Алгебра Учебник 10-11 класс Колмогоров

На сайте Учебник-Школа.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Алгебра Учебник 10-11 класс Колмогоров - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
----f$s= ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬС'ВО А. И. Колмогоров (25.IV.1903—20.Х.1987) Андрей Николаевич Колмогоров великий ученый Ро<'С1ш. Мировую известность ему принесли выдающиеся работы, относящиеся практически ко всем областям математики — теории вероят ностей и математической статистике, топологии и функциональному анализу, математической .юшке, теории информации и т. д. Гений Колмого{юва не ограничен математикой и удивительно универсален. Вслед за Ньютоном, Лапласом и Пуанкаре он совершил прорыв в осмыслении прюблемы вечности Солнечной системы. Нм создана теоршя процессов, позволяющая воссоединить идеи Фурье, Ньютона, Эйнштейна, открыт новый закон природы в области турбулентности. А еще были блестящие новаторские работы в кибернетике, биологии, океанологии, геологии, метеорологии, кристаллографии, истории, языкознании, стиховедении. В годы Великой Отечественной войны А. Н. Колмогоров принял активное участие в решении оборонных проблем. Всю свою жизнь А. Н. Колмогоров посвятил науке и труду Учителя. Он основатель известнейших научных школ, научный руководитель многих талантливых ученых. С 1930 г. до последнего дня жизни А. Н. Колмогоров — профессор Московского университета, создатель новых кафедр и лабораторий, яркий лектор. С 30-х гг. он принимает самое активное участие в проведении математических олимпиад для школьников. В 1963 г. создает физико-математическую школу-интернат при МГУ, в которую и поныне отбираются талантливые ребята со всей страны. В этой школе он многие годы читает замечательные лекции для школьников, ходит с ними в походы, проводит музыкальные и литературные вечера, В 1970 г. вместе с академиком В. К. Кикоиным создает журнал «Квант». А. Н. Колмогоров — автор многих статей и книг по математике для учеников и учителей (учебник алгебры и начал ана.чиза — одна из этих книг). Заслуги Андрея Николаевича уже при жизни были оценены очень высоко. Сам он спокойно относился и к необычайной славе, и к формам признания. А их было много: академик в 35 лет, лауреат Ленинской и государственных премий, лауреат престижнейших международных премий, почетный член десятков международных академий и научных обществ. В числе многих правительственных наград Золотая звезда Героя Социалистического Труда и семь орденов Ленина. А. Н. Колмогоров проявлял глубочайший интерес ко всему сущему. Он любил музыку и литературу, ходил в многодневные пешие, лодочные, лыжные походы, в качестве научного руководителя океанологической экспедиции совершил кругосветное путешествие. На склоне лет он однажды заметил; «Какую все-таки интересную жизнь я прцжил!» . Свое жизненное кредо А. Н. Колмогоров точнее .всех сформулировал сам: «Я жил, всегда руководствуясь тем тезисом, что истина — благо, что наш долг — се находить и отстаивать независимо от тйго, приятна она кому-то или неприятна*. Алгебра и начала математического анализа msi- Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений Под редакцией А. Н. Колмогорова Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 17-е издание Москва • «Просвещение» • • ’ ‘ • • ■ * ^ 2008 1 ^f ' '• , УДК 373Л67.1:[512 + ББК 22.14я72 А45 517] Авторы: А. II. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/15 от 31.10.07) и Российской академии образования (№ 01-205/5/7д от 11.10.07) Алгебра и начала математического анализа ; учеб, для А45 10—11 кл. общеобразоват. учреждений / [А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.] ; под ред. А. Н. Колмогорова. 17-е изд. М. : Просвещение, 2008. — 384 с. ; ил. — ISBN 978-5-09-019513-3. УДК 373.167.1:[512 + 5171 ББК 22.14я72 + 22.161я72 ISBN 978-5-09-019513-3 © Издательство ♦Просвещение*, 1990 © Издательство «Просвещение», с изменениями, 2008 © Художественное оформление. Издательство «Просвещение*, 2000 Все права защищены ПРЕДИСЛОВИЕ Вы начинаете изучать новый предмет. Слово ♦алгебра* в его названии вам уже известно. Принципиально новая часть курса посвящена изучению начал анализа. Математический анализ (или просто анализ) — ветвь математики, оформившаяся в XV'III столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Анализ сыграл громадную роль в развитии естествознания — появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями и методами ана.лиза (производная, дифференцирование, первообразная, интеграл, метод поиска максимумов и минимумов функций) — одна из важных целей курса. Несколько замечаний о том, как пользоваться учебником. Оглавление и предметный указатель, помещенные в конце книги, помогут вам быстро найти нужный раздел, оп1>еделение или теорему. Ответы и указания к упражнениям приведены в соответствующем разделе. Для знакомства с основными идеями решения предлагаемых задач приводится множество примеров решения, выделенных значками 0 и . Отметим также, что задачи, включенные в каждый пункт, делятся на две части. Задачи, входящие в первую часть, необходимо уметь решать для получении удовлетворительной оценки, они задают обязательный уровень подготовки. Остальные задачи чуть сложнее. Чтобы помочь вам при подготовке к контрольной работе, в конце каждой главы приведены вопросы и задачи на повторение основного материала. Ответы на вопросы и примеры решения таких задач можно HaiiTH в тексте соответствующих пунктов. О происхождении изучаемых понятий, терминов и символов, о людях, создававших математический анализ, вы можете узнать, прочитав разделы «Сведения из истории». Дополнительный материал TeojieTHHecKoro характера содержится в некоторых пунктах учебника, он выделен значками ► и По окончании школы вам предстоит сдавать выпускные экзамены. Как известно, теоретический материал за курс средней школы кратко изложен в книге «Математика. Справочные материалы». Практические упражнения для повторения курса помещены в главе «Задачи на повторение». Задачи повышенной трудности содержит заключительная глава. Обозначения, встречающиеся в учебном пособии N R (а; Ь] (а; Ь) (а; 6], [а; Ь) (с; оо), [а; оо), (-оо; Ь), (-оо; Ь] (-оо; оо) (а - 6; а + 5) м м 1*1 - множество всех натуральных чисел - множество всех целых чисел - множество всех неотри нательных целых чисел • множество всех рациональных чисел • множество всех действительных чисел, числовая прямая замкнутый промежуток (отрезок) с концами а к Ь, а < Ь ■ открытый промежуток (интервал) с концами а а Ь, а<Ь полуоткрытые промежутки с концами а и Ь, а < Ь бесконечные промежутки ■ бесконечный промежуток, числовая прямая обозначение вектора ■ 8-окрестность точки а целая часть числа X дробная часть числа X модуль (абсолютная величина) числа X f (х) — значение функции f в точке X D if) — область определения функции f Е (f) — область значений функции f Дл: — приращение аргу- мента X Д/ (лГд), Д/— приращение функции f в точке f (Хр) — производная функ- ции f в точке Хд sin — функция синус cos — функция косинус tg — функция тангенс ctg — фуншщя котангенс е — число е, основание показательной функции, для которой (с*)' — е* iog^ — логарифм с основа- нием а Ig — десятичный лога- рифм In — натуральный лога- рифм (логарифм с основанием е) шах f — наибольшее значение \а; Ь] функции f на отрез- ке [а; Ь] min f — наименьшее значе [а; Ь] ние функции f на отрезке [а; Ь] ь [ Дх)йх — интеграл функции f " в пределах от о до 8 arcsin а — арксинус числа а arccos а — арккосинус числа а arctg а — арктангенс числа а arcctg а — арккотангенс числа а Тригонометрические функции I I §1. Тригонометрические функции числового аргумента 1. Синус, косинус, тангенс и котангенс (повторение) 1. Радианная мера. Вы уже знакомы с раднанной мерой углов. Угол в 1 радиан — это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (рис. 1). Радианная и градусная меры связаны зависимостью 180^' = я радиан; угол в п° равен радиан. При радианном измерении углов упрощается ряд формул. Так, для окружности радиуса г длина I ее дуги в а радиан находится по формуле г = аг; (1) площадь S сектора круга радиуса г, дуга которого содержит а радиан, такова: - _я (2) о — Формулы (1) и (2) проще аналогичных формул loU и S = для вычисления длины дуги окружности и площади 360 сектора, дуги ко'горых (величиной п°) заданы в градусной мере. Наличие у радианпой меры ряда преимуществ (см. также п. 17) привело к тому, что в тригонометрии предпочитают пользоваться радианной, а не градусной мерой. Из курса алгебры вы знаете, как определяется поворот на угол в а радиан, где а — действительное число. Знакомы вам и определения синуса, косинуса, тангенса и котан1«нса а (а — угол или число). I Пример 1. Найдем значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла О 5 Тригончметричемсие фупкцкн Рис. 3 В прямоугольном треугольнике с углом в 30° противолежащий ему катет равен половине гипотенузы с (рис. 2). Пусть с = 1, тогда: Поэтому cos^ = -“- = l, 3 с 2 1 Вообще значения основных тригонометрических функций острого угла и могут быть найдены так, как это делалось в курте геометрии (рис. 3): cosa=-, sina=-, tga=^. clga = -. с с b a Приближенные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного уг.ча находятся с помощью калькулятора или таблиц. (Здесь и далее имеются в виду ♦Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса.) Задача нахождения значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла путем применения известных вам формул сводится к нахождению значений sin а, cos а, tg а, ctg а, где 0<а<^. Так, например, может быть запо.лпсна таблица (см. с. 5). 2. Основные формулы тригонометрии. Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса сразу следуют основные тригонометрические тождества: sin^ а + cos^ а = 1; tga = «““; ctga=5?^-^; cos а sm а tg а ctg а = 1; tg* а + 1 = —; ctg* а + 1 = ■ COS ^ а Rin ^ а 6 TpHioHOMerjdiMWiciie функции 1 0 Jt п 7t л 2п Зп 5 Л а 6 4 3 2 3 4 6 Я 0 1 л/2 Л л V2 1 0 sin а 2 2 2 1 2 2 2 >'з Г 1 0 1 V2 -1 cos а 1 2 2 2 2 2 2 tg а 0 1 Гг 1 V3 — -л/З -1 1 Л 0 ctg а — Гз 1 1 7з 0 1 Л -1 -V3 — 7п 5п 4л Зп 5я 7л 11п 2п а 6 4 3 2 3 4 ‘б 1 v'2 Гг -1 Гг V2 1 0 sin а 2 2 2 2 2 2 V3 V2 1 0 1 Л V3 1 cos и 2 2 2 2 2 2 tg а 1 1 V3 — -V3 -1 _ J_ Л 0 ctg а л/З 1 1 Л 0 •V 3 -1 -Л — Основой для вывода остальных (}юрмул являются формулы сложения'. cos (а - Р) = cos а cos р + sin а sin р; cos (а + Р) = cos а cos Р - sin а sin р; sin (а - р) = sin и cos р - cos и sin Р; sin (а + Р) = sin а cos р f cos а sin р; 1-tgatgp’ l.tgatgp 7 Тр«гон(1М*Ч|»ич1Ч'сн1’ фч111.'т<|| u котангенса Рис. 4 Иа формул сложения, полагая р = , где п е Z, получаем формулы приведения для преобразования выражений вида sin^^±aj, cos^^laj, + ctg^~±aj, n e Z. Для запоминания этих формул удобно пользоваться таким мнемоническим правилом'. а) перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция (рис. 4), если О < а < -; 2 б) функция меняется на «кофункцию», если п нечетно; функция не меняется, если п четно. (Кофунк-циями синуса, косинуса, тангенса и котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс и тангенс.) Например: sin -а j = сова; cos - а j = sina; tg-ha j = -ctga; cos -a j = -sina и т. n. Вам известны также формулы суммы и разности синусов {косинусов)'. • о о • ' Р о -р sm а sin р = 2 sin —— cos ; 2 2 •о о - “~р “■'■Р sin а - SU1В = 2 sm cos--------; ^22 о о а-Р а-р cosacosB = 2 cos— cos- ; ^ 2 2 n o - ““P • 0 + 1* cos a - cosB = - 2 sin - — sm - ' 2 2 8 T|IIII1)ll<>ll>LKMC ф^икиин Из формул сложения, полагая а = р, выводятся формулы двойного аргумента: sin 2(1 = 2 sin а cos а; cos 2а = cos^ а - sin^ а; cos 2о = 1 - 2 sin^ а; cos 2а = 2 cos^ а - 1; 2 Ig а tg 2а = 1 -tg* а Подставляя в формулы cos 2< = 1 2 ain^ t и cos 2t = = 2 cos* f - 1 значение ^ получаем формулы половинного аргу- sin* ^ = cos 2 Ot _ 1 - COS a 1 + cos о (3) (4) Пример 2, Найдем значение sin без помощи таблиц по формуле (3): 1 - cos - 1- sin 2 Я _ 12 2-Уз 4 Так как 0< " sin—>0, получаем sin = ——. 12 2 12 12 2 можно упростить: V2-V3 _ У4-2л/з _ -у/(Уз-1)* ^ ^ ^^-V2 2 2/2 2ч/2 2 4^2 4 ' Ответ Разделив почленно равенство (3) на (4), получаем: «о2 о _ » -COSO ^ 2 1 + cosct' (5) Умножая числитель и знаменатель правой части равенства О Sin — tg — = ---— на 2 cos находим: 2 а 2 sin — 2 sin - COS — 2 - - tg “ = —^-=-----^---- ^ cos 2 cos* — 2 2 tgf = 2 1+ cos a sinu 1+ cos a , T. e. (6) 9 1'риюиометричсч-кме функции Аналогично, умножая числитель и знаменатель правой части sin — равенства tg ^ =----- на 2 sin приходим к формуле cos ^ 2 1 -cos U 2 sm а (7) Пример 3. Найдем значение tg без помощи таблиц: 8 tg 25п_ 4_ 2_ -/z + 1_(/2 + 1)^ 8 l ^'2 %/2-1= 2-Г + 4 ^ 9 Заметим, что J < ^-< я- Поэтому tg <0, и, следовательно, 2 8 8 tg^J' =-(л/2 f 1). Пример 4. Найдем sin cos ^ и tg^, если известно, что cos U = 0,8 и о < а < ^. Угол ^ находится в первой четверти, и, значит, sin - > 0, 2 2 cos ^ > о, tg " > 0. Поэтому sin ^ = 2 \ 2 =^/0j а 0,3162; ot 11 ^ о*® cos X - J------- 2 \ 2 = *0,9487; tg I = = 1 * 0,3333. 2 \ 1 + 0,8 3 Упражнения В каждом пункте упражнения разделены на две части. Задачи, приводимые в первой части, характеризуют обязательный уровень подготовки по данной теме: подобные упражнения необходимо уметь решать для получения удовлетворительной оценки. В большинстве случаев со способами решения этих задач можно ознакомиться, рассмотрев примеры, разобранные в тексте соответствующего пункта. 1.— Выразите в радианной мере величины углов: |а) 45°, 36°, 180°; б) 120°, 310°, 360°; в) 60°, 72°, 270°; г) 150°, 216°, 90°. 10 Г|111|<1н<)1че1р||ческ|1С фмм1пт1 2.— Выразите в градусной мере величины углов: а) п з’ л 2’ 5л . .36’ б) 2 Л 5 ’ Зл ■4 ’ _ л. 9 ’ в) п 6’ Зл 5 , л; г) 5л 1 ’ Зл 2 ’ _7я 12 3.— Найдите числовое значение выражения: а) sin О + cos ^ + siiv^ ^; в) 6 sin f - 2 cos О + tg^ ^; 6 3 б) 3 sin 5 + 2 cos л + ctg* 5 ’ 6 6 г) 3 tg 5 - sin^ 5 + ^ • n 4 3 4.— Существуют ли числа a, P и у, для которых: а) sin а = -0,5, cos р = V3, tgy = -2,5; Л б) sin U = - , cos Р =-2,2, tg у = 0,31; I в) sin а = 1,3, cos Р = -, tg у = 5,2; г) sin а = - |, cos р = ^2,5, tg у = -7,5? 5,- 6. 7. 8. Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно; __7 и 24. б) 0,4 и 0,7; 25 25’ .'«и- 3 .'б. г) -г«-г V5 3 ’ в) Могут ли тангенс и котангенс одного и того же числа быть равными соответственно: б) (у[3-2) и (^/3 + 2); V5 , 2xfb а) -3 и -5; ' 5 3 в) 2,4 и г) и ? Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: а) sin а = -0,8, л < о. < ^; б) COSа=--^, “<а<л; [о в) sin а = ^ , о < о. < -g; Упростите выражение: а) cos* а - cos'* а + sin'* а; г) cosa = YY' ‘2” ^ ^ б) 1 - 2 cos* р _ cosp -t- sinp ’ в) (sin* о + tg* а sin* и) ctg а; 11 Тритн<1мстрич<'«к|К' 1)>ункиии , sin* f -1 , г) ------^---+ tg*t. COS^ t 9.— Вычислите: а) cos — cos 15 15 sin^ ” sin ” 15 15 tg b) — cos0,3n sin0,2n + sm0,3n cosO,27c* 3n 6) 10 tg 20 1-tg Л tg r) sin cos 5 18 9 tg - tg S’' ^3 12 . 1 + tg tg ^-5 3 12 sin - cos S" 9 18 5т1 лг — 7л sin sin -12 12 cos S" cos 12 12 10 20 10.-r Вычислите sin 2a, cos 2p, sin (a - P) и cos (a + P), если: a) sina=|, cosP = -;^, ^<а<л, §<р<л; О lo Z Z 6) cos a = 0,6, sinp = 11.-* Упростите выражение: 2 sin a cosP - sin(a-p)_ j cos (a - p) - 2 sin a sin P ’ ■J2 cos a - 2 cos ^ ? -i- a j 2 sin ^ ^ + a j — -/2 sin u 8 17’ ■5^ 0; в) ^ = ~2' р > 0; б) ^ У> 0; г) У = X < о. 35.— На миллиметровой бумаге постройте единичную окруж- IHOCTb, а затем центральный угол а, такой, что: а) sin а = -0,5; б) cos а = 0,3; в) cos а = -0,4; г) tg а = 2. 20 'I'ptiroitomeTpiiMecKiie функции Найдите область определения и область зна<1ений данной функции. Постройте ее график (36—37). 36. — а) I/ = 2 + sin х; в) !/ = cos X - 1; 37. — а) у = 2 sin дс; , в) у = 0,5 tg х; б) y=l + tgx; г) г/ = 3 + sin X. б) j/=-|cosx; г) у = -1,5 sin X. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика фушсции (38 -39). 38.-1 а) у = sin х; б) у = 1 cos х; L в) у = cos х; г) у = sin X - 1. 39. 1 а) у = х^ - Зх; б) у = sin X - 1,5; 1 1 =) у = 2,5 л- cos х; г) у = ^ + 1. X §2. Основные свойства функций 3. Функции и их графики 1. Числовая функция. С понятием функции вы познакомились в курсе апгебры. При изучении начал анализа удобно принять следующее определение: Определение. Числовой функцией с областью определепия О называется соответствие, при котором каждому числу х из множества £> сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х. Функции обычно обозначают латинскими (а иногда греческими) буквами. Рассмотрим произвольную функцию /. Независимую пе1>еменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке д: и обозначают f (х). Область определения функции / обозначают D (/). Множество, состоящее из всех чисел f (х), таких, что х принадлежит области определения функции Л называют областью значении функции f и обозначают Е (f). Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. При этом если не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной ^юрмулой, считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смыс.п. Например, формула f(x)= ^ имеет смысл при 21 Тригонометрические фуй1С1ИН1 всех X ^ О, поэтому областью оиределевия функции f{x) = - счи- X тают множество всех не равных нулю действительных чисел. Область ее значений совпадает с областью определения и является объединением 1Штервалов (-оо; 0) а (0; оо). ^ Вообще объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Объединение множеств Л и В обозначается так: лив. Например, объединением отрезков [0; 2] и [1; 3] является отрезок [0; 3]. Символом и удобно пользоваться для обозначения числовых множеств, которые можно представить в виде объединения числовых промежутков. Так, для функции f(x) = - X D(f) = E{f) = (-оо; О) и (0; оо). Область определения функции 0, то вектор (а; 0) направлен в положительном направ.пении оси абсцисс, а при а < 0 — в отрицательном. Н Пример 4. Построение графиков функций y = ^Гx-^l и y=cos^x —показано на рисунках 22 и 23. 4) Растяжение вдоль оси Ох с коэффициентом к задается формулами X' = кх, (4) У = У- Произвольная точка графика функции / переходит при таком растяжении в точку {кх\ f (л-)). Переходя к переменным х', у', можно записать, что график у = f (дг) переходит в фигуру, состоящую из точек ^дс'; принимает все значения вида х' - кх, а дг е П (/). 26 Тригонометричсч'кис функции Этя фигуря есть гряфик функции = Итак: Для построения графика функции {/ = / ( т I надо подвергнуть график функции f растяжению с коэффициентом k вдоль оси абсц1тсс. Н Пример 5. Построение графиков функций у = cos 2х и у = sin ^ X показано на рисунках 24 и 25. О ^ 4. Отображение. Функцию с областью определения D и об- ластью значений Е называют также отображением множества D на множество Е. Можно сказать, например, что формула у - sin х задает отображение множества R действительных чисел на отрезок [-1; 1]. Слова «функция» и «отображение» — синонимы. Нередко рассматривают функции (отображения), область определения или область значения которых (а возможно, и оба этих множества) не являются числовыми множествами. С такими примерами, по существу, вы уже встречались в курсе геометрии. Например, областью определения функции «Площадь многоугольника» при фиксированной единице измерения площадей является множество многоугольников плоскости. Область значений этой функции — множество неотрицательных чисел (площадь О имеют «вырожденные» многоугольники, например отрезок). Движение (так же как и преобразование подобия), переводящее фигуру F в фигуру F', также является отображением, его область определения F и область значений F' состоят из точек. Понятие отображения часто относят к числу основных понятий всей математики. С его помощью можно дать такое определе- 27 Трн1'<)мометр|1Ч(Ч'1сне функции ние функции: функцией с областью определения D и областью значений Е называется отображение множества D на множество £, при котором каждому элементу множества D соответствует один вполне определенный элемент множества Е и каждый элемент множества Е поставлен в соответствие некоторому (хотя бы одному) элементу множества D. Упражнения 40.— Найдите значения функции; а) / (х) = JC -ь - в точках -1, 10; X 2 б) f (Jc) =3cos в точках О, я; в) / (х) = -J5x-x^ в точках О, 1, 2; г) f {х) = 2 - sin 2х в точках О, —. 4 12 41.Запишите значения функции: а) f (Jf) = х^ + 2х в точках Хд, 1 + 1; б) / (Jc) = tg 2дг в точках а, Ь - в) f (х) = i + 1 в точках Хр, а + 2; г) f (х:) = 2 cos ^ в точках z, Л + я. 28 Тригонометрические функции 42. — Является ли графиком функции фигура, изображенная на рисунке 26, а—г? Найдите область определения каждой из функций (43—44). 43. ^ а) б) Пх) = л1х^ -9; 44. 45. 1 д:'^-4д:+3 * v2 4 в) f(x)=—~ 1 дс^+2х-8 г) f (л:) =л/36 - . б) fix) ==2 tg д:; f в) f (х)=1 + ctg х; г) = Найдите область определения и область значений из функций: а) у =2 cos J; б)у = 2-ь/_з; в) у = х+ 1 г) J/=3 + 0,5 sin^a: + ^j. 46. 47. Найдите область определения и область значений функции, график которой изображен на рисунке 27, а—г. Начертите график какой-нибудь функции f, для которой: а) D (/) = [-2; 4], Е (/) = [-3; 3]; б) D (/) = (-5; 3), Е (П = [2; 6]. Рис. 27 29 Тригонометричсч'.кие функции 48.— В одной и той же системе координат постройте графики функций: а) .V = -. «/ = - + 2, у = —Ц; X X х-2 б) у = cos X, у = cos - 3, у = cos ^ jc + ^ j; в) у = -х^, у = Л-х^, у = -(х- 2)*“; г) у = sin X, у = sin X + 2, у = sin ^ лг + j. 49. 50. Постройте графики функций (49—50). а) i/= —Ц:; дг- 3 В) у = 1 - (JC ^ 2)2; а) у = 1 + 2 sin дг; в) у = 0,5 cos X - 1; б) у = (дг - 2)2 - 4; г)у = 2.1. б) у - -\}х + I -1; г) у = 2+ л1х-1. 51.— Найдите значения функции: . ,, . \ X, если дг > о, о 1 п с а) / (д:) = < в точках -2; — ; 0; 5; ] -X, если дг < о, 3 б) /'{jc)=|^ в точках -2; -1; 0; 4; I 1 - X, если X < -1, , ,, , fsinx, если х>0, в) / (х) =■{ [cosx-1, если х<0, в точках —0; 2 3 6 52.— а) Основание АС треугольника АВС равно Ь, высота BD равна h. Через точку К высоты BD проведена прямая, , параллельная АС. Выразите площади фигур, на которые Н делит эта прямая данный треугольник, как функции от расстояния ВК — х. б) Радианная мера центрального угла равна х, радиус круга равен R. Выразите площадь соответствующего сегмента как функцию от х. в) Радианная мера центрального угла сектора равна а, радиус равен г. Выразите периметр сектора как функцию от угла а. г) Прямая, параллельная диагонали квадрата, делит его на две фигуры. Задайте формулой зависимость между площадью каждой фигуры и длиной х меньшего отрезка, отсекаемого данной прямой от диагонали, если сторона квадрата равна а. 30 Тригонометрические фупкцкП! 53.— Найдите область определения функции; yfx^-3x-2 а) у = Л- х‘ -х-2 в) у = ^2 3-2х' б) у = Г) у = 16-х^ ■Ji-x^ 1-2х 54.— 55. 56. Найдите область определения и область значС1гий функции: а) у= I + siii2 х; б) у = ^ ; в) У + 4; Постройте гра а) у = 1л- - 11; г) у = 1,5 — 0,5 cos* X. )уНКЦ1« б) у = Постройте графики функций (55—56). - 4, если х> 2, 2-х, если X < 2; если X > 1, если X < 1. в) у = л/2х-2; г) а) у = sin Зх - 1; в) у = 1 + cos 2х; /З- X*, б) у = I х^ + 2; г) «/=1 + 2^^. 4. Четные и нечетные функции. Периодичность тригонометрических функций 1. Четные и нечетные функции. Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, т. е. для любого х из области определения число (-х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные. Определение. Функция / на.зывается четной, если для любого х из ее области определения f(-x) = f{x) (рис. 28). г/| 31 Трнгониметрические функиим Определение Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f (-л:) = -/ (х) (рис. 29). В Пример 1. Функция f (х) = х* четная, а функция g (х) = X** нечетная. Действительно, область определения каждой из них (это вся числовая прямая) симметрична относительно точки О и для любого X выполнены равенства f (-х) = (-х)^ = х* = f (х), g (-х) = (-х)® - -JC* - -g (jr). Графики функций изображены на рисунках 30 и 31. При построении графиков четных и нечетных функций будем пользоваться следующими известными из курса алгебры свойствами: 1®. График четной функции симметричен относительно оси ординат. 2°. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Из этих двух правил вытекает следующее: при построении графика четной или нечетной функции достаточно построить его часть для неотрицательных х, а затем отразить полученный график относительно оси ординат (в случае четной функции) или начала координат (в случае нечетной). В Пример 2. Функция /(х) = х + — нечетная (докажите это самостоятельно). Ее график симметричен относительно начала координат (рис. 32). Основные тригонометрические функгщи синус, тангенс и котангенс являются нечетными, а косинус — четной функцией (см. п. 2). 32 Тригонометрич(ч.-кие функции Поэтому графики синуса, тангенса и котангенса (рис. 8, 13, 14) симметричны относительно начала координат, а график косинуса (рис. 9) симметричен относительно оси ординат. Пример 3. Функция f{x) = четная, так как ее об- ласть определения симметрична относительно точки х = О (она состоит из всех чисел, отличных от -1, О и 1) и для всех х в D (f) выполнено равенство (-д:)®+(-дг) -х^-х х‘ (-xf-(-x) = f(x). График этой функции симметричен относительно оси Оу (рис. 33). Пример 4, Функция f (лг) = х^ + х не является ни четной, ни нечетной. Ее область определения симметрична относительно точки О, но, например, при х = 1 не выполнено ни равенство /(1) = /(~1). ни равенство f(l) = -f(-l), поскольку f(\) = 2, а /(-!) = О. 2. Периодические функции. Очень многие процессы и явления, с которыми мы встречаемся на практике, имеют повторяющийся характер. Так, взаимное расположение Солнца и Земли повторяется через год. Положения маятника в моменты времени, отличающиеся на период колебания маятника, одинаковы. Такого рода процессы называют периодическими, а функции, их описывающие,— периодическими функциями. 33 Тригонометрические функции Известные вам основные тригонометрические функции — периодические. Так, для любого числа х и любого целого к выполнено равенство sin {х + 2пк) = sin х. Отсюда следует, что 2пк — период функции синус (fc О — произвольное целое число). Вообще, говоря о периодичности функции /, полагают, что имеется такое число Т * О, что область определения D (f) вместе с каждой точкой х содержит и точки, получающиеся из х параллельными переносами вдоль оси Ох (вправо и влево) на расстояние Т, Функцию f называют периодической с периодом Т *0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках X, X — Т и х + Т равны, т. е. f {х + Т) = f (х) = f (х - Т). Поскольку синус и косинус определены на всей числовой прямой и sin (дг + 2л) = sin х, cos {х + 2л) ^ cos х для любого х, синус и косинус — периодические функции с периодом 2л. Тангенс и котангенс — периодические функции с периодом л. В самом деле, области определения этих функций вместе с каждым X содержат числа х + п и х - п и верны равенства tg (х -t- л) = tg X, ctg (х + л) = ctg X. Очевидно, что если функция f периодическая с периодом Т, то при любом целом п * О число пТ тоже период этой функции. Например, при л = 3, воспользовавшись несколько раз определением периодической функции, находим: / (X + ЗТ) = / ((х + 2Т) + Т)= f{x+ 2Т) = f({x+T)+T) = = f (X + Т) - /• (X). Докажем, что: а) наименьший положительный период функций у = sin X и I/ = cos X равен 2л; б) наименьшим положительным периодом функций у = tg X и у = ctg X является число л. ^ а) Как уже отмечалось, число 2л является периодом функций sin и cos. Поэтому остается доказать, что положительное число, меньшее 2л, не может быть их периодом. Докажем это. Если Т — произвольный период косинуса, то cos (а + = = cos а при любом а. Полагая а = О, находим cos Т ^ cos О = 1. Наименьшее положительное число Т, для которого cos х = 1, есть 2л. Пусть Т — произвольный положительный период синуса. Тогда sin (а + Г) - sin а при любом а. Полагая и = ^, получаем sin Т + — I = sin — = 1. Но sin х = 1 только при х = ~ + 2 пп, п е Z. [ 2j 2 2 Поэтому Т - 2пп. Наименьшее положительное число вида 2пп есть 2л. 34 ТрИ1ЧЧИ1Ли‘ТрИЧ«.ЧТ(ИГ фу икни ч б) Если Т — положительный период тангенса, то tg Т = = tg (О + Т) = tg О = 0. Так как на интервале (О; п) тангенс нулей не имеет, Г > л. Ранее доказано, что л — период функции tg, и, значит, л — это ее наименьший положительный период. Для <})ункции ctg доказательство аналогично. Как правило, слова «наименьший положительный период* опускают. Принято, например, говорить, что период тангенса равен л, а период синуса равен 2л. Периодичностью основных тригонометрических функ1;ий мы уже фактически пользовались ранее, при построении графиков. Справедливо следующее утверждение: Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояния пТ вправо и влево вдоль оси Ох (рис. 34, здесь п — .яюбое натуральное число). Действительно, пусть (л;^; — точка графика периодиче- ской функции /. Тогда точка Xq+ пТ при любом целом п принадлежит области определения f (см. замечание в нача.че пункта) и вследствие периодшшости f справедливо равенство / (лгд + пТ) = = f (дгр) = у^. Значит, точка (зсд + пТ; y^^), полученная при параллельном переносе точки (Х(,; j/q) вдоль оси Ох на вектор (пТ; 0), тоже принадлежит графику /. Н Пример 5. Построим график функции / (дг) = 2 cos л: + 1. Для построения воспользуемся тем, что функция f периодическая с периодом 2л. Действительно, функция f определена на всей прямой, и, значит, вместе с произвольной точкой Xq ее область определения содержит точки, получающиеся из дг^ параллельными переносами вдоль оси Ох вправо и влево на 2л. Кроме того, вследствие периодичности косинуса f (х + 2л) = 2 cos (д: + 2л) + 1 = = 2 cos д- + 1 = / (д:). Пользуясь свой- 35 фуиырп: ством графиков периодических функций, строим график / сначала на отрезке [0; 2а] (для этого в соответствии с известными правилами пр>ео6разовяния графиков растягиваем график косинуса вдоль оси Оу в 2 раза и сдвигаем его на 1 вверх (рис. 35), а затем с помощью параллельных переносов продолжаем его на всю числовую прямую (рис. 36). ^ Пример 6. Докажем, что функция ^or) = tg^2x-^j периодическая и ее наименьший положительный период равен Тангенс определен при всех значениях аргумента, не равных ^ + пп, п ^ Z. Поэтому область определения данной функции состоит из таких X, что 2х-— vt " + пп, ч. 9.. х * ^ п 9 Z. Отсюда 4 2 о 2 следует, что D (/) наряду с произвольным зср содержит и все точки вида Xq+ , Xq-^, п е Z. Очевидно, что число ^ является периодом f, так как / + = tg ^2^а:-i-^ j - ^ j = tg ^^2дс - = = tg^2x-^j = /(x). Остается доказать, что число | — наименьший положительный период Л Допустим, что периодом f является такое число Т’о. что Тд < ^. Тогда для любого х е D (f) справедливо равенство Дат ч- Тц) = tg^2 (а: + Tq) - ^ j = tg |^^2д: - + 2T(,j = /(ar) = = tg^2ar-^j, поскольку — период f. Но это означает, что 2Тц — период функции tg. По предположению Tq < — , т. е. 2Тц < п. Противоречие с доказанным ранее: наименьший положительный период тангенса равен я. Справедливо и общее утверждение: Если функция f период1гческая и имеет наименьший положительный период Т, то функция А/ {kx + Ь), где А, k и Ь постоянны, а fe ^ о, такаке периодична, при- чем ее наименьший положительный период равен \kV 36 Трикшомеарические функции Из этого утверждения сразу получаем, что, например, перио-является число , а период функции О дом функции sin^Sx-^^ ^ j равен 4л. cos Упражнения Докажите, что функции являются четными (57—58). 57— - а) f (х) = Зх® + х^; б) /(x) = x®sin|; в) / (д^) = Jf® cos х; г) f (х) = 4х« - X®. 58.- . . , . cos5x4 1 - а) f(x) = j-j ; , sin® X б) f(x)= ; X® -1 1 1 2 sin ^ в) f(x)= . , , . cos х'’ г) f(x)= X® 4-х® 59. 60.- Докажите, что функции являются нечетными (59—60). а) / (х) = X® sin X®; б) f (х) = х® (2х - х®); б) f (х) = X® cos Зх; г) f (х) = X (5 - х®). а) f(x) = в) f(x)^ х“ +1 "2х’з ’ Зх . X® + 2 ’ б) f(x)= ; х(25-х®) г) = а) ■i 1 ' у. i ; 1 . — -Ч-4 1_ .: 37 Трнгоиометр|гческие функции 61.— 62.- На рисунке 37, а—г построен график функции f для всех х, удовлетворяющих условию х > О (х < 0). Постройте график функции f, если известно: 1) / — четная функция; 2) / — нечетная функция. Докажите, что число Т является периодом функции /, если: а) f (х) = sin Т = 4п; в) f (х)=3 cos 4х, "Г = I; б) /(x) = 2tg3x, Г = 5; г) f(x) = ctg g. 7’= Зл. 63. 64. 65. Докажите, что функция f является периодической: а) f (х) = 2 — cos х; б) f (х) = tg 2х; в) f (х) - sin X + cos х; г) [ (х) - 3 -t- sin® х. Найдите наименьший положительный период каждой из функций (64—65). 1 X г) у — sin - ; ’ ^ 2 4 в) у = 4 cos 2х; б) у = 3 tg 1,5х; г) р = 5 tg ^. а) р = sin X cos х; б) р = sin х sin 4х - cos х cos 4х; в) у — sin® X - cos® х; г) р = sin Зх cos х + cos Зх sin х. Рис. 38 38 Трнгономстри ческис функция 66. — На рисунке 38, а—г изображена часть графика функции, имеющей период Т. Постройте график этой функции на промежутке [-1,57'; 2,5TJ. 67. — Найдите наименьший по.пожительный период и постройте график функции: а) J/ = sin 2х; б) у = cos р в) у = ^е г) I/ = sin 1,5jc. 68. Для функции f ученик проверил справедливость двух равенств II сделал вывод, что Т является псриидим Л Прав ли ученик, если: а) /U) = sin.r, sinj=l, sin[|-H^] = i,7' = ^; б) [ (а:) = cos X, cos g ~ в) f(x) = л: + 1, если л" < 1, 3- а:, если а: > 1, /(-|) = 0,5, ^(-1 +з]=0,5, Т = 3; г) / (аг) = а: + |аг|, / (-4) = О, / (-4 + 3) = О, Г = 3? Какие из указанных ниже функций являются четными, какие — нечетными, а какие не являются ни четными, ни нечетными (69—70)? 1x1 69.— а) у = sin х + ctg х - х; 6) р = ; sin X cos Д' в) у = X* + tg^ X + X sin х; г) р = tg^x-ctgx |х| 70.— а) 1/ = х^ -1 в) п =------; ^ 1-х б) р = г) р = X f sinj:^ X - sm X * X + tgx X cos X * 71. — Докажите, что данная функция япляется четной или нечет- ной, и постройте ее граф1!к; я) 1/ = -у: б) \ . х' х® 72. — Функции fug определены на множестве всех действитель- ных чисел. Является ли функция h четной или нечетной, если: а) h (х) = / (х) g^ (х), f — четная функция, g — нечетная; J б) h (х) = f (х) - g (х), f и g — четные функции; . в) h (х) = f (х) + g (х), fug — нечетные функции; ! г) Л (х) = f (х) g (х), f и g — нечетные функции? 39 Т)1ничю>1ет1жч«ч кие ф>н1а)11и 73.— Найдите наименьший положительный период функции: а) у = sin^ Х-, б) у = tg X ctg х; 75. 76. в) у = sin^ X - cos* х; г) j/=|^sin| + cos|j . 74.- Постройте график функции: а) у = 1 - cos 1,5дг; б) г/= sin j; в) {/ = 2 + sin г) j/ = tg|^2jr-|j. Докажите, что если функция у = f (х) периодическая, то и функция у - kf (х) + Ь периодическая. Докажите, что число 2 нс является периодом функции: а)у = х*-3; 6)y = cosx; в) у = Зх - 5; г) у = |х|. 5. Возрастание и убывание функций. Экстремумы 1. Возрастание и убывание функций. Вы уже знакомы с понятием возрастающей и убывающей функций. Так, на рисунке 39 изображен график функции, определенной на отрезке [-1; 10]. Эта функция возрастает на отрезках [-1; 3] и [4; 5], убывает на отрезках [3; 4] и [5; 10]. Известно, что функция у = х'^ убывает на промежутке (-со; 0] и возрастает на промежутке [0; оо). График этой функции при изменении х от -оо до оо сначала «опускается» до нуля (значение функции в точке 0 равно нулю), а затем ♦ поднимается* до бесконечности (см. рис. 20). Определение. Функция f возрастает на множестве Р, если для любых Х| и из множества Р, таких, что Х2 > Х|, выполнено неравенство /(Х.2)>/(Х,). Определение. Функция f убывает на множестве Р, если для любых дс, и и.з множества Р, таких, что Х2 > X,, выполнено неравенство /(лгг) Иными словами, функция / называется возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. 40 Тригономс! рнчсгвие функции Ц Пример 1. Докажем, что функция f (jc) = дг” (л е 7V) при нечетном п возрастает на всей числовой прямой, а при четном п функция f (дг) = дс" возрастает на промежутке [0; оо) и убывает на промежутке (-оо; 0]. Докажем сначала, что функция / (дг) = х" возрастает на промежутке [0; оо) при любом натуральном п. Пусть Xj > X, > о. Тогда по свойству степени х^ > х". Теперь рассмотрим случай четного п. Пусть X, < Xg < о. Тогда -Xj > -х^ > 0 и (-х,)" > > 0, т. е. X," > х^. Тем самым доказано, что функция f (х) = х" убывает на (-оо; 0] при четном п. Осталось рассмотреть случай нечетного п. Если Xj < о < х^, то X" < о < х^. Если Xj < Х2 < 0, то -х, > -Xg > 0 и потому (-х,)" > (-Xj)" > о, т. е. -X" > ■х^, откуда следует. что Xg > х". Итак, доказано, что для нечетного п из неравенства Х2 > X, следует неравенство > х". Согласно определению функция f (х) = х" при нечетном п возрастает на всей числовой прямой. Пример 2. Докажем, что если функция у = / (х) возрастает на множестве Р, то функция у = —f (х) убывает на множестве Р. Пусть X, и Х2 — любые два числа из множества Р, такие, что Xg > Xj. Надо доказать, что -/ (Xg) < -f (Xj), т. е. f (xj) < f (Xg). Ho это — очевидное следствие условия: f возрастает на множестве Р. Пример 3. Функция f (х) = - убывает на каждом из про- X межутков (-оо; 0) и (0; оо) (докажите самостоятельно). Однако эта функция не является убывающей на объединении этих промежутков. Например, 1 > -1, но /(1) > /(-1). При исследовании функций на возрастание и убывание принято указывать промежутки возрастания и убывания максимальной длины, включая концы (если, конечно, они входят в эти промежутки). Так, можно было сказать, что функция /(x)=i убывает на отрезке (2; 100]. Это верно, но такой ответ неполон. Замечание. Для четных и нечетных функций задача нахождения промежутков возрастания и убывания несколько упрощается: достаточно найти эти промежутки при х > 0 (рис. 40). Пусть, например, функция f четна и возрастает на промежутке [а; Ь], где Ь > а > 0. Докажем, что эта функция убывает на промежутке (-6; -а]. 41 Трнгонометричрские фуи>С10»1 Р*ис. 40 Действительно, пусть -о > > дг, > ~Ь. Тогда / (-х^) = f (Xg), f (-Х,) = f (Xj), причем a < ~x^ < -x^ < fc, и поскольку f возрастает на [a; fc], имеем f (-x,) > f (-x^), t. e. f (x,) > f (Xg). 2. Возрастание и убывание тригонометрических функций. Докажем сначала, что синус возрастает на промежутках ^-^ + 2пп; ^ + 2яnj, п е Z, В силу периодичности синуса доказательство достаточно провести для отрезка Пусть Xg > Xj. Применяя формулу разности синусов, находим: п *1+^2 • ^2 ~ sin Хо - 8Ш X, = 2 cos -— sin — ^ ' 2 2 (1) Из неравенства - ^ < х, < Xg < следует, что 0 < ^^ < -2 2 2 2 л Xj + Xg л и < ---------- < 2 2 2 Поэтому cos —>0, sin^^-^-^- >0. Из (1) вытекает, что разность sin Xg - sin х, положительна, т. е. sin Xg > sin х^ Тем самым доказано, что синус возрастает на указанных промежутках. Аналогично доказывается, что промежутки |^^+2пл; ^-i2nnj, л е Z, являются промежутками убывания синуса. Заметим, что полученный результат легко проиллюстрировать с помощью единичной окружности: если -- < f j tg Xj. Имеем tgX2 -tgXj = sin X2 sin Xj sin X2 cos X] - sin X] cos хг sin (X2 — x^) cos X2 cos Xj По предположению — — < x, < x cos X2 cos Xj Л cos X) cos X2 Поэтому cos X, > 0, cos X2 > 0. A так как 0 < X2 - Xj < л, го и sin (Xg - x,) > 0. Следовательно, tgX2 -tgx, >0, T. e. tg Xg > tg X,, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается, что ctg убывает на промежутках (лп; л + л л), где л е Z. 3, Экстремумы. При исследовании поведения функции вблизи некоторой точки удобно по.тьзоваться понятием окрестности. Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий эту точку. Например, интервал (2; 6) — одна из окрестностей точки 3, интервал (-3,3; -2,7) — окрестность точки -3. Изучая график рисунка 39, можно прийти к выводу, что наиболее «заметными» точками области определения являются 43 Трнтономстрическпе функции такие точки х, в которых возрастание функции сменяется убыванием (точки 3 и 5) или, наоборот, убывание сменяется возрастанием (точка 4). Эти точки называют соответственно точками максимума = 3 и х,^^^ = 5) II минимума (х^^^ = 4). При построении графиков конкр>етных функций полезно предварительно найти такие точки. Например, для функции sin это точки вида ± |-(-2пп, п е Z. Возьмем для определенности jcq=^. Эта точка является правым концом промежутка возрастания синуса, и поэтому 1 = sin > sin х, если —^ < дг < Кроме того, ^0 = ^ — левый конец промежутка убывания, и, следовательно, sin X < sin дгр при ^ . Итак, sin^ > sinx д.пя любого х (х Ф Xq), лежащего в окрестности^-^; точки Xq = ^, и поэтому Хд = ^ — точка максимума функции синус. В точке —наоборот, убывание функции меняется на возрастание (слева от — 2 функция убывает, а справа возрастает). Аналогично для любого X из некоторой окрестности точки (х * Хд) имеем sin х > sin j ~ ■'I* функции синус. Дадим точные определения точек экстремума. поэтому — точка минимума Определение Точка Хд называется точкой минимума функции /, если для всех х из некоторой окрестности Хд выполнено неравенство f(x)>f (Хд) (рис. 42). 44 Тригонометрические функции Определение. Точка д:„ называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности выполнено неравенство f(x) О; б) убывает на множестве R при к < О. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки максимума и точки минимума функции, ее максимумы и минимумы (82—85). б) у = {х + 2)* + 1; г) у = (х- 3)^ б) y=-(x + 3f; 81.- 1 82. 83. 84. 85. 86. 87. а) у - -х^ + бд: в) у = х^- Ах; а) {/ = 8; х-2 1 в) У =-----X. ДГ+ 3 а) I/ = 3 sin дг - 1; в) у = 2 cos JC -ь 1; а) у = 1 -ь 2 tg д:; в) У -tg д^; Сравните числа: а) cos 3^" и сое в) tg и tg г) у = (х~ 4)'*. б) у = -2 cos X + 1; г) у = 0,5 sin X - 1,5. б) у = sin X + 1; г) у = cos X - 1. 2 л. 9 ’ 6л. 5 ’ б) sin г) sin и sin^; О 7 4л ~9 и 8Ш 8 Расположите числа в порядке возрастания: а) sin 3,2, sin 3,8, sin 1,3; б) cos 0,9, cos 1,9, cos 1,3; в) tg 0,5, tg 1,4, tg (-0,3); r) sin 1,2, sin (-1,2), sin 0,8. 47 TpHixiHOMCTpiniecKne фунюти 88.— а) у = в) у = Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы функции (88—89). 1 (лг-2)2 1 + 1; 6) у = 4 \ х\- xh -2; г) I/ = - 2 I л |. б) i/ = l-sin(^x-|j; г) р = 2 + cos ^ X - I j. (хч 1)3 89. — а) j7 = cos^x + ^j; в) j/ = sin^x + ^j; 90. — Расположите числа в порядке возрастания; 91. 92. а) cos 25д 9 ’ в) ctg ctg Ш о (-i)- 13л COS-24 ■ sini’^, sin г) sin, ,,______ . ____ - ____ I 1- ■ 24 6 Докажите, что функция: а) f (x) = x'* + 3x возрастает на [0; oo); б) f (x) = -X® - 2x убывает на ft; в) f (x) = X® - 0,5 убывает на (-oo; 0]; г) / (x) = X® + l,5x возрастает на ft. Докажите следующие утверждения: а) если / — четная функция, то -Xq является точкой максимума; б) если f — нечетная функция и на промежутке [а; fc] она убывает, то и на промежутке [-Ь; - а] функция f убывает; в) если / — нечетная функция, х^ — точка минимума, то -Хц является точкой максимума; г) если f — четная функция и на промежутке [а; Ь\ функция возрастает, то на промежутке [-Ь; -а] она убывает. максимума. 6. Исследование функций 1. Построение графиков функций. Ранее вы строили графики функций «но точкам». Во многих случаях этот метод дает хорошие результаты, если, конечно, отметить достаточно большое число точек. Однако при этом приходится составлять большие таблицы значений функции, а главное, можно не заметить существенных особенностей функции и в итоге ошибиться при построении графика. 48 Ч'ршхтомггричрские функции Рис. 49 Предположим, например, что, вычислив значение функции в 15 точках и отметив соответствующие точки графика на координатной плоскости, мы пришли к рисунку 49. Естественно предположить, что эскиз графика близок к непрерывной кривой, прохо-дягцей через все эти точки (рис. 50). Однако онастоящий» график (естественно, проходящий через все эти точки) может быть совершенно не похож на этот эскиз (рис. 51—53). Для того чтобы избежать ошибок, надо научиться выявлять характерные особенности функции, т. е. предварительно провести ее исследование. Пусть, например, о функции f нам известно, что она: — определена на объединении промежутков (-оо; -10), (-10; 10), (10; оо); — обращаегся в нуль в точках -11 и 0, отрицательна на интервалах (-оо; -11), (-10; 0) и положительна на интервалах (-11; -10); (0; 10) и (10; аз); — возрастает на промежутках (-оо;-10), (-10; 10), (12; 15] и убывает на промежутках (10; 12] и (15; оо); — имеет минимум в точке 12, причем / (12) = 16, и максимум в точке 15, причем /(15)= 19; — наконец, значения / при приближении значений аргумента к -10 и 10 неограниченно возрастают по абсолютной величине. Эти сведения позволяют понять, что эскиз графика функции примерно таков, каким он изображен на рисунке 53. 49 Тригонометрические функции в Рассмотрим еще один пример: исследуем функцию Их)= +1 1) Найдем область определения функции. В данном случае D (f) — вся числовая прямая, поскольку знаменатель + 1 не обращается в нуль. 2) Заметим, что функция f четная: для любого х 1 1 П-х) = ( xf + 1 1 = Г(х). Поэтому достаточно исследовать функцию и построить ее график при jf > О, затем остается отразить построенную часть графика относительно оси ординат. 3) Найдем точки пересечения графика f с осями координат. Ось ординат график f пересекает в точке (О; f (0)). Значение f (0) равно 1. Поэтому график f проходит через точку (0; 1). Для того чтобы найти точки пересечения графика функции f с осью абсцисс, надо решить уравнение f (х) = 0 (его корни называют нулями функции). Уравнение ^ =0 не имеет корней. Зна- +1 чит, график f не пересекает ось абсцисс. 4) Выясним, на каких промежутках функция / принимает положительные, а на каких — отрицательные значения; их называют промежутками знакопостоянства функции. Над этими промежутками график функции лежит выше (соответственно ниже) оси абсцисс. В данном случае, поскольку при любом х значение х^ + 1 положительно, / (х) > 0 на всей числовой прямой. 5) Сучцественно облегчают построение графика сведения о том, на каких промежутках функция возрастает или убывает (эти промежутки называют промежутками возрастания или убывания функции). Докажем, что для рассматриваемой функции промежуток возрастания — это (-оо; 0], а промежуток убывания — [0; оо). Пусть Х| и Xg — два значения из промежутка [0; оо), причем Xg > Xj. Поскольку X, и Xg положительны, из условия Xj > х, сле- г2 v2 -^2 » "I ^2 I 1 .. R..*......... 1 ^ ^ дует x| > xf, x| -e 1 > xf + 1 и, наконец. X? ^ 1 xj + 1 Итак, f (xj) < f (Xj), T. e. функция f убывает на промежутке (0; оо). На промежутке (-оо; 0] функция f возрастает. Доказательство проводится аналогично (можно также воспользоваться четностью данной функции). 6) Найдем значения функции в точках, в которых возрастание сменяется убыванием или наоборот. В нашем случае имеется 50 Тригопометрическнр функции лишь одна точка, принадлежащая одновременно и промежутку возрастания, и прюмежутку убывания,— это точка 0. Точка 0 — точка максимума функции f {х) —; / (0) = 1. х‘ + I 7) Заметим, наконец, что при неограниченном увеличении х значение х^ + I неограниченно возрастает, а потому значения 1 /(^) = + 1 (оставаясь положительными) приближаются к нулю. Полученных в ходе исследования свойств функции f (х) = ^ достаточно для построения ее графика. + 1 Построим точку графика (0; 1). Мы установили, что [0; сю) — промежуток убывания функции f. Поэтому правее точки с абсциссой о график рисуем в виде кривой, которая «идет вниз» (рис. 54). Так как / (д:) > 0 при любом х, эта кривая не может опуститься ниже оси абсцисс, причем (см. п. 7 исследования) при продолжении вправо график неограниченно приближается к оси абсцисс. Остается воспользоваться четностью функции /: график f получаем, отразив построенную для х > 0 кривую симметрично относительно оси ординат (рис. 55). 2. Схема исследования функций. При исследовании функций мы будем придерживаться описанной схемы. В общем случае исследование предусматривает решение следующих задач: 1) Найти области определения и значений данной функции Л 2) Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция а) четной или нечетной; б) периодической. 3) Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат. 4) Найти промежутки знакопостоянства функции f. 5) Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает. 51 IpiirnHOMeTpirioricnc функции 6) Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках. 7) Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения (например, точка х = О для функции f (х) = ^ ), и при больших (по модулю) значениях аргумента. Необходимо заметить, что этот план имеет примерный характер. Так, для нахождения точек пересечения с осью абсцисс надо решить уравнение f (х) = О, чего мы не умеем делать даже в случае, когда f (х), например, многочлен пятой степени. (Существуют, правда, методы, которые позволяют найти число корней такого уравнения и сами корни с любой точностью.) Поэтому часто тот или иной этап исследования приходится опускать. Однако по возможности в ходе исследования функций желательно придерживаться этой схемы. Наиболее трудным этапом исследования является, как правило, поиск промежутков возрастания (убывания), точек экстремума. В следующей главе вы познакомитесь с общими методами решения этих задач, основанными на применении методов математического анализа. ^ Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f (например, прямая х = О для функции f (х) = - или прямые X = ± 10 для графика функции, изображен- X ного на рисунке .53), называют вертикальными асимптотами. Чаще всего график имеет вертикальную асимптоту х = а в случае, если выражение, задающее данную функцию, имеет вид дроби, знаменатель которой обращается в нуль в точке а, а числитель нет. Например, график функции f{x)-— имеет вертикальную асимптоту X = 0. Для графика функции f (х) = tg х вертикальными асимптотами являются прямые х = ^ + пп, где п е Z. Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной (в с.лучае функции /(х)= - это пря- дг + 1 мая у = о, см. рис. 55) или нгжлонной (прямая у — х для графика функции /'(х) = х+^, см. рис. 32) прямой при неограниченном X возрастании (по модулю) х, то такую прямую называют горизонтальной (соответственно наклонной) асимптотой. 3. «Чтение» графиков. В большинстве разобранных выше примеров и задач на построение графиков функций вы встречались с такой ситуацией: функция задана формулой, требуется 52 Три гонометрическис фуикцин исследовать ее свойства и построить график /. Представляет значительный практический интерес другая задача: задан график /, с помощью которого требуется перс^числить основные свойства этой функции. Подобные задачи часто решаются в ходе экспериментальных исследований. Построение графиков при этом осуществляется разными методами. Например, по точкам, найденным экспериментально. Существуют также многочисленные приборы-самописцы. Это, например, осциллографы, на экранах которых электрические колебания преобразуются в наглядные графические изображения. Другим примером прибора, позволяющего получить наглядное графическое описание, служит кардиограф; «прочитывая* полученную с его помощью кардиограмму, врачи делают выводы о состоянии сердечной деятельности. С довольно типичным примером трудностей, во.зникающих при исследовании реальных процессов, для описания которых нет точных теорий, вы можете познакомиться, рассмотрев рисунок 56. Здесь приведены графики среднесуточного хода температур по Московской области в феврале 1974 г. Толстой линией изображены «теоретические кривые* А и Б, фиксирующие результаты долгосрочного прюгноза (поскольку прогноз дается с точностью до 5°, кривых две). «Читая* этот график, мы находим, например, что предполагались три «волны холода* (в период с 4 по 10, с 17 по 19 и с 23 по 26 февраля). Предполагалось также отсутствие оттепелей и в целом холодная (до -17°... -22“^) погода. Однако в действительности (график фактического хода температур изображен тонкой линией В) температура была выше нормы на 5—10" (климатическая норма, являющаяся результатом многолетних наблюдений, задана линией Г), в период с 4 по 8 {ревраля было потепление, а не похолодание и т. д. Эти и другие сведения о прогнозе и реальной картине вы можете получить, «читая* графики, приведенные на рисунке 56. Рис. 56 53 Тригопометричес.кие функции 93. - 94, - 95. 96. 97. Упражнения Проведите по общей схеме исследование функции, заданной графиком (рис. 57). Пострюйте график функции f, если известны ее свойства (см. табл, на с. 55). Проведите по общей схеме исследование каждой из функций и постройте ее график (95—99). а) / (аг) = 5 - 2х; в) f (х) = Здг - 2; а) / (ас) = 1-2; X в) / (ас) = х+2 а) /(ас) =Vac-3; в) / (л:) = -/ас + 1; б) / (X) = 3 - 2х - X®; г) / (х) = х^ - Зх + 2. б) / (X) = - (X - 3)^ г) / (X) = X» - 1. б) /(х) = 4х-х2; г) / (х) = 4 - х^. Рис. 57 54 Три гонометрические функци и Свойство функции а) б) в) г) 1 Область опреде- ления [-6; 6] [-5; 4] [-4; 4] [-5; 3] Область значений [-2; 5) [0; 6] 1-3; 6] [0; 5] 2 Точки пересечения графика; а) с осью Ох А (-4; 0). О (0; 0) А (-4; 0), А (3; 0) В (-2; 0) В (-1; 0), С(2.5; 0) б) с осью Оу С (0; 2.5) D (0; -2) В (0; 4,5) 3 Промежутки знакопостоян- ства: а) Мд:) > 0 [-6: -4), [-5: 0), (-4; -1). [-5; 3) (-2; 61 (0; 4] (2.5; 4] б) Мд:) < 0 (-4; -2) — (-1; 2.5) — 4 Промежутки: а) возрастания [-3: 1]. [-5; -2], Г-4; -2]. [-3:1] [4; 6] [0; 4] [1: 4] 6) убывания М: -3], [-2; 0] 1-2; 1] [-5; -3]. [1; 4] [1; 3] 5 Точки максимума, максимум 1. /(1) = з -2. / (-2) = -2. / (-2) = 1. /(1) = 5 функции = 2 = 2 Точки минимума. -3. 0. / (0) = 0 1./(1) = -3 -3,/(-3) = 2 минимум f (-3) = -2 функции 4. / (4) = 1 6 Дополнительные f (-6) = 3 f (-5) = 0.5 / (4) = 6 f (-5) = 3 точки графика Мб) = 5 М4) = 6 98. — а) f (дг) = дг"* + 4дс^; в) f (зс) = д:3 + д.. 99. - а) / (х) = ~ 2 |х| + 1; в) f (х) = |х| - хН б) / (х) = 1 -л/дг + 4; г) f (дг) = л/х-2 -2. х+ 1 б) f (х) = г) f (ДГ) = х-Г 2х+ 1 55 I'pliroMOMcTpiKrt^'KMf фумкмии 7. Свойства тригонометрических функций. Гармонические колебания 1. Исследование тригонометрических функций. Свойства изучаемых функций удобно записывать согласно приведенной в предыдущем пункте схеме. Сведем уже известные вам свойства функций синус, косинус, тангенс и котангенс в таблицу. (Всюду предполагается, что п е Z.) Функция f (г) = sin X f (х) = cos X f (X) = tg X f (х) = Ctg X 1.1 R R (ля; л + ля) 1.2 1-1; 1] [-1; 1] R R 2.1 Иечегная Четная Нечетная Нечетная 2.2 2п 2п Я Я 3.1 (пп; 0) (f+ля; о) (ля; 0) (г 3.2 (0; 0) (0; 1) (0: 0) Нет 4.1 (2пп; л + 2лп) (-2+2ля;|+2ля] ^ля; 1 + ля^ ^лп; "-+ ля] 4.2 (-П + 2лп; 2яп) (|+2ля;^ + 2ля) + ля; nwj +ля;ля] 5.1 j^-| + 2пп; 1 + 2nnj [-Л + 2лп; 2пя] (-f+ ля;| + ля] Нет 5.2 j^" + 2яп;^т 2nnj [2лп; л + 2яя] Нет (ля; л + ля) 6.1 - ^ + 2 ля я + 2яя Нет Нет 6.2 -1 -1 Нет Нет 6.3 | + 2ля 2яп Нет Нет 6.4 1 1 Нет Нет В таблице принята следующая нумерация свойств функции /: 1.1 — область определения; 1.2 — область значений; 2.1 — четность (нечетность); 2.2 — наименьший положительный период; 3.1 — координаты точек пересечения графика f с осью Ох; 3.2 — координаты точек пересечения графика f с осью Оу; 56 'IpHroHtiMeTpM'iccKiie ф)'«гк1(ии 4.1 — промежутки, на которых / принимает положительные зна- чения; 4.2 — промежутки, на которых f принимает отрицательные зна- чения; 5.1 — промежутки возрастания; 5.2 — промежутки убывания; 6.1 — точки минимума; 6.2 — минимумы функции; 6.3 — точки максимума; 6.4 — максимумы функции. Свойства тригонометрических функций часто применяются при решении задач. В Пример 1. Расположим в порядке возрастания числа sin (-1), sin 1, sin 2, sin 3, sin 4. Пользуясь формулами приведения, запишем эти числа в таком виде, чтобы значения аргумента принадлежали одному из промежутков возрастания синуса — отрезку sin 2 = sin (я - 2), sin 3 = sin (я - 3), sin 4 = sin (я - 4). Очевидно, что -”<-1<я — 4<я-3< 1<я-2<^, по- этому sin (-1) < sin (я - 4) < sin (я - 3) < sin 1 < sin (я - 2). Итак, sin (-1) < sin 4 < sin 3 < sin 1 < sin 2. Рассмотрим график функции / (дг) = 2 sin ^Зх - ^ j (рис. 58). Он получаетс-я при помощи следующей последовательности преобразований: а) сжатием графика функции у = sin х в 3 раза вдоль оси абсцисс получаем график функции у = sin Зх (рис. 59); 57 Тр»1Г(111ометриче<'кио (|>уик1Ц1и б) переносом графика функции у = sm Злг на вектор получаем график функции у = sin j, т. е. y = sin^3x-^j (рис. 60); в) растяжением графика у = sin^3x-^ j в 2 раза вдоль оси ординат получаем график функции y = 2sin^3x-^j (рис. 61). 58 ’1'р11Г(том«*трич(Ч1-снг функции При преобразованиях, изученных в п. 3, «форма» кривой сохраняется (так же как при лвижениях и преобразованиях подобия). Поэтому синусоидой называют не только график синуса, но и любую кривую, полученную из него при помощи сясатий (растяжений) вдоль осей и последующих двимсспий илы преобразований подобия. Это же замечание справедливо для других кривых, например параболы или гиперболы. То обстоятельство, что свойства функций вида f (jc) = = А sin (кх Ь) W f (х) = А cos (Ах + Ь) аналогичны свойствам синуса (нли косинуса), позволяет сравнительно быстро провести исследование таких функций: главное — найти их период и точки, в которых значения равны О и ± Л. Пример 2. Исследуем функцию / (х) = 2 sin Зх -fj" построим ее график. 9 тг Период функции f равен — (см. п, 4), Синус обращается 3 о в нуль в точках вида яп, п е Z, поэтому f (х) = О при Зх —^ = яп, 4 т. е. при X = — + ^”, п ^ Z. Затем, решая уравнения f (х) = -2 4 3 и f (х) = 2, получим sin(Зх-—) = -1 при Зх - ~ = + 2яп, от- куда + ’ п е Z-, sin^3x-^j = l при Зх-^=|+2ял, откуда X = — -ь , п е Z. Отметим полученные точки на оси 12 3 абсцисс. Достаточно рассмотреть отрезок, длина которого равна периоду. В данном случае удобно взять отрезок конец которого является точкой ми-!шмума функции (рис. 62). Далее рисуем график функции f, возрастающей от -2 до 2 на отрезке [^^5 и убывающей от 2 до -2 на отрезке [if’ псрсюсчст ось абсцисс в точках ^ ^; oj Оj. Эскиз графика функции f на всей числовой прямой получается из графика рисун- ка 62 сдвигами на п е Z, вдоль 3 оси абсцисс (рис. 58). 59 Тригаппмгтрпчрпснс фуаккми Рис. 62 2. Гармонические колебания. Величины, меняющиеся согласно закону f (t) = А cos (ю< + ф) (1) или f (t) = А sin {lot + ф), (2) играют важную роль в физике. По такому закону меняется координата шарика, подвешенного на пружине (рис. 149). Говорят, что шарик совершает гармонические колебания. Функцию (2) тоже можно записать в виде (1): А sin (wi ф) = cos cot -ь Параметры А, со и ф, полностью определяющие колебание (1), имеют специальные названия: А называют амплитудой коле биния, ы — циклической (или круговой) частотой колебания, Ф — начальной фазой колебания (обычно берут ф е [О; 2л)). Период О _ функций А sin (ю^ + ф) и А cos {lot + ф), равный —называют пери- (1) одом гармонического колебания. Свойства функций (1) и (2) удобно проиллюстрировать на следующем примере из механики. Пусть точка М движется равномерно по окружности радиуса R - А с угловой скоростью со (при со > О вращение против часовой стрелки, а при со < О — по часовой стре.