Алгебра Самостоятельные и контрольные работы 10-11 класс Ершова Голобородько

На сайте Учебник-Школа.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).
Алгебра Самостоятельные и контрольные работы 10-11 класс Ершова Голобородько - 2014-2015-2016-2017 год:


Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>

Текст из книги:
АЛГЕБРА НАЧАЛА АНАЛИЗА сс 4^Uue ^Ьлбси^Нс ИЛЕКСА АЛ. Ершова, В.В. Голобородько САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 10-11 КЛАССОВ 5-е издание, исправленное Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для общеобразовательных учебных учреждений Москва ИЛЕКСА 2013 УДК 372.8:514 ББК 74.262.21-26+74.202 Е80 Рецензенты: Ю.В. Ганделъ, доктор физико-математических наук, профессор Харьковского Национального университета им. В.Н. Каразина; Е.Е. Харик, Заслуженный учитель Украины, преподаватель математики ФМЛ № 27 г. Харькова А.Ф. Крижановский, Заслуженный учитель Украины, преподаватель математики СОУВК № 45 «Академическая гимназия» г. Харькова Перепечатка отдельных разделов и всего издания — запрещена. Любое коммерческое использование данного издания возможно только с разрешения издателя Ершова А.П., Голобородько В.В. Е80 Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.— 5-е изд., испр.— М.: ИЛЕКСА, — 2013, — 224 с. ISBN 978-5-89237-322-7 Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по всем важнейшим темам курса математики 10-11 классов. Работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности. Дидактические материалы предназначены для организации дифференцированной самостоятельной работы учащихся. УДК 372.8:514 ББК 74.262.21-26+74.202 ISBN 978-5-89237-322-7 © Ершова А.П., Голобородько В.В., 2010 ©ИЛЕКСА, 2010 ПРЕДИСЛОВИЕ Основные особенности предлагаемого сборника самостоятельных и контрольных работ: 1. Сборник содержит полный набор самостоятельных и контрольных работ по всему курсу алгебры и начал анализа 10— 11 классов, как основному, так и углубленному. Контрольные работы рассчитаны на один урок, самостоятельные работы — на 25—40 минут, в зависимости от темы и уровня подготовки учащихся. 2. Сборник позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний, так как задания распределены по трем уровням сложности А, Б и В. Уровень А соответствует обязательным программным требованиям, Б — среднему уровню сложности, задания уровня В предназначены для учеников, проявляющих повышенный интерес к математике, а также для использования в классах, школах, гимназиях и лицеях с углубленным изучением математики. Для каждого уровня приведено два расположенных рядом равноценных варианта (как они обычно записываются на доске), поэтому на уроке достаточно одной книги на парте. 3. Как правило, на одном развороте книги приводятся оба варианта всех трех уровней сложности. Благодаря этому учащиеся могут сравнить задания различных уровней и, с разрешения учителя, выбрать подходящий для себя уровень сложности. 4. В книгу включены домашние самостоятельные и практические работы, содержащие творческие, нестандартные задачи по каждой изучаемой теме, а также задачи повышенной сложности. Эти задания могут в полном объеме или частично предлагаться учащимся в качестве зачетных, а также использоваться как дополнительные задания для проведения контрольных работ. По усмотрению учителя выполнение нескольких или даже одного такого задания может оцениваться отличной оценкой. Ответы к контрольным и домашним самостоятельным работам приводятся в конце книги. 5. Тематика и содержание работ охватывают требования всех основных отечественных учебников алгебры и начал анализа 10—11 класса. Для удобства пользования книгой приводится таблица тематического распределения работ по учебникам А. Н. Колмогорова и др., Н. Я. Виленкина и др. Наш адрес в Интернете: www.ilexa.ru. ТРИГОНОМЕТРИЯ с-1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ГРАДУСНАЯ И РАДИАННАЯ МЕРЫ УГЛА* Вариант А1 Вариант А2 О Вычислите: а) 2 cos 60° - tg —; 4 б) sin (-420°). 71 а) ctg 45° - 2 sin —; 6 б) cos (-750°). е Сравните значения выражений: 8т1 а) sin— и cos 90°; 7 . 71 К б) sin— и —. 2 2 0 4я а) cos— и sin 180°; 7 б) — и cos —. 3 3 Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения: о, 5 cos а + 2. Вариант Б1 О Вычислите: Зя а) 2 cos 30° ctg 60° - sin —; 2 3 sin а - 1. Вариант Б2 а) 2 sin 60° tg 30° - cos я; Авторы обращают внимание на то, что работы по тригонометрии по уровню сложности ориентированы на учащихся, изучавших начала тригонометрии в 9 классе. Для учащихся, впервые изучающих основные формулы тригонометрии, рекомендуем набор самостоятельных работ, предложенный в сборнике авторов для 9 класса. 6 ТРИГОНОМЕ TP ИЯ б) sin390°-sin(-390°) б) ctg405°-ctg(-405°) tg(-765°) ■ 2 sin (-750°) О Сравните значения выражений: , 25я, 11я а) cos---tg---- и a)sinl, 2я ctg^ и cos (-300°) tg 110°; б) sin 4 и sin 4°. 13 10 sin (-330°) ctg 100°; 6) cos 2° и cos 2. О При каких значениях а возможно равенство: sin X = + 1 ? Вариант В1 COSX = -1 - ? Вариант В2 О Вычислите: а) sin (-45°) tg — + 3 я а) cos -- tg45° + б) + cos (-45°) ctg cos 540° - sin 810° , 5я , ( 9я ^ ctg Y - tg я + sin я ctg 45°; V V 4, 6) • a sin----cos ОЯ 2___________ f 9я ^ tg540°-ctg - — О Сравните значения выражений: а) sin 2 cos 3 tg 4 и cos 5; a) cos 1 tg 2 ctg 3 и sin 4; б) sin 200° и sin (-200°). 6) tg(-100°) и tgl00°. О При каких значениях а неравенство Самостоятельная работа С-2 sin X < а - а - 1 cos X > а - За 4-1 выполняется при любом значении х? С-2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА Вариант А1 О Известно, что К sinа = 0,8 и 0<а<—. 2 Вариант А2 п cos а = 0,6и0<а< — 2 Найдите значения трех других тригонометрических функций угла а. О Упростите выражение: а) sin^ а + cos^ а + tg^ р; а) tg р ctg р - sin^ а; tga б) J:^.(i_sin^a). О Докажите тождество: = tg а. ctg а 1 4- tga 1 4- ctg а Вариант Б1 О Известно, что . 3 к tga = — и —<а<7г. 4 2 ctg а . 2 2 б) ----4- sin а 4- cos а. tga 14- ctg а - ctg а. 14- tga Вариант Б2 . 4 Зтг - ctg а = — и — <а<2тг. 3 2 Найдите значения трех других тригонометрических функций угла а. 8 ТРИГОНОМЕТРИЯ о Упростите выражение: а) — sin а ctg^ а - cos^ Р; а) cos а ^ ^ б) (tg^ а - sin^ а) —т— '■ '^l^sin а - tg^ а - sin^ р; б) (ctg^ а - cos^ а) е -1 cos а cos'* а - sin^ а (1 - sin а)(1 + sin а) + 2 tg^ а = Вариант В1 Докажите тождество: + 1 sin* а - cos* а cos а (1 - cos а)(1 + cos а) + 2 ctg^ а Вариант В2 + sin а О Известно, что 25 sin^ а + 5 sin а - 12 = О Tt и — < а < Tt. 2 25 cos^ а - 5 cos а - 12 = 0 Зтх и — < а < 2тг. 2 а) sin® а + cos® а + Найдите значения четырех основных тригонометрических функций угла а, О Упростите выражение: 3-3 cos^ а 1 + tg^ а а) cos® а + sin® а - 3 sin^ а - 3 1 + ctg^ а б) tg®p- „ sin^ Р - tg^ Р COS^ Р - ctg^ Р 6) sin^ р - tg Р О Докажите тождество: sin а - cos Р _ sin Р - cos а sin а - sin Р _ cos Р - cos а sin р + cos а sin а + cos Р cos Р + cos а sin а + sin Р Самостоятельная работа С-3 9 С-3. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ Вариант А1 Вариант А2 О Вычислите: а) sin 300°; а) cos 210°; б) cos62°cos28° - sin62°sin28°. б) smll2°cos22° - sm22°cosll2° 0 Упростите выражение: а) (Зп ^ cos-----ha 2 sin (л-а) sin(2K - а) а) 7 ч ; cos я -h а б) — sin а - sin 2 (n ^ ^я — + a 6) — sin a - cos a U J 2 И J О Докажите тождество: sin а cos За - cos а sin За = Вариант Б1 О Вычислите: а) sin -h cos 240°; 6 б) cos 52° cos 7° -h sin 52° sin 7° sin 29° cos 16° -h sin 16° cos 29° sin 4a sin a - cos 4a cos a = cos ГЗя ^ 2a = sin ^Зя ^ 12 J l2 J Вариант Б2 Ч 10я . , _ a) cos-----h sin 150 ; 3 6) sin 72° cos 12° - sin 12° cos 72° cos 18° cos 12° - sin 18° sin 12° 10 ТРИГОНОМЕ ТРИЯ 0 Упростите выражение: tg{n + а) sin а) я - а (Зп cos — + а а) tg - а jsin (2я - а) cos (я + а) б) sin (а - 30°) + cos (60° + а). 0 Докажите тождество: cos(2я-a) tg40° + tg5° б) cos (60° - а) - sin (а + 30°), cos Зя + а tg55°-tgl0° sin я ^ l-tg40°tg5°‘ - + а / Вариант В1 sin (я-а) l + tg55°tgl0° Вариант В 2 а) sin 530° - cos О Вычислите: 22я а) cos 770° - sin 25я б) - sin 21° cos 9° + cos 159° cos 99° б) sin 20° cos 10° + cos 160° cos 100° 0 Упростите выражение: ^ Зя sin 22° cos 8° + cos 158° cos 98° sin 23° cos 7° + cos 157° cos 97° cos (я - a) cos a) -P tg(я + a-p) a) sin (я - a) sin f ^ - p я cos + a cos(2я - P) ctg --a + p sin tg(я + a-P) я + a sin (2я + P) ctg я — a + p 2 ^ Самостоятельная работа С-4 11 б) sin(a + p)sin(a - Р) + б) sin(a - Р) sin(a + Р)+ + cos^ а + sin^ р. + sin^ Р + cos^ а. е Докажите тождество: tgatgp+ tg(a + p)-(tga + tgp) = + (tg а + tg р) • ctg (а + р) = 1. = tg (а + р) tg а tg р. С-4. ФОРМУЛЫ двойного и половинного УГЛА Вариант А1 Вариант А2 О Вычислите: , „ . 71 К а) Jsm — cos —; 12 12 б) 1 - 2sin2 22°30'. •V 2 . 2 а) cos — sin —; 8 8 б) 2cos2l5° tgl5°. О Найдите cos 2а, если sina = -0,6. cos а = 0,8 © Упростите выражение: tg 2а • 1 - tg^ а .. а а 4 sin — cos — 2 2 2tga . s -----5--(1 + cos 4a). 1 - tg' a ^ ’ Докажите тождество: sin2a - tga = cos2a tga. ctga - sin2a = cos2 a ctga. 12 ТРИГОНОМЕТРР. Вариант Б1 О Вычислите: ^ . 7тг 7тг а) 4 sin — cos — 12 12 б) sin 15° cos 15° sin 5° cos 5° О Известно, что cosa = -0,28 и а — угол II четверти. Найдите sin — . Вариант Б2 . 4 5тг . 4 5тг а) cos------sin —; 12 12 б) ctgl5° - tgl5°. cosa = 0,28 и a — угол I четверти. Найдите cos ^. О Упростите выражение: 4 sin а cos а - 4 sin® а cos а. 1-4 sin^ а cos^ а 2 cos^ а -1 Докажите тождество: tga = cos 2а. tg 2а - tg а Вариант В1 О Вычислите: а) sin 75° sin 15°; б) fcos—-sin —1х 12 12 X cos — + sin — 12 12 tg 2a tg a = sin 2a. tg 2a - tg a Вариант B2 a) cos 15° cos 75°; ( л . n 6) cos —t- sin — 8 8 X о 7T . Q COS-----sin — 8 8 Самостоятельная работа С-5 13 0 Известно, что 2 п cos а = и о < а < —. Vs 4 Найдите tg(7i: Ч- 4а). 1 „ п sin а = —и О < а < — ^ ГЗя * Найдите ctg —— 4а 0 Упростите выражение: cos а cos 4а а ctg----sin а 2 sin 4а - tg 2а Докажите тождество: ctg а - ctg 2а = . 1 -н tg а tg 2а = ^ sin 2а cos 2а С-5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ В СУММУ Вариант А1 Вариант А2 Преобразуйте выражение а) в произведение: sin 6а - sin 4а; cos 7а - cos За; б) в сумму: cos За cos 2а. sin 5а cos 2а. 0 Упростите выражение: а) sin За + sin а cos За - cos а . cos 4а + cos 2а а) ---------------: sin 4а - sin 2а 14 ТРИГОНОМЕ ТРИ я б) 2sin35° cos 10° - sin25°. е Докажите тождество: sin 4а + 2 cos За - sin 2а _ cos 4а - 2 sin За - cos 2а = - ctg За. Вариант Б1 б) sin25° sin5° - 0,5cos20°. cos a + 2 cos 2a + cos 3a _ sin a + 2 sin 2a + sin 3a = ctg 2a. Вариант Б2 Найдите значение выражения, используя представление тригонометрических выражений в виде а) произведения: cos 18° ч-cos 42° cos 29° - cos 91° cos 12° б) суммы: sin 105° sin 15°. О sin31° cos 75° cos 15°. a) sin n — a 3 Упростите выражение: ^ . (2k ^ + sin----a 3 / ( ^ (3k Л — + a - sin — + a И / а) sin б) 2 sin (a + P) sin (a - P) + +2 cos a - 1. 6) 2 cos (a 4- P) cos (a - P) - -1 + 2 sin^ p. e Докажите тождество: 2 sin За cos a - sin 2a 2 cos 3a cos a - cos 2a cos 2a - cos 6a sin 6a - sin 2a 4 sin a cos a 4 sin a cos a Самостоятельная работа С-6* 15 Вариант В1 Вариант В 2 а) . 7я sin----sin 18 9 . 7я я ’ cos----cos 18 9 О Вычислите: я а) . 5я . 2я sin----h Sin-- 18 9 . 5я 2я ’ cos----1- cos — 18 9 cx 3cx 6) cos —cos —, если cos a = 0,6. 6) sin a sin 3a, 2 2 ^ если cos 2a =-0,8. О Упростите выражение: ^ sin 6a - sin 4a-f-sin 2a , 4 sin 3a sin 2a a) ----^---::----^-----; a) - 4 cos 3a cos 2a ' sin 4a - sin 6a -f- sin 2a 6) (tg a -f- tg P) X 6) (ctg a + ctg P) X X (cos (a -f- P) -f- cos (a - P)). x (cos (a - P) - cos (a -f- P)). О Докажите тождество: sin A + sin В , C cos A - cos В , C ------------= ctg —, ------------= - ctg —, cos A + cos В 2 sin A - sin В 2 если A, В п С — углы треугольника. С-6*. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Вычислите, используя умножение и деление на подходящее тригонометрическое выражение: 16 ТРИГОНОМЕ ТРИ Я а) sin 18° sin 54°; 2п 4к 6я б) cos---h cos---h cos-, 7 7 7 0 а) cos36° cos72°; к 2k б) cos---h COS----h 5 5 4k 6л: + cos----h COS---, 5 5 Упростите выражение, используя формулы понижения степени: ч . 2 г 9л а) sin------ha 8 б) sin^ 2а + sin^ (3 + + cos (2а + (3) cos (2а - (3). . ,Г15л ^ (Зл ^ ГПл ^ - sin -h а J 1 8 J ; а) cos а [8 J - cos — + а 1 8 ) б) sin^ (а + (3) + + cos^ (а - (3) - sin 2а sin 2(3. 0 Решите неравенство, применяя тригонометрические преобразования: а) cos(91° - х) COSX - а) sin(179° + х) cosx - - sin(91° - х) sinx <0; - cos(179° + х) sinx > 0; б) х^ + 2х cos3,5 sin0,5 - б) х^ - 2х cos6,5 cos0,5 + - sin3 sin4 <0. + cos6 cos 7 < 0. Оцените значение выражения, используя метод введения вспомогательного угла: а) V3 sin а-cos а; а) sin 2а + cos 2а; б) 5 cos 2а + 12 sin 2а. б) 7 sin а - 24 cos а. © Найдите значение выражения, используя универсальную тригонометрическую подстановку: а) cos2aa, если tgaa = -3; а) sin4aa, если tg2aa = 3; Контрольная работа К-1 17 « . 1 б) tg —, если sin а + cos а = —, 2 5 б) tga, если cos'* а - sin"* а = - - 25 К-1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Вариант А1 О Вычислите: а) 2 sin — - ctg —; 3 6 б) sin 56°cos 34° + + cos 56° sin 34°. cos Вариант A2 4 0 571,71 а) 2 cos--h tg —; 6 3 б) coslll°cos69°- - sin 111° sin 69°. 0 Известно, что 3т1 V2 v2 J 2 Найдите cos 2a. © Упростите выражение: 1 sin(71 - a) = —. ^ ^ 2 Найдите cos 2a. a) tg a + sin a - cos a cos 3a + cos a „ . , 6) + 2 sin a. 2 cos a а) ctg a + cos a-------^—; sin a sin 5a - sin a б) -----—--------ctg a - 1. 2 cos 3a 1 - tg^ a - Докажите тождество: cos 2a cos^ a ctg a -1 = — cos 2a sin a 18 ТРИГОНОМЕТРИЯ о Найдите значение х и выразите его в радианах, если 0° < дс° < 90° и cos 74° + cos 16° = 2 cos х cos 29° sin 32° + sin 28° - 2 sin x cos 2°. Вариант Б1 О Вычислите: a) ---— v2 cos —; Л 4 Вариант Б2 tg a) к 6 /г . Зл +V2sin —; ctg- 6 ctg Л 6) sin 50° + sin 10° cos 25° cos 5° + sin 25° sin 5° 0 Известно, что б) cos 25° cos 15° - sin 25° sin 15° cos 100° + cos 20° f3n cos----1- a 12 Найдите sin(60° - a). Л f ^ = 0,5 и — < a < Л. sin - + a 2 l2 j 1 Зл = — ил<а< —. 2 2 Найдите sin (30° + a). 0 Упростите выражение: ^ ( sin a 1 cos a ctg a -2sin^a; a) 2cos^ a-(tgacosa)^ sin a - sin 3a , ч 6) -----------(1-cos 4a). cos a - cos 3a О Докажите тождество: tg 2a • -—-^Y~ ~ 1 + tg' a -(ctg a sin a) ; sin a + sin 3a,. . ч 6) ------------(1 +cos 4a). cos a + cos 3a ctg 2a _ (.Qg 2(x 1 + tg a Контрольная работа К-1 19 © Найдите значение х и выразите его в радианах, если 90° < л:° < 180° и sin 5 7° + sin41° = 2 зшл: cos8°. Вариант В1 О Вычислите: , tg67°-tg22° а)-------------h l + tg67°tg22° +4 sin 105° cos 105°; cos62° - cosl8° = -2 sinx sin22°. Вариант B2 a) tg29° + tgl6° l-tg29° tgl6° -4 sin 75° cos 75°; l + cos4 ^ 6) J---------hcos2. l-cos8 . . 6) J-------hsm4. 0 Известно, что sin2a = 0,8 и 45° < a < 90°. Найдите tga. © Упростите выражение: cos2a = 0,6 и 135° < a < 180°. Найдите ctga. a) 4 cos a . 2 OC , 2 OC Ctg --tg - a) tg^ 2a - ctg^ 2a 4 ctg 4a cos a + cos 3a sin a + sin 3a 6) --------------+ sin 2a 1 + cos 2a cos a-cos 3a sin a-sin 3a 6) —------^---+ 1 - cos 2a sin 2a Докажите тождество: 4 sin a sin — + a Isin I — - a U J u = sin 3a \ = 4 cos a cos n - + a cos (n ^ — a / J 13 J = cos 3a. 20 ТРИГОНОМЕ ТРИ я © Найдите два значения х из промежутка [—360°; 0°], удовлетворяющие равенству: cos21° - cos51° = 2sinx sin396°. sin5° + siii65° = 2sin395° cos x. C-7. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Вариант А1 Вариант А2 у = COSX, / в одной системе координат постройте графики функций: у = sinx, у - cos у = 2cosx я X--- V 4, у = 3sinx, у = sinx + 2. О Найдите область определения функции: а) у = у/х + 1; б) у = tgx. а) У = -т— X -ь X б) у = ctgx. © Найдите область значений функции: у = sinx - 2. у = 0,5cosx. Вариант Б1 Вариант Б2 в одной системе координат постройте графики функций: Самостоятельная работа С-7 21 у = sinx, у = sin ^ я'' X + V 3, п ■ ( I 3j 0 у = COSX, у = -0,5 COSX, у = -0,5 COSX + 1. Найдите область определения функции: а) г/ = 4х х" -1 б) г/ = ctg3x. а) У х^ - 4 _ Vx -1 б) I/ = tg - • 0 Найдите область значений функции: я У = 2cos X -I— - 5. I 3j Вариант В1 г/ = 3 sin я ^ + 1 - Вариант В2 в одной системе координат постройте графики функций: у = ctgx. г/ = 2 ctg X - У = я У = tgx, г/ = о, 5 tg ^ я ^ X -I— V 4, 2 ctg ^ я ^ я г/ = 0,5 tg X -1- — [ 4j 4 а) г/ = 0 Найдите область определения функции: у1х + 6- х' -1 а) г/ = ч/20^ X - X 4-х^ 22 ТРИГОНОМЕ'1 б) у = 1 2 X . 2 X cos------sm “ 2 2 б) У- 1 4 sin — cos — 2 2 е Найдите область значений функции: у = 4 sin^ ^ я ^ X — V 4, -3. у = 4 - 6 cos^ / X + — V 4, С-8. ЧЕТНОСТЬ И ПЕРИОДИЧНОСТЬ ФУНКЦИЙ Вариант А1 Вариант А2 Докажите, что функция Ддс) является четной, а функция g(x) — нечетной, если: f [х) = Зх^ - cos X, f [х) - 2х^ + COSX, (л:) = sin2x + X®. §'(л:) - tgjc - 4л:^. 0 Найдите наименьший положительный период функции: а) г/ = sin -; О б) у = tg4x. а) у - cos 2л:; X б) I/ = ctg -. О 0 На рисунке изображена часть графика функции, имеющей период Т, Самостоятельная работа С-8 23 Достройте график этой функции на промежутке [—Т; 2Т]. Является ли данная функция четной или нечетной? У 0^ Вариант Б1 Вариант Б2 а) f{x) = cos л:; tgJC Исследуйте функцию на четность или нечетность: 3 ____ „ч _ „4 а) f{x) - х'^ sinx; б) f{x) = б) f{x) = ctg X х" -4 О Найдите наименьший положительный период функции: а) у = sin 4х cos х - -cos 4л: sin л:; а) у = cos 5х cos Зх + -ь sin 5х sin Зх; 2cos0,5х о) у --------- sin о, 5х е 3sin б) £/ = COS Постройте на отрезке [—3; 3] график четной функции с наименьшим положительным периодом 2. нечетной функции с наименьшим положительным периодом 3. 24 ТРИГОНОМЕТРИЯ Вариант В1 Вариант В2 Исследуйте функцию на четность или нечетность: а) f (х) = X tg X - sin^ х; ^ ^-----® б) f{x) = а) f (х) = X® ctg X + |sin х|; б) f{x) = X + X cos X + 1 cos X -1 о Найдите наименьший положительный период функции: X а) у = tg X - tg ________^ 1 + tg X tg ^ а) у ^ 1 - tg X tg 0,25х б) у = 2 sin 2х cos X - sin х. е Приведите пример двух нечетных периодических функций, произведение которых — четная периодическая функция. tg X -ь tg 0,25х б) у - cos Зх - 2 cos 4х cos х. четной и нечетной периодических функций, произведение которых — нечетная периодическая функция. Ответ подтвердите доказательством. С-9. МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИЙ. ЭКСТРЕМУМЫ Вариант А1 Вариант А2 Используя свойства возрастания и убывания тригонометрических Самостоятельная работа С-9 25 функций, сравните значения выражений: » , 7С i. ^ а) tg— и tg —; 10 5 п Зл б) cos— и cos —. 8 8 , . л . л а) sin— и sin — ; 12 6 л 2л б) ctg- и ctg —. э о о Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы функции: у - 2 sin л: -I-1. у = о, 5 cos X -1. е Функция у = Лх) имеет максимум в точке у^). Найдите точку минимума и минимум функции у = -Зу(л:). Вариант Б1 е Функция у = имеет минимум в точке у^. Найдите точку максимума и максимум функции у =~Лх) - 2. Вариант Б2 Расположите в порядке возрастания числа: ч X 2л л ^ 6л а) tg —; tg -; tg ; о о 7 б) cos (-1,8); cos 2,3; cos 2. О Найдите промежутки монотонности. , .л . 7л .л а) sin — ; sin —; sin — ; 5 6 3 б) ctg (-0,3); ctg 1,2; ctgl. точки экстремума и экстремумы функции: У = о, 5 sin I ^ “ г/ = 3 cos { л X --- 3 26 ТРИГОНОМЕ TP ИЯ о Дана функция у = Ддс), у которой X = -1, у = 1, X = о, у . = -8, X = 2, у = 4. X = 5, у = 10. max ’ ^ max max ’ ^ max Найдите точки экстремума и экстремумы функции у = -2Дх + 1). у = -0,5Дх - 2). Вариант В1 Вариант В2 Расположите данные числа а) в порядке возрастания: 71 5л tg-; tg —; ctg 4 о л ] ^ 7л . л . 9л л . 4л sin — ; sin —; cos —; sin —; 3 7 10 3 б) в порядке убывания: л ctg-; ctg 5; ctg 1,8; tg0,9. cos (-л); cos4; cos6; sin0,1. О Найдите промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции: У = ctg X + л -1. у 3tg + 2. 4 / О Используя определения, докажите, что: если у = Дх) — четная функ- если у = Дх) — нечетная ция, возрастающая на проме- функция, убывающая на про-жутке [0;а], то на промежут- межутке [0; а], то на проме- ке [-а; 0] функция у = ^х) жутке [-а; 0] функция у = также возрастает. = -Дх) возрастает. Самостоятельная работа С-10* 27 С-10*. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ (домашняя практическая работа) Исследуйте функцию и постройте ее график: Уровень А 1) £/ - 1,5з1п2д:; 2) £/ = 2cos^; 3) у =-ig Зд:; 4) у = 0,5 ctg 0,5х; 5) у = sin — X -1; 3 Уровень Б (Н) 1) у = sin 2) у = cos 3) У ^-tg 4) у = ctg 2х -н 2я +1; 5) у = sin X ^ 6 2 \ / Уровень В 1) у = 6) у = 2- cos2x; 7) £/ = ^ tg 2х; ^ 2х 8) £/ = -2ctg —; О 9) у = l + ig^\ 4 10) у - -3cosl, 5х. г, ^ ^ [2 2я^ 2х + ~ ; 6) у = 1 + cos — X -н — [ 3j [з 3 J 7) t/ - tg ^ X я' / 1 ; 8) у = 2ctg 1^3 6 J V 2 6 9) у = 1- cos 2х 4я V 7 10) у = — sin 1,5х ч- ^ sin 7 V тг \ X я —1— ; 6) у = 3 COS [2 ej 1 ^ J 28 ТРИГОНОМЕТРИЯ 2) у = tg / 2\х\ + я V я 2х 3) у = 3 - 2 cos ^ у 4) I/ = -ctg 2кх - У 4 5) у = -0,5 sin 2х + -3 7) У- S) у = 9) г/ = 3 \ 1 + ctg^ 2х tg 1; 1 - >/3 tg 2х _ >/з + tg 2д: 10) у = 2, 1 - COSX К-2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Вариант А1 Вариант А2 / у - cos -I Постройте график функции у = sin ^ я ^ X + — V 3, Пользуясь графиком, определите: а) нули функции; б) промежутки убывания функ- б) промежутки возрастания ции. функции. 0 Определите, является ли функция fix) четной или нечетной, и найдите ее наименьший положительный период, если: f{x) = -tg3x. Л f(x) = 2-4COS-. ^ ’ 3 Контрольная работа К-2 29 0 Не выполняя построений, найдите: а) область определения и область значений функции: ( x + — - 2; ^ = 0,5 cos X 1 6j 1 у = 3sin б) точки экстремума и экстремумы функции: у = -4 sin X. у = -2 cos х. + 1,5; Найдите область определения функции: у = y2cos --1. Вариант Б1 у - J4sin —cos —. '' 2 2 Вариант Б2 Постройте график функции X 1 у - — cos------ 2 2 2 у = 2 sin 2л: + 2. Пользуясь графиком, определите: а) нули функции; б) точки экстремума и экстремумы функции. О Найдите область определения функции и выясните, является ли она четной или нечетной: -1 sm X f{x) = cos X -1 30 ТРИГОНОМ О Не выполняя построений, найдите: а) область значений и наименьший положительный период функции: г/ = 4 sin 5х cos 2х - У = 2 cos'* х - 2 sin"* х; -4 cos 5х sin 2х; б) область определения и промежутки монотонности функции: у = tg2x. г/ = ctg ^. У Найдите область определения и область значений функции: 1 1 + ctg^ X Вариант В1 у 1 + tg^ л: Вариант В 2 Постройте график функции: и = — sin 2 2х - к у - 2 cos X ^ л ^ Пользуясь графиком, определите а) промежутки знакопостоянства функции; б) точки экстремума и экстремумы функции. е Исследуйте на четность и периодичность функцию: f (х) = cos 4х + sin^ X. f (х) = sin Зх - tg —. 2 Самостоятельная работа С-11 31 0 Не выполняя построений, найдите: а) область значений и промежутки монотонности функции: у - cos X + -v/з sin х; у = sin х - cos х; б) асимптоты и нули функции: Г ^ у = 2tg ^ X n ^ ^ 1- — y^-ctg 3x 4 4 V J 1 ^ J Постройте схематически график функции jl + cos 2х ------^-----1- cos X 1 - cos 2х у - J------------sinx. 2 V 2 Является ли эта функция периодической? Если да, то найдите ее наименьпшй положительный период. С-11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Вариант А1 О Вычислите: а) arcsin 1 - arctg 0; s б) arccos---1- arctg 2 V V3 b) ctg . ^ arcsin — 2 Вариант A2 а) arccos 0 - arctg 1; f IV , S б) arcsin — + arctg —; [ 2j ^3 b) tg arccos 32 ТРИГОНОМЕТРИЯ е Сравните числа: arcsin f n f n — — и arccos — — 2 2 V V / arccos V3 2 V И arcsm s e Определите, имеет ли смысл выражение: arcsin (х-1) при х = у[Е\ arccos (х + 1) при х - ( 7^ ^ V 6; х = 0,9; х - sin Ответ объясните. Вариант Б1 О Вычислите: а) arccos (-1) - 2 arcctg 0; к 1 X = cos —; X = —. 3 3 Вариант Б2 а) arcsin (-1) + 2 arctg 0; б) arcsin + arctg VS; б) arccos в) arccos sin в) arccos V 2, f tg - Д 2 arcctg V3; \\ arccos 0 и cosO. e Сравните числа: sinl и arcsin 1. e Определите, при каких значениях а имеет смысл выражение: arccos(2a - 1). arcsin(3a + 2). Самостоятельная работа С-12* 33 Вариант В1 О Вычислите: а) arccos f , Зя ‘«т - 2 arcsin 1; 2 arctg ^ + arcctg V3 Вариант В2 а) arcsin ^^ Зя^ V J 9 >/2 + 2 arccos —; 2 б) sin в) arccos (sin (arctg 0) ). О Сравните числа: arctg(a - 1) и arctg(a + 1). е Найдите область определения функции: у = arcsin (л^ + 1) б) cos [ 2 arctg л/З + arcctg V3 в) arcsin (cos (arcctg 0) ). arcctg a и arcctg (a + 2). у = -arccos (л:-1). C-12*. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Определите, при каких значениях параметра а вьшолняется тождество, и докажите его: а) sin (arccos а) = Vl - ; а) cos (arcsin а) = л/l - ; б) ctg(arctga) а б) tg (arcctg а) = а 34 ТРИГОНОМЕТРИ в) tg(arcsina) = г) cos(arcctg а) = а \Jl - а л/l + ч тс д) arcsin а + arccos а = —. 2 0 Вычислите: . . Го 12^ а) sin 2 arccos — ; I 13j «Ч . I 1 • 5 ^ б) ctg — arcsin — '2 13 b) tg (arccos aj =------; a r) sin(arctga) - -j=^— vl + д) arctg a + arcctg a 2 / b) sin arctg 3 - arcctg 0 12; a) cos 6) ctg b) cos 1 . 5 — arcsin — 2 13 3\ 2 arcsin— ; arctg — - arcctg 3 . Учитывая область значений аркфункций, вычислите: а) arccos (сое 10) ; а) arcsin (sin 6) ; б) arctg ctg Зл Т о б) arcctg tg 7л 8 Найдите область определения функции: а) у = агс8ш(д:2 + д: - 1) ; а) у = агссовСд:^ - 3) ; о) у = arcsin б) у = arccosV2 - X. 0 Найдите область определения и область значений функции: I-------- а) 1/ = V-arcsin дс; а) у = х-1 arcsin X Самостоятельная работа С-13 35 б) y = 2arctg\fx. б) г/= —-ь 2arcctg^-Vx О Решите уравнение: а) cos(arccos(x-ь 2)] = а) sin (arcsin (4х - 1)] = Зх^; X \ б) 6 arctg —-— = 2к; б) 2 arcctg (2х - З) = тг; в) arcsin (х^ “ “ arcsin (2х ч- 4); в) arccos (х^ - л:) = = arccos (2х - 2); г) (arcctg х)^ - 6 arcctg х -ь 8 = 0. г) 2 (arctg х)^ - - 5 arctg X -ь 2 = 0. СИЗ. простейшие тригонометрические УРАВНЕНИЯ Вариант А1 Вариант А2 О Решите уравнение: а) 2 sin X = 73; а) 2 cos X = 1; б) cos ^ 71 ^ X -I--- V 3, = -1; б) sin ^ 71 ^ X---- V 4, = 1; в) tg Зх = - 0 Найдите нули функции: в) ctg ^ = -7з. 2 sin X + 1. г/ = V2 cos 'к X J + 1. 36 ТРИ го HOME ТРИЯ е Решите уравнение и найдите его наименьший положительный корень: , JC 71 ctg- = ctg-. Вариант Б1 его наибольший отрицательный корень: ^ тс ^ V 3; tg Ах = tg Вариант Б2 а) sin • ( ^ in X----- о Решите уравнение: б) 1 - 2cos^ 2х = + 1 = 0; а) cos п JC + — 6 -1 = 0; б) sin —cos — = - —; 4 4 4 з) >/3tg 71 -1. в) VSctg к \ - X = -3. У = ctg ^ X ----1---- 3 4 О Найдите нули функции: -1. У = tg 2х к + 1. е Решите уравнение и найдите его корни, принадлежаш;ие промежутку [0; я]: я sin 2х + sin — 6 / (sin 2х - 3) - 0. Вариант В1 cos 2х + cos V (cos2ac + 4) = 0. Вариант В2 О Решите уравнение: а) 4 sin f Зд; - ^ + Vs = 0; а) 4 cos '"х я ^ + Vl2 = 0; Самостоятельная работа С-14 37 б) ctg в) cos ^71 ПХ . 71 ^ л: sin — V 6, = - ctg 7л б) tg (л ял ^ , ^ я ^ - - — = tg — 3 J + 0,5 = 0,5. в) 0,5 - sin л: cos л V - 0,5. О Не выполняя построений, найдите абсциссы точек пересечения графиков функций: f(x) = cos 5л: cos ^(л:) = sin 5л: sin л X А-- 6 л X + — 6 л и f[x) - sin Зл cos X - л ^^2 и ' / ^(л:) = cos Зл: sin ^ 71^ л:---- V 4, © Определите количество корней уравнения, принадлежащих отрезку [—я; я]: (sin л: -1) / f 7Г ^ Л tg 2л-- 4 + 1 V V у / = 0. (cos^-l) ctg 2л + — - 1 4 V = 0. / с-14. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Вариант А1 О Решите уравнение: а) 2sin^ л - Зsinл -2 = 0; б) sin 2л - cos л = 0; в) cos 7л + cos л = 0. Вариант А2 а) 2cos^ л - 5со8л + 2 = 0; б) Vs cos л + sin 2л = 0; в) sin л + sin 5л = 0. 38 ТРИ го HOME ТРИ я о Найдите корни уравнения на отрезке 0;? 3tgx - ctgx = 2, tgx - 2ctgx = -1. Вариант Б1 Вариант Б2 О Решите уравнение: а) 4cos^x + 4sinx -1=0; a) 4sin^x - 4cosx -1 = 0 б) 2cos^ X - sin2x = 0; 6) sin^x - 0,5sin2x = 0; в) cosx + cos3x = cos2x. b) sin2x + sin6x = cos2x 0 Найдите корни уравнения на интервале “2’® \ J sin^ X + 5sinx cosx + 3sin^x + 3sinx cosx + 2cos^x = + 2cos^x = -1. Вариант В1 Вариант B2 О Решите уравнение: а) cos4x - 3cos2x = 1; X a) cos X + 3 sin — = -1; 2 б) 4cos^ X - sin2x = 1; 6) 6sin^ X + sin2x = 4; в) sinGx - 2sin2x = 0. b) cos6x + 2cos2x = 0. 0 Докажите, что на промежутке [0; я] данное уравнение имеет единственный корень, и найдите его: sinx tgx + 1 = sinx + tgx. 1 - ctgx = cosx - cosx ctgx. Самостоятельная работа С-15 39 С-15. ОТБОР КОРНЕИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Вариант А1 Вариант А2 О Решите уравнение: а) (ctgjc - 1) (cosjc + 1) = 0; а) (tgjc + 1) (sinj: - 1) = 0; б) ^ = 0; 1 -I- sin X b) sin2jcVcosj: = 0 0 Решите систему уравнений: Jcosjc -I- cos у = 1, \x + у = 2k. 1 - cos X b) sin 2jc\/sinj: = 0. sin X + sin у = V5, X + у = K. Вариант Б1 о Решите уравнение: a) (1 + cos2x) tgx = cosx; sinx-sinSx 6) —--------= 0; 1 + cos X__ b) -sjctgX = j2coBx. 0 Вариант Б2 a) (1 - cos2jc) ctgx = sinx; cos 3x -I- cos X ^ 6) —^-------------= 0; 1 -I- sin X____ b) -Jtgx = V2 sinx. Решите систему уравнений: [sinxcos у = 0,75, Jcosxcosy = 0,75, [sin у cos X = 0,25. [sin x sin у = 0,25. 40 ТРИГОНОМЕ ТРИ я Вариант В1 о Решите уравнение: 0) 1 + tg 2л: tg л: X (72 cos X - cos X ) = 0; cos^ 2л: - sin^ х б) -----------------= 0; 1 - sin Зл: в) 72 sin^ л: - 1 = cos х - sin х. Вариант В2 0) ^g2^ + tg^ .. 1 - tg 2л: tg л: х(72 sin^ X + sin xj = 0; sin^ 2x - sin^ X 6) = 0; 1 + cos 3x b) 7l - 2 cos^ X = sin X + cos x. О Решите систему уравнений: I cos X cos у - sin X, [sin X sin у = cos^ x. I cos X sin у = sin X, [sin X cos у - cos^ X. C-16*. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 О Решите уравнение: а) sin(cosx) = 0,5; б) ctgx ctg2x = 1; в) cos4x cos7x = cos6x cos3x; г) sin 4x - cos 4x tg 2x = 7з. Вариант 2 ^ 1 • л a) cos (sin xj = ; 6) tgx tg2x = -1; b) sin7x sinx = sin3x sin5x; r) sin 6x + cos 6x ctg 3x = 7з. Самостоятельная работа С-16* 41 О а) 2tg X + 3 = Используя замену переменной, решите уравнение: 3 а) 1 ctg X + 3; sin X б) 4(cosx - sinx) = 4 - sin2x; в) tg^x+ctg^x+3tgx+3ctgx=-4. cos X 6) 1 - sin2x = cosx - sinx; b) tg'*x + ctg'‘x + tg^x + ctg^x = 4. 0 Используя разложение на множители, решите уравнение: а) cos2x = sinx - cosx; б) 1 - cosx = tgx - sinx; в) sin^3x + sin^4x = = sin^5x + sin^6x. a) sin2x + 1 = sinx + cosx; 6) 1 + sinx = ctgx + cosx; b) sin^x + sin^ 2x = = cos^ 3x + cos^ 4x. 2sinx Решите данное уравнение тремя способами (с помош;ыо формул двойного угла, метода вспомогательного угла и универсальной тригонометрической подстановки) и докажите, что полученные ответы совпадают: 3cosx = 2. 3cosx - 4sinx = 5. 0 Используя умножение на тригонометрическую функцию, решите уравнение: а) 4cosx cos2x cos3x = cos6x; б) cos2x+cos4x+cos6x = -0,5. а) cos X cos 2x cos 4x - —; 8 б) sin 2x -H sin 4x -H sin 6x = = — ctg X. 2 42 ТРИГОНОМЕТРИЯ о Решите тригонометрическое уравнение; а) 2^ctg X = 3 - ctg х; X б) yj0,5cosx - sin —; 2 в) Vsin3x + sin 5х = Vsin4x. а) 2-tgx = л/tg^; б) лГ cos 4x = V2 cos 2x; в) л/cos 5л: + cos 7x = л/cos 6x. C-17*. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Решите систему уравнений; а) ■ п б) х-у = cos^ X - cos^ и - —; 4 4я X + у = —, 3 в) г) sin X sin у к X - у -^ 2 cos 2л: + 5 cos г/ = 3; х+ г/ = -, 4 tg7Iл: -tgny = 2. а) б) к х + у = ~, 4 sin^ л: + sin^ у = h к х-у cos л: sin у = 4 в) г) х + у 5п cos 2л: + sin у = 2; 1 X - у -^ 3 ctg ял: - ctg яг/ = -л/з. Самостоятельная работа С-18 43 I cos л: cos у - 0,75, I ctg xctgy = 3; О Найдите решение системы, используя а) подстановку и почленное сложение (вычитание) уравнений системы: sin X sin у tg л: tg = 1; б) разложение на множители и почленное деление уравнений системы: fsin X + sin у = 1, [cos л: - cos у = у/З; в) замену переменных: [sinjc -f- cosy = 1, [cos 2x + cos 2y = 2. sin X - sin у = 0,5, 2 ’ COSJC + cos у [cosjc + cos у = 0,5, [sin^ X + sin^ г/ = 1,75. c-18. простейшие тригонометрические НЕРАВЕНСТВА Вариант А1 Вариант А2 Решите неравенство: а) 2sinjc >1; а) V2cosjc < 1; б) cos X -f- ■ п < Г2 б) sin ^ 1 V 2 л в) tg 2jc < tg -. О 44 ТРИ ГОНОМ'Е ТРИ я о Найдите значения х, при которых график функции у = sin X 71 ^ л/2 2~4Г~2 лежит ниже оси х. Вариант Б1 график функции I 6j 2 лежит выше оси х. Вариант Б2 Решите неравенство: а) -2 sin 2л: < у[з ; X а) -2 cos — > 1; б) cos в) tg л: я ,3^3, ^я ^ ---л: v6 у 5я < cos —: 3 б) sin -%/з > 0. в) yfstg 3 л 2л:+ - V 4, ^ я ---л: Зя > sin- -1 < 0. О Найдите значения х, при которых график функции L' = 1 - 2 cos^ — лежит ниже ^ 8 прямой у = 0,5. Вариант В1 график функции у = 2sin^ 4л: -1 лежит выше прямой у = . Вариант В2 Решите неравенство: /"3 а) -4 si в) ctg (3 п) -Х + - > -2V2; а) 14 4 > 0,25; б) л: ^ > ^^3. в) 3 > <-1,5; б) sin^ л: < 0,25; tg ''я ^ ----2л: V > 1. Самостоятельная работа С-19* 45 О Найдите значения х, при которых график функции график функции sin X + cos X у --------5-- лежит 1 + ctg"X выше оси X. sin X - cos X у =----------- лежит ниже 1 + tg X оси X. С-19*. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Решите неравенство: --3xl< V0,75; a) Jcos^ ^71 X ^ J V [з 3) а) Jsin^ б) sin^ X + cos'‘ X < —; 8 < ^/o7^; б) sin® X + cos® X > —; 8 в) sin3x (cos2x + 1) > 0. в) cos2x (sin8x - 1) < 0. 0 Используя замену переменных, решите неравенство: а) cos2x + 3sinx > -1; а) cos2x + 3cosx < 1; б) + ctg X - 3 < 0; sin X в) tgx + sin2x > 2; г) sin^ X + sin2x - 3cos^ x > 0. 6) tg X - 3 < 0; cos X b) 2sin2x + 3tgx < 5; r) 2sin^ X + sin2x - 4cos^ x > 0. 46 ТРИГОНОМЕТРИЯ е Используя метод интервалов, решите неравенство: a) cos3x + 2cosx > 0; а) sin3x - 2sinx < 0; б) sinx cos5x < sin2x cos4x; 6) cosx cos7x > cos3x cos5x; b) 1 - cosx < tgx - sinx. b) 1 + sinx < ctgx + cosx. K-3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА, СИСТЕМЫ Вариант А1 О Решите уравнение: а) 2 sin X = \/з ; б) sin X - л/з cos X = 0; в) 2sin^ X + 3cosx = 0; , sin Зх + sin X г) ----------- 0. Вариант А2 а) \/2 cos X = 1; б) sinx + cosx = 0; в) 2cos^ X - sinx = “1; cos3x - cosx cos X r) = 0. sin X о Решите неравенство: a) -\/3 - 2 sin Зх < 0; ’ + X > б) ctg n а) 1 - 2 cos — > 0; 2 1 б) tg(Ti-x) < ^. e Решите систему уравнений: {sin X = cos у, 2 cos^ у + sin X = 3. [sin"' у - cos x = 2. cosx = sin г/, Контрольная работа К-3 47 Вариант Б1 О Решите уравнение: \/з 1 а) —sin3x----созЗл: = -1; 2 2 б) sin^ X - - 2sin2x - 5cos^ д: = 0; в) 1 - cos X - sin —; 2 sin 2х г) ------ - -2 cos X. 1 + sin X Вариант Б2 1 i/з а) — cos 2д: + — sin 2д: = 1; 2 2 б) COS^ X + + sin2x - 3sin^ д: = 0; в) 1 + сов4д: = сов2дг; sin2x . г) --------= 2 sin д:. 1 - cos д: а) 2 cos д: б) tg тс е Решите неравенство: + -j-7з < 0; - 2д: > 1. а) у[2 sin |^д: - ^ I + 1 > 0; б) ctg - д: 3 ~ 2 < 7з. 0 Решите систему уравнений: х-у к cos д: cos у х + у тс sin д: sin у Вариант В1 Вариант В2 О Решите уравнение: а) sin^ тс д:------ 4 д: = 0,75; п \ а) cos д: ч— 4 = 0,5; б) 2 cos-----3 sin д: + 2 = 0; X б) 2 sin —t- 3 sin д: + 2 - 0; 48 ТРИГОНОМЕТРИЯ в) sin^ X + sin^ 2х = sin^ Sx; , cos X - 2 sin л: sin 2x r) --------------------= 0. 1 + sin3x b) cos^ X + cos^ 2x + cos^ 3x = 1,5; 2 cos X cos 2x - cos x r) 1 - sin 3x 0. 0 Решите неравенство: a) sin ^ к _ ^ ( n (к ^ ^7T - + 2x + sin — 2x > 1; a) cos --2x - cos - + 2x U J J l3 J J 6) Jtg X ^ ^x я ^ < 1. 6) J-Ctg h — V ^3 3 J < 1. <1; 0 Решите систему уравнений: cos X-------= 3, sin у 2 cos X sin у = 1. sin X + sin X cos у -2. -3, cos у АЛГЕБРА С-20. КОРЕНЬ л-ОИ СТЕПЕНИ И ЕГО СВОЙСТВА Вариант А1 Вариант А2 а) + О Вычислите: а) ^ ^ + ^(-2)^ б) • VshVIg . е Избавьтесь от иррациональности б) ^6 + V35 • ^6 - V35. в знаменателе дроби: б) 1 V2+1' а) б) е W’ 4 7з-i‘ Упростите выражение: б) 6aV^ : (sVa). б) 2а^ ■ 3^. а) Вынесите множитель из-под знака корня (ж > 0,у>0): ^81л:У. л/ЗбТ/. б) Внесите множитель под знак корня (ж > 0) : 50 АЛГЕБРА 2х^. 4х^^. 0 Упростите выражение и найдите его значение при а = 3: ^2 + >/й j — 8>/й. (Та-l)(l +Va)-2(Va-l). Вариант Б1 Вариант Б 2 О Вычислите: а) Т-2%/2 + Т2 • Т2; б) • Т2-%/з. О Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) б) ViW5 а) б) а + -\/3 а - \fs а -1 а) б) +ТТ + 1 0 Упростите выражение: V2^_ л/2 + ь\ а + 1 + 1 а) + а) 7^-4^ б) л/^ • О б) Т27а' ■ а) Вынесите множитель из-под знака корня: v°. Tsix^. Самостоятельная работа С-20 51 б) Внесите множитель под знак корня: -2а6 6 2г' 1 16а"6 5. 10 ^^^243о^. За^Ь 0 Упростите выражение и найдите его значение при а = 0,8-‘ л/а ч—7=-- [ у/а ч—7= ](а — 4) ч- lay/a + 1 ^ г- Л + гА V^-2j' ч- а. Вариант В1 V л/а ч-1 Вариант В2 О Вычислите: а) ^3 + ^(-8) -^3-^(-8); б) • х/^/ТПЖ. 0 а) J4 + ^(-15) -J4-^(-15) ; б) ^1-Vs -7^ + 275. Избавьтесь от иррациональности в числителе дроби и сравните ее с нулем: V7 - V2 , У3-У12 2 ' а) 2-У2-УЗ б) г г- 2 + У2-Уз б) з-Уз + V2 3-V2-Уз' © Упростите выражение: а) y^ -9Vl2a® : (зУбУ^); а) 2бУ^ • : (бУ^); 52 АЛГЕБРА L [l aVa 6) 3 2a4---- V Va Va 6) ъ\а\ 1 2aVa a) Вынесите множитель из-под знака корня (п — натуральное число) : ""^2"^^ • а"'"* ■ если а > О, & > О. если а > О, Ь > О. б) Внесите множитель под знак корня: -За"&б- 27а 4 • 0,6аЬ^-16аЬ\ © Упростите выражение и найдите его значение при а = 6: \1а + 4л/а - 4 - - 4л/а - 4. -у/^^ - 2л/а - 1 + 7^^ + 2л/а - 1. С-21. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Вариант А1 О Решите уравнение: а) - 4х = л/б - Зх; Вариант А2 б) л/Зх+Т = л: - 1; в) 2\/х - 7^ = 1; г) \[х + 7л: - 3 = 3. а) 7л:^ - 10 = 7-Зл:; б) 72дс -ь 4 = л: - 2; в) зТх + 27^ = 5; г) 7^ - 7л: - 5 = 1. Самостоятельная работа С-21 53 0 Определите, при каких значениях х функция у = +2 прини- функция у = - 1 прини мает значение, равное 2. Вариант Б1 мает значение, равное 3. Вариант Б2 О Решите уравнение: а) -4x4-3 = Vl - х; б) Vl8x^ - 9 = х^ - 4; в) х^ - 8х - 2ух^ - 8х -3 = 0; а) Vx^ -н X - 3 = Vl - 2х; б) л/2х^ -I- 7 = х^ - 4; в) х^ -I- Зх - л/х^ -н Зх -2 = 0; г) л/х -ь 2 -I- -Ух - 3 = л/Зх -ь 4. 0 Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций: у = ^х - 1 и I/ = ^х -н 5, I/ = у[х~+3 и у = ^х + 1. г) л/х -ь 3 -I- л/х - 2 = V4x+T. Вариант В1 Вариант В2 О Решите уравнение: а) 'Jx - 2 + 2у1х + 6 = 4; а) у]х-1 + -1-2=3; б) \/Зх -I-12 - л/х -н 1 = л/4х -н 13; б) л/2х - 1 - - 4 = л1х - 1; в) Зх^ + 15х -н 2л/х^ -н 5х -н 1 = 2; в) (х -н 4) (х -н 1) - - Зл/^ -I- 5х -н 2 =6; г) ^х-10 + ^х-17 = 3. г) ^4х + 3 - = 1. 54 АЛГЕБРА О Найдите точки пересечения графиков функций: у = yjx + 2 и у = ^Зх + 2. у = + 7 и г/ = л/х + 3. С-22. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Вариант А1 Вариант А2 а) б) Решите систему уравнений: Vx - Ту 1. л/хТ = 2; а) б) Тх - г/ + 8 = 2, -у/Зх - 2{/ + 6 = г/. Тх + Ту = 4, Т^у = 3; Тл:-у + 27 =3, ТЗх - г/ + 2 = X. О Решите неравенство: а) (х + 1) Т2 - X > 0; а) (х - 5) Тх + 1 < 0; б) Т2х + 4 < 2; б) ТЗх + 1 < 1; в) Тх^ - Зх + 2 > -4. в) Т2 + X - х^ > -2. Вариант Б1 Вариант Б2 Решите систему уравнений: а) [Тх +Ту = 4, [х - г/ = 8; а) [Тх- Ту = 1, [х - г/ = 3; Самостоятельная работа С-22 55 б) б) sj5x + у + yj5x-y = 4. О Х_ 1У ^3 у \х 2’ ■yjx - Зу + у]х + 5у = 4. Решите неравенство: а) (9 - ) yjx^ -4 < 0; а) - 4) л/25 - х^ > 0; в) л: -н у/х < 2. Вариант В1 х + 2 в) л: - S'Jx > 4. Вариант В2 а) б) Решите систему уравнений: Ху[у +yyfx ^6, ^ х4х ~Уу[у =2% х4х + Уу[у = 9; Ху[у - у4х = 6; л^х + у - yj2y -5х = X, 2^3^ + X - ^jQy - х = х, yjx + у + yj2y - 5х = у. ^JSy + X + yjQy - X - Sy. О Решите неравенство: а) (х -1) yjx^ - X -2 > 0; б) у12х + 4 < yjx^ + 4; в) - 8х - 2л/х^ - 8х < 3. а) (х - 3) у1х^ - 6х -н 8 < 0; б) Vх^ -н 3 > л/Зх + 3; в) х^ - Зх - л/х^ - Зх < 2. 56 АЛГЕБРА С-23*. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ, СИСТЕМ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Решите иррациональное уравнение, используя в решении указанный способ: — разложение на множители (с учетом ОДЗ) : a) (x + 2) Vx^ - X - 20 = a) (x - 3 = 6x +12; 6) Vx^ + X - 2 + Vx^ - 4x + 3 = 6) 2\lx^ — введение одной или нескольких новых переменных: в) Vx + 2 + X = 2л/х + 2; в) + л/2х + 5 = 2х; г) ^х - 4 - 1 - Vx + 1; д) ^х + 8 - \/х - 8 = 2; е) л/х + 5 + Vx = V2x + 5 г) V2 - X = 1 - Vx - 1; д) Vl - X + Vl5 + X 2; е) Vx + Vx - 8 = = 2х - 15 + 2у1х^ + 5х; 2х - 20 + 2у1х^ - 8х; — домножение на сопряженный радикал: ж) V2x^ + Зх + 5 + +л/2х^~^^~Зх4^ = Зх; ж) |Vx +1 + lj|Vx +10 -4j = x; Самостоятельная работа С-23* 57 з) yj2 + X + sj2- X 2 з) V^ + 6 - у1б- X X '^2 -f X — \J2 — X ^ X + G + \JG — X 6 — выделение полного квадрата: и) у]х + 5- 4\1х + 1 -1- лг + 10 — 6л/-Ь1 — 1; и) yjx + 2\fx -1 - -yjx - 2у/х - 1 = 3; — сравнение значений обеих частей уравнения на ОДЗ: к*) yjX + 3 + '\fx~—~i к*) \l4x^ -1 = 1 - у/4х - 1. 0 Решите неравенство, используя равносильные преобразования или метод интервалов: а) yjx^ -Зх - 4 > X - 2; б) yj2x^ - Зл: - 5 < л: - 1; в) \/х - 5 -1- VlO - X < 3; а) л[х^ + 3х - А > X + 2; б) Vj х~^ - X - 2 < X -1; в) \l2x - 1 -t- yjx + 15 < 5; . + X - Х^ у1б + X - Х^ г) -------------->--------------- 2л; -1- 5 X + 4 . л/з - 2х - х^ ^ л/з - 2х - х^ г) ---------------<----------------- Д) у[? 