 14. 47.2. а) 42; б) 7; в) 24; г) 20. 47.3. а) 100; б) 90; в) 180; г) 90. 47.4. а) 108; б) 54; в) 84; г) 324. 47.5. а) 100 000^ б) 32 768; в) 32; г) 8192. 47.6. а) 512; б) 64; в) 16; г) 192. 47.7. б) 3; в) б’; г) Эшкин будет в 4 вариантах. 47.8. б) 4. 47.9. б) 1; в) 3. 47.10. б) 8; в) 3. 47.11. а) 54; б) 5184; в) г)^- 47.12. а) 1; б) 0. 47.13. а) 2; б) 3; в) 6; г) 24. 47.14. а) 8; б) 15; в) 6; г) 13. 47.16. а) 7; б) 4; в) 7; г) 3. 47.17. а) п > 3; б) п > 4. 47.18. а); б); в); г) Начиная с указанного номера /г, левая часть растет быстрее правой части. 47.20. а) 120; б) 288; в) 432; г) 72. 47.21. а) (6!)2; б) (5!)2; в) (6!)2; г) (6 • 5 4 З)2. 47.22. а) 120; б) 14 400; в) 720; г) 2880. 47.23. а) 7!; б) 6!; в) 7! С? = 176 400; г) 7! • С? С74 = 529 200. 47.24. а)5! • 4! • 3! = 17 280; б) 17 280; в) (5 4 3) 4! 3! = 8640; г) 2 177 280. §48 48.1. а) 12; б) 13; в) 12; г) 15. 48.2. а) б) ~ % в) п - 2; г) (га - 2Хга - 3) . 48.3. а) 110; б) 56; в) 82; г) 55; 28. 48.4. а) 100; б) 10; в) 94; г) 18. 48.8. Упростите выражение: а) (п + 1)/1(/1 - 1). п(п - 1) о > о) о 48.9. а) С& < Си; б) (¾ < С&; в) 0¾ < С&; г) С7Л < С*+1 при га > 7, Сп = С®+1 при п = 7. 48.10. а) 8; б) 6; в) 7; г) 4. 48.11. а) х = 9 или х = 10; 6) х= 11. 48.12. а) 8; б) 27; в) 31; г) 7. 48.13. а) 15; б) 5; в) 8; г) 12. 48.14. а) 210; б) 35; в) 15; г) 100. 48.15. а) 32 760; б) 792; в) 120; г) 240. 48.16. а) 376 992; б) 32; в) 126; г) 504. 48.17. а) 14 112; б) 10 976; в) 7056; г) 280. 48.18. а) у = * 6(* - 3) г) 33. 48.20. а) у = 24 [ 1 - ; в) 8; г) 54. 48.19. а) у = 6х(х - 1); в) 10; — монотонно возрастает; в) 23; г) 24. х + 2 48.21. а) 7; б) 8; в) 12; г) 3. 48.23. а) 8; б) 16; в) 128. 48.25. а) 108; б) -720; в) 8; г)-|- 48.26. а) 10*8; б) 120л:4; в) 210лГ2; г) 252. 48.27. а) 60; б) 5; в) 61 236; г) 24 310. 48.28. а) 10; б) 252; в) один; г) 9; 126; два. 48.29. а) к = 2 338 или к = 3; б) 8; в) к = 30 или к = 31; г) 500. 48.30. б) 999 001; в) 9802; г) у к а - яп 1-(1 + 1л! ] > 1 зание: наити номер, начиная с которого - | 1 + —” I > §49 49.1. а) 0,2; б) 0,077; в) 0,088; г) 0,966. 49.2. а) 0,244; б) 0,067 в) 0,044; г) 0,088. 49.3. а) 0,989; б) 0,01; в) 0,0026; г) 0,044. 49.4. а) 0,25 б) 0,25; в) 0,107; г) 0,321. 49.5. а) 0,36; б) 0,52; в) 0,04; г) 0,56. 49.6. а) 0,1 б) 0,7; в) 0,15; г) 0,75. 49.7. а) 0,04; б) 0,92; в) 0,36; г) 0,6. 49.8. а) 0,833 б) 0,833; в) 0,167; г) 0,222. 49.9. а) 10; б) 8; в) 12; г) 29. 49.10. а) 20 б) 24; в) 6; г) 48. 49.11. а) 200; б) 162; в) 100; г) 99. 49.12. а) 4; б) 8; в) 4 г) 8. 49.13. а) Это событие В; б) есть ученик, сдавший экзамен, но есть и ученик, не сдавший экзамен; в) это событие В; г) это событие В. 49.14. а) Все трое не сдали экзамен; б) или все трое сдали экзамен, или все трое не сдали экзамен; в) никто не сдал экзамен; г) ни один ученик не сдал экзамен. 49.15. а) Это цифра 8; б) это цифра 9; в) это цифра 9; г) невозможное событие. 49.17. а) 0,119; б) 0,476; в) 0,476; г) 0,952. з п 49.18. а) 4(2д _ \у б) указание: постройте график функции из а); в) 0,375; г) 9. 49.19. б) указание: исследуйте функцию из а) на монотонность; в) 0,3125 г) 6. 49.23. а) 0,125; б) 0,125; в) 0,375; г) 0,875. 49.24. а) 0,0625; б) 0,0625 в) 0,25; г) 0, 9375. 49.25. а) 1 - Г; б) возрастает; в) 1; г) 10. 49.26. а) 0,729 б) 0,271; в) 0,125; г) 0,875. 