пке), причем в начальный момент времени < = О вектор ОМ составляет угол ф с положительным направлением оси абсцисс (рис. 63). Рассмотрим две следующие с))ункщ-ш от t — координаты проекций точки на оси абсцисс и ординат — функции х (f) и у (t). В момент В1)емени t вектор ОМ составляет с положительным направлением оси Ох угол ф (f), при этом ф (t) = Ф + согласно закону равномерного движения по окружности. По определению функций синус и косинус X (t) = А cos ф (t), т. е. X {1) = А cos (wf + ф), у (О = А sin ф (f), т. е. у {t) - А sin (cot + ф). Изучим свойства этих функций, опираясь на кинематические соображения. Их период равен, очевидно, времени Т, за которое точка совершает один оборот. Длина окружности равна 2т1А, а линейная скорость v равна соА, поэтому 2лЛ _ ^ V to Т = Рассмотрим один из моментов времени в который точка М занима- 60 Тркт'омометр1гчеокие функции ет крайнее правое положение. Тогда х ~ А, у (г^) = О. Начиная с этого момента времени функция х (<) будет попеременно убывать от А до -А на первой половине периода и возрастать от -А до А на второй половине периода. При этом точки максимума функции X (t) — это те моменты времени, когда точка занимает крайнее правое положение; точки минимума соответствуют крайнему левому положению, а нули — верхнему и нижнему положениям. Анало1ичными свойствами обладает и функция у (t); ее точки максимума и минимума соответствуют верхнему и нижнему положениям точки на окружности, а нули — правому и левому положениям. Отметим, что при Л=1, ю=1 иф = 0 функции х (<) и у (/) равны соответственно cos t и sin t. Проверьте самостоятельно, что известные вам свойства этих функций легко получить, рассматривая соответствующее движение точки по единичной окружности. Упражнения 100.— Пользуясь свойствами тригонометрических функций, замените выражение равным ему значением той же тригонометрической функции наименьшего положительного аргу- 101.- 102. 103. мента: „ч 18п •„ 28л. а) tg -, sin ; о о 6, Г) cos^, ctg Найдите область определения и область значений функции: а) f (х) = 3 cos 2х — 1; б) f {х) = 2- ctg Зх-; в) f(x) = 2 tg |; г) / (х) = 1 f 0,5 sin Найдите промежутки знакопостоянства н нули функции: а) / (л:) = -sill 3 х; б) f(x) = tg^: в) f (х) = cos г) / (х) = ctg 2х. Найдите промежутки возрастания, убывания, точки максимума и минимума функции: а) f (х) = 4 сов Зх; б) f (х) = 0,5 ctg 4 в) f(x) = 2 tg |; г) f (jc) = 0,2 sin 4х. 61 Трип)11омгтрнч«>С11:|1С фун кипи Исследуйте функцию и постройте ее график (104—105). 104.— а) /■(д:)=|со8 в) f (аг) = -1,5 cos Зх; 105.- а) /(x) = |tg2x; в) f(x) = -2 ctg|; б) f (х) = -2 sin 2х; г) /(х)= 3 sin 6) f (х) = -3 cos Зх. г) f (х) = 2,5 sin 106.^ 107. 108. Координата движущегося тела (иомеренная в сантиметрах) изменяется по указанному закону. Найдите амплитуду, период, частоту колебания. Вычислите координату тела в момент времени .1|Г' tJtyilKItMM 111.— Найдите область значений функции: 6) ^ = , 1+ tg-'x г) у = 112.- 113. 114. а) у = sinx-VScosx; в) i/ = .Jl-cos4x; ^ 1 + Ctg'^ X Исследуйте функцию и постройте ее график (112—113). а) / (х) =2 cos J j; б) / (х) = ^ sin ^ ^ -хj; г) / (х) = l,5cos-х^. б) /(x)=ctg^|-(-^j; г) /(x) = tg(^-3xj. в) /■(x) = tg^x-^j; а) /“(х) = sin|^2x-^j; в) f (х) =4 cos (f’f> По графику, изображенному на рисунке 64, определите амплитуду силы тока (или напряжения), период колебания. Запишите закон зависимости силы тока (или напряжения) от времени. Рис. 64 63 Тригонометрические <|>ункции 115.— В какой ближайший момент времени i (< > О), считая от начала движения, смещение точки, совершающей гармонические колебания по закону дг(/)=5со8^- »а) максимально; б) равно 2,5; в) равно О; г) равно -5? 7^ , л 1. 4 8 § 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств 8. Арксинус, арккосинус и арктангенс 1, Теорема о корне. Сформулируем важное утверждение, которым удобно пользоваться при решении уравнений. Теорема (о корне). Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число а — любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f (дс) = а имеет единственный корень в промежутке I. Доказате-пьство. Рассмотрим возрастающую функцию / (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию в промежутке I существует такое число Ь, что f (Ь) = а. Покажем, что Ь — единственный корень уравнения f (х) = а. Допустим, что на промежутке I есть еще число с * Ь, такое, что f (с) = а. Тогда или с < Ь, или с > Ь. Но функция f возрастает па промежутке I, поэтому соответственно либо f (с) < f (Ь), либо f (с) ^ f Ф)- Это противоречит равенству f (с) = f ф) = а. Следовательно, сделанное предположение неверно и в промежутке I, кроме числа Ь, других корней уравнения f (х) = а нет. I Пример 1. Решим уравнение дг^ + а: = 2. Функция f (а:) = дг® -н ас возрастает на R (это сумма двух возрастающих функций). Поэтому уравнение f (дг) = 2 имеет не более одного корня. Легко видеть, что корнем является х = 1. 2. Арксинус. Как вы знаете, функция синус возрастает на отрезке 2] ** принимает все значения от -1 до 1. Следова- тельно, по теореме о корне для любого числа а, такого, что |о| < 1, в промежутке ^ j существует единственный корень Ь уравне- 64 Тригонометрические функции ния sin X - а. Это число Ь называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а (рис. 65). Определение. Арксинусом числа а на.зыва-ется такое число из отрезка ^ , синус кото- рого равен а. Пример 2. Найдем arcsin -J2 • ^^2 л . п V2 arcsin — = -, так как sin = 2 4 4 2 синус KOTopoi’O есть — ^. Пример 3. Найдем arcsin Число ^из промежутка равно - ^. Поэтому arcsin ^ ~ 2 ) ~ ~ f ’ 3. Арккосинус. Функция косинус убывает на отрезке [0; к] и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа а, такого, что |о| < 1, на отрезке [0; п\ существует единственный корень Ь уравнения cos х = а. Это число Ь называют арккосинусом числа а и обозначают arccos а (рис. 66). Определение Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [О; л1, косинус которого равен а. Пример 4. arccos ^ так как cos " = ^ и J е [0; д]. 2 6 о 2 Ь 3 л Пример 5. arccos е [0; л]. (- Л 2 Зл 4 ’ так как cos 3 л V2 2 65 Тригонометрические функции 4. Арктангенс. На интервале функция тангенс воз- растает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а на интервале ^ ^^ j существует единственный корень Ь уравнения tg JT = а. Это число Ь называют арктангенсом числа а и обозначают arctg а (рис. 67). Определение Арктангенсом, числа а называется такое число из интервала тангенс которого равен а. В Пример 6. arctg 1 =—, так как tg-=lH "ef-1. 4 4 4 \ 2 2 J Пример 7. arctg= так как tg^-^j = -A/3 и 2’ 2 Г 5. Арккотангенс. Функция котангенс на интервале (О; л) убывает и принимает все значения из Я. Поэтому для любого числа о в интервале (О; л) существует единственный корень Ь уравнения ctg X = а. Это число Ь называют арккотангенсом числа а и обозначают arcctg а (рис. 68). Определение. Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (О; л), котангенс которого равен о. 66 Тригонометрические функции Пример 8. arcctg так как ctg | ^ л/з 3 3 Ьп Пример 9. arcctg (—/З) =так как ctg = —Уз и е(0; я). Упражнения Сколько корней, принадлежащих данному промежутку, имеет каждое из уравнений (116—117)? 116.— а) = 3, лг 6 (-оо; оо); в) X*’ - 4, X е (-оо; 0]; б) -^=-5, X е (-оо; 1); х-1 г) —= 2, X е (-2; со). х+ 2 117.— а) (х - 3)® =-4, хе б) 2 sin X = 1,5, X е -со; оо); _5- д1-2’ 2J’ в) (х + 2)^ = 5, X е [-2; оо); г) 0,5 cos а = — 7, х б [0; я]. 4 1 Отметьте на единичной окружности точки Р,, для которых соответствующее значение t удовлетворяет данному равенству. Найдите значение t, принадлежащее указанному промежутку (118—120). 118. 119. 120. 121. а) sin t 2 ’ [-1 ^ i> б) sin t = 1 2’ [-1^ 2]^ в) sin t 2 г) sin t = [-1^ §]■ а) cos t 1 2’ [0; я]; б) cos t = 73 ■ 2 ’ . [0; я); в) cos t /2 2 . [0; я]; г) cos t ■- = 0, (0; я]. а) tg t ■■ _я. л У 2’ 2;’ б) ctg t = = л/3. (0; я); в) tg t ■■ = V3,( _ л . я у 2’ 2 у’ г) ctg t : = -l. (0; я). Вычислите (121 —123). а) arcsin 0; б) arcsin Л" 2 (- в) arcsin 1; г) arcsin j. 67 Тршонометрмчсгкно функции 122,— а) arccos в) arccosI — (-3^> Гз б) arccos f2. 123.— а) arctg V3 в) arctg 0; г) arccos 1. б) arctg (-1); г) arctg yfz. 124. -»- 125. — Имеют ли смысл выражения (124—125)? а) arcsin|^-^j; б) arccos в) arcsin 1,5; г) arccos ^[|. а) arccos л; б) arcsin (3-V^); в) arccos (—УЗ); г) arcsiii Найдите значения выражений (126—128). 126.-1 а) arcsin о + arccos 0; б) arcsin + arccos 2 127. 128. 129. 1 • \^з V"3 V */1ч v3 в) arcsin — + arccos г) arcsin (-1) + arccos - - . а) arccos (-0,5) + arcsin (-0,5); ■J2 6) arccos] —I-arcsin (-1); в) arccos , \^2 . л/З г) arccos-----arcsin —. 2 2 a) arctg 1 - arctg -УЗ; в) arctg ( -УЗ) + arctg 0; Сравните числа: a) arcsin | | и arccos \ 2j 2 6) arccos и arctg (-1); b) arctg -Js и arcsin 1; 6) arctg 1 - arctg (-1); r) arctg I f arctg \ 3 Уз. r) arccos 4)" arcsin 130.— C помощью калькулятора и.ти таблиц найдите значение выражения: |а) arcsin 0,3010; arctg 2,3; б) arccos 0,6081; arctg 0,3541; 68 Тригонометрические функции 131.— в) arcsin 0,7801; arccos 0,8771; г) arctg 10; arcsin 0,4303. Вычислите: a) 2 arcsin :4) + arctg (-1) + arccos 6) 3 arcsin - + 4arccos --i= -arcctg (-■\/3); 2 I л/2 J b) arctg (—JS) + arccos j + arcsin 1; r) arcsin (-1) - ^ arccos ^ + 3 arctg 1. 2 2 { у[3 J 132. Докажите, что д-пя любых чисел Xj и х^ из промежутка [-1; 1] из неравенства х^ < следует неравенство: а) arcsin х, < arcsin х./, б) arccos х, > arccos Xg. 133. -^ Докажите, что для любых чисел х, и Xg из неравенства ( X, < Xj следует неравенство: ! а) arctg X, < arctg Х2; б) arcctg x^ > arcctg Х2. 134. 135. Расположите числа в порядке возрастания (134—135). а) arcsin^, arcsin (-0,3), arcsin 0,9; б б) arcsin (-0,5), arcsin (-0,7), arcsin О в) arccos 0,4, arccos (-0,2), arccos (-0,8); r) arccos 0,9, arccos (-0,6), arccos . 5 а) arctg 100, arctg (-5), arctg 0,7; б) arcctg 1,2, arcctg n, arcctg (-5). 9. Решение простейших тригонометрических уравнений 1. Уравнение cos t = а. Очевидно, что если |а|> 1, то уравнение cos t = а (1) не имеет решений, поскольку |cos < 1 для любого t. Пусть |а| < 1. Надо найти все такие числа <, что cos t — а. Па отрезке [0; я] существует в точности одно решение уравнения (1) — это число arccos а. 69 Тригонометрические функции Рис. 69 Косинус — четная функция, и, значит, на отрезке [- п; 0] уравнение (1) также имеет в точности одно решение — число -arccos а. Итак, уравнение cos f = а на отрезке [-тс; тс] длиной 2тс имеет два 1зешения: t = ± arccos а (совпадающие при а = 1). Вследствие периодичности функции cos все остальные решения отличаются от этих на 2тсга, (л е Z), т. е. формула корней уравнения (1) такова: t~± arccos а + 2тсл, п е Z. (2) (Обратите внимание: этой формулой можно пользоваться только при |а| < 1.) Решение уравнения (1) можно проиллюстрировать на единичной окружности. По определению сов t — это абсцисса точки Р, единичной окружности. Если |я| < I, то таких точек две (рис. 69, а); если же а = 1 или а = -1, то одна (рис. 69, б). При 0 = 1 числа arccos а и -arccos а совпадают (они равны нулю), поэтому решения уравнения cos 1=1 принято записывать в виде t = 2пп, п ^ Z. Особая форма записи решений уравнений (1) принята также для а = -1 и 0 = 0: cos t = -1 при 1 = п + 2тш, п е Z-, cos t = О при 1 = ^ + пп, п е Z. Щ Пример 1. Решим уравнение cosх = ^. По формуле (2) X = ± arccos I + 2 7Ш, п е Z. Поскольку arccos^ = приходим к ответу X = ± ^ + 2пп, п е Z. О 70 TpHTHHOMerinnici-KHe фупки.т| Пример 2. Решим уравнение cos jc =-0,2756. По формуле (2) X = ±arccos (-0,2756) + 2пп, п е Z. Значение arccos (-0,2756) находим с помощью калькулятора; оно приближенно равно 1,8500. Итак, X = ±дс„ + 2лп, п е Z, где » 1,8500. Пример 3. Решим уравнение cos^2х-^^ = — ^?. По формуле (2) 2х-^= +arccos ^ j + 2яп, п е Z, т. с. 2х - ^ = ± + 2пп, откуда л: = ^ ± + пп, п 8 12 2. Уравнение sin t = а. Уравнение sin t = а не имеет решений при При |а| < 1 на отрезке (3) о| > 1, так как |sin (| < 1 для любого t. ~2 ’ уравнение (3) имеет в точности одно решение = arcsin а. На промежутке функция sin убывает и принимает все значения от -1 до 1. По теореме о корне уравнение (3) имеет и на этом отрезке один корень. Из рисунка 70, о видно, что этот корень есть число ^ ~ arcsin а. Действительно, sin <2 = sin (л - fj) = sin tj = о. Кроме того, поскольку -| < имеем< -fj < ^ и л-| < л-<, < я+ |, т. е. при- надлежит отрезку а) Рис. 70 71 Тригоиометрмческие функиии Итак, уравнение (3) на отрезке _л, Зя] 2’ 2'J имеет два решения: = arcsin а и = rt - arcsiii а (совпадающие при а = 1). Учитывая, что период синуса равен 2п, получаем такие формулы для записи всех репюний уравнения: t = arcsin а + 2яп, (4) t = п - arcsin а + 2пл, п е Z. (5) Удобно решения уравнения (3) записывать не двумя, а одной формулой: t = (-1)* arcsin а + лЛ, к е Z. (6) Нетрудно убедиться, что при четных к = 2п из формулы (6) находим все решения, записанные формулой (4); при нечетных к = 2п + I — решения, записываемые формулой (5). Решение уравнения (3) удобно иллюстрировать на единичной окружности. По определению sin t есть ордината точки Р, единичной окружности. Если |а| < 1, то таких точек две (рис. 70, а); при а = ± 1 — одна (рис. 70, б). Если 0 = 1, то числа arcsin о и л - arcsin а совпадают, поэтому решение уравнения sin ( = 1 принято записывать так: i = I 2лп, п е Z. При а = -1 и 0 = 0 принята следующая запись решений: sin t = -1, если f = - ? + 2ял, п е Z. sin t = О, если t - ЛЛ, л е Z. I Пример 4. Решим уравнение sinx = ^. По формуле (6) X = (-1)* arcsin ^ + nk, к е Z, т. е. х=(-1)" ^ + лА, к е Z. 4 Пример 5. Решим уравнение sin х = 0,3714. Согласно формуле (6) X = (-1)" arcsin 0,3714 + лл, л е Z. С помощью калькулятора находим arcsin 0,3714 * 0,3805. Пример 6. Решим уравнение sin^^ - Функция синус нечетна. Поэтому 12 10 j 2 72 Тригонометрические функции По формуле (6) X 2 к eZ. Так как arcsin =(-!)* arcsin +TTfe, = имеем: £_JL =(-!)* f-lU ПЙ, jf= " f (-1)**'i + 2nA, * e Z. 210 \ 4 J 5 2 3. Уравнение t{jt = a. При любом a на интервале ~ j имеется ровно одно такое число t, что tg < = а, — это arctg о. Поэтому уравнение tg < = а (7) имеет на интервале ^ ^длиной к единственный корень. Функция тангенс имеет период тг. Следовательно, остальные корни уравнения (7) отличаются от найденного на пп (п б Z), т. е. t = arctg а + кп, п е Z. (8) Решение уравнения tg t = а удобно проиллюстрировать с помощью линии тангенсов (рис. 71). Напомним, что tg t — это ордината точки Т, пересечения прямой с линией тангенсов (см. п. 1). Для любого числа а на линии тангенсов есть лишь одна точка с ординатой а, это точка Т (1; а). Прямая ОТ пересекается с един1Р1НОй окружностью в двух точках; при этом интервалу j соответствует точка правой полуокружности, та- кая, что f, = arctg а. В Пример 7. Решим уравнение tg д: = -Js. По формуле (8) находим решение X = arctg л/З + жп, п е Z, а так как arctg л/з = ", приходим к окончатель-3 ному ответу: г = " + лл, п е Z. 3 Пример 8. Решим уравнение tgx = 5,177. Из формулы (8) следует, что X = arctg 5,177 -I- пп, п € Z. С помощью калькулятора находим arctg 5,177 « 1,3800. 73 Тригонометрические функции Пример 9. Решим уравнение ctg х = —/з. Это уравнение равносильно уравнению tg д: = -, которое /Я решаем с помощью формулы (8): зс =arctg =-’* + пл, п е Z. V3 >1 6 Упражнения Решите уравнения (136—143). 136.- - а) /2 cos дг = —; 2 6) cosx = 1. 2’ в) Л cos X = ; r) cos X = -1. 137.- - а) 2 cos х + л[з = 0; 6) Л cos x-1 = 0; в) 2 cos д: + Л = 0; r) 2 cos X - 1 = 0. 138.- а) sin X 2 6) sinx = v^. 2 ’ в) sinx = - r) sin X = -1. 139. а) Л sin X -1-1 = 0; 6) 2 sinx + Л = 0; в) 2 sin X - 1 = 0; r) 2 sin X + л/2 = 0. 140.- а) 6) ctg X = Л; в) tg X = 1; r) tg X = 0. 141. а) tg X + Л = 0; 6) ctg X -h 1=0 ■ в) Л tg X -1 = 0; r) Л ctg X -1 = 0. 142. а) sm2x = ^; 6) cos - = 3 1. 2’ в) sin*=l; 4 2 r) cos 4x = 0. 143. а) sin X = -0,6; 6) ctg X = 2,5; в) cos X = 0,3; Г) tg X = -3,5. 144.— Решите уравнения (144—147). V2 б) tg(-4x) = -^; г) ctgl I в) cos (-2 х) =- {3. 2 ’ Л’ 74 11>||>>|цимитрич<‘ские функции 145.— а) 2cos^|-^j = VS; а) cos -2л-j =-1; 146. б) 2 sin^Sx - = --Д; б) 2 sm^|-ij=V3; г) 2 cos ^ J - Зл j = л/2. 147.— я) Я1П Зл: cos х - cos Зх sin х = б) sin^ ^-cos2i^ = l; 4 4 v^. в) sin 2х cos 2х = - 7; 4 V2 148.— 149. . 150. г) sin - cos — -cos * sin — = „ ' 3 5 3 5 2 Для каждой из функций //= 2 cos|^2x--^ j и i/ = sin^^ + j найдите координаты общих точек ее графика с прямой: а) х = 4,5л; б) р =-1; в) i/=l; г) р = 0. Решите уравнения cos^-^--2xj = sin^2x+^j = -l и найдите для каждого из них: а) наименьший положительный корень; б) корни, принадлежащие промежутку ^]’ в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие промежутку ^-л; Докажите, что все решения уравнения ctg t ~ а находятся по формуле t = arcctg а + пп, п s Z. 10. Решение простейших тригонометрических неравенств Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится, как правило, к решению простейших неравенств вида sin t < а, cos t > а, tg t > а и т. п. Рассмотрим на примерах способы их решения. В Пример 1. Решим неравенство sin Г > -1. Все точки Р, единичной окружности при значениях t, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, большую 75 Триюнометричрские функции или равную — Множество всех таких точек — дуга I, выделенная на рисунке 72. Найдем условие принадлежности точки Р, этой дуге. Точка Р, лежит на правой полуокружности, ордината Р. рав- 1 * * на и, следовательно, в качестве удобно взять значение tJ = arcsin (-i)-t- Представим себе, что мы совершаем обход дуги I от точки Р,^ к против часовой стрелки. Тогда t^> t^, и, как легко понять, - л - arcsin Таким образом, получаем, что точка Р, принадлежит дуге I, если Итак, 6 6 решения неравенства, принадлежащие промежутку Г_л. 3п1 L 2’ 2 J дли- tr 7 IT ной 2п, таковы: - <<<—. Вследствие периодичности синуса 6 6 остальные решения получаются добавлением к найденным чисел вида 2пп, где п е Z. Приходим к ответу: -5--^ 2пп < ^ < I? + 2пп, п 6 Z. 6 6 42 Пример 2. Решим неравенство sinf < ^ . Это неравенство означает, что все точки Р, единичной окружности при значениях t, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, меньшую Множество всех таких точек — дуга I, выделенная на рисунке 73. Концы ее и Р,_ не входят в рассматриваемое множество, поскольку их ординаты не меньше, i'2 а равны Чтобы найти условие, при котором точка Р, при- 76 Тригонометрические функции ния неравенства из промежутка надлежит указанному множеству, найдем и Возьмем t, = arcsin ^ ’ 2 4 Рассмотрим обход дуги I от точки к Р, а направлении * /2 ^ Г по часовой стрелке: < t^, и = -п- arcsin = -~. Все реше- - длиной 2п таковы: _ 2 2 J и <2 = 2п - arccos i = ~. Точка принадлежит выделенной дуге / 2 3 (исключая ее концы) при условии, что ^ f < ^. Решения нера- О о венства, принадлежащие промежутку [0; 2п] длиной 2я, таковы: ^ < t Вследствие периодичности косинуса остальные решения 3 3 получаются добавлением к найденным чисел вида 2пп, где п е Z. Приходим к окончательному ответу: -н 2тш Jo Обозначив 2х через t, получим cost>-^. На рисунке 76 выделена соответствующая дуга I. Находим fj = arccos t2=-^, откуда 4 [ 2 ) 4 ' + 2ял < t < —+ 2ял, п е Z. 4 4 Переходя к переменной х, получаем: + 2ял < 2х < + 2яп, + ял < дг < + ял, п е Z. 4 4 8 8 78 Триго1н>метричсские ф>'нкпии венство 3 tg венство, получим: tg \3 2) 3 V3 получаем Обозначим - через i, тогда tgt> -- . На рисунке 77 выделена 2 3 3 соответствующая дуга I. Так как tj = arctg -^ + ли |. в) sin t > , 2 ч * ^2 а) cos г > —, е [0; л]; б) sinK-^ t е |0; л]; г) sin ^ ~ 2 ’ ' б) cos f < -i, t 2 §]’ г) cos t < а) tgt >-у[з, t ij; в) 6, г) (.(-I; 79 I |)ИГОнометр11*1е<'Кке фупкини Решите неравенства (154—157). 154.- - a) sin x> б) Уз sin X ; в) sin x> 2 г) У2 sin X < —^ . 2 155.- a) cos л: J» -1; б) V2 cos X < —; 2 в) cos л: > у; г) 42 cos лг < - 156. a) tg X < УЗ; б) в) г) tg л: < -1. 157. a) 2 cos лс -1 ? 0; б) 2 sin лс + V2 > 0; в) 2 cos л: - -Уз <0; г) 3 tg X + л/З > 0. Решите неравенства (158—163). 158.— а) sin2x 1; 3 2 г) tg 5л: > 1. б) л/з tg[^3a: + ^j< 1; г) 2 cos ^4дсj >-Уз. 160.— а) sin X cos - - cos X sin 5 < i; 6 6 2 6) sin - cosX + cos - sin x 4 4 2 161. 162. b) 4 sin 2 л: cos 2 jt >-4/2; r) cos ^ cos X - sin X sin ^ < - V3 a) ctg X > -УЗ; в) ctg Зле < ^ ; V 3 a) 3 sin ^ ^ 2; 4 6) y3ctg^^-2xj> 1; r,3ctg(s*j)>.73. 6) 4 cos ~ < -3; b) 5 tg 2л: < 3; г) 0,5 sin 4x < -0,2. 80 Тригонометрические функции 163.— Найдите решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку: б) cos|>'^^. с]; в) tg X > -1, л: G^-|; jj: г) sLri 2х , X е [0; п]. 11. Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений В п. 9 было показано, как решать простейшие тригонометрические уравнения. Решение более сложных тригонометрических уравнений требует знания формул тригонометрии. Рассмотрим некоторые примеры. Н Пример 1. Решим уравнение 2 sin^ х + sin х - 1 = 0. Введем новую переменную у = sin х. Тогда данное уравнение можно записать в виде 2у^ + у - I = 0. Мы получили квадратное уравнение. Его корнями служат i/, = ^ и j/j = -1. Следовательно, sin JT = I или sin д: = -1. В первом случае получим решения X = (-I)* arcsin i + л/г, т. е. X = (-1)* - nk, k е Z. 6 Во втором случае имеем: x = ---f2xn, п е Z. 2 Пример 2. Решим уравнение 6 sin^ х + 5 cos х - 2 = 0. Заменяя sin^ х на 1 - cos* х, получим относительно cos х квадратное уравнение 6(1- cos* х) + 5 cos х - 2 = 0, откуда -6 cos* X г 5 cos X + 4 = о, т. е. 6 cos* х - 5 cos х - 4 = 0. Как и в примере 1, введем новую переменную cos х = у. Тогда 6t/* -— 5у - 4 = о, откуда у = -^ или г/ = 1-i. Уравнение cosx = 1 ^ не име- ет решений, так как 1 ^ > 1. Решая уравнение cosx = - находим: О ь X = ± + 2nk, k е Z. 3 81 Тригонометрические функции Пример 3. Решим уравнение tg х + 2 ctg лг = 3. Обозначим tg X через у. Поскольку ctg х = * , получаем tgx 2 уравнение j/ + - = 3, которое приводится к квадратному у‘^ — Зу + + 2 = 0 (при условии у ^ 0). Его корни у = 2 к у - 1. 1) tg л: = 2, X = arctg 2 + пк, т. е. х = дгц + пк, к е Z, где JC(, = arctg 2 w 1,1072. 2) tg дг = 1, д: = -” + пк, к е Z. 4 Пример 4. Решим уравнение 3 sin^ X 4 sin X cos х + cos^ х = 0. Значения х, при которых cos дг = О, не являются решениями этого уравнения, так как если cos дг = О, то должно выполняться равенство 3 sin^ дс = О, а косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos^ X (и.пи на sin^ дс) и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению 3 tg^ дr-4tgд:+l=0, откуда tg дс = 1 или tg д: = ^. Следовательно, О дс = J + лп, п е Z, или д: = arctg | + пк, к е Z. Пример 5. Решим уравнение 6 sin^ х + 4 sin х cos х = 1. Заменим 1 в правой части ургшнения на sin^ х + cos^ х. После выполнения соответствующих преобразований получаем 5 sin^ х + + 4 sin X cos X - cos^ х = 0. Воспользуемся приемом решения подобного уравнения, который описан в примере 4. В результате имеем tgx = i, tgx = -l. Следовательно, О X = arctg - + лп, п е Z, или х = - ” + пк, к е Z. 5 4 Пример 6. Уравнение sin^ х - sin 2х = 0 после замены sin 2х на 2 sin х cos х приводится к виду sin^ х - 2 sin х cos х = 0. Разложим левую часть на множители: sin х (sin х - 2 cos х) = = о, откуда sin х = 0, т. е. х = пп, п е Z, или sin х - 2 cos х = 0, откуда tg X = 2 и х = arctg 2 + лп, п е Z, т. е. х = Xq + пп, п е Z, где Хц = arctg 2 я 1,1072. Как и в примере 4, можно было разделить обе части уравнения на cos^ X и получить уравнение tg^ х - 2 tg х = О. Если же делить на sin* X, то нужно учесть, что те х, при которых sin X = о, — решения данного уравнения. Поэтому к корням полученного после деления на sin* х уравнения ctg х — | = 0 надо добавить корни уравнения sin х = 0. 82 Тригонометрические функции Многие другие уравнения, налример уравнение sin^ х - - sin X cos X + cos^ X = О или уравнение sin^ х + 2 sin^ х cos х - — 5 sill X cos* jr + 2 cos* д; = О и т. п., также решаются делением левой и правой частей уравнения на косинус (или синус) в степени, равной степени уравнения. Предварительно надо проверить, являются ли значения х, для которых cos х = О (sin х = О при делении на sin" х), решениями данного уравнения. Так, уравнения BTopoii степени делят на cos* дг (или sin* х), а третьей — на cos® х (или sin® х) и заменой tg х (или ctg х) на у получают алгебраическое уравнение. В Пример 7. Решим уравне1ше cos 6х-ь cos 2дс = 0. Преобразовав сумму косинусов в произведение, получим 2 cos 4дг cos 2х = 0. Это уравнение обращается в верное равенство, ес.пи cos 4х = о или cos 2дс = 0, т. е. к е Z, или + п е Z. х=^ + 8 4 4 2 Пример 8. Решим систему уравнений sin X = 2 sin у. 5я Из первого уравнения находим у - х- — О Тогда 2 sin у = = 2 sin^ jc-^j=2^sini: cos ^ - cos х sin ^ 2sin | cos х j = = sinx-t-^/Зcosx. Второе уравнение системы примет вид sin х = = sinx + л/Зсо8х, откуда cos х = 0, ^ еде п е Z. Далее на- ходим р = X - ^ ^ + лп - = лп - п е Z. 3 Z S о Ответ. (—+ля;лп—— I, п V2 6 ) 7п 6 ’ е Z. 164. - 165. 166. Упражнения Решите уравнения (164—168). а) 2 sin* X + sin х - 1 = 0; б) 3 sin* х - 5 sin х - 2 = 0; в) 2 sin* X - sin X - 1 = 0; г) 4 sin* х -н 11 sin х - 3 = 0. а) 6 C08* X + cos X — 1 = 0; б) 2 sin* х 3 cos х = 0; в) 4 cos* X — 8 cos X -н 3 = 0; г) 5 sin* х 6 cos х - 6 = 0. а) 2 cos* X + sin х -г 1 = 0; б) cos* х -г 3 sin х = 3; в) 4 cos X = 4 - sin* х; г) 8 sin* х cos х -г 1 = 0. 83 TlimOHOMCTpitHeficMC функ11Ш1 167.— а) 3 tg^ x+2tgjc-l=0; в) 2 tg^ A: + 3tg^r-2 = 0; 6) tg jc - 2 ctg ДС + 1 = 0; r) 2 ctg x-3tgJc + 5 = 0. 168.— a) 2cos* JC4-VScosjc = 0; 6) 4 cos* X - 3 0; b) Vs tg* JC - 3 tg JC = 0; r) 4 sin* X - 1 = 0. Решите уравнения (169— -174). 169,— a) 3 sin* X + sin JC cos jc = 2 cos* x; 6) 2 cos* JC - 3 sin X cos jc + sin* X = 0; в) 9 sin JC cos X - 7 cos* jc = 2 sin* x; г) 2 sin* JC - sin X cos jc = cos* X. 170.- a) 4 sin* JC - sin 2jc = 3; 6) cos 2x = 2 cos X - 1; в) sin 2jc - cos X = 0; r) sin 2x + 4 cos* X = 1. 171.— a) 2 sin* X ■= Vs sin 2 x; 6) Vs tg X - Vs ctg X - 2; в) sin X + Vs cos X = 0; r) tg X = 3 ctg X. 172.— a) sin 2x + 2 cos 2x = 1; 6) sin"* ^ -cos'* ^ = Ь 4 4 2 в) 3 sin 2x 4 cos 2x = 2 cos* x; r) 1 — cos x — 2 sin ^. 173.— a) sin 4x + sin* 2.x = 0; 6) ^ =1; 5 tg X 4 8 в) — - = 2; 3 sin X1 4 r) l-sin2x =1 cos--sin - 1 . 1 2 2j 174.-;- 1 a) cos 5x - cos 3x = 0; 6) sin 7x - sin X = cos 4x; в) sin 5x - sin X = 0; r) cos 3x + cos X = 4 cos 2x. Решите системы уравнений (175—176). 175. 176. a) в) a) в) \x +у = n, [cosaj-cosy = 1; \x + у = n, [ sill д: 4- sini/ = 1; [ sin JC - cos у -0, I sin* JC + cos* у -2; I sill JC + cos I/ = 1, [ sin* JC-cos* I/ = 1; 84 Трнгономстрнческме функции Сведения из истории 1. О происхождении единиц измерения углов. Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне задолго до новой эры. Жрецы считали, что свой дневной путь Солнце совершает за 180 «шагов», и, значит, один «шаг» равен развернутого 180 угла. В Вавилоне была принята шестидесятеричная система счисления, т. е. фактически числа записывались в виде c^^vIмы степеней числа 60, а не 10, как это принято в нашей десятеричной системе. Естественно поэтому, что для введения более мелких единиц измерения углов один «шаг» последовательно делился на 60 частей. Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и ее сохранили математики Греции и Рима. Термины, которыми мы пользуемся для названия угловых величин, имеют .латинские корни. Слово «градус* происходит от латинского gp'adus (шаг, ступень). В переводе с латинского minutus означает «уменьшенный». Наконец, secunda переводится как «вторая». Имеется в виду следующее: деление градуса на 60 частей, т. е. минуты,— это первое деление; деление минуты на 60 секунд — второе деление градуса. Малоупотребительное название 1 60 ление градуса). Принятая ceiiyac система обозначения величин углов получила широкое распространение на рубеже XVI и XVTI вв.; ею уже пользовались такие известные астрономы, как Н. Коперник и Т. Браге. Но еще К. Птолемей (П в. н. э.) количество градусов обозначал кружком, число минут — штрихом, а секунд — двумя штрихами. Дру1'ая единица измерения углов — радиан — введена совсем недавно. Первое издание (это бьши экзаменационные билеты), содержащее термин «радиан», появилось в 1873 г. в Англии. Сначала в обозначениях указывалось, что имеется в виду -н ‘ - радианная мера (например, ^ — угол в ^ радиан), но вскоре индекс R (или г) стали опускать. Сам термин «радиан» происходит от латинского radius (спица, луч). Если вспомнить опреде.пение угла в один радиан (центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности), то выбор корня «рад» Д.ПЯ названия такого угла представляется совершенно естественным. секунды — терцина, латинское tcrcina означает «третье» (де- 2. Об истории тригонометрии. Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г.) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое: Tpiyovov — треугольник, рстресо — мера. Иными словами, тригоно-ме'грия — наука об измерении треугольников. Хотя название воз- 85 Тригонометрические функции Рис. 78 никло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назад. Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в JII в. до н. э. в работах великих математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (1в. н. э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус угла а, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной а, или как хорда удвоенной дуги (рис, 78). В последующий период математика долгое врюмя наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными. В IV—V вв. появился, в частности, уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты (476 — ок. 550), именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок AM (рис. 78) он назвал ардхаджива (ардха — половина, джиеа — тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее привилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX в. слово джива (или джиба) было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XII в. это слово было заменено латинским синус (sinus — изгиб, кривизна). Слово косинус намного моложе. Косинус — это сокращение латинского выражения compleinenty sinus, т. е. «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните С06 а = sin (90“" - а)). Имея дело с тригонометрическими функциями, мы существенно выходим за рамки задачи «измерения треугольников». Поэтому известный математик Ф. Kneiin (1849—1925) предлагал учение о «тригонометрических* функциях называть иначе — гониометрией (латинское gonio означает «угол*). Однако это название не приви.пось. Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X в. арабским математиком Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV в. сначала английским ученым Т. Бравердином, а позднее немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). 86 Т{>и1’омометричсские функции Название ♦тангенс», происходящее от латинского tangcr (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как ♦касающийся» (вспомните: линия тангенсов — это касательная к единичной окружности). Современные обозначения arcsiii и arctg появляются в 1772 г. в работах венского математика Шерфера и известного французского ученого Ж.-Л. Л а гр а н ж а, хотя несколько ранее их уже рассматривал Я. Бернулли, который употреблял иную символику. Но общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка ♦арк* происходит от латинского arcus (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия: nrcsin х, например. — это угол (а можно сказать, и дуга), синус которого равен X. Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии, т. е. факты, которые мы сейчас форму’лируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затмений и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников, составленных из больших кругов, лежащих на сфере. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с задачами, существенно более трудными (почитайте книги о сферической геометрии), нежели задачи на решение плоских треугольников, которыми вы занимались в IX классе. Во всяком случае в геометрической (1х>рме многие известные вам формулы тригонометрии открывались и нереоткрывались древнегреческими, индийскими, арабскими математиками. (Правда, формулы разности тригонометрических функций стали известны только в XVII в.— их выве.д английский математик Непер для упрощения вычислений с тригонометрическими функциями. А первый рисунок синусоиды появился в 1634 г.) Принципиальное значение имело составление К. Птолемеем первой таблицы синусов (долгое время она называлась таблицей хорд): появилось практическое средство решения ряда прикладных задач, и в первую очередь задач астрономии. Имея дело с готовыми табл»:цами или пользуясь калькулятором, мы часто не задумываемся о том, что было время, когда таблицы еще не были изобретены. Для того чтобы составить их, требовалось не только выполнить большой об'ьем вычислений, но и придумать способ составления таблиц. Таблицы Пто.пемея точны до пяти десятичных знаков включительно. Современный вид тр11гонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия Л. Эйлер (1707—1783), швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся чле- 87 rp«iYiiioMeTpH4C4 ».HP Функи г Эйлер Леонард (1707—1783) — крупнейший математик XVIII столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, вариационному исчислению, механике и другим приложениям математики. ном Петербургской Академии наук. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрическтгх функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. Все это малая доля того, что за долгую жизнь Эйлер успел сделать в математике: он оставил свыше 800 работ, доказал многие ставшие классическими теоремы, относящиеся к самым разным областям математики. (Несмотря на то что в 1776 г. Эйлер потерял зрение, он до последних дней продолжал диктовать все новые и новые работы.) Но если вы попытались оперировать с тригонометрическими функциями в геометрической форме, т. е. так, как это делали многие поколения математиков до Эйлера, то сумеете оценить заслуги Эйлера в систематизации тригонометрии. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления; различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще. 3. Из истории понятия функции. Понятие функции, с которым вы знакомы с VII класса, возникло в математике сравнительно недавно. Для того чтобы прийти к пониманию целесообразности его введения и получить первые достаточно четкие определения, потребовались усилия первоклассных математиков нескольких поколений. Революционные изменения в математике, происшедшие в XVII столетии, вызваны работами многих ученых, представляющих различные страны н народы. Но в первую очередь следует назвать имена П. Ферма (1601- 1665), Р. Декарта (1596—1650), И. Ньютона (1643—1727), Г.-В. Лейбница (1646—1716). Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы в 30-х годах XVII в., когда возникла аналити ческая геометрия, характеризующаяся, в отличие от 1<лассиче-ских методов геометров Древней Греции, активным привлечением алгебры к решению геометрических задач. (Решая задачи по геометрии координатным методом, вы, по существу, пользуетесь ме- 88 ТрП1Чи01\1СТрНЧГСК11С функции Декарт Рене (1596—1650) — великий французский философ, математик. Один из создателей аналитической геометрии Ввел понятие переменной величины. Его идеи нашли многочисленных последователей — «картезианцев» (латинизированное имя Декарта — Картеэий). Главные работы — «Геометрия», «Рассуждение о методе». тодами аналитической геометрии.) Практически одновременно (и независимо друг от друга) французские математики П. Ферма и Р. Декарт заметили, что введение системы координат на плоскости и задания фигур их уравнениями позволяет свести многие задачи геометрии к исследованию уравнений геометрических фигур. В честь Декарта, давшего развернутое изложение нового метода в книгах «Геометрия» и «Рассуждение о методе*, прямоугольная система координат позднее была названа декартовой. Существенно заметить, что одновременно формировалась и алгебра, создавалось «буквенное исчисление», то самое, с помощью которого вы сейчас преобра.зовывает'е алгебраические выражения, решаете уравнения, текстовые задачи и т. д. Вслик1гй английский ученый, математик и физик И. Ньютон, исследуя зависимости координат движущейся точки от времени, фактически уже занимался исследованием функций. Хотя не он ввел это понятие, Ньютон ясно осознавал его значение. Так, в 1676 г. он отмечал: «Я не мог бы, конечно, получить этих общих результатов, прежде чем не отв.лекся от рассмотрения фигур и не свел вес просто к исследованию ординат» (т. е. фактически функции от времени). Сам термин «функция» впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Г. Лейбница — сначала в рукописи (1673 г.), а затем и в печати (1692 г.). Латинское слово function переводится как «свершение», «исполнение» (глагол fungor переводится также словом «выражать»). Лейбниц ввел это понятие для названия ра.зличных параметров, связанных с положением точки на плоскости. В ходе переписки Лейбниц и его ученик — швейцарский математик И. Бернулли (1667—1748) постепенно приходят к пониманию функции как аналитического выражения и в 1718 г. дают такое определение: «Ф>ункцней переменной велггчины называется количество, составленное какггм угодно способом из этой переменной и постоянных». Л. Эйлер в своей книге «Введение в анализ* (1748 г.) форму-.тгнровал определение функции так: «Функция переменного коли- 89 Тригонометрические фуикиин Ньютон Исаак (1643—1727) — великий английский ученый. Одновременно с Г. Лейбницем разработал основы математического анализа. Создатель классической механики. Ньютону принадлежат выдающиеся открытия в оптике, других разделах физики и математики. Главный его труд — «Математические начала натуральной философии» — оказал колоссальное влияние на развитие естествознания. чества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо способом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Эйлер же ввел и принятые сейчас обозначения для функций. Современное определение числовой функции, в котором это понятие уже освобождалось от способа задания, было дано независимо друг от друга русским математиком Н. И. Лобачевским (1834 г.) и немецким математиком Л. Дирих.пе (1837 г.). Основная идея этих определений заключалась в следующем: не существенно, каким образом (и, в частности, необязательно путем задания аналитического выражения) каждому х поставлено в соответствие определенное значение у, важно только, что это соответствие установлено. Современное понятие функции с произвольными областями определения и значений (необязательно числовыми — см. с. 27) сформировалось, по существу, совсем недавно, в первой половине текущего столетия, после работ создателя теории множеств Г. Кантора (1845—1918). Сложны!: и, как видите, очень длительный путь развития понятия функции дово.пьно типичен. Для того чтобы осознать необходимость введения нового абстрактного понятия, требуется выделить его в процессе решения многих конкретных задач, дать определение, по возможности точно отражающее его смысл. К понятию функции математики пришли, отправляясь от конкретных и трудных задач математики и ее приложений. Это прюисходило в процессе создания нового мощного аппарата исследований — интегрального и дифференциального исчислений, с элементами которых вы познакомитесь в следующей главе. Открытие интегрального и диф(1еренциального исчислений, центральным понятием которых Эйлер прювозгласил функцию (♦Весь анализ бесконечного вращается вокруг переменных количеств и их функций»), резко расширило возможности математики. 90 ’([тгонометр|1Ч(ч'кн1? фуакпиц 3. Вопросы и задачи на повторение 1) Что такое угол в 1 радиан? Запишите формулы, связывающие радианную и градусную меры угла. 2) Выразите в радиапной мере величину угла: а) 18"; б) -250"; в) -360"; г) 225". 3) Выразите в градусной мере величину угла: а) л; б) -2,5; в) г) 3. 1) Дайте определение синуса и косинуса числа а. 2) Отметьте на единичной окружности точку Р^. Найдите значения sin а и cos и (не пользуясь калькулятором или таблицами), если а равно: 3 = в) 5п. -I- 3) Найдите значения sin и и cos и, если а равно: а) 23°24'; б) -1,7; в) -108"6'; г) 0,8. 1) Дайте определения тангенса и котангенса числа а. При каких значениях а определены tg а и ctg а? 2) Найдите (не пользуясь калькулятором или таблицами) tg а и ctg а, если а равно: 13л. „ч 7л. г) 5. 1= - 4 в) 6 '3 3) Найдите значения tg а и ctg а, если а равно: а) 1,7; б) -0,4; в) 2,3; г) -0,5. 1) Запишите формулы, связывающие значения тригонометрических функций одного аргумента. 2) Упростите выражение: а) (tg а + ctg а) (1 -t- cos а) (1 - cos а); сов^ а 4 sin® а cos® а - sin® а . i i б) -------+--------------; в) — S1I1U С08 0 1 4 tg® а 1 -Ь ctg® а г) sin® а (1 -ь ctg п) + cos® а (1 ч- tg а). 3) Докажите тождество: . COS а 1 I sin U а) , —. - = — ; 1 - SUI а cos а в) sin а 1-cosa 1 + сое а sin U б) ^2tg® а; sin а COS а - ctg а г) tg® а - sin® а = tg® а sin® а. 5. 1) Как зависят знаки sin и, cos а, tg а, ctg а от того, в какой координатной четверти лежит точка Назовите эти знаки. 2) Ощюделите знак: ,7л, 9 ’ . 11п. а) sin (-212") и ctg в) cos (-105°) и ctg б) cos 305° и tg (-т> 9п , г) sin (-324°) и tg Я 4 91 Тригонометри четкие футеци и 3) По данному значению одной из тригонометрических функций и промежутку, которому принадлежит а, найдите значения остальных трех основных тригонометрических функций: а) sin а = ^< а < л; б) ctg а = -3, < а < 2я; 3 2 2 в) tga = *. ж а < ^; г) cosa = ^, О < а < |. 6. 1) Сформулируйте мнемоническое правило для запомина- ния формул приведения. Запишите несколько формул приведения. 2) Приведите к значению тригонометрической функции наименьшего положительного аргумента: 21л. 8л 3 ■ .) «(-!&> б) ctg г) cos ' 3) Упростите выражение: а) sin^ + cos^" + tg'^’^; 8 8 ® 4 81п(л-а)со8(л+ a)tg(-u) б) - sin(a-?'')ctg^|5 + ajcosfa4-| ) в) ctg + sin - cos ; r) ain(a-a)tg^^ + aj cos^ + a jctg(a-x) 7. 1) Запишите формулы синуса, косинуса, тангенса суммы (раз- ности). 2) Найдите значение выражения; а) sin I — ч- а I, если sin а = -иО<а<"; 1б ; 3 2 б) cos^"-Htg^’; = в) cos ^ ^ - а j, 3) Докажите тождество: если cos а = -^и—<а<п. 3 2 а) sin U -ь ^ j + sin ^ а - ^ j = л/з sin а; б) tg^2+jcj-tg|^^-x^ = 2tg2jc; tgtt+ tg^|-a j = V3; 1-tga tg(^|-aj 92 Тригонометрические функции , sin(a-*-B) . „ r) — —- =tga-ftgp. cos a cos |3 8. 1) Запишите формулы двойнотю аргумента. 2) Вычислите: а) sin 2а, если cos а = -^, л<«< 5 2 б) в) cos 2а, если sin а = г) 3) а) 12 tg 2u, если sin « = 751 cos а < 0; Хо б) в) г) 9. 1) 2) в) в) 3) а) б) в) с) 10. 1) 2) 15. 17’ tg 2а, если cos а = ^, - " < а < 2л. 5 2 Докажите тождество: ^ (2cos^ а -1) = sin2a; 1 - tg^ а 1 - cos 2а + sin2а 1 — о =tga; 1 + cos2a + siii2a 1 - (cos a - sin a)^ = sin 2a; tg a (1 + cos 2a) = sin 2a. Запишите формулы суммы и разности синусов (косинусов). Вычислите, не пользуясь калькулятором или таблицами: б) sin70“- sin 10° cos 40° г) sin 112° + sin 248°. cos 117° + cos 63°; cos\9--cosi; Докажите тождество; sin a + sin 3a . „ ----- =tg2a; COS a + cos 3a (sin 2a + sin 4a)^ + (cos 2a + cos 4o)* = 4 cos^ a; sin2a+sin2p ^ sin 2a + sin 4a + sin 6a = 4 sin 3a cos 2u cos a. Запишите (1юрмулы половинного аргумента. Найдите: а) cosf. если cos а = 1 3’ б) tgf. если sin а = - 2 ”з’ в) Sin|, если since - 3 7 г) ctgf. если cos а = 2 5’ Зт;. 2 ’ л < а < Зп. 3) а) в) Упростите выражение: s41o_.ctg«_sin2 а; 1 + cos а 2 1 - cos а sin а к, sin 2а сова . б) - 0*1 * 1 I cos2а 1 1 cos а г) 1 + cos а 93 Тригонометрические функции 11. 1) Что такое числовая функция, ее область определения, область значений? 2) Найдите область определения функции: 1. . sinar’ Зх+ 1 у= .. ; -7х+ 12 б) у = у = л/4- X*; г) У = 3) Найдите область значений функции: а) у = 3 cos X - 1; б) «/= \+и в) у = 2 - sin х; г) у = 3 - х‘‘. 12. 1) Что такое график функции? 2) Постройте график функции: а) б) I/= 2 - cos х; в) у = -Jx + 2; г) у = вт х - I. 3) Найдите точки пересечения графика функции f с осями координат: а) f (х) = х^ - 4х; б) f{x) = ^ + 1; в) / (х) = 1 - х^; г) /(х) = х-3 13. 1) Сформулируйте определение функции, возрастающей (убывающей) на множестве Р. 2) Найдите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображен на рисунке 79. 3) Найдите промежутки возрастания и убывания функции: а) у = 1 -ь 0,5 cos х; б) «/ = 14. х-Г в) у = 2х* ■¥ 4х; г) у = 1,5 sin х - 1. 1) Дайте опреде-пения точки максимума, точки минимума. Что такое экстремум функции? 2) Укажите точки максимума и точки минимума функций, графики которых изображены на рисунке 79. 3) Найдите точки максимума и точки минимума функции: а) у = (х - 3)^ 2; б) у = cos^ х; в) I/ = 1 - (х 2)^; г) у = sin^ х. 94 1'ри1'ч||имс‘тричг('|:ие функции 15. 1) Какие задачи решаются при исследовании функции? 2) Проведите исследование функции: 19. а) у = sin X - 2; б) у = в) J/ = л:* - 4х + 3; г) у = 2 cos х + I. 3) Постройте графики этих функций. 16. 1) Дайте определения четной и нечетной функций. Каким свойством обладают их графики? 2) Выясните, какая из указанных ниже функций является четной, а какая — нечетной: а) у = б) у = х + х^; в) у = X cos х; г) ^ = Зх^ + х®. 3) Постройте график функции f, если известно, что: а) / — нечетная; f (х) = cos х - 1 при х е (-оо; О]; б) f — четная; f (х) = (х - 1)® при х е [О; оо); в) f — четная; f (х) = sin х при х е (-оо; О]; г) / — четная; / (х) = 4х - х® при х е [О; оо). 17. 1) Что такое периодическая функция, период функции? 2) Какой наименьший положительный период имеет функция: а) у = cos х; б) «/ = tg х; в) у = sin х; г) у = ctg х? 3) Найдите наименьший положитсчшный период функции: а) y = sin|; б) у = cos (4х + 1); в) у = tg 2х; г) y=cos^. 18. 1) Перечислите основные свойства функции синус. 2) Пользуясь свойствами функции синус, расположите в порядке возрастания числа: а) sin 0,3, sin 1,1, sin (-1,2); б) sin 4, sin 3,6, sin 2; в) sin 0,4, sin (-0,9), sin 1,4; r) sin 4,3, sin 2,9, sin 1,9. 3) Исследуйте функцию и постройте ее график: а) у - sin б) у = sin 3 в) у = 1 + 1,5 sin х; г) у = sin 2х. 1) Перечислите основные свойства функции косинус. 2) Пользуясь свойствами функции косинус, расположите в порядке возрастания числа; а) cos 0,3, cos (-2,9), cos 1,8; б) cos 5,3, cos 4,4, cos 6,2; в) cos 0,5, cos (-1,3), cos 3; r) cos 6,1, cos 3,5, cos 4,9. 3) Исследуйте функцию и постройте ее график: а) y = cos^x-e^j; в) у = 2 cos X - 1; б) у = - cos х; г) y=cos|. 95 Тригонометрические футецни 20. 1) Перечислите основные свойства функции тангенс. 2) Пользуясь свойствами функции тангенс, расположите в порядке возрастания числа: а) tg (-0,4), tg 1,2, tg 0,8; б) tg 2,8, tg 3,9, tg 1,6; в) tg 0,6, tg (-1,3), tg (-0,7); r) tg 4,3, tg 1,7, tg 2,5. 3) Исследуйте функцию и постройте ее Г1эафик: &)y = -tgx; б) i/ = tg|; B)y = 2tgx; г) i/= tg ^ дг - ^ j. 21, 1) Сформулируйте теорему о корне. 2) Сформулируйте определение арксинуса числа. Для каких чисел определен арксинус? 3) Найдите значение выражения: а) arcsin (-1) + arcsin ; в) arcsin — - arcsin 1; 2 б) arcsin I + arcsin K-f) r) arsin 0 - arcsin 22. 1) Сформулируйте определения арккосинуса и арктангенса числа. Для каких чисел они определены? 2) Найдите значение выражения: а) arccos (-1) + arctg л/З; /3. б) arccos ^ + arcsin ' 2 2 в) arctg (-1) — arccos ; г) arccos 0 + arctg ^ . 23. 1) Запишите формулы для решения простейших тригонометрических уравнений: sin лг = я, cos х = а, tg дг = я. 2) Решите уравнение: а) 2 cos дг + Vs = 0; б) л/З tg .г -ь 1 = 0; в) 2 sin дг-1/2 =0; г) 2 cos дс - I =0. 24. Решите уравнение: 1) а) 2 sin* дг + 3 sin х = 2; в) 2 cos* X - 5 cos X = 3; 2) а) 6 sin* X — 2 sin 2х = 1; в) 4 sin X cos X = у[3; б) tg* x-4tgx + 3 = 0; г) 2 sin* X + sin X = 0. б) sin* X - cos* X = r) cos^ X - sin^ X = 1. 25. Решите неравенство (предварительно укажите на единичной окружности множество точек Р^, таких, что х удовлетворяет данному неравенству): 1) а) sinx > б) 2 cos х + 1 < 0; в) tgx < >/3; 2) а) sin^cos" >-т: ,х 2 в) 2sin*| 6)(яш|-соз£) <1; г) cos* ^ - sin* i > - —. 2 2 2 96 Тригонометрические функции Производная и ее применения — ■ f ■■ I §4. Производная 12. Приращение функции Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость — это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д. При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке jcq со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х^, удобно выражать разность f {х) - f (дтц) через разность х - х^, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их смысл. Пусть X — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки Разность л" - дгр называется прира щением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке дг„ и обозначается Ах. Таким образом. Ах = X - Xfj, откуда следует, что дс = -г Ах. Говорят также, что первоначальное значение аргумента х^^ получило приращение Лх. Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(X)-f (Хд) ^ /■ (Хд + ЛХ) - f (Хц). Эта разность называется приращением функции f в точке х^,, соответств^тощим приращению Лх, и обозначается символом Л/ (читается «дельта эф»), т. е. по определению А/ = /■ (JCo + Ах) - /■ (Хо), (1) откуда f (х) = f (Xq + Лх) = / (Хо) + Л/. Обратите внимание: при фиксирован1£ом х^, приращение Af есть ф>ч1кция от Лх. А/ называют также прирагцением зависимой переменной и обозначают черюз Ау для функции у = f (х). 97 Производная и ее применения Н Пример 1. Найдем приращения Ах и А/ в точке если f (х) = х^, Хр = 2 и: а) X = 1,9; б) х = 2,1. а) Дх = X - Xq = 1,9 - 2 = -0,1; Af = f (1,9) - / (2) = 1,92 - 2^ = -0,39; б) Ах = X - Х(, = 2,1 - 2 - 0,1; Af = f (2,1) - / (2) = 2,12 _ 22 = 0,41. Пример 2. Найдем приращение Af функции f (х) = — в точке Хд, если приращение аргумента равно Ах. ^ По формуле (1) находим: 1 1 _хо-(хо + Дх)_ Af = f{Xo + Ax)-f(xo) = Дх хо + Ах хо х„(хо + Дх) Хо(хо + Лх) Пример 3. Дан куб с ребром а. Выразим погрешность AV, допущенную при вычислении об'ьема этого куба, если погрешность при измерении длины ребра равна Ах. По определению приращения X = а + Ах, тогда AV = V (х) - V (а) = (а + Ах)^ - = За^ Дд; + За (Ах)^ + (Ах)®. Рассмотрим график функции у = f (х). Геометрический СМЫС.П приращений Лх и А/ (приращение Af обозначают также Ai/) можно понять, рассмотрев рисунок 80. Прямую L, проходящую через любые две точки графика функции /, называют секущей к графику /. Угловой коэффициент к секущей, проходящей через точки (Xj,; уд) и (х; у), равен У-Уо Х-Хд . Его удобно выразить через приращения Ах к Ау (рис. 80): А = tg а = Aj^ Ах (Напомним, что угловой коэффициент прямой у ~ кх + Ь равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с осью абсцисс.) 98 Лроизволнан ы ее примеиенил с помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени + Л/]. Если точка движется по прямой и известна ее координата X (<). то V /а/А - ' л^ д< ■ Эта формула верна и для < О (для промежутка [tp + At; tpl). В самом деле, в этом случае перемещение точки равно X (tp) - X (tp + Длг); длительность промежутка времени равна -At, н, следовательно. x(fo)-x(to+ДО _ л(<0 + лО--»^(‘о) -At At А Л/ f{xn + Ax)-f(xo) Аналогично выражение - =--------------- называют Дх Ах средней скоростью изменения функции на промежутке с концами Хр и Хр + Дх. Упражнения 177. — а) Стороны прямоугольника равны 15 м и 20 м. Найдите приращения его периметра и площади, если: 1) меньшую его сторону увеличили на 0,11 м; 2) большую его сторону увеличили на 0,2 м. б) Радиус круга равен 2 см. Найдите погрешность, допущенную при вычислении его площади, если погрешность при измерении длины радиуса равна: 1) 0,2 см; 2) AR; 3) 0,1 см; 4) h. 178. -г Найдите приращение функции f в точке Хр, если: а) f(x)---, Хр = -2, Дх = 0,1; X б) f (х) = 2х* - 3, Хр = 3, Дх = -0,2; в) I (х) = Зх + 1, Хр = 5, Ах = 0,01; 179. г) Их) = * , Хр = 2, Ах = 0,1. Найдите приращения Ах и А/ в точке Хр, если: а) / (X) = cos^i X, Хр = Ц, б) f (х) = 4х - х^, Хр = 2,5, X = 2,6; в) / (х) = tg X, Хр = 5, дс = |; г) f (х) = л/2х -1, Хр= 1,22, X = 1,345. 99 Пы>и:1гшд||>)11 II LT iipiiMeiiMiii)i 180.— Выразите приращение функции f в точке Хд через и Ах, если; а) /■ (х) = 1 - Зх^; б) / (х) = ах + Ь; в) f (X) = 2x2; г) f{x) = 1 181. — На рисунке 81 изображен график движения автобуса. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени: ^ а) [0; 3]: б) [3; 5]; в) 13,25; 5,25]; г) [0; 8]. 182. — Точка движется по координатной прямой, причем в любой момент времени t ее координата равна 3 + 12f -На сколько и в каком направлении переместится точка за промежуток I времени: а) [2; 2,5]; б) [7; 8]; в) [4; 5]; г) [6; 8]? Чему равна ее средняя скорость за промежуток I? Постройте прямые, проходящие через точку (1; 3) и имеющие угловые коэффициенты: а) -1 и 2; 2 в) 3 и -2; г) и -2. Выясните в каждом из случаев, какой угол (тупой или острый) образуют эти прямые с осью абсцисс. 183.- 184. Найдите угловой коэффициент секущей к 1'рафику функции /(х)=|х^, проходящей через точки с данными абсциссами X, и х^. Какой угол (острый или тупой) образует секущая с осью Ох, если: а) X, = о, Xg = 1; в) X, = 1, х^ = 2; б) Xj = -1, Xg = -2; г) X, = -1, Xjj = о? 100 Иронзволная и ее 1)рмменен)1Я 185. — Ребро куба х получило приращение Лдг. Найдите прираще- ние площади полной поверхности куба. 186. — Выразите Л/ и через и Ад: и преобразуйте получен- Ьх ные выражения; а) f (х) =-х^ + Зх-, б) f(x)= в) /■ (х) = .г^ - 2r: г) f(x) = x'‘-i 1 ♦ 1 187.— Найдите среднюю скорость точки, двия^ущсйся по прямой, за промежуток времени [1^; ^p-iAl], если известен закон движения: а) x(f)=V(,f—б) x{t) = -at + b'. в) = г) х (/) = at - Ь. 13. Понятие о производной 1. Понятие о касательной к графику функции. Гра-^шки практически всех известных вам функций изображались в виде гладких кривых. Рассмотрим, как геометрически устроены такие кривые, на конкретном примере — графике функции t/ = х^ (рис. 82) при значениях х, близких к 1. Для этого увеличим единицу масштаба (по сравнению с масштабом рисунка 82) в 10 раз; в этом масштабе построим 1-рафик р = на отрезке [0,5; 1,5] (рис. 83). Затем, увеличивая масштаб еще в 10 раз, построим график функции на отрезке |0,95; 1,05] (рис. 84). На этом рисунке хорошо видно, что при значениях, близких к 1, график функции у ~ х^ практически не отличается от маленького отрезка прямой у = 2х - 1. т. е. точки графика данной функции как бы «выстраиваются» вдоль этой прямой. Аналогичным свойством обладает любая гладкая кривая: произвольный ее маленький участок практически нс отличается от отрезка некоторой прямой I. (Интересно заметить, что графопостроители, применяемые в ЭВМ. «рисуют» графики г'ладких функций по точкам, проводя в каждой точке ма.тенький отрезок.) Отметим, что для каждой точки гладкой кривой соответствующая этой точке прямая (т. е. прямая, отрезком которой мы представляем себе маленький участок кривой) вполне опреде.пена. Чтобы понять это, обратимся к следующей наглядной иллюстрации. Допустим, мы хотим изготовить трафарет, чтобы быстро рисовать синусоиду, параболу или гиперболу и т. п. Для этого предварительно на миллиметровой бумаге строится возможно точнее график этой кривой. Как вы можете убедиться, с помощью ножниц удается аккуратно вырезать трафарет, граница которого — 101 Промэнодиая и ис ирнмененил 00 к а. со 00 сЗ S о. c^з 00 ci S PL. 102 П|>ои:<ио;|наи н ре примонрния нужная нам кривая. Положение ножниц в каждой точке (а оно и задает искомую прямую в этой тючке) вполне определено: любое отклонение ножниц в ходе разрезания от этого положения приводит либо к появлению выступа, либо к прорезу трафарета. Проходящую через точку (дс,,; f (х^)) прямую, с отрезком которой практически сливается график функции f при значениях X, близких к Xq, называют касательной к графику функции f в точке (Хц; f (Хц)). Возникает естественная задача: определить точное положение касательной к графику данной функции f в заданной точке. Координаты одной точки прямой / известны — это точка (Х(,; f (хд)). Остается найти ух'ловой коэ<))фициент к касате-тьиой. В качестве примера рассмотрим функцию у = х^. Ее график в малой окрестности точки Хц близок к отрезку касательной /. Поэтому естественно ожидать, что угловые коэ<1»фнциенты секущих, проходящих через точки (Х(,; х,^) и (Хц -ь Лх; (х„ + Ах)'^), будут близки к угловому коэффициенту к, если Дх будет неограниченно приближаться к нулю (т. е. точка х приближается к х^). Угловой коэффициент к (Ах) секущей, прюходящей через точ- /\и ки (х^: у (х„)) и (Х(, + Дх; у (Хр + Дх)), равен ^ (п. 12), где Ду — приращение функции у в точке х„, соответствующее приращению Дх аргумента. Для функции у ~ х'^ fr(Ax)= ■ = Дх ^y (Хо + Лх)^ -xg Дх 2 Хо Дх + (Лд)* Дх = 2xfl -н Дх. (1) Чтобы найти угловой ко:п)>^)ициент касательной, остается выяснить, к какому значению близко к (А.х), если Дх приближается к нулю. Очевидно, что к (Ах) близко к 2xq. Следовательно, при очень малых значениях Ах угловой коэ<1)фициент секущей близок к 2х„. При Хц = 1 получаем к = 2. Учитывая, что искомая касательная проходит через точку (1; 1), приходим к выводу, что уравнение касательной таково: р/ = 2.x - 1. К этому же выводу пришли в начале пункта из чисто наглядных соображений. 2. Мгновенная скорость движения. Обратимся теперь к задаче, известной вам из физики. Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть координата х точки в момент времени t ргшна х (/)• Как и в курсе физики, предполагаем, что движение осуществляется непрерывно и плавно. Иными словами, речь идет о движениях, наблюдаемых в реальной жизни. Для определенности будем считать, что речь идет о движении автомобиля по прямолинейному участку шоссе. Поставим задачу: по известной зависимости х (/) определить скорость, с которой движется автомобиль в момент времени t (как вы знаете, эта скорость называется мгновенной скоростью); если зависимость х (/) линейна, ответ прост: в .пюбон момент времени 103 скорость есть отношение пройденного пути ко времени. Если движение не равномерно, задача сложнее. Тот факт, что в любой момент времени автомобиль движется с какой-то определенной (для этого момента) скоростью, очевиден. Эту скорость легко найти, сделав в момент времени фотоснимок спидометра. (Показание спидометра указывает значение мгновенной скорости в момент t.) Чтобы найти скорость (t^), зная X (О, на уроках физики вы поступали следующим образом. Средняя скорость за промежуток времени длительностью |Д< | от to до <0 + Д/ известна (п. 12): &х At' (2) Как мы предположи.аи, тело движется плавно. Поэтому естественно полагать: если At очень мало, то за этот промежуток времени скорость практггчески не меняется. Но тогда средняя скорость (на этом прюмежутке) практически не отличается от значе-ния (to), которое мы ищем. Это подсказывает следующий способ определения мгновенной скорости: найти (At) и посмотреть, к какому значению оно близко, если считать, что At практически не отличается от нуля. Рассмотрим конкретный пример. Найдем мгновенную скорость тела, брошенного вверх со скоростью и,,. Высота его в мо- мент t находится по известной формуле Л (t) = v^t - -— . 1) Найдем спача.па Ah: ДЛ(t) = l^„(^(, + Д/) eito^Atf St =Vo^t-gtoAt - g(At)^ 2) o^(Дt) = (vo-g(o)At-g (At)‘ = Vo-gt„ - gAt (3) At " “ " 2 3) Будем теперь уменьшать At, приближая его к нулю. (Для краткости говорят, что At стремится к нулю. Это записывается так: At -> 0.) и- gAt Как легко попять, в этом случае значение —^ - тоже стре- 8 At мится к нулю, т. е. —— 0 при At -> 0. А А поскольку величины Ор и -gtj,, а значит, и постоян- ны, из формулы (3) по.тучаем; l^^(Дt) -> v^- gtf^ при At -» о. Итак, М1'новенная скорость точки в момент времени tj, находится по формуле (ДО = ‘'о - ^0- 104 Прои!' ^ПОЛНАЯ н ес пр1шеношт91 3. Производная. Рассмотренные две задачи о вычислении УГЛ0ВО10 коэ(})фициента касательной к параболе в точке с абсциссой JC(, = I и нахождении мгновенной скорости тела, брошенного вверх со скоростью Оц, имели различные с{юрмулировки. Однако в обоих случаях мы действовали, по существу, придерживаясь одной схемы. В применении к произвольной функции f и любой точке Xq ее области определения эта схема может быть описана следующим образом. 1) С помощью формулы, задающей функцию f, находим ее приращение в точке Xq! Д/ = / + Лх) - / (Хо). 