1+1 > 1. л; Д) л: + 8 2л: + 1 l-yll-4x^ < 3. X О Решите систему уравнений, используя в решении указанный способ: а) введение новых переменных: [^л: + у + 4 + + 7 =4, \^х + 2у + ^х - у + 2 = 3, [х + 2у - 5; [2л: + у = 7; б) умножение уравнений системы: 58 АЛГЕБРА 108х ' Jx + i/ + у/х-г/, ' Зх ^ yjx + у - yjx - у, 16х I 5у X = yjx + у - yjx - у, = sjx + y + ^Jx-y; в) способ подстановки: ^fx +у1у =10, ^ ^ = 5, = 1. С-24. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ Вариант А1 Вариант А2 Представьте выражение в виде степени числа л: (л: > 0) : а) ^ ■ \[х; .0.6 б) {Щ о Вычислите: 2 3 а) i“ З'® / 1 1 V* 10'« 0,0Р J а) (^Г б) Гх ■ а) ----- 2'2 25 ^ 5 2 V / е Упростите выражение: а) (16л;)< ■ (л 3 3 -х^ 8 у а) (1000д:)5 1 1 ^ 2 0,01л;3 Самостоятельная работа С-24 59 ( б) в) 1 \( а + Ь* 1 Л а-Ь* V 1 аЬ^ - а^Ь л/Ь; {аЬ) О Сравните числа: а) Гл \ v2y и б) и 5‘'’^ Вариант Б1 ( 1 \{ 1 б) в) -Ъ V 1 а*Ь -1- Ь*а \ +Ь {аЬ) _1 1 а) 3 ^ и 3^; 3/„2 . \а ; б) (0,5f и ^0,25. Вариант Б2 Представьте в виде степени с основанием лг (х > О) : а) X • Ух ^2 •у» 3 б) Vx • Vx • f i Y X® V у e Вычислите: <-0,5 a) 85 (Щ X ■ Ух^ a) 6) vx a) 27 ll,5 б) ( ' ^ 0,001® 10^ 2 б) Г 1 \ 0,04® б'* 1 у* 1 / О Упростите выражение: 60 АЛГЕБРА а) б) в) 2 \ о, Збас^ - 4 ~Т I + 4а® + 4 3 л 125 а) (0,027а"с)з ■ 25 ас 1 2 ^ 2 3 б) в) - X _ г ’ XI- Х^ 1 а® - 6а® + 9 I а® - 9 Оцените значение выражения: а) х^, если 1 < л: < 32; _i 4 б) X если — < л: < 1 П Вариант В1 а) х^, если 0,008 < л: < 1; -11 б) X если < л: < 5 625 Вариант В2 16 Представьте в виде степени с основанием д; (д: > 0) : а) ху[х^^[х; б) ? х^ ■ х-^'^ 1 X 0 Вычислите: а) ( 81^’® "l [StJ 625 V / б) (з7з)“ 127® -49' 21 0,5 а) 5 — 16 б) 4V2 1 • 3 3 1 V ( 32'’^ ^ 2 729 9 / 1 1 -1 1160,75 343® 28 Контрольная работа К-4 61 а) (0,0625a''V'*cх ( X © Упростите выражение: а) 1 3 ^ 32 б) в) V Vx + ^ + ^ - у1у 1 1 1 + л:'‘ - у* 2 1 12 х^у^ + х^у^ + у х-у ( 1 5 Ч®’"* 0,00032а'®&"с® V ( 1 б) в) 125 \ Vx-^ + ^-. 1 1 ’ X® - у® + У^'^ 4 1 5 1' х^ + х^у - х^у^ Запишите формулу зависимости между переменными аи Ь, если: 11 11 а) а = , Ь = а) а = t^, Ь = t^; б) а - +1, & = Г®’®-1. б) а = (^ + 1)з , Ь - 1)з К-4. СТЕПЕНИ И КОРНИ Вариант А1 Вариант А2 Найдите значение выражения: а) б) ^/^f; 1 2х^ ^ “ 4 \ х^ -2 при X = 9. а) (V3^ 1 6 б) — при X = 8. 3 X® - 9 62 АЛГЕБРА е Решите уравнение: а) (г/^-1)5 =2; а) (г/^-19)^ =3; б) Vx + 12 = х; б) V7 - X = X - 1; в) л/З - X ■ Vl - Зх = X + 5; в) л/2 - X • л/1 - 4х = X + 8; г) х^ + X + 2л/х^ + X = 0. г) х^ - Зх + 2л/х^ - Зх = 0. е Решите систему уравнений: \х + у + у[^ = 1, \х-у-2у[ху=2, [л:г/ = 4. ^ [хг/ = 9. Определите значения а, для которых при X = 1 выполняется неравенство: у1а - X > X. yjx - а > yjx + 3. Вариант Б1 Вариант Б2 Найдите значения выражения: а) б) X - х^ I -1 -2^ + 1 Л 1 х^ +1 1 х^ -1 при X = 8. О Решите уравнение: 2 1 а) 2x3 + _ 5 = 0; а) б) V2^W. ^4-л/2 ’ 1 + 2Vx + ^ %/х %/х -1 х** -1 X'* + 1 при X - 16. а) х*^'" + 5х“’^ -14-0; Контрольная работа К-4 63 б) \j2x^ + 8л: + 7 - 2-х; в) у/х + 4 - ^JG- X = 2; б) \Jg - 4х - х^ - X = 4; в) \1х + 3 - \l7 - X = 2; г) - 9л: + 14) yjx^ - 9 = 0. г) (л:^ - 9) yjx^ - 5л: + 4 = 0. 0 Решите систему уравнений: \Jx + y + ^]x^ + ху = 3, X + у + х^ + ху = 5. О Используя метод интервалов, решите неравенство: -у^ + yjx-y = 6, х^ - у^ - X + у = 12. Г~2-- 6 \1х - X < , yjx^-x Вариант В1 + л: > 2л:^ -12 \1х^^ + X Вариант В 2 а) ^2б + 1б%/3 •(2-%/з); 1 Найдите значение выражения: а) ^7-5n/2-(i + n/I); / I х^ ~ х^ б) "ТТ X + х^ X — 1 - х^-1 при X = 125. 0 Решите уравнение: а) \Js + у1ъ~^ = у[х; = 3; б) .3 8х^ -1 ? i ” л: + 1 х^-х^+1 при X = 64. а) Vl + \/ЗлТТ = у/х; 2/1 X* - X* ~ г X® + X® б) 3,1^-2,5 = зЛ--; 'х-1 V X 64 АЛГЕБРА в) yfpcTl - sfx + S; г) - 16 = ^х - 8. © в) six+ 2 = ^Zx + 2; г) ^х + 7 - ^ = ^2х - 1. Решите систему уравнений: хл-у - 2^^^ -sfx + ^Jy =2, six + у[у =S. X + у + 2.Jxy + six + ^Jy - 12, sjx - ^ = 1. Найдите значения a, при которых равносильны неравенства: (х - а) six - 2 > О и X > а. (х - 2) л/х - а > О и х > 2. а) 2 х--3х 1 С-25. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Вариант А1 Вариант А2 О Решите уравнение: а) 3"'-" = 9; б) 2^-^ + 2""^ = 36; в) 25^ + 10 • 5"-3 = 0; г) 2" • 5"^" = 2500. е Решите систему уравнений: |2"+2"=6, |3"-3'^=6, ]з-2"-2"=10. Ь-З"+3^^ = 21. б) 5" - 5"-" = 600; в) 9" + 3""' -4 = 0; г) 7""^ • 2^ = 98. Самостоятельная работа С-25 65 Вариант Б1 Вариант Б2 О Решите уравнение: а) = 0,5" -4"-“; б) 3"+3" +3""' =13 3"'-'; , 5"-4 3-5"-^ в) г) 2 а)(3'-’ГН5 п Зх-1 9..I; 2 5" б) 2"^^ + 2""® + 2"^^* = 7 • 2" ; , 7" - 1 7""^ + 49 в) ^ = тХ-1-1 X +2х +2х = 216""^. х‘-2х кх-2х г) 2" ■ 5 = 1000"-". О Решите систему уравнений: 14" -4" =15, \х + у = 2. Вариант В1 |5" +5^^ = 30, [х + у - 3. Вариант В2 О Решите уравнение: а) ^ ; б) 6" +6""^ =2" +2"^^ +2"^"; в) 10'""' - 10' = 99; г) 6"""“ = 2""® • 3"". О Решите систему уравнений: |3"-5*'=75, |2"'3'^=12, |3"-5"=45. |2"-3"=18. а) '; б) 3"-' +3" +3""' =12"-' +12"; в) 5'""' - 5'-"' = 24; г) 20"""" = 4""'" • 5®"-". 66 АЛГЕБРА С-26. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Вариант А1 Вариант А2 Решите неравенство: а) 5 1-2* 125 а) 7 З-х 49 б) .4. х'+Зх <16; б) .5. 2х^-3х >5; в) + 2"^8 < 9; г) 9^ - 3^ < 6. в) 3^ - 3^-3 > 26; г) 4' - 2* > 2. О Решите графически неравенство: <2. Вариант Б1 2' > Вариант Б2 Решите неравенство: х^+х-20 а) (1,5) X <1; - y^-4x-1 > 9'-^; а) (3,2)' х^'+гх-з б) JX^+1 л в) 3"^^- - > 162; б) в) v2y Г1^ v2y |1-х >1; < 4"-‘; + 2"'"* < 18; г) 4^-^ + 4' > 5. г) 5^ + 5*-' > 6. О Решите графически неравенство: /lY v3y > 2\ 3" < (0,5) ". Самостоятельная работа С-27* 67 Вариант В1 Вариант В2 Решите неравенство: е\х -x-iL л а) Л------------г ^ 0; б) - X - 2 , V-2 _7 1 - 5 о, 2" < 0; в) 5" • 2^ " + 5""^ • 2'" > >7-(0,4)^ г) 4""^ -13 6"+ 9""^ < 0. 0 од:^+2д:-3 а) ^ ^ 0; + 2х - 3 / V б) (0,25)" -16 - - >0; у в) 4"^' • 3'" - 4" • 3'“" < <7-(0,75)"Ь г) 25"^°-' -7 10"+ 2'""^ > 0. 2'"' < - - Решите графически неравенство: X С-27*. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Решите показательное уравнение, используя в решении указанный способ: — разложение на множители: а) 6" + 6 • 25" - 6 = 5" • 30"; а) 7" • 14" + 8 = 2" + 8 49"; б) х" •2'^ + 4 = 2'^ +4х'; — введение новой переменной: 2 . А _ . ^.,2. б) х^ • 3'^ -9х' = 4 • 3'^ -36; 68 АЛГЕБРА в) 4-'/^ _ 12.2^-1-'/^ +8 = 0; в) 4-+'/^ _ 5.2-1+'/^ = 6; г) 3'"^^ + 3^- 7 (З^ + 3“^) = 4; г) + 5^-'" - -31(5" +5"") + 36 = 0; д) 7“"'^ +7Bin^x ^ g. д) 8Г"'" +8Г“^'" =30; е) 4‘®" + 8 = 3 • 2'™" ^; е) 3“"^" = -6; ж) |V5 + 2VeJ +(>/5-27б| =10; ж) (\/з + 2л/2| - - (7з - 2л/2 j" = 4л/2; — применение свойств прогрессий: з) 2 -2" -2® 2^"-' -512; и) • = 5; з) 5' -5' -5® -5^" -0,04"^®; и) 4*"“^ . 4<=™'^ . 4соз"д; . _ — деление на выражение, содержащее показательную функцию: к) 3^ + 4^ = 5^; к) 2^ + 7^ = 9^; л) 6 3" - 9; 6д:-6 д) (V2 + < (л/2 - 1) !^-1; а) (0,25)"^'^ - 4 • 2'^ < 0; 3 5"-^; б) 3""^ + 7" > 4 7"-^ + 34 3" 2, у в) 3" - 3""“ < - 81; г) V9" + 3" - 2 > 3" - 9; >Г- д) (л/5 + 2р > (л/5 - 2р . Самостоятельная работа С-28* 69 С-28*. ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 О Решите уравнение: а) (д: + 1)* = (д: -ь 1)^; а) {x-lf^^ ={х-if ; б) (д:^ - 4д: -1- З) =1; б) (д:^ -1- 2д: - 8) =1; в) |x-3f-" =|3-д:Г^ в) |д:-2р^ =|2-xf-^ г) (д:^ - 4) = (Зд: + б)"". г) (дс^ - l) = (2д: -1- 2f . О Решите неравенство: а) X < X, л: > 0; I „|д:^-4д:+3 , б) ч- 5| > 1; / ft ч2дг^+5д:+2 в) -Ь л: -Ь Ij <1; ч1-д: -Ь 1 > 2 (l-Ь ) 0 Решите систему: а) д:" > д: > 0; б) |д:-1- 3| < 1; в) {Ах^ -ь 2д: -ь l) >1; г) (2д:' + 1)'" + 4 > >5(2х^ sx^+2x-15 / о \д:^-5д:-6 [х +2х- 7) =1, (х - Зд: - 9 а) ■ а) ■ \ / \х + If" > |д:-Ы ; \х - If"' > д; -1]; б) ^ 1, б) ^ у^- -8д:+15 _ 1, х + у = 5. г/ = 3. 1, 70 АЛГЕБРА К-5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ Вариант А1 Вариант А2 О Решите уравнение: а) б) в) 2 = 125; кЧ б) 3^"" - 3" = 78; а) = 9; 2х+1 _ 9.2" + 4 = 0. О б) 5""" +5" = 130; в) 3"""' - 28 • 3" + 9 = 0. Решите неравенство: а) (0,4Г 0 < 1; а) (0,8^‘"' >1; б) 2" -5" < 10"' 0,01; б) 2" • 3" > 6^"' • -; а / л \ Х О 2 > / \ДГ + 4 в) 3"' ^ < (5'-‘) . в) JX +4х > J2") . е Решите систему уравнений: |3" +3^ =12, ]л: + у = 3. О Найдите наибольшее значение , fl функции у =\- |2" +2^ =10, [х + у = 4. наименьшее значение \81пд: функции у = .4 При каких значениях х оно достигается? Вариант Б1 Вариант Б2 О Решите уравнение: Контрольная работа К-5 71 чЗд:+2 а) -•8" 4 32* б) 9* =4*"^; в) 5 • 4* + 3 • 10* = 2 • 25*. О Решите неравенство: а) \2д;+3 27 '2х+1 1 ж+1. б) 5"*"^ - 25* = 4 в) 3 • 4* + 6* = 2 • 9*. а) ( cos — 10 }д;^-2д:+2 < 1 - sin п 10 7i-X . а) (sin3)* * >l-cos^3; б) 7^ +*+^ - 7^-^* >6 -49* в) 9* + 3 < 4 • 3* б) _ 3*-^* <8-27 в) 2^* - 5 • 4* > -4 О Решите систему уравнений: 3'* - (о, 25)" = 5, |(0,2)" - 2“’®*' = 3, 3*+(0,5)"=5. 1(0,04)*-2*^ = 21. У = Найдите область значений функций: ^ ЧС08Х+1 's^oBx \3в1пд: v2y и г/ = + 1. i и г/ = 3 /1 V'"* Определите, у какой из данных функций областью значений является промежуток большей длины. Вариант В1 О Решите уравнение: а) (4*""=)* -^/3^ = 64; б) 3'=*-^ -^ll"*-^ =121* -3"=*^^ в) 5"*"'* -5“^* =4. Вариант В2 а) (9*)*^‘ -n/27*-® =3; б) 2"* -1-6"* =б"*^‘ -4*^^; gj _ 2281п‘=х ^ ^ 72 АЛГЕБРА О Решите неравенство: а) ^^^-9 1 а) \ Я и. > arccos -у=; 72 [2J х^-х-2 х^-А < arcsin 1; б) 0,6 ■225"^"; 1-1 , в) (V5-2) >2(75+2)" -1. в) (2-Тз) “ < з(2 + 7з) ' -2. 0 Решите систему: |2 -27" - 318" =212" -3-8", 9*"'^* <3. |4-8" -9 18" = 412" -9-27", 1(0,25)'""^' >0,5. О Среди нулей функции sin— , 4COS— У = 3 2-3 1/ = (0,5Г4-1 найдите точки, в которых функция f {х) = принима- ет наибольшее значение. f {х) = " принимает на- именьшее значение. С-29. ЛОГАРИФМ. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ Вариант А1 Вариант А2 О Вычислите: а) log3 27-log^ 7; 7 б) а) log216 + logi 9; б) 5 logs 10-1. Самостоятельная работа С-29 73 в) Ig4-i-21g5; г) logs ~ logs О в) logs 9-1-2 logs 2; г) Ig л/ЗО - Ig \/3. Найдите значение х, если: а) 3" = 7; б) log^ л: - logo S © а) 2" - 11; б) logp 2 л: = log^ 5. С помощью логарифмических тождеств упростите выражение ( л > О, л ^ 1, Ь > О, Ь ^ 1): а) + ----log^b^ Ig а logs ^ б) a^‘°^»'’-(log„ О Сравните числа: а) logg 10 и lg3; К 71 б) logg tg--hlOggCtg— И 0. а) logs а' - log, а loga ^ logs ^ б) logs&“ 8 8 а) loga и log^ 2; б) Igsin —- Igcos —и 0. 4 4 Вариант Б1 О Вычислите: а) logs —+ log^27; б) logi S log4 8; ^logjS+O.SlogjQ. Вариант Б2 a) logo s 4 + log^ 25; 6) logo ns log27 81; b) 74 АЛГЕБРА lg--lg 2 г) 10 " . logo 2-logo- г) 3 О Найдите значение х, если: а) 2""= 9; б) log^ X = log^ 0 Сравните числа: а) logj 10 и logg 62; 1 Ig б) log2 9 ■ logg 4 и 16л/2 1 • ^ Ig sin — 6 а) 5'""® =27; 1 б) log^ л: = logi 2^‘>*=^ а) logg 9 и Ig 900; б) logg 25 ■ logg л/2 и logs logg sin - Найдите значение выражения: а) Igtg31° + lgtg59°; б) log^6-log^2 logs 12 а) lgctg42° + lgctg48°; log^ 10 - log^ 2 logg 20 Вариант B1 О Вычислите: б) 12^^‘°®^'‘; в) logg sin ^ + logg 2 cos ^; r) log^ 2 • log^ 5 • logjgg 49. Вариант B2 a) 10 logg ^ + logg logg fM; a) log, log, #49 + 9 log, ®; l+log, 2 . 6) 18 b) logg tg— +logg 2 cos — r) log^5 1oggg6-logg27. Самостоятельная работа С-30 75 0 Найдите х, если: а) 4'" +15 = 0; б) log2 д: = + log^ 225. Ig 0,5 а) 9'" +14 = 0; б) Ig л: = + log^ 6. log- о, 1 О Найдите значение выражения: а) 5 _ 510843. б) Ig5 1g20 + lg"2. О Выразите: а) logg 9, если logg 2 = а; б) Ig 56, если lg2 = a и log2 7 -Ь. а) 2'"' -7‘«^ б) log^g 3 + logjg 5 • logjg 45 а) Ig 25, если lg2 = a; б) logg 54, если logg 3 = а и logg 2 = ft. С-30. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ Вариант А1 О Решите уравнение: а) log^A;^ - 15л:) = 2; б) lg(x^ - 9) = lg(4л: + 3); в) 2 logg (-л:) = 1 + logg (л: + 4); г) logg л: + logg л: - 2 = 0. Вариант А2 а) log2(л:^ - 2л:) = 3; б) lg(2л:' + Зл:) = lg(6л: + 2); в) 2 logg (-л:) = 1 + logg (л: + 6); г) logf л: - 2 log^ д: - 3 = 0. 76 АЛГЕБРА 0 Решите систему: \\gx + \gy = 2-, [х^ + I/' = 425. Вариант Б1 О Решите уравнение: а) loggCx + 3) = +2х- 3); б) log2(2^:-l)-2 = = log2(x + 2) - log2(j: +1); [log2 x-log2 г/ = 1; [x^-y^ =27. Вариант Б2 а) log2(2x - 4) = log2(x^ - Зл: + 2); б) log3(3;c-l)-l = = log3(x + 3) - log3(j: + 1); b) logs (2л: -x) = 0; log3(2x + 2) r) log2^(x^ + д: - 2) = 1. 0 Решите систему: jlog, t/ + 21og^j: = 3; \x + у = 12. Вариант В1 О Решите уравнение: а) log^_j(2j:^ - 5л: - 3) = 2; б) lg(x-2)-ilg(3^:-6) = = lg2; в) logjCQj:) + log3(3x) = 1; г) log2(9-2") = 3‘”"’'" в) log,(2x +х) = 0; logs(2-2x) г) log_2,(2^:' -д:-1) = 1. f21og, i/ + logj^j: = 3; [х + г/ = 6. Вариант В2 а) log^^i(2x^ + 5х - 3) = 2; б) lg5-l = = lg(x-3)-^lg(3x + l); в) log2(4x) + log2(2x) = 1; г) logs(5 + 6-") = 10‘"^""^\ Самостоятельная работа С-31* 77 е Решите систему: 1 -Ь logg л: -Ь logj у = = log^Cx" + 1/' -4), log^Cx + у) + log^Cx - i/) = 3. log2(4-i/) + log2(4 +i/) = = logj x-blog2(x-b2i/), logaCx + y) + log^Cx - i/) = 3. C-31*. ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМОВ В РЕШЕНИИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Решите показательное уравнение: а) 3" ; 25 а) = 128; б) 16" - 5 • 36" + 4 • 81" = 0; X в) 3" • 8^ = 36. б) 2 25" - 5 10" + 2 4" = 0; X в) 5" • 8^"^ = 100. е Используя метод логарифмирования, решите уравнение: а) л:'"®''" = 64х; б) в) -X г) 3 1 1 —^Oglx ^ log4 _ 2^ • а) - 9л;; б) 111в- =0,01; в) 27л;‘°®^^" = 9'°®^’"'; loga ^ ^ -|-л;‘''““-‘ = 6. е Решите систему: г) 2-б‘“®*" -л;^°«»" = 6. а) л; 21/ -1 _ X у^+2 3, 27; а) = 100, = 10; 78 АЛГЕБРА б) в) \х = 2 + log3 у, W = 3«; + =4, [log^ JC -log^ i/ = 1. o* 6) b) \y = l + log^ JC, [д:*" = 4®; + г/‘°"=" =50, llogg iz-logg JC = 1. Используя свойства логарифмической функции, решите уравнение: а) S'" = 10 - log2 х\ ( 1 ^ б) logi JC + logi 1 + -Т 2 2 X ) = 2х^ - 4л: + 1. а) 2"" = 18 - log2 х; б) -Зл^ + 6л - 2 = = log2(^^ + 1) - log2 X. С-32. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА Вариант А1 Вариант А2 Решите неравенство: а) log2(8 - л) < 1; а) log3(^ - 2) < 2; б) logi(^ + l) > logi(3-^); б) logo5(2^-4) > logogC^ + l); 3 3 в) log2 X + log2(^ - 1) < 1. в) loggCx - 3) + loggC^ - 2) < 1. 0 C помош;ью метода интервалов определите, при каких значениях х функция y = {2-x)\gx i/= (л - 3)lg(^ + 1) принимает положительные значения. Самостоятельная работа С-32 79 Вариант Б1 Вариант Б2 Решите неравенство: а) log2(A:^ - Зл;) < 2; б) log(j 3(2jc^ -9х + 4)> > 21ogo 3(j:-f 2); в) logg X - log3 л; - 2 > 0. а) log3(x^ -f 2х) < 1; б) Iogo g(2jt:^ -f- Зх -f-1) < < 21ogo_5(x-l); в) log2 X -f- 2 log2 X - 3 > 0. О Найдите область определения фувкщтх У = ^(4-x^)logi(x-f-5). Вариант В1 у = ^(х^ -l)logi(3-x). Вариант В2 Решите неравенство: а) logi loggCx^ -4) > 0; а) logi ^og^ix^ - 5) > 0; б) 2 log2 (х - 2) -н logo 5 (^ - 3) > 2; б) 2 log^ (х - 2) -f в) logi X > log^ 3-2,5. 3 О -f log2(x -2х-1) < 1; в) 2 log. X - log 125 < 1. Найдите область определения функции: У = Ы ( log,X^ ^ у = 10g2 'lg(x + 4)' |^lg(x + 3)^ [ log2 д:" J 80 АЛГЕБРА С-33*. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ, СИСТЕМ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Решите уравнение, используя указанный способ: — преобразование и потенцирование уравнения: log, 4 a) logg logg log2(x - 5) = logg 2-1; a) log^ logg log+ 1) = 3 6) lg(3" + X - 12) = X Ig 30 - x; 6) lg(2" + x - 9) = x - x Ig 5; b) log^ logg X + logg log^ X = 2; в) 2 logg logg x + + log, log,(2V2x) = 1; 2 — введение новой переменной: г) logg (2 - х) - logg(x - + +31ogg |x - 2| = 2; д) Ig(lOx) • lg(0, lx) = = lgx' -3; е) log2tg,(2ctgx) + + log2ctgx(2tgx) = 2; ж) log, x^ - 14 logjg_^ x^ + +40 log,, n/x = 0; r) logo.5(l -x)- logo 5(x - 1)^ + + iogo.5 k-ih 2; Д) log2(ix) logg(4x)- = logg x^ - 1; е) logcos:cSinX + + logsinxCosx = 2; ж) 5 log, X + log, x^ + + 8 logg^3 = 2; — введение параметра: з) * logg X + (x - 1) logg X = з) * (x + 1) logg X + = 6 - 2x; и) * lg(x^ + x) = logg X. +4xlogg X -16 - 0; и) * logg(l + Vx) = logig X. Самостоятельная работа С-33* 81 0 Решите неравенство: а) logo д < 0; X + 4 а) log, log. -1 X - 2 <0; б) log,(3-2^-^-l) X ^2-4 log, x+Iogj X >0; б) X -1 >0; в) X г) (2* -I- 3 • 2“* ^ 1 < X Д) log^_2(x^ - 8х -ь 15) > 0; е) log^ logg(3* -9) < 1; ж) ^Уlogg(Зx^ - 4х -ь 2) > > loggCSx^ - 4х -ь 2) - 1; з) * 16 -0,5+log4 X + il>. 16 logj -Jx log3(9-3^)-3 в) r) (4 • 3* -b 3-*)21og3(A;-l)-log3(2x+l) ^ Д) -Л-) > 1; е) log^ log2(4* -12) < 1; ж) -yjl + log2(7x^ + 14x -b 8) < <1-1- logg(7x^ -b 14x -I- 8); з) * -1,5 < 0 Решите систему уравнений: a) б) -log2i/ _ [ху = 6; 3, Viooo ’ - Ig X = -6; У a) 6) =64, xy = 500; y^ = 100, -Ig г/ ^ 0,5; b) ^og^(xy) = log^ b) log - = log^ y\ у x-2bg,!/ =5д:_4. 82 АЛГЕБРА К-6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Вариант А1 О Вычислите: а) 31og2- + 10'®""‘"'; 8 б) 2 logo 6 - logo 12. Вариант А2 а) 21og3 —+ 27 б) 31g5 + lg8. е Решите уравнение: а) logo,5(^:^ +х) = -1; б) 2 logg X = \og^(2x^ - л:). а) logo i(^:^ -Зл:) = -1; б) 2 log5(-л:) = log5(л: + 2). е Решите неравенство: а) log^(2 - х) < log7(3^: + 6); а) logg 2(3^: - 1) > logo,2(3 - х); б) logi(x^ - 4) > log,(^: + 2) - 1. б) loggCx^-1) < log3(x + l) + l. Решите систему уравнений: Jlog3(^: +г/) = 2, llog^ix - у) = 3, jglogaV*^ _ g © Найдите значения х, при которых функция /(л:) = = принимает значение, равное 8. равное 27. Контрольная работа К-6 83 Вариант Б1 Вариант Б 2 О Вычислите: log_j^ sl2 ^ а) logo.6(bg8 32) + 49 Ig 900 - 2 б) а) logi 2(log64 32) + 9 21g 0,2 + lg 200 21g0,5 + lgl2 б) lg20-l е Решите уравнение: а) log^ л: = = logi(j;: + 3) - logi(x - 1); 2 2 б) \ogl +6 logo 25 л: - 1 - 0. е Решите неравенство: а) logo.2(^: + l) - = logo,2(8-x)-logo_2 л:; б) logg - 20 logg л: + 1 - 0. а) loggCx^ - Зл: + 2) < а) logg(j;:^ + Юл: + 24) < < l + log2(л:-2); б) 21og^ 2 ^-logo,2 > 4. О Решите систему уравнений: < 1 + logg(л: + 6); б) logo, X - logo, > 3. gl+Iog3(j:^-j/^) _ lOggCX^ -У^)- lOggCX + у) = 0. t^2+\og2i^‘+y~) _ 2Q -y^)-h(x-y) = 0. 0 Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций: fix) = х'°^^ ^ и g(x) = ~х\ fix) = х‘°«^" и g(x) = 4- ^1 X 84 АЛГЕБРА Вариант В1 О Вычислите: а) log, 81 б) log^(log2 3 1og3 4). 0 Решите уравнение: а) log2(x-2) log3 2 + + log3(x + 3) = = 1 + lg(x - 1) logg 10; б) log^ (9л:^) logg X ^ 4. Вариант В2 а) 5 + lOgg 16 б) log^(log27 2 1og2 3). log, 2 ^ а) log3(jc-3) log2 3 + + log2(Jc + 2) = = l + logg(jc-l)log2 5; б) log^ (125jc)log25 X = 1. e Решите неравенство: а) log^(jc + 2) > 2; a) log^(6 - x) > 2; б) loggClogg 5 j: + logo,5 - 3) > 6) log2(logo,g X - logo,5 X - 2) > >1. >2. Решите систему уравнений: f 3'“«^ " - lOgg X = l, I lOgg X + ^ = 7, [x"' = 3^". [л:*' = 5^1 © Решите уравнение: log2(JC^ - X-2) = = 1 + logglJC - 2) log2(Jt: + 1). log3(x^ - 2л: - 3) = = 1 + logз(л: + 1) logз(л: - 3). Самостоятельная работа С-34 85 С-34. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ МОДУЛЯ. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ Вариант А1 Вариант А2 О Раскройте модуль: а) V5-2 а) 1-V2 б) |3-7i|; в) |l -ь л:^|; г) -у/х - б) |4 - 7i|; в) [-л:'* - 2|; г) Х^ + у[х о Решите уравнение: а) \2х - 3| = 5; а) \2х + 4=6; б) - 4 = х" - 4; б) |лг^ - l| = 1 - х^; в) |л:^ + х^- |3л: + 3|; в) |лг^ ~ ^1 = |2л: - ^ г) х^ - \х\ -2 = 0. г) + 1x1 - 6 = 0. е Решите неравенство: а) |лг - 2| < 2; а) |л: -ь 1| < 1; б) о 1 1 2 + - > -3; б) 1 + X X -1 >-1; в) |л:^ “ > 16; г) |2 -ь л:| < X. в) |л:^ - 4| > 12; г) |4 - лг| < X. 86 АЛГЕБРА Вариант Б1 О Раскройте модуль: а) |Зл/2 - 2л/з ; б) -3'”|; в) \~х^ + 2д: - 2|; Вариант Б2 а) |Зл/5-5л/з|; б) |3"‘' в) |л:^ + 6jc + 10|; г) у1х + 1 - -Jx г) \1х -2 - л/^ О Решите уравнение: а) + х^-2; а) б) |д: - 1| = Зд: + 5; б) в) в) |д: + 2| г) х^ - бд: + |д: - 4| + 8 = 0. г) а) \х^ - л: = 6; в) JC + \х -1| X -1 = 0; г) х^ + 4:Х + |дг + 3| + 3 — 0. а) \/х + 1 - 1 б) \4х + 11 > 3; в) - 4| < Зд:; г) jjc + 1| < jjc - 3|. Вариант В1 О Решите неравенство: > -2; а) >-5; 4 - \1х -2 б) \4х - 3[ < 1; в) |д:^ - 2jc| > х; г) |jc + 2| < |jc - 4j Вариант В2 О Раскройте модуль: Самостоятельная работа С-34 87 а) >/2 б) cos 20° - cos21° ; в) 2-х^-----^ г) lx® + 3 - 2х® а) \^-Щ; б) |sin 1° - sin 2°|; в) г) |4х® - - 5|. л/х+4^-2 Vx О Решите уравнение: а) х^ - X - 1 = 1; а) х^ -I- X - 3 = 3; б) х^ -I- X - 3 = х; б) |х^ - X - в| = -х; в) ^25 - х^ = - -н 2х - 15|; г) X -1 н- X -I-1 = 4 в) л/э - х^ “ + 4х -ь з|; г) |х| -I- |х - 2| = 4. е Решите неравенство: а) |х^ -I- Зх| > 2 - х^; а) |х^ - 2х| > 12 - х^; б) |х^ - 2х| < х; б) |х^ -I- 2х| < 4х; в) |х^ -н X - 2| > |х -ь 2|; в) |2х^ -ь х -1| > |х -н 1|; г) Vx + 3 - 1 х' -1 > 0. г) Ух+ 5 - 2 4-х" > 0. НАЧАЛА АНАЛИЗА С-35. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Вариант А1 Вариант А2 Найдите предел числовой последовательности: а) Ит б) Ит п" + 4 Зл - 5п + 2 л" +1 в) Ит(л/л + 2 - ^/л); 3" +1 а) Ит „ б) Ит " л“ -2 л^ + л - 2 4л^ +1 в) Иm(^/л - \1п -Зу, г) Ит 2" +2 О Вычислите предел: а) Ит-^— X + X б) Ит------ д: + 3 sin X в) Ит г) Ит ^^0 Зх х^ -1 2х^ + X 4 1- 2я: + 4 is б) lim ~ ^ 4-х в) Ит 15д: г) Ит о Ззшд: 1 + х^ х~^^ Зх + 5х Самостоятельная работа С-Зб 89 © Пользуясь определением непрерывности функции в точке, докажите, что функция f(x) = X + — непре- X рывна в точке = -1, но не является непрерывной в точке = О. Вариант Б1 X непре- функция ^(х) = х-2 рывна в точке = 3 , но не является непрерывной в точке Xj = 2. Вариант Б2 2п +2 8-Зп а) lim П—>оо б) lim п + 4 в) lim(Vn^ + п - п); П— 2" +3" Найдите предел числовой последовательности: а) lim б) lim г) lim 3""^ + 4 ■ О Вычислите предел: а) lim-7=^=; ""О n/i + x= Зх^ - 5х -I- 2 б) ;—' X -1 - ,. X -I- sin 2х в) lim----------; ^^0 sin X г) lim X -ь 2 cos(x -I- 2) п Зп^ -1 2п -1- 3 5 - 4л ) lim(n - - 2л); 1 + 5""' г) lim -I- 4 п+1 • а) lim у1х^ +2 б) lim х^2 в) lim х-^0 г) lim х^ - 4 2х^ - 5х -ь 2 Зх - sin X ^^0 sin 2х X -1 sin(x -1) 90 НАЧАЛА АНАЛИЗА е Определите, является ли непрерыв- ной функция: X — 1 а) f(x) = в точке Хц = 1; а) f(x) - ^ ^ ^ в точке х„ - -2; 2-х “ б) в(х) = 1^’' [Зх + 4, при X > -1 [2х-3, при X < 1, б) g(x) = \ 2 ^ [X - 2, при X > 1 в точке Хц = -1. в точке Хц = 1. Вариант В1 Вариант В2 Найдите предел числовой последовательности: а) Ит sin — cos п; л б) Ит 2п -п-1 -1 в) Ит(^ - + 1); (1 - п)п! г) Ит (п + 1)!- п! О Вычислите предел: а) ItaMzf); ^-2 2 + х ,, -2х-3 б) Ит---5;—; ^ sin7x-sin3x в) Ит----------: х^о 4х а) Ит cos [ — + — (^2 п sin п; б) Ит + п - 2 2п® -2 в) lim(^n + 2 - ^); (п + 1) 1+ п! г) Ит п-^- (2 - п)п! а) б) Ит -1 х-1 X® -8 -»2 X - X - 2 ^ ,. C08 Зх - cos X ------7~2-------- х-*о 4х Самостоятельная работа С-36 91 г) lim--. г) lim -7—-• tg л: л: ctg л: е Найдите значение а, при котором функция f{x) является непрерывной на D{f), если: а) f{x) = \х'^ - 4, при X < 2, ах - 6, при X > 2; а) fix) = 1 - cos 4х при X ^ 0, 1 -COSX б) fix) = ■ 2 ’ X б) fix) = ■ 2х ’ а, при X - 0. а, при X [4 -I- X, при X < 1, 12х^ - а, при X > 1; , при X О, С-36. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОМ. ПРОСТЕЙШИЕ ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ Вариант А1 Вариант А2 Найдите приращение функции: а) fix) = 2х - 3, а) fix) = Зх -I-1, если Х() = 1, Ах = 0,2; если х^ = -2, Ах = 0,1; б) fix) = х^ +2, б) fix) = х^ - 4, если Хд = -2, Ах = 0,01. О Найдите производную функции: если Хр = 1, Ах = о, 02. а) fix) - 2х® - —; б) fix) = (2>/х + 1) х^ а) fix) = Зх^ + —; X® б) fix) = (зТх-2) х". 92 НАЧАЛА АНАЛИЗА О Решите уравнение f'(x) - О, если: а) fix) х^ -3 х^ +5 X + 2 б) fix) = 4х + — - Vs. X О Решите неравенство fix) > О, если: а) fix) = , X - 2 б) fix) = ---9x + ^. fix) < О, если: а) fix) = 8х - х^ - б) fix) = х + 2 а) fix) = — + х^ - бл:; б) fix) = X - 3 Вариант Б1 Вариант Б 2 Пользуясь определением, найдите производную функции fix) в точке х^. а) fix) = — - л:, лго = 2; 4 б) fix)^- + \,x^^-\. а) fix) = — + 2л:, лго = -1; б) fix)=^3--,x,^2. X О Найдите производную функции: а) fix) = х\[х - 8л:®; а) fix) = Зх^ + х‘^\[х\ б) fix) = 3----^ (х®+1). б) fix) = 2 + ^ (X - 1). О Составьте и решите уравнение: Самостоятельная работа С-36 93 а) Пх) = П-2), если f{x) = б) f\x) = f{x) - 2х, X + Зл: X + 4 если f(x) - 2х + —. X а) f'(x) f'(6), если f(x) = б) xf'(x) = f(x) + 4, X - Зл: л:-4 если f(x) = X-----. л: О Составьте и решите неравенство f(x) ■ f'(x) > о, если: а) f(x) = х^ - 2х - 3; ^ 2 - л: б) f(x) =------- л: -I- 3 f(x) ■ f\x) < О, если: а) f{x) = х^ - 4х + 3\ V -|- 1 б) f{x) = -----. 4-х Вариант В1 Вариант В2 Пользуясь определением, найдите производную функции f(x) в каждой точке D(f) : а) f(x) - у1х - 2; б) fix) = 4- .2 * а) fix) = yjx + 1; б) fix) = ^-7. X X 0 Найдите производную функции: а) fix) = 4х б) fix) = ^ 11^ л:---1—^ V л: X x-Jx i2 + 5x-3x^). а) fix) = —^ б) fix) = ^ = il5-2x-x^) -1-Зл:® Г 1 ^ 2л: -I------^ X V л л J 94 НАЧАЛА АНАЛИЗА О Составьте и решите уравнение: а) \f(x)\ = fix), если f(x) = х^ + X + 1; б) Г(х)-Г(5)-Г(1), х^ -2х + 1 если f(x) - а) lAx)! = -f'(x), если f{x) - -х^ - 4х -1; б) Пх) = П-1) + Г(-5), х^ + 2х + 1 X - 3 если f(x) = X + 3 fix) > О, если: Составьте и решите неравенство fix) fix) а) fix) = х'‘ - 4х^; < О, если: fix) а) fix) = 9х - X®; б) fix) = X +1 X + 2 б) fix) = X -1 X - 2 С-37. ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ Вариант А1 Вариант А2 Найдите fix^), если: а) /-(х) = (4х + 3)®, Хо =-1; 7Г б) f(x) = 2-2 cos X, Xq = —; 6 в) fix) - Vx® - 8, Xq = 3; 1 л г) fix) = -sin2x, Xq = - . Z о Я а) fix) = (3x - 2)\ Xq = 1; б) fix) = 4 sin X - X, Xq = о в) fix) = л/б - X®, Xq = -2; 1 к г) г(х) = — cos4x, х„ = — 4 ° 16 Самостоятельная работа С-37 95 О Решите уравнение f’{x) = О, если: а) f(x) - (х^ - блг + 5)^; а) f{x) = {х^ -2х- 3)^; X/ \ 2 ^ • 2 ^ б) f(x) = cos-------sin — б) f(x) = 4 sin — cos —. 8 8 О Докажите тождество: а) f'(x) =--- f (3) -f{x), X-2 если f (л:) = (x - 2) 2 ’ 6) g'(x) = g(x) sinx если g (л:) = tg л: -f tg л. a) Г(х) =------/'(0) /(:c), л: + 1 ^ если f{x) = ------^ {x + 1) 6) g'(x) = Я И cosx V если g (x) = ctg X + ctg к Вариант Б1 Вариант Б2 Найдите fix^), если: 1 а) fix) = (3x-5Y + ^ (З-дг)' =2; б) fix) = sin Зд: - tg х, Хо =0; в) fix) - \l5 - 4х - , Xq = -2; г) fix) = Х^ С08 ^ х 2 4 ^0 “ П а) fix) = (2х + 7) Xq = —3, б) fix) = cos 4х + ctg х. ^0 ~ п в) fix) = \jx^ - 8лг + 12, Xq = 4; г) fix) = X sin X п \ 3^6 г Хо =п. 96 НАЧАЛА АНАЛИЗА О Решите уравнение f'(x) = О, если: а) fix) = ^х + -; б) /(л:) = cos 5л: cos Зл:+ + sin 5л: sin Зл: - л:. а) fix) = Jx + 3 243 л: б) /(л:) = sin 4л: cos л:- - cos 4л: sin л: + 1,5л:. 0 Докажите, что при всех допустимых значениях х производная функции ^(л;) не может принимать положительных значений, если: 1 а) g’(x) = 3(2x-lf + отрицательных 0,2 а) gix) = (5 - 4х) 72-л:"; X к б) g(x) = ctg — + cos —. 9 9 б) gix) = tgy-sin^. Вариант В1 Вариант В2 Найдите f'ix^), если: а) fix) - + Зх - 4)^ - sin тгх, а) fix) = (2х^ - х - 3)® + cos ях, б) fix) = 3 ^5:^ cos — 3 ^0 , Xf, — ~3я. в) fix) = yjctgx, Хо = ^; 4 б) fix) = Xq — 1, > ^0 Зя, sin — 2 в) fix) = Vt^, Xq = ^; 4 г) fix) = arccos X X =0 г) fix) = arctg-, Xo = 1. X Самостоятельная работа С-38 97 О Решите уравнения (^))) = О и (^(fM)) =0, если: f(x) = -X и g(x) = — . X fix) = х^ -4х и g(x) - 'Лс. е Докажите, что при всех допустимых значениях х верно равенство: а) для fix) = 2tg X X и а) для fix) = 2tg X 1 + tr ^ g'(jc) 2 1-tg^ 1-tg' X и sin X gix) = 1 + tg' /'(JC) • g'ix) = -fix) ■ gix); 1 - cos X fix) g'ix) = 1; 6) для fix) = 1 + — X 6) для fix) = 1---- X (f(f{x))) =- fix) (f(f{x))) = fix) (/wr C-38. ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ И МЕХАНИЧЕСКИМ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Вариант А1 Вариант А2 Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции fix) в точке х^: а) fix) - Зх^ -12х + 5, а) fix) = 2х^ + 8д: - 3, X — —1’ Xq 3, 98 НАЧАЛА АНАЛИЗА \ л , ^ б) f{x) = 2х ~3 sin X, Xf, = к. б) Т(х) = 4 cos X + X, Xq = -. / / V / >0 6 О Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке М: а) fix) = 2х^ +- х\ М(-3; 9); а) f(x) = -х^ - 2х, М(3; 3); 3 3 б)Пх) = ^^, М(2;3). X -1 0 Тело движется по закону б)Пх) = ^, М(-2;3). х + 1 x(t) = +0,5t^ -3t x(t) = t^-2t^+5 (x — в метрах, t — в секундах). Найдите скорость и ускорение тела через 2 с после начала движения. На графике функции f(x) найдите точку, в которой касательная к f(x) наклонена к оси абсцисс под углом а, если: f(x) = \l2x -1, а = 45°. fix) -- \j4x + 8, а = 45°. Вариант Б1 Вариант Б2 Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции fix) в точке дГц, если: а) fix) = ix^ - IKx® + х), Xq = —1; б) fix) = sin^ X, ^0^^' a) fix) = ix^ + l)ix^ - x). Xn — 1; 6) fix) = cos^ X, Xg = n 12 Самостоятельная работа С-38 99 О Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке а) fix) +1 1 ^0 х‘^ -I б) fix) = cos(l + 4д;), дГд = -0,25. © а) fix) = -----^, дго = -2; X б) fix) - sin(l - 2д;), дго = 0,5. Тело массой т кг движется по закону xit) ix — в метрах, t — в секундах). Найдите силу, действующую на тело в момент времени t^, если: т = 3, = 2, xit)^0,25t^ +-t^ -It+ 2. 3 m = 2, = 3, xit) = 2t^ -6t^ +t + 3. Ha графике функции Я(л:) = \ISx - x^ gix) - yl-x^ - lOx найдите точку, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс. Вариант В1 Вариант В 2 Найдите угол между осью абсцисс и касательной к графику функции fix) в точке дСр, если: а) fix) = yjx^ + 6, дгц = ^/3; б) fix) = -xcos2x, Xq = 0. а) fix) = yjx^ - 6, X(, = 3; я б) fix) - -X sin 2x, Xq = — 4 100 НАЧАЛА АНАЛИЗА 0 Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х^, если: а) fix) л: -1 х^ +1 точка лгц — точка пересечения графика с осью абсцисс; б) fix) = (7 - Зл:)^, Xq — точка пересечения графика с прямой I/ = 1. , , 3x^+2 а) fix) =---— X -1 пересечения графика с осью ординат; б) fix) = (4л: + 3)^, Xq — точка пересечения графика с прямой у = -1. © Из точки А вдоль координатных осей Ох и Оу движутся два тела по законам: л:(^) — + 3, yit) = + 1, A(^/3;l) л:(^) = \j3t* + 4t^, yit) = ylt*+h A(0;1) ix, у — в метрах, f — в секундах). Определите, с какой скоростью они удаляются друг от друга. fix) = у = х-3. На графике функции л: -Н 1 л: -Н 2 fix) = л: -1 л: -Н 1 найдите точки, в которых касательная параллельна прямой у = 2х + 3. Контрольная работа К-7 101 к-7. ПРОИЗВОДНАЯ Вариант А1 Вариант А2 Найдите производную функции: а) у = 2х - — + 4; б) у - 2 cos д; - 3 tg д:; . X - 3 в) I/ = х + 2 а) (/ = 4х +---2; / у 3 б) у = 4 sin X -б ctg х; х-2 У = —^ • X + 3 0 Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х^, если: fix) = 4--Х, Xq = -1. fix) = — + 2х, Xq = 1. X 0 Составьте и решите уравнение: f'ix) = g'ix), если f'ix) = -g'ix), если fix) = (2х -1)^ gix) = lOx + 7. fix) = (3x - 6)\ gix) = 96x -17. Материальная точка движется по закону x(i) = +1 x(i) = t* +3t (x — в метрах, t — в секундах). Определите скорость точки в момент, когда ее координата равна 9 м. координату точки в момент, когда ее скорость равна 7 м/с. 102 НАЧАЛА АНАЛИЗА О Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции 1 . л 2 в точке с орди- ё'(х) =---- в точке с орди- натой -1. Вариант Б1 1-х натой 1. Вариант Б 2 Найдите производную функции: X а) у = -------г + 8л/х; 4 X б) у = (х^ + l)cos х; х^ + Зх в) у = , 3 х" р а) у = —+ —-6л/х; X о б) i/ = (4 - х^) sin х; х^ - 6х X -1 в) у X -н 2 0 Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х^, если: fix) = 1 ■ , Xq 1 . fix) = (Зх - 8) 2 ’ ^0 8. (2х -1)' О Составьте и решите уравнение: f'ix) = -g'ix), если fix) = ^'(х), если fix) = sin^ X, fix) = cos^ X, g’(x) = cos X + cos к 12 к g(x) = sin X - sin —. 10 Материальная точка движется по закону f х(0 = 5t + 6f - f (x — в метрах, t — в секундах). х(0 ^ — -f+2t-4 3 Контрольная работа К-7 103 Определите скорость точки в момент, ког- ускорение точки в момент, да ее ускорение равно нулю. когда ее скорость равна 1 м/с. © Найдите острый угол, который образует с осью ординат касательная к графику функции f(x) в точке если f{x) - \1х^ -ь 2, д^о = 1- = у1х^ -6, дСд = 3. Вариант В1 Вариант В 2 Найдите производную функции: а) fix) = (дс -h 1)^(л: - 1); а) f(x) = (х - 1)^(л: -h 1); б) fix) = ctg^ х - cos 2х; х -1 х в) fix) + 1 б) fix) = sin ^ - tg^ дс; О X — 4 в) fix) = yjx^ - 8 О fix) = yjl - 4дс, k = —. 3 Составьте уравнение касательной к графику функции fix), если ее угловой коэффициент равен к, если: fix) = y/2x + l,k = ~. 3 © Составьте и решите неравенство: fix) < fix), если fix) > fix), если fix) = i^-2x)\ fix) = i2x-l)\ О Материальная точка движется по закону xit) = t* - -ь 12^^ - 3 д:(0 = 1 + 6^ -ь 3^^ - (х — в метрах, t — в секундах). 104 НАЧАЛА АНАЛИЗА Определите скорость точки в момент, когда ее ускорение минимально. ускорение точки в момент, когда ее скорость максимальна. Ф Прямая проходит через точки А(-4;-2) и В(0;1). А(4;б) и В(0;1). Определите, в какой точке она касается графика функции 8{х) = х^+1 g(x) = -1 X с-39. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ Вариант А1 Вариант А2 Найдите критические точки функции: а) f(x) = х^ + 6х^; а) f(x) = 12х - х^\ б) /(л:) = 2 sin л: - X. б) /(л:) = х + л/2 cos л:. 0 Найдите промежутки возрастания и убывания функции: /(х) = X® - 4х^ -I- 5х - 1. /(х) = 3-1- 24х - Зх^ - х®. 0 Найдите точки экстремума функции: fix) = х^ -3 х-2 fix) = х^ +3 X -н 1 Докажите, что функция gix) на множестве R является Самостоятельная работа С-39 105 возрастающей, если g'(x) = 2х^ + 4х^ -I- Зх - 7. убывающей, если g(x) = 5 - 2х - х^ - 4х'^. Вариант Б1 Вариант Б2 Найдите критические точки функции: а) f(x) - Зх'* - 4х® - 12х^ -I- 7; а) f{x) - х^ + 4х® + 4х^ + 1; б) /(х) = cos 2х - \[3х + —. 4 е б) /(х) - sin — -h —^ - к. 2 2V2 Найдите промежутки монотонности функции: fix) = X + Зх X -ь 4 fix) = х^ — Зх X - 4 О Найдите точки экстремума функции: fix) = (х + 1)' (х + 5)^. fix) = (х + 3)^(х - 5f. О Докажите, что функция ^(х) на множестве R является возрастающей (убывающей) , и определите, какой именно: g'(x) = 4х -h sin^ X. g’(x) = cos^ X - Зх. Вариант В1 Вариант В2 а) fix) = Найдите критические точки функции: а) fix) = (х - l)Vx; X -ь 1 106 НАЧАЛА АНАЛИЗА б) /(л:) = - 4 |x|. б) /(л:) = |2л: + л:^|. 0 Найдите промежутки монотонности функции: f(x) - yjx^ + бл:. f{x) = sJax - х^ О Найдите точки экстремума функции: /(л:) = л:"-15л:"+8. f(x) = S5x^-x^+l. О Определите, при каких значениях а функция g(x) на каждом из промежутков D(g) является строго убывающей, если строго возрастающей, если л: g(x) = tg Зл: - ах. g(x) - ctg — + ал:. 2 С-40*. ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Исследуйте функцию на выпуклость: а) f(x) = а) f(x) = = х‘* - 4л:" - 18л:" + л: - 3; = Зл:^ - 8х" + бл:" - 5л: + 3; б) Ял:) = 2л:®-5л:"; л: б) Я:^) = Ьг-Зх"; oU в) Ял:) - sin 2л: - л:". в) Ял:) = cos 2л: + л:" Самостоятельная работа С-40* 107 О Найдите значение а, при котором точка лГц будет точкой перегиба кривой g(x) , если Я(х) = -I- ах^, Xq = -1. Хц = 1. е Изобразите схематически фрагмент графика функции f(x) в окрестности точки разрыва лГд (для каждого случая приведите пример такой функции), если: а) Хц = 3, a) Хо = 2, lim f(x) = lim f(x) = 4; x-^2+0 x-*2-0 6) Xq -1, lim f(x) - 1, x->l-0 lim f(x) = 2; X->l-l-0 b) Xq = 0, lim fix) = -oo, x-^-0 lim fix) = 0; x-*+0 r) Xq = -1, lim fix) = -boo, lim fix) = -oo. x^-l-i-0 lim fix) = lim fix) - 6; X—>3"b0 X—>3~0 6) x„ = 2, lim fix) = 1, д:—>2-0 lim fix) = -1; x^2-»-0 b) x„ = 0, lim fix) = 0, ^ x-^~0 lim fix) — r) Xq = -2, lim fix) = -oo; x^-2-0 lim f(x) = -Н». дг->-2+0 Среди данных функций выберите те, которые имеют вертикальные асимптоты (ответ подтвердите доказательством) : 1) У = 2) г/ = 5х - 6 X -ь 1 л/-х + 1, если X < 1, 1 -b X , если X > 1; У= 2 X ( 2) у = х^ - 2х X" - 4 2х^ - 7, если X < 2, —^—, если X > 2; 108 НАЧАЛА АНАЛИЗА 3) у X + X X ^ 1 3) = х^ - 2х - 3 ^ ^ , если л: < о, 4) у = -\х х-3 2х + 2, если X < -1, 4) г/ = -j 1 , если X > -1. Зх, если X > 0. [х + 2 О Исследуйте функцию на наличие асимптот: а) f(x) = б) fix) = в) fix) = г) fix) = Д) fix) = X” х" +1 2х Vx^ + 3 X х^ - X - 2 х-2 л/l - X х^ 4х^ а) fix) = X " 9 б) fix) = в) fix) = г) fix) = Д) fix) = 2х" +1 х^ л/х^ + 4 2х Х^ + X - 6 дг + 3 Vx -1 с-41*. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ (домашняя практическая работа) Исследуйте функцию и постройте ее график: Уровень А 1) г/ = х^ - Зх; 5) У = 2) I/ = X® - 4х^ +3; 6) у = 3) y = ix-2)*; 7)у = 4) у-4х^-х‘^; 8) ^- 2х + 1. X -1 ’ 2х-3 X +1 ’ 1 х^ - Зх 4-х" 9) у- х" +1 10) г/ = X + - ; X 11 \ X + 3 11) X - 9 х" -25 X + 5 12) у Самостоятельная работа С-41* 109 Уровень Б 1) г/ - 0,5л:' -0,2л:^ 5) г/ = 2) у = л:(л:-1)'; 6) г/ = 3) г/ = л:'(л: -2)'; 7) г/ = 4) г/ = -л:'(л:4-4)'; 8) г/ = Уровень В 1) у ^ Зл:"* - 4л:® -1-2; Ь) у = 2) г/ = (л:'-1)®; 6) г/= 3) г/ = л: л: ,, х^+1 4) г/ = — X ix-lf 1 л:' - 2л: - 8 л:' - 9. л:' - 4’ л: -I- 2 _ л:' - 9’ 7х 2л:' - Зл: - 2 16 7) г/- л:® - 4л: 1 - л: (x-2f 9) i/ = л: 10) у = 4-л:' 2л: л:' +1 11) у = л:л/2 - л:; 12) у = (х - 1)\/х. 9) !/ = 2л: -I-1 7л; -1 10) г/ = л: -4 11) г/- 2 sin л: - cos 2л:; 8) у ^ л:'7л: -I-1; 12) i/= зшл: - cosл:-I-л:. С-42. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Вариант А1 Вариант А2 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке: а) fix) - л: - - л:®, [-2; 0]; а) f(x) = - л:® - 4л:, [0; 3]; 110 НАЧАЛА АНАЛИЗА б) fix) = х" +1 , [0;2]. б) f(x) = ^, [1;3]. е Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону h(t) = 8t-t^ h(t) = 12t-0,5t^ {h — в метрах, t — в секундах). Определите, в какой момент времени тело достигнет наибольшей высоты и каково будет ее значение в этот момент. О Представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. Вариант Б1 сумма их квадратов была наименьшей. Вариант Б 2 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке: а) fix) = (х + 1)^(х - 1), [-2; 0]; х^ б) fix) = -2+8 [0;3]. а) fix) = (1 - х2)(х - 1), [0; 2]; х^ б) fix) '2+8 X -1 X + 1 е Материальная точка движется прямолинейно по закону х(0 - 18^2 - ^2 xit) = f- 12^2 + QOt (х — в метрах, t — в секундах). [-3;0]. Самостоятельная работа С-42 111 Определите, в какой момент времени из промежутка [4; 8] из промежутка [1; 5] скорость точки будет наибольшей, и найдите значение скорости в этот момент. О Из всех прямоугольников с диагональю 18 см найдите прямоугольник наибольшей плопцади. О Из всех прямоугольников с площадью 25 см^ найдите прямоугольник с наименьшем периметром. Вариант В1 Вариант В2 Найдите множество, на которое функция Дж) отображает данный промежуток: ,[0;5]; п а) fix) = -4\х\- 5, [-1;З]; б) fix) = X - sin^ X, [О; я]. а) fix) = |д:^ - 2л: - 8 б) fix) = л: -ь cos^ X, О Найдите кратчайшее расстояние от точки А до графика функции fix), если: А(1; 0), fix) = yjx^ -ь 6л: -ь 10. А(-3; 0), fix) = yjx^ -2х + 6. О Среди всех равнобедренных треугольников с боковой стороной а найдите с данным периметром 2Р най-треугольник наибольшей пло- дите треугольник наибольшей щади. площади. 112 НАЧАЛА АНАЛИЗА С-43*. ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Составьте уравнение касательной к графику функции /(дс) , проходящей через точку М, не принадлежащую данному графику, если fix) = -д:' - 5д: - 6, М(-1; -1). f(x) = х^ - 4, М(2; -1). 0 Найдите уравнение общей касательной к графикам функций: fix) = д:^ - 2д: + 5 , fix) = х^ + 4х + 8, Я(д:) = д:^ + 2д: - 11. g[x) - х^+8х А 4. 0 Составьте уравнение касательной к графику функции fix), перпендикулярной к прямой ^(д:), если: fix) = X + 2х, я(л:) = X - Ч. fix) - -X - 3, я(л:) = д: + 3. К графику функции fix) проведены две касательные в точках х^ и х^. Найдите площадь треугольника, образованного этими касательными и осью абсцисс, если осью ординат, если fix) - 4х - х^, Xj^ - 1, Xg = 4. fix) = -8х - х^, Xj = -6, х^ = 1. © Найдите угол при вершине равнобедренного треугольника © В равнобедренный треугольник вписана окружность ра- Самостоятельная работа С-43* 113 с заданной площадью, в который можно вписать окружность наибольшего радиуса. О Определите количество корней уравнения Зх - - 1 = 0. - Зх^ -1-1 = 0. диуса г. Каким должен быть угол при основании, чтобы площадь треугольника была наименьшей? К-8. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ Вариант А1 Вариант А2 О Найдите критические точки функции: а) f{x) = X - 2х - 3; б) fix) = х -I- Зх X + 4 О а) fix) -2 + 18х - X ; б) fix) =-------—. X - 4 Исследуйте функцию и постройте ее график: у = х^ - Зх^. е Найдите число, которое в сумме со своим квадратом давало бы наименьшую величину. Вариант Б1 у - — -I- 4х. 3 разность которого со своим квадратом была бы наибольшей. Вариант Б2 Найдите промежутки монотонности функции: 114 НАЧАЛА АНАЛИЗА а) Пх) = б) fix) - л[х - X. 0 а) = X -1 б) fix) - X- 4\1х. Исследуйте функцию и постройте ее график: У = 4х 1 + х" 0 Представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на удвоенное второе было наибольшим. Вариант В1 у = х^ +1 число 20 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение одного из них на куб другого было наибольшим. Вариант В 2 Найдите точки экстремума функции: а) fix) = x^yll - х^; а) fix) = xyj2 - х^; б) fix) = sin^ X - cos X. б) fix) - 2 sin x -l- cos 2x. 0 Исследуйте функцию и постройте ее график: У 4х^ -I-1 У = 9х^ -н 1 0 Известно, что наименьшее значение функции gix) = Зх^ - х^ на проме- наибольшее значение функции Mix) - X* - 2х^ -1-1 на проме- Самостоятельная работа С-44 115 жутке [-1; а] равно нулю. При каком максимальном значении а выполняется это условие? жутке [а;0] равно 1. При каком минимальном значении а выполняется это условие? С-44. ПЕРВООБРАЗНАЯ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРВООБРАЗНЫХ Вариант А1 Вариант А2 Докажите, что функция F является первообразной для функции f на R, если: F(x) = Bin 2х~1, F(x)^-cOB--x‘+4, fix) = 2х - 2 cos 2х. . 