49.27. а) 1 - 0,9”; б) возрастает; в) 1; г) 7. 49.28. а) 0,303; б) 0,211; в) Щ1 • ГШ) г) °- 49.29. а) 0,9п10,1; б) 0; ?) п 1 2 3 4 5 6 7 р(л) 0,1 0,09 0,081 0,0729 0,06561 0,059049 0,0531441 Г) 1. 49.30. а) 0,5; б) 0,8; в) 0,6; г) 0,1. 339 Дополнительные задачи 7.48. а) 0; б) 4. 8.53. а) 20; б) 8. 8.54. а) 0; б) 3. 9.36. а) Нет корней; б) х = 8п, п € 2\ в) -оо < х < +°о; г) -4 < х < -3; 3 < х < 5. 9.37. а) 0, 0, 1; б) 6. 14.37. а) 6; б) 6. 16.73. а) 3 и 2 ; б) 3 и 2 ; в) 2 и 1; г) 1 и 2. 13.54. 2. 16.74. а) 3; б) 3; в) 4; г) 5. 16.75. а) -10; б) -8; в) -6; г) 9,8. 20.30. х = О 20.31. а) 4; б) 10. 21.63. а) 200; б) 100; в) 50; г) 50. 21.64. а) 1; б) 12; в) 5; г) 16. 21.65. а) 5; б) нет корней. 22.69. а) 3; б) 3. 23.43. а) х = ли, х - + 2тш, х = -агс1& ^ + 2лп; б) х = 2лп, х = -агс1& + 2лл. л 2л 23.44. а) х = д + 2ял, х = -д- + 2пп; б) нет решений. 23.45. х = 2пп. 24.53. а) 2; б) 3; в) 8; г) 12. 27.73. а) 7; б) 9. 28.39. а) 3; б) 2; в) 2; г) 3. 30.27. 6. 30.28. х = + 2пп. 40.17. а) -2,25; б) 1,5. 45.16. 0,5. 46.65. 101. 46.66. а) 1, -2^2 - 2; б) [-23; 9]. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие для учителя ................................ 3 Задачи на повторение.................................... 5 глава 1. Действительные числа § 1. Натуральные и целые числа........................ 12 § 2. Рациональные числа .............................. 18 § 3. Иррациональные числа............................. 20 § 4. Множество действительных чисел................... 23 § 5. Модуль действительного числа..................... 27 § 6. Метод математической индукции ........ 32 глава 2. Числовые функции § 7. Определение числовой функции и способы ее задания 38 § 8. Свойства функций ................................ 46 § 9. Периодические функции............................ 55 § 10. Обратная функция................................. 61 глава 3. Тригонометрические функции § 11. Числовая окружность ............................. 69 § 12. Числовая окружность на координатной плоскости .... 74 § 13. Синус и косинус. Тангенс и котангенс ........... 77 § 14. Тригонометрические функции числового аргумента ... 83 § 15. Тригонометрические функции углового аргумента .... 88 § 16. Функции у = зги х, у = соз х, их свойства и графики .... 90 § 17. Построение графика функции у = т?(х) .....100 § 18. Построение графика функции у = /(кх).....105 § 19. График гармонического колебания .................108 § 20. Функции у = х, у = с!& х, их свойства и графики .... 112 § 21. Обратные тригонометрические функции..............115 341 глава 4. Тригонометрические уравнения § 22. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства ..................................124 § 23. Методы решения тригонометрических уравнений .... 132 глава 5. Преобразование тригонометрических выражений § 24. Синус и косинус суммы и разности аргументов.....137 § 25. Тангенс суммы и разности аргументов ............144 § 26. Формулы приведения..............................147 § 27. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени.......................152 § 28. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение .................................161 § 29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму ................................165 § 30. Преобразование выражения А зт х + В соз х к виду С зт (х + I)....................................169 § 31. Методы решения тригонометрических уравнений (продолжение)...................................172 глава 6. Комплексные числа § 32. Комплексные числа и арифметические операции над ними .......................................176 § 33. Комплексные числа и координатная плоскость......180 § 34. Тригонометрическая форма записи комплексного числа 184 § 35. Комплексные числа и квадратные уравнения .......190 § 36. Возведение комплексного числа в степень. Извлечение кубического корня из комплексного числа 193 глава 7. Производная § 37. Числовые последовательности ....................197 § 38. Предел числовой последовательности .............206 § 39. Предел функции..................................211 § 40. Определение производной.........................221 § 41. Вычисление производных..........................224 § 42. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции .............233 342 § 43. Уравнение касательной к графику функции ........238 § 44. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы.....................250 § 45. Построение графиков функций ....................264 § 46. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин ...................266 ГЛАВА 8. Комбинаторика и вероятность § 47. Правило умножения. Перестановки и факториалы .... 274 § 48. Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты .......................278 § 49. Случайные события и их вероятности..............283 Дополнительные задачи.................................289 Ответы ...............................................294 Учебное издание Мордкович Александр Григорьевич, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович и дрт АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 10 класс В двух частях Часть 2 ЗАДАЧНИК для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная Главный редактор К. И. Куровский. Редактор С. В. Бахтина Оформление и художественное редактирование: С. А. Сорока Технический редактор И. Л. Ткаченко. Корректор И. Н. Баханова Компьютерная верстка: А. А. Горкин Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.60.953.Д.001625.02.08 от 29.02.2008. Формат бОхЭО1/^* Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 21,5. Тираж 30 000 экз. Заказ № 0901200. Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 6. Тел.: 8 (499) 367 5418, 367 5627, 367 6781; факс: 8 (499) 165 9218. Е-таИ: юс@тпето2та.ги . тпетогта. ги Магазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книг). 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 б. Тел.: 8 (495) 783 8284, 783 8285, 783 8286. Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг). Тел./факс: 8 (495) 665 6031 (многоканальный). Е-таИ: 1([email protected]тпето2та.ги Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного электронного оригинал-макета в ОАО «Ярославский полиграфкомбинат» агуаю 150049, Ярославль, ул. Свободы, 97 Формулы дифференцирования 2у[х (кх + т)' = к /"ху х (хпУ - пхп~г V#) х2 (8Ш хУ = (С08 X)' - (¾ *)' = (сЬё хУ = ■ С08 X -8ШХ СОВ2 X * 2 81ЛЛ: Правила дифференцирования (и + V)' = и' + V' (Ни)' = ки' (иву = и'в + т' Г “У = ц'р ~ ии' Не(х)у = Г(ё(х)) ■ ё\х) ть\ = 1 • 2 • 3 •... • (п - 1) • п Рп = п\ 1ЯВЫ 978-5-346-01202-3 9 785346 012023