2) Находим выражение для разностного отношения : Дх ЛА _ А(*о ь Дх)- А(Х(,) Дх Дх ’ которое затем преобразуем — упрощаем, сокращаем на Дх и т. п. 3) Выясняем, к какому числу стремится ^ , если считать, ■ Дх что Дх стремится к нулю. Найденное таким образом число иногда называется (по аналогии с физикой) скоростью изменения функции f в точке х^, или (что более принято) производной функции f в точке Хц. Определение Производной функции f в точке Хд называется число, к которому стремится разностное отношение Дх Дх при Ах, стремящемся к нулю. Производная функции f в точке Хд обозначается f (х„) (читается: «Эф штрих от Хр»). В Пример 1. Найдем производную функции / (х) = X® в точ- Будем действовать по описанной выше схеме. 1) Д/ = (Хр + Дх)^ - х^ = 3xg Дх + Зхр (Дх)® + (Дх)®. 2) ^ = Зх® + Зхр Дх + (Дх)2 (Дх у О). 3) Теперь заметим, что слагаемое Зхр постоянно, а при Ах -> О очевидно, что ЗХр Дх -> О и (Дх)® -> О, а значит, и Зхр Ах + (Дх)® -> О. Получаем: —- —> Зх? при Ах 0. Дх Следовательно, Г (Хр) = Зх®р. 105 Пронзволния и ev применении Пример 2. Найдем производную функции f(x) = kx + b (ft и ft постоянны) в точке Xq. 1) А/ = (ft (Xq + Ах) + ft) - (ftx„ + ft) = ftAx. 2) -^Uft. Ax 3) Поскольку ft — постоянная, — постоянное число при Ax любом Ax, и, значит. М . Ах ft при Ах —> 0. Итак, (ftx + ft)' = ft. Функцию, имеющую прюизводную в точке х^, называют дифференцируемой в этой точке. Пусть D^ — множество точек, в которых функция f дифференцируема. Сопоставляя каждому X е D, число f (х), получим новую функцию с областью определения П,. Эта функция называется производной функции у = f (х) и обозначается f или у'. Нахождение производной данной функции f называется дифференцировинием. В этом пункте мы получили следующие формулы ди«})ферен-цирования: (X*)' = 2х, (Х^У = 3x2, + f,y ^ Полагая в формуле (ftx + ft)' = ft, что ft = 0, b = С, где С — произвольная постоянная, получаем, что С = 0, т. е. производная постоянной равна нулю. Упражнения 188. — Постройте график функции f и проведите к нему касатель- ную, проходящую через точку с абсциссой Xq. Пользуясь рисунком, определите знак углового коэффициента этой касате.аьной: а) f (х) = X* - 2х - 3, Xf, = 0, Хц = 3, х„ - 2, х„ = -1; j й) / (х) + 1, Xq ~2, Xjj — 1, Xq — 1, Xq 2. 189. Определите знак уг.пового коэффициента касательной, проведенной к графику ())ункции (рис. 85) через точки с абсциссой X,, Xj, х^, х^ (если касаач?льная существует). Какой угол (острый или тупой) образует эта касательная с осью абсцисс? В окрестности KaKiix точек график функции является «гладкой» кривой? 190. -■ Запишите промежутки возрастания и убывания функции (рис. 86). Определите знак углового коэффициента касательной в каждой из точек, отмеченных на 1’рафике, 106 I], ни.|14ал и ее П|мгме)1еимп Рис. 85 191.— Вычислите ^ в точке jCq, если: Ьх 192. а) f(x) = 2x^, Хр = 1, Лл: равно 0,5; 0,1; 0,01; б) f{x) = x^, 3Cq = 1, Ах равно 0,5; 0,1; 0,01. К какому числу стремится отношение при Ах О, если: Лд: а) ^ = 8jCq + 4Лл:, х^ равно 2; -1; б) = Зх^ + Зх.Лх + (Ах)^, х„ равно 1; -21; Ах в) ^ =-2лГо + Лл:, дгц равно 1; 2? 107 Производиал и се примсиетш 193. — Используя формулы дифференцирования, полученные в п. 13, найдите производную функции / в точке jCq, если: а) f(x) = x^, Xq равно 2; -1,5; б) f (х) = 4 - 2х, Xfl равно 0,5; -3; а) f (х) = Зх - 2, Хц равно 5; -2; г) [ (х) = х^, Хц равно 2,5; -1. 194. — Пользуясь определением производной, найдите значения производной функции Л сюли: а) f (х) = х^ - Зх в точках -1; 2; б) / (х) = 2х® в точках 0; 1; а) f (х) = — в точках - 2; 1; X г) /■ (х) = 4 - X® в точках 3; 0. 195. — Найдите уравнение касательной к графику функции f (х) = х^, проходящей через его точку с абсциссой х^, если: а) Xq = -1; б) Хо = 3; в) х„ = 0; г) х^ = 2. 196. i Пользуясь определением, найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону х (f), в мо- мент а) X (0 = -г + 8t, <0 = 6; в) X (1) = ^ = 4; б) X (П = 3<^ + 2, <0 = 2: г) X (/) - 5< — 3, = 10. 14. Понятие о непрерывности функции и предельном переходе Вернемся к задаче определения мгновенной скорости в точке (см. с)юрмулу (3) п. 13). Функция (Д<) = I'o ~ ~ не определена при Д/ = 0. Но для числа L = Оц - gtf^ при уменьшении |Д^| разность (At) - L приближается к нулю. Именно поэтому мы писали (А<) —>• Од ~ Вообще говорят, что функция f стремится к числу L при х, стремящемся к х,,, если разность f (х) - L сколь угодно мала, т. е. |/(x)-L| становится меньше любого фиксированного Л > 0 при уменьшении |Дх|, где Дх = х — Xq. (Значение х = Хд не рассматривается, как и в задаче опреде.тения мгновенной скорости.) Вместо X -» Хд можно, конечно, писать Дх 0. Нахождение числа L по функции / называют предельным переходом. Вы будете иметь дело с предельными переходами в двух следующих основных случаях. 108 Производная и ее применения Первый случай — это предельный переход в разностном от-л/- ношении , т. е. нахождение производной. Ах С этим случаем вы познакомились в предыдущем пункте. Второй случай связан с понятием непрерывности функции. Если f {х) f (.Гц) при X -> л'р, то функцию называют непрерывной в точке д:„. При этом f {х) - L = f (х) - f (дг^) = АЛ получаем, что Ia/I мало при малых |Адг|, т. е. малым изменениям аргумента в точке Xq соответствуют малые изменения значений функции. Все известные вам элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения. Графики таких функций изображаются непрерывными кривыми на каждом промежутке, целиком входящем в область определепия. На этом и основан способ построения графиков «по точкам», которым вы все время по.пьзуе-тесь. Но при этом, строго говоря, надо предварительно выяснить, действительно ли рассматриваемая функция непрерывна. В простейших случаях такое исследование проводят на основании опре-ДСЛС1ШЯ непрерывности. Н Пример 1. Докажем, что линейная функция f (дг) = kx + Ь непрерывна в каждой точке числовой прямой. Нам нужно показать, что |Af| становится меньше любого фиксированного Л>0 при малых |Ах|. Но |А/| = If (д:„ + Ад:)-- f (л:о)| = |(^ (Xq + Ад.) + fc) - (Uxq + fc) I = |Л| |Ад| и |Д/| будет меньше й > О, если взять |Адс| > при й * О (при к = 0 можно брать |й| любое Ад). Пример 2. Докажем, что функция f (х) = Лс непрерывна в точке д^ при Д(, > 0. Прежде всего отметим, что Ад мы будем выбирать таким, что |дд| < Дд; тогда Л = До + Ад определен. Оценим разность Л-^: {Jxq + Ад - Ло )(У-^о + ^ *Ло] Лй'Лх + Ло lAfh До + Ад -у[Л I - diX д/д^Тлд + Ло ^ lAjrl Легко видеть, что lAfl станет меньше Л > О, если взять |Ад| меньше Ло^ (“• отмечали выше, меньше Дд). ^ В задаче определения мгновенной скорости число (f(,) было определено так, что функция (АО, «дополненная» в нуле числом становится непрерывной в этой тчзчке. Та же ситуация и в задаче определения углового коэффициента касательной: функция g (А.г) = 2Х(, + Ад станет непрерывной в этой точке, если считать, что g (0) = 2Д(,. 109 Провзиолная II 1-е применения Как видно из примеров предыдущего пункта, новая операция — предельный переход — служит новым средством нахождения неизвестных величин. Ею мы будем широко пользоваться в этой главе. Выделим правила предельного перехода, которые доказываются в курсах математического анализа. I Правило 1. Если функция / непрерывна в точке лгц, to Af О при Ах 0. Правило 2. Если функция f имеет производную 0. Af В точке Хп, то---> /' (Хо) при Дх Дг Правила 1 и 2 сразу следуют из определений непрерывности функции f в точке х^ и производной в точке х,,. I Правило 3. Пусть / (х) А, g (х) -> В при х ' Тогда при X -у Х(, (т. е. при Дх —> 0); ' а) f (х) + g(x) -у А + В; б) f (х) ■ g{x) -У’А В; А Х„. в) Я-> g(x) в (при в Ф 0). Для непрерывных функций fug A = f (Xf), В = g(Xo), и эти правила означают, что сумма, произведение и частное непрерывных в точке Хц функций непрерывны в точке Xq (частное в случае, когда g (Xq) ф 0). Правила предельного перехода широко используются при доказательстве непрерывности функций и выводе формул дифференцирования. В р и м е р 3. Докажем, что функция h (х) = 10х + -J~x непрерывна в любой точке Xq промежутка (0; оо). Непрерывность функций f (х) = 10х и ^ (х) у[х была доказана в примерах 1 и 2. Следовательно, функция h непрерывна как сумма двух непрерывных функций (правило 3, а). Пример 4. Докажем, что /'(х) = -^, где /" (х) = >/х. 2Vx 1) Для произвольной точки Xq (см. пример 2) Дх Д^ = ■(xq + 2) — Ах ^Q + ^Xq+Дх 3) -Jxq + Дх —> ^Xfi при Дх -> о по правилу 1, так как функция \/х непрерывна в точке Xq (см. пример 2), поэтому 110 It (‘Г rtpunienniuti + yjx^ + AjC —> 2^Xq при Лх-> о (по правилу 3, а) и при Дх -> О (по правилу 3, в). Итак, + ^Хо+Лх 2у[^ ‘й. для любого положительного х. Упражнения 197. — Является ли непрерывной в каждой из точек х,, Xg, Xg функция, график которой изображен на рисунке 87? 198. — Постройте график функции f. Содержится ли в ее обла- сти определения точка, в которой функция не является t непрерывной? I \ х-\ при X < -1, I 1 - х^ при X > -1; б) /(х) = 2-х при X < 1, 2х -1 при X > 1; IX + 2 при X < 1, - при X > 1. Рис. 87 111 Производная и се 11|>имексни51 199.— Является ли функция f непрерывной в каждой точке данного промежутка: а) f (д:) = - 4дг, ( оо; схз); б) = [2; <»); д:- 1 в) / (л) = д:2 + 2дс - 1, J-10; 20]; г) / (jc) = 5д- - л/х, (0; оо)? 200,— К какому числу стремится функция /, если: i а) / (л) = - Зх + 4, X -> о, X ^2; , б) / (х) = - —, X 1, X -> 4; х'^ + Л в) / (дг) = 4 - |, X -> -2, X -> 0; г) /(х) = 4х-^, х->-1, X-> 4? 4 201. 202. Известно, что / (х) -> 1, g(x) -* ~2 при х числу при X -> 3 стремится функция; 3. К какому а) 3f{x)g(xy, бЛ ^^х)- g(x)^ ’ А(х)f g(x)’ в) 4f (х) - g (х); г) (2- g (х)) f (х)? Известно, что f (х) -> 3, ^ (х) -> -0,5 при х -1. Найдите число, к которому при X -> -1 стремится функция: а) б) (Hx)-g(x)f-, {g(x)) в) if (х))2 + 2g (х); г) Пх)-2 203.— К какому числу стремится функция: , х^^+Зх+г а) /(х)=— прих->4; X- 3 ЙЧ t, Ч Х*-Зх , б) /(х) = -—- прих->-1; х'' -2х < 7 й “■ 2 дг в) f (х) = при X -> 2; 2 + X г) f (х) = - —^ при X -1? х+ 3 С какой точностью найден периметр квадрата, если его сторона измерена с точностью до 0,01 дм? С какой точностью достаточно измерить сторону правильного треугольника, чтобы найти его периметр с точностью до 0,03 дм? С какой точностью нужно измерить радиус, чтобы вычислить длину окружности с точностью до 0,06 дм? 204. - 205. 206. 112 Лро113ВО;1иая II ее ирименеимя 207.— Известно, что f (х) ^ А, g (х)В при jr-> а. Пользуясь правилами предельного перехода, докажите, что: а) Cf(x)-*C-A, где С — постоянная; б) f (X)- g{x) ->А~В; 1 в) (/ (x)f - (g (;с))2 -> _ J32. I г) (/■ (jc))" -> А", где п е Z. 15. Правила вычисления производных 1. Основные правила дифференцировавия. Выведем несколько правил вычисления производных. В этом пункте значения функций д и и и их производных в точке лгд обозначаются для краткости так: и (jCq) - и, v (дс„) = v, и' (х^) = и', о' (л:„) = о'. Правило 1. Если функции и и v дифференцируемы в точке Хц, то их сумма дифференцируема в этой точке и (ы ч- о)' = и' + v'. Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных. 1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке: Д (ы + о) = д (jCq + Дх) + и (Хц -1- Дх) - (д (Хц) + и (Хр)) = = (д (Хр + Дх) - и (Хр)) + (и (Хр + Дх) - V (Хр)) = Дд + До. 2) = V ^ Лх Дх Дх’ 3) Функции д и д дифференцируемы в точке Хр, т. е. при Дх -> О ^ _у„-. Дх Дх Тогда -* и' + о' при Дх —> О (см. правило 3, а) предель- Дх ного перехода п. 14), т. е. (д + о)' = и' + о'. Лемма. Если функция f дифференцируема в точке Хр, то она непрерывна в этой точке: Д/ О при Дх О, т. е. f (хр л- Дх) -> f (Хр) при Дх -> 0. Действительно, Д^ = — • Дх —»/'(Хр)-О при Дх -* 0, так как Дх /'(Хр), а Дх -» о. Итак, Д/ 0 при Дх -> 0, т. е. для диффе- М Дх ренцируемых функций f (Хр + Дх) -> f (Хр) при Дх -> 0. 113 Прии.'|полиал и «• применении Правило 2. Если функции икс дифференцируемы в точке Хц, то их произведение дифференцируемо в этой тючке и (ис)' = и'с + ис'. ► 1) Найдем сначала приращение произведения: А (по) = п (лгд + Ах) V (Xj, + Ах) - и (х^) v ^x^,) = = (и (xq) + Дм) (о (хд) т Аи) - и (Хо) v (х^) = = и (Xq) с (х„) + Аис (Хо) + и (Хо) Ас Аи Ас-и (Хд) с (х^) = = Аи с (Хд) + и (Хд) Ас + Аи Ас. 2, ^ = ) + Ах Ах Ах Ах 3) В силу дифференцируемости функций ы и о в точке Хд при Ах-> О имеем ->и', — —> о', Аы-> 0. Поэтому Ах Ах Ах -* и’с (Хд) + и (Хд) с' + о • с’ = и'с (Хд) + и (Хд) с', т. е. (ыо)' = и'с + + ис', что и требовалось доказать. Следствие. Если функция и дифференцируема в Хд, а С — постоянная, то функция Си дифференцируема в этой точке и (Си)' = Си'. Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной. Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным из п. 13 фактом С = 0: (Си)' = С'и + Си' = 0- и+ Си' = Си'. Правило 3. Если функции икс дифференцируемы в точке Хд и функция с не равна нулю в этой точке, то частное “ также дифференцируемо в Хд и f и V _ и'с - ис’ UJ' „2 • ^ Выведем спачало формулу 1) Найдем приращение функции ^ : аГ1)=-----L {vj И(ХД + 1 _ а(хд)-а(хд -I-Ах)_ - Ас Ах) С(Хд) С(Хо)С(Хд + Ах) с{Хд)(с(Хд)+ Ас) 114 Ираизвоаиан и ее применения 2) Отсюда н:] Ди Л:^ Лл- c(xo)(i'(JCo)+Ди) 3) При Дд: О имеем -* v' (в силу дифференцируемости v Ajt в точке Xq), До -> о (по доказанной лемме). Поэтому \ V ) -V V с 1 Y О' ---- — =----, т. е. - -----. Ддг V-V J Теперь, пользуясь правилом нахождения производной произведения функций, находим производную частного: Vojvoj V \.vj V у2 у2 в Пример 1. Найдем производные функций: а) Пх)=х^ - ^ б) /{х) = ^. X Л-®-1 а) = поэтому I' ^2 Y_(jc^)'(^:8 + 1)-jc2(jc3 + 1)' _2х(хЗ+1)-Лг2((х®)'+1)' (х® + 1)^ 2х(х® + 1)-х^(Злг^ ч О) _ +2х-3х* _ 2х-х‘‘ (х^ + 1)2 (д:3 + 1)2 (JC® + 1)2 (jr* + 1)2 2. Производная степенном функции. Формула для вычисления производной степенной функции дг", где п — произвольное натуральное число, большее I, такова: (х")’ = пх"-К (1) Формула производной функции х* уже известна: (х2)' = 2х. Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем: (х'’)' = (х* • х)’ = (х2)' X -ь х^ (х)' = 2х ■ X + х^ ■ 1 = Зх*: ^x‘^)' = (х^ • х)' = (х®)' X + X® (х)' = Зх^ ■ X + X® • 1 = 4х**. Заметим теперь, что (Х^)' = 2x2 - 1^ _ Зд^З - _ 4д.4 -1^ т. е. для п, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для п, равного 5, 6 и т. д. 115 Прлизвозиап н ре применения ^ Докажем, что формула (1) верна для любого натурального п > 4. Допустим, что формула (1) верна при п = к, т. е. что (лс*)' = fcx*"'. Покажем, что тогда формула (1) верна при п — к + I. Действительно, (д:" ♦')' = (X* X)' = (х")' X + х" {X)' = - кх’‘ ' ■ X + х'^ = кх*" -ь JC* = (Л + 1) лг*. Поэтому из того, что формула (1) верна при п = 4, следует, что она верна и при п = 5, но тогда она верна и при п = 6, а следовательно, и при /2 = 7 и т. д. до любого п е N (строгое доказательство основано на методе математической индукции). Если л = 1 или п - Q, то при х * О эта формула также справедлива. Действительно, по формуле (1) при д: О (д;1)' = 1 • х' ‘ - 1 = 1, (лг°)' = О хО 1 = 0, что совпадает со значениями производных функций д; и 1, уже известными из предыдущего пункта. Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда п = -т, где m — число натуральное. Применяя правило дифференцирования частного и пользуясь уже доказанной для натуральных т формулой (1), получаем при х * 0: V х" (х"’ f -тх” = -т 1 -т +1 ‘ = лл:" *, в результате можно сделать вывод: Для любого целого п и любого х (х о при п < 1) (х")' = лх" '. Пример 2. Найдем производные функций: а) / (л:) = X б) / (х) = Зх^ -. а) (х”**)' = -5х ' = -5х^; б) ^Зх^—j =3 (х^)' - 5 (X ^)' = 3 7х« - 5 (-3) х " = = 21х« + 15 Из дифференцируемости степенной функции и основных правил вычисления прюизводных вытекает утверждение: целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференцируемы в каждой точке своей области определения. 116 Т1|И1н3110Днам U ее применеикя Упражнения Найдите производные функций (208—211). 208.— а) / (х) = X* + X®; б) / (х) = ^ + 5Х-2; д: в) f (х) = х2 + Зх - 1; г) / (х) = X® + л/х. 209.— а) / (х) = х^ (4 + 2х - х^); б) /(x)=V^(2x2-x); в) / (х) = х^ (Зх + х^): г) f (X) = (2х - 3) (1 - X®). 210,- ^ Зх-2 3- 211.— а) у — х^ — ex'* — X + 5; б) У=%-\*4х-, 212. в) у = - 4х'’ + 2лг - 1; г) = ^ + 4 + 1- 213. 214. Вычислите значения производной функции f в данных точках: а) f(x) = x’^-3x, л^=~2. х = 2; б) f {х) = X - 4 \Гх, х = 0,01, X = 4; в) f{x) = x--, x = yf2, X-— г) / (JC) = 5 —, л: = -3, дг = 0. 2 + X Решите уравнение f (х) = 0, если: а) f (X) = 2х^ - х\ -я б) / (дг) =-|х® +х* +12; о в) f (х) = Щ--\,Ьх^-4х; г) f (х) = 2х - 5х^. Решите неравенство /' (х) < 0, если: а) f (х) = 4х - Зх^; б) / (х) = х® + 1,5х^; в) / (х) = х^* - 5х; г) /■ (х) = 4х - ^ х^. О 215.— Найдите производную функции: а) /{х) = - б) /(х)=(^| + х2 j(2-V^); . . 5-2х« в) /(х) =----- l-x'* г) / (х) = Vx (Зх*-х). 216.^ I Найдите значения х, при которых производная функции f равна нулю: б) / (х) = 2х‘' — X*; а) / (х) = X® - 3 х^ + 5х; в) / (х) = х^ + 4х; г) / (х) = X* - 12х^. 117 Лг.10илвод1гая и ее применения 217.— Решите неравенство f {х) < О, если: а) f (jc) = jc® - бдс® - бЗд:; б) / (х) = Зх - 5х® + х®; в) /(х) = |х®-8х; г) / (х) - Зх® - 9х - ^ X®. 3 218. — Задайте формулой хотя бы одну функцию, производная ко- торой равна: «16Х--0.4; .) 8. - 2; 219. — Верно ли, что функция <р (х) = (х) + (х) не имеет произ- водной в точке Хд, если известно, что: а) каждая из функций /j (х) и (х) не имеет производной ' в точке х„; I б) /, (х) имеет производную в точке х„, а (х) не имеет? 16. Производная сложной функции 1. Сложная функция. Начнем с примера. И Пример 1. Пусть требуется вычислить по заданному значению X соответствующее значение г функции Л, заданной формулой 2 = Л (х) = Vl - X® . Для этого надо сначала вычислить по заданному х значение у = f {х) = \ - х^, а затем уже по этому у вычислить z=g(.y)=y[y. Итак, функция f ставит в соответствие числу х число у, а функция g — числу у число г. Говорят, что А есть сложная функция, составленная из функций ^ и /, и пишут: h(x) = g if (X)). Чтобы вычислить значение сложной функции А (х) = g (f (х)) в произвольной точке х, сначала вычисляют значение у «внутренней» функции / в этой точке, а затем g (у). Какова область определения сложной функции g (/ (х))? Это — множество всех тех х из области определения функции f, для которых f (х) входит в область определения функции g. В рассматриваемом примере областью определения функции f является вся числовая прямая. Значение Л (х) определено, если значение f (х) принадлежит области определения функции g (у) = -Jy- Поэтому требуется, чтобы выполнялось неравенство у > О, г. е. 1 - X® > О, и, значит, область определения функции g (f М) — это отрезок [-1; 1]. 118 Производная и се пр11мош'>тя 2. Формула производной сложной функции. В предыдущих пунктах вы научились Н£1ходить производные рациональных функций, в частности многочленов. Однако задача вычисления производной функции f (зг) = {2х + хотя и сводится к нахождению производной многочлена, требует очень болыпого объема работы; надо представить (2д: + З)'™* в виде многочлена и продифференцировать 101 слагаемое полученной суммы. Можно заметно упростить решение этой и других задач, доказав правило вычисления производной сложной функции. Если функция f имеет производную в точке а функция g имеет производную в точке Уо = f (J^o). то сложная функция h (х) = g {f (х)) также имеет производную в точке Xq, причем h'{Xo) = g'(nxo))f'(x„). (1) ^ Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Лх * о рассмотреть дробь — и установить, что — g' («/„) • f (хл) Дх Дх при Дх 0. Введем обозначения: = / (Хр + Дх) - / (Xf,) = Д/. Тогда ДЛ = Л (Xq + Дх) - Л (Хо) = g U (х^^ + ^х)) - g (f (х^)) = = ^ (Уо + ^.V) - <7 (Уо) = Д{/ О при Дх -> о, так как f дифференцируема в точке x^y Далее доказательство проведем только для таких функ- ции Тогда Д/ f, у которых Af Ф о в ДЛ _ ДА ^ ^ М Д/ Дх Ду Дх Ду Лх некоторой окрестности точки Хр. ^ = ^ S'{Уо) f (^о) при Дхо, так как (х-о) при Дх о, а — g' (у,,) при Ду о, что выполне-Ду но при Дх -> о (это отмечалось выше). И Пример 2. Вернемся к поставленной выше задаче и найдем производную функции Л (х) = (2х + З)’™*. Функцию Л можно предстгшить в виде сложной функции Л (х) = g(f (х)), где g(y) = уП*», у = / (х) = 2х + 3. Так как f (х) = 2 и g' (у) = ЮОу®**, имеем Л' (х) = 2 • lOOySS = 200 (2х + 3)»». Пример 3. Найдем производную функции Л(х)=д/3х*+ 1. Так как Л (х) = g (/ (х)). где у = / (х) = Зх^ + 1, g (у) = ./у, то g' (у) = и у' = f (х) = 6х, откуда 2,/у Л'(х) = -Ц-у' = 6х Зх ‘^iy 2^x2 + 1 + 1 119 Проплп1>/1пи>1 и ее |||)И1иепсж1я Упражнения Задайте формулами элементарные функции f п g, кг которых составлена сложная функция Л (дг) = g (f (х)) (220—221). 220.— а) Л (х) = cos Зх; б) Л (х) = sin |^2х г) Л(х) =cos^3x + в) /i(x) = tg 221,— а) Л (х) = (3 - бх)"’’; б) А (х) - -Jcosx; в) Л (X) = (2х + 1)^; г) Л (х) = tg ^. X Найдите область определения каждой из функций (222—223). 1 222.4 а) р = V9 - х2; в) у = у]0,25-х^ а) y = ^|cosx•, 223 224. 225. б) у = у = д/х^-7х+ 12’ 1 ^4х+ 5 - х^ I в) у = tg 2х; б) У= у г) у = л/sin X. Найдите производные функций (224—225). а) /(х) = (2х-7)«; в) /(х) = (9х+ 5)<; в) f(x) = (4 - 1,5х)’®; б) /(х) = г) / (х) = 1 (5х+ 1)3 ’ 1 (бх-!)'^ ‘ б) f(x)=(^jx-7j^-(l-2x)*: г) f (х) = (5х - 2)'з - (4х + 7)-в. 226.— Найдите область определения функции: а) у = -J L-2cosx; б) y = J^-ii V X* в) 1/ = Vsinx-0,5; г) 227.— Заданы функции f (х) = 3 - 2х, g (х) = х^ и р (х) = sin х. i Задайте формулой сложную функцию Л, если: а) A(x) = /(g(x)): б) A(x) = g(p(x)); в) h(x) = g (/ (х)): г) h{x)=p (/ (х)). 120 Прои эоодиня и t4* применения 228.— Заданы функции / (Jf) = 1 x-l g (x) - cos X VI p (x) = лГх. Задайте формулой сложную функцию Л; найдите ее область определения, если: а) h(x) = f (g (х)У, б) h(x) = f{j) (л:)); в) Л(д:) =p(g(jr)); г) h {х) = р (f (х)). 229, — Найдите такую функцию f, что f(g(x)) = x: а) g(x) = 2л:; б) g(x) = 4х-, в) ^ (лг) = Зд: + 2; г) g (х) = jc < о. 230. -»- Найдите производную функции /: I а) f (х) = (х® - 2х^ + 3)'^; б) f (х) = V1 - х'* + ^ ; х‘=+ 3 в) f (•*■) = >/4х* + 5; г) f (X) =(3-х=^)'‘ +л/2х-7. 17. Производные тригонометрических функций 1. Формула производной синуса. Докажем, что I функция синус имеет производную в любой точке и (sin х)' = cos X. (1) Применяя формулу sin а - sin р = 2cos sin находим Л sin X ^ siti(Xp Ax)-sinxo Лх Дх Лх 2cos^Xo + ^ I ^x sin / л 2 I — - cos Хр + - )• Для вывода формулы (1) достаточно показать, что: • Ajc sin а) ---—----> 1 при Дх —> 0; Дх б) cos Дх • cos Хр при Лх О. Опираясь на эти утверждения, можно получить формулу (1). Действите.пьно, при Дх О Дбшх Дх Лх sin ^ Дх 2 — • cos f Хр -н — г 12 -> 1 • cos Хр = COSXp. 121 Прпизводнлл II ее примонрнип ^ Утверждения а) и б), на которые мы опирались выше, имеют наглядный геометрический смысл. а) Отложим на единичной окружности от точки Рц в обе стороны дуги РцЛ и РцВ длиной (рис. 88). Тогда длина дуги АВ равна |Ajc|, а длина хорды АВ рав- на 2 sin ^ |. При малых |Даг| дли- Рис. 88 на хорды АВ практически не отличается от Д.1ШНЫ стягиваемой ею дуги АВ. (Этим фактом вы уже пользовались в курсе геометрии при выводе формулы длины окружности. Действительно, при больших п верно, как известно, приближенное равенство а С, где Р„ — периметр правильного вписанного п-угольника, а С — длина окружности. Значит, длина стороны такого многоугольника приближенно равна длине дуги, которую эта сторона стягивает.) Следовательно, АВ АВ sin 1^1 I 2 I Ax 2 1 при Ax -> 0. 6) Заметим, что длина хорды АВ меньше длины дуги A_S, т. е. 1Дх| |Ах| 2 sin' '<2 ' 2 2 Воспользовавшись формулой разности косинусов и этим неравенством, находим: -COSXo = )|c|2sin^ 2 Но при Ал: |Дх| 2 1 0. о при Ajc ^ 0. Поэтому cos [ ^ Пример. По формуле ди4)ференцирования сложной функции (sin (ojc + b)Y = а cos (ах + b). 122 iipoM .4110/1ИЯЯ II •IpIKMOtK.'lllltl 2. Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котангенса. Докажем следующее утверждение. Функции у = cos X, у = tg X, у - ctg X имеют производные в каждой точке своей области определения, и справедливы формулы: (cos х)' = -sin X, (tgx)' = —* . (ctga:)' =- (2) (3) (4) COS Вывод формулы (2) основан на равенствах cos х = sin -зе в ^ 2 - X j = sin X и правиле ди(})ференцирования сложной функции: (соБх)' =^sin^ 2 ~^2 (г ~ -siHX. Чтобы доказать справедливость формул (3) и (4), применим формулу для нахождения производной частного и выведенные <}юрмулы производной синуса и косинуса; / _ ( sin X Y _ (siH х)' cos х - (cos х)' sinх _ cos^ х + sin^ х _ j _ (tgx) - -------- - ----------------------- --------; V cos X ) cos'" X cos'' X COS^ X (ctg xy = { у = (sin Д'')'cos X V sinx j sin* X 1 Упражнения Найдите производную каждой из функций (231—233). 231.— а) I/= 2 sin х; б) i/ = l-2sinx; г) у = 0,5 + 1,5 sin X. б) у = X + 2 cos х; г) у = 2 sin X + 1,5 cos х. б) у = cos X - tg х; г) у = 2 tg X - sin X. в) у = -0,5 sin х; 232. — а) у = 3 cos х; » в) у = 1 - cos х; 233. - а) y = V3-3tgx; 234,- в) У = 2 tgx; Найдите f (0) и f (л), если: а) /(х) = |cos(2x-n); б) f (X) = X - tg (~2хУ, в) n^-)=3sin(^|-|J; г) f(x)=2i :cos —. 2 123 Пронявпдкаа к ее ii|>HivieiiriitiM 235.— Решите уравнение f (дс) = О, если: I а) f (jc) = I jc + cos ас; б) f (x) = x tg jc; b) ^ (oc) 2 sin jC - 1; r) f ix) = x - cos oc. Найдите производную каждой из функций (236—238). 236.— а) f(x) = X® sin 2х; 6) f (x) - X* + tg 2x; в) /(х) = cos Зх_ Г) f ix) = ^. X sinx 237.— а) sin® х; 6) fix) = tg X + ctg x; в) cos® х; r) fix) = sin® X + cos® X. 238.— а) Пх) = cos 2х sin X + sin 2x cos x; б) Пх) = cos^ ^ - sin^ 4 X. 4* в) f(x) = sin 5x sin 3x + cos 5x cos 3x; 1 г) fix) ^ sin 3x cos 3x. 239. -» Найдите точки, в которых ^'(дс)=0, f {х) > О, если: а) f (х) = 2 sin^ X - л[2 х; б) f (х) = 2ас + cos (4дс - л); в) f (х) ^ cos 2.г; г) f (х) = sin 2х - л/З х. 240. -1 Задайте формулой хотя бы одну функцию Д если; а) f (х) = 1 - sin х; в) f (х) = -cos х; б) f (х) = 2 cos 2х; г) f (х) = 3 sin X. § 5. Применения непрерывности и производной 18. Применения непрерывности 1. Непрерывность функции. В п. 14 вы познакомились с понятием непрерывности функции в точке. Ек:ли функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I (промежуток I называю-!' промежутком непрерывности функции /). При переходе от одной точки этого промежутка к близкой ей точке значение функции меняется мало; график / на этом промежутке представляет собой непрерывную линию, о которюй говорят, что ее можно «нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги». (Так, во всяком случае, обстоит дело для непрерывных функций, изучаемых в школьном курсе.) 124 11рлил1и>,п1ШЯ 11 1Ч> притгнсния Как было показано в п. 15, функция, дифференцируемая в точке х^, непрерывна в этой точке. Все дробно-рациональные и основные тригонометрические функции дифференцируемы во всех точках своих областей определения. Следовательно, эти функции и непрерывны в каждой из этих точек. Например, из ди(11ференцируемости функции f (jc) = на всей прямой, а ^)унк-ции f(x) = - на промежутках (-оо; О) X и (О; оо) вытекает непрерывность этих функций на соответствующих промежутках. Отметим следующее свойство непрерывных функций: Если на интервале (а; Ь) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. Это утверждение имеет наглядную интерпретацию. Допустим, что найдутся такие точки x^ и jCg интервала (а; Ь), что /(х,) < О, а f(x2) > О, Тогда непрерывная кривая (график функции /), соединяющая точки А (х,; / (х,)) и В (Х2; f (Xg)), разделенные прямой у - О, пересекает эту прямую в некоторой точке х, данного интервала (рис. 89), т. е. /^(Xg) = О. (Представим себе, что точки А и В находятся на разных берегах реки, изображаемой интервалом (а; Ь). Ясно, что туристу, для того чтобы попасть из А в В, надо где-то перейти реку.) Это противоречит условию: функция f не обращается на интервале (а; Ь) в нуль. 2. Метод интервалов. На свойстве непрерывных функций, рассмотренном в этом пункте (его полное доказательство приводится в курсах математического анализа), основан метод решения неравенств с одной переменной {метод интервалов). Опишем его. Пусть функция / непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По сформулиро-BaHHOMj' выше свойству непрерывных функций этими точками / разбивается на интерва.пы, в каждом из которых непрерывная функция / coxpaziHCT постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f в какой-либо одной точке из каждого такого интервала. X* -1 I Пример 1. Решим неравенство > О. Функция f(х)- х2-1 х^ -5х+ 6 X* -бх+ 6 непрерывна в каждой точке своей области определения (это дробно-рациональная функция) и обра- 125 ГСроизнодна51 и «е применения -1 Рис. 90 -о— 1 щается в нуль в точках -1 и 1. Область определения этой функции — вся <1исловая прямая, за исключением нулей знаменателя, т. е. точек 2 и 3. Эти точки и точки -1 и 1 разбивают область определения f на 5 промежутков (рис. 90), в каждом из которых функция f непрерывна и не обращается в нуль. На рисунке отмечен знак f в каждом из соответствующих интервалов, который определяем, найдя знаки значений f во внутренних точках интервалов. Неравенство нестрогое, поэтому числа -1 и 1 (нули функции f) являются решениями неравенства. Рассматривая рисунок, можно записать ответ: множество решенш! неравенства — объединение промежутков (-оо; -1|, [1; 2) и (3; оо). Пример 2. Найдем один из корней уравнения + 2х — — 2 = о с точностью до 0,1. Функция / (дг) = + 2х - 2 непрерывна, поэтому достаточ- но найти отрезок длиной 0,2, па концах которого f имеет значения разных знаков. Имеем /(1)=1>0, /(0) =-2 < 0, поэтому корень уравнения существует и он принадлежит отрезку [0; 1]. /(0,6) = 0,6®2 • 0,6 - 2 =-0,584 < о и /(1)>0, значит, корень лежит на отрезке [0,6; 1]. Наконец, / (0,8) = 0,112 > О, а /(0,6) < 0, получили, что корень на отрезке [0,6; 0,8]. Теперь мы можем его найти: Xfy » 0,7 с точностью до 0,1. 3. Пример функции, не явл;иощейся непрерывной. Практически все функции, с которыми вы встречались до сих пор, непрерывны в любой точке своей области определения. Не следует, однако, считать, что это верно для любой функции. Приведем пример. Рассмотрим функцию / (jc) = {д:}, где {дс} — дробная часть числа д: (график / (дг) = {дг} изображен на рисунке 91, а), и возьмем любую целочисленную точку оси абсцисс, например д: = 2. Рис. 91 126 Пртстодин» к ее нрнмененпп OcHOBUoe свойство непрерывной в точке функции (/ (jCq + Ах) -> f (Хр) при Лх —> О) в этом случае не выполняется. Действительно, пусть Дх 0. Если Лх > 0, то {х„ + Лх} близко к нулю. Если же Лх < 0, то значения {х^ + Дх} близки к 1. В то же время ф^ч^кция f (х) = {х} непрерывна во всех точках, отличных от точек X = н, где п — целое число. Это свойство функции f (х) = {х} нетрудно понять, рассмотрев рисунок 91. а. 4. Пример функции, непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке. Примером такой функции является функция / (х) = |х| (рис. 91, б), которая непрерывна, но не дифференцируема в нуле. Напомним, что X, если X > о. -X, если X <0. Непрерывность функции / (х) = |х| в любой точке (в том числе и в нуле) очевидна. Рассмотрим график этой функции. Для любого х > 0 в некоторой окрестности точки х^ > 0 функция равна х, и поэтому производная ее в таких точках равна х', т. е. |х|' = 1 при х > 0. Так как |х| = -х при X < о, то |х|' = -1 при отрицательных значениях х. В точке о функция f (х) = |х| не имеет прюизводной. ^ Докажем это методом от противного. Допустим, что f (х) = |х| А/(О) имеет производную в нуле, т. е. ---- стремится к некоторому Лх числу А при Дх -> О. Тогда при всех достаточно малых |Дх| значения близки к А, и, в частности, при малых значениях Дх Лх должно выполняться неравенство ^(0) Лх -А <1. При Дх > о справедливо неравенство |1-А|<1, откуда -1 < 1 - Л < 1, т. е. 0<А<2. (1) Для Дх < о справедливо неравенство |-1 — А| < 1, откуда -1 < -1 - А < 1, т. е. -2 < А < о. (2) Неравенства (1) и (2) противоречивы. Следовательно, наше допущение о существовании производной функции f (х) = |х| в нуле неверно. Итак, 1 при х>0, |х|'=' не существует при х=0. -1 при X < 0. 127 Производнип 1C се iiiimmciioiihii Упражнения 241. — Является ли функция f непрерывной в точках Xj = О и = -1, если; . , f ДГ + 1 при X < -1, а) / (X) = х"* - X + 1; б)/(х) = -^ [ X при л: > -1; В| М*)-| """ г) [ 5-2х при X > 0; 242. — Найдите промежутки непрерывности функции: уЗ . 07 а) f (X) = хЗ - 2x2; б) f (X) =-- Зх+ х2 в) /(х)= 2х^ — 3x2 ^ 4- г) f(x) х2 -5х+ 6 х2-8 243.^ Докажите, что данное уравнение имеет корень, принадлежащий отрезку [0; 1], и найдите его с точностью до 0,1: а) 1,4 - 10x2 _ дгЗ _ Oj б) 1 + 2x2 _ юОх"* = О; в) х2 - 5х -н 3 = 0; г) х'* + 2х - 0,5 = О. 244. 245. Решите неравенства (244—245). а) х2 - 5х + 4 > 0; в) х2 - Зх - 4 < 0; а) > 0; х2 +2х-3 , 2x2 + 5х ^ , в) ---->1; 4 5х+ 4 б) х+ 3 г2 + 4х—5 О; х2-7х+6 г) ;.з-<0. б) i ® <1; х2-6х + 8 г) х2-2х-3 <0. (х+3)(х-4) 246. Найдите область определения функции: »)/(»)- б) f(x> = ') г) 247. — При каких значениях m функция f непрерывна на всей числовой прямой, если: а) f(x) = 4-х при X < 4, (х-т)2 при х>4; I.) [ X + 2 при X >0; 128 Иром.чнодная и 1>е применения f г \ х2-3х б) fix)= ; г) /(x) = 4l^? л- 248. - 249. - Решите неравенства (248—249). а) - \Qx^ + 9<0; б)х<-8> в) - Ъх^ + 6 > 0; г) 5дг^ - 4 > д:"*. а) (дг^ - 1) (д: + 4) (дг^ - 8) < 0; б) yjx^-4 (дг-3) <0; (х-2)^(х + 5) в) х^ (3 - х) (х -ь 2) > 0; г) (х+ 3)2 >0. 250. • Найдите область определения функции: х2; б) f(x)=y fx2-8 X -хЗ; г) ‘-5 19. Касательная к графику функции 1. Касательная. С понятием касательной к графику функции вы уже знакомы. График дифференцируемой в точке Xq функции / вблизи Хд практически не отличается от отрезка касательной, а значит, он близок к отрезку секущей I, проходящей через точки (х^; f (х^,)) и (х„ + Дх; f (х^, + Дх)). Любая из таких секущих проходит через точку А (Xq; f (х^,)) графика (рис. 92). Для того чтобы однозначно задать прямую, проходящую через данную точку А, достаточно указать ее угловой коэ^зфициент. Угловой Л|/ коэффициент — секущей при Дх —> 0 стремится к числу f (х«) Дх (его мы примем за угловой коэффициент касательной). Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при Ах 0. ^ Ек:ли же f (Xq) не существует, то касательная либо не существует (как у функции у = |х| в точке (0; 0), рис. 91, б), либо вертикальна (как у графика у = vGe в точке (0; 0), рис. 93). Итак, существование производной функции f в точке х„ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (Xj,; / (Хц)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f (х„). В этом состоит геометрический смысл производной. 129 производная и ее применения Касательная к графику ди(}н1)ерениируемой а точке х„ функ11ии / — это прямая, проходящая через точку (Хц; / (xq)) и имеющая угловой коэффициент Г(Хо). Проведем касательные к графику функции f в точках Xj, Xg, Ху (рис. 94, и) и отмстим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направлении от положительного направления оси до прямой.) Мы видим, что угол а, острый, угол Оу тупой, а угол Og равен нулю, так как прямая I паралле.пьиа оси Ох. Тангенс острого утла положителен, тупого — отрицателен, tg О = 0. Поэтому Г(х,)>0, Пх^) = 0, /'(Ху)<0. Построение касательных в отдельных точках позволяет более точно строить эскизы графиков. Так, например, для построения эскиза графика функции синус предварительно находим, что в точках 0; ^ и п производная синуса равна 1; 0 и -1 соответствен- но. Построим прямые, проходящие через точки (0; 0) ■ и (тс; 0) с угловыми коэффициентами 1, 0 и -I соответственно (рис. 94, б). Остается вписать в полученную трапецию, образованную этими прямыми и прямой Ох, график синуса так, чтобы при X, равном о, 2 и тс, он касался соответствующих прямых. Отметим, что график синуса в окрестности нуля практически неотличим от прямой у - х. Пусть, например, масштабы по осям выбраны так, что единице соответствует отрезок в 1 см. Имеем sin 0,5 » 0,479425, т. е. | sin 0,5 - 0,51 0,02, и в выбранном масштабе это соответствует отрезку длиной 0,2 мм. Поэтому в интервале (-0,5; 0,5) график функции у = sin х будет отклоняться (в вертикальном направлении) от прямой у — х не более чем на 0,2 мм, что примерно соответствует толщине проводимой линии. Рис. 94 130 Произподпая н ее ирнмеисиия 2. Уравнение касательной. Выведем 'геперь уравнение касательной к графику функции / в точке А (д:^; f (ar^)). Уравнение прямой с угловым коэ(]нрициентом /' (дг^) имеет вид: y^f (д-ц) ас + Ь. Для вычисления h воспользуемся тем, что касательная проходит через точку А: f (л-о) = f (Дс„) • ДСо + ft, откуда b-f (дс„) - f' (дг„) ■ ас„, значит, уравнение касательной таково: У (^о) ^ ‘ ^0 + ^ (^о)» или y = f (Хо) + Г (л:,,) ix - ас,,). (1) I Пример 1. Найдем уравнение касательной к графику функции f (д:) = дг* - 2х'^ + 1 в точке с абсциссой 2. В этом примере Xq = 2, f (Хд) = / (2) = 2® - 2 2^ + 1 = 1, f (х) = Зх^ - 4х, f (Хц) = /' (2) = 3 ■ 2^ - 4 ■ 2 = 4. Подставляя эти числа в уравнение (1), получаем уравнение у = 1 + 4 (х — 2), т. е. У = 4х - 7. Пример 2. Выведем уравнеш1е касательной к параболе у = х*“ в точке с абсциссой х„. Имеем у (х^) = Хд, а у' (Хд) = 2хд. Подставляя эти значения в лзавнение (1) касательной, получаем у = Хд + 2хд (х - Хд), т. е. у = 2ХцХ - Хд. Например, при Хд = 1 по.пучаем касательную, имеющую уравнение у = 2х - 1. Найдем координаты точки Т пересечения касательной к параболе в точке А (Хд; Хд) с осью Ох (рис. 95). Если (х,; О) — координаты точки Т, то, поскольку Т принадлежит касательной (и, значит, ее координаты удовлетв«)ряют уравнению касательной), имеем О = 2хдХ, — Хд. Если Хд * О, чю Xj = . Нетрудно обосновать простой способ построения касательной к произвольной параболе в любой ее точке А (кроме вершины): достаточно соединить точку А с точкой Г, делящей oTjieaoK оси Ох с концами О и Хд пополам; прямая АТ — искомая касательная. При Хд = О касательная — это прямая Ох. 3. Формула Лагранжа. Воспользуемся геометрическим смыслом производной, чтобы дать наглядные пояснения справедливости ToiT), что существует касательная к графику f в точке с абсциссой с из интервала (а; 6), параллельная секущей, проходящей через точки А (а; f (а)), В(Ь; / (ft)). 131 Пров;. чполная II ее iipB.>ieii(-iiH)i Рассмотрим прямую I, параллельную АВ и не имеющую общих точек с частью графика, соответствующей промежутку [а; fe]. Будем перемещать эту прямую I по направлению к графику / так, чтобы она оставалась параллельной АВ. Зафиксируем положение Zq этой прямой в момент, когда у нее появятся общие точки с этой частью графика. Из рисунка 96, а видно, что любая из таких «первых» общих точек — точка касания прямой с графиком /. Обозначим абсциссу этой точки через с. Тогда f (с) = tg а, где а — угол между прямой и осью абсцисс. Но 11| АВ. поэтому угол а равен углу наклона секущей АВ, т. е. f(b)-f{u) Ь-а f (с) = tg а = Итак, если функция дифференцируема, то на интервале (а; Ь) найдется такая точка с е (а; Ь) (рис. 96, б), что Г(с) = f(b)-f(a) Ь-а Эта формула называется формулой Лагранжа. Упражнения 251. — В каких точках графика функции f (рис. 97) касательная к нему: а) горизонтальна; б) образует с осью абсцисс острый угол; в) образует с осью абсцисс тупой угол? 252. -т При каких значениях аргумента (отмеченных на оси абсцисс) производная функции, заданной графиком (рис. 98): а) равна нулю; б) больше нуля; в) меньше нуля? Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей черюз данную точку М графика функции f (253—254). 253. а) f(x) = x\ М(-3; 9); б) f (х) = 1х^-х, Л^(2:|): в) f (х) = дг», М (-1; -1); г) f (х) = + 2х, М (1; 3). 132 Производная и ее применения а) Рис. 98 254.— а) /(л:) = 2 cos JC, I б) f (х) = -tg X, М (л; О); в) / (jc) = 1 + sin X, М (п; 1); г) f (дг) = -cos X, М ( л; 1). б) 133 Производная и ее применения Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой (255—256). 255— а) f (Л-) = лго = -1. = 1; б) f(x) = 2х ~ х^, JC(, = 0, Xq = 2; в) f (х) = дг^ + 1, дгц = о, JCfl = 1; г) / (х) = - 1, х„ = -1, х„ = 2. 258.-1 а) / (х) = 3 sin х, ДС(, ~ б) / (х) = tg X, лсо = ^» *0 = I! в) f(x)=l + cos X, Х(, = 0, = 2; г) / (х) = -2 sin X, Хц = - 2, Хо = тс. Найдите точки ipa<])irKa функции f, в которых касательыадс параллельна оси абсцисс (257—258). 257. — а) /(х) = X® - Зх^ + Зх; б) / (х) = | х'*16х; в) f(x) - Зх'* 6х^ + 2; г) f{x) = х^ — Зх + 1. 258. — а) /(х) = 2 cos х + х; б) f(x) = sin 2х + \/Зх; в) / (х) =cos ^хj; г) / (х) = V2 X-2 sinx. 259. — Под каким углом пересекается с осью Ох график функции: ‘ а) f{x) = 3x-x^; б) / (х) = sin ^ х-I-^ j; в) f (х) = х^ - Зх + 2; т) f (х) = -cos х? 260. -7 каким углом пересекается с осью Оу график г1|ункции: а) /(X) = 1 . х-Г б) f (x) = |tg^x-^ j; в) /-(х) = |(х-1)2; г) /(x) = sinj2x + 5 j? 20. Приближенные вычисления Пусть, папример, требуется вычислить приближенное значение функции / (х) = х^ - 2х<5 4 Зх=* - X + 3 в точке X = 2,02. Значение f в близкой к 2,02 точке х„ = 2 находится легко: f(2) — 13. График [ в окрестности точки 2 близок к прямой у = f (Xq) -I- f (Xq) (x — Xq) — касательной к нему в точке с абсциссой 2. Поэтому f (2,02) » у (2,02). Имеем f (х) = 7х® - 12х‘’ + + 6х - 1, f (Xq) = f (2) = 75 и / (X) « у (х) = 13 -f 75 0,02 = 14,5. 134 Цр<)11звил1шя II (т нримененин Вычисления па калькуляторе дают результат f (2,02) = * 14,57995. Вообще для диф<})еренцируемой в точке функции / при Дд:, мало отличающихся от нуля, ее график близок к касательной (проведенной в точке графика с абсциссой дг^), т. е. при малых Лд' /■ (дг) « f (ягр) + f' (дс„) Д*. (1) Если точка такова, что значения f (дс„) и f (дг^) нетрудно вычислить, то ())ормула (1) нозводгяет находить приближенные значения f (д) прх» X, достаточно близких к дс^. Так, при вычислении значения -у/4,08 естественно взять в качестве Дц число 4, так как 4,08 близко к 4 и значения f (х„) = ^/дгр и f (дСр) = —при х^- 4 найти нетрудно: /(4) =-/4=2, Г (4) = = 1. По формуле (1) при 2Л 4 Ах = 0,08 получаем: ^,08 «:2н^ |-0,08 =2,02. В Пример 1. Выведем из ((юрмулы (1) приближенную формулу лЛГГДд * ^ о Возьмем / (х) ^ -Jx, До = 1 и дг = дГц + Лдг = 1 + Дх. Имеем /^(Хц) = -Л = 1 и f'{x)= откуда /'(х^) = Г(1) = |. По фор- 2VX ^ муле (1) / (Х) =-ЛТм а 1 + I ЛХ. в частности, ^1,06 = -Jl + 0,06 ~ ^ |' 0,06 = 1,03. Значение -J4,08 также можно найти по формуле (2): ^4,08 =2yjl,02 »2^1 + | 0,02j = 2,02. Пример 2. Выведем из формулы (1) приближенную фор- мулу (1 + Ах)" I -н пАх. (3) Полагаем f{x) = x", Хр = 1 и х = Хр + Дх = 1-ь Лх. Находим /(Хр) = 1, fix) - пх" ', откуда /' (Хр) = п. По формуле (1) f (х) = (1 + Дх)” я: 1 + пАх. Например, ПОО!^» = (1 + 0,001)»* ^ 1 f 100 0,001 = 1,1. Значение 1,001»“', вычисленное на калькуляторе, равно 1,10512. 135 Пр<ш:и10дпап м нрименгнпм Пример 3. Для вычисления значения удобно вос- 0,997®” пользоваться формулой (3) при п =-30, Лл;=-0,003: ---= (1 - 0.003)-®” ^ 1 + (-30) (-0,003) = 0,997®” = 1 + 0,09 = 1,09. Формулой (1) часто пользуются для вычисления приближенных значений и других элементарных функций, например тригонометрических. Так, для вычисления sin 1° удобно взять так как 1° = —^ |. 180 ; f (х) = sin X, лгр = о, при этом Дог = 180 \ Имеем f (Хр) = sin 0 = 0, [' (Xq) = cos 0 = 1 и sin X « / (Ху) + f (Ху) Ах = о + 1 ■ Дх = Дх, т. е. sin » 0,017453. Вычисляя значение sin 1° на кальку- 180 ляторе, получаем sin 1° « 0,0174525. Упражнения 261. — Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значе- ния функции f в точках х^ и х./. а) f (х) = х"* + 2х, X, = 2,016, Xg = 0,97; б) f (лг) = X® - X®, Xj = 1,995, Xg = 0,96; в) f (х) = X® - X, X, = 3,02, Xg = 0,92; г) f (х) = X® + Зх, Х| = 5,04, Xg = 1,98. Вычислите с помощью формулы (1) и (3) приближенные значения (262—263). 262. -■ а) 1,002'””; б) 0,995”; в) 1,03®””; г) 0,998®”. 263.1 а) Vl,004; б) 725,012; в) 70,997; г) yfiToOW. Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значения (264—266). 264. — 265. — 1' 266. -I а) а) tg 44°; б) cos 61°; в) sin 31°; а) cos+0,04j; б) sin -0,02); в) sin +0,03j; г) tg^j + 0,05). г) ctg 47°. 6) в) 1,003®” ’ ■' 0,996^” ' ' 2,0016® 136 Производная и ее нрнменеиия 0,994® 21. Производная в физике и технике 1. Механический смысл производной. Напомним, как определялась скорость движения в курсе физики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция х (<) времени t. За промежуток времени от до /р + Af перемещение точки равно х (fp + Д<) -- X (<р) = Ajc, а ее средняя скорость такова: Дд: М ' (1) При At < О формула (1) также верна: перемещение равно X (t^y) - зс (fp + Af) = -Азе, а продолжительность промежутка времени равна -At. Обычно характер движения бывает таким, что при малых At средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным (см. пример II. 13). Другими словами, значение средней скорости при At —> О стремится к некоторому вполне определенному значению, которое и называют мгновенной скоростью о (t^) материальной точки в момент времени Итак, *^ср(АО = л< и ( 0. о. Но по определению производной ^ л- (tg) при At Поэтому считают, что мгновенная скорость и (/) определена (только) для любой дифференцируемой функции л:(0» при этом u(t) = x'(t). (2) Коротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной. Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени t^) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата растет с течением времени, а если v it) отрицательна, то координата X (t) убывает. Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А прюизводная этой функции называется ускорением движения: 0=0' (О. I Коротко говорят: производная от скорости по времени есть ускорение. 137 Производная и ег нримсиення в Пример 1. Рассмотршу! свободное падение материальной точки. Если координатную прямую направить вертикально вниз, а начальное положение материальной точки совпадает с О, то, как известно из физики, дг(П= ^ • Тогда скорость падения точки в момент времени / равна а ускорение а = (gt)' = g есть величина постоянная. Рассмотрим более общий случай. Пример 2. Пусть зависимость координаты точки, движущейся по прямой, от времени выражается формулой X(t)=*^ t^ + V^t t Гр, где о О, Ор и Хр — постоянные. Найдем скорость и ускорение движения. Скорость этого движения такова: о = х' (<) ^ + ^0 j = 2 ^ < f Ор =al + Vo- Так как нам известна скорость движения как функция времени, мы можем найти ускорение этого движения: и' (t) = = {at -г Ор)' = а. Мы видим, что ускорение при движении по квадратичному закону постоянно и равно а. Если а > 0, то это равноускоренное движение; если же а < 0, то равнозамедленное. Отметим также, что Ор = о (0), а Хр = х (0). В главе III мы докажем, что если при движении по прямой ускорение а постоянно, то двимсение происходит по квадратичному закону: ^ f^ + V()t > Хр, где Ор — начальная скорость точки, а Хр — начальная координата. ^ Пусть !/ = f (х) — произвольная дифференцируемая функция. Тогда мы можем рассмотреть движение материальной точки по координатной прямой, совершаемое согласно закону х - / (t). Механический смысл производной позволяет дать наглядную интерпретацию теорем дифференциального исчисления. Я Пример 3. Пусть f и h — две дифференцируемые функции. Рассмотрим следующее (относительное) движение по прямой. Дана подвижная система координат, связанная с поездом, начало которюй (кабина машиниста) движется относительно начала неподвижной системы координат (станции) по закону х^= f (/). В подвижной системе координат материальная точка совершает 138 Пяии9ВО|>111ая н et' npiiiyieitcmiii движение по закону Xg = h{t). Тогда координата х этой точки относительно неподвижной системы координат равна дс - jc, + Xg, а ее скорость V (О равна х' (О- С другой стороны, по закону сложения скоростей V (О = v^ (О + l>2 W = (О + x'g (I). Итак, мы получили с помощью механического смысла производной известную формулу: (f + hY = f' + h'. Пример 4. Пусть материальная точка движется по координатной прямой согласно закону х = f (<)• Средняя скорость этой точки на промежутке [а; Ь\ равна Мгновенная скорость v{t) в точках промежутка [а; Ь] не может быть все время меньше (больше) средней. Значит, в какой-то момент е (а; Ь] мгновенная ско^юсть равна средней, т. е. в промежутке [о; bj найдется такое t^, что nb)-f(a) Ь-а У (^о) = Г(<о) = (3) Мы получили механическую интерпретацию формулы Лагранжа. 2. Примеры применения производной. С помощью производных функций, характеризующих физические явления, задаются и другие физические величины. Например, мощность (по определению) есть производная работы по времени. Рассмотрим пример. Н Пример 5. Пусть дан неоднородный стержень, причем известна масса т (/) любого его куска длиной I (I отсчитывается от фиксированного конца стержня). Хотя стержень неоднороден, естественно полагать, что плотность его небольшой части (на уча- { Д'” j и чем меньше Д/, стке от i до / + Л() примерно одна и та же д/ тем в меньших пределах на этом участке изменяется плотность. Поэтому за характеристику распределения плотности стержня в зависимости от I принимают линейную плотность d (() = т' (/). Пример 6. В большинстве задач механики рассматриваются движения точки на плоскости или в пространстве. Тогда скорость — векторная величина. Оказывается, что если координаты точки в момент t равны х (t) и у (О» то координаты вектора v (О скорости равны х' (О и у' (t). Пользуясь этим, можно вывести формулы производных тригонометрических функций на основе кинематики. Рассмотрим равномерное движение по окружности радиуса 1 в направлении против часовой стрелки с угловой скоростью 1 (рис. 99). Тогда координаты точки М в момент времени < 139 Произвилкая н ее npH.KieiieHiui таковы; х (t) = cos t, у (t) = sin t. Как вы знаете из курса физики, вектор скорости и (t) направлен по касательной к окружности, а его длина равна 1 (о (t) = = 1 1 = !)• Следовательно, этот вектор совпадает с вектором ОР „ , координаты которого равны sin i и sin (-f) = cos t. C другой стороны, коор- динаты вектора v (/) равны соответственно х' (/) (т. е. cos' t) и у' (t) (т. е. sin't). Получаем известные формулы: cos' t = -sin t, sin't = cos /. Пример 7. Выведем свойство параболы, имеющее применение в оптике и технике. Поверхность, получающаяся при вращении параболы у = ах'^ вокруг оси Оу, называется параболоидом вращения. Представим себе, что внутренняя поверхность параболоида — зеркальная поверхность и это параболическое зеркало освещается пучком лучей света, параллельных оси Оу, Рассмотрим сечение этого зеркала плоскостью а, проходящей через ось Оу. Это сечение представляет собой такую же параболу у = х^ (ось Ох выбираем в плоскости сечения, а = 1). Согласно законам оптики отраженный луч света будет лежать в плоскости а, причем этот луч образует с касательной к параболе такой же угол, как и падающий луч AJA (рис. 100). ^ Докажем, что все лучи, параллельные оси Оу, после отражения пересекутся в одной точке оси Оу. Обозначим через F точку пересечения произвольного отраженного луча с осью Оу. Прямая АТ — касательная к параболе 140 Прои.зволнэя и ее прнмеиення в точке А. Из законов отражения света (рис. 100) сразу следует, что ZTAM = ZFAP. Но луч МА параллелен оси Оу, поэтому ZFPA = ZTAM. Следовательно, ZFPA = ZFAP, т. е. треугольник FPA равнобедренный и FA - FP. Точка А (Хд; У(,) лежит на параболе, поэтому = Хд. Уравнение касательной АТ имеет вид у = 2хдХ - х^. Из него найдем ординату yf, точки Р. Она равна Ур = 2хд • О - xg, т. е. ур = -уц. Если ординату точки F обозначим через у, то FP - у + у^. Длина FA = +(Уо~ у)^, и поэтому (вспомним, что FA = FP) верно равенство (у + i/д)* = (Уп ~ У)*» т. е. у^ + 2|/1/д + «/^ = J/д + y't, - 2ууо + у^, откуда 4yj/„ = уд, и, поскольку ^ О, получаем У = ^ ■ Итак, все лучи, параллельные оси параболического зеркала, после отражения сходятся в одной точке, которую называют фоку сом параболического зеркала (точку F называют также фокусом параболы у ^ х^). На этом свойстве основано устройство параболических телескопов. Лучи от далеких звезд приходят к нам в виде параллельного пу»жа. Изготовив параболический телескоп и поместив в его фокус фотопластинку, мы получаем возможность усилить световой сигнал, идущий от звезды. Этот же принцип лежит в основе создания параболических антенн, позволяющих усилить радиосигналы. Если же поместить в фокусе параболического зеркала источник света, то после отражения от поверхности зеркала лучи, идущие от этого источника, не будут рассеиваться, а соберутся в узкий пучок, параллельный оси зеркала. Этот факт находит применение при изготовлении прожекторов и фонарей, различных проекторов, зеркала которых изготавливают в форме пара-боловдов. Упражнения 267. — Материальная точка движется прямолинейно по закону X (f) = - ^+ 2** + .'it. а) Выведите формулу для вычисле-3 ния скорости движения в любой момент времени t. б) Найдите скорость в момент / = 2 с. (Перемещение измеряется в метрах.) в) Через сколько секунд после начала движения точка остановится? 268. -1 Материальная точка движется прямолинейно по закону X (t) = - 4t^. Найдите скорость и ускорение в момент t = 5 с. (Перемещение измеряется в метрах.) 141 Производная и ее применения 269. — Вращение теля вокруг оси совершается по закону Ф (О = 3^^ At + 2. Найдите угловую скорость о) (<) в произвольный момент времени / и при i = 4 с. (ф (t) — угол в радианах, со (О скорость в радианах в секунду, t время в секундах.) 270. S Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол ф {t) = At - 0,3f^. Найдите: а) угловую скорость (О (О вращения маховика в момент времени f = 2 с; б) такой момент времени, когда маховик остановится, (со {t) — угол в радиангсх, t — время в секундах.) 271. — Точка движется прямолинейно по закону х (t) = 2i^ + t 1. Найдите ускорение в момент времени t. В какой момент времени ускорение будет равно: а) 1 см/с®; б) 2 см/с®? (дг (f) — перемещение в сантиметрах, ( — время в секундах.) 272. — Точка движется прямолинейно по закону х (t) = + 31® - 5 6 (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Найдите: а) момент времени 1, когда ускорение точки равно нулю; б) скорость движения точки в этот момент. 273. — Точка движется прямолинейно по закону x(t) ^л[1. Пока- жите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости. 274. — Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой т, движущуюся прямолинейно по закону x(t) ^ 21® - 1® при 1 = 2. 275. — Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону JC (1) = 1® -ь 1 1. Координата х измеряется в сантиметрах, время 1 — в секундах. Найдите: а) действующую силу; б) кинетическую энергию Е тела через 2 с после начала движения. 276. — Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от точки А па расстояние /, масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле т (I) = 3Z® + 51. Найдите линейную плотность стержня: а) в середине отрезка АВ; б) в конце В стержня. 277. — По прямой движутся две материальные точки по законам х^ (1) = 41® - 3 и XTg (1) — 1®. В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки? 278. •. Из пункта О по двум лучам, угол между которыми 60°, движутся два тела; первое — равномерно со скоростью 5 км/ч, второе — по закону .ч (1) = 21® + 1. С какой скоростью они удаляются друг от друга? (s измеряется в кило-' метрах, 1 в секундах.) 142 Ироизволяйя и ее прнмененкя §6. Применения производной к исследованию функции 22. Признак возрастания (убывания) функции В п. 6 вы видели, что одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения. Достаточный признак возрасгвнир „jyriii Ц и и Если f (Jcj > О в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на /. Достаточный призияк убывания функции. Если f {х) < О в каждой точке интервала /, то функция / убьшает на I. Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа Xj и Xj из интервала. Пусть х, < Xj,. По <)юрмуле Лагранжа существует число с е (х,; Xg), такое, что А(ха)-Дх,) ■*2 -*1 = /' (с). (1) Число с принадлежит интервалу /, teik как точки х, и Xg принадлежат I. Если f (х) > О для X е /, то /' (с) > О, и поэтому f{Xx) О. Этим доказано возрастание функции / на 1. Если же /' (х) < О для X е /, то /' (с) < О, и потому /■ (х J > / (Xg) — следует из формулы (1). так как Xg - х, > О. Доказано убывание функции f на /. ^ Наглядный смысл признатсов ясен из физических рассуждений (paccMOTjjHM для определенности признак возрастания). Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени i имеет ординату у = f (t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f (<) (см. п. 21). Если f (О > О в каждый момент времени из промежутка /, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если < ^g, то f ^t^) < / (tg). Это означает, что функция / возрастает па промежутке I. 143 Проиэволная и ос прншовопин ■ Пр и мер 1. Найдем промежутки возрастания (убывания) и построим график функции f (х)- х - х'*. Данная функция определена на множестве всех действительных чисел. Из равенства f (дс) = 1 - Зх'^ следует, что /' (дг) > О, если 1 — Зх^ > 0. Решая это неравенство методом интервалов (рис. 101, а), получим, что f'(x) > 0 на интервале , и, I Л -Js) значит, на этом интервале f возрастает. Аналогично f (х) < 0 на интервалах ~ j и ~ j, поэтому на этих интервалах f убывает. Далее вычислим значения / в точках —^ и - : Л л ( л] л 1 л у )=_L_f_L) =_2_ зЛ’ ЧЛ; Л 1л] зЛ Л’ зЛ, (л’ з7з]“ i~7s'h)“ На координатной плоскости отметим точки М \ —^; А I I и нарисуем проходящий через них график функции, возрастающей на интервале I --j=; I и убывающей на интерва- ~ и , возрастает на отрезке Л Л —^I и убывает на про- а) \<3 Из рис^щка видно, что функция Л непрерывная в точках ' J_. 1 ' Л’ л, межутках оо; L j и °°j- Замечание 1. Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эта точка тоже входит в промежуток возрастания (убывания) (как точки - и ~ в при-Л v'3 мере 1). Мы примем этот факт без доказател ьства. Замечание 2. Для решения неравенств f (дс) >0 и f (дг) < 0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу): точки, в которых производная рав- 144 Пронзв<шная II ее применения на О или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в к>фсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f в какой-нибудь точке промежутка. Н Пример 2. Найдем промежутки возрастания (убывания) и построим график функции f(x) = 2x + -\-. Область определения данной функции — объединение П1юме-жутков (-оо; О) и (0; оо); /' {х) -2 —% у f (^) = 0 при х = 1. Точки о и 1 разбивают область определения функции на три интервала (-<»; 0), (0; 1) и (1 : со). По замечанию 2 в каждом из них f сохраняет постоянный знак. Знак производной в каждом из этих интервалов отмечен на рисунке 102, а. Следовательно, данная функция возрастает на интервалах (-оо; 0) и (1; оо). Поскольку f непрерывна в точке 1, то эту точку можно (в силу замечания 1) присоединить к промежутку, на котором функция f возрастает. Окончательно получаем, что f возрастает на промежутках (-оо; 0) и [1; оо). Далее, f' {х) < 0 на интервале (0; 1), и поэтому (с учетом замечания I) f убывает на промежутке (О; 1]. Точка о не входит в D (f), однако при стремлении х к 0 сла- гаемое 1 неограниченно возрастает. Поэтому и значения f не- а) - + О 1 ограниченно возрастают. В точке 1 функция принимает значение 3. Отметим теперь па координатной плоскости точку М (1; 3) и нарисуем проходящий через нее график функции, возрастающей на промежутках (-оо; 0) и [1; оо) и убывающей на промежутке (0; 1J (рис. 102, б). Пример 3. Найдем промежутки возрастания (убьшания) функции f (х) = -2х + sin X. Функция определена на всей числовой прямой. Производная ее такова: /' (х) = - 2 + cos X. Поскольку |cos х| < 1, легко получаем, что f (х) < о для всех действительных X. Это значит, что функция f (х) = -2х + sin X убывает на всей числовой прямой. 