2 f(x) = — sin — - Зх^. _ 2 2 © Найдите общий вид первообразных для функции: а) fix) - х^ - sin х; а) fix) = + cos х; б) fix) = 4- б) fix) -3. О Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в указанной точке, если: а) fix)^ix-8f, Fi8) = l; б) fix) 2л[х , Fi9) = 9. а) fix)^ix + 4)\ F(-4) = 3; б) fix) = ^, F(4)-4. \Jx 116 НАЧАЛА АНАЛИЗА Вариант Б1 Вариант Б2 Определите, является ли функция F первообразной для функции f на R, если: F{x) - 2х‘^ + cos^ jc - 3, f{x) = + sin 2x - Зле. e F{x) = Зле"’ - sin^ л: + 2, f{x) = 15л:'‘ - sin 2л:. Найдите общий вид первообразных для функций: а) /(л:) = —-(1-2л:^; X а) fix) - (Зх + 2)^ - —; б) fix) = X + -1. cos X б) fix) - 2х sin X X + 6. 0 Для функции fix) найдите первообразную, график которой проходит через точку А, если: а) fix) = ^ +3х% 'Jx + 2 а) fix) = 4х^ - А(-1;0); X б) fix) = tg X • ctg X - 2 cos —, 2 А(2я; 2я). 2Vx -1 ’ А(2;0); б) /(х) = sin^ X -I- cos^ X + -I- —sin3x, А 3 { я _ я 6’6 Вариант В1 Вариант В2 Найдите функцию /, для которой функция F является одной из первообразных на R, если: Самостоятельная работа С-45 117 = cos ^ л ^ к х^ — 2х Fix) - sin -h - arcctg X + 2x. О Найдите неопределенный интеграл: + arctgj: - Зх^. а) f [ —^— + 6 cos^ — •’ I sin" д: « dx; 6)J (2х + 5)" е IX. а) J б) | 8 cos X 6 - 8 sin 2х \ dx; (Зх -1)® - 5 dx. Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку А, если: а) fix) = ■■ 1^^ _ + 4дг, Л(2;6); а) f(x) - 6х^ - ^ 6j2 у1б-2х X б) f(x) = sin X sin 5х, 4 24 3 А(3;55) б) fix) = cos X cos 5x, ^ Д 1 4’^ C-45. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вариант А1 Вариант А2 Вычислите интеграл: 118 НАЧАЛА АНАЛИЗА О а) j (х^ + 4х - l)dx; о в) в) |[^ О vX + 1 г) [ —cos —djc. “ ^ е + 3х^ dx; а) I {Зх"^ - 2jc + 4) dx\ dx; «0-8 2 0-201 Л 6 г) 13 sin 3xdx. dx; Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: ^ J/ = 5-г/ = 1. у = х -I, у = 3. Вариант Б1 Вариант Б2 а) I 4jc + 3--------- dx; 1 ^ 4 б) J Вычислите интеграл: 4 ^ г- \ — + 8{2х - V dx; У 4 >ч dx cos^ X -1 2 2л - г) 11 cos ^ - sin ^ j dx. 0 а) + dx; 16 f (ЛГ J 4 1 0 f dx J л 1 - sin ~i к 2 0-^ dx; 2 г) |(sin2x + cos2jc)^djc. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: Самостоятельная работа С-46 119 у = - 4jc -ь 4, ^ = 4 - JC. Вариант В1 у - + Ах + А, у - х + А. Вариант В2 " Зх^ -2x^+6 а) I 1 2к I Вычислите интеграл: dx; а) I ^ Л 2 О Л 2 К X 2~8 г) I ctg^ xdx. е ^ 2х^ -х^ -8 б)} 1 i/' X 3 dx; 1 V 2у/3х - 2 dx; . 2fSn sin I 0 к 4 г) I tg^ xdx. X H— Ил:; 2 4 Г Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: .2 _______ _ л ____2 У = Ах- X , у = X, у = 0. у ^ X +Ах,у^х,у = 0. С-46. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ И ИНТЕГРАЛА Вариант А1 Вариант А2 Точка движется прямолинейно со скоростью п(0 = 6^^-4^-1. v{t) = At^+2t-3 . 120 НАЧАЛА АНАЛИЗА Найдите закон движения точки, если в момент времени t = 2 с координата точки была равна 10 м. в момент времени ^ = 1 с координата точки была равна 4 м. 0 Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у = 2л/х, X = 4, у - 0. у - Jx, X = 9, у = 0. 0 Найдите работу, которую необходимо затратить на растяжение пружины на на растяжение пружины на 2 см, если сила в 2 Н растя- 5 см, если сила в 4 Н растягивает ее на 4 см. гивает ее на 10 см. Докажите с помощью определенного интеграла формулу объема цилиндра формулу объема равносто- V = kR^H, где R - радиус роннего цилиндра V = 2kR^, цилиндра, Н - его высота. где R - радиус цилиндра. Вариант Б1 Вариант Б2 / N t a(t) = cos —. ^ ^ 2 Точка движется прямолинейно с ускорением a(t) = - sin — . ^ ’ 3 Самостоятельная работа С-46 121 Найдите закон движения точки, если 2л в момент времени t = — с ее скорость равна Тз м/с, а координата равна 2 м. л в момент времени t = — с ее 3^/3 ^ скорость равна м/с, а координата равна 1,5 м. О Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: У = yjx, У - 0,5х. у = Ы-х, у = х О Линейная плотность неоднородного стержня изменяется по закону р(1) = 8г + 1 Р(0 = S2l + 2 (плотность измеряется в кг/м). Найдите массу стержня, если его длина равна 50 см. равна 25 см. О Выведите с помощью определенного интеграла формулу объема конуса с ра- формулу объема усеченного диусом R и высотой Н. конуса с радиусами Виги высотой Н. Вариант В1 Вариант В2 Тело массой т движется прямолинейно под действием силы F(t) (F — в ньютонах). Найдите закон его движения, если 122 НАЧАЛА АНАЛИЗА т = 3 кг, F(t) = 36 - 18t, и в момент времени i = 2 с скорость тела равна 14 м/с, а координата 20 м. т = 2 кг, F(t) = \2t - 8, и в момент времени t = 3 с скорость тела равна 10 м/с, а координата 21 м. е Найдите объем тела, ограниченного поверхностями: = 3z^ +\, Z = \, г =+у'^ =1 + б2^, 2 = о, 2 = 1. 0 Найдите работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара, если резервуар имеет форму ци- резервуар имеет глубину 2 м, линдра радиуса 1 м и глуби- а его поперечное сечение — ну 4 м. квадрат со стороной 1 м. Выведите с помощью определенного интеграла формулу объема пирамиды. формулу объема усеченной пирамиды. C•47^ ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Найдите неопределенный интеграл, используя в решении указанный способ: Самостоятельная работа С-47* 123 — преобразование подынтегрального выражения: . г - 2 J а) J ——;—:— dx; л:" +1 dx а) -------\dx-. e,J- в) j sin^ ^ dx; Г) j Д) 1 „2 COS X X 8 dx yl2x - x^ dx 6)|j -b X dx X -b 6x -b 10 -b cos X b) j cos^ 2xdx; r dx Г) J Д) J —v/-2x - x^ dx — замена переменной: e) j(x® - l)^x^dx; e) j Ж) J 3)| dx Vo - 4x^ Ж) j X -4x4-5 xdx (x" + If dx tgx cosx dx; и) j cos® xdx; xdx Vx -1 4x® + 25 ctgx sin® X и) J sin® xdx; 3) \^dx; J СТП у к) j к) J xVx - 4dx; — интегрирование no частям: л) Jxcos2xdx; ^ Г xdx m) ..... — ; ^ Vo + 16x h) I arcsin xdx. л) [ X sin — dx; J 3 m) j (2x-b !)■* xdx; h) I arccos xdx. 124 НАЧАЛА АНАЛИЗА е Используя геометрические или аналитические рассуждения, вычислите интеграл: а) I л/э - x^dx; -3 1 б) I (|д: + 1| + -2 2 в) I х‘^ sin® xdx. -2 © а) I -х/зб^-^с?д:; -6 2 б) I (|д:| + |д!: - l|)dx; -1 в) I x-J^- x*dx. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = 2х-х^, у = -X, у = х-2 (г/ > 0); б) у - sin X, у = - sin Ху 2 в) I/ = |л: - 2д:|, г/ = 11 - [л: - 1|; у -—\х^ - у = 1 - \х\', 4' ' а) г/ = 4 - у = Зх, у ^ -Зд; (У > 0); б) у = sin X, у = cos X, 0<х<-; 2 л 8 . г) У =-Ту у = г/ = 4, X X -0. ч 4 . 1 г) г/ =-----г/ = -4, у = --х, л: = 0. Найдите все значения а, при которых выполняется условие: а а а) J (2х - 5)dx <6; а) J (4 - 2x)dx > 3; о о JC п 2 1 ^ 1 б) I (ctg^x + ctg*x)dx = -; б) J (tg^x + ig*x)dx = Контрольная работа К-9 125 2а а в) функция f(a) = I {2х + l)dx в) функция f(a) = j (1 - 4x)dx принимает наименьшее значение. принимает наибольшее значение. К-9. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ Вариант А1 Ва р и а нтА2 Найдите общий вид первообразных для функции: а) f(x) = x 3 2 а) fix) = — А\1х б) f{x) = 2 cos X----; Sin^ X б) fix) =-г---3 sin X. cos X О Для функции fix) найдите первообразную, график которой проходит через данную точку: а) fix) = Зх' -4х +2, Л(-1; 0); а) fix) = 4 +2х-6х\ Л(-2; 0); б) fix) = <^os —, А б) fix) = sin 3jc, а ( ■тт л\ п 1 J’3, 0 Вычислите интеграл: а) ]i2x-\)dx-, О б) |(0,5х + 1)®йх. а) I (Зх^-----^)dx; 1 ^ О б) j(2x + l)"dx. 126 НАЧАЛА АНАЛИЗА Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = + 2, у = А - X. у = х^ + 2, у - А + X. © ь Известно, что j f(x)dx = 2. Найдите: Q , а а Ь а 2 j f{x)dx + j f{x)dx. j f(x)dx - 3 j f{x)dx. a b b b Вариант Б1 Вариант Б2 Найдите общий вид первообразных для функции: а) Ал:) = - .^3 + 3sin X X б) /(х) = 1 -ь cos —. 4 1 1 -ь X’ а) f{x) = ^ 2 5 cos X б) f{x) = sin 5х - X, О Для функции Дх) найдите первообразную, график которой проходит через данную точку: а) /(х) = 2x4- , Л(-3;1); а)/(х) = 3 + 1 ,А(-4;0); б) /(х) = б sin Зх, А1^—; О © ^ -ч » ч 1 X (2к ,) б) /(х) = — cos — , J ’ ’ 2 4 А J Вычислите интеграл: а) J dx i (2х +1)^ ч г dx j(2-0,5x)^’ Контрольная работа К-9 127 в б) |(1 - 2 sin^ 2x)dx. о О 12 б) I sin Зх cos Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = -х^ - 4х, ^ = х + 4, у = 4х - х^, у - 4 - X. 0 Точка движется вдоль прямой со скоростью v{t) -2 + u(0 = 4- yjt + 2 yjt — 1 (и — в метрах за секунду, t — в секундах). Найдите путь, пройденный точкой в промежутке времени [2; 7]. в промежутке времени [2; 5], Вариант В1 Вариант В2 О Найдите интеграл: а) I (л; - 1)(л; + 1)(-^ + 2)dx; а) j (х + 1)(х + 2)(х - 2)dx; rcos2x ,, fCos2x б) „ dx. •' sin X 6)j COS^ X dx. О Для функции f(x) найдите первообразную, обладающую указанными свойствами: а) график первообразной имеет только одну общую точку с прямой у, если: fix) = 4х + 8, г/ = 3; /(х) = 3 - х, у = 7; 128 НАЧАЛА АНАЛИЗА б) график первообразной проходит через точки А м В, если: 16 Пх) = ^, А(1;10), В(4;-2). X е Вычислите интеграл: 54 Пх) = ^, А{-1;4), В(3;4). X , \9-4х^ + >j3-2x ^ а) I----;;—-----ах; 3-2х \ 9x^-1- Sx + 1 а) I ^ ^ cLXy Зл: +1 Ml X б) [ —cos----2sin2л: •’13 3 dx. }fl X б) I — cos-----3 sin Зд: I 2 2 dx. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: 4 у = —, у = -Зх + 7. X 9 г/ - у = -4х + 13. X О Подберите функцию f(x) , которая при любом значении а удовлетворяла бы равенству: и J f{x)dx = 2а^ - За. U J f{x)dx - 4а-а^. С-48. ПРОИЗВОДНАЯ И ПЕРВООБРАЗНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ Вариант А1 ВариантА2 Найдите производную функции: Самостоятельная работа С-48 129 а) fix) = 4* -I- а) fix) = - 2"'; б) fix) = 2е* - б) fix) = - 2е\ О Составьте уравнение касательной к графику функции fix) в точке fix) = е""', Хд = 0. fix) = х^ = 0. е Найдите критические точки функции: fix)=-x^e\ /■(х) = ^. е Вычислите интеграл: 1 а) ^Уйх\ О 4 X б) jo,5e^(ix. а) |2"dx; ® 1 ^ б) | —e^dx. е Найдите две различные первообразные для функции gix) и укажите, график какой из них лежит выше, если: ^(х) = е'-'" - о, 5 ". ^(х) = -н о. Г". Вариант Б1 О Вариант Б2 Найдите производную функции: а) fix) = Зе" - 3"; а) fix) = 2" -н 2е"; б) fix) = -I- о, 5 \ б) Яд;) = е" “"-0,2"". 130 НАЧАЛА АНАЛИЗА О Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке если; Нх) = е^°^\ х,=0. Пх) = е^-\ х,=1. е Найдите промежутки монотонности функции: f(x) = f(x) = , Вычислите интеграл: 1 а) J (е‘* + Vfdx; о -1 б) \Ш2-^йх. 1 а) J - lfdx\ о -1 б) |3'"6"йд:. -2 0 Для функции f{x) найдите хотя бы одну первообразную, которая при любых значениях х положительна, если f{x)^e^(xe-^ Вариант В1 отрицательна, если = e -xV). Вариант В2 Найдите производную функции: а) f{x) = sin е'^ - ; а) f{x) - cos + З'^; б) Пх) = + х~^). б) Пх) = е**" cos" д;. О Составьте уравнение касательной к графику функции f{x) в точке, Самостоятельная работа С-49 131 в которой угловой коэффициент равен k, если: k = 3. f{x) = e^-^\ k = -2. О Найдите точки экстремума и экстремумы функции: f(x) = т = ^. Вычислите интеграл: 1пЗ а) J In 5 а) J . In 2 1пЗ 1 О J 0 Ф dx. 10" Найдите обш,ий вид первообразных для функции f{x) и определите, при каких значениях С первообразная при любом значении х отрицательна, если положительна, если f{x) = (5'" - о, 1‘") • (5-" + о, 1"). f{x) = (0,) • (0,5“" + 3 "). С-49. ПРОИЗВОДНАЯ И ПЕРВООБРАЗНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Вариант А1 Вариант А2 Найдите производную функции: а) = 21п(х-I-1); а) /(х) = 31п(х - 2); 132 НАЧАЛА АНАЛИЗА б) Дд:) = IgJC +1. б) f(x) = 2-lgx. О Найдите промежутки возрастания и убывания функции: /■(д:) = ln(jc^ + 4). /(д:) = 1п(1 + д:^). е Найдите общий вид первообразных для функции f{x) на заданном промежутке: а) fix) = - X а) fix) = - ■ X на (-о°; 0) U (0; °°); на (-о°;0) U (0;°о); б) fix) = ---- на [0,5; 4-с). б) fix) = -—— 2х-\ 5 4 Зд: на Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: 4 У = -, У = о, д: = 1, д: = е. д: у у ^ о, х = е, X = е X (1п(д:' - д: - 2))' - О Определите, при каких значениях х верно равенство: 2д:-1 (1п(3-2д:-д:'))'-- д: - д: - 2 2д:4 2 3 - 2д: - д: 2 ‘ Вариант Б1 Вариант Б2 Найдите производную функции: а) fix) = -3 In д: 4 1 а) fix) = 4 In д: 4 3 б) fix) = log2 cos д:. б) fix) = logg sin д:. Самостоятельная работа С-49 133 о Найдите точки экстремума функции: f{x) = In JC® ч-. X f{x) = In — - —. X X о а) f — dx-, J лг Вычислите интеграл: 2 . . 3 а) \--dx\ J V б) f-^ J0,5x + 1 X 3 б) f dx. {Zx-2 Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: 2 „ 1 1,1 у = -, у = 2, х = —. У У = h х = ~. X е 0 Определите, совпадает ли область определения функции g(x) с областью определения ее производной, если ее первообразной, если g(x) = ln(9x^ +6х +1). ^ 1 ^ 1 Вариант В1 8-х у14-0,5х ' Вариант В2 а) fix) = Ig------- х + 2 б) Пх) = х^''\ Найдите производную функции: а) fix) = In Зх^ + 2 х^ +1 б) fix) = log^ е\ 134 НАЧАЛА АНАЛИЗА fix) = In X а) {3-2х ЛЛ 2xdx J i х^ +\ О Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: X fix) = 0 Вычислите интеграл: 9 In X dx 2 ■Je+2 б) j 75 5х - 5 2xdx х^ -2' Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: г/ = -, у ^ 6-х. X у = у = 4.-х. X © Найдите все значения а, при которых область определения функции ^(л;) совпадает с областью определения ее производной, если = \п{ах^ - (а + 1)х + 2а - 1). g{x) = 1п(ах^ + 4х + а + 3). С-50. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ Вариант А1 Вариант А2 Найдите значение производной функции fix) в указанной точке х^. Самостоятельная работа С-50 135 4 а) fix) = Зх^, Х(, = 8; а) fix) = 2х^’®, Хо = 9; б) fix) = х’'^, Хо = 1. б) fix) = х'^\ Хо = 1. О в) у = б) у = х^ Постройте схематически график функции на (0; оо): а.) У = б) у = х\ О Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке: fix) ^ х \ fix) = ^, [1;8]. Вычислите интеграл: 1 vX 4 I J 1 \Х 8 О Даны положительные числа а и Ь. Сравните f(a) и f(b), если: 1 а >Ь, fix) = 4- • VX Вариант Б1 а <Ь, fix) = Вариант Б2 Найдите f'ix^), если: а) f(x) = -ос ", Хо = 1; а) fix) = 2х\ = 1; 136 НАЧАЛА АНАЛИЗА б) fix) = (16л:) , ЛГо = 16. О б) fix) = 1 8 - I . лго = 8 27 п • 2sin— а) у - X б) у = Постройте схематически график функции: >/з COS- а) у = X б) у = X 1п2 е Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке: 2 3 f(x) = 2х- Зх^, [0; 8]. fix) = 4х^ - Зх, [0; 16]. Вычислите интеграл: 27 а) j dx 8 чх^ а) I dx о ________ б) I у/Зх + Idx. 4 чх 1 б) I ^7х + Idx. О Даня функция fix) = и положительные числа а и Ь. Сравните Да) и ДЬ), если: а>&, 0<а<1. а < Ь, а < 0. Вариант В1 Вариант В2 Найдите f'ix^), если: а) fix) = ^xyfx, Xq = 1; а) f{x) - х^ = 1; б) Ах) = (Юх)'"®", Хо = 10. \l0g2 6 б) fix) = - , Х^=2. Самостоятельная работа С-51* 137 О Постройте схематически график функции: а) у = б) у = (4х) а) у = б) у = О Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке: /(х) = In X - Vx, [1;64]. /(х) = Vx - — In X, [1;81]. — 2 Вычислите интеграл: а) J 1 15 б) I 3 1_ - х‘^ dx; 2 1 64 о о х^ - х^ 1 Л/Х 15 dx; dx 1 yj X + 10 — Vx + 1 Ф а) J 1 19 б) J .------- ,---------- 3 yJx + 6+ уХ — 3 dx Дана функция f(x) = x“ и положительные числа a w.b, причем a > b. Сравните a c нулем и единицей, если: f{a) > fib), Па) < fib). f(a) > f(b), fia) > fib). C-51*. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Исследуйте функцию и постройте ее график: 138 НАЧАЛА АНАЛИЗА а) fix) = ^4-х^; б) fix) = хе~^'; в) fix) = ; X г) fix) - In sin X', д) fix) = In^ jc; е) /(л:) = log2(4JC-JC^). a) fix) = ^x^ - x; 6) fix) = x^e^^; b) fix) = ; In X r) fix) = In cos X', д) fix) JC In jc; е) fix) = logJ4-x^). О Найдите неопределенный интеграл, используя при решении указанный способ: — замена переменной: а) J хе'^ dx; б) ]^; в) J ctgxdx; x^dx + l’ sin 2xdx Г) J e) J (jc + l)\Jx^ + 2xdx\ r a) \-dx-, f xdx 6) -------- •' X b) J tgxdx-, 2xdx +3’ sin 2xdx Г) J + cos X . t sin,ijcajc h;— 1 + sm X e) J ix^ - V)y!x^ - Зх + 2dx\ — интегрирование no частям: ж) J xe^"‘dx\ ж) J xe^^'dx; з) J dx\ з) J x^' In xdx\ и) J sin X In cos xdx‘, и) J cos x In sin xdx-, — комбинирование предыдущих методов: к) J arcsin xdx\ к) J arccos xdx-. Контрольная работа К-10 139 2х dx 2 2 COS X л) •* С1 2x^dx 2 2 Sin X м*) I sin(ln x)dx. л) I м*) I е"‘ cos xdx. © Найдите решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным условиям: а) у' - Зг/, г/(0) = 2; а) у' = -Ау, у{0) = 3; б) у’ = -Ау, г/(0) = 1, г/'(0) - -2л/3; б) у’ - -Зг/, г/(0) = 2, г/'(0) = 6; У , 1/(0) = 3; в) г/' = 1-х г) г/' = Ах^у, у{0) = -2. г/ , У(0) = А; в) у' = 1 + X г) у' = Зх^у, у(0) = -1. К-10. ПРОИЗВОДНАЯ и ПЕРВООБРАЗНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ, ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИЙ Вариант А1 Вариант А2 Найдите производную функции: а) f{x) = х^'^ - б) fix) = 1п(8 - Зх) + 8"* а) fix) = е"" + x^'^; б) fix) = 1п(х" + 1) - А\ О Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке: /(X) = [0; 2]. fix) = , [0; 4]. 140 НАЧАЛА АНАЛИЗА О Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку А: fix) =----А(-3;1). х + 2 f(x) =----А(2;3). X -3 Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями; у = >/х, у = \, x^Q. у = у = 1, X ^8. Ф Для функции 1 gix) = + Я(л:) = е -Зх 2х + 1 Зх + 1 найдите первообразную, которая в точке Xq = о принимала бы такое же значение, как и производная g(x) в этой точке. Вариант Б1 Вариант Б2 Найдите производную функции: а) f(x) = + logg х; а) f(x) = log^ х - ; б) fix) = х'^^^ -1п-. X б) fix) - + In >/х. 0 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке: Контрольная работа К-10 141 /(Jc) = JcV^ [-2;1]. О т = —, [-1;2]. Для функции f{x) найдите первообразную, график которой пересекает ось Ох в точке с абс- пересекает ось Оу в точке с орди- циссой 1, если натой 3, если f(x) = 2х - ^ f(x) = Зх^ + ^ 4jc - 5 3JC-1 Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = у = X. у = у = X. 0 Для функции g(x) найдите первообразную, график которой пересекается с графиком производной этой функции в точке дСр, если: ^(л:) = (Зл:-2)^ = 1. ^(л:) = (4х + 5У, лго ^ “1- Вариант В1 Вариант В2 Найдите производную функции: а) f(x) = - Ig cos х; а) f(x) - -ь log2 sin х; б) f(x) - 2^ + 1п^(х^ - 1). б) Дх) = 3^ -1п'(9-х'). 0 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке: 142 НАЧАЛА АНАЛИЗА 2__4 'У’ /(х) = 1п—[-4;0]. 2 + х^ © Для функции 6 2 V -1 /(х) = 1п^-, [1;5]. +2 fix) = fix) = 7 -Зх ' ' ' О, бдс - 1 найдите первообразную, график которой проходит через точку М, если М — точка пересечения прямых в графическом решении уравнения ху - Зх - 2у + 6 = О. ху + 2х - 4у - S = 0. Найдите плон];адь фигуры, ограниченной линиями: у = 2у]х + 1, у = X + 1. у = 2у1х - 1, у = X - © Для функции ^(л:) найдите первообразную, наименьшее значение которой равно у^. gix) = 2х 1 -ь х' + бх^е'^ , г/о = 3. ^(л:) 4х^ X* +1 1/о = 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА С-52. ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ Вариант А1 Вариант А2 Даны комплексные числа: = 1 - i и ^2 - 4г - 2. = 1 + г и ^2 = -6 + 4i. Найдите: а) сумму 2 = + 22 и укажите Re 2; Im 2; б) разность 2 = 2j - 2з и укажите комплексное число, которое сопряжено с 2; противоположно 2; в) произведение z = г) частное 2 = —. ^1 О По формуле разности квадратов разложите на множители: 4х^ +1. 0 Вычислите: 9х' +25. а) (1 + 30(1 - 30 - 2; б) (2 - if + t(3t + 4); а) (5 - 20(5 + 20 + 1; б) (3 + if - 3/(2 + 3/); 144 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА в) + -•6 ■ в) i ,*10 ,*8 О Решите уравнение: а) 2z^ + 8 = 0; а) Зг" +27-0; б) 3iz - 9 - 6L б) 2/2 = -10 + 8/. Ф Найдите действительные х и у из равенства: (-2 - i)x + Aiy = 6 + 7/. Зл: + (5 - 2i)y = 1 + 2/. Вариант Б1 Вариант Б2 Даны комплексные числа: 2j = 15 - 5/, 22 = 1 + 2/. 2^ = 5 + 10/, 2j = 2 - /. Найдите: а) сумму Z = z^ + и укажите ее вещественную и мнимую часть; б) разность 2 = 2j - 02 и укажите комплексные числа, сопряженные и противоположные к z; в) произведение z = z^ • z^; г) частное z = —. О Разложите на множители по формуле разности квадратов (а > 0) : а + 16. а+ 49. Самостоятельная работа С-52 145 а) (3 + 2if - (1 - iV3)(l + iVS); 6-4i б) (1 + if + 3i(l — 2/)j b) + 0 Вычислите: a) (2 - 30" + (1 + iV2)(l - iV2); B) (20®+p. О Решите уравнение: а) - 2z + 5 = 0; б) (1 + 02 = 6 - 2L © Найдите действительные x и у из равенства: (5 -I- 3i)x + (2 - i)y = -1 - 5i. (4 - 3i)x + (1 + 2i)y = 2 - 7L а) z + 42 + 13 — Oj б) (1 - O2 = 8 + 6i. Вариант B1 Вариант В 2 Даны комплексные числа а = —2i н Ь = 2^ - 2i, где 2j и 22 — корни уравнения: 2^ + 42 + 5 = о 2^ - 22 + 2 = о (Im2j < о, 1т2з > 0). (Im2j < 0, 1т Z2 > 0). Найдите: а) число, сопряженное к сумме а + Ь; б) число, противоположное разности а — Ь; 146 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА в) произведение данных чисел аЬ; а г) частное —. Ь 0 Разложите двумя способами на комплексные множители по формуле разности квадратов число 17. число 10. 