145 Иронакодная и ег примененнн Упражнения Найдите промежутки возрастания и убывания функций (279—281). 279.- 280.- а) Пх)^ в) f (д:) = X 281.4 а) f(x) = 12л + Зл^ - 2л=*; в) f(x)^x (л^ - 12); 282. 3- - л; 2 б) /(л) =-л® + 2л - 3; 4л — 5; г) f (л) = 5л® - Зл + 1. -2.1; б) / (л) = л® (л - 3); X х-З. 9 г) / (л) = л® - 27л. 6) f{x)= 4 - X*; г) Пх)= I . Постройте эскиз графика функции f, удовлетворяющей условиям: а) D if) = [-2; 5], /' (л) > 0 при л е (-2; 5); б) D if) = [1; 6], Г (л) < о при л е (1; 3) U (3; 6), /' (3) = 0; в) D if) = [-2; 5], Г (л) > о при л 6 (-2; 1) U (1; 5), Г (1) = 0; г) D if) = [1; 6], Г (л) < О при X е (1; 6). Найдите промежутки возрастания и убывания и постройте графики функций (283—284). 283.- а) f (л) = л® + Зл^ - 9л + 1; в) fix) = 2 + 9л + Зл2 - л»; 284.— а) fix)=2~ 0,5л-Г в) f (л) = 8л2 - X*; б) f (jc) = 4л® - 1,5л'*; г) / (л) = х^ - 2л®. б) /•(л) = |л-3|- 2; г) f (л) = -1 285. — Докажите, что функция f возрастает на К, а функция g убывает на R: а) f (л) = Зл + cos 2л; б) g (л) = - - - л; о в) / (л) = л’^ + 2л® + 3; г) я ix) = -4л + sin Зл. 286. — Докажите, что уравнение имеет единственный корень на каждом из данных промежутков Р, и Р./. К а) л® - 27л + 2 = о, Р, = [-1; 1], Р^ = [4; 6]; б) л^ - 4л - 9 = о, Р, = [-2; 0], Р^ = [2; 3]; в) л< + 6л® - 8 = о, Р, = [ 2; -1], Pg = [1; 2]; г) -1 +Зл®-л®-0, Pi = | 2; 0), Рг = [2; 3]. 146 Лроиавош1ая ч ес П|тмене1и1н 23. Критические точки функции, максимумы и минимумы Мы рассмотрели поведение функции на промежутках, где f (дс) > О и f (х) < 0. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки ид-рают важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции (рис. 103 и 104). Сформулируем соответствующее утверждение, его называют теоремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма). Необходимое условие экст-емума Ек;ли точка является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная /', то она равна нулю; f (хд) = 0* Рассмотрим случай /' (Хд) > 0. По определению производной f(x)-f(xo) отношение --------— при х —> х„ стремится к положительному Х-Хо числу f' (Хд), а следовательно, и само будет положительно при всех X, достаточно близких к Хд. Для таких х f{x)-f(xo) Х-Хд >0, и, значит, f {х)> f (Хд) для всех х > Хд из некоторой окрестности точки Хд. Поэтому Хд не является точкой максимума. Если же X < Хд, то f (х) О на интервале (а; X(,) и f (х) < о на интервале (д^о; Ь), то то>1ка Х(, япвляется точкой максимума функш1и /. Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: |Если в точке Xq производная меняет знак с плюса на минус, то Xq есть точка максимума. 148 Пронзволная н ее применения Доказательство. J 1роизводиая f (а:) >0 на интервале (о; дГр), а функция f непрерывна в точке Xj,, следовательно (см. п. 22), функция f возрастает на промежутке (а; дг„], и потому f (х)< f (a'j,) для всех X из интервала (и; jf^). На промежутке [лг^; h) функция f убывает (доказательство аналогично), и потому f (дг) < f (аГу) для всех х из интервала (x^; Ъ). Итак, f (х) < f (аСу) для всех .г ^ Хд из интервала (а; Ь), т. с. аГц есть точка максимума функции /. ^ Признак максимума имеет простой механический смысл. Мы можем считать, что f (аг) — это координата точки, движущейся по оси Оу, в момент времени х, а f (дг) — скорость точки в этот момент. По условию скорость точки за промежуток времени, предшествующий дгу, полоисительна. Поэтому в течение этого времени точка движется в положительном направлении, она поднимается по оси Оу до точки / (дго), т. е. f (х) < f (x„) при дг < агд. В момент Хд точка на мгновение «останавливается» (ее скорость в этот момент равна нулю или не определена), а затем начинает опускаться по оси (но условию скорость f (х) меньше нуля при х > Хд), т. е. f(x) < f(Xg). Итак, в окрестности дГу имеем f (х) < f (дг^). Точка дгу — точка максимума. Признак минимума функции Если функция f непрерывна в точке дс,„ f (ж) < О на интервале (а; лсу) и /' (х) > 0 на интервале (ху; Ь), то точка Ху является точкой минимума функции f. Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: Если в точке Ху производная меняет знак с минуса на плюс, то Ху есть точка минимума. Доказательство этого признака аналогично доказательству признака максимума (полезно провести его самостоятельно). И Пример 3. Найдем точки экстремума функцшт / (х) = Зх - х'*. Производная этой функции, равная 3 - Зх^, определена во всех точках и обращается в нуль в точках -1 и 1. В точке -1 производная меняет знак с минуса на плюс (/■' (х) < о при X < —1 и /' (х) > о при -1 < X < 1). В точке 1 производная меняет знак с плюса на минус. Пользуясь признаками максимума и ми- 149 Цриизводння и ее ггрнменения ыимума, получаем, что точка -1 является точкой минимума, а точка 1 — точкой максимума функции /. График функции изображен на рисунке 108. Упражнения 287. — Найдите критические точки функции, график которой изображен на рисунке 109. 288. — Найдите критические точки функции: а) f (х) = 4 - 2х + 7зс^; б) / (дс) = 1 + cos 2х; в) f {х) = X - 2 sin д:; г) f(x) =4х-V- 289.-^ Найдите точки максимума н минимума функции /, график которой изображен на рисунке 110. Существует ли производная в соответствующей точке? Если существует, то чему равно ее значение? Найдите критггческие точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие — точками минимума: а) /(■*■) = 5 + 12дг - б) f (х) = 9 + Sx'^ ~ х*; в) f (jc) = 2х^ + Зх^ - 4; 290. г) f (х)=^^х*-х^. 291. J Докажите, что функция f не имеет критхгческих точек: а) f (дг) = л/х; б) f (х) = tg х; в) f (х) = Зх - 7; г) f (х) = Зх® + 2х. Найдите критические точки функции / (292—293). 292.— а) / (х) = sin^ х - cos х; б) /(.х)=2х-ь « ; J в) / (х) = 10 cos X + sin 2х - 6х; г) f (х) = х* - 4х + 8. 150 Иронавианая и ct* лрилюнеиин 293. а) Пх) = (х-2Г; в) /(>r) = f + -; 3 X б) f (х) = г) f(x) = -х-2 при л: < -1, X при - 1 < л: < 1, 2-х при X ^ 1; х + 6 при х<-2, х^ при -2 < X < 2, 6 —X при х>2. 294. Постройте эскиз графика функции, обладающей следующими свойствами: а) £>(Л = [-3; 5]; f'{x)>0 при х е (-3; 1), f’{x)<0 при X е (1; 5) и /'(D-0; б) 7)(f) = |-3;5J; f'(x)<0 при х 6 (-3; 1), f (х) > О при X е (I; 5) и функция f не имеет производной в точке 1; в) D (f) = [о; ЬУ, X, — точка минимума, х^ — точка максимума функции, f (а) > f (Ь); г) D (/) - [а; ft]; х, — точка максимума, Xg — точка мини-I мума, f (а) = f (ft). 295. 4 Исследуйте функцию на возрастание, убывание и экстремумы. Постройте графргк функции: а) f(x) = lx*-8x^; б) f (х) = ■й 1 + Х'' . . х^-2х+2 г) /(х) = - в) fix) =2х-1х^; о 1 24. Примеры применения производной к исследованию функции Вы уже знаете (п. 4), что построение графика функции лучше начинать с ее исследования, которое состоит в том, что для данной функции: 1) находят ее область определения; 2) выясняют, является ли функция / четной или нечетной, является ли периодической. Далее находят: 3) точки пересечения графика с осями координат; 4) промежутки знакопостоянства; 5) промежутки возрастания и убывания; 6) точки экстремума и значения f в этих 151 Прг»«зкс>лнмя и ее применения точках и 7) исследуют поведение функции в окрестности «особых* точек и при больших по модулю х. На основании такого исследования строится график функции. Исследование функции на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции f к ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума. В Пример 1. Исследуем функцию f (х) — + 2 и по- строим ее график. Проведем исследование по указанной схеме. 1) D(f) = R, так как f— многочлен. 2) Функция f не является ни четной, ни нечетной (докажите это самостоятельно). 3) , 4) График f пересекается с осью ординат в точке (0; / (0)); чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, надо решить уравнение Зх^ - 5х^ + 2 = 0, один из корней которого (дс = 1) легко находится. Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсщисс и промежутки знакопо-стоянства мы находить не будем (как уже отмечалось в п. 4, приведенная схема имеет примерный характер). 5), 6) Найдем производную ф>ч1кции /: f (X) = 15дг^ - 15х-2 = 15л-=* (х^ - 1). D (f) = R, поэтому критических точек, для которых /' (дс) пе существует, нет. Заметим, что f (дс) = 0, если х'^ {х^ - 1) = 0, т. е. при значениях аргумента, равных 0, -1 и 1. Рассматриваемая функция имеет три критические точки. Составляем таблицу: X (-оо; -1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; «:) Г(дг) 0 - 0 - 0 + Пх) 4 \ 2 \ 0 / max min В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежутках. (На каждом таком интервале знак производной не меняется, его можно найти, определив знак производной в какой-либо точке рассматриваемого интервала.) В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции: *У* — возрастает, *\» — убывает, а в четвертой — о виде критических точек (пп. 5 152 Прспыводная н ее применения и 6 приведенной выше схемы). Критическая точка О функции f не является точкой экстремума, поэтому в четвертой строке таблицы она не отмечена. Заметим, что вывод о ходе изменения функции на промежутке между критическими точками часто можно сделать, сравнив значения функции на концах этого промежутка (вместо определения знака производной). Например, f (О) < f (-1), поэтому на промежутке (-1; 0) функция убывает (и, следовательно, f <0 на этом промежутке). Строим график функции (рис. 111). Строить его удобно по промежуткам, которые указаны в таблице. Например, в таблице указано, что / убывает на интервале (0; 1). Функция [ непрерывна в точках 0 и 1 (так как она непрерывна всюду), следовательно, она убывает на отрезке [О; 1]. Поэтому рисуем график убывающим па отрезке [0; 1] от значения f (0) = 2 до значения f(l) = 0. При этом касательные к графику в точках 0, ± 1 должны быть горизонтальными — во второй строке таблицы сказано, что в этих точках производная равна нулю. Аналогично строится график и на остальных промежутках. Пример 2. Найдем чис.по корней уравнения 2л-'’ - Зх'^ - 12дг -11=0. Рассмотрим фут1кцию f (х) = 2дг® - Зх^ - 12х - 11. Ее область определения D (f) = (-со; оо). Для отыскания критических точек функции f найдем ее производную: f'(x) = 6х^ — 6х - 12. Эта производная обращается в нуль в точках х = -1 и х = 2. Заполним таблицу: X (-00, -1) -1 (-1: 2) 2 (2; оо) г (X) +• 0 - 0 Пх) -Л \ -.31 / max min На промежутке (-схэ; -1] функция возрастает от -оо до -4, поэтому на этом промежутке уравнение f (х) = 0 корней не имеет. На промежутке [-1; 2] уравнение также не имеет корней, так как на этом промежутке / убывает от -4 до -31. Наконец, на промежутке [2; оо) функция f возрастает от -31 до бесконечности, на этом промежутке уравнение / (х) = 0 имеет один корень (по теореме о корне). Итак, уравнение 2х® - Зх* - 12х -11=0 имеет один корюнь, и этот К01>ень принадлежит интервалу (2; оо). 153 Прои.чяоднач и ее примеиеинн 296.- Упражнения Исследуйте функцию и постройте ее график (296—297). а) f (jc) = jc2 - 2л: + 8; в) f (л:) = -х^ + 5дг + 4; . 2л* 2 б) f(x) = —+ 3 = х“ 4 г) f (Jc) = ~ + ."л + f- + 1. 16 4 297. — а) / (х) = - + Зх - 2; б) f {х) = X* - 2х^ - 3; в) f (Jf) = •’С® + Зх + 2; г) / (х) = Зх^ - х^. 298. Нгшдите промежутки воарастаыия и убывания 4)ункдии: а) f (х) = 1 -ь 1,5х - Зх^ — 2,5х®; б) Пх)=^-^--6х + 1; О о в) Пдг) = ^+8х-5; 4 299. г) / (х) = X® - 6x2 _ 15д. _ 2. Докажите, что функция f возрастает на множестве R: а) f (х) = 2х - cos х; б) / (х) = х® + 4х; в) / (х) = sinx + Зх. 2 ’ г) { (х) = 2х=* + X - 5. Исследуйте функцию и постройте ее график (300—302). б) f (х) = 4x2 _ jp4. г) f (Х) = 5x2 _ 6(х-1)_ 300. — а) f(x) = \x^ -1х®; 2 5 в) /"(х)=1х® -1^x2; 5 о 301. — а) f (х) = х^ урГГх; в) / (х) = хл/2-х; 302.— а) f (х) = sin2 х + sin х; в) / (х) = cos2 X - cos х; б) Пх) = г) f(x) = б) Пх) х2 + 3 2х 1-х2 ■ 2х . 1 + х2 ’ г) /(x)=-i-. X- 1 303.— Докажите, что функция f принимает на данном промежутке положительные значения: а) / (х) = tg X - х; / =^0; ^ j; б) f(x) = Jx--; / = [1;оо); X в) / (х) == X - sin х; / = (0; оо); г) /(x) = x + |-cosx; /=(-f; f]. 154 iipriii HRo;iiuiri и vt' примеиошт 304.— Сколько корней имеет уравнение: а) 4л:'’ - Зл-2 - Збд- - 10 = 0; б) ^ -х^ + Зл- = 0; 4 2 в) - 4х'* -9 = 0; i г) а;2 - £1 -1 = о? 25. Наибольшее и наименьшее значения функции Решение практических задач часто сводится к нахождению наибольи1его и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вейер-штрасса: непрерывная на отрезке [а; Ь\ функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т. е. па [о; ft] существуют точки, в которых f принимает наибольшее и наименьшее на [а; Ь| значения. Для случая, когда функция / пе только непрерывна на отрезке [а; fc|, но имеет на этом отрезке лишь конечное число критических точек, укажем правило отыскания наибольшего и наименьшего значений f. Предположим сначала, что f не имеет на отрезке [а; Ь] критических точек. Тогда (п. 23) она возрастает (рис. 112) или убывает (рис. 113) на этом отрезке, и, значит, наибольшее и наименьшее значения функции / на отрезке [а; Ь] — это значения в концах а и Ь. Пусть теперь функция / имеет на отрезке [а; Ь\ конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; б] па конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции f на таких отрезках принимаются в их концах, т. е. в критических точках функции или в точках а и 6. 155 пг М1и:ишлнм51 и примсмепип Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, 1гужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. щ Пример 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции у (jr) = JC® - 1,5х‘‘ - бд: + 1 на отрезке [-2; О]. Сначала найдем критические точки. Так как производная у' (дг) = Sx 6 определена для любого х, остается решить уравнение у' (х) = О. Решая его, находим л: = -1 и х = 2. Теперь нужно выбрать наибольшее и наименьшее из чисел у{-2) — -\, J/(-1) = 4,5 и р (О) = 1 (критическая точка х = 2 не принадлежит рассматриваемому отрезку). Ясно, что наименьшее значение достигается в точке - 2 и равно -1, а наибольшее — в точке -1 и равно 4,5. Коротко это записывается так: max у (х) = у (-1) = 4,5; min у (х) = у (-2)= -1. 1-2; 01 1-2:01 Изложенный выше метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению разнообразных прикладных задач. При этом действуют по следующей схеме: 1) задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f (г); 2) средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке; 3) выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат. Вообще решение практических задач средствами математики, как правило, содержит три основных этапа: 1) формализацию (перевод исходной задачи на язык математики); 2) решение полученной математической задачи и 3) интерпретацию найденного решения («перевод» его с языка математики в терминах первоначальной задачи). С этим общим методом (его называют методом математического моделирования) вы уже знакомы, по описанной схеме решались текстовые задачи в курсе алгебры. Приведем пример ею применения. I Пример 2. Из квадратного листа жести со стороной а надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам (рис. 114) квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным? Решение. 1) Обозначим через х длину стороны основания коробки. Тогда длины сторон вырезанных квадратиков рав- 156 Иронэвеешаи и ее крнменения н I Q -i|eg я) X а Рис. 114 ны i (а -х), а объем коробки равен ^ (о - дг) лс^. По смыслу задачи число X удовлетворяет неравенству О < х < а, т. е. принадлежит интервалу (0; а). Таким образом, пример 2 мы свели к такой задаче: найти наибольшее значение функции V (х) = ^ (а-х) х^ на интервале (0; а). 2) Правило нахождения наименьших и наибольших значений функции было сформулировано для отрезка. Функиия V непрерывна на всей числовой прямой. Мы будем искать ее наибольшее значение на отрезке [0; о], потом сделаем выводы для решаемой нами задачи. Находим критические точки функции: V (х) = ах--х^, ах--х^=0, ^ ' 2 2 т. е. X = о или X = I а; О Так как V (0) = 0 и V {а) - 0, своего наибольшего на отрезке О [0; а] значения функция V достигает при х = — а, т. е. <5 max V (х) = V {- о\ = ~ а^. [0:oj ' ^ КЗ ) 27 Наибольшее значение функции достигается внутри отрезка [0; а], следовательно, и внутри интервала (0; а). 3) Остается вспомнить, что х — длина стороны основания коробки, имеющей при заданных условиях максимально возможный об'ьем. Полученный результат означает, что максимальный об'ьем имеет та коробка, сторона основания которой равна ^а. О 157 Производная и ее применения Упражнения 305. — Найдите наибольшее и наименыпее значения функции f: а) f (х) — X* - Sx^ - 9 на промежутках [-1; 1] и [0; 3]; f 4 б) / (х) =---на промежутках [-4; -1] и [1; 3]; X в) f (jc) = Здг® - 5jc® на промежутках [О; 2] и [2; 3]; г) f(x) = ^ на промежутках [-3; -2] и (1; 5]. х+ 1 306. -г Сравните наибольшее значение функции на промежутке P^ и наименьшее ее значение на промежутке Fg. а) / (X) = хз + 3x2 _ 9^. ^ 4- о], = [3; 4]; б) Плг) = - 2x2 + 4; Р,Р^ = [2; 3]. 307. -§ Материальная точка движется но прямой согласно закону 8 (О = 12f2 _ ? ^3^ РДР g — путь в метрах и t — время О в секундах. В какой момент времени из промежутка [4; 10] скорость движения точки будет наибольшей и какова величина этой скорости? 308. Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при ко-торых скорость изменения функции f (х) = 21х + 2х^ - а будет наибольшей или наименьшей. 309. Скорость материальной точки, движущейся прямолинейно, изменяется по закону о(<) = ^ - 12/ (скорость измеряется 6 в метрах в секунду). В какой момент времени ускорение движения будет наименьшим, если движение рассматривать за промежуток от /, = 10 с до /jj = 50 с? 310. — Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / на данном промежутке: а) f (х) = 2 sin X + cos 2х, fO; 2л]; б) f (х) = 1,5x2 + 81 И; 4]; в) f{x) = 2 sin X + sin 2х, о; г) /(х) = х+ , [-5;-2,5]. х+ 2 311.— Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей. Число 4 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение эпгх чисел было наибольшим. 312. 158 11рип:т<)лна>1 и w прнменеи11н 313. — Кусок проволоки длиной 48 м сгибгпот так, чтобы обра- зовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? 314. — Число 54 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых, два из которых пропорциональны числам 1 и 2, таким образом, ч-юбы п|юизведение всех слагаемых было наибольшим. 315. — Число 16 представьте в виде произведения двух положи- тельных чисел, сумма квадратов которых будет наименьшей. 316. — Площадь прямоугольника 64 см^. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы иерггметр был наименьшим? 317. — Открытый бак, имеющий форму прямоугольного паралле- лепипеда с квадратным основанггем, должен вмещать 13,5 л жидкости. При какггх размерах бака на его изготовление потр>ебуется наименьшее количество металла? 318. — В равнобедренный треугольник с основанием 60 см гг боко- вогг стороногг 50 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Две верглины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите стороны прямоугольника. 319. — Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сече- нием паиболыпей площади. Наг'гдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 20 см. 320. — Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в пункт, расположенный по шоссе в 15 км от уггомянутой точки (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какогг точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь пункта? 321. I Лодка находится на озере на расстоянии 3 км от ближай-Г шей точки А берега. Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу на расстоянии 5 км от А (участок АВ берега считаем прямолинейным). Лодка движется со скоростью 4 км/ч, a пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчаг1шее время? 322. Найдите число, сумма которого со своггм квадратом прингг-мает наименьшее значение. 323. Докажите, что из всех прямоуго.льных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую плогцадь имеет равнобедренный треугольник. 159 Т1||Пизнолвая н ег |1римг110вин 324. — Из всех прямоугольников, вписанных в окружность, най- дите прямоугольник наибольшей площади. 325. — Покажите, что из всех треугольников, вписанных в дгш-J ный круг, наибольшую площадь имеет равносторонний I треугольник. Сведения из истории 1. О происхождении терминов и обозпачспий. Раодел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращения вида Д/, представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей', это название появилось уже в конце XVII в., т. е. при рождении hoboi'o метода. Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова derivee, которое ввел в 1797 г. Ж. Лагранж (1736—1813); он же ввел современные обозначения I/', Г- Такое название отражает смысл понятия: функция f (дг) происходит из f (дг), является производным от f (х). И. Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию — флюентой. Г. Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и ввел df обозначение производной dx которое также часто встречается в современной литературе. Символ df Лейбниц выб]>ал для обозначения дифференциала функции f. Дифференциал df функции f — это произведение производной /' (jc„) на приращение Адг, т. е. df = f (дГц) Дд:; заменяя обозначение Ах на dx, это же можно записать так: df = f {Xf,) dx, откуда f'iXf,)-— . Геометротеский dx смысл ди())ференциала ясен из рассмотрения рисунка 115: здесь df = AR, прямая I — касательная к графику. Рассказ о происхождении терминологии, принятой в дифференциальном исчислении, был бы не полон без понятий предела и бесконечно малой. Подробнее о пределе говорится ниже, а пока заметим, что, нгшример, производная определяется во всех руковод- 160 Лрои.зволняя и ее применении Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646—1716) — великий немецкий ученый. Философ, математик, физик, юрист, языковед. Создатель (наряду с Ньютоном) математического анализа. Основололожник большой математической школы. Идеи Лейбница оказали значительное влияние на развитие математической логики. ствах именно как предел. Пишут f (,х„) = lim вместо приня- лд:-»с Дд- того выше обозначения Д/ Дд f (Xq) при Ад- -> О. Обозначение lim — сокращение латинского слова limes (межа, граница); уменьшая, например. Ад, мы устремляем значения к «границе» f (дА Термин «предел* ввел Ньютон. Лд ' Примером бесконечно малой может служить функция (Ад)^ от Ад, поскольку (Дд)^ -> О при Ад -> 0. Вообще, если lim п (д) -0, говорят, что о (д) — бесконечно малая. Бесконечно Х-»Го малые играют важную роль ь математическом анализе, который поэтому часто называют также анализом бесконечно малых. Заметим наконец, что с.пово «экстремум* происходит от латинского extremum (крайний). Maximum переводится как наибольший, а minimum — наименьший. 2. Из истории дифференциального исчисления. 1) Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Тем более поразительно, что задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль (применяя при этом предельные переходы), но и сумел найти максимум функции / (д) — (а д). Эпизодически понятие касательной (которое, как вы знаете, связано с понятием производной) встречалось в работах итальянского математика Н. Та рта л ьи (ок. 1500—1557) — здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. И. Кеплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса. 161 Производная и се применения Ферма Пьер (1601—1665) — французский математик и юрист. Один из крупнейших математиков своего времени. Ферма принадлежат блестящие работы в области теории чисел. Создатель аналитической геометрии, в которой он получил ряд крупных результатов. В XVII в. на основе учения Г. Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения, примененные к разным задачам, встречаются уже у Р. Декарта, французского математика Роберваля (1602—1675), английского ученого Д. Грегори (1638—1675), в работах И. Барроу (1630—1677) и, наконец, И. Ньютона. К рассмотрению касате.аьной и нормали (так называется прямая, перпендикулярная касательной и проведенная в точке касания) Декарт пришел в ходе изучения оптических свойств линз. С помощью методов аналитической геометрии и изобретенного им метода неопределенних коэффициентов он сумел решить задачи о построении нормалей к ряду кривых, в том числе эллипсу. В 1629 г. Г1. Ферма предложил правила нахождения экстремумов многочленов. Существенно подчеркнуть, что фактически при выводе этих правил Ферма активно применя.п предельные переходы, распо.чагая простейшим дифференциальным условием максимума и минимума. Ферма сыгра.а выдающуюся роль в развитии математики. Его имя заслуженно носит не только известная вам теорема из анализа. Великая теорема Ферма («Уравнение х" + у" = z" не имеет решений в натуральных числах при натуральном п, большем двух*), доказанная только в самом конце XX в., лишь один из итогов его размышлений над проблемами теории чисел. Ферма один из создателей аналитической геометрии. Он занимался и оптикой. Широко известен принцип Ферма («Луч света распространяется так, что время его прохождения будет наименьшим*), применяемый и в физике. Важные следствия этого принципа вы можете вывести самостоятельно. Закон отражения света («Угол отражения равен углу падения*) сводится согласно принципу Ферма к решению известной геометрической задачи. Для вывода закона преломления света вам потребуется применить известные правила нахождения экстремума. (Требуется решить такую задачу (рис. 116): «Луч света 162 Прон.шолная и с€ применении Рчс. И6 проходит из точки М нижней полуплоскости в точку N верхней. Скорость света в нижней полуплоскости (однородной среде) постоянна и равна о,, а в верхней полуплоскости — v^. Но какому пути должна двигаться точка, чтобы весь ее путь занял наименьшее время?*) Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном, который сформулировал и две основные проблемы анализа: ♦ 1. Длина проходимого пути постоянно (т. е. в любой момент времени) дана; требуется найти скорюсть движения в предложенное время. 2, Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденною в предложенное время пути». Первая проблема задает программу pasBimiH диф<})еренци-алыюго исчисления, с элементами которого вы уже познакомились в этой главе. Вторая относится к интегральному исчислению (см. главу III). Если Ньютон исходил в основном из задач механики (ньютонов анализ создавался одновр)еменно с ньютоновой классической механикой), то Лейбниц по преимуществу исходил из геометрических задач. Говоря о последующем развитии идей анализа (а они очень быстро завоевали попу.лярность и нашли многих последователей), следует в первую очередь назвать имена учеников Лейбница — братьев Я. и И. Берну.лли. А. Л о II и таль (1661 —1704), который учился у И. Вернул ли, издал уже в 1696 г. первый печатный курс дифференциального исчисления ♦Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий», способствовавший распространению новых методов. Ряд крупных результатов получил Лагранж, ei-o работы сыграли важную роль в осмыс.лении основ анализа. Как и в случае многих других разделов математики, неоценим вклад в развитие математического анализа, внесенный Л. Эйлером и К.-Ф. Гауссом (1777—1855). В кратком очерке невозможно рассказать о существе открытий, сде.танных в XVIII в. и позднее. По об одном направлении нельзя не упомянуть. Речь идет о разложении функций в степенные ряды, т. е. о представлении функций в виде многочленов с бесконечным числом слагаемых. С примером бесконечной суммы (числового ряда) вы знакомы: бесконечные периодические дроби представлялись в виде суммы бесконечного числа слагаемых. С числовыми и (])ункциональными рядами работал не только Ньютон, но и его предшественники, и поэтому несколько несправедли- 163 Приизоодная п ее примеиения во название формула Тэйлора (Б. Тэйлор (1685—1731) — английский математик, опубликовавший ее в 1715 г.), принятое для следующего замечательного соотношения: /(д:о +Дл) = /'(а:о)+ ^ /<"»(хо) п1 (Лх)" + ... (здесь Я"' (Хр) — значение, полученное п-кратным дифференцированием функции f в точке .Гу, а п! = 1 ■ 2 ■ ... «). Зная <3юрмулы производных, например, для функци!! sin х и cos X, вы можете разложить их в ряд Тэйлора самостоятельно. Оказалось, что в ряде случаев, отбрасывая бесконечное число слагаемых, можно получать (])ормулы, дающие хорошие приближения функций многочленами. 2) Энтузиазм, вызвгшный появлением нового мощного метода, позволяющего рещать широкий круг задач, способствовал бурному развитию анализа в Х\ТП в. Но к концу этого столетия проблемы, возникшие уже у создателей диф())еренциального и интегрального исчислений, проявились весьма остро. Основная трудность состояла в том, что точные определения таких ключевых понятий, как предел, непрерывность, действа тельное число, отсутствовали (соответственно и рассуждения со-держа.ти логические пробелы, а иногда были даже ошибочны). Характерный пример — определение непрерывности. Эйлер, Лагранж и даже Фурье (а он работал уже в начале XIX в.) называли непрерывной функцию, которая в своей области определения задана одним аналитическим выражением. Тем самым «новая» математика не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых, воспитанных на классических образцах греческих математиков. Интуиция, столь необходимая математикам, сугцествешю оперюдила логику, тоже являющуюся неотъемлемой характеристикой математической науки. Гениальная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, помогала им избегать ошибок. Но необходимы были прочные логические основы. Характерны высказывания, относящиеся к XVIII столетию. Известный математик М. Рол ль писал, что новое исчисление есть коллекция гениальных ошибок. А великий французский мыслитель Вольтер заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы XIX в. французским математиком О. Коши (1789—1857), предложившим точные определения пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа. Несколько рань- 164 Ироизводиам п прнмеиеиня Коши Огюстен Луи (1789—1857) — крупный французский математик. Доказал ряд замечательных теорем в области анализа, теории функций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений и т, д. Большая заслуга Коши — разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие классическими определения предела, непрерывности функции и т. п. ше (1821 г.) определения предела и непрерывности, целый ряд других замечательных результатов (в том числе знаменитый пример функции, непрерывной на промежутке, но не имеющей производной ни в одной его точке) получил чешский математик Б. Больцано (1781—1848), но его работы стали известны много позднее. Определение предела функции по Коши формулируется следующим образом: «Число А называется пределом функции f (jc) при X, стремящемся к а (т. е. lira f (х) = А), если для любого числа х-*а G > о можно подобрать такое число б > О, что | f (х) - А | < е для всех дг, удовлетворяютцих неравенству О < |х - а | < Опираясь па это определение, уже нетрудно дать определение непрерывности в точке: функция f непрерывна в точке х^, если Иш f {х) = f (Х()). х-*ха Формулировка определения предела последовательности (а именно с этим понятием связано определение интеграла — см. п. 30) такова: «Число А является пределом последовательности а„, если Д.ПЯ любого е > 0 существует номер N. такой, что при всех п > N верно неравенство |а„ -А| < е*. Коши доказал следующие теоремы о пределах, которыми мы фактичсч;ки пользовались (называя их правилами предельных переходов — п. 14) при вычислении производных: Ес.пи lini/(jr) = A и lim g (х) = В, то существуют X >о X -¥а пределы суммы и разности, произведения, частного (при Ип1 ^(x)?t0), причем lim (f {x)±g(x)) = А±В, X ♦« lijii (f{x)g(x)) = A B, x->o lini = X «0 g(x) В 165 Прпи.зволндя II 1Ч> iipiiMOHeHiisi Приведем пример доказательства «по Коши» (часто говорят: ♦ на языке эпсилон-дельта»). Докажем теорему о пределе суммы. Возьмем любое положите.аьное число е > О. Тогда число | > О* и поэтому (по определению Коши): 1) из условия lini f(x)=A следует, что можно подобрать число 6j, такое, что * £ /(д:) Л < (1) для всех X, удовлетворяющих неравенству О < | jc — а | < Sj; 2) из условия lim g (х) = В вытекает: существует такое С /Ч jr >0 О2 > о, что \g{x)-B\ (2) для всех х, удовлетворяющих неравенству О < | д: - о | < Sj. Обозначим через 5 наименьшее из чисел 6j и 'Тогда для любого дг, удовлетворяющего неравенству О < | дг а | < б, выполнены неравенства (1) и (2); для этих х имеем: \f{x) + g{x) - (Л 4 В)| = = |(/ (х)-А) + (g(x)-B)U |/(д:)-»|+ |g(x)-B|<|+J=e. Этим доказано, что lim {f {х) + g (д:)) = А + В. JT -♦ а Остальные правила (для произведения и частного) доказываются аналогично. Лозунгом многих математиков XVII в. был: «Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет». 3. О понятии действительного числа. Математический анализ возник в XVIII в. Но полное его обоснование было дано лишь в конце XIX столетия, когда вслед за теорией пределов, созданной Коши, сразу в нескольких формах немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831-1916), К. Вейерштрассом (1815—1897) и Г. Кантором (1845—1918) была построена теория действительного числа. Первые представления о числах складывались постепенно под влиянием практики. С давних лор числа употреб.лялись при счете и измерении велтгчин. Ответ на вопрос: «Сколько элементов содержит данное конечное множество?» — всегда выражается либо натуральным числом, либо числом нуль. Следовательно, множество {0: 1; 2; ...} всех неотрицательных чисел обслуживает все потребности счета. Иначе обстоит дело с измерением величин. Расстояние между двумя пунктами может равняться 3,5 километра, площадь комнаты — 16,45 квадратного метра и т. д. 166 Пронзвппиал й tre лримемени» Кантор Георг (1845—1918) — немецкий математик, идеи и работы которого оказали большое влияние на развитие математики в целом, на понимание ее основ. Создатель теории множеств. Получил ряд замечательных результатов, относящихся к теории бесконечных множеств, теории действительного числа. Величины бывают разных родов. Приведем два примера. 1. Расстояния между точками, длины отрезков, ломаных и кривых линий — это величины одного и того же рода. Их выражают в сантиметрах, метрах, километрах и т. д. 2. Длительности промежутков времени тоже величины одного и того же рода. Их выражают в секундах, минутах, часах и т. д. Величины одного и того же рода можно сравнивать между собой и складывать: 1 м > 90 см 300 с < 1 ч 350 м + 650 м - 1 км 2ч+3ч=5ч Но бессмысленно спрашивать, что больше: 1 метр или 1 час, и нельзя сложить 1 метр с 30 секундами. Длительность промежутков времени и расстояние — величины разного рода. Складывать и сравнивать величины разного рода нельзя. Величины можно умножать на положительные числа и нуль. В результате умножения величины а на неотрицательное число х получается ве.пичина Ь = ха того же рода. Приведем несколько примеров: 5 • 20 см - 100 см = 1 м 0,01 20 см = 0,2 см = 2 мм о 20 см == о см Приняв какую-либо величину е за единицу измерения, можно с ее помощью измерять любую другую велггаину а того же рода. В результате измерения получим, что а = хе, где х — число. Это число дг называется числовым значением величины а при единице измерения е. Числовое значение величины зависит от выбора единицы измерения. Если, например, длина комнаты имеет числовое значение 5,6 при единице измерения в 1 м (е = 1 м), то эта же длина имеет числовое значение 560 при единице измерения в 1 см (е = 1 см). 167 Приизвидиан н ее примегсепия Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815—1897) — немецкий математик, доказавший классические теоремы в различных областях математики. Работы Вейерштрасса по обоснованию математического анализа, по существу, завершают создание строгой стройной теории. Пусть числовые значения величин а п Ь при одной и той же единице измерения е равны х и у, т. е. а = хе, Ь = уе. Если Ь * О, то отношение — называют отношением величины а к Ь. У Таковы простейшие сведения о величинах. Приведенное описание понятия величины опиралось на понятие числа. Но исторический путь был иным: положительные действительные числа появились как отношения велитшн (а точнее, как отношения длин отрезков). С открытием несоизмеримости диагонали единичного квадрата с его стороной стало ясно, что отношение длин отрюзков не всегда может быть выражено не только натуральным, но и рациональным числом. Для того чтобы числовое значение каждого отрезка при фиксированной единице измерения было определено, требовалось введение новых чисел — иррациональных. Все практические измерения ве.дичин имеют лишь приближенный характер. Их результат с требуемой точностью можно выразить при помощи рациональных дробей или более специальным образом — при помощи конечных десятичных дробей. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной I м с точностью до одного сантиметра, мы обнаружим, что ее д.иина приближенно равна 1,41 м. При измерении с точностью до одного миллиметра получим, что эта длина приближенно равна 1,414 м. Но в математике часто отвлекаются от приб.чиженного характера практических измеренпй. Последовательный теоретический подход к измерению длин отрезков приводит к необходимости рассмотрения бесконечных десятичных дробей. (Именно такие дроби представляют числа ^ = 0,666... , 42 = 1,41421356... , 3 л = 3.14159265... .) Отношение длины любого отрезка к длине отрезка, принятого за единицу измерения, всегда может быть выражено числом, представляемым в виде бесконечной десятичной дроби. 168 Производная и ее применения Полная теория действительных чисел довольно сложна и не входит в программу средней школы. Но с одним из способов ее по-стрюения мы познакомимся в общих чертах. 1. Принимают: а) каждому действительному числу соответствует (в качестве его записи) бесконечная десятичная дробь; X = а,),а,02^3*" * б) каждая бесконечная десятичная дробь является записью действительного числа. Но при этом естественно считать десятичную дробь, заканчивающуюся бесконечной последовательностью девяток, лишь вто-poii записью числа, выражающегося десятичной дробью, заканчивающейся бесконечной последовательностью нулей: 0,9999... = 1,0000... ; 12,765999... = 12,766000.... Такое соглашение поясним примером: 0,(9) = 3 0,(3)=3 |-1. Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с девяткой в периоде, получаем взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей. Число Од — это целая часть положительного числа х, а X - a^J = 0,а^а2а^...а^... — дробная часть числа х. Число = ар,а,П2"*о„ называют десятичным приближением X с точностью до 10 " по недостатку, а число х'^ = х^ + 10 " называют десятичным приближением с точностью до 10 " по избытку для числа JT = ao,a,a2ag...a„... . Ек;ли число х отрицательно, т. е. то полагают X = -ao.fljUgag. xL = и х„^х'~ 10 ". 2. Вводят правило сравнения двух действительных чисел. По определению число х меньше числа у, если хотя бы при одном п выполнено неравенство < у^, где х^ и у„ — десятичные приближения с точностью до 10 " по недостатку для чисел х и у. (Мы воспользовались тем, что правило сравнения конечных десятичных дробей уже известно.) 3. Определяют арифметические действия над действительными числами (при этом также пользуются тем, что эти действия уже определены для конечных десятичных дробехТ:). Суммой двух действительных чисел х vi у (обозначается X ^ у) называют такое действительное число г, что при любом п выполнены неравенства х„ + у„ < х + у < х^ + у'„. 169 Производная и ее применения в курсах математическо1'о анализа доказывается, что такое число существует и определяе-гся единственным образом. Аналогично произведением двух неотрицательных чисел х и у называют такое число г (обозначается ху), что при любом п выполнены неравенства х„Уп <ху< х'„у’„. Такое число существует и определяется однозначно. Для действительных чисел разных знаков, воспользовавшись тем, что произведение неотрицательных чисел |дг| и |i/| уже определено, полагают дсу = - |х| |f/|; в остальных случаях дгу = |х| |^/|. (Как обычно, модулем каждого из чисел и —Оу,а|а2”-^п"‘ называют число а,,,а,а2...а„... .) Вычитание определяется как действие, обратное сложению: разностью х ~ у чисел лир называется такое число г, что у + г = X, а деление — как действие, обратное умножению: част ным X: у называется такое число г, что у г = х. 4. Показывают, что неравенства и арифметические операции, определенные указанным в п. 3 образом, сохраняют основные свойства, присущие им в множестве рациональных чисел. Вопросы и задачи на повторение 1. 1) Что такое приращение аргумента и приращение функ- ции? 2) В чем состоит геометрический смысл приращений Ах и Д/? ДА о отношения —7 Ах 3) Выразите ^ через Лр и Лл: а) f (л) = л^ - л; 6) f (х) = л^ + 2; в) /• (л) = Зл - 1; г) / (л) = ^. X 2. 1) Сформулируйте определение производной функции в точке. 2) Пользуясь определением, найдите производную функции f а) f {х) = х^ + I, Xf^= 2; б) /(л) = ^, Лд = 3; в) f (л) = 2л - 1, Ло = -4; г) f (л) = л®, л^ = 2. 3. 1) Сформулируйте правила вычисления производных. Чему равна производная функции f (л) = л" {п — целое число)? 170 Производная и ее применения Рис. 117 2) Диф()х;ренцируемая функция /^задана графиком (рис. 117). Постройте касательные к графику f в указанных точках и найдите приближенные значения нроизводной в точках а, Ь, с, d. 3) Продифференцируйте функцию; а) f (jc) = (х + 2) sin х; в) f(x) = X® - — + cos Зх; X 1) 1СакуК) функцию называют непрерывной на промежутке? 2) Найдите промежутки непрерывности функции: а) f (х) = б) /(х) = 1 - 2 tg х; в) / (X) = 4-х® х-4 г) f (х) = х^ - Зх® + 7. X® -Зх-ю’ 3) Решите неравенство методом интервалов: а) + — >1; б) х“ - 15х® - 16 < О; в) х + 4 х+1 X® -Зх-4 х-4 <0; г) (X - 1) (X - 2) (X + 4) > о. 5. 1) Ка1<ую прямую называют касательной к графику функции f в точке (х„; / (Хд))? 2) В чем состоит геометрический смысл производной? 3) Напишите уравнение касательной к 1'рафику функции f в точке (х„; f (х„)); а) f (х) - cos X, х„ = Щ: 6) f (х)=^ , Хд = 2. О X в) f (X) = sin X, Хд = я; г) / (х) = х®, х^ = 6. 1) Запишите общую формулу для приближенного вычисления значения функции, дифференцируемой в точке х^. 171 111К1И.чводиая и ее применении 2) Выпишите формулы для приближенного вычисления значений функции: а) f (jf) = х"-, б) f (х) - cos х; в) f (х) = 4х-, г) f(x) = ~. X 3) Вычислите приближенные значения: а) —; б) sin 59°; 1,00 ро в) V9.009; г) 0,999’3. 7. 1) В чем состоит механический смысл производной? 2) Тело движется по прямой согласно закону х (t). Запишите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t. 3) Найдите скорость и ускорение точки в момент 1^, если: а) X (t) = - 2t'^ + Ъ, ^0 = 4; б) д:{<) = 3 cos 2f, <о “ О в) X (<) = Ы - tfj = 2; г) X (/) = 2t^ + f - 4, tp = 4. 8. 1) Запишите формулу Лагранжа. 2) Сформулируйте признак возрастания (признак убывания) функции. 3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию: а) {/ = х2 + 9’ в) у = X* - Лх\ б) у = Зх - sin З.г; г) у = х^+^^. 9. 1) Какую точку называют критической точкой функции? 2) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции. 3) Исследуйте на максимум и минимум функцию: а) I/ = I - х'*; б) у - 2 sin X + cos 2.r; в) (/ = X* - Зх; г) y = x-tg X. 10. 1) Опишите схему исследования функции. 2) Исследуйте с помощью производной функцию: а) ах)= -х^; б) / (л:) = ® + ^; X 2 в) /(х) = х'^ - Зх^ - 9х; г) /(х) = 4-х-^ 3) Исследуйте по схеме функцию f и постройте ее график: а) /■(х) = х^-^; б) / (х) = х^ (х - 2)^; в) /■(х)= 2х® + Зх - 1; 172 ni>oii:iuo;iiian и со применения г) /(х) = ^^-Ьх2-Зх + 1. О 11. 1) Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. 2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке: а) f (х) = 0,8х^ - 4х\ [-1; 2]; в) fix) = Зх^ - 2х\ [-1; 41; б) f {х) = X - sin 2х, о: г) / (л:) = (6 - X), [-1; 5]. 3) а) Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числя, чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим? б) Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки? Первообразная и интеграл ■ ■ ■■■ ■!■■■ ■ I ' t ' I §7. Первообразная 26. Определение первообразной Вспомним пример из механики. Если в начальный момент времени # = О скорость тела равна О, т. е. и (О) = О, то при свободном падении тело к моменту времени t пройдет путь 8(0 = (1) Формула (1) была найдена Галилеем экспериментально. Дифференцированием находим скорость: s'{t) = v(t) = gt. (2) Второе дифференцирование дает ускорение: п'(0=а(0 = ^. (3) т. е. ускорение постоянно. Более типично для механики иное положение: известно ускорение точки а (О (в нашем случае оно постоянно), требуется найти закон изменения скорости v (f), а также найти координату s (f). Иными словами, по заданной производной v' (t), равной а (t), надо найти V (/), а затем по производной s' (/), равной о (f). найти s (f)-Для решения таких задач служит операция интегрирования, обратная операции дш))ферепцирова11ия. С ней мы познакомимся в этой главе. Определение. Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех * из этого промежутка Р'(х)^Пх). ■ Пример 1. Функция F(x) = — есть первообразная для О функции f (х) = дг'** на интервале (-с»; оо), так как F'(x) = = \(х^)' = \ Ъх^=х^=Пх) для всех X 6 (-оо; оо). 174 Первообразная и интеграл Легко заметить, что — +7 имеет ту же самую производ- 3 пую и поэтому также является первообразной для х'^ на R. Ясно, что вместо числа 7 можно поставить любую постоянную. Таким образом, мы видим, что задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений. В следующем пункте вы увидите, как найти все эти решения. Пример 2. Для функции f (дг) = ~ на интервале (0; оо) VJr первообразной является функция F (д:) = 2 -Jx, так как F'(x)={2yfx)^2--^=^=f(x) для всех X из этого интервала. Так же как и в примере 1, функция F{x)=2yfx + C при любой постоянной С есть первообразная для функции f (х) = на том же интервале (0; оо). \ X и ример 3. Функция F(дr) = ^ не является первообразной для функции f (х) =——■ на промежутке (-оо; оо), так как равен- х‘ ство F' (х) = f (дг) не выполнено в точке 0. Однако в каждом из промежутков (-оо; 0) и (0; оо) функция F является первообразной для /. Упражнения 326.— Докажите, что функция F есть первообразная для функции / на указанном промежутке; а) F (дг) ^ дг®, f (дг) = бдг-*, дг е (-оо; оо); б) F(x) - дг®, /"(дг) = -ЗдгX 6 (0; оо); в) F(дг) = I дc^ / (дг) = дг®, X е (-оо; оо); г) F (х) = X f (х) = X ^ X 6 (0; оо). О 327. Является ли функция F первообразной для функции / на указанном промедкутке: а) F (х) = 3 sin X, f (х) = cos х, х e (-оо; оо); б) F (х) = 5 - х"*, f (х) = -4х®, X е (-оо; оо); в) F (х) = cos X - 4, / (х) = -sin х, х б (-оо; оо); г) F (X) = X ® + 2, / (X) = . д: е (0; сх>)? 2х® 175 Первообразная и iitiTerpaa 328. 329. 330. - i Найдите одну из первообразных для функции f на R (328—329). а) f(x) = 3,5; в) f(х) = 2х\ а) /(x) = -sinx; в) f(x) = -4-. б) f {х) = cos х; г) f (дс) = sin X. б) Пх) = -х; г) f (х) = -cos X. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке: а) F (х) = sin^ X, / (х) = sin 2х, х е Я; б) F (х) = I cos 2х, / (х) = -sin 2х, х 6 Я; в) F(x) — sin Зх, fix) = 3 cos Зх, х е R; г) F(x) = 3-t-tg Мдг)- - 2 cos^ -2 , X е (-л; л). 331.- Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке: а) F(x) = 2х + cos *, f {х)=2-^^ ^ ^ б) F(x) = л/4-х2 , fix) = - /4 - х=^ , X 6 (-2; 2); 332. 333.- 334.- b)F(x)= \ / (х) ^ 14--^„ , X е (0; оо); г) F (х) =4хл/х, / (х) =6л/х, X 6 (0; оо)? Найдите одну из первообразных для функции / на Я: ч2 а) / (X) = X + 2; б) Пх) = -cos- = ( sin - -\ 2 2 в) / (х) = sin^ X cos^ х; г) f (х) = Зх^ + 1. Найдите две первообразные для функции f: а) f (х) = 2х; б) / (х) = 1 - sin х; в) / (х) = х^; г) f (х) = cos X 2. Среди трех данных функций укажите такую, что две другие являются соответственно производной и первообразной для нее: а) П^)= I. gix) = -K Л(дг)=-4; б) f (jc) = — -cosx, g ix)- \ + cos X, Л (x) = X -»■ sin x; b) fix) =1, g (x) = X + 2, Л (x) = и- 2x; r) fix) = 3-2 sin X, g (x) = 3x -b 2 cos x, h (x) = -2 cos x. 176 Перв(ю6разния и яитсграл 27. Основное свойство первообразной 1. Общий вид первообразных. Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение: Признак постоянства функции. Если F' (jc) = О на некотором промежутке I, то функция F — постоянная на этом промежутке. Доказательство. Зафиксируем некоторое д?ц из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число с, заключенное между X и дГц, что F(x)- F(x^)^F'ic) (х-х,,). По условию F' (с) = О, так как cel, следовательно, E(x)-F(jc„) = 0. Итак, для всех х из промежутка I F{x) = Fix„), т. е. функция F сохраняет постоянное значение. Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных): Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F (х) + С, (1) где F (х) — одна из первообразных для функции f (х) на промежутке /, а С — произвольная постоянная. Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной: 1) какое бы число ни подставить в выражение (1) вместо С, полу'1им первообразную для f па промежутке /; 2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I пи взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф (х) = F (X) + С. 177 11орв1м>брн.зная и интеграл Доказательство. 1) По условию функция F — первообразная для f на промежутке J. Следовательно, F' (д:) = / (дг) для любого X е I, поэтому (F (х) + су = F'(х)+ С = f {X) + 0 = f (х). т. е. F (х) + С — первообразная для функции f. 2) Пусть Ф (х) — одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. <1)' (х) = f (х) для всех х е 1. Тогда (Ф (X) - F (X))' = Ф' (X) - F' (X) = / (X) - / (X) = 0. Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что разность Ф (х) — F (х) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I. Таким образом, для всех х из промежутка 1 справедливо равенство Ф (х) - F (х) = С, что и требовалось доказать. Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл; Графики любых двух первообразных для функции получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 118, а). 2. Примеры нахождения первообразных. I Пример 1. Найдем общий вид первообразных для функции f (х) = -X''* на Я. Заметим, что одной из первообразных функции f является 178 Периообразная п интеграл функция ——, так как (-f )'=-•■ В силу доказанной теоремы общий вид первообразных для функции / таков: F (л:) =-4 +С. 4 Пример 2. Найдем первообразную F„ (х) для функции f(x)=~ на промежутке (О; оо), принимающую при дг = 1 значение 1. Легко проверить, что любая первообразная функции / имеет вид F (х) = -- + С. Так как по условию F (1) = 1, приходим к урав- X нению {относительно С) вида -1 + С = 1, откуда С = 2, и, следовательно, F,, (х) = - ^ 4 2. Пример 3. Точка движется по прямой с постоянным ускорением а. В начальный момент <о = О точка имеет начальную координату Ху и начальную скорость Пу. Найдем координату х (О точки как функцию от времени. Так как х' (t) = v (t) и о' (f) = а (<). из условия a{t) = а получаем v' (t) = а. Отсюда следует, что v{t) - at + С,. Подставляя ^Q = О в формулу (2), находим С, = Оу и х' (t) = и (t) = at + Оу. (2) Следовательно, x(t) + +С,. (3) Чтобы найти Cg, подставим в (3) значение tg = О, откуда - Хд. Итак, Замечание. Для краткости при нахождении первообразной функции / промежуток, на котором задана У, обычно не указывают. Имеются в виду промежутки возможно бо.пьшей длины. Так, в следующем примере естественно считать, что функция У (х) = ^ задана на интервале (О; оо). Н Пример 4. Найдем д.ая функции / (х) = ^ первообраз- л/х ную, график которой проходит через точку Л/ (9; —2). Любая первообразная функции f (х) = записывается в VX виде 2 у[х 4 С. Графики этих первообразных изображены на рисунке 118, б. Координаты точки М (9; -2) графика искомой перво- 179 Первообразная и ннте1^1вл образной должны удовлетворять уравнению 2\^ + С = -2. Отсюда находим, что С = -8. Следовательно, F (jc) = 2^flc -8. Ниже приводится таблица первообразных для некоторых функций: Функция f к (посто- янная) х" (neZ, п^-1) 1 Vx sin X COS X 1 coe^ X 1 Sin ^ Л Общий вид первооб- кх + С ' - + С 2лЛе + С -cos X + с sin X + С tg х + С -ctg X + С разных для f Л + 1 Проверьте правильность заполнения этой таблицы самостоятельно. Упражнения Найдите общий вид первообразных для функции f (335—336). 335. — а) f (дг) — 2 - б) / (х) = х + cos х; в) f{x) = 4x; г) /(х) = -3. 336. -й а) f{x) = x^; б) / (х) = \ -2; в) /■(х) = 1-^; г) f(x) = x^. X* 337. -I Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в указанной точке: а) Пх)= Ffl] = -12; б) f(x) = —L , Ff^] = 0; Х^ \2. ) СОБ‘‘ X V 4 / в) f(x) = X^, F(-l) = 2; г) f{x) = s\nx, F(-n) = -l. 338. — Проверьте, что функция F является первообразной для функции /. Найдите общий вид первообразных для /, если: а) F (х) = sin X - X cos х, / (х) = х sin х; б) F{x)=^x^+l, /(х) = I в) F (х) = cos X + X sin X, f (х) = х cos х; г) F(x) = x- 4 180 Лервообрнзнал и интегра.'! 339. — Для функции / найдите первообразную, график которой проходит через данную точку М: а) f (х) = 2 cos Ху М ^ j; б) f(x)=l-x^y М(-3; 9); .) м[у: -l); Г) 340. — Для функции / найдите две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых (т. е. точками с равными абсциссами) равно а: f а) /(лг) = 2 - sin X, а = 4; б) f {х) = 1 + tg^ дг, а = 1; i в) f (х) = sin^ ~ - cos^ а = 0,5; г) f(x) = -j=, а = 2. <х Точка движется по прямой с ускорением а (t). В начальный момент ее координата равна х^, а скорость Oq. Найдите координату X (<) точки как функцию от времени: а) а (<) = -2t, = 1, = 4, о„ = 2; б) а (0 = sin t, ^0 = 2 ’ ^0 ^ *^0 = li в) а (0 = 6t, <0 = 0, х„= 3, 1>о = 1; г) а it) = cos t, «о = 7t, Xq = 1, Oq = 0. 341.- 28. Три правила нахождения первообразных Эти правила похожи на соответствующие правила дифференцирования. Правило 1. Если F есть первообразная для f, aG — первообразная для g, ю F + G есть первообразная для f + g. Действительно, так как F' = f и G' = g, по правилу вычисления производной суммы имеем: (F + G)' = F' + G' = f + g. Правило 2. Если F есть первообразная для f, а к — постоянная, то функция kF — первобразная для kf. Действительно, постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому 181 ikF)' = kF' = kf. Первообразная и ннтегра.1 Правило 3. Если F (х) есть первообразная для f (дг), а k а Ь — постоянные, причем к Ф О, то i F (Ад- + Ь) есть первообразная для f (kx + b). ft Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем: (^ F (кх + Ь)]' = ^ F’ (кх + Ь) ■ к = f (кх + Ь). \ к ) к Приведем примеры применения этих правил. В Пример 1. Найдем общий вид первообразных для функции f(x)==x^ + 1 Так как для л® одна из первообразных есть , а для JC® одной из первообразных является —, по правилу 1 находим: X 1 одной из первообразных для функции f (х) ■= х^ ~ будет ^--. X® 4 X Ответ. F (х) =^i-i-bC. 4 X Пример 2. Найдем одну из первообразных для фу'нкции f(x) = 5 cos X. Так как для cos х одна из первообразных есть sin х, применяя правило 2, получаем ответ: F(x) = 5 sin х. Пример 3. Найдем одну из первообразных для функции у = sin (Зх - 2), Для sin X одной из первообразных является -cos .г, поэтому по правилу 3 искомая первообразная равна F (х) = — - cos (Зх -2). 3 Пример 4, Найдем одну нз первообразных для функции f(x) = (7 Зх)® Так как для —? первообразной является —, по правилу 3 X® 4х* искомая первообразная равна 1 -1 F{x) = 1 -3 4(7-Зх)^ 12(7-Зх)'' Пример 5. Материальная точка массой 2 кг движется по оси Ох под действием силы, направленной вдоль этой оси. В момент времени t эта сила равна F(/) = 3f 2. Найдите закон х (^) движения точки, если известно, что при < = 2с скорость точки рав- 182 Первообразная и иптрграл на 3 м/с, а координата равна \ (F — сила в ньютонах, t — время в секундах, х — путь в метрах). Согласно второму закону Ньютона F = та, где а — ускорение. Имеем а(0 = - = |^-1. т 2 Скорость V (О точки есть первообразная для ее ускорения а (f), поэтому о (<) = I ^ + Cj. Постоянную С| находим из условия v (2) = 3: |•4-2^C, = 3, т. е. С, = 2 и v (t) = -t + 2. Координата x (f) есть первообразная для скорости v (t), поэтому (0= ^ +2?+Сг. Постоянную Cj находим из условия д: (2) = 1: Итак, закон движения точки 1.8-^ 4 + 4 + С„=1, С, = -3. 4 2 2 > Z x(t)^-t‘^--t‘‘ + 2t-3. ' ^ 4 2 Упражнения Найдите общий вид первообразных для функции f (342—344). 344. 345. f (х)= 2 - х^ + б) 9 f (х) = X - + cosх; f (дг) = \ -sinx; г) /{х) = 5х2- 1. f (дг) = (2д- - 3)5; 6) f (х) = 3 sin 2х; /•(д:) = (4 - 5дс)": г) f{x)= ; (4-15д-)“ б) f(x)= 1 г; (t->) г) Найдите д.пя функции f первообразную, график которюй проходит через точку М: а) /(дг) = 4х+ ^ , М(-1; 4); х‘ б) Нх) = дг' + 2, М (2; 15); 183 Ри-рлообраанв» и интеграл в) /• (х) = 1 - 2х, М (3; 2): I i ^ 346.— Найдите общий вид первообразных для функции: в) f (•’f) = 1 ~ cos Зх + 2 sin ^ g “ ^ б) = ± 5Ш^4ЛГ yj2-X в) f(x) = г) f (х) = COS^ ( Зх + 1) 1 . 3 -3 sin (4 - х) + 2х; -2 cos (:-4 (3-2х)3 ^5х-2 347. — Задайте первообразную F для функции f формулой, если известны координаты точки М графика F: а) Их) = 2х 4 1, М (0; 0); б) f (х) = Зх^ - 2х, М (1; 4); в) f(x) = x + 2, МО; 3); г) / (х) = -.г^ + Зх, М (2; -1). 348. — Скорость прямолинейно движущейся точки задана форму- лой V (J) = + 2t - 1. Запишите формулу зависимости ее координаты X от времени t, если известно, что в начальный момент времени (/ = 0) точка находилась в начале координат. 349. — Скорость прямолинейно движущейся точки задана форму- лой V (t) = 2 cos 4 Найдите формулу, выражающую зависимость координаты точки от времени, если известно, что в момент t с точка находилась на расстоянии 4 м от на-3 i чала координат. 350. — Точка движется прямолинейно с ускорением а (<) = = 12/^ 4 4. Найдите закон движения точки, если в момент t = 1 с ее скорость равна 10 м/с, а координата равна 12 (единица измерения а равна 1 м/с/*). 351. -1 Материальная точка массой т движется по оси Ох под действием силы, направленной вдоль этой оси. В момент времени t сила равна F (t). Найдите формулу зависимости х (0 от времени f, если известно, что при f = скорость точки равна р„, а координата равна Xq (F (t) измеряется в ньютонах, < — в сек>т5дах, v — в метрах в секунду, т — в килограммах): a) F (f) = 6 - 9/, f(, = 1, Hq = 4, Х(, = -5, m = 3; б) F {t) = 14 sin t, Ip = Я, Op = 2, Xp = 3, m = 7; b) F (t) = 25 cos t, fp = ^, Op = 2, Xp = 4, m = 5; r) F (0 = 81 4 8, Ip = 2, Op = 9, Xp =7, m = 4. 184 Первообразная ti iiirrorpa.)i 352.— График первообразной F■^ для функции f проходит через точку М, а первообразной Fg — через точку N. Какова разность этих первообразных? Какой из графиков Fj и Fg расположен выше, если: а) / (л:) = Зх^ -2х + 4, М (-1; 1), N (0; 3); б) / (д:) = 4х- 6х^ + 1, М (0; 2). N (1; 3); в) f (X) = 4х- х«, М (2; 1), N (-2; 3); г) f (X) = (2д: + 1)2, М (-3; -1), N (^1; б|1? §8. Интеграл 29. Площадь криволинейной трапеции Пусть на отрезке [а; 5] оси Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; 6] и прямыми х - а и х = Ь (рис. 119), называют криволинейной трапецией. Различные примеры криволинейных трапеций приведены на рисунках 119, а—д. y = f(x) y = f(x) 185 Первообра.зная it интеграл Для вычисления плоп1адей криволинейных трапеций применяется следующая теорема: Теорема Е^сли / — непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; Ь] функция, а F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапе1(ии (рис. 120) равна приращению первообразной на отрезке [а; Ь], т. е. S = F(b)-F(a). (1) Доказательство. Рассмотрим функцию S (х), определенную на отрезке fa; Ь]. Если а < х < Ь, го S (х) — площадь той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку М (х; 0) (рис. 120, а). Если X = а, то S (о) = 0. Отметим, что S{h) = S {S — площадь криволинейной трапеции). Докажем, что S'{х) = fix). По определению производной надо доказать, что AS(x) Дх -> / (х) при Дх -> 0. (2) (3) Выясним геометрический смысл числителя AS (х). Для простоты рассмотрим случай Ах > 0. Поскольку AS (х) = S (х -ь Ах) — - S (х), то AS (х) — площадь фигуры, закрашенной на рисунке 120, б. Возьмем теперь прямоугольник той же площади AS (х), опирающийся на отрезок [х; х + Дх] (рис. 120, в). В силу непрерывности функ1;ии f верхняя сторона прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой с е [х; х -ь Ах] (в противном случае этот прямоугольник либо содержится в части криволинейной трапеции над отрезком (х; х + Ах], либо содер- 186 ll(■|)mкlГl|lнзнaя и нптч'грал жит ее; соотьетственно его площадь будет меньше или больше площади Д5 (дг)). Высота прямоугольника равна f (с). По формуле площади прямоугольника имеем AS (дс) = f (с) Ддс, откуда f (с). Лд: (Формула верна и при Ах < 0.) Поскольку точка с лежит между х и X + Ах, то с стремится к х при Ах —> 0. Так как функция / непрерывна, / (с) -> / (х) при Ах -> 0. Итак, —> / (х) при Ах Ах -> о. Формула (2) доказана. Мы получили, что S есть первообразная для f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех х е |а; Ь] имеем: S(x) = F(x) + С, где С — некоторая постоянная, а F — одна из первообразных для функции /. Для нахождения С подставим х = а: F(a) + C = S{a) = 0, откуда С = -F (о). Следовательно, S(x) = F(x)-F{a). (4) Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S(b), подставляя х - Ь в формулу (4), полу^шм: S = S(b) = F(b)-F(a). I Пример. Вычислим площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции / (х) = х®, прямыми у = 0, х = 1 и X = 2 (рис. 121). Для функции f (х) = х^ одной из первообразных является функция F (х) = . Следовательно, О S= F(2)-F(l) = li 3 ^ Вы видели, что вычисление производной функции в большинстве слу'чаев связано лишь с трудностями вьшиедгительного характера. Сложнее обстоит дело с нахождением первообразных. Так, не сразу ясно, имеет данная функция первообразную или не имеет. В связи с этим отметим, что любая непрерывная на промежутке функция имеет на этом промежутке первообразную. Разъяснение этого факта дает доказатель- 187 Перпообразная и ишегрнл ство формулы (2), приведенное выше. Однако первообразные некоторых из известных вам функций нельзя записать с помощью функций, изучаемых в школе. Так обстоит дело, например, с функцией у = + 1. Упражнения Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (353—354). 353.— 354. а) {/ = X*, I/ = О, д: = 3; Ъ) у = cos х. у = О, х = 0. х = А в) у = sin X, у = о, X = о, X = л; г) у = -^. У = о, X = 1, X = 2. ^ v3 а) у = хг + I, у = о, X = о, X = 2; б) у = 1 + 2 sin X, у = о, X = о, в) у = 4 - х^ у = 0; г) у = 1 + I cos X, у = О, X = л: = |. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (355—356). 355.— а) у = (х + 2)^, у - О, х = 0; 1 б) у = + 1, у = О, X = О, X = 2; (х+ 1)2 в) у = 2х - х2, у = 0; г) у = - (х - 1)®, у = О, х = 0. 356.— а) у - 3 sin f х + —\ у = О, х = , х = ; V 4 у ■ 4 4 б) у = 2 cos 2х, у = О, X = -2, X - 4 4 в) y = sinx-i у = 0, Х = " Х=^; £ DO г) у = 1 - cos X, у = О, X = х = ^. 30. Интеграл. Формула Ньютона — Лейбница 1. Понятие об интеграле. Рассмотрим другой подход к задаче вычисления площади криволинейной трапеции. Для простоты будем считать функцию f неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; Ь], тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом. Разобьем отрезок [а; б] на п отрезков одинаковой длины точками Ху = о < X, < Xg < ... < х„_ J < х„ = б, и пусть Дх = -—- = 188 Первоо6ра.зк.1я и интеграл = Xf, - _ I, где k = I, 2, « - 1, n. Ha каждом из отрезков как на основании построим прямоугольник высотой f (Xf, _ i). Площадь этого прямоугольника равна: а сумма площадей всех таких прямоугольников (рис. 122) равна: Ь-а S„ = (/ (д^о) + f (^l) +••■+/■ (Д'п-l))- В сил:*' непрерывности функции / объединение построенных прямоугольников при большом п, т. е. при ма^юм Дх, «почти совпадает» с интересующей нас криволинейной трапецией. Поэтому возникает предположение, что » S при больших п. (Коротко говорят: «5„ стремится к S при п, стремящемся к бесконечности» — и пишут: S„ -> S при п с».) Предположение это правильно. Более того, для любой непрерывной на отрезке [о; ft] функции / (не обязательно неотрицательной) при п —> оо стремится к некоторому числу. Это число называют (по определению) интегралом функции f от а до Ь и обозна- чают J f{x)dx, т. е. J f(x)dx при п (1) (читается: «Интеграл от а до ft эф от икс дэ икс»). Числа а и ft называются пределалш интегрирования: а — нижним пределом, ft — верхним. Знак J называют знаком интеграла. Функция / называется подынтегральной функцией, а переменная х — переменной интегрирования. Итак, если f (х) > О на отрезке [о; ft], то площадь S соответствующей криволинейной трапеции выражается формулой f> S = Jf(x)dx. (2) 189 Порвообразкаа и интеграл ► Для приближенного вычисления интеграла можно рассматривать суммы Лучше, однако, воспользоваться суммами ( 2 ^ ^ ^ ^ ^ + ... + / (х„ ,) + I / (д:„) ], слагаемые которых (в случае положительной функции f) равны площадям трапеций, «вписанных» в криволинейную трапецию и ограниченных ломаными, как это изображено на рисунке 123. Действительно, применяя (]юрмулу площади трапеции, получаем: с Ь - а Г(х^)л f(x2) Ь~а -----2--------^"2 п = M^o)+/'(^i) 4 /(Хг) + ...+ t ^ /■(x„)j. 2. Формула Ньютона — Лейбница. Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции ь S = F(b) — F(a) и S = J/'(x)(/x, О делаем вывод. Если F — первообразная для / на [а; fc], то ь J f (x)dx=F {h)-F (а). (3) Формула (3) называется формулой Ньютона — Лейбница. Она верна для любой функции /, непрерывной на отрезке [о; ft]. Рассмотрим примеры пршленения формулы Ньютона — Лейбница. 2 В Пример 1. Вычислим J x"^dx. Поскольку для одной из первообразных является 3 ’ f x^dx = 2 - J 3 2® (-1)3 = 3. -1 Для удобства записи разность F (Ь) - F («) (приращение функции F на отрезке [а; ft]) принято сокращенно обозначать ь FU) , т. е. F(b)-F{a) = F(x) 190 Иорвообрааная и итеграл Пользуясь этим обозначением, ф{)рмулу Ньютона — Лейбница обычно записывают в виде f f(x)dx = F(x) Н) Пример 2. Вычислим п J siiijfrfjir. о Пользуясь введенными обозначениями, получим: J sb> xdx = -cos X = -cos л-(-cos 0)=2. Замечание 1. Данное нами определение интеграла не позволяет 10ворить, например, об инте1тзале от -1 до 2 функции так как эта функция не является непрерывной на отрезке [-1; 2]. Заметим также, что функция -i не является первообразной для X функции —^ на этом отрезке, поскольку точка О, принадлежащая х‘ отрезку, не входит в облазь определения функции. И Пример 3. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1 - X и у = S ~ 2х - х^. Нарисуем эти линии (рис. 124) и найдем абсциссы точек их пересечения из уравнения 1-дс = 3-2х - х^. Решая это уравнение, находим JC = 1 и X = -2. Искомая площадь может быть получена как разность площадей криволинейной трапеции BADC и треугольника RAC. По формуле (2) имеем: •^влпс = J (’‘^-2jf:-x2)dx=f Зх-х2-^ J = 2 1-2 = (^3-l-lj-j^3-(-2)-(-2)^-t|>" j = g. 5ллас =1^ 3-3 = |. Следовательно, площадь закрашенной фигуры равна: ^ ^UADC ~ ^слвс ~ ® “ I ~ I ~ 191 11ерв<мЧ)|>азнап и unrerpa.'i Замечание 2. Удобно расширить понятие интеграла, полагая по определению при а> Ь, что Ь а j /(x)dx = -j f {x)dx. О b при таком соглашении формула Ньютона — Лейбница оказы- а вается верной при произвольных а и fc (в частности, | f (x)dx = 0). Упражнения Вычислите интегралы (357—358). 357.— 358.— 359 2 2 3 4 а) J x*dx\ б) Г cos xdx; в) x®dx; г) I -1 0 1 0 2 n а) f - 2 = б) 1 3 cos ^ dx; J (2х+1)2 J 2 0 10 Я 2 в) i J Д.С г) 1 Bin 2xdx. 1 4 360. 361.- Докажите справедливость равспства: а) f =fd;c; J COs2 ДС J I ^'3 в) I cosxdx= J x^dx; о о о « б) I sin xdx = J ; г) I (2х + 1) dx = I (х® -1) dx. Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями (360—361). а) у = х'*, I/ = о, X = -1, X = 1; б) у = X*, у = 1; в) у = х^ - 4х -I- 5, у = о, X = о, X = 4; г) у = х^ - 4х + 5, у = Ь. а) у = 1 - х^, у = о, X = 0; б) (/ = 2 - x^ I/ = 1, X = -1, X = 1; в) р = -х^ - 4х, р = о, X = -3, X = -1; г) р = -X* - 4х, р = 1, X = -3, X = -1. 192 Первообразная и интеграл Вычислите инте1'ралы (362—368). 362. 363.— а) fsin^do:; б) [ =; в) f ; г) Г -- I 3 i icos^l {4 3 , >.2 ® а) I fsin^ + cos^J dx; б) J (1 + 2 дг)^ djc; dx ЛГ+ 3 в) I (1 + cos 2аг) с/д:; г) J^x+^jc/jc. Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями (364—366). 364.— а) у-х^, у = 8, X = 1; б) I/ = 2 cos X, у = 1, ^ = ~ |> ^ = f 5 в) у = х^ - 2х + 4, у — 3, X = -1; г) у = sin X, у = |, X = ^, X = ^; 365.— а) у = 4х - х^, у = 4 - х; б) у = ~, у = 2х, х = 4; 366. 367.- в) у = х^, у - 2х; г) у = 6 - 2х, у = 6 -f х - х^. а) у = X* - 4х + 4, у = 4 - х^; б) у = х^ - 2х + 2, у = 2 -ь 6х - х^; в) у = х^. у = 2х - х^; г) у = х^, у = х^. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 8х - 2х^, касательной к этой параболе в ее вершине и прямой X = 0. 368. -I Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции ^ (х) = 8 - 0,5х^, касательной к нему в точке с абсциссой X = -2 и прямой X = 1. 369. -I Докажите равенство: Ь Ь h а) I (f (х) + g (x})dx = J f (x)dx+ | g (x)dx: a a a b b б) j k f(x)dx = k j f (x) dx (где k — постоянная). n a 193 ПервииСразная и интеграл 31. Применения интеграла 1. Вычисление объемов тел. Пусть задано тело объемом V, причем имеется такая прямая (рис. 125), что, какую бы плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х (из от1Юзка [а; б), см. рис. 125) поставлено в соответствие единственное число S (дг) — площадь сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а; Ь] задана функция S (х). Ек:ли функция S непрерывна на отрезке [о; Ь], то справедлива формула ь V' = |s(x)dr. (1) а Полное доказательство этой формулы дается в курсах математического анализа, а здесь остановимся на наглядных соображениях, приводящих к ней. Разобьем отрезок [а; fc] па п отрезков равной длины точками дгд = а < дг, < jCg < ... < ^ < Ь = дг„, и пусть ь- Длг Xfj Xf^ |, k 1, 2, ..., fi (см. п. 30). Через каждую точку х^ проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Эти njtocKOCTii разрезают заданное тело на слои (рис. 126, а, б). Объем слоя, заключенного между плоскостями , и а^, при достаточно больших п приближенно равен площади S (д!’ * _ () сечения, умноженной на «толщину слоя» Лд;, и поэтому V а S (xq) Лд; + S (д;,) Д.г + ... + S (д;„ ,) Ах = V^. Рис. 126 194 Первообразная и интеграл Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, т. е. чем больше п. Поэтому Кд -> V при п -> со. По определению интеграла ь = I S (дг) dx при п -> оо. Н Пример 1. Докажем, что объем усеченной пирамиды высотой Н с площадями оснований S и s равен ~H(S+s + ^f^). О Пусть точка О — вершина «полной» пирамиды (рис. 127). Проведем через точку О ось Ох перпендикулярно основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды пересекают ось Ох в точках а и Ь. Каждая плоскость, перпендику.пярная оси Ох и пересекающая отрезок [а; б] этой оси в точке х, дает в сечедши многоугольник, подобный многоугольнику — основанию пирамиды. Поэтому площадь сечения S (дг) равна кх^, и, в частности, S = S (я) = ка^ и S = S{b) = кЬ^. Объем усеченной пирамиды вычисляем по <1юрмуле (1): К = J kx^dx = 3 = |(fc®-a=*) = 6-а {kb^ + kab + ka^) - = Ц (S+/S^ + s). Пример 2. Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок [я; fc] оси Ох и ограничена сверху графиком функции f, неотрицательной и непрерывной на отрезке [я; Ь]. При вращении этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох получаем тело (рис. 128, я), объем которого находится по формуле ь V=jnp(x)dx. (2) 195 Иериообразная и интеграл Действительно, каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох и пересекающая отрезок [с; fcl этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг радиуса f (дг) и площади »S (х) = (х) (рис. 128, 6). По формуле (1) получается 4>ормула (2). 2. Работа переменной силы. Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием силы Р по прямой. Если действующая сила постоянна и направлена вдоль прямой, а перемещение равно S, то, как известно из физики, работа А этой силы равна произведению Ps. Теперь выведем форму.ау для подсчета работы, совершаемой переменной силой. Пусть точка движется по оси Ох под действием силы, проекция которой на ось Ох есть функция f от х. При этом мы будем предполагать, что f есть непрерывная функция. Под действием этой силы материальная точка перемести.тась из точки М (а) в точку М (6) (рис. 129, а). Покажем, что в этом случае работа А подсчитывается по формуле ь /1 = 1 f {x)dx. (3) а Разобьем отрезок |о; Ь] на п отрезков одинаковой длины Дх = Это отрезки [а; xj, [х,; Xg], .... [х„ . Ь] (рис. 129, б). Работа силы на всем отрезке [а; б] равна сумме работ этой силы на полу-ченных отрезках. Так как f есть непрерывная функция от х, при достаточно малом отрезке [о; Xj] работа силы на этом отрезке приблизительно равна f (а) (х, - а) (мы пренебрегаем тем, что f на отрезке меняется). Аналогично работа силы на втором отрезке [х,; Xg] приближенно равна / (Xj) (Xg - х,) и т. д.; работа силы на л-м отрезке приближенно равна f (х„ _ j) (б - х„ ,). Следователь- но, А ^ А„ = f (а) Дх + /■ (X,) Дх + ... + /■ (х„ ,) Дх = (Г (а) + + f (х,) ч- ... + f (х„ j)), и точность приближенного равенства тем выше, чем короче отрезки, на которые разбит отрезок [а; б]. Естественно, что это приближенное равенство переходит в точное, если считать, что л оо: б- а л (f (а) + f (х,) + ... -ь / (х„ . ,)) ^ А. Поскольку А„ при п ^ оо стремится к интегралу рассматриваемой функции от а до б (см. п. 30), формула (3) выведена. М (л) М(Ь) —•---► а) Рис. 129 М(а) ♦ > Af (Ь) в =Х(, Xi Xg ...х„ , х„=Ь х б) 196 иервообразнаи и интеграл :кмШ; а) О Рис. 130 i-^mSSSb; F б) в Пример 3. Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна 3 Н. Какую работу надо пхюиявег.ти, чтобы растянуть пружину на 5 см? По закону Гука сила F, растягивающая пружину на величину X, вычисляется по формуле F - kx, где к — постоянный коэффициент пропорциональности (p^тc. 130), точка О соответствует свободному положению пружины. Из условий задачи следует, что 3 = к ■ 0,05. Следовательно, ft = 60 и сила F = бОдг, а по формуле (3) O.Q.'i л. J 60xdx =30 л: 0.05 ; А = 0,075 Дж. ^ 3. Центр масс. При нахождении центра масс пользуются сле- дующими пранилами: 1) Координата х' центра масс системы материальных точек А,, Лз» •••’ -^л ® массами т,, Шз /?!„, расположенных на прямой в точках с координатами х,, Х3, ..., находится по <1юрмуле ^ ntiXi ♦ тзХ2 + ... + т„х^ ту + + ... + т „ (4) 2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры. В Пример 4. Пусть вдоль стержня — отрезка [с; Ь] оси Ох — распределена масса плотностью р (х), где р (х) — непрерывная функция. Покажем, что: ь а) суммарная мосоо М стсргкня равна J р (х) dx\ О Ь б) координата центра масс х' равна }, Г xp(x)dx. Af J а Разобьем отрезок [а; Ь] на п равных частей точками а = = Хр < Xj < Хз < ... < Хд = ft (рис. 129, б). На каждом из п этих отрезков плотность можно считать при больших п постоянной и примерно равной р (Xj^.,) на ft-м отрезке (в силу непрерывности р (х)). 197 Первообразная и шггеграл Тогда масса к-го отрезка примерно равна т* = р а масса всего стержня равна -—^ (р (jCf,) + р (jr.) + ... + р (х ,)). Считая п каждый из п маленьких отрезков материальной точкой массы помещенной в точке ,, получим по формуле (4), что координата центра масс приближенно находится так: 6 - а X' = - (Х(,р(Хо)+Х,р(Х,)1 ...+ X„.iP(x„.,)) Ь-а --- (P(JTo) ' + I» Теперь осталось заметить, что при п оо числитель стремится 6 к интегралу J xp(x)dx, а знаменатель (выражающий массу всего О Ь стержня) — к интегралу J p(x)dx. а Для нахождения координат центра масс системы материа.пь-ных точек на плоскости или в пространстве также пользуются формулой (4). Упражнения 370.— Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: а) у = + I, X = о, X = I, у = 0; б) у = Vx, X = 1, X = 4, (/ = 0; k в) 0. Ко-.эффициент пропорциональности в формуле, выражающей закон Кулона, считайте равным у.) 376. — Канал имеет в разрезе форму равнобочной трапеции высо- той h с основаниями а и Ь. Найдите силу, с которой вода, заполняющая канал, давит на плотину (а > Ь, а — верхнее основание трапеции). 377. — Вода, подаваемая с плоскости основания в цшшндрический бак через отверстие в дне, заполняет весь бак. Определите затраченн^то при этом работу. Высота бака равна радиус основания равен г. 378. — Найдите рабо’гу против силы выталкивания при погруже- нии шара в воду. 379. 4 Однородный стержень длиной / = 20 см вращается в горизонтальной luiocKOCTH вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. Угловая скорость вращения о)=;10лс‘'. Площадь поперечною сечения стержня S = 4 см^, плот ность материала, из которого изготовлен стержень, равна р = 7,8 г/см'^ Найдите кинетическую энергию стержня. 380. - Найдите центр масс однородного прямого кругового конуса. Сведения из истории 1. О происхождении терминов и обозначений. История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей. Латинское слово qua-dratura переводится как «придание квадратной: формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античное время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты привычные для нас щюдставлення о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта к.пассическая задача «о квадратуре круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.) 199 Игриопбраяная и интег рал Символ J введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова suinma). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.)- Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как право дить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифферен-Ц1трованием которой получена подынтегральная ^|ункция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый. В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики — интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бгфнулли. Другие известные вам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: Р {х) - ^ f {х) dx—начальная (или первоначальная, или первообразная) для f (л:), которая получается из F (дс) дифференцированием. В современной литерату1>е множество всех первообразных для функции f (дг) называется также неопределенны.м интегра лом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. ь А jf{x)dx называют определенны.м интегралом (обозначение Л ввел К. Фурье (1768—1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер). 2. Из истории интегрального исчисления. Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фиг>'р, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н. э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен J объема ци- 3 линдра, имеющего такие же основание и высоту. Метод Евдокса был усоверпюнствован Архимедом. С этой модификацией вы знакомы: вывод формулы площади круга, предложенный в курсе геометрии, основан на идеях Архимеда. Напомним основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) отмечается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади лю- 200 Первообразная и iiHTerpa-i Архимед (ok. 287—212 до н. э.) — великий ученый. Первооткрыватель многих фактов и методов математики и механики, блестящий инженер, Глубокие и остроумные идеи Архимеда, связанные с вычислением площадей и объемов, решением задач механики, по существу, предвосхищают открытие математического анализа, сделанное почти 2000 лет спустя. бого вписанншчт; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вьгчис.пения площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон. С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т. д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен объема цилиндра). О Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теорюмы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прюжде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления. Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод — метод неделимых, который также зарюдился в Древней Грюции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 131, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f (х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f (х) dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме а <х<Ь бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме — 201 Периоибразная и интеграл Риман Георг Фридрих Бернхард (1826—1866) — немецкий ученый, один из крупнейших математиков XIX столетия. Сделал замечательные открытия в теории чисел и теории функций комплексного переменного. Заложил основы новой неевклидовой геометрии, получившей название римановой. Создал теорию интеграла, обобщающую результаты Коши. нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму. На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571—1630) в своих сочинениях «Новая астрономия» (1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на бесконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598—1647) и Э. Торричелли (1608—1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях. в) 202 Первообразная и интеграл Чебышев Пафнутий Львович (1821—1894) — русский математик и механик. Его исспедования, получившие мировое признание, относятся к теории приближения функций многочленами («многочлены Чебышева» наилучшего приближения), интегральному исчислению, теории вероятностей, теории механизмов. Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 131, б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения {/ = / (х) и у = f (х) + с. Представляя нашу фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, мы можем составить из них прямоугольник с основанием Ь - а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т. е. S = S, = с (Ь - а). Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф, и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 131, в). Тогда площади фигур Ф, и Ф^ равны. (В духе рассуждений математиков XVII столетия мы опускаем оговорки, без которых это утверждение не совсем верно.) Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов. Прюстейшие следствия принципа Кавальери вы можете вывести сами. Докажите, например, что прямой и наклонный цилинд{)ы с общим основанием и высотой имеют равные объемы. В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 г. решил задачу квадратуры любой кривой у = х”, где п — целое (т. е. по существу вывел формулу (x"dx - ^ дг" "), и на этой основе решил ' J «-г J ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630— 1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и ди()>ференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов. 203 Первообразная и интеграл Лебег Анри (1875—1941) — французский математик. Создатепь теории меры (обобщение понятий площади и объема), на основе которой разработал новую теорию интеграла. Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона — Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано. Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 —1862), В. Я. Буняковский (1804—1889), П. Л. Чебышев (1821—1894). Принципиа.чьное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции. Строгое изложение теории интеграла появилось только в XIX в. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826— 1866), французского математика Г. Дарбу (1842—1917). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838—1922) теории меры. Различные обобщения понятия интеграла в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875—1941) и А. Данжуа (1884 1974), советским ма- тематиком А. Я. X и н ч и н ы м (1894—1959). 204 Кррвообразпал и )штегра.ч Вопросы и задачи на повторение 1. 1) Сформулируйте определение первообразной. 2) Докажите, что функция F является первообразной для функции f на R: а) / (дг) = 2дг + 3. F (дг) = + Зх + 1; б) / (х) = sin 2х + 3, f (х) =+ Здг, в) /^(х) = -х®+5, F(x) = -^+5х+2; 4 г) / (х) =-cos^ +1, F(x) =-2 siiig + Jf- 3) Является ли функция F первообразной для функции / на заданном промежутке: а) F(x) = х^ - X, / (х) = 2х - 1 на К; б) F(x)= \ -sinx, Дх) =-^-COSX на R; в) F (х) = X’"* + 1, / (х) = ^ + X на R, 4 г) F (х) = X + cos X, /■ (х) = 1 - sin х на R? 2. 1) Сформулируйте признак постоянства функции на заданном промежутке. С^юрмулируйте основное свойство первообразной. 2) Запишите общий вид первообразных для функции: а) f (х) = кх + Ь {к и h — постоянные); б) /(х) = 1 в) f (х) = х" (п — целое число, п * -1); г) f (х) = cos х. 3) Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в данной точке: а) f(x) =■ sin X - cos х, F (л) = 1; б) /(х) = . F(3) = 5; в) ^(х) = 2х- 5, F(l) = -2; г) f{x) = -^, F(6)= 10. ■Jx-2 1) Сформулируйте три правила нахождения первообразных. 2) Найдите общий вид первообразных для функции: а) f (х) = sin Зх — 2 ^2 X в) /(х)-(4-5х)'‘ - ^ (2х-1)=* 205 11срволб|»аз11ая и мнтгграл б) /(х)=-?-- х“* 2 V X г) f (х) = X - 10 cos 2х. 3) Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М: а) /(х) = (2-3х)2, М(1; 2); б) f(x) = sin 2х, -2j; в) f (x) = -j2 cos jc, ^ ^; 2 1 Г) f(x) = - ^[xTl . M (0; 3). 4. 1) Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции. 2) Приведите примеры криволинейных трапеций. 3) Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную данными линиями, и найдите ее площадь: а) J/ = sin х, у = 0. х = 1, X = ?; О А б) I/ = у = 0, дг = -2; в) у-(.х- 1)2, I/ = о, X = 3; г) у = S - 2х - х^, у - о, X = о, X = -2. 5. 1) Объясните, что такое интеграл. 2) Запишите формулу Ньютона — Лейбница. Вычислите ин- rlx. теграл: э 2 а) f б) f 4 (дг+10)2 J 1 п 3 в) J sinxdx; г) J Я а 0 3) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = х^, у = Зх-, б) у = х‘ - 4х + 6, у = 1, д: = 1, дг = 3; в) у = 4 - х^, у = 3; Я 2' г) у = cos X, у = I, Х = -^, X IV глава Показательная и логарифмическая функции —I §9. Обобщение понятия степени 32. Корень л-й степени и его свойства 1. Определение корня. С понятием квадратного корня из числа а вы уже знакомы; это такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень п-й степени из числа а, где п — произвольное натуральное число. Определение. Корнем п-й степени из числа а называется такое число, п-я степень которого равна а. I Пример 1. Корень третьей степени из числа 27 равен 3, так как 3^ = 27. Числа 2 и -2 являются корнями шестой степени из числа 64, поскольку 2® = 64 и (-2)® = 64. Согласно данному определению корень п-й степени из числа а — это решение уравнения х" = а. Число корней этого уравнения зависит от п и а. Рассмотрим функцию / (лг) = зс". Как известно, на промежутке [О; оо) эта функция при любом п возрастает и принимает все значения из промежутка [0; оо). По теореме о корне (п. 8) уравнение дг" = а для любого а 6 [0; оо) имеет неотрицательный корень, и притом только один. Его называют арифметическим корнем ra w степени из числа а и обозна- П I чают va; число п называется показателем корня, а само число а — подкоренным выражением. Знак корня у] называют также радикалом. Определение. Арифметическим корнем п-й степени из числа а называют неотрицательное число, п-я степень которого равна а. Пример 2. Найдем значение: а) л/8; б) V 16 а) Vs = 2, так как 2’'* = 8 и 2 > 0; 207 Пока.тательная и логарифмическая функ11ии б) = 3 так как f-] = \16 2 UJ 81 16 и 5 >0. При четных п функция f (х) = х" четна. Отсюда следует, что если а > о, то уравнение х” = а, кроме корня Xj = Vo, имеет также корень ^2 = — Va. Если а = 0, то корень один: х = 0; если а < 0, то это уравнение корней нс имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицате.пьна. Итак, при четном п существуют два корня п-й степени из любого по.аожптельного числа о: корень п-й степени из числа 0 равен нулю; корней четной степени но отрицатсльпых чисел не существует. Н Пример 3. Уравнение х"* - 81 имеет два корня: это числа 3 и -3. Таким образом, существуют два корня четвертой степени из 81. При этом — это неотрицательное число, т. е. ^л^=3, а -3 = -V8T. Пример 4. Положительным корнем уравнения х'* = 3 является число Vs. Это число (так же, впрочем, как и - VS) иррационально. Его десятичные знаки вычислим последовательно: 1 < < 2, так как 1^ < 3 < 2^; 1,4, так как 1,3'* < 3 < 1,4“* и т. д. (убедитесь, что Vs = 1,31607.,.). При нечетных значениях п функция f (х) = х" возрастает на всей числовой прямой; ее область значений — множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение х" = а имеет один корень при любом а и, в частности, при с < 0. Этот корень д.ля любого значения а (в том числе и а отрицательного) обозначают Уа. |Итак, при нечетном п существует корень п-й степени из любого числа а, и притом только один. Для корней нечетной степени справедливо равенство В самом деле, (- Уй)" =(-1)" - ( Va )" = -1 • о = -а, т. е. число есть корень п-й степени из - а. Но такой корень при нечетном п единственный. Следовательно, lj-a - - '\ja. Равенство =~"-Ja (при нечетном п) позволяет выразить корень нечетной степени из отрицательного числа через арифметический корень той же степени. Например, V-71 = - Vn, 1^27 =-V27=-3. 208 11оказа1ельнап и логарнфмичоскап фупк111ш Замечание 1. Для любого действительного х \х\, если п четно; JC, если п нечетно. X" = (Докажите это свойство самостоятельно.) Замечание 2. Удобно считать, что корень первой степени из числа а равен а. Как вы уже знаете, корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а показатель 2 корня при записи опускают (например, корень квадратный из 7 обозначают просто л/Т). Корень третьей степени называют кубическим корнем. Н Пример 5. Решим уравнение: а) =-11; б) дг® = 7. а) По определению корня п-й степени число х — корень пятой степени из -11. Показатель корня — нечетное число 5, поэтому такой корень существует, и притом только один; это V-11. Итак, X = - Vll. б) По определению корня п-й степени решением уравнения JC® = 7 является число Vl. Так как 8 — число четное, - V7 также является решением данного уравнения. Итак, д:, = ^7, X2 = -V7. Ответ запишем так: дг=± ^7. 2. Основные свойства корней. Напомним известные вам свойства арифметических корней п-й степени. Для любого натурального п, целого к и любых неотрицательных чисел а vt Ь выполнены равенства: 1«. "-Jab^V^-Vb. 2®. (Ь 0). Vb 3“ = "V^ (ft>0). 4®. Vo ="МаУ (k >0). 5”. Vo* =(\^)* (если k < 0, TO a * 0). Докажем свойство 1*'. По определению "■Jab — это такое неотрицательное число, п-я степень которого равна аЬ. Число Vo Vb неотрицательно. Поэтому достаточно проверить справедливость равенства {"-Ja ■ "■Jb')" = аЬ, которое вытекает из свойств степени с натуральным показателем и определения корня п-й степени: {"■Ja "ЛУ = ( Va)" {"-ЛУ -аЬ. 209 Показательная и логарифмическая функции Аналогично доказываются следующие три свойства: Уь [Уь) (УьУ У^>0 и ("л/^)"* = | (V^)" j*=a^ Докажем теперь свойство 5®. Заметим, что л-я степень числа {УаУ равна а*: По определению арифметического корня (Va)*=V^ (так как (Va)* > 0). Приведем примеры применения свойств 1®—5® к решению задач на преобразование числовых выражений, содержащих корни. Н Пример 6. Преобразуем выражения: а) Ув-yRt; б) у5 ^ ; V 16 в) л/W; г) ’'Уш; д) Vl28®. а) Ув У4 =У8~4=У^ =2 (свойство 1®); б) *15 = *[Щ = ^ (свойство 2°); V 16 V16 Yjg 2 ' в) УУ? = 'Vt (свойство 3®); г) 4^128 = ^У^ = ^2 (свойство 4®); д) применяя свойство 5®, находим V128® =(Vl28)®= 2® =8. Докажем следующее свойство арифметического корня: 6®. Для любых чисел а п Ь, таких, что 0 < а < 6, выполняется неравенство Уа < Уь. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что Уа > Уь. Тогда по свойству степеней с натуральным показателем {Уа)" > {УВУ, т. е. а > Ь. Это противоречит условию а < Ь. 210 Показательная и лигарнфмичсч^кая функции I Пример 7. Сравним числа ^2 и ■V3. Представим ^2 и Vs В виде корней с одним и тем же пока-зателем: V2 ='^2® =Vs=*\^“ (свойство 4“). Из не- равенства 32 > 27 по свойству 6*' следует, что 'V^ >'^7, и, значит, V2 > Vs. Пример 8. Решим неравенство дг® > 20. Это неравенство равноси.пьно неравенству аг® - 20 > 0. Так как функция /(лг) = дг®-20 непрерывна, можно воспользоваться методом интервалов. Уравнение дг® - 20 = 0 имеет два корня: V^ и -V^. Эти числа разбивают числовую прямую на три прюме-жутка. Решение данного неравенства — об-ьединение двух из них: (-оо; -VM) и (V^; оо). Упражнения Проверьте справедливость равенств (381—382). 381. — а) Vl6 =2; б) IPI =-1; в) *Vl024 =2; г) V-243 = -3. 382. — а) ^Vl=l; б) Ve4 = 2; в) V-S43 =-7; г) ‘®v/o =0. 383. 384. 385. 386. 387. 388. 389. Вычислите (383—384). а) V^; б) VsT; в) V^: г) V64. '>ff= Решите уравнения (385—388). а) дг® + 4 = 0; б) дг® = 5; в) дг* = 4; г) дг'* = 10. а) д:'® -15 = 0; б) х’’ + 128 = 0; г) Д-® = 3. 6) 0.01д-=* -НО = 0; в) д:® — 64 = о а) 16дг^ -1 = 0 в) 0,02д:«- 1,28 = 0; г) 12 3 _ 3 „2 _ 4 4 х2 = 0. а) V^=-0,6; б) Vjc=3; в) Vx=5; г) lfx=-l. Найдите значение числового выражения (389—394). a)(-Vll)'; 6)(2V^)®; в) (V7)V r)(-V2)®. 211 Показательная и логарифмическая фушаш» 390. — 391. — 392. — а) Vie 625; б) ^32-243; в) ^8 -343; г) VO.0001 16. а) ^160 625; б) ^24 9; в) V48-27; г) ^75-45. 393.— а) 394.— 395.- V9-V9; б) V27-V9; г) ^-625 б) V®: , ®V243 , ®Л28 в) , ; г) — "n/-5 V& б| 64 ^1з9 А :«/-з19; ^ 100 000 000 \ 16 V 27 ^Ji“-4,5 V9 . В) \ V 16 V288 V 1024 \ \1з^ li V 8 2 Найдите первые два десятичных знака (после запятой) числа: а) V2; б) в) >/7; г) ^3. Пользуясь таблицами или калькулятором, найдите приближенное значение корня с точностью до 0,01 (396—397). 396. а) УЮ,17; б) УП; в) Vl3,2i; 397.- а) У 13,7; б) У10; в) У^; Сравните числа (398—401). 398. а) Уо,2 и 0; б) 'У^ “'t в) 1/1,8 и 1; г) У^ и У^. 399. а) 1^2 и (“Л б) “■Л и 'Vo7 в) Уг и УЗ; г) и 1- 400. а) -J0,3 и у 0,05; б) yi и Уё; в)У7 и ViO; г) л/б и Убдо. 401. а) У~0,4 л У- 0,3 ’ б) и ХГЗ; в) и г) и У^. г) Ш 212 Показательная и логарифмичепо)» футсци» 402. — Вынесите множитель за знак корня (а > О, Ь > 0): а) ; б) ^-128а^; в) л/ба'*Ь® ; г) ^54а^. 403. — Внесите множитель под знак корня (о > О, h > О): а) -bt/З; б) аЬ ^Щ-; в) аУТ; г) -afc ^^4. 404-1 405. При каких значениях а верно равенство (404—405)? а) --ах б) =а; в) Уа^ =|«|; f) -а. а) Уа^ =-а; б) Уа^ =~а; в) Уа* =|а|; г) Уа^ =а. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня (406—407). Уб + 1 л/б Г 5 sVs' Приведите числовое выражение к виду а Уь, где а — рациональное число, а Ь — натуральное (408—409). 406. а) У7-У5’ а 4 V2 г) 407. а) 0 . У2’ х-Ух 2Ух в) - ; xV4 г) 408.— а) 409. — 410. — I У4 а) ^У^х б) в) г) Уб У27 ' V12' Ч (рй; .) г, Решите уравнение с помощью подстановки t = Ух или t=yicx а) Ух - 5 Ух -h 6 = 0; б) Ух + Ух = 2; в) Ух-ЗУх + 2=0х г) Ух~ъУх-=Ь. Решите неравенства (411—412). а) jc^<3; 6)jc">7; в)л:>о>2; 412. " а) Ух <—7; б) Ух > 2; в) Ух >2; 411. t I 413. - 414. - г) х^ С 5. г) < 3. Упростите выражения (413—414). а) У^, где а < 0; б) \^а^, где а > Ох а) Уа^ -Уа^, где о < О; в) Уа^ -Уа^, где а > О; в) Уа^. б) Уа^ + 2 У а’’, где а > 0; г) Уа^ + 3 Уа^, где а С 0. 213 Покн:<ательная и логарифмическая функции 415.— Найдите значение выражения: а) VlO + л/та 416. в) ^9-^65 V9 + V65; .л?. V4-/17 г) V3-V5 • ^Jз77E. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит радикала: 1 . СЧ 2 , _ч 2 . _v За а) 6) в) г) а~^[Ь Vb + Vl Vo® -V^ + Vb* 33. Иррациональные уравнения Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. Таково, например, уравнение V7-2 = 0. Н Пример 1. Решим уравнение tJx^-5 = 2. Возведем обе части этого sфaвнeния в квадрат и получим X® - 5 = 4, откуда следует, что х® = 9, т. е. х = 3 или х = -3. Проверим, что полученные числа являются решениями уравнения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение получаются верные равенства ^3®-5=2 и д/(-3)®-5 =2. Следовательно, х = 3 и х = -3 — решения данного уравнения. Пример 2. Решим уравнение Vx=x-2. Возведя в квадрат обе части уравнения, получим х = = X® — 4х + 4. После преобразований приходим к квадратному уравнению х® - 5х н- 4 = О, корни которого х = 1 и х = 4. Про-веррпч, являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подстановке в него числа 4 получаем верное равенство л= 4-2, т. е. 4 — решение данного уравнения. При подстановке же числа 1 получаем в правой части 1, а в левой части число 1. Следовательно, 1 не яапяется peiueHifeM уравнения; говорят, что это посторонний корень, полу^генный в результате принятого способа решения. Ответ: х = 4. Мы видим, что при решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство 1 = -1 при возведении в квадрат дает верное равенство 1® = (-1)®. 214 Показательная и логарифмическая функции Н Пример 3. Решим уравнение ^х^-2 = -Лс. Возведем обе части этого уравнения в квадрат: - 2 = х, откуда получаем уравнение дг* - д: - 2 = О, корни которого х = -1 к X - 2. Сразу ясно, что число -1 не является корнем данного уравнения, так как обе части его не определены при дг = -1. При подстановке в уравнение числа 2 получаем верное равенство у[^-2 =л[2. Следовательно, решением данного уравнения является только число 2. Пример 4. Решим уравнение -Jx-6 = л/4-х. Возводя в квадрат обе части этого уравнения, получаем х-6 = 4-дг, 2jc= 10, X = 5. Подстановкой убеждаемся, что число 5 не является корнем данного уравнения. Поэтому уравнение не имеет решений. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы. В Пример 5. Решим уравнение -Jx-2 = х -8. По определению -Jx-2 — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Другими словами, 5фавнение Vjc-2 = х-8 равносильно системе х-2 =(x-8f, х-8>0. Решая первое уравнение системы, равносильное уравнению х^ - 17д + 66 = о, получим корни 11 и 6, но условие д: - 8 > 0 выполняется только для x = ll. Поэтому данное уравнение имеет один корень д: = 11. Пример 6. Решим уравнение дг-1 =^дс^-д:-1. В отличие от рассмотренных ранее примеров данное иррациональное уравнение содержит не квадратный корень, а корень третьей степени. Поэтому для того, чтобы «избавиться от радикала», надо возвести обе части уравнения не в квадрат, а в куб: X 1. После преобразований получаем: (д: - 1)® = X* - Зх^ + Зх - 1 = ,г2 1. X® — 4х^ 4х = о, X (х® - 4х + 4) = о, X (X 2)2 = 0. Итак, Xj = 0, х^- 2. Пример 7. Решим систему уравнений I Vx + ^ = 4, IX ^ у = 28. 215 Показательная н логарифмическая функции Положив и = \fx и V = Гу^ приходим к системе ы + о = 4, u® + t>3 = 28. Разложим левую часть второго уравнения на множители: = {и + о) (ы* - UV + v^) — и подставим в него из первого уравнения м + и = 4. Тогда получим систему, равносильную второй: J ы -ю = 4. -ю^= 7. Подставляя во второе уравнение значение о, найденное из первого (у = 4 - и), приходим к уравнению п* - п (4 - ы) + (4 - и)^ =7, т. е. - 4и + 3 = О. Полученное квадратное уравнение имеет два корня: Uj = 1 и U2=3. Соответствующие значения v таковы: Oj = 3 и Oj = Переходя к переменным хну, получаем: \fx = ы,, т. е. Xj = = uj =1, у, = уЗ = 27, дгг = ы| = 27, yz = v\ = 1. Ответ: (1; 27), (27; 1). 417.— 418. 419. 420. Упражнения Решите уравнения (417—420). а) .^х* + 19 = 10; б) ^Jc^-28 = 2; в) л/б1 -х* = 5; а) л/л:+ 1 -х-5; в) •J2x-l = X-2; а) VZjcTT = : в) -\1х + 2 = л/2х-3; а) X = ^х^ + х^-6х + 8; г) \lx-9 = -3. б) X + л/2х + 3 = 6; г) 3 + у13х + 1 = X. б) ^ = yjx^-x-3; г) л/э= -Jx-^9. б) x-2=\jx^-8; г) X + 1 = \jx^ + 2х* + X. в) X = ^х®-х*-8х + 20; 216 Показательная и логнриф|мнчес.к.зя f)>yiiKUHii 421.— Решите систему уравнений: \Мх +2^ = 1, в) 2 Vx = 7, 4^у-зУх=6; б) г) 4V^-Vj'=2 Л. 2\[х + 3\[у =8 л/2; -/х + 3 -/у = 5 ^/5, 5 ^[у -2 ^fx = ^f5. Решите уравнения (422—425). 422.— а) л/х + 1 т/х + 6 = 6; в) д:+ 1 =л/з7Т2; yjx-2 423.— а) л/б + ^х + З =3; б) - = л/х-1; yj2x-l г) Vx V2 - JC = 2jc. в) Vis -Vx + 10 =4; 424. — а) л/х-3 = 1 + л/х-4; в) 2 + л/Ю-х - -J22 -х; 425. — а) л/х-3-6 =Vx-3; в) Vx-5 =30-л/х-5; б) ^yjx^~l6 + x=2; г) х-'-б =1. б) л/х + 2 -л/х-6 =2; г) л/1-2х-3 = л/16 + х. б) VxTl + 2 ^х+ 1 = 3; г) 3 *^х2-3 + ^х^-З = 4. Решите системы уравнений (426—427). л/б + X -3 ^Зу + 4 = -10, f 2 yfx -Jy = 5, 426.^ а) I-/х + 3-/у = 10, I -v^ ./у = 8; |л/х + ./у =8, |х-у = 16; I ^fx --Jy - 4, 427. в) а) в) б) г) б) г) [4 ^Зу + 4 -5 -УбТх =6; 12 л/х-2 + .JSyTT = 8, [Зл/х-2 -2 VSyTT = -2. (Vx + ^ = 5, [ху = 216; fVx-^ =-2, I ху=27. х-у = 32; 217 П|)ка:штсльная н логарифм11чсс1а1л (]>yiiKiiifii 34. Степень с рациональным показателем Вам уже знакомо понятие степени числа с целым показателем. Выражение о" определено для всех а и п, кроме случая а = О при п < О. Напомним свойства таких степеней. Для любых чисел а, h к любых целых чисел тип справедливы равенства: o'" . о" = а"' + o'” : fl" = а"‘' " (а * О); (а'Т = а'""; f (б.еО); \Ь J 6" a^ — а; а® = 1 (о 0). {аЫ Отметим также следующее свойство: Если т > п, то а" > а’' при а > 1 и а™ < а" при о < а < 1. В этом пункте мы обобщим понятие степени числа, придав 5 2 смысл выражениям типа 2'*’®, 8^, 4 ^ и т. д. Естественно при этом дать определение так, чтобы степени с рациональными показателями обладали теми же свойствами (или хотя бы их частью), что и степени с целым показателем. Тогда, в частности, п-я сте- т пень числа а " должна быть равна o'". Действительно, если свойсч -во (о'’)® - выполняется, то Г 2.„ {а" ) = о " =а' Последнее равенство означает (по определению корня о-й степени), что число о " должно быть корнем л-й степени из числа o'". Определение Степенью кисла о>0 с рациональным показателем г = ^, где т — целое чис- п ло, ап — натуральное (л > 1), называется число Итак, по определению (1) Степень числа 0 определена только для поломсительных показателей; по определению O'" = 0 для любого г > О. 218 По1с<|:«атс.пьяяя и логарифмическая функции Ill пример 1. По определению степени с рациональным показателем 7* =V7; 2® =^32; а = ^\fa^. 1 Пример 2. Нгиадсм значения числовых выражений 8®, я 2 81% 128 % По определению степени с рациональным показателем 1 я и свойством корней, имеем 8* =^/8-2; 81'* = t/si® = (“\/81 = _2 = 3=* = 27; 128^ =VT28^=(yi^) ** = 2 2= Замечание 1. Из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого положительного а и любого рационального г число а'^ положительно. Замечание 2. Любое рациональное число допускает раз- 1, личные записи его в виде дроби, поскольку — = для любого п пк натурального к. Значение и'' также не зависит от формы записи рационального числа г. В самом деле, из свойств корней следует, тк ___ ______ m что а "* = "Va= Vn” —а " . Замечание 3. При а < О х)ациональная степень числа а не определяется, и это не случайно. Если бы мы сочли верной фор- мулу (1) и для а < О, то, например, значение (-8)® равнялось бы т. е. -2. Но, с другой стороны, ^ =|. и поэтому должно вы- •5 П 1 2 полниться равенство -2=(-8)® =(-8)® =^(-8)^ =2. Покажем теперь, что при сформулированном выше определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что приводимые далее свойства верны только для положительных оснований). Для любых рациональных чисел г и s и любых положительных а и Ь справедливы равенства: а" - о* = а'‘**. 2". а': а" = а'"*. 3®. (аО' = а™. 4**. [аЬУ =а'•Ь\ 5®. 219 Показательная и логарифмическая фуикцнн Для доказательства этих свойств надо воспользоваться определением степени с рациональным показателем и доказанными в п. 32 свойствами корней. Докажем, например, свойства 1®, 3® и 4®. Пусть г = — и S = где л и о — натуральные числа, а т п д и р — целые. Тогда тд * пр а'" а® ='\[а^ = - "Ча^ ="Va"’''»np =а "9 ^________ тр (a'-y = \j(a'-)P ='“у1а^ =а'“'=а™; (аЬ)'‘ = ".J(afo)'" = Уа'^Ь'Р = =а''Ь’'. Свойства 2® и 5® доказываются аналогично (проведите соответствующие рассуждения самостоятельно). 1 _з Н Пример 3. Найдем значение выражения VHo 2*: 5 ■*. 1 3 _____ 1 3 3^1 1^3 V40 2< : 5 '• = V2^ - 5-2* •5'’ =2'* ^ - 5^ ^ =2* 5i =10. Пример 4. Преобразуем выражения: 1 I -Ь^ а) - ех^ + b-i б) ______а'-2 -fc2.i а®’® + a®-'^h®'^ f fci’'* а) б) II 11^ I- 0^ + 6^ „1,2 1 I (д0.4)3 _(60.7)3 ; 1 = o'* -b'’; д0.8^„®Иь0,7^ J,l,4 („0.4)2 ^ „0.4 (,0.7 ((,0.7)2 ^д0.4_(,0.7 Отметим следующие два свойства степеней с рациональными показателями: 6®. Пусть г — рациональное число и 0 < а < Ь. Тогда а'’ < Ь'^ при г > о, а'' > Ь' при г < 0. 7®. Для любых рациональных чисел г п s из неравенства г > S следует, что а' > а‘ при а > 1, o'" < а* при о < а < 1. Докажем свойство 6®. Если г > 0, то г можно записать в виде г = —, где тип — натуральные числа. Из неравенства 0 < а < Ь TL и свойств степени с целым показателем следует, что а"‘ < Ь"'. 220 Показательная и логарифмическая функции По свойству корней (свойство 6*', п. 32) из этого неравенства получаем Уа"’ < "■Jb"', т. е. а'' < Ь'. В случае г < О проводится аналогичное рассуждение. Для доказательства свойства 7® приведем сначала рационалъ- F71 Р ные числа г и s к общему знаменателю: г = — и s = —, где п — на- п п туральное число, а т а р — целые. Из неравенства г > s следует, что т > р. Если а > 1, то а" = Va > 1 и по свойству степени с це- РГ>Й'. лым показателем Остается заметить, что ( Т ^ f Л' - =а" ==а'' и =а"=о*. Случай О < а < 1 разбирается аналогично. г И Пример 5. Сравним числа и 2^. Запишем %^8 в виде степени с рациональным показателем: Vs =2^ г 3 По свойству 7" получаем 2® >2®, так как ^ 3 5 Пример 6. Сравним числа и 3^™^. Запишем эти числа в виде степеней с одинаковым показа- телем: 2300 _ (2®)'®° = 8’°®; 3^*’” = (3^)’®® = Так как 8 < 9, по свойству 6” получаем gioo < 9100^ ^ g 2300 < 3200 Упражнения 428.— Представьте в виде корня из числа выражение: 429.-t 430. а) 3*-^; б) 5 ®; в) 4*’2®; г) 6 ^. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем: а) ; б) в) ’Vb ^ ; г) . Найдите значение числового выражения (430—431). а) 2430.“; б) Г 64М 8. I 3« J в) 16'*; г) f 27З и25в 221 Покагштольная н лигарифмическая функции 1 f 1 а'\ 8 . ч 431.— а) 8^: 1,8® ■ 9^; б) ^Т00-(л/2)з dp ,)8*> = 81«; Разложите на множители (432—433). 11 1 1 II 432.— а) (ajc)3 +(ау)^; б) а-а®; в) З + З^; г) (Зх)^ -(5х)^ • 1 i 1 ,3 „3 „3 ,,3 433.— а) х'^у^ + 1; 1 1 1 ,2 . «4 . 434.- 435. 436. б) -1 ; 1 в) 4-4“*; г) а + Ь^ +а^ +а^Ь^. Упростите выражения (434—435). а — Ь а) - ; б) ' i 1 'г q2 _fc2 Z-8 1 ' + 2г8 +4 jc2 —4 a t- b 1 1 2 a® - a® 4)3 -I 4,3 II 11 X-y x2 Д.4 a)------------- '311 11 6) X* + X2 x'Z + a-1 fl2 4 I r~ ’ fl + fl2 f 1 fl2 _ 1 4 2a^ ; b) I 1 ‘ ■ > a + fl2 4,2 a - q2 4)2 ■/x+1 1 + o4) 1- 4)2 ;yjx + x+ -/x -\Пс Сравните числа: 19 a) и 3 ® ; в) и б) 0.4 и ; 32 437.— Найдите значение выражения: i Л 2 .i.l I б) 0,001 ® -(-2)-2б4®-8 ® 1(9<’)2; 222 Показательна» и лО|'арн(}1ми’1е<.'кан функции в) 27> .(xj 0,75 г) (-0,5)-'' -625‘’-2^ + 19 (-3)-^ 438.— Упростите выражение: 1 ■а* +1; а) 8 0-1 \^ + Vo л . ------ . п ^ I .Г7. /0 + 1 4 1 О»-27fl36 2 11 2 оЗ + За» 1)3 +9*3 J.4 Г_1___ + 4 Wт____L. + m3+2\^j л[2 'а j 439.— Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем: а) 1^2*' ах^; б) \4i; в) V^- Vfe; г) i- *-^2ТУх. 440.Представьте выражение в виде корня: Ь; 1 2 441. 442,- 443. а) 3-2 ®; б) а'* : Ь"; в) 2Ь г) с’’ Сравните числа: а) (73)‘‘ и ф ' ijl; в((|] ’ и J2 2'U б) 36'» и 5^*»; г) 7-'’о и 4^6. Имеет ли смысл выражение: 1 ? Л а) (-3) б) (-2)-^; в) 5»; г) О ^ ? Найдите область определения выражения: .2 3 _з 2 а) (л:+1) б) д:®; в) х г) (х-5)^. 444,- При каких значениях переменной верно равенство: гу а) 1,0 =а; 223 Пока.чательная и логарифмическая фуны^ин б) (а^)^ =-а; в) (а»)« = г) (а®-") ^ =-а? |а| § 10. Показательная и логарифмическая функции 35. Показательная функция 1. Степень с иррациональным показателем. Зафиксируем положительное число а и поставим в соответствие каждо- му числу — число а" . Тем самым получим числовую функ- П цию f (дг) = О'*', определепную на множестве Q рациональных чисел и обладающую перечисленными в п. 34 свойствами. При а = 1 функция f (х) = а’’ постоянна, так как 1^ = 1 для любого рационального X. Нанесем несколько точек графика функции у = 2^, предварительно вычислив с помощью калькулятора значения 2^ на отрезке [-2; 3] с шагом — (рис. 132, а), а затем с шагом - (рис. 132, б). 4 S Продолжая мысленно такие же построения с шагом и т. д., 16 32 мы видим, что получающиеся точки можно соединить плавной кривой, которую естественно считать графиком некоторой функции, определенной и возрастающей уже на всей числовой прямой т и принимающей значения 2" в рациональных точках дг = — п (рис. 132, в). Построив достаточно большое число точек графика функции JV = ^ j > можно убедиться в том, что аналогичными свойствами обладает и эта функция (отличие состоит в том, что функция убывает на R). Эти наблюдения подсказывают, что можно так определить числа 2“ и для каждого иррационального а, что функции, задаваемые формулами i/= 2* и « будут непрерывными, npinieM функция у —2” возрастает, а функция убывает на всей числовой прямой. Опишем в общих чертах, как определяется число о“ для иррациональных а при а > 1. Мы хотим добиться Т01ЧЗ, чтобы функция у — была возрастающей. Тогда при любых рациональных г, и г^, таких, что Tj < а < Tg, значение а“ должно удовлетворять неравенствам <а" . 224 Показате.тьпая и логарифмическая функции CM со <б о ts cu 225 Показательма» и Л01'арифмиче<'кая фуши^ии Выбирая значения Tj и Tg, приближающиеся к х, можно заметить, что и соответствующие значения а'' и будут мало отличаться. Можно доказать, что суп1ествует, и притом только одно, число у, которое больше всех а'' для всех рациональных г, и меньше всех для всех рациональных г^. Это число у по определению есть а“. Например, вычислив с помощью калькулятора значения 2-^ в точках дг„ и дг', где к х'^ — десятичные приближения числа X = л/з, мы обнаружим, что чем ближе и к >/3, тем меньше отлдгчаются 2'" и 2'". Так как 1 < л/З < 2, то = 2 < 2''з <2^ -4. 1,7 < 1,8 И, значит, 2'-^ * 3,2490096 < 2'^“ < 2‘ 8 » 3,4822022. Аналогично, рассматривая следующие десятичные приближения V3 по недостатку и избытку, приходим к соотношениям: 2‘-''з , 3,3172782 < 2-^^ < 2'>74 « 3,3403517; = 3,3218801 < 2'^ < 2'-'^®з » 3,3241834; 21.7320 3,321801 < 2'^ < * 3,3221104; 21.7.3205 3,3219952 < 2''^ < 2«-7згоб ^ 3,3220182; 21.732050 ,5, 3,3219952 < 2''® < 3,3219975. Значение 2'^, вычисленное на калькуляторе, таково: 2'» е 3,321997. Аналогично определяется число для 0 < « < 1. Кроме того, полагают 1“ = 1 для любого а и 0“ = 0 для а > 0. 2. Свойства показательной функ1П1н. Определение. Функция, заданная формулой у = с* (где о > о, а 1), на.зывается показательной функцией с основанием а. Сформулируем основные свойства показательной функции (их доказательство выходит за рамки школьного курса). 1. Область определения — множество R действительных чисел. 2. Область значений — множество всех положительных действительных чисел. 226 Показательная и логарифмическая функции 3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при О < а < 1 функция убывает на множестве R. Графики показательных функций для случаев а > 1 и О < о < 1 изображены на рисунках 133—134. 4. При любых действительных значениях х vi у справедливы равенства аУ = У; (а’^)У = а^У. Эти формулы называют основными свойствами степеней. Свойства 3 и 4 означают, что для функции у — определенной на всей числовой прямой, остаются верными свойства функции у = а^, которая сначала была определена только для рациональных X (см. свойства 1**—7°, п. 34). Упражнения 445. — Перечислите свойства функции и постройте ее график: а) у = б) у = 0,2""; в) у = 0,7'; г) у = 2.5"". 446. — Найдите область значений функции: а) у=-2^; б) +1; в) ^'^*(4] • г) р = 5"" - 2. 447. Сравните числа: а) ^ и 1; б) 3 ‘’(if • ^ 1 в) 2,5 '® и 1; г) 0,3® и 0,3®. 227 Показательная н логарифмическая функинв 448.— I 449. 450.- Вычислите: a) в) 8'2 -.2^^; 6) Г) (3^^'®) Упростите выражения (449—450). /2 -1 в) а) ^+ 1; б) х" - ^х®: х-*" ; г) J/''® •{/‘•® : в) О''® 2-/S ^ ^ Й-/7 цИ 4.^8^3^^8 б) (с^'Уз -1)(а^'^ + а''® + с®'^ )_ 0-1/3 _„V3 ’ ; г) ^(х-' + у’')® - (4^^хр) . 451. — Вычислите с точностью до 0,1 (пользуясь таблицами или калькулятором) значения: а) 101-« и Ю*--*®; б) и 10'-^»®; в) 10®'®® и 10®’®“'; г) 10®'®®® и 10®’®®^. 452. — Пользуясь полученными в задаче 451 результатами, найди- те значения 10'^ и 10'^ с точностью до 0,2. 453. — Укажите, какая из данных функций является возрастаю- щей, какая — убывающей на множестве R: 454. — Найдите область значений функции: а)у = 3*^‘-3; б)у = |2'-21; в) = +2^ г) у = 41*1. 455. -I Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на R: a)y=Qj ; б) у = 5 + 31”»*1; ( ч|вшх| — I -2. 456.Найдите знак корня уравнения: а) =10; б) 0,3* = 0,1; в) 10* = 4; г) 0,7* = 5. 228 Показательная и логарифмическая фупк1пи1 Решите графически уравнения (457—458). а) З*" = 4 - х; f 1 Л' в) (з) г) 4^ = 5 - X. а) 3' ^ = 2х - 1; б) 4* + 1 = 6 - в) 2* - 2 = 1 - х; г) 3 * =-?. 459.- Верно ли, что показательная функция / (х) - а) имеет экстремумы; б) принимает наибольшее значение в некоторой точке Хц, в) принимает в некоторой точке значение, равное нулю; г) является четной (нечетной)? 36. Решение показательных уравнений и неравенств 1. Уравнения. Рассмотрим простейшее показательное уравнение а" = Ь, (1) где а >0 и а at 1. Область значений функции у = — множество положите.аьиых чисел. Поэтому в случае fc < 0 или 5 = 0 уравнение (1) не имеет решений. Пусть 6 > 0. Функция у = на промежутке (-оо; оо) возрастает при а > 1 (убывает при 0 < а < 1) и принимает все положительные значения. Применяя теорему о корне (п. 8), получаем, что уравнение (1) при любом положительном а, отличном от 1, и Ь > 0 имеет единственный корень. Для того чтобы его найти, надо Ъ представить в виде Ь = а‘. Очевидно, что с является решением уравнения = a^' (рис. 134). I Пример 1. Решим уравнение 7**2 =^49. 2 Заметим, что 49 = 7^, а \^49 =7^. Поэтому данное уравнение 2 можно записать в виде 1“ ^ =7®. Следовательно, корнями дан- О КОГО уравнения являются такие числа Ху для которых л* - 2 = ^, U т. е. х = 2- . Ответ; х = 2-. 3 3 Пример 2. Решим уравнение 5^ ‘ = 25. Перепишем его в виде 5-** ^* ‘ = 5^. Корнями этого уравнения являются такие числа х, для которых х* - 2х - 1 = 2. Приходим к квадратному уравнению, корни которого — числа 3 и -1. Ответ: 3; 1. 229 Показательная и логарифмическая функции Пример 3. Решим уравнение б''** + 35 ■ 6^ ' = 71. Заметим, что 6^' ' = 36 - 6^ Поэтому данное уравнение можно записать в виде 36 6^ ^ + 35 6* * =• 71, т. е. 71 6* * = - 71, откуда 6^ ' = 6‘', л; - I = О, JC = 1. Ответ: 1. Пример 4. Решим уравнение 4' - 5 2-* + 4 = О. Сделаем замену переменной t - 2^. Заметим, что 4-* = (2^^ = t^. Поэтому данное уравнение принимает вид - Ы +■ 4 — О. Найдем решения этого квадратного уравнения: = 1 и t2 ~ Решая уравнения 2* = 1 и 2' = 4, получаем аг = О и л; = 2. Ответ: О; 2. 2. Неравенства и системы уравнений. Решение простейших показательных неравенств основано на известном свойстве функции у = а*: эта функция возрастает при а > 1 и убывает при О < а < 1. Ц Пример 5. Решим неравенство 0,5^ < 4. Пользуясь тем, что 0,5 * “ 4, перепишем заданное неравенство в виде 0,5^ < 0,5 Показательная функция у = 0,5* убывает (основание 0,5 меньше 1), Поэтому данное неравенство равносильно неравенству 7 - Зх > -2, откуда х < 3. Ответ: (-оо; 3). Пример 6. Решим неравенство 6*****>6^. Показательная функция у - 6^ возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х* + 2х > 3, решая которое, получим ответ: (-оо; -3) и (1; оо). Пример 7. Решим неравенство Сделаем замену ^ j • тогда и неравенство пере- по t пишется в виде 1 + 3 <0, откуда ^ f < 9. Следовательно, ре- 3 3 шением данного неравенства являются числа х. удовлетворяющие неравенствам g < [ ^ ] <9, и только такие числа. Но g = ( ^ j • 9=^^j , а функция убывает, поскольку ^ < 1- Поэтому решением неравенств будут числа х, удовлетворяю- щие неравенствам -2 < х < 1. Ответ: (-2; 1). Пример 8. Решим систему уравнений 2* + 2*' = 12, [3^ У =3. Из второго уравнения системы находим 2х - у = 1, откуда у = 2х ~ 1. Подставляя вместо у в первое уравнение выражение 230 Показательная и логарифмическая фушл(ии 2х — 1, получим 2* + 2^* ^ — 12, откуда 2* + ^ -2^' = 12. Обозначив 2' черед t, приходим к квадратному уравнению /^ + 21 - 24 = О, откуда 1, = -6, <2 = 4. Уравнение замены 2' = -6 решений не имеет. Корнем уравнения 2' = 4 является х = 2. Соответствующее значение у равно 3. Ответ: (2; 3). Упражнения Решите уравнения (460—464). 460.- а) 4' = 64; б) =27; в) 3'= 81; г) в) л/^=36; 462. — а) 3® ' = 33' 2. I в) =9; 463. 4 а) 7'" 2 + 4 7^ ♦ 1 = 539; в) 4' * ‘ + 4' = 320; а) 9'-8 3' 9 = 0; в) 36' - 4 6' - 12 = 0; б) л/8' 3 =^42-'; 0.5 V7. 7' 464. 465. 466. 467. г) 0.5 =4^2. б) 2 - 3' *' - 3' = 15; г) 3 - 5'-*з + 2 - 5'* ' = 77. б) 100' - 11 10' + 10 = 0; г) 49' - 8 • 7' + 7 = о. Решите систему уравнений: а) в) 4'*» =16, 4'‘2i/-i = 1; 3Z!/ * = -I, [3'-j,»2 ^27; б) г) 6®' V =у[б, О У - 2jr _ 1 . vr (ir 78* - S' = ./7. Решите неравенства (466—467). a)(l)%27; 6) (Л)' < 1-. в) 0,2'‘ < I . 26’ а) 43-3'< 0,25; в) 0,43'* ‘ > 0,16; г) 1,5' < 2,25. б) 0,3’*^' > 0,027; г) 33 ' < 27. 231 Пока.зателилля к логй|1ифми'1соя>я фчимош Решите уравнения (468—470). 468,— а) 3^-2^ 75; (б] "(б] в) 5-^j +(1]"^ =162; г) 5 9*+ 9^ 2^406. а)5*” = 8'^*; б) ; в)7*'2 = 42 ^ а)3* + 33 ^^12; б) 4'^ + 16 = 10 2>^; в) Qj* "^-^ij = 4,96; г) 4*-0,25' 2 = 15. 469, 470, 471.— Решите систему уравнений; '5**» = 125, 4<' I =1; З^ + З*' =12, 6'^У =216; а) в) б) г) д:+ у=5, 4^ + 4*' =80; 4**» =128, g3i 2у -3 ^ J Решите неравенства (472—474). 472.- а) ч2х-3 J ’ /* *f 1 " / , \10* 22 -J в) 3^"2 < r)[j] >64 > 473.-1 j а) (1Г^( |)”>2,5; б) 22* ’ + 22* - 1 в) йГ- (з) 'Й' г) 3* * 2 + 3^ - 1 f 474.-^ а) л2* >0; 6,(1) -10 а, 4' - 2*’ ‘ - 8 > 0; 475.- Решите графически неравенство: а) 2'< З-х; б) <2xt5; в) >2jc + 1; г) 3* > 4 х. 232 Иокалательнаи и .шгарпфмнчрсквп ф>](К1|1П1 37. Логарифмы и их свойства 1. Логарифм. Вернемся к уравнению = Ь, где а > О а а * 1. Как показано в предыдущем пункте, это уравнение не имеет решений при Ь < О и имеет единственный корень в случае Ь > О. Этот корень называют логарифмом Ь по основанию а и обозначают log„ Ь, т. е. а=Ь. Определение. Логарифмом числа Ь по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить hmCvTO Ь. Формулу а'"*” =fc (где fc>0, о>0ио^1) называют основ ным логарифмическим тождеством. В Пример 1. Найдем значение: а) log^ 32; б) log^ 0,04. а) Заметим, что 32 = 2®, т. е. для того чтобы получить число 32, надо 2 возвести в пятую степень. Следовательно, logg 32 = 5. б) Заметим, что 0,04 - Д - 5'^, поэтому logj 0,04 = -2. Пр и мер 2. Найдем логарифм числа ^ по основанию л/з. Заметим, что (л/З)^ = д- Поэтому по определению логарифма я =-4. 1 3 Пример 3. Найдем д:, такое, что: а) log^ дс = -; б) log, 8 = . О 4 Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: 1 а) х=8'“*'«*=8® =2; _3 А б) Jc'^*''*=8, т. е. д: ^ =8, откуда jc=8 16 2. Основные свойства логарифмов. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции: При любом а>0 (а^1) и любых положительных X к у выполнены равенства: I". log„ 1=0. 2*’. Iog„a = l. 3**. log^ xy = log„ X + log„ y. 4“. log„ ^ = log„ X - log„ y. 5“. logo xP = p logo ^ для любого действительного p. 233 Показательван и логарифмическая фупк1ин1 Для доказательства правила 3“ воспользуемся основным логарифмическим тождеством: (1) Перемножая почленно эти равенства, получаем: т. е. XI/= 0'**“. Следовательно, по определению логарифма logo (ху) = logo ^ + logo У- I Логарифм произведения равен сумме логарифмов. Правило 4” докажем вновь с помощью равенств (1): £ = _д1ое„* logo» У а'”®"*' следовательно, по определению log. - = log„ х - log. у. у I Логарифм частного равен разности логарифмов. Для доказательства правила 5° воспользуемся тождеством _ л logo ^ , откуда х'‘ = (а'”®" * )^= а’’ ^. Следовательно, по опре- делению log^ хР = р logg X. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени. Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Докажем, например, формулу перехода от одного основания логарифма к другому основанию: , logb X log» X = — . •ogb а (Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т. е. при х>0, a>0HOitl, 6>0и Ь * 1.) По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем; logfc x = logb(a'‘*“ *), откуда log^ X = log„ X - log^ a. Разделив обе части полученного равенства на log^ а, приходим к нужной формуле, С помощью формулы перехода можно найти значение логарифма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов, составленные для какого-нибудь одного основания Ь. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов (десятичными называют логарифмы по основанию 10 и обозначают Ig, а с натуральными логарифмами вы познакомитесь в п. 41). 234 Пиказательнал в логарифмичвекан функ11ии ■ Пример 4. Найдем log^y 7. Пользуясь калькулятором (или таблицами), находим Ig 7 0,8451, Ig 0,3 « 0,4771 - 1 = -0,5229. Следовательно, по формуле перехода log^ g 7 =» « -1,6162. Пример 5. Известно, что logg 5 = о и log2 3 = Ь. Выразим log2 300 через а и Ь. Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем: )og2 300 = logg (3 52 • 2®) = log2 3 + 2 log2 5+2 logg 2 = fc + 2a + 2. П ример 6. Выразим логарифм выражения 8я® \jh* через logg а и logg Ь. (Коротко говорят: прологарифмируем данное выражение по основанию 2.) Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем: logg (Sa’’ V^)=logg [2® ■ J = 3 logg 2 + 3 logg <* + у loSa b = = 3 + 3 logg “ + ^ I0S2 Пример 7. Найдем x, если logs ^ = I0&5 '^ + 2 logs 3-3 logs 2. Сначала преобразуем правую часть данного равенства, пользуясь основными свойствами логарифмов: logs ^ = logs 7 + logs 3* - logs = logs 63 т. e. logs X = logs “ и потому д: = ®^ = 7,875. 8 8 8 8 Ig72-lg9 Пример 8. Найдем значение выражения Пользуясь основными свойствами логарифмов, преобразуем 72 числитель и знаменатель этой дроби: Ig 72 - Ig 9 = Ig — = Ig 8 = = 3 Ig 2; Ig 28 - Ig 7 = Ig ^ = Ig 4 = 2 Ig 2. Следовательно, Ig72-lg9 3 1g2 3 lR28-lg7 2Ig2 2 Упражнения Найдите логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а (476—478). 476. ^ а) 32 = 9; б) З ^ =1; в) 42 = 16; г) б ® = А. 477. -| а) 92=3; б) 7« = 1; в) 32^=2; г) 3 ’ =1. I 2 3 3 2 478. J а) 272 =9; б) 32® =8; в) 81“ =27; г) 1252 ^25. 235 Птсаштсльнал и логорифмичепсая функции Проверьте справедливость равенств (479—482). 479.— а) log, Д . -* 6) log,6 1=0; в) log^ 16 = 2 Г) logs 12^ = 2. 480.— а) logs = -2; 6) log^ 343 = 3; в) Ig 0,01 = -2; r) log«,^^-5. 481.— а) log ,2 8=6; 6) log,. 27 = -6; \8 в) logj 9 =-2; r) logo.5 4 = 2. 482.— а) >0^2/2 128 = И; 6) logo.2 0,008 =; в) log 0,2 =-2; r) logo.2 125 =-3 483.-* Найдите логарифмы данных чисел по основанию а: а) 25, при 0 = 5; б) 64, Ч 2 при о = 8; 5 8 в) 16, -, V2 при 0 = 2; г) 27, Js при о = 3. 4 9 484. 485. 486. 487. 488. 489. 490. Найдите число х (484—486). а) log3JC = -l; б) log, лг = -3; г) log^ X = -2. б) log дг = О; г) log, X = -а в) logg X = 2; а) log^ X = -3; в) log, X = 1; 7 2 а) logj, 81 = 4; б) log, ^ =2; в) log, ^ =-2; г) log, 27 = 3. Запишите число в виде логарифма с основанием а: а) 2, |, 1, О при 0 = 4; в) 3, |, О, -1 при 0 = 2; б) 3, -1, -3, 1 при 0 = 3; г) 1, -2, О, 3 при 0 = 5. Упростите выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством (488—490). а) 1,7’'*‘-''^; б) в) г) З.в'^*»-* ”. а) g) 10‘-'к2. в) flj 7 ; г) 3^ а) 4^'‘*"’*; б) s'”''®"”: в) ; г) 6^ ,2 - logs 18 -2 log о & 236 Пока.зательнап и ло1 арифмнческая функции 491.— Прологарифмируйте по основанию 3 (а > О, Ь > 0): а) (%Ч) * ; в) 9а* Vb; ч 0.2 I л>0 г) б2 27о’ (Прологарифмируйте по основанию 10, где а > 0, Ь > 0, с> О (492—493). : ___________ 1 _1 ^ а) 100 -Jab^c; б) —в) ^^fTo аЧ*с г) 12 2 2 493.J а) 10“3; б) - в)10^а“Ь®с“; г) . 10^ ,,,7 1^8 10^ u8b“ 492. 494.— Известно, что log^ 2 = а и logg 3 = Ь. Выразите через а к Ь: а) logg 72; б) logg 15; в) logg 12; г) logg 30. Вычислите (495—496). 495.— а) Ig 8 + Ig 125; в) logi2 ^ ^ '°6i2 36; Ig8 + lgl8 б) logg 7-logg г) Ig 13 - Ig 130. 496.— а) 2Ig2+lg3’ в) logg 11 - logg 44; б) loggie. logs 4 ’ г) logo 3 9 ~ 2 logo 3 10. 497. — Найдите x, если: а) logg ДГ = 3 logg 2 + 0,5 logg 25-2 logg 3; б) lgji: = i lg5a-31gfe + 41gc; i £ i b) lgAr = 51gm +|lgn-4gp; r) log^ jc = i log^ 216-2 log^ 10 + 4 log^ 3. О 498. Докажите: a) logj3 + log3|<-2; 6) 4'”*'^" =7‘“«5'>. •6 B) logg 7 + log^ 3 > 2; Г) =б''«"-\ 237 Показате.аьная и логармфмичес-каи функции 38. Логарифмическая функция Пусть а — положительное число, не равное 1. Определение Функцию, заданную формулой У = X, (1) называют логарифмической функцией с основанием а. Перечислим основные свойства логарифмической функции. 1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел Д+, т. е. D (log„) = К». Действительно, как отмечалось в предыдущем пункте, каждое положительное число х имеет логарифм по основанию а. 2. Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел. В самом деле, по определению логарифма любого действительного у справедливо равенство log„ (с*') = у, (2) т. е. функция у = log^ х принимает значение у^ в точке Хо = а*^® ■ 3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при о > 1) или убывает (при О < а < 1). Докажем, например, что при а > \ функция возрастает (в случае О < а < 1 проводится аналогичное рассуждение). Пусть X, и Х2 — произвольные положительные числа и Xg > X,. Надо доказать, что log^ Xg > log^ х,. Допустим противное, т. е. что logfl ^2 < ^og „ Xj. (3) Так как показательная функция у - при п > 1 возрастает, из неравенства (3) следует: (4) Но a*°*“'^=Xg, а***"** =х,(по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает, что Xg < х,. Это противоречит допущению Xg > X,. 238 Пока;и1тсльяая и Л01 арнфми'нчкая функции Рис. 135 Для построения графика заметим, что значение О логарифмическая функция принимает в точке 1; log^ 1 = 0 при любом а > о, так как а” = 1. Вследствие возрастания функции при а > 1 получаем, что при д: > 1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0 < д: < 1 — отрицательные. Если 0<п<1, то 1/ = log^ X убывает на R^, поэтому logo ^ > о при о < л: < 1 и logp дс < о при д: > 1. Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции у = log^ X при а > 1 (рис. 135, а) и 0 < а < 1 (рис. 135, б). Справедливо следующее утверждение (доказательство см. в п. 40): Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х (рис. 136). Рассмотрим примеры применения свойств логарифмической функции. Рис. 136 239 Показательная и логарифмическая функции ■ Пример 1. Найдем область определения функции / (д:) = logg (4 - 5х). Область определения логарифмической функции - множество Поэтому заданная функция определена только для тех X, при которых 4 — 5дс > О, т. е. при х < 0,8. Следовательно, областью определения заданной функции является интервал (-оо; 0,8). Пример 2. Найдем область определения функции / (ж) = logg (х* - Зх - 4). Как и в предыдущем примере, функция f определена для всех тех х, при которых х^ - Зх — 4 > 0. Решая это квадратичное неравенство, получаем, что D (f) — объединение интервалов (-оо; -1) и (4; оо). Пример 3. Найдем область определения функции 2х+ 3 =log7 5-7х 3 2 5 7 Рис. 137 Решая методом интервалов не-2х+ 3 - равенство - >0, находим 5 - 7 X (рис. 137). что 0(Л =[-|: I]. Пример 4. Сравним числа: а) logg 5 и logg 7; б) log ^ 5 и log, 7; в) logg 10 и log4 12. ® 3 а) Логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает на всей числовой прямой. Так как 7 > 5, то log, 7 > logg 5. б) В данном случае основание логарифма меньше 1, поэтому функция log, -Г убывает, и, следовательно, log, 7 9 = 3^, и поэтому logg 10 > 2, с другой стороны, 12 < 16 = 4*. и, следовательно, log^ 12 < 2. Итак, logg 10 > log^ 12. Пример 5. Что больше: logg 3 + logg 7 или logg (3 + 7)? По основному свойству логарифмов logg 3 + logg 7 = logg 21. А так как logg (3 + 7) = logg 10 и 10 < 21, а основание логарифма 2 больше 1, то logg 10 < logg 21, следовательно, logg 3 + logg 7 > logg (3 + 7). 240 Показательная ii логарифмическая функции Упражнения Найдите область определения выражения (499—500). 499.- - а) •ogn (10 - 5x); 6) logs (9- x^); в) logs (^~ -4); r) logo 3 - 16). 500.- - а) log , + x-x‘); 2x+5 Х-Г' в) logo 2 •» 5 * 3x -2x’ r) log^,2(x2 -2x-3). 1 1 Сравните числа (501— ■503). 501.^ а) logz 3.8 и logg 4,7; 6) log, 0 Q ,15 и log, 0,2; g в) logs 5.1 и logg 4,9; О Г) logo 2 1,8 и logo a 502. а) logjs 3 и 1; 6) log^ 1,9 и log , 2,5; Jb Vi в) logn 2.9 и 1; r) logo,7 и logo,7 0,3. 503. а) loga 10 и logs 30; 6) logo.s 2 и logs 3; в) logs 5 и logy 4; r) logj 10 и logg 57. 504. Перечислите основные свойства функции и постройте ее график: а) I/ = loga Х-, б) у = log, х; 2 в) у - log^ JC; г) у = log, X. 3 505. — Найдите область определения выражения: а) logg sin дс; б) log3(2'^-l); в) log, cosх; г) Ig (1 - 3*). 506.— Найдите значение выражения: 507. a) loga 2 sin-^^ + loga cos:^; 15 15 б) log^ (V7 -Щ) + log^ (^49 + + Щ); b) Ig tg 4 + Ig ctg 4; Г) log„ (5 + 2 ^/6) + log„ (5-2^6). Постройте график функции: a) у ^ logg (X - 2); 6) j/ = -log, x; b) у = loga (x + 1); r) i/ = log, x + 2. 241 Показательная и логарифмическая функции 508. — Решите уравнение: а) logj X = 2 logy 6 - logy 12; б) log 1 дс =logy_2 35-2 logo_2 25>/7; 2 в) logs ^ = 2 144 + logs 0,75; г) log, х = 3 logy j 4+2 logy , 1 ^. 509. — Решите графически уравнение: a) Ig X = 1 - лг; б) log, X = X - 4; 3 в) log, X = X - 6; г) log^ X - 3 - X. 5 510. — Верно ли, что логарифмггческая функция: а) имеет экстремумы; б) является нечетной; в) является периодической; г) яапяется четной? 511. -2 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / на промежутке I: а) /(x)=logj X, / = [1; 4]; б) / (х) = logg х, / = [^|; 9 j; в) f(x) = logs ^ /(х) =log, X, I =|^|; 4j. 39. Решение логарифмических уравнений и неравенств Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение log„ X = 6. Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на промежутке (0; оо) и принимает на этом промежутке все действительные значения (рис. 135). По теореме о корне (п. 8) отсюда следует, что для любого Ь данное уравнение имеет, и притом только одно, решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что а*" является таким решением. Н Пример 1. Решим уравнение log^ (х* + 4х + 3) = 3. Данному уравнению удовлетворяют те значения х, для которых выполнено равенство х^ + 4х + 3 = 2**. Мы получили квадратное уравнение х® + 4х - 5 = 0, корни которого равны 1 и -5. Следовательно, числа 1 и -5 — решения данного уравнения. Пример 2. Решим уравнение logy (2х + 3) = logj (х + 1). Это уравнение определено для тех значений х, при которых выполнены неравенства 2х + 3>0их+1>0. Для этих х данное 242 IIoKe:«aTeabHa}f н логарифмическая функции уравнение равносильно уравнению 2д; + 3 = х + 1, из которого находим X = -2. Число X = -2 не удовлетворяет, однако, неравенству X + 1 > 0. Следовательно, данное уравнение корней не имеет. Это же уравнение можно решить иначе. Переходя к следствию данного уравнения 2х + 3 = х + 1, находим, что х = -2. Как всегда, при неравносильных преобразованиях уравнений найденное значение необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение. В данном случае получаем, что равенство log, (-1) = logj (-1) неверно (оно не имеет смысла). Пример 3. Решим уравнение log, (х^ 2х + 2) = 1. Этому уравнению удовлетворяют такие числа х, для которых выполнены условия; х>0 и х#1 (х — основание логарифмической функции) и равенство х^ - 2х -н 2 = х, т. е. х^ — Зх -ь 2 = 0. Полученное квадратное уравнение имеет корни 1 и 2. Но х = 1 не может быть решением данного уравнения. Следовательно, решением данного уравнения является только число 2. Пример 4. Решим неравенство logj (5-2х) >-2. а Число -2 равно log, 9. Поэтому данное неравенство можно 3 переписать в виде log, (5-2х) > log, 9. 3 3, Логарифмическая функция с основанием - определена и О убывает на Д,, так как ^ < 1- Следовательно, второму неравенству •5 удовлетворяют такие числа х, для которых выполнено условие о < 5 - 2х < 9, откуда -2 < х < 2,5. Итак, множество решений данного неравенства есть интервал (-2; 2,5). Пример 5. Решим уравнение log^ x-log х-3=0. Перейдем во втором слагаемом к основанию 5 и сделаем замену переменной t = logg х, тогда logjx log. iog„V5 = -!- = 2t. 1 Теперь данное уравнение перепишется в виде — 2t ~ 3 = 0. Корни этого квадратного уравнения 3 и -1. Решая уравнения замены logg X = 3 и logg X = -1, находим х = 5^ = 125 и х = 5 ’ = 0,2. Пример 6. Решим систему уравнений flg(p-x) =lg2, \ logs X - 4 = loga 3 - Iog2 у. Первое уравнение системы равносильно уравнению у - х - 2, а второе — уравнению ^, причем х > 0 и у > 0. Подставляя 16 243 Показательная и логарнфмлческан функцим у = ar + 2 в уравнение получим jc (д: + 2) = 48, откуда 16 у х‘‘ + 2х - 48 = О, т. е. д: = -8 или д: - 6. Но так как д > О, то д = 6 и тогда у = 8. Итак, данная система уравнений имеет одно решение: д = 6, у = 8. Заметим еще, что с помощью логарифмов можно записать корень любого показательного уравнения вида а* = Ь, где Ь > О (чего мы не могли еще сделать, решая примеры в п. 36). Этим корнем является число д = log^ Ь. Пример 7. Решим уравнение 5*' = 7. По определению логарифма 1 - Зд = log,. 7, откуда д = 512.— 51.3.— Упражнения Решите уравнения (512—515). а) 9^ = 0,7; б) 0,3* = 7; в) 2* = 10; г) 10* = п. а) loggД=2; б) logo4Д = -l; в) log9Д = -^; г) Ig д = 2. 514.— а) logj (2д-4) =-2; б) log. (Д* + 2д + 3) = log„ 6; 515. 1 516. - 517. 518. 519. в) logo , (5 4 2д) = 1; г) logg (3 - д) = 0. а) 0,2'*-* = 3; б) 5** = 7; в) 3^ ^^ = 8; г) 7^* = 4. Решите неравенства (516—517). а) logg д > 2; б) log^g д > -2; в) logo 7 Л" < 1; г) log2 g д < 2. а) log^ (д - 2) < 2; б) log, (3-2д) >-1; 3 в) logg (Зд 4 1) > 2; г) log, (4д 4 1) < -2. 7 Решите уравнения (518—520). а) log„ д = 2 log^ 3 4 log„ 5; б) Ig (д - 9) I Ig (2д - 1) = 2; в) log,, д = log„ 10 - log„ 2; г) lOgg (д + 1) 4 logg (д + 3) = 1. а) I log2(д-4)-^ -Чog2(2д-l) =log2 3; б) Ig (Зд* 4 12 д 4 19) - Ig (Зд 4 4)=!; в) ^g(д* 42д-7)-lg(д-l)=0; г) logg (д* 4 8) - logg (д 4 1) - 3 logg 2. 244 Поклаательиая и логарМ1])мичсгкая фуикшш 520. — а) logj ar + log., -/зс-1,5 = 0; в) log2 X - logj x = 2; 521. -f Решите систему уравнений; ,) {***'-■'■ [Igjc + Igy = 1; xi у =34, loga Jr + loga i/ = 6; B) Решите уравнения (522—524). 522.— a) в) 1 +-6 .=1; Ig д + 1 Ig д *- 5 б) logg^ 4 21g^ lg(5д-4) ’ г) lgx-6 б) Ig^ лг - Ig дг* + 1 = 0; г) log^ X - 2 logg д: - 3 = 0. log^ (x + y) = 2, logg X + logg у = 2 + logg 7; log^ X - log4 y=0, x^-5y’‘ + 4 = 0. 15 bga^-1 = 1. 523.- a) logo ^ ^ ^ ^ -bg4 Д + ^ = 0; b) logg X 2 log , Д =6; 3 r) log25 ДГ + logg Д = logi Vs. 524.— a) logg (9 - 2') = 3 - д; 6) log2 (25^ ’ 3 - 1) = 2 + logg (5^ ^ 3 + 1). b) log4(2 4*-2-1)=2д-4; г) logg (4* + 4) = log, 2' + logg (2^^ * ^ - 3). 525. 526. 527. 528.- Решите неравенства (525—528). а) Ig (2д - 3) > Ig (Д + 1); б) logo 3 (2x - 4) > logo 3 (л; + 1); в) Ig (Зд - 7) < Ig (д + 1); г) logo 5 - 7) < logo 5 + 2). a) logo 5 ^ > *062 (2 - 2д); 6) log^ (Д + 1) + log„ Д < log^ 2; b) Ig Д -b Ig (д - 1) < Ig 6; r) log, (д^ - Д - 12) < 3. a) log| X - logg Д < 6; b) Ig^ Д + 2 Ig Д > 3; a) log2sin|<-l; b) log I cos 2д > 1; 2 6) log, Д - 4 > 0; 3 r) logg Д - 9 < 0. 6) |3 - logg д| < 2; г) |31gд-l|< 2. 245 По1сазателышя ii логарнфмичсскап функции Решите системы уравнений (529—530). 529.— а) в) 530.^ а) log, {х + у) = 2. б) ^lg(x2-^^/2) = 2. 8 loggCx-y) =2; 1 log^R X + log^if, у = 1; log, x-h log, у = 2, 3 3 г) 1 lg(x*+J/^) = l 4 lgl3. log, x-log, у = 4; ]lg(x-4f/) = lg(x-i/) t lg8. 3 я 3" 9* =81, lg(jf+i/)2 -lgjc = 21g3; gj =50, [ig (д: + p) + Ig (л: - {/) = 2 -Ig 5; (З^-г» =576, (p-3c)=4; Jlgx-lgp = lgl5-l, |lO‘e<3T.2!,) ^39 40. Понятие об обратной функции 1. Обратимость функций. В ходе исследования различных функций вы неоднократно решали такую задачу: вычислить значение функции f по данному значению Хд аргумента. Часто приходится рассматривать и обратную задачу: найти значения аргумента, при которых функция f принимает данное значение уд. В Пример 1. Пусть f (jc) - kx + b (k ф 0). Чтобы найти значения аргумента х, при которых f (х) = Уд, надо решить уравнение f (х) = Уд, т. е. уравнение кх + Ь - уд. Решая его, находим, что при любом Уд оно имеет, и притом то.лько одно, решение х=~,—. к Пример 2. Для функции / (х) = х* уравнение f (х) = уд при Уо> о имеет два решения: х, = Jc - (Если ур = 0, реше- ние одно Xq = о.) Функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке области определения, называют обратимой. Таким образом, при к * о функция / (х) = Лх + t> обратима, а функция f (х) = х^ (определенная на всей числовой прямой) не является обратимой. Замечание. Из определения обратимой функции сразу следует, что если / обратима, а число а принадлежит области значений Е if), то уравнение f (х) = а имеег решение, и притом только одно. 246 Показательная и логарифмнчыкая функции 2. Обратная ф>ти<ция. Пусть / — произвольная обратимая функция. Для любого числа из ее области значений Е (f) имеется в точности одно значение дг,,, принадлежащее области определения D (Л. такое, что f (дг,,) = i/y. Поставив в соответствие каждому i/q это значение полу^шм новую функцию g с областью опреде-.чения Е (Л и областью значений D (f). Например, для обратимой функции f (х) — kx + Ь {k * 0) значение новой функции g в произвольной точке {/{, задается формулой Выбирая для аргумента функции g привычное обозначение X, находим, что g{x) = X- Ь Если функция g в каждой точке х области значений обратимой функции / принимает такое значение у, что f (у) = х, то говорят, что функция g — обратная функция к f. Как показано выше, функцией, обратной к функции f(x) = kx + b (к ^ О), является функция g(x)=^^-—. Рассмотрим К еще один пример, в Пример 3. Докажем, что функция / (х) = х® обратима, и выведем формулу, задающую фуикщгю y-g(x), обратную к /. По определению обратной функции сначала надо доказать, что язавнение f (у) = х при любом значении х имеет единственное решение у. В данном случае это уравнение у^ = х, которое имеет единственное решение j/ = vx при любом х (см. п. 8), Поэтому функция / (х) = X® обратима и обратной к ней является функция g (х) =\fx. Графики этих функций изображены на рисунке 138. 247 П(>1ш.эатсльная н логарифмическая функцну! Ек;ли задан график обратимой функции /, то график функции g, обратной к /, нетрудно построить, пользуясь следующим утверждением: I Графики функции f и обратной к ней функции g сим-I метричны относительно прямой у = х. Докажем это свойство. Заметим, что по графику функции f можно найти числовое значение обратной к f функции g в произвольной точке а. Для этого нужно взять точку с координатой а не на горизонтальной оси (как это обычно делается), а на вертикальной. Из определения обратной функции следует, что значение g{a) равно Ь (рис. 139, о). Таким образом, если считать, что выбрана несколько необычная система координат (аргумент откладывается на вертикальной оси, а значения функции на горизонтальной), то можно сказать, что график обратной к f функции g — это график функции / (построенной в обычной системе координат). Для того чтобы изобразить график g в привычной системе координат, надо отразить график f относительно прямой у = х (pi'.c. 139, б). Если функция g — обратная к функции f, то функция g обратима и обратной к ней является функция f. Поэтому говорят, что функции fug взаимно обратны. Teopfitvia (об обратной функции). Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f, также является возрастающей (соответственно убывающей). Доказательство. Положим для определенности, что функция f возрастающая. Обратимость функции f — очевидное следствие теоремы о корне (п. 8). Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к /, возрастает на мнонсестве Е (f). 248 Показательная н логари<11М1*че»'кая функции Пусть x^ и JTg — произвольные значения из Е if), такие, что ’ yi=g U,). У2 = е (^г)> По определению обратной функции Xi = f (р,) и JCg = /■ (j/g). Воспользовавшись тем условием, что f — возрастающая функция, находим, что допущение I/, > приводит к выводу f ({/,) > ^ f (*/г)» "Г- е. JCj > jfg. Это противоречит предположению > JCj- Поэтому У2> Ут. е. из условия х^ > следует, что Именно это и требовалось доказать. I Пример 4. Как отмечалось выше, функция ^ (jc) = не является обратимой. Однако функция f*, определенная на промежутке [О; оо) формулой f* (дс) = дг**, возрастает на этом промежутке и, значит, имеет обратную. Обратной к функции f* является функция g (дг) = л[х. Графики этих функций изображены на рисунке 140,а. Вообще функция f (х) = х" при любом натуральном п возрастает на промежутке [О; оо) и поэтому имеет обратную. Обратной к функции / (х) = х" является функция g {х) = '\[х. Графики этих функций при некоторых значениях п изображены на рисунке 140, б, в. Упражнения Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к данной функции f. Укажите область определения и область значений функции g (531—532). 531.— а) f{x) = 2x+l; I в) /{х) = -2х+ 1; 249 б) f(x) = -x-U г) /-(х)=-|х-1. Показательная и логарифдп1чес-Ю(я функции 532.- а) f(x)=-^; X в) f(x)= х+ 2 б) f {X) = 2х^ {X > О); г) f (л:) =^|x+l. 533.— Постройте график функции, обратной к f: а) f (дг) = +1; б) f (дг) = (дг + 1)=*, х е (-схэ; -1]; в) f (х) = -2х^ +1; г) / (х) = (х - l)^ X е [1; оо). •5Ji4.— По графику функции / (рис. 141) найдите значения обратной К f функции g в точках -2, 1 и 3. Постройте график функции g, укажите ее область определения и область значений: а) f (х) = /, (х); в) f (х) = /з (х); б) f(x) = f2{x)\ г) f (х) = (х). 250 Показательная и логарифмическая функции Докажите, что функция / имеет обратную на указанном промежутке. Постройте график функции, обратной к f (535—536). 535.— а) f {х) = + 1, X < О; * в) / (а:) =Vx, X > 0-, б) f (х) = 2х, (-оо; оо); г) f (х) = х^ + 1, (-оо; оо). 536. I а) f (х) - sin X, X 6 j^-^; |j; в) f {х) = cos X, X е [О; л); б) f (х) = tg X, X е г) f (д:) = ctg X, X е (0; л). § И. Производная показательной и логарифмической функций 41. Производная показательной функции. Число е 1. Число е. В предыдущих пунктах графики показательной функции изображались в виде гладких линий (без изломов), к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой Xq равносильно ее дифференцпруемости в х„. Поэтому естественно предположить, что показательная функция дифференцируема во всех точках области определения. Нарисуем несколько графиков функции // = о* для а, равного 2; 2,3; 3; 3,4 (рис. 142), и проведем к ним касательные в точке с абсциссой 0. Углы наклона этих касательных к оси абсцисс приблизительно равны 35®, 40®, 48" и 51° соответственно, т. е. с возрастанием а угловой коэффициент касательной к графику функции у = а’^ в точке М (0; 1) постепенно увеличивается от tg 35° до tg 51°. Представляется очевидным, что, увеличивая а от 2 до 3, мы найдем такое значение а, при котором угловой коэффициент соответствующе!! касательной равен 1 (т. е. угол наклона равен 45°). Вот точная формулировка этого предложения (мы принимаем его без доказательства): Существует такое число большее 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой О для любого х, знак /' совпадает со знаком (I + х). Следовательно, /' (х) > О на промежутке (-1; оо), поэтому f возрастает на промежутке [-1; оо). На промежутке (-оо; -1) имеем f (х) < О, поэтому f убывает на (-оо; -1]. В точке Хд = -1 производная меняет знак с минуса на плюс, и, значит, Xq = -1 является точкой минимума. График функции приведен на рисунке 143. 3. Первообразная показательной функции. Теорема 3. Первообразной для функции а* на R яв.тяется функция In а Действительно, In а — постоянная, и поэтому 1 In а (а-^) = -а* Ina =а^ та а. * при любом X. Этим доказано, что — есть первообразная для 1ло на R. А из равенства (е*)' = для всех X следует, что е* есть первообразная для на R. Ц Пример 4. Найдем первообразные для функций: а) / (X) = 5- б) g (X) = 4 2^; в) Л (х) = 4е^* - 10 • 0,6^. Пользуясь теоремой 3 и правилами нахождения первообразных, выписываем ответы: а) F(x) = :^+C; In 5 б) = в) Н(х)=^е'' 0,6» + С. ,3» _1(). In 0,6 Пример 5. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3^ у = о, X = -1, X = 2. 254 Покаштельная н логарифмическая функции Эта фигура есть криволинейная трапеция (рис. 144). Поэтому ее площадь S находим по формуле площади криволинейной трапеции: 9 3* 26 hi3 I III 3 In 3 3 In 3 Упражнения 537.— Найдите по таблицам натуральных логарифмов (или с помощью калькулятора): а) In 3, In 5,6, In 1,7; б) lii 8, In 17, In 1,3; в) In 2, In 35, In 1,4; r) In 7, In 23, In 1,5. Найдите производную каждой из функций (538—539). 538.- - а) у = 4е* + 5; б) у = 2х + Зе *; в) «/=3-|е*; г) у = 5е“* - х2. 539. — а) у = е* cos х; б) у = Зе^ -1- 2^; в) г/ = 3* - 3x2; г) у = х^е^. 540. Напишите уравнение касательной к 541. в точке с абсциссой д:^: а) f {х) = е = 0; б) / (дг) = З'^, х„ = 1; в) f (дг) = е*. ДС(, = 0; г) f (дс) = 2 "^, дг„ = 1. Найдите общий вид первообразных для функции: а) f (X) = 5е*; б) f (х) = 2 3'; в) f (д:) = 4^; г) /(х)-|е*+1. 542.Вьпшслите интеграл: I 1 а) |o,5*^d.r; б) je^dx; в) j2^dx; г) J3*dx. о о -2 _■ Найдите производную каждой из функций (543—544). 543.— а) у=е^^ sin б) у = 11 в) у =е'* cos 2х; г) У = 1 544.41 а) б) у = 1 4*+ 5 1 в) 3* г) У = 1 2* + 5' х 3' е . +2’ 0,3 * ■Лх + 0,5 255 Показательная и логарифмическая функции 545. — Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функ- цию: а) f (л:) = хе^^; б) f (х) - х'^ 2 в) f{x) = xe-^-y г) f (х) = 546. — Найдите общий вид первообразных для функции: а) f (л:) = б) f (х) ^ 2 0.9" - 5,6 в) f (л) = 2 г) f (jr) = еЗ" + 2,3* ^ ". I Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями (547—548). 04/.-г а) у = е", у = О, х = О, а: = 1; б) у = 3", у = 9", JT = 1; в) у = 2", у = О, X = -1, х = 2: г) у = е", у = X = 1. 548.-1 а) 'то касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической фут/кцин имеет невертикальную касательную в любой точке. А это равносильно дифференцируемости логарифмической функции на ее области определения. Докажем теперь, что производная логарифмической функции для любого X из области определения находится по формуле In'x = i. (1) По основному логарифмическому тождеству х = е*" " при всех положительных X, т. е. в этом равенстве справа и слева стоит одна и та же функция (определенная на R^). Поэтому производные х и €^^'" равны, т. е. х' = (е*'‘")'. (2) Известно, что х' = 1. Производную правой части вычисляем по правилу нахождения производной сложной функции 256 11оказнтельп.'1Я н лигарифмическая фувкции и теореме 1 (п. 41): (е*"-*)' = е*"* In' л: = jc In' х. Подставляя найденные производные в равенство (2), находим 1 = д: In' дг, откуда 1п'д:= X ■ Пр и мер 1. Найдем производные функций: а) t/ = ln(5 + 2x); б) i/ = log3x; в) y=\og^2x. бИ1о.,,)'=(!м)' = .Х^, t в) (logT 2 JC)' = г ] = —2— . V 1п7 ) 2х1п7 х1п7 Пример 2. Исследуем функцию f {х) = д:^ In х на возрастание, убывание, экстремум и построим ее график. Функция определена при х > 0. Найдем ее производную: (х) = 2х 1пх + • i =2х1пх + x = 2x^lnx + ij. X > о, поэтому знак производной совпадает со знаком ^ In х + i Отсюда следует, что /'(х) > 0 на промежутке °° j* ” поэтому на промежутке “ j функция возрастает, на промежутке 0; ^1 производная отрицатель- V Vc) на, поэтому f убывает на проме- жутке л]- меняет значит, ; в точке ~ произ- \'е водная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка миниму- ции приведен на рисунке 145. Рис. 145 1 Формула (1) показывает, что для функции — на промежутке (0; оо) любая первообразная может быть записана в виде In х + С. Функция - имеет первообразную и на промеж\тке (-<х>; 0), X это функция In (-х). Действительно, (1п(-х))'=^ (-х)'= * (-1)=-!. 257 Пока.эательная и логариф|М11че(т;ан функции Так как |дс| = jc при х > О и (х| = -х при х < О, мы доказали следующее: На любом промежутке, не содержащем точку О, первообразной для функции * является функция X In |х|. Пример 3. Для функции х+ 3 первообразные равны In |х + 3| + С (на любом промежутке, не содержащем точку -3). Для функции g ^ у общий вид первообразных * In |5х + 7| + + с (на любом промежутке, не содержащем точку ). 5 Пример 4. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями 1/=^» У О, х=1. х=2 (рис. 146). Поскольку In X при X > О есть первообразная для ^, пло- X щадь интересующей нас криволинейной трапеции равна S = In 2 - In 1 = In 2. Упражнений Найдите производную каждой из функций (549—550). 549.— а) у = In (2 + Зх); б) у = log^ ^ х + ein х; г) у = lg X - cos X. In X в) )/ = In (1 + 5х); 550. — а) у = X* logj х; б) у ^ 551. 4 Найдите общий вид первообра.зных для функции: в) {/ = X In х; г) у ^ . 1пх 552. а) /{х) = в) /(х) = 7xt Г 1 . х + 2’ б) Пх)^ Г) /(X)- 1 _ 2 . X X 5 ' 4 Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой Xq, если: а) / (х) = In (х + 1), Хр = 0: б) f (х) = Ig х + 2. х^ = 1; в) f (х) = 2 In X, Х(, - е; г) f (х) = logj (х 1), х„ = 2. 258 Пока.зятельная и .югарифмичсгкая функции 553.— Вычислите интеграл: 7 I ■ I -1 10 554.— Найдите производную функции: dx Зл: I Г ^ 1п(5 + Зх) а) у= ; х^ + 1 в) у = , . ; 1п5х Исследуйте функцию мумы (555—556). на возрастание (убывание) 555.— а) f (х) - /х 1пх; б) Пх) = ’"^; X в) f (х) = 2х - In х; г) f (д:) = X In X, 556.— а) f (х) = X х; б) /(Х)= 2^; Igx в) = v'X г) f (х) = * -ь In X. X 557.-- Вычислите п.7ющадь фигуры, ограниченной линиями: , а) у = ■* + 2, у = о, дг = 2. X = 6; б) У = --2 У = 0, х=-4, х = -1; в) у = у = О, JT = ^, дг = 2; г) у = 3 - ^, у = О, х = -6, х = -3. 43. Степенная функция 1. Степенная функция и ее производная. Вы уже знаете, что для любого действительного числа а и каждого положительного дг определено число дг". Зафиксируем число а на промежутке (О; оо). Определение Функция, заданная формулой f{x)=x‘', называется степенной (с показателем степени а). Если а > О, то степенная функция определена и при х = О, поскольку 0“ = О. При целых а формулой / (х) = х° степенная функция f определена и для х < 0. При четных а эта функция чет- 259 llu^a.ia'l'v.■Ыl8я II ло|'арифм11*а*с1.'ия ф>ньиии ная, а при нечетных а — нечетная. Поэтому исследование степенной функции достаточно провести только на промежутке (0; оо). В предыдущих разделах курса были получены формулы для производной функции у = х" лишь при целых показателях степени, а также = g' остается вывести формулу при про- извольном а. Докажем, что для любого х из области определения производная степенной функции находится так: {х' У=(1х'‘ ' (1) Действительно, так как х = е'" правилу вычисления производной сложной функции получаем: то jc“ = е° Отсюда по In ху _ рО In 1- (а In дг)' = дг“ • а - i = ах" X Формула (1) доказана. При а < О степенная функция убывает на промежутке (0; оо), поскольку (х“)' = саг"'* < 0 при х > 0. При а > 0 имеем (х")' = ах" * > о, поэтому степенная функция возрастает при X > о. Кроме того, надо учесть, что при х = 0 степенная функция равна о и х“ -> о при х 0 и х > 0. Поэтому точка 0 присоединяется к промежутку возрастания, т. е. при а > 0 степенная функция возрастает на промежутке [0; оо). Примеры графиков степенной функции при различных а приведены на рисунке 147. Из формулы (1) следует, что производной степенной функции / (х) = х" является степенная функция {f'(x)= ах" '). Иначе обстоит дело с первообразной степенной функции. При а ^ -1 общий вид первообразных степенной функции «•Q 1 /(х) = х°, как легко проверить, таков: F (х) = +С. а+1 При а = -1, как известно, первообразной функции f является функция F(x) = In |х| -I- С. 260 Пиказательнаи и л<>1'арнф|>1иче<’ка)1 функции 2. Вычисление значений степенной функции. Выведем приближенную формулу (1 + Дд:Г = 1 + а Ддг. (2) Рассмотрим функцию f (дг) = дг“ и воспользуемся приближенной формулой f {x)^f (Хц) + f (Х(|) Дх, (3) известной из п. 20, при х„ = 1 и х = 1 + Дх. Имеем f (Xq) f(l) = 1 и fix) — ах° *, откуда fix^,) = /'(1) = а 1" ' = а. По формуле (3) f (х) = (1 + Дх)" 'а 1 + а Дх. Чаще всего эту формулу применяют для вычисления корней. Полагая а = ^, находим: п I "лЛГГдх ^(1 + Дх)" » 1+ (4) п в Пример. Вычислим приближенные значения: а) tflM; б) ^27.03; в) ’^1000. Воспользуемся формулой (4): ____ I а) Vl.08 =(1 . 0,08)" * 1 + ^-0,08 = 1,02. 27(l , »") . 3 . о® .3(1, » 3,0011 (значение ^27,03 с семью знаками после запятой таково: •^27,03 = 3,0011107); в) заметим, что 2'®= 1024. Имеем: ’^VlOOO ='^2‘® -24 =2 io|l-24 ^2(1- -1 * 1,995. V 2'" I 10 558. 559. Упражнения Постройте график функции f и найдите ее производную (558—559). а) fix) = x б) fix) = x'^; 2 в) /{х) = х’; г) /(х)-х ^ а) /(х) = х 6)/U).(f] ; в) /•(х) = х’<; г) Пл^) =(2х)'"3. 261 Пиказаге.'княя и логарифмичсгкая функции 560. 561. 562. Вычислите с помощью формулы (4) приближенные значения (560-561). I б) V625 • 3; в) г) V48. а) 24»; а) б) в) у!9,02; г) V33. 563. 564. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на промежутке /: 2 I а) = / = [1; 32]; б) в) f{x) = x f(x)^x 3. 2?]; Найдите общий вид первообразных для функции: а) Пх)--’ лг '2; 6) Пх)=х^'^; в) Мдг) = 3х '; Вычислите интеграл: г) f{x) = x^. Г ” Л ! •'•1 а) Jx^dx; 6) | в) J2x ^dx\ г) J 5х** dx. 16 565.— Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у~х'^, у ^ О, х=\; б) у = х — 1. У= » о' X 2 в) у = х у = 0, дг = I, дг = 32; г) у=^, {/ = О, дг = 3. дг = 5. X 566, — На миллиметровой бумаге постройте графики функций у = л[х, у = ifx, у = Мх (д: > 0). 1) Найдите с помощью графика приближенные значения: а) л/2. V3; б) л/З, V^; в) 'ijtb, VS; г) V2; 2) Найдите значения этих корней с помощью калькулятора. 3) Вычислите их приближенные значения, пользуясь формулой (4). Указание: 2,5 = 1,6^ - 0,06: 2,5 = 1,3'’ + 0,303; 2,5 = 1,25^ + ; 2 = 1,4^ -t- 0,04; 3 = 1,4=’ f 0,256; 256 3 = 1,3* ^ 0,1439. 4) Сравните полученные результаты. 567. -4 Верно ли, что функция / (дг) = дг'** обладает свойством: а) в области определения можно найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков; б) яв ляется четной; в) имеет экстремумы; г) существует точка в которой функция принимает наименьшее значение? 262 |1с<1(Й.|ЛТ1‘.1ЬН||Л II .Н)|'Н|1||ф\||1ЧГГКЯЯ функции 44. Понятие о дифференциальных уравнениях 1. Непосредственное инте1’рирование. В ходе решения задач естествознания часто возникают соотношения, связывающие производные некоторой функции (первую, вторую и т. д.), саму эту функцию и независимую переменную. Например, согласно второму закону Ньютона при движении по прямой материальной точки постоянной массы т справедлива формула F = та, где F — сила, вызывающая движение, а — ускорение точки. Пусть сила F зависит только от времени I, т. е. F = F Ц). Вспоминая, что ускорение есть вторая производная координаты по времени (о (О = х" (^)), получаем дифференциальное уравнение относительно функции x{t): F{1) = mx"{t), т. е. х" {t) = FU) т для решения которого сначала находим х' (t) как первообраз-F(t) ную функции , а затем и х (О как первообразную функции т v(t) — х' (t). Общее решение зависит от двух произвольных постоянных. Для того чтобы их найти, обычно задают координату и скорость в какой-либо момент времени t. ■ Пример 1. При вертикальном движении под действием силы тяжести координата h (t) точки единичной массы удовлетворяет дифференциальному уравнению (ось Ог направлена вертикально вниз): Л" (/) = g. Общее решение этого уравнения имеет вид: /((<) = + ^ • где Л„ = Л(0). Vg^v(O). Задав Лр и мы получим уже единственное решение. Вообще первообразную F для функции / можно рассматривать как решение простейшего дифференциального уравнения F'(x)=f(x), (1) где / (х) — данная функция, F{x) — решение этого уравнения, 2. Дифференциальное уравнение показательного роста и показательного убывания. Решение многих задач физики, техники, биологии и социальных наук сводится к задаче нахождения функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению Г(х) = kf (х), где k — некоторая константа. (2) 263 11<и\н:|||ге.п(>иа>1 и '10Ги|1«<фм|1>|рг> ции Зная формулу производной показательной функции, легко догадаться, что решением уравнения (2) является любая функция вида f (jf) = Се*», (3) где С — постоянная. Так как С произвольно, у дифс^юренциально-го уравнения (2) бесконечно много решений. Докажем, что других решений, кроме функций вида (3), уравнение (2) не имеет. Для этого рассмотрим произвольную функцию Л удовлетворяющую уравнению (2), и вспомогательную функцию g(.x) = f (X) е (4) Найдем ее производную: g' (х) = f (х) е-"^ + f (X) (е-**)’ = f (х) е- kf (х) е Ч Подставляя kf (х) вместо f (х) из уравнения (2) получим: g' (х) = kf (х) е - kf (х) е = 0. Из равенства производной функции g нулю следует, что g (х) = С при всех X. Из (4) получаем: / (х) <* ** - С, откуда /(х) = Сс**, что и требовалось доказать. Замечание. В приведенных выше рассуждениях мы предполагали. что функция f определена и удовлетворяет уравнению (2) на всей числовой прямой. В конкретных задачах часто приходится рассматривать функции, удовлетворяющие уравнению (2) только на некотором промежутке. Естественно, что в таком случае формула (3) будет давать общее решение задачи только на промежутке, на котором выполняется уравнение (2). Смысл дифференциального уравнения (2) заключается в том, что скорость изменения функции в точке х пропорциональна значению самой функции в .этой точке. Это уравнение часто встречается при решении практических задач. В Пример 2. (Радиоактивный распад.) Пусть в начальный момент времени масса радиоактивного вещества равна: т (О) = . (5) Экспериментально установлено, что скорость уменьшения массы вещества т (t) со временем i пропорциональна его количеству, т. е. т' (f) = -fern (<). где k > 0. Как показано выше, т(0=Сс*'. Константа С находится из условия (5). А именно при t — о = лг (0) - Се* т. е. С = m^,. 264 По|»'П.(дТ^.1М1Лн и .1*иф.^*|кини Окончательно получаем: m (О = т^е-'". (6) Рассмотренный пример типичен: чтобы выделить из бесконечного числа решений диф(})еренциального уравнения одно, обычно требуется еще ввести начальные условия (в нашем случае это условие (5)). Промежуток времени Т, через который масса радиоактивного вещества уменьшается в 2 раза, называют периодом полурас пади этого вещества. Зная Г, можно найти к. Так как т(Т) = ^гпо, т. е. ^ g имеем е кТ Следовательно, == 2, кТ = In 2, откуда к = Например, для радия Т * 1550 лет. Поэтому (если время измеряется в годах) к = * 0,000447. Через миллион лет от начальной массы радия m^y останется только т(10“) = ШцС « а 0,6 10 ’«“тц. 3. Гармонические колебания. Производную от производной /' функции / называют второй производной функции f и обозначают f” (читается: «Эф два штриха*). Например: sin X = cos X, sin X = cos X - -sin X, cos' X- -sin X, cos" X - -sin' x = -cos x. (7) Вторая производная помогает более подробно исследовать поведение функции. Первая производная есть скорость изменения функции, а вторая производная есть скорость изменения этой скорости. Анализируя формулы (7), можно заметить, что вторые производные синуса и косинуса отличаются от самих функций только знаком. Иначе говоря, обе эти функции удовлетворяют при всех значениях аргумента / уравнению Г (0 = -/ (0- В физике, в частности в механике, большую роль играют функции Л которые удовлетворяют уравнению Г(0 = -о)''/(0, (8) где W — положительная постоянная. Разберем задачу из механики, приводящую к уравнению такого вида. Пусть к шарику массой т прикреплена расположенная горизонтально пружина, другой конец которой закреплен (рис. 148), и пусть в состоянии равновесия координата х центра 265 Пиказате;и>ная и логарифмическая фуик10<и о Рис. 148 О Рис. 149 шарика равна нулю. При перемещении центра в точку с координатой X * О возникает сила, стремящаяся вернуть шарик в положение равновесия. Согласно закону Гука эта сила пропорциональна перемещению х, т. е. F - -kx, где k — положительная константа (рис. 149). По второму закону Ньютона F ^ та, поэтому, учитывая, что при движении по прямой ускорение есть вторая производная от координаты, имеем: та (О = тх" (t) = F, т. е. х” (О = - * ^ (!)• т Иначе говоря, движение центра шарика под действием сил упругости подчинено уравнению (8) при ю = ,/ * . V т Покажем, что физическая величина, изменяющаяся во времени в соответствии с уравнением (8), совершает гармоническое колебание (см. п. 7). Само уравнение (8) называют дифференциаль ным уравнением гармонических колебаний. Проверим, что при любых постоянных Л и (р функция f (t) = А cos ( О, ф е |0; 2л]. Доказательство этого выходит за рамки школьного курса. Произвольные постоянные Л и ф можно определить, если заданы начальные условия f (О) = t/„, f (0) = ^ 4. Падение тел в атмосферной среде. Рассмотрим более сложный пример. При падении тел в атмосфере нужно учитывать сопротивление BOsaT^oca. Экспериментально установлено, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости движения, т. е. сила F, действующая на тело, равна F (0 = mg kh' (t), где т — масса тела, g — ускорение свободного падения, Л (1) — координата на прямой (ось Oh направлена вертикально вниз). 266 Покаэатгльнам и .10»-армфМ11че<'кап фуикини к — коэффициент пропорциональности. По второму закону Ньютона /" = та, поэтому получаем уравнение тг“ (О -mg - Hz’ (О. т. е. г” (t) = g - *’ z'(t), т которюе удобно рассматривать как дифференциальное уравнение о' (t) = g - bv (О. где Ь - >0, т (10) относительно скорости движения a(t) = z'(t). Для того чтобы привести это уравнение к знакомому виду, введем новую неизвестную функцию р(0 = (О. тогда у' (f) -о (oj --о’ (О и уравне- ние (10) записывается в виде -y'{t) = by(t), т. е. у' (t) = -by(t), решения которого уже известны: y(t) = Ce*‘. Следовательно, p(0 = f-{/(!) = f-Се-*'. о п Функция у = е *' убывает на R, при этом ее значения неограниченно уменьшаются при возрастании / (т. е. Се^ -* 0 при / -> со для любого С). Это означает, что скорость приближается е к постоянному значению , которое зависит от величины коэффи- ь циента пропорциональности к и массы т. Например, при затяжных прыжках (парашют не раскрыт!) эта скорость равна примерно 50 м/с, а скорость парашютиста при приземлении (когда к значительно больше) около 4—5 м/с. Рассмотренные примеры позволяют нам понять, насколько мощным аппаратом исследования являются дифференциальные уравнения. Очень часто элементарные законы, управляющие каким-либо процессом, записываются в виде дифференциальных уравнений. Для того чтобы выяснить, как прюцесс развертывается во времени, приходится эти дифференциальные уравнения решать. Упражнения 568.— Проверьте, что функции у (I) является решением данного дн^х{)еренциального уравнения: а) у (0 = 3 cos (2t + л), у” = -4у; б) «/(/) = 4 sin 1^^/-|j, у” = ~'^у; в) У (0 = 2 cos it, у" + 16.V = 0; f) 1/(0 * sin (0,1^ + 1), «/" + 0,01»/= 0. О 267 П(1ка.1ато.1ьнаи и л<||а|шфмнчеп.ап функции 569. — Докажите, что функция у - Se®-* удовлетворяет уравнению у' = Зр. 570. — Докажите, что функция у = Те удовлетворяет уравнению у' = -2р. 571. ^ Докажите, что функция у = Зе удовлетворяет уравнению . У' = -7У. 572.- 573. Найдите какое-нибудь отличное от нуля решение дифференциального уравнения: а) у" = -25р; б) I У" + 4у = О; в) 4у" + 16р = О; г) у"=-1 у. Напишите дифференциальное уравнение гармонического колебания: а) X = 2 cos {2t - 1); б) х = 6.4 cos ^О.If 4 ” j; в) X = 4 sin j; г) х = 0,71 sin (0,3f - 0,7). 574. — Докажите, что сумма двух гармонических колебаний Xj (f) -А^ cos (to,/ + ф|) и х^ (/) ^2 cos {(О2/ 4 мнчм-ка11 фуикпни тура одного тела стала 80‘', а второго — 64°. Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна 25°? 580.— Моторная лодка движется по озеру со скоростью 30 км 'ч. Какова скорость лодки через 3 мин после выключения мотора? (Воспользуйтесь тем, что скорость лодки v (0 удовлетворяет дифференциальному уравнению v' (f) = -kv (t), С где к = , V — скорость в метрах в минуту.) Сведения из истории 1. О происхождении терминов и обозначений. К умножению равных сомножителей приводит решение многих задач. Понятие о степени с натуральным показателем возникло уже в Древней Греции (выражение квадрат числа возникло при вычислении площади квадрата, а куб числа — при нахождении объема куба). Но современные обозначения (типа o'*, а®) в Х\11 в. ввел Декарт. Дробные показатели степени и наиболее простые правила действий над степенями с дробными показателями встречаются в XIV в. у французского математика Н. Орема (1323—1382). Известно, что Шюке (ок. 1445—ок. 1500) рассматривал степени с отрицательными и нулевыми показателями. С. Стевин пред- I дожил подразумевать под а" корень Va. Но систематически рациональные показатели первым стал употреблять Ньютон. Немецкий математик М. Штифель (1487 1567) дал опре- деление а° = 1 при а 1 и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень. (Отсюда происходит и слово потенцировать, часто употребляемое при переходах типа loga~ ^ ^ “ ® свою очередь тер- мин exponenten возник при не совсем точном переводе с греческого слова, которым Диофант обозначал квадрат неизвестной величины. Термины радикал и корень, введенные в XII в., происходят от латинского radix, имеющего два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили: «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)*. Знак корня в виде символа V появился впервые в 1525 г. Современный символ введен Декартом, добавившим горизонтальную черту. Ньютон уже указывал показатели корней: . Слово логарифм происходит от греческого ксгуос, (отношение) и dpiOpoq (число) и переводится, следовате.чьно, как отношение чисел. Выбор изобретателем (1594 г.) логарифмов Дж. Непером 269 11ока.и4тсл|.наа и лога|»|ф>1н<1сскмп функции такого названия объясняется тем, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое — геометрической (см. ниже). Логарифмы с основанием е ввел Спейдел (1619 г.), составивший первые таблицы для функции 1п х. Название более позднего происхождения натуральный (естественный) объясняется «естественностью» этого логарифма. Н. Меркатор (1620— 1687), предложивший это название, обнаружил, что для любого дГц > 1 число 1п Xfl — это площадь фигуры, ограниченной гиперболой У - \ осью абсцисс и прямыми х - 1, х = Xq. 2. Из истории логарифмов. В течение XVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (в частности, при определении положения судов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали, как нетрудно понять, при выполнении операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению (была составлена, например, таблица квадратов целых чисел от 1 до 100 000, позволяющая вычислять произведения по формуле flfc = ^ (о + б)^ - * (а Ь)^) большого успеха не приносили. 4 4 Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей. Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство — таблицы логарифмов,— резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. (Вплоть до самого последнего времени, когда на наших глазах повсеместное распространение получает электронная вычислительная техника и роль логарифмов как средства вычислений резко снижается.) Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Не пером (1550 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552—1632). В таб.пицы Непера, и.здан ные в книгах под названиями «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) и «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619 г.), вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 90'’ с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, по-видимому, к 1610 г., но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамеченными. 270 Лгч.а.зятельнял м лигар||фмн<1е1 i-3n фгпкп1т Непер Джон (1550—1617) — английский математик. Изобретатель логарифмов, составитель первой таблицы логарифмов, облегчившей работу вычислителей многих поколений и оказавшей большое влияние на развитие приложений математики. Одна из важных идей, лежащих в основе изобретения логарифмов. была уже известна. Штифель (1487 — 1567) и ряд других математиков обратили внимание на то, что умножению и делению членов геометрической прогрессии .... а^, о о *. 1, а, а^, а®, ... соответствуют сложение и вычитание показателей, образующих арифметическую прогрессию .... -3, -2, -1. О. 1, 2, 3.. Но одной этой идеи недостаточно. Например, «сеть* целых степеней числа 2 слишком редка; многие числа ♦остаются без логарифмов», поэтому необходима была еще одна идея: возводить в степень числа, очень близкие к единице. Заметив, что степени 1+ ^ I и|1+-‘ I при больших значениях п близки. Непер 10" ) I, 10" у и Бюрги приняли аналогичное решение: Непер брал в качестве основания число ( 1 - ^ ], а Бюрги — число ( 1 -♦ ^ 1. I 10" У I 10V Дальнейший ход их рассуждений и описание схем вычислений пересказать довольно трудно как потому, что имеется много неп}х»стых деталей, так и потому, что вообще тексты XVI в. довольно туманны. Заметим только, что фактически далее Непер переходит к основанию ( 1 - ^ | , а Бюрги — к основанию \ 10" ) , чЮ’ ('%о0 ■ Это не изменило существа дела (как вам известно. log , „ х = —— log- X, и поэтому указанные переходы приводят о 10" лишь к переносу запятой в логарифме), но позволило несколько упростить вычисления и сами таблицы. 271 Ипкахательнал и логарифмическнн фуннпни Таким образом, по существу, оба изобретателя логарифмов пришли к выводу о целесообразности рассмотрения степеней вида 1^-L м м где М — очень большое число. Рассмотрение чисел такого вида приводит к известному вам числу е, которое определя- (определение предела последовательности лось как lim Я * (■4) дано в «Сведениях из истории» к главе III). Осталось уже немного до идеи принятия в качестве основания логарифмов числа е (основания таблицы логарифмов Бюрги совпадает с точностью до третьего знака с е, основание таблицы логарифмов Непера близко к числу ' ). е Первые таблицы десятичных логарифмов (1617 г.) были составлены по совету Непера английским математиком Г. Бриггсом (1561 —1630). Многие из них были найдены с помощью выведенной Бриггсом приближенной формулы n(Va -1) ° mlVlO 1)’ достаточно точной при больших значениях тип. Бриггс брал значения т и п в виде степеней двойки: это давало ему возможность свести вычисление Va и 'VlO к последовательному извлечению квадратных корней. Другая идея Бриггса позволяет находить значения десятичных логарифмов некоторых чисел самостоятельно, без помощи таблиц. Целая часть логарифма целого числа на единицу меньше количества цифр в самом числе. Поэтому, например, для нахождения Ig 2 с точностью до трех знаков достаточно найти число цифр . Это не очень трудно. При составлении таблиц логарифмов важную роль сыграло найденное Непером и Бюрги соотношение между приращениями Дх и Ду в произвольной точке Xq для функции у = log^ х. Отвлекаясь от деталей их системы изложения, основной результат можно ^ к выразить так: Дх где k — некоторая постоянная. Если основа- ние логарифмов — степень 1 + где п — достаточно большое ^ 1 Дх х" Устремляя Дх к нулю, приходим к дифференциальному урав-1 f X In X + с. Существует система изложения, при которой In Хц •^0 dx число, то ция с самого начала определяется как т. е. In Х(, — площадь I 272 Ппкяэмтольпая и логнрифмичегкан ф>нкиии криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой, осью абсцисс и прямыми X — I и X = дгр. Вывод известных вам свойств логарифмов, исходя из этого определения, не очень простая, но доступная вам задача. Вопросы и задачи на повторение 1. 1) Дайте определение корня п-й степени из числа. Что такое арифметический корень п-й степени? 2) Найдите значение: а)\Г^; б)Мб^; в) V-128; г) д)("7^)". 3) Решите уравнение: а) X® = 125; б) х^ = 64; в) г) х^ =-16. 243 2. 1) Перечислите основные свойства арифметических корней. 2) Преобразуйте выражение: а,й»Л: 3) Какое из чисел больше: а) Vl^ ИЛИ \fi; б) 2*°® или 100^°; в) или v^; г) Vs или \[3 7 3. 1) Дайте определение степени с рациональным показателем и перечислите основные свойства таких степеней. 2) Найдите значение: I v6 а) ; б) V64:2'b . (2»°) ; в) 16^; г) 3 4 . 3) Какое из чисел больше: 5 2 а) Vl6 или 2* \ б) 3 ® или 9 4 .1 -2 в) 0,3^ или 0,3 г) 5 ® или 5 °'®? 1) Перечислите основные свойства показательной функции. 2) Постройте график функции: а) у = 4^; б) ; в) у = 6*; г) • Va 3) Какое из чисел больше: •Ji а) 20 " или 2 * ; б) 1,2 в) или j • 0,3 " или 0,3 или 1,2; з-> 273 11оКЯ.ШТ«>.1>.ИЯМ и Jinr;ipil(]lMII4l4.Ki>n ihvXMlrtM 5. 1) а) Найдите корни уравнения а* = а*" (а > О, и * 1). б) Решите неравенство о* > а*" (рассмотрите два случая: 0<а<1 иа>1). 2) Решите уравнение: а) 27' =9®; б) = 18; в) =V2; г) 3**2_зх^ 72. 3) Решите неравенство: а) 5'*-' > }; б) 0,2'“ ^ >5. О в)3'<1; г) >4. 6. 1) Дайте определение логарифма числа. 2) Найдите: а) logj 16 \[2; б) logo2 25; в) Ig 0,01; г) log, ^^3. 3 3) Запишите основное логарифмическое тождество. С его помощью вычислите: ( ч 1 Н log 2 3 IJ ; в) 5''*''’*»^; г) 0.2*'*°*«*®. 7. 1) Перечислите основные свойства логарифмов. 2) Прологарифмируйте по основанию а выражение (с > 0, Ь > 0): а) 166^ Vc при U = 2; б) VToo ь" при а = 10; , 0,49ЬЗ г) , ^ при о = 0,7. с® 4с - 27л/й „ в) при а = 3; с* 3) Найдите х, если: а) logg jr = 2 logg 7 + 1 logs 27 - ^ logg 16; б) logg Jc = 2 log2 5 - ^ logg 8 + log2 0,2; о в) logs ^ 1'^ + 3 'oBs 8; r) Ig X = 1 + 2 Ig 3 - I Ig 125. 8. 1) Дайте определение логарифмической функции и перечис- лите ее основные свойства. 2) Постройте график функции: a)i/ = log^x; б) «/ = log,(x-D; 5 в) «/ = logs г) I/ = log, X + 1. « 274 Показательная и логарифмическая функция 3) Какое число больше; а) ig 7 или 3 Ig 2; 6) log, 5 или log, 6; 3 3 в) logg 5 или logg 6; г) logg 3 или logg 2? 9. 1) а) Укажите все корни уравнения log^ д: = fe (а > О, а 1). б) Решите неравенство log„ х > log^ с (рассмотрите два случая: 0<а< 1, а > 1). 2) Решите уравнение: а) logg (дг 15) -- 4; б) Ig* х 2 Ig дс = 8; в) In* (х - 2) = 4; г) Ig (х* - 2х - 4) = Ig 11. 3) Решите неравенство: а) log„ g X > 2; б) Ig х < - 2; в) In X > - 3; г) logg X < 1. 10. 1) Запишите формулу производной для функции у = е', У = а* 2) Найдите производную функции: а) о (х) = 5 - 2е^ ~ б) и (х) = 3 5^* в) g(x) - е г) f(x) 3) Найдите общий вид первообразных для функции: а) V (х) = - 7е в) g(x) = e б) и (X) = г) f (х) = е^. 11. 1) Какую производную имеет функция у - log^ х? Найдите общий вид первообразных для функции /'(х)=^. X 2) Найдите производную функции: а) у - X In Зх; б) у = logg (7 - 2х); в) у = 2 logg х; г) у=1п ,3 ' - 5 3) Найдите общий вид первообразных для функции: а) /^(х)= 1 • I - . б) g(x) = 5х х-3 в) U (х) = “; г) Л (х) = . X X f 1 12. 1) Какую производную имеет степенная функция у = дг"? 2) Постройте график функции и найдите ее производную: а) у = X*; б) у = X *; в) у = х “•*; г) у = х'^*. 3) Найдите приближенное значение; а) М32,02; б) ^127,9; в) ^64,3; г) \j80,6. 275 Иокп^мтельнйя и логарифмическая фv■lкuии 13. 1) Какие уравнения называют иррациональными? 2) Решите уравнение: а) -Jx-3=2x-7‘, б) ^2х + 3 = 2; в) x--Jx=12; г) + 3 = л/33+ . 3) Решите систему уравнений: /х ~л/у =3, х-у=9\ 'fx + ^ = 4., а) в) х-у = 8; б) г) ДГ+ =6, ху = 16; х’^+у^Т, х^у = 12. 14. 1) Что называют решением системы двух уравнений с двумя переменными? 2) Решите систему уравнений: [ х-Зр = 5, [ 52х у =0,2, а) 1 б)' в) 06j/ - X _ 1 . L ~4’ I 2x1/ = 9, г) 5*- ^ = 125; 3^'^'*' =-/з. 4^-21, =1; - ^5х-4у = 15. 3) Решите систему уравнений: a) \x-y=4, 1 log2 X - log2 У = 1; 6) b) |log3(5x-y) = 2. 1 xy = 2; r) 3' 2» =1, IgJf f lg(J/ + 5)=2; |x2+i/2 =26, 1 bg6 X = 1 4 logs !/• V глава Задачи на повторение 2. 3. 4. б. V * I ' I ' I §1. Действительные числа 1. Рациональные и иррациональные числе Верно ли утверждение: а) если натуральное число делится на 6, то оно делится на 3; б) если сумма двух чисел — четное число, то каждое слагаемое четно; в) если произведение двух чисел равно нулю, то каждый множитель равен нулю; г) если куб некоторого числа делится на 8, то это число четно? Докажите, что сумма трех последовательных натуральных чисел делится на 3, а их произведение — на 6. К числу 523 допишите две цифры справа так, чтобы полученное пятизначное число делилось на: а) 3 и 5; б) 8 и 9. Докажите, что число 10*®- 1 делится на 3 и 11. В двузначном числе цифра единиц на 2 больше цифры десятков. Само число больше 30 и меньше 40. Найдите это число. Докажите, что если дробь несократима, то несократима ь и дробь . а + Ь Докажите, что: а) |а| = |-а|; б) д: < |x|; в) \х\^ - х^. Найдите значения выражений (8—9). 1 2,75:1.1+ 3 а) 2.5-0,4. ) ^l,4-3,5:lij:2,4 + 3,4:2 б) г) 3^ : 10 + 0,175: --3 20 j 3 11 51 1 + 17 56 1 2 0,25 6- 46 1+ 2,2 10 277 ЗнЧнчи ни iHinmiMNitH' 9. 0.4^ +0.1^ +2-0,4-0,1 б) в) 0.62 + 0Д=*-2 0,6-0,1 1,22 _ 1 g2 1,2 0,2-1,2 0,8' \2 1,5-1,52 10. Укажите верные цифры в записи приближенного значения числа: а) 3,82 + 0,1; б) 1,980 10^ ± 0,001 • Ю''; в) 7,891 ± 0,1; г) 2,8 10 ^ ± 0,3 10 *. 11. Пользуясь формулой (1 -1 jc)" « 1 -t- пх, вычислите приближенно; а) 1,002^; б) 0,997“; в) 2,0043; г) 3,01®. 12. Известно, что а » 11,5, 6 а 3,8. Найдите приближенное значение выражения: а) а ^ Ь\ б) За - Ь; в) аЬ\ г) “. h 13. Запишите в виде обыкновенной дроби: а) 2,(3); б) 0,(66); в) 1,0(8); г) 1,(33). 14. Докажите, что не является рациональным каждое из чисел: а) -v/5; б) 2 л/7; в) -Уб -11; г) /7 15. Верно ли, что сумма (произведение) чисел а и fc является рациональным (иррациональным) числом, если: а) а и & — рациональные числа; б) а и Ь — иррациональные числа; в) а — рациональное, а Ь — иррациональное число? 16. Найдите с точностью до 0,01: а) ^2 + ^; б) у/5-?; в) г) 4^6-1. У 7 О II 17. Расположите числа в порядке возрастания. Укажите, какие из них являются рациональными, а какие — иррациональными числами: а) V3; -2; -1,7; О б) log2 3; -1; -Л; О в) 0,(2); Ь -f; Ь 2, г) е; -1.(6); л/Ш; Ig 100. Сравните числа (18—19). а) Г и Л; б) (V5 + 2) и ЛТ; Igi в) log3 7 и log, 3; г) (Л+ 3) и а) 15'°*='и 10'°*®'"; б) (л/2+л/З) и (Л0--У3); в) sin 2,1 и sin 7,98; г) (V8 + Л) и (V3 +VTO). 278 За.чачи на повтпренир 20. Докажите рациональность числа: у[з + -Ji о гс а) -2V6; V3 -^|2 б) (V2 + D* +(1-V2)2 -(л/7 + 1)(л/7-1); в) •‘I'f -М-. V7->/5 г) (3 Vl8 + 2 л/8 + 4 >/50): >/2. 21. 22. 23. 24. 25. 2. Проценты. Пропорции Найдите число х, если: а) х составляет 2,5% от 320; б) 2,5% числа дг равны 75; в) х равен числу процентов, которое составляет 2,8 от 84; г) х составляет 140% от 35. За 1987 г. выпуск предприятием продукции возрос на 4%, а за следующий год — на 8%. Найдите средний ежегодный прирост продукции за двухлетний период. Из данных четырех чисел первые три пропорциональны числам 5, 3, 20, а четвертое число составляет 15% третьего. Найдите эти числа, если второе число на 375 меньше суммы остальных. За осенне-зимний период цена на овощи возросла на 25‘/о. На сколько процентов следует снизить цену весной, чтобы летом овощи имели прежнюю цену? Найдите неизвестный член пропорции: 26. а) 12:^х в) Ре а) в) 5 . 36’ 0,13 X _ 26 . 3 ' ’ г) X 2.5 " щите х-2 3 уравнение; ^ 6. б) X 2,5 х’ JT+ 5 х-3 _ 6,5. 4-х X 2 “ 1.5’ г) 1,2 б) X : (-0,3) = 0,15 : 1,5; -6,2 15 ■ 1,2’ 5 x-h З" 27. Через точку Е стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне АС. Найдите: а) отрезки, на которые прямая делит сторону ВС, если АВ - 22,5 см, АЕ = 18 см, ВС = 15 см; б) площади фигур, на которые делится треугольник АВС, если АВ = 7,5 см, АЕ - 5 см, а площадь треугольника АВС равна 72 см^. 279 За.та’111 ма iionxopeinie 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 3. Прогрессии Найдите сумму 20 членов арифметической прогрессии, если первый ее член равен 2, а седьмой равен 20. Между числами 4 и 40 найдите такие четыре числа, чтобы вместе с данными они образовали арифметическую прогрессию. Докажите, что числа . ^ , * являются тремя logs 2’ loge2 log,2 2 последовательными членами арифметической прогрессии. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 26, а произведение второго и четвертого ее членов равно 160. Найдите сумму шести первых членов прогрессии. Упростите выражение (а - с}^ + (Ь - с)'^ + (б - - (а - d)*, если известно, что числа а, Ь, с, d, взятые в указанном порядке, составляют геометрическую прогрессию. Докажите, что числа ^ ^ и ^ образуют геометрггче- V2 - 1 2 - V2 2 скую прогрессию. Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третьего равна 6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии. Найдите число членов конечной геометрической прогрессии, у которой первый, второй и последний члены соответственно равны 3, 12 и 3072. Знаменатель конечной геометрической прогрессии равен ^, 3 I 121 четвертый ее член равен , а сумма всех членов • Сколько членов в этой прогрессии? Найдите четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую, если сумма крайних чисел равна 14, а сумма средних 12. Найдите знаменатель и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой Ь, = -Js, Ь-^ = уЗ V 3 + 1 Сумма первых трех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 10,5, а сумма прогрессии равна 12. Найдите ее первый член и знаменатель. Три числа, каждое из которых является степенью с основанием а (а > о, а* 1), составляют геометрическую прогрессию. Докажите, что логарифмы этих чисел составляют арифметическую прогрессию. 280 .in.iu'm па 1|ов7оргпт' §2. Тождественные преобразования 4. Преобразования алгебраических выражений 41. Разложите на множители: а) + 2а - 2Ь - 2аЬ; б) д:® + ({/ - 1) д: + у, в) а® - 8; г) + 1) + У^- 42. Докажите, что: а) n‘^ + 2л^ - п‘‘ - 2п делится на 24. если п в N; б) + 4л + 3) (л^ + 6п + 8) делится на 24, если п е N; в) - п делится на 6, если п е N; г) л^ - 4л делится на 48, если п е N, п — четное. 43. Сократите дробь: а® + -а-\ а) в) +2а+ 1 2а^-5а ( 2 б) г) + JC-12 х^ +8х+ 1б’ хЗ-27 44 аЬ-2Ь-За + б' ' х^у+3ху+9у Упростите выражения (44, 45). . а) foi + n- 1 : f ( m + л ) (^m + л п~т т^-п‘ } б) «’’f ; а + Ь а + Ь -ь^ в) г) X______ 8 Д.2 _4 Д.2 » I- + 2х j х^-2х х+8 4-х х+ 2 ’ 2с с^ + Зс + 2 с^+4с+3 с^+5с + 6, (с-3)2 + 12с 2 45. a)f 3 _ 2_______ \2x-y 2х+у 2х-5у) 4х^-у‘‘ ^ 2а 1 J 3 ] «-Л2 . [ + 6 а-2) |^2o+lJ 3(3-0)’ ] ,(s* ]. 3-k { 3-k) б) в) 0-3 о^-5а X* -8 „1 2» 1 + 2х (4-х2) > - ; х-2 I 2-х у2 д-у2 ^27- 3+fr fr2_3jt 3- 281 За ЛАМП па nouTOfK'HiK' 5. Преобразование выражений, содержащих радикалы и степени с дробными показателями 46. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: а) б) V3 + /5 в) ,^=; г) , vl5 vT + 'n/Z 47. Вычислите: а) д/(>/5-2.5)2 _ ^(i,5_V5)3 _ i-_ (5л/3 + ч^)(5-^24) б) ----------7-----: ^75-5^12 в) [yj{yf2 - 1,5)2 _ 2^(1-V2)3 ]%0,75: г) (11 + 2 V30). 2 v/5 + Упростите выражения (48—51). 48. а) “—+- 2 ].Л^2. V + 2 о - / а + 2 49. [yfp+^p+ 1 Vp-V^-1 , 1 f r>/F-l_>Tc + l Ч 2 2>/;;j ivc + 1 Vc-i ,Лл-№ у Vfe + 1 j лА*-1 6) (Va + /b)2-(2Vb)2 _Va-Vb /a + Jb ^ в) г) a-b -Vj^ 32ft/fc ~T ! V fl V 'Jx-yfy •Jc^ + >/aft2 -Va2ft — -v/ft® Vft^ + Ve'* ft - Vaft"* - Vo® 282 3h ta«m ни повторение x-l 50. a) : + 4-; ‘ , x'*-i X X+ ДГ* + 1 6) 1 I ah I I a+ ^ I I (ab)< -b2 a-b b) r) I I Zx+ xiy^ 3x ' 3 я \ Л-2 _^/2 Х-У * 1 1 ^ х~х'‘-у‘- 1 1 +у^ j l-c-2 t 1 ^c*-c ^ 1 2c^ (-Д) • 51. a) 7 5 Z -I a* —2fl*fc* + efts 5 « I 2 2 дЗ —fiib^ - ufts + о s^ a 3; 2(x«-V*) 6) b) , Z{aby^-Zb \ + a — b -X-y {х ■‘у * -X <у S с-1 1 1 1 : • + 1; 3 1 1 ’ с* + £• S С2 + 1 1 ( ! -V y-x I V ’ xs -ys 2 + fts 3 2 flS +fts 6. Преобразования тригонометрических выражений Упростите выражения (52, 53). 52. а) tg^ а - sin** и - tg^ а sin^ а; б) ^sin^ Р (1 + ctg (3) + cos^ Р (1 + tg р); в) (3 sin а + 2 cos а)^ + (2 sin а — 3 cos а)^; -ctgp cosp. sin*^ р 283 Залачи на повторение 53. а) 2 tg а - tg (а - п) + ctg j; sin(n-a) ctga 1 - cos 2a + sin 2a 6) „ = tg a; 1 + cos 2a + sin 2a . sina - sin 3a r) =-ctg2a. cosa - cos 3a . cos a . sin(| + a] tg(n-P)cos(a-(3)tgf^-p] b) _ _________________. sm(|-p)ctg(|^«)tg(f+ a) 3n ^ . Зя 16я „„„ 13n tg — + a sin — sin cos - - r) ^ 2 J 2 9 18 ctg fn-a) cos sin*^- cos2n Докажите тождество (54, 55). 54. a) tg a tg (a + p ) . cos(a + p) + cos(a -P) „п(-?7рйГй;*гщ==‘^® 55. a) g- + I cosa = cos при n < a < 2n; 6) Jl-^|-|cos2a = cos -1 j при л < a < 1 "P" '2" ^ r) ~ (^ 4^) ^2” 56. Докажите справедливость равенства: а) cos^cos^’^cos^^'' = |; б) tg 20° - 4 sin20° sin50°= -2 sin20°; B) . -4 sin70°= 2; sm 10° r) cos 20° + 2 sin^ 55° - л/2 sin 65° = 1. 57. Докажите справедливость неравенства: а) tg д: + ctg X > 2, если 0 < jr < ^; sin f - + a 1 б) ----------------;-+2sin“<2 4/3; sinf sin|5"-“l 2 V12 4) V12 4J 284 ... IK*1II lia ПОИТ«ф*-И»Г в) (1 + sin ф + cos ф) (1 - sin ф + cos ф) (1 + sin ф -- cos ф) (sin ф + cos ф - 1) < 1; г) 2 sin 4о sin 2а + cos 6о > -1. Вычислите (58, 59). р 58. а) cos'* а + sin^ а, если sin 2а = -; О 1-2 sin^ ^ б) --------если tg ” = т; 1+sina 2 в) cos а, если sin а tg а = |; г) sin а, cos 2а, cos если tg ^ = --J2, я < а < 59. а) Ig tg !■= + Ig tg 2^ + ... + Ig tg 89°; 6) Ig tg 1° Ig tg 2° • ... Ig tg 89°. 60. Сравните число с нулем: а) Ig sin 32° - Ig cos 7° • Ig tg 40° Ig ctg 20°; б) Ig tg 2° + Ig tg 4° + Ig ctg 2° + Ig ctg 4°. 61. Найдите сумму tg^ ^ + tg^ ^ + tg^ если b c+ a a b+ c' COS X = . “ , cos у = " , cos 2= ~^,a+b+c*0. c a+ b’ 64. 7. Преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы Сравните числа (62, 63). 62. а) 3'*о« и 430°; в) и 2300; б) -logs е и 7 5 г) Iog4 V2 и logs rbgal. 63. а) logs 2 + logs (2 + 7); б) log4 5 - log4 3 и log4 (5 - 3); в) 3 logy 2 II logy (3 - 2); r) logs 2 и logs Упростите выражение: 1-1 logo 4 ^ a) 81* 3 +25‘°*ii!5 3; 6) -52 -flO. 65. Запишите число в виде десятичной дроби: а) 49’-'°«j2 + 5; б) Збз '°*®* + 2‘‘°«**о. 285 Зиднчи ил иовтпреиие Ig8+Igl8. ' 2lg2+lg3’ в) г) (2 log,, 2 + log,, 3) (2 log,2 6 - log,2 3). 66. Найдите значение выражения: б) 2 log„ 3 3-2 log,, д 10; 3lg2+31g5^ Igl3-lgl30’ 67. Прологарифмируйте по основанию а выражение: а) 256^ \fc^ при а = 5; б) при а = 0.2, Ь > о, с > 0. cVc^ 68. Найдите х, если: а) log^ X = 2 log^ 10 4 ^ log^ 81 - I log., 125; б) log, x= 2 log, 16-log, 8 4 log, 28. я ^ 3 3 3 7.832 ■ V 12,98 * 5,2562 6) 69. Вычислите при помощи таблиц: 102.32 V92.14 -6.341' 70. Упростите и найдите приближенное значение выражения logg 2 log^ 3 logj 4 - log„ 5 - ... log,„ 9. 71. Известно, что log2(Vs 4 1) 4 logglVo — 2) = Л. Найдите сумму log2(-\/3 — 1) 4 log2(-y6 4 2). §3. функции 8. Рациональные функции 72. Одно основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, угол при основании 30‘ . Задайте (1юрмулой: а) площадь трапеции как функцию боковой стороны; б) периметр трапеции как функцию ее высоты. 73. Боковое ребро правильной треуго-пьной призмы равно сторо не основания. Задайте формулой: а) объем призмы как функцию стороны основания; б) площадь боковой поверхности призмы как функцию объема. 74. Материальная точка, двигаясь прямолинейно, совершает гармонические колебания. Задайте формулой: а) координату точки как функцию времени; б) скорость точки как функцию времени. 286 За.1й'1и и» iiOHnipniiu' 75. На рисунке 150 изображены графики движения двух туристов, которые вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В. а) В какое время туристы прибыли в пункты А и В7 б) Сколько времени был в пути каждый из них? в) В какое время каждый турист прибыл к месту остановки? г) Сколько времени каждый из них отдыхал? д) С какой скоростью двигался каждый турист до остановки и после нее? е) Какова средняя скорость движения каждого туриста? 76. По графику функции (рис. 151) ответьте на вопросы: 1. Каковы промежутки возрастания функции? 2. Каковы промежутки убывания функции? 3. Назовите точки максимума и минимума функции. Какие значения принимает функция в этих точках? 4. Каковы наибольшее и наименьшее значения этих функций на отрезке [-2; 2J? 5. В каких точках функция не является непрерывной и каковы значения функции в .этих точках? 6. На каких промежутках функция непрерывна? 7. Какие из этих функций четные и какие нечетные? 77. Найдите область определения функции: я) у = в) у = х-г + 2х-s’ x'^-J б) у = Г) У = X* -9x2+20 287 Задачи на повторение Зх2-5х+4 а) б) У‘ 3 / 7 2 7 > 1 i - — —1 ' 1 -6 -5 -4 ! -.4 '-2 -1 а 1 1 ! 2 : .4 ' 4 ft ft 1/ J_ 2 Г - J / 3 Г > г* IL в) Рис. 151 288 Задачи на повторение 78. Найдите промежутки непрерывности функции: х-4 а) у= —; в) ^ 1 X б) .v = JC“’ + х-\ г) у = Sx^-2x^ +5 79. Докажите четность (нечетность) функции: б) а) у = х^-3х; в) у = X* (х^ + 2); г) У = |jc| + 2 80. Найдите промежутки знакопостоянства функции: а) 1/ = х-1 Зх ' б) |/ = jr=i-4jt-5 ч 1 2х-3 в) S-1- г) У = 2х^ — 5х + 2. 81. Найдите промежутки возрастания (убывания), точки максимума и точки минимума функции: а) у = 4х^ + 3дг—1; б)(/ = 1 — - ; х+4 в) у = (X - 1)^ - 2; г) у = х-1 Исследуйте функцию и постройте ее график (82, 83): 82. а) у = Зх - 5; в) у = 2-^х; 83. а) у = 2- х+1 в) у = X* +1 б) I/ = 2х^ - 7х + 3; г) у = 12 - 4х ~ х^. б) у^(х- 2Г - 1; г) f/ = 4 - (х + 2)^ Постройте график каждой из функций (84 - 86). 84. а) I/ = Зх - 2; б) у = х^ - 4х - 5; в) I/ = ^ — 1; г) у = х® + 2. 85. а) I/ = Зх + |х|; в) у = 2х - |х - 3|; б) у = |-х^ - X ч 2|; г) у = X* — 4 |х| + 3. 86. а) y=Y^' б) «/= \ +2; в) у=1^^; г) |х| X х** 87. Имеют ли общие точки графики функций: б) у = ? и у = 4 (X + 1); г) у = \ и у = х2 - 2? х^ а) у = х^ и у = х + 6: в) у = х'* и у = 2х^ + 1; 289 3a;wi4ii IIU попторские 88. Докажите, что уравнение имеет корень, принадлежащий заданному промежутку /: а) лгЗ - бд- + 2 = О. / = [0; 1]; б) - 3x2 + I = О, J ^ Jlj 2]; в) х'^ + Зх = 5, / = [1; 2]; г) 4 + 2x2 - х^ = О, J ^ |_1. 2]. Решите графически уравнения (неравенства) (89, 90). 89. а) 4 - Зх < X + 2; б) х2 - 2х = -х; в) ^=4x; X г) х2 + 2х + 2 > X + 1. 90. а) уЗ - 8 . ~х-1’ б) |1 - х| = 2-|х|; в) х2 =1; X г) |х-1| = 3 - 91. График функции у - ах + Ь проходит через точки А (2; 1), В (5; 10). Найдите а к Ъ. 92. По графику квадратичной функции (рис. 152) определите знаки коэффициентов о, Ь, с к дискриминанта D. 93. Может ли линейная или квадратичная функция быть: а) четной; б) нечетной; в) периодической? 94. Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функций: , х+1 а) у = к1 ’ в) x*-i б) у = х2 -X |х| + 3; г) у = 2х® х^ - Зх + 8. 95. Является ли четной или нечетной функция: а) у - 5х* - 2x2 _ 3j б) у = 4х® - 2х^ + х; в) У= 2 +1; г) {/=- 3 ? 9. Тригонометрические функции Найдите область определения каждой из функций (96, 97). 96. а) у = в) у = 2 . 2 * COS*' X 6) у = л/З . и * yf 3 cos X - 2 г) У = 1 1 + 2 sin2x’ sin * cos * 2 2 290 на ипвторснне а) б) г) Д) Рис. 152 97. а) у = .y/sinjc cosjc; б) y=^fxtgx; в) у = г) у = -Jsinx + -Jcosx. Найдите область значений каждой из функций (98, 99). 98. а) у - 1 - 3 sin 2; б) у = 2 cos х tg х; в) у = 2 + 3 cos 5дг; г) у = 2 |sin х| - 1. 291 Задачи на повторение 99. 100. в) У = в) у = 1 б) y = ^l-cosAx; г) y=tgx + ctg X. 101. 1+ sin2x’ 3 . cosx-l’ Нгшдите промежутки знакопостоянства функции: а) i/ = 3cos^x+jj; б) у - 1 - tg Зх; в) = 1 - л/2 sin I; г) у = 1 + 2 cos 2х. Какие из данных функций являются четными, какие нечетными: а) у= tg3x-ctg б) у = ; 2 X в) у = sin г) у= ®*2^-С08Х? X 102. 103. Х2-Г Среди данных функций укажите периодические и найдите наименьшие положительные периоды таких функций: а) у = 1 - sin 5х; б) у = х sin^ х - х cos'^ х; в) у = 3 tg ^ I - J j; г) у = (sin х + cos xf. Найдите промежутки возрастания (убывания), точки максимума, точки минимума функции: 2 . а) у = 1 + sin б) у = 1 - cos X ’ sin^ X. 104. 105. 106. 107. в) у = 0,5cos - 2х j; г) у= ^1-si Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют): а) у = cos 2х + sin^ х; б) у = 1 - 4 sin Зх; в) у = sin X - cos х; г) у = 1 + |tg х|. Постройте графики функций (105, 106). а) у = 2 sin^ I; в) у = 1 + 2 cos 2х; ^ IXI ein X а) ■: б) у = д/l -cos^ х; г) y = sin^x-|j-2. б) у = (sin X - cos х)^; в) у = cos X + I cos X |; г) у = sin х ctg х. Исследуйте функцию и постройте ее график: в) У= l + gCOS^^^-xj; r)y=l-tg2x. 292 Зела >1 и на повторение 108. Известно, что дГц — корень уравнения sin = д:®. Следует ли отсюда, что число является корнем этого уравнения? 109. Сравните числа: а) sin ^ j и cos ^л + ^ j; б) tg л^ и ctg л^; в) tg 2 и ctg 2; г) sin 1 и cos 1. 110. Докажите: а) sin а + cos а > 1, если О < а < "; б) cos (sin а) > О, а е R. 111. Решите графически уравнение: а) sin X - -х; б) tg jc = л/2 cosдг, - ^ < х < ^; в) tg д: = X, - ^ < д: < "; г) cos х = 1 - х^. 10. Степенная, показательная и логарифмическая функции Найдите область определения каждой из функций (112—114). 112. а) у = Vl6x-x®; б) у= ^J=; ух^+8 в) x-i; X г) у = ■Jx^ + X-20 113. а) 1/ = д/х2.3'-3*^’; б) ^ = -1; в) i/ = log3(4-3x+x2); г) I/= logg sin X. ^. Jx^ -5х + 6 г---------- 114. а) у = j/ = ^/logj cosx; в) у = 1п(Зх-2) х^-х-2 ’ г) у = Vlg (3x2-2х). Найдите область значений каждой из функций (115, 116). 115. а) у = 2л/х + 1; 6) у = 5^ * - 1; в) I/ = 2 Ig X + 1; г) у = Зх^. 116. а) б) у =2-Ух-, в) у = 1 + |log2 х|; r)y=l+|Vx|. 293 Задачи на повтореиие Найдите промежутки знакопостоянства каждой из функций (117, 118). 117. а) У = -4; б) у = log^ (дг + 3); в) J/ = 2 - 3'; г) I/ = Vjc - 4. 118. а) у = 4*‘*-4'; б) I/= Ig (jr - 2) - 1; в) «/ = л/jc + 3; г) у = 2-ifx. Найдите среди данных функций четные и нечетные (119, 120). 119. а) if = 5^ + 5 - б) I/ = Ig (1 - jr2); в) У = ; г) у =хУх. 2 120. а) if = X»; б) if = 3^ - 3 в) у = 2"“ г) у = Ух^ + 1. 121. Исследуйте функцию и постройте ее график: а) у = 2 Лс-и б) у = 4^-' - 2; в) i/= 2 log2(->^+1); г) у = Ух-2 + 1. Постройте графики функций (122, 123). 122. а) у=Л^ + 1: б) у = г) у = 1 + logj (х + 2). в) у = 2 - VX+ 1; 123. а) б) у = |log, х| - 1; 2 г) у = log2 Х^. в) у = 2'*1; у - —в2 124. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют): I-------- при О < X < 7, а) у = л/Зб — X* ; б) у = • х+1 X® I 1 при - 2 < X < О; |(х-1)* при -1<х<1, [log2 X при 1 < X < 8. 125. Решите графически уравнение: а) log, X = X-3; б) Ух-2 = ®; 2 в) logj X = 2® г) 2''1 = 11 - |х|. 294 Залачи ин повторение- В) у = З*"" г) у = 126. Решите графически неравенство: а) log, jc> дг - 3; б) -yjx-2 < ^; 2 ' в) 2 '*1 > д-2 + 1; г) log, х> 2JC-7. 3 127. Докажите, что равны наибольшие значения функций {/ = (logger-' и j/ = (log., 2)«*^ 128. Найдите значение аргумента Xq, если: а) f (дг) = _L= - л/1 - дс2 , / (дгд) = 0; v4jc+ 1 б) / (дг) = Ig (дс + 15) + Ig х. f (дг„) = 2. 129. Докажите, что; а) функция убывает на множестве Я; б) функция f (дс) = logg Здг возрастает на промежутке (0; оо). §4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств 11. Рациональные уравнения и неравенства Решите уравнения (130, 131). 130. а) 3 (JC - 2) - 5 = 4 - (5д- - 1); б) |2х - 3| = 5; в) 7 - 2 (3 - X) = 4 (х - 1) + 5; г) |4 - Зх| = 2. х-3 V Зх+1 4(х-3) лч -- - с 131. а) — =2----- : б) +5 ' Ъ 15 ^ 2 ^ 7 ' '^4*3 = 4; = 5. 132. При каких значениях а данное уравнение; а) ах - 2х = 3 (х 1); б) а (1 - х) + 2 = Зх - ах; в) X (2 - а) - X = 5 + х; г) 5 + 3 (х + За) = 9а + 5 — имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множес^тво решений? Решите неравенства (133—135). 133. а) ^ + X < 1,5х -h 3.5; в) X - 4 (3 - х) > 2х -(■ 7; 295 •За^лчн на itoBTaticHue 5х-2 3-х 3 --2 г) 3+^"^'^ <2х. ’ 4 134. а) \4х - 3| < 5; в) '^<2; б) \2х + 5| > 1; г) 4 |2 - лгК 12. 135. 136. 137. а)1^>0; б) |д:+41 в) (X- 4) |5 - Зх| < 0; Решите уравнение: а) + 2jf - 15 = 0; в) (X - 3) (JC - 2) = 6 (X - 3): г) |2х + 7| (3 - X) < 0. б) 7х2 + 5х = 0; г) х^ — Их , I _ = 0. 138. 139. 140. 6 2 При каком значении а имеют общий корень уравнения: а) х^ - ах = о и х^ - х - За = 0: б) х^ - (а - 1) X = 3 и 4х^ - (4а н 3) х + 9 = О; в) х^ + ах + 8 = О и х^ + X + а = 0; г) 2x2 + (За_ 1) JC = 3 и 6x2 - (2а з) ^ Найдите значения к, при которых имеет один корень уравнение: а) (Л - 1) х2 -ь (А + 4) X + А + 7 = 0; б) 9x2 - 2х + А = 6 - в) (2А - 5) х2 - 2 (А - 1) X + 3 = О; г) ЗАх2 - 6х + А - 2 = О. Не решая уравнения 3x2 _ 5^ _ 2 = О, найдите: а) сумму его корней; б) произведение его корней; в) сумму квадратов его корней; г) сумму кубов его корней. Решите уравнения (140, 141). . 6х—х2-6 2х-3 , а) , - , =1; х-1 х-1 в) 141. а) 2 ^ 3 ^ 15 . х2 + 5х 2х-10 лг2_25’ = 2; б) ^"-^4 4х ^5 X 2х+ I Г) ^ 5 х‘2-4 (2-х)2 (х+2)2 х2 + 4 х2 + 5 ,2 »(':') -з(':')*2=0; г, б) 2х^-5х2-н2 = 0; х2 + 1 + =2,5. X х2+ 1 142. Решите неравенства (142—144). а) 2x2 + 6х + 17 > 0; б) х2 - 3,2х < 0; в) (Зх - 2)2 - 4х (2х 3) > 0; г) (6х - 1) (1 + 6х) + 14 < 7х (2 + .5х). 296 Задачи на повторение 143. а) х^-2х + 8 в) jf- 3 JC-2 х‘ +5х+4 <0; г) —„ - > 0. (де-3)(х-5) х^-Ъх-6 144. а) (X - 1) (л- + 2) (х - 3) (х - 4) < 0; б) х"* Зх* + 2 ^ 0; . 4-х 1 в) —_ > --- ; х-5 1-х 145. Докажите справедливость неравенства: г) б) 2т ^1. 1 + т^ а) т + - >4 при т > 0; т в) “ + ^ > 2 при а > О, Ь > О; Ь а г) ® ^ при а > О, Ь > О, с > О, а < Ь. Ь Ь+с 12. Иррациональные уравнения и неравенства Решите уравнения (146—149). 146. а) д/х2 + 2х+10 =2х-1; в) Vl7 + 2x-3x2 = х + 1; 147. а) Vx + 17 -Vjc-7 =4; в) л/х + 7 + л/х-2 = 9; 148. а) л/х- +V2Tx =0; V2+x в) х-/х + 5 _ \ х+ -Jx+5 7’ 149. а) л/225+х2 =х2-47; в) ^х^ + 36 = х^ - 54; б) yjx^-16 =х*-22; г) yjx^ + 9 = X®- 11. б) 12Vx-l-Vx-l=3; г) 2^х + 1—Vx+1 =6. б) л/х + Vx -2=0; г) ^Зх+1-л/Зх+1 =0. б) ^х-2 = X —2; г) ^х*-5х2+16х-5 =х-2. Решите неравенства (150, 151). 150. а) ^х2-5 > 2; в) д/х*- 16 > 1; 151. а) ^х* —6х + 9 > 3; б) V(JC-2)(l-2x) > -1; г) (л/х-3)(х2 + 1) > 0. Jx2 -2х+ 3 Vi------ 2х^ + х+ 1 в) л/25-20х + 4х2 < 1; г) V2x-x^ + 15 (Зх - х*-4) < 0. 297 Залачи II» поитореиие 152. 153. 154. 155. 13. Тригонометрические уравнения и неравенства Решите уравнения (152—158). а) сов X + 2 сов 2jr =1; б) 4 sin 2дг - 3 sin ^ j = 5; в) 2 со8^ X + 4 cos д: = 3 sin^ дг; г) cos* X + 4 sin* X = 2 sin 2х. а) sin* X - cos* X = 1 + ; б) cos ^ j + X j + cos ^ ^ — X j = 1; ■ч/З в) cos'* X - sin'' X = ; 2 Dsi„(l + x)-si„(l-x) = l. a) cos 4x + 2 cos* x=l; 6) 4(1+ cos x) = 3 sin* ^ cos ; b) cos 3x + sin X sin 2x = 0; r) 4 (1 - cos x) = 3 sin ^ cos* a) cos 2x - cos 6x = 0; b) sin X + sin 3x = 0; 156. a) 6 ctg x + 2 15 - = 3 - ctg x; 6) sin X + sin 2x + sin 3x = 0; r) cos ^^ j + ^ = 2cos 3x. 6) 1 + 2 cos 3x cos X - cos 2x = 0; 157. 158. b) =11-2 sin x; r) ctg x + sinx+ 1 a) tg 3x - tg X = 0; b) sin X tg X = cos X + tg x; sinx 1+ cos X - =2. 6) tg X - sin X = 2 sin* I; r) sin X + sin 2x = tg x. a) arccos ^ i 6) arctg (2x - 1) = - "; 3 о 4 в) arcsin x+2 n. 3’ Г) arctg(2-3x)= 4 159. Решите неравенства (159—162). a) sin^^-xj< 6) ^/Зtg(^J-x)>-l; b) sin2x sin^-cos2xcos'*^ > 2 2 2 -Уз г) sin 3x cos X + sin x cos 3x < ^. 298 НЙ ппптпренир 160. а) 2 sin* х<1; в) 4 cos* X < 3; 161. а) в) cos X - 1 sin2x+ ^ <0,5; <1; 162. а) sin X — л/З cos х; в) sin X + cos X < 1; б) 3 tg* 2х < 1; г) tg* J-1>0. б) sin X < cos х; г) tg X + ctg X > О. б) logy 5 sin X > 1; г) log ,2 cosx > -1. 14. Показательные уравнения и неравенства Решите уравнения (163—167). 163. а) 0.2 х2 1вх-37.5^5^. 6)2** -3 . 5**'» 0.01 • (10* ')»; в) 2*"' -6х+0.5_ 1 . р\ 6** _ 3 -15 16 V2 2-‘® 6'* -12x ■ 164. а) 5** -2 5»* '-3 5»* * = 60; б) 4*- _ gjt 0,6 _ gx t 0,5 _ g2x 1« в) 25х • + 2»* * + г»* » = 896; г) 5** ' + 2** = 5** - 2** * *. 165. а) 9** -'-36- 3**-» +3 = 0; 6) 53*4 1 + 34 5** = 7 ■ 5*; в) 16* - 50 2** = 896; r) 74 Vx _ -8 . 7'*^ +7=0. 166. а) 3 4* + 2 9* = 5 6*; 6) 8* + 18* = 2 27*; в) 2 25* - 5 10* + 2 4* = 0; г) 3 16* + 2 - 81*= 5 36*. 167. а) 3*' X +32VX-I _32vX-2 ^ Ц. 6) 5“'"*' r_25«x«x^0; в) 2«п ** + 2co«*x _ g. Г) 3- 1 9* 1 1 + 6* =2-4*. 168. 169. Решите неравенства (168—170). г2 В) 3 (;Л 2 Зх б) < 10'*»; г) а) 0,04* - 26 0,2* + 25 < О; б) 9* - 84 • 3 ** + ^ > 0; 3 в) 4^ - 10 2^ 1- 16 < 0; > 0. 170. х* + 2х-15 а) X* 3* - 3* ’ ‘ < 0; б) 3.7 > 1; в) X* 5* - 5* * * < 0; г) 2* * * - 2* ’ " - 2* ‘ > 5* * ' - 5* " *. 299 Залнчи на повторение б) Mg(2x-l)=l-lg 15. Логарифмические уравнения и неравенства Решите уравнения (171—175). 171. а) log| дг = 4 - 3 logg х; в) logg у1х~5 + logs л/Зх-З = 1; г) 3 lg2 (дг - 1) - 10 Ig (д- - 1) + 3 = о. 172. а) 2 log, (Ig д:) = log, (10 - 9 Ig д:); б) Ig (3* + дг - 17) = л- Ig 30 - х; в) 2 Ig (Ig х) = Ig (3 - 2 Ig х); г) X - X Ig 5 = Ig (2^ + X - 3). 173. а) logg X + logjc2 = 5; б) logs X + log^^ .T- log, X = 6; B) 2 log ,3 x + log, I =3; r) log^2 X + 4 log^2 x + logg x= 16. 174. a) x‘'**^'^ = 8; 6) x'“*‘*= 125х^; в) x'« * = 10 000; г) X 1овя»-3_ 1 175. a) 3 log| sin x + logg (1 - cos 2x) = 2; 6) log,,, sin 2x + Ig cos X = Ig 7; B) logv 5'^*^ = (x - 4) log7 5; r) Ig (3 • 5^ + 24 2(P) = X + Ig 18. Решите неравенства (176—179). 176. a) log^ (x2 - X - 4) < 3; B) lg(x2-x + 8) > 1; 6) log ,3 ,(5-2x) > 2; r) log ,(3-2x) <2. 177. a) 2 logg X < 2 + log2 (x + 3); 6) log,(10-x) + log,(x-3) >-1; e 6 b) log,(x-2) + log, (12-x) >-2; 3 3 r) logo , (4 - X) > logo,, 2 - logo.5 (X - 1). 178. a) Ig (x* + X - 6) ' Ig (x + 3) C Ig 3; b) In (x^ + 3x - 10) - In (x - 2) > In 4; 3x-l 6) logg <1; . I 3x — 5 . Г) logs , , 1- X + 1 179. a) logj (4* - 5 - 2"^ + 8) > 2; b) lg2 X > Ig X + 2; 6) logg 5 X 4 6 > 5 logo,, r) log , (6**' -36"^) > -2. v5 300 Задачи на поиторсти- 16. Системы рациональных уравнений и неравенств Решите системы уравнений (180—183). 180. а). 2x + 3j/ = -l, 5х + 4у= 1; 6,. Зх-9у=12, 4x-12.v= 16; в) х + 2у = 7, 2х-3у = 5; г,. Ьх-8у = 0, X- l,6f/= 1. 181. а) «/ . X _ 13 X у Ь X + «/ = 5; 6,. Х-у = 1, x3-j/3=7; в) ^ = 2. X (x-l)2+j/Z=l; Г). X® -ь у® = 35. X -1- = 5. 182. а) {х-у)(х^-у^) = 4Ъ, х + у = Ъ\ е, x®i/®-(-x®j/® = 12, x2jr®-x®j/® = 4; в) Х^1^= 16, x*j/^ =2; г,. x®-xj/=28, y^-xy=-12. 183. а) х» +{/•■» = 7, X® i/® = -8; 6) xUy* = 5, xy® = 2; в) х^ -1- = 9, ху= 2; г) 41 = 5, X у \ + ^- = 13. X^ I/® 184. При каком значении а система уравнений; а) х-5у=7, ах- у = -3; б) •x + 2y = a, 2x + 4y = 5; в) jx + ay = 2, [3x-2i/ = -6; Г) x-y = 2, 2x—2y =2a — имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений? 185. Решите систему неравенств: 13х-2 И ’ 2х>3- а) X 2 , 3JC-20 301 Зацйчи ня iToiiTopt'iiiie б) x■^ 1 х+4 , х-1 - |х— — — „ < —2, 2 3 4 [1,5х-2,5 < х; в) 2 3 4 0,5дг <2 — х; г) 2(Зх-1) <3(4х+1) + 16, 4(2 + JC) < 3jc + 8. 17. Системы иррациональных уравнений Решите системы уравнений (186—188). 186. а) в) 187. а) в) 188. а) в) у[х-^ = 4, 2 -yjx + 3 ^Гу = 18; 3 у[х - у[у =8, ^ + 2 ./у = 19; X у[у + у ^ = 30, ^ + Ту = 5; Лс + ,[у = 6, х-у=12; + Ту = 26, + Ту = 6; Тх - Ту = 5, *-ii-iJy = i; г) |Т^+Т^ = -з, 1 ху = 8. 18. Системы тригонометрических уравнений Решите системы уравнений (189, 190). 189. a) j sin X cos у = 0,25, [sin j/cos x = 0,75; 6) и) |4 sin X sin у = 3, [tgjc tgy = 3; r) 190. a) |tgx+ tgy = 2, Icosxcosy = 6) b) sin X sin у = ^, J "4 r) \х-у = - 1 3’ [ctg X ctg у = 3; 302 Злуииж на повторонно [cos^ (тех) - cos^ (пу) = О; {sin* X = cos дг cos у, cos* X = sin X sin у. {-<'=¥• [sinjc + cos2i/ = —1; Icos2i/ + cosx = 1, ^+«/= ^ 19. Системы показательных и логарифмических уравнений Решите системы уравнений (191—196). 191. а) в) 192. а) в) 193. а) в) 194. а) в) 195. а) в) 196. а) в) 9^**' = 729, 3* *'-' = 1; (Лу ''=2Ъ, = 1; 5*'-*' + 5^=5,2; |з1овз(» + ^) =2, [22»+J'= 16; Гз-' • 7*' = 63, |з*+7‘' = 16; 4* , 4» = 64, 4^-4*- =63; lgjr-lgf/= 1, Ig^ X + lg2 у = 5; |lgx-lgy = 7, |lgx + lg^=5; l/-l0g3X= 1, хУ = 3‘2; jlog5X + 3'”*^‘'=7, |x«'= 5‘2; log., X - log2 I/ = 0, x2-2j/2=8; logg X-Iogg y = Q, x2 - 5i/2 + 4 = 0; 6) r) 6) r) 6) r) 6) r) 6) 6) r) 2'-2J' = 16, X + у = 9; З' + З" =28, x-t/ = 3. 2^ + ЗУ = 17, 2^*^-ЗУ*’=5; |bgy^(i/-x) = 4, [з* + 2-3*'-2=171. |3^-22У = 77, \4з^-2у= 7; |V^-3*' = -7, l2*-3"=-5. |log2(x2 + j/2) = 5^ [2 log4 X + logg у = 4; logaU + 1) = log2^i/ + ij, logg x-2 log2^«/-|j = 0. J5^ jloga (x^ -1/2) - logg (X - y) = 0; |5‘""’*‘(*''*'‘>=25, [logs (x2 - {/^) = logo (Jf + 1/)- |3Zv'-v's' = 81, |lg.^,fxy = l + lg3; |2 log2X-3*'= 15, |з*' log2X = 2log2Jc + 3*'*’. 303 Задачи на лпнторенис 20. Задачи на составление уравнений и систем уравнений 197. Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния 325 км. при составлении нового расписания движения автобусов сокращено на 40 мин. Найдите среднюю скорость движения автобуса по новому расписанию, если она на 10 км/ч больше средней скорости, предусмотренной старым расписанием. 198. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 15 км, прошла 139 ^ км вниз по течению реки и вернулась О обратно. Найдите скорость течения реки, если на весь путь затрачено 20 ч. 199. Поезд должен был пройти 220 км за определенное время. Через 2 ч после начала движения он был задержан на 10 мин и, чтобы прийти вовремя в пункт назначения, увеличил скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда. 200. После встречи двух теплоходов один из них пошел на юг, а другой — на запад. Через 2 ч после встречи расстояние между ними было 60 км. Найдите скорость каждого теплохода, если известно, что скорость одного из них на 6 км/ч больше скорости другого. 201. Два тела движутся навстречу друг другу из двух точек, расстояние между которыми 390 м. Одно тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую следующую проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся? 202. На строительстве железнодорожной магистрали бригада строителей за несколько дней должна была по плану переме стить 2160 м® грунта. В течение первых трех дней бригада ежедневно выполняла установленную норму, а затем каждый день перевыполняла норму на 80 м®, поэтому уже за день до срока бригада переместила 2320 м® грунта. Какова по плану дневная норма бригады? 203. Две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев на учебно-опытном участке за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на выполнение этой работы каждой бригаде отдельно, если одна из бригад могла бы закончить посадку деревьев на 6 дней раньше другой? 204. Для перевозки 60 т груза затребовали некоторое количество машин. В связи с тем что на каждую машину погрузили на 0,5 т меньше запланированного, дополнительно было затребовано еще 4 машины. Сколько машин было запланировано первоначально? 304 Задачи на nofrroiM'iiio' 205. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг чистой меди, а второй кусок — 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на 15% больше первого? 206. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была в нем массовая доля соли? 207. Две автомашины выехали одновременно и.т одного пункта в одном и том же направлении. Одна машина днкжется со скоростью 50 км/ч, другая — 40 км/ч. Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении выехала третья машина, которая обогнала первую машину на 1 ч 30 мин позже, чем вторую. Найдите скорость третьей машины. 208. Найдите скорость и длину поезда, зная, что он проходил с постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы проехать с той же скорюстью вдоль платформы длиной 378 м. 209. Из пунктов А к В, расположенных на расстоянии 50 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Че рез 5 ч они встретились. После встречи пешеход, идуп(ий из А в В, уменьшил скорость на 1 км/ч, а второй увеличил скорость на 1 км/ч. Первый пешеход прибыл в В на 2 ч раньше, чем второй в А. Найдите первоначальную скорость каждого пешехода. 210. На заводе для изготовления одного электродвигателя типа А расходуется 2 кг меди и 1 кг свинца, на изготовление одного электродвигателя типа В — 3 кг меди и 2 кг свинца. Сколько электродвигателей каждого типа было изготовлено, если всего израсходовали 130 кг меди и 80 кг свинца? 211. Двое рабочих совместно могут выполнить плаионгю задание за 12 дней. Если половину задания будет выполнять один ра бочий, а затем вторую половину — другой, то все задание будет выполнено за 25 дней. За сколько дней может выполнить задание каждый рабочий? 212. Из двух жидкостей, плотность которых соответственно 1,2 г/см^ и 1,6 г/см®, составлена смесь массой СО г. Сколько граммов каждой жидкости в смеси и какова плотность смеси, если ее 8 см® имеют такую же массу, как масса всей менее тяжелой из смешанных жидкостей? 213. Вычислите массу и массовую долю (в процентах) серебра в сплаве с медью, зная, что, сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащш! 90% серебра, а сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90‘Х> серебра, получат сплав с 84%-ной массовой доле!! серебра. 305 За.лач11 на п<жтирен>и- 214. По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном налравлении движутся две точки. Одна делает полный оборот на 5 с скорее другой и при этом догоняет вторую точку каждую минуту. Найдите скорость каждой точки. 215. Сумма квадратов цифр положительного двузначного числа равна 13. Ек;ли из этого числа вычесть 9. то получится число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найдите это число. 216. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55. § 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения 21. Производная 217. Найдите отношение для функции /, если: Ддг а) f Xq = 1, Дх = 0,1; б) Г(х) = лП^, Хц=2, Дх = 0,21; в) f (х) = 3 - 2х, Хд = 2, Дх = 0,2. 218. Пользуясь определением, найдите производную функции f в точке Хд, если: а) / (х) = 1 - 4х, Хц = 3; б) f(x) = 1,5х^. Хд = 2; в) f (х) = 3х + 2, Хд = 5; г) / (х) = х^ + 1, х„ ^ -1. Найдите производные функций (219—222). 219. а) /(х)= ’ х^-‘ x»-^'x2-x-^5: 4 3 2 в) f (х) = (х^ + 5) (X® - 2х + 2); б) f (х) = (4 - х'^) sin х; г) /(х)= . 2-х^ 220. а) = ^ „3 3^^ в) /(х) = ж" х^ -Зж 1-2х ’ б) f {x) = (2->fx)tgx; г) /(х) = sin ж 1-2 cos ж 221. а) / (х) = 2»^ + Ig х; в) / (х) = X* 5^-, б) / (X) = f 3, 2 iog3 2х; г) f(x)= - . -he * 306 г)адачм на luirtTopoimc 222. а) f (дг) = sin Ъх + cos 5д:; б) f(x) = Vl + x^ + ^ (2х- !)■* в) /-(дг) = (3 2x^f; г) njc) = lg(3x)-3tg^2x-^]. 223. Решите уравнение f’(x) = 0, если; а) f (Л-) = дг-* - 2дг* + 1; б) f(x) =1,5 sin 2д: - 5 sin д: - дг; в) -9х; г) / (дг) = дг + cos 2дг. 224. Функция задана графиком (рис. 153). 1) Укажите, в каких из отмеченных точек: а) Пх) > 0; б) Г(х) < О; в) f'{x) = 0. 2) Укажите промежутки, на которых: а) Г ix) > 0; б) fix) < О: в) f (х) = 0. 3) В каких точках интервала (а; Ь) функция f не имеет производной? а) Ь X Рис. 153 307 Задачи на Повторение Сравните значения производной в заданных точках (225, 226). 225. а) JC, и jCj; б) x^ и х./, в) х.^ и х^; г) Хд и (рис. 154). 226. а) Xj и Xjj б) Xj и х^; в) х^ и Xj; г) х^ и х^ (рис. 155). 227. Функции и, и. w дифференцируемы в точке х. Докажите, что (uuui)' = u'uw + uv'w + uvw'. 22. Применение производной к исследованию функций 228. Вычислите приближенное значение функции в точках х, и X 2 • а) / (х) = ^ хЗ - X. Xj = 2,0057, х^ = 1,979; б) / (х) = 2 + 4х - X* + ^ х^, X, = 3,005, Xj = 1,98. 229. Вычислите приближенное значение выражения: а) J9.009; б) 1,0001*5; g, 0,999 г) ^8,008. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума функций (230, 231). 230. а) /(x) = -ix3-ь4х2-7х+18; О в) Пх) = х(хЗ-4) б) /(х)= 3- Х г) f(x) = / . 4- х б) f (х) = 2 - sin г) f (х) = Зх - cos Зх. 231. а) / (х) = cos 2х - 2 cos х; в) / (х) = 2 sin X + cos 2х; Исследуйте функцию и постройте ее график (232—234). 232. а) f(x) = x^(x - 2)2; в) /(х) = х®-Зх2-9х; б) n^)=^ + f; г) Mjt) = ^ . 4-х2 308 Залачи на поптпрсни1' 233. а) f (х) -1-2 sin 2х; 234. 235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 242. 243. 244. в) f{x)=2-Cos g! а) f (х) = 4х\пх\ в) Мдг) = 2'*-"^; б) / (х) - cos® г cos х; г) f (х) = sin® X - sin X. б) f{x)=^''', X г) f{x) - X In X. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции { (если они существуют) на данном промежутке; а) f (X) = 18х® + 8х^ - Зх\ [1; 3]; б) f (х) = 2 cos X - cos 2х, [0; л]; в) /(х) = ^ +х® X г) / (Jf) - siB X - X, [-л; л]. Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма кубов этих чисел была: а) наибольшей; б) наименьшей. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см. Какой Д.ПИНЫ должны быть катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей? Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см. Найдите наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон. По двум улицам движутся к перекрестку две машины с постоянными скоростями 40 км/ч и 50 км ч. Считая, что улицы прямолинейные и пересекаются под прямым углом, а также зная, что в некоторый момент времени автомашины находятся от перекрестка на расстоянии 2 км и 3 км (соответственно), определите, через какое время расстояние между ними станет наименьшим. Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее нижний край на 1,8 м выше глаз наблюдателя, Па каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения по вертикали был наибольшим)? Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м. На каком расстоянии должен встать человек ростом (до уровня глаз) 1.6 м, чтобы видеть статую под наибольшим углом? Из всех цилиндров, имеющих объем 16п м®, найдите цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности. Найдите высоту цилиндра наибольшего обт.ема, который можно вписать в шар радиусом R. В конус, радиус основания которого R и высота Н, требуется вписать цилиндр, имеющий наибольшую площадь полной поверхности. Найдите радиус цилиндра. 309 Залячи на повторение 245. Около данного цилиндра нужно описать конус наименьшего объема (плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают). Как это сделать? 246. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом й. 247. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиусом R так, чтобы центр основания конуса лежал в центре шара. 248. Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием Ь и высотой Л. Прочность балки пропорциональна bh^. При каких значениях Ь и Л прочность будет наибольшей? 249. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Как определить размеры окна, имеющего наибольшую площадь при заданном периметре? 250. На окружности дана точка А. Провести хорду ВС параллельно касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей. 251. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим? 252. На параболе у - найдите точку, расстояние от которой до точки А (2; 0,5) наименьшее. 253. Объем правильной треугольной призмы равен V. Какова должна быть сторона основания, чтобы площадь полной поверхности призмы была наименьшей? 23. Применение производной в физике и геометрии 254. По прямой движутся две точки. Определите промежуток времени, в течение которого скорость первой точки была меньше скорости второй, если: а) X, (О = 2 I х.^ (t) = 2Г - 3; б) x^ (t) = + 1, х.^ (0 = t\ 255. Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от врюмени по закону «р (0 = 0,lt^ - 0,5f + 0,2. Найдите угловую скорость вращения тела в момент времени < = 20 с. (Угол измеряется в радианах.) 256. Круглый металлический диск расширяется при нагревании так, что его радиус равномерно увеличивается на 0,01 см/с. 310 .Залами на повторение с какой скоростью увеличивается площадь диска в тот момент, когда его радиус равен 2 см? 257. Из пункта А по двум прямым, угол между которыми 60'^', одновременно начали двигаться два тела. Первое движется равномерно со скоростью 5 км/ч, второе — по закону S (0 = 2t^ - t.C какой скоростью они удаляются друг от друга в момент ^ - 3 ч? (S измеряется в километрах. / — в часах.) 258. Концы отрезка АВ длиной 5 м скользят по координатным осям. Скорость перемещения конца А равна 2 м/с. Какова величина скорости перемещения конца В в тот момент, когда конец А находится от начала координат на расстоянии 3 м? 259. Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 м/с. С какой скоростью опускается в момент времени / верхний конец лестницы, с каким ускорением? 260. Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса его части AM растет пропорционально квадрату расстояния точки М от конца А и равна 10 г при AM ^ 2 см. Найдите: 1) массу всего стержня АВ и линейную плотность в любой его точке; 2) линейную плотность стержня в точках А и В. 261. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Найдите угловую скорость колеса через 48 с после начала вращения. 262. Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Ответьте на вопрюсы: а) На какой высоте от поверхности зем.пи оно будет через 5 с? б) Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии от земли (считать g = 10 м/с*)? ,-2 263. В какой точке параболы у = 1 касательная наклонена к оси абсцисс под углом: а) 45®; б) 135®? 264. Найдите абсциссы точек графика функции / (дг) = х® + ^ х* X - 3, касательные в которых наклонены к оси абсцисс под углом 135°. 265. Докажите, что любая касательная к графику функции f (х) = X* -V 2 X* -ь X 3 пересекает ось абсцисс. 266. Докажите, что любая касательная к графику функции f (х) = + 2х 7 составляет с осью абсцисс острый угол. 267. Докажите, что графики функций / (х) = (х + 2)* и g (X) - 2 - X* имеют общую точку и общую касательную, проходящую через эту точку. 311 За.'Ш’1И на понтореми. 24. Первообразная 268. Найдите общий вид первообразных для функции: а) / (Jc) = 4 sin X + cos Зх; б) f (х) = х* + х ® + ; в) /(х) = 2 + х-1’ 2, + Л—- cos'^Zx sin^ Зх 269. Для функции t найдите первообразную, график которой проходит через точку М: а) /(х) = -2. М (i; zj; б) / (х) = X * + cos X, М -|j; в) f (х) = X*, М (2; -3); г) f (х) = sin 2х, М (0; 1). 270. Найдите функцию, производная которой равна 2х - 3 в любой точке X и значение которой в точке 2 равно 2. 271. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А (2; 3), если угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х равен Зх*. 272. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью V (0 = sin t cos t. Найдите уравнение движения точки, если при 1 = - ее координата равна 3. 4 25. Интеграл 273. Вычислите: ?И а) |cos (1,5д-ь 0,5х) dx; б) 2 I (х-2 +x2)dx; К » в) Jcos(3x-sin2x)dx; г) 1 -2 [ (5-6x-x2)dx. Ш 12 Найдите наибольшее и -6 наименьшее значения интеграла: а а) 1 cos^dx, а е Ri С) cos2xJx, а Е Л. 0 0 275. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: в.) у = 0,5х^ ~ 2х + 3, у = 7 - х; б) у = (х - 2)\ у = 4 - х2; в) у = х^ ~ Зх + 4, у = X + 1; г) у = х^ - 2х + 2, у = 2 -(■ 4х - х^. 312 Задачи на повторение 276. Найдите площадь каждой из фигур, на которые прямая у = X + 4 делит фигуру, ограниченную линиями у = и у = 8. 277. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2,5 + + 2х - 0,5х^, JC = -1 и касательной к данной параболе, проведенной через ее точку с абсциссой х = 3. 278. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у = х^ - 4х + 5 и касательными к ней, проведенными через ее точки с абсциссами х = 1 и х = 3. 279. В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороны в ее середине? 280. При каком значении а площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^ + 4х + а (а > 0), X = о, X = 2 и у = 2, равна 12? (Известно, что фигура лежит в верхней полуплоскости.) 281. Найдите пары чисел а к Ь, при которых функция f (дг) = 2 = а sin пх + Ь удовлетворяет условиям: /' (2) = 2, J/ (д:) dx = 4. I Задачи повышенной трудности 1 § 1. Числа и преобразования выражений 1. Целые числа 1. Докажите, что: а) если р — простое число и р > 3, то - 1 делится на 24; б) если а + Ь с делится на 6, то а® + fc® + делится на 6 (а. Ь, с — целые числа); в) если делит- ся на 7, то + Ь'^ делится и на 49 (а и б — целые числа); г) число + 5п + 16 ни при каком целом п не делится на 169. 2. При каких целых а оба корня уравнения д:^ + ах^ + 6 = 0 являютс-я целыми числами? 3. Докажите, что: а) наименьший (отличный от 1) делитель составного числа N не превосходит б) число N имеет нечетное число делителей тогда и только тогда, когда S — точный квадрат. 4. Найдите число делителей числа л, если: а) л = 1024; б) л = 210; в) л = р“‘ pg * ---Р* * (Ор Ug, ..., Hf, — натуральные, Рр pj, р* — различные простые числа); г) л = 10! (А! — обозначение произведения 1 • 2 3 ... А). 5. а) Какие остатки могут давать точные квадраты при делении на 3, на 4? б) Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами равняться 23? в) Длины всех сторон прямоугольного треугольника — целые. Могут ли длины катетов быть нечетными числами? г) В десятичной записи 12-значного числа N цифры 2 и 9 встречаются по 2 раза, а остальные — по одному разу. Может ли N быть точным квадратом? 6. а) В десятичной записи числа 300 единиц и несколько нулей (а других цифр нет). Может ли это число быть точным квадратом? б) 2008-значное число а делится на 9. Сумма цифр о — число Ь, сумма цифр Ь — число с, сумма цифр с число d. Найдите d. 7. Докажите признаки делимости на: а) 5; б) 3; в) 9. 314 Задачи itOBi.iiueHiioii тру.чиости Решите в целых числах уравнения (8—9). 8. а) 3^ = 1 4- i/2; б) 2» - 1 = у2. в) X® - у2 — 91; г) 2^ -4 1 = 1/2 9. а) 13х - 7у = 6; б) х1 4 ^! = (х -4 у)1; в) 27х 9у = 15; г) 1! -4 21 4 ... 4 х! = {/2. 10. Докажите, что для любого натурального числа N существу- ет ряд последовательных N чисел, каждое из которых со- ставное. 11. Дано: Ig 16 = 1,20412... . . Найдите количество цифр и первую цифру числа 125“*”. 2. Метод математической индукции Решение задач 12—15 основано на принципе матемитиче ской индукции, который часто принимают за одну из аксиом арифметики. Этот принцип формулируется так: Если предложение, зависящее от натурального числа п: а) верно для некоторого начального значения п = и б) из допущения, что оно верно для п = к, где к > Пд — произвольное натуральное число, вытекает, что предложение верно и для п = ft -ь 1, то предложение верно для любого натурального п > n„. Докажите равенства методом математической индукции (л е N) (12—13), 12. а) 1^ + 22-ь 3^-ь...+ 6 б) 12 32 + 52 ... + (2п - 1)2 = ~ V; в) 1® + 3» + 5® -ь ... f (2п - 1)2 ^ «2 (2n® - 1); г) 1 1! + 2 2! + 3 3! + ... + л п! ^ (л + 1)1 - 1. 13, а) —-— + —— + -t- ^-= — I 4 5 5 6 6 7 (п+3)(я + 4) 4(л + 4) 02 г2 J. /л о\2 4п(2л-1)(2л ь 1) б) 22 4 62 -Ь ... -4 (4л - 2)2 =- ; О в) 7 + 7 ^_7_^ + — 7__________=1- 1 • 1 8 8 15 15 22 ■ (7п-6)(7л+1) 7л t Г г) - + '-4--^ +...+ ---^ 4 8 8 12 12 16 4я(4п4-4) 16 16(я + 1) 315 Залачн повышенной тру.'жоети 14. Докажите методом математической индукции неравенство (л е /V): а) |sin пх\ < п |sin д:|; б) ^ + л + 1 п ^2 + ^ >1; Зп + 1 в) (1 + Л)" > 1 + пЛ для любого натурального п > 2, h > -I и Л ^ О (неравенство Бернулли); г) (1 + Л)" > 1 + лЛ + для любого натурального £t л > 3 и Л > О. 15. Докажите методом математической индукции, что для любого натурального л: а) 6^" ^ + 1 кратно 7; б) З®""* + 2*” '' кратно 11; в) 4" + 15л - 1 кратно 9; г) 7^" * кратно 48. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 3. Действительные числа Докажите, что любое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Докажите, что любая бесконечная периодическая десятичнгш дробь есть запись некоторого рационального числа. Докажите, что если натургипьное число а не является полным квадратом, то -Ja — иррациональное число. Может ли быть рациональным числом: а) сумма двух иррациональных чисел; б) иррациональное число в иррациональной степени? Докажите иррациональность чисел (20—22). а) л/З: б) в) Ig 5; г) log, 9. а) л/З + л/5; б) л/2 + -JS; в) г) у[2+Мз V2 + у[з' 22. а) к42 \ pVS, где Лир — целые числа, отличные от нуля; б) 3,272772777277772... (после первой двойки стоит одна семерка, после второй — две, после третьей — три и т. д., после п-й двойки — п семерок и т. д.). Упростите выражения (23—24). 23. а) yj2-S; б) д/129-56>/5; в) /ГГгТШ; г) V57 + 12VT5. 24. а) ^67 -42 V2 + yjl9 -6^2; б) -^51-4л/Т7 -^47-4ТЗЗ. 316 Залачи повышенной трудности 25. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: 1 . 1 . 1 а) +Vi 26. Могут ли быть членами одной геометрической прогрессии числа: а) 10. 11, 12; б) 81, -36, 24? 27. Докажите, что число ^6 + ® '/^7 28. Докажите, что дли любого числа М найдется такое натуральное п, что сумма 2 3 п будет больше М, 4. Преобразование выражений Разложите на множители: а) дг** + 4; б) у + \\ в) г® -f дг -ь 1; г) (х^ + + (2^ — х^)^ - (у^ + 2^)^; д) {х + у + 2)® - д:® - у® - 2®; е) дс® -н у® г® - Злгу2. Докажите тождество: (а® + б®) (дс® -У у®) = (ах + ЬуУ + (су - бх)®. Докажите формулы: 29. 30. 31. а у - Ь а) yja + ^fb = у I----а + Ja^- Ь a-Ja^-b б) ----------------. 32. 33. Известно, что а + р + у = п, причем а, Р, у положительны. Докажите тождество; а) sin а + sin р -у sin у = 4 cos “ cos & cos ^ : б) cos® а -ь cos® р + cos® у = 1 - 2 cos а cos Р cos у; в) cos 2а + cos 2р cos 2у = -1 - 4 cos а cos Р cos у; г) sin® а + sin® Р + sin® у = 2 -ь 2 cos а cos Р cos у. Докажите равенство: а) arcsin х + arccos = g любого х е [-1; 1]; б) arctg X + arcctg ^ 317 Задачи повышенной трудности в) cos (arctg jr) = ТГГ?’ «4. ;«>. 37. 38. .S9- •40. J-l _ r) tg (arccos jf) = - — для любого x e [-1; IJ и x ^ 0. X Вычислите (34—35). a) 1 + _ ; cos 290 V3sin250"’ 6) sin* a + cos* a, если sin a i cos cx - m; b) cos 84“ cos 24“ cos 48‘ cos 12“; r) cos* a - sin* a, если cos 2u - m. a) arcsin (sin 10); 6) arccos (cos 12); b) arctg (tg 2); r) arcctg (ctg 3). Проверьте, что число является корнем уравнения arctg X = — , х„ = ^. 12’ •> V3 + 1 II п Sinn sinfi sinv „ Известно, что а + В + v тг, — = = . Докажите, что а Ь с а'^ - Ь'^ + - 2Ьс cos а, причем а, р, у необязательно положи- тельные числа. Докажите, что sin 47° -i- sin 61° - sin 11° - sin 25° = cos T. а) Найдите logj^^,^ u, если log_^ и = a, log^^ и - b, log^ u = c. б) Найдите log^^ 168, если log^ 12 = a, log,2 24 = fc. а) Докажите, что 2'*'°**"° =x''"''*^, если x > 1. б) Вычислите без таблиц: 2''°*^® _3v'>4!ss!_ 5. Прогрессии 41. Решите в целых числах уравнение XXX X 42. Докажите справедливость равенства 1 - tg ф + tg'-' ф - tg-’’ ф + ... = Vi CUS ip 2 sin ДЛЯ любого Ф.(0;*). 43. Сумма четырех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна -40, а сумма их квадратов равна 3280. Найдите эти числа. 318 Задачи повышенной тр>7Шогтн 44. ■15. 4fi. 47. 48. 49, 50. Найдите трехзначное число, если его цифры образуют геометрическую прогрессию, а цифры числа, меньшего данного на 400, — арифметическую. При каком значении а найдутся такие дг, что числа 5' + 5' *, 25^ + 25'^ (в указанном порядке) составля- ют арифметическую прогрессию? Числа X, у, г {в указанном порядке) образуют геометрическую прогрессию, а числа х + у, у + г, г + х — арифметическую. Найдите знаменатель геометрической прогрессии. Известно, что суммы первых тип членов арифметической прогрессии равны, т. е. Найдите Найдите произведение первых я членов геометрической прогрессии, если известна их сумма А и сумма обратных к ним величин В {В Ф 0). Члены арифметической (а^) и геометрической (fc„) прогрессий удовлетворяют условиям > 0, ^ боль- ше: Пэд или Ьад? Найдите сумму: а) 1 + 11 + ... -ь 111... 1; б) X + 2д:^ f 3jc-* + ... + пх"; в) 1 fe(fr + l) (k + l)(k + 2) г) sin X + sin 2х f ... -i- sin nx. .. +■ (k + n -1) (k + n) §2. Элементарные функции и их свойства 6. Исследование функций 51. Найдите область определения функции: а) у = в) у = tg2x arcsin 0,5х б) у = >j8~2x-x^ Д) «/ = log2«„xCosx; г) у = tJcos (sin х); 1 е) у = Ig(l-.jx2-lj 319 :1а.1ачи повышенной трулмостн 5‘г. 5Я. 54. 55. 56. Область определения функции I/= ^ (дг) — отрезок [-1; 2]. Найдите область определения функции: Bi)y = f{x)+l; 6)y = f(x+l); в) i/= 2f (х); г) у = f (2дг); р) У = f е) у =-f (х); ж) «/= IfWl; 3) у = /(|х|); и) у =/(1 - д:); к)у = П1-к|); n)y = f{Jx); м) у = f {х^). Найдите область значений каждой из функций (53—54). а) у = cos^ X сов дс; в) у = 3 cos дг - 4 sin х — 1; а) у - cos^ X + cos^ х; в) у — 3 sin^ X - 4 sin х - 2; 6) у = -sinx ctgx; г) у =--------. б) y = \xf\ г) г/ = . ^ Является ли четной (или нечетной) функция: а) /(х) = ^'-^; X* + 1 V(x+ 5)^ - ^(х-5)2 в) f(x) = X CC)S X б) / (х) =log„ (х+д/х*ТТ); г) n^) = log„[^^]? 57. 58. 59. а) Докажите, что для любой функции / с симметричной относительно точки О областью определения функция t{x)+f{-x) ^ /(х)-/(-х) у- ^ — четная, а функция у =-----^---- нечетная. б) Докажите, что любая функция с симметричной относительно точки О областью определения представляется (притом единственным образом) в виде суммы четной и нечетной функций. в) Найдите все функции, являющиеся одновременно четными и нечетными. Функции f к g периодические с общим периодом Т. Докажите, что функции у = f (х) + g (х) н у = f (х) g (х) являются периодическими с периодом Т. Докажите, что сумма двух непрерывных периодических функций, определенных на всей числовой прямой и не имеющих общих периодов, не является периодической. Существует ли периодическая функция, у которой: а) все рациональные числа являются периодами, а все иррациональные нет; б) все иррациональные числа являются периодами, а все рациональные нет? 320 Задачи повышенной трупноеги «о. 61. 62. 63 64 65. 66. Докажите, что функция не является периодической: в) f (дг) = cos X cos (д:/2); б) fix) ~ cos X + cos (дг л/2); в) f (х) = sin х^; г) f ix) - sin -Jlc. Найдите наименьший положительный период функции: &) у - cos® х\ в) у-cosix-j2) + C08-~i <2 Ь) у = -J\ sin 2jc| ; г) i/ = {-1 - 2дг}. Докажите, что функция не является периодической: б) ^ = sin I д: I; г) у = sin X + sin ixyfZ). а) y = ^fx; в) 4/ = дг® + дг f 1; Сравните числа: а) log^ 3 и logs в) 2®'“ и 3®'“ ; б) logg 10 и Ig 11; г) cosec i и 41 1 - sin - 1. 2 У 2) 67. G8. 69. Расположите в порядке возрастания числа: а) sin 4°, cos 2, tg 3, ctg 6; б) sin 10°, cos 275°, tg 190°, ctg 100°. Известно, что функция у = f (x): 1) возрастает; 2) убывает на промежутке I. Является ли функция у = kf (х) возрастающей (убывающей) на промежутке I, если известно, что: а) к > 0; б) к < 0? Пусть f — возрастающая и положительная на всей числовой прямой функция. Докажите, что: а) функция у = (х) возрастает на R; б) функция y=f^\ убывает на R; в) функция у = (х) возрастает на й; г) функция у = \g fix) возрастает на R. При каких п функция / может иметь ровно п точек .экстремума, если известно, что /: а) четная; б) нечетная; в) периодическая функция? Среди функций вида f (х) = ах + Ь найдите все такие, что для любого х: а) f if (х)) = f (х); б) f if ix)) = х. Найдите функции f^ (х) = / (/ (х)). f^ (х) = / (/ (/ (х))) и т. д., f„ (дс) = f if if... (/(х))...)) и область определения f„ (х), если: а) fix) = 3-xi б) /(х) = -^; в) f (х) = 1- 70 Среди функций вида: а) у = 1 ах + 6 • б) I/ = — найдите СХ-¥ d ах ^ Ь все, совпадающие с обратными к самим себе. 321 За^дачи fiobbiitieiiiioif тр>дно('ти 71. Приведите пример обратимой функции, определенной на отрезке [0; 1] и имеющей две точки экстремума. Найдите функцию, обратную данной. Постройте графики найденных функций (72—73). 72. а) j/ = V7TT; б) I/= Ig (1 - Jf); ®) У = f") У = у!^ёх. 73. а) у = sin X, дг 6 ’ 2 ]’ У = х, х е [0; п]; в) у = tg X, X е ^ -1; 5 j; г) «/ = ctg х, х G (О; п). 7. Графики функций 74. Докажите, что: а) график четной функции симметричен относительно оси ординат; б) график нечетной функции симметричен относительно начала координат. 75. Дополните (если это возможно) графики функций, изображенных на рисунке 156, до графиков периодических функций с наименьшим положительным периодом Т, являющихся при этом: а) четными; б) нечетными. 76. На рисунке 157 изображена часть графика периодической функции, определенной на всей числовой прямой. Каким может быть наименьший положительный период функции f? Рис. 156 I 2 X а) 6) в) Рис. 157 322 Залпчи повышенной трудности Рис. 158 Дан график функции у = f (х) (рис. 158). Постройте эскиз графика функции (77—78). 77. a)j/ = /(-2x); 6)i/-f(|x|); в) {/=/^ (1 - х): г) {/= |П->г)1- 78. а) у = -2f (х): 79. 80. 81. б) j/ = Г(х) в) y = f(2x + 4); г) у = -f (-1x1). Найдите последовательность преобразований, с помощью которых из графика функции / может быть получен график функции <р: а) / (х) - sin X, ф (х) = sin х + cos х; б) f (х) = sin^ X, ф (х) = sin'* X + cos'* х. Докажите, что график любой дробно-линейной функции у ^ ^ (с * О к ad - Ьс * 0) может быть получен из графика сх ^ d у = — параллельным переносом. Укажите коэффициент к. X Найдите на1{большее и наименьшее значения функции (на К): а) / (х) = 2 cos 2х + sin^ х; г / „v ^ 1 в) f (х) = 2 sin* X - cos 2х; б) Z(x) = ^==, ^2х*-4х + 3 г) f (х) = cos* X -ь cos X + 3. 82. Найдите промежутки возрастания (убывания), максимумы и минимумы функции: X* + X — 2 а) у = 2 sin X -1 3 cos х; б) и = „ -; X* -1 а) у = cos 2х - 2 cos х; г) у = Ig sin X. 83. Найдите асимптоты графика функции: а) 1/ = б) у ~ X* + 1 в) 1/ = х-2' X ' ' " |х| + 1 323 Залочи лопышснний трулностн г) У = Постройте график каждой из функций (84—85). 12 + JC - . 84. а) I/= {1,5х - 1}; ^1-COS^ X б) у = - в) у = cos X г) 1/ = х^ -16 Jl+ 2х+ х^ х+ 1 85. а) I/ = sin X д/cos^ х + cos х ^/sin^ х; б) у = -^1 -со8^ X + sin х; в) р = sin^(^tg х) + cos^ X (.ytg х); г) у = - sin* X + cosx. Постройте график функции (86—89). 86. а) р= {х)-1 ; 6) в) p = г) p=log,f. 87. а) p = VW: б) у = у[Щ\ в) р = {хр; г) р = {х*}; д) «/ = т^- [jc] 88. а) р = -/х + л/^; в) у =ctg~ sin х; б) y = yjlog2ooocos^x; г) у = {cos х). 89. а) р = sin (arcsin х); б) р = arcsin (sin х); в) у - cos (2 arccos х); г) р = arctg (tg х). 90. Найдите с помощью эскизов графиков число решений уравнения: а) sin X = ЮОх; б) arcsin х = х; в) Ig X = cos х; г) X® + tg'^ X = 100. 91. На рисунке 159 изображен график функции р = ах® + ftx® + сх -I- d. Определите знаки коэффициентов а, Ь, с, d. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию (92—96). б) |р| = |х®- 2x1; г) |р| = sin X. б) |х - 3| < 1. |р- 4| < 1; г) |х -t- р| + |х р1 > 2. 92. а)х(р-2) = 0; в) (X - 2) (р + 4) = О; УЗ. а) |х| < 1, |р| < 1; в) |р|>|х+ 1|; 2- .2 , < 0= Х'^ + р^ - 1 б) |х| + |р| = 4; г) хр-1 р-1 в) /х+р > |х|; 324 Залачи пивышекной тру.чности в) 95. а) + cos^ д: = 1; в) |j/| = log,||jr + 2| -l|. г) Рис. 159 б) = х^у^ + 1; 9«. а) ^х + у > ./Н; б) |дс| - |у| < а; в) [дг] < [у]; г) {дг} > {у}; д) i > —; е) sin х > sin у; ж) min (дг; у) = 1; з) ху + 1 > 0. У §3. Уравнения, неравенства и системы 8. Рациональные алгебраические уравнения 97. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение. Найдите знаки корней; а) - 2 (а - 1) X + 2а + 1 = 0; б) (а - 3) х^ - 2 (За - 4) X + 7а - 6 = 0. 98. а) Для каких значений а один из корней уравнения (а - 2) х^ - 2 (а + 3) X + 4а = о больше 3, а другой меньше 2? 325 Зачачи повьииснний тр>дн<м'ти !>9. 100. lOl lOZ. 103. 104 105. 106 б) Найдите все значения а, при которых оба корня уравнения (2а + 3)л'^ + (а+ l)jc + 4 = 0 принадлежат отрезку [-2; О]. Числа X, и Xjj — корни уравнения + рх + q = О. Выразите через р и q: а) х^ + б) х^ + х|; в) \ + | ; г) х{ + xj. Xj Xg а) Сумма квадратов корней уравнения х^ - 4х + р - О равна 16. Найдите р, б) При каком значении а сумма корней уравнения х^ + 2а (х - 1) + 1=0 равна сумме квадратов этих корней? Уравнение ах^ + бх + с = О не имеет действительных корней, причем а + Ь + с < О. Определите знак с. Докажите, что если уравнения сх^ + 6х с = О и Ьх^ + сх + а = О (а * 0) имеют общий корень, то и уравнение сх^ + ах + Ь = О имеет тот же корень. Докажите, что: а) если Хд = ^ — несократимая дробь, явля- 9 ющаяся корнем уравнения а^х" -f а,х" ’ + ... + а„ = О с целыми коэф<11Ициентами, то р — делитель а„, а q — делитель а^; б) остаток от деления многочлена Р (х) на одночлен (х - а) равен значению этого многочлена в точке а (в частности, если о — корень многочлена Р (х), то этот многочлен делится на (х - а) без остатка). Пользуясь результатом задачи 103, решите уравнение: а) 2х-^ - х2 + X + 1 = 0; б) Юх^* - Зх^ - 2х + 1 = 0; в) х^ + х^ х^ - X - 2 = 0; г) 2х'' + 7х* + 6х^ + 7х - 6 - 0. Решите уравнения (105—114). а) (X + 1) (X + 2) (X + 4) (X -ь 5) - 40; б) (X - 1)^ + (X + 3)'' = 242 (X + 1); в) (X + 1) (х -1^ 2) (х + 3) (X + 4) = 100; г) х^ + (X + 2)-* = 17. 1 1 _ 1 . а) в) х(х+2) (ж+1)2 12’ — 1 + 2 =1; (Х + 2ИХ-7) (х-2)(х-3) б) 6- 21 Х^ - 4х + 10 = 4х-х“^; 107 г) (х^ - Зх + 1) (х^ -ь Зх + 2) (х* - 9х + 20) = - 30; 6х ^ Их а) X* +^-b2|^x-t--j = 6; 326 3».'1Я'1И 11ПНЫ1Ш‘11И<>Н ТруИИЧ’ТИ б) , =2. X* ^2х f 3 + 7х+ 3 108. а) jc^ - 2х^ + -х^ - 2дс + 1 = 0; 4 б) 2х* + х^ - Зх'^ + JC + 2 = 0; в) X* - 2лг^ - Зх* + 4х + 4 = 0; г) х‘ - 4х-'* - 18x2 _ 12х + 9 = 0. 109. а) ex'! + 8x2 - X - 190 ^ Q; б) 4х‘‘ - 4х'2 + ^ = 66. 2 110. а) х" + 4х 1 = 0; б) х'’ - 4х^ 1=0. 111. а) 2 (х2 + X + 1)2 - 7 (X 1)2 = 13 (х2 - 1); б) (х2 - X + 1)2 + 2 (Х^* + 1) = (Х + 1)2. 112. а) х2 + - =7; (3+х)2 б) х2 + = 1. (1 + Х)2 113. а) х2 + |х| - 2 = 0; б) х2 - 2х - 3 = |3х - 3|. 114. а) ||||х-1| + 2|-1| + 1| = 2; б) 2|х + 6|-|х| |х-6|= 18; в) |2х-3| = |х2-2х-6|; г) |х + 1| - |х| + 3 |х - 1| - 2 |х - 2| = X + 2. 9. Рациональные алгебраические неравенства Решите неравенства (115—118). 115. а) (х2 + Зх + 1) (х2 + Зх - 3) > 5; 3(х-1)(х + 2)2 б) >0; (х2 + 1)(х + 1)2(х-2) 116. а) х^ + Зх-2 + 2x2 + Зх + 1 > О; б) (X - 1) (X - 3) (х - 4) (X - 6) > 17. 117. а) X*® - x^2 + х'® - х^ + х2 - X + 1 >0; б) х'2 - X® + х^ - X + 1 <0. 118. а) |х2 - 2х| < х; б) 3x2 _ _ з| > 9х - 2. 119. Докажите неравенство: а) ^ -Job (« > О. Ь > 0); б) а + i > 2 (а > 0); 2 а в) *^ * ^’* *^ * *^ ^ \jabcd (а, Ь, с, d — положительные числа); 4 г) а + Ь^с ^ зг-гг > УаЬс (а > О, Ь > О, с > 0). Докажите неравенства (120—124). 120. а) fl2 + + с2 > оЬ + ас + Ьс; б) (а + Ь) (Ь -h с) (с + а) > 8аЬс (а > О, Ь > О, с > 0); 327 Лйзачм iinnbiuiOHiroH TpvnHrMnM в) если а + Ь + с = 1, то 3 г) а* + Ь* + с* > аЬс (а + Ь + с). •ШП, 11 1 ”-1 121. ^ +-L + ... + Л < . . 22 32 п2 П 122. (а + Ь) (а® + 6») < 2 (а< + Ь% 123. 5а2 - 6afc + Sb^ > о (а^ + ^ О). 124. .^(а+с) (Ь I d) > .[аЬ + -Jed (а > О, Ь > О, с > О, d > О). 10. Системы рациональных алгебраических уравнений Решите системы уравнений (125—134). 125. .) (х-у){х’‘-у^) = 3а^, (х-^ у)(х^ + у^) = 15а^; б) х^-ху+у2 =21. у^-2ху+ 15 = 0. 12в. U + L> =2, |3u-i>|=l; б) |х-11 + |у-2|=1, /x-l + -Jx + S-G-Jx-l = 1. 148. a) Vx-2+Vl-x = 17; 6) ^x(2 -x) + ^x"‘(2-x)''(x + 3)® + ^(x-2)(x+ 1) x^ + + ^(x + 2)(x + 6) =2. 149. a) ®V^7l^ + 2 ^x^-l = 8^yj{x-lf ; 6) M(2-x)^ + ^(7 + л:)2 = ^(7+x)(2-x). 150. a) VxTT + VSx + l = ^x-1; 6) Vx + \lx-16 = ^x-8. 151. a) ^12 +'x ^ Vl2j_jc ^ 64 ^ gj х2-5х-4л^ + 13 = 0. X 12 3 ’ 152. 1+ х-л/г X + JC* 1 + X + Vix + X' = 27 л/2 + X + \/x V2 + x-4x 153. Для каждого действительного числа а найдите все решения уравнения: а) х + л/l-x^ =а; б) ^х^ -1 + х = о. Решите неравенства (154—158). 154. а) д/х^-Зх+2 >2х-5; б) л/Зх-х^ <4-х; в) зУх-л/хТз>1; 155. а) 1-л/Г 4х*^ <3; б) г) х-.^1 -|х| <0. у/х^-1 + 1 >1: в) 4х* + 12x^1 + X С 27 (1 + х); г) л/х + л/х + 7 + 2.^х® + 7х < 35-2X. 331 Задачи повышенной трудности 15<>. а) -2дг + 3 < •j4-x’^; б) л/З-х-л/х+1 > К 157. а) х + --=й=>^1‘. 3x2+1 158. а) ^9 + 3*-2 >9-3^; б) >2: в) logg{- X -1) < 0; г) ^4*’ ‘ + 17 -5 > 2^ Решите системы уравнений (159—162) б) 159. а) Рл/^л/у = [ XI/ = 64; £ + /У - 5 [х +1/ = 28; 1б«..) [2х + у = 7; в) 161. а) 162. а) в) x-y + -Jx^-4y^ =2, X® д/х2-4у2 =0; г) б) г) у \х 2' х+ у = 5; |V^+Vy=3, + = 2. [ х2 + 2{/ + .Jx2 + 2у + 1 = 1, [2х+ 1/ = 2; 1-1=1 Д(ху =6. х^-у4^ =36, у^-х4^ = 72; б) Ху[х + Зул/х = 36, у4у -^2х4у =28; е,. Зх-/ху+ 2|/=29, 2х-4^-у = 20; г) I 6х ^ Р'*^У = 5 \х+у \ 6х 2’ Х1/-Х-У = 0. 2'4i-2 4^=341^, X - J/ = 63; ^х2+ у2 + ^5 + У? ■Jx'‘‘ + у^ -■Jx'^ - у^ S--/7 х® + 2«/2 =118. 332 Зачпчи иовьииснной трулн«ч'Т11 13. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы Решите уравнения (163—165). 163. а) 3 + 2 sin 2х = tg X + ctg х; б) tg JC - sin д: = 1 - tg jc sin jc; в) sin^ X + sin^ = sin^ Зд:; г) у/б sin X - 2 cos jc = 0. 164. a) |дс| sin ДГ + ДГ = 0; b) I д:| cos д: — jr = 0; 6) .yiinjc^n^ + 2x = 0; (^] 165. a) 1 - - tg"* ДС = 17; 6) tg Зд: - tg ДГ = 2 (sin 4дг - sin 2дг); в) 3 (log, sin д:)^ + log, (1 - cos 2дг) = 2; г) 2 21« cos* 166. Докажите формулу: a) sin a = b) tg a = 2tgl 1+ tgi^f 2 a ’ 6) COS a = ■ 1- tg 2 a 2 . 