0 Вычислите: а) {2 + if-{l-if; б) 1 - i 2i Н-----! i -1 2i^^ + а) (2-0" +(1 + 20'; 1 + i 2i б) + 2i 25 1 + i 1 I ‘5 I ‘10 , , -100 B)l-|-t + I + ... + I „ч 1 I .-a I .-e I , .-ao B)l + t + I + ... + I . О Решите уравнение: а) 2" + 132^ + 36 = 0; б) (1 + 20(1 - i)z = 20- 30i. © Найдите комплексное число z, удовлетворяющее равенству: i + Re z = iz. i ■ Im z + 1 = iz. а) 2^ + 20z^ + 64 = 0; б) (1 - 20(1 + i)z = -40 + 50i. Самостоятельная работа С-53 147 С-53. МОДУЛЬ И АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ Вариант А1 Вариант А2 О Найдите модуль и главный аргумент комплексного числа: а) 2 - 4 + 4г; а) 2 = 3 - Зг; V3 1 . б) 2 = 1. 2 2 1 V3. б) 2 = — -1 г. 2 2 О Выполните действия на комплексной плоскости: а) (4 + г) + (-1 + Зг); а) (3 - 2г) + (1 + Зг); б) (1 - Зг) - (-2 - г). б) (5 + 0 - (3 - 2г). О Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: а) Im г = -2; а) Re 2 = 3; б) |г| = 1. б) Arg2 = —. 4 О Решите уравнение: I2I = 2 - Зг + 1. Ы = 2 + 5г + 1. 148 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Вариант Б1 Вариант Б2 Найдите модуль и аргумент комплексного числа: a)z-(l-2if; -ч - .о , .-42. б) Z = 1 + i а) Z = (2 + i) ; 9 б) Z = 1 - i О Выполните действия на комплексной плоскости: а) 2i + (1 - 4г); а) (-3 + 2г) + 5; б) 2(3 - 2г) - 3(1 + г). б) 4(-1 - г) - 2(-3 - 2г). © Найдите геометрическое место точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: а) Re 2 < -1; а) Im 2 > 2; б) — < Arg2 < — 4 2 б) 1 < Id < 3. О Решите уравнение: \zf + z^ = 8 - 4г. \zf - z^ = 2 - 4г. Вариант В1 Вариант В2 Найдите модуль и аргумент комплексного числа: а) 2 -ь 2г 1 - г а) З-Зг 1 -ь г Самостоятельная работа С-54 149 б) (1 - 0(4 + 30(2 + 0(3 + 0- б) (1 + 0(4 - 30(2 - 0(3 - 0- о Выполните действия на комплексной плоскости: а) 2 + 2z, где 2 = 1 + г; а) 2z-г, где 2 = 2 - i; 2i-3 б) 2г. ~4 -ь Зг б) ---;-----3. 0 Найдите геометрическое место точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: а) Re(2 • 2) < 4; а) Im 2^ > 2; б) — < Arg(2 -h 2 - о ^ • 4 4 б) 1 < |2-3-1-Зг| < 3. О Решите уравнение: 2|г2| - 2 - 2г = 0. 2|г2| - 2-I-6г = 0. С-54. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ФОРМУЛА МУАВРА Вариант А1 Вариант А2 Представьте данное комплексное число а) в алгебраической форме: = 2^f2 п . . cos —I- г sin — ; 4 4 а( к .. к = 4 cos—I- г sin — 150 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА б) В тригонометрической форме: 2 = 1 + л/Зг. 2 = 2 + 2i. 0 Выполните действия: а) Зл/2 [ cos — + г sin — 71 . . Я COS —I-1 sm — . л X а) V3 X V б) 6 6 18(cos 47° + i sin 47°) ^ я . . я^ cos —hi sm — X V 3 3 ГГ^ я . . я XV12 cos—+ tsin — [ 6 6 9(cosl7° + isinl7°) © б) 20(cos 72° +г sin 72°) а) (-1 + 0^ 5(cosl2° + г sin 12°) Пользуясь формулой Муавра, вьршслите: а) (-l + JSif; б) ^8(соая + isin я). О б) J16 2я . . 2я ^ cos----h I sin — 3 3 2" -16. Разложите на линейные множители: 81-2". о Найдите все корни уравнения: 42^ + 8j = 0. З2® - 24 = 0. Вариант Б1 Вариант Б2 Представьте данные комплексные числа в тригонометрической форме: а) 2 = -2 - 2i; а) 2 = л/з - j; Самостоятельная работа С-54 151 лч к .. к б) 2 = - COS----iSin —. 6 6 я . . я б) 2 - - COS--h t Sin —. 3 3 0 Выполните действия и представьте ответ в тригонометрической форме: я . . я ^ я . . я ^ cos — + 1 sin — ■ 2i; а) 2 cos — + 1 sin — 1 4 4j 1 6 6; а) 3 ^/^(cosl8°-l-isinl8°) б) (-30; Vl8(cos 4° + i sin 4°) \/2(cos 64° + i sin 64°) V5(cos 48° -H i sin 48°) 0 Вычислите, пользуясь формулой Муавра, и представьте ответ в алгебраической форме: а) (1-730®; а) (-1 + 0'°; б) б) О Разложите на линейные множители: 32® - 24. 22* + 8. О Решите уравнение: 2® + 2^ + 2 + 1 = 0. 2® - 2® + 2 - 1 = 0. Вариант В1 Вариант В2 Представьте данные комплексные числа в тригонометрической форме: а) 2 = —1 + i а) 2 = 1 - i 152 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА йч Я . . Я о) Z = cos----I sin —. 5 5 б) z = -2 к .. к \ cos--h I Sin— . 8 8 0 Выполните действия и представьте ответ в тригонометрической форме: а) 4 ( 11я . . 11я^ 1 a) 6 ( 2k . . 2я ^ cos + i sin • -Ц cos h 1 Sin 1 « 6 J 2 [ 3 3 J X б) 1 + iS X Н‘) 2i(cos 60° + i sin 60°) © б) i -1 2(cos 45° + i sin 45°) Вычислите и представьте ответ в алгебраической форме: а) l + iS i -1 б) \1ы. ( а) -l + iV3 \10 1 + i б) Разложите на линейные множители: 2"* + 2г^ +4. 2^ - 42^ + 16. 0 Решите уравнение: (г + if - z^ + 2iz - 1. (z - 2if = 2^ - Aiz - 4. Самостоятельная работа С*55 153 C-55^ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Постройте на комплексной плоскости геометрические образы соотношений: а) 22 + 2г + 2г - 0; а) гг + 2ьг - 2iz = 0; б) 2^2^ - 522 + 4 > 0; б) 2^2^ - 1022 + 9 < 0; в) Im _ ^ ^ > 1; в) Re _ > 1; 2-1 г) \г - if + I2 + if = 10. 2+1 I |2 1 |2 г) 2 + t + 2 - t = 16. 0 Выведите с помош;ыо формулы Муавра тригонометрические формулы, выражаюпще: а) cos За через cos а; а) sin За через sin а; б) sin 4а через sin а и cos а. б) cos 4а через cos а. 0 Для любых комплексных чисел и 2g докажите неравенство: ||2i|-|22|1^|2i1 + |22|. ||2i|-|22||<|2i -2з|. о Найдите комплексное число, задающее четвертую вершину параллелограмма, три последовательных вершины которого находятся в точках: 2j = 1 + 2i, 2j = -1 + 2i, 154 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 22 = -1 - i, 2g - 2 - 2L © Решите уравнение: а) (2^ + 32 + 6)^ + +2г(г^ + 32 + 6) - 32^ = 0; б) 2® - 42^ - 42 - 5 = 0; в) (2^ +2)^ =1. 2g = -3 - i, 2g = 1 - 2i. а) (2^ + 42 + 8)^ + +32(2^ + 42 + 8) + 22^ = 0; б) 2® +82^ +152 + 18 = 0; в) (2^ - z)* = 16. K-11. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Вариант А1 Вариант А2 Выполните действия: а) 2i(3 + i)-6i*; а) 3i{i-4)-12f; б) -1 -1 1-i Re 2 > 1, 2I <3. б) О 3-3t 1 +1 Найдите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяюпщх условиям: )Im 2 < 1, N1 ь 2. о Вычислите: а) (2 + 20^ a)(^/з + i)^ б) чРТб. б) Контрольная работа К-11 155 О Решите уравнение: а) 2 + iz = 1 + 7i; а) z - iz = 8 + 2i\ б) 2^+42 + 13 = 0. б) 2^ -22 + 10 = 0. 0 Найдите значение а, при котором числа +1 + 6г и 5 -Заг а^-3-4ги -2 + 4ai являются сопряженными. Вариант Б1 Вариант Б2 Выполните действия: , 5-15i 1 + 2г б) Зж . . Зп cos----hi Sin-- 4 4 X х(2 - 2i). \ /о- оч2 а) ——+ (2t-3)^ О — I J 7п . . 7п^ 2 cos----h I sin — 6 6 б) ,•17 X х(7з + 3i). о Найдите геометрическое место точек комплексной плоскости, удовлетворя-юш:их условиям: I |2 + 3i| <3, J |2 - 3| < 3, [Ке 2 > - Im 2. [Re 2 < Im 2. О Вычислите: a)(-l + iV3)^^ a)iS-if; 156 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА б) ^1¥П. б) О Решите уравнение: а) Ь + 1| + i \z\ = 4%/2 + 5i; а) \z -i\-i\z\ = 3%/2 - 5i; 6) z^ - Aiz - 20 = 0. 6) 2^ + 2i2 - 5 = 0. О Даны комплексные числа 2j = -1 + {%/з И ^2 = -%/3 +i. z^ - iyfs и ^2 = у/з -i. Задайте равенством геометрическое место точек комплексной плоскости, лежащих на биссектрисе угла zfiz^. Вариант В1 Вариант В2 а) б) Выполните действия: (2i + 3)' i -1 i +1 , (2i-3)' i a) + / + 1 i-1 Г1-П 6 1 . б) fl + i| J 7л . . Зл cos + 1 sin — 1 4 4 J [л] cos V 4, ^ Л V . . 5л + ism — 4 0 Найдите геометрическое место точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям: |г -1 + i| > |г +1 - i|, — < Arg(2 - 2) < —. 2 ' 4 |г +1 + i| > |г - 1 - i| - < Arg(2 + 2) < -, 4 ^ 2 Контрольная работа К-11 157 О Вычислите: а) а) б) л/ьйТз. б) S+4i. О Решите уравнение: а) \z\ + 2 - 2iz = 2i; б) (2 + 1)'* ^{2-i)\ Ф а) |2| -3z + 3i = iz; б) (2 + 0^ = (2 - 0^- Докажите, что для любых комплексных чисел 2j и 2з ^1 pi ~ ^г| ~ |2 I |2' + 2„ = 2{^z,\" +\z,f]. если |2j| = = d, то I |2 I l2 , ,2 P1+22I +|2i-22| = 4a . Какова геометрическая интерпретация этого равенства? КОМБИНАТОРИКА С-56. МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ Вариант А1 Вариант А2 Пусть М — множество учебников математики, F — множество учебников физики, к — множество книг школьной библиотеки. Запишите с помош;ью знаков операций над множествами: а) множество учебников физики, имеющихся в школьной библиотеке; б) множество учебников физики и математики; в) множество книг, имеющихся в школьной библиотеке, кроме учебников математики. а) множество учебников математики, имеющихся в школьной библиотеке; б) множество учебников физики и книг школьной библиотеки; в) множество книг, имеющихся в школьной библиотеке, кроме учебников физики. О Пусть А, В и С — множества корней уравнений X =4, (х -ь 1)(х |х| = 1 2) = о и |х] = 9, (х - 16 3)(х -ь 4) = О и а) Аи В-, г) С \ В; соответственно. Перечислите элементы множеств: б) В п С; в) Ап С; д) В \ С; е) А KJ В KJ С. Самостоятельная работа С-56 159 Назовите любое множество D из одного элемента такое, что D cz В. е Каждый из 36 учеников класса изучает хотя бы один иностранный язык (английский или немецкий). Известно, что английский язык изучают 24 ученика, немецкий — 18 учеников. Сколько учеников изучают и немецкий, и английский языки? Вариант Б1 е Во всех домах деревни Уткино крестьяне держат скот (коров или свиней). Известно, что в 43 домах держат коров, в 39 домах — свиней, а в 12 домах — и коров, и свиней. Сколько всего домов в деревне Уткино? Вариант Б2 Пусть и — множество ученых, F — множество физиков, М — множество математиков, L — множество лауреатов Государственной премии. Запишите с помощью знаков операций над множествами: а) множество ученых и лауреатов Государственной премии; б) множество ученых-лауреатов Государственной премии; в) множество лауреатов Государственной премии, не работающих в области физики и математики. 0 а) множество физиков и математиков; б) множество людей, изучающих и физику, и математику; в) множество ученых, не работающих в области физики и математики. Пусть множества А, В нС — числовые промежутки, причем 160 КОМБИНАТОРИКА А = [-5; 1], В = [0; 8], С = [2; 10]. А = (-8; -2), В = (-3; 4), С = (0; 5). Найдите: а) А U В; б) В п С; в) А п С; г) С \ В; д) В \ С; е) А и В и С. Назовите любое множество D такое, что Вс С. О Из 40 участников конференции 6 не знают ни русского, ни немецкого языка, 19 знают русский язык, 5 знают оба языка. Сколько человек знают немецкий язык? Вариант В1 О Из 46 студентов 11 не занимаются ни баскетболом, ни футболом, 22 занимаются футболом, 8 — и футболом, и баскетболом. Сколько студентов занимаются баскетболом? Вариант В 2 Пусть А — множество четных чисел, В — множество нечетных чисел, С — множество чисел, кратных 3, В — множество чисел, кратных 5. Запишите с помощью знаков операций над множествами: а) множество чисел, кратных 2 или 3; б) множество чисел, кратных 10; в) множество нечетных чисел, не кратных 15. О а) множество чисел, кратных 2 или 5; б) множестю чисел, кратных 6; в) множество четных чисел, не кратных 15. Пусть А, В, С и D — множества углов а, для которых выполняются условия: Самостоятельная работа С-57 161 А : sin а > —, В : cos а > — 2 2 С ; tga >0,D: ctga = -1. А : sin а < - -, В : cos а < - -, 2 2 С : ctga < О, D : tga = 1. Отметьте часть дуги единичной окружности, соответствующую множеству: а) А Г\ В; б) В и С; в) А \ D; г) (АиВ)\ С; д) (АиВ)пС; е) С \ (А и В). Запишите символами, подмножеством каких из данных множеств является множество D. е Из 44 членов литературной студии 25 человек пишут стихи, 28 — прозу и 26 — эссе, причем 15 человек пишут стихи и эссе, 13 — прозу и эссе, а 5 человек — и стихи, и прозу, и эссе. Сколько человек пишут стихи и прозу? е Из 120 участников экологической конференции 60 занимаются биологией, 48 — географией, 32 — химией, причем 21 человек занимаются биологией и географией, 19 — географией и химией, 15 — биологией и химией, а 10 — всеми тремя науками. Сколько участников не занимаются ни одной из этих наук? С-57. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ. ПРОСТЕЙШИЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ Вариант А1 Вариант А2 О Вычислите: 162 КОМБИНАТОРИКА At; Рг- ■'s б) 0 Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 6 различных уроков? 0 Сколькими способами из 7 членов президиума собрания можно выбрать председателя, его заместителя и секретаря? Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно выбрать стартовую шестерку? ■^9 б) Cl, 10 Л'; 0 Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (цифры в одном числе не должны повторяться) ? 0 Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из б различных уроков? О Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте? О Решите уравнение: = 20. Вариант Б1 О Вычислите: ‘20 б) clcl + clcl с® '^20 Cf * • (л: -1) = 30. Вариант Б2 а) ^ 14 10 К б) С1С, Самостоятельная работа С-57 163 0 Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8, 9, О (цифры в одном числе не должны повторяться) ? О Сколько различных правильных дробей можно составить, используя в числителе и знаменателе числа 2, 3, 5, 7, 11, если в записи каждой дроби использовать 2 числа? 0 Сколькими способами можно расставить на книжной полке тома 4-томника Эдгара По так, чтобы четвертый том не стоял крайним слева? 0 Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр О, 1, 2, 3, 4, если цифры в одном числе не повторяются? Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник? Сколько существует различных треугольников с вершинами в 7 данных точках, если известно, что 3 из них лежат на одной прямой? О Решите уравнение: Af = 336C,^t. Вариант В1 О Вычислите: /14 _ /14 ч ^12 ^11 . ^ ’ ik+i)c::j б) (п + 1)С* 12С;;' = 55А1,. Вариант В2 а) б) _ д5 -^15 -^14 . & 44 п п ■^h+l 164 КОМБИНАТОРИКА О Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 6 человек, если не существенно, кто на каком стуле сидит, а существенно, кто является соседом одного человека справа и слева? О Сколько различных «слов» (буквенных наборов) из 7 букв можно составить путем перестановки букв в слове «барабан » ? О Сколько различных неправильных дробей, не равных единице, можно составить, используя в числителе и знаменателе числа 2, 3, 5, 7, 11, 13? О Из 11 учебных предметов составляют расписание дня из 5 уроков. Сколькими способами это можно сделать при условии, чтобы в расписании была физкультура, но не на первых трех уроках? Скол ькоразличных натуральных делителей имеет число 210? 0 Сколько различных произведений, кратных 10, можно составить из множителей 2, 3, 5, 7, 11, 13, используя каждый множитель по одному разу? Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству: с! +бс! +бс! < 9х" -14х. ■1Х + 1 Самостоятельная работа С-58 165 С-58. БИНОМ НЬЮТОНА. СВОЙСТВА БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Вариант А1 Вариант А2 а) (х-2)^; По формуле бинома Ньютона раскройте скобки и упростите выражение: а) (x + 2f; б) ^ , О® X + — X б) Х-- . X 2 д: н— V (За-&)". равна 128. 991 Вариант Б1 е Найдите член, не содержащий х, в разложении бинома: f 1Y Зл: + - . ^ I О Дан бином: (2а" +&)". Найдите п, если сумма всех биномиальных коэффициентов равна 256. О € помощью формулы бинома Ньютона вычислите: 101". Вариант Б2 Раскройте скобки и упростите выражение: 166 КОМБИНАТОРИКА а) ix + j2f; б) а) (x-Jsf; ^х 3^' 2 У IT б) Зх + 2у О Найдите показатель степени бинома X + V X ,если второй член + X ,если третий член разложения не зависит от х. разложения не зависит от х. О Найдите член разложения бинома у[х + V ’VX у , содержащий х :^/x + , содержащий в первой степени, если сумма всех биномиальных коэффициентов равна 512. X в первой степени, если сумма всех биномиальных коэффициентов равна 256. Докажите тождество (к, п gN, 1 < к <п): n(CL-cr:) = cr„\ Вариант В1 I ^k+1 Вариант В2 Раскройте скобки и упростите выражение: х^ - 1 ^ а) б) (2^3 + Sy а) X + б) (7б-з72)\ Самостоятельная работа С-59 167 е X + —Р= V J коэффициенты В разложении бинома ^ третий биноми- альный коэффициент в 4 раза третьего и пятого членов от- больше второго, носятся как 2 : 7. Найдите член разложения, содержащий е Найдите показатель бинома (а + ЬУ , если сумма всех его биномиальных коэффициентов на 256 больше суммы биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах. О Найдите количество рациональных членов в разложении бинома: (V2 + (/3)®°. утроенная сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, на 512 больше суммы биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах. С-59. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ. ПРАВИЛО СУММЫ И ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ Вариант А1 Вариант А2 в вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Определите, сколькими спосо* 168 КОМБИНАТОРИКА бами из вазы можно выбрать букет, состоящий из двух белых роз и одной крас- двух красных и одной белой ной розы. розы. 0 Даны цифры 1, 2, 5, 8, 9. Определите, сколько четырехзначных чисел можно составить из них (цифры в одном числе не должны повторяться) при условии, что все составленные числа должны быть меньше 6000. © Три стрелка должны поразить 6 мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут разделить мишени между собой? больше 4000. © Три автора должны составить справочник из 9 глав (каждый составляет по 3 главы). Сколькими способами они могут разделить работу? Вариант Б1 Вариант Б2 В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Определите, сколькими способами из вазы можно выбрать букет из трех цветов, в котором будет не менее двух белых роз. не менее двух красных роз. © 12 человек разделены на группы по 4 человека в каждой. по 3 человека в каждой. Сколькими способами это можно сделать? Самостоятельная работа С-59 169 © Шестерых новых учеников нужно распределить в три параллельных класса. Сколькими способами это можно сделать? © Семь книг необходимо разместить на четырех книжных полках. Сколькими способами это можно сделать? Вариант В1 Вариант В 2 в вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Определите, сколькими способами из вазы можно выбрать букет из трех цветов, в котором была бы хотя бы одна белая роза. © Из 8 юношей и 6 девушек выбирают три пары для участия в танцевальном конкурсе. Сколькими способами можно сделать такой выбор? © На четырех полках необходимо расставить пять книг. Сколькими способами это можно сделать, если на первой полке должна стоять только одна любая книга? хотя бы одна красная роза. © Из 6 различных букв и 10 различных цифр составляют 4 кода «буква-цифра». Сколькими способами это можно сделать? © За пять дней садовник должен высадить шесть различных деревьев. Сколькими способами он может распределить работу, если в первый день он должен высадить только одно любое дерево? 170 КОМБИНАТОРИКА С-60*. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Докажите тождество: а) С* + 2Cf ^ + С*"" = С*:|; а) С* + + ЗС*"' + , б) cl + 2Cf + ЗС> ... + пС: - б) Cl- 2Cf + 8Cl - ... + = rt-2""\ +(-i)"-^rtc; = 0. 0 Подставляя в разложение (х + а)" подходящие значения а и дс, найдите сумму: 1 + 2с1 + 2^с1 +... + 2"с;. 1 + 1ос^ + loocf +... + 10"с;. 0 Найдите коэффициент ри в разложб жения (1 + 2д; + при в разложении выра- при х“* в разложении выражения (1 -t- 2х^ - 30;“*)^°. О Найдите рациональные члены в разложении бинома: (V4+V7)^^ (^ + ^2)' 0 0 Сколькими способами можно рассадить за круглым Сколькими способами можно построить в одну шерен Контрольная работа К-12 171 столом 8 мужчин и 8 женщин так, чтобы лица одного пола не сидели рядом? О гу игроков двух футбольных команд, чтобы игроки одной команды не стояли рядом? Какое минимальное количество жителей должно быть в населенном пункте, чтобы наверняка утверждать, что по крайней мере двое из них имеют одинаковые инициалы фамилии и имени? фамилии, имени и отчества? К-12. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ Вариант А1 О Найдите: а) б) третий член разложения бинома (х + 2)'^. О Вариант А2 а) Л^+Р,; б) четвертый член разложения бинома (2л: На плоскости даны 8 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. а) Сколько существует отрезков с концами в этих точках? б) Сколько существует лучей с началом в любой из данных точек, проходящих а) Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? б) Сколько существует векторов с началом и концом в любых двух из данных точек? 172 КОМБИНАТОРИКА через любую другую из данных точек? О в разложении бинома (-il второй и третий биномиаль- второй и четвертый биноми-ные коэффициенты равны. альные коэффициенты равны. Найдите п и запишите формулу этого разложения. О Сколькими способами можно осуществить перестановку десяти различных шкафов вдоль двух стен, если вдоль одной стены поместится 6 шкафов, а вдоль другой - 4? 0 Решите уравнение: а! - СГ^ = 24. Сколькими способами можно организовать размещение тургруппы из 7 человек в два гостиничных номера на три и четыре человека? aL + с! - 24. Вариант Б1 О Найдите: а) Вариант Б2 а) б) средний член разложения б) средний член разложения бинома (2х -1)® 0 бинома (Зл:-1-1)'‘. На окружности выбрано 8 различных точек. Контрольная работа К-12 173 а) Сколько существует вписанных выпуклых четырехугольников с вершинами в данных точках? б) Сколько существует ненулевых векторов с началом и концом в данных точках? а) Сколько существует вписанных треугольников с вершинами в данных точках? б) Сколько существует вписанных углов с вершиной в одной из данных точек и сторонами, проходящими через две другие точки? О Найдите сумму биномиальных коэффициентов бинома (Vx-1-Vx)", если четвертый коэффициент разложения в 5 раз больше второго. V X -ь Vx , если второй коэф- фициент разложения в 7 раз меньше четвертого. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 10 карт так, чтобы среди выбранных карт было ровно два валета? ровно три туза? Ф Найдите все значения п, удовлетворяющие неравенству: с:' < 23. ■“■n-l + С;! < 24. Вариант В1 Вариант В2 О Найдите: ап-2 а) а) ^ 1 Л-3, ^ л-2 174 КОМБИНАТОРИКА 6) сумму биномиальных коэффициентов и сумму коэффициентов разложения бинома (2х-1)\ (6х-7)\ е На одной из двух параллельных прямых выбрано 5 различных точек, а на другой — 4 точки. а) Сколько существует секущих данных прямых, проходящих через любые две данные точки? б) Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках? О а) Сколько существует отрезков с концами в данных точках, не лежащих ни на одной из данных прямых? б) Сколько существует выпуклых четырехугольников с вершинами в данных точках? Найдите наибольший член разложения: il + yf2f\ (1 + в списке выступающих на заседании 6 человек. Сколько существует вариантов регламента заседания, если выступающий А должен вы- выступающий В должен выступить раньше В и С7 ступить позже А, но раньше С? = 10, сГ =-^-^ 2 0 Решите систему уравнений: = сг^, 1с? = 153. ТЕОРИЯ вероятностей с-61. КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛ КОМБИНАТОРИКИ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ВЕРОЯТНОСТИ Вариант А1 Вариант А2 Из 30-томного собрания сочинений Льва Толстого ученик наугад выбирает один том. Какова вероятность того, что а) в этом томе окажется роман «Война и мир», изданный в двух томах? б) этот том будет иметь нечетный номер? а) в этом томе окажется роман «Анна Каренина», изданный в одном томе? б) этот том будет иметь четный номер? 0 Бросают две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что выпадут «орел» и «решка»? выпадут два «орла»? О Из букв слова «провал» наугад выбираются 5 букв. Найдите вероятность того, что из выбранных букв можно будет составить слово «право». слово «повар». 176 ТЕОРИЯ вероятностей Из 28 костей домино наугад выбирают одну. Что вероятнее: что сумма цифр на ней будет равна б или 8? что сумма цифр на ней будет равна 3 или 4? Вариант Б1 Вариант Б2 Какова вероятность того, что ваш будущий ребенок: а) родится в апреле? а) родится в январе? б) родится 30-го числа? б) родится 31-го числа? 0 Бросают два одинаковых игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших чисел будет равна 11? равна 3? 0 Из букв слова «апельсин» последовательно выбирают 4 буквы. Найдите вероятность того, что выбранные буквы в порядке их выбора образуют слово «лиса». слово «плен». Что вероятнее при бросании двух одинаковых игральных кубиков: что выпавшая сумма будет равна б или что она будет больше 10? что выпавшая сумма будет равна 10 или что она будет меньше 4? Самостоятельная работа С-61 177 Вариант В1 Вариант В 2 Из 28 костей домино выбирают одну. Какова вероятность того, что: а) сумма цифр на ней больше 9? б) обе цифры на ней — нечетные? а) сумма цифр на ней меньше 3? б) обе цифры на ней — четные? О в ящике лежит 15 шаров, из которых 5 — черные. Какова вероятность того, что при выборе из ящика трех шаров один окажется черным? два окажутся черными? е Из букв слова «комбинаторика» наугад выбираются 4 буквы. Найдите вероятность того, что из выбранных букв можно составить слово «корт». О в колоде 32 карты. Что вероятнее: найти среди четырех выбранных карт ровно два туза или все четыре карты черные? выбранные буквы в порядке их выбора образуют слово «атом». найти среди трех выбранных карт ровно одну даму или ровно две красные карты? 178 ТЕОРИЯ вероятностей с-62. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вариант А1 Вариант А2 Из 30 учеников спорткласса 11 занимается футболом, 6 — волейболом, 8 — бегом, а остальные 5 — прыжками в длину. Какова вероятность того, что один произвольно выбранный ученик класса: а) не занимается прыжками? б) занимается игровым видом спорта? 0 а) не занимается футболом? б) занимается легкой атлетикой? Нина и Лора пишут диктант. Вероятность того, что Нина допустит в нем ошибку, составляет 60%, вероятность ошибки Лоры — 40%. Найдите вероятность того, что: а) обе девочки напишут диктант без ошибок; б) Нина напишет без ошибок, а Лора ошибется. а) обе девочки в диктанте ошибутся; б) Лора напишет без ошибок, а Нина ошибется. © Монету бросают 6 раз подряд. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз выпадет «решка». хотя бы один раз не выпадет «решка». Самостоятельная работа С-62 179 Вариант Б1 Вариант Б2 в беспроигрышной лотерее выпуш;ено 10000 билетов, среди которых 100 вьшгрьпней по 1000 рублей, 200 выигрышей по 500 рублей, 500 выигрьппей по 200 рублей и 1000 выигрышей по 100 рублей, а остальные билеты выигрывают по 1 рублю. Какова вероятность того, что при покупке одного билета выигрыш составит: а) не более 200 рублей? б) более 200 рублей? а) не менее 500 рублей? б) менее 500 рублей? е Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания первого стрелка составляет 90%, второго — 80 %, третьего — 70 %. Найдите вероятность того, что: а) все три стрелка поразят мишень; б) двое из трех стрелков промахнутся. е а) все три стрелка промахнутся; б) двое из трех стрелков поразят мишень. Монету бросают 5 раз подряд. Найдите вероятность того, что «решка» выпадет не более «орел» 2 раз. 4 раз. выпадет не менее 180 ТЕОРИЯ вероятностей Вариант В1 Вариант В 2 В ящике лежат 6 белых, 4 черных, 5 красных и 3 синих шарика. Из ящика наугад выбираются 2 шарика. Какова вероятность того, что: а) шарики будут оба белыми а) шарики будут оба красны- или оба черными? ми или оба синими? б) один из шариков будет си- б) один из шариков будет бе- ним, а второй — красным? лым, а второй — черным? 0 Три референта стенографируют выступление министра. Известно, что вероятность составления дословной стенограммы у первого референта составляет 75%, у второго — 80%, у третьего — 90%. Кроме того, вероятность грамматической ошибки у каждого из референтов составляет 10%. Найдите вероятность того, что: а) ни один из референтов не составит дословной стенограммы; б) ровно один из референтов сможет дословно записать выступление, но допустит грамматические ошибки. а) все три референта составят дословную стенограмму; б) ровно два референта смогут дословно записать выступление, но допустят грамматические ошибки. © Монету бросают 6 раз подряд. Найдите вероятность того, что «решка» будет выпадать чаще, чем «орел». «орел» будет выпадать не реже, чем «решка». Самостоятельная работа С-63 181 С-63. ВЕРОЯТНОСТЬ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО ИЗ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Вариант А1 Вариант А2 Стрелок стреляет по мишени 4 раза подряд. Известно, что вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз. 0 вероятность промаха при каждом выстреле равна 0,1. Найдите вероятность того, что стрелок хотя бы один раз промахнется. В классе 15 мальчиков и 10 девочек. Известно, что на каждом из 6 различных уроков к доске вызывают одного человека. Найдите вероятность того, что: а) на всех уроках вызовут девочек; б) в течение дня вызовут 4 мальчиков и двух девочек. а) на всех уроках вызовут мальчиков; б) в течение дня вызовут 5 девочек и одного мальчика. О Что вероятнее при бросании монеты: выпадение «решки» четыре раза из пяти или шесть раз из девяти? выпадение «орла» четыре раза из семи или два раза из трех? 182 ТЕОРИЯ вероятностей Вариант Б1 Вариант Б2 Три лучших спортсмена школы принимают участие в общегородском забеге. Известно, что вероятность стать призером для каждого из учеников со-111 ставляет —, — и — соответс-2 3 4 твенно. Какова вероятность того, что хотя бы один ученик станет призером? О Найдите вероятность того, что при 6 бросаниях игрального кубика: вероятность не занять призовое место для каждого из уче- 111 ников составляет —, — и — 3 4 5 соответственно. Какова вероятность того, что хотя бы один ученик не станет призером? а) пятерка выпадет 5 раз; б) цифра меньше трех выпадет 3 раза. е а) тройка выпадет 3 раза; б) цифра больше четырех выпадет 4 раза. Что вероятнее при игре с равным по силе соперником (без ничьих) : выиграть три партии из четырех или шесть партий из восьми? выиграть две партии из трех или четыре партии из шести? Вариант В1 Вариант В2 Найдите вероятность того, что наугад взятое двузначное число будет кратно 2 или 5 или 10. будет кратно 3 или 10 или 30. Самостоятельная работа С-64* 183 0 Завод производит изделия, каждое из которых с вероятностью р — бракованное. При осмотре брак обнаруживают с вероятностью q. Для контроля продукции выбирают п изделий. Найдите вероятность того, что при осмотре: а) брак не обнаружат ни в одном изделии; б) брак обнаружат не менее, чем в (к - 1) изделиях. 0 а) брак обнаружат во всех изделиях; б) брак обнаружат не более, чем в одном изделии. Что вероятнее при случайном выборе костей домино: что шестерка будет хотя бы раз встречаться на двух костях из четырех или на трех из шести? что единица будет хотя бы раз встречаться на двух костях из трех или на четырех из шести? С-64*. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (домашняя самостоятельная работа) Вариант 1 Вариант 2 Используя понятия условной и полной вероятности и формулу Байеса, решите задачи: а) В яш;ике лежат 12 белых, 8 черных и 10 красных шариков. Какова 184 ТЕОРИЯ вероятностей вероятность того, что наугад выбранный шарик будет красным, если извест- будет черным, если известно, что он не черный? но, что он не белый? б) На заводе 50% деталей типа А1 производит рабочий Уткин, 30% — рабочий Чайкин и 20% — рабочий Воронин. Вероятность брака у этих рабочих составляет 5%, 3% и 2% соответственно. Из партии деталей наугад выбирается одна. Найдите вероятность того, что эта деталь: 1) качественная; 1) бракованная; 2) бракованная и изготовле- 2) качественная и изготовлена Уткиным. на Чайкиным. в) В цехе 10 станков марки А, 6 — марки В и 4 — марки С. Вероятность выпуска качественной продукции для каждого типа станков составляет 0,9, 0,8 и 0,7 соответственно. Какой процент качественной бракованной продукции выпускает цех в целом? О Используя понятие геометрической вероятности, решите задачи: а) После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что обрыв произошел между 50-м и 55-м километрами? 60-м и 66-м километрами? Самостоятельная работа С-64* 185 б) В круг случайным образом брошено п точек. Найдите вероятность того, что все точки окажутся внутри вписанного в этот круг правильного шестиугольника. треугольника. в) Сумма модулей двух чисел не превосходит V2. Какова вероятность того, что сумма их квадратов больше единицы? меньше единицы? г) * Коэффициенты р и q квадратного трехчлена + рх + q произвольным образом выбираются из отрезка [-1;1]. Найдите вероятность того, что данный трехчлен имеет действительные ни. кор- не имеет действительных корней. О Решите задачу: а) Стержень длины I разломали на 3 части, выбирая наугад места разлома. Определите вероятность того, что из получившихся частей можно ник. составить треуголь- нельзя ник. составить треуголь- б) Двое друзей договорились о встрече в условленном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет второго в течение а минут (а < 60). Какова вероятность того, что друзья встретятся? друзья не встретятся? 186 ТЕОРИЯ вероятностей К-13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вариант А1 Вариант А2 в игральной колоде 36 карт. Какова вероятность того, что взятая наугад карта окажется: а) валетом; б) бубновой? а) тузом; б) пиковой? О Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку — 0,1, в восьмерку — 0,2, в семерку — 0,4. Найдите вероятность выбить с одного выстрела: а) больше семи очков; а) больше восьми очков; б) не больше восьми очков. б) не больше семи очков. О в процессе производства заготовка последовательно обрабатывается на двух станках. Первый станок производит 97% качественной продукции, а второй выдает 3% брака. Какова вероятность того, что деталь, полученная из заготовки, будет качественной? будет бракованной? О Монету бросают три раза подряд. Можно ли утверждать с вероятностью 0,9, что «орел» с вероятностью 0,8, что «решив выпадет все три раза? ка» не выпадет все три раза? Контрольная работа К-13 187 © Вероятность встретить на улице муж-чину-блондина составляет 0,4. Какова вероятность того, что среди четырех прохожих мужчин встретится три блондина? Вариант Б1 один блондин? Вариант Б 2 Найдите вероятность того, что наугад взятое двузначное число: а) делится на 10; б) содержит в записи цифру 9. а) делится на 5; б) содержит в записи цифру 0. О При игре в шахматы Остап Бендер жульничает с вероятностью 0,6. При этом он выигрывает с вероятностью 0,1, играет вничью с вероятностью 0,2, а в остальных случаях проигрывает. Найдите вероятность того, что в одной наугад взятой партии Бендер: а) жульничал и не выиграл; а) не жульничал и не выиг- б) не жульничал и не проиг- рал; рал. б) жульничал и не проиграл. © Три ученика независимо друг от друга решают задачу. Первый ученик ошибается в 10% случаев, второй — в 15% случаев, а третий в 80% слу- 188 ТЕОРИЯ вероятностей чаев решает задачи правильно. Какова вероятность того, что хотя бы один ученик при решении задачи ошибется? хотя бы один ученик решит задачу правильно? Игральный кубик бросают два раза подряд. Можно ли утверждать с вероятностью 0,95, что вы- с вероятностью 0,93, что выпадет сумма больше трех? падет сумма меньше одиннад- цати? 0 Вероятность встретить на улице муж-чину-блондина составляет 0,4. Какова вероятность того, что среди четырех прохожих мужчин встретится не менее двух блондинов? не более двух блондинов? Вариант В1 Вариант В2 Даны числа 1, 2, 3, 4, 6, 8. Найдите вероятность того, что: а) произведение любых двух из них будет нечетным; б) любые три наугад взятых числа могут быть длинами сторон треугольника. 0 а) сумма любых двух из них будет нечетной; б) любые четыре наугад взятых числа могут быть членами пропорции. На класс из 30 учеников распределили туристические путевки: Контрольная работа К-13 189 12 — в Крым, 8 — в Санкт-Петербург, 5 — в Венгрию. Какова вероятность того, что: а) двое друзей поедут в Санкт-Петербург? б) трое друзей поедут по одному маршруту? 0 а) трое друзей поедут в Крым? б) двое друзей поедут по одному маршруту? В яш;ике лежат 10 шариков, среди которых 3 — белые. Из яш;ика последовательно вынимают и удаляют по одному шарику до тех пор, пока не появится белый шарик. Найдите вероятность появления белого шарика в третьей попытке. в четвертой попытке. Три стрелка стреляют по одной цели по 2 раза каждый. Известно, что вероятность попадания для каждого стрелка равна 0,5 и не зависит от результатов других стрелков и предыдунщх выстрелов. Можно ли утверждать с вероятностью 0,99, что в с вероятностью 0,5, что каж- цель попадет хотя бы один дый стрелок попадет в цель выстрел? хотя бы один раз? О Пять шариков случайным образом разбрасываются в 6 лунок. Найдите вероятность того, что во вторую лунку попадут 2 в третью лунку попадут 3 ша-шарика. рика. ОТВЕТЫ ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ К-1 А1 А2 Б1 Б2 В1 В2 1а) 0 0 2 2 0 0 16) 1 - 1 1 1 0 0 2 0 0 - 1 - 1 2 -2 За) - cos^a - sin^ а cos 2а cos 2 а sin^ а 1 sin 4а 36) 1 cos 2а - sin 4а sin 4а 1 1 sin а cos а 5 Я 6 Я 4 131° 140° - 345°; - 195° -30°; -330° А1 А2 Б1 1аГ Зтг ■ + ЯП я ----h ЯП 3 4яп 16) — + 2яп;— + 2яп 4 4 — + 2яп; — + 2яп 6 6 X . = 2я + 4яп, у . = - 1, rmn ^ ^тш ' X = 4яп, у =0 max ’ ^шах Нечетная, Т - — 3 Четная, Г = 6я Н(у): хф-кп, нечетная За) D{f) = R, £(Л = 5; 1] D{f) = R, £(/)=[!; 2] £(у) = [-4;4]. Г = 2я 36) = - + 2ЯП y,„i„ = - 4 ^шах =-| + 2яП У„.ах = 4 X . = 2яп nun у ■ =“2 ^ пип X = я +2яп max У =2 ^ max т')- ''я ЯП я ЯП ^ —I----; —I-- 4 2 4 2 возрастает на каждом промежутке D{y) Здесь и далее neZ,m&Z,keZ,peZ. Ответы к контрольным работам 191 К-2 А1 А2 Б1 4 -— + 2пп; — + 2пп 2 2 [2ятг;я -н 2ял] д: пп; (0; 1] Б2 В1 В2 1а) у> О, если п ---+ 7Ш 4 ' п 5п / X е — + пп; — + пп [8 8 J ♦ X е V у < О, если , ЗТ1 71 зс е-----+ 7ш; — + пп 8 8 у> О, если А ^ А I ----+ 4тш;—н 4тш ; 3 3 ' у <0, если X 6 — + 4тш;----h 4тш ‘ 3 3 16) ^min =-7 + ^«. 4 Уп,1п = 0-71 4 У =4 ‘'max ■^гаах “ , + J = — + пп , rnin g ’ Уш1„ = -0>5. Зтг ^тах = Y + ’ У = 0,5 ^ max * 4л ^min = у + 4ЛЛ , Ушш = - 2. 2л ^шах =-у +4ЛП , у =2 » max Ду); л 2лп, нечетная Четная, Т = п Нечетная, Т = 2п За) [- 2; 2]. Т^п [- 2; 2], возрастает на 2я - л О — + 2яп; - + 2ят1 3 3 убывает на - + 2яп; — + 2яп 3 3 [-V2;V2], возрастает на - - + 2ят1; — + 2яп 4 4 убывает на — + 2ял; — + 2яга 4 4 36) Ду) = = (2ят1; 2я + 2ят1); убывает на каждом промежутке D(y) х = п + 4пп‘, нули: дс = - я + 4лл я ш X = — + — ; 9 3 5я пп нули: X = — + — 18 3 X ^ - + пп; 2 (0;1] У = 2 С08 л:, С08 л: ^ О, О, С08 X < О, Т = 2п У = 0,8in х'2.0, [-2 8in X, sin дс < О, Г = 2я 192 ОТВЕТЫ А1 А2 Б1 1а) (-I)" - + 7Ш 3 ± — + 2пп 4 к 2кп ~9 16) ■ + КП к ---+ 7Ш 4 arctg 5 + КП, - — + кк 4 1в) ±^ + 2ш 3 — + 2кп 2кп, (-1)* — + 2кк ^ ’ 3 1г) 7Ш + 7Ш — + 2тш, (-1)*"^* — + пк 2 ^ ' 6 2а) '"2л . Юл . '' — + 4лм;-------+ 4лм л 2кп _ 4л 2лм ^ - — + 2лм; — + 2лп 6 2 26) '' п к ^ — + лй; — + кк 6 2 ''л к ---+ КГГ,-----1- Лй 2 3 л пп КП 8 "^Т’ Т л + 2лм; 2кк к + 2кп; — + 2кк 2 ■ + кк; кк ( кп; — + лл 3 Б2 В1 В2 1а) л — + лл 6 / ^ \ I л кк (-1 — + — ^ ^ 12 2 кп т 16) - arctg 3 + кп, — + кк 4 2 arctg 2 + 2кк, — + 2лл -2 arctg ^ + 2л^, - — + 2кк ______2__________ 1в) к кп к — + —, ± —кк 4 2 6 лл ^ л . —, ± — + кк 2 6 к кп к - + —, ± - + кк 8 4 3 1г) л + 2лл, ± — + 2кк 3 л 2лл 6 ""з” л 2лл ~6 2а) о Зл '' 2лл; — + 2лл 2 л л — + лл; — + лл 6 12 7л л ----+ лл; — + лл 12 6 26) - — + 2лл; л + 2лл V 3 (4лл; л + 4лл] — + Злл; — + Злл 2 4 —h лй;------лй 6 6 л + 2лл; (-1)**' - + кк ^ ’ 6 - + 2лл; ± — + 2кк у2 3 Ответы к контрольным работам 193 К-4 А1 А2 Б1 Б2 В1 В2 1а) 2 3 1 1 1 -1 16) 1 5 1 5 3 3 6 3 2а) ±3 ±10 1 32 4 5 26) 4 3 -1 - 1 1 2 li 5 2в) -1 -2 6 5 1 2 2г) -1;0 0; 3 ±3; 7 -3; 1; 4 8 1 3 (1;4), (4; 1) (9;1), (-1;-9) (4;-3), U 4j (4;0) (25; 9), (4; 1) 4 а > 2 а < -3 (-2;0)u(l;3)! (-3;-1) u(0; 4) [2; ±оо) (-®;-2] А1 А2 Б1 -1;- 16) 1в) - 1; 2 1; 2 2а) [- 3; 3] (- оо; 0] U [2; +со) (“ оо; - 2) U (1; +оо) 26) (- со; - 1)и(2;+со) [- 4; 3] 2в) (- оо; 0] U [1; +оо) (- со; - 4] U [0; +ос) (^; 0] U [1; +«>) (1;2);(2; 1) (1;3);(3;1) 3; — + 2пп 2 1 _ я 3’2 + 2пп ;1 ; у второй К-5 Б2 В1 В2 ^ 3 , 23 11 1а) “3; — 1;-^ 4 6 4 16) 0 0,5 0 1в) 1 к — + пп 2 жп 194 ОТВЕТЫ К-5 Б2 В1 В2 2а) (-1; 2) (- 3; 3) U (3; +оо) (- 2; 2) и(2; +^) 26) (~со;-4]и [5; +со) [-1; 3] (-оо;-2]и [6; +оо) 2в) [0; 1] (-«;-!] [1;+®) 3 (-1;2) -1 1 4 ^;27 ;[1;9]; у первой ^ 1 - 3 и 5 - 2 la) А1 А2 30 Б1 Б2 24 В1 24,5 В2 1,5 16) -2 2а) -2;1 -2; 5 26) 2; il2 3;^ 625 :5 За) [-1;2) ■;1 (2;3] (-4; 2] (1;2) (1;2) 36) (2; 4) (1;4) (0;0,04)и U (5; +оо) ( О 0;- U fo;- u fo;- 1 sJ 1 4j l 8J и(2;+оо) и [16; +о°) U и[4; +оо) (7; 2) (9;1) (2;-1) (3;2) (27; 4) (125;4); (625; 3) ■;27 3; 27 ■:2 6 K-7 A1 A2 Б1 3 16 4 la) 6x^-x 20x^ + ^ + -Г + -7= 16) 9 • 3 -2 sin X 5— cos X , 5 4 cos X + —X— sin X 2x cos X - [x^ + l) sin X 1b) 5 5 x^-2x-3 (x -b 2)^ (x^3f (x-lf Ответы к контрольным работам 195 К-7 А1 А2 Б1 2 г/ = Зл: + 6 !