1 + tg 2 « 167. 168. 1-tg ^ Решите уравнение: a) sin 2дг + tg ДГ = 2; r) ctg a = 2tgf 6) sin ДГ + ctg 2=2. 169. 170- 171. 172. 173. Докажите тождество a sin X + b cos x = A sin (x + /з tg^Jc-4 tgjr +л/З >0; б) < 11-2 sinх; sin д; f 1 в) <2-tgx; tgx+1 г) tg X + ctg X > V3 + -^. V3 178. a) cos 2x < cos 3x - cos 4x; 6) cos^ X + cos* 2x + cos* 3x + cos* 4x > 2; b) sin 2x + 2 sin x > 0; r) (1 + cos 2x) (tg X - VS) > 0. 179. Докажите справедливость неравенства: а) ^созф < V2 cos ^, если ~ 2 ^ ^ • б) sin* a + cos* Cl ^ I при любом a. 18l>. sin Решите неравенства (180—181). Л 2 ■ in ^ ^ cos ЛХ j > 181. ^ -2 sinx > 6 sinx-1. 182. Докажите, что если 0 < x < 5, то cos sin x > sin cos x. 18,3. Докажите, что если A, В к С — углы треугольника, то cos А + cos В + cos С < 2. Решите системы уравнений (184—186). 184. а) sin X------= sin у, sinx б) cos X — cos у; sin (у - Зх) = 2 sin* х, cos (у - Зх) = 2 cos* X. 18.5. tgx 4 tgj/ = 2 7з. 186. tg X tg у = ^ + 3, С08 X С06 у cos у cos г tgxtg^= -3. cos X cos г 334 Залвчи повышенной трудности 14. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства Решите уравнения (187—189). 187. а) (л/5 += 10; б) 3^ + 4^ = 25; в) (2 + ^fзy +(2-л/3)^=4; г) (2 +л/З)* +(2-л/3)'=4'. 188. а) |д:-ЗР^* в) |д:-2 1*°-'* зх-1 ^ 189. а) 2"‘"*' + 4 2'^“** = 6; 2 совЗж . = V^; б) jr'* г) З'*! = sin дг*. 6) з'е»« * _ 2 3‘« ^ = 1; з) Ф') ♦ 2 со* 2х _ 7.41 . с« = 42 . г) (2 sin Х)"*' = 1. 190. При каких значениях а уравнение а (2^ + 2 ■') = 5 имеет единственное решение? Решите неравенства (191—192). 191. а) 2*+21'1 > 2л/2; б) 25 2* - 10* + 5^ > 25; -1 в) а* < г) 2*“ 192. а) (х-2)*"-®*‘® >1; б) 9'^'* 193. Найдите все значения а, для <2. + 1 4*-а 2* — а + 3<0 имеет хотя бы одно решение. 194. Решите систему уравнений: а) в) 32* + 42у ^ 82, 3*-4i' =8; 1 2“**+ 2™'*' =5, I сое X + 2 '“»=4; б) г) (2**1-3) 2«'-‘ = 1, ^Зх + = х + у; д2 4rz«co*v — 3, 9“”f'-81‘«* =2. Решите уравнения (195—197). 195. а) /TTiogTlc + ^/ilogTx^ = 4; б) logfi 2* ’ ® - logg 13* - 31 = х; в) log, (3 + |sin х|) = 2l*l 2; э г) ^1 + Ig tg X + ^1-lg tgx = 2. 335 За.1ачм повышеннои трулнагти 196. а) 9jc'** + 91дг-‘8* = 60; б) | а: -1|'“** * *‘*’** ** = | x-iP; 21eM-3lgT в) jc * =0,1: г) log, (jc* + л: - 6) = 4. 197. а) Ig (arctg д:) + Ig (arcctg х) = а; б) log,,, (х^ - 9х + 8) log, . J (х + 1) = 3; в) arcBin (Ig х^) + arcsin (Ig х) = ”; О г) 1ое, .,2 (9-16х^)=2 + logjl 3-4x2) 198. При каких значениях а уравнение 2 logg х - | logg х | + а = 0 имеет четыре решения? 199. При каких значениях а уравнение 3xlg х = 1 + о Ig х имеет: а) одно решение; 6) два решения? 200. При каких значениях а уравнение х In | х | = а имеет один корень? Решите неравенства (201—203). 201. а) logg (1 + log,X - logg X) < 1; 9 б) log^ (X - 1)2 - logo 5 (д^ - 1) > 5; в) log, (logg log, , 9) > 0; 2 г) logg (log, logg X) > 0. 202. a) logg (2^-1) log, (2^*‘-2) >2; 2 6) 3“**''+x'"*®*<6; Г) 5''**%x'‘*='<10. a) З'в'*2 < 3‘ftZx.5_ 2; 203. a) log,_3 (X - 4) < 2; 6) 2'**= . 8x*i5>^ j. B) log,a ; r) log, (logg (3' - 9» < 1. 204. Известно, что неравенство logo - x-2)> logo (3 + 2x - x2) выполняется при x= -. Найдите все решения этого неравен-4 ства. 336 Задачи iiOubiuieHMuB ip>;iHCH'Tti Решите системы уравнений (205—206). •205. а) ' log* J/ = 2, 6) |(х-ну)* = (х-у)". log*,. I (у + 23) = 3; [ logg X = 1 + logg y; в) (x-y)2*' *=125, г) 12 logg X -3** = 15, lg2 (x-y) = 1; [3*' • logg x = 2“’*8*-^3*''^ 2<К>. а) 3-*=(i] . log2 (sin X - cos y) + log2 (Sin X + cos y) = -1; 6,. logg sin X + logg siny = -2, loga cos X logg cos у = 1-lOgg 4. §4. Начала математического анализа 15. Производная 207. а) Докажите признак возрастания функции: функция / возрастает на промежутке I тогда и только тогда, когда для любых двух значений аргумента х и jc + Дх (где Дх * 0) из про- г л межутка I выполняется условие — > 0. Лх б) Сформулируйте и докажите аналогичный признак убывания функции на промежутке I. 208. Пользуясь доказанными признаками (см. № 207), найдите промежутки возрастания и убывания функции: а) f{x) = 2xh б) /(х) = 3-4х; в) /(х) = 3-х^; г) ^(х) 1-2. 209. Пользуясь определением производной, докажите, что функция f дифференцируема в точке х^, если: а) f(x) = X |х|, Хд = 0; б) fix) = \х^ - 1| (х + 1), Хц = -1; х^-1 при х<1. в) f (х) х^-X при X > 1, Хо=1; X* при X? о. г) f(x)^ х“ при X < о, Хо = о. 210. Докажите, что если функция f дифференцируема в каждой точке числовой прямой и для любых значений х, и Х2 выполнено равенство f (х, + Хз) = / (х,) -i- / (xg), то f (х) постоянная. 337 Задлчн ппвьтшеинои трулностп v;ii. 212. 213. 214. Докажите, что функция f(x)=i[x^ не имеет производной в точке 0. Верно ли, что функция «р (х) = (х) {х) не имеет произ- водной в точке Xq, если: и) f\ (Jf) дифференцируема в точке х„, а (х) нет; б) обе функции не имеют производной в точке х„? Докажите, что если функция f дифференцируема в каждой точке числовой прямой и для любых значений х, и Xj выполнено равенство f (х, + х^) = f (х,) f (х^). то f (х) = или f (х) = о. Выведите формулы производных обратных тригонометрических функций: а) arcsin' х = в) arctg' X = 1 1 1 + х^ ’ б) arccos' X = - 4\- г) arcctg' X = - - 1 + х'' 215. 216. 217. 218. Найдите производную функции: а) у = хЧ б) у = (sin х)“*'. Найдите п-ю производную функции у = 1 X* - Зх + 2 Докажите, что если f (Хд) = g (х^) и f (х) > g' (х) при х > х^ , то f (х) > g(x) при X > Xq. Вычислите сумму: а) 1 + ?+ “* +...+ " - ; 2 2^ 2® 2"'* б) 2 + 3-?+4 t + ...+(л 4 1) —2-. 2 22 2» ' 2" ' 16. Применение производной к исследованию функций Исследуйте функции на возрастание (убывание) и экстремумы (219—220). 219. а) / (х) = x2(Vx-1); б) f {х) = х^ -Jl -2х; в) f (х) = 6 sin X - cos 2х; г) f (х) = 2 sin х + 3 cos х. 220. а) f (х) = -0,2х® + 0,5х^ - х® - х* - х; б) f (х) = 0.8х® - X* + 4х'^ + 2x2 ^ 221. Найдите все значения а, при которых функция f возрастает на R: а) /(х)=- х^ (а -1) X* + 2х + 5; б) f (х) = 2x2 - 3 (а + 2) х2 -ь 48ах + 6х - 5. 338 Задачи повышенной трулности 222. 223. 224. 225. 226. 227. 22b. 229. Докажите, что данное уравнение имеет единственный ко-{>ень: а) cos O’ = ^ - х; б) sin х - -х — п. Решите неравенство: а) 2 + sin X > J t х^ б) 2 - cos X > Докажите, что любое кубическое уравнение + fcx + с = О имеет хотя бы один действительный корень. Докажите, что многочлен степени п имеет не более чем п корней и не более чем (п - 1) точек экстремума. Докажите, что каждое свое значение многочлен степени п принимает не более чем п раз. Р(х) Пусть Я (х) ~ — дробно-рациональная функция (п — сте- пень Р (дг), т — степень Q (х)). Докажите, что: а) R (х) каждое свое значение принимает не более чем при k = max (т, п) значениях х; б) Я (х) имеет не более чем (т + п - 1) точек экстремума, если т * п, и не более чем (т ^ п - 2) точек экстремума, если т = п. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: а) f (X) = 4х=’ - X |х - 2| на [0; 3J; \ 10 б) /(Х) = ГП8Х Я X* + 4т1Х+ 41 COSX 230. 231. Три пункта А, В, С не лежат на одной прямой, причем /АВС = 60'. Одновременно из точки А выходит автомобиль, а из точки В — поезд. Автомобиль движется по направлению к В со скоростью 80 км/ч, поезд — к С со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ = 200 км? На странице текст должен занимать 384 см^. Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, правое и левое — по 2 см. Е5сли принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы? Расходы на топливо для парохода делятся на две части. Первая из них не зависит от скорости и равна 480 р. в час. А вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости, причем при скорости 10 км/ч эта часть расходов равна 30 р. в час. При какой скорости общая сумма расходов на 1 км п^ти будет наименьшей? 339 •Чалачи повьииениий т’рулнгч'тн 232. Найдите кратчайшее расстояние от точки Л/ (О; 1) до графи- 1 233. ка функции f(x)=- Что больше: а) 3>'2 или 2'^з. б) 1 '^19В7 ИЛИ 1 ( 1 "|]988у U988 j 234. то: х2 . 2 ’ б) sill X > X - ^3 6 ’ х2 х^ Г) хЗ Х^ „ + • sin X < X - + - 2 24 6 120 б) In (1 + дг) < д: при дг > О. 1987 j Докажите, что если х е ^0; ^ j, г2 а) cos JC > 1 - —; в) cos дг < 1 - 235, Докажите неравенство: а) > 1 + X при X > 0; 23в. Решите уравнение: а) In X = 1 - х; б) 2* = 3 - X. 237. Найдите число корней данного уравнения в зависимости от параметра а: а) дг^ - Зх = а; б) |х® - 4х + 3| = ах. 238. К реке шириной а проведен под прямым углом канал шириной Ь. Какую максимальную длину могут иметь суда, чтобы пройти в канал? (а и Ь измеряются в метрах). 239. Найдите минимальное значение функции |о_2 /(х)=2х+ + COSX на интервале (0; 10). X 17. Применение производной в физике и геометрии 240. Колесо радиуса R катится по прямой. Угол <р поворота колеса .2 за t секунд определяется уравнением <р = f + ‘^ . Найдите скорость и ускорение движения центра колеса. 241. Лампа подвешена на высоте 12 м над прямой горизонтальной дорожкой, по которой идет человек ростом 1,8 м. С какой скоростью удлиняется его тень, если он удаляется от лампы со скоростью 50 м/мин? 242. Под каким углом пересекаются графики функций у - 8 ~ х и у = 4 л/х + 4 ? 243. Запишите уравнение касательной к графику функции f, проходящей через точку М, если: а) / (X) = ^ М (0; 3); б) / (х) = х* - 4х + 1, М (-1;-3); X _____ в) f(x) = ^/2x-l,M('l: 0); г) /(х) = VO-x^ , М (0; 6). 340 Задачи повышаття тру.дносги 244. Найдите все значения аргумента, при которых касательные, проведенные к графикам функций f {х)-Ъ cos 5х и g (дг) - 5 cos Зх + 2 через точки с этими абсциссами, параллельны. 245. Докажите, что отрезок касательной к гиперболе у = - , за- X ключенный между осями координат, делится точкой касания пополам. 24(>. Докажите, что треугольник, образованный касательной к гиперболе ху = и осями координат, имеет постоянную площадь, равную 2а^, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника. QX “ Х^ 247. При каких значениях а график функции f (х) - ~ — пере- 4 секает ось абсцисс под углом 45° (хотя бы в одной из точек пересечения)? 248. При каких значениях а и Ь прямая у = 1х ~ 2 касается графика функции у = ах^ + Ьх + I в точке i4 (1; 5)? 249. Докажите, что при любом значении а существует касательная к графику функции f (дг) = — ах, перпендикулярная прямой у - -X. 250. Опишите множество точек М,, координатной плоскости, где (Л = о, 1, 2, ...) — множество точек М (х; у), таких, что из точки М (х; у) можно провести в точности k касательных к параболе у = х^. 1в. Первообразная Найдите все первообразные для функции f на R (251, 252). 2.51. а) /(х) = 1х|; б) /(х) = |х-1|; в) /(дс) = I- 11- 2.52. а) f (х) = X -Jl + х^ ; б) f(x) = xe ; в) / (х) = ctg X, X 6 (0; It); г) f (х) = tg х, х е | j. 25.1. Найдите все функции /, такие, что: а) f{x)= \ и /(3) = -1; х-1 б) Г (X) = 3 - X, / (0) = 1, Г (1) = 0; в) /' (х) = cos X н f(e) = к; г) Г(х) = -1 и fm = f(2) = 0. 341 .Ча aiami iioabiimMiiioii гру/пшпи 261. 262. а) f (х) = б) f (X) = при х> 1, М (4; 0). 254. Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М. Постройте график первообразной. С08Х при х<0, 1 при х> о, М (0; 0); 1 при X < 1, J_ Гх 255. Докажите, что любая первообразная нечетной непрерывной функции, определенная на [-а; а], является четной функцией. 256. Докажите, что четная непрерывная функция, определенная на [ а; а], имеет по крайней мере одну нечетную первообразную. 257. Два тела начали движение по прямой одновременно из одной точки. Скорость первого п(^) = - 6<, второго v (<) = lOt + 20. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча? (Скорость измеряется в метрах в секунду.) 258. Пусть при движении по прямой тело массой т в точке с координатой X обладает потенциальной энергией и (х). Докажите, что: а) координата х (f) тела при движении по прямой удовлетворяет дифференциальному уравнению тх" (t) = -и' (х); б) потенциальная энергия и (х) материальной точки массой т, совершающей гармоническое колебание х" = -<о^х, кх^ равна где k = (положите и (0) - 0). mv^ 259. Докажите, что полная энергия Е = — - + и (х) материальной точки массой т, движущейся по прямой согласно второму закону Ньютона, сохраняется (и (х) — потенциальная энергия). 260. Пусть X, (0 и Xg (0 — два решения уравнения х" (<) = -м^х (f). Докажите, что функции х, (t) Xg (<) и fex, (О. где k — произвольное число, также являются решениями этого уравнения. Докажите, что существует решение уравнения х" (<) = = -ы^х (0. имеющее вид х - А cos -t- <р) и удовлетворяющее начальным условиям х (0) = х^, х’ (0) = Од. Пользуясь результатами задач 260 -261, докажите, что любое решение дифференциального уравнения х" (t) - -oj пуп П П j б) lim f ’ + * + ... + ’ 1; п^к\П-¥1 п+2 п-^-п ) в) lim --------------- при р > О; п -** л ^ * Г) lim I ’ 4- -- + ... 4 -1 при р > 1. п-*чу(п + 1)^ (п + 2)'’ (n*n)f‘ J 272. Вычислите: 2п а) J cos^rtjcdx (п е JV); о 2л б) I sin/гд: COSmjcdx (т е k ^ N); о л я в) J sin^ X dx: г) J sin3ar cosSjcdor. о 273. Используя геометрическую интерпретацию интеграла, вычислите: г 1 а) J ||jc|-l | f (-Xj), так как f убывает на [о; 6], следовательно, f (Xg) < f (х,). 93. в) 1) D(f) = [-6; 61, Е (/) = |-2; 21; 2) функция нечетная; 3) (-4; 0), (0; 0), (4; 0) — точки пересечения с осью Ох. (0; 0) — точка пересечения с осью Оу; 4) / (х) > 0 на (—4; 0), (4; 61, Пх) < о на [- 6; -4), (0; 4); 5) f возрастает на 1-6; -2], (2; 61, убывает на [-2:21; 6) х„,„ = 2. f(2) = -2, х„,„, =-2. /(-2) = 2. 96. г) 1) D{f) = = E(f) = R; 2) (1; 0), (0;-1) — точки пересечения с осями координат; 3) / (х) < о на (-оо; 1), /■ (х) > о на (1; оо); 4) f возрастает на R. 97. в) 1) 0(0 = [-1; оо). £(/)^10;оо); 2) (-1;0), (0; 1) — точки пересечения с осями, 3) f(x) '■ О на (-1, оо), 4) f возрастает на [-1; оо). 347 Огветы и указания к упражнсниял! 98. в) 1) /)(/) = £ (Л = Л; 2) функция нечетная; 3) (О; 0) — точка пересечения с осями; 4) / (х) < о на (-оо; О), f(x) > 0 на (О; оо); 5) f возрастает на й; г) 1) D (р) = [2; оо), Е (f) = [-2; оо); 2) (6; О) — точка пересечения с осью Ох; 3) fix) < о на (2; 6), f (jc) > 0 на (6; оо); 4) f возрастает на [2; оо). 99. в) 1) Dif) = R, Е (/■) = ^-<ю; ^j; 2) функция четная; 3) (О; 0), (-1; 0), (1; 0) — точки пересечения с осями; 4) ^ (х) < 0 на (-оо;-1), (1; оо), f (X) > о на (-1; 0), (0; 1); 5) f возрастает на ^-ос'; ^ ji [0; 0,5], f убывает на [-0,5; 0], [0.5; оо). х,^^ = ± 0.5, р (-0,5) = р (0.5) = 0,25, = 0. р (0) = 0 100. г) -С08^. -ctg5. 101. в) D(/)-|"^; ^ е Z. E(f) = R 102. г) /(х)>0 при ””<х<”-1 А(х)<0 при " + f (г) = 0 при x=” + ’^,neZ. 103. г) Возрастает на ^ ^ ЯП . П ^ ЛП 2 ’ 8 2 убывает на я ЯП . Зя ЯП 8 2*82 ]• Я . пп max 8 2 • ' 8 2 ■ ^ 104. в) График функции изображен на рисунке 3. 105. в) График функ 1 4 ции изображен на рисунке 4. 106. г) А =0,5, Т = 4, “=2> ПО. в) й, кроме чисел 2яп, п б Z. 111. в) [О; -J2]; г) (0: 2]. 113. в) Гра фик функции изображен на рисунке 5. 114. в) А =12, Г= 1,2 I (О = 12 sin 115. г) 2 -. 118. в) г) ". 120. г) 121. г) - " 3 122. в) г) 0. 124. в) Нет; г) да. 125. б) Нет. 126. г) - ". 127. в) " 6 3 ^ 348 Otiu'ti.i и VKii.uimul к упражнениям г) 128. в) -5; г) ". 129. в) Первое меньше. 130. в) 0,8948; 0,5010. 1.31. г) *32. б) Введем обозначения а = агссоздг,, р = arccos Xg. Предположим, что а < р. Так как а и Р принадлежат промежутку [0; л], где косинус убывает, получим cos а > cos Р, т. е. Xj > х^, что противоречит условию. 133. б) Указание. Используйте прием, описанный в решении упражнения 132 (б). 136. в) ± " + 2пп, п € Z. 138. г) - " + 2лп, п е Z. 6 2 139. г) (-1)" + ' • " + лл, neZ. 141. в) " + пл. 142. в) (-1)" • + 4лл, 4 6 3 п € Z. 143. в) ± arccos 0,3 + 2лл, п е Z. 145. г) -^" + 4лл, п ^ Z. 3 146. г) 2лл л 2лл 3 6 3 neZ. 147. г) (-1)" Зя + Зл ^ ^ ^ ^ 4 5 349 Ответы и VI укалания к улраж1гс1шям 148. в) (g + g ^ пп; ij. t 4пл; l). n e Z. 149. r) , 0. ". - .61. .) ( J-. ■■>;). .52. 15.S. Г) ( ;). .54, r. (- , Z,.-. -— + 2nn 1, n e. Z. 155. в) Г - " + 2пп; " + йтш], п е Z. 156. г) [- " + пп; 4 .1 [66J \2 - " + пл L п е Z. 159. в) (4пл; к + 4пп), п е Z. 160. г) ( ^"^" + 2пл; 4 7 V 24 ^^^^" + 2nnj, neZ. 161. г) + 2лл; п+2пл |, Л б Z. 162. г) ♦ + ^ arcsin ^ 4 ^ arcsiii ^ 4 "" 1, л е Z. 163. в) Г- "1. 164. г) (-1)" X 4 524 52у I44J X arc&in ^ 4 пп, п € Z. 165. г) 2пл, ± arccos ^ 4 2лл, п е Z. 166. г) п 4 2я«, 4 5 п е Z. 167. в) X, 4 пл, Xg 4 пл, х, =-arctg 2 ^-1,1071, Xg = arctg * = 0,4636, п е Z. 168. г) 4 " . пп, п е Z. 169. в) " 4 пп, arctg 3,5 4 пп, 6 4 л 6 Z. 171. г) i " 4 пп. л 6 Z. 172. в) (-1)'' ^ arcsin ' 4 . л е Z. 3 ' ' ' 2 3 2 173. в) (-!)"*> •" 4 ял. neZ. 174. в) nk п пп, 6 3 ’ k, п & Z. 175. *") [ 2 ~ "" j’ ” ^ [ 2 2nfc; "4 пп j, л б Z, Л б Z. Глава II 177. 6) 3) 1,2881; 4) яЛ (2Л 4 Л). 178. г) 0,205. 179. г) Дх = 0,125, Л/ = 0,1. 180. г) ^ . 181. в) 65 км/ч. 182. г) На 4 в отрицательном Хо(Хо 4 Ах) направлении, ц^,р = -2. 184. в) 1,5, острый. 185. в) 6 (2х + Ах) Ах. 186. г) АА -2хп -Дх Ах ((xo4Ax)2 + 1)(x2 ,1) . 187. в) и ^(2/о 4 АО. 188. б) Ми- нус, плюс, минус, плюс. 191. б) 2,5; 2,1; 2,01. 192. г) ~2, -4. 19.Ч. г) 5, 2. 194. в) -1. 195. г) j/ = 4x-4. 196. в) 2; г) 5. 197. в) Непре 4 рывна в точках Хр не является неп()ерывной в точке х.^. 200. в) 5; 4. 201. в) 6. 202. г) 0,25. 204. Л = 0,04 дм. 206. h = 0,01 дм. 208. г) Зх^ + 4 * . 209. г) -8x^4 9x^4 2. 210. в) .211. в) 7х® - 20х^ 4 2; 2^/^ (5x48)2 г) х-9х ^ 212. в) 1,5; 4. 213. в) 4;-1. 214. г) (-оо;-2). (2; оо). Зх2(2х®-4хЗ 4 5) 215. в) (1-х2)2 216. в) -1. 217. г) (-оо; 3), (3; оо). 218. г) На- 350 Ответы и указания к упражнениям пример, Зх^-^дг. 219. а) Пет. 220. г) f (х) = Зх -t ”, g{x) = voe х. 221. в) ^(х) = 2х+1, g(x) x\ 222. в) [-0,5; 0,5]. 223. г) [2тш; п i- 2пп1 nsZ. 224. г) - . 225. г) 65 (5х - 2)*^ + 24 (4х + 7) (6х If 226. в) I " t 2пп; + 2пп neZ. 227. а) 3 - 2x^; в) (3 - 2х)' ■ -> [е 228.6) ’ , [0; 1) и (1; ОО): в) t/cosx, - ” + 2т[«: ” ч 2nn L п е Z. Vx 1 L 2 2 J 220. 6) f(x) х^, D (П = [О; оо); г) /(X) » -/х^ 1. 230. г) -15х^ (3 - х^)* + ♦ ^ 232. г) 2 сов X - 1.5 sin X. 233. в) * . 234. г) 0; -I. ^/2х-7 2со.ч2х 235. г) - ” 2пп, п е Z. 237. б) 239. г) + ” + пп, лп: 2 sin22x 12 М 12 ” + 7Ш , п € Z. 240. в) Например, / (х) =-sin х. 241. г) Да. да. 12 / 242. в) Я; г) (-оо; 2), (2; оо). 243. в) 0,7. Указание. Проверьте, что /(0,8) < О, /(0.6) > О. 244. г) (-оо; 1), (2; 6). 245. в) (-оо;-4). [-2;-1). [2; оо). 246. г) (-оо; -3] U (-1; 1) М (3; оо). 247. г) m > 0. 248. г) (-2; -I). (1:2). 249. в) (-2; 0), (0; 3); г) (-оо; -5]. [2; оо). 250. в) (-со; -4] " [0; 4]. 253. в) 3. 254. г) 0. 255. г) у = Зх +1,1/- 12х - 17. 256. в) I/ = 2, j/ = 1 + t ” - X. 257. в) (-1: -1), (0; 2), (I; -1). 258. г) ^" + 2пп; ^2 ^ + 2пп - 1 jj. I ” + 2nrr, J2 ^2ля ^ 1 ~ ^ ]]• п £ Z. 2.59. а) arctg 3 в точке (0; 0), 7t - arctg 6 в точках (--/З; 0) и (л/З; 0); г) ” в точках ( ” + 2пл; 0 ], в точках (-g + 2лл; 0 j, п е Z. 260. а) г) 261. в) 24,52. -0,16; г) 40,52, 9,86. 263. г) 2,0004. 264. г) 0,9302. 265. в) 0,526. 266. в) 0,1247. 267. а) (-1^ + 41 + 5) м/с; в) 5 с. 268. 35 м/с, 22 м/с^. 269. (6/ - 4) рад/с, 20 рад/с. 270. а) 2,8 рад/с. 271. 121 см/с; а) с; б) ^ с. 272. в) 6 с; 12 6 б) 18 м/с. 274. 22т. 275. а) 0,04 Н; б) 0,0025 Дж. 276. а) 65 г/см; О 8/^ — 4- 21 б) 1 25 г/см. 277, о < / < 2 . 278. ” '__^ при / > О. 280. г) Возра- 3 ^41^-61 + 21 стает на (-оо; -3], [3; сх>); убывает на (-3; 3]. 281. в) Возрастает на (-оо; -2], [2; оо), убывает на [-2; 2]. 283. г) График функции и.зобра-жеы на рисунке 6. 284. в) График функции изображен на рисунке 7. 286. г) / (х) = -3x2 + бх = Зх (2 - X), / (х) < о при всех X из промежутков (-оо; 0) и (2; оо), следовательно, / убывает на [-2; 0] и (2; 3], / (-2) > 0. /(0)<0, /(2)>0, /(3) < о, по теореме о корне уравнение имеет единст- 351 Ответы н ука.тания к упражнениям венное решение на каждом из промежутков [-2; О], [2; 3]. 287. б) х^, х^, х^. Xg, Xj. 288. в) ±5 + 2т1л, п е Z; г) + 2. 290. в) х„^ = -1, x„jn = 0; "■) = = 291. а) f'(x)= - ; /'(x)5t0 ни при каких х; 2-Jx f (х) не существует при х = О, но эта точка не является внутренней для промежутка [О; о°). 292. в) (-1)"*' " + кп, п е Z; г) ± %■ 293. в) ± 3; 6 ч/З г) О; ± 2. 295. г) График функции изображен на рисунке 8. 297. г) График функции изображен на рисунке 9. 298. г) Возрастает на (-°о; -1], [5; оо). убывает на [-1; 5]. 300. в) D (^ = £(/)= R; ^ — нечетная; /■ (х) = О при X = О, х = ± J ^ / (х) > О, если х е -3 352 Ответы и укатания к упражнениям Рис. 10 Рис. 11 если X е ■\1^3 ]’ ^ возрастает на (-оо; -2], [2; оо); f убывает на (-2; 2]; =-2. М-2) = 4^. дг„,„ = 2. f(2) = -4^; г) D (f) = Е ([) = R', f - нечетная функция; f (х) — 0, если х = 0, х = fix) > о. если хб|-оо; < 0, если xg^-^; oj. f возрастает на [-1; 1], убывает на (-оо; -1], [1; оо); х = -1, ^(-1)=-2; X|j,n^=l, ^(1) = 2. 301. в), г) Графики функций изображены на рисунках 10, 11. 302. в), г) Графики функций изображены на рисунках 12, 13. 304. в) 2; г) 3. 305. в) шах /(х) = М2)=56, min f{x) = |0;2| Ю; 21 = /■(!) =-2; шах/■ (х) =/(3) = 594, min /■ (х) = / (2) = 56; г) max f(x) = (2i3| [2;3] (3;-21 = fi-2) = 2, min f (х) = f i-3)= 1,5; min/(x) = f (1) = ^, max A (x) =/(5) = |3:-21 H;51 2 [1:51 = ^. 307. 6 c. 72 м/с. 308. min / (x) = / (-2) = 9, m&x fix) = f{2) = 25. 6 [-2; 51 1-2:51 353 07яет1.1 и \’ка;«аинп к уиражнеии [о. L 10 С. 310. в) шах f (х) = fi^ 1=^0^' min Пд;) = / f -2; г) max f{x)^ а« I \ 2 } I 5. 2.51 2 = /(-3) = -4, min /(Jf) = /'(-5)--5 (б; 2,51 ^ 311. 24 = 12 + 12. 312. 4 = 2 + 2. 313. 12 м. 12 м. 314. 54 = 12 + 24 + 18. 315. 16 = 4 • 4. 316. 8 см, 8 см. 317. Высота— 1,5 дм, сторона основания 3 дм. Решение. Пусть X — сторона основания бака {х > О). Выразим его высоту через объем и сторону 13 5 основания. 13,5 = а:^-Л, , Найдем х^ поверхность бака S = + 4х + ^"^. Найдем наименьшее значе- х‘‘ X ние функции S(x) = х'** +‘’^ на промежутке (0; оо). S'(x) = 2x- , X х^ X = 3 — критическая точка. Функция убывает на (О; 3], возрастает на [3; оо). Следовательно, min S (х) = S (3) = 27. 318. 30 см, 20 см. <0; т) 319. 20\/2см, 20\^ см. 320. В точку, удаленную на 3 км от населенного пункта и на 12 км от точки шоссе, ближайшей к буровой вышке. 321. К точке отрезка AS, удаленной от S на 1 км. 322. -0,5. 324. Квадрат. Глава 111 327. г) Нет. 329. в) Например, —4х. 331. в) Нет. 332. в) Например, х. 334. г) f (х) = 3 — 2 sin X. 336. в) х + ^ + С. 337. г) -cos х - 2. Зх-^ 339, . в) — cos ^х + g j - 2. 341. г) x(0 = -cosf. 343. г) -sin^^-^j*C. 344. в)- +С. 345. г)- ’ - Зх'^ + Зх + 4,5. 346. в) ^ tg (Зх » 1)- 3(Зх-1) 2x2 3 -3cos(4-x) + x2 + C. 347. г) -^+ ^ х2-4 348. х (П= ’ t <2 _ 3 2 3 3 349. х(0 = 4 sin' + 2. 350. х (0=1^ + 2<2 + 21 + 7. 351. г) х(1)= ^ 1^ + 2 3 + l2 + i-l^. .352. в) —2; второй. 353. в) 2; г) 354. в) Ю^; г) п + 1. 3 2 3 354 Ответы и ука:}яннп к упражнениям 355. в) 1 ]. 356. в) v'S - ". 357. г) 1. 358. в) 0.9. 360. г) 10^. 3 4 3 3 361. г) 5 ’ 362. г) 4. 363. в) " + *. 364. г) >/3 - " 365. г) 4.5. 3 12 4 3 366. г) * . 367. 5 . 368. 4.5. 369. я) Пусть F (х) — первообразная для 12 3 f (X), G (jr) — первообразная для g{x). Тогда F (х) G (л:) — первообраэ-ная для f {х) + g (jf). Поэтому J (/(х)+ ^(д-)) *■ С {Ь) - F {а) - G (а) = F(b)-F{a)+G{b)-G{ а) = J/(j:)dx + J^(jr) dx. 370. г) 371. г) ". 372. а) - НУ, б) + г*). 1о о 3 3 373, 374. 0,16 Дж. 375. ( ^ - ^ ]. Указание. = где \ Ь а J у > О — постоянная. Поэтому Л уд]. V9 " x» r*- - чтя (« + 2б)й^ . 376. pg. О Указание. Сила давления жидко«;ти на погруженную в нее пластин- А 2 ку (вертикальную) вычисляется по формуле Я = pg J S{x)dx, где А, S (х) — площадь пластинки, глубина погружения Л меняется от Л, до Л2. 377 37g. 4 379 = 4 160000n=*-зрг. Решен ие. 2 3 6 Масса части стержня, отмеченная на рисунке 14, равна pS Ах; пренебрегаем диаметром стержня (считаем отмеченную часть отрезком длиной Ддс), тогда с точностью до величин порядка 0; г) а > 0. 405. а) о = 0; 5 " 3 б) о < 0; г) при всех а. 406. г) 407. г) . 408. i) 5\^. 409. г) ^ ^‘if320. 410. г) 6®. 411. г) (-оо; ^5]. 412. г) [0: 81]. 414. в) 0. 415. г) 2. 416. в) ^ I'ig . 417. в) ±6. 418. г) 8. 419. г) 0, -1. 420. в) -10; 2. 421. в) (16; 81). 422. г) 0; 0.4. 424. г) -12. 42.5. г) ±2. 426. в) (16; 4), ^36; I’j. 427. г) (27; 1), (-1;-27). 7 III 428. г) -Уб^. 429. B)fc *3. 430. в) 32. 431. в) 432. г) (3^ - 5^). 111 II 433. г) (а^ + 6^ )(о^ + 1). 434. г) + 4.35. г) х-1. 4.36. г) Первое меньше. 437. г) 10. 438. г) — ? . 440. г) 441. в) Равны. ч'2лн 442. г) Нет. 443. в) (0; оо). 444. в) о=±1; г) о = 0. 446. г) ( 2; оо). 447. г) Первое меньше. 448. г) 9.450. г) | х" - j/" |. 451. в) 169,8; 173,8. 452. 10'® « 172,4, 453. г) у = {3-^7У —убывает, (/= ' 1 — U-V7J возра- стает. 454. г) [1; оо). 455. г) -1; -1 . 457. в) 0; г) 1. Указание. С по- 3 мощью эскизов графиков «угадываем» абсциссу точки пересечения х = 1 остается доказать, что других точек пересечения нет. Для этого воспользуемся свойствами соответствующих показательной и линейной функций. При X > 1 функция у = 4” принимает значения, большие 4, а фупк ция у — Ъ - X — меньшие 4. (При х < 1 функции принимают соответственно значения — меньшие и большие 4.) Следовательно, других точек пересечения графики не имеют. 458. г) -1. 461. в) 4; г) 462. в) 4 4 г) -3; 1. 463. в) 3; г) -1. 464. в) 1; г) 1; 0. 465. в) (-2; -3); г) 4j 466. в) [2; оо); г) (-оо; 2). 467. в) {-оо; 0,5); г) (-1; оо). 468. в) -2; г) 2 469. а) -1; в) 2. 470. в) 2; г) 2. 471. в) (1; 2), (2; 3); г) (2; 1,5) 472. в) 1-3;-1J; г) |-оо; - ^ (4; оо). 473. в) (-2; ос); г) (-оо; 1) 356 Ответы и указания к упражнениям 474. в) (2; оо); г) [-1; оо), 475. в) (-оо; О]; г) [1; оо). 484. г) 49 485. г) 8. 486. г) 3. 487. г) logg 5, logg logg 1. logg 125. 489. г) 490. г) ^ . 491. г) 2 logy Ь - 3 - 7 logy а. 493. г) ^ Igc - 7 - ^ Ige - 8 Igfc. 25 4 3 2 fW ^ я ^ 494. г) 1+0 + 6. 496. в) -2. 497, в) ^ . 498. в) Решение. Рас- смотрим разность между выражениями, содержащимися в левой и пра- вой частях неравенства, сравним ее с нулем: logy 7 + ^ - 2 = log^ 3 log|7-2 logy7+1 (1-logy 7)2 logy 3 logy 3 > 0. r) Решение. Преобразуем яе- 1с«гЗ Id; 2 ^ вую часть равенства: = 5*‘«52 glogyS = 5'°**®. 499. г) (-оо; -4) U (4; оо). 500. в) 2 ^ j. 502. в), г) Первое меньше. 503. в), г) Первое больше. 505. в) + 2яп; ^ + 2пп j, п е Z. 506. в), г) О. 507. г) График функции изображен на рисунке 15. 508. г) л"2, 509. в) 5. 510. г) Нет. 511. в) 0; -1. 512. в) logy 10. 513. г) 100. 514. в) -2,35. 515. в) ^ - logy 2. 516. в) (0,7; оо). 517. в) (8; оо); г) (12; оо). 3 518. в) 5; г) 0. 519. в) 2; г) 0: 8. 520. в) 25, ^; г) 27, ^, 521. в) (32; 2), 5 3 (2; 32): г) (1; 1). 522. в) 4; г) 100, 10”. 523. в) 9; г) 524. в) 2; г) 2. 526. в) (1; 3): г) (-4; -3) U (4; 5). 527. в) (0; 0,001) U (10; оо); г) 27 : 27 528. в) “g"*" 4 ^ п bZ-, г) (^0,1; 10). 357 (Un 0, поэтому можно считать, что р Ч Я и (/ — натуральные числа. Тогда 5 = - , т. е. р^ = 5д^, откуда следует, что р^, следовательно, и р делятся на 5, т, е. р = Ьк. Подставляя р — Ьк в равенство р^ = 5f/^, получим 25А’^ = 5<7*, д'^ = 5Аг^. Из последнего равенства видно, что д делится на 5. Получили противоречие со сделанным предположением; оказалось, что дробь ^ сократима на 5; в) если Vs t 1 = г (где г ра- Ч ционально), тогда Vs = г - 1 рационально, что противоречит иррациональности л/5. 19. а) Равны; в) первое меньше; г) первое больше. 31. 87 или 69. 32. 0. 34. б, =0,2; 9 = 5. 36. 5. 37. 12,5; 7,5; 4,5; 1.5 или 2; 4; 8; 12. 38. 9 = 1 ; S ^ 3. 39. б, = 6; 9 = 0.5. 43. г) ^ ~ 44. г) 2. 45. г) 3. V3 У 1 I 1 47. в) 1; г) 1. 48. в) /^1. 49. г) -%-Mb. 50. б) аб'*(а^ + бМ; г) 2 . 51. в) с'*; г) 3. 52. 6) |sin Р-t-cos р|; г) sin р. 53. в) 1. 58. б) г) sina=--'^^; cos cos2a = --. 59. а) 0. 1 + m 3 2 /з 9 60. а) Меньше 0. 61. 1. 62. г) Первое больше. 63. в) Первое больше. 35? Ответы и ука.запия к упражнениям 64. а) 4 65. 6) 0.34. 66. в) -3; г) 1. 67. 6) 4 W log^ 2 Ь - ® bg^ g с. 4 * 7 * 68. б) 14. 69. г) 365,06446. 70. Ig 2 = 0,3010. 71. 2 - А. 73. б) S ^ 3 - V 3 77. в) (-оо;_ V5)U(-V5:-2)U(-2;2)U(2; >/5)U(V5; оо). 80. в) f{x)>0 на |-оо; и (5; оо), f(x) <0 на 5j. 81. г) Убывает на (-оо; 1) и на (1; со). 85. г) См. рис. 19. 86. а) См. рис. 20. 88. в) Пусть f (х) = х® + Зд: - 5, f (х) непрерывна, при этом М1) = -1^ 0. М2) = 33 > 0. 91. а = 3, Ь = -5. 92. в) о > о, Ь < о, с > о, D < 0; г) а < О, Ь < О, с - О, D > О; д) а < О, Ь < О, с < О, D <0. 93. а) Могут (квадратичная вида у - ах^ + h х^ X и линейная вида у = Ь). 94. в) и =--+ . 96. в) Все числа, кро- х«-1 1 ме чисел вида ± + 2пп, п s Z. 97. в) I лл; + лл 4 4 ]. . е Z. 98. г) Г-1; 1]. 99. г) (-оо;-2] U [2; оо). 100. в) р > 0 на ^-^^+4лл; + 4пл j. р < о на ^ + 4лл; + 4лп |, л б Z. 101. в) Нечетная; г) чет- ]■ [-|члл: |.лл]. л 2т1 ^ + ил; > пл |, возрастает на 6 3 + лл, х„ + лл, п е Z. 104. г) min р= 1, 6 0(») шах р не существует. 105. б) Указание. p = |sinxl. 108. Да. Dun 100. в) tg 2 < -1 < ctg 2. 111. в) О: г) О. 112. в) (-оо; О) U [1; 4]. ИЗ. в) (-оо; оо); г) (2пл; Я + 2лл), л е Z. 114. ^ g ! 2j' (2;со). 115. г) (О; оо). 116. в) [1; оо). 117. в) р > О на (-оо; logj 2), р < О на (logj 2; оо). 118. в) р > О на [О; оо). 119. в) Ни четная, ни нечетная. 360 IHRefbi и у>с.азания к ущмжнениям 120. в) Четная. 123. а) Указание, у = дг - 1 при дг>1, £)(р) = (1; оо). iiin у = р I; 8| л/б5 - 1 124. г) miny = p(l) = 0, max у = у(-1) = 4. 125. г) ±3. 126. г) (О; 3). I 1; 8| 1-1; Н| 128 . а) 0; 133. оо]. 134. в) [1; 13]; г) [-1; 5). 135. г)-3.5 О 1_ 11 ■' и [3; оо). 137. в) -6; г) 2; 138. а) 1; 2; -vi; в) 4: г) 0; -1; 3. 99 3 2 139. а) |; в) г) . 140. в) -|; г) -4; |. 141. в) -1; г) 1. 142. в) (-оо; ос); г) (1; 13). 143. г) (-оо; -4) U (6; оо). 144. в) (1; 3) VJ и (3; 5); г) (3; 4). 146. в) 2; г) -4; 4. 147. в) 18; г) 63. 148. в) 4; г) 0. 149. в) -8; 8; г) -1; -3. 150. в) (-оо;-^/T71 U [v^; оо); О г) (9; оо). 151. в) (2; 3]; г) (-3; 5]. 152. а) ~п + 2ля; ±агссоа ^ < 2tw, 4 7t 1 4 п е Z; 6) 7 - - arccos + пя (или arctg 0,5 + кл, п е Z — другая форма 4 2 5 ответа); г) arctg 0,5 + пп, п е Z. 153. в) ^ я е Z; г) (-1)" х X arcsin ^ + пп, п в Z. 154. в) ^ пп, , п в Z; г) 2ял, 2 • (-1)" х л/З 2 4 2 X arcsin ^ + 2пп, п в Z. 155. в) , п в Z; г) ” + пп, п в Z. 3 2 6 3 4 156. в) (-1)" 7 + ля, nsZ; г) (-1)" 7 + ля, п в Z. 157. в) (-1)" * * " + пл, 6 6 6 п в Z-, г) ля; ±--f2xn, п в Z. 158. а) --; б) 0; в) -2 i/З - 2; г) 0. 3 4 159. в) + 8''И""], яег; г) ^ ; -5-+ 1Ч> 1 п в Z. 160. в) ля; ^ + xnj, я в Z; г) ^-n-f2nn;-^ + 2nnju^^-b 2 ля; л -ь 2лп j. п в Z. 161. I ~ g 2ля; ^ + 2пл j, пв Z; ^ ”” |’ ^ ^ *") (пп; j, hbZ. 162. а) + 2пп; л + 2ллJ, hbZ; ' 2ля;2п + 2пл j, j, neZ. 163. в) 1; 5; г) 3; 9. 164. в) 2; г) 1. 165. в) 3; г) 0; 166. в) ± logg 2; г) 0; . 167, б) tarccos (>/2 — 1) + •f пп п в Z-, г) \ ^ 2лп; " 2пп 4 4 + 2лл, л е Z; г) -1. 168. в) ( о°: - ^ j: г) {-оо; -4) U (3; оо). 169. в) (1; 3); г) (-оо; -1] и [0; оо). 170. б) (-5; 3) U (4; ос). 171. в) 6; г) 1001; 1+ Vio. 172. в) 10; г) 3. 173. г) 64. 174. в) 100; ; г) 3; 9. 175. а) (-1)" " + ля. 100 6 361 Отпггм и гч «н* ИНН *1 п sZ; б) arcsiii Д + 2пп, п е Z. 176. а) | - 3; ' ^ ^"- - : 4 j г)[>Г7-^;|). 177. а) (О; 6); г) (1; 2] U [З; 4). 178. в) (2; оо) г) [ оо j. 179. в) (0; 0,1] и [100; оо); г) (-оо; 0] U [log^ 5; 1). 180. в) ^ ® j г) 0. 181. в) (0,4; 0,8), г) (2; 3); (3; 2). 182. в) (0,5; 4); г) (7; 3) (-7:-3). 183. в) (1;2); (2; 1); г) (|: д): (д? j)- 1®^' «> д) г) (-3,5; О). 186. в) (25; 49); г) (9; 16); (16; 9). 187. в) (16; 4); г) (16; 4); (-4;-16). 188. в) (81; 16); г) (-1;-8); (-8;-1). 189. а) ,.n.Z: б) (I-'; п.2: в) ^ ^ + пп + nki I + пп - лЛ j, ^ ^ + лп + nk; - ^ + лп - лЛ j, ft, п е Z; г) (|+"*; k,neZ. 190. б) (^лл; [(-1)"'Ч+пл; ^ + (-1)" 5 - ЯП 1, п е Z-, в) [ ” + лп + лЛ; + пл - лк лп + лк; 2 о J \6 6 ^\6 - g + лл - як j, к е Z, п е Z; г) | ^ + лл; - лл j, ^ g ^лл; ^ - 2лл j, + 2лл; -2лл j. п 6 Z. 191. а) (2; 1); б) (5; 4); в) (5; 1); г) (3; О). 192. а) (1; 3); б) (3; 2); в) (2; О); г) (2; 6). 19.3. а) (2; 1); (logg 7; log., 9); б) (4; 1). 194. а) (100; 10); (0.1; 0,01); (4; 4); в) (1 000 000; 0,1); г) 1 j. 195. а) (27; 4); -з]; б) (2; -1); в) (125; 4); (625; 3); г) (3; 2). 196. в) (4; 2); б) (25; 36); в) (1; 1); (4; 2); г) (512; 1). 197. 75 км/ч. 198. 4 км/ч. 199. 55 км/ч. 2(Ю. 18 км/ч, 24 км/ч. 201. 10 с. 202. 240 м^. 203. 6 и 12 дней. 204. 20. 205. 25%. 206. 160 г, 20%. 207. 60 км/ч. 208. 21 м/с, 147 м. 209. 6 км/ч, 4 км/ч. 210. 20; 30. 211. 20 и 30 дней. 212. 12 г, 48 г, 1,5 г/см®. 213. 3 кг, 80%. 214. 4 м/с, 3 м/с. 215. 32. (jr® - 2) sin jf t- 3jc® cos X 216. 8 и 3; 28 и 27. 218. в) 3; г) 3. 219. г) (2-х®)^' 220. г) . 221. г) . 222. г) ^ - (1-2со8дг)® х(е* + е xInlO 223. г) (-1)" neZ. 225. в) Г(х2) = /'(х,); п ) L4£ С 1 .. “■‘("'-•J г) Г (*з) < О 0 для любого х. 268. в)2д: + 3!п |д: - 1| + С; 3 г) tg 2х - ctg Здг + с. 269. в) - ^ - 2 г) - ^ cos2jr + ^. 270. х* - Зх + 4. Зх^ 24 2 2 271. у = х^-Ъ. 272. cos 21+ 3. 273. в) 4 7-2^2 - 3v^ 12 г) 39. 364 Отпеты и )ка.ии1нн к упражненнпм 274. а) 2; -2; б) 0.5; -0,5. 275. в) ^; г) 9. 276. 18 и . 277. 10^. 3 3 3 2 8 278. д. 279. 2; 1. 280. Решение. Указанная фигура закрашена на рисунке (рис. 23, а соответствует а < 2, а рис. 23, б соответствует а ^ 2). При а < 2 п.поидвдь этой фигуры меньше площади квадрата ОАВС, равной 4, а при а > 2 S=J(x^t^4jc+a)dx- ^ 2*^ + ox w рЛ рСЛ U 4= +8 + 2 2 число у'^ должно иметь остаток 3 от деления на 4 (см. № 5, а); в) (46; 45); (46; 45): (-46; -45); (-46; 45); (10; 3); (10; -3); (-10;-3); (-10; 3). Указание, (х у) и (х — у) — делители числа 91; г) (3; 3): (3;-3). Указание. Числа {у 1) и (у + 1) — степени числа 2 при X > о. 9. а) (75 + I; 135 + 1), 5 е Z-, б) (1; 1); г) (1; 1); (1; -1); (3; 3); (3: -3). Указание. При х > 4 число 1! + 2! + ... + х! оканчивается на 3. 10. ±13. 11. 210; 4. Указание. Ig 2 = 0.30103, Ig 5 = 1 - Ig 2 = 0.69897 (с точностью до 0,00001) и Ig 125*^*^’ = 300 Ig 5 « 209,691. Если число N со- держит 5 цифр, то 5-l « нм « 4 р р** — несократимая дробь. Тогда 3 = , т. е. р* = Зр*, откуда следует, что р Я делится на 3. Подставляя р = Зк в равенство р® = 3q^, получаем 27к^ = 3q^, т. е. 9к^ = q^. Из последнего равенства видно, что q делится на 3. Получили р р противоречие: дробь сократима на 3; в) допустим, что IgS = , при этом, Я Я учитывая, что Ig 5 > О, можно считать, что р я q — натуральные числа. р р Из равенства lg5= получаем 10* -5, откуда 10^=-5*, в это равенство Я ложно: его левая часть четна, а правая нет. 21. а) Пусть + Vs = г, где г — рациональное число. Тогда 3 + 2V3 \'5 + 5 = г^, откуда у[\Ъ = --^, 2 что противоречит иррациональности >/l5. 22. 6) Указание. Пусть к — длина периода этой дроби. Рассмотрим к цифр, начиная с цифры, следующей за Л-й двойкой. Все эти цифры — семерки, поэтому период этой дроби должен быть равен (77... 77), что неверно: в этом случае все следующие * цифр - цифры должны быть равны семи. 23. а) ~ б) iJE -7; в) V5 + л/2 г) 2v3-t-3>/5, 24. а) 6; б) — 25. Указание, а) Избавьтесь сначала от : (V2 - Щ [(V^)2 - V2 . V3 ь (VI ]' ] = (^/2)3 + (VI f = = 2 -ь 3; б) сначала умножьте числитель и знаменатель на ^2 + - у[Ь; в) воспользуйтесь результатом № 29, е. 26. а), б) Нет. 27. Указа- . 3 з|б_ 'Р7 Г \ 27 ние. Возведением в куб докажите, что х = з|б + ,/- ' + , \ V 27 \ \ 27 корень уравнения хЗ-5х-12 = 0, а это уравнение имеет только один действительный корень у = 3. Следовательно, данное число равно 3, 28. Указание. Для любого натурального к имеем: —р— -ь -7^^— + > —i— -ь -ь ... -f - 2* +1 2*-ь2 г*"' 2**' 2**‘ 2*^‘ 2 29. а) (уЗ - 2х -ь 2) (х* + 2х ■¥ 2); б) (х^ -ь х + I) (х^ - х -^ 1); в) (х* -ь х -t- 1) х X (уЗ - уЗ + 1); г) 3 (уЗ + (j/3 + гЗ) (X - г) (х -ь г); д) 3 (у + г) (г -1 х) (х у); е) (х -t- у -ь г) (уЗ + + г‘‘ - ху - уг - гх). 33. а) Пусть а = вгссов х, тогда С08 О ~ ДГу 7Г Л Г Л ^ и, во-первых, - С -а< , а во-вторых, sin------а = 0<а<л, 22 2 \2 ) = cos а = X, следовательно, g ~ ® ~ arcsin х по определению арксинуса чис- 366 Ответы и укашняя к упражнениям ла X. 34. а) ; б) 1 в) г) 35. а) Зя - 10; V3 4 16 2 б) 4п - 12; в) 2 - я; г) 3. 36. Указание. Воспользуйтесь формулой tg ° . 39. а) ---------; б) ^ Указание. 2 l+cosa ab + ас + be а {8-5b) Логарифмы обеих частей по основанию 2 равны; б) 0. 41. 7. 43. 2; -6; Л 18: -54. 44. 931. 45. о > 12. 46. 1 или -2. 47. 0. 48. 49. Ogjj > 50. а) Указание. 99 ... 99 = 10* - 1; б) указание. к цифр S-Sx = X + + ... + х" - пх" в) ^--51. а) х*^", п е Z; к к + п 4 в) [-2; -1) и (1; 2]; г) Я; е) (-V2; -1)U(1: Я). 52. б) [-2; 1]; J; 3) [-2; 2]: к) г] . 54. в) 5 3; 4]. 53. а) l^-J: 2 ; в) [-6; 4]; а) / (jc) - о для любого х а D (/), причем D (Л симметрична относительно точки 0. 59. а) Да (например, функция Дирихле — значение этой функции равно 1, если х рационально, и о, если X иррационально); б) нет (если бы такая функция существовала, то для нее числа ч^и 1-V2 должны быть периодами, а их сумма 1 нет). 60. Указание, в) Значение 1 функция принимает только в одной точке — точке 0. 61. б) в) 2п V2; г) 63. Указание. а) log^ 3 > 1,5 > logg 8. 64. а) ctg 6; cos 2; tg 3; sin 4“. 67. a) При любом n; 6) при четном л; в) таких п нет. 68. а) f (х) = Ь или f (х) ~ х; 367 (.Нветы и указания к упражнениям Рис. 25 б) f (х) — X или / (х) — Ь ~ X. 69. а) х при четном п, 3 — х при нечетном п, 1 X — 1 область определения Л; в) х при п вида 3/г, при л вида 3/г + 1 и 1-х X при л вида Зк + 2; D (f) = (-оо; 1) U (1; со) при л = 1 и 1> (/^) = (-оо; О) U и (0; 1) и (1; оо) при л >2. 70. а) у = —- , а^О; б) у = х или ^ (при ах сх - а Ьс Ф -а^). 71. См., например, рис. 24. 75. Нельзя дополнить; б) до четной а) и б) до нечетной функции. 76. а) Г > 2; б) Т = 3, Т > Т^, где Тд = 6,5 в) Т > Tq, где Тц = 5. 77. См. рис. 25. 81. а) inin/'=-l; max/=2 б) наименьшего значения не существует; тах/=1. 83. в) у = х - 1 при R X -► оо, у = -X - 1 при X -» -оо; г) у = 1, X = 3, X = -3. 84. в) Указание, у = tg X при sin X > о и у = -tg X при sin х < 0. 90. а) 1; б) 1; в) 3; г) 14. 91. а) а > О, Ь > О, с < О, d > О; б) а > О, 6 < О, с > О, d > О. 92. а) Пара прямых х = О и у = 2; б) у = х^ - 2х и у = 2х - х* (две параболы). 94. См. рис. 26; г) указание.^ ->0. ху-1 у-1 (xy-D(y-l) 95. б) (х^ - 1) (у^ — 1) = О — 4 прямых. 96. в), г) См. рис. 27. 97. а) о < О и о > 4, разных знаков при а<-^, положительны при а > 4, отрицательны при -i ние. Положите в в) d = - ^. 125. б) (З^IЗ; \^3); (-ЗЛ: - Л): 3 (4; 5); (-4;-5). 126. а) ®j; (j; J ); б) (1 + (3 - Рр); Рд), 2 < р^ < 3. 127. а) (1; 1; 0); б) (-3; 2;-1). 128. а) (1; 2); (2; 1); б)(1+Л;1-Л); (1-Л;п Л). 129. а) (5; 3); (-3;-5); (ЛТ; Vl7); (-/17;-Л7); б)(2;-1): (1;-2); (-2;-1); (1; 2); (0; 3); (-3; 0). 130. а) 1 t Jl3 2 1-Лз -1+ '' 2 ' 2 [3(3ч Лэ). зч Лэ! fso-veg) ' [ 10 ’ 10 )' [ 10 370 fh вегь! и ука.«ани11 к 3- 10 |; 6) (0; 0;0): (| = д”: (-®; |131. а» (2: 1): (-2;-1) \-л‘Ы 132. а)(0;0); (V7; V?); (-^/7;-^^7); (3; 2); (2; 3) (-3;-2;); (-2;-3); (Л§: -И9): (-n/19; ЛЭ); б) (0; 0); (2;-2): (-2:2) ' -у[7 + л/з. Л + л/з] 2 ' 2 j в) (— 1 + : — 1 + ^3 (v6; 4/6): (-V6: -л/б): ' Л + V3. -v'7 + л'. 1 ^ 2 j ГЛ-Л -Л-Л1 -Л-Л Л-Л1 2- ’ 2 J’ 2 • 2 J* -1+ Л): (-1- Л; -1- 4^:-1-Л): (0:1: (2;-1;-1): (-1; 2;-1); (-1;-1; 2); г) (1; 0; 1); (-1; 0;-1); 133. а) (3; 2; 1): (3;-2;-1): (-3; 2;-1); (-3;-2; 1) « (3, 2; 1). 134. ,2; Тв; W), (>/|; -з|; »J|j; 6) -1] (-4;-3;-2) 135. 3 м/мин; 1,8 м/мнн. 136. а) 863. 138. 40 км^. 139. 8. 140. 280 р. портфель дороже авторучки. 141. 12,5 г. 142. 16 ч 45 мин. 143. 100 м/с 144. а) б) 1; 2; в) 7; г) ±Щ. 145. а) 1; б) 2; 11; в) 1; г) 0 4 ^55 146. а) и + 2яп; ^ + 2лп, л е Z; 6) ^ + 2пп, п е Z; в) 0; г) лп; ^ + 2ял neZ. 147. а) [3; И); б) [5; 10]. 148. а) 0; б) 2. 149. а) ®-; б) ука 65 7 зание. Разделите обе части на ^^(7 + аг)^. 150. а) -1; б) 8; 8 ± 151. а) 6) 0. 152. 0. 153. а) 0 при а <-1; При -lу[2; б) 0 при а < -1; лс = --^- при -I < п < 0; 0 при 0 < а < 1; 2п fli* + 1 х = -----при о > 1. 154, а г) -1; . а) (-оо; 1] и 1^2; б) [О; 3]; в) (1; ос); ; б) [1; со]; в) 81-9 v/9 7 ; 3 371 llTBCTbi и у'к'йзаннн к уиражпгмимм г) [«• ш)- •' »[-1'''Г)■ >«• «I (i-- Я “ (г ”] 6) - ']u(3;oo|. 168. а) [1; ж); б) (о; ')и(4;«) ■) >] г) (2; оо). 159. а) (1; 64); (64; 1); 6) (4; 1); (1; 4); в) (1; 27); (27; 1) г) (1; 8); (8; 1). 160. а) (2; 3); ( ~ 3 ): б) (2; -2); в) (4: 2): ( ^| ) г) (8; 27); (-27; -8). 161. а) (-2; -8); б) 24j; (з; ^]. 162. а) (9; 1) б) (64; 1); (-1; -04); в) (9; 4); г) (4; 3); 163. а) (-1)" neZ; б)-+пп. п е Z; 8)5+";"-, пп, neZ 12 2 4 6 3 г) ^ + 2тш, п е Z. 164. а) 0; -^ + 2пп, ^-2пп, п е N; 6) 0; в) 0; 2пп л — 2пп, п е 7V; г) 0. 165. а) ± arccos ^ +• лп, п в Z; б) пгг, ” + , п е Z 3 12 6 в) (-I)" g + « eZ; г) 2 + 2nn, n e Z. 167. a) ” f лп, n e Z; 6) ^ t + 2лп, n e Z. 169. a) ” + (-I)" ^ + nn, n e Z; 6) 0. 170. " + 2лп, n e Z. 3 6 4 41 171, 2A. k e где k ^ Sll, I e Z; {2n + 1), где n e Z; n 33m + 16, 33 m eZ. 172. a) f , n e Z; 6) n e Z. 173. 0. 174. + 2nnl; 8 4 2 \ 2 / (1;-^ + 2лп], neZ. 175. -’^ + nn, n e Z. 177. a) f-5+лп; \ 2 J 12 26 \2 ^ + ПЛ ]; I ” + лп; + лп ], л e Z; 6) [ - + 2nn; —” + 2лп ], л e Z; в) [- — + лл; 6y\3 2 ) \6 6 1 \2 - J + ЛЛ j; ^ лл; ^ + лл j. n e Z; r) ^лл; ^ + лл|; 2 ^ ^ 2лл; - 2 + 2лл , + 2пл; - — + 2лп , + 2пя; 2 J L 3 6 \_2 2nnj, л е Z; б) -| +лл, ""J [~Ш * И) ^ — + лл; + лл , п в Z; в) (2лл; я+ 2пл), п е Z; г) [ - + лл; - + лл |. L4 10 J V3 2 / 180. Указание, cos лх = —1 или ^ < cos лх < ^. 181. - + 2лп; 4 2 L 6 — + 2ял I, л € Z. 182. Указание. cos sin х > cos х > sin cos х. 6 J' 184. а) л |^2л + I j; I + ^ j, 1г, л 6 Z; б) I ^ + у; п 4 2лЛ j, k, п в Z. 178. а) - ~ + 5п 372 1>Г*егЫ И ^Ч||и»ииЯ • «ирпЖИСИИПИ 185. 2 acrtg 1 + VlO nun L + 2лЛ; 2 acrtg Л 1-VIo о ' —^—+ 2nn л/З 2 acrtg ^+ 2лАг; 2лп]; ^| + 2пЛ; | + 2nnj, ft g Z, я 6 Z. 186- + nm; „ 1+ Vio 2 acrtg —+ л/з I + ли; - I + K(2p-m -n)j; + ляг; - ^ + nn; | + п(2р-яг - n + l)j, m,n,peZ. 187. a) +2; 6) 2; в) ±1; г) 1. 188. a) 2; 4; 6) 1; 3 9 + neVV; b) 1; 3; r) 0. 189. a) ^ + лл, n e Z; S7 О Da a 6) arctg 10 + nn, я e Z; b) ± ^ + ля, л g Z; г) — + 2ля, (-1)" — + ля, n e Z. 3 2 6 190. 191. a) (-oo; logg (V2 - 1) U [0,5; oo); 6) (0; 2); r) (-oo; oo). 192. a) (2; 3) U (4; oo); 6) (-V?; - л/3)и(л/3; V?). 193. a > 2. 194. a) (2; 0); 6) (1; 1); B) ^ лЛ; 2пл - ^ j. ft, п g Z; г) ^ ля; 2nft ± ? j, 3 + -Jii » t ,/ig ft, я G Z. 195. a) 8; 6) logs ’• в) 0; г) — + ля, л e Z. 196. a) 10 ' ^ ; 10 3 ; 6) 2; i; в) 10; ——; r) 0. 197. a) Указание, arctg x+ 1Я v^3 + arcctg Jc = arctg x arcctg x = 10“; 6) 0; в) lO^'^ ; r) ±0,5. 198. 0 0. 200. |a|>^. 201. a) sj; 6) (3; oo)U(l; 1 + 2 B) (4: 10); r) (1; VE). 202. a) 0; 6) J|; з]; в) ^logg °°j: r) Q; sj. 203. a) (4; 00); 6) (-4 - ^2; -5) U (-3; - 4 + V2) U (1; 2); B) [Ve-1; 2) U (2; 5]; r) (logg 10; oo). 204. (2; 2,5). 205. a) (2; 4); 6) (|; I); 8)(13;8); r) (512; 1). 206. a) + 2ля; ± ^+ 2л/г j; [^ + 2лл; ± ^ + 2л/г |, л, ft 6 Z; 6) ( ^ + 2лл; ^ + 2Kft |, л, ft e Z. V3 3/ v6 6/ 209. a) /' (0) =■ lim ——1191 - £l?J—2 = o_ 210. Найдем отноше- X >0 X x-»0 X .. /(х±Дх)-/(х) /^(x)+^(Дх)-/(х) f{Ax)-f(0) ние —=-------------------=-------------------=-------- - - —» f (0) для Ax Ax Ax Ax любого X (так как ПО) = A (О + 0) = МО) + / (0) = 2^ (О), т. е. МО) = 0). 373 Отвгтм и УКЙДЯИИН к уиражигиия%1 211. Указание. А(дг)-ДО) 1 jc-0 Тх , а эта функция не имеет пре- дела при X, стремящемся к нулю. 212. Вообще говоря, нет. Примеры: а) А| (->г) = X, (х) = I X I, Ху - О; б) (х) = (х) = ^fx^, Ху = 0. 214. а) Функция f (х) = arcsin х имеет производную как обратная к диф ференцируемой функции g (x) = ain х (с областью ощюделения 2])* Дифференцируя равенство sin (arcsin х) = х, получим сое (arcsin х) х X (arcsin х)' = 1. откуда (arcsin х)' = * ■ = Д_____, так как если cos (arcsin х) _ х* X = о, то cos а =-/T^-sin^ = (поскольку сова>1). 215. а) х" (In X -f 1); 6) (sinx)™* 1 1 1 cos* X - sin* X In sin X 216. Указа- ние. с*-3х-ь2 x-2 x-l’ 217. Указание. Функция h(x) — f{x) — - g (x) возрастает на [x^; 00). 218. a) 4-”- '*’-^; 6) 16- = = 16-'' 8 221, a) a < -3, a > 1; 6) 0 «; u < 28. 222. a) Указа- 2/1-1 ние. Функция / (x) = cos X-t-X возрастает на (-oo; oo). 223. a) (-00: 00); 6) (-00; 0) U (0; oc). 224. Указание. Докажите, что при достаточно больших положительных X левая часть этого уравнения положительна, а при достаточно больших по модулю отрицательных х — отрицательна. 225. Указание. Воспользуйтесь методом математической индукции и теоремой Лагранжа (из теоремы Лагранжа следует, что между двумя корнями многочлена имеется корень производной этого многочлена). 226. Пусть Р (х) принимает р раз значение А, р > п. Тогда многочлен Р{х)—А имеет степень п и имеет более п корней, что противоречит результату предыдущей задачи. 227. Указание, а) Е1сли Я (х) = С, то С — корень многочлена р {х) - Cq (х) егепени не выше Л; б) Я'(х)- Ч(х)р’{х)~ p(x)q'(x) q^(x) и Я' (х) = о при q (х) р’ (х) - р (х) q' (х) = 0, левая часть этого уравнения — многочлен степени выше т + п 1, если т * п, и степени не выше m -f п - 2, если /п = п. 228. inin /(х) - f\ - |= -Д; |0;.3| \Z) 27 27 max А (х) = / (3) = 105. 229. 1 ч. 230. Длина страницы 30 см, ширина (0;3| 43 20 см. 231. 20 км/ч. 2,32. ^[^.2,33. а) Первое больше; б) второе больше. 374 Отлеты н .мсязания к уприжпгминм 236. а) 1; б) 1. 237. а) 1 корень при |а| > 2; 2 корня при |а| * 2; 3 корня при |а| < 2; б) нет корней при -4-\12<а<0; 1 корень при a = -4-Vl2; 2 корня при а < -4 - -Jl2, о = О и а >4 - >fV2; 3 корня при а = 4 - ^fT2; 4 кор- ня при 0<а<4 -■JYZ. 238. 2 2 + б® 1.5 239. / (Зл) = 12я - 1. 240. R + Rt, R. 241. м/мин. 242. 90'. 243. а) j/=-®jc+3; б) у =-3, y = -12x-15: 17 4 в)у = -^(х+1); г)у=4:/3дг + 6 244. ЛЯ, „ е Z. 247. а = 4. V3 8 4 248. а = 3, б = 1. 249. Указание, f (х) = 2х - а и f (х) — 1 при х = a + 1 250. AIfy — «внутренность» параболы у = х*. Му — сама парабола, Afg — дг| Jcl «внешняя часть» этой параболы. Му, — пустое при к > 3. 251. а) - -*• С; б) F(x) = в) Fix). х^ - X -t с при X > 1, х^ + X + С - 1 при X < 1; —— X + С при X < - 1, уЗ А X - - ч - с при - 1 < X < 1, О о ^---X Ч ^ С при X > 1. 3 3 252. а) ^ (1 + X®) VI + х^ + С; б) - ^ е ' * + С; в) In sin х + С; г) -In cos х + С. О 2 253. а) In |х - 1|-1п 2- 1; б) Зх^ 5х + 1; в) sin X - sin е -ч я; г)-^ чх. 254. а) F(x) = ^ б)/'(х) = 2 I X при X > О; sinx при х<0, ^ 2у[х-4 при х ^ 1, X — 3 при х<1. 255. Указание. {F (х) - F (-х))' = F' (х) + F' (-х) = f (х) - f (х) = О, т. е. G (х)-^ F (х) - F (-х) — постоянная. Кроме того, G (0) = F (О) - F (0) = 0. откуда F (х) = F (-х). 256. Указание. Пусть G (х) = F (х) + F (-Х), тогда G’ (х) = f (х) - f (х) = о, т. е. G (х) = С, где С — постоянная, причем С = О, если F (О) = 0. 257. 10 с, 700 м (так как t >0). 264. у -v6x -4. Указание. (уЗ)' = Зу'у2 = 6. 265. sin сов X ^ sinx ч cos х ^^ 2 2 266. а) Имеем х' (<) = Хп ^ j v{z)dz to = х'о +(v(t) 1Ч(Го))' = 0 ч o’(f) = 375 Отпеты и VKHiiaiiiin к упрмжнепипм • u = и jtq = otQ + J t'(z) dz = jcj) + 0 = oIq. 267. Указание. Проверьте формулу для у = I, у = X, у = и у = х^. 268. а) Указание. См. № 255; б) указание. См. 256; F (х) F (-аг) = С, при этом, подставляя х = О, X получаем С = 2F(0), откуда J f (г) dz = F {х) - F (-х) = 2 (F (х) - f (0)) - X для любого X, в том числе и для х = а. 269. а) 0; б) 0. 270. а) -135,6; 2 X в) Указание. Сделайте замену переменной по формуле у — \ 2 11 271. а) - ; 6) 1л 2. Указание. Вынесите - за скобку; в) р + 1 п п г) 1 (2-. - 1). 272. а) л. Указание, cos^i 1-р п в) л; г) 0. Решение. г sin3xcos5jtrdjt = ^ * 2 0 1 • 2 cos пх 2 : б) 0; = о COS8X+I соб2х1! . 273. а) 2; б) 5; в) 7^; г) 5. 274. паЬ. 2 V О 2 /1 л 2 2 ' 2 275. а) При {“"2' б) С<0 и 0 3; в) при 1ь<2; 1б>2; ■ ' к 276. а) 24^; 6) 2 |. 277. 8; 279. 25 Дж. 280. о=-1. 3 3 5 ко Н'^g 281. ---— {g—ускорение свободного падения). 282. 6m2 12 285. Центр масс однородного полушара Я лежит на его оси симметрии 3 D на расстоянии — Я от центра шара. 8 Предметный указатель Аргумент функции 21 арккосинус 65 арккотангенс 66 арксинус 63 арктангенс 66 асимптота — вертикальная 52 — горизонтальная 52 — наклонная 52 Бесконечно малая 202 Величина 167 Гармонические колебания 60, 265 ----, амплитуда 60 ----, начальная фаза 60 ----, период 60 ----, частота 60 геометрический смысл производной 130 график функции 22 Десятичное приближение числа 169 дифференциал функции 160 дифференциальное исчисление 160 дифференцирование 106 дробная часть числа 169 Единичная окружность 14 Знаки значений тригонометрических функций 8 значение функции 21 Интеграл 188 — неопределенный 200 — определенный 200 интегральное исчисление 200 интегрирование 189 Кавальери принцип 203 касательная к графику функции 103 корень квадратный 209 — кубический 209 — л-й степени 207 арифметический 207 — посторонний 214 косеканс 19 косинус 15 котангенс 17 криволинейная трапеция 119 критическая точка функции 147 Линейная плотность 139 линия котангенсов 18 — синусов 16 — тангенсов 18 логарифм 232 — десятичный 234 — натуральный 253 Максимум функции 46 мгновенная скорость 137 метод интервалов 125 — неделимых 201 механический смысл производной 137 минимум функции 46 377 Предметный укитвтг Нанбольшег- значение функции 155 наименьшее значение функции 155 неравенство — логарифмическое 243 — показательное 230 — тригонометрическое 75 нуль функции 50 Область значений функции 21 — определения функции 21 общий вид первообразных 177 объединение множеств 22 основное логарифмическое тождество 233 — свойство первообразных 177 основные свойства корней 209 логарифмов 233 ---- степеней 219, 227 — формулы тригонометрии 6 отображение 27 Первообразная 174 — показательной функции 254 — степенной функции 260 — тригонометрических функций 180 период функции 34 показатель корня 207 правила ~ диф<|)еренцирования ИЗ — нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке 155 — нахождения первообразных 181 — предельного перехода 110 — сравнения чисел 170 предел — последовательности 165 — функции 165 предельный переход 108 пределы интегрирования 189 преобразования графиков функции 23 признак — возрастания функции 143 — максимума функции 148 — минимума функции 149 — постоянства функции 177 — убывания функции 143 приращение — аргумента 97 — функции 97 производная функции 106 в точке 105 — логарифмической функции 256 — постоянной 106 — сложной функции 119 — степенной функции 116 — тригонометрических функций 121 промежуток возрастания функции 50 - знакопостоянства функции 50 — ^'бывания (})ункции 50 Работа переменной силы 196 радиан 5 радикал 207 разность чисел 170 Секанс 19 синус 15 синусоида 16 системы уравнений ----логарифм1тческих 243 ----показательных 230 ---- тригонометрических 83 степень числа ----с рациональным показате лем 218 ----с иррациональным показателем 224 сумма чисел 170 схема исследования функции 56 Тангенс 17 тангенсоида 19 378 теорема — Вейерштрасса 155 — об обратно!! функции 248 — о корне 64 — Ферма 147 точка максимума 45 — минимума 44 — экстремума 46 Уравнение дифференциальное 263 — гармонического колебания 266 — иррациональное 214 — касательной к графику функции 131 — показательного роста (убывания) 264 — показательное 229 ускорение 137 Фокус параболы 141 формула — Лагранжа 132 — Ньютона — Лейбница 190 — объеме тела 194 — ПЛ0П1ЛДИ криволинейной трапеции 186 Тэйлора 164 формулы приведения 8 функция — возрастающая 40 — дифференцируемая 106 — дробно-рациональная 22 — логарифмическая 238 — непрерывная в точке 109 — непрерывная на промежутке 124 — нечетная 32 — обратимая 246 — обратная 247 — периодическая 34 — показательная 226 — сложная 118 — степенная 259 — убывающая 40 — целая рациональная 22 — четная 31 — числовая 21 функции взаимно обратные 248 Целая часть числи 169 центр масс 197 Число действительное 167 - иррациональное 167 — натуральное 167 — рациональное 167 — целое 167 число р 252 Экстремум функции 46 Оглавление Предисловие ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ §1. Тригонометрические функции числового аргумента 1. Синус, косинус, тангенс и котангенс (повторение) .... 5 2. Тригонометрические функции и их графики. ........ 14 §2. Основные свойства функций 3. Функции и их графики ... 21 4 Четные и нечетные функции. Периодичность тригонометрических функций . , . , ................ ................ 31 5. Возрастание и убывание функций. Экстремумы......... 40 6. Исследование функций ... ...... . ............. 48 7. Свойства тригонометрических функций. Гармонические колебания 56 §3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств 0. Арксинус, арккосинус и арктангенс . . 64 9 Решение простейших тригонометрических уравнений..... .69 10. Решение простейших тригонометрических неравенств ... 75 11. Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений . ... ..... 81 Сведения из истории .... 85 Вопросы и задачи на повторение. .. 91 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ §4. Производная 12. Приращение функции....... .............. .................97 13. Понятие о производной. . . . ..................101 14. Понятия о непрерывности функции и предельном переходе . . 108 15. Правила вычисления производных...... . ...................113 380 0| .1йя.тение 16. производная сложной функции. .... .... 17. Производные тригонометрических функций . ..... §5. Применения непрерывности и производной 18. Применения непрерывности .... .......... 19. Касательная к графику функции . ....... 20. Приближенные вычисления. . . ............ 21. Производная в физике и технике .......... ... §6. Применения производной к исследованию функции 22. Признак возрастания (убывания) функции. .... 23. Критические точки функции, максимумы и минимумы 24. Примеры применения производной к исследованию функции 25. Наибольшее и наименьшее значения функции . ... Сведения из истории ........... Вопросы и задачи на повторение. . ............ ш ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ §7. Первообразная 26. Определение первообразной . ... ..... 27. Основное свойство первообразной. . . .... 28. Три правила нахождения первообразных..... ...... §8. Интеграл 29. Площадь криволинейной трапеции. . ........... 30. Интеграл. Формула Ньютона — Лейбница . ........ 31. Применения интеграла ..... Сведения из истории .......... . ............... Вопросы и задачи на повторение. .... ... 118 121 124 129 134 137 143 147 151 155 160 170 174 177 181 185 188 194 199 205 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ Н ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУПК11ИИ §9. Обобщение понятия степени 32. Корень л-й степени и его свойства. 33. Иррациональные уравнения . ..... 34. Степень с рациональным показателем.......... 207 214 218 381 0| |.ч*>Ч. Г.1.. § 10. Показательная и логарифмическая функции 35. Показательная функция. . . . 36. Решение показательных уравнений и неравенств. 37. Логарифмы и их свойства 38. Логарифмическая функция 39. Решение логарифмических уравнений и неравенств 40. Понятие об обратной функции 224 229 233 238 242 246 § 11. Производная показательной и логарифмической функций 41. Прюизводная показательной функции. Число е........... 251 42. Производная логарифмической функции . 256 43. Степенная функция ....... . . 259 44. Понятие о дифференциальных уравнениях 263 Сведения из истории . 269 Вопросы и задачи на повторение ........ 273 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ § 1. Действительные числа 1. Рациональные и иррациональные числа . 2. Проценты. Пропорции ..... 3. Прогрессии . ............. §2. Тождественные преобразования 4. Преобразования алгебраических выражений 5. Преобразование выражений, содержащих радикалы и степени с дробными показателями ... 6. Преобразования тригонометрических выражений . . . 7. Преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы . §3. Функции 8 Рациональные функции ... 9. Тригонометрические функции....... 10. Степенная, показательная и логарифмическая функции §4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств 11. Рациональные уравнения и неравенства 12. Иррациональные уравнения и неравенства . ....... 277 279 280 281 282 283 285 286 290 293 295 297 382 Оглавление 13. Тригонометрические уравнения и неравенства 14. Показательные уравнения и неравенства . . 15. Логарифмические уравнения и неравенства. 16. Системы рациональных уравнений и неравенств . 17. Системы иррациональных уравнений ... 18. Системы тригонометрических уравнений 19. Сйстемы показательных и логарифмических уравнений 20. Задачи на составление уравнений и систем уравнений §5. Производная, первообразная, интеграл и их применения 21 Производная . . 22 Применение производной к исследованию функций 23 Применение производной в физике и геометрии . 24 Первообразная 25 Интеграл .... . . 298 299 300 301 302 303 304 306 308 310 312 ЗАДАЧИ ПОВЫШКИНОЙ ТРУДНОСТИ § 1. Числа и преобразования выражений 1 Целые числа 2. Метод математической индукции 3 Действительные числа . . 4. Преобразование выражений . 5. Прогрессии . §2. Элементарные функции и их свойства 6. Исследование функций . , . , , ............ 7. Г рафики функций ............ ... ...... §3. Уравнения, неравенства и системы 8. Рациональные алгебраические уравнения. 9. Рациональные алгебраические неравенства. 10. Системы рациональных алгебраических уравнений. 11. Задачи на составление уравнений и их систем . 12. Иррациональные уравнения и неравенства . ... 13. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы . 14. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства . 314 315 316 317 318 319 322 325 327 328 329 330 333 335 383 Опавлемиг §4. Начала математического анализа 15. Производная................................. 337 16. Применение производной к исследованию функций 338 17. Применение производной в физике и геометрии......... 340 18. Первообразная . ........................ . . 341 19. Интеграл . . ............. . . . 343 Ответы и указания к упражнениям ..........................346 Предметный указатель ........... , . , , 377 Учебное издание Колмогоров Андрей Николаевич Абрамов Александр Михайлович Дудвнцын Юри11 Павлович и др. \л|гбра II начала !У1атематмчески1ч> анализа Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. Н. Белоновская Младшие редакторы Н. В. Сидельковская, Н. И. Смирнова Художники Т. В. Делягина, В. В. Костин, В. Е. Валериус, Н.Ю.Панкевич Художественный редактор О. П. Богомолова Технический редактор О. Е. Иванова Корректор И. А. Смирнова Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93 — 953000. Изд. лиц. Серия НД № 05S24 от 12.09.01. Подписано в печать 04.08.03. Формат 60 x 90 */|б. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-нзл. л, 20,52 -f 0,22 фора. Доп. тираж 40 000 экз. Заказ 78 4958. Открытое акционерное общество •Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи. 41, Отпечатано в ОАО «Тверской ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинат детской литературы им. 50-летия СССР». 170040, г. Тверь, проспект 50 лет Октября. 46. ПРОСВЕЩЕНИЕ й А t f п ь с е о Выпускаем • Учебники • Методическую литературу • Научло-лопулярную литературу • Справочную литературу • Наглядные пособия и карты • Учебные мультимедийные кур<‘ы Обучаем Интернет-школа «Просвещение.ги» www.intemet-Hchool.ru Институт повышения квалификации работников обрааоваиия www.prosv-ipk.ru Представляем На сайте н.здательства для наших покупателей • Каталог выпускаемой продукции • Ежемесячные новинки издательства • Планы печати учебной литературы • Адреса книготорговых структур Предлагаем Оптовикам и книготорговым структурам • Гибкую систему скидок • Крупный и мелкий chit со склада издательства • Контейнерные отгрузки во все регионы России и стран СНГ • Внимательное отношение к каждому! Закал и отправка книг по почте Тел.: (495)981-10.39 https://www.obrazovanie-online.ru Издательство «Просвещение« 127521, Москва, 3*й проеэ;1 Мярьнной рощи, 41 Тел.: (495) 789-3040 Факс: (496) 789-3041 Е'm ai I: pros v@pr 08 V .ш https:// WWW. prosv.ni