/ = - 7х+ 12 г/ = - 4х + 5 3 0; 1 1 ; ± — + 2л/г 3 4 12 м/с 4 м 17 м/с 5 3 1 71 2 3 к-7 Б2 В1 В2 1а) (л: + 1) (Зх - 1) (х - 1) (Зх + 1) 16) -2л: sin л: --(4 - л:^)со8л: 2cosx „ . „ г— + 2 sin 2х sin X 1 X 2sinx 3 3 cos'^ X 1в) +4л:-12 X + 1 4х-8 (. + 2f + 1) л/х^ + 1 (х^ - 8) л/л:^ - 8 2 у = - 6х + 19 1 5 г/ = — X + — 3 3 2 5 у = — X + — 3 3 3 7t / -1 \А+1 Я — + Я71; (-1) — + nk 2 6 (-со;4,5] {0,5} U [5,5; +00) 4 0 м/с^ 16 м/с 0 м/с^ 5 я 6 (2; 2,5) (-2; -1,5) К-8 А1 А2 Б1 1а) - 1; 0; 1 - 3; 0; 3 Возрастает на (-°о;-4], [2;+»°); убывает на [-4;-1), (-1;2] 16) - 6; - 2 2; 6 Возрастает на 0; ^ убывает на -;+-= [4 > / 196 ОТВЕТЫ А1 I У = У, О - Зл:" -4 W - 0,5 А2 Б1 г/ = - ^ + 4х У, 16 3 л\ -2/3,- 2 А / ^ 2/3 "" 1 16 Q у = 4х 1 + х^ Vi 1 2 *УР*ч. -1 г 0 *х 0,5 12 = 9 + 3 К-8 Б2 В1 В2 1а) Возрастает на (-°°;-2], [4;+=«); убывает на [-2;1), (1;4] = 0. max —и 0 л: . = - 1, min X =1 max 16) Возрастает на [4;+<«); убывает на [0;4] ,2л ^шах = ±у+2ЯП, ^ ^шах = (-1)‘ 2 У = У^ J 4 4х^ + 1 ' у х^ +1 L у -У^ 4 -1 X i/t Г * 4] ";4 ц 1 л м 11 1 6 1 3 О X 2. ^1 7 /1 /1 Л » 1 \ 2 -4 3 -6 II \ \ \ 11 3 20 = 15 + 5 3 -72 Ответы к контрольным работам 197 К-9 А1 А2 Б1 1а) ^-4V^ + c ■\/х + с 1 , 1 - - Ctg X - —^ + с 4 2 3 3 2х^ 16) tgx + 3cosx + с 2 sinjc + ctgx + с д: + 4 sin — + с 4 2а) -2х^ + 2х + Ъ Ах + х^-2х^ -12 х^ - 4V1 - X 26) 2 sin — - — cos Зх - 2 cos Зх + 1 2 3 За) 2i б1 2 2 4 9 36) 1 1 1 3 5 4 4 4I 41 4I 2 2 2 5 -2 6 12 м К-9 Б2 В1 В2 1а) 1 1, г- + - tg X + с Зд:' 5 2 3 1 2 „ — + —X — X -2х + с 4 3 2 -X* +-х^-2х^-4х + с 4 3 16) 1 ^ х^ — cos ох + с 5 2 - ctgx - 2л: + с 2х - tgx + с 2а) Зх - 2л]5-х + 18 2л:=' + 8л:+ 11 л:' Зл:- —+ 2,5 2 26) 2sin — - - 2x + 4 о -у + 2х - 3 4 X За) 1 3 + л/з 1 6 36) 1 12 1 1 198 ОТВЕТЫ К-9 Б2 В1 В2 4 4i 1 4 2 2 5 8 м 4х-3 4^2х К-10 А1 А2 Б1 1а) + 2,5х'’= 1,2х'>’2 - е" 2хе"''' + ^ X In 3 16) 4Мп4 х^ +1 ^ +8" In 8 8 - Зх х‘""(1п2 + 1) + - 2 i;i е 1;е^ е^; 0 3 3 In |х + 2| + 1 21п X - 3| + 3 х^ - — 1п|4х - 5 - 1 4 17^ 3 lli 4 2 3 5 -е"" +iln|2x + 11 --2 2 ' '2 1 -Зх __е Зх _ 3 --In Зх + 1| + -3 3 1 ч — (Зх - 2)з + -4 ^ '4 К-10 Б2 В1 В2 1а) ^ + Зх'е"""’ х1п2 3 sin^ X cos хе®'"" + —- — In 10 sin2xe““'" + In 2 16) х‘"®(1пЗ + 1) + — 2х 2^-' In 2 1 3^-‘ 1пЗ } V? 4х 1п(х^ -1) 6х 1п^ (9 - х^) х" -1 ^ 9-х^ 2 е^; 0 In 2; 0 - In 3; - In 2 3 X® + 21п Зх -1+3 -21n|7-3xj + 3 41n|0,5х - l| - 2 4 1,5 2^ 3 2^ 3 Ответы к контрольным работам 199 К-10 Б2 В1 В2 5 1 5 4 — (4х + 5)'* + — ъ ъ 1п(х^ + 1) + е'"' + 2 1п(х‘‘ +1) + е"' +3 К-11 А1 - 2 А2 - 3 Б1 3 + t 1а) 16) - i - 3i - 4 2 У, Г - S У^ \ О X ^ 1 -61 -3V О 1 Г ■Л 6 За) - 64 ы 212 36) ±4i ±ы 2 2 4а) 4 + 3i 3 + 5i 3 ± 4г 46) - 2 ± 3i 1 ± 3i ±2-1 5 а = 2 а = 1 Re 2 = - Im 2 200 ОТВЕТЫ К-11 Б2 ^fз^/2 3^/2 Л 2 2 V У В1 [з i [з i \2^V2’ \l2~V2 В2 2 + i; - 2 - i 36) 4а) + 3 + 4j - 1; - 2i 3; i 46) ± 4 + 2i 0; — 1 + i 0; + 1 5 Re 2 = Im 2 Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон Сумма квадратов диагоналей ромба в 4 раза больше квадрата его стороны К-12 А1 А2 Б1 Б2 В1 В2 1а) 32 162 0 0 0 0 16) 24х=" 40x2 - 160х® 54х^ 512; 1 256; 1 2а) 28 56 70 56 20 20 26) 56 56 56 168 70 60 3 X® - Зл: -ь 3 1 3 X х^ X* - 4х^ -I-X X 128 256 1 2^^ ■ С® ^38 о19 ^60 ' ^ 4 210 1 35 С! ■ cl, 240 120 5 1 i 6 4 3,4, 5, 6 1, 2, 3 (6; 3) (18; 8) К-13 А1 А2 Б1 Б2 1а) 1 9 1 9 0,2 0,1 16) 1 4 1 4 0,1 0,2 2а) 0,35 0,15 0,54 0,36 26) 0,85 0,65 0,12 0,18 3 0,972 0,032 0,388 0,997 Ответы к контрольным работам 201 К-13 А1 А2 Б1 Б2 4 Нет Да Нет Нет 5 C^ (0,4)' 0,6 0,4 (0,6)' 1 - 0,6-* -- 4 0,4 • 0,6^ 1 - 0,4' -- 4 • 0,6 • 0,4" К-13 В1 В2 1а) 1 15 8 15 16) 0,2 1 3 2а) 28 11 4^ 26) 12 11 10-ь8 7 6-ь5 4 3 _ 113 12 11-ь8 7-ь5-4 _ 104 30 29 28 2030 30 29 "435 О 7 1 О 40 8 4 Нет Нет 5 C^5^ C^5^ 6® 6® 202 ОТВЕТЫ ОТВЕТЫ К ДОМАШНИМ САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ С-6* Вариант 1 Вариант 2 1а) 1 1 4 4 16) 1 1 2 2 2а) sin 2а 72 sin 2а 72 26) 1 1 За) R R 36) (sin3; - sin 4) (cos 7; cos 6) 4а [- 2; 2] [-72; 72] 46) Г- 13; 131 [- 25; 25] За) - 0,8 0,6 56) -i;2 3 Л 3 с-12* Вариант 1 Вариант 2 1а) [-1 : 1] [-1; 1] 16) (- сю; 0) U (0; оо) (- со; 0) U (0; оо) 1в) (-1 ; 1) [- 1; 0) U (0; 1] 1г) R R 1д) С ; 1] R 2а) 120 5 169 7^ 26) 5 7 24 2в) 1 7 "71 572 За) 4тг - 10 6 - 2я Ответы к домашним самостоятельным работам 203 4а) [- 2; - 1] U [0; 1] [-2;-V2]u[V2;2] 46) [1;2] (-со; 0] U [2; +со) 5а) £»(Л = [-1;0]; £(/) = О-Л 2 ДЛ = [-1;0)и(0;1]; 36) Вариант 1 п 10 Вариант 2 5л т 56) £>(/) = [0;+-), £(/) = [0;л) £»(/) = [0;+-), £(/) Зл _ 5л Т’Т 6а) 1 3 66) 2^Уз-1 1,5 6в) 6г) ctg2 tg0,5 с-16* Вариант 1 Вариант 2 1а) л ± arccos — + 2лл 6 (-1J arcsin — + пп; (-1J arcsin — + тслг 16) ± — + лл 6 Корней нет 1в) КП пп — 10 т 1г) 1 п КП 1 к КП - + — 1 6 2 1 18 3 2а) 2лл ^ i. 1 I. — + кп; arctg — + кк 4 2 26) 2лл; + 2кк: — + кт 2лл; - — + 2пк 2 4 2 2в) л КП л — + лл 1 4 2 1 4 to и I я + 3 to I + a to I s + 3 1 + 3 to c\ 0^ I + 3 I p ►1 о о c+- № to + Я 3 I P ►1 о r+- СП5 я 0^ I + я 3 to » 05 I ?4 + to 3 05 5^ + to я 3 00 I я + to я 3 00 on 5^ + to я 3 o\ 05 I я + ^^|з со I я + tol§ 00 I I 3 I 5^ + 3 CO to CO to to я + CO ?4 3 00 ?4 + CO я 3 05 u 4X 00 I 5^ + to 3- 1+ CO I 5^ + to я 3 + 05 54 3- 05 0\ 00 I 54 + to 54 3 1+ 05 I 54 + 54 3 05 P »(:- I 54 + 54 3 »(:- I 54 + 54 on o\ ~^|з- гг ■Н -4 3 I СЛ p I 54 + tolg 00 5Г Ч CO to I 54 + I t'C to 54 I 3 3 4 to + >(>- I to -4 54 I 3“ 5Г Ч -4 CO Ed '^la to I 54 + 54 5Г tt:- 1 54 + to I a I 3“ CO o\ I 54 + 54 a to 54 гг tt:- 1 54 + 54 3 I to I 54 + to 54 гг I 54 + 54 3 54 + to 54 5r '*l’ to I 54 + to 54 I 54 + 54 3 to I 54 + to 54 3- to 54 Ш 0) "D S 0) X Ш Ш ■a s Ш X H to to © о Co t4 Co Ответы к домашним самостоятельным работам 205 2г) Вариант 1 — + 7ш; - arctg 3 + пп 2 U f ^ к У ( ^ ТС / U — + кп; —кп U — + кп; — + кп 4 2 4 2 V Вариант 2 — + кп; - arctg 2 + кп U За) 2'^ л ^ л " + 2кп; — + 2кп и К — + 2кп;2кп 1 3 2 6 U л „ я „ 'тс л 5л „ U — + 2кп;— + 2кп L 3 3 U U + 2кп;— + 2кп 6 J U ^ л 2л „ — + 2кп;— + 2кп и к + 2кп; — + 2лл 2 3 6 U 36) ---1" Tin 6 U к 5к — + кп; — + кп 2 6 ^ к к — + кп; — + кп 4 2 и к Зк ~ + кп; — + кп 2 4 Зв) {2;cn} U к к —h кп; — + кп 4 2 - — + 2кп I U кп; — + кп 2 4 С-23* Вариант 1 Вариант 2 1а) -7; 8 0; 5 16) 1 4 1в) 2-273;2 1 +7б 1г) 3 1; 2; 10 1д) 8 - 15; 1 1е) 4 9 1ж) 4 - 1 1з) ±2 ±6 1и) [3; 8] Корней нет 1к*) 0,5 1 2а) (_оо;_1] U (8;+°о) {-ос; -4] 26) [2,5; 3) [2; 3) 2в) [5; 6) U (9; 10] 206 ОТВЕТЫ С-23* Вариант 1 Вариант 2 | 2г) [- 2; - 1] U {3} (-3)w[-la 2д) [1; +*) L 2 ) ( 2_ За) (3; 1) 36) (10; 6) (5; 4) Зв) (1; 81); (81; 1) (64; 1) С-27* Вариант 1 Вариант 2 1а) 0; 1 0; 3 16) -1;-4 -2;-3 1в) 3;2^ 4 1,5 1г) ± 1 ± 1 1д) пп 2 71 кп ±— + 6 2 1е) 71 ± — + кп; ± arctg 2-\- кк кп 1ж) ± 2 2 1з) 3 7 1и) (-1)" — + кп ^ ' 6 + — + 2тт 3 1к) 2 1 1л) Корней нет 2 2а) (-V7;-V3]u[V3;V7) 26) (3; +сс) (2; +оо) 2в) [- 2; 0] U [2; -ь=о) [-оо;-9]и[0; 9] 2г) (2;^.) [0; -ь=о) э1 к домашним самостоятельным работам 207 1 Вариант 1 Вариант 2 (- 1;2] u[3;+co) [- 2;-l)u[l;+oo) задач данной работы предполагается, что основа-может принимать неположительные значения jaHT 1 Вариант 2 1;0;2 - 3; 0; 1; 2 .±72 -2;-1 + 7i0 4 1: 3 5 0; 3 0;iju(l;H -4; 1)и(3; +оо) (- 4;-2)и(1;4) 1 f 1] u {0} u [l; ±o°) u [1;+oo) (-со; 2] 4; 2; 3 5; 6 - 1; 6) ; (3; 2) (4; 1) ; (5; 2) ариант1 Вариант 2 - ± Jlog; 25 1 ± ^log, 640 1 log, 2,5 0; log2 2; lg5 2; - logj 6 9; 0; —;10^ 10 1 10; —;10 ^ 10 208 ОТВЕТЫ С-31* Вариант 1 Вариант 2 2в) 3; 3« 2г) 4 За) (3; 1); (3; 1) (1; 10); (- 1; 10) 36) Зв) (И] (Л 1 N 4а) 2 4 46) 1 1 С-33* Вариант 1 Вариант 2 la) 21 24 16) 12 9 1в) 16 8 1г) 0; 1,75 -1; 0,75 1д) 10; 100 1е) 7Г — + КП 4 к — + пп 4 1ж) 1;^;4 V2 73;3 1з*) — ;3 81 1и*) 2 16 2а) (-4;-3]и[8;+ос) (2;3]и[5;+оо) 26) [ 2 ^ Г 4 log2-;0 U log2-;+oo V ^ J ^ у* [1;2) 2в) (0;1)и(2;8) (0;0,1)и(1;1000) 2г) (3;+о°) (4;+о°) Ответы к домавтним самостоятельным работам 209 2д) Вариант 1 (4- ^/2;3)u(4 + ^У2;+ooj Вариант 2 (-1,5;-1)и(4;+-) 2е) (logg 10; +с«) (log, 13; 2] 2ж) ( 11 Г 1 "1 -1;- U 1;2- 1 L з) (-“<=; —2) и (0; +оо) 2з*) 0; 2 ’2 U • +00 0;3 ;o.5iog;^ 3 + n/3 U JU,51og3 3+v'2 I +0O 3a) (2; 3) ; (3; 2) (125; 4) ; (4; 125) 36) 0,001;- I; 1000;-- 2 (2; 10) ; (- 2; 0,1) 3b) (3; 3) '4 la) Вариант 1 Выпукла вниз на ( 1) и (3; +Х-) ; выпукла вверх на (-1; 3) Вариант 2 Выпукла вниз на выпукла вверх на и (1;+~); 16) Вьпгукла вниз на (-^; -6) и (6; +оо) ; выпукла вверх на (-6; 6) Выпукла вниз на (-оо; -1) и (1; +«); выпукла вверх на (-1; 1) 1в) 5а) 56) Выпукла вниз на ^7к 11п ^ ---h лп;---+ лп 12 12 ^ выпукла вверх на л 7л -----н лп;--h лп 12 12 Выпукла вниз на выпукла вверх на л л ----h K/lf--h K/l 6 6 / л 5д '' —h лп; — + лп 6 6 3),4) у = х У = 2 1), 2) у = 2х У=1 210 ОТВЕТЫ С-40* Вариант 1 Вариант 2 5в) X = -1, X = 2; у = 0 X = -3; X ^ 2-, у = 0 5г) X = 1 X = 1 5д) X = -3; X = 3; у = X X = -2; X = 2; у = X С-43* Вариант 1 Вариант 2 1 у = -Ъх-&;у = -х-2 у = 2х-Ъ', у = Ьх-\3 2 у = Зх-20 I/ = 8л: + 4 3 у = - X - 2,25 у = - X - 2,75 4 13,5 43,75 5 71 7t 3 3 6 3 3 с-47* Вариант 1 Вариант 2 1а) — - 2arctg X ^ с д: - 2 arctg д: + e 16) . X -ctg he 2 ^ д: 1в) 3 г. ■ ^ 1.x — х~2 sin h — sin he 8 4 4 2 3 1 . . 1-0 “ д: + — sin 4д: + — sin 8д: + e 8 8 64 1г) arcsin(j7 - 1) + e arccos(j7 + 1) + e 1д) arctg (x + 3) + e arctg (д: - 2) + e 1е) — (д:^ -1) + e 15'' ’ 1 2 + 4(;c^+l) 1ж) 1 . 2л: — arcsin— + e 2 3 1 , 2д: — arctg — + e 10 5 1з) 1 + c cos X 1 ^ . 2 + ^ 2 Sin X 1и) 1 . 3 sin X — sin д: + e 3 1 3 — cos jr-cosjr + e 3 Ответы к домашним самостоятельным работам 211 1к) Вариант 1 • yj(x - 1)^ + 2^/х - 1 + с Вариант 2 + с 1л) X sin 2х + — cos 2х 2 + с 9 sm Зх cos —he 3 3 1м) ~{8х-9)^/9 + 16х +с ---(2х + 1) (10x-l) + c 120^ ’ ^ ’ 1н) X arcsin X + 7Г X + с X arccos X - \/1 - х^ + с 2а) 9 — п 4 -18п 26) 2в) о За) 4i 3 36) 2(^/2-l) Зв) 42- 3 32 Зг) 8л/2-6 4а) [-1; 6] [1;3] 46) п 4 4в) 1 6 1 6 1а) Вариант 1 212 ОТВЕТЫ Ответы к домашним самостоятельным работам 213 214 ОТВЕТЫ С-51* Вариант 1 2м*) — е (cosX + sinх] + с 2 ^ ’ За) 36) cos 2х - л/з sin 2х Зв) 3 1-х Зг) -2е^' Ответы к домашним самостоятельным работам 215 С-51* Вариант 2 1г) fix) = In cos X ! Зп i п i 2 i 2 о li/ . 1 1 i ^ < ' 1 i i i ^ 1 1 ! i V if I 1 j 1д) fix) = xlnx /_ 0 1 V € г 1е) fix) = log2(4 - x^ '\r 11/ I \ \ 1 о \ 12 X 11 2а) 1 -€^ + C 26) 1. 3 — In X + c 3 2в) - In |cos x| + c 2г) ln(x^ + З) + c 2д) ln(l + sin^ x) + c 2е) 3 2(x' -3x + 2)2 — — + c 9 216 ОТВЕТЫ С-51* Вариант 2 2ж) е’"" (х + 1) + с 2з) — (31пх - 1) + с 2и) sin X (In sin X - 1) + с 2к) X arccos X ~ Vl - х^ + с 2л) -х^ ctg х^ + In sin х~ + с 2м*) ^ X (sin (In х) - cos (in х)) + с За) Зе'^* 36) 2 cos \/Зх + 2\[з sin \[3х Зв) 4 X + 4 Зг) С-55* Вариант 1 Вариант 2 1а) X ^ + i/^ + 4х = 0 Окружность с центром в точке (- 2; 0) и Д = 2 х^ + у'^ + 4у = 0 Окружность с центром в точке (0; - 2) и Л = 2 16) (х^ + - 1) (х'^ + - 4) >0 Точки вне кольца, образованного окружностями х^ + = 1 и х~ + = 4 (х - -ь - 1) (х ^ -1- - 9) < 0 Точки внутри кольца, образованного окружностями х^ + у^ = 1 тл х^ + у^ = 9 1в) Точки вне окружности х^ -Ь -1- 1) 2 = 2 и сама окружность, кроме точки (1; 0) Точки внутри окружности (х -1-1) ^ -ь (у - 1) ^ = 1 и сама окружность, кроме точки (-1; 0) 1г) х^ + у- = 4 Окружность с центром в т. (0; 0) и Д = 2 х^ -н г/2 = 9 Окружность с центрюм в т. (0; 0) и R = 3 4 = 4 + i 2 = S i 5а) -l + i^/5; -3 + %/з -4;-2-“'^ 2 56) г. -l + iVs 2 -6;-l±i%/2 Ответы к домашним самостоятельным работам 217 С-55* Вариант 1 Вариант 2 5в) -1 ± i\fs —1 ± i\JE —l±\jl + 4i 1 ± ^^/7 ^ , 1 ± n/1 + 8i. 1 ± л/1 - 8/ 2 ’ 2 ’ 2 2 2 2 С-60* Вариант 1 Вариант 2 2 3" 11" 3 -555 8085 4 112Cf, 36 • С'° 5 -(8!f 8^ 2(ll!f 6 30" +1 30" +1 С-64* Вариант 1 Вариант 2 1а) 5 11 4 9 16) 1) 0,962 2) 0,025 1) 0,038 2) 0,291 1в) 83% 17% 2а) 1 6 1 5 26) 'з^/зT 2п . у rз^/зY 4л V / 2в) 1-^ 4 л 4 2г*) 1 12 11 12 За) 3 4 1 4 36) 1- (i-i| 60j ' 1-~ 60 f / ЛИТЕРАТУРА 1. 2. 3. 5. 6. 7. 8. 9. A. Н. Колмогоров и др. Алгебра и начала анализа 10—11. М., 1999 Н. Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ 10, 11. М., 1997 Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под ред. М. И. Сканави. Мн, 1990 B. В. Вавилов и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. М., 1988 В. В. Вавилов и др. Задачи по математике. Алгебра. М., 1987 А. Г. Мерзляк и др. Тригонометрия. М., 1998 А. Г. Мерзляк и др. Алгебраический тренажер. М.-Х., 1998 A. Г. Мерзляк и др. Учимся решать задачи по началам анализа. К., 1998 B. С. Лютикас. Факультативный курс по математике. Теория вероятностей. М., 1990 СОДЕРЖАНИЕ Колмогоров Виленкин Тригонометрия 5 С-1. Определение и свойства тригонометрических функций. Градусная и радианная меры угла Гл. I, § 1 Гл. VI, § 1,2 10 кл. 5 С-2. Тригонометрические тождества Гл. I, § 1 Гл. VI, § 2, § 3, 10 кл. 7 С-3. Формулы приведения. Формулы сложения Гл. I, § 1 Гл. 6, 10 кл. 9 С-4. Формулы двойного и половинного угла Гл. I, § 1 Гл. VI, 10 кл. 11 С-5. Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение и произведения в сумму Гл. I, § 1 Гл. VI, 10 кл. 13 С-6*. Дополнительные тригонометрические задачи (домашняя самостоятельная работа) Гл. I, § 1 Гл. VI, 10 кл. 15 К-1. Преобразование тригонометрических выражений Гл. I, § 1 Гл. VI, 10 кл. 17 С-7. Общие свойства функций. Преобразования графиков функций Гл. I, § 2 Гл. III, 10 кл. 20 С-8. Четность и периодичность функций Гл. I, § 2 Гл. III, 10 кл. 22 С-9. Монотонность функций. Экстремумы Гл. I, § 2 Гл. Ш, 10 кл. 24 С-10*. Исследование функций. Гармонические колебания (домашняя практическая работа) Гл. I, § 2 Гл. III, 10 кл. 27 К-2. Тригонометрические функции Гл. I, § 2 Гл. VI, 10 кл. 28 С-11. Обратные тригонометрические функции Гл. I, § 3 Гл. VI, § 6, 10 кл. 31 С-12*. Применение свойств обратных тригонометрических функций (домашняя самостоятельная работа) Гл. I, § 3 Гл. VI, § 6, 10 кл. 33 С-13. Простейшие тригонометрические уравнения Гл. I, § 3 Гл. 5, § 5, 10 кл. 35 220 СОДЕРЖАНИЕ С-14. Тригонометрические уравнения Гл. I, § 3 Гл. VI, § 5, 10 кл. 37 С-15. Отбор корней в тригонометрических уравнениях. Системы тригонометрических уравнений Гл. I, § 3 Гл. VI, § 5, 10 кл., Гл. IX 39 С-16*. Методы решения тригонометрических уравнений (домашняя самостоятельная работа) Гл. I, § 3 Гл. VI, § 5, 10 кл. 40 С-17*. Системы тригонометрических уравнений (домашняя самостоятельная работа) Гл. I, § 3 Гл. VI 42 С-18. Простейшие тригонометрические неравенства Гл. I, § 3 Гл. VI, § 5, 10 кл. 43 С-19*. Методы решения тригонометрических неравенств (домашняя самостоятельная работа) Гл. I, § 3 Гл. VI, § 5, 10 кл. 45 К-3. Тригонометрические уравнения, неравенства, системы Гл. I Гл. VI, § 5, 10 кл. 46 Алгебра 49 С-20. Корень п-ой степени и его свойства Гл.IV, § 9 Гл. VIII, § 4, 11 кл. 49 С-21. Иррациональные уравнения Гл.IV, § 9 Гл. VIII, § 4, 11 кл. 52 С-22. Иррациональные неравенства. Системы иррациональных уравнений Гл.IV, § 9 Гл. Vin, § 4, Гл. ЕХ, 11 кл. 54 С-23*. Методы решения иррациональных уравнений, неравенств, систем (домашняя самостоятельная работа) Гл.IV, § 9 Гл. VIII, IX, 11 кл. 56 С-24. Обобщение понятия степени Гл.IV, § 9 Гл. VIII, IX, 11 кл. 58 К-4. Степени и корни Гл.IV, § 9 Гл. VIII, IX, 11 кл. 61 С-25. Показательные уравнения. Системы показательных уравнений Гл. IV, § 10 Гл. VIII, § 2, 11 кл. 64 С-26. Показательные неравенства Гл. IV, § 10 Гл. VIII, § 2, 11 кл. 66 С-27*. Методы решения показательных уравнений и неравенств (домашняя самостоятельная работа) Гл. IV, § 10 Гл. VIII, § 2, 11 кл. 67 Содержание 221 С-28*. Показательно-степенные уравнения и неравенства (домашняя самостоятельная работа) Гл. IV, § 10 Гл. VIII, § 2, 11 кл. 69 К-5. Показательная функция Гл. IV, § 10 Гл. VIII, 11 кл. 70 С-29. Логарифм. Свойства логарифмов Гл. IV, § 10 Гл. VIII, § 1, 11 кл. 72 С-30. Логарифмические уравнения и системы Гл. IV, § 10 Гл. VHI, § 2, Гл. IX, 11 кл. 75 С-31*. Применение логарифмов в решении трансцендентных уравнений и систем (домашняя самостоятельная работа) Гл. IV, § 10 Гл. VIII, Гл. IX, 11 кл. 77 С-32. Логарифмические неравенства Гл. IV, § 10 Гл. VIII, § 2, 11 кл. 78 С-33*. Методы решения логарифмических уравнений, неравенств, систем (домашняя самостоятельная работа) Гл. IV, § 10 Гл. VIII, IX, 11 кл. 80 К-6. Логарифмическая функция Гл. IV, § 10 Гл. VIII, IX 82 С-34. Обобщение понятия модуля. Уравнения и неравенства с модулем Гл. II Гл. IV, 10 кл. 85 Начала анализа 88 С-35. Вычисление пределов числовых последовательностей и функций. Непрерывность функции Гл. II Гл. IV, 10 кл. 88 С-36. Определение производной. Простейшие правила вычисления производных Гл. II, § 4 Гл. V, § 1, § 2, 10 кл. 91 С-37. Производные тригонометрических и сложных функций Гл. II, § 4 Гл. V, § 1, § 2, 10 кл. 94 С-38. Геометрический и механический смысл производной Гл. II, § 5 Гл. V, § 1, § 2, 10 кл. 97 К-7. Производная Гл. II Гл. IV, 10 кл. 101 С-39. Исследование функции на монотонность и экстремумы Гл. II, § 6 Гл. V, § 3, 10 кл. 104 С-40*. Дополнительное исследование функции (домашняя самостоятельная работа) Гл. II, § 6 Гл. V, § 3, 10 кл. 106 С-41*. Построение графиков функций (домашняя практическая работа) Гл. II, § 6 Гл. V, § 3, 10 кл. 108 222 СОДЕРЖАНИЕ С-42. Наибольшее и наименьшее значения функции. Экстремальные задачи Гл. II, § 6 Гл. V, § 3, 10 кл. 109 С-43*. Избранные задачи дифференциального исчисления (домашняя самостоятельная работа) Гл. II Гл. V, 10 кл. 112 К-8. Применение производной Гл. II Гл. V, 10 кл. 114 С-44. Первообразная. Вычисление первообразных Гл. III, § 7 Гл. VII, § 1, 11 кл. 115 С-45. Определенный интеграл. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла Гл. III, § 8 Гл. VII, § 3, 11 кл. 117 С-46. Применение первообразной и интеграла Гл. III, § 8 Гл. VII, 11 кл. 119 С-47*. Избранные задачи интегрального исчисления (домашняя самостоятельная работа) Гл. III Гл. VII, § 2, § 3, 11 кл. 122 К-9. Первообразная и интеграл Гл. III Гл. VII, 11 кл. 125 С-48. Производная и первообразная показательной функции Гл. IV, § И Гл. VIII, § 3, 11 кл. 128 С-49. Производная и первообразная логарифмической функции Гл. IV, § 11 Гл. VIII, § 3, 11 кл. 131 С-50. Степенная функция Гл.IV, § 9 Гл. VIII, § 4, 11 кл. 134 С-51*. Дополнительные задачи математического анализа (домашняя самостоятельная работа) Гл. III, IV Гл. VII, VIII, 11 кл. 137 К-10. Производная и первообразная показательной, логарифмической и степенной функций Гл. IV, § 11 Гл. VIII, 11 кл. 139 Комплексные числа 143 С-52. Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме Гл. X, § 1, 11 кл. 143 С-53. Модуль и аргумент комплексного числа. Действия с комплексными числами в геометрической форме Гл. X, § 2, 11 кл. 147 С-54. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра — Гл. X, § 2, 11 кл. 149 Содержание 223 С-55*. Дополнительные задачи с комплексными числами (домашняя самостоятельная работа) Гл. X, 11 кл. 153 К-11. Комплексные числа — Гл. X, 11 кл. 154 Комбинаторика 158 С-56. Множества. Операции над множествами — Гл. XI, 11 кл. 158 С-57. Основные формулы комбинаторики. Простейшие комбинаторные задачи Гл. XI, 11 кл. 161 С-58. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов — Гл. XI, 11 кл. 165 С-59. Комбинаторные задачи. Правило суммы и правило произведения — Гл. XI, 11 кл. 167 С-60*. Дополнительные задачи по комбинаторике (домашняя самостоятельная работа) Гл. XI, 11 кл. 170 К-12. Элементы комбинаторики — Гл. XI, 11 кл. 171 Теория вероятностей 175 С-61. Классическая вероятность. Использование формул комбинаторики при вычислении вероятности Гл. XII, 11 кл. 175 С-62, Теоремы сложения и умножения вероятностей — Гл. XII, 11 кл. 178 С-63. Вероятность осуществления хотя бы одного из независимых событий. Схема Бернулли Гл. XII, 11 кл. 181 С-64*. Дополнительные главы теории вероятностей (домашняя самостоятельная работа) Гл. XII, 11 кл. 183 К-13. Элементы теории вероятностей — Гл. ХП, 11 кл. 186 ОТВЕТЫ 190 Ответы к контрольным работам 190 Ответы к домашним самостоятельным работам 202 ЛИТЕРАТУРА 218 Для детей старше шести лет. В соответствии с Федеральным законом от 29 декабря 2010 г. № 436-ФЗ. Алла Петровна Ершова Вадим Владимирович Голобородько Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10—11 классов Подписано в печать 31.10.2012. Формат 60x88/16. Усл.-печ. л. 13,69. Тираж 11 000 экз. Заказ № 2019. ООО «Илекса*, 107023, г. Москва, ул. Буженинова, д. 30, стр. 4, сайт; www.ilexa.ru. E-mail: [email protected], телефон: 8(495) 964-35-67 Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая типография» Филиал «Чеховский Печатный Двор» 142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1 Сайт: www.chpk.ru, E-mail: [email protected], факс 8(496) 726-54-10, телефон 8